LA LIBERTAD EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y PLANIFICACIÓN CURRICULAR 1. Construcción de la noción de número (natural y entero) Mg. Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA a20146949@pucp.pe I. E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario” Orientación del curso • Hemos desarrollado dos dimensiones: la planificación curricular y algunos temas de educación matemática por separado. • Una de las tareas del maestro, en la actualidad, es diagnosticar el estado de sus estudiantes. • La pregunta clave en este breve curso será: ¿cuál es el principal (o uno de los principales) problema de orden didáctico que los maestros podríamos enfrentar al abordar el tema X? • Este aspecto no es poco importante: de eso derivará cómo planifiquemos y cómo será evaluado nuestro desempeño, inclusive. • Los temas aquí planteados deben servir, además, para la investigación del maestro. Problemas en el aula a) En primaria b) En secundaria a) En primaria (adaptado de Twomey, 2001, p. 31): Karen es una maestra que tiene seis ositos de peluche en una mesa. Ella les pregunta a sus estudiantes (niños de 5 a 6 años de edad) cuántos ositos hay: • Inés: “hay seis ositos”. Pero, al colocar cada osito en una silla, ella dice al doblar sus dedos, “hay cinco”. • Sandra: “Uno, dos, tres, siete, ocho, nueve, diez”. • Mario: “hay seis ositos”. Pero luego dice: “solo hay uno”. • Sandra: “¡No! Hay muchos.” b) En secundaria: ¿Cómo se introducen números como -1, -2, -3, etc.? Elementos teóricos involucrados en la situación de primaria ¿Qué podría estar ocurriendo en el salón de Karen? (Twomey, 2001, p. 32) • Concentraremos nuestra atención en las causas vinculadas con la matemática. • Desde el punto de vista matemático, podrían existir problemas con la cardinalidad, entre otros principios (inclusión jerárquica, relaciones entre la parte y el todo, etc.). Aquellos se manifestarían en la coordinación entre la voz y los dedos de los niños. ¿Qué dicen las investigaciones al respecto? • Sistema numérico aproximado (Clements, Sarama & MacDonald, 2019): ¡Los bebés de pocos días o meses de vida podrían reconocer ciertas cantidades o relacionar dos conjuntos de objetos! (Lakoff & Núñez, 2000, p. 16). • Aprehensión perceptual directa de la cantidad de un pequeño grupo de objetos (subitizing) (Lakoff & Núñez, 2000, p. 19): todos los seres humanos podemos decir si tenemos uno, dos o tres objetos delante nuestro. Para cantidades superiores de objetos, podemos aprehender patrones u otra ayuda para contar. Tipos de subitizing (Clements et al., 2019, p. 22) Perceptual Conceptual • Reconocer un número sin el empleo consciente de otros procesos matemáticos o mentales. Luego, darle un nombre. • Aplicar subitizing perceptual repetidas veces y luego unir los números. Tipos de subitizing perceptual (Clements et al., 2019, p. 23) Tipos de subitizing perceptual (Clements et al., 2019, p. 24) Tipos Description Ejemplos Subitizing conceptual Los niños tienen limitada rígido (RCS) habilidad de describir más de un conjunto en subgrupos. Cada vez que ellos se enfrentan al cinco, subitizan “dos, dos y uno”. Subitizing conceptual Los niños son capaces flexible (FCS) de ver dos o más formas de describir un conjunto en subgrupos. Cuando ellos se enfrentan al cuatro, subitizan “dos y dos” o “tres y uno”. Fuente: MacDonald & Wilkins (2016) Sugerencias para desarrollar subitizing (Clements et al., 2019, p. 35) • Establecer el hábito de reconocer los números en las interacciones cotidianas. • Evitar el empleo de arreglos o figuras que promuevan subitizing en forma inexacta. • Especificar actividades para subitizing. Por ejemplo, el uso de tarjetas con diferentes arreglos para mostrar una cantidad determinada de puntos. Situación creada para matematizar (adaptada de Twomey, 2001, p. 