membrana

Introdu»c~ao µa Teoria de Membranas
(Vasos de Press~ao de Paredes Finas)
R.J. Marczak
Vers~ao 1.1 - dezembro/1999
Conte¶
udo
1 Introdu»
c~
ao
1
2 Tens~
oes resultantes
2
3 Equa»
c~
oes de equil¶ibrio
3.1 Membranas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Membranas de revolu»c~ao (cascas ¯nas de revolu»c~ao) . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
4 Exemplos resolvidos
9
5 Prontu¶
ario de solu»
co
~es anal¶iticas
5.1 Reservat¶
orios esf¶ericos e semi-esf¶ericos:
5.2 Reservat¶
orios cil¶indricos: . . . . . . . .
5.3 Reservat¶
orios c^
onicos: . . . . . . . . .
5.4 Outras geometrias: . . . . . . . . . . .
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11
. . . . 11
. . . . 14
. . . . 16
. . . . 18
6 Dimensionamento
20
7 Uni~
oes de vasos com geometrias diferentes - c¶
alculo de tampas
20
8 Normas
21
1
Introdu»
c~
ao
O estudo da Mec^
anica dos S¶
olidos ¶e comumente dividido em classes estruturais: barras, vigas,
membranas, placas e cascas (¯gura 1). As equa»c~oes que governam cada classe s~
ao v¶alidas
apenas como teorias estruturais, isto ¶e, incorporam simpli¯ca»c~oes assumidas para distribui»c~
oes
de tens~
oes e deslocamentos, a forma como os carregamentos s~
ao aplicados, a geometria do
problema e o comportamento constitutivo do material. Todas estas simpli¯ca»c~oes t^em um u
¶nico
objetivo: levar a teorias com equa»c~
oes mais simples e com menor n¶
umero de vari¶
aveis, a ¯m
de facilitar sua solu»c~
ao anal¶³tica ou num¶erica. Mais importante ainda, cada uma destas classes
possui portanto limites para utiliza»c~
ao, a partir dos quais as hip¶oteses feitas n~ao se aplicam mais.
Deve-se ter sempre em mente que, em princ¶ipio, todo problema ¶e tridimensio-nal. Na pr¶atica,
no entanto, a solu»c~ao da grande maioria dos problemas atrav¶es da elasticidade tridimensional ¶e
imposs¶ivel, dada a complexidade da geometria, do carregamento ou das condi»c~oes de contorno do
¶ justamente a¶i que est¶
problema. E
a a vantagem de se utilizar uma teoria estrutural apropriada:
a possibilidade de se obter uma solu»c~ao razoavelmente precisa sem muita complica»c~ao.
Este texto objetiva fornecer uma introdu»c~ao resumida aµ teoria de membranas, planas e
espaciais de revolu»c~
ao. Membranas constituem uma importante categoria estrutural, sendo
sua aplica»c~ao geralmente associada a vasos de press~
ao de parede ¯na, reservat¶
orios, paredes
pressurizadas, etc. De uma maneira geral, a maior parte dos componentes estruturais planos ou
curvos com espessura muito ¯na apresentam uma rigidez aµ °ex~ao muito pouco signi¯cativa em
compara»c~ao com a rigidez de membrana1 (¯gura 2). Nestes casos, as tens~
oes devido a °ex~ao
1
Por esta raz~
ao as equa»c~
oes de membranas s~
ao muitas vezes chamadas de Teoria de Cascas Finas, denomina»c~
ao
que tamb¶em ser¶
a utilizada neste texto.
1
Figura 1: Classes estruturais mais comuns.
podem ser desprezadas em rela»c~
ao µ
as tens~
oes de membrana e as equa»c~oes aqui vistas fornecem
bons resultados.
Figura 2: Tens~
oes de °ex~
ao s~
ao desconsideradas no estudo de membranas.
Assim como vigas s~
ao caracterizadas como elementos estruturais em que uma das dimens~
oes
¶e muito maior que as outras duas, membranas s~
ao estruturas onde duas das dimens~
oes s~
ao
muito maiores que a terceira (espessura h). Tipicamente, considera-se casca ¯na estruturas em
que a raz~ao raio/espessura est¶
a entre 50 e 1000. Outras categorias aparecem dependendo da
geometria encontrada. Por exemplo, cascas de revolu»c~ao s~
ao as obtidas pela rota»c~ao de uma
geratriz (meridiano) em torno de um eixo de revolu»c~ao (eixo de axissimetria), cascas rasas s~
ao
as cascas com curvatura pequena, e assim por diante (¯gura 3).
2
Tens~
oes resultantes
Assim como nas teorias de vigas, ¶e muitas vezes mais pr¶
atico se escrever as equa»c~oes governantes em termos de tens~
oes resultantes. Tens~
oes resultantes nada mais s~
ao do que as tens~
oes
usuais escritas por unidade de comprimento. Os ¶indices seguem a mesma nota»c~ao de tens~
oes.
