El número e. Valor del número e, orígenes y curiosidades. por Justo Fernández | Curiosidades | 39 Comentarios ¿Qué es el número e? ¿Qué valor tiene? ¿De dónde procede? Era un adolescente cuando el número e entró en mi vida sin avisar. Nos estaban explicando los logaritmos sin mucho ritmo, nos decían que eran la función inversa de las potencias. Y allí apareció el número e, caído del cielo de los logaritmos naturales. Entonces no pregunté de donde venía, ni tampoco me lo contaron. Sólo nos dijeron que e era la base de los logaritmos naturales o neperianos y punto. El número e ¿Qué tienen en común una tela de araña, el tendido eléctrico, la edad de un fósil, el interés de una cuenta bancaria o el crecimiento de una población de bacterias? No tienes que irte demasiado lejos. El número 3 te dará la respuesta. Hay números que aparecen en los lugares más insospechados, en las situaciones más dispares. Tal vez por ello es tan popular, por su versatilidad. Algunos números son tan famosos que tienen nombres artísticos de una sola letra. (π, Φ, i, e). e no están famoso ni tiene tanta historia como π, pero tiene un papel estelar en el crecimiento exponencial y está muy relacionado con el cálculo (al igual que π frecuenta lugares geométricos). No es un número perfecto, pero surge de cualquier parte. Esta constante siempre está presente cuando se trata de “crecimiento continuo”. Y este tipo de crecimiento es muy frecuente en la naturaleza, porque ningún organismo vivo crece a saltos. Aunque no lo percibas, el número e es importante en tu vida cotidiana. Orígenes del número e En las postrimerías del siglo XVI las dos grandes potencias marítimas, España e Inglaterra ofrecían mucho dinero a la persona que descubriese un mecanismo que facilitase los cálculos trigonométricos ligados a la navegación y a la astronomía. Fue el escocés John Napier quien descubrió esta herramienta matemática en 1614, los logaritmos naturales. En un apéndice de su trabajo, aparece su constante base, el número e, que hoy podemos ver en todas las calculadoras. Gracias a los logaritmos (a los que Napier llamó “números artificiales”), las multiplicaciones pueden sustituirse por sumas, las divisiones por restas y las potencias por productos, lo que simplificó mucho la realización manual de los cálculos matemáticos. ¿Cuá es el valor del número e? Al igual que π, el número e es un número irracional del cual no podemos conocer su valor exacto porque tiene infinitas cifras decimales. Casi todo el mundo acepta que fue Euler el primero en probar que e es irracional. Hasta 10 cifras decimales el valor de e es 2’7182818284 … e es un número real poco llamativo; sus cifras no se repiten de una forma periódica, es decir, no siguen ninguna pauta. ¿Por qué este número tan peculiar es más importante que, por ejemplo, otros número decimales como 2’1569 o 3’3267? Cómo calcular el número e Tu mismo puedes hacerlo. Sólo tienes que disfrazar los números que le preceden de la siguiente fórmula: El antepasado más lejano de nuestro protagonista es el número 2, que se obtiene sustituyendo n por 1 en la fórmula anterior y operando: Vamos a acercarnos un poco más. Sigue el patrón. Fíjate que el denominador de la fracción coincide con el exponente de la potencia. Los matemáticos siempre dispuestos a llevar las cosas al límite, definen a e así: Con la ayuda de una calculadora puedes aproximarte al número e. Para n=1.000.000 obtendrás que e=2’71828 … En contra de lo que podría parecer, por mucho que avances en esta sucesión, todos los números se estabilizan en torno a un número menor que 2’72 Puedes continuar indefinidamente aumentando el denominador y el exponente. El límite de la sucesión sería un número que tiene infinitas cifras, nuestro número e. ¿Por qué se llama número e? El ilustre Leonhard Euler , el matemático más prolífico de todos los tiempos, usa en 1727 la notación e en relación con la teoría de los logaritmos. La coincidencia entre la primera letra de su apellido y el nombre de nuestro número es mera casualidad. Es probable que e ni siquiera venga de «exponencial» sino que sea simplemente la vocal que sigue de la a, la cual Euler ya estaba usando en su trabajo. En 1748 Euler llegó a calcular su valor con 23 decimales utilizando series infinitas como esta: Recuerda lo que significa el símbolo factorial (!) 4!