MÉTODO GENERAL PARA LA DEMOSTRACIÓN DE PROPOSICIONES MATEMÁTICAS Carlos Alberto Díez Fonnegra calbertodiez@gmail.com Trabajo de grado para optar por el título de matemático Director: Ing. Pervys Rengifo Rengifo Konrad Lorenz- Fundación Universitaria Facultad de Matemáticas e Ingenierías RESUMEN Se ha desarrollado un método general para demostrar proposiciones matemáticas, que está basado en estrategias metacognitivas. Para esto, se hace detallada descripción de las técnicas de demostración más comunes y de los errores lógicos que se suelen cometer al demostrar. Tanto las primeras como los segundos se integran en el método, dando así estructura al proceso demostrativo matemático. ABSTRACT General method to proof mathematical statements: A general method based on metacognitive strategies has been developed to proof mathematical statements. For this, there is a detailed description of the most common proof techniques and logical mistakes that are usually commited when proving. The first ones as well as the second ones are integrated in the method, giving structure to the mathematical proving process. 2 ÍNDICE GENERAL INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................... 4 UN DIÁLOGO ILUSTRADOR........................................................................................................................... 7 1. PRELIMINARES ......................................................................................................................................... 9 1.1. ¿POR QUÉ UN MÉTODO GENERAL PARA DEMOSTRAR? ......................................................................................... 9 1.2. ¿CUÁL ES LA DIFERENCIA ENTRE UNA PRUEBA QUE PRUEBE Y UNA QUE EXPLIQUE? ................................................... 10 1.3. ¿CUÁL ES LA DIFERENCIA ENTRE ESCRIBIR UNA DEMOSTRACIÓN Y PENSAR UNA DEMOSTRACIÓN?................................ 11 1.4. ¿CUÁL ES LA DIFERENCIA ENTRE ESCRIBIR BIEN LAS DEMOSTRACIONES Y SABER DEMOSTRAR? .................................... 11 2. CONCEPTOS DE BASE ............................................................................................................................. 12 2.1. ¿QUÉ ES DEMOSTRAR UNA PROPOSICIÓN MATEMÁTICA? ................................................................................... 12 2.2. ¿CUÁLES SON LOS PRELIMINARES LÓGICOS Y DE LENGUAJE MATEMÁTICO QUE SE NECESITAN PARA COMPRENDER EL PROCESO DE DEMOSTRACIÓN? ............................................................................................................................. 13 3. TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN ............................................................................................................... 17 3.1. DEMOSTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO. ................................................................................................ 17 3.2. DEMOSTRACIÓN POR CONTRARRECÍPROCO. ..................................................................................................... 18 3.3. DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN................................................................................................................... 19 3.4. DEMOSTRACIÓN REGRESIVA- PROGRESIVA. ...................................................................................................... 20 3.5. DEMOSTRACIÓN POR DISTINCIÓN DE CASOS. .................................................................................................... 23 3.6. DEMOSTRACIÓN DE EXISTENCIA. .................................................................................................................... 24 3.7. DEMOSTRACIÓN DE UNICIDAD....................................................................................................................... 25 4. ERRORES LÓGICOS COMUNES AL HACER DEMOSTRACIONES ................................................................. 27 4.1. USAR LA TESIS COMO HIPÓTESIS Y DEMOSTRAR LA HIPÓTESIS. .............................................................................. 27 4.2. DEMOSTRAR DANDO SALTOS DEMASIADO LARGOS ENTRE LAS PROPOSICIONES. ....................................................... 27 4.3. USAR PROPOSICIONES FALSAS COMO SOPORTE DE LA DEMOSTRACIÓN................................................................... 27 4.4. DEMOSTRACIÓN VERBAL. ............................................................................................................................. 27 4.5. USAR UNA LÓGICA INCORRECTA. ................................................................................................................... 28 4.6. HACER SUPOSICIONES INCORRECTAS............................................................................................................... 28 4.7. SOBRE LAS DEFINICIONES. ............................................................................................................................ 28 4.8. ASUMIR DEMASIADO. .................................................................................................................................. 28 5. CONTEXTOS DE USO DE LAS TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN................................................................... 29 5.1. DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN................................................................................................................... 29 5.2. DEMOSTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO ................................................................................................. 30 5.3. DEMOSTRACIÓN POR CONTRARRECÍPROCO ...................................................................................................... 31 5.4. DEMOSTRACIÓN REGRESIVA-PROGRESIVA........................................................................................................ 31 6. MÉTODO GENERAL PARA DEMOSTRAR PROPOSICIONES MATEMÁTICAS .............................................. 32 7. CONCLUSIONES ...................................................................................................................................... 39 8. RECOMENDACIONES .............................................................................................................................. 41 3 INTRODUCCIÓN La demostración matemática, concebida como proceso de pensamiento, da base a la construcción de la teoría matemática. Sin embargo, no es posible concebirla de esta forma sin tener antes un dominio de las técnicas, tanto algorítmicas como heurísticas, involucradas en ésta. Esto es reconocido por numerosos escritos como los producidos por Solow [Sol93], Velleman [Vel94] y otros más. Sin embargo, todos estos materiales hacen énfasis en los aspectos puramente matemáticos de la demostración, sin profundizar en los aspectos lingüísticos y sin integrar las técnicas en una estructura que permita la selección eficiente por medio de sus contextos de aplicación. Este es el aporte de este trabajo al conocimiento de la técnica demostrativa matemática. Este escrito se desarrolla en seis capítulos principales, a saber: el capítulo de los preliminares argumenta la necesidad de un método general para demostrar proposiciones matemáticas y resalta la importancia de comprender que la forma de pensar una prueba es diferente a la forma de escribirla. El capítulo sobre los conceptos de base hace una descripción rápida pero completa de los conceptos lógicos que son prerrequisitos para hacer y comprender las demostraciones matemáticas: los conceptos estructurales de una teoría matemática, las operaciones lógicas y los cuantificadores, se explican allí. Además se hace una caracterización de los tipos de lenguaje en los que están escritas las proposiciones matemáticas y los diferentes niveles que los componen, para que sirva como herramienta de comprensión metacognitiva de los teoremas a demostrar. No obstante esta herramienta no se usa explícitamente en el método por considerarse que lo puede hacer bastante dispendioso, sí se convierte en un excelente marco de pensamiento de la construcción de la demostración. El capítulo sobre las técnicas de demostración presenta cada una de éstas con su procedimiento explícito y ejemplos que ayudan a su comprensión. Es seguro que en él, un matemático formado y, más aun, en formación encontrará elementos útiles para estructurar su conocimiento, que algunas veces (por no decir la mayoría de las veces) es más que intuitivo. En el capítulo posterior a las técnicas se presentan algunos errores lógicos que se cometen comúnmente al hacer demostraciones. Este capítulo se escribe como un intento de advertir sobre estos errores, pero lo más probable es que se pueda usar como lista de chequeo posterior a la escritura de la demostración. 