UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD TÉCNICA CARRERA TOPOGRAFÍA Y GEODESIA PROYECTO DE GRADO APLICACIÓN DE LA PROYECCIÓN LOCAL TRANSVERSAL DE MERCATOR (LTM) SOBRE EL PLANO TOPOGRÁFICO LOCAL (PTL), MEDIANTE OBSERVACIONES CON ESTACIÓN TOTAL ENTRE PUNTOS DE CONTROL POSTULANTE: TUTOR: RICHARD TOLA VARGAS Lic. JUSTO DANIEL FLORES VARGAS La Paz – Bolivia 2010 Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia DEDICATORIA A mi familia por su apoyo incondicional. 3 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia AGRADECIMIENTOS ESPECIALES A Lic. Justo Daniel Flores Vargas Lic. Reynaldo A. Sirpa Ticona Por su ayuda en la realización del presente Proyecto de Grado. Y un agradecimiento muy especial a Doc. T.S. Maria Eugenia Mariaca que me incentivo a realizar investigaciones en el área de Geodesia. 4 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia AGRADECIMIENTOS Lic. Eduardo Llanos Martínez Lic. Jaime Silva Mollinedo Ing. Vitaliano Miranda Angles Lic. Blenda Jaimes Piñeiro A Rosa Paola Montejo Amblo 5 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia RESUMEN: Con el avance de la Ciencia y la implementación de nuevas tecnologías tales como el GPS y la estación total, se incrementan y facilita ampliamente la precisión y cálculos requeridos en geodesia, que traen consigo nuevas metodologías reemplazando a los métodos clásicos por el uso de nuevas metodologías, llevándonos a investigar y analizar nuevas formas de aplicar y reducir cálculos matemáticos. Al momento de realizar una medición con estación total, el factor atmosférico, influye en tal grado que las distancias se deforman, produciendo una variación en la distancia mensurada, y al momento de representarlo en un plano georeferenciado donde se muestre la distancia topográfica se genera una incertidumbre. En el presente Proyecto de Grado se mostrará y analizará la influencia del factor atmosférico utilizando la corrección por PPM, también se compara la variación de distancias: proyectada, topográfica y geodésica, analizando los factores de escala y la aplicación de la Proyección Local Transversal de Mercator (LTM), la ventaja que presenta el uso de esta proyección es de facilitar ampliamente los requerimientos de la ingeniería debido a que en esta proyección se mantiene el valor de la distancia topográfica, representando la superficie topográfica en un plano georeferenciado. Se aplica la proyección LTM, para el control horizontal en una poligonal de 9351.278 metros utilizando distancias topográficas, obteniéndose un error de cierre lineal de 0.132 metros y angular de 14.247”, facilitando de esta forma las operaciones, y cálculos que se requiere en la representación de las distancias topográficas. Palabras claves: Proyección Local Transversal de Mercator, Plano Topográfico Local, Sistema de Proyección, Sistema de referencia, Factor de Escala, PPM. 6 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia ÍNDICE DE MATERIAS CAPITULO I GENERALIDADES Pág. 1.- INTRODUCCIÓN 1.1.- PROBLEMÁTICA 1.2.- OBJETIVOS 1.2.1.- OBJETIVO GENERAL 1.2.2.- OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1.3.- ÁREA DE TRABAJO 1.3.1.- UBICACIÓN GEOGRÁFICA 1.3.2.- UBICACIÓN FISIOGRÁFICA 1.4.- JUSTIFICACION 13 13 15 15 15 15 15 15 17 CAPITULO II MARCO TEORICO 2.- GEODESIA 2.1.- FINALIDADES Y PROPÓSITOS DE LA GEODESIA 2.1.2.- GEODESIA GEOMETRICA 2.1.3.- HISTORIA DE LA GEODESIA 2.2.- LA TIERRA 2.2.1.- FORMAS DE LA TIERRA 2.2.2.- ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN 2.3.- SISTEMAS DE REFERENCIA GEODÉSICO 2.3.1.- SISTEMA DE REFERENCIA GLOBAL 2.3.1.1.- EL SISTEMA TERRESTRE INTERNACIONAL 2.3.1.2.- SISTEMA DE REFERENCIA TERRESTRE INTERNACIONAL ITRS 2.3.1.3.- SISTEMA DE REFERENCIA TERRESTRE CONVENCIONAL (CTRS). 2.3.1.5.- WGS-84 2.3.1.6.- ACTUALIZACIÓN DEL SISTEMA WGS-84 2.3.2.- SISTEMAS DE REFERENCIA LOCAL 2.3.2.1.- PSAD-56 2.3.2.2- SAD-69 2.4.- MARCO DE REFERENCIA 2.4.1.- MARCOS DE REFERENCIA GLOBAL 2.4.1.1.- ITRF 2.4.1.2.- SIRGAS 2.4.2.- MARCO DE REFERENCIA LOCAL (RED MARGEN BOLIVIA) 2.5.- GEODESIA CLASICA 2.5.1.- CONTROL HORIZONTAL 2.5.2.- CONTROL VERTICAL 2. 6.- MEDICION DE DISTANCIAS CON ESTACION TOTAL 2.6.1.- DISTANCIÓMETROS ELECTRÓNICOS 2.6.2.- ESTACIÓN TOTAL (ET) 2.6.2.1.- FUNCIONAMIENTO 2.6.2.2.- CARACTERÍSTICAS 2.6.2.3.- FUNCIONES DE MEDICIÓN DE DISTANCIA 2.6.2.4.- FUNCIONES DE MEDICIÓN ANGULAR 2.6.2.5.- FACTORES DE CORRECCIÓN 2.7.- SISTEMAS DE COORDENADAS 18 18 19 19 21 22 24 25 26 26 27 27 29 30 30 31 32 32 32 32 33 35 36 36 37 38 39 40 41 41 42 43 43 43 7 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 2.7.1.- SISTEMA DE COORDENADAS GEODESICAS 2.7.2.- SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ESPACIALES 2.7.3.- SISTEMA DE COORDENADAS CARTOGRAFICAS 2.8.- PROYECCIONES CARTOGRAFICAS 2.8.1.- TIPOS DE PROYECCIÓN SEGÚN SU DEFORMACION 2.8.1.1.- PROYECCIONES DE ÁREA EQUIVALENTES (IGUAL ÁREA) 2.8.1.2.- PROYECCIÓN EQUIDISTANTE (IGUAL DISTANCIA) 2.8.1.3.- PROYECCIÓN CONFORME 2.8.1.4.- PROYECCIONES DE DIRECCIÓN VERDADERA 2.9.- TIPOS DE PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS SEGÚN LA SUPERFICIE AL CUAL SE PROYECTA 2.9.1.- PROYECCIONES PLANAS O AZIMUTALES 2.9.2.- PROYECCIONES SOBRE SUPERFICIES DE CUERPOS DESARROLLABLES A). PROYECCIONES CILÍNDRICAS B). PROYECCIONES CÓNICAS 2.10.- PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA DE MERCATOR 2.10.1.- PROYECCIONES CILÍNDRICAS DE MERCATOR 2.10.1.1.- PROYECCIONES NORMALES 2.11.- PROYECCIONES TRANSVERSALES DE MERCATOR 2.11.1.- PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSAL DE MERCATOR (UTM) 2.11.1.1.- CARACTERÍSTICAS 2.11.1.2.- DESCRIPCIÓN DE UNA ZONA UTM 2.11.2.- PROYECCION GAUSS KRUGER 2.11.3.- PROYECCIÓN LOCAL TRANSVERSAL DE MERCATOR (LTM) 2.11.3.1.- PROYECCIÓN LTM Y PLANOS TOPOGRÁFICOS LOCALES (PTL) 2.12.- DEDUCCION DE FORMULAS 2.12.1.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A LTM 2.12.2.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LTM A GEODÉSICAS 2.12.3.- CONVERGENCIA DE MERIDIANOS (γ) 2.12.4.- FACTOR DE LA ESCALA DE REPRESENTACION (k) 2-12.5.- INFLUENCIA DE LA CURVATURA TERRESTRE (d) 2.12.6.- FACTOR COMBINADO (Kt) 44 44 45 46 47 47 47 48 48 49 49 51 51 51 52 54 55 57 58 59 61 62 63 65 67 67 75 79 82 83 85 CAPITULO III METODOLOGIA 3.1.- ANALISIS DE INFORMACION EN GABINETE 3.1.1.- HIPÓTESIS 3.1.2.- ANALISIS DE LAS DISTANCIAS 3.1.3.- CÁLCULO DE DISTANCIAS 3.2.- ETAPA DE CAMPO 3.3.- ANALISIS DE RESULTADOS 3.3.1.- ANÁLISIS DEL PPM 3.3.2.- CÁLCULO PLANO TOPOGRÁFICO LOCAL (PTL) 3.3.3.- COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO 3.3.4.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A LTM 3.3.5.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LTM A COORDENADAS GEODÉSICAS 3.3.6.- REDUCCIÓN DE DISTANCIAS A LA PLANO DE PROYECCION UTM UTILIZANDO EL FACTOR COMBINADO (Kt). 3.3.7.- REDUCCIÓN DE DISTANCIAS AL ELIPSOIDE DE LOS PUNTOS GPS UTILIZANDO FACTOR DE ALTURA. 3.3.8.- ANÁLISIS DE LA TOLERANCIA 3.3.9.- CÁLCULO DE UNA POLIGONAL DE ENLACE 3.3.10.- CONTROL HORIZONTAL 87 87 89 90 91 96 96 97 97 98 99 100 102 103 105 107 8 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 3.3.11.- TRANSFORMACION DE COORDENADAS LTM A COORDENADAS GEODÉSICAS 3.3.12.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A COORDENADAS UTM 3.3.13.- VERIFICACION DE DISTANCIAS 108 109 109 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 4.1.- CONCLUSIONES 4.2.- RECOMENDACIONES 110 112 5.- ANEXOS 113 6.- BIBLIOGRÁFIA 135 9 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia ANÉXOS.Anexo A Anexo B Anexo C Anexo D Anexo E Anexo F Anexo G Anexo H Anexo I Anexo J Anexo K Anexo L Anexo M Anexo N Estación BEVI, Foto de la estación y Plaqueta. Estación BPUL, Foto de la estación. Vista Panorámica del Illimani. Croquis de ubicación de las estaciones del proyecto Viacha-Collana. Estación BM-DK 14. Foto de la estación y la plaqueta Estación GP-VC12. Foto de la estación y la plaqueta Estación GP-VC13. Foto de la estación y la plaqueta. Estación GP-VC14. Foto de la estación y la plaqueta. Reporte GPS. Reporte de la estación total. Tabla de corrección por PPM. Formulas de corrección atmosferica. Planillas de campo. Mapa de ubicación de estaciones geodésicas GPS 10 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia ÍNDICE DE GRÁFICOS Fig. 1 Vista panorámica de la Ciudad de La Paz. Fig. 2 Vista panorámica Viacha-Collana. Fig. 3 Movimiento de rotación Fig. 4 Movimiento de presesión Fig. 5 Distancias obtenidas con la Estación Total Fig. 6 Representación de una onda electromagnética Fig. 7 Emisión y Recepción de la onda. Fig. 8 Coordenadas Geodésicas y Espaciales Fig. 9 Proyecciones Cartográficas según la superficie al cual se proyecta. Fig. 10 Proyecciones Acimutales Fig. 11 Proyecciones Cilíndricas Fig. 12 Proyecciones Cónicas Fig. 13 Gerardo Mercator Fig. 14 Mapa de Europa realizado por Gerardo Mercator Fig. 15 Planisferio de Rumold Mercator, realizado en 1587 Fig. 16 Proyecciones Cilíndricas Simples Fig. 17 Proyección Cilíndrica Ortomórfica Fig. 18 Proyección Oblicua de Mercator Fig. 19 Aspecto Oblicuo Proyección Mercator Fig. 20 Zonas UTM Fig. 21 Plano PTL. Formula del factor de elevación. Fig. 22 Plano PTL Fig. 23 Elipsoide Fig. 24 Zona de Proyección Fig. 25 Distancia en el elipsoide Fig. 26 Distancia en Proyección Fig. 27 Plano Topográfico Local Fig. 28 (Latitud Isométrica φ1=q1) Fig. 29 Convergencia de meridianos Fig. 30 Ángulo de convergencia de meridiano. Fig. 31 Ángulo central con un con un Radio Real Fig. 32 Ángulo central con un radio igual a 1 Fig. 33 Factor Combinado Fig. 34 Plano PTL Fig. 35 PTL vs Altura Elipsoidal Fig. 36 distancia sobre el plano PTL. Fig. 37 Comparación de distancias: Inclinada, Elipsoidal y UTM 16 17 22 22 38 39 39 45 49 50 51 52 53 53 54 55 56 56 57 60 64 65 67 67 68 68 74 76 80 81 83 83 85 88 89 100 103 11 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1 Datos generales de la tierra Tabla 2 Densificación ITRF/SIRGAS Tabla 3 Tolerancia por PPM Tabla 4 Factores de escala en las diferentes Proyecciones Mercator. Tabla 5 Coordenadas geodésicas y ubicación. Tabla 6 Distancia Elipsoidal, Inclinada y su diferencia Tabla 7 Distancia Elipsoidal, distancia UTM y su diferencia Tabla 8 Resumen de Distancias medidas con la Estacion Total Sokkia SET-350 RK Tabla 9 Distancia Horizontal sin corrección y con corrección atmosférica. Tabla 10 Cálculo de las coordenada Media. Tabla 11 Resumen de coordenadas LTM Tabla 12 Resumen Coordenadas Geodésicas Tabla 13 Comparación de distancias mensuradas y calculadas Tabla 14 Comparación de distancias: UTM obtenida por Kt y la calculada de sobre el Plano UTM. Tabla 15 Comparación de distancias: Elipsoidal obtenida por Kh y la calculada de sobre el Elipsoide. Tabla 16 Cálculo de distancia horizontal y vertical Tabla 17 Coordenadas Geodésicas Tabla 18 Cálculo de la coordenada Media. Tabla 19 Cálculo de Coordenadas LTM Tabla 20 Cálculo y corrección del error de cierre angular Tabla 21 Cálculo y corrección del error de cierre lineal. Tabla 22 Resumen de coordenadas geodésicas. Tabla 23 Resumen de coordenadas UTM. Tabla 24 Comparación de distancias: Topográfica y calculada por coordenadas LTM. Tabla 25 influencia de la corrección atmosférica 22 34 43 87 90 90 91 94 96 97 98 99 100 101 102 105 106 106 106 107 108 108 109 110 111 PLANILLAS Planilla 1, 2, 3 Observación de distancias sin PPM Planilla 4, 5, 6 Observación de distancias con PPM Planilla 7, 8, 9,10 Lectura de distancias ángulos por serie. 128 129 131 12 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia CAPITULO I GENERALIDADES 1.- INTRODUCCION La geodesia es la ciencia que estudia la forma y dimensiones de la Tierra, utiliza un elipsoide de referencia sobre el cual se realizan los cálculos matemáticos para la determinación de distancias, ángulos, coordenadas (elipsoidales y coordenadas cartesianas espaciales), etc., para que las coordenadas elipsoidales estén relacionados a la superficie terrestre tienen que ser materializados a partir de un punto datum, del cual se densifica en redes de control, a nivel Sudamérica se tiene la Red SIRGAS (Sistema de Referencia Geocéntrico para las América), y para Bolivia se tiene la Red MARGEN (Marco de Referencia Geocéntrico Nacional). Estas redes son materializadas mediante mojones o monumentos, denominados como puntos GPS1, estos son los que llevan los valores en coordenadas geodésicas de latitud, longitud y altura elipsoidal. Las redes de control geodésico son de gran importancia, ya que apoyadas en estas redes se densifican otras de menor precisión, a la clasificación de las diferentes redes se la denomina “CLASES” según la clasificación realizada por el Instituto Geográfico Militar (IGM), a partir de estos puntos GPS se realiza la representación georeferenciada de áreas más pequeñas. Estas pequeñas áreas son obtenidas mediante métodos topográficos; al momento de representarlo en un plano de proyección, se generan varias incertidumbres tales como: la influencia de los factores atmosféricos, el tipo de coordenadas que se utiliza y la proyección de la distancia al momento de llevarlo a un sistema de proyección. En el presente proyecto de grado, se aclararán todas estas incertidumbres, se planteará el sistema de Proyección Local Tranversal de Mercator (LTM) y su aplicación en el campo de la topografía, utilizando un sistema de coordenadas locales, tomando en cuenta parámetros geodésicos y de proyección cartográfica, se comprobarán las diferencias entre la distancia topográfica (obtenida por la estación total) y la distancia obtenida por cálculo sobre el plano de proyección local utilizando coordenadas (LTM), además de su variación con respecto a la distancia sobre el sistema de proyección UTM. 1.1.- PROBLEMÁTICA En los diferentes trabajos topográficos georeferenciados, el problema surge al momento de realizar la representación de distancias topográficas, sobre un plano de proyección en el cual se conserve su verdadera magnitud sin deformación, a continuación un ejemplo donde se muestra la deformación de una distancia: Se requiere mostrar una distancia de 10 metros en un plano donde esta distancia sea representada en 3 metros. La solución a este problema será la utilización de un factor de escala que nos permita realizar la representación: 1 Sistema de Posicionamiento Global. 13 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Factor de escala= (3 metros/10 metros)=0. 3 Distancia representada = (distancia real) (factor de escala) Distancia representada = (10 metros) (0. 3) Distancia representada = 3 metros. En este ejemplo se muestra el factor de escala por el cual debe ser multiplicado la distancia real para llevarlo a su distancia representada. Sucede lo mismo cuando se utiliza un sistema de proyección UTM, una distancia sobre el plano UTM está deformado con respecto a la verdadera distancia (distancia topográfica) al cual está representando, además el factor de escala utilizado para la proyección tiene una correspondencia del elipsoide al plano de proyección por ejemplo: Representar la distancia entre dos puntos GPS que tiene una distancia elipsoidal de 100 metros y otra de 10000 metros en una zona UTM que pase por el MC. Para representar esta distancia geodésica se debe multiplicar por el factor de escala. Para la distancia de 100 metros: Distancia sobre el plano UTM= (distancia geodesica) (factor de escala) Distancia sobre el plano UTM= (100 metros) (0.9996) Distancia sobre el plano UTM= 99,96 metros Ahora para la distancia de 10000 metros: Distancia sobre el plano UTM= (10000 metros) (0.9996) Distancia sobre el plano UTM= 9996 metros Se observa que el valor del factor de escala en este caso es el mismo para ambas distancias debido a que ambas distancias están sobre la línea del MC. y que la variación de la distancia sobre el plano UTM está en función a la distancia: “A mayor distancia mayor deformación”. En conclusión la problemática es la representación de la distancia topográfica en un plano de proyección de tal forma que facilite los diferentes cálculos que se realicen sobre la superficie topográfica. Utilizando un plano de proyección que conserve la distancia topográfica, donde la correspondencia sea superficie Topográfica al Plano de Proyección. La solución a este problema de la topografía es la utilización de un sistema de proyección que conserve las distancias topográficas y ángulos, este sistema de proyección se la conoce con el nombre de Proyección Local Transversal de Mercator, el cual se la desarrolla en el presente proyecto de grado. Partiendo de una línea base (dos puntos GPS visibles entre sí), las coordenadas geodésicas de estos puntos GPS son transformados a coordenadas LTM, tomando en cuenta los parámetros locales que se generan en función a la coordenada geodésica media del área de trabajo. El valor de la tolerancia está sujeto a varios factores que se analizarán en el presente proyecto de grado como ser: tolerancia del equipo, el factor de escala (FKL), además de la influencia del factores atmosféricos, y el uso del factor combinado para la proyección de la distancia topográfica a la distancia sobre la proyección UTM. 14 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 1.2.- OBJETIVOS 1.2.1.- OBJETIVO GENERAL Aplicar un Sistema de Proyección Local Transversal de Mercator (LTM) sobre un Plano Topográfico Local (PTL), generado a partir de la coordenada geodésica media de la línea base y que permita determinar la distancia topográfica. 1.2.2.- OBJETIVOS ESPECÍFICOS v Obtener mediante cálculo de transformación las coordenadas LTM desde el sistema de Coordenadas Geodésicas y viceversa. v Analizar la variación de las distancias elipsoidal, inclinada y la proyectada (UTM) v Analizar los factores incidentes en la Proyección LTM. v Verificar la variación de distancias por influencia de los factores atmosféricos. v Analizar y aplicar el factor combinado. v Comprobar la variación que existe entre la distancia obtenida mediante el cálculo inverso teniendo dos coordenadas LTM y la distancia obtenida con la estación total (distancia topográfica) v Realizar el control horizontal mediante el sistema de Proyección LTM en una poligonal de enlace. 1.3.- ÁREA DE TRABAJO 1.3.1.- UBICACIÓN GEOGRÁFICA El presente proyecto de grado, se la desarrolla en dos áreas de trabajo la primera en la ciudad de La Paz Provincia Murillo y la segunda en la localidad de Viacha Provincia Ingavi del Departamento de La Paz Bolivia. 1.3.2.- UBICACIÓN FISIOGRÁFICA La primera área se encuentra ubicado entre las provincias fisiográficas del Altiplano y la cordillera Oriental o Real, en la ladera sur oeste de la Cordillera Oriental. La Ciudad de La Paz está asentada sobre las riveras del rio Choqueyapu que cruza de oeste a este y pequeños rios que nacen en las laderas altas y depositan sus aguas a lo largo del trayecto de este rio. Presenta un suelo con una textura más gruesa en la superficie es decir franco arenoso con afloramientos rocosos de un color pardo oscuro y en profundidad es limoso y arenoso. Su variedad de tipos litológicos comprenden: desde rocas constituidos por arenisca, cuarcitas, lutitas, y pizarras, hasta depósitos aluviales conformados por grava, limos y arcillas del cuaternario. Las laderas escarpadas y disectadas, de topografía irregular que comprende formaciones de La Paz, Miraflores, Pampajasi y torrentes de barro. 15 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Presenta la forma valle fluvial formado por material aluvial, el clima es templado y húmedo, ubicado a una altura media de 3600 msnm. Presenta una vegetación rala con árboles y arbustos y áreas de pajonal. Fig. 1 Vista panorámica de la Ciudad de La Paz La segunda área de trabajo se encuentra en la Provincia Fisiográfica del Altiplano presenta una topografía plana, se caracteriza por su altura, ya que en ella se encuentran las cimas más altas de Bolivia, presenta una meseta plana semidesértica, con estepas y pajonal de clima frio y seco, ubicado a una altura media de 4000 msnm. Se halla situada en medio de las cordilleras Oriental y Occidental, presenta paisajes como las Serranías Interaltiplánicas. El Altiplano es una cuenca sedimentaria intramontañosa cuyos sedimentos han sido mayoritariamente depositados en condiciones de endorreísmo y levantados por los mismos movimientos tectónicos que han dado origen a la Cordillera Andina desde hace unos 15-25 millones de años. Los mecanismos tectónicos responsables de estos movimientos son aún poco entendidos y existe una variedad de modelos que intentan relacionar la subducción oceánica bajo los Andes con la historia del levantamiento de los sedimentos del Altiplano. El Altiplano es una cuenca endorreica. La mayor parte de la precipitación tiene lugar en el extremo Norte del mismo y es colectada por el lago Titicaca. Sólo una pequeña parte de esta agua no es evaporada y es estacionalmente drenada a través del río Desaguadero hasta el Lago Poopó, muy somero y salino. Ocasionalmente tiene también este último algún excedente de agua no evaporada que es drenada a los salares de Coipasa y Uyuni, punto más bajo de la cuenca2. 2 www.wikipedia.org/wiki/Altiplano. 16 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Fig. 2 Vista panorámica Viacha-Collana 1.4.- JUSTIFICACIÓN La ventaja de la proyección Local Transversal de Mercator, reside en que soluciona rigurosamente el problema de la tolerancia planimetríca requerido para los proyectos de ingeniería que estén ligados a los vértices de la red geodésica GPS, referida al sistema SIRGAS, que coincida con la distancia obtenida por cálculo de coordenadas LTM y las de terreno. La representación georeferenciada de la superficie topográfica, se la realiza proyectando la superficie topográfica a un plano topográfico local (PTL), de tal forma que la diferencia entre la distancia topográfica medida con la ET y la distancia sobre el plano PTL sea mínima, de esa manera la distancia sobre el plano PTL mostrará la realidad métrica del terreno. Este plano está en función al radio medio de curvatura y la altura elipsoidal media del área de trabajo, la proyección LTM adopta husos de 1º de longitud, con Meridiano Central Local (MCL), calculado en función a la longitud media de la línea base o del área de trabajo. Debido a la gran precisión que ofrece es aplicable a proyectos de ingeniería, facilita de gran manera los requerimientos de los diferentes trabajos en el campo de la topografía como ser: proyectos de ingeniería vial, levantamientos topográficos, catastro y obras de ingeniería civil, que estén ligados a la red GPS es decir que estén georeferenciados. 17 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia CAPITULO II MARCO TEÓRICO 2.- GEODESIA Geodesia, palabra derivada de la voz griega gêodaisia (geo, Tierra; daien, dividir) de manera literal significa: “dividir la Tierra” 3. El concepto básico de Geodesia fue formulado en el siglo XIX, como “la ciencia de la medición y representación de la superficie de la Tierra”. En las primeras décadas del siglo XX, se consideraba a la Geodesia como la “ciencia, que trata de las investigaciones de la forma y dimensiones de la superficie terrestre”. Planteaba a su vez que los métodos empleados para alcanzar estos propósitos eran: v La medición de longitudes de arcos (meridianos, paralelos o arcos oblicuos) en la superficie de la Tierra, combinada con la determinación de las posiciones astronómicas de puntos en estos arcos. v La medición de distancias en una red de triángulos cubriendo un área, combinada igualmente con la determinación de posiciones astronómicas. v La medición de la fuerza de gravedad en diferentes partes de la superficie terrestre. Sin embargo, los diferentes avances obtenidos, tanto tecnológicos como científicos, dieron lugar hace tres décadas a la consideración del concepto que se tenía hasta entonces, este no reflejaba el papel que la geodesia representaba en los tiempos actuales, exigiendo por tanto el planteamiento de una nueva definición y alcance del concepto de geodesia. Sólo hasta 1973, una definición más amplia fue presentada, considerando la “Geodesia como la disciplina que trata con la medición y representación de la Tierra, incluyendo su campo de gravedad terrestre, en un espacio tridimensional variante con el tiempo”. Actualmente la geodesia se define como: “Ciencia matemática que tiene por objeto determinar la figura y magnitud de la Tierra, así como su campo gravitatorio” 4. 2.1.- FINALIDADES Y PROPÓSITOS DE LA GEODESIA El primer objetivo práctico de la geodesia es: suministrar un marco de referencia preciso para el control de levantamientos topográficos georeferenciados. La geodesia tiene dos finalidades que son: v Científica. v Práctica. 3 Torge Wolfgrang, 1983, Geodesia-Introducción, Editorial DIANA S.A, Traducido por: Gualterio Luthe Garcia, Mexico-Tlacoquemecatl, pag. 13. 4 Zakatov P. S., 1981, CURSO DE GEODESIA SUPERIOR-Problemas de Geodesia Superior nociones fundamentales y definiciones, Editorial MIR, Traducido por: Jose Abel Rico Baez, URSS, pag. 11. 18 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia La científica es puramente especulativa por que abarca el estudio teórico de la forma y dimensión del globo terráqueo. La finalidad práctica permite la materialización de los puntos de apoyo conformando la red geodésica que servirá como estructura geométrica precisa para los trabajos topográficos. Los principales propósitos de la Geodesia se pueden resumir en lo siguiente: v Establecimiento y mantenimiento de redes de control geodésico tridimensionales, nacionales y globales, reconociendo el tiempo como aspecto variante en dichas redes. v Medición y representación de fenómenos geodinámicos tales como movimiento polar, mareas terrestres, y movimientos de corteza. v Determinación del campo de gravedad terrestre, incluyendo las variaciones temporales. v Determinación de parámetros, similar a los geodésicos, para otros cuerpos del sistema solar. Estas características implican el uso de matemáticas aplicadas, que incluyen las observaciones que deben ser usadas para determinar el tamaño y la forma de la Tierra y la definición de coordenadas tridimensionales, así como la variación de fenómenos cerca o sobre la superficie, tales como la gravedad, mareas, rotación terrestre, movimientos de corteza, y desviación de la plomada, junto con las unidades de medición y los métodos de representación de la superficie terrestre curva en una superficie plana5. 2.1.2.- GEODESIA GEOMÉTRICA Es una de las ramas de la Geodesia, que lleva a cabo las operaciones y cálculos, aplicando diferentes métodos que permiten la ubicación de puntos de la superficie terrestre con coordenadas conocidas, a sus coordenadas de representación en una superficie de referencia como ser el elipsoide para proyectarlos sobre un plano cartográfico, además de la representación tridimensional (mediante Coordenadas Cartesianas Espaciales). También se ocupa de la nivelación que calcula puntos desde un punto de vista altimétrico. 2.1.3.- HISTORIA DE LA GEODESIA La evolución de las necesidades del hombre y el consecuente avance de la tecnología, han determinado la necesidad de entender las formas, dimensiones de la Tierra y procesos que en ella se generan. Para esto, las herramientas y conocimientos cartográficos han constituido un pilar fundamental para lograr su correcta representación. Sin embargo el vertiginoso avance del pensar humano requiere también un veloz desarrollo en la disciplina cartográfica tendiente a lograr una óptima representación del terreno y con ello alimentar una relación simbiótica con otras ciencias y disciplinas. Dadas las características elásticas de la Tierra, la representación de ella requiere que su asimilación a una figura simplificada y susceptible de análisis matemático, la que constituirá el llamado referencial geodésico. A lo largo de la historia, han sido diversos los intentos del 5 http://es.wikipedia.org/wiki/Geodesia 19 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia hombre por relacionar la Tierra a una figura regular que le permitiese estudiarla y representarla. Desde Pitágoras quien en el siglo VI AC definió la esfericidad de la Tierra y luego Eratóstenes durante el siglo III AC, se propuso por primera vez determinar las dimensiones de la esfera. Para ello midió la distancia cenital del Sol en Alejandría, en el momento en que los rayos solares llegaban al fondo de los pozos en Siena (actual Asuan), lo que era motivado por el paso del Sol por su cenit. Midiendo asimismo la distancia que había entre ambas ciudades, obtuvo un primer valor del radio de la Tierra bastante aceptable, si se considera los medios de que dispuso. Hasta comienzos del siglo XVII no se habían hecho mejoras a los trabajos de Eratóstenes. Se tendió a considerar la Tierra como una figura esférica perfecta. Sin embargo en 1687 el físico Isaac Newton por medio de su “Ley de Gravedad Universal” señaló que la Tierra debería ser más achatada en los polos que en ecuador insinuándose con esto por primera vez al elipsoide de revolución como figura de representación de la Tierra. Newton enunció el principio fundamental siguiente: la forma de equilibrio de una masa fluida homogénea sometida a las leyes de la gravitación universal, y girando alrededor de un eje, es un elipsoide de revolución achatado en los polos. Las medidas realizadas, sin embargo, expresan claramente que la Tierra no era un elipsoide perfecto. La hipótesis de Newton se verificaba sólo si las masas internas del planeta fueran homogéneas y por ello se admitió y se admite hoy como forma de la Tierra, con motivo de facilitar los modelos matemáticos de ella. Posteriormente en 1740, Collin MacLaurin demostró científicamente la posibilidad de que un elipsoide fuera una figura de equilibrio para una masa fluida en rotación. Tres años más tarde Clairaut definiría el achatamiento en función de la gravedad y de la velocidad de rotación. A finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX, científicos tales como Laplace, Bessel y Gauss plantearían la necesidad de representar la Tierra mediante un modelo elipsoidal para satisfacer las crecientes necesidades de precisión de posicionamiento. Carl Friedrich Gauss en el año 1822 introdujo el concepto de “Geoide” y lo definió como “una superficie en la que cualquiera de sus partes intersecta las direcciones de la gravedad en ángulo recto y de la que es una parte la superficie oceánica en reposo en condiciones ideales”. A finales del siglo XIX el geodesta Gabriel Stokes publicaría una solución al problema de definición del Geoide mediante el establecimiento de la formula fundamental de Gravimetría, que posteriormente seria desarrollada de manera más rigurosa por Sergui Molodensky. Con todos estos avances científicos, el hombre ya disponía de una idea bastante cercana de la forma y dimensiones del planeta, sin embargo, el problema de la representación del mismo estaba lejos de ser solucionado ya que por una parte, debe buscarse el relacionar los distintos referenciales geodésicos y los métodos usados a lo largo de la historia y por otra parte se debe relacionar la referencia planimétrica, la referencia vertical y los elementos a representar para dar consistencia a una solución cartográfica acorde a las necesidades actuales. En las últimas décadas, los notables avances en tecnología satelital e información y su masiva difusión posibilitan el acceso y manejo de grandes volúmenes de información. Con la 20 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia aparición de nuevas técnicas de medición, en particular los sistemas de posicionamiento global (GPS), renace la importancia de contar con sistemas que representen la Tierra en su forma real: El Geoide. El conocimiento del Geoide será una herramienta muy poderosa en la Geodesia del futuro. Distintas ramas de las Ciencias de la Tierra, en particular de la Geofísica, podrán utilizar los resultados de esta actividad y aplicarlos a estudios específicos (prospección, geodinámica, geotectónica, etc). La Geodesia se está focalizando en los últimos años hacia tres temas muy vinculados entre sí: GPS, Geoide y Geodinámica. De allí la importancia de los modelos matemáticos y físicos geoidales regionales, realizados con métodos y cálculos que destacan problemáticas particulares de cada región (características topográficas, comportamientos de la corteza, etc.) 6. 