Acústica arquitectónica Estructuras integradas Diseño Recubrimientos Medición acústica Pantallas Objetivos Magnitudes físicas del acondicionamiento acústico Naturaleza del sonido Percepción del sonido Audición Magnitudes subjetivas Mecánica de ondas Energía propagada Fenomenología de ondas Ondas mecánicas Diseño acústico Medición Absorción Resonancia Materiales El sonido: Perturbación oscilatoria del aire delante del tímpano Conservación de la energía Wse Wes sistema Es Eg Es Emecánica Etérmica El Equímica Eotras Es Eg El We Fundamentos energéticos Interfase Exterior Interior r ES [J] Energía Acústica El Fundamentos energéticos Medición absoluta Fuente Medición subjetiva r I [W/m2] P [W] Potencia sonora Intensidad sonora Propagación ondulatoria S [decibel] Sensación sonora Ondas mecánicas en una cuerda Energía químico mecánica (sacudida) propagación Energía mecánica (oscilación armónica) ¿Cuánto vale la energía mecánica que se propaga? ¡Tenemos que entender la energía en las oscilaciones mecánicas! Movimiento oscilatorio: ejemplos El mínimo de la energía mecánica potencial nos da la posición de equilibrio U x Equilibrio, relajación 1 2 kx 2 Movimiento oscilatorio: ejemplos a 12 a 6 U U 0 2 x x x0 Distancia de equilibrio Oscilación fundamental: movimiento armónico x A sin(t ) T Asin x elongación A amplitud fase inicial frecuencia angular f=/2 frecuencia [Hz=s-1] T=1/f=2/ período [s] Oscilador armónico: dinámica de Newton en un muelle F= -k x F m a k x ma k x 0 Aplicando condiciones iniciales d 2x k d 2x m 2 kx 0 2 x 0 dt m dt La solución general de esta ecuación: x A sin(t ), donde k m t 0, x 0 dx t 0, v 0 dt x A sin t Energía del oscilador armónico Energía cinética Ek 1 m v2 2 2 1 1 dx m m A2 cos 2 (t ) 2 2 dt 1 x 2 ; y como k 1 2 2 2 2 2 m A 1 sin (t ) m A 1 2 m 2 2 A 1 2 2 Ek k A x 2 Energía del oscilador armónico Energía potencial: Como es una fuerza conservativa F k x Aplicando condiciones de contorno x=0, Ep=0 dE p dx 1 2 E p k x cte. 2 1 2 Ep k x 2 Por lo que la energía total del oscilador armónico 1 2 E Ek E p k A 2 Energía que se propaga en la cuerda Energía químicomecánica (sacudida) propagación ¿cuánto vale la energía que se propaga? A 1 2 E Ek E p k A 2 La energía que se propaga en la cuerda es la energía mecánica de la oscilación… …que al final es proporcional al cuadrado de la amplitud de la “sacudida” Ejercicio 1 Una masa de 3 Kg unida a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y un período de 2 s. a) ¿Cuál es la expresión matemática de la oscilación? ¿Cuál es la energía mecánica total? b) ¿Cuánto vale la velocidad máxima de la masa? c) ¿En qué posición x la velocidad es la mitad del valor máximo? (a) x A sin(t ) ; A 0,04 m ; x 0,04 sin(t ) EM (b) (c) EM 1 k A2 2 2 seg -1 ; 0 T k k 2 m 3 2 N/m m 1 3 2 (0,04) 2 23,4 mJ 2 k 1 1 2 vmax A A 0,04 m/s k A2 Ek ,max m vmax m 2 2 v 1 1 1 1 k m v 2 k x 2 k A2 ; max A 2 2 2 2 2 m 1 1 k 1 1 1 m A2 k x 2 k A2 x A 1 0,87 A 0,035 m 2 4 m 2 2 4 Propagación de ondas Onda transversal (sacudida en la cuerda, olas del mar) Propagación (eje x) Perturbación (eje y) Onda longitudinal (sonido) Perturbación (eje x) Propagación (eje x) Ecuación de ondas El oscilador armónico describe una perturbación…¡pero sólo en el tiempo! y f (t ) A sin(t ) ¿Cómo definimos la