=4·3·2·1 Como puedes ver es otra forma de obtener el número e, sumando esta seria infinita. Cuantos más términos sumes en esta serie, tanto más te acercarás al valor numérico de e. No es extraño que se llegase a conocer a e como el número de Euler, al ser su padrino y captar su extraordinaria importancia. El genio suizo fue el primero en estudiar este número. Algunas ecuaciones donde aparece el número e ➨ Una cuerda o un cable colgados por sus extremos, tienden a adoptar la forma de una curva muy conocida cuya expresión analítica es: Todos los tendidos eléctricos tienen forma de catenaria. Es la misma curva que podemos observar en los segmentos de las telas de araña. ➨ Una de las numerosas aplicaciones del número e en biología es el crecimiento exponencial de poblaciones (como bacterias). Cuando no hay factores que limiten el crecimiento, se aplica esta fórmula: Que te permite saber cuál será la población P en un tiempo t a partir de una población inicial P0. ➨ Se puede determinar de forma aproximada la antigüedad de un fósil. Cualquier ser vivo tiene una cantidad de carbono 14 constante. Al morir, esta cantidad va desapareciendo lentamente. La función que regula esta desintegración se determina mediante esta fórmula: donde Q es la cantidad final de carbono 14, Qo es la cantidad inicial y t es el tiempo transcurrido. ➨ En estadística, en la famosa curva de la campana de Gauss (a la que siempre se ajusta el estudio de cualquier población suficientemente grande), siempre está presente el número e ➨ Da el valor del interés compuesto continuo, que se usa en préstamos e inversiones: Curiosidades del número e La notación e aparece por vez primera en una carta que le escribió Euler a Goldbach en 1731. La pasión que llevó a tantos matemáticos a calcular π con más y más decimales nunca se dio para el caso de e. Regla mnemotécnica para recordar el número e: «El trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago, pero podré acordarme» El número de letras de cada palabra equivale a las cifras de nuestro protagonista. O puedes aprenderte una curiosa pauta. Observa que después del «2,7» el número «1828» aparece dos veces, y después vienen los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles que son 45°, 90°, 45° 2,7 1828 1828 45 90 45 Ehh! Parece un número bien ordenado y listo! Usando fracciones la mejor aproximación a e es 87/32. Nada impactante. Pero usando 3 dígitos, la mejor fracción es 878/323. Sorprendente. En 1873 Charles Hermite demostró que e es trascendente (no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales). π y e^π también lo son. Ernest V. Wright escribió la novela «Gadsby«, de unas 50 mil palabras sin la letra e. Aparece en una identidad revolucionaria, la fórmula más extraordinaria de todas las matemáticas. La identidad de Euler incluye a los números más famosos de las matemáticas. El número e se llama así en honor de Leonhard Euler (1707-83) uno de los matemáticos más importantes de la historia (sin ninguna duda en el top ten y casi seguro también en el top five). Aunque Euler fue extremadamente productivo en su larga vida, continuando las publicaciones incluso después de quedar completamente ciego, lo cierto es que el número que le honra con su inicial no fue uno de sus descubrimientos, porque quien lo puso en el candelero fue el matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705) cuando estudiaba el interés compuesto, al ir haciendo cada vez más pequeño el periodo de capitalización. Bien estará ya decir la definición de e: calculamos su valor aproximado tenemos que e ≈ 2,718. Por eso el 7 de febrero (2/7) es el ‘día e’. Y en el caso de este año todavía hay una coincidencia mayor, puesto que es el día 7 de febrero del año 2018: 2/7/18. Justo las cuatro primeras cifras de e. Puesto que e aparece en la función exponencial, que modela el crecimiento, su presencia es destacada cuando estudiamos el crecimiento o decrecimiento acelerados, como pueden ser las poblaciones de bacterias, la propagación de enfermedades (como la epidemia de gripe que nos asola) o la desintegración radioactiva, lo que es también de utilidad en la datación de fósiles. De una manera similar a la presencia de la constante π en todo lo que es redondo. Para calcular valores aproximados de e se puede utilizar la serie descubierta por Newton (1643-1727) en 1665, a partir del valor en la que los sumandos decrecen muy rápidamente, lo que hace que se encuentren