3-torsic3b3n1

Third Edition
CHAPTER
3
MECHANICS OF
MATERIALS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
Torsión
Lecture Notes:
J. Walt Oler
Texas Tech University
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Contents
Introduccion
Ejes Estáticamente Indeterminados
Cargas de Torsión en Ejes Circulares
Ejemplo Problema 3.4
Torque Neto debido a Esfuerzos Internos
Diseño de Transmisión por ejes
Componentes axiales del esfuerzo cortante Concentradores de esfuerzos
Deformaciones del eje
Deformaciones Plásticas
Deformación por cortante
Materiales Elastoplásticos
Esfuerzos en el Rango Elástico
Esfuerzos Residuales
Esfuerzos Normales
Ejemplo 3.08/3.09
Formas de Falla por torsión
Torsión en elementos no circulares
Ejemplo Problema 3.1
Ejes Huecos de Pared Delgada
Ángulo de giro en el Rango Elástico
Ejemplo 3.10
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3-2
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Cargas de Torsión en Ejes Circulares
• Interés en los esfuerzos y tensiones
de los ejes circulares sujetos a pares
de torsión o torques
• Turbina ejerce torque T en el eje
• Eje transmite el torque desde el
generador
• Generador crea un torque T’ igual y
opuesto
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3-3
Third
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MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Torque Neto debido a Esfuerzos Internos
• El esfuerzo cortante interno neto es un torque
interno, igual y opuesto al torque aplicado,
T = ∫ ρ dF = ∫ ρ (τ dA)
• Aunque el torque neto debido al esfuerzo
cortante es conocido, la distribución de
esfuerzos no lo es
• La distribución de los esfuerzos cortantes es
estáticamente indeterminados – se consideran
las deformaciones del eje
• A diferencia de los esfuerzos normales debido a
cargas axiales, la distribución de los esfuerzos
cortantes no se pueden asumir uniformes.
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3-4
Third
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MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Componentes axiales del esfuerzo cortante
• El torque aplicado a un eje prodece
esfuerzos cortantes en las caras
perpendiculares al eje.
• La condición de equilibrio requiere la
existencia de esfuerzos iguales en las caras de
los dos planos que contienen el eje del
elemento (eje).
• La existencia de las componentes axiales del
esfuerzo cortante es demostrada considerandi
un eje formado por listones axiales.
Los listones se deslizan uno respecto a otro
cuando torques iguales y opuestos se aplican
en los extremos del eje.
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3-5
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Deformaciones del eje
• De la observación, el angulo de giro del eje es
proporcional al torque aplicado y a la longitud
del eje.
φ ∝T
φ∝L
• Cuando se somete a torsión, todas las secciones
transversales de un eje circular permanecen
planas y sin distorsiones.
• Las secciones transversales de un eje solido y
un eje hueco permanecen planas y sin
distorsíón porque los ejes circulares son
simétricos.
• Las secciones transversales de ejes no
circulares (no simétricos) se distorsionan
cuando se someten a torsión.
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3-6
Third
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MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Deformación por cortante
• Considerando una sección interior del eje.
Como una carga de torsión es aplicada, un
elemento en el interior del cilindro se deforma
en un rombo.
• Dado que los extremos del elemento
permanecen planos, la deformación por
esfuerzo cortantes es igual al angulo de giro.
• Entonces, se tiene que,
Lγ = ρφ or γ =
ρφ
L
• La deformación por cortante es proporcional
al angulo de giro y al radio.
γ max =
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cφ
ρ
and γ = γ max
L
c
3-7
Third
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MECHANICS OF MATERIALS
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Esfuerzos en un rango elástico
• Multiplicando la anterior ecuación por el
modulo de rigidez,
Gγ =
ρ
c
Gγ max
Por la ley de Hooke, τ = Gγ , entonces,
τ=
ρ
c
τ max
El esfuerzo cortante varia linealmente con
la posición radial en la sección.
J = 12 π c 4
• Recordar que la suma de los momentos de
la distribución interna de esfuerzos es igual
al torque en el eje de la sección,
τ
τ
T = ∫ ρτ dA = max ∫ ρ 2 dA = max J
c
c
(
J = 12 π c24 − c14
)
• Los resultados se conocen como las fórmulas
elásticas de torsión,
τ max =
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Tc
Tρ
and τ =
J
J
3-8
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MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Esfuerzos Normales
• Elementos con caras paralelas y
perpendiculares al eje de simetría se someten
sólo a esfuerzos cortantes. Esfuerzos normales,
esfuerzos cortantes o una combinación de los
dos se pueden encontrar en otras orientaciones.