perturbación que se propaga en el tiempo y en el espacio? f ( x, t ) Sea la función f(x) que describe la perturbación en la cuerda en t=0 y t=t y f(x, t=0) v velocidad de propagación v·t f(x, t=t) x f(x,t) = f (x-vt) (perturbación que se propaga a la derecha) Conociendo la deformación f y la velocidad v, Definimos la perturbación f (x-vt) que se propaga en el espacio y en el tiempo Ecuación de ondas: onda transversal Sea una onda propagándose a través de una cuerda. En un instante t, alrededor del punto perturbado: Elemento diferencial de la cuerda de longitud x y densidad Nos interesa el movimiento vertical (eje y) de este elemento diferencial: densidad 2 y F m a F sin 2 F sin 1 m a x t 2 ; donde m x pero 1 , 2 1 sin 1 tan1 , sin 2 tan 2 sin 2 sin 1 tan y 2 2 2 y y tan 2 y y x F F F 2 x 2 t 2 x t x t 2 y y v 2 2 x t 2 2 2 Ecuación de ondas F donde v velocidad de propagación Ecuación de ondas 2 2 y y 2 v 2 2 x t …¡¡que cualquier perturbación f(x-vt) cumple!! 2 f ( x vt) f " ( x vt) 2 x 2 f ( x vt) 2 v f " ( x vt) 2 t 2 2 f ( x vt ) f ( x vt) 2 v 2 x t 2 ¿Pero cuál es la función f(x-vt) en una cuerda? Pues depende de la “sacudida” Fuente armónica y Aquí ya ha llegado la perturbación x vt Si la sacudida de la cuerda es contínua en el tiempo, a través de la cuerda se propaga energía contínuamente: La magnitud característica de la fuente es su potencia. x Si las oscilaciones del punto x=0 son armónicas, las perturbaciones del medio material en el que se propagan también lo son, y se expresan de esta manera (siempre cumpliendo la ecuación de ondas) x A sin t v y 0 t x v t x v Por lo tanto tenemos una perturbación armónica en el tiempo y en el espacio: T y 2 y 2v Aquí todavía no ha llegado t En el tiempo: oscilación vertical del punto material haciendo k0 2 expresamos la perturbación de la cuerda x En el espacio: fotografía de la cuerda y A sin(k0 x t ) Perturbación en el tiempo y en el espacio y T 2 y 2v t x y A sin(k0 x t ) k0 2 T 2 v T k0 v Generalización tridimensional Sea la perturbación0 que se transmite en el espacio 0 se genera en el origen de coordenadas Perturbación que se propaga a distancia r: (fuente puntual) r Onda esférica Frente de ondas esférico Lo exige la conservación de la energía! Cumple la ecuación de ondas espacial: v 2 2 2 y z x 2 2 2 2 2 t 2 k k (k x , k y , k z ) 1 0 sin(k r t ) r Solución ; r r (x , y , z) Ondas circulares y planas Onda circular Propagación de energía ¡Conservación de energía! 1 ψ(r ,t) 0 sin(k .r t ) r Onda plana 2 kx x ψ(x,t) 0 sin(k x x t ) Propagación en el espacio: frentes de onda y rayos Sea la fuente puntual que emite una onda circular Rayo: Perpendicular al frente de onda Frente de onda: Une los puntos del medio en el mismo estado de oscilación Define la dirección de propagación …y la de transmisión de energía! Fenomenología de ondas: Interferencias Sean dos fuentes de frecuencia y vector k iguales (fuentes síncronas) 1 0 Formalment e, A1 r 1 (r1 , t ) A1 sin(k r1 t ) r1 r2 2 (r2 , t ) A2 sin(k r2 t ) (r , t ) 1 (r1 , t ) 2 (r2 , t ) fase k r1 - k r2 2n r1 - r2 n 2n 1 antifase k r1- k r2 2n 1 r1 - r2 2 A A A 2 A1 A2 cos(k r1 k r2 ) 2 1 2 2 Fenomenología de ondas: Difracción Sea un emisor puntual en frente de una rendija de tamaño análogo a la longitud de onda Sean dos rendijas