Usualmente, as tens~
oes resultantes s~
ao obtidas integrando-se as tens~
oes locais ao longo da es2
geratriz
q
(a)
raio de curvatura
(b)
Figura 3: Exemplos de cascas: (a) casca de revolu»c~ao; (b) casca rasa.
pessura do corpo. Deste modo se obt¶em os esfor»cos internos que est~ao atuando sobre a parede
da membrana. Assim, tem-se as seguintes tens~
oes resultantes (¯gura 4):
² Tens~
oes resultantes de membrana:
Nxx =
Z
¾ xx dz
h
Nyy =
Z
¾ yy dz
(1)
h
Nxy =
Z
¿ xy dz
Z
¾ xx z dz
h
² Tens~
oes resultantes de °ex~
ao:
Mxx =
Myy =
Zh
¾ yy z dz
(2)
h
Mxy =
Z
¿ xy z dz
Z
¿ xz dz
h
² Tens~
oes resultantes de cisalhamento:
Qx =
Qy =
Zh
h
3
¿ yz dz
(3)
Nxx
Nxy
Nyy
Nxy
z
x
y
(a)
Qx
Qy
Nyy
Mxy
Nxy
Nxx
Nxy
z
Mxy
Mxx
Myy
y
(b)
x
Figura 4: Tens~
oes resultantes em um elemento de (a) membrana ou (b) casca.
De acordo com o que foi destacado anteriormente, as tens~oes resultantes dadas pelas eqs.(23) s~ao desprezadas no estudo de membranas, mas s~
ao muito importantes no estudo de placas
e cascas de espessura signi¯cativa, pois neste caso os componentes suportam °ex~
ao. Consequentemente, os carregamentos que ser~
ao considerados aqui s~
ao os carregamentos de press~
ao
¶
interna (para membranas espaciais) e for»cas concentradas ou distribuidas que atuam no plano
da membrana (no caso de membranas planas).
Adicionalmente, j¶
a que as tens~
oes de °ex~
ao s~
ao desprezadas, n~
ao h¶a necessidade de se integrar
as eqs.(1), pois as tens~oes s~
ao constantes. Ent~
ao, as eqs.(1) ¯cam:
Nxx = ¾xx h
Nyy = ¾yy h
Nxy = ¿ xy h
3
(4)
Equa»c~
oes de equil¶ibrio
As equa»c~oes de equil¶ibrio para membranas podem ser deduzidas da forma usual, isto ¶e, veri¯cando o equil¶ibrio de um elemento in¯nitesimal. Vamos aqui deduzir dois casos b¶asicos: membranas
planas e membranas de revolu»c~ao.
3.1
Membranas planas
Seja um elemento diferencial de dimens~
oes dx £ dy, como ilustrado na ¯gura 5, submetida a
for»cas de corpo bx e by .
4
Figura 5: Elemento diferencial de membrana plana.
Do equil¶ibrio nas dire»c~
oes x e y, vem:
X
Fx = (Nxx + dNxx )dy ¡ Nxx dy + (Nxy + dNxy )dx ¡ Nxy dx + bx hdxdy = 0
X
Fy = (Nyy + dNyy )dx ¡ Nyy dx + (Nyx + dNyx )dy ¡ Nyx dy + by hdxdy = 0 :
O equil¶ibrio de momentos em torno do eixo z resulta apenas dNyx = dNxy (o que era de se
esperar, j¶
a que ¾xy = ¾ yx ). Dividindo-se por dV = hdxdy resulta:
@Nxx @Nxy
+
+ hbx = 0
@x
@y
@Nxy @Nyy
+
+ hby = 0 :
@x
@y
(5a)
(5b)
Ou, em termos de tens~
oes locais:
@¾xx @¿ xy
+
+ bx = 0
@x
@y
@¿ xy
@¾ yy
+
+ by = 0
@x
@y
(6a)
:
(6b)
Obviamente, a solu»c~
ao das eqs.(6a-6b) ¶e muito dif¶icil para geometrias mais complidadas.
Este caso constitui um t¶opico importante da Elasticidade bidimensional, e n~
ao ser¶
a visto aqui.
3.2
Membranas de revolu»
c~
ao (cascas ¯nas de revolu»
c~
ao)
Este caso ¶e especialmente importante para aplica»c~oes em vasos de press~
ao e reservat¶
orios em
geral. Usualmente, estes elementos s~
ao esf¶ericos, cil¶indridos, c^
onicos etc. Assim, sua geometria
apresenta um ou dois raios de curvatura e um eixo de revolu»c~ao. Utilizando a de¯ni»c~ao de
meridiano e paralelo (¯gura 8), ¶e mais f¶
acil utilizar a nota»c~ao de tens~
oes referenciada aos eixos
circunferencial (paralelo) e meridional (meridiano). Da mesma forma, a posi»c~ao de um ponto
¯ca completamente de¯nida com a indica»c~ao dos ^angulos sobre estes eixos: o a^ngulo µ indica a
posi»c~ao circunferencial enquanto o a^ngulo Á indica a posi»c~ao meridional. A dire»c~ao perpendicular
ao plano tangente µa membrana ser¶
a denotada pelo ¶indice n. Este tipo de problema ¶e chamado
de axissim¶etrico, isto ¶e, a solu»c~ao obtida para um meridiano ¶e a mesma para qualquer posi»c~ao µ.