2.2.- LA TIERRA La Tierra, el lugar de origen de los seres humanos y, por supuesto, el sitio desde donde se contempla el universo, es un planeta que dista aproximadamente unos 150 millones de kilómetros de una estrella de mediano tamaño llamado Sol. Posee un único satélite natural llamado la Luna, el cual está a unos 384400 kilómetros de distancia. La Tierra es de forma aproximadamente esférica, con un radio aproximado de 6378 kilómetros. En orden de distancia al Sol la Tierra es el tercer planeta de adentro hacia afuera y realiza una revolución en torno del Sol (movimiento de traslación) en un período de tiempo llamado año, gira sobre sí misma (movimiento de rotación) en un período llamado día. Técnicas modernas revelan que nuestro planeta es supremamente antiguo: posee, al igual que el sistema solar, una edad de 4600 millones de años. La Tierra posee una tenue capa de gases que la rodean por completo denominada atmósfera. Dicha atmósfera está conformada en su mayor parte de nitrógeno (78%) y oxigeno (21%), y cantidades muy pequeñas (1%) de otros gases tales como agua, bióxido de carbono, argón, xenón, etc. El espesor de la atmósfera es ínfimo comparado con el radio del planeta, pues aunque los especialistas tengan algunas diferencias con respecto a la demarcación de sus límites (algunos llegan a extenderla hasta los 2000 kilómetros), lo cierto es que ya a una altura de los 120 kilómetros está contenido el 99.9% del peso total de la misma. Hasta en el momento en que se escriben estas líneas la Tierra posee aún el honor de ser el único planeta donde se ha gestado el fenómeno que llamamos vida. Pero es muy dudoso, a la luz de recientes investigaciones, que siga siendo exclusivamente la poseedora de tan significativo privilegio. Y no solo ha generado vida: también ha dado origen a seres vivos autoconscientes que poseen una curiosidad sorprendente por tratar de entender lo que los rodea. Hasta hace unos cuantos años las observaciones astronómicas se hacían exclusivamente sobre la superficie de la Tierra lo que implicaba (y aún implica) multitud de inconvenientes y desventajas: el movimiento diurno es el más obvio: los astros aparentemente se mueven de oriente a occidente por lo que es necesario compensar dicho movimiento para poder rastrear y observar adecuadamente los astros. La atmósfera absorbe muchas longitudes de onda de interés tales como: los rayos X, los rayos gamma y la radiación ultravioleta, aquella radiación que no es absorbida sufre de extinción atmosférica, lo que significa que la luz se dispersa y se atenúa al pasar por el aire. Además, el fenómeno de refracción atmosférica afecta la 6 http://fcf.unse.edu.ar/pdf/sd/SD-29-Nocionesdecartografia-Reuter.pdf. 21 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia dirección real de la luz que nos envían los astros. Hoy en día se han colocado satélites artificiales y se han mandado sondas a otros planetas, lo que ha incrementado de forma espectacular el conocimiento que se tenía previamente de cuerpos que sólo se observaban a través de telescopios sobre el terreno. 24 Masa 5.9736x10 Kg. 18 Masa de la atmósfera 5.1x10 Kg. 21 Masa de los océanos 1.4x10 Kg. Radio ecuatorial 6378140 m. Radio polar 6356755 m. 11 Distancia media al Sol 1.496x10 m. = 1 u.a. -3 Densidad media 5515 Kg. m. Periodo de rotación 1 día 1 día = 23h 56m 4.09s Periodo de traslación 1 año 1 año= 365.2421897 días Tabla 1 Datos generales de la tierra Fig. 3 Movimiento de Rotación Fig. 4 Movimiento de presesión 2.2.1.- FORMAS DE LA TIERRA Al igual que los otros planetas del sistema solar y la mayoría de sus satélites, la Tierra posee simetría esférica, esto es, su forma es casi la de una esfera. La rotación de los planetas es responsable de crear en el proceso de su formación una ligera acumulación de masa sobre el ecuador, por lo que el radio en las vecindades de ese lugar es un poco mayor que en los polos. En la Tierra la diferencia entre el radio en el ecuador y el radio en los polos es apenas de 21385 metros. Aunque pueda parecernos un valor muy pequeño (0.3% del radio) el hecho es que esa diferencia ha de ser tenida en cuenta en la conformación de mapas, cálculo de eclipses, estimación de trayectorias de satélites, etc. La ciencia que se ocupa de estudiar la figura geométrica precisa de la Tierra, los métodos que emplea y su significado es llamada Geodesia. Antes de 1957, esto es, antes del advenimiento de los satélites artificiales, el trabajo geodésico se realizaba por métodos de triangulación y de gravimetría hechos sobre el terreno. Con la utilización de satélites 22 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia artificiales ha sido posible incrementar mucho más el conocimiento sobre la forma verdadera de la Tierra. Posee una superficie continental de gran diversidad de formas y variaciones. Accidentes geográficos tales como montañas abruptas y escarpadas se ubican en ocasiones al lado de grandes llanos y praderas. Sin embargo, el planeta Tierra está cubierto, en más de un 70%, por agua, una sustancia fluida que como tal tiende a ajustar fácilmente su superficie normal a la dirección de la gravedad. Ello quiere decir que en buena medida la superficie de nuestro planeta puede describirse en términos del nivel medio de los océanos que la cubren en un buen porcentaje. Se llama geoide a la figura geométrica que busca representar la verdadera forma del planeta Tierra haciendo que la figura coincida con el nivel medio de los océanos del mundo y continué sobre las áreas continentales como una superficie imaginaria (a nivel promedio del mar). El geoide tiene por definición la propiedad de que cualquier lugar de su superficie debe ser perpendicular a la dirección de la fuerza de la gravedad. Rigurosamente hablando, el geoide es una superficie equipotencial dentro del campo gravitacional terrestre, en la práctica el geoide es imposible de identificar con una figura geométrica sencilla, pues resulta siendo completamente irregular. Por ello se suele adoptar como figura geométrica apropiada en muy buena aproximación un elipsoide de revolución, llamado también elipsoide, cuya forma tridimensional resulta de rotar por completo una elipse sobre su eje mayor, El geoide puede estar por encima o por debajo del elipsoide de revolución tanto como unos 100 metros, diferencia llamada “ondulación del geoide". Las ondulaciones más grandes se registran en una depresión al sur de la India que alcanza los 105 metros y una elevación al norte de Australia que alcanza los 75 metros. Un elipsoide de revolución o elipsoide queda determinado si se fija el radio ecuatorial a que juega el papel del semieje mayor del elipsoide, y una relación llamada achatamiento polar f. El achatamiento está relacionado con el semieje menor de dicho elipsoide que es el radio polar b, a través de la relación: b = a (1- f) Con el avance de la técnica y la puesta a punto de métodos más precisos para medir las dimensiones de la Tierra, se han establecido históricamente valores cada vez más refinados de estas cantidades. Actualmente se recomienda la utilización de los valores fijados por la Unión Astronómica Internacional (UAI) en 1979, estos parámetros están con referencia al WGS-84. a = 6378137 metros, f = (a-b)/a = 1/298,2572221 Todos los cuerpos celestes giran sobre sí mismos, incluyendo por supuesto la Tierra. El movimiento de rotación del planeta define instantáneamente una línea imaginaria que pasa por el centro del planeta la cual es llamada eje de rotación. Dicho eje de rotación coincide en promedio con el eje del momento principal de inercia, llamado también eje de figura. El eje de rotación y el eje de figura no coinciden exactamente puesto que el eje de rotación se mueve lentamente alrededor del eje de figura en un movimiento cuasi-periódico con una amplitud que oscila entre los 0.05 y 0.25 segundos de arco, lo que equivale a un desplazamiento entre uno y ocho metros sobre la superficie de la Tierra. Dicho movimiento se conoce con el nombre de movimiento polar. 23 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia El astrónomo norteamericano Seth Carlo Chandler encontró, en 1892, que el movimiento del polo es la resultante de la superposición de dos componentes que poseen períodos distintos: una componente, llamada ahora componente de Chandler, tiene una duración de 14 meses, y es una oscilación libre que surge de la forma compleja de la Tierra; la otra componente es de 12 meses y es una oscilación forzada originada por efectos meteorológicos tales como cambios estacionales. La posición del polo es la suma vectorial de estas dos componentes y describe una especie de espiral irregular alrededor de un polo medio o promedio durante un ciclo de seis años. Puesto que las magnitudes de las componentes pueden cambiar, el movimiento durante los ciclos no es el mismo. Dado que este movimiento no puede ser predicho con precisión, es necesario realizar observaciones regulares para ubicar la posición instantánea del eje de rotación. Definido el eje de rotación de la Tierra se puede definir un plano perpendicular al mismo de tal forma que pase por el centro de masa del planeta. La circunferencia que resulta de la intersección de dicho plano con la superficie del elipsoide es llamada Ecuador Terrestre (ET). Los puntos sobre la superficie del elipsoide y sobre la superficie terrestre por donde emerge el eje de rotación son llamados polos terrestres. Aquel situado sobre el hemisferio norte es llamado Polo Norte Terrestre (PNT) en tanto que el otro es llamado Polo Sur Terrestre (PST). Al moverse el eje de rotación, también se están desplazando ligeramente los polos. Obviamente el ET es completamente equidistante de ambos polos. 2.2.2.- ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN Si se considera a la Tierra como un cuerpo fluido homogéneo, se observará que debido al movimiento de rotación del planeta, la masa de este tenderá a concentrarse en las bajas latitudes en vez de en las cercanías de los polos formando así una esfera achatada por los polos, antiguamente conocido como esferoide. Elipsoide, es una figura matemática resultante de la rotación de una elipse cualquiera en torno a su semieje menor generando de esta forma un cuerpo tridimensional denominado Elipsoide de Revolución. Matemáticamente se puede determinar utilizando un valor medio de gravedad y velocidad de rotación, generándose con ellos, los valores semieje mayor “a” y aplastamiento “f”. La figura que se suele adoptar para referir las coordenadas geodésicas es el elipsoide de revolución por las razones explicadas antes. Esto entraña dos problemas previos: el ajuste del tamaño del elipsoide de referencia a utilizar y su posicionamiento. Al hacer éste se puede buscar una buena aproximación al geoide en una zona restringida de la Tierra o bien de manera global. Por métodos topográficos, o actualmente por teledetección, se calcula el tamaño de un elipsoide que aproxime bien el geoide. Las dimensiones del elipsoide se pueden determinar por parámetros. Comúnmente éstos son dos de los siguientes: los semiejes mayor, a (ecuatorial) y menor, b (polar), el aplastamiento f y la excentricidad e (los elipsoides calculados en base a medidas de satélite se suelen definir por a, la constante gravitacional geocéntrica y un factor de forma dinámica). Un elipsoide de referencia es por lo tanto el elipsoide que se usa como soporte analítico para las coordenadas de puntos medidos en la superficie de la Tierra para su posterior representación y análisis. Este modelo matemático está definido por dos parámetros los cuales son los siguientes: 24 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia v Semieje mayor = a v Aplastamiento (f) = (a - b) / a 2.3.- SISTEMAS DE REFERENCIA GEODESICO En primer lugar se considera necesario hacer notar la diferencia entre sistema de referencia y marco de referencia, que se usaron y se siguen usando como sinónimos y que con la evolución de la tecnología se acercan cada vez más. -Sistema de Referencia.- Los sistemas de referencia geodésicos definen la forma y dimensión de la Tierra, así como el origen y orientación de los sistemas de coordenadas. Un sistema de referencia está definido por un modelo matemático y un punto fundamental o punto datum. v Modelo matemático, es el Elipsoide de Referencia. v El punto fundamental o punto datum, es el punto de origen o inicio de coordenadas. El elipsoide de referencia, define la forma matemática de la Tierra, el punto datum define la posición del elipsoide en relación con el centro de la Tierra, a partir de la cual se densifica en redes de control geodésico, la cual provee un marco de referencia. Un sistema de referencia geodésico es un recurso matemático que permite asignar coordenadas a puntos sobre la superficie terrestre. Deben distinguirse los llamados sistemas locales que utilizan para su definición un elipsoide determinado y un punto datum y los sistemas globales cuyos parámetros están dados por una terna rectangular (X, Y, Z) cuyo origen se encuentra en el geocentro del planeta. Para definir las coordenadas geodésicas (latitud, longitud y altura) cuentan con un elipsoide de revolución asociado. Esta es una definición rigurosa pero abstracta, pues tanto el centro como los ejes son inaccesibles en la práctica. -Marco de Referencia Geodésico.- Constituyen la materialización del sistema de referencia sobre la superficie terrestre. A los fines prácticos un sistema de referencia se materializa mediante un conjunto de mojones geodésicos implantados en una región, a los que se le han asignado coordenadas. Es claro que tales coordenadas han surgido de un cierto proceso de medición estando, por tanto, afectadas de errores. Es cierto también que a un mismo sistema de referencia puede corresponderle más de un marco producto de la materialización de dicho sistema en distintas zonas, países o regiones. 2.3.1.- SISTEMA DE REFERENCIA GLOBAL Se define como un sistema geocéntrico aquél que especifica una terna de ejes ortogonales cartesianos X, Y, Z centrado en el centro de masas de la Tierra. Estos sistemas terrestres (fijados a la Tierra) tienen el eje X solidario al meridiano origen de las longitudes y el eje Z próximo al eje de rotación, por lo tanto este sistema “gira” juntamente con la Tierra. Estos sistemas resultan imprescindibles para ubicar puntos ligados al planeta Tierra. 25 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia A diferencia de los sistemas geodésicos locales, los sistemas geocéntricos son tridimensionales y de alcance global. El concepto de punto datum desaparece, y es reemplazado por el origen y orientación de la terna de referencia. En el sistema de referencia global, el centro de masas de la Tierra coincide con el centro de gravedad del elipsoide de referencia, por tanto el origen de coordenadas es el centro de la Tierra, definiendo un sistema tridimensional cartesiano de coordenadas conocido como coordenadas espaciales. El más reciente y ampliamente utilizado es el WGS84 (Sistema Geodesico del Mundo de 1984). 2.3.1.1.- EL SISTEMA TERRESTRE INTERNACIONAL Desde principios del siglo veinte han existido organismos internacionales cuya misión estaba íntimamente relacionada con la rotación de la Tierra, y como consecuencia inevitable, con la definición y materialización de un sistema de referencia terrestre respecto del cual se determina la posición variable del eje de rotación. Así, el International Latitude Service, constituido por cinco estaciones astronómicas ubicadas sobre el paralelo de 39 grados de latitud norte, tenía la responsabilidad de terminar el movimiento del polo de rotación con respecto a la superficie terrestre. Para ello, se definió un polo medio "fijo” a la superficie materializado por las latitudes medias de estas estaciones fundamentales (Origen Convencional Internacional OCI). El advenimiento de nuevos instrumentos astronómicos y el interés de más países en contribuir con sus observaciones dieron lugar al nacimiento del International Polar Motion Service que llegó a contar con casi un centenar de estaciones participantes. El Bureau Internationale de l'Heure (BIH), agrupaba también a un importante número de estaciones cuya misión principal era determinar una escala de tiempo uniforme, para lo cual era indispensable definir un origen de las longitudes de las estaciones participantes. El sistema de ejes materializado por las coordenadas astronómicas medias del conjunto de las estaciones participantes de estos servicios internacionales constituía una referencia adecuada para la medición de la rotación de la Tierra, pero de escasa aplicación práctica para satisfacer otras necesidades. Estos organismos internacionales a menudo superponían sus responsabilidades. Además, de el advenimiento de nuevas técnicas para la determinación de la rotación de la Tierra en la década del setenta, consolidadas definitivamente en los ochenta, obligó a una redefinición de responsabilidades. En este marco se establece el Internacional Earth Rotation Service (IERS) con una estructura compleja que comienza a funcionar a partir de 1988. Las técnicas observacionales que contribuyen a la materialización de sus productos son las siguientes: v VLBI: medición de radiofuentes extragalácticas por medio de radiotelescopios. v SLR: medición de distancias láser a satélites específicos desde telescopios especiales. v LLR: medición de distancias láser a la Luna desde telescopios especiales. v GPS: medición de distancias a satélites GPS con receptores específicos. 26 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia v DORIS: medición de variación de distancias desde satélites específicos a balizas orbitográficas. Todas ellas aportan diferentes elementos para la solución de distintos problemas, que son combinados por el IERS para la producción de resultados aplicables a distintas disciplinas. 2.3.1.2.- SISTEMA DE REFERENCIA TERRESTRE INTERNACIONAL ITRS Este sistema es consistente con el sistema OCI (Origen convencional internacional) que se determinaba a través del Servicio del Movimiento Polar PMS y del BIH, y que estudiaban fundamentalmente el movimiento del polo y el movimiento de rotación de la Tierra, basándose en observaciones astronómicas. En el 1988 se unieron los organismos internacionales en un solo organismo el IERS (International Earth Rotation Service). Este servicio usa las técnicas posicionales: VLBI, SLR, LLR, GPS Y Doris. Con estas técnicas logra definir un sistema de referencia terrestre definido por tres ejes cartesianos XYZ. Este organismo define un marco de referencia para cada año, llamado ITRFaa siendo aa la dos últimas cifras del año para el cual se realizó este marco por ejemplo ITRF94, etc. En este sistema aparece un nuevo concepto, ya que se estudian las coordenadas de las estaciones de referencia de dicho marco (XYZ), pero también la velocidad de esas estaciones (Vx Vy Vz). Por lo que de acuerdo a esto se puede obtener las coordenadas de cualquier estación en cualquier época del año en distintos marcos de referencia. Ya que los punto sobre la superficie de la Tierra no permanecen inmóviles respecto a su sistema si no que sufren movimiento principalmente por el movimiento de las placas tectónicas, etc. 2.3.1.3.- SISTEMA DE REFERENCIA TERRESTRE CONVENCIONAL (CTRS). Una vez descritos los desplazamientos del eje de rotación respecto al cuerpo terrestre la cuestión es cómo definir un eje Z para fines geodésicos. El eje principal de inercia o eje queda descartado ya que experimenta variaciones diarias de 60 m, lo que supondría que las coordenadas de los puntos se desplazarían diariamente ésta cantidad en coordenadas absolutas. El eje no tiene la ventaja de que su movimiento respecto al espacio se puede calcular a partir de las distribuciones de masas y la mecánica celeste. Por ello fue adoptado en 1979 como polo celeste de efemérides CEP (Celestial Ephemeris Pole). Representa el polo instantáneo o verdadero y junto al geocentro, define el ecuador verdadero. Las observaciones astronómicas realizadas en un determinado instante, están referidas, por tanto, al polo CEP. El inconveniente, para ser utilizado en geodesia terrestre, es que sufre desplazamientos variables de hasta 6 m. a lo largo del año respecto a la corteza terrestre. Parece lógico pensar que un sistema de referencia geodésico deba mantenerse estable respecto a la superficie terrestre. Por ello, se adoptó por convenio un polo medio. Para definirlo se adoptó el eje medio de rotación correspondiente al centro del movimiento libre del polo entre los años 1900 y 1906. 27 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Dicho polo convencional se denominó CIO (Conventional International Origin). En la actualidad se denomina CTP (Conventional Terrestrial Pole). Se define el sistema de referencia terrestre convencional (CTRS) como un sistema cartesiano de tres ejes (X,Y,Z) fijo a la Tierra. El origen coincide con el centro de masas terrestre o geocentro. El eje Z coincide con el eje de rotación definido por el CTP. El eje X, perpendicular al anterior, en la dirección del meridiano medio de Greenwich y el eje Y, contenido en el plano ecuatorial medio y perpendicular a los dos ejes anteriores, formando un sistema de mano derecha. Las coordenadas de un punto se expresan mediante tres coordenadas X,Y,Z. Al CTRS se le suele asociar un elipsoide de referencia. En la actualidad, entre los más empleados en Bolivia se encuentran el elipsoide Internacional 1909 y el asociado al WGS84. Sus parámetros geométricos se muestran a continuación: ELIPSOIDE PSAD-56 WGS-84 Semieje mayor 6378388,000 6378137,000 Aplastamiento 1:297,0000000 1:298,2572221 Así definido, el CTRS equivaldría a un sistema elipsoidal con modelo de Tierra rígida. La diferencia estriba en que el movimiento del CTP respecto al CEP es conocido. Es decir, que en cualquier momento se pueden relacionar las coordenadas obtenidas en una determinada época con las de otra. El movimiento del CTP respecto al CEP lo obtiene el International Earth Rotation Service (IERS) a partir del seguimiento de la variación de las coordenadas a lo largo del tiempo de una serie de estaciones permanentes. En la actualidad, se emplean métodos espaciales como el VLBI, LLR, SLR, GPS. La precisión de las determinaciones es de ± 0”,002 (equivalen en longitud de arco a ± 6 cm.), ± 0,2 ms. en la rotación terrestre y ± 10 cm. para las coordenadas cartesianas geocéntricas de las estaciones permanentes de observación. A partir de las mencionadas observaciones, el IERS determina las rotaciones diferenciales xp, yp que permiten relacionar las coordenadas CEP con las coordenadas CTP. Conocida la posición del polo CTP respecto al polo CEP, se plantea la transformación de coordenadas entre ambos sistemas. Es posible decir, por tanto, que para materializar el CTRS son necesarias una serie de estaciones de observación permanente repartidas por toda la Tierra, cuyas coordenadas respecto al espacio son periódicamente determinadas con una precisión absoluta mejor que 10 cm., y cuya relación con puntos materializados sobre la superficie terrestre es perfectamente conocida. 2.3.1.5.- WGS 84 El acrónimo WGS 84 deviene de World Geodetic System 1984 (Sistema Geodésico Mundial 1984). Se trata de un sistema de referencia creado por la Agencia de Mapeo del Departamento de Defensa de los Estados Unidos de América (Defense Mapping Agency DMA) para sustentar la cartografía producida en dicha institución y las operaciones del Departamento de Defensa (DoD). 28 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Este sistema geodésico estuvo estrechamente ligado al desarrollo del Sistema de Posicionamiento Global (GPS) sirviendo durante mucho tiempo para expresar las posiciones tanto de los puntos terrestres como de los satélites integrantes del segmento espacial (a través de las efemérides transmitidas). Desde el punto de vista militar, WGS 84 es el sistema oficial aprobado por la Junta de Comandantes en Jefe de los Estados Unidos de América para las operaciones militares en todo el mundo. Casi todo el equipamiento militar actual incluyendo sistemas de navegación y armamentos emplean de algún modo este sistema de referencia mundial. El WGS 84 no es sólo un sistema geocéntrico fijado a la Tierra, Earth Centered, Earth-Fixed (ECEF) de ejes X, Y, Z sino además un sistema de referencia para la forma de la Tierra (elipsoide) y un modelo gravitacional. El WGS 84 se ha popularizado por el uso intensivo de GPS y se han determinado parámetros de transformación para convertir coordenadas a todos los sistemas geodésicos locales y otros sistemas geocéntricos. La DMA llegó a la definición de este sistema después de haber ensayado otros tres anteriores: WGS 60, WGS 66 y WGS 72, este último a partir del sistema satelitario Transit (Transit Doppler Reference Frame - NSWC 9Z - 2) y muy parecido al actual WGS 84, al punto que para pasar de uno al otro sólo es necesario un corrimiento del origen de coordenadas de 4.5 metros, una rotación alrededor del eje Z de 0.814 segundos de arco y una diferencia de factor de escala de -0.6 ppm. El WGS 84 es un Sistema Convencional Terrestre (CTS) tal que: v el origen de coordenadas X Y Z es el centro de masas de la Tierra, v el eje Z pasa por el polo convencional terrestre (CTP) definido por el Bureau Internacional de la Hora (BIH) para la época 1984. v el eje X es la intersección entre el meridiano origen de longitudes definido por el BIH para la época 1984 y el plano del ecuador CTP. v el eje Y completa con los ejes anteriores una terna derecha de ejes fijos a la Tierra, v v v v está en el Ecuador, a 90º al este del eje X. el origen de la terna así definida sirve además de centro geométrico del elipsoide WGS-84, y el eje Z es su eje de revolución. el semieje mayor (a) del elipsoide 1984 mide 6378137 metros. el achatamiento (a-b)/a siendo b el semieje menor, es 1/298.257223563 otros parámetros, además de los anteriores, son: constante de gravitación terrestre GM = 3986005 x 108m3s-2 velocidad angular de la Tierra w = 7292115 x 10-11 rad/seg coeficiente gravitacional de segundo grado normalizado C20 = - 484.16685 x 10-6 velocidad de la luz en el vacío c = 299792458 m s-1 2.3.1.6.- ACTUALIZACIÓN DEL SISTEMA WSG-84 El sistema WGS 84 se ha ido desactualizando con el correr de los años. La serie de sistemas ITRF, en cambio, se modifican anualmente y han llegado a un orden de precisión muy superior. 29 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Debido a esto, y teniendo en cuenta las mayores demandas del Departamento de Defensa de los Estados Unidos de América, se han producido en los últimos años una serie de refinamientos y mejoras en el sistema, de manera de permitir su uso en las aplicaciones de muy alta precisión.Este esfuerzo dio por resultado un marco de referencia para el WGS84 que es coincidente con ITRF92 dentro de los 10cm. Este marco de referencia mejorado se conoce como WGS 84 (G730).El único parámetro afectado por esta mejora fue GM = 3986004.418 x 108m3s-2. Comparado con el anterior, resulta una diferencia muy pequeña, dentro del error estándar del parámetro. La mejora no ha tenido ningún efecto sobre el desarrollo de la cartografía. Sin embargo, se estudian otras modificaciones que incluyen nuevas definiciones del geoide, que resultarán en una mayor calidad de cartas y mapas. 2.3.2.- SISTEMAS DE REFERENCIA LOCAL Un sistema geodésico local queda definido por la elección de un elipsoide de referencia y por un punto origen (datum) donde se establece su ubicación en relación con la forma física de la Tierra (geoide). Concretamente, el punto datum es aquél en el que se hace coincidir la vertical del lugar con la normal al elipsoide (desviación de la vertical nula) y generalmente se establece la condición de tangencia entre el elipsoide y el geoide. El elipsoide así elegido y posicionado, se adapta bien al geoide en las inmediaciones del punto datum (siempre que la elección haya sido criteriosa), pero a medida que se aleja crece la probabilidad de que esta adaptación aminore. Por esta razón los sistemas así definidos fueron utilizados por países o grupos de países permitiendo llevar adelante todos los proyectos geodésicos en sus respectivos territorios. Los parámetros que definen un sistema geodésico local son: v Dos de ellos son necesarios para especificar el elipsoide, usualmente el semieje mayor a y el achatamiento o aplastamiento f = (a-b)/a, v Otros dos sirven para ubicar el punto datum. Son sus coordenadas latitud y longitud. v Finalmente, se requiere un acimut de origen en el punto datum a fin de orientar al elipsoide. Los sistemas geodésicos locales se materializan mediante las redes de triangulación de diversos órdenes, cuyos vértices se denominan puntos trigonométricos. Estas triangulaciones se ejecutan en varias etapas: v v v v v v v Proyecto de las redes. Reconocimiento de vértices. Materialización (monumentación) de los mismos Preparación de mediciones (erección de torres, centración, etc.) Ejecución de mediciones angulares, de distancias y astronómicas. Cálculo provisorio de coordenadas. Compensación y asignación de coordenadas definitivas a cada vértice. 