de tamaño similar a la longitud de onda. (r, t ) A sin(k r t ) r y d D d r’ ' (r, t ) A' sin(k r't ) La rendija se convierte en emisor puntual secundario siempre que: d ~ D Las dos rendijas se convierten en fuentes síncronas Aparecen líneas de interferencia en la pantalla de enfrente Fenomenología: Reflexión, refracción Sea una onda que incide sobre la interfase entre dos medios Medio A (velocidad de propagación vA) Onda reflejada El concepto de rayo es mucho más útil para describir la reflexión/refracción i r Onda incidente ref Onda transmitida (refractada) Medio B (velocidad de propagación vB) Reflexión Refracción i r sin i v A sin ref vB Reflexión y refracción en una cuerda Como la velocidad de propagación depende de la densidad (v = (T/)1/2) vA≠vB vA vB Energía transmitida Energía reflejada Ondas estacionarias en una cuerda Sea la perturbación armónica en una cuerda de longitud L sujeta por ambos extremos. Las ondas reflejadas en dichos extremos dan lugar a interferencias entre ondas síncronas. Onda que viaja hacia la derecha y A sin(k x x t ) + y A sin(k x x t ) Onda que vuelve hacia y 2 A sin (k x x) cos(t ) la izquierda En la situación estacionaria observaremos una “fotografía” especial, en la que en función de T y para una longitud total de la cuerda L: 2L ; n 1, 2,3... (“Modos” de la cuerda) n Interferencia Interferencia positiva negativa (vientre) (nodo) 1 x n 2 2 x n 2 Ondas estacionarias circulares Si el movimiento oscilatorio está confinado en un recinto circular surgen los modos de vibración, es decir, las ondas estacionarias circulares L Y en el espacio, igualmente, las ondas esféricas estacionarias Ejemplo, resonancia acústica Ondas estacionarias de electrones Atomo de oro Ejercicio 2 En una cuerda la velocidad de propagación es función de la tensión con la que se sujeta y de la densidad: v T/ Una cuerda de 20 m y 0,06 Kg, y sometida a una tensión de 50 N se sujeta por ambos extremos. Encontrar las frecuencias de resonancia de la cuerda. 2 L ; v f n v fn n 129 2 20 f nv 2 L 50 129 m/s 0,003 3,22 Hz, 6,44 Hz, 9,66 Hz,... Propagación de ondas Onda transversal (sacudida en la cuerda, olas del mar) Propagación (eje x) Perturbación (eje y) Onda longitudinal (sonido) Perturbación (eje x) Propagación (eje x) El sonido es una onda longitudinal Perturbación periódica del aire Oscilación periódica de presión y volumen (masa constante) Onda de deformación longitudinal en un tubo Sea la perturbación de la presión p (dp = p-p’ ) que se propaga por un tubo, provocando a su vez una deformación elástica d: Si p ≠ p’, dp ≠0, y la deformación d se desplaza relajado perturbado dx dx+d p p p’ p (x,t) y p(x,t) cumplen la ecuación de ondas: 2 2 2 v t 2 x 2 ó 2 2 p 2 p v 2 t x 2 donde v Y Y módulo de Young densidad del medio Pudiendo demostrarse que entre presión y deformación hay un desfase /2: 0 sin(kx t ) ; p p0 sin(kx t / 2) Y estando presión y deformación máximas ligadas por la velocidad de propagación: p0 v 0 Sound is a pressure wave Onda de presión que se propaga p p0 sin(kx t / 2) [N/m2 ] Onda de deformación asociada 0 sin(kx t ) [m] p0 v 0 p Velocidad de propagación del sonido sólido Berilium (g/cm3) v (m/s) 1,87 12890 Steel 7,85 5960 Silver 10,4 3650 Glass 2,32 5640 Brick 1,8 3650 Wood (Oak) (g/cm3) v (m/s) Acetone 