ExTipoEstadisticaSegParReducida2014

Estadística
Examen tipo segundo parcial
Semestre 2014-1
Parte 1. Propiedades de los Estimadores
1. Sea (X1 , X2 ,..Xn) una muestra aleatoria de una variable aleatoria
discreta Poisson X con parámetro desconocido 𝜆 :
1
a) Muestre que ambos estimadores son insesgados: 𝜃1 = ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 y 𝜃2 =
𝑛
1
(𝑋1 + 𝑋2 )
b) ¿Cuál estimador es más eficiente?
2
2. Sea:
yt = b0+ b1x1t+b2x2t+...+bixKt + ut, t= 1,2,…,T,
Con expresión matricial:
y = xb+u
Siendo:
y =vector columna 1*T que contiene las observaciones de la variable
estocástica y;
x = matriz T*K que muestra las T observaciones de K variables no
estocásticas x, con la primera columna igual a uno, para representar la
intersección;
b = vector columna 1*K de los parámetros b0, b1, …, bK
u = vector columna 1*T de términos de perturbación estocástica
y cumpliéndose:
ut ~N(0,2), t=1,2,…,T
E(uiuj)=0,i ≠j, i,j = 1,…,T.
Muestre que el estimador :
de b, es:
b* = (x’x)-1x’y
a) insesgado
b) tiene varianza mínima.
3. Considérese el modelo estadístico multivariado normal (MVN):
F(y,) = t=1T {[1/(2)0.5]exp{-0.5[(yt-)/]2}
Con parámetros  = (,2) y estimadores:
 = t=1Tyt/T
Y
2=(1/T) t=1T(yt-) 2
a) Obtenga la matriz de información de Fisher para el conjunto de
parámetros 
b) Usando el Límite Inferior de Cramer-Rao, determine si los estimadores
 y 2 son eficientes y explique por qué
Parte 2. Estimación de parámetros: Métodos de mínimos cuadrados
ordinarios, máxima verosimilitud y momentos
4. Sea:
yt = b0+ b1x1t+b2x2t+...+bixKt + ut, t= 1,2,…,T,
Con expresión matricial:
y = xb+u
Siendo:
y =vector columna 1*T que contiene las observaciones de la variable
estocástica y;
x = matriz T*K que muestra las T observaciones de K variables no
estocásticas x, con la primera columna igual a uno, para representar la
intersección;
b = vector columna 1*K de los parámetros b0, b1, …, bK
u = vector columna 1*T de términos de perturbación estocástica
y cumpliéndose:
ut ~N(0,2), t=1,2,…,T
E(uiuj)=0,i ≠j, i,j = 1,…,T.
Obtenga los estimadores mínimo cuadráticos para b y 2.
5.
Sea una muestra de tamaño 6, cuyos datos son: 0.70, 0.63, 0.92,
0.86, 0.43, 0.21, de una variable aleatoria continua Y cuya función de
2𝑦
densidad esta dada por : 𝑓𝑦 (𝑦; 𝜃) =
, 𝜃 ≤ 𝑦 ≤ 1.Se Pide encontrar el
1−𝜃
estimador de Máxima Verosimilitud para 𝜃.
6.
Para la función de distribución log-normal dada por:
Log {(22)-T/2 exp[-(T/22)(y-x)’(y-x)]}
Donde:
y =vector columna 1*T que contiene las observaciones de la variable
estocástica y;
x = matriz T*K que muestra las T observaciones de K variables no
estocásticas x0, x1, …, xK , con la primera columna igual a uno, para
representar la intersección;
 = vector columna 1*K de los parámetros 0, 1, …, K,
a) Calcule los estimadores de máxima verosimilitud para  y 2.
b) A partir de ese cálculo, derive un estimador insesgado para 2.
7. Use el Método de momentos para estimar 𝜆, tomando en cuenta que
el tamaño de la muestra es n: la función de densidad viene dada por
𝑓𝑦 (𝑦; 𝜆) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑦 , 𝑦 ≥ 0.
Parte 3. Pruebas de Hipótesis
8. Antes de sacar un producto al mercado de Estadística, una Librería
desea probar la hipótesis, con un nivel de significancia del 2.0 % de que el
precio promedio de tales libros es de $ 650.0. ¿esta afirmación se sustenta
con una muestra de 50 libros de Estadística tiene una media de $ 629.70 y
una desviación estándar de $128.7?.
9. Dos procesos de producción se utilizan para producir ciertas tuberías.
Una muestra de 100 tubos tomada del primer proceso de producción
tiene una longitud de 27.3 pulgadas y s=10.3 pulgadas. Las cifras
correspondientes para los 100 tubos por el segundo proceso son 30.1 y
5.2. ¿ que revela un intervalo de confianza del 99.0% sobre la diferencia
en las longitudes promedio de los tubos producidos por estos dos
procesos?
10. Se obtuvieron los estimadores de Máxima Verosimilitud para los
parámetros de la variable mt, definida como:
mt = b0 + b1yt+b2pt+b3it+ut
mt ~MVN(b0 + b1yt+b2pt+b3it, s)
Siendo:
mt = Agregado monetario M1
yt = gasto real de los consumidores
pt = deflactor implícito de yt
it = tasa de interés sobre los depósitos en cuenta corriente a 7 días
Usando datos que van del primer trimestre de 1963 al cuarto trimestre de
1982, se obtuvieron los siguientes resultados:
mt = 2.896 + 0.690yt+0.865pt - 0.055it+ut
(1.034) (0.105) (0.020) (0.013)
En donde los términos entre paréntesis son las desviaciones estándar de
los estimadores de los parámetros b0 a b3, s = 0.0393 y T = 80.
Considerando esa información:
a) Calcule estadísticos ti, i = 1,2,3,4, para evaluar la prueba de hipótesis:
H0i : bi = 0
H1i : bi ≠ 0
Determine si tales hipótesis pueden rechazarse o aceptarse al 95% de
confianza y explique las implicaciones para mt del rechazo/aceptación.
b) Para s02 = 0.001, calcule un estadístico ji-cuadrado para evaluar la
hipótesis:
H0: s2 = s02
H1: s2>s02
Determine si esa hipótesis puede aceptarse o rechazarse al 95% de
confianza y explique las implicaciones para mt del rechazo/aceptación.