30 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia El proceso total involucraba la ejecución de numerosas determinaciones astronómicas fundamentales, que sirven para plantear ecuaciones de orientación. Estas estaciones astronómicas se denominan “puntos Laplace”, y las ecuaciones que a partir de ellos se plantean se denominan ecuaciones Laplace. Entre los problemas que los sistemas geodésicos locales dejan sin resolver se puede destacar dos: v Al encontrarse dos o más redes basadas en diferentes sistemas (ej. en zonas limítrofes) resultan diferencias de coordenadas inaceptables, v Los sistemas locales son únicamente planimétricos, las cotas altimétricas se desarrollan a partir de otros caminos. en otras palabras, no son sistemas tridimensionales. Entre los sistemas de referencia local más conocidos se tienen el PSAD-56 y el SAD-69 los cuales se los desarrollara en los siguientes subtítulos. 2.3.2.1.- PSAD-56 PSAD-56, que significa Datum Sudamericano Provisorio del año 1956, y su punto de origen se encuentra en La Canoa, Venezuela. Los paises de América del Sur desarrollaron los productos cartográficos sistemáticos, en la mayoría de los casos, el siglo pasado. Para eso, fueron realizadas redes nacionales de alta precisión, sirviendo de apoyo a las tareas cartográficas, las cuales posteriormente fueron conectadas entre sí en el establecimiento del PSAD56. En 1944 la Comisión de Cartografía del Instituto Panamericano de Geodesia e Historia (IPGH), designo el Comité en Geodesia, con el propósito de promover una estrecha cooperación entre los países miembros en problemas de mutuo interés, entre estos el desarrollo de un datum continental. Es así que en 1956, se estableció el punto datum la Canoa en Venezuela, como el origen de las coordenadas para la triangulación continental. El Datum La Canoa, en Venezuela, como punto de partida y corrección de las redes geodesicas de todo el continente sudamericano, extendidas desde Venezuela, a través de Colombia, Ecuador, Perú y Bolivia, atravesando por el Brasil, Las Guayanas y cerrando el circuito con la Canoa (Venezuela). Posteriormente estas redes fueron nuevamente conectadas en la definición del Datum Sud Americano de 1969 (SAD69). 2.3.2.2.- SAD-69 Datum Sudamericano de 1969 (SAD 69), el objetivo integrar todas las redes geodésicas de la América del Sur para el desarrollo de un datum unificado. El origen elegido fue Chua (ubicado en Brasil, Lat. -19º 45’ Long. -48º 6’). El cálculo se llevó a cabo mediante dos arcos geodésicos, uno hacia el Sur partiendo de Chua a través de Brasil, Paraguay, Uruguay, la Argentina, Chile y Bolivia y otro hacia el Norte por Brasil, Guyana, Venezuela, Colombia y Ecuador. En el arco Sur, del que 31 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia participaron unas 800 estaciones, el error medio cuadrático de una dirección fue de 0.67”. El proyecto incluyó una carta geoidal de América del Sur y otras referidas a los datums locales. La tarea fue coordinada por un Grupo de Trabajo del Comité de Geodesia del I.P.G.H. y el mayor aporte científico estuvo a cargo de la doctora Irene Fischer del entonces Comando Topográfico de la Agencia Cartográfica de Defensa de los Estados Unidos de América. 2.4.- MARCO DE REFERENCIA Los marcos de referencia están constituidos por puntos materializados en el terreno y ubicados con gran exactitud y precisión según alguno de los sistemas de referencia. En los sistemas geodésicos locales, el marco de referencia estaba dado por los puntos trigonométricos de distintos órdenes que a través de cadenas y mallas cubren los territorios. En los sistemas geocéntricos, se llevan adelante redes de puntos medidos usualmente con GPS y vinculados en lo posible a puntos de las redes anteriores, siguiendo una serie de precauciones para minimizar los errores sistemáticos y aleatorios que pueden afectar al conjunto. 2.4.1.- MARCO DE REFERENCIA GLOBAL 2.4.1.1.- ITRF La precisión alcanzada en la determinación de coordenadas terrestres obliga a un cambio conceptual: no es posible materializar un sistema terrestre en base a coordenadas fijas, porque a nivel de la precisión centimétrica, ninguna estación ubicada sobre la superficie terrestre puede considerarse fija, todas están animadas de movimientos principalmente debidos a movimientos de las placas tectónicas en las que están asentadas. En consecuencia, el ITRF está constituido por un conjunto de coordenadas y velocidades de las estaciones que lo materializan. Su continua evolución permite agregar nuevas estaciones cada año y mejorar la precisión general del conjunto. Por esa razón, cada nueva realización lleva indicado el año de su determinación, como también, la época fundamental a la cual se refieren las coordenadas listadas (p. ej. ITRF 93, ó ITRF 94, época 1993.0). Esto quiere decir que ITRF 93 difiere de ITRF 94 porque se ha agregado más información para calcular este último, lo que se traduce en pequeñas variaciones de posiciones y velocidades. En su conjunto, estas diferencias permiten encontrar parámetros de transformación entre las distintas materializaciones del sistema terrestre internacional. Cabe mencionar que en la actualidad, estas transformaciones están en niveles milimétricos y por el momento no tienen importancia práctica para aplicaciones geodésicas convencionales. Mucho más importante puede ser el efecto de las velocidades, no obstante, es importante no perder la dimensión del problema: este efecto debe ser considerado cuando se trabaja en redes regionales que involucran distintas placas tectónicas y, de manera especial, cuando se utilizan distintas estaciones con coordenadas ITRF definidas en una época original 2.4.1.2.- SIRGAS SIRGAS es el acrónimo que identifica al Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas, fue establecido en octubre de 1993 durante la Conferencia Internacional para la 32 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Definición del Datum Geocéntrico Sudamericano, estableció un marco de referencia único para el continente sudamericano, en conexión con el Marco de Referencia Terrestre Internacional (ITRF). El proyecto fue generado en Asunción, Paraguay, bajo los auspicios de la Asociación Internacional de Geodesia (IAG), el Instituto Panamericano de Geografía e Historia (IPGH) y la Agencia Nacional de Mapas e Imágenes de los Estados Unidos de América (NIMA) 7. La primera campaña de medición se realizó entre el 26 de mayo y el 4 de junio de 1995, a lo largo de 10 días consecutivos durante 23 horas diarias en 58 estaciones distribuidas en toda la América del Sur, mediante observaciones GPS en 58 estaciones distribuidas en 11 países. El procesamiento de los datos se llevó a cabo en el Instituto Alemán de Investigaciones Geodésicas (DGFI) con el software Bernese y en la NIMA con el software GIPSY. La solución final fue presentada en septiembre de 1997, durante la Asamblea de la IAG en Río de Janeiro, y consistió en una combinación de las soluciones de los dos centros de procesamiento mencionados. En esa misma oportunidad se decidió ampliar el proyecto para incluir el problema del datum vertical sudamericano, trabajando en cooperación con la Subcomisión del Geoide para Sudamérica de la IAG. Los cálculos fueron realizados independientemente por el Instituto de Investigaciones Geodésicas de Alemania y la Agencia Nacional de Imágenes y Cartografía de los Estados Unidos de América. Los errores en las coordenadas geocéntricas de los puntos SIRGAS son del orden de 1 cm. El sistema de referencia elegido para la solución definitiva fue el ITRF 94 y la época de las coordenadas, se hizo coincidir con la época media de observación, es decir, 1995. La red está compuesta por 57 puntos. La solución final fue referida al marco ITRF94 (el último disponible en el momento del cálculo) pero la época de las coordenadas se conservó concordante con la de observación, 1995.4. Inmediatamente después de la campaña SIRGAS95, los países de América del Sur se concentraron en la modernización de los datum geodésicos locales mediante la densificación nacional de la red SIRGAS y la determinación de los parámetros de transformación necesarios para migrar al nuevo sistema SIRGAS la información geográfica asociada a los datum antiguos. Inicialmente, estas densificaciones fueron realizadas a través de redes pasivas (conformadas por pilares), pero, en la actualidad, la mayoría de los países están instalando estaciones de funcionamiento continuo. Estas estaciones, además de conformar los marcos de referencia nacionales, son la base para el desarrollo de aplicaciones rutinarias basadas en navegación y posicionamiento apoyados en satélites. Las actividades referentes a las densificaciones nacionales y a la adopción oficial de SIRGAS por parte de los países miembros son coordinadas por el SIRGAS-GTII: 7 Fuente http:// www.sirgas.org. 33 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia DENSIFICACIÓN ITRF/SIRGAS PAÍS Argentina Bolivia Brasil Chile Colombia Costa Rica NOMBRE POSGAR98: Posiciones Geodésicas Argentinas, 1998 (SIRGAS95, epoch 1995.4) Red CON*:RAMSAC: Red Argentina de Monitoreo Satelital Continuo MARGEN: Marco Geodésico Nacional Red CON*: Red de estaciones GPS continuas (no incluidas en SIRGAS-CON) SIRGAS2000 Red CON*: RBMC (Red Brasileira de Monitoramento Contínuo) SIRGAS-CHILE Red CON*: Red de estaciones activas fijas (9 incluidas en SIRGAS-CON) MAGNA-SIRGAS: Marco Geocéntrico Nacional de Referencia Red CON*: MAGNA-ECO (MAGNA Estaciones Continuas) CR05: Sistema de Referencia Costa Rica 2005 ESTACIONES PASIVAS/ CONTINUAS 139 / 21 POSGAR94 (WGS84, época 1993.8) 125 / 8 SIRGAS95, época 1995.4 1903 / 61 SIRGAS2000, época 2000.4 269 / 13 SIRGAS2000, época 2002.0 70 / 35 SIRGAS95, época 1995.4 34 / 1 Ecuador Red GPS Básica Guyana Francesa RGFG: Réseau Géodésique Français de Guyane RGNA: Red Geodésica Nacional Activa (Red CON*) Sistema Geodésico Nacional MACARIO SOLIS 0 / 17 PERU96: Sistema Geodésico Nacional 47 / 1 México Panamá Perú Uruguay Venezuela SIRGAS-ROU98 Red CON*: Red de estaciones permanentes de referencia (2 incluidas en SIRGAS-CON) SIRGAS-REGVEN: Red Geocéntrica Venezolana Red CON*: REMOS (Red de estaciones de monitoreo satelital GPS) MARCO DE REFERENCIA OFICIAL 135 / 4 7/1 20 / 3 ITRF2000, época 2005.8 SIRGAS95, época 1995.4 ITRF93, época 1995.0 ITRF92, época 1988.0 ITRF2000, época 2000.0 SIRGAS95, época 1995.4 17 / 3 SIRGAS95, época 1995.4 156 / 4 SIRGAS95, época 1995.4 Tabla 2 DENSIFICACIÓN ITRF/SIRGAS *CON Continuously Operating Network Del 10 al 19 de mayo del año 2000 se realizo la “Segunda Campaña SIRGAS” remidiéndose los puntos de la Primera Campaña a fin de obtener la información necesaria para la determinación de velocidades e incorporándose estaciones hasta un total de 184 abarcando todo el continente americano. Muchas de las nuevas estaciones fueron establecidas sobre marcas de mareógrafos con la finalidad de colectar los datos necesarios para satisfacer el objetivo del Proyecto consistente en la definición del datum vertical. Los resultados finales de esta campaña fueron presentados en febrero de 2003 conociéndose a esta realización como SIRGAS 2000. Desde 2001, el Proyecto, manteniendo su acrónimo, pasó a denominarse “Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas”. En el año 2001 la VII Conferencia Cartográfica Regional de las Naciones Unidas para las Américas recomendó a los países de la región la adopción de SIRGAS 2000 como marco de referencia geodésico nacional. SIRGAS 2000 utiliza como marco ITRF 2000, Época de referencia 2000.4. 34 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia En noviembre del año 2003 fue publicado el campo de velocidades de América del Sur, utilizándose para su determinación los resultados de las campañas SIRGAS 95, SIRGAS 2000, velocidades determinadas por IGS, (International GNSS Service), “Global Navigation Satellite System” 8, velocidades determinadas por el Centro Regional de Cálculo Asociado al IGS para SIRGAS (RNAAC-SIR) “Regional Network Associate Analysis Center for SIRGAS” y resultados de varios proyectos de geodinámica en el continente. v El proyecto SIRGAS engloba todas las actividades necesarias para establecer una estructura geodésica moderna en el continente compatible con las mejores técnicas de medición disponibles en la actualidad. v La adopción de un marco de referencia geocéntrico (ITRF), garantiza la permanente actualización de SIRGAS acorde a las más exigentes técnicas de georreferenciamiento. v Siendo WGS84 coincidente con ITRF, los resultados de las mediciones GPS, se encuentran automáticamente referidas a SIRGAS 2000.4. 2.4.2.- MARCO DE REFERENCIA GEOCENTRICO NACIONAL (RED MARGEN BOLIVIA) En base a los puntos SIRGAS establecidos sobre territorio boliviano el año 1995, el Instituto Geográfico Militar de Bolivia (IGM), ha creado la Red Marco de Referencia Geodésico Nacional (MARGEN), conformado por: Red GPS pasiva, la red GPS continua y Red GPS semi continua. La Red de Estaciones GPS Pasiva, ha sido densificada en base a SIRGAS, procurando en la mayoría de los casos disponer de datos en aquellos puntos que cuentan con coordenadas en el Sistema Provisional para Sud América del año 1956. El IGM juntamente con el Central Andes Project, ha instalado la red de Estaciones GPS de colección continua de Datos, conocido también con el nombre de estaciones activas, los mismos que han sido referenciados a la Red MARGEN. Se caracteriza por tener receptores de doble frecuencia que colecta datos las 24 horas del día durante todos los días del año, es empleado como Estación de Referencia para aplicaciones Geodésicas, Topográficas, GIS de alta precisión y Control (Catastro y Saneamiento). Las estaciones GPS semi continuas, referidos a la Red MARGEN. Se caracteriza por colectar datos durante al menos 15 días continuos, funcionando de acuerdo a la necesidad que se tiene de bases para la densificación de redes locales en modo diferencial. 2. 5.- GEODÉSIA CLÁSICA Se entiende por levantamiento geodésico “la toma de información de distancias y ángulos en el campo, y la aplicación de los principios de la Geometría y la Trigonometría con el propósito de determinar la forma, dimensiones y posición de grandes extensiones terrestres”. En ese sentido, se deben clasificar los levantamientos geodésicos en dos grandes grupos: horizontal y vertical. 8 Sistema de navegación independiente de los sistemas GPS y GLONASS, llamado Global Navigation Satellite System. 35 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 2.5.1.- CONTROL HORIZONTAL Son aquellos que comprenden una serie de medidas efectuadas en el campo, cuyo propósito final consiste en determinar las coordenadas geográficas (geodésicas) horizontales de puntos situados sobre la superficie terrestre. - METODOS: -Triangulación Es el tipo de levantamiento geodésico más tradicional y conocido. Difiere de los levantamientos topográficos por que usa instrumentos más precisos. Los errores instrumentales son removidos o predeterminados de modo que puedan compensarse al momento de los cálculos; los errores observacionales se reducen empleando procedimientos muy rigurosos. Otra diferencia muy importante es que todas las posiciones establecidas por triangulación están relacionadas entre sí matemáticamente. Básicamente, una triangulación consiste en medir los ángulos de una serie de triángulos. El principio de la triangulación se basa en procedimientos trigonométricos simples: si la distancia de un lado de un triángulo y los ángulos extremos del lado son medidos con exactitud, pueden calcularse los otros dos lados y el ángulo restante. -Trilateración El avance en precisión y alcance de los sistemas electrónicos de medición de distancias se ha aplicado para levantamientos geodésicos usando la técnica de trilateración. Los sistemas electrónicos permiten la medición de distancias mayores a 5 kilómetros, con lo que las redes de triangulación geodésicas pueden extenderse rápidamente. Las técnicas de trilateración permiten la conexión de levantamientos en islas o en continentes separados por grandes océanos. En trilateración sólo se miden distancias, y se hacen observaciones redundantes para asegurar una buena precisión. Se ajusta la red para eliminar las discrepancias, luego se calculan los ángulos de tal modo que las posiciones geodésicas se puedan obtener en forma similar al método de triangulación. -Poligonación La poligonación es el método más simple para extender control. El sistema es similar al de la navegación, en el que se miden distancias y direcciones. En una poligonación, se inicia el levantamiento en un punto con posición y azimut con respecto a otro punto conocido, y se miden ángulos y distancias a través de la serie de puntos intermedios del levantamiento. Las mediciones angulares sirven para calcular la dirección de cada línea. Las mediciones de distancia completan la información para determinar la posición de los puntos de la poligonal. Cuando la poligonal termina en otro punto de posición conocida, se dice que es una poligonal de enlace. Cuando la poligonal regresa al punto de partida, se dice que es una poligonal cerrada. De lo contrario, se dice que es una poligonal abierta. 36 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 2.5.2.- CONTROL VERTICAL El levantamiento vertical es el proceso para determinar alturas (elevaciones) sobre el nivel medio del mar y un cierto nivel de referencia. En posicionamiento terrestre con fines cartográficos no existe problema en el hecho de que las posiciones horizontales estén referidas al elipsoide, y las elevaciones referidas al geoide. Sin embargo la información geodésica de precisión requiere un ajuste en la información vertical que compense por las ondulaciones del geoide, por encima o por debajo del elipsoide, la superficie matemática regular. El ajuste usa técnicas geodésicas avanzadas y complejas. La red básica de control vertical se establece usando nivelaciones geodésicas. La densificación se realiza por métodos suplementarios. El nivel medio del mar se usa como referencia (datum vertical) en todos los métodos. Este nivel se determina obteniendo el promedio de las variaciones del agua durante un periodo lunar, en una estación mareográfica. Existen varias técnicas de nivelación: geométrica o diferencial, trigonométrica y barométrica, y cada una genera precisiones diferentes, siendo la primera de las citadas, la más precisa de las tres. -Nivelación geométrica Con el instrumento puesto en “estación” se hacen lecturas en dos “miras” calibradas, en posición vertical, colocadas atrás y adelante del instrumento. La diferencia de lecturas es la diferencia en elevación entre los puntos donde están las miras. El instrumento óptimo usado para la nivelación consta de un nivel de burbuja que se ajusta en posición paralela al geoide. Cuando el instrumento está bien centrado en un punto, el telescopio tiene una posición horizontal (nivel) de modo que puede rotar 360° libremente. En toda línea de nivelación debe conocerse la elevación de cuando menos un punto para poder determinar las elevaciones de los puntos restantes en base al punto con altura conocida. -Nivelación trigonométrica Consiste en medir un ángulo vertical desde una distancia conocida utilizando un teodolito, calculando la elevación del punto. Con este método se pueden hacer mediciones verticales al mismo tiempo que se hacen las mediciones de los ángulos horizontales de una triangulación. Es un método más económico pero menos preciso que la nivelación geométrica. Con frecuencia es el único método para establecer control vertical preciso en áreas montañosas. -Nivelación barométrica Se determinan diferencias de altura midiendo las diferencias de presión atmosférica en varios puntos. La presión del aire se mide con barómetros de mercurio o aneroides, o con un termómetro con punto de vapor. Aunque el grado de precisión posible con este método no es tan grande como en los otros dos, es el método con el que se pueden obtener rápidamente alturas relativas de puntos muy distantes entre sí. Este método se usa ampliamente en levantamientos de reconocimiento o exploratorio, donde se harán más tarde levantamientos de mayor precisión o no se requieran éstos. 37 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 2. 6.- MEDICION DE DISTANCIAS CON ESTACION TOTAL La distancia horizontal (distancia topográfica) se la obtiene de forma indirecta mediante cálculos geométricos y trigonométricos. La distancia obtenida con la estación total de forma directa es la distancia medida. Fig. 5 Distancias obtenidas con la Estación Total Donde: Z= Ángulo zenital A Vl = Ángulo Vertical D Hz = Distancia Horizontal o Distancia Topográfica D Vl = Distancia Vertical D Md = Distancia medida o distancia geométrica D Nt= Distancia Natural ai = Altura de Instrumento ap = Altura de prisma 2.6.1.- DISTANCIÓMETROS ELECTRÓNICOS La primera modificación de los métodos clásicos fue debida a la aparición de estos instrumentos, capaces de medir grandes distancias de decenas de kilómetros, que en algún caso superaron a la centena, efectuándose el trabajo con gran rapidez e increíble precisión, tanto más elevada cuanto mayor sea la distancia. Todos los distanciómetros electrónicos obedecen al mismo principio, que consiste en emitir una radiación de longitud de onda y velocidad de propagación conocidas, determinan la distancia en términos de numero de ondas, moduladas con frecuencia y longitud de onda conocida, que caben entre el emisor y el receptor en ambos sentidos. 38 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Fig. 6 Representación de una onda electromagnética Esta radiación se refleja en los otros extremos de la línea que ha de medirse y es recogida de nuevo en el aparato emisor. Donde por métodos electrónicos se determina el desfase entre la onda emitida y la recibida que evidentemente será proporcional al tiempo empleado en el recorrido y por consiguiente a la distancia. Fig. 7 Emisión y Recepción de la onda. Donde: A = Estación del distanciometro M = Estación del prisma E = Plano interno de referencia del distanciometro para comparación de fases entre la onda transmitida y la onda recibida. R = Plano reflector de referencia para la onda emitida por el distanciometro. e = Excentricidad del plano de referencia, constante aditiva. r = Excentricidad del plano del prisma reflector, constante aditiva. λ = Longitud de onda modulada. Ф = Desfase de la onda modulada. La distancia medida se obtiene a partir de la formula: 39 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia D= nl + f 2 Donde: D = Distancia a medir nλ = número de ondas entre el emisor y el receptor medido en ambos sentidos. Φ = longitud parcial de onda, o diferencia de fase en metros. El primer distanciómetro electrónico fue el Geodímetro, de procedencia sueca, que comenzó a ensayarse en 1948 si bien tardó varios años en utilizarse prácticamente; siguió a éste el Telurómetro de patente inglesa y a éste el Distomat DI-50 de la casa Wild suiza, que presentó el prototipo en la Exposición Internacional de Topografía y Geodesia celebrada en Viena en 1962. La onda que utiliza el Geodímetro es una luz modulada, por lo que preferentemente se trabaja con él de noche, el Telurómetro emplea microondas de radio y el Distomat DI-SO rayos infrarrojos modulados, permitiendo los últimos ser usados con niebla poco espesa e incluso lluvia ligera, con el Distomat, en condiciones atmosféricas muy favorables, se ha conseguido medir distancias hasta de 150 kilómetros. 2.6.2.- ESTACIÓN TOTAL (ET) Todas las ramas de técnica han experimentado en estos últimos tiempos una verdadera revolución, abandonando los métodos clásicos y adoptando otros totalmente inesperados; tal han sido el caso de la Geodesia, primero con la aparición de los distanciómetros electrónicos y luego con el estación total, que vinieron a modificar los métodos de observación, pero sin que variase sustancialmente por ellos el concepto que se tenía de Geodesia, pero lo insospechados por métodos totalmente diferentes a los utilizados durante siglos. Se denomina Estación Total a un instrumento electro-óptico utilizado en topografía, cuyo funcionamiento se apoya en la tecnología electrónica en la incorporación de un distanciómetro y un microprocesador a un teodolito electrónico. Algunas de las características que incorpora, y con las cuales no cuentan los teodolitos, son una pantalla alfanumérica de cristal líquido (LCD), leds de avisos, iluminación independiente de la luz solar, calculadora, distanciómetro, trackeador (seguidor de trayectoria) y la posibilidad de guardar información en formato electrónico, lo cual permite utilizarla posteriormente en ordenadores personales. Vienen provistas de diversos programas sencillos que permiten, entre otras capacidades, el cálculo de coordenadas en campo, replanteo de puntos de manera sencilla y eficaz y cálculo de acimutes y distancias. 2.6.2.1.- FUNCIONAMIENTO Vista como un teodolito, una estación total se compone de las mismas partes y funciones. El estacionamiento y verticalización son idénticos, aunque para la estación total se cuenta con niveles electrónicos que facilitan la tarea. Los tres ejes y sus errores asociados también están presentes: el de verticalidad, que con la doble compensación ve reducida su influencia sobre las lecturas horizontales, y los de colimación e inclinación, con el mismo 40 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia comportamiento que en un teodolito clásico, salvo que el primero puede ser corregido por software, mientras que en el segundo la corrección debe realizarse por métodos mecánicos. El instrumento realiza la medición de ángulos a partir de marcas realizadas en discos transparentes. Las lecturas de distancia se realizan mediante una onda electromagnética portadora con distintas frecuencias que rebota en un prisma ubicado en el punto y regresa, tomando el instrumento el desfase entre las ondas. Algunas estaciones totales presentan la capacidad de medir "a sólido", lo que significa que no es necesario un prisma reflectante. 2.6.2.2.- CARACTERÍSTICAS Este instrumento permite la obtención de coordenadas de puntos respecto a un sistema local o arbitrario, como también a sistemas definidos y materializados. Para la obtención de estas coordenadas el instrumento realiza una serie de lecturas y cálculos sobre ellas y demás datos suministrados por el operador. Las lecturas que se obtienen con este instrumento son las de ángulos verticales, horizontales y distancias. Otra particularidad de este instrumento es la posibilidad de incorporarle datos como coordenadas de puntos, códigos, correcciones de presión y temperatura. Las facilidades que ofrece una ET son la medición de alturas para puntos inaccesibles al prisma; distancia reducida y diferencia de nivel entre los dos o más puntos visados desde la estación; arrastre de coordenadas y de ángulos de un punto estación a otro; introducción de coordenadas absolutas o relativas del punto de estación; introducción por teclado de un ángulo y de una distancia ofreciendo en pantalla la diferencia entre la distancia medida y la introducida (función de replanteo), replanteo 2D y 3D, introducción de un eje de obra lineal para replanteo, trisecciones, calculo de poligonal, de superficies, introducción de altura del instrumento y del prisma. La precisión de las medidas es del orden de la diezmilésima de gonio en ángulos y de milímetros en distancias, pudiendo realizar medidas en puntos situados entre 2 y 5 kilómetros según el modelo de ET. Algunas estaciones totales sacrifican una o muchas de estas prestaciones consiguiendo una mayor sencillez de manejo y funcionalidad, incorporando dichas funciones como accesorio del cuerpo principal del instrumento, ya sea a través de tarjetas o paneles de teclado suplementarios. También el interfase o forma de uso de todas estas funciones puede ser a través de menú o bien con órdenes específicas o combinando ambos métodos con teclados numéricos o alfa numéricos y teclas de una sola función o multifunción. La Estación Total tiene un interfaz salida de datos a una libreta electrónica ya sea a través de una batería externa o bien de la propia estación, también algunas de ellas incorporan la opción de colector de datos integrado en la propia estación ya sea como memoria interna o gracias a una tarjeta que se introduce en el cuerpo principal. 41 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 2.6.2.3.- FUNCIONES DE MEDICIÓN DE DISTANCIA - Tiempo de medición.- Es el tiempo que transcurre desde que se inicia la medición hasta que se muestra en pantalla la lectura debida al rayo reflejado, este tiempo depende del modo de medición elegido, ya sea medición única o continua (tracking). Ya sea medición única, continua, un número determinado de veces mostrando la media de todas ellas, y tracking variando en este último caso la unidad de lectura mínima que suele ser el centímetro así como el tiempo de medición que oscila entre 0,15 y 1,5 segundos. El modo tracking se utiliza por su mayor rapidez y por permite seguir midiendo sobre un prisma en movimiento (sobre unos 6 km/hora como máximo) útil por tanto en replanteos y otras aplicaciones. - Precisión.- Es importante tener en cuenta, por existir un error en la medición, el error esta compuesto de una parte fija y otra proporcional a la distancia medida. Todos los aparatos indican en sus características técnicas una precisión, por ejemplo la de un aparato es de +/- (5mm. + 3ppm) donde la cifra 5 mm., es una parte fija del error y la cifra 3, partes por millón, es decir 3mm., por cada kilómetro (1 km.= 1 millón de milímetros). Por ejemplo: para una distancia de 100 metros y las precisiones de: +/-(5 mm. + 5 ppm); +/(5 mm. + 3 ppm); +/- (3 mm. + 2 ppm) los errores respectivos será +/- 5,5 mm; +/- 5,3 mm; +/- 3,2 mm la diferencia máxima entre ellos teniendo en cuenta los signos opuestos del error es de 8,7 milímetros, se puede decir por tanto que es suficientemente una precisión del orden del centímetro. Para una distancia de 2.000m., los errores máximos atribuibles es de +/- 1,5 cm; +/- 1,1 cm y +/- 0,9 cm. con máxima diferencia de 2,4 cm. si consideramos signos opuestos. Distancia m. 100 100 100 2000 2000 2000 Precision +/-(5mm. + 5pmm) +/- (5mm. + 3ppm) +/- (3mm. + 2ppm) +/-(5mm. + 5pmm) +/- (5mm. + 3ppm) +/- (3mm. + 2ppm) Error +/- 5,5mm +/- 5,3mm +/- 3,2mm +/- 1,5 cm +/- 1,1 cm +/- 0,9 cm. Tabla 3 Tolerancia por PPM Además de esta observación cabe notar que nunca podrá efectuar mediciones que exijan máximos errores de milímetros (entre 1 y 5) con estaciones totales de las características que se han visto en los dos ejemplos citados. 2.6.2.4.- FUNCIONES DE MEDICIÓN ANGULAR Las características más importantes son la posibilidad de lectura en el sentido de agujas del reloj o contrario (derecha-izquierda). Almacenamiento de la posición cero (0) horizontal y o vertical tras desconectar el instrumento. Compensador o no de doble eje (el vertical y el de muñones), introducción de una lectura horizontal por teclado. 42 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia - Precisión.- El fabricante la da basada en la aplicación de la desviación estándar dictada por la norma DIN9 18723 y con el anteojo en posición directa e inversa, los valores oscilan entre 0,5" y 20", siendo valores normales 1", 2", 3", 4", 5", 6", y 10". 