0,79 1174 Chloroform 1,49 987 Water 1 1947 líquido 3850 (g/m3) gas v (m/s) Air 1,293 331,45 Chlorine 3,214 206 Carbon dioxide 1,977 259 Ejercicio 3 La frecuencia de un diapasón es 440 Hz. La velocidad del sonido en el aire es 340 m/s. Encontrar : a) La longitud de onda de la perturbación acústica armónica generada b) El número de ondas de la perturbación acústica c) La expresión matemática de la onda de presión y de la de deformación d) Si la amplitud de la presión que se propaga es 0,5 N/m2 y la densidad del aire es =1,2250 kg/m3, determinar la amplitud de deformación asociada (a) v T (b) k x (c) 2 v 340 0,77 m f 440 2 8,13 m -1 0,77 p p0 sin(k x x t ) p0 sin(8.13x 2 440t ) p0 sin(8.13x 2765t ) N/m2 0 sin(k x x t / 2) 0 sin(8.13x 2765t / 2) m (d) 0,5 p0 v 0 0 0,4m v 1,225 2765 340 p0 Sonido puro, musical y ruido Perturbación armónica, frecuencia única sonido puro p t p p0 sin(k x x t ) Perturbación periódica armónicos múltiples sonido musical p p p0 F (k x x t ) t (suma armónica en el tiempo) p0 Ai sin(k x x ni t ) i p Perturbación aperiódica ruido t Descomposición armónica del sonido musical Sound is a pressure wave Onda de presión que se propaga p p0 sin(kx t / 2) [N/m2 ] Onda de deformación asociada 0 sin(kx t ) [m] p0 v 0 p Potencia transmitida por la cuerda Sea el elemento diferencial de la cuerda m 1 1 dy Ek (m) v y2 ( x) 2 2 dt 2 E p 1 dy F x 2 dx 2 Ek 1 2 A2 x cos 2 (k0 x t ) 2 E p 1 2 A2 x cos 2 (k0 x t ) 2 Sin demostrar… Em Ek E p 2 A2 x cos 2 (k0 x t ) El valor promedio: Em 2 A2 x T 0 cos 2 (k0 x t ) dt Por tanto, la potencia: 1 x 1 1 t 2 A2 vt 2 A2 x 2 A2 2 t 2 2 Em 1 P 2 A2 v t 2 Ejercicio 4 En una cuerda la velocidad de propagación es función de la tensión con la que se sujeta y de la densidad: v T/ En una cuerda de 20 m y masa 0,06 Kg se ejerce una tensión 50 N, y en ella se propaga una perturbación armónica de 200Hz y 1cm de amplitud. a) Encontrar la expresión matemática de la onda que se propaga b) Determinar la potencia mecánica transmitida por la onda. c) Determinar la velocidad lineal máxima en un punto de la cuerda. 50 0,06 v 129 m/s 0,003 kg/m (a) y( x, t ) A sin(k x x t ) 0 , 003 20 2 v 129 2 f 1257 s-1 v T 0,645 m k x 9,73 m-1 f 200 y( x, t ) 0,01sin(9,73x 1257t ) 1 1 2 2 P 0,003 1257 2 0,012 129 30,6 W A v 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 E x A m A E A x cos ( k x t ) (c) k , max k x (b) P 2 2 1 1 m 2 A2 m v 2 v A 12,57 m/s 2 2 2 Energía y potencia acústica Sea la perturbación 0 que se propaga por el espacio Para el elemento diferencial de la cuerda m hemos visto que 1 1 EM 2 A2 m 2 A2 x 2 2 En el espacio m=V . Generalizando el análisis de la cuerda para una perturbación 0, la energía que se propaga por unidad de volumen es: V S 0 1 2 2 E 0 V [J] 2 Pero V S x S vt , y por tanto E 1 2 02vS t 2 E 1 P 2 02 vS [W] t 2 Intensidad acústica O potencia acústica por unidad de superficie, a una distancia r I (r ) P(r ) S [W/m 2 ] En cualquier caso, si el emisor es armónico, definimos la perturbación a una distancia r p (r ) p0 (r ) sin( kr t ) 1 p02 (r ) I (r ) [W/m 2 ] 2 v Sea P0 la potencia de un emisor acústico puntual, que emite de manera homogénea en todo el espacio. La superficie esférica a distancia r S 4r 2 S P0 r I(r) P0 P0 I (r ) S 4r 2 [W/m 2 ] Ejercicio 5 La