TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec UNIDAD N° II NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS E X AMEN: 2 2 D E M A RZO 2 0 19 SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO I. S. C. ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS Y SUS MÉTODOS Casi todos los métodos de simulación se basan en la posibilidad de generar números aleatorios con distribución U(0,1). Hasta el gran desarrollo de los ordenadores los números aleatorios se obtenían por procedimientos experimentales (Loterías, Ruletas, Etc.) y se almacenaban en tablas. En la actualidad estos números son generados por computadoras los cuales se denominan “Pseudoaleatorios”, ya que, en realidad, todos los números de la sucesión que se generan son predecibles a partir del primero, llamado “Semilla”. En cualquier caso, todo generador de números Pseudoaleatorios mínimamente aceptable debe comportarse como si se tratase de una muestra genuina de datos independientes de una U(0,1). SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS Y SUS MÉTODOS CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS Para utilizar un generador de Números Pseudoaleatorios éste debe satisfacer los contrastes estadísticos más habituales, tales como: a) b) c) d) Producir muestras según una Distribución Uniforme U(0,1) Pasar los contrastes de aleatoriedad e independencia más habituales. Que la sucesión generada sea reproducible a partir de la semilla. Deberán tener una longitud de ciclo tan grande como se desee (Sin repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión). e) Generar los valores a alta velocidad. f) Generarlos a través de un método que ocupe poca memoria. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS PRUEBAS ESTADISTICAS. Puesto que cualquier variable aleatoria no uniforme, es obtenida a partir de números uniformes (0, 1), el principal énfasis en pruebas estadísticas es con respecto al generador de números pseudoaleatorio, ya que cualquier deficiencia estadística en la distribución de la variable aleatoria no-uniforme, se deberá exclusivamente a la utilización de un deficiente generador. Uniformidad e Independencia o Aleatoriedad , Características necesarias para que estos números sean aptos en la simulación. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS PRUEBAS PARA LA UNIFORMIDAD: Bondad de Ajuste o Ji – Cuadrada: X2 Bondad de Ajuste Kolmogorov-Smirnov PRUEBAS PARA LA ALEATORIEDAD O INDEPENDENCIA: Corridas por Arriba y por Abajo del Promedio. Corridas Ascendentes y Descendentes. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS Uniformidad: Números con la misma probabilidad de aparecer entre el intervalo (0,1) PRUEBAS PARA LA UNIFORMIDAD: BONDAD DE AJUSTE O JI – CUADRADA: X2 Procedimiento: 1. Generar la muestra de números aleatorios de Tamaño N. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 2. Subdividir el intervalo [0 – 1] en K subintervalos. En este caso, definiremos: K=5 SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 3. Para cada subintervalo contar la frecuencia observada F.O. y calcular la frecuencia esperada F.E. de números aleatorios, la cual se obtiene dividiendo N/K. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS FO: Que es lo que realmente sucede, es decir: cuantos números se encuentran en cada subintervalo. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS INTERVALO: 0.00 – 0.20 SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS INTERVALO: 0.21 – 0.40 SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS INTERVALO: 0.41 – 0.60 SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS INTERVALO: 0.61 – 0.80 SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS INTERVALO: 0.81 – 1.00 SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 2 ( FE FO ) i i x02 FEi i 1 k 4. Calcular el Estadístico de Prueba: SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 2 ( FE FO ) i i x02 FEi i 1 k SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 5. Comparar el valor calculado Xo2 contra el tabulado de la distribución X2, con (n-1) grados de libertad y una significancia de alfa=5%. Si Xo2 es menor que X2(n-1), alfa=5%. Entonces no se puede rechazar la uniformidad de los números obtenidos. Tenemos (5-1) grados de libertad, es decir V=1. El valor en tablas de la distribución Ji cuadrada es: X24.5% = 9.4877 Como: Xo2 es < que X24.5% Es decir; 2.00 < 9.4877 entonces no se puede rechazar la uniformidad de los números. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS BONDAD DE AJUSTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV Procedimiento: 1. Generar la muestra de números aleatorios de Tamaño N. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 2. Ordenar los números en orden Ascendente. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 3. Calcular la distribución acumulada de los números generados con la siguiente expresión: i FN ( x) N Donde i es la posición que ocupa el número aleatorio Xi en el vector ordenado obtenido en el paso anterior. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 4. Calcular el estado de prueba Kolmogorov-Smirnov, con la sig. Exp.: DN = máx ⃒ FN ( Xi ) - Xi ⃒ para toda Xi Es decir: El Máximo del Valor Absoluto para todas las RNDi SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS DN = Max |RNDi - F(RNDi )|= 0.0930 SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 5. Si DN es menor que dalfa,n entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números generados provienen de una distribución uniforme. La distribución de DN ha sido tabulada como una función de n y alfa. Se compara el valor de DN (calculado) contra el valor en tablas de la distribución Kolmogorov-Smirnov con n=50 y un nivel de significancia alfa=5%, el cual es de d50,5% = 0.18841 como 0.0930 es menor que 0.18841, entonces, no se puede rechazar la uniformidad de los números pseudoaleatorios. 0.0930 < d50.5% = 0.18841 SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS Aleatoriedad: Números que no dependen del numero anterior para visualizarse. PRUEBAS DE INDEPENDENCIA - ALEATORIEDAD: Para comprobar la independencia de los números de un conjunto xi , es necesario formular las siguientes hipótesis: H0: Los números del conjunto xi son Independientes. H1: Los números del conjunto xi no son Independientes. CORRIDAS ARRIBA Y ABAJO DEL PROMEDIO Esta prueba consiste en determinar una secuencia de números binarios de acuerdo con una comparación entre los números del conjunto xi y 0.5 SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS Procedimiento: 1. Generar la muestra de números aleatorios de Tamaño N. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 2. Con base en esta muestra, obtener una nueva sucesión binaria, según el criterio siguiente: a) Si xi es menor o igual a 0.50 entonces asignarle a xi el símbolo “0” SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS b) Si xi es mayor a 0.50 entonces asignarle a xi el símbolo “1” SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO ( N 1) Instituto Tecnológico de Tuxtepec E(Tcorridas) 2 PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 3. Determinar el número de Corridas observadas, Co, y los valores de n0 y n1. Corridas Observadas (C0) = 21 Números 0’s (n0) = 28 Números 1’s (n1) = 22 n0 + n1 = 50 4. Valor Esperado: c0 μc0 SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN 2n0 n1 1 n 2 (2x28x22) 1 25.14 50 2 L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 5. Varianza del Número de Corridas (Error Estándar): 2c0 2n0n1 (2n0n1 n) n2 (n 1) 2c0 (2 x 28 x22)(2 x28 x22 50) 11.89 2 (50 )(50 1) 6. Estandarización Estadístico Z0: Z0 Z0 C0 c0 2c0 21 25.14 1.2008 11.89 SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS Nivel de Significancia α=5% Zα/2 =0.025 El valor de Z0 entra dentro del Intervalo -1.96 ≤ Z0 = -1.2008 ≤ 1.96, por lo tanto no se puede rechazar la serie de números Pseudoaleatorios, ya que son independientes con un nivel de confianza del 95%, de acuerdo con lo anterior, este conjunto de números se pueden utilizar en un estudio de simulación. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS PRUEBA DE CORRIDAS ARRIBA Y ABAJO Esta prueba consiste en determinar una secuencia de números binarios de acuerdo con una comparación entre xi y xi+1 Si xi < xi+1 = 0 Si no xi > xi+1 = 1 Se determinará: Las corridas observadas, Valor esperado, la varianza del número de corridas y el Estadístico Z0. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS PRUEBA DE CORRIDAS ARRIBA Y ABAJO Procedimiento: 1. Generar la muestra de números aleatorios de Tamaño N. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 2. Comparar cada numero generado, tomando en cuenta el criterio anterior: Si: xi < xi+1 = 0 SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN Si no: xi > xi+1 = 1 L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 3. Obtener las Corridas Observadas: CO = 36 y α = 5% SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 4. Obtener el Valor Esperado: c0 2n 1 3 μc0 (2x50) 1 33 3 5. Obtener la Varianza del número de corridas: 2c0 16n 29 90 2c0 (16 x50) 29 8.5667 90 SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtepec PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 6. Obtener Estadístico Z0 Z0 C0 c0 2c0 Z0 36 33 1.0250 8.5667 En el presente análisis, se observa que el Z0 menor que el valor de la tabla de la Normal para: Zα/2 = Z5%/2 = 1.96 Por lo tanto se concluye que no se puede rechazar que los números del conjunto xi son independientes, aptos para usarse en simulación. SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO ENERO-JUNIO 2019