4 Antes de presentar el método, objetivo de este trabajo, se presenta un capítulo que describe los contextos de uso de cada uno de las técnicas más comunes de demostración. Este es, al parecer del autor, uno de los aportes más valiosos de este trabajo al conocimiento de la técnica demostrativa matemática, pues provee un algoritmo para seleccionar eficientemente la técnica más propicia para cada tipo de proposición, sin necesidad de hacer uso del método de ensayo y error. El capítulo central del trabajo es el que se refiere al método, sin embargo, este capítulo no funcionaría sin la integración con los mencionados anteriormente. Haber escogido esta forma de presentación (dejar de último este capítulo) evidencia la lógica inductiva del trabajo. En este capítulo se da un algoritmo general para pensar demostraciones matemáticas; dicho método se basa en la metacognición de los procesos de comprensión de las proposiciones involucradas en los teoremas, y provee una estructura para la selección eficiente de las técnicas de demostración. Por último, es importante anotar que por la vocación pedagógica y educativa del autor, las recomendaciones que se proponen al final de este trabajo se inclinan exclusivamente en este sentido, con el fin de que este método sirva para apoyar la formación de futuros matemáticos en esta competencia fundamental para su desempeño profesional. 5 AGRADECIMIENTOS Por ser excelentes ‘conejillos de indias’ y permitirme enseñarles el método que desarrollo en el trabajo, a María Paula Baquero y Germán Hernández. Por oficiar como mis supervisores para lograr que reuniera suficiente de mi capacidad ejecutiva como para hacer este trabajo, a Ana Milena Matallana y María Luisa Ramirez. Por ‘dejarme ser’, creer en mí y darme excelentes ideas, no sólo para este trabajo, sino para la vida, a Pervys Rengifo. Por haberme traído al mundo (en complicidad con Dios) y dejarme alguna herencia genética de su inteligencia, a mi mamá. 6 UN DIÁLOGO ILUSTRADOR Alfa: He descubierto una nueva verdad matemática. Beta: ¿De verdad? ¿Cuál es? Alfa: Para cada entero x, si x es par, entonces x2 es par. Beta: Hmm. . . ¿Estás seguro de que esto es cierto? Alfa: Claro, ¿no es obvio? Beta: No, no para mí. Alfa: Bien. Dame un entero x, y yo te mostraré que lo que te digo es cierto. Beta (con actitud suspicaz): Listo. Probemos con x = 17. Alfa: Es fácil. 17 no es par, entonces la proposición ‘si 17 es par, entonces 172 es par’ es trivialmente cierta. Dame uno más difícil. Beta: Listo, probemos con x = 62. Alfa: Dado que 62 es par, debo mostrarte que 622 es par. Beta: Así es. Alfa (contando con sus dedos): De acuerdo a mis cálculos, 622 = 3844, y 3844 es claramente un par… Beta: Espera. No es tan claro para mí que 3844 es par. La definición dice que 3844 es par si existe un entero y tal que 3844 = 2y. Si tú quieres ir por ahí diciendo que 3844 es par, tienes que producir un entero y que funcione. Alfa: ¿Qué tal y = 1922? Beta: Sí, tú tienes un punto en eso. Entonces tú has mostrado que la proposición ‘si x es par, entonces x2 es par’ es verdad cuando x = 17 y cuando x = 62. Pero x podría ser uno entre billones de enteros. ¿Cómo podrías saber que es cierta para cada uno de éstos? Alfa: Sea x un entero. Beta: ¿Cuál entero? 7 Alfa: Cualquier entero de todos. No importa cuál sea. Voy a mostrarte que, usando sólo el hecho de que x es un entero y nada más, si x es par, entonces x2 es par. Beta: Perfecto… dale. Alfa: Entonces supón que x es par. Beta: Pero, ¿y si no lo es? Alfa: Si x no es par, entonces la proposición ‘si x es par, entonces x2 es par’ es trivialmente cierta. El único caso que hay que tener en cuenta es cuando x sea par. Beta: Muy bien, ¿entonces qué se hace si x es par? Alfa: Por la definición de ‘par’, nosotros sabemos que existe por lo menos un entero y tal que x = 2y. Beta: Sólo uno, de hecho. Alfa: Yo también pienso eso. De todos modos, sea y un entero tal que x = 2y. Elevando al cuadrado a ambos lados de la ecuación, tenemos x2 = 4y2. Ahora para probar que x2 es par, tengo que mostrar un entero que multiplicado por dos sea x2. Beta: ¿y no funciona 2y2? Alfa: Sí funciona. Entonces está hecho. Beta: Y como tú no has dicho nada sobre lo que es x, excepto que es un entero, tú ya sabes que funciona para cualquier entero. Alfa: Correcto. Beta: OK, ahora entiendo. Alfa: Entonces, acá hay otra verdad matemática. Para cada entero x, si x es impar, entonces x2 es… (Traducido de [Hut]) 8 1. PRELIMINARES En esta sección se hacen algunas consideraciones necesarias antes de entrar de lleno en el aspecto técnico de la demostración matemática. 1.1. ¿Por qué un método general para demostrar? Se ha considerado la demostración matemática como una vía formal para expresar formas particulares de razonamiento y justificación; se podría pensar que sólo se es capaz de entender las matemáticas si se es capaz de razonar en términos de demostraciones. Actualmente, el uso de la demostración en las matemáticas se ha limitado a la verificación. Pero la demostración tiene un rol más amplio que la sola verificación matemática; este rol pasa por la creación de nuevo conocimiento matemático, la educación de los procesos de pensamiento y la comprensión de las ideas matemáticas ya existentes. Se podría pensar incluso que la demostración es más importante que los mismos teoremas, porque ayuda a desarrollar y aprender estrategias, formas de pensamiento y métodos que están incorporados en la verificación. Y aunque hay variedad de textos que presentan técnicas para demostrar, no hay uno que presente un método general para demostrar, que permita integrar cada técnica existente en un solo algoritmo eficiente y comprensible. Por eso, se hace necesario disponer de un método general de demostración que permita a los matemáticos tener criterios claros de selección de las mejores estrategias para cada tipo de proposición. Este algoritmo se constituye además en uno de los pilares de una tecnología automática de demostración, pues permite sistematizar en alguna medida los heurísticos involucrados en el proceso demostrativo. Es necesario aclarar que el método que se presenta acá tiene un trasfondo pedagógico importante; en esa medida, es un método diseñado para comprobar las verdades matemáticas ya probadas, con el fin de generar comprensión de éstas por parte de quien las demuestra, pero no fue diseñado para refutar proposiciones falsas (aunque en una versión más adelante se podría desarrollar esta parte), ni mucho menos para determinar si una proposición es indecidible. 9 1.2. ¿Cuál es la diferencia entre una prueba que pruebe y una que explique? En numerosos trabajos sobre el aspecto didáctico de la demostración se hace énfasis en que uno de los usos más productivos de ésta es generar comprensión sobre los objetos matemáticos. Por eso, al enseñar a demostrar hay que hacer la diferencia entre probar y probar explicando porque de esto depende que se le saque el mayor partido, pedagógicamente hablando, al proceso de razonamiento para la demostración. Para lograr esto hay que definir con claridad tres términos que se suelen confundir en el argot matemático: explicación, prueba y demostración. Llamamos explicación a un discurso que trata de hacer inteligible el carácter de verdad, adquirido por el locutor, de una proposición o de un resultado. Las razones expuestas pueden ser discutidas, refutadas o aceptadas. Llamamos prueba a una explicación aceptada por una comunidad dada en un momento dado. Esta decisión puede ser objeto de un debate cuya significación es la exigencia de determinar un sistema de validación común a los interlocutores. En la comunidad matemática sólo pueden aceptarse como pruebas las explicaciones que toman una forma particular. Son una secuencia de enunciados organizada según reglas determinadas: un enunciado se reconoce como verdadero cuando es deducido a partir de los que lo preceden con ayuda de una regla de deducción tomada en un conjunto de reglas bien definido. Llamamos demostraciones a estas pruebas. Por otra parte, se reserva la palabra razonamiento para designar la actividad intelectual, en su mayoría no explícita, de manipulación de informaciones para, a partir de datos, producir nuevas informaciones. Cuando las informaciones proceden del ámbito matemático, se habla de razonamiento matemático. Así pues, una demostración matemática, usada para propósitos didácticos, debe hacer explícito, en primer lugar, su carácter de explicación, de modo que por vía de la comprensión cabal, el estudiante acceda a su carácter de prueba. Esto es esencial como elemento programático de la enseñanza de la demostración. No se puede permitir que lo que es común en todos los niveles y contextos: que los estudiantes aprenden matemática que es nueva para ellos pero que consiste de resultados conocidos. Saben que los resultados son verdaderos pero no entienden por qué son verdaderos. 