perturbación de presión de un diapasón a 3 m de distancia es 0,5 N/m2. Si la densidad del aire es =1,2250 kg/m3 y la velocidad del sonido 340 m/s, encontrar: a) b) La intensidad acústica en ese punto La potencia acústica del diapasón 0,52 1 1 p02 (3) (a) I (3) 0,3 mW/m 2 2 1,225 340 2 v (b) 2 0,3 4 3 34 mW P0 I (r ) 4 r 2 3m P0 I(3) Ejercicio 6 En un largo tubo de 100 cm2 de sección oscila un pistón a 500 Hz con una amplitud de 0,1 mm. Si las condiciones ambientales son normales (300K, 1 atm), encontrar: a) La amplitud de presión de la onda sonora que se propaga. b) La intensidad sonora del tubo. c) La potencia que se necesita para mantener el pistón oscilando. (a) (b) (c) p0 v 0 1,225 2π 500 340 0,0001 130,8 N/m2 2 1 130,8 1 p02 20,55 W/m 2 I 2 1,225 340 2 v Podemos definir un emisor puntual integrando la intensidad en la superficie del pistón 0 I P S P I S 20,55 0,01 0,2055 W I S superficie emisora Sensación sonora Medición absoluta Fuente Medición subjetiva r P [W] Potencia sonora I [W/m2] Intensidad sonora S [decibel] Sensación sonora Oído humano Amplificación, conversión eléctrica S I S sensación sonora I intensidad acústica Audible sound Delante del tímpano Frequency: 20 Hz - 20,000 Hz Intensity (I): 10-12 - 5 watt/m2 Pressure (p0): 4 x 10-5 - 100 Newton/m2 1,225 kg/m 3 ; v 340 m/s } 1 p02 I 2 v Ley de Weber-Fechner La sensación sonora psicológica es logarítmica. Por lo tanto para definir la sensación S , haremos una conversión logarítmica de la intensidad: S log I [bel] I0 donde I 0 10-12 [W/m 2 ] es la intensidad umbral promedio. La mayor parte de las veces, en lugar del “bel” se utiliza el “decibel” I S 10 log [decibel] I0 Sensibilidad espectral Sensación sonora promedio (dbel) Umbral de dolor Umbral de sensibilidad Sdolor S2 S0 S1 Factor 1/2 Chart of sound pressure levels and corresponding sound pressure and sound intensity Sound Pressure Level dBSPL Sound Pressure N/m2 = Pa Sound Intensity watts/m2 30 m from jet aircraft 140 200 100 Threshold of pain 130 63.2 10 Threshold of discomfort 120 20 1 Chainsaw 1m distance 110 6.3 0.1 Disco 1 m from speaker 100 2 0.01 Diesel truck (10 m away) 90 0.63 0.001 Kerbside of busy road 80 0.2 0.0001 Vacuum cleaner, distance 1 m 70 0.063 0.00001 Conversational speec, 1m 60 0.02 0.000001 Average home 50 0.0063 0.0000001 Quiet library 40 0.002 0.00000001 Quiet bedroom at night 30 0.00063 0.000000001 Background in TV studio 20 0.0002 0.0000000001 Rustling leaf 10 0.000063 0.00000000001 0 0.00002 0.000000000001 Examples Threshold of hearing Ejercicio 7 La sensación mínima del oído humano a 100 Hz y 1000 Hz es de 25 dbel y 5 dbel, respectivamente, mientras que el umbral de dolor es 125 dbel y 120 dbel. Determinar las deformaciones mínima y máxima del tímpano a 100 Hz y 1000 Hz. S I S 10 log I I 0 1010 I0 100Hz 2 100Hz I min 3,16 1010 W/m 2 I max 3,16 W/m 1000Hz 2 1000Hz I min 3,16 1012 W/m 2 I max 1 W/m 2 1 1 p0 v 2 02 I 2 v 2 100Hz min 2 109 m 0 100Hz max 2 104 m 1000Hz 5 1000Hz min 1,9 1011 m max 110 m 2 I 2 I 2 1,29 340 2 f v 2 Potencia acústica de una fuente Al igual que en el caso de la sensación, la potencia acústica de una fuente puede expresarse en escala logarítmica. Sea la fuente de potencia P . Definimos el nivel de potencia acústica de la fuente (Power Level, PWL) cómo: P PWL 10 log [decibel] P0 donde P0 = 10-12 W, es la potencia umbral Ejercicio 8 Encontrar la potencia acústica de un motor que provoca una sensación acústica de 30 decibel a 10 m. 10 m P I(10) S 10 log I I0 30 10 log I (10) 109 W/m 2 P I 4 r 2 109 4 102 1,26 106 W 1,26 106 PWL 10 log 61 decibel 12 10 I (10) I0 Ejercicio 9 El nivel de intensidad sonora en un cocktail que genera cada asistente es el mismo. Si sólo habla una persona, el nivel de intensidad sonora es 72 dB. Encontrar la sensación sonora a 10 m de una reunión de 38 personas PWL1 10 log 10 m P1 10 12 10 PWL1 10 10 P1 1012 12 10 72 10 1,58 105 W I(10) P PWL P I (r ) 2 4r 1,58 105 -8 2 I1 (10) 1,26 10 W/m 4 102 I 38 (10) 38 I1 (10) 38 1,26 10-8 4,79 10-7 W/m 2 S 10 log I I0 S38 10 log I 38 56,8 dbel I0 Objetivos Magnitudes físicas del acondicionamiento acústico Naturaleza del sonido Percepción del sonido Audición Magnitudes subjetivas Mecánica de ondas Energía propagada Fenomenología de ondas Ondas mecánicas Diseño acústico Medición Absorción Resonancia Materiales El sonido: Perturbación oscilatoria del aire delante del tímpano Diseño acústico Evitar ecos y reverberaciones Homogeneizar el fondo Difracción versus reflexión rayos ondas λ λ λ λ F F ≥d sombra d ~1m <d En general, en una sala-auditorio se deben evitar sombras y aumentar la difracción para homogeneizar el sonido. Como la longitud de onda acústica es del orden de un metro, todos los objetos deben ser de un metro o menos Absorción: absorbente acústico Para aislamiento exterior Para atenuación interior transmitido reflejado absorbido Para aislar salas ruidosas se utilizarán elementos estructurales absorbentes Para mejorar las condiciones de trabajo, se deben disminuir el sonido y sus reverberaciones, para lo que se utilizarán recubrimientos absorbentes. Coeficiente de absorción El coeficiente de absorción expresa la atenuación de la energía acústica (E) Eabsorbida Medio 1 Medio 2 Aislamiento exterior E Et Er a E E Ereflejada E Etransmitida Atenuación interior E Er Et a E E Acondicionamiento de una sala 1.- Aislamiento exterior Materiales estructurales absorbentes Absorbente acústico Ejercicio 10 Por medio de un absorbente acústico disminuimos la sensación sonora 30 dB. ¿Cuál es el coeficiente de absorción? S S ' 30 I S 10 log I I0 S S ' 30 10 log 1 103 0,999 (1-)I S ' 10 log I' (1 ) I 10 log I0 I0 1 I (1 ) I 10 log 10 log 1 I0 I0 Tiempo de reverberación En condiciones normales de presión y temperatura, podemos diferenciar dos sonidos diferentes si su intervalo mínimo es 0,05-0,1 segundos. Por tanto, el eco se nota cuando las ondas reflejadas tienen un retraso mínimo de 0,1 segundos. Eso quiere decir que para evitar ecos las paredes pueden estar sólo a una distancia máxima: 2d v t 340 0,1 d 17 m Por tanto, en una sala la distancia máxima entre paredes será de 15-20 m, y para salas más grandes introduciremos objetos pequeños (sillas, lámparas) para provocar difracción Si la reflexión de una onda acústica llega con un retraso de 50 ms, no provoca ninguna sensación desagradable, al contrario, refuerza el sonido directo. En cualquier caso, la reverberación siempre ocurre, al mezclarse el sonido original y el reflejado. El conjunto de todas las reflexiones secundarias del sonido se conoce como “cola de