2.6.2.5.- FACTORES DE CORRECCIÓN La ventaja que ofrecen las ET es la corrección de los diferentes elementos que intervienen al momento de realizar una medición tales como atmosféricos, curvatura terrestre, refracción y de escala. - Corrección por curvatura o esfericidad terrestre y refracción atmosférica.- Debido a que la superficie de la Tierra, en la que se realiza la medición no es plana, la curvatura terrestre influye de manera muy ínfima en las mediciones, los valores del coeficiente de refracción atmosférica son de 0,14 ó 0,2, con la posibilidad de que el usuario los calcule y los introduzca. - Corrección Atmosférica.- Corrección por presión y temperatura: La presión y la temperatura afectan a la velocidad del rayo infrarrojo y por tanto a la medición de la distancia. La estación total debe permitir la introducción de la presión y temperatura para corregir la medición. La introducción suele ser en mm., de Hg. y en °C, o bien en partes por millón, en este último caso se suele incluir una tabla de correlación entre valores de Presión y Temperatura con los de ppm., que va generalmente grabada en el software de la estación total. Como orientación se tiene que a 15°C y 760mm., de Hg. la constante PPM es cero. - Factor de escala.- Algunos instrumentos pueden afectar las mediciones de distancias de un factor de escala que puede introducir el operador (posibilidad de trabajar en sistemas de proyección como UTM). 2.7.- SISTEMAS DE COORDENADAS Sistema de coordenadas, sistema de identificación de elementos en un conjunto de puntos marcándolos con números. Estos números se denominan coordenadas y se puede considerar que dan la posición de un punto dentro del conjunto. El sistema de latitud y longitud es un ejemplo de sistema de coordenadas que utiliza éstas para especificar la posición de un punto en la superficie de la Tierra. Los sistemas de coordenadas nos ayudan a definir posiciones sobre la superficie de la Tierra, entre estos sistemas se tiene los siguientes: v Sistemas de coordenadas Geodésicas. v Sistema de coordenadas Cartesianas Espaciales. v Sistema de coordenadas Proyectadas. 9 DIN, Norma editada por el Deutsches Institut für Normung (Instituto Alemán para la Normalización). 43 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 2.7.1.- SISTEMA DE COORDENADAS GÉODESICAS La ubicación de puntos en la superficie terrestre requiere de la utilización de conceptos de dirección y distancias apoyados en algún sistema de referencia. En la antigüedad estos eran referidos a un sistema relativo utilizando direcciones como la salida del sol, la ubicación de las estrellas. El Sistema de coordenadas geodésicas, es el más antiguo, utiliza un sistema angular de latitud y longitud fue empleado por primera vez por los geógrafos y filósofos griegos. Este sistema de coordenadas descansa enteramente en un elipsoide de revolución (de referencia), Un elipsoide queda determinado, cuando se adoptan valores específicos del radio ecuatorial terrestre a y del achatamiento f. La importancia de este sistema de coordenadas radica en que la latitud geodésica es la que se encuentra en los mapas, atlas y diccionarios geográficos. El primer meridiano (Meridiano de Greenwich) y el ecuador son los planos que definen el origen de la latitud, la longitud. La latitud geodésica de un punto, es el ángulo desde el plano ecuatorial a la dirección vertical de la línea normal al elipsoide de referencia, de 0º-90º Norte y de 0º-90º Sur. La longitud geodésica es el ángulo diedro cuyo origen es el meridiano de Greenwich de 0º180º Este y de 0º-180º Oeste. La altura elipsoidal de un punto es la distancia desde el elipsoide de referencia al punto en dirección normal al elipsoide. La mayor ventaja que presenta este sistema es que la geometría de su superficie es perfectamente regular y conocida, facilitando así cualquier tipo de cálculo. 2.7.2.- SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ESPACIALES Sistema de coordenadas cartesianas espaciales X, Y, Z, antiguamente este sistema de coordenadas no tenía aplicación en los cálculos matemático-prácticos. Con exploración espacial cósmica y el uso del GPS surgieron problemas geodésicos en la determinación de las coordenadas de los puntos en el espacio exterior de la Tierra, este sistema permite determinar exactamente la situación de los puntos independientemente de la superficie del elipsoide terrestre. Dentro de un sistema cartesiano global las coordenadas están expresadas en función de los ejes X Y Z, del cual su origen es el centro de masas de la Tierra. El eje Z es paralelo al eje de rotación terrestre, el eje X a su vez es paralelo al meridiano de Greenwich y por último el eje Y es perpendicular al plano XOZ. De esta forma un punto queda definido en un sistema elipsoidal bien por sus coordenadas geodésicas (φ, λ, h) o por sus equivalentes cartesianas (X,Y,Z), más aptas para describir las órbitas de los satélites artificiales, efectuar determinados cálculos de astrodinámica, etc. 44 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Fig. 8 Coordenadas Geodésicas y Espaciales 2.7.3.- SISTEMA DE COORDENADAS CARTOGRAFICAS El Sistema de coordenadas proyectadas, se utiliza para la representación de la superficie terrestre en un plano de proyección, a diferencia de los dos anteriores sistemas de coordenadas este sistema utiliza factor de escala que permite la representación de un sistema angular en un plano cartesiano de proyección (N, E), se utiliza en mapas cartográficos. Mediante una proyección cartográfica se hace corresponder cada punto del plano con un punto de la esfera o el elipsoide. De ésta forma cada punto de la Tierra puede tener representación sobre el plano. Las proyecciones se pueden definir de forma matemática como bisecciones que convierten las coordenadas geográficas longitud, latitud en coordenadas cartesianas N, E sobre un plano y viceversa. Las proyecciones cartográficas son las que proporcionan una representación en un plano, de la Tierra o una región de esta, es por lo tanto una relación biunívoca entre coordenadas de un sistema de referencia terrestre (XYZ o latitud, longitud y altura según sea el caso) y coordenadas Este Norte de una cuadrícula de un plano. Obviamente al realizar esta transformación existen deformaciones, y según sea el caso se trata de preservar algunas de las cualidades; las más usadas son las que mantienen la forma y se le denominan proyecciones conformes, en estas proyecciones están incluidas Mercator Transversa, UTM, etc. Según sea la posición que ocupe la parte representada con respecto a la proyección definida, existen deformaciones lineales y desfasajes en los ángulos acimutales, de una línea en el sistema real y en el proyectado. En cuanto a las alturas o cotas en una proyección cartográfica estas pasan a ser un atributo puntual, o se representan a través de líneas de igual cota conocidas como curvas de nivel. 45 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 2.8.- PROYECCIONES CARTOGRAFICAS La representación de datos espaciales es el campo de estudio de la Cartografía. A lo largo de la historia, el hombre ha sentido la necesidad de representar la superficie terreste y los objetos situados sobre ella. El objetivo de los primeros mapas era servir de apoyo a la navegación, indicaban por tanto los rumbos (direcciones) que era necesario seguir para ir de un puerto a otro. La exactitud en la representación de las Tierras emergidas se consideraba accesoria, siendo lo fundamental la exactitud en rumbos y distancias entre puertos. En los inicios del período colonial ya no bastaba con poder llegar a puerto sino que había que medir distancias y superficies sobre los nuevos territorios para conseguir un mejor dominio de estos. Por otro lado se hace necesario representar los diversos elementos, recursos y factores ambientales de la superficie terrestre para conseguir una mejor visión de la distribución de los fenómenos naturales y asentamientos humanos sobre la superficie terrestre. Ya en el siglo XVII, cartógrafos como Mercator demostraron que un sistema de proyección geométrico, junto con un sistema de localización basado en coordenadas cartesianas, es decir basadas en un par de ejes ortogonales (X e Y), formando una cuadrícula, mejoraba la fiabilidad de distancias, áreas o ángulos medidos sobre los mapas. Al finalizar el siglo XVIII, los estados europeos habían alcanzado el grado de organización suficiente como para establecer sociedades geográficas cuyo cometido era representar sobre mapas la superficie terrestre, sus características y los elementos físicos y humanos situados sobre ellas. Una Proyección Cartográfica es una correspondencia biunívoca entre los puntos de la Superficie de Referencia (Elipsoide) y los puntos de un plano llamado Plano de proyección. Puesto que cualquier punto del elipsoide está definido por sus coordenadas geográficas latitud y longitud (φ, λ) y cualquier punto del plano lo está por sus coordenadas cartesianas Este Norte (X, Y), existirá una serie infinita de relaciones que liguen (φ, λ) con (X, Y). Cada una de estas infinitas relaciones será un Sistema de Proyección Cartográfico 2.8.1.- TIPOS DE PROYECCIÓN SEGÚN SU DEFORMACIÓN El mayor problema de la cartografía ha sido representar sobre una superficie plana, la superficie de la Tierra, sin que ésta parezca deformada. Se han publicado cientos de proyecciones cartográficas diferentes y todas admiten una variación infinita eligiendo parámetros como el centro de proyección, uno o más paralelos estándar, etc. Además por proyectarse un elipsoide, toda proyección está parametrizada por las dimensiones del elipsoide de referencia. La superficie del elipsoide no se puede representar sobre el plano sin distorsión. Ahora bien, dependiendo del uso que se dé a la representación se puede llegar a un compromiso en las distorsiones, manteniendo alguna 46 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia característica deseable. Las principales características que se pueden conservar en una proyección cartográfica son: 2.8.1.1.- PROYECCIONES DE ÁREA EQUIVALENTES (IGUAL ÁREA) Equivalencia, es la condición por la cual una superficie en el plano de proyección tiene la misma superficie que en la esfera. La equivalencia no es posible sin deformar considerablemente los ángulos originales. Por lo tanto, ninguna proyección puede ser equivalente y conforme a la vez. Área, una proyección que conserve las áreas se llama equivalente, homolográfica, homalográfica, o autálica. Las formas, ángulos y escalas aparecerán distorsionadas, aunque suelen ser correctos o casi en algunas partes. La conservación de las áreas es una condición global (finita). Este tipo de proyecciones preservan el área con que los elementos son representados. Para ello, las propiedades de forma, ángulos, escala, o cualquier combinación de ellas será distorsionada en alguna medida. Así en este tipo de proyecciones los meridianos y los paralelos podrían no presentar ángulos rectos en sus intersecciones. En algunos casos, especialmente en mapa para pequeñas regiones, no será tan obvia la distorsión de la forma, y será difícil entre un sistema de proyección conforme y uno de área equivalente. 2.8.1.2.- PROYECCIÓN EQUIDISTANTE (IGUAL DISTANCIA) Equidistancia, Cuando una proyección mantiene las distancias entre dos puntos situados sobre la superficie del elipsoide (representada por el arco de Círculo Máximo que las une) se denomina equidistante. Escala, (conservación de distancias) Ninguna proyección mantiene correctamente la escala en todo el mapa, pero es habitual que una o más líneas sean equidistantes o automecoicas, esto es, tengan una escala constante. Lo usual en las proyecciones empleadas en topografía y SIG es que se ajusten los parámetros de forma que el error de escala esté limitado y se minimice su valor medio en el área de trabajo. Cuando la escala se mantiene en todos los meridanos la proyección se dice equidistante. Los mapas equidistantes preservan las distancias entre ciertos puntos. La escala no puede ser mantenida correctamente para la totalidad del mapa por ningún sistema de proyección. Sin embargo existen en algunos casos, una o más líneas sobre el mapa sobre las cuales la escala sí se mantiene correctamente. La mayoría de los sistemas de proyección tienen una o más líneas para las cuales su largo sobre el mapa es el mismo (a escala) que su línea de referencia sobre el globo, sin importar si es un círculo grande o pequeño, recto o curvo. Tales distancias son llamadas verdaderas. 2.8.1.3.- PROYECCIÓN CONFORME Conformidad, Cuando un plano de proyección mantiene los ángulos, que forman dos líneas en la superficie terrestre, se dice que la proyección es conforme. 47 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Forma, una proyección es conforme u ortomórfica si se conservan los ángulos relativos alrededor de cada punto. Es ésta por tanto una condición local (infinitesimal). De todas formas, si se representa toda la Tierra es habitual que haya uno o más puntos singulares en los que esta condición no se da. En una proyección conforme las grandes superficies aparecen distorsionadas en la forma, pero los elementos pequeños mantienen su forma. En éstas proyecciones la escala Local es isótropa, es decir, el factor de escala cada punto es el mismo en todas las direcciones. El hecho de que los ángulos se conserven localmente hace que el ángulo con el que se cortan dos líneas sea el mismo que en la realidad, y así, por ejemplo, meridianos y paralelos se cortan en ángulo recto. Una proyección no puede ser simultáneamente conforme y equivalente. Las proyecciones conformes son las más usadas en mapas topográficos. Las proyecciones conformes preservan las formas locales. Las líneas de la grilla sobre el globo forman ángulos perpendiculares. Para preservar los ángulos individuales que describen las relaciones espaciales, una proyección conforme debe presentar una grilla de líneas que se intercepten en ángulos de 90º sobre el mapa. Esto se logra manteniendo todos los ángulos, incluyendo aquellos entre las intersecciones de los arcos. El problema es que el área encerrada por una serie de arcos será distorsionada en el proceso. No existe un sistema de proyección que pueda preservar la forma cuando se trabaja con grandes regiones. 2.8.1.4.- PROYECCIONES DE DIRECCIÓN VERDADERA Dirección, En una proyección azimutal las direcciones o azimuts de todos los puntos son correctas respecto del centro de proyección. Existe una proyección azimutal que es equivalente, otra que es conforme y una tercera que es equidistante Proyección Azimutal: es aquella que conserva las direcciones. Nuevamente deben recordar que no entre todos los puntos del mapa sino solamente entre los puntos y el centro del mapa. El camino más corto entre dos puntos sobre una superficie curva, como la de la Tierra, es a lo largo del equivalente esférico de una línea recta sobre una superficie plana. Esto es, el círculo sobre el cual los dos puntos se encuentran. Los sistemas de proyección de distancia verdadera o acimutal se usan para rectificar alguno de los arcos de los círculos del globo, entregando la dirección o acimut de todos los puntos sobre el mapa correctamente con respecto al centro. Existen sistemas de proyección de este tipo que también son conformes, áreas equivalentes o equidistantes. Las proyecciones que no son equivalentes ni conformes se llaman genéricamente aphilácticas, aunque a veces el término se reserva para las que conservan distancias. 2.9.- TIPOS DE PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS SEGÚN LA SUPERFICIE AL CUAL SE PROYECTA Debido a que los mapas son planos, algunos de los sistemas de proyección más simples se hacen sobre formas geométricas que pueden aplanar, sin estirar, sus superficies. Ejemplos comunes de formas que usan este criterio son conos, cilindros, y planos. En realidad, los cilindros y planos son formas limitadas de un cono. Una expresión matemática que proyecta 48 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia sistemáticamente las posiciones de la superficie de una esfera para representarlas en un plano es llamada un sistema de proyección. proyección El primer paso para proyectar royectar de una superficie a otra es crear uno o más puntos de contacto.. Cada uno de estos puntos se denomina punto de tangencia.. Como se observa en la figura 8,, una proyección planar tiene sólo un punto de tangencia. Por otra parte, un cono o un cilindro tienen líneas tangenciales sobre el globo. Si el plano de proyección intercepta al globo en vez de tocarlo tangencialmente, la proyección resultante involucra cálculos de secantes más que de tangentes. Ya sea que el contacto es secante o tangente, su localización ización es de importancia debido a que definen posiciones de distorsión nula. Estas líneas son de escala verdadera y se les conoce como líneas estándar estándar. En general, la distorsión aumenta en forma proporcional a la distancia a éstas líneas de contacto. La mayoría ayoría de los sistemas de proyección pueden ser clasificados de acuerdo al tipo de superficie de proyección a utilizar: cónica, cilíndrica y plana. Fig. 9 Proyecciones Cartográficas según la superficie al cual se proyecta. 2.9.1.- PROYECCIONES PLANAS O AZIMUTALES Las proyecciones de este tipo proyectan la información sobre superficies planas que tocan tangencialmente el globo. Una proyección planar es del mismo tipo que las proyecciones acimutales o las proyecciones cenitales. En esta clase de proyecciones se usan planos que son tangentes al globo sólo en un punto, pero también podrían ser de tipo secante. El punto de contacto puede ser el Polo Norte, el Polo Sur, un punto sobre el Ecuador, o algún punto intermedio. Este punto determina el foco de proyección que definirán def inirán la orientación y las funciones a utilizar. El foco se identifica por una longitud y latitudes centrales, y las orientaciones posibles son: polar, polar ecuatorial y oblicuo. 49 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Fig. 10 Proyecciones Acimutales La siguiente figura compara tres tipos de proyección. Las orientaciones polares son las más sencillas. Los paralelos corresponden a círculos consecutivos a partir de los polos, y los meridianos corresponden a líneas rectas que se interceptan en el Polo con ángulos de intersección verdaderos. Para todas las orientaciones, la proyección planar tiene una grilla con ángulos de intersección rectos (90º) y las direcciones son precisas desde el foco (paralelo de mayor radio). Círculos sobre el globo que pasan por el foco están representadas por líneas rectas, así la distancia más corta entre un punto sobre el foco y cualquier otro punto es una línea recta sobre el plano proyectado. Los patrones de distorsión de área y de forma son de tipo circular cerca del foco. Por esta razón, las proyecciones acimutales se acomodan mejor para la representación de regiones polares. Las proyecciones planares son de uso frecuente en la cartografía de las regiones cercanas a los polos. Algunas proyecciones planares visualizan la información a partir de un punto específico en el espacio. Este punto de vista determina el lugar sobre la superficie plana en donde se proyectarán los objetos sobre la superficie esférica. La perspectiva desde la cual todas las posiciones son observadas varía en los diferentes tipos de proyección acimutales. Los puntos de vista o de perspectiva pueden coincidir con el centro de la Tierra, un punto sobre la superficie directamente opuesto al punto de tangencia, o a un punto externo, como si estuviera montado sobre un satélite o en otro planeta. Las proyecciones acimutales son diferenciables entre ellas en parte a la utilización de diferentes focos, y en algunos casos por el punto de perspectiva. v La Proyección Gnomónica, proyecta la información desde el centro de la Tierra. v La Proyección Estereográfica, proyecta la información desde un Polo hacia su opuesto. v La proyección Ortográfica, proyecta la información desde un punto ubicado a una distancia infinita en el espacio. El tipo de punto de perspectiva determina la cantidad de distorsión alrededor del Ecuador. 2.9.2.- PROYECCIONES SOBRE SUPERFICIES DE CUERPOS DESARROLLABLES 50 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia A).- PROYECCIONES CILÍNDRICAS Las proyecciones cilíndricas también pueden tener una línea de tangencia o dos líneas secantes alrededor del globo. La proyección de Mercator es una de las proyecciones cilíndricas más comunes, y el Ecuador es usualmente su línea de tangencia. Los meridianos son proyectados geométricamente en la superficie del cilindro, produciendo un ángulo de 90º en las intersecciones con los paralelos. El cilindro puede ser “cortado” a lo largo de un meridiano, y abierto, para producir la proyección cilíndrica final. Los meridianos están equidistanciados, mientras que el distanciamiento entre los paralelos disminuye hacia los polos. Esta proyección es de tipo conformal y representa direcciones verdaderas a lo largo de líneas rectas. Fig. 11 Proyecciones Cilíndricas Cuando el cilindro sé hacer rotar se obtienen proyecciones cilíndricas más complejas, debido a que se cambian las líneas de tangencia o de secante. Proyecciones cilíndricas transversales tales como la Transversal de Mercator usan los meridianos, o líneas paralelas a ellos, como líneas de tangencia. Estas líneas corren de Norte a Sur y se representan a escala verdadera. Cilindros oblicuos son obtenidos por rotación a lo largo de un gran círculo sobre el globo localizado en cualquier punto sobre el Ecuador y los meridianos. En estos sistemas complejos, la mayoría de los meridianos y las líneas de latitud no son líneas rectas. En todas las proyecciones cilíndricas, las líneas de tangencia o de secante no tienen distorsión y de esta forma constituyen líneas de equidistancias. Las restantes propiedades geográficas varían dependiendo del tipo específico de proyección. B).- PROYECCIONES CÓNICAS La proyección cónica más simple es aquella en que el plano cónico es tangente al globo a lo largo de una línea de latitud. En una proyección dada esta línea es llamada paralelo estándar. Los meridianos se proyectan en la superficie y se unen en el ápice. Las líneas de paralelos se proyectan sobre la superficie cónica como anillos consecutivos. 51 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Fig. 12 Proyecciones Cónicas En general, las distorsiones aumentan al norte y al sur del paralelo de tangencia. Por ello, truncando el cono se obtienen proyecciones más precisas. Ello puede ser logrado, al no incluir las regiones polares en la proyección. Se pueden desarrollar Proyecciones más complejas si se tienen dos líneas de contacto para la superficie cónica. Estas proyecciones son llamadas secantes cónicas y están definidas para dos paralelos estándar. La distorsión de las proyecciones secantes no es la misma para las regiones que se encuentran entre los paralelos estándar que para aquellas que están más allá de ellos. Pueden desarrollarse proyecciones cónicas más complejas en donde el eje del cono no está alineado con el eje polar, en cuyo caso se denominan oblicuas. La representación de los parámetros geográficos depende de la separación entre líneas paralelas. Cuando están a igual distancia, la proyección es equidistante en la dirección Norte-Sur pero no es conforme ni área equivalente, como es el caso de la Proyección Cónica Equidistante. Para áreas pequeñas, la distorsión total es mínima. En la Proyección Cónica de Lambert los paralelos centrales están menos distanciados que los paralelos cercanos a los polos, y formas geográficas pequeñas se mantienen en mapas de escalas grandes y pequeñas. Finalmente, en la Proyección Area Equivalente de Albers, los paralelos cerca de los bordes del Sur están menos distanciados que los centrales, y la proyección resultará del tipo área equivalente10. 2.10.- PROYECCIÓN CARTOGRAFICA DE MERCATOR Una proyección cartográfica es la correspondencia matemática biunívoca entre los puntos localizados en la superficie de una esfera, elipsoide u otro cuerpo geométrico de referencia y sus transformados en un plano de proyección, como la superficie es un elipsoide del cual se proyectan al plano estas sufren deformaciones como ser lineal, angular y superficial. La Proyección Cartográfica de Mercator, introducida en 1569 por el geógrafo Flamenco Gerardus Mercator, se concibe como desarrollo cilíndrico a lo largo del ecuador. Los 10 Fuente: http://mgar.net/var/cartogra.htm 52 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia meridianos están representados por rectas verticales equidistantes los paralelos por rectas horizontales cuanto más lejos está el Ecuador mas exagerado están las distancias.11 Fig. 13 Gerardo Mercator Gerardo Mercator o Gerardus Mercator (5 de marzo, 1512 -2 de diciembre, 1594) fue un cartógrafo Belga, recordado por su proyección de Mercator. Nació con el nombre Gerard de Cremere (o Kremer) en Rupelmonde, Flandes. "Mercator" es la latinización de su nombre, que significa "mercader". Recibió su educación formal del humanista Macropedius en Bolduque y en la Universidad de Leuven. Aunque nunca viajó mucho, desarrolló siendo joven un interés en la geografía como un medio de ganarse la vida. Mientras vivió en Leuven trabajó junto a Gemma Frisius y Gaspar Myrica entre 1535 y 1536 en la construcción de un globo terráqueo. Posteriormente, Mercator publicó un mapa de Palestina (en 1537), un planisferio (en 1538) y un mapa de Flandes en 1540. A lo largo de estos años, aprendió a escribir en itálica, un tipo de letra más adecuado para los grabados en cobre de los mapas. Fig. 14 Mapa de Europa realizado por Gerardo Mercator 11 Fuente: Enciclopedia LAROUSSE, ilustrada Tomo 6, (Pág. 582). 53 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia En 1544 es acusado de hereje y pasa en prisión siete meses. En 1552, se traslada a Duisburgo donde abre un taller de cartografía. Trabajó en la realización de un mapa, compuesto por seis paneles, de Europa que completó en 1554, y también se dedicó a enseñar matemática. Realizó algunos otros mapas y, finalmente, fue nombrado cosmógrafo de la corte por el duque Wilhelm de Cléveris, en 1564. Durante estos años, concibió la idea de una nueva proyección para su uso en los mapas, que usó por primera vez en 1569; lo novedoso era que las líneas de longitud eran paralelas, lo cual facilitaba la navegación por mar al poderse marcar las direcciones de las brújulas en líneas rectas. Fig. 15 Planisferio de Rumold Mercator, realizado en 1587 Fue uno de los primeros en utilizar la palabra atlas para designar a un conjunto de mapas, y estimuló a Abraham Ortelius a hacer el primer atlas moderno, Theatrum Orbis Terrarum en 1570. Posteriormente Mercator produciría su propio atlas en varios tomos, el primero de los cuales fue publicado en 1578 y consistía en una versión corregida de los mapas de Ptolomeo, aunque esta edición también incluía algunos errores propios de Mercator. En 1585, se publicaron mapas de Francia, Alemania y Holanda, y en 1588 se agregaron mapas de los Balcanes y Grecia. Su hijo, Rumold Mercator, una vez muerto su padre, concluiría la obra publicando más mapas en 1595.12 2.10.1.- PROYECCIÓNES CILINDRICAS DE MERCATOR Las proyecciones cilíndricas se basan en el artificio de circunscribir un cilindro alrededor de la esfera terrestre. Este cilindro es tangente a la esfera a lo largo de un círculo máximo. Cuando desarrollamos el cilindro cortándolo a lo largo de una de sus generatrices, se transforma en un rectángulo, uno de cuyos lados es la longitud del círculo máximo terrestre (2πR). En todas las proyecciones de este grupo, los paralelos son líneas rectas, cuya longitud es la misma que la del Ecuador, mientras que los meridianos son también líneas rectas paralelas separados entre sí una longitud que es correcta solamente en el Ecuador. Paralelos y meridianos se cortan entre sí ortogonalmente. 12 Fuente extraida de: Wikipedia, la enciclopedia libre: www.wikipedia.com 54 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Como un claro ejemplo de esta proyección se muestra el desarrollo de todo el globo terráqueo en la proyección mercator. Utilizado para la representación del planisferio de la Tierra Las variaciones de tipos de proyecciones Mercator según la posición del cilindro, se las pueden clasificar en las siguientes: v Normal, El eje de la figura coincide con el de la esfera. v Oblicua. El eje de la figura está comprendido entre 0 y 90 v Transversal. El eje de la figura es perpendicular al de la esfera. 2.10.1.1.- PROYECCIÓNES NORMALES - PROYECCIÓN SIMPLE En la Proyección Cilíndrica Simple (centro de proyección en el centro de la Tierra), y el cilindro tangente al Ecuador. La separación entre paralelos y el Ecuador, vendrá definida solamente por la latitud del paralelo. También se desarrolla este cilindro, de forma que fuera secante a dos paralelos. Fig. 16 Proyecciones Cilíndricas Simples - PROYECCIÓN ORTOMÓRFICA En la Proyección Cilíndrica Ortomórfica, la separación entre paralelos se hace aumentar progresivamente hacia los Polos. El espaciamiento en este caso se hace de forma que en cualquier punto de la proyección, la escala a lo largo del meridiano sea la misma que la escala a lo largo del paralelo. 55 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Fig. 17 Proyección Cilíndrica Ortomórfica - PROYECCIÓN OBLICUA La Proyección cilíndrica Oblicua, se usa en países o regiones donde su forma es irregular siendo más largo en una dirección que en otra pero no está alineado a lo largo de ningún meridiano o paralelo. En esta situación es posible formular un aspecto oblicuo de la proyección de Mercator para minimizar el factor de escala dando lugar a una proyección cilíndrica oblicua conforme no equivalente. Es una proyección de Mercator regular que se alteró, envolviendo la esfera con un cilindro de forma que toque la superficie a lo largo de la trayectoria del gran círculo elegido en lugar de a lo largo del ecuador terrestre. Al definir esta proyección es necesario especificar el azimutal de la línea central así como todos los otros parámetros mencionados anteriormente. El factor de escala será ahora proporcional a la secante de la distancia desde la línea central. Un ejemplo del uso de esta proyección está en la península de Malasia, donde la proyección se llama Hotine oblique Mercator u ortomórfica antisimétrica. Fig. 18 Proyección Oblicua de Mercator 56 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia El aspecto oblicuo de una superficie de proyección se coloca arriba o en cualquier posición entre el ecuador y los polos (pero que no incluya). Se puede centrar sobre un paralelo o sobre un meridiano. Los aspectos oblicuos son útiles para centrar regiones pequeñas reduciendo así la distorsión. Fig. 19 Aspecto Oblicuo Proyección Mercator Tanto paralelas como meridianos son curvas complejas en esta proyección que se desarrolló en los inicios de 1900 por varias personas. Para definir la proyección es necesario proporcionar varios parámetros. Las fórmulas para la oblicua de Mercator que involucran funciones hiperbólicas fueron derivadas por Hotine. Tanto la proyección de Mercator oblicua como la Hotine son muy similares pero usan métodos distintos ya que hay una diferencia sutil que concierne al punto en el cual se aplican las rectificaciones de la rejilla antisimétrica a la rejilla del mapa y a la rejilla de coordenadas falsa13. 