10 1.3. ¿Cuál es la diferencia entre escribir una demostración y pensar una demostración? Una de las falacias más comunes que se le presentan al matemático aprendiz es creer que el orden en que se escribe una demostración es el mismo orden en el que se piensa. En el proceso de demostración matemática siempre se conocen (aunque no necesariamente se comprendan cabalmente) el principio y el fin, sin embargo no se conoce el camino para ir de uno a otro. Este camino no se descubre ‘caminándolo’. Es necesario planearlo antes de recorrerlo y esto es una de las particularidades que hace difícil realizar una prueba: la necesidad de pensar recursivamente. La dificultad del pensamiento recursivo radica en que es necesario proponer las causas o consecuencias de una proposición, sin conocer a fondo aun de dónde vienen o hacia donde van, respectivamente. Esto se puede comprender mediante la analogía de la construcción de un puente [Che04], proceso en el cual siempre se cuenta con los dos terrenos a conectar, pero es necesario comenzar en ambos sentidos: desde el inicio hacia el fin y desde el fin al inicio, con el objetivo de encontrarse en el medio con el avance en las dos vías. 1.4. ¿Cuál es la diferencia entre escribir bien las demostraciones y saber demostrar? En algunos entornos matemáticos se ha filtrado la idea de que hacer demostraciones es escribir con rigor. Es cierto que la escritura rigurosa es uno de los mayores pilares de las matemáticas, dado su carácter deductivo y exacto; sin embargo, no quien sabe escribir rigurosamente, sabe demostrar proposiciones matemáticas. No, el orden de causalidad no es ese. Se propone, más bien, que el orden de causalidad se dé a partir de la comprensión de la prueba. Es decir, la escritura rigurosa debe ser consecuencia de haber entendido la estructuración y elementos de una demostración. 11 2. CONCEPTOS DE BASE 2.1. ¿Qué es demostrar una proposición matemática? Demostrar una proposición matemática implica convencer a otras personas, mediante el recurso de la argumentación, de la veracidad de dicha proposición [Hut]. Detrás de esta afirmación se puede ver el carácter de construcción comunitaria que tiene la demostración. Es decir, demostrar es ‘crear’ verdades que se constituyen como tal por la aceptación de una comunidad matemática o, de manera contraria, una comunidad matemática se construye porque cree las mismas verdades demostradas bajo las mismas reglas. Lograr esta aceptación depende de algunos factores que son inherentes a la demostración. En primer lugar, la persona que convence y las personas que se pretenden convencer deben hablar el mismo idioma. Y esto está más allá de que sólo compartan el mismo lenguaje verbal, sino que ambas partes deben compartir los mismos lenguajes lógico y conceptual, que les permita llevar la argumentación sobre las mismas bases y por caminos conocidos y aceptados. Es necesario ampliar lo formulado en el anterior párrafo para sentar las bases conceptuales de lo que es una demostración, sobre las cuales se construirá el cuerpo de este trabajo. Para que ocurra la demostración matemática debe suceder que se compartan tres tipos de lenguaje, a saber: - Lenguaje verbal: se trata del lenguaje en el que están escritas las palabras por medio de las cuales se comunica la prueba. - Lenguaje lógico: se trata de la estructura que subyace a la argumentación y que depende de la teoría lógica usada para probar. - Lenguaje conceptual: se trata de los significados de los términos (verbales y matemáticos) que se usan para construir la prueba. Más aun, cada uno de los anteriores lenguajes tiene tres niveles, que las dos partes deben compartir: - Nivel sintáctico: se refiere a los signos, símbolos y señales de las que está constituido cada tipo de lenguaje. 12 - Nivel gramatical: se refiere a la forma de organizar los elementos del nivel sintáctico para dotar de sentido las estructuras. Este nivel tiene asociada la característica del rigor, que facilita los procesos en el siguiente nivel. - Nivel semántico: se refiere a los significados de las diferentes estructuras construidas en el nivel gramatical. Entonces, compartir los tres tipos de lenguaje en sus tres niveles permite que se puedan construir y comunicar argumentaciones matemáticas que se constituyan en demostraciones. En términos procedimentales, una demostración matemática es una serie de proposiciones, cada una de las cuales se sigue lógicamente de las anteriores; que empieza desde algunas proposiciones que se asume (o se conoce) que son ciertas; y que termina con la proposición que contiene el hecho que se busca probar [Che04]. De esto se puede deducir que una demostración matemática tiene tres partes secuenciadas en su escritura: un inicio, un desarrollo y un cierre; sin embargo, estas partes no están necesariamente secuenciadas así en el proceso de pensamiento para la construcción de la prueba. 2.2. ¿Cuáles son los preliminares lógicos y de lenguaje matemático que se necesitan para comprender el proceso de demostración? Proposición: enunciado en el que se afirma algo. Este enunciado puede ser verdadero o falso. En general, las proposiciones matemáticas son el sujeto de la demostración, que como ya se dijo, es un proceso por el cual se determina la veracidad de una proposición, llamada tesis, a partir del conocimiento de la veracidad de otras, llamadas hipótesis. Axioma: es un principio básico que es asumido como verdadero sin recurrir a demostración alguna. En esta medida son las proposiciones iniciales de una teoría deductiva, de las cuales pueden derivarse otras proposiciones mediante demostraciones. Teorema: es una forma de referirse a una proposición que es central en la construcción de una teoría. Corolario: es una verdad que se deriva inmediatamente de la veracidad de un teorema, por lo tanto no necesita una demostración particular. 13 Lema: es un teorema que es necesario para la demostración de otro y que, por lo tanto, debe ser demostrado con anterioridad. Regularmente los lemas no pertenecen a la línea central de la teoría. Definición: en matemáticas, proposición o conjunto de proposiciones que describen tautológicamente un término matemático; por lo tanto, una demostración no requiere demostración y puede ser usada en ambos sentidos: desde el término hacia las proposiciones o del conjunto de proposiciones hacia el término. Una forma de representar gráficamente el sentido de los últimos cinco términos definidos es: TEOREMA D E F I N I C I Ó N LEMA TEOREMA COROLARIO TEOREMA AXIOMA Figura 1. Representación de la relación entre axioma, teorema, lema, corolario y definición. Proposición recíproca o recíproco: es una implicación cuyo consecuente es el antecedente de otra (llamada implicación directa) y cuyo antecedente es el consecuente dicha implicación directa. El valor de verdad de la proposición recíproca no necesariamente es el mismo de la proposición directa. Proposición contrarrecíproca o contrarrecíproco: es una implicación cuyo antecedente es la negación del consecuente de la implicación directa y cuyo consecuente es la negación del antecedente de la implicación directa. El valor de verdad de la proposición contrarrecíproca necesariamente es el mismo de la proposición directa. Operadores lógicos: Negación: sea una proposición p, entonces ‘no p’ o ‘negación de p’ se define como: Verdadera, cuando p es falsa; Falsa, cuando p es verdadera. 14 Conjunción: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposición compleja ‘p y q’ se define como: Verdadera, cuando p y q son ambas verdaderas; Falsa, cuando p es falsa o q es falsa o ambas son falsas. Disyunción: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposición compleja ‘p o q’ se define como: Verdadera, cuando p es verdadera o q es verdadera o ambas son verdaderas; Falsa, cuando p y q son ambas falsas. Implicación: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposición compleja ‘p entonces q’ se define como: Falsa, cuando q es verdadera y p es falsa; Verdadera, en cualquier otro caso. Si en las implicaciones p es falsa, se dice que su valor de verdad es trivialmente verdadero. Equivalencia: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposición compleja ‘p equivale a q’ se define como: Verdadera, cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas falsas; Falsa, en cualquier otro caso. Cuantificadores: una proposición puede ser verdadera siempre o en algunas circunstancias particulares. La forma lógica de poner en evidencia esta condición es mediante los cuantificadores. Si una proposición es cierta bajo toda circunstancia de las variables en las que esté definida, se dice justamente así: que para todo caso de la variable, la proposición es verdadera. En símbolos: sea p ( x ) una proposición cuya variable es x , que se cumple para todo valor de x , entonces se dice ∀x, p( x) . Si una proposición es cierta sólo bajo algunas circunstancias de las variables en las que esté definida, se dice: que existe algunos casos de las variables para los cuales la proposición es verdadera. En símbolos: sea p ( x ) una proposición cuya variable es x , que se cumple para algunos valores de x , entonces se dice ∃x, p( x) Cuando se combinan cuantificadores hay que tener en cuenta que el orden en que afectan a la proposición es muy importante. No necesariamente tiene el mismo valor de verdad (∀x)(∃y), p( x) que (∃y )(∀x), p( x) . 