sonido”. La duración de la sensación sonora provocada por la cola de sonido se denomina tiempo de “reverberación”. El tiempo de reverberación es función de la absorción de las paredes, y por tanto, de la frecuencia Promediando todas las frecuencias el tiempo de reverberación debe ser inferior a 2 segundos para escuchar música, y menor que 1 segundo para una conversación clara. El tiempo de reverberación en función de la absorción y del volumen Sea una sala de volumen V, donde todas las fuentes acústicas generan la densidad de energía acústica total E0 [j/m3] (original y reflejada) y, por unidad de tiempo, la densidad de potencia acústica P0 [W/m3]. Debido al coeficiente de absorción de las paredes la energía y potencia acústicas se reducen a E y P Vamos a calcular el tiempo necesario para que, debido a la absorción E0 y P0 se atenúen un factor 10-6 Fuente de volumen diferencial Calculemos la energía que recibe el elemento diferencial de superficie de una pared dS : r sen φ dθ Z r dφ dV r sen φ dErecibida I (r ) dSefectiva dt P dV dS cos 4 r 2 dPrecibida dr r Y φ dS θ En coordenadas esféricas: Superficie receptora (absorbente) P dV X dV Volumen emisor (semiesfera espacial) φ φ Integración a todo el espacio r,, dS dS cosφ r dV r 2 sin dr d d dErecibida P dS cos 2 r sen dr d d 2 dt 4 r Integrando a todo el volumen dE dt P dS cos 2 4 r 2 r sen dr d d P dS 4 r 2 0 0 dr d 0 2 sen cos d ¡Atención! v r t y E t P dE dS recibida P dt 4 t 0 vdt 2 d 0 0 2 sen cos d 1 1 P v t dS E v dS 4 4 La potencia absorbida por toda la superficie receptora S dE 1 1 E v dS E v S dS dt 4 4 Pabsorbida Precibida Para el volumen de la sala V d E E E E 0 d E E v S 4 V E E V 4 V dE d E d E v S V E dt 4 V dt dt Por tanto la disminución de la energía acústica en el tiempo por absorción en S dt v S y Pabsorbida t dt ln E vS t E0 4 V El tiempo de reverberación T se define como el necesario para atenuar 10-6 (60 dB) veces el sonido original 6 v S 4 V T Si v=340 m/s T 6 4 V vS T 0,161 V S Tiempo de reverberación y fórmula de Sabine En cualquier caso, la reverberación siempre ocurre, al mezclarse el sonido original y el reflejado. El conjunto de todas las reflexiones secundarias del sonido se conoce como “cola de sonido”. La duración de la sensación sonora provocada por la cola de sonido se denomina tiempo de “reverberación”. El tiempo de reverberación es función de la absorción de las paredes, y por tanto, de la frecuencia T 0,161 V S Promediando todas las frecuencias el tiempo de reverberación debe ser inferior a 2 segundos para escuchar música, y menor que 1 segundo para una conversación clara. Fórmula de Sabine Tipo de sala Aulas Sala de Conferencias (entre 100 y 10000 m3 ) Cines Salas polivalentes Teatro (entre 100 y 10.000 m3) Teatro 1500 plazas Teatro 500 plazas Teatro de ópera Sala de conciertos de cámara Sala de conciertos de orquesta sinfónica Recintos deportivos Locutorio de radio T (sg) con sala ocupada al 100 % 0,5 – 0,8 0,7 – 1,2 0,9 – 1,2 1,2 – 1,5 0,7 – 1,2 1,2 – 1,4 1 – 1,2 1,4 – 1,8 1,3 – 1,7 1,7 – 2,1 1-3 0,2 – 0,4 T Por tanto, conociendo el T adecuado Volumen de la sala Podremos calcular el coeficiente de absorción necesario para cubrir las paredes de la sala con la fórmula de Sabine. V T 0,161 S Fórmula general de Sabine En la formulación