2.11.- PROYECCIÓN TRANSVERSAL DE MERCATOR Esta proyección fue concebida inicialmente por el científico Alemán Johann Heinrich Lambert en 1772, pero su desarrollo analítico se adjudica a Carl Friederich Gauss. Es rigurosamente conforme, por lo que los meridianos y paralelos se interceptan en ángulo recto manteniendo así las formas de los elementos representados. - Cilíndrica de zona uniforme.- Es la transversal de la proyección Cilíndrica de zona uniforme normal, que fue propuesta por Lambert en 1772. El meridiano central es una línea recta. Los meridianos situados a 90 grados del meridiano central son también líneas rectas. El Ecuador es una línea recta. El resto de los paralelos y los meridianos son curvas complejas. 13 Fuente http:// www.mappinginteractivo.com/ 57 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia La longitud de la escala verdadera es el meridiano central o de las dos líneas de longitud espaciadas uniformemente del meridiano central. El área no se distorsiona en ninguna parte de esta proyección. Una forma didáctica de graficarlo es mediante la utilización de un cilindro transverso al eje de rotación y que envuelve al elipsoide terrestre. Para cubrir todo el elipsoide se utilizan numerosos cilindros transversos lo que deriva en que cada cilindro tiene un campo especifico de acción llamado “huso”, el que está definido por un meridiano central al cual pertenece y por un ancho de huso expresado en grados de desarrollo longitudinal, en estricto rigor, se trata entonces de un sistema de proyecciones que cubre el elipsoide y que dada la posición de cada cilindro, se hace recomendable para territorios donde predomine la extensión NorteSur, las distorsiones en sentido Este-Oeste son mayores que en sentido Norte-Sur. Como todos los husos del sistema de proyección tienen igual ancho, analíticamente todos se definen de igual manera. Así, las funciones matemáticas para efectuar todo tipo de cálculos son idénticas en cada huso. Por definición este sistema proyectivo tiene un campo de escala definido por un error máximo, esto significa que los límites del huso estarán dados mientras el error asociado no exceda cierta norma. El meridiano central de cada huso, posee la particularidad de ser el único representado por una línea recta y poseer igual valor de escala en todo su largo y los valores X de la proyección tienen como origen dicho meridiano.14 Alrededor del mundo, son numerosos los ejemplos de la utilización de proyecciones TM con diferentes parámetros que los países del mundo han adoptado para normar la representación de su territorio siendo las más utilizadas: v Proyección Universal Transversa de Mercator (UTM) v Proyección Gauss Krüger v Local Transversa de Mercator 2.11.1.- PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSAL MERCATOR (UTM) La proyección UTM se emplea habitualmente dada la importancia militar, y sobre todo, debido a que el servicio de Defensa de Estados Unidos los estandarizó para su empleo mundial en la década de 1940, y fue creada para homogenizar la representación cartográfica de países vinculados a los esfuerzos militares de ese país. La proyección UTM está dentro de las llamadas proyecciones cilíndricas, por emplear un cilindro en una determinada posición espacial para proyectar las situaciones geográficas. Es un sistema poli cilíndrico que abarca la totalidad del elipsoide en sentido longitudinal y desde los 80º S a los 84º N en sentido latitudinal. Para controlar las deformaciones producidas al alejarse del meridiano central, esta proyección está formada por 60 husos de 6º de ancho cada uno. Asociado a un elipsoide de referencia, y los husos se orientan desde los 180º W 14 Fuente http://www.igm.cl/Proyeccion_utm.html 58 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia aumentando hacia el Oeste, de tal manera que el meridiano de Greenwich corresponde al borde o separación de los husos 30 y 31. Si proyectamos el total del mundo en un plano, se observa que la distancia entre los paralelos aumenta a medida que se alejan de la línea del Ecuador hacia los polos, debido a ello la representación cartográfica presenta cerca de los polos una distorsión excesiva, razón por la cual recientemente la UGGI (Unión Geodésica y Geofísica Internacional), dispuso que cada una de las 60 zonas debían acotar su latitud a 84 grados de latitud norte ( latitud 84° N) y 80 grados de latitud sur (latitud 80° S). Como una forma de reducir las deformaciones producidas en los bordes de cada huso, (lugar geométrico en que el plano de proyección está más alejado del elipsoide) el meridiano central no es equidistante (k0 = 0.9996), de manera que el cilindro que representa al plano cartográfico es secante al elipsoide. Así, los factores de deformación de escala “k” tienen un valor mínimo de k = 0.9996 en el meridiano central, nulo a lo largo de una línea cóncava hacia el meridiano central que dista unos 180 Km de él (k = 1) y un valor máximo de k = 1.001 en el borde del Huso. Para evitar que la distorsión de las magnitudes aumente lineales aumenta conforme que se aumente la distancia al meridiano central se aplica un factor de proyección k, a las distancias k=0.9996, de modo que la posición del cilindro de proyección sea secante al elipsoide, creándose dos líneas en las que el modulo de anamorfosis lineal sea la unidad. La transformación geométrica creada con la proyección hace que únicamente dos líneas se consideran “rectas”, (en la misma dirección de meridianos y paralelos); el meridiano central del huso y paralelo 0º (Ecuador), en los que ambos coinciden con el meridiano geográfico y paralelo principal (Ecuador). El meridiano central, por lo tanto, se encuentra orientado en la dirección del norte geográfico y el paralelo 0º se encuentra orientado en rumbo 90º-180º, dirección Este (E) y oeste (W). El factor de escala aumenta en mayor magnitud conforme aumenta la distancia al meridiano central. Esta distorsión lineal presenta un mínimo de un –0.04% a un máximo de +0.096%. 2.11.1.1- CARACTERÍSTICAS El sistema de proyección TRANVERSAL DE MERCATOR (UTM) toma como base la proyección Mercator, sin embargo la posición del cilindro de proyección es transversal respecto al eje de la Tierra. La proyección UTM conserva los ángulos, pero distorsiona las distancias existentes sobre la superficie terrestre. Se define un huso como las posiciones geográficas que ocupan todos los puntos comprendidos entre dos meridianos. Para eliminar al máximo la distorsión, cada zona o huso sólo tiene 6° de longitud, luego el meridiano central de la zona está 3°. A ambos lados de este meridiano central la distorsión 59 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia es mínima. En total son 60 zonas de proyección UTM idénticas donde cada una de ellas se diferencia por el valor del Meridiano Central (MC). La proyección universal está constituida en 60 zonas o husos diferentes identificados por los correspondientes primeros números naturales, siendo el huso 1 aquél cuyo meridiano central tiene una longitud de 177º W, y el 60, el caracterizado por los 177º E. En el sentido de los paralelos, se divide en bandas de 8º de latitud, existiendo por lo tanto 19 bandas más una banda X de 12º de latitud por huso. Las bandas se nombran con letras mayúsculas, desde la C a la X (salvo CH, I, LL, N y O), a partir del paralelo límite sur, reservándose los caracteres A, B, Y, Z, para las regiones polares. De esta manera una zona identifica biunívocamente una determinada región de la superficie del elipsoide. v Las bandas C a M están en el hemisferio sur v Las bandas N a X están en el hemisferio norte. v Las primeras 19 bandas (C a W) están separadas o tienen una altura de 8° cada una. La banda numero 20 ó X tiene una altura de 12° Fig. 20 Zonas UTM Dentro de cada huso, se toma como origen de coordenadas el punto intersección de las proyecciones del meridiano central y el Ecuador, rectas que son los respectivos ejes de ordenadas y abscisas. Según se trate de situar puntos en el hemisferio norte o sur, el origen toma valores diferentes con objeto de no dar lugar a coordenadas negativas; así para latitudes norte se considera el par (500000 mts., 0 mts.), Y para puntos por debajo del Ecuador se conviene en el término (500000 mts., 10000000 mts.). 15 15 Fuente http:// www.elgps.com/documentos/utm/coordenadas_utm.html 60 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 2.11.1.2.- DESCRIPCIÓN DE UNA ZONA UTM v Cada zona UTM tiene como bordes o tiene como límites dos meridianos separados cada 6°. v Esto crea una relación entre las coordenadas geodésicas angulares tradicionales v v v v v v v v v v v (longitud y latitud medida en grados) y las coordenadas planas UTM (medidas en metros) y permite el diseño de fórmulas de conversión entre estos dos tipos de coordenadas. La línea central de una zona UTM siempre coincide con un meridiano del sistema geodésico tradicional, al que se llama MERIDIANO CENTRAL. Este meridiano central define el origen de la zona UTM. Por tanto, los límites este-oeste de una zona UTM está comprendida en una región que está 3° al Oeste y 3° al Este de este meridiano central. Los meridianos centrales están también separados por 6° de longitud. Los límites Norte-Sur de una zona UTM es aquella comprendida entre la latitud 84° N, y la latitud 80° S. El resto de las zonas de la Tierra (las zonas polares) están abarcadas por las coordenadas UPS (Universal Polar Stereographic). Cuando se considera la orientación norte-sur, una línea de una zona UTM coincide con los meridianos de las coordenadas angulares solo en el meridiano central. En el resto de la zona no coinciden las líneas de la zona UTM (el grid) con los meridianos. Estas diferencias se acentúan en los extremos derecho e izquierdo de la zona UTM, y se hacen mayores conforme nos alejamos del meridiano central. Por esta razón, en una zona UTM, la ÚNICA línea (de grid) que señala al verdadero norte es aquella que coincide con el meridiano central. Las demás líneas de grid en dirección norte-sur se desvían de la dirección del polo norte verdadero. El valor de esta desviación la llaman CONVERGENCIA DE CUADRÍCULA. Puesto que un sistema de coordenadas rectangulares como el sistema UTM no es capaz de representar una superficie curva, existe cierta distorsión. Considerando las 60 zonas UTM por separado, esta distorsión es inferior al 0,04%. Cuando se considera la orientación este-oeste, sucede un fenómeno parecido. Una línea UTM coincide con una sola línea de latitud: la correspondiente al ecuador. Las líneas de grid de la zona UTM se curvan hacia abajo conforme nos movemos al norte y nos alejamos del meridiano central, Y no coinciden con las líneas de los paralelos. Esto se debe a que las líneas de latitud son paralelas al ecuador en una superficie curva, pero las líneas horizontales UTM son paralelas al ecuador en una superficie plana. Una zona UTM siempre comprende una región cuya distancia horizontal al Este (Este) es siempre inferior a 1000000 metros (de hecho, la "anchura" máxima de una zona UTM tiene lugar en el ecuador y corresponde aproximadamente a 668 Km.). Por eso siempre se usa un valor de Este de no más de 6 dígitos cuando se expresa en metros. Para cada hemisferio, una zona UTM siempre comprende una región cuya distancia vertical (Norte) es inferior a 10000000 metros (realmente algo más de 9329000 metros en la latitud 84° N). Por eso siempre se usa un valor de Norte de no más de 7 dígitos cuando se expresa en metros. Por esta razón siempre se usa un dígito más para expresar la distancia al norte (Norte) que la distancia al este (Este). Por convenio, se considera EL ORIGEN de una zona UTM al punto donde se cruzan el meridiano central de la zona con el ecuador. A este origen se le define: 61 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia o o con un valor de 500 km ESTE, y 0 km norte cuando consideramos el hemisferio norte. con un valor de 500 km ESTE y 10.000 km norte cuando consideramos el hemisferio sur. v Al dar al origen (punto medio de la zona) un valor de 500 km, decimos que estamos dando un FALSO ORIGEN, y además, UN FALSO ESTE y un FALSO NORTE. Se pretende de esta forma que nunca se usen valores negativos. v Los extremos izquierdos y derecho de la zona UTM no corresponden nunca a las distancias 0 y 1000 km, respectivamente. Eso es así porque la zona UTM nunca tiene un ancho de 10000 km. Recordar que 6° de longitud equivalen a una distancia aproximada de 668 km en el ecuador, y se hace menor conforme aumenta la latitud hacia ambos polos, porque la Tierra es casi una esfera. - FALSO ESTE Como una forma de evitar la existencia de coordenadas negativas dentro de un huso. Se adoptó por convención el asignar un valor inicial al meridiano central que sea mayor que la máxima diferencia en metros entre dicho meridiano y el borde de huso para la latitud 0º. Se optó por el valor 500000 metros, por lo que las coordenadas Este varían entre 166000m y 834000m en el Ecuador y entre 443000m y 557000m aproximadamente para los límites latitudinales del huso (80º) - FALSO NORTE Dado que el origen latitudinal del sistema UTM se encuentra en el Ecuador. Se observa el inconveniente de que todos los territorios del hemisferio sur tendrían coordenadas negativas, como una forma de evitar la incomodidad inherente a trabajar con coordenadas negativas se decidió asignar un valor de norte falso valido para el hemisferio, que sea superior a la máxima distancia norte sur posible para la proyección. Así, se decidió asignar un valor de norte falso de 10000000 m para el hemisferio sur y mantener el norte falso de 0m para el hemisferio norte. 2.11.2.- PROYECCION GAUSS KRÜGER (KG) La misma es una variación de la mundialmente conocida proyección UTM (Universal Transversal Mercator) manteniendo las propiedades de conformidad de ésta. Cada faja de la grilla Gauss-Krüger mide 3º de ancho (longitud) y tiene como propio origen la intersección del Polo Sur con el meridiano central de cada faja. Al igual que la proyección Mercator transversa, y con el objeto de evitar coordenadas negativas, se le asigna al meridiano central de cada faja el valor arbitrario de 500000 metros y al Polo Sur el valor cero metros. Al aplicar la fórmula de deformación lineal, resulta que en la proyección GK todas las líneas que no están sobre el meridiano central sufren un aumento, mientras que en la proyección UTM las comprendidas entre ese meridiano central y un círculo ubicado a aproximadamente 62 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 1 ° 37' tienen una reducción, las ubicadas en la posición indicada (1° 37') no tienen deformación y las más alejadas se alargan. Esta es una proyección cilíndrica del tipo transversa (perpendicular al Ecuador) y tangente es decir solamente hace contacto con la superficie terrestre en un solo Meridiano, conocido como Meridiano Central de Faja (MCF). El sistema Gauss Krüger posee ejes cartesianos como modo de representación de las coordenadas proyectadas al plano generándose un X, Y Gauss Krüger. - FACTOR DE ESCALA La proyección Gauss Krüger considera un cilindro elíptico tangente al meridiano central y por consiguiente sobre este no hay deformación, esto es k = 1. - EJE X Representa el eje NORTE de la proyección (al revés de los ejes cartesianos matemáticos), y su origen o valor 0 (cero) se encuentra en el Polo Sur (Latitud 90º Sur). De esta manera la coordenada X de un punto expresado en Gauss Krüger indicará siempre la cantidad de metros a que ese punto se encuentra del Polo Sur. Esta distancia al polo Sur es igual a la verdadera longitud del arco de meridiano desde el polo hasta el Ecuador sobre el elipsoide de referencia. Sur-Ecuador =10001965,730 m. - EJE Y Representa el eje ESTE de la proyección y su origen está dado por cada MCF. En él, el valor que adopta la coordenada Y es 500000 (expresado en metros). Este valor arbitrario distinto de 0 (cero) se adoptó simplemente para evitar los valores negativos en las coordenadas. 2.11.3.- PROYECCIÓN LOCAL TRANSVERSAL DE MERCATOR (L T M) La proyección Local Transversal de Mercator (LTM) corresponde a un sistema cilíndrico transverso conforme tangente, pero con parámetros particulares que la individualizan y que permiten mediante la manipulación del ancho de huso y factor de escala, incrementar la exactitud en la representación de los elementos. Originalmente fue concebida como una herramienta de apoyo a los proyectos de ingeniería donde debe representarse el terreno con gran exactitud, busca cubrir las necesidades cartográficas de proyección conforme de alta precisión para proyectos de ingeniería Para la definición de esta proyección se establece un ancho de uso de 1º de longitud, donde el cálculo del factor de escala para el Meridiano Central Local (KMCL) se la obtiene a partir del factor de altura (Kh), para el cálculo del factor de altura se utiliza la formula general el cual se encuentra en función a la Altura Elipsoidal Media del área de trabajo y del Radio Medio de curvatura con estos valores se obtiene un valor de factor de altura, cuando la altura elipsoidal media sea igual a cero será Kh=1, por tanto el cilindro y el elipsoide son tangentes, a medida que el valor de la altura elipsoidal media sea mayor a 1 el Kh> 1 el cilindro se va alejando del elipsoide de tal forma que el plano de proyección llegue a la superficie terrestre. 63 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Fig. 21 Plano PTL. Formula del factor de elevación. Entre las características más importantes de la proyección LTM se tienen las siguientes: v Es una proyección cilíndrica tangente al elipsoide de referencia. v Ancho de huso generalmente es de 1º de longitud. v Meridiano central de la faja es coincidente con el paralelo medio del área de trabajo. v El valor del falso Norte coincidente con el paralelo del área de trabajo será igual al valor del arco meridiano con el valor de 0º a 90º de latitud es igual a 10001965,730 metros v El falso Este será igual a 200000 metros debido a que el valor de 1º en valor métrico es igual a 111000 metros Pese a que se recomienda que el meridiano central corresponda a grados enteros o medio grados, en proyectos de ingeniería se debe considerar en una primera instancia, que el meridiano central de la proyección sea coincidente con los valores promedios del área de trabajo para lograr así un cubrimiento total y una mayor precisión. Para áreas extensas o mayores precisiones, se recomienda usar múltiples fajas que abarquen el total del área de estudio y/o que cumplan con la precisión señalada16. 16 Fuente http:// http://www.cartografiacl 64 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Fig. 22 Plano PTL 2.11.3.1.- PROYECCION LTM Y PLANOS TOPOGRÁFICOS LOCALES (PTL) La forma de relacionar coordenadas sobre el elipsoide, el plano de proyección y posteriormente el terreno, implica arduas labores de cálculo y con esto la posibilidad cierta de cometer errores de distinto tipo haciendo aún más complicada la racionalización del espacio por medio de cartografía. Como una forma de solucionar la discrepancia existente entre mediciones en terreno y cartografía sobre un plano de proyección, se utiliza una proyección LTM tal que el plano de proyección sea coincidente con el terreno. Para esto, se debe considerar un cilindro que pase por el terreno topográfico constituyendo así un Plano Topográfico Local (PTL). Puede determinarse un valor Kh relacionado con la altura del terreno sobre el elipsoide (cercana a la altura sobre el nivel del mar) de modo que implique tangencia con un punto del terreno. De esta forma se obtiene para ese punto la directa relación terreno-plano de proyección facilitando así el transporte de coordenadas y las labores de replanteo. kh = ( Rm + hm) Rm Donde: Kh =Factor de Altura del plano Topográfico Local. Rm =Radio Medio de curvatura hm =altura elipsoidal La fórmula 32 señala el factor de escala del meridiano central para un proyecto cualesquiera que permite que el cilindro sea tangente al terreno (en desmedro de la relación de secancia o tangencia entre el plano de proyección y el elipsoide de referencia). Para efectos prácticos, los proyectos topográficos suelen utilizar diversos planos topográficos locales determinados según la inexactitud que provoca las diferencias de alturas observadas en el terreno. 65 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Un sistema de coordenadas PTL corresponde a un sistema de coordenadas topográficas de carácter local concebido para representar pequeñas extensiones de terreno. Al ser una versión de la proyección TM corresponde a un Sistema de Proyección Local cuyo origen corresponde a coordenadas geodésicas, lo que se traduce en: v Posición: dada por las coordenadas geodésicas (φ, λ) del origen del sistema rectangular (X, Y) local. v Orientación: Dada por un azimut de cuadricula del eje “Y” del sistema local. v Altura del plano de referencia: Dada por la altura elipsoidal media del plano de referencia. Falso Norte (Y) Para el valor del Falso Norte se toma en cuenta el valor del arco meridiano tomando los valores de latitud de 0º a 90º que es igual a 10001965,730 m. Por esto, se asigna un valor de 10001965,730 m. en el sistema WGS-84 como origen de las coordenadas Norte para el hemisferio Sur y de 0 metros para el hemisferio Norte, lo que radica en la imposibilidad de existencia de coordenadas negativas. Falso Este (X) Como una forma de evitar la existencia de valores negativos en las coordenadas proyectadas, se recurre a asignar un valor para el meridiano de origen, tal que sea mayor que la máxima extensión posible en sentido Este-Oeste (1º de desarrollo longitudinal en el ecuador corresponde a unos 111 Km.) de esta forma y para cubrir una posible extensión del huso mas allá de 1º se opta por asignar un valor de 200000 m. Este sistema de proyección LTM se le impone parámetros que permitan minimizar la diferencia de ángulos y distancias medidas en terreno y las cantidades obtenidas en un sistema plano LTM para áreas reducidas. Utilizada en el marco de proyectos de ingeniería. Al igual que en todas las proyecciones derivadas del desarrollo Transversal de Mercator, se mantienen los algoritmos de transformación, donde la variación es el factor de escala y los valores de el Falso Este y el Falso Norte. 66 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 2.12.- DEDUCCIÓN DE FÓRMULAS 2.12.1.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A COORDENADAS LTM La superficie de un elipsoide no puede ser extendido a un plano sin que exista distorsión, el problema que se plantea se reduce a representar la superficie del elipsoide sobre un plano de proyección utilizando leyes matemáticas, esta se expresa en forma general por las siguientes ecuaciones: x = f1 (j , l ).....(1) y = f 2 (j , l ).....(2) En estas ecuaciones: x= coordenada x del plano de proyección y= coordenada y del plano de proyección φ= latitud geodésica λ= longitud geodésica Las coordenadas x, y dan la posición de un punto sobre el plano de proyección; ƒ1, ƒ2 son funciones matemáticas con respecto a la latitud y longitud. Fig. 23 Elipsoide Fig. 24 Zona de Proyección En la figura 23 se observa el punto “A” sobre el elipsoide en coordenadas geodésicas, en la figura 24, el punto “a” es la representación sobre el plano de proyección en coordenadas x, y. 67 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia A partir de las fórmulas 1 y 2, el problema consiste en determinar las funciones ƒ1 y ƒ2, las condiciones iníciales para la obtención de estas funciones son: v Conformidad de la proyección v Elección de las zonas y de los ejes de coordenadas X, Y. v Representación del meridiano central local (MCL) y del Ecuador mediante líneas rectas sobre el plano de proyección v El meridiano axial del elipsoide se representa sobre el plano mediante una recta que representa el eje Y, por tanto X=0 y λ=0. v Para los puntos del meridiano axial las coordenadas Y deben ser iguales a los correspondientes a los arcos Y a partir del Ecuador al punto dado con su latitud. v Calculo del valor del factor de escala en el MCL y el plano PTL. Fig. 25 Distancia en el elipsoide Fig. 26 Distancia en Proyección En la figura 25 PS-O Meridiano Axial E-E1 Línea del Ecuador del elipsoide M= arco de meridiano del ecuador al punto A El punto A esta dado por las coordenadas geodésicas latitud y longitud, el punto A1 esta situado a una distancia infinitamente pequeña y en una dirección arbitraría del punto A, las coordenadas del punto A1 serán iguales a: ìj + dj A1 í îl + dl Se construye el triángulo auxiliar A-A1-C A1-C =Mdφ = arco de meridiano A-C = N(cos φ)dλ = arco de paralelo A-A1 = dS= Es la distancia entre ambos puntos. 68 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia dS = ( Mdj ) + ( N × cos j × d l ) 2 ( dl ) dS = N × cos j × 2 .....(3) 2 2 æ M ö +ç dj ÷ .....(4) è N × cos j ø Realizando el cambio de variable: M dj = dq.....(5) N × cosj d l = dl.....(6) Reemplazando las ecuaciones 5 y 6 en 4 se tiene: ( dl ) + ( dq ) dS = N × cosj × 2 2 .....(7) En la figura 26 O-PS eje y, es la representación del meridiano Axial elipsoidal sobre el plano de proyección. E-E1 eje x, es la representación de la línea del Ecuador elipsoidal sobre el plano de proyección. m= distancia proyectada en el plano de proyección, del ecuador al punto “a” Ambos ejes son perpendiculares entre sí, sea punto “a” dado por las coordenadas x, y, la representación del punto “A” y el punto “a1” se encuentra a una distancia infinitamente pequeña del punto “a” y a la vez es correspondiente al punto “A1” y sus coordenadas están dadas por: ì x + dx a1 í î y + dy Se construye el triángulo auxiliar a-a1-c a1 - c =dy = distancia sobre el plano de proyección a - c = dx = distancia sobre el plano de proyección a - a1 = ds= Es la distancia entre ambos puntos. ds = ( dx ) + ( dy ) 2 2 .....(8) Considerando la escala de representación (kr) se tiene: kr = ds .....(9) dS ( dx ) + ( dy ) kr = .....(10) 2 2 N × cosj × ( dl ) + ( dq ) 2 2 69 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia kr 2 = N 2 ( dx + idy )( dx - idy ) .....(11) × cos 2 j ( dl + idq )( dl - idq ) i = -1 Para proporcionarle conformidad a la representación, la escala kr en todas las direcciones debe ser la misma y a la vez depender solo de las coordenadas de dicho punto y no de la dirección y la distancia (ds). Por tanto la forma de la función que determina la dependencia entre las coordenadas situadas sobre el plano y las coordenadas situadas sobre el elipsoide dado por la fórmula (11) dx/dy o dq/dl, estos determinan la dirección de la distancia dS o ds. Teóricamente una función de variables complejas se demuestra que: L+iQ sea una función analítica de variable compleja ƒ(l+iq) d ( L +iQ ) dp L+iQ= ƒ (p+iq) cuando sea d (l +iq ) y no dependa dq Por tanto la ecuación (11) se la escribe de la siguiente manera: kr 2 = d ( x + iy ) d ( x - iy ) .....(11) N × cos 2 j d ( l + iq ) d ( l - iq ) 2 Utilizando el teorema anterior se tiene: x + iy = f (l + iq ).....(12) d ( x + iy ) = f '(l + iq).....(13) d (l + iq) Cambiando +i por –i se tiene: x - iy = f (l - iq ).....(14) d ( x - iy ) = f '(l - iq).....(15) d (l - iq) Reemplazando las fórmulas 13 y 15 en la fórmula 11 se tiene: kr 2 = 1 × f ´(l + iq) × f ´(l - iq).....(16) N × cos 2 j 2 Las derivadas f’ (l+i q) y f’ (l-iq) con las condiciones de las fórmulas 12 y 14 dependen solamente de x, y o q, l pero no dependen de sus diferenciales, por tanto las expresiones 11 y 16 tampoco dependen de las diferenciales. La fórmula 12 le proporciona conformidad a la representación para cualquier forma arbitraria de la función analítica f. Representación del eje Y sobre el meridiano axial del elipsoide, se la representa mediante una recta donde: 70 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Para el eje x l =λ = 0 X0 = 0 Y para eje y Y = Sφ= f (q) De la fórmula 12 x + iy = f (l + iq ) x + iy = f (l + iq ) Se observará que para deducir la función de traspaso desde ambos planos complejos, habrá que determinar f(λ + iq) según las condiciones iníciales requeridas por la proyección deseada e igualar posteriormente las partes real e imaginaria para obtener así las coordenadas reales de mapeo. x = x (λ, q) y = y (λ, q) Lo que permite calcular coordenadas que se encuentren únicamente sobre el meridiano central. Para generalizar esta solución a puntos que se encuentren fuera del meridiano central, donde el valor de la abscisa no será cero y el valor de la ordenada será diferente al del arco de meridiano del punto considerado. Se expande la función x + iy = f (λ + iq) en torno al punto z = iq según serie de Taylor, quedando x + iy = f (l + iq ) = f (iq ) + l f '(iq ) + l2 l3 f ''(iq ) + f '''(iq ) + .....(17) 2! 3! Considerando la expresión: f (iq) = iSj = if (q) Diferenciando con respecto a “z”, se obtiene. Como d d f (iq) = [if (q)] dz dz d dq f '(iq) = [if (q)] dq dz dz =i dq f '(iq) = if '(q) 1 = f '(q) i Donde: d f (iq) dz d f '(q) º f ( q) dq f '(iq) º Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas 71 Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Finalmente Continuando con las derivadas de orden superior: f ''(iq ) = - if ( q ) f '''(iq ) = - f '''( q ) f iv (iq ) = if iv ( q )....etc. Reemplazando estos valores se obtiene: l2 l x + i y = i f ( q ) + l f '( q ) i f ''( q ) 2! 3 3! f '''( q ) + l4 if 4! iv ( q ) + .... Igualando las partes real e imaginaria, se obtiene: l2 l 4 iv if ''( q ) + if ( q ) + .....(18) 2! 4! l2 l 4 iv y = f (q ) f ''( q ) + f ( q ) + .....(19) 2! 4! l3 l5 v x = l f '( q ) f '''( q ) + f ( q ).....(20) 3! 5! iy = if ( q ) - Donde las derivadas son: f '( q ) = N × cosj é dN ù dj N f ''( q ) = ê cosj - N × senj ú = - sen × 2j 2 ë dj û dq Las derivadas de orden superior fueron calculadas por Thomas en 1952). Reemplazando las derivadas en las funciones anteriores y operando, se obtiene: (Dl )3 (Dl )5 × N × cos3 j (1 - tan 2 j +h 2 ) + × N × cos5 j (5 - 18 × tan 2 j + x = Dl × N × cosj + 6 120 tan 4 j + 14h 2 - 58 × tan 2 j ×h 2 ) (Dl ) 2 (Dl )4 2 y = Sj + × N × cos j × tanj + × N × cos 4 j × tanj (5 - tan 2 j + 9h 2 + 4h 4 ) + 720 24 6 (Dl ) + × N × cos 6 j × tanj (61 - 58 × tan 2 j + tan 4 j + 270h 2 - 330 × tan 2 j ×h 2 ) 720 Como se observa, vienen en función del arco de meridiano, incremento de longitud a partir del meridiano central, latitud, radio de curvatura del primer vertical y el parámetro "η", función de la segunda excentricidad y de la latitud. 