pronto muy buenas aproximaciones de e. El número e es irracional (no se puede poner en forma de fracción) y también trascendente (no existe ninguna ecuación polinómica de la que sea raíz o solución), demostrado por Hermite en 1873, siendo el primer número del cual fue demostrada su trascendencia. Es también el único número real a tal que El número e El número e, conocido como la constante de Napier o el número de Euler, es una de las constantes imprescindibles en matemáticas. La historia del número e comienza en el siglo XVII, cuando John Napier inventó el concepto de logaritmo. Pocas veces un concepto matemático fue recibido con tanto entusiasmo por la comunidad científica. Unos años más tarde, Jacob Bernoulli estudió el problema del interés compuesto y, casi sin pretenderlo, llegó a establecer el valor del número e. Las aplicaciones del número e en economía, biología, electrónica, química, paleontología, medicina, estadística, por ejemplo, configuran un abanico poliédrico que hacen del número e una herramienta esencial para el desarrollo de la ciencia. https://ciencias.ua.es/es/extension-universitaria/programacion-cultural-san-alberto-magno/2019/xi-concurso-demicrorrelatos-matematicos.html Dos constantes numéricas La constante matemática más conocida es, sin duda, el número pi (π). No necesita presentaciones, esta letra griega relaciona el perímetro de un círculo con su diámetro. En alguna universidad británica se decía a los alumnos que si esta asociación no les sorprendía es que no tenían alma. La otra «letra» es el número e, también conocido como el número de Euler, aunque fue inventado por John Napier. Este número irracional es la base de los logaritmos naturales. Su valor es 2,71828182845… Los amantes de las reglas nemotécnicas siempre lo recordaremos con la frase «el trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago, pero podré acordarme». El número de letras de cada palabra equivale a las cifras del número e. https://www.ambientum.com/ambientum/ciencia/canon-de-belleza-matematicas.asp «La ciencia es lo que el padre le enseña a su hijo. La tecnología es lo que el hijo le enseña a su padre» - Michel Serres (nacido en 1930). aprender matemáticas a veces requiere cierto nivel de abstracción, sobre todo si hablamos del cálculo infinitesimal o infinito: a veces el cerebro tiene problemas para concebir números complejos. Según la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE), el 23 % de los estudiantes menores de 15 años no tienen «el nivel de habilidades necesarias para participar plenamente en la vida de nuestras sociedades modernas». Una cifra importante, que se añade a otra que confirma el peso del origen social en el éxito académico: el 40 % de los estudiantes de la clase obrera tiene un bajo rendimiento en matemáticas, en comparación con el 5 % de las clases más altas. Definición y usos del número e en Matemáticas Llamado también «constante de Napier», el número e sirve de base para el cálculo logarítmico. Es un número irracional que se escribe con un número infinito de decimales sin secuencia lógica. Es decir, ¿un número que no se puede contar? Historia del número e A diferencia de los números racionales, cuyo desarrollo decimal se llama periódico, el número e tiene una infinidad de decimales sin orden lógico. La relación 2/7, por ejemplo, es igual a 0,285714285714285714... Los decimales que aparecen después de la coma muestran la secuencia recurrente 285714 reproducida hasta el infinito. Hoy en día, sabemos que e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957... y que hay más de 8 billones de decimales posibles. El 3 de enero de 2019, el matemático Gerald Hofmann logró demostrar la existencia de 8 billones de decimales después del punto decimal, superando el récord anterior de 5 billones de decimales encontrados en 2016. En 1614, John Napier publica Mirifici logarithmorum canonis descriptio, una obra sobre aritmética que presenta la creación del logaritmo, una herramienta para simplificar los cálculos de trigonometría utilizados para la astronomía. Aunque nuestra calculadora y los ordenadores dan el valor del cálculo algorítmico en un solo clic y hoy en día todos los profesores de matemáticas pueden enseñar la función logarítmica a sus estudiantes, este no fue el caso en la época moderna. Las obras de J. Napier consistieron en poder sumar en lugar de multiplicar, restar en