• Considerando un elemento a 45o del eje central,
F = 2(τ max A0 )cos 45 = τ max A0 2
σ
45
o
=
F τ max A0 2
=
= τ max
A
A0 2
• Elemento a está en cortante puro.
• Elemento c es sometido a esfuerzo de tensión
en dos caras y esfuerzo de compresión en las
otras dos.
• Notese que todos los esfuerzos de los elementos
a y c tienen la misma magnitud.
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3-9
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
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Modos de Fallas por torsión
• Generalmente los materiales ductiles
fallan en cortante. Los materiales
frágiles son más débiles en el
esfuerzo de tensión.
• Cuando se sujeta a torsión, un
especimen dúctil se rompe a lo largo
del plano de cortante máximo, i.e.,
un plano perpendicular al eje.
• Cuando se sujeta a torsión, un
especimen frágil a lo largo de planos
perpendiculares a la dirección donde
la tension es máxima, i.e., a lo largo
de superficies de 45o del eje.
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3 - 10
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejemplo Problema 3.1
SOLUCIÓN:
• Cortar las secciones a traves de
los ejes AB y BC y realizar
analísis de equilibrio estático para
encontrar los toques aplicados.
Eje BC es hueco con diametros interno y
externo de 90 mm y 120 mm,
respectivamente. Ejes AB y CD son
sólidos de diámetro d. Para la carga
mostrada, determine (a) el mínimo y
máximo del esfuerzo cortante en el eje
BC, (b) el diámetro d requerido para los
ejes AB y CD si el esfuerzo cortante
admisible en estos ejes es 65 MPa.
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• Aplicar las formulas de torsión
elástica para encontrar los
esfuerzos minimos y máximos en
el eje BC.
• Dado el esfuerzo cortante
admisible y el torque aplicado,
despejar de la formula de torsión
elastica para encontrar el diámetro
requerido.
3 - 11
Third
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MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejemplo
SOLUTION:Problema 3.1
• Cortar secciones a través de los ejes
AB y BC y realizar el analísis de
equilibrio estático para encontrar los
torques aplicados.
∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) − TAB
∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) + (14 kN ⋅ m ) − TBC
TAB = 6 kN ⋅ m = TCD
TBC = 20 kN ⋅ m
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3 - 12
Third
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MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejemplo Problema 3.1
• Aplicar las formulas de torsión
elástica para encontrar el esfuerzo
minimo y máximo en el eje BC.
J=
• Dado el esfuerzo cortante admisible y el
torque aplicado, despejar de la formula
de torsión elastica para encontrar el
diámetro requerido
π
(
c24 − c14 ) = [(0.060)4 − (0.045)4 ]
2
2
π
= 13.92 ×10−6 m 4
τ max = τ 2 =
TBC c2 (20 kN ⋅ m )(0.060 m )
=
J
13.92 ×10− 6 m 4
τ max =
Tc Tc
=π 4
J
2 c
65 MPa =
6 kN ⋅ m
π 3
2 c
c = 38.9 ×10 −3 m
d = 2c = 77.8 mm
= 86.2 MPa
τ min c1
=
τ max c2
τ min
86.2 MPa
τ min = 64.7 MPa
=
45 mm
60 mm
τ max = 86.2 MPa
τ min = 64.7 MPa
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3 - 13
Third
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MECHANICS OF MATERIALS
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Angulo de giro en un Rango Elástico
• Recordar que el ángulo de giro y la maxima
deformación por cortante se relacionan,
γ max =
cφ
L
• En el rango elástico, el esfuerzo y deformación
cortante por ley de Hooke,
γ max =
τ max
G
=
Tc
JG
• Igualando las expresiones de deformación por
cortante y resolver para el ángulo de giro,
φ=
TL
JG
• Si la carga torsional o la sección transversal del
eje cambia a lo largo de la longitud, el ángulo de
rotación se encuentra como la suma de la rotación
de los segmentos.