anterior no se ha tenido en cuenta: 1) La forma de la sala 2) Las características de la fuente y su localización 3) Las reflexiones secundarias En cualquier caso, empíricamente funciona. Si en una sala las paredes tiene un coeficiente diferente αi, se define el coeficiente medio como: S S i i i Teniendo en cuenta la variación del coeficiente de absorción, llegamos a la fórmula general de Sabine T 0,161 V Si i Ejercicio 11 La altura y la superficie de las paredes de una sala son 3 m y 4x4m2 respectivamente. Todas las paredes son de mármol (α = 0.01), el techo de yeso (α = 0.7), y el suelo de madera (α = 0.1) (todos los coeficientes para frecuencias de 500 Hz). Determinar el tiempo de reverberación: T 0,161 V Si i 0,161 3 4 4 0,58 seg 4 (0,01 3 4) 0,7 4 4 0,1 4 4 Coeficientes de absorción Frecuencia (Hz) Material 125 250 500 1000 2000 4000 1 1 1 1 1 1 Hormigón 0,01 0,01 0,02 0,02 0,02 0,03 Madera 0,04 0,04 0,03 0,03 0,03 0,02 Fieltro asbestos (1cm) - - 0,35 0,30 0,23 - Fieltro de pelo y asbestos - - 0,38 0,55 0,46 - Fieltros sobre pared (3cm) 0,13 0,41 0,56 0,69 0,65 0,49 Corcho ( ) 0,08 0,08 0,30 0,31 0,28 0,28 Corcho perforado y pegado a la pared 0,14 0,32 0,95 0,90 0,72 0,65 Tapices 0,14 0,35 0,55 0,75 0,70 0,60 Ladrillo visto 0,02 0,02 0,03 0,04 0,05 0,05 Enlucido de yeso sobre ladrillo 0,02 0,02 0,02 0,03 0,04 0,04 Enlucido de yeso sobre cemento 0,04 0,04 0,04 0,05 0,06 0,03 Enlucido de cal 0,04 0,05 0,06 0,08 0,04 0,06 Paneles de madera 0,10 0,11 0,10 0,08 0,08 0,11 Alfombra sobre cemento 0,04 0,04 0,08 0,12 0,03 0,10 Vidrio 0,04 0,04 0,03 0,03 0,02 0,02 Placas perforadas de material poroso 0,44 0,57 0,74 0,93 0,75 0,76 Ventana abierta Acondicionando la sala 1.- Aislamiento exterior Materiales estructurales absorbentes Acondicionando la sala 2.- Disminuyendo el tiempo de reverberación Escoger la capa absorbente adecuada Fórmula de Sabine Provocar difracción para homogeneizar el sonido Ejercicio 12 a) Encontrar el cambio en el tiempo de reverberación de una sala de dimensiones15 m×15 m×3 m, si el coeficiente de absorción todas las paredes se aumenta de 0,01 a 0,5. b) Si la intensidad acústica se supone proporcional al tiempo de reverberación, determinar el cambio en la sensación acústica que se logra en el interior de la sala. (a) (b) 0,161V T S 0,01 1 T' 0,5 50 T ' T I ; S 10 log I I0 ΔS S ' S 10 log I' T' 1 10 log 10 log 17 decibel I T 50 Ejercicio 13 Un aula de 8 m de largo, 5 m de ancho y 3 m de altura tiene los siguientes coeficientes de absorción: paredes laterales =0,06, suelo = 0,08, y techo = 0,28. Encontrar: a) El tiempo de reverberación de la sala b) La absorbancia de las paredes para que el tiempo de reverberación baje a 0,5 segundos 0,161V 0,161 8 5 3 1,01 seg S 2 ( 0 , 06 8 3 ) 2 ( 0 , 06 5 3 ) 0 , 28 8 5 0 , 08 8 5 i i (a) T (b) 0,161 8 5 3 0,5 seg 2 ( 8 3) 2 ( 5 3) 0,28 8 5 0,08 8 5 19,32 0,5 0,31 78 14,4 c) Si practico 1 ventana de 2x1m2 en cada una de las paredes laterales, calcular el tiempo de reverberación si i) El coeficiente absorción del vidrio es 0,02. ii) Abrimos las ventanas a una calle silenciosa. d) Si el ruido de fondo en el centro de la sala es 55 decibel, y el ruido de la calle es 70 decibel, estimar el aumento en la sensación sonora del centro de la sala al abrir las ventanas.