15 Negación de cuantificadores: en algunas técnicas de demostración es necesario hacer negación de proposiciones compuestas de cuantificadores, por eso se presenta acá la forma de hacerlo. Para negar ∀x, p( x) se dice ∃x, p( x) ; es decir que la negación de que si para todo x se cumple p ( x ) , es que existe x que hace que se cumpla la negación de p ( x ) . De manera análoga, para negar ∃x, p( x) se dice ∀x, p( x) ; es decir que la negación de que si existe x que hace que p ( x ) se cumpla, es que para todo x se cumple la negación de p ( x ) . 16 3. TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN 3.1. Demostración por reducción al absurdo. Según Daniel Solow [Sol93], la técnica de demostración por reducción al absurdo parte de la negación de la tesis dada (siendo la tesis dada B y la negación NO B), y la inclusión de esta negación en la hipótesis general A, de modo tal que se asumen A y NO B como verdaderos. A partir de entonces se trabaja progresivamente desde la nueva hipótesis (que incluye a A y a NO B), hasta llegar a una contradicción que permita asumir como verdadera a B. Analogía de esta técnica: Un hombre quiere probar a su esposa que desde que eran novios a él le gustaba el fútbol. Ella no le cree porque no recuerda que él fuera así de apasionado por este deporte. Entonces él le dice que si a él no le gustara tanto el fútbol, él no sabría quiénes juegan en todos los equipos del campeonato y no se acordaría de los marcadores que ha obtenido su equipo preferido… e inmediatamente procede a decir marcadores y alineaciones y a pedirle a ella que los confirme en internet, lo que hace que él demuestre que tiene la razón. Pasos para aplicar la técnica de demostración por reducción al absurdo: 1. Incluir como otra hipótesis la negación de B. 2. Proceder progresivamente hasta encontrar una contradicción. La contradicción se puede encontrar al comparar una proposición derivada de la nueva hipótesis (que incluye a A y a NO B), con A, con una proposición derivada en la demostración o con una verdad establecida. Ejemplo: Demostremos por reducción al absurdo que si n y m son enteros tales que n + n 2 + n 3 = m + m 2 , entonces n es par. 1. Incluir como otra hipótesis la negación de B: n es impar ( n no es par). 2. Proceder progresivamente hasta encontrar una contradicción. La contradicción se puede encontrar al comparar una proposición derivada de la nueva hipótesis (que incluye a A y a NO B), con A, con una proposición derivada en la demostración o con una verdad establecida: como n es impar, entonces n 2 y n3 son ambos impares, de donde n + n 2 + n 3 es impar (ya que es la suma de tres impares). Entonces, como m + m 2 = n + n 2 + n 3 , se tiene que m + m 2 es impar. Sin embargo 17 m + m 2 es siempre par (ya que m + m 2 = m(m + 1) y necesariamente alguno de los números m o m + 1 es par). Hemos llegado a una contradicción. De allí se tiene que n es par, que es lo que queríamos demostrar. En este caso tuvimos una contradicción con una verdad establecida: que al multiplicar un número impar por un número par, el resultado es un número par. 3.2. Demostración por contrarrecíproco. En esta técnica se empieza por negar la tesis (B), para convertirla en hipótesis y así cambiar la hipótesis inicial A por NO B, así mismo se niega la hipótesis (A), para convertirla en tesis; entonces se trabaja progresivamente únicamente desde NO B, con el fin de llegar a probar NO A. Esto es posible pues el valor de verdad de A implica B es el mismo valor de verdad de NO B implica NO A. Analogía de esta técnica: Un joven le asegura a su madre que si llueve, él no saldrá con su novia en la noche. Su madre sale al mercado y vuelve en la noche y no encuentra a su hijo en casa, es decir que supone que salió con su novia, de lo que puede deducir que cerca de su casa no llovió en este día. Pasos para aplicar la técnica de demostración por contrarrecíproco: 1. Cambiar la hipótesis A por la negación de B (NO B). 2. Cambiar la tesis B por la negación de A (NO A). 3. Proceder mediante la técnica de demostración regresiva-progresiva para demostrar NO A. Ejemplo: Demostremos por la técnica de demostración por contrarrecíproco que: si x y p son dos números enteros donde x + p es par, entonces x y p tienen la misma paridad. 1. Cambiar la hipótesis A por la negación de B: x y p son dos números con paridad opuesta. 2. Cambiar la tesis B por la negación de A: la suma de x y p debe dar como resultado un número impar. 3. Proceder mediante la técnica de demostración regresiva-progresiva para demostrar NO A: asumimos que x y p tienen paridad opuesta. Esto implica que uno de estos números enteros es par y el otro impar, no perdemos la generalidad si suponemos que x es par y p es impar. 18 Entonces hay números enteros k y m donde x = 2k y p = 2 m + 1 . Ahora, computamos la suma x + p = 2 k + 2 m + 1 = 2( k + m ) + 1 , resulta un número entero impar por la definición, lo que demuestra NO A. 3.3. Demostración por inducción. “Existe una forma muy especial de B para la cual se ha desarrollado separadamente una técnica de demostración conocida como inducción matemática, esta inducción debe considerarse cuando B tiene la forma: Para todo entero n > 1 , ‘algo sucede’, donde algo que sucede es algún enunciado que depende del entero n . Cuando se considera la técnica por inducción, las palabras claves que deben buscar son ‘entero’ y ‘ > 1 ’” (Pág. 63, [Sol93]). Pasos para aplicar la técnica de demostración por inducción: 1. Verificar que P (1) es verdadero. 2. Suponer que P ( n ) es cierta. 3. Demostrar que P ( n + 1) es cierta. Analogía de esta técnica: (Esta técnica no es aplicable en sentido estricto en la vida diaria, puesto que depende de procesos infinitos; sin embargo, se podría bosquejar una analogía en un proceso de larga duración) Un día, sin más ni más, un aguacero cayó en la ciudad: “llegó el invierno”, pensó Fabiana, la mayor de las Fernández, que había vivido suficiente para ‘oler’ este tipo de aguaceros y reconocerlos como iniciadores del invierno, que en aquellas tierras era un suceso inolvidable. En efecto, al siguiente día y más o menos a la misma hora, volvió a llover torrencialmente, y parece que fue sólo para que Fabiana pensara: “Me estoy volviendo vieja, ya hasta puedo predecir con certeza los fenómenos que no la tienen”. De hecho, ella pudo suponer que como todos los años, en el desfile de la Virgen iba a llover y que seguiría así por mucho, mucho tiempo… Ejemplo: Demostremos por la técnica de demostración por inducción que si a1 , a2 ...an son números reales y a1a2 ...an = 0 , entonces ai = 0 para algún i con 1 ≤ i ≤ n . 19 1. Verificar que P (1) es verdadero es trivial porque sólo a1 podría ser cero. 2. Suponer que P ( n ) es cierta: es lo mismo que decir que si a1a2 ...an = 0 entonces ai = 0 para algún i con 1 ≤ i ≤ n . 3. Demostrar que P ( n + 1) es cierta: para esto suponga que a1 , a2 ...an , an +1 son números reales tales que a1a2 ...an an +1 = 0 . Dado que ( a1a2 ...an ) an +1 = 0 , se sigue que a1a2 ...an = 0 o an +1 = 0 . Si a1a2 ...an = 0 , entonces por P(n), ai = 0 para algún i con 1 ≤ i ≤ n ., y estaría probado, o si no, an +1 = 0 , lo que también probaría la proposición. 3.4. Demostración regresiva- progresiva. Es importante hacer acá una anotación acerca del sentido del nombre de esta técnica. El hecho de que se haya invertido y se llame ahora regresiva-progresiva y no progresiva-regresiva es debido a que el método general para demostrar proposiciones matemáticas tiene una lógica estratégica, es decir, una lógica que piensa primero en los productos que hay que conseguir y luego piensa en los insumos que se necesitan para hacerlo; esto permite hacer una selección más adecuada y precisa de los insumos con relación a los productos. Partiendo de la base de que A es todo aquello que se presupone como verdadero (la hipótesis) y que B es todo lo que se está demostrando (la tesis), Solow [Sol93], explica que cuando se busca determinar cómo llegar a la conclusión de que B es verdadero, se está realizando el proceso regresivo, y cuando se hace uso específico de la información contenida en A, se está haciendo uso del proceso progresivo. Analogía de esta técnica: El pensamiento usado en esta técnica es muy usado en la planeación estratégica, en la que se comienza haciendo una caracterización detallada del producto a conseguir, para luego pensar en el método necesario para alcanzarlo; este método se piensa de adelante para atrás, con el fin de que todos los pasos dispuestos sean suficientes y necesarios para alcanzar el producto. Pasos para aplicar la técnica de demostración regresiva-progresiva: 20 1. Realizar la pregunta de abstracción: Iniciar con la pregunta: “¿cómo o cuándo puedo concluir que la proposición B es verdadera?” (Pág. 24). Esta pregunta será nombrada pregunta de abstracción, caracterizada por la ausencia de símbolos o notaciones del problema específico en consideración. 