Ti Li
i J i Gi
φ =∑
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Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejes estáticamente indeterminados
• Dadas las dimensiones del eje y el torque
aplicado, nos gustaría encontrar el torque de
reacción en A y B.
• De un analísis de cuerpo libre del eje,
TA + TB = 90 lb ⋅ ft
que no es sufuciente para encontrar los torques
terminales. El problema es estáticamente
indeterminado.
• Dividir el eje en dos componentes que debe
tener deformaciones compatibles,
φ = φ1 + φ2 =
TA L1 TB L2
−
=0
J1G J 2G
LJ
TB = 1 2 TA
L2 J1
• Sustituyendo en la ecuación de equilibrio
original,
LJ
TA + 1 2 TA = 90 lb ⋅ ft
L2 J1
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3 - 15
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejemplo Problema 3.4
SOLUCIÓN:
• Aplicar un analísis de equilibrio
estático en los dos ejes para encontrar
una ralación entre TCD y T0
• Aplicar un analisis cinemáticopara
relacionar la rotación angular de los
engranajes
Dos ejes de acero sólido estan
• Encontrar el maximo torque admisible
conectadoa por engranajes. Sabiendo
en cada eje - escoger el mas pequeño
que para estos ejes G = 11.2 x 106 psi y
• Encontrar el correspondiente angulo
el esfuerzo admisible cortante es 8 ksi,
de giro para cada eje y el angulo neto
determine (a) el mayor torque T0 que
de rotación al final de A
puede aplicarse en el extremo final del
eje AB, (b) el correspondiente angulo
de deformación que termina en A de la
rotación del eje AB.
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3 - 16
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejemplo Problema 3.4
SOLUCIÓN:
• Aplicar un analísis de equilibrio
elástico en los dos ejes para encontrar
la relación entre TCD y T0
∑ M B = 0 = F (0.875 in.) − T0
• Aplicar un analísis cinemático para
relacionar el angulo de rotación de los
engranajes
rBφ B = rCφC
rC
2.45 in.
φC =
φC
rB
0.875 in.
∑ M C = 0 = F (2.45 in.) − TCD
φB =
TCD = 2.8 T0
φ B = 2.8φC
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Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejemplo Problema 3.4
• Encontrar el T0 para el maximo
torque admisible en cada eje –
escoger el más pequeño
• Encontrar el angulo de giro correspondiente
para cada eje en el angulo de rotación neto al
final de A
φA / B =
τ max =
T (0.375 in.)
TAB c
8000 psi = 0
π (0.375 in.)4
J AB
2
TCD c
2.8 T0 (0.5 in.)
8000 psi =
π (0.5 in.)4
J CD
2
T0 = 561lb ⋅ in.
T0 = 561lb ⋅ in
(
)
= 0.387 rad = 2.22o
φC / D =
T0 = 663 lb ⋅ in.
τ max =
(561lb ⋅ in.)(24in.)
TAB L
=
J ABG π (0.375 in.)4 11.2 × 106 psi
2
TCD L
2.8 (561lb ⋅ in.)(24in.)
=
J CDG π (0.5 in.)4 11.2 × 106 psi
2
(
= 0.514 rad = 2.95o
(
)
)
φ B = 2.8φC = 2.8 2.95o = 8.26o
φ A = φ B + φ A / B = 8.26o + 2.22o
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φ A = 10.48o
3 - 18
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Diseño de transmisión por ejes
• Las especificaciones de la
transmisión por ejes son:
- potencia
- velocidad
• El diseñador debe seleccionar
material del eje y la sección
transversal para cumplir con las
especificaciones de rendimiento
sin exceder esfuerzo cortante
permisible.
• Determine el torque aplicado al eje la
potencia y la velocidad especificadas,
P = Tω = 2πfT
T=
P
ω
=
P
2πf
• Encontrar la sección transversal del eje
que no exceda el esfuerzo cortante
maximo,
τ max =
Tc
J
J π 3
T
= c =
c 2
τ max
(
(solid shafts )
)
J
π 4 4
T
=
c2 − c1 =
c2 2c2
τ max
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(hollow shafts )
3 - 19
Third
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MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejes estáticamente indeterminados
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3 - 20
Third
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MECHANICS OF MATERIALS
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Ejes estáticamente indeterminados
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3 - 21
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Beer • Johnston • DeWolf
Ejes estáticamente indeterminados
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3 - 22
Third
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Beer • Johnston • DeWolf
Ejes estáticamente indeterminados
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3 - 23
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MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejes estáticamente indeterminados
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Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Concentradores de esfuerzos
• La derivación de la formula de torsión,
τ max =
Tc
J
asumiendo un eje de sección transversal
circular uniforme a traves de placas
extremas rigidas.