72 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia x Dl3 × cos3 j Dl5 × cos5 j éë1- t 2 +h 2 ùû + éë5 -18t 2 + t 4 +14h 2 - 58t 2h 2 +13h 4 - 64t 2h 4 + 4h6 - 24t 2h6 ùû + ...(21) = Dl × cosj + N 6 120 y Sj Dl 2 × senj × cosj Dl 4 × senj × cos3 j éë5 - t 2 + 9h 2 + 4h 4 ùû ....(22) = + + N N 2 24 t = tanj.....(23) h 2 = e '2× cos2 ....(24) Δλ= diferencia de longitud en radianes Las expresiones anteriormente desarrolladas pueden continuarse hasta sucesivos términos logrando así una exactitud mayor en la transformación., el tercer término asegura una exactitud suficiente para la mayoría de los trabajos geodésicos. Finalmente se tienen las siguientes fórmulas: N= a 1 - e2 × Sen 2j .................(25) t 2 = Tan 2j ............................(26) h 2 = e '2 × Cos 2j .........................(27) A = (l - l 0 ) × Cosj ...................(28) éj ×p æ e2 3e4 5e6 ö æ 3e2 3e4 45e6 ö æ 15e4 45e6 ö æ 35e6 öù Sj = a ê - ... ÷ - Sen ( 2j ) ç + + + ... ÷ + Sen ( 4j ) ç + + ...÷ - Sen ( 6j ) ç ç1 - ÷ú ...(29) ø è 8 32 1024 ø è 256 1024 ø è 3072 øû ë180º è 4 64 256 é ù A3 A5 2 2 x = N ê A + (1 - t +h ) + 5 - 18t 2 + t 4 + 72h 2 - 58e¢2 ) ú ...(30) ( 6 120 ë û 2 4 6 ìï éA ù üï A A y = í Sj + N × Tanj ê + 5 - t 2 + 9h 2 + 4h 4 ) + 61 - 58t 2 + t 4 + 600h 2 - 330e¢2 ) ú ý ...(31) ( ( 720 ïî ë 2 24 û ïþ Valor del factor de escala en el MCL y el plano PTL. El MCL es el valor del Meridiano Central Local. 73 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Fig. 27 Plano Topográfico Local Donde: hm= Altura Elipsoidal Media Rm= Radio medio de curvatura dt2 = Plano Topográfico Local cuando la altura elipsoidal media es mayor a 1 dt1 = Plano Topográfico Local cuando la altura elipsoidal media es igual a 0. Cuando la altura es igual a cero, el plano de proyección será tangente al elipsoide dt1=1 dt1 dt 2 = Rm Rm + hm dt 2 Rm + hm = dt1 Rm dt 2 = kh dt1 ( Rm + hm) K MCL = Rm El Kh es el factor de elevación que muestra la separación del Plano Topográfico Local y finalmente este valor pasa a ser el factor de escala para el Meridiano Central Local (KMCL). k MCL = ( Rm + hm) .....(32) Rm Las coordenadas finales son: XL= 200000 m. + kMCL x (32A) YL=10001965.730 m. + kMCL y (32B) Estos valores adoptados hacen referencia: x= distancia de separación entre el punto y el MCL. 74 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia y= distancia de separación entre el punto y la línea del ecuador. XL= coordenada X Local YL= coordenada Y Local kMCL = factor de escala para MCL. 200000 m al valor del falso Este. El valor de la longitud de arco meridiano en el elipsoide, tomando valores de 0º a 90º de latitud será de 10001965.730 m, para una altura elisoidal=0 el plano de proyección será tangente sobre la línea del MCL el factor de escala será k=1 por tanto la distancia máxima sobre la zona de proyección será el Falso Norte=10001965.730 m. Fuente: Torge, Wolfgrang; 1983, Geodesia-Introducción, Editorial DIANA S.A, Traducido por: Gualterio Luthe Garcia, Mexico-Tlacoquemecatl , pág. 202-215 2.12.2.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LTM A COORDENADAS GEODÉSICAS: Partiendo de la función general de mapeo conforme de la fórmula (12) x + iy = f (l + iq ) x + iy = f (l + iq ) Se tiene la transformación inversa a partir de la fórmula (12) se tiene: l + iq = f ( x + iy ).....(33) l + iq = f ( x + iy ).....(34) l - iq = f ( x - iy ).....(35) Empleando la serie de Taylor a las fórmulas 34 35 se tiene: iq1ii 2 q1iii 3 iq1iv 4 q1v 5 x x + x + x + .....(36) 2! 3! 4! 5! iq ii q iii iq iv qv l - iq = iq1 - xq1i - 1 x 2 + 1 x 3 + 1 x 4 + 1 x 5 + .....(37) 2! 3! 4! 5! l + iq = iq1 + xq1i - Tomando la semi suma y la mitad de la diferencia de las fórmulas 36 y 37 se obtiene: x 3 iii x5 v q1 + q1 + .....(38) 3! 5! 2 x x4 q = q1 - q1ii + q1iv + .....(39) 2! 4! l = xq1i - Al igual que la transformación de coordenadas geodésicas a coordenadas LTM, la transformación inversa debe cumplir con ciertas condiciones las cuales son: Conformidad de la proyección 75 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Elección de las zonas y de los ejes de coordenadas X, Y. Representación del meridiano central local (MCL) y del Ecuador mediante líneas rectas sobre el plano de proyección El meridiano axial del elipsoide se representa sobre el plano mediante una recta que representa el eje Y, por tanto f2 (y)=q1, X=0 y λ=0. Las fórmulas 38 y 39 resultan de la conformidad de la proyección del elipsoide al plano. Fig. 28 (Latitud Isométrica φ1=q1) En la figura 28 se observa que: Para un punto a de acuerdo con la condición de conformidad esta debe ser igual a la longitud de arco meridiano sobre el MCL por tanto: f2 (y)=q1 Donde q1 se calcula en función φ1, la latitud φ1 es la latitud base. Expandiendo dicha función a cualquier punto (z) sobre el plano con coordenadas x0, y0, aplicando la serie de Taylor se tiene: l + iq = (l 0 + iq0 ) + (Dl + iDq ) l + iq = f 2 ( x0 + iy0 ) + f '2 ( x0 + iy0 )(Dx + iDy ) + f ''2 l + iq = f 2 ( z ) + f '2 ( z0 )(Dz ) + f ''2 ( x0 + iy0 ) 2 ( Dx + iDy ) + .... 2! ( z0 ) 2 ( Dz ) + .... 2! 76 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Seleccionando un punto sobre el meridiano central para ser evaluado con la serie anteriormente expuesta se tiene: para : x0 = 0 x = Dx; y = Dy para : y = y0 Dy = 0; Dq = 0 Considerando estos argumentos e incorporándolos en la expresión anterior se obtiene: l + ij = f 2 (iy ) + f '2 (iy ) x + f ''2 (iy ) 2 x + .... 2! Se observa : x=0 iq = f 2 (iy ) El concepto asociado a la expresión anterior, donde se recurre a una latitud φ1 denominada latitud base, que corresponde a la proyección recta del paralelo en el meridiano central. La latitud base isométrica corresponderá a q1 y se puede escribir: iq1 = f 2 (iy) Evaluando f2 (iy) y sus derivadas se obtiene: f '(iy ) = donde y df 2 (iy ) d (iq) dq dSq = =i d (iy ) d (iy ) dSq d (iy ) iy = iSj iy = iSj 1 = iSq1 derivando f '2 (iy ) = -iq '' luego f ''2 (iy ) = -iq '' f '''2 (iy ) = - q ''' f iv 2 (iy ) = qiv f v 2 (iy ) = -iq v 77 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Expresando la función de mapeo mediante la latitud base φ1 se obtiene: iq1ii 2 q1iii 3 iq1iv 4 q1v 5 l + iq = iq1 + xq x x + x + x + .... 2! 3! 4! 5! i 1 Luego, separando las partes reales e imaginarias: x3 iii x5 v q1 + q1 + .... 3! 5! 2 x x4 q = q1 - q1ii + q1iv + .... 2! 4! l = xq1i - Reemplazando las derivadas complejas por las reales se obtiene q=ò j M 0 N secj × dj = ò j 0 M dj N × cosj 1 N × cosj t q ii = 2 N × cosj 1 q iii = 3 (1 + 2t 2 +h 2 ) N × cosj qi = (Las derivadas de orden superior fueron calculadas por Thomas en 1952) 5 2 4 2 2 2 é x 1 æ x ö3 æ 1 ö æ x ö æ 5 + 28t1 + 241 + 6h 1 + 8t1h 1 - ö ù 2 2 l = secj 1 ê - ç ÷ (1 + 2t1 +h 1 ) + ç ÷ ú .....(40) ÷ç ÷ ç è 120 ø è N1 ø çè 3h 14 - 4h 16 + 4t12h 14 + 24t12h 16 ÷ø úû êë N1 6 è N1 ø 2 4 æ x ö æ x ö t t j = j 1 - 1 (1 +h 12 ) ç ÷ + 1 (1 +h 12 ) ç ÷ ( 5 + 3t12 +h 12 - 4h 14 - 9h 12t12 ) .....(41) 2 è N1 ø 24 è N1 ø Las fórmulas finales son: y w= .................................(42) k MCL w u= .................(43) 2 æ e 3e 2 5e6 ö a ç1 - ÷ 4 64 256 ø è e1 = 1 - 1 - e2 1 + 1 - e2 .........................(44) 78 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia æ 3e 27e3 ö æ 21e2 55e3 ö æ 151e13 ö j1 = u + Sen(2u) ç 1 - 1 + ... ÷ + Sen(4u) ç 1 - 1 ... ÷ + Sen(6u ) ç ÷ + .....................(45) 32 32 ø è 2 ø è 16 è 96 ø e2 2 e' = ..........................(46) 1 - e2 h1 = e '2 × Cos 2j1....................(47) t1 = Tan 2j1.........................(48) a .......................(49) N1 = 2 1 - e × Sen 2j1 M1 = a(1 - e 2 ) .................................(50) (1 - e 2 × Sen 2j1 )3 x .....................................................(51) r= N1 × k MCL æ N × Tanj1 ö é r 2 r 4 ù r6 2 2 q =ç 1 61 + 90t1 + 298h1 + 45t12 - 252e '2 - 3h12 ) ú .....(52) ( ÷ ê - ( 5 + 3t1 +10h1 - 4h1 - 9e¢ ) + 720 û è M1 ø ë 2 24 3 5 2 2 2 r r ér - 6 (1 + 2t1 +h1 ) + 120 (5 - 2h1 + 28t1 - 3h1 + 8e¢ + 24t1 ù û ....(53) g =ë Cosj 1 180(j 1 -q ) j= ..................................(54) p 180(l MCL + g ) l= ..............................(55) p Fuente: Torge, Wolfgrang; 1983, Geodesia-Introducción, Editorial DIANA S.A, Traducido por: Gualterio Luthe Garcia, Mexico-Tlacoquemecatl , pag 215-217. 2.12.3.- CONVERGENCIA DE MERIDIANOS ( g ) Como sobre el elipsoide el azimut está referido al norte geodésico, y en el plano cartográfico las meridianos se presentan como línea cóncavas hacia el meridiano central, se observarán diferencias angulares entre el meridiano que pasa por el punto y la línea recta del eje “y”. A esta diferencia angular se le conoce como convergencia de los meridianos y será nula para el meridiano central, ya que solamente este meridiano tiene la particularidad de proyectarse como una línea recta, la que evidentemente será coincidente con el eje “y”. Analíticamente, la convergencia de meridianos puede definirse como el ángulo formado entre la tangente al meridiano en el punto y el eje Y que pasa por el mismo punto. O también como el ángulo formado entre la tangente al paralelo en el punto y el eje X que pasa por el mismo punto. Puede expresarse con la siguiente ecuación general: 79 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia tan g = ¶y ¶l ¶x ¶l = ¶y .....(56) ¶x Fig. 29 Convergencia de meridianos De la Figura 29 φ1= latitud base φ= latitud del punto a γ= convergencia de meridianos del punto a NC= Norte de Cuadrícula NG= Norte Geodésico MCL = Meridano Central Local 80 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Fig. 30 Ángulo de convergencia de meridiano. En la figura 30 se muestra, el punto a la representación en el plano del punto A sobre el elipsoide. El punto a1 está situado a una distancia infinitamente cercana del punto a, y (γ) es el ángulo de convergencia de meridianos. Sea en triángulo elemental a-a1-c, donde la tangente será: dy tan g = = dx dy dl dx dl .....(5 7 ) Luego: dx = Dl × N × cosj .....(58) dl dy = Dl 2 × N × senj × cosj .....(59) dl Reemplazando las fórmulas (58) y (59) en la fórmula (57) se tiene: tan g = Dl × senj .....(60) Considerando la siguiente expresión: 1 1 g = tan g - tan 3 g + tan 5 g .....(61) 3 5 Diferenciando con respecto a l y reemplazando los valores se tiene: Dl 3 Dl 5 2 2 2 4 tang = Dl × senj + × senj × cos j (1 + t + 3h + 2h ) + × senj × cos 4 j ( 2 + 4t 2 + 2t 2 ) .....(62) 3 15 Tomando en cuenta la (61) Dl 3 Dl 5 2 2 4 g = Dl × senj + × senj × cos j (1 + 3h + 2h ) + × senj × cos 4 j ( 2 - t 2 ) 3 15 81 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia La fórmula final donde el valor de la convergencia de meridianos en segundos será: Dl 3 Sen21" Dl "5 Sen41" g " = Dl " Senj + Senj × Cos 2j (1 + 3h 2 + 2h 4 ) + Senj × Cos 4j (2 - t 2 ).....(63) 3 15 Fuente: Torge, Wolfgrang; 1983, Geodesia-Introducción, Editorial DIANA S.A, Traducido por: Gualterio Luthe Garcia, Mexico-Tlacoquemecatl , pag 220-222. 2.12.4.- FACTOR DE LA ESCALA DE REPRESENTACION (k) De: ( dx ) + ( dy ) .....(10) 2 2 ( Mdj ) + ( N × cosj × dl ) 2 kr = 2 ( dx ) + ( dy ) = 2 .....(64) 2 2 M ( dj ) + N 2 × cos 2 j ( dl ) 2 kr 2 2 2 1 + ( dy dx ) æ dx ö 2 kr = ç .....(65) ÷ × 2 2 è dl ø N × cos 2 j é1 + ( N ×Mcos× djj×dl ) ù êë ûú Tomando en cuenta la 57 se tiene: 2 2 æ dy ö 1 + ç ÷ = 1 + tan 2 g = sec 2 g .....(66) è dx ø dj = 0 reemplazando este valor en la fórmula 65 se tiene: dl 1 æ dx ö kr = ç ÷ × × sec l .....(67) è dl ø N × cosj Para el paralelo Calculando la derivada con respecto a: æ Dl 2 × N ö 3 æ Dl 4 × N ö 5 æ dx ö 2 2 2 4 j j h N cos cos 1 t = × + + + ( ) ç ÷ ç ÷ cos j ( 5 - 18t + t ) .....(68) ç ÷ è dl ø è 2 ø è 24 ø Considerando la siguiente expresión: g2 5 4 + g 2 24 Dl 3 × senj × cos 2 j g = Dl × senj + (1 + 3h 2 ) .....(69) 3 secg = 1 + Y 82 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Reemplazando la fórmula 68 y 69 en la fórmula 67 se tiene: æ Dl 2 ö 2 æ Dl 4 cos 4 j ö 2 2 kr = 1 + ç cos j 1 + h + ( ) ÷ ç ÷ ( 5 - 4t ) .....(70) 24 è 2 ø è ø 2 4 x x kr = 1 + + .....(71) 2 2 × Rm1 24 × Rm14 k = k 0 éë1 + D l "2 2 C o s 2j SSen en 2 1"(1 + n 2 ) + D l "4 24 C o s 4j SSen en 4 1"(5 - 4 T aann 2j ùû ...(72 ...(7 22)) Fuente: Torge, Wolfgrang; 1983, Geodesia-Introducción, Geodesia Introducción, Editorial DIANA S.A, Traducido por: Gualterio Luthe Garcia, Mexico-Tlacoquemecatl , pag. 222-223. 222 2.12.5.- INFLUENCIA DE LA CURVATURA TERRESTRE (d) Fig. 31 Ángulo central con un con un Radio Real Fig. 32 Ángulo central con un radio igual a 1 83 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia De las figuras 31 y 32 se tienen: AB A'B ' = ...(7 3) Rm 1 A B = R m × ( A ' B ')...(7 4) ab a 'b ' = ...(75) Rm 1 ab = R m × ( a ' b ')...(7 6) Aplicando la serie de Mclaurin al ángulo central C 3 C5 æC ö C C tan ç ÷ = ...(7 7 ) + + 2 24 24 0 è 2 ø De la diferencia entre el plano y la curva se tiene la siguiente ecuación: d = A B - ab ...(78) Reemplazando la (73) y (76) en la (78) se tiene: d = R m × ( A ' B '- a ' b ')...(7 9) Del triángulo AOB AB æC ö tan ç ÷ = ...(8 0 ) è 2 ø 2 × (Rm ) Considerando la altura elipsoidal promedio del plano PTL y despejando AB AB æC ö tan ç ÷ = ...(8 1) è 2 ø 2 × ( Rm + hm ) Del triángulo A’OB’ æ C ö A'B ' tan ç ÷ = ...(8 2 ) 2 è 2 ø Despejando A’B’ y reemplazando la fórmula (77) æ C C3 ö A 'B ' = 2 ×ç + ÷ ...(8 3) 24 ø è 2 C3 ...(8 4) A'B ' = C + 12 Reemplazando la formula (84) en la (79) Donde a’b’= C 84 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia æ C3 d = Rm ×ç C + -C 12 è ö ÷ ...(8 5) ø Considerando la altura elipsoidal promedio del plano PTL y despejando el ángulo central C æC3 ö d = (Rm + hm ) × ç ÷ ...(8 6) è 12 ø 2.12.6.- FACTOR COMBINADO (Kt) El factor combinado, es el valor a dimensional, que permite la reducción de la distancia horizontal topográfica al plano de proyección UTM. El factor combinado es la considera la separación entre la superficie topográfica y la superficie de proyección UTM, multiplicado este valor por la distancia horizontal reduce automáticamente la distancia horizontal topográfica a la proyección UTM. A continuación se demuestra la formula general. Fig. 33 Factor Combinado De la figura 33 se tiene: ( A - B ) = ( A ¢ - B ¢ ) ...(8 7 ) kh K 85 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Donde: A-B= Distancia sobre el Plano Topográfico Local (PTL) A’-B’=Distancia sobre el Plano de Proyección UTM. Kh= Factor de Altura K= Factor de Escala en el Plano de Proyección UTM Se observa que el Kh y K están relacionados al elipsoide. D D PTL = U T M ...(8 8) kh K DU T M K = ...(89 ) D PTL kh La formula final será: Kt = K ...(90 ) kh 86 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia CAPITULO III METODOLOGIA La metodología empleada en el presente Proyecto de Grado, se la divide en tres etapas: - Análisis de información en Gabinete - Obtención de datos de campo - Análisis de los resultados. 3.1.- ANALISIS DE INFORMACION EN GABINETE: Esta etapa comprende el planteamiento de la hipótesis y un análisis previo del comportamiento de las distancias: inclinada, elipsoidal y distancia sobre la proyección UTM, para el cual se utilizó 15 puntos de control del Proyecto: - Establecimiento de puntos de control horizontal fotogramétrico GMLP-IGM 2006, realizado por el Instituto Geográfico Militar (IGM). 3.1.1.- HIPÓTESIS.El planteamiento de la hipótesis se genera a partir de la problemática planteada en el capítulo I, referente a la incertidumbre de representar la superficie topográfica en un plano georeferenciado donde la distancia topográfica guarde relación con respecto a su representación, esto significa que no estén limitados por la escala de representación, tampoco este influenciadas por un factor de escala que deforme su magnitud. La hipótesis planteada sugiere lo siguiente: Generar un Plano de Proyección Local Georeferenciado, donde la distancia Topográfica represente su verdadera magnitud sin distorsión. Este plano PTL se obtiene a partir de los puntos de control geodésico del área a realizar el trabajo se toma en cuenta dos puntos de control que estén ubicadas en el área de trabajo, se calcula el promedio de estos dos puntos de control geodésico, la longitud media será el Meridiano Central Local MCL, la latitud media es el que permite obtener el radio medio de curvatura, el factor de altura kh se calcula en función al radio medio de curvatura y la altura elipsoidal media, para ello se utiliza la formula 32: k MCL = ( Rm + hm) Rm El PTL es el plano de proyección local o plano topográfico local donde se proyectará todas las distancias horizontales del área de trabajo, sin necesidad de que estas sean reducidas por el factor de escala; el kh es el factor de escala que permite llevar el plano de proyección al área de trabajo a su vez este factor representa la separación del elipsoide con respecto al plano PTL, tal como se observa en fig. 34. 87 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Fig. 34 Plano PTL, Superficie elipsoidal y superficie topográfica. El comportamiento del factor de escala en las Proyecciones de Mercator (UTM, Gauss Kruger, LTM), está en función a la posición del Elipsoide con respecto al Plano de Proyección, esto se verifica analizando el factor de escala en el Meridiano Central de la zona de proyección, en la tabla 4 se observa las diferencias que tiene las proyecciones de Mercator con respecto al factor de escala en el MC. Tipo de Proyección Factor de Escala MC Ancho de Zona UTM. 0.9996 6º de longitud G. K. 1 3º de longitud LTM. Mayor a 1 menor a 2º de longitud Tabla 4 Factores de escala en las diferentes Proyecciones Mercator. En la tabla se observa que el factor de escala en el MC para la proyección LTM será mayor a 1, como se observa en la fórmula 32 el kh está en función a la altura elipsoidal media del área de trabajo, para un valor de altura elipsoidal igual a cero el factor kh será igual a 1 significa que el plano de proyección será tangente al elipsoide, a medida que el valor de la altura elipsoidal se incremente el valor kh será mayor a uno, por tanto el PTL se alejará del elipsoide. El factor de elevación es el que permite la relación Plano Topográfico Local y superficie matemática (elipsoide de referencia), este toma en cuenta la separación elipsoide y superficie topográfica por medio de la altura elipsoidal media del área de trabajo, este es el factor base de la proyección LTM, ya que será igual al valor del factor de escala para el Meridiano Central Local del Plano Topográfico Local. 88 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Fig. 35 (PTL vs Altura Elipsoidal) para un Rm= 6360186.817 6360186 817 metros En la tabla 35 se muestra el comportamiento de los planos PTL, estas dependen de la altura elipsoidal para una altura elipsoidal igual a cero el valor del factor de escala del PTL será igual a 1 a medida que este valor se incremente este valor será mayor a uno. Una vez definida el Plano de Proyección Local, la parte de los cálculos de transformación de coordenadas geodésicas a coordenadas LTM se la realizará en función a los siguientes datos: MCL=Meridiano Central Local kh= KMCL= Factor de Escala en el MCL XL= 200000 m. YL= 10001965.730 m. El valor del kh pasará a ser el valor de Factor de Escala en el meridiano central local conocido como KMCL. Al igual que en todas las proyecciones derivadas del desarrollo Transversal de Mercator, se mantienen los algoritmos de transformación. tr 3.1.2.- ANALISIS DE LAS DISTANCIAS: Se analizó el comportamiento y variación de las diferentes distancias, estas distancias son las siguientes: v Distancia Elipsoidal con respecto a la distancia Inclinada. v Distancia Elipsoidal con respecto a la distancia sobre la proyección UTM. Para ello se utilizó los puntos de control fotogramétrico, proporcionados proporcionad s por el Gobierno Municipal de La Paz (GMLP), del proyecto Establecimiento de puntos de control horizontal fotogramétrico GMLP-IGM IGM 2006, realizado realizado por el Instituto Geográfico Militar (IGM) con un total de 113 puntos de apoyo de control horizontal que están vinculados a la red geodésica 89 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia MARGEN de Bolivia, de los cuales se emplearon un total de 15 puntos de control tal como se muestra en la tabla 5. COORDENADAS GEODÉSICAS Nº NOMBRE LATITUD LONGITUD ALTURA ELIPSOIDAL ALTURA m.s.n.m. (metros) (metros) UBICACION 1 VIRG 16 º 31 ' 48.22259 " S 68 º 8 ' 46.42235 " W 4100.257 4051.923 Virgen Ciudad Satélite 2 PFM1 16 º 32 ' 15.48077 " S 68 º 8 ' 10.08976 " W 3866.727 3818.991 Alto Alpacoma 3 BEVI 16 º 31 ' 18.71098 " S 68 º 5 ' 37.59367 " W 3541.050 3492.947 Cementerio Bella Vista 4 PC12 16 º 30 ' 44.52688 " S 68 º 5 ' 28.61330 " W 3505.129 3457.156 Bolognia 5 PC60 16 º 31 ' 46.94313 " S 68 º 2 ' 6.45525 " W 3765.979 3714.190 Urbanización las Rosas (Cala calani) 6 PC59 16 º 31 ' 16.91374 " S 68 º 2 ' 25.99466 " W 3873.071 3821.243 Sector Laurapata (Vilacota) 7 BPUL 16 º 28 ' 55.35797 " S 68 º 6 ' 54.54811 " W 3814.896 3766.587 Bronco Pulmonar 8 PC14 16 º 28 ' 45.72964 " S 68 º 6 ' 16.38238 " W 4075.590 4027.806 Villa San Antonio 9 CHAJ 16 º 30 ' 45.04022 " S 68 º 2 ' 58.74421 " W 3759.088 3712.250 Chajllani 10 ARUN 16 º 31 ' 4.583410 " S 68 º 4 ' 11.97642 " W 3713.904 3666.170 Aruntaya 11 PC11 16 º 29 ' 52.78322 " S 68 º 4 ' 44.25312 " W 3633.817 3585.729 Irpavi II 12 LAIK 16 º 30 ' 19.69764 " S 68 º 7 ' 24.50551 " W 3627.719 3579.595 Laikakota 13 P028 16 º 30 ' 21.99437 " S 68 º 6 ' 20.49351 " W 3806.106 3757.951 Cruz Villa Armonía 14 P-27 16 º 29 ' 48.78134 " S 68 º 6 ' 25.81870 " W 3876.274 3828.132 Mirador Villa Copacabana 15 CMAT 16 º 30 ' 27.04115 " S 68 º 4 ' 43.08880 " W 3603.732 3555.979 Condominio Matilde Tabla 5 Coordenadas geodésicas y ubicación. Marco de Referencia: MARGEN-Bolivia. Sistema de Referencia: WGS-84. Fuente: IGM. 3.1.3.- CÁLCULO DE DISTANCIAS: Para el cálculo de las distancias elipsoidal y distancia inclinada, se utilizo el programa GEOCALC y PROG-GEO V1.1-2009, de los cuales se obtuvieron los siguientes resultados: Nº ESTACIONES OBSERVADAS DIST. ELIP. (metros) DIST. INCL. (metros) DIFERENCIA (metros) 1 2 3 4 5 6 7 8 VIRG-PFM1 BEVI-PC12 PC60-PC59 BPUL-PC14 CHAJ-ARUN PC11-PC12 LAIK-P-27 P028-LAIK 1364.815 1084.039 1089.874 1170.036 2253.220 2064.136 1983.016 1899.641 1385.492 1085.236 1095.775 1199.433 2254.993 2069.300 1999.691 1909.100 20.677 1.197 5.901 29.397 1.773 5.164 16.675 9.459 9 P028-P-27 1033.110 1036.114 3.004 PC12-CMAT 1453.107 1457.258 4.151 10 Tabla 6 Distancia Elipsoidal, Inclinada y su diferencia 90 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia En la tabla 6, se observa las distancias elipsoidal e inclinada, para el cálculo de las distancias inclinadas, primero se realizó la transformación a coordenadas espaciales a partir de estas coordenadas y para el cálculo de distancia inclinada, se utilizó el teorema de Pitágoras de distancia entre dos puntos, en el resultado se observa que entre las estaciones VIRG y PFM1 la diferencia entre la distancia elipsoidal con respecto a la distancia inclinada es de 20.677 metros, y entre las estaciones BEVI y PC12 se observa que la diferencia es de 1.197 metros, esta diferencia se debe al desnivel de alturas elipsoidales que existe entre VIRG y PFM1 de 233.530 metros, con respecto a las estaciones BEVI y PC12 de 35.921 metros, llegando a la siguiente conclusión: “la distancia inclinada está en función a la diferencia de altura elipsoidal comprendida entre dos puntos”, si la diferencia de alturas elipsoidales entre dos estaciones observadas es mayor; la distancia inclinada es mayor. Para el cálculo de las distancias elipsoidal y UTM, se utilizó el programa GEO-CALC y PROG-GEO V1.1-2009, obteniéndose los siguientes resultados: Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ESTACIONES OBSERVADAS DIST. ELIP. (metros) DIST. UTM. (metros) DIFERENCIA (metros) VIRG-PFM1 BEVI-PC12 PC60-PC59 BPUL-PC14 CHAJ-ARUN PC11-PC12 LAIK-P-27 P028-LAIK 1364.815 1084.039 1089.874 1170.036 2253.220 2064.136 1983.016 1899.641 1364.411 1083.731 1089.580 1169.698 2252.599 2063.553 1982.441 1899.091 0.404 0.308 0.294 0.338 0.621 0.583 0.575 0.550 P028-P-27 1033.110 1032.812 0.298 PC12-CMAT 1453.107 1452.697 0.410 Tabla 7 Distancia Elipsoidal, distancia UTM y su diferencia En la tabla 7, se verifica la variación de distancias sobre el elipsoide y su diferencia con respecto a la distancia sobre la proyección UTM. Por ejemplo se analizará la distancia entre las estaciones P028-P-27 la distancia elipsoidal es de 1033.110 metros su diferencia con respecto a la proyección UTM la diferencia es de 0.298 metros y realizando la comparación con una distancia mayor entre las estaciones CHAJ-ARUN donde la distancias elipsoidal es de 2253.220 metros, se tiene una diferencia de 0.621 metros, se observa una proporción aproximada de 0.288 metros por cada kilometro; llegando a la conclusión de: “la variación está en función a la distancia elipsoidal”, a distancias más largas la diferencia será mayor. Se verifica que existe una variación considerable entre las distancias: elipsoidal, inclinada y UTM, se tomará en cuenta estas primeras conclusiones al momento de realizar el análisis con respecto a la distancia Topográfica además, que será analizada más detalladamente en la parte de análisis de los resultados finales. 3.2.- ETAPA DE CAMPO: Esta etapa comprende el muestreo de datos en campo y la medición de distancias y ángulos de una poligonal de enlace. 91 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Verificación de la variación de la distancia por factores atmosféricos. El muestreo de datos para verificar la influencia de factores atmosféricos en la medición de distancias, se lo realizo entre las estaciones LAIK, P028 y P-27 en dos oportunidades, en la primera se utilizo las constantes de temperatura 15º Centígrados, presión atmosférica 760 mmHg y PPM=0 y la segunda se utilizo las variables de temperatura y presión atmosférica obteniéndose diferentes valores para en PPM, se utilizo la ET marca Sokkia. El reconocimiento de campo se lo realizó conformando una brigada compuesta por tres personas, los materiales utilizados fueron los siguientes: - 1 Binoculares - 1 Brújula - 1 GPS navegador Garmin Etrex Sumit. - Monografía de los puntos de control LAIK, P028 y P-27. Con el personal de la brigada se verifico la existencia y es estado de los mojones y la visibilidad entre los tres puntos, entre los puntos LAIK y P028 se observo que existía y obstáculo en la visual ya que existía una malla, que debía de ser tomado en cuenta la momento de realizar la medición de distancia. Para la verificación de la influencia atmosférica en la medición de distancias con estación total, se planificó dos fechas para la medición de distancias, la primera en fecha 17 de junio de 2008 y la segunda en fecha 28 de junio 2008, en la primera no se consideró la corrección Atmosférica en el equipo y en la segunda se consideró la corrección atmosférica. La brigada conformada por tres personas: - 1 Operador 2 ayudantes Equipo utilizado: - 1 Estación Total Marca SOKKIA con simple pantalla SET510 V31-12 con precisión angular de 5” y un alcance máximo de lectura a los 2000 metros 1 trípode 1 termómetro ambiental 1 brújula 1 flexómetro 2 prismas con sus respectivos jalones 1 Planilla de corrección por PPM. 1 GPS navegador Garmin Etrex Sumit 3 radios Handy. 3 Celulares. 1 Vehículo Marca Toyota. En fecha 17 de junio de 2008, se realizó la primera salida al campo la primera estación se lo realizó en el LAIK, a horas 10:00 AM, se instalo el equipo, una vez verificado la plomada y el nivel se visualizo en dirección P-27 se realizó la medición de distancias sin tomar en cuenta la corrección atmosférica el PPM=0, se realizó un promedio de 5 lecturas luego se visualizo 92 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia en dirección al P028 se realizó un promedio de 5 lecturas se dio vuelta y se volvió a realizar las mediciones hacia ambas estaciones en promedio de 5 lecturas, una vez terminada las lecturas se procedió al cambio de estación la segunda estación fue el P-27 y por último el P028, en ambas estaciones se procedió con las mismas operaciones descritas en la estación LAIK. Los resultados obtenidos de campo se muestran en el anexo M, planillas 1, 2 y 3. En fecha 28 de junio de 2008, se realizó la segunda salida al campo la primera estación se lo realizó en el LAIK, a horas 11:46 AM, se realizó le medición de la temperatura 10º Centígrados con una presión atmosférica de 491 mmHg., obtenido con el GPS Navegador el PPM=96, una vez estacionado y nivelado la ET, se introdujo los valores atmosféricos en la ET, se realizó la medición del P028 con un promedio de 5 lecturas y luego al P-27 con un promedio de 5 lecturas, se dio la vuelta al instrumento se volvió a medir nuevamente las distancias de ambas estaciones en promedio de 5 lecturas. La segunda estación fue el P27, los datos atmosféricos obtenidos fueron los siguientes: temperatura 15º Centígrados, presión atmosférica 468 mmHg. y PPM=107, con estos nuevos datos introducidos en la ET se realizó la medición siguiendo la misma metodología mencionada en la estación LAIK, la última estación fue en el P028 con los siguientes datos atmosféricos: temperatura 20º Centígrados, presión atmosférica 472 mmHg. y PPM=109, con estos datos se procedió a la medición de distancias. Los resultados de campo se muestran en el anexo M, planillas 4, 5 y 6. Medición de distancias topográficas. Otros datos que se utilizaran para el análisis del comportamiento de la distancia horizontal topográfica, corresponden a los datos que fueron realizados dentro del proyecto Saneamiento de Asentamientos Humanos (P.S.A.), por el Gobierno Municipal de La Paz, del cual participó mi persona en calidad de operador de la ET, la brigada compuesta por tres personas 1 operador y dos ayudantes de campo, los instrumentos utilizados son siguientes: - - 1 Estación Total Marca SOKKIA con doble pantalla SOKKIA SET-350 RK con lectura laser y con precisión angular de 5” y un alcance máximo de lectura a los 4000 metros. 1 trípode 1 termómetro ambiental 1 brújula 1 flexómetro 2 prismas con sus respectivos jalones 1 Planilla de corrección por PPM. 1 GPS navegador Garmin Etrex Sumit 3 radios Handy. 3 Celulares. 