2. Contestar correctamente la pregunta de abstracción 2.1 Dé una respuesta abstracta: explique lógica y verbalmente cómo podría demostrar que B es verdadero sin hacer uso de símbolos, datos o notaciones matemáticas. 2.2 Aplique la respuesta abstracta a la situación específica: responda la respuesta abstracta haciendo uso de los datos, símbolos o notaciones que sean necesarios para obtener una respuesta específica. Esta nueva respuesta proporciona una nueva proposición, B1, con la propiedad de que si se pudiese demostrar que B1 es verdadero, entonces B sería verdadero. 2.3 Continúe dando respuesta a la pregunta abstracta a partir de la primera proposición derivada de B que obtuvo (B1). Repita este ciclo hasta que sea posible. 3. Hacer uso del proceso progresivo para derivar algorítmicamente proposiciones de A que permitan llegar a proposiciones de las que B se deriva. 3.1 Identifique la proposición A que se supone como verdadera. 3.2 Obtenga proposiciones derivadas de A, partiendo de teoremas e integración de proposiciones anteriores. 3.3 Escoja una de las proposiciones derivadas de A obtenidas (A1, A2, A3), que permita ayudar a comprobar B. Ejemplo: Sea A: el triángulo XYZ de catetos de longitud x e hipotenusa de longitud z isósceles, y sea B: el triángulo XYZ tiene por área z2 . 4 1. Realizar la pregunta de abstracción: ¿cómo puedo concluir que el área de un triángulo isósceles dado se obtiene al elevar la hipotenusa al cuadrado y dividirla entre cuatro. 2. Contestar correctamente la pregunta de abstracción: 2.1 Dé una respuesta abstracta: esto lo puedo demostrar si soy capaz de demostrar que multiplicar la hipotenusa al cuadrado y dividirla entre cuatro es igual a usar la fórmula estándar para obtener el área de cualquier triángulo. 2.2 Aplique la respuesta abstracta a la situación específica: 21 z 2 xx = 4 2 2.3 Continúe dando respuesta a la pregunta abstracta a partir de la primera proposición derivada de B que obtuvo (B1). Repita este ciclo hasta que sea posible: si abstraemos B1: z 2 xx = 4 2 obtenemos que B2: z 2 = 2 x 2 , de modo que esta es otra respuesta algorítmica a la pregunta de abstracción; sin embargo, no es posible seguir abstrayendo z 2 = 2 x 2 , por lo que hay que empezar a hacer uso del proceso progresivo. 3. Hacer uso del proceso progresivo para derivar algorítmicamente proposiciones de A que llegar a z 2 = 2x2 . 3.1 Identifique la proposición A. En este caso que A es el triángulo isósceles XYZ de catetos de longitud x e hipotenusa de longitud z . 3.2 Obtenga proposiciones derivadas de A, partiendo de teoremas e integración de proposiciones anteriores. A1: De A podemos deducir el teorema de Pitágoras: x 2 + y 2 = z 2 , puesto que XYZ es un triángulo rectángulo. A2: Como XYZ es además un triángulo isósceles, tendríamos: x 2 + x 2 = z 2 A3: la fórmula anterior simplificada quedaría: 2x 2 = z 2 3.3 Escoja una de las proposiciones derivadas de A obtenidas (A1, A2, A3), que permita ayudar a comprobar B: en este caso escogemos la proposición A3 que concuerda con B2. La anterior demostración se puede representar de la siguiente manera: A: XYX triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa z Hipótesis A1: x 2 + y 2 = z 2 Teorema de Pitágoras A2: x 2 + x 2 = z 2 A3=B2: 2x 2 = z 2 Por ser XYZ isósceles z 2 x2 = 4 2 2 z B: A = 4 Reescritura algebraica Reescritura algebraica B1: Puesto que A = 22 x2 2 3.5. Demostración por distinción de casos. De acuerdo con Balaguera [Bal04], “en muchas ocasiones la situación que propone una demostración es tal que se puede clasificar en un número finito de casos posibles, o bien en un conjunto infinito de clases de casos y cada uno de ellos se puede tratar mediante algún truco diferente para obtener la conclusión a la que queremos llegar” (Pág. 36). Analogía de esta técnica: Se quiere demostrar que las personas que han afrontado pérdidas grandes se vuelven más tolerantes a la frustración. Para esto, se piensa que las variables de género, edad y clases social pueden influenciar los efectos, y por eso, se decide armar muestras de personas que se diferencien en estas variables. Pasos para aplicar la técnica de demostración por distinción de casos: 1. Identificar casos en los cuales se cumpla la tesis propuesta. 2. Demostrar la tesis para cada uno de los casos. Ejemplo: Demuestre que para dos números naturales cualesquiera x e y es imposible que se verifique 3x 2 = y 2 + 1 1. Identificar casos en los cuales se cumpla la tesis propuesta: puesto que el primer término es múltiplo de 3 es claro que y no lo puede ser. Por lo tanto y es de una de las dos formas posibles: Caso a: y = 3h + 1 Caso b: y = 3h − 1 2. Demostrar la tesis para cada uno de los casos: Para el caso a: (3h + 1) 2 = 9h 2 + 6h + 1 = 3(3h 2 + 2h) + 1 = 3k + 1 Para el caso b: (3h − 1) 2 = 9h 2 − 6h + 1 = 3(3h 2 − 2h) + 1 = 3k + 1 En cualquier caso y 2 es de la forma 3x + 1 que nunca puede ser igual a 3x 2 . 23 3.6. Demostración de existencia. Solow [Sol93] explica que los problemas que tienen cuantificadores de tipo ‘existe’ que surgen de manera natural en muchos postulados matemáticos, deben ser resueltos haciendo uso de la técnica de demostración por existencia ya que su proposición tendrá la forma básica: existe un ‘objeto’ con una ‘cierta propiedad’ tal que ‘algo sucede’. Analogía de esta técnica: “Yo no creo que exista un político limpio”, dijo Camilo. “Pues creo que si lo hay, y estoy dispuesto a demostrártelo”, contestó Mariana, y se dedicó a buscarlo. Pasos para aplicar la técnica de demostración de existencia: 1. Identificar el cuantificador ‘existe’ en la tesis; si éste no lo tiene explícito debe escribirse nuevamente para que lo contenga explícitamente. 2. Identificar las características del elemento del cual se quiere demostrar su existencia. 3. Crear un elemento que cumpla las condiciones de la proposición. *Nota: A veces es útil usar la técnica de reducción al absurdo o la técnica regresiva para hacer demostraciones de existencia. Ejemplo: Si a , b , c , d , e, f son números reales con la propiedad de que ( ad − bc ) ≠ 0 , entonces las dos ecuaciones lineales ( ax + by ) = e y ( ex + dy ) = f tiene solución para x e y . 1. Identificar el cuantificador ‘existe’ en la tesis; si éste no lo tiene explícito debe escribirse nuevamente para que lo contenga: si a , b , c , d , e, f son números reales con la propiedad de que ( ad − bc ) ≠ 0 , entonces existen x e y que son solución de las dos ecuaciones lineales ( ax + by ) = e y ( ex + dy ) = f . 2. Identificar las características del elemento del cual se quiere demostrar su existencia: x e y deben cumplir simultáneamente las ecuaciones ( ax + by ) = e y ( ex + dy ) = f . 3. Crear un elemento que cumpla las condiciones de la proposición: hay dos formas posibles para encontrar el elemento que cumpla las condiciones: la primera, que depende de la habilidad de quien está demostrando, es la de intento y verificación. Esta forma es perfectamente válida 24 pero puede ser dispendiosa; la segunda se basa en la construcción de los elementos, ya sea por vías algebraicas, geométricas, analíticas, etc. Usando la segunda forma, se multiplica la ecuación ax + by = e por d , y la ecuación cx + dy = f por b , y efectuando la diferencia entre las dos ecuaciones, obtiene ( ad − bc ) x = ( de − bf ) . A partir de la hipótesis, ( ad − bc ) ≠ 0 y, por tanto, dividiendo entre ( ad − bc ) se tiene x = (de − bf ) (af − ce) . Un argumento similar muestra que y = . (ad − bc) (ad − bc ) 3.7. Demostración de unicidad. La técnica de demostración de unicidad está relacionada con la tesis o como se ha venido diciendo, con la proposición B. En este caso no sólo se requiere demostrar la existencia de un objeto con cierta propiedad tal que algo sucede, sino también que el objeto es único. Se sabe que hay que utilizar esta técnica cuando la tesis contiene la palabra ‘único’ así como el cuantificador ‘existe’. Analogía de esta técnica: “¡Yo conocí a una persona que medía 2,65 metros!”, dijo uno. “Qué casualidad, yo también conocí una persona de esa altura”, dijo dos. “Era calvo y se llamaba Antonio”, replicó uno. “Extraño, la persona de la que habló también era calvo y también se llamaba Antonio; ¿acaso era profesor de matemáticas?”, dijo dos. “Sí, de geometría analítica”, contesto uno. “Entonces era el mismo, porque con esas características sólo puede haber uno”, terminó dos. Pasos para aplicar la técnica de demostración de unicidad: 1. Demostrar que el objeto existe haciendo uso la técnica de demostración de existencia o por la técnica de demostración por reducción al absurdo. 