• El uso de acoplamientos de bridas,
engranajes y poleas conectados a los ejes
mediante los chaveteros y seccíones
transversales discontinuos pueden causar
concentraciones de esfuerzos
• Experimentalmente o numericamente
determinando los factores de concentración
τ max = K
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Tc
J
3 - 25
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Deformaciones plásticas
• Asumiendo un material linealmente elástico,
τ max =
Tc
J
• Si el límite de elasticidad es excedido o el material
tiene una curva de cortante-tensión-deformación no
lineal, esta expresión no se sostiene.
• Deformación por cortante varia linealmente
independientemente de las propiedades del materiales.
Aplicación curva de cortante-tensión-deformación
permite la determinación de la distibución de esfuerzos.
• La integral de los momentos de la distribución de
esfuerzos es igual al torque en la seccíón del eje,
c
c
0
0
T = ∫ ρτ (2πρ dρ ) = 2π ∫ ρ 2τ dρ
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3 - 26
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Materiales elastoplásticos
• En el torque maximo elástico,
TY =
J
τ Y = 12 πc3τ Y
c
φY =
Lγ Y
c
• A medida que aumenta el, en la región plástica
( τ = τY ) se desarrolla alrededor del nucleo elástico
( τ=
ρ
τ )
ρY Y
T=
ρY =
Lγ Y
φ
3
⎛
2 πc3τ ⎜1 − 1 ρY
Y⎜
3
4 3
⎞ 4 ⎛ 1 ρY3 ⎞
⎟ = TY ⎜1 −
⎟
3 ⎜
4 3 ⎟
⎟
c ⎠
c ⎠
⎝
⎝
⎛ 1 φY3 ⎞
4
T = 3 TY ⎜1 − 4 3 ⎟
⎜
φ ⎟⎠
⎝
• As ρY → 0, el torque se aproxima a un valor límite,
TP = 43 TY = plastic torque
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3 - 27
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Esfuerzos residuales
• Región plástica se desarrolla en un eje cuando es
sometido a un par de torsión suficientemente grande
• Cuando se elimina el torque, la reducción del esfuerzo
y la tensión en cada punto tiene lugar a lo largo de una
línea recta a una tensión residual generalmente distinto
de cero
• En una curva T-f , las descargas del eje a lo largo de
una línea recta a un ángulo mayor que cero
• Esfuerzos residuales encuentran desde el principio de
superposición
′ =
τm
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Tc
J
∫ ρ (τ dA) = 0
3 - 28
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejemplo 3.08/3.09
SOLUTION:
• Resolver la Eq. (3.32) para rY/c y
evaluar el radio del corazon elástico.
• Resolver la Eq. (3.36) para el angulo
de giro.
Un eje sólido circular esta sujeto a
• Evaluar la Eq. (3.16) para el angulo
un torque T = 4.6 kN ⋅ m en el final.
que el eje rectifique cuando el torque
Asumiendo que el eje esta hecho de
un material elastoplastico con τY = 150 MPa es removido. El giro permanente es
la diferencia entre angulos de giro y
y G = 77 GPa determine (a) el radio
rectificado.
del corazon elástico, (b) el angulo de
giro del eje. Cuando el torque es
• Encontrar la distribución de la tensión
removido, determine (c) el giro
residual por una superposición de la
permanente, (d) la distribución de
tensión debido a la torsión y destorsión
esfuerzos residuales.