¶ importante notar que um dado problema s¶
E
o pode ser considerado axissim¶etrico se n~
ao apenas
5
Figura 6: Exemplos de problemas (a) axissim¶etricos e (b) n~
ao-axissim¶etricos.
a geometria, mas tamb¶em o carregamento e as condi»c~oes de contorno s~
ao axissim¶etricas (¯gura
6).
A geometria deste tipo de problema pode ser completamente de¯nida pela geratriz (meridiano) e o eixo de revolu»c~ao, ou ainda pelos dois raios de curvatura da geratriz: rm ¶e o raio
de um dado ponto da geratriz at¶e o eixo de revolu»c~ao (medido perpendicularmente aµ geratriz),
enquanto rµ ¶e o raio de curvatura local da geratriz no plano da geratriz. Um outro raio que pode
ser u
¶til ¶e ro , que ¶e dado pela dist^ancia da geratriz at¶e o eixo de revolu»c~ao, perpendicularmente
a este u
¶ltimo. A ¯gura 7 ilustra alguns exemplos.
Seja agora um elemento diferencial como o ilustrado na ¯gura 8, submetida aµ uma press~
ao
p. Como o problema ¶e axissim¶etrico, apenas a tens~
ao meridional (¾mm ) varia de uma aresta
do elemento a outra, enquanto a tens~
ao circunferencial (¾ µµ ) permanece constante para cada
paralelo. Obviamente a tens~
ao cisalhante de membrana ¾ mµ tamb¶em ¶e nula.
Projetando-se todas as for»cas na dire»c~ao normal ao plano tangente e efetuando-se o somat¶
orio
resulta:
X
dµ
dÁ
Fn = (Nµµ + dNµµ ) rm dÁ sin
+ Nmm rµ dµ sin
+
2
2
dÁ
+ (Nmm + dNmm ) rµ dµ sin
¡ p rµ dµ rm dÁ
2
= 0 :
6
Figura 7: Exemplos de cascas de revolu»c~ao: (a) casca gen¶erica; (b) casca cil¶indrica; (c) casca
c^onica; (d) casca esf¶erica e (e) casca toroidal.
Considerando os a^ngulos dµ e d' pequenos, sin dµ=2 ' dµ=2 e sin dÁ=2 ' dÁ=2. Desprezando-se
os produtos dNmm dµ dÁ e dNµµ dµ dÁ, resulta
Nµµ Nmm
+
=p ;
rµ
rm
(7)
¾ µµ
¾mm
p
+
=
rµ
rm
h
(8)
ou, em termos de tens~
oes:
:
A eq.(8) ¶e chamada equa»c~
ao de Laplace. Obviamente esta equa»c~ao sozinha n~
ao permite o
c¶alculo das duas tens~
oes. A ¯m de se obter uma outra equa»c~ao, pode-se veri¯car o equil¶ibrio
al longo da dire»c~
ao tangencial. Entretanto, isto resultaria em uma identidade. Uma forma
alternativa muito simples de se obter uma equa»c~ao adicional ¶e veri¯car o equil¶ibrio de toda a
estrutura ao longo do eixo de revolu»c~ao, utilizando-se um corte na altura de um paralelo qualquer
como refer^encia (¯gura 9). Assim,
2¼ro Nmm sin Á = F
Nmm =
;
F
2¼ro sin Á
:
(9)
onde F ¶e a resultante do carregamento ao longo do eixo de simetria. Se a membrana est¶
a sujeita
apenas a press~
ao interna, ent~ao F = ¼ro2 p. Se existirem outros carregamentos, estes devem ser
adicionados a F . Por exemplo, se al¶em da press~
ao interna o vaso estiver cheio de l¶iquido, ent~ao
2
¶
F = ¼ro p + P , onde P ¶e o peso do liquido contido, e assim por diante.
7
Figura 8: Elemento diferencial de membrana de revolu»c~ao.
Em termos da tens~
ao meridional, a eq.(9) ¯ca:
¾mm =
F
2¼hro sin Á
:
(10)
Agora, a partir da determina»c~
ao de ¾ mm pode-se obter ¾ µµ atrav¶es da eq.(8). Esta abordagem
¶e particularmente atrativa porque n~
ao foi feito qualquer uso das propriedades do material, e
portanto as equa»c~
oes s~
ao v¶
alidas para problemas n~
ao lineares tamb¶em.
Por outro lado, existem limita»coes. A mais importante delas se deve ao fato de que a
eq.(9) requer que o v¶inculo resista aµ for»ca que atua tangencialmente µa casca. Entretanto, foi
utilizada apenas a componente da rea»c~ao ao longo do eixo de revolu»c~ao. Ou seja, n~
ao ¶e feita
qualquer veri¯ca»c~
ao do que acontece na dire»c~ao perpendicular aµ membrana (¯gura 10). Se
Figura 9: Equil¶ibrio ao longo do eixo de revolu»c~ao.