2. Demostrar la unicidad del elemento que existe; para esto hay dos formas comunes: Forma 1: Suponga que hay dos elementos diferentes que comparten cierta propiedad común. Use esta propiedad y la información en A para demostrar que los dos elementos son iguales entre sí. Forma 2: 25 Suponga que hay dos elementos diferentes que comparten cierta propiedad común y para los cuales algo sucede. Llegue a una contradicción usando la información en A, la propiedad común y lo que sucede para llegar a una contradicción. *Nota: En la forma 1 usted puede hacer uso de la técnica regresiva-progresiva para demostrar que los elementos son iguales. Ejemplo: Si r es un número real positivo entonces existe un único número real x tal que x 3 = r . 1. Demostrar que el objeto existe haciendo uso la técnica de demostración de existencia o la técnica de reducción al absurdo: se va a suponer que esta parte está demostrada, pues no es el centro de esta técnica de demostración. 2. Demostrar la unicidad del elemento que existe: en este caso vamos a usar la forma 2. Suponga que hay dos elementos diferentes que comparten cierta propiedad común y para los cuales algo sucede: entonces se supone que existen x e y tales que x 3 = r y y 3 = r y además r es positivo. Llegue a una contradicción usando la información en A, la propiedad común y lo que sucede para llegar a una contradicción: por consiguiente, x3 = y 3 y entonces 0 = x3 − y 3 = ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) . Dado que x ≠ y , entonces x 2 + xy + y 2 = 0 . De la fórmula se deduce que: x = − y ± ( y 2 − 4 y 2 ) − y ± −3 y 2 = y puesto que x es un 2 2 número real, y debe ser cero, pero entonces r = y 3 = 0 contradiciendo así la hipótesis de que r es positivo. 26 4. ERRORES LÓGICOS COMUNES AL HACER DEMOSTRACIONES En esta sección se presentan algunos errores lógicos comunes al demostrar proposiciones matemáticas. Estos errores se extrajeron y adaptaron del documento How to write proofs: a quick guide [Che04]. Esta lista de errores se puede usar como una lista de chequeo para el paso final del método general para demostrar proposiciones matemáticas. 4.1. Usar la tesis como hipótesis y demostrar la hipótesis. Esto es un error porque la implicación p ⇒ q no necesariamente tiene el mismo valor de verdad de la implicación q ⇒ p . 4.2. Demostrar dando saltos demasiado largos entre las proposiciones. Esto incluye: - No justificar una afirmación que no es obvia. - No hacer explícitos demasiados pasos entre dos afirmaciones. - Usar un teorema sin demostrarlo. - Usar un teorema sin mencionarlo. 4.3. Usar proposiciones falsas como soporte de la demostración. Cada una de las afirmaciones que se hagan al demostrar una proposición matemática debe tener sustento en afirmaciones cuya veracidad ha sido demostrada, por eso es importante ir paso por paso verificando que así sea. 4.4. Demostración verbal. Aunque no es un error como tal, sí es una mala práctica escribir en palabras no matemáticas (o por lo menos no ‘muy matemáticas’) afirmaciones sobre una demostración; esto es señal común de que se tiene la idea sobre la demostración, pero hace falta depurarla aun más. 27 4.5. Usar una lógica incorrecta. Este error es muy común y es grave. En esta categoría se incluye: - Negar una afirmación incorrectamente. - Probar el recíproco de una proposición en vez de la proposición. 4.6. Hacer suposiciones incorrectas. Las suposiciones correctas aligeran el peso de una prueba y pueden ayudar a entender mejor el proceso de demostración; sin embargo, las suposiciones incorrectas pueden aligerar este peso demasiado y hacer que la demostración sea errónea. 4.7. Sobre las definiciones. Es normal que se usen definiciones correctas, pero mal usadas; no obstante, es más normal que se usen malas definiciones. Pero este es un error muy evitable, pues sólo requiere de una cuidadosa lectura de las definiciones para hacer una justa correspondencia con las circunstancias de la demostración que se está llevando a cabo. 4.8. Asumir demasiado. En el caso de que no se sepa si usar algo o no porque no se ha confirmado que sea cierto, el consejo es hacer uso de prudencia (que hace verdaderos sabios) y probarlo antes de usarlo. 28 5. CONTEXTOS DE USO DE LAS TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN Antes de presentar el método general para demostrar proposiciones matemáticas, es necesario describir los contextos de cada una de las técnicas de demostración que van a estar articuladas en éste. Sobra decir que disponer de una buena cantidad de técnicas de demostración es absolutamente inútil si no se dispone de una caracterización detallada de los contextos en que son aplicables, pues de lo contrario la elección de dicha técnica demostración sería un juego de intento y error que, aparte de causar frustración, se convertiría en una mecanización absurda que no implicaría ningún tipo de pensamiento. No obstante, de las siete técnicas de demostración que se presentan en este escrito, sólo cuatro merecen una descripción detallada de su contexto de aplicación, puesto que en las tres restantes el contexto es obvio, éstas son: demostración por distinción de casos, para la que el contexto se da cuando la tesis tiene diferentes casos que componen una sola proposición; y las demostraciones de existencia y unicidad, que se hacen en el caso de que sea explícitamente determinado en la proposición. Los contextos de las cuatro técnicas restantes se presentan a continuación. 5.1. Demostración por inducción: esta técnica es muy poderosa, pues en realidad no sólo permite demostrar la veracidad de una proposición, sino de infinitas. Sin embargo, como ya se vio, es una técnica que encapsula otra demostración, y de esta manera, implica que se haga la selección y aplicación de otra técnica de demostración. Esta técnica se debe usar cuando se quiera demostrar una proposición que se cumple para un conjunto de infinitos números enteros, que tiene mínimo. Como ejemplos se pueden considerar los siguientes: 1. Para todo entero n ≥ 1, n ∑k = k =1 n(n + 1) ; nótese que existe una proposición cada vez que n 2 es un entero diferente, comenzando desde n = 1 . 29 2. Para cada entero n ≥ 4 , n ! > n 2 ; acá también hay una proposición cada vez que n es un entero diferente, pero esta vez comenzando desde n = 4 . 3. Existe un entero n ≥ 0 tal que 2 n > n 2 ; esta no es una demostración que se pueda hacer por inducción, puesto que la proposición no está dada para todos los enteros a partir de alguno, sino que se trata de encontrar el entero que cumple la condición. Por eso, esta es una prueba de existencia. 5.2. Demostración por reducción al absurdo: esta técnica se usa cuando la negación de la tesis dé alguna información útil; o cuando la tesis sea dicotómica, es decir que la negación de la tesis usa términos que son más significativos que la tesis en forma afirmativa; o cuando la tesis está expresada en forma negativa, en este caso hay que tener cuidado con las negaciones implícitas; o cuando hay que hacer pruebas de existencia en las que es difícil caracterizar el elemento que cumple las condiciones. Como ejemplos se pueden considerar los siguientes: 1. 2 es irracional; esta proposición se demuestra clásicamente usando la técnica de reducción al absurdo, pues la negación de la tesis provee información más útil que en la forma como es expresada originalmente: 2 es racional, ya que así se podría expresar de la forma a con a b y b enteros y b ≠ 0 . 2. Si n es un entero y n 2 es par, entonces n es par; acá la negación de la tesis dice que n es impar, de modo que es una tesis dicotómica que provee información útil al ser tomada como hipótesis. 3. Ninguna cuerda de un círculo es mayor que un diámetro; en este caso, usar la técnica de reducción al absurdo hace que se pueda incluir en la hipótesis la proposición: existe una cuerda mayor que un diámetro. 30 4. Sea XYZ un triángulo rectángulo isósceles con ángulo recto en Z, entonces el área de XYZ de puede dar por z2 ; en este caso, en cambio, no es prudente aplicar la técnica de reducción al 4 absurdo puesto que al negar la tesis tendríamos que A ≠ z2 , lo que no nos dice exactamente a 4 qué equivaldría el área. 5.3. Demostración por contrarrecíproco: esta técnica se usa cuando tanto la hipótesis como la tesis son fáciles de negar y expresadas de esta forma proveen información más útil para la demostración. Por ejemplo: 1. S es un subconjunto de un conjunto T de números reales. Si S es no acotado, entonces T es no acotado; en este caso es mejor usar el concepto de conjunto acotado, y por esta razón es mejor usar la técnica de demostración por contrarrecípoco para expresar la implicación así: si T es acotado entonces S es acotado. 