1 Vehículo de transporte. Los trabajos se lo realizaron durante la gestión 2007, las fechas fueron programadas por la dirección del P.S.A. se realizaron levantamientos georeferenciados apoyados en la red Geodesica Municipal realizada por el IGM, se realizaron reconocimientos de campo para verificar la visibilidad de los puntos de control y para luego realizar el arrastre de coordenadas hacia las distintas zonas de la ciudad de La Paz, a continuación se muestra un 93 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia resumen de distancias horizontales, desnivel, los datos atmosféricos y las fechas en las cuales se realizó la medición: ESTACIONES DISTANCIA HORIZONTAL m. DESNIVEL m. TEMP PRES. ATM. PPM FECHA HORA PC12-CMAT 1453.947 -98.477 12ºC 491 mmHg 101 11-Apr-07 10:00 VIRG-PFM1 1365.665 233.676 15ºC 458 mmHg 115 17-jul-07 11:28 BEVI-PC12 1084.628 36.146 15ºC 504 mmHg 95 27-jul-07 11:26 PC60-PC59 1090.555 -106.935 17ºC 474 mmHg 108 22-Aug-07 10:25 BPUL-PC14 1170.791 -260.617 9ºC 491 mmHg 96 30-Aug-07 11:25 CHAJ-ARUN 2254.547 45.564 17ºC 478 mmHg 108 27-jul-07 11:26 PC11-PC12 2065.286 129.020 18ºC 485 mmHg 106 10-jul-07 15:14 Tabla 8 Resumen de Distancias medidas con la Estacion Total Sokkia SET-350 RK Todos estos datos fueron obtenidos en diferentes fechas, donde se tomaron los datos de temperatura y la presión atmosférica, la temperatura fue obtenida por un termómetro y la presión por GPS. Navegador Etrex Sumit, el dato del PPM es calculado por el instrumento automáticamente a partir la temperatura y presión atmosférica ó altura snmm, las distancias mostradas en la tabla 8 son distancias horizontales sin la influencia de ningún factor de escala. Medición de distancias topográficas y ángulos horizontales. La medición de distancias y ángulos para la comprobación de cierre angular y lineal corresponden a una poligonal de enlace realizado por empresa Topógrafos Asociados dentro del municipio de Viacha. Se tomaron los datos que corresponden al proyecto carretero Viacha - Collana, se utilizo el primer tramo que se encuentra en 1ra fase diseño final, correspondiente a una poligonal de enlace con una distancia horizontal topográfica de 9351.246 metros y un desnivel de 31.520 metros. Para la realización de la georeferenciación y medición de la poligonal abierta se procedió con las siguientes etapas: Reconocimiento de campo: Se realizó la inspección a campo y la ubicación de los mojones de los vértices de los puntos GPS, un total de cuatro vértices dos de los vértices con su respectiva numeración, dos se ubican al inicio de la poligonal y los otros dos al final, para luego enlazar con una poligonal, de 10 vértices distribuidos en el trayecto de la poligonal. El área de trabajo corresponde a la zona del altiplano con un desnivel de 31.250 metros, con una altura media de 3852.985 metros sobre el nivel medio del mar. Medición: La brigada está compuesta por 5 personas, La etapa se realizó en dos partes, la primera corresponde a la georeferenciación para ello se utilizaron los siguientes equipos: - 2 GPS Geodésico de simple frecuencia marca Sokkia con sus respectivos trípodes - GPS navegador Garmin Etrex Legend - Flexometro y huincha 94 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia - Cámara digital. - Vehículo de transporte. La georeferenciación, se lo realizó en fecha 10 de enero del 2009, con el uso de dos GPS geodésicos de simple frecuencia, el tiempo de sección es de una hora con treinta minutos por estación, la estación base es el INGA, no se presentaron problemas con la obstrucción de señal. La segunda etapa corresponde a la medición de la poligonal de enlace, para ello se utilizaron los siguientes equipos: - Estación Total SOKKIA SET 530 RK3 con su respectivo trípode. Flexometro 2 Prismas con sus respectivos jalones. Termómetro 2 radios Handy Tabla de corrección PPM. Cámara digital Brújula. 10 estacas de madera. Vehículo de transporte. La medición con la ET de la poligonal de enlace cuenta con un total de 12 estaciones de cambio, se realizó la medición de distancias y ángulos horizontales y verticales, se tomó el dato de la temperatura y tomando con una altura media del área de trabajo de 3852.985 metros aprox., se calculó la presión atmosférica con la tabla de corrección por PPM, la lectura de ángulos por serie por estación dos series la primera serie con una imposición de 0º y la segunda imposición de 90º en posición directa e inversa, para la lectura de las distancias se tomó el PPM=0, para su posterior corrección en gabinete, la altura de los prismas es de 1.790 metros constante para todas las estaciones, la planilla de la estación total se muestra en el anexo J. La parte que se describe detalladamente y la parte que se enfatiza con prioridad es la parte de gabinete los cálculos realizados se describen mediante tablas los datos obtenidos de campo están enumeradas con el nombre de planillas en observación las planillas 7 y 8 corresponden a la observación del ángulo horizontal y las planillas 9 y 10 a la observación de ángulos verticales y distancias inclinadas sin corrección por PPM, el valor de la presión atmosférica se la calculó en gabinete con la tabla de corrección por PPM para ello se tomó en cuenta el valor medio de la altura media msnm. El cálculo de las coordenadas geodésicas de los puntos GPS se realizó con el Sofware Spectrum Survey triangulando con la estación base correspondiente a la estación base INGA ubicada en las instalaciones del cuartel Ingavi. Los resultados se observan en el anexo I. 95 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 3.3.- ANALISIS DE RESULTADOS: 3.3.1.- ANÁLISIS DEL PPM La distancia medida por la ET se la realiza mediante desfase de onda electromagnética portadora emitida por el ET que viaja por la atmósfera y luego regresa de un prisma, como la señal electromagnética es influenciada por la variación atmosférica, la distancia sufre una deformación por lo que se debe aplicar la corrección meteorológica que es calculada en partes por millón (PPM). La influencia de esta corrección en la medición de una distancia utilizando un dato de la planilla 1 se tiene los siguientes datos: Datos: Temperatura: 10ºC Presión Atmosférica: 491 mmHg. Calculo del PPM: 96 Distancia Mensurada (LAIK-P028): 1908.938 metros Corrección Meteorológica= 0.000096x 1908.938 metros Corrección Meteorológica= 0.183 metros Dist. Corregida= 1909.121 metros Con los datos obtenidos en la planilla 4, se verifica que la distancia corregida con la ET para los mismos puntos de control es: Distancia Mensurada (LAIK-P028)= 1909.120 metros, variando ambos por un milímetro. En la siguiente tabla se observa el resumen de las distancias horizontales de las tres estaciones LAIK, P028 y P-27, donde en la segunda columna las distancias horizontales no tienen corrección atmosférica y en la tercera columna se observa las mismas distancias tienen la corrección atmosférica, en la última columna se muestra claramente las diferencias entre las distancias sin corrección y las distancias corregidas por influencia atmosférica, donde la mayor variación es de 25 cm. ESTACIONES OBSERVADAS LAIK - P028 LAIK - P-27 P-27 - LAIK P-27 - P028 P028 - LAIK P028 - P-27 DISTANCIA HORIZONTAL m. SIN CORRECCION ATMOSFERICA DISTANCIA HORIZONTAL m. CON CORRECCION ATMOSFERICA DIFERENCIA metros 1900.599 1984.039 1983.948 1033.648 1900.548 1033.685 1900.786 -0.187 1984.289 -0.250 1984.155 -0.207 1033.755 -0.106 1900.744 -0.196 1033.774 -0.089 Tabla 9 Distancia Horizontal sin corrección y con corrección atmosférica. Se evidencia que la corrección atmosférica influye en las distancias mensuradas y se refleja en la distancia horizontal, llegando a la conclusión que la corrección por PPM afecta a la 96 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia distancia mensurada mientras más grande sea la distancia mensurada más grande será el valor de la corrección atmosférica. 3.3.2.- CÁLCULO PLANO TOPOGRÁFICO LOCAL (PTL) El PTL es el plano georeferenciado sobre el cual se representa la superficie topográfica del área a representar para el cálculo de este plano se toma en cuenta los valores medios de los puntos geodésicos, a continuación se realiza el cálculo tomando en cuenta los 15 puntos de control geodésico se tiene: EST. LATITUD S LONGITUD W VIRG PFM1 BEVI PC12 PC60 PC59 BPUL PC14 CHAJ ARUN PC11 LAIK P028 P-27 CMAT MEDIA 16º31'48.22259" 16º32'15.48077" 16º31'18.71098" 16º30'44.52688" 16º31'46.94313" 16º31'16.91374" 16º28'55.35797" 16º28'45.72964" 16º30'45.04022" 16º31'04.58341" 16º29'52.78322" 16º30'19.69764" 16º30'21.99437" 16º29'48.78134" 16º30'27.04115" 16º30’ 68º8'46.42235" 68º8'10.08976" 68º5'37.59367" 68º5'28.61330" 68º2'06.45525" 68º2'25.99466" 68º6'54.54811" 68º6'16.38238" 68º2'58.74421" 68º4'11.97642" 68º4'44.25312" 68º7'24.50551" 68º6'20.49351" 68º6'25.81870" 68º4'43.08880" 68º05’ ALTURA ELIPSOIDAL (metros) 4100.257 3866.727 3541.050 3505.129 3765.979 3873.071 3814.896 4075.590 3759.088 3713.904 3633.817 3627.719 3806.106 3876.274 3603.732 3802.693 ALTURA msnm. (metros) 4051.923 3818.991 3492.947 3457.156 3714.190 3821.243 3766.587 4027.806 3712.250 3666.170 3585.729 3579.595 3757.951 3828.132 3555.979 3754.540 Tabla 10 Cálculo de las coordenada Media. 3.3.3.- COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO ìj m = -16°30 ' ï Coord = íl m = -68°05' ïhm = 3802.693 m. î Rm= 6360186.817 m. Cálculo de kh con la fórmula (32) Rm + hm 6360186.817m + 3802.693m = Rm 6360186.817 m kh= 1.0005978901 kh = 97 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 3.3.4.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A LTM A continuación se muestra las coordenadas LTM calculadas a partir de las coordenadas geodésicas de las estaciones GPS la zona local de proyección tiene como parámetros los siguientes datos: Datos del PTL k(MCL)= 1.0005978901 MCL= - 68º05’ XL= 200000 m. YL= 10001965.730 m. ìj = - 1 6 º 3 1 ' 4 8 .2 2 2 5 9 " V IR G = í î l = - 6 8 º 0 8 ' 4 6 .4 2 2 3 5 " Utilizando las fórmulas 25 al 31 se tienen los siguientes resultados N= 6379865.906 m. t2= 0.08808091964 η2= 0.00619392971 A= - 0.00105235813 Sφ= -1828300.639 m. x= -6713.905 m. y= -1828301.688 m. k= 1.000598447 XL= 200000 m. + (1.0005978901) (-6713.905 m) YL= 10001965.730 m. + (1.0005978901) (-1828301.688 m) Utilizando las fórmulas 32A y 32B las coordenadas LTM del punto VIRG son: YL= 8172570.919 m. XL= 193282.081 m. - Tabla Resumen de coordenadas LTM ESTACION P028 P-27 LAIK VIRG PFM1 BEVI PC11 PC60 PC59 PC12 CMAT BPUL PC14 CHAJ ARUN Y LOCAL metros 8175224.078 8176245.638 8175294.428 8172570.919 8171732.809 8173479.670 8176122.693 8172610.706 8173534.494 8174531.130 8175068.974 8177888.734 8178185.034 8174515.057 8173914.193 X LOCAL metros 197611.475 197453.337 195712.000 193282.081 194360.284 198884.554 200467.284 205149.057 204569.520 199150.970 200501.811 196600.535 197733.155 203597.966 201424.941 Factor de escala 1.0005979606 1.0005979702 1.0005981172 1.0005984476 1.0005982830 1.0005979055 1.0005978928 1.0005982176 1.0005981480 1.0005978990 1.0005978932 1.0005980329 1.0005979536 1.0005980500 1.0005979152 Tabla 11 Resumen de coordenadas LTM 98 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 3.3.5.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LTM A COORDENADAS GEODÉSICAS Datos: k(MCL)= 1.0005978901 MCL= - 68º05’ XL= 200000 m. YL= 10001965.730 m. ì Y L = 8 1 7 2 5 7 0 .9 1 9 m . V IR G = í î X L = 1 9 3 2 8 2 .0 8 1 m . Utilizando las fórmulas 42 al 55 se obtienen los siguientes resultados: YL= 8172570.919 m. XL= 193282.081 m. x= 200000 m -193282.081 m = -6717.919 m. y= 8172570.919 m -10001965.730 m = -1829394.811 m. ω= -1828301.688 m. u= -0.287132515 rad e1= 0.00167922038 φ1= -0.2885041699 rad η1= 0.0061939291 t1= 0.08808102644 e’2= 0.000673949674 N1= 6379865.908 m. M1= 6340592.726 m. ρ= -0.00105235829 θ= -0.00000016535 rad γ= -0.00109772651 rad Las coordenadas geodésicas del punto VIRG son: φ= -16º31’48.22259” λ= -68º08’46.42235” - Tabla Resumen de las coordenadas geodésicas ESTACION P028 P-27 LAIK VIRG PFM1 BEVI PC11 PC60 PC59 PC12 CMAT BPUL PC14 CHAJ ARUN LATITUD S -16º30'21.99437" -16º29'48.78135" -16º30'19.69762" -16º31'48.22259" -16º32'15.48077" -16º31'18.71097" -16º29'52.78320" -16º31'46.94313" -16º31'16.91374" -16º30'44.52689" -16º30'27.04115" -16º28'55.35797" -16º28'45.72963" -16º30'45.04022" -16º31'04.58341" LONGITUD W -68º06'20.49350" -68º06'25.81869" -68º07'24.50550" -68º08'46.42235" -68º08'10.08974" -68º05'37.59367" -68º04'44.25313" -68º02'06.45525" -68º02'25.99467" -68º05'28.61330" -68º04'43.08879" -68º06'54.54811" -68º06'16.38238" -68º02'58.74422" -68º04'11.97642" Tabla 12 Resumen Coordenadas Geodésicas 99 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Tabla de resumen de las distancias obtenidas por calculó mediante las coordenadas LTM ESTACIONES OBSERVADAS PC12-CMAT VIRG-PFM1 BEVI-PC12 PC60-PC59 BPUL-PC14 CHAJ-ARUN PC11-PC12 LAIK-P-27 P028-LAIK P028-P-27 DIST. TOPOGRAFICA HZ (metros) 1453.947 1365.665 1084.628 1090.555 1170.791 2254.547 2065.286 1984.222 1900.765 1033.765 DIST. CALC. EN EL PLANO PTL (metros) 1453.976 1365.632 1084.687 1090.526 1170.736 2254.568 2065.371 1984.201 1900.777 1033.727 DIFERENCIA metros -0.029 0.033 -0.059 0.029 0.055 -0.021 -0.085 0.021 -0.012 0.038 Tabla 13 Comparación de distancias mensuradas y calculadas En la tabla se verifica que la variación de la distancia topográfica obtenida por la estación total, con respecto a la distancia obtenida por cálculo utilizando el teorema de Pitágoras y las coordenadas LTM. Fig. 36 distancia sobre el plano PTL. 3.3.6.- REDUCCIÓN DE DISTANCIAS A LA PLANO DE PROYECCION UTM UTILIZANDO EL FACTOR COMBINADO (Kt). El factor combinado, es el valor a dimensional, que permite la reducción de la distancia horizontal topográfica al plano de proyección UTM. A continuación un ejemplo utilizando factor combinado: 100 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Fórmula 32: kt = k kh Donde: kt = Factor combinado. k= Factor de escala (UTM). kh= Factor de elevación. Promedio de coordenadas de las estaciones GPS ìj m = -16°30 ' ï Coord = íl m = -68°05' ïhm = 3802.693 m. î Rm= 6360186.817 m. k= 0.9997183505 Rm=Radio Medio de curvatura, también se puede utilizar el radio de azimut Rα, la variación entre ambas es mínima. k= factor de escala en la proyección UTM. Cálculo de kh con la fórmula (32) Rm + hm 6360186.817m + 3802.693m kh = = Rm 6360186.817 m kh= 1.0005978901 Calculo de kt factor combinado k 0.9997183505 kt = = kh 1.0005978901 kt= 0.9991209861 Con los datos de la media de las coordenadas GPS, se cálculo el factor de altura y el factor de escala combinando ambos datos se tiene como resultado el factor combinado, este valor multiplicado por la distancia horizontal reduce automáticamente la distancia horizontal topográfica a al proyección UTM, teniendo una diferencia en cm., como se observa en la tabla 14, se evidencia que la fórmula del factor combinado reduce los cálculos que se tienen que realizar para llegar a este resultado. ESTACIONES OBSERVADAS DISTANCIA TOPOGRAFICA metros DISTANCIA UTM UTILIZANDO kt metros DISTANCIA UTM metros DIFERENCIA metros PC12-CMAT VIRG-PFM1 BEVI-PC12 PC60-PC59 BPUL-PC14 CHAJ-ARUN PC11-PC12 LAIK-P-27 P028-LAIK P028-P-27 1453.947 1365.665 1084.628 1090.555 1170.791 2254.547 2065.286 1984.222 1900.765 1033.765 1452.669 1364.465 1083.675 1089.596 1169.762 2252.565 2063.471 1982.478 1899.094 1032.856 1452.697 1364.411 1083.731 1089.580 1169.698 2252.599 2063.553 1982.441 1899.091 1032.812 -0.028 0.054 -0.056 0.016 0.064 -0.034 -0.082 0.037 0.003 0.044 Tabla 14 Comparación de distancias: UTM obtenida por Kt y la calculada de sobre el Plano UTM. 101 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia En esta tabla se muestra el resumen de todas las distancias medidas con ET, comparando la distancia calculada con factor combinado y la distancia UTM obtenida mediante cálculo de coordenadas. 3.3.7.- REDUCCIÓN DE DISTANCIAS AL ELIPSOIDE DE LOS PUNTOS GPS UTILIZANDO FACTOR DE ALTURA. Al dividir las distancias horizontales por el factor de elevación kh = ( Rm + hm ) , se obtiene la Rm distancia reducida al elipsoide, el kh= 1.0005978901, es el factor que considera la altura elipsoidal media del área de trabajo las distancias reducidas al elipsoide se la realizan a partir de la altura media. ESTACIONES OBSERVADAS DISTANCIA TOPOGRAFICA metros DIST. ELIPSOIDAL UTILIZANDO kh metros DIST. ELIPSOIDAL DE CULCULO. metros DIFERENCIA metros PC12-CMAT VIRG-PFM1 BEVI-PC12 PC60-PC59 BPUL-PC14 CHAJ-ARUN PC11-PC12 LAIK-P-27 P028-LAIK P028-P-27 1453.947 1365.665 1084.628 1090.555 1170.791 2254.547 2065.286 1984.222 1900.765 1033.765 1453.078 1364.849 1083.980 1089.903 1170.091 2253.200 2064.052 1983.036 1899.629 1033.147 1453.107 1364.815 1084.039 1089.874 1170.036 2253.220 2064.136 1983.016 1899.641 1033.110 -0.029 0.034 -0.059 0.029 0.055 -0.020 -0.084 0.020 -0.012 0.037 Tabla 15 Comparación de distancias: Elipsoidal obtenida por Kh y la calculada de sobre el Elipsoide. Se observa que la diferencia entre las distancias elipsoidales obtenidas por cálculo en función a las coordenadas geodésicas y las distancias reducidas a partir de la distancia horizontal dividida por el factor de elevación es mínima, además de facilitar las arduas tareas de reducción. 102 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Fig. 37 Comparación de distancias: Inclinada, Elipsoidal y UTM del los puntos VIRG y PFM1 3.3.8.- ANÁLISIS DE LA TOLERANCIA: a) Tolerancia del equipo El instrumento que se utilizo corresponde a la marca SOKKIA INSTRUMENTO: SET510 V31-12 SERIE: 202989 SOKKIA PRECISIÓN: +/-(3 mm+2PPMxDist) PRECISIÓN ANGULAR: 5” (1.5 mgon) La precisión de este instrumento para una distancia considerando la distancia más larga comprendida entre las estaciones CHAJ-ARUN se tiene una distancia de 2254.547 metros. Precisión del inst.= ± 3 mm. + 0.000002x2254.547 Precisión del inst.= ± 8 mm. b) Influencia de la curvatura terrestre: Analizando la distancia comprendida entre las estaciones alejadas en este caso el VIRG y el PC60 se tiene una distancia topográfica de 11867.043 metros se verificara la influencia de la curvatura terrestre utilizando las fórmulas 81 y 86 se obtienen los siguientes resultados: AB æC ö tan ç ÷ = ...(8 1) è 2 ø 2 × ( Rm + hm ) Datos: hm= 3802.693 m. AB= 11867.043 m. ≈ 13000 m. Rm= 6360186.817 m. 103 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia C= 0º7`01.35” æC3 d = (Rm + hm ) × ç è 12 d = 0.005 m. ö ÷ ...(8 6) ø Considerando la mitad del error se tiene: d = 0.003 m. c) Influencia del factor de escala (FKL) Sobre el plano de proyección LTM (horizontal): kr = 1 + AB 2 AB 4 + .....71 2 × ( Rm1 + hm) 2 24 × ( Rm1 + hm) 4 hm= 3802.693 m. AB= 13000 m. Rm= 6360186.817 m. kMCL=1.0005978901 kr = 1.000002086 kri = 1.000002086x1.0005978901 kri = 1.000599978 Tolerancia = 13000 (1.000599978-1.0005978901) Tolerancia = 0.027 m. Calculando la tolerancia para una distancia de 100000 metros se tiene el siguiente resultado: Tolerancia = 0.209 m. Tomando en cuenta el desnivel entre planos LTM (vertical): kh = ( Rm + Dh ) .....(32) Rm Δh= 595.128 m.≈600 m. Δh= 300 m kMCL =1.0005978901 Rm= 6360186.817 m. kh = 1.0000047168 khi = 1.00000471168x1.000585378 khi = 1.000645087 Tolerancia =300 m (1.000645087-1.0005978901) Tolerancia = 0.014 m. 104 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Tomando la tolerancia horizontal y vertical: Tolerancia = ( 0.027 2 + 0.0142 ) Tolerancia = 0.030 m. 3.3.9.- CALCULO DE UNA POLIGONAL DE ENLACE - Corrección por Atmosférica Datos: ALTURA MEDIA: 3853.841 msm. TEMPERATURA: 17º C. PPM=110 PRESION ATMOSFERICA= 630 mb. De la medición de distancias se tienen los siguientes promedios: EST. BM-DK14 PB-VC10 PB-VC11 PB-VC12 PB-VC13 PB-VC14 PB-VC15 PB-VC16 PB-VC17 PB-VC18 PB-VC19 GP-VC14 OBS. GP-VC12 PB-VC10 BM-DK14 PB-VC11 PB-VC10 PB-VC12 PB-VC11 PB-VC13 PB-VC12 PB-VC14 PB-VC13 PB-VC15 PB-VC14 PB-VC16 PB-VC15 PB-VC17 PB-VC16 PB-VC18 PB-VC17 PB-VC19 PB-VC18 GP-VC14 PB-VC19 GP-VC13 ANGULO VERTICAL ' º “ 87 67 90 90 89 88 91 90 89 89 90 90 89 90 89 89 90 89 90 90 89 89 90 89 51 20 23 13 44 7 48 35 21 39 17 7 51 21 36 0 56 55 1 52 6 57 2 43 17.748 42.756 9.006 39.495 16.503 56.496 28.998 53.250 9.000 26.244 48.264 6.258 25.506 8.748 40.761 39.996 30.246 54.993 28.749 10.497 48.240 5.247 12.255 53.508 DIST. SIN CORRECCION POR PPM. m. DIST. CON CORRECCION POR PPM. m. DIST. HORIZONTAL metros DIST. VERTICAL metros 630.841 1251.111 1251.098 777.829 777.826 526.974 526.949 663.281 663.278 664.821 664.813 1023.135 1023.132 741.168 741.165 734.804 734.787 750.931 750.926 1083.446 1083.436 1133.405 1133.402 813.449 630.910 1251.249 1251.235 777.914 777.911 527.031 527.007 663.354 663.351 664.894 664.886 1023.248 1023.244 741.250 741.246 734.884 734.868 751.014 751.008 1083.565 1083.555 1133.529 1133.526 813.539 630.468 1251.218 1251.207 777.908 777.903 526.751 526.745 663.318 663.309 664.882 664.877 1023.246 1023.241 741.236 741.229 734.775 734.769 751.013 751.008 1083.440 1083.425 1133.529 1133.526 813.530 23.615 8.840 -8.426 -3.091 3.558 17.176 -16.628 -6.925 7.496 3.977 -3.443 -2.115 2.552 -4.559 5.028 12.683 -12.078 0.892 -0.323 -16.445 16.766 0.960 -0.727 3.812 Tabla 16 Cálculo de distancia horizontal y vertical 105 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia - Cálculo del Plano Topográfico Local Las coordenadas geodésicas obtenidas y procesadas con el software GPSurvey: ESTACIONES GPS INGA (BASE) BM_DK14 GP_VC12 GP_VC14 GP_VC13 LATITUD (φ) S GRAD MIN SEG 16 31 47.47184 16 39 41.05783 16 39 57.28618 16 44 31.07361 16 44 20.50380 LONGITUD(λ) W GRAD MIN SEG 68 10 5.81427 68 18 24.21374 68 18 37.20261 68 19 40.42067 68 19 15.25912 ALTURA ELIPSOIDAL m. 4089.331 3895.669 3919.084 3904.715 3908.110 Tabla 17 Coordenadas Geodésicas Los valores medios correspondientes a las coordenadas geodésicas son: ESTACIONES GPS BM-DK14 GP-VC12 GP-VC14 GP-VC13 MEDIA LATITUD (φ) S 16º39’41.05783” 16º39‘57.28618” 16º44’31.07361” 16º44’20.50380” 16º42 LONGITUD(λ) W 68º18’24.21374” 68º18’37.20261” 68º19’40.42067” 68º19’15.25912” 68º19 ALTURA ELIPSOIDAL m. 3895.669 3919.084 3904.715 3908.110 3907.377 Tabla 18 Cálculo de la coordenada Media. - Cálculo del factor de escala de MCL ìj = -16°42 ' ï MCL íl = -68°19 ' ï h = 3907.377 metros î Rm= 6360268.242 m. kMCL= 1.000614342 - Transformación de coordenadas geodésicas a LTM de los puntos GPS. ESTACION BM-DK14 GP-VC12 GP-VC14 GP-VC13 Y LOCAL metros 8157997.858 8157498.700 8149077.123 8149402.275 X LOCAL metros 201061.070 200675.932 198802.022 199547.747 Factor de Escala 1.000614356 1.000614348 1.000614360 1.000614345 Tabla 19 Cálculo de Coordenadas LTM 106 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 3.3.10.- CONTROL HORIZONTAL a) Cierre Angular: EST ANG EXT º ' ERROR " ANG CORREG º ' " DISTANCIA GP-VC-12 BM-DK-14 37 39 10.411 BM-DK-14 332 50 57.507 PB-VC-10 190 30 7.918 PB-VC-10 176 19 35.247 PB-VC-11 186 49 43.165 PB-VC-11 204 10 31.251 PB-VC-12 211 0 14.416 PB-VC-12 167 31 17.994 PB-VC-13 198 31 32.410 PB-VC-13 182 58 38.505 PB-VC-14 201 30 10.915 PB-VC-14 162 56 51.234 PB-VC-15 184 27 2.149 PB-VC-15 181 12 50.256 PB-VC-16 185 39 52.405 PB-VC-16 182 54 45.990 PB-VC-17 188 34 38.395 PB-VC-17 169 7 36.993 PB-VC-18 177 42 15.388 37 39 10.411 630.468 1251.218 1.187 190 30 9.105 1251.207 777.908 2.374 186 49 45.539 3.562 211 0 17.978 777.903 526.751 526.745 663.318 4.749 198 31 37.159 5.936 201 30 16.851 663.309 664.882 664.877 1023.246 7.123 184 27 9.272 1023.241 741.236 8.311 185 39 60.716 9.498 188 34 47.893 741.229 734.775 734.769 751.013 10.685 177 42 26.073 751.008 1083.440 PB-VC-18 211 54 PB-VC-19 209 37 8.389 PB-VC-19 173 29 42.486 GP-VC-14 203 6 50.875 GP-VC-14 43 19 25.257 GP-VC-13 66 26 16.132 66 26 30.379 AZ CONTROL 66 26 30.379 66 26 30.379 ERROR 14.247 ERROR 53.001 11.872 209 37 20.262 13.060 203 6 63.935 1083.425 1133.529 1133.526 813.530 14.247 0.000 Tabla 20 Cálculo y corrección del error de cierre angular 107 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia b) Cierre Lineal: EST AZIMUT º GP-VC-12 BM-DK-14 BM-DK-14 PB-VC-10 PB-VC-10 PB-VC-11 PB-VC-11 PB-VC-12 PB-VC-12 PB-VC-13 PB-VC-13 PB-VC-14 PB-VC-14 PB-VC-15 PB-VC-15 PB-VC-16 PB-VC-16 PB-VC-17 PB-VC-17 PB-VC-18 PB-VC-18 PB-VC-19 PB-VC-19 GP-VC-14 GP-VC-14 GP-VC-13 37 190 186 211 198 201 184 185 188 177 209 ' " 39 10.411 30 9.105 49 45.539 0 17.978 31 37.159 30 16.851 27 9.272 39 60.716 34 47.893 42 26.073 37 20.262 203 6 63.935 66 26 30.379 SUMATORIA DIST. (∆ Y) Mts. TOP Mts. Y Local (PRELIMINAR) 8157498.700 8157997.858 -1230.251 8156767.607 -772.386 8155995.221 -451.488 8155543.734 -628.937 8154914.797 -618.596 8154296.201 -1020.155 8153276.046 -737.610 8152538.436 -726.549 8151811.887 -750.409 8151061.478 -941.831 8150119.647 -1042.505 8149077.142 8149077.123 8149402.275 -0.019 630.468 1251.213 777.906 526.748 663.314 664.880 1023.244 741.233 734.772 751.011 1083.433 1133.528 813.530 9351.278 Error Y Local Mts. Mts. (CORREGIDO) 8157498.700 8157997.858 -0.003 8156767.605 -0.004 8155995.217 -0.005 8155543.728 -0.007 8154914.790 -0.008 8154296.193 -0.010 8153276.036 -0.012 8152538.425 -0.013 8151811.874 -0.015 8151061.463 -0.017 8150119.630 -0.019 8149077.123 8149077.123 8149402.275 (∆ X) Mts. X Local (PRELIMINAR) 200675.932 201061.07 -228.070 200833.000 -92.502 200740.498 -271.335 200469.163 -210.769 200258.395 -243.730 200014.665 -79.438 199935.227 -73.192 199862.034 -109.620 199752.414 30.045 199782.458 -535.519 199246.939 -445.048 198801.891 198802.022 199547.747 0.131 Error X Local Mts. Mts. (CORREGIDO) 200675.932 201061.07 0.018 200833.018 0.028 200740.526 0.036 200469.199 0.045 200258.440 0.054 200014.719 0.069 199935.295 0.079 199862.113 0.089 199752.503 0.100 199782.558 0.115 199247.054 0.131 E Lineal 198802.022 198802.022 199547.747 0.132 Tabla 21 Cálculo y corrección del error de cierre lineal. 3.3.11.- TRANSFORMACION DE COORDENADAS LTM A COORDENADAS GEODÉSICAS LATITUD (φ) S ESTACIONES GRAD MIN SEG GP-VC-12 BM-DK-14 PB-VC-10 PB-VC-11 PB-VC-12 PB-VC-13 PB-VC-14 PB-VC-15 PB-VC-16 PB-VC-17 PB-VC-18 PB-VC-19 GP-VC-14 GP-VC-13 LONGITUD(λ) W GRAD MIN SEG 16 39 57.28617 68 18 37.20260 16 39 41.05781 68 18 24.21375 16 40 21.05421 68 18 31.90354 16 40 46.16497 68 18 35.02225 16 41 0.84330 68 18 44.17371 16 41 21.29043 68 18 51.28245 16 41 41.40130 68 18 59.50350 16 42 14.56694 68 19 2.18277 16 42 38.5469 68 19 4.65166 16 43 2.16725 68 19 8.34967 16 43 26.56332 68 19 7.33598 16 43 57.18215 68 19 25.40371 16 44 31.07362 68 19 40.42066 16 44 20.50380 68 19 15.25912 Tabla 22 Resumen de coordenadas geodésicas. 108 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 3.3.12.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A COORDENADAS UTM ESTACIONES ESTE metros NORTE metros FACTOR DE ESCALA GP-VC-12 573540.592 8157275.814 0.999666873 BM-DK-14 573927.069 8157773.181 0.999667578 PB-VC-10 573695.030 8156544.878 0.999667155 PB-VC-11 573599.985 8155773.543 0.999666981 PB-VC-12 573327.372 8155323.412 0.999666486 PB-VC-13 573114.662 8154695.795 0.999666101 PB-VC-14 572869.056 8154078.621 0.999665657 PB-VC-15 572786.215 8153059.710 0.999665508 PB-VC-16 572710.576 8152323.053 0.999665372 PB-VC-17 572598.581 8151597.571 0.999665171 PB-VC-18 572626.035 8150847.774 0.999665220 PB-VC-19 572087.812 8149908.677 0.999664257 GP-VC-14 571639.628 8148868.693 0.99966346 572385.756 8149190.975 0.999664789 GP-VC-13 Tabla 23 Resumen de coordenadas UTM. 3.3.13.- VERIFICACION DE DISTANCIAS ESTACIONES OBSERVADAS DIST. TOP. Mts. DIST. TOP. CAL. Mts. DIFERENCIA Mts. GP-VC-12 - BM-DK-14 630.468 630.468 0.000 BM-DK-14 - PB-VC-10 1251.211 1251.213 -0.002 PB-VC-10 - PB-VC-11 777.906 777.906 0.000 PB-VC-11 - PB-VC-12 526.745 526.748 -0.003 PB-VC-12 - PB-VC-13 663.312 663.314 -0.002 PB-VC-13 - PB-VC-14 664.878 664.880 -0.002 PB-VC-14 - PB-VC-15 1023.244 1023.244 0.000 PB-VC-15 - PB-VC-16 741.232 741.233 -0.001 PB-VC-16 - PB-VC-17 734.773 734.772 0.001 PB-VC-17 - PB-VC-18 751.013 751.011 0.002 PB-VC-18 - PB-VC-19 1083.427 1083.433 -0.006 PB-VC-19 - GP-VC-14 1133.523 1133.528 -0.005 GP-VC-14 - GP-VC-13 813.529 813.530 -0.001 Tabla 24 Comparación de distancias: Topográfica y calculada por coordenadas LTM. En la tabla 26 se observa que las distancias horizontales medidas con la ET difieren mínimamente con distancias calculadas con las coordenadas LTM. Se tiene la razón de cierre de: Error de cierre lineal: Error de cierre angular: 1:70843 0.132 m. 14.247” 109 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 4.1.- CONCLUSIONES Se utilizó el Sistema de Proyección Local Transversal de Mercator (LTM) en un área de trabajo a partir de las coordenadas geodésicas se generó el Plano Topográfico Local PTL, obteniéndose coordenadas LTM, mediante estas coordenadas se calculó la distancia topográfica, verificando su variación con respecto a la distancia topográfica obtenida con la estación total se obtuvieron los siguientes resultados: ESTACIONES OBSERVADAS DIST. HZ. TOP. Mts. DIST. TOP. SOBRE EL PLANO PTL Mts. DIFERENCIA Mts. GP-VC-12 - BM-DK-14 BM-DK-14 - PB-VC-10 PB-VC-10 - PB-VC-11 PB-VC-11 - PB-VC-12 PB-VC-12 - PB-VC-13 PB-VC-13 - PB-VC-14 PB-VC-14 - PB-VC-15 PB-VC-15 - PB-VC-16 PB-VC-16 - PB-VC-17 PB-VC-17 - PB-VC-18 PB-VC-18 - PB-VC-19 PB-VC-19 - GP-VC-14 GP-VC-14 - GP-VC-13 630.468 1251.211 777.906 526.745 663.312 664.878 1023.244 741.232 734.773 751.013 1083.427 1133.523 813.529 630.468 1251.213 777.906 526.748 663.314 664.880 1023.244 741.233 734.772 751.011 1083.433 1133.528 813.530 0.000 -0.002 0.000 -0.003 -0.002 -0.002 0.000 -0.001 0.001 0.002 -0.006 -0.005 -0.001 Tabla 24 Por los resultados obtenidos se demuestra que la distancia topográfica es igual a la distancia sobre el plano PTL, comprobándose que si es posible realizar la representación de distancias topográficas en un plano de proyección. Se analizó el comportamiento del PTL en dos diferentes áreas de trabajo: en la primera área se consideró cambios de nivel en altura elipsoidal de hasta de 595.128 metros, una altura elipsoidal media de 3802.693 metros y una distancia máxima de 13000 metros que comprenden los puntos extremos un total de 15 puntos de control geodésico correspondientes a los puntos de control de la red geodésica, generándose el PTL con los siguientes resultados: Ø Ø Ø Ø k(MCL)= 1.0005978901 MCL= - 68º05’ XL= 200000 m. YL= 10001965.730 m. A partir de estos datos se obtuvo las coordenadas LTM, verificándose que la variación de la distancia obtenida topográfica con la estación total y la calculada mediante las coordenadas LTM, verificando una diferencia máxima de 8.5 cm., la distancia topográfica más larga mensurada es de 2254.547 metros entre los puntos CHAJ y ARUN. En la segunda área de trabajo se realizó una poligonal de enlace de 9351.278 metros con una diferencia de altura elipsoidal de 23.415 metros, una altura elipsoidal media de 110 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 3907.3765 metros, se utilizó 4 puntos de control geodésico que fueron obtenidos con GPS geodésico marca SOKKIA de simple frecuencia, calculándose el segundo plano PTL con los siguientes resultados: Ø Ø Ø Ø k(MCL)= 1.000614342 MCL= - 68º19’ XL= 200000 m. YL= 10001965.730 m. Verificando estos resultados se concluye que los parámetros locales varían de acuerdo al área de trabajo, generándose un PTL para cada área de trabajo. Se obtuvo coordenadas LTM, mediante fórmulas de transformación de coordenadas geodésicas a coordenadas LTM, partiendo del sistema de coordenadas geodésicas WGS-84 y verificando esta transformación con el proceso inverso, tal como se observa en la tabla 12. (Ver páginas 98 y 99) Se analizó la variación de las distancias: elipsoidal, inclinada, y proyectada UTM, comprobándose que ninguna de estas distancias son iguales y que a medida que estas distancias sean grandes, mayor será la diferencia. Se verificó la importancia de la corrección atmosférica, en distancias medidas con estación total, debido a que se utiliza el valor de la distancia medida y el ángulo cenital para el cálculo de las distancias horizontal y vertical, de manera que si la distancia medida no es corregida, esta se refleja en las distancias horizontal y vertical. En distancias pequeñas el valor de la corrección atmosférica es menor, a mayor distancia mayor deformación de la distancia. En la siguiente tabla se muestra cinco diferentes distancias, donde el valor de corrección atmosférica, no es constante y se incrementa a medida que la distancia mensurada se incremente: DISTANCIA Mts. 606.937 1033.685 1900.548 1908.930 1984.039 CORRECCION POR PPM Mts. 0.063 0.089 0.196 0.183 0.250 DISTANCIA CORREGIDA Mts. 607.000 1033.774 1900.744 1909.113 1984.289 Tabla 25 influencia de la corrección atmosférica A medida que la distancia mensurada sea mayor, mayor será la corrección atmosférica. La corrección atmosférica esta dado por el PPM, este es un valor adimensional que viene calibrado en la tabla de corrección atmosférica y está en función a la temperatura, presión atmosférica y/o altura sobre el nivel del mar, a medida que los valores de temperatura y presión atmosférica varíen se genera un valor de PPM. Se verificó que una distancia medida con la estación total, está sujeta a variaciones atmosféricas, y la influencia atmosférica en la distancia medida afecta significativamente llegando a la conclusión de: la corrección atmosférica es directamente proporcional a la distancia mensurada. 