47) • “Cuando venía a la escuela esta mañana, me detuve a comprar manzanas. Había varios tipos: Pachacámac, Delicia e Israel. Ellas estaban empacadas de diez en diez. Yo quería un grupo de Pachacámac y Delicia, pero no quería comprar dos paquetes enteros. ¡Iban a ser veinte manzanas! ¡Y yo no estaba tan hambrienta! Le pregunté al tendero por qué el no hizo un paquete de diez con Pachacámac y Delicia. El dijo que había muchas formas de armarlo, tantas que él se confundía. Yo empecé a preguntarme, también, ¿cuántas formas había? Le dije que enseñaba en una escuela primaria y que estaríamos felices de investigar todas esas formas y planificarlas por él.” • Se debe asegurar que los niños se pregunten: ¿he encontrado todas las formas? ¿Cómo puedo estar seguro? Elementos teóricos involucrados en la situación de secundaria Extensión del sistema de los números naturales. Números enteros (Carranza, 1965, p. 37) • El par ordenado de números naturales 𝑎1 , 𝑎2 es equivalente al par 𝑏1 , 𝑏2 si y solo si 𝑎1 + 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑏1 . • Cada una de las clases de pares ordenados equivalentes de números naturales es llamada número entero. 1,2 , 2,3 , 3,4 , … , 0,0 , 1,1 , 2,2 , … 𝑒𝑡𝑐. • Se dice que el número entero 𝑐 = (𝑐1 , 𝑐2 ) es positivo si se cumple que 𝑐1 > 𝑐2 . Análogamente, si 𝑐1 < 𝑐2 , 𝑐 es negativo. • De este modo, ¡el 1 natural no es lo mismo que el 1 entero! Propuesta de Reid & Vallejo (2019) - 1 • Como una aplicación de su propuesta de Proofbased-teaching (PbT), ellos plantean el uso de baldosas enteras como modelos de números. Ellas son dispuestas en un plano. • Con dichas baldosas se puede construir una teoría cuyas acciones fundamentales son la colocación, la remoción y el reacomodo de aquellas. • Bajo esta teoría y acciones, se pueden representar operaciones con los números naturales y, posteriormente, con los números enteros. Propuesta de Reid & Vallejo (2019) - 2 Para mostrar el resultado de la sustracción de 5 – 3, los autores introdujeron la “zona de sustracción”, al lado derecho del plano. Así mismo, se plantea el teorema de la sustracción equivalente: “Cada sustracción es un miembro de un conjunto de sustracciones equivalentes, todas con el mismo resultado”. De este modo, 6 – 4 es equivalente a 3 – 1. Esto se puede visualizar mediante la teoría de las baldosas enteras. Propuesta de Reid & Vallejo (2019) - 3 • Para el trabajo con los números enteros, es introducida una “baldosa negativa”, la que representa, históricamente, una “sustracción inacabada”. • Dicha baldosa representa a la operación 0 – 1 y su sustracción equivalente 2 – 3. Ambas equivalen a 1 (“1 negativo”). • De este modo, mediante sustracciones equivalentes, se pueden introducir 2, 3, etc. Propuesta de Reid & Vallejo (2019) - 4 • Como cada “baldosa negativa” representa una substracción inacabada, pares de esta baldosas y “baldosas negativas” (“pares cero”) pueden ser removidas, finalizando la sustracción inacabada. Para trabajo ulterior • ¿Cómo se adaptarían las propuestas mostradas en la planificación de una clase? Referencias • Carranza, C. (1965). Algebra. Lima, Perú: Instituto para la Promoción de la Enseñanza de las Matemáticas. • Clements, D., Sarama, J., & MacDonald, B. (2019). Subitizing: The Neglected Quantifier. En Norton, A., & Alibali, M.(Eds.) (2019). Constructing Number: merging perspectives from Psychology and Mathematics Education, 13-45. Cham, Switzerland: Springer. • Lakoff, G., & Núñez, R. (2000). Where Mathematics comes from. New York, NY: Basic Books. • Reid, D. & Vallejo, E. (2019). Evidence and argument in a proof based teaching theory. ZDM, DOI:10.1007/s11858-01901027-x • Twomey, C. & Dolk, M. (2001). Young mathematicians at work. Constructing number sense, addition, and subtraction. Porstmouth, NH: Heinemann. ¡ESTÁN INVITADOS!