2. Si c es un entero impar, entonces la solución de la ecuación n 2 + n − c = 0 , no es un entero impar; en este caso la negación de ambas partes de la implicación produce proposiciones con sentido que permiten aplicar la técnica de demostración por contrarrecíproco, quedando la proposición compuesta expresada así: si la solución de la ecuación n 2 + n − c = 0 es un entero impar entonces c es un entero par. 5.4. Demostración regresiva-progresiva: a pesar de que en la mayoría de manuales sobre demostración esta técnica se presenta en primer lugar, en aras de la determinación de su contexto de uso es mejor pensar en ésta en último lugar. Así, se debe usar la demostración regresivo-progresiva cuando no se ha podido usar ninguna de las técnicas anteriores. Sin embargo, hay que advertir que la técnica de demostración regresiva-progresiva está incluida de alguna manera en todos las técnicas anteriores, salvo en la demostración por reducción al absurdo. 31 6. MÉTODO GENERAL PARA DEMOSTRAR PROPOSICIONES MATEMÁTICAS El núcleo del presente escrito está expresado en esta sección. En ella se hace una articulación metacognitiva de todos los elementos que se han presentado anteriormente en éste. El método general para demostrar proposiciones matemáticas es: 1. Identifique la proposición de la que se compone la tesis (tenga en cuenta si dicha tesis tiene diversos casos). 2. Identifique las proposiciones que componen la hipótesis. 3. Asegúrese de comprender cada una de las proposiciones que componen la tesis. 4. Asegúrese de comprender cada una de las proposiciones que componen la hipótesis. 5. Escoja la técnica de demostración más apropiada. Para esto, tenga como referencia la anterior sección de este escrito y lleve el siguiente orden: a. Demostración por casos (esta demostración puede incluir cualquiera de las técnicas que van a continuación) b. Demostración de existencia. c. Demostración de unicidad. d. Demostración por inducción. e. Demostración por reducción al absurdo. f. Demostración por contrarrecíproco. g. Demostración regresiva-progresiva. 6. Aplique la técnica escogida. 7. Lea la demostración escrita para: a. Revisar que no se hayan cometido errores lógicos o disciplinares. b. Resumirla o resecuenciarla, si hay necesidad. A continuación se hacen algunas anotaciones necesarias para la mejor comprensión del método. Se puede notar que antes de analizar la hipótesis, se analiza la proposición que compone la tesis, esto se debe a que, desde el punto de vista estratégico, la comprensión de la tesis permite tener posteriormente 32 una ‘comprensión dirigida’ de la hipótesis, es decir, permite leer la hipótesis con preguntas claras que le dan mayor significado a las proposiciones que la componen. La comprensión de las proposiciones que están incluidas en la tesis y la hipótesis requiere que se entiendan los tres tipos de lenguaje en los que están escritas (verbal, lógico y conceptual) en los tres niveles (sintáctico, gramatical y semántico). De esta comprensión dependen los tres mecanismos que se presentan como indispensables para llegar a demostrar una proposición: escoger la técnica más adecuada, derivar progresivamente y abstraer regresivamente, además de poder usar las estrategias específicas de cada técnica. Además, el conocimiento de que existen tres tipos de lenguaje con tres niveles cada uno que es necesario comprender en cada proposición a demostrar ayuda a una persona a determinar en cuál de ellos puede tener falencias, de modo que se las pueda solventar particularmente. La re-lectura de la demostración es vital no sólo para la detección de errores, sino para profundizar en su comprensión. Esta profundización en la comprensión se evidencia cuando la persona que está demostrando la proposición es capaz de expresarse más claro y con menos palabras. Los siguientes ejemplos ilustran el método usando diferentes técnicas de demostración; en ellos se escriben de nuevo los pasos del método y se muestra cómo se aplicaron en la demostración. Primer ejemplo Proposición: Para todo entero x , x ( x + 1) es par. 1. Identifique la proposición de la que se compone la tesis (tenga en cuenta si dicha tesis tiene diversos casos). La tesis está compuesta de la proposición: x ( x + 1) es par. Esta proposición se puede probar para cuando x es par o para cuando x es impar, por lo tanto hay dos casos que demostrar. 2. Identifique las proposiciones que componen la hipótesis. La hipótesis está compuesta de la proposición ∈ o mejor aun ∀, ∈ 33 3. Asegúrese de comprender cada una de las proposiciones que componen la tesis. La comprensión de esta tesis pasa por implicar que x + 1 es el siguiente de x , y que el hecho de que un número sea par implica que sea divisible por 2 o que se pueda escribir como dos multiplicado por un entero cualquiera. (Puede haber otras proposiciones que se pueden implicar de la tesis; mientras más se encuentren, es mejor, sin embargo la profundidad de estas implicaciones depende del nivel de compresión de cada persona) 4. Asegúrese de comprender cada una de las proposiciones que componen la hipótesis. Garantizar esta comprensión, como ya se dijo, pasa por hacer implicaciones, tales como que si ∈ entonces x puede ser par o impar, o x puede ser un número positivo, negativo o cero. Esta última implicación, no tiene relevancia a la luz de lo que ya se había comprendido de la tesis; esta es la utilidad de comprender primero la tesis. 5. Escoja la técnica de demostración más apropiada. Para esto, tenga como referencia la anterior sección de este escrito. Ya se determinó que esta demostración es por casos ( x es par o impar), sin embargo hay que determinar con qué técnica se va a proceder para probar cada caso. Esta proposición no determina que debamos probar existencia ni unicidad, por lo tanto se piensa si será posible usar la técnica de demostración por inducción; sin embargo se nota que aunque se trata de demostrar para un conjunto de números enteros (pues x es entero), éste no tiene mínimo, entonces no se puede usar esta técnica. Entonces se piensa en la posibilidad de usar la técnica de demostración por reducción al absurdo, lo cual es posible pero no práctico pues la negación de la tesis no produce información útil para la demostración. Por la misma razón, y por el hecho de que negar la hipótesis es muy difícil, se concluye que no se debe usar la técnica de demostración por contrarrecíproco. Entonces se nota que sólo queda la técnica de demostración regresiva-progresiva para ambos casos. 6. Aplique la técnica escogida. 34 Caso 1: supóngase que x es par. Por lo tanto debe existir un número entero que al multiplicarse por dos tenga por resultado x . Este entero se llamará k , de modo que x = 2k . Entonces remplazamos en la expresión x( x + 1) , así: x ( x + 1) = 2 k (2 k + 1) . Acá se puede notar que la expresión tiene una parte que es factor de dos. Se llamará a esa parte y , así: y = k (2 k + 1) ; así entonces y es un entero y x ( x + 1) = 2 y , y por lo tanto x ( x + 1) es par. Caso 2: supóngase que x es impar. Por lo tanto debe existir un número entero que al multiplicarse por dos y sumarle uno tenga por resultado x . Este entero se llamará k , de modo que x = 2k + 1 . Entonces remplazamos en la expresión x( x + 1) , así: x ( x + 1) = (2 k + 1)(2 k + 2) . Acá se puede notar que la expresión tiene una parte que es factor de dos cuando factorizamos así: 2(k + 1)(2k + 1) . Se llamará a esa parte y , así: y = ( k + 1)(2 k + 1) ; y entonces y es un entero y x ( x + 1) = 2 y , por lo tanto x ( x + 1) es par. 7. Lea la demostración escrita para: a. Revisar que no se hayan cometido errores lógicos o disciplinares. b. Resumirla o resecuenciarla, si hay necesidad. La demostración resumida (nos damos cuenta de que no conviene unir los casos) queda así: Caso 1: supóngase que x es par. Escójase un entero k tal que x = 2 k . x ( x + 1) = 2 k (2 k + 1) . Sea y = k (2 k + 1) ; entonces y es un entero y x ( x + 1) = 2 y , por lo tanto x ( x + 1) es par. Caso 2: supóngase que x es impar. Escójase un entero k tal que x = 2k + 1 . x ( x + 1) = (2 k + 1)(2 k + 2) . Sea y = (2 k + 1)( k + 1) ; entonces y es un entero y x ( x + 1) = 2 y , por lo tanto x ( x + 1) es par. Segundo ejemplo Proposición: El elemento identidad e de un grupo es único. 1. Identifique la proposición de la que se compone la tesis (tenga en cuenta si dicha tesis tiene diversos casos). El elemento identidad, e , de un grupo es único. 35 2. Identifique las proposiciones que componen la hipótesis. e es el elemento identidad de un grupo. 3. Asegúrese de comprender cada una de las proposiciones que componen la tesis. Del hecho de que e sea el elemento identidad de un grupo se deduce que e * a = a * e = a para cualquier elemento a del grupo. Además hay que comprender que no puede haber otro elemento identidad porque e es único. 