111 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Se analizó los factores incidentes en la proyección LTM las cuales son: el radio de influencia y el desnivel máximo del área de trabajo, se verificó con una distancia de 13 Km de radio de influencia dentro del área de trabajo, sobre el plano PTL y el desnivel máximo de altura elipsoidal de 600 mts. Obteniéndose como resultado un valor de 30 milímetros, este valor indica la deformación que existe dentro de la proyección para esta área y desnivel. Se verificó que el factor combinado es el factor que toma en cuenta la separación que existe entre el plano PTL y el plano UTM, donde al multiplicar la distancia topográfica, por el factor combinado la distancia se reduce sobre la proyección UTM, simplificando los cálculos de reducción de distancias, tal como se muestra en la tabla 14. Se demuestra que para realizar el cálculo inverso de verificación utilizando el factor combinado se tiene que tener definido el plano PTL. Se comprobó que la proyección LTM es una proyección óptima de representación de áreas pequeñas manteniendo el valor de la distancia topográfica y la precisión requerida en las obras de ingeniería ideal para carreteras proporcionando una herramienta útil para este campo facilitando de gran manera la representación biunívoca de puntos de la superficie terrestre en un plano PTL. Se realizó el ajuste de la poligonal utilizando 4 puntos de control para lo cual se realizó la transformación a coordenadas LTM, se obtuvo un error de cierre lineal de 0.132 m., con una razón de cierre de 1:70843 y un error angular de 14.247”, las distancias obtenidas por cálculo con las coordenadas LTM difieren mínimamente con una diferencia máxima de 6 milímetros, tal como se observa en la tabla 24. 4.2.- RECOMENDACIONES: En el presenta proyecto de grado se concluye con las siguientes recomendaciones: Se recomienda tener cuidado al momento de la utilización del PPM al momento de la medición con estación total ya que los factores atmosféricos influyen en la medición de distancias. Se recomienda tener cuidado al momento de la utilización del factor combinado al momento de la medición con la ET, ya que las distancias se proyectan sobre el plano de proyeccion UTM y la distancia obtenida es la distancia UTM. 112 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia 5.- ANEXOS.- Anexo A. Estación BEVI, perteneciente a la Red MARGEN, ubicado en la zona Bella Vista, se observa el disco de bronce empotrado con una inscripción en el disco: IGM/BEVI/2005. 113 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Anexo B. Estación BPUL, se encuentra en la zona Villa Copacabana, presenta un disco de Bronce de 9 cm de diámetro con una inscripción que dice: IGN/BPUL/2005. Anexo C Vista panorámica tomada desde el área de trabajo, trabajo ubicado en el segundo tramo del proyecto de carretera Viacha Collana se observa el atardecer at al fondo el Illimani. 114 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Anexo D. Croquis de ubicación de las estaciones de control horizontal de la poligonal de enlace, son en total 4 estaciones de control horizontal las cuales son: GPS-VC-12, GPS BM-DK-14, 14, GP GP-VC-14 y GPVC-13. 13. Las estaciones de la poligonal de enlace están conformadas por por 10 estaciones y una distancia topográfica de 9351.278 metros, siguiendo de forma correlativa a partir de PB-VC-10 PB 10 al PB PB-VC-19. 115 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Anexo E. Estación BM-DK DK 14. Foto de la estación y la plaqueta. Ubicado en uno de los extremos del puente tiene una plaqueta desgastada. La inscripción de la plaqueta dice: IGM–BOLIVIA BOLIVIA-BM-DK 14 1995 Anexo F. Estación GP-VC12 Ubicado en una parte elevada, la la inscripción de la plaqueta dice: PROYECTO DE CARRETERA-VIACHA VIACHA COLLANA- AÑO 2009. La inscripción es la misma en las plaquetas. 116 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Anexo G. Estación GP-VC13. Con una visual hacia la estación GP-VC 14, y una distancia topográfica de separación de 813.529 metros, al fondo se observa una casa de adobe. Con una inscripción en la plaqueta que dice: PROYECTO DE CARRETERA-VIACHA CARRETERA COLLANA- AÑO 2009 Anexo H. Estación GP-VC14. Con una inscripción en la plaqueta que dice: PROYECTO DE CARRETERA-VIACHA VIACHA COLLANACOLLANA AÑO 2009, se observa la vegetación del lugar. 117 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia ANEXO I (REPORTE DE LAS ESTACIONES PROCESADAS GP_VC12 y BM_DK14) Spectrum® Survey 3.24 Network Adjustment Report -----------------------------------------------------------------------------Project: D:\PROG SPECTRUM SURVEY\Sokkia\Common\Spectrum Projects\VICHA COLLANA FINAL.spr Coordinate System: UTM [Universal Transverse Me...] Datum: WGS84 Geoid Model: World Grid 96 Units: Meters Adjustment Time: 2010/01/23 11:30:58 (LOCAL) Time Zone: GMT-4.00h -----------------------------------------------------------------------------Adjustment Type: Free Computation Level: Full Adjustment Additional Parameters: - Deflection of vertical (N-S) - Deflection of vertical (E-W) - Horizontal rotation - Scale difference Not Not Not Not Iteration Criteria: - Maximum iteration - Maximum coordinate difference (m) used used used used 6 0.0001 Reference Datum: - Datum Name - Semi-major axis (m) - Flattening (m) WGS84 6378137.000 1.0/298.257222101 Weight Options: - Use modeled standard deviations - Use individual weighting scale Modeled Standard Deviations - X component - Y component - Z component 5.0 mm + 5.0 mm + 5.0 mm + 1.0 ppm 1.0 ppm 1.0 ppm Geoid Model: World Grid 96 - File D:\PROG SPECTRUM SURVEY\Sokkia\Common\GEOID\WW15MGH.GRD - Spacing Lat: 0.2 degrees, Lon: 0.2 degrees - Range 90.0N to 90.0S -----------------------------------------------------------------------------Summary of Adjustment Statistics -----------------------------------------------------------------------------Number of Points: - Horizontal fixed & height fixed 1 - Horizontal fixed & height free 0 - Horizontal free & height fixed 0 - Horizontal free & height free 2 ----total 3 Number of Unknowns: - Latitude - Longitude - Height - Additional parameters Number - X - Y - Z (a) 2 2 2 0 ----total 6 (b) 3 3 3 ----total 9 of observations component component component Number of Rank Defect (c) 0 Number of Total Redundancy (b)+(c)-(a) 3 Iterations Used 6 -----------------------------------------------------------------------------Chi Square Test on the Variance Factor -----------------------------------------------------------------------------Total Number of Observations: Redundancy: 9 3 118 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Confidence Level: A Priori Variance Factor: A Posteriori Variance Factor (VF): 99% 1.0000 0.2527 Chi Square Test on the Variance Factor (0.2527) 0.0239 < VF < 4.2793 Standard Deviations for the observations are within the desired range. ** Note: The Standarded Deviation of Unit Weight is the square root of the Variance Factor. -----------------------------------------------------------------------------Input Coordinates and Corrections -----------------------------------------------------------------------------Point Input Coordinates Corrections Horizontal Seconds m Vector BM_DK14 P L H - 16 39 41.05764 - 68 18 24.21391 3895.679 m - 0.00019 0.00017 -0.006 0.005 -0.010 0.008 m 139 deg GP_VC12 P L H - 16 39 57.28598 - 68 18 37.20279 3919.095 m - 0.00020 0.00018 -0.006 0.005 -0.011 0.008 m 139 deg INGA FIXED 3-D P L H - 16 31 47.47184 - 68 10 05.81427 4089.331 m 0.00000 0.00000 0.000 0.000 0.000 0.000 m 0 deg -----------------------------------------------------------------------------Adjusted Coordinates and Standard Deviations -----------------------------------------------------------------------------Point Adjusted Coordinates Std Dev 99% Ellipse (0.001sec) (mm) BM_DK14 P L H - 16 39 41.05783 - 68 18 24.21374 3895.669 m 0.25325 0.26272 7.8 7.8 major 23.6 mm azm. 90 deg minor 23.6 mm GP_VC12 P L H - 16 39 57.28618 - 68 18 37.20261 3919.084 m 0.25361 0.26311 7.8 7.8 major 23.7 mm azm. 90 deg minor 23.7 mm INGA FIXED 3-D P - 16 31 47.47184 0.00000 0.0 major 0.0 mm L - 68 10 05.81427 0.00000 0.0 azm. 0 deg H 4089.331 m minor 0.0 mm -----------------------------------------------------------------------------Undulation Values Used -----------------------------------------------------------------------------Point Undulation BM_DK14 45.734 m GP_VC12 45.722 m INGA 45.979 m -----------------------------------------------------------------------------Transformation into Map Coordinates (meters) -----------------------------------------------------------------------------Point Geodetic Coordinate Map Coordinate Conv./Scale BM_DK14 P L H - 16 39 41.05783 - 68 18 24.21374 3895.669 N E O 8157773.180 573927.069 3849.935 - 0 11 55.61265 0.99966758 GP_VC12 P L H - 16 39 57.28618 - 68 18 37.20261 3919.084 N E O 8157275.814 573540.592 3873.362 - 0 11 52.07517 0.99966687 INGA FIXED 3-D P - 16 31 47.47184 N 8172270.466 - 0 14 11.94644 L - 68 10 05.81427 E 588751.181 0.99969740 H 4089.331 O 4043.352 -----------------------------------------------------------------------------Transformation to Ground Coordinates (meters) -----------------------------------------------------------------------------Point Geodetic Coordinate Ground Coordinate BM_DK14 P L H - 16 39 41.05783 - 68 18 24.21374 3895.669 N E O 8165502.898 574470.881 3849.935 119 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia GP_VC12 P L H - 16 39 57.28618 - 68 18 37.20261 3919.084 N E O 8165005.060 574084.037 3873.362 INGA FIXED 3-D P - 16 31 47.47184 N 8180013.920 L - 68 10 05.81427 E 589309.039 H 4089.331 O 4043.352 -----------------------------------------------------------------------------Observations and Residuals -----------------------------------------------------------------------------Observations Std Dev Residuals Standardized PPM (m) (m) (m) Residuals Vector: BM_DK14-GP_VC12 weight= 1.00 dN -499.1784 0.0013 0.000 dE -385.1139 0.0038 0.000 dH 23.3848 0.0031 -0.001 0.038 0.852 -0.176 0.048 1.110 0.222 Vector: INGA-BM_DK14 dN -14572.1602 dE -14777.5811 dH -227.4910 weight= 1.00 0.0033 0.0078 0.0070 -0.006 0.005 -0.010 0.038 0.852 -0.176 0.027 0.603 0.124 Vector: INGA-GP_VC12 dN -15071.6670 dE -15162.3916 dH -206.1659 weight= 1.00 0.0036 0.0082 0.0069 0.006 -0.005 0.011 -0.038 -0.852 0.176 0.028 0.619 0.128 -----------------------------------------------------------------------------Reliability of Observations -----------------------------------------------------------------------------Standard Deviations Reliability Corr Obs Residuals Redundancy Internal External (mm) (mm) Vector: BM_DK14-GP_VC12 weight= 1.00 N 1.99 0.33 0.03 0.13 25.10 E 3.25 0.53 0.03 0.13 25.10 H 2.06 0.34 0.03 0.13 25.10 Vector: INGA-BM_DK14 weight= 1.00 N 6.22 5.90 0.47 E 10.12 9.59 0.47 H 6.39 6.06 0.47 0.13 0.13 0.13 4.36 4.36 4.36 Vector: INGA-GP_VC12 weight= 1.00 N 6.23 6.24 0.50 0.13 4.13 E 10.14 10.15 0.50 0.13 4.13 H 6.40 6.41 0.50 0.13 4.13 -----------------------------------------------------------------------------Relative Precision -----------------------------------------------------------------------------Ellip. Dist. Height Diff. Relative Azimuth Std Dev Precision 99% Ellipse (m) (mm) Vector: BM_DK14-GP_VC12 weight= 1.00 630.081 2.5 *Hor. 1/252206 23.415 2.5 Ver. 1/252051 217 39 00.3 0.8sec major 7.6 mm azm. 90 deg minor 7.6 mm Vector: INGA-BM_DK14 20741.242 -193.662 225 24 03.9 major 23.6 mm azm. 90 deg minor 23.6 mm weight= 1.00 7.8 Hor. 1/2663806 7.8 Ver. 1/2662613 0.1sec * - Does not meet Desired Network Accuracy (REPORTE DE LAS ESTACIONES PROCESADAS GP_VC13 y GP_VC14 ) Spectrum® Survey 3.24 Network Adjustment Report -----------------------------------------------------------------------------RM.spr D:\PROG SPECTRUM SURVEY\Sokkia\Common\Spectrum Projects\VIACHA COLLANA SEGUNDO TRM.spr Coordinate System: UTM [Universal Transverse Me...] Datum: WGS84 120 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Geoid Model: World Grid 96 Units: Meters Adjustment Time: 2010/01/23 12:08:02 (LOCAL) Time Zone: GMT-4.00h -----------------------------------------------------------------------------Adjustment Type: Free Computation Level: Full Adjustment Additional Parameters: - Deflection of vertical (N-S) - Deflection of vertical (E-W) - Horizontal rotation - Scale difference Not Not Not Not Iteration Criteria: - Maximum iteration - Maximum coordinate difference (m) Reference Datum: - Datum Name - Semi-major axis (m) - Flattening (m) used used used used 6 0.0001 WGS84 6378137.000 1.0/298.257222101 Weight Options: - Use modeled standard deviations - Use individual weighting scale Modeled Standard Deviations - X component - Y component - Z component 5.0 mm + 5.0 mm + 5.0 mm + 1.0 ppm 1.0 ppm 1.0 ppm Geoid Model: - File - Spacing - Range World Grid 96 D:\PROG SPECTRUM SURVEY\Sokkia\Common\GEOID\WW15MGH.GRD Lat: 0.2 degrees, Lon: 0.2 degrees 90.0N to 90.0S 0.0W to 0.0W -----------------------------------------------------------------------------Summary of Adjustment Statistics -----------------------------------------------------------------------------Number of Points: - Horizontal fixed & height fixed 1 - Horizontal fixed & height free 0 - Horizontal free & height fixed 0 - Horizontal free & height free 2 ----total 3 Number of Unknowns: - Latitude - Longitude - Height - Additional parameters Number - X - Y - Z (a) 2 2 2 0 ----total 6 (b) 3 3 3 ----total 9 of observations component component component Number of Rank Defect (c) 0 Number of Total Redundancy (b)+(c)-(a) 3 Iterations Used 6 -----------------------------------------------------------------------------Chi Square Test on the Variance Factor -----------------------------------------------------------------------------Total Number of Observations: 9 Redundancy: 3 Confidence Level: 99% A Priori Variance Factor: 1.0000 A Posteriori Variance Factor (VF): 0.0056 Chi Square Test on the Variance Factor (0.0056) 0.0239 < VF < 4.2793 Standard Deviations for the input observations appear to be too pessimistic. 121 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia ** Note: The Standarded Deviation of Unit Weight is the square root of the Variance Factor. -----------------------------------------------------------------------------Input Coordinates and Corrections -----------------------------------------------------------------------------Point Input Coordinates Corrections Horizontal Seconds m Vector INGA FIXED 3-D P L H - 16 31 47.47184 - 68 10 05.81427 4089.331 m 0.00000 0.00000 0.000 0.000 0.000 0.000 m 0 deg GP_VC14 P L H - 16 44 31.07361 - 68 19 40.42067 3904.715 m 0.00000 0.00000 0.000 0.000 0.000 0.000 m 18 deg GP_VC13 P L H - 16 44 20.50380 - 68 19 15.25912 3908.110 m 0.00000 0.00000 0.000 0.000 0.000 0.000 m 33 deg -----------------------------------------------------------------------------Adjusted Coordinates and Standard Deviations -----------------------------------------------------------------------------Point Adjusted Coordinates Std Dev 99% Ellipse (0.001sec) (mm) INGA FIXED 3-D P L H - 16 31 47.47184 - 68 10 05.81427 4089.331 m 0.00000 0.00000 0.0 0.0 major 0.0 mm azm. 0 deg minor 0.0 mm GP_VC14 P L H - 16 44 31.07361 - 68 19 40.42067 3904.715 m 0.05023 0.05213 1.5 1.5 major 4.7 mm azm. 90 deg minor 4.7 mm GP_VC13 P - 16 44 20.50380 0.05019 1.5 major 4.7 mm L - 68 19 15.25912 0.05209 1.5 azm. 90 deg H 3908.111 m minor 4.7 mm -----------------------------------------------------------------------------Undulation Values Used -----------------------------------------------------------------------------Point Undulation INGA 45.979 m GP_VC14 45.561 m GP_VC13 45.575 m -----------------------------------------------------------------------------Transformation into Map Coordinates (meters) -----------------------------------------------------------------------------Point Geodetic Coordinate Map Coordinate Conv./Scale INGA FIXED 3-D P L H - 16 31 47.47184 - 68 10 05.81427 4089.331 N E O 8172270.466 588751.181 4043.352 - 0 14 11.94644 0.99969740 GP_VC14 P L H - 16 44 31.07361 - 68 19 40.42067 3904.715 N E O 8148868.693 571639.628 3859.154 - 0 11 37.01867 0.99966346 GP_VC13 P - 16 44 20.50380 N 8149190.975 - 0 11 44.14772 L - 68 19 15.25912 E 572385.757 0.99966479 H 3908.111 O 3862.535 -----------------------------------------------------------------------------Observations and Residuals -----------------------------------------------------------------------------Observations Std Dev Residuals Standardized PPM (m) (m) (m) Residuals Vector: GP_VC14-GP_VC13 weight= 1.00 dN 325.1105 0.0023 0.000 dE 745.7424 0.0044 0.000 dH 3.3436 0.0033 0.000 0.112 -0.039 -0.050 0.086 0.025 0.037 Vector: INGA-GP_VC13 dN -23168.8691 dE -16284.5215 dH -244.2928 weight= 1.00 0.0053 0.0069 0.0050 -0.112 0.039 0.050 0.079 0.028 0.036 Vector: INGA-GP_VC14 weight= 1.00 0.001 -0.002 -0.002 122 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia dN -23494.5527 0.0063 -0.001 0.112 0.081 dE -17029.9941 0.0082 0.002 -0.039 0.028 dH -250.8348 0.0055 0.002 -0.050 0.036 -----------------------------------------------------------------------------Reliability of Observations -----------------------------------------------------------------------------Standard Deviations Reliability Corr Obs Residuals Redundancy Internal External (mm) (mm) Vector: INGA-GP_VC14 weight= 1.00 N 1.23 1.24 0.50 0.17 4.10 E 2.01 2.02 0.50 0.17 4.10 H 1.27 1.28 0.50 0.17 4.10 Vector: N E H INGA-GP_VC13 weight= 1.00 1.23 1.19 0.48 2.01 1.93 0.48 1.27 1.22 0.48 0.17 0.17 0.17 4.29 4.29 4.29 Vector: GP_VC14-GP_VC13 weight= 1.00 N 0.30 0.04 0.01 0.17 33.56 E 0.49 0.06 0.01 0.17 33.56 H 0.31 0.04 0.01 0.17 33.56 -----------------------------------------------------------------------------Relative Precision -----------------------------------------------------------------------------Ellip. Dist. Height Diff. Relative Azimuth Std Dev Precision 99% Ellipse (m) (mm) Vector: INGA-GP_VC14 28999.770 -184.616 215 56 11.4 weight= 1.00 1.5 Hor. 1/18774478 1.5 Ver. 1/18769711 0.0sec major 4.7 mm azm. 90 deg minor 4.7 mm Vector: INGA-GP_VC13 28301.974 -181.220 215 06 07.3 weight= 1.00 1.5 Hor. 1/18335428 1.5 Ver. 1/18330813 0.0sec major 4.7 mm azm. 90 deg minor 4.7 mm Vector: GP_VC14-GP_VC13 weight= 1.00 813.030 0.4 Hor. 1/2171442 3.396 0.4 Ver. 1/2170106 66 26 42.0 0.1sec major 1.1 mm azm. 89 deg minor 1.1 mm Desired Network Accuracy was met for all Vectors ANEXO J (REPORTE DE LA ESTACION TOTAL SOKKIA DE LAS ESTACIONES PB-VC-10 al PB-VC-19) AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1009 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022 1023 1024 1025 1026 1027 1028 1029 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0? 0? 332 152 180 90? 62? 242 270 0? 0? 176 356 180 90? 266 86? 270 0? 0? 204 24? 179 90? 294 114 270 00' 00' ? 51 ? 51 ? 00 00' 50' ? 51 ? 00 00' 00' ? 19 ? 19 ? 00 00' ? 19 19' ? 00 00' 00' ? 10 10' ? 59 00' ? 10 ? 11 ? 00 "00.0000""" "00.0000""" ' 05.0040 ' 20.0160 ' 29.9880 "01.0080""" "57.0120""" ' 05.0040 ' 06.0120 "00.0000""" "00.0000""" ' 28.9920 ' 54.9840 ' 05.0040 "01.0080""" ' 32.0160 "39.0000""" ' 07.9920 "00.0000""" "00.0000""" ' 27.0120 "35.0040""" ' 54.9960 "01.0080""" ' 50.0160 ' 00.9960 ' 38.9880 <Null> + 630.84 + """ 1251.11" """ 1251.11" """ 630.84" 630.84 + 1251.11 """ 1251.11" """ 630.84" <Null> + 1251.09 + """ 777.82" """ 777.82" """ 1251.09" 1251.09 """ 777.82" 777.82 + """ 1251.09" <Null> + 777.82 + """ 526.97" 526.97 + """ 777.82" 777.82 + """ 526.97" """ 526.97" """ 777.82" "87?59'24.0000""NM" "87?51'12.9960""GP-12" "89?35'39.0120""PB-10" "270?24'15.9840""PB-10" "272?08'36.9960""GP-12" "87?51'14.0040""GP-12" "89?35'40.9920""PB-10" "270?24'12.9960""PB-10" "272?08'39.0120""GP-12" "90?29'35.9880""BM-DK14" "90?23'08.0160""BM-DK14" "90?13'37.9920""PB-11" "269?46'18.0120""PB-11" "269?36'48.9960""BM-14" "90?23'07.0080""BM-14" "90?13'37.9920""PB-11" "269?46'19.9920""PB-11" "269?36'50.0040""BM-14" "89?53'11.0040""PB-10" "89?44'15.0000""PB-10" "88?07'53.0040""PB-12" "271?52'05.9880""PB-12" "270?15'43.9920""PB-10" "89?44'17.0160""PB-10" "88?07'50.9880""PB-12" "271?51'54.0000""PB-12" "270?15'42.9840""PB-10" 123 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA 1030 1031 1032 1033 1034 1035 1036 1037 1038 1039 1040 1041 1042 1043 1044 1045 1046 1047 1048 1049 1050 1051 1052 1053 1054 1055 1056 1057 1058 1059 1060 1061 1062 1063 1064 1065 1066 1067 1068 1069 1070 1071 1072 1073 1074 1075 1076 1077 1078 1079 1080 1081 1082 1083 1084 1085 1086 1087 1088 1089 1090 1091 1092 1093 1094 1095 1096 1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0? 204 24? 179 0? 0? 167 347 180 90? 257 77? 270 0? 167 347 180 0? 0? 182 2? 180 90? 272 92? 270 0? 0? 162 342 180 90? 252 72? 270 0? 0? 181 1? 180 90? 271 91? 270 0? 181 1? 180 0? 0? 182 2? 179 90? 272 92? 270 0? 0? 169 349 179 90? 259 79? 269 0? 0? 211 31? 179 90? 301 121 269 0? 0? 173 00' ? 10 10' ? 59 00' 00' ? 31 ? 31 ? 00 00' ? 31 31' ? 00 00' ? 31 ? 31 ? 00 00' 00' ? 58 58' ? 00 00' ? 58 58' ? 00 00' 00' ? 56 ? 56 ? 00 00' ? 56 56' ? 00 00' 00' ? 12 13' ? 00 00' ? 12 12' ? 00 00' ? 12 13' ? 00 00' 00' ? 54 54' ? 59 00' ? 54 54' ? 00 00' 00' ? 07 ? 07 ? 59 00' ? 07 07' ? 59 00' 00' ? 54 54' ? 59 00' ? 54 ? 54 ? 59 00' 00' ? 29 "00.0000""" ' 22.0080 "33.9960""" ' 57.9840 "00.0000""" "01.0080""" ' 26.0040 ' 31.0080 ' 11.9880 "00.0000""" ' 23.9880 "24.9960""" ' 11.0160 "00.0000""" ' 17.0040 ' 17.0040 ' 00.0000 "00.0000""" "00.0000""" ' 36.9840 "40.0080""" ' 03.9960 "00.0000""" ' 41.0160 "46.9920""" ' 06.9840 "00.0000""" "01.0080""" ' 48.9840 ' 51.0000 ' 00.0000 "00.0000""" ' 53.9880 "57.9840""" ' 06.0120 "00.0000""" "00.0000""" ' 48.9960 "00.9840""" ' 02.0160 "00.0000""" ' 47.0160 "55.0080""" ' 03.9960 "00.0000""" ' 47.9880 "00.0120""" ' 05.0040 "00.0000""" "00.0000""" ' 39.9960 "46.0080""" ' 57.9840 "02.0160""" ' 50.0040 "54.0000""" ' 02.0160 "00.0000""" "01.0080""" ' 32.9880 ' 35.0040 ' 54.9960 "01.0080""" ' 41.9880 "44.0040""" ' 58.9920 "00.0000""" "01.0080""" ' 52.9920 "55.0080""" ' 58.9920 "00.0000""" ' 50.0040 ' 54.0000 ' 57.9840 "00.0000""" "01.0080""" ' 42.0000 777.82 + """ 526.97" 526.97 + """ 777.82" <Null> + 526.95 + """ 663.28" """ 663.28" """ 526.94" 526.94 + """ 663.28" 663.28 + """ 526.94" 526.95 + """ 663.28" """ 663.28" """ 526.94" <Null> + 663.27 + """ 664.82" 664.82 + """ 663.27" 663.27 + """ 664.82" 664.81 + """ 663.27" <Null> + 664.81 + """ 1023.13" """ 1023.13" """ 664.81" 664.81 + """ 1023.13" 1023.13 """ 664.81" <Null> + 1023.13 + """ 741.16" 741.16 + """ 1023.13" 1023.13 """ 741.16" 741.16 + """ 1023.13" 1023.13 + """ 741.16" 741.16 + " """ 1023.13" <Null> + 741.16 + """ 734.80" 734.80 + """ 741.16" 741.16 + """ 734.80" 734.80 + """ 741.16" <Null> + 734.78 + """ 750.93" """ 750.93" """ 734.78" 734.78 + """ 750.93" 750.93 + """ 734.78" <Null> + 750.92 + """ 1083.44" 1083.44 """ 750.92" 750.92 + """ 1083.44" """ 1083.44" """ 750.92" <Null> + 1083.44 + """ 1133.40" "89?44'13.9920""PB-10" "88?07'49.0080""PB-12" "271?52'00.0120""PB-12" "270?15'42.0120""PB-10" "92?04'06.9960""PB-11" "91?48'28.0080""PB-11" "90?35'45.9960""PB-13" "269?24'03.9960""PB-13" "268?11'25.0080""PB-11" "91?48'24.0120""PB-11" "90?35'48.0120""PB-13" "269?24'06.0120""PB-13" "268?11'27.9960""PB-11" "91?48'25.9920""PB-11" "90?35'53.0160""PB-13" "269?24'02.0160""PB-13" "268?11'26.0160""PB-11" "89?36'42.0120""PB-12" "89?21'06.9840""PB-12" "89?39'20.9880""PB-14" "270?20'30.0120""PB-14" "270?38'47.0040""PB-12" "89?21'06.0120""PB-12" "89?39'20.9880""PB-14" "270?20'26.9880""PB-14" "270?38'49.9920""PB-12" "90?24'24.9840""PB-13" "90?17'44.0160""PB-13" "90?07'05.0160""PB-15" "269?52'49.0080""PB-15" "269?42'11.9880""PB-13" "90?17'44.0160""PB-13" "90?07'00.0120""PB-15" "269?52'50.9880""PB-15" "269?42'02.9880""PB-13" "89?57'11.0160""PB-14" "89?51'20.9880""PB-14" "90?21'10.0080""PB-16" "269?38'52.0080""PB-16" "270?08'31.9920""PB-14" "89?51'20.0160""PB-14" "90?21'02.9880""PB-16" "269?38'44.0160""PB-16" "270?08'26.9880""PB-14" "89?51'18.0000""PB-14" "90?21'05.0040""PB-16" 269?38'48.9840""PB-16" "270?08'29.0040""PB-14" "89?45'09.0000""PB-15" "89?36'37.0080""PB-15" "89?00'38.9880""PB-17" "270?59'20.0040""PB-17" "270?23'18.9960""PB-15" "89?36'38.0160""PB-15" "89?00'38.0160""PB-17" "270?59'17.0160""PB-17" "270?23'12.9840""PB-15" "91?12'21.9960""PB-16" "90?56'27.9960""PB-16" "89?55'50.9880""PB-18" "270?04'00.0120""PB-18" "269?03'28.0080""PB-16" "90?56'29.0040""PB-16" "89?55'51.9960""PB-18" "270?04'03.0000""PB-18" "269?03'28.0080""PB-16" "90?08'44.9880""PB-17" "90?01'21.0000""PB-17" "90?52'09.9840""PB-19" "269?07'44.0040""PB-19" "269?58'23.9880""PB-17" "90?01'21.0000""PB-17" "90?52'03.0000""PB-19" "269?07'46.9920""PB-19" "269?58'23.0160""PB-17" "89?16'49.0080""PB-18" "89?06'41.0040""PB-18" "89?56'58.9920""GP-14" 124 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114 1115 1116 1117 1118 1119 1120 1121 1122 1123 1124 1125 1126 1127 1128 1129 1130 1131 1132 1133 1134 1135 1136 1137 1138 1139 1140 1141 1142 1143 1144 1145 1146 1147 1148 1149 1150 1151 1152 1153 1154 1155 1156 1157 1158 1159 1160 1161 1162 1163 1164 1165 1166 1167 1168 1169 1170 1171 1172 1173 1174 1175 1176 1177 1178 1179 1180 1181 1182 1183 1184 1185 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 353 180 90? 263 83? 270 263 0? 0? 43? 223 180 90? 133 313 270 0? 43? 223 180 0? 0? 114 294 180 90? 204 24? 270 0? 114 294 180 90? 90? 204 24? 270 0? 0? 196 16? 180 90? 286 106 269 0? 0? 146 326 180 90? 236 56? 270 0? 146 326 180 0? 0? 174 354 179 90? 264 84? 269 0? 174 354 354 179 0? 0? 182 2? ? 29 ? 00 00' ? 29 29' ? 00 ? 29 00' 00' 19' ? 19 ? 00 00' ? 19 ? 19 ? 00 00' 19' ? 19 ? 00 00' 00' ? 51 ? 51 ? 00 00' ? 51 51' ? 00 00' ? 51 ? 51 ? 00 00' 00' ? 51 51' ? 00 00' 00' ? 34 34' ? 00 00' ? 34 ? 34 ? 59 00' 00' ? 28 ? 28 ? 00 00' ? 28 28' ? 00 00' ? 28 ? 28 ? 00 00' 00' ? 27 ? 27 ? 59 00' ? 27 27' ? 59 00' ? 27 ? 27 ? 27 ? 59 00' 00' ? 20 20' ' 48.9840 ' 01.0080 "00.0000""" ' 39.9840 "44.9880""" ' 03.9960 ' 52.0080 "00.0000""" "00.0000""" "27.9840""" ' 42.9960 ' 05.0040 "00.0000""" ' 27.0120 ' 32.0160 ' 05.0040 "00.0000""" "27.0120""" ' 28.9920 ' 09.0000 "00.0000""" "01.0080""" ' 24.0120 ' 33.0120 ' 14.0040 "01.0080""" ' 20.9880 "37.0080""" ' 15.0120 "00.0000""" ' 05.0040 ' 12.9960 ' 02.0160 "01.0080""" "01.0080""" ' 09.0000 "09.0000""" ' 02.0160 "00.0000""" "00.0000""" ' 15.9960 "15.9960""" ' 07.9920 "01.0080""" ' 09.0120 ' 09.0120 ' 57.9840 "00.0000""" "01.0080""" ' 18.9840 ' 14.0160 ' 11.0160 "01.0080""" ' 09.0120 "09.9840""" ' 06.9840 "00.0000""" ' 05.0160 ' 01.9920 ' 06.9840 "00.0000""" "01.0080""" ' 32.0040 ' 29.9880 ' 47.0040 "00.0000""" ' 43.9920 "47.9880""" ' 57.0120 "00.0000""" ' 47.0160 ' 46.0080 ' 46.0080 ' 56.0040 "00.0000""" "01.0080""" ' 57.0120 "54.9960""" """ 1133.40" """ 1083.44" 1083.45 """ 1133.40" 1133.4 """ 1083.44" """ 1133.40" <Null> + 1133.40 + 813.44 + """ 813.44" """ 1133.40" 1133.4 """ 813.44" """ 813.44" """ 1133.40" 1133.40 + 813.45 + """ 813.45" """ 1133.40" <Null> + 813.44 + """ 953.11" """ 953.11" """ 813.44" 813.44 + """ 953.11" 953.11 + """ 813.44" 813.44 + """ 953.11" """ 953.11" """ 813.44" 813.45 + 813.44 + """ 953.11" 953.11 + """ 813.44" <Null> + 953.12 + """ 876.09" 876.09 + """ 953.12" 953.11 + """ 876.09" """ 876.09" """ 953.12" <Null> + 876.08 + """ 1042.62" """ 1042.62" """ 876.08" 876.08 + """ 1042.62" 1042.62 """ 876.08" 876.08 + """ 1042.62" """ 1042.62" """ 876.08" <Null> + 1042.62 + """ 1109.16" """ 1109.16" """ 1042.62" 1042.62 """ 1109.16" 1109.16 """ 1042.62" 1042.61 + """ 1109.16" """ 1109.16" """ 1109.16" """ 1042.62" <Null> + 1109.15 + """ 1049.76" 1049.76 + "270?02'54.9960""GP-14" "270?53'08.0160""PB-18" "89?06'42.9840""PB-18" "89?57'05.0040""GP-14" "270?02'48.0120""GP-14" "270?53'03.0120""PB-18" "89?57'06.0120""GP-14" "90?12'11.9880""PB-19" "90?02'04.9920""PB-19" "89?43'50.0160""GP-13" "270?16'08.0040""GP-13" "269?57'34.9920""PB-19" "90?02'12.9840""PB-19" "89?43'50.0160""GP-13" "270?16'04.0080""GP-13" "269?57'42.9840""PB-19" "90?02'07.0080""PB-19" "89?43'50.0160""GP-13" "270?16'01.9920""GP-13" "269?57'47.9880""PB-19" "89?50'07.0080""GP/13" "89?43'37.9920""GP/13" "90?03'51.0120""PB/20" "269?55'54.9840""PB/20" "270?16'08.0040""GP/13" "89?43'41.0160""GP/13" "90?03'42.0120""PB/20" "269?56'03.9840""PB/20" "270?16'13.0080""GP/13" "89?43'45.9840""GP/13" "90?03'48.9960""PB/20" "269?56'11.0040""PB/20" "270?16'09.9840""GP/13" "89?50'39.9840""GP/13" "89?43'41.0160""GP/13" "90?03'38.0160""PB/20" "269?56'17.9880""PB/20" "270?16'06.9960""GP/13" "89?55'09.0120""GP/14" "89?55'04.0080""GP/14" "89?58'32.0160""PB/21" "270?01'26.0040""PB/21" "270?04'46.9920""GP/14" "89?55'03.0000""GP/14" "89?58'32.0160""PB/21" "270?01'23.9880""PB/21" "270?04'42.9960""GP/14" "90?00'03.9960""PB/20" "90?00'02.9880""PB/20" "90?02'12.9840""PB/22" "269?57'42.0120""PB/22" "269?59'53.0160""PB/20" "89?59'57.0120""PB/20" "90?02'12.0120""PB/22" "269?57'41.0040""PB/22" "269?59'52.0080""PB/20" "90?00'02.9880""PB/20" "90?02'17.9880""PB/22" "269?57'38.9880""PB/22" "269?59'58.9920""PB/20" "89?57'28.0080""PB/21" "89?57'27.0000""PB/21" "89?58'00.9840""PB/23" "270?01'42.9960""PB/23" "270?02'35.0160""PB/21" "89?57'21.9960""PB/21" "89?58'05.9880""PB/23" "270?01'45.0