el eje
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3 - 29
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejemplo
SOLUTION:3.08/3.09
• Resolver la Eq. (3.32) para rY/c y
evaluar el radio del corazon elástico
3⎞
⎛
ρ
T = 43 TY ⎜1 − 14 Y3 ⎟ ⇒
⎜
c ⎟⎠
⎝
J=
1 πc 4
2
=
1π
2
ρY
1
⎞ 3
⎛
T
= ⎜⎜ 4 − 3 ⎟⎟
c ⎝
TY ⎠
(25 ×10 m)
−3
= 614 ×10−9 m 4
τY =
TY c
τ J
⇒ TY = Y
J
c
(
150 ×106 Pa )(614 ×10−9 m 4 )
TY =
25 ×10−3 m
• Resolver la Eq. (3.36) para el angulo
de giro
φ
ρ
= Y
φY
c
⇒ φ=
φY
ρY c
(
)
TY L
3.68 ×103 N (1.2 m )
φY =
=
JG
614 ×10-9 m 4 (77 ×10 Pa )
(
)
φY = 93.4 ×10−3 rad
93.4 × 10−3 rad
φ=
= 148.3 ×10−3 rad = 8.50o
0.630
φ = 8.50o
= 3.68 kN ⋅ m
ρY
4.6 ⎞
⎛
= ⎜4 −3
⎟
c ⎝
3.68 ⎠
1
3
= 0.630
ρY = 15.8 mm
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3 - 30
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejemplo 3.08/3.09
• Evaluar la Eq. (3.16) para el
angulo que el eje se distorsiona
cuando el torque es removido. El
giro permanente es la diferencia
entre los angulos de giro y
rectificado
φ′ =
• Encontrar la distribución de esfuerzo
residual por la superposición del
esfuerzo debido a la torsión y la
distorsión del eje
TL
JG
(
)(
Tc 4.6 ×103 N ⋅ m 25 ×10−3 m
′ =
τ max
=
J
614 ×10-9 m 4
)
= 187.3 MPa
(
4.6 ×103 N ⋅ m )(1.2 m )
=
(6.14 ×109 m4 )(77 ×109 Pa )
= 116.8 × 10−3 rad
φp = φ − φ′
(
)
= 116.8 ×10−3 − 116.8 ×10−3 rad
= 1.81o
φ p = 1.81o
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3 - 31
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Torsion en elementos no circulares
• La anteriores formulas de torsión son
validas para ejes asimetricos o circulares
• Sección transversal plana de un eje no
circular no permanecen planas y el
esfuerzo y la distribución de la no varia
linealmente
• Para secciones rectangulares uniformes,
τ max =
T
c1ab 2
φ=
TL
c2 ab3G
• Para grandes valores de a/b, el maximo
esfuerzo cortante y angulo de giro para
recciones abiertas es el mismo que en
una barra rectangular.
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3 - 32
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejes de pared delgada
• Asumiendo fuerzas en la dirección x AB,
∑ Fx = 0 = τ A (t AΔx ) − τ B (t B Δx )
τ At A= τ Bt B = τ t = q = shear flow
esfuerzo cortante varia inversamente con el
espesor
• Calcular el torque de la integral de los
momentos debido al esfuerzo cortante
dM 0 = p dF = pτ (t ds ) = q( pds ) = 2q dA
T = ∫ dM 0 = ∫ 2q dA = 2qA
τ=
T
2tA
• Angulo de giro (from Chapt 11)
φ=
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TL
ds
2 ∫ t
4A G
3 - 33
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejemplo 3.10
Tubos de aluminio extruido con una sección
transversal rectangular tiene un torque de
apriete de 24 kip-in. Determinar el esfuerzo
cortante en cada una de las cuatro paredes con
(a) espesor de pared uniforme de 0,160 pulg. Y
espesores de pared de (b) en 0.120. Sobre AB y
CD y 0,200 pulg. En CD y BD.
SOLUCIÓN:
• Determinar el flujo de cortante a través
de las paredes de la tubería
• Encontrar la tensión de corte
correspondiente a cada espesor de
pared
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3 - 34
Third
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MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Ejemplo 3.10
SOLUCIÓN:
• Determinar el flujo de cortante a
través de las paredes de la tubería
• Encontrar la tensión de corte
correspondiente a cada espesor de
pared
Con una pared de espesor uniforme,
τ=
q 1.335 kip in.
=
t
0.160 in.
τ = 8.34 ksi
Con un espesor de pared variable
A = (3.84 in.)(2.34 in.) = 8.986 in.2
q=
T
24 kip - in.
kip
=
=
1
.
335
2 A 2 8.986 in.2
in.
(
)
τ AB = τ AC =
1.335 kip in.
0.120 in.
τ AB = τ BC = 11.13 ksi
τ BD = τ CD =
1.335 kip in.
0.200 in.
τ BC = τ CD = 6.68 ksi
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3 - 35