8
o v¶inculo suportar estas for»cas, ocorrer~
ao tens~
oes de °ex~ao de grande magnitude na regi~ao
pr¶oxima ao v¶inculo. Usualmente, s~
ao adotados an¶eis de refor»co nas extremidades para resistirem
a este esfor»co. Entretanto, nestes casos aparecem tens~oes signi¯cativas de °ex~ao que oscilam
violentamente quando se aproxima da extremidade. O mesmo ocorre nas arestas de intersec»c~ao
de geometrias diferentes. Este efeito ¶e comumente chamado de efeito de bordo, e um tratamento
detalhado deste assunto exige o uso de teorias de °ex~
ao de cascas. Por outro lado, por se
tratar de um efeito muito localizado, as equa»c~oes aqui vistas podem ser utilizadas para efeito
de dimensionamento global do vaso.
Figura 10: Efeito das condi»c~oes de contorno na extremidade da casca.
4
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: Determinar as tens~oes circunferenciais e meridionais em um reservat¶orio esf¶erico submetido µa
press~
ao interna.
Neste caso, tem-se
rm = rµ = ro = R
Tomando-se metade da esfera, pode-se aplicar a eq.(10):
¾ mm =
F
2¼hR
e como
F = ¼R2 p
ent~
ao
¾mm =
9
pR
2h
:
Substituindo este resultado na eq.(8) obt¶em-se
¾ mm = ¾ µµ
:
¥
Exemplo 2: O tanque cil¶indrido ilustrado abaixo possui uma tampa c^onica e est¶a completamente preenchido
de um °uido com peso espec¶i¯co ° = ½g. Determinar as tens~
oes resultantes na parte cil¶indrica e na tampa
c^
onica.
Primeiramente, ser¶
a analisada a parte cil¶indrica. Os raios de curvatura s~
ao:
rm = 1
rµ = R
Ent~
ao, como o raio de curvatura meridional ¶e in¯nito, a eq.(7) se reduz a:
Nµµ
Nµµ
=
=p ;
rµ
R
onde a press~
ao ¶e dada pelo carregamento hidrost¶
atico
p = °z = ½gz . Portanto,
0 · z · H:
Nµµ = ½gzR
Agora, pela eq.(10), torna-se claro que
0·z·H
Nmm = 0
:
Resolvendo agora a parte c^
onica, veri¯ca-se que em qualquer posi»c~
ao z
o tampo ¶e:
> H o carregamento resultante sobre
°
F =°H¼R2 + (H + D ¡ z) ¼R2
| {z } |3
{z
}
cilindro
Usando a eq.(9):
Nmm =
F
2¼R sin ®
=
cone
°H¼R2 + °3 (H+D¡z)¼R2
2¼R sin ®
H · z · H +D ;
enquanto
Nµµ = ½gzR
;
como na parte cil¶indrica, pois rm = 1 tamb¶em na parte c^
onica.
Observe{se que, como os resultados foram calculados em termos de tens~
oes resultantes, tanto a parte cil¶indrica
quanto a parte c^
onica podem ter qualquer espessura, pois esta s¶
o ¶e utilizada no c¶
alculo das tens~
oes nominais ¾ mm
e ¾ µµ .
¥
10
Prontu¶
ario de solu»c~
oes anal¶iticas
5
Nesta se»c~ao ser~
ao apresentadas algumas solu»c~oes anal¶iticas retiradas da bibliogra¯a. Nas equa»c~oes
apresentadas, E ¶e o m¶
odulo de elasticidade, º ¶e o coe¯ciente de Poisson, ° m ¶e o peso espec¶i¯co
do material do reservat¶
orio (por unidade de a¶rea projetada) e ° ¶e o peso espec¶i¯co do °uido
contido no reservat¶orio (isto ¶e ½g). Quando pertinente, ¶e apresentado tamb¶em o deslocamento
sofrido pela membrana na dire»c~
ao radial u e a respectiva rota»c~ao da superf¶icie m¶edia da casca '.
Em alguns outros casos ¶e fornecido ainda o deslocamento longitudinal w, isto ¶e, ao longo do eixo
de revolu»c~ao. Observe-se que apenas a condi»c~ao de contorno de apoio deslizante ¶e considerada,
e portanto n~ao s~
ao consideradas quaisquer tens~
oes de °ex~ao. Nos casos onde ocorre a uni~
ao de
geometrias diferentes, as solu»c~oes apresentadas n~
ao devem ser utilizadas nas intersec»c~oes.
5.1
Reservat¶
orios esf¶
ericos e semi-esf¶
ericos:
Estes casos est~
ao ilustrados na ¯gura 11. Os carregamentos considerados s~
ao press~
ao uniforme
e cargas hidrost¶aticas.
² Reservat¶
orio esf¶
erico submetido a press~
ao uniforme - ¯guras 11-a e 11-c:
pR
¾ mm =
2h
¾ µµ = ¾mm
pR2
u =
(1 ¡ º)
2Eh
' = 0
Esta solu»c~ao ¶e v¶
alida tamb¶em para semi-esferas (¯gura 11-c).