vez de dividir y dividir por 2 en lugar de extraer una raíz cuadrada; ese es el propósito del logaritmo. Al principio, las tablas logarítmicas tenían 8 decimales. Si 103 = 10 x 10 x 10 = 1000, entonces log(1000) = 3 y si 10x = y entonces log(y) = x. Vale, pero ¿cuál es la relación con el número e? Pues permite determinar para qué valor el logaritmo neperiano, ln (x), es igual a 1. El número e tiene 400 años de historia en las Matemáticas. El matemático Jacques Bernoulli (1654-1705), el inventor de la famosa ley de probabilidad epónima, busca maximizar los beneficios de un orfebre utilizando el interés compuesto. Descubre que el interés calculado en un año es menor que si se estima mensualmente, y aún menor cuando se calcula diariamente. Gracias a una demostración mercantil, descubrió el número e. Más tarde, el suizo Leonhard Euler (1707-1783) teorizó el número e, como una expresión de la función exponencial, utilizando el desarrollo por fracción continua. Usos del número e ¿El número e es la base de la revolución informática? Hoy en día, podemos encontrarnos con el número e en un problema matemático, en la búsqueda de un polinomio, en las ecuaciones diferenciales, en el cálculo de áreas de figuras geométricas, etc. La informática y la inteligencia artificial, al querer ir más allá de los límites de la realidad aumentada, han aprovechado la constante e, en particular para crear algoritmos cuya potencia de cálculo, creciente, supere las capacidades humanas de reflexión. Desde el momento en que consideramos que e sirve para para estimar una magnitud exponencial, encontraremos esta constante en la demografía y en la economía para estimar el crecimiento exponencial de una población, en biología para explicar la división celular, en física y en informática. ¿No entiendes tus clases de matemáticas o quieres desempolvar tus conocimientos matemáticos? Hay varios recursos web donde podrás repasar en línea esta noción esencial de los nuevos programas de matemáticas: Vitutor, YouTube, PUEMAC, Timonmate. Si quieres ir más lejos, puedes buscar la fórmula matemática de estimación del número e que más te convenga... https://www.superprof.com.ar/blog/usos-constantes-matematicas/ Estas son pues algunos nombres de cosas que empiezan con e, letra que -como curiosidad- es la más utilizada en los escritos en español pero es que resulta que también es la más utilizada en otros idiomas como el inglés, francés, alemán, checo, noruego… En español,“e” es la quinta letra del alfabeto y la segunda vocal, su plural puede ser “es” o “ees” pero se recomienda la primera de esas versiones. Por otra parte, existe también un número “e”, también llamado número de Euler o constante de Napier, que es un número irracional como el número pi. El valore del número “e” teniendo en cuenta sus primeros decimales es 2,71828182845904523536... Función Exponencial En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes. Definición de función exponencial Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R. La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica (ver t36), por cuanto se cumple que: Número e El número e, número de Euler o como también es conocido, constante de Napier es uno de los número irracionales que tiene mayor relevancia e importancia en el área de las matemáticas y álgebra. Un número básico en las funciones exponenciales que no puede ser expresado en números naturales. ¿Qué es el número e? El número e, es un número irracional del cual no podemos averiguar el valor exacto que posee ya que tienen una cantidad infinita de cifras decimales y por esto es considerado como irracional. http://edgarredondo.com/numero-de-euler/ https://educacion.gob.ec/libros-de-texto/ https://educarplus.com/2019/04/textos-escolares-ministerio-de.html https://impulsomatematico.com/2019/05/01/mas-sobre-logaritmos-como-usar-las-tablas-y-algunas-curiosidadessobre-el-tema/ http://vicmat.com/la-serie-armonica-la-constante-euler-mascheroni/ https://ingenieriabasica.es/leonhard-euler/ https://prezi.com/p/xwcreacrqrth/funciones-exponenciales-y-logaritmicas-en-la-vida-cotidiana/ http://entenderlasmates.blogspot.com/2016/11/las-funciones-en-la-vida-cotidiana-2.html https://www.hiru.eus/es/matematicas/funcion-exponencial http://funcion-exponencial-423.blogspot.com/2015/04/funciones-en-la-vida-cotidiana.html https://www.superprof.es/blog/aprender-logaritmo-natural/