4. Asegúrese de comprender cada una de las proposiciones que componen la hipótesis. Acá no hay nada relevante que entender más allá de que estamos trabajando en una estructura de grupo y que, por lo tanto, se aplican las propiedades que la definen: clausurativa, asociativa, elemento identidad y elemento inverso. 5. Escoja la técnica de demostración más apropiada. Para esto, tenga como referencia la anterior sección de este escrito y lleve el siguiente orden: No es una demostración por casos, ni de existencia, pero sí es una demostración de unicidad porque hay que probar que un elemento es único. 6. Aplique la técnica escogida. La técnica de demostración de unicidad consiste en suponer que hay dos elementos identidad diferentes, así e1 ≠ e2 y llegar a la conclusión de que son el mismo. Si ambos elementos e1 y e2 son elementos idénticos deben cumplir que pertenezcan al grupo y que: e1 * a = a * e1 = a y e2 * a = a * e2 = a para todo a del grupo. Entonces e1 * e2 = e2 * e1 = e1 pero e1 * e2 = e2 * e1 = e2 de modo que e2 = e1 así que sólo hay un elemento idéntico. 7. Lea la demostración escrita para: a. Revisar que no se hayan cometido errores lógicos o disciplinares. 36 b. Resumirla o resecuenciarla, si hay necesidad. Al revisar la demostración se nota que para usar la transitividad de la última parte de la prueba no es necesario decir que e1 * e2 = e2 * e1 = e1 y e1 * e2 = e2 * e1 = e2 , sino que sólo basta decir e1 * e2 = e1 y que e1 * e2 = e2 , lo que acorta la demostración y la hace más clara. Tercer ejemplo Proposición: La suma de un número racional y un número irracional es irracional. 1. Identifique la proposición de la que se compone la tesis (tenga en cuenta si dicha tesis tiene diversos casos). ∈ ℚ′ 2. Identifique las proposiciones que componen la hipótesis. Para todo x , ∈ ℚ; y para todo y , ∈ ℚ′ 3. Asegúrese de comprender cada una de las proposiciones que componen la tesis. De que x + y sea irracional se deriva que x + y no se puede escribir de la forma a con a y b b enteros. 4. Asegúrese de comprender cada una de las proposiciones que componen la hipótesis. Si x es racional, se puede escribir de la forma a con a y b enteros; pero como y es irracional, no b se puede escribir de esta forma. 5. Escoja la técnica de demostración más apropiada. Para esto, tenga como referencia la anterior sección de este escrito y lleve el siguiente orden: 37 Esta proposición no involucra casos; ni hay que generar un elemento para mostrar su existencia; ni pide demostrar que un elemento es único; tampoco es una prueba sobre números enteros, lo que hace que no pueda seguirse una demostración por inducción; como la hipótesis es débil, sería provechoso agregar la negación de la tesis a dicho conjunto de hipótesis, de modo que se proceda hasta llegar a una contradicción, esto es usar la técnica de demostración por reducción al absurdo. 6. Aplique la técnica escogida. Lo primero es negar la tesis e incluirla como una hipótesis más: Existe un número racional x y un número irracional y tal que x + y es racional. Luego se procede progresivamente hasta encontrar una hipótesis: Se puede ver que y = ( x + y ) − x , y como se asumió que x + y y x son racionales, y como la diferencia de dos números racionales es un número racional, entonces y debe ser racional, pero eso contradice la hipótesis, y eso demuestra la tesis. 7. Lea la demostración escrita para: a. Revisar que no se hayan cometido errores lógicos o disciplinares. Al re-leer la demostración se puede pensar que se usó demasiado de prisa el hecho de que la diferencia de dos números racionales es un número racional. Por lo tanto, conviene dejar en claro que esto es cierto, así: a c ad − bc − = que es un racional pues b d bd ∈ y d ∈ y d 0 puesto que tanto b como d son diferentes de cero. b. Resumirla o resecuenciarla, si hay necesidad. Después de haber hecho la precisión anterior, la demostración queda suficientemente clara. 38 7. CONCLUSIONES 1. Es innegable que la demostración es pilar de la construcción matemática, de hecho esto se puede ver en los diversos usos que tiene. Demostrar proposiciones, incluso aquellas cuya veracidad ya está determinada, es tal vez la forma más eficiente de ganar profunda comprensión sobre éstas; a través de la demostración, los matemáticos en formación desarrollan los procesos de pensamiento matemático que les permitirán desenvolverse en su profesión; y, como es obvio, la demostración es la forma como las matemáticas ‘de punta’ se desarrollan, conjeturando y probando cada vez más y más útiles proposiciones que hacen avanzar no sólo a esta área del conocimiento, sino a todas aquellas que se nutren con su verdades. 2. Demostrar implica compartir cultura. El hecho de que una demostración de una proposición sea comprendida por varias personas, las involucra en una misma comunidad cultural que comparte códigos y significados. 3. La utilidad de las otras técnicas de demostración diferentes a la regresiva-progresiva se hace evidente en este escrito: no siempre es sencillo obtener una demostración directa de una proposición tal como está propuesto. No obstante hay corrientes matemáticas que desprecian las otras técnicas (sobre todo la reducción al absurdo), el matemático se privaría de poderosas herramientas si, por un purismo estéril, decidiera no utilizar más que la técnica regresivaprogresiva. 4. Aunque las demostraciones matemáticas se escriben desde el inicio hasta el final, no necesariamente se piensan en ese mismo orden. Las diversas técnicas expuestas en este escrito hacen evidente que gestar una demostración implica una lógica diferente a la que se explicita comúnmente en su escritura. Esto trae una derivada pedagógica: en la enseñanza de las matemáticas (que pocas veces es realmente enseñanza de la lógica demostrativa) los profesores ‘relatan’ las demostraciones tal como están escritas, enseñando pasivamente la falacia de que tal como se escribe es como se piensa para demostrar. 5. Para demostrar una proposición es necesario comprender los tres tipos de lenguaje en los que está expresada: verbal, lógico y conceptual, cada uno en sus tres niveles: sintáctico, gramático y 39 semántico, pues sólo esto garantiza la posibilidad de generar implicaciones valiosas y pertinentes que conduzcan a la demostración de la tesis. 6. Los tres tipos de lenguaje son importantes para la demostración de proposiciones matemáticas, sin embargo, el lenguaje lógico es el que le da el armazón a la prueba, por eso es esencial. Allí radica la importancia de comprender la forma de funcionamiento de los principios lógico matemáticos (operadores lógicos, cuantificadores) para tener éxito en la formulación de demostraciones. 7. El método general para demostrar proposiciones matemáticas resalta la importancia de los lenguajes como vigas estructurales que sostienen la comprensión de las ideas; también explicita los contextos de uso de cada técnica de demostración y los ordena para facilitar su selección; por último, reúne todas las técnicas de demostración usuales y las articula en un solo algoritmo, lo que hace que su comprensión y uso se faciliten. Por estas razones se justifica la valía de este método como desarrollo de conocimiento matemático. 8. No obstante este texto presenta un método general de demostración que hace visibles todas las ‘cartas’ que permiten comprender e integrar las técnicas para probar proposiciones matemáticas, la destreza en este proceso sólo se adquiere con la práctica, que además de automatizar la habilidad, se conjuga con la metacognición para generar técnicas particulares y personalmente efectivas. 40 8. RECOMENDACIONES El método general para demostrar proposiciones matemáticas, tal como está expuesto en este escrito, se convierte en la enseñanza nuclear de un curso para aprender a probar matemáticamente. Por eso, recomiendo a quien quiera basarse en éste que integre esta enseñanza con las de la lógica para fortalecer la formación inicial de los matemáticos. El proceso demostrativo matemático requiere de altas dosis de creatividad, pero contrario a lo que podría pensarse, dicha creatividad no surge espontáneamente, sino que es fruto de una profunda comprensión (en los tres tipos de lenguaje y sus tres niveles) de las proposiciones que componen un teorema. Por esto, sugiero a quien vaya a usar este método de manera pedagógica que enseñe la forma de identificar en una proposición cada uno de los tipos de lenguaje y sus niveles, de manera que sirvan para hacer metacognición sobre la forma de pensar al formular la demostración. Con base en el método estructurado en este escrito, sería posible hacer una investigación sobre las mayores dificultades que tienen las personas al demostrar proposiciones matemáticas. Esto podría ayudar a crear metodologías de intervención para ayudar a los matemáticos en formación, e incluso formados, a mejorar su comprensión de las matemáticas y del proceso demostrativo. 41 BIBLIOGRAFÍA [Bal04] J. 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