² Reservat¶
orio esf¶
erico preenchido com l¶iquido e apoiado por anel - ¯gura 11-b:
Neste caso a press~
ao no interior do reservat¶
orio ¶e dada por: p = °R (1 ¡ cos ®) :
Para ® · ®o :
µ
¶
2 cos2 ®
°R2
1¡
¾ mm =
6h
1 + cos ®
µ
¶
2
°R
2 cos2 ®
¾µµ =
5 ¡ 6 cos ® +
6h
1 + cos ®
Para ® > ®o :
¾ mm =
¾µµ
=
µ
¶
°R2
2 cos2 ®
5+
6h
1 + cos ®
µ
¶
2
°R
2 cos2 ®
1 ¡ 6 cos ® ¡
6h
1 + cos ®
² Reservat¶
orio semi-esf¶
erico sob peso pr¶
oprio - ¯gura 11-d2 :
¾ mm =
¾ µµ
=
¡° m R
h (1 + cos ®)
µ
¶
¡° m R
1
cos ® ¡
h
1 + cos ®
2
Caso a geometria esteja invertida em rela»c~
ao µ
a ilustrada, deve-se trocar os sinas de ambas componentes de
tens~
ao e dos deslocamentos.
11
u
p
a
R
ao
R
(a)
(b)
u
u
j
a
p
R
R
(c)
(d)
d
u
j
a
R
d
a
j
R
u
(e)
(f)
u
d
j
a
R
a
j
R
d
u
(g)
(h)
Figura 11: Reservat¶orios esf¶ericos: (a) sob press~
ao interna uniforme; (b) completamente preenchido de °uido. Reservat¶
orios semi-esf¶ericos: (c) sob press~
ao interna uniforme; (d) sob peso pr¶
oprio;
(e) convexo sob carga hidrost¶atica completa; (f) c^oncavo sob carga hidrost¶
atica completa; (g)
convexo sob carga hidrost¶
atica parcial; (h) c^oncavo sob carga hidrost¶
atica parcial.
12
O deslocamentos radial e a rota»c~
ao s~
ao, respectivamente:
·
¸
° m R2
1+º
u =
sin ®
(1 ¡ cos ®) ¡ cos ®
Eh
sin2 ®
¡° m R
(2 + º) sin ®
' =
Eh
² Reservat¶
orio semi-esf¶
erico convexo sob carga hidrost¶
atica completa- ¯gura 11e:
µ
¶
¡°R2
2 cos2 ®
3d
¾mm =
¡
¡1 +
6h
R
1 + cos ®
µ
¶
2
¡°R
3d 4 cos2 ® ¡ 6
¡
¾ µµ =
¡1 +
6h
R
1 + cos ®
· µ
¶
d
¡°R3
sin ® 3 1 +
u =
(1 ¡ º) +
6Eh
R
¸
¢
2 (1 ¡ º) ¡ 3
cos ® ¡ 1
¡ 6 cos ® ¡
sin2 ®
°R2
' =
sin ®
Eh
² Reservat¶
orio semi-esf¶
erico c^
oncavo sob carga hidrost¶
atica completa- ¯gura 11-f:
µ
¶
¡°R2
3d
2 cos2 ®
¾mm =
¡1 ¡
¡
6h
R
1 + cos ®
µ
¶
2
¡°R
3d 4 cos2 ® ¡ 6
¾ µµ =
¡1 ¡
¡
6h
R
1 + cos ®
· µ
¶
¡°R3
d
u =
sin ® 3 1 ¡
(1 ¡ º) +
6Eh
R
¸
¢
2 (1 ¡ º) ¡ 3
cos ® ¡ 1
¡ 6 cos ® ¡
sin2 ®
¡°R2
' =
sin ®
Eh
² Reservat¶
orio semi-esf¶
erico convexo sob carga hidrost¶
atica parcial- ¯gura 11-g:
A press~
ao sobre a estrutura ¶e dada pela express~
ao: p = ° (R ¡ R cos ® ¡ d). Para pontos
¶
¶
acima do nivel do liquido:
¾mm = 0
¾µµ = 0
enquanto para pontos abaixo do n¶ivel de l¶iquido:
½ ·
µ
¶
¸
¾
d
d
¡°R2 d
2 cos2 ®
¾mm =
3¡
¡3 +1¡
6h
R R sin2 ®
R
1 + cos ®
µ
¶
2
¡°d
d
¾ µµ =
1 ¡ cos ® ¡
¡ ¾mm
6h
R
13
² Reservat¶
orio semi-esf¶
erico c^
oncavo sob carga hidrost¶
atica parcial- ¯gura 11-h:
A press~
ao sobre a estrutura ¶e dada pela express~
ao: p = ¡° [R ¡ R cos (¼ ¡ ®) ¡ d]. Para
¶
¶
pontos acima do nivel do liquido:
µ
¶
°d2
d
1
¾mm =
3¡
2
6h
R sin (¼ ¡ ®)
µ
¶
2
¡°d
d
1
¾ µµ =
3¡
2
6h
R sin (¼ ¡ ®)
enquanto para pontos abaixo do n¶ivel de l¶iquido:
·
¸
2 cos2 (¼ ¡ ®)
°R2 3d
¡1+
¾mm =
6h R
1 + cos (¼ ¡ ®)
¸
·
d
¡ 1 + cos (¼ ¡ ®) ¡ ¾mm
¾ µµ = °R2
R
5.2
Reservat¶
orios cil¶indricos:
A geometria e o carregamento correspondente a estes casos est~
ao ilustrados na ¯gura 12. Os
carregamentos considerados s~
ao press~
ao uniforme e carga hidrost¶
atica.
² Reservat¶
orio cil¶indrico com extremidades abertas sob press~
ao uniforme - ¯gura
12-a:
Esta solu»c~ao n~
ao deve ser aplicada em regi~
oes pr¶
oximas µas bordas do cilindro.
¾ mm =
¾ µµ
=
pR
2h
pR
h
O deslocamento radial do cilindro ¶e:
u=
º´
pR2 ³
1¡
Eh
2
² Reservat¶
orio cil¶indrico sob carga hidrost¶
atica completa - ¯gura 12-b:
°HR
2h
° (H ¡ z) R
=
h
¾ mm =
¾ µµ
² Reservat¶
orio cil¶indrico sob carregamento linear gen¶
erico - ¯gura 12-c:
¾ mm = 0
pR ³
z´
¾ µµ =
1+¸¡
h
H
O deslocamento longitudinal e radial do cilindro s~
ao, respectivamente:
h
³
¡1
z ´i
u =
ºpRz 1 + ¸ ¡
Eh
2H
1 h 2³
z ´i
w =
pR 1 + ¸ ¡
Eh
H
14
p
H
R
z
R
(a)
(b)
lp
H
z
p
lp
(1+l ) p
R
(c)
Figura 12: Reservat¶
orios cil¶indricos: (a) press~
ao uniforme; (b) completamente preenchido de
°uido; (c) carregamento gen¶erico linearmente vari¶avel.
15
5.3
Reservat¶
orios c^
onicos:
A geometria e o carregamento correspondente a estes casos est~
ao ilustrados na ¯gura 13. Os
carregamentos considerados s~
ao press~
ao uniforme e carga hidrost¶
atica.
² Reservat¶
orio c^
onico sob press~
ao uniforme - ¯gura 13-a:
¾mm =
¾ µµ
=
¡pz cot ®
h
¡pz cot ®
2h
O deslocamento radial do cone e a rota»c~ao s~
ao, respectivamente3 :
u =
' =
³
¡pz 2
º´
cos ® cot ® 1 ¡
Eh
2
3pz
cot2 ®
2Eh
² Reservat¶
orio c^
onico sob carregamento hidrost¶
atico completo - lado convexo ¯gura 13-b:
µ
¶
¡°z cos ®
H
z
¾ mm =
+
h
2 sin ® 3
µ
¶
¡°z cos ®
H
¾ µµ =
+z
h
sin ®
O deslocamento radial do cone e a rota»c~ao s~
ao, respectivamente:
·
´
³º
´¸
°z 2
H ³º
2
u =
cos ®
¡1 +z
¡1
Eh
sin ® 2
3
µ
¶
°z cos2 ® 3 H
8z
' =
+
Eh sin ® 2 sin ®
3
² Reservat¶
orio c^
onico sob carregamento hidrost¶
atico completo - lado c^
oncavo ¯gura 13-c:
µ
¶
¡°z cos ® z
H
¾ mm =
¡
h
3 2 sin ®
µ
¶
¡°z cos ®
H
¾ µµ =
z¡
h
sin ®
O deslocamento radial do cone e a rota»c~ao s~
ao, respectivamente:
· ³
´
´¸
¡°z 2
º
H ³º
u =
cos2 ® z
¡1 ¡
¡1
Eh
3
sin ® 2
µ
¶
2
°z cos ® 3 H
8z
' =
¡
Eh sin ® 2 sin ®
3
3
Se a geometria estiver invertida em rela»c~
ao a
µ ¯gura, os sinais de u e ' devem ser trocados.
16
Figura 13: Reservat¶orios c^
onicos: (a) press~
ao uniforme; (b) carregamento hidrost¶
atico completo - lado convexo; (c) carregamento hidrost¶atico completo - lado c^oncavo; (d) carregamento
hidrost¶
atico parcial - lado convexo; (e) carregamento hidrost¶atico parcial - lado c^oncavo.
17
² Reservat¶
orio c^
onico sob carregamento hidrost¶
atico parcial - lado convexo ¯gura 13-d:
Para pontos acima do n¶ivel de °uido,
¾mm = 0
¾µµ = 0
enquanto para pontos abaixo do n¶ivel de l¶iquido:
¸
·
¡° H 3 cos ®
2
¾mm =
+ z (2z cos ® ¡ 3H cot ®)
6zh sin3 ®
¡°z (z cos ® ¡ H cot ®)
¾µµ =
h
² Reservat¶
orio c^
onico sob carregamento hidrost¶
atico parcial - lado c^
oncavo ¯gura 13-e:
Para pontos acima do n¶ivel de °uido,
°H 3 cos ®
6zh sin3 ®
= 0
¾ mm =
¾ µµ
enquanto para pontos abaixo do n¶ivel de l¶iquido:
¾ mm =
¾ µµ
5.4
=
°z
(3H cot ® ¡ 2z cos ®)
2h
°z (H cot ® ¡ z cos ®)
h
Outras geometrias:
Algumas geometrias de utilidade pr¶atica est~
ao ilustradas na ¯gura 14.
² Tampo el¶iptico sob press~
ao uniforme - ¯gura 14-a:
Ã
!
pa2
1
p
¾mm =
2h
a2 sin2 Á + b2 cos2 Á
"
#
¡
¢
b2 ¡ a2 ¡ b2 sin2 Á
pa2
p
¾ µµ =
2b2 h
a2 sin2 Á + b2 cos2 Á
E podem ser calculados os deslocamentos axial, radial e rotacional, dados respectivamente
por:
2
µ
¶
2
pa 4 3a2
cos Á
2a2
q
w =
+
1
¡
2º
¡
cos Á +
2
4Eh
b2
b2
1 + sin2 Á ab2 ¡ 1
q
0
1
r
µ 2
¶
a
a2
2
+
¡
1
cos
Á
b a
a
1
b
b2
A
q
+
¡ 1 2 ¡ + º ln @
2
a b
b
2
a
a2
¡
¡ 1 cos Á
b
18
b2
Figura 14: Reservat¶orios diversos: (a) Tampo el¶iptico submetido a press~
ao interna; (b) reservat¶orio toroidal sob press~
ao interna; (c) reservat¶orio cil¶indrico com tampa c^onica sob carregamento hidrost¶atico completo; (d) reservat¶
orio cil¶indrico com tampa semi-esf¶erica sob carregamento
hidrost¶
atico completo.
u =
' =
µ
¶
RÁ
pR2µ sin Á
2¡º ¡
2Eh
R
µ
¶ µµ
¶
pRµ
Rµ
Rµ
¡1
+3
2Eh tan Á RÁ
RÁ
² Reservat¶
orio toroidal sob press~
ao uniforme - ¯gura 14-b:
µ
¶
pR r + H
¾ mm =
2h
r
pR
¾µµ =
2h
O deslocamento radial do toro ¶e dado por:
·
¸
pr2 R
u=
(1 ¡ 2º) + (1 ¡ º) sin ®
2Eh r
² Reservat¶
orio cil¶indrico com tampa c^
onica sob carregamento hidrost¶
atico - ¯gura 14-c:
19
As express~
oes abaixo se aplicam apenas para a tampa:
µ
¶
° tan ®
2z
¾ mm =
H+F ¡
z
2h cos ®
3
°z tan ®
¾µµ =
(H + F ¡ z)
h cos ®
² Reservat¶
orio cil¶indrico com tampa semi-esf¶
erica sob carregamento hidrost¶
atico
- ¯gura 14-d:
As express~
oes abaixo se aplicam apenas para a tampa:
·
¸
z (3R ¡ z)
°R
H +F ¡z +
¾ mm =
2h
3 (2R ¡ z)
·
¸
°R
z (3R ¡ z)
¾µµ =
H +F ¡z ¡
2h
3 (2R ¡ z)
6
Dimensionamento
As equa»c~oes aqui apresentadas fornecem resultados v¶
alidos para corpos de revolu»c~ao em regi~
oes
longe de perturba»c~
oes. Portanto, n~
ao se deve aplic¶
a-las em ¶areas pr¶
oximas a bocais, soldas,
refor»cos, parafusos etc. Desta forma, permitem uma an¶
alise do comportamento global da estrutura, devendo-se recorrer a outros m¶etodos de an¶alise para solu»c~oes locais. Ent~
ao, estas
equa»c~oes s~ao um ¶
otimo ponto de partida para se realizar um pr¶e-dimensionamento do vaso, isto
¶e, determina»c~
ao das dimens~
oes principais, espessura de parede, press~
ao m¶axima etc.
¶
Se nenhuma norma especi¯ca ¶e exigida, o dimensionamento geral segue as regras usuais, ou
seja, adota-se um crit¶erio de falha adequado para o material utilizado. Comumente se utiliza
ligas de materiais met¶alicos, mas materias n~
ao met¶alicos como alum¶inio, cobre e bronze tamb¶em
s~
ao muito utilizados. N~ao ¶e recomend¶
avel o uso de materias fr¶
ageis, especialmente para grandes
press~
oes e altas temperaturas. Desta forma, a Teoria da M¶
axima Energia de Distor»c~ao constitui
uma boa regra geral para veri¯ca»c~
ao dos c¶alculos. Como n~
ao h¶a tens~
ao cisalhante em problemas
axissim¶etricos, as dire»c~
oes meridional e circunferencial j¶
a s~
ao as dire»c~oes principais. Em outras
palavras, ¾ mm e ¾ µµ s~
ao tens~
oes princiapais em problemas axissim¶etricos. Nestes casos a TMED
se reduz a:
q
¾ 2mm + ¾2µµ ¡ ¾ mm ¾ µµ · ¾ adm :
(11)
Mas aten»c~
ao! Um detalhe importante muitas vezes esquecido ¶e o fato das propriedades dos
materias se alterarem com a temperatura. Por exemplo, o m¶odulo de elasticidade dos materiais
diminui µa medida que se aumenta a temperatura. Estes dados podem ser encontrados na forma
de gr¶a¯cos E £ T para diversos materiais. Portanto, na hora de calcular, adote o m¶
odulo de
elasticidade correto para a temperatura de opera»c~ao da estrutura, ou a temperatura mais cr¶itica.
Inversamente, reservat¶
orios a temperaturas extremamente baixas usualmente fragilizam o metal
utilizado.
7
Uni~
oes de vasos com geometrias diferentes - c¶
alculo de tampas
Quando se deseja fabricar um vaso composto por diversas geometrias, deve-se levar em conta que
cada geometria se comporta de forma diferente. Seja por exemplo um vaso cil¶indrico com tampa
20
esf¶erica sujeito a uma press~
ao interna uniforme. Se analisados separadamente, a extremidade
do vaso cil¶indrico que ¶e conectada µa tampa sofre um deslocamento radia uc , enquanto a tampa
esf¶erica sofre um deslocamento radial ue . Acontece que, por serem geometrias diferentes, uc 6= ue .
O mesmo ocorre com as rota»c~
oes das respectiva bordas. Para que ambas as partes se comportem
como um u
¶nico elemento, portanto, torna-se necess¶ario a aplica»c~ao de for»cas radiais e momentos
°etores na regi~
ao da conex~ao para manter ambas as partes unidas. Estes esfor»cos provocam
tens~
oes de °ex~ao que invalidam o uso da teoria de membranas para c¶
alculo destas uni~
oes. Uma
alternativa ¶e utilizar para o cilindro uma espessura diferente da utilizada na tampa, de modo
que o deslocamento radial de ambas as partes seja o mesmo. Isto alivia as tens~
oes de °ex~ao, mas
n~ao as elimina, pois ainda assim permanecer¶a o problema com as rota»c~oes. Outra alternativa ¶e
a utiliza»c~ao de um anel de refor»co na conex~ao. Felizmente, estes efeitos s~ao bastante localizados
e desaparecem aµ medida que se afasta da regi~
ao da conex~ao, o que permite o uso das equa»c~
oes
de membrana para o dimensionamento do restante do vaso. O c¶
alculo das uni~oes, no entanto,
deve seguir a teoria de °ex~ao de cascas e as normas correspondentes.
Outro aspecto interessante em problemas que envolvem uni~
oes de geometrias diferentes ¶e o
chamado projeto para iso-resist^encia. Esta metodologia adota uma espessura espec¶i¯ca para
cada geometria de modo que as tens~
oes sejam aproximadamente as mesmas em todas as sec»c~oes
utilizadas. Um tratamento detalhado de uni~oes em vasos de press~
ao foge ao escopo deste texto.
8
Normas
Existe um n¶
umero muito grande de normas para projeto e dimensionamento de vasos de press~
ao,
que s~ao a principal aplica»c~
ao das equa»c~oes de membrana. Devido aµ responsabilidade associada
a este tipo de elemento estrutural, as normas mais abrangentes abordam n~ao apenas crit¶erios
para dimensionamento, mas tamb¶em detalhes de projeto, exig^encias de fabrica»c~ao, montagem
e inspe»c~ao assim como dos materiais utilizados. Dentre as normas mais utilizadas no mundo,
destacam-se:
¶ a norma de uso mais difundido no Brasil e
² C¶
odigo ASME, Se»
c~
ao VIII, Divis~
ao 1: E
no mundo, e inclui vasos de press~
ao de quase todos os tipos.
² C¶
odigo ASME, Se»
ca
~o VIII, Divis~
ao 2: Apresenta normas alternativas mais avan»cadas
para projetos de vasos de press~
ao especiais.
² Norma inglesa BS-5500.
² Normas alem~
as A.D. Merkblatt.
² Outras
Na pr¶
atica, a homologa»c~
ao de um projeto de vaso de press~
ao em geral requer o cumprimento
de uma destas normas ou de alguma norma equivalente. Recomenda-se fortemente a utiliza»c~ao
de normas para vasos de press~
ao sujeitos a press~
oes extremas, grandes temperaturas ou contendo
materiais t¶oxicos.
Refer^
encias
[1] ASME Pressure Vessel Code, Sec»c~ao VIII, Divis~
ao 2, ASME, 1983
21
[2] E.H. Baker, L. Kovalevsky e F.K. Rish: Structural Analysis of Shells, McGraw-Hill, 1972.
[3] W. FlÄ
ugge: Stresses in Shells, Springer-Verlag, 1967.
[4] R.C. Juvinall e K.M. Marshek: Fundamentals of Machine Component Design, John Wiley
& Sons, 1991.
[5] G.S. Pissarenko, A.P. Iakovlev e V.V. Matveiev: Prontu¶
ario de Resist^encia dos Materiais,
Mir Moscovo, 1985.
[6] E.P. Popov: Introdu»ca
~o µ
a Mec^
anica dos S¶
olidos, Edgard BlÄ
ucher, 1978.
[7] R.J. Roark: Formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill, 1968.
[8] J.C.S. Telles: Vasos de Press~
ao, 2a edi»c~ao, LTC, 1996.
[9] Standards of the Tubular Exchanger Manufacturers Association, 7a edi»c~ao, Tubular Exchanger Manufacturers Association, 1988.
[10] C¶
alculo e Projeto de Vasos de Press~
ao, Associa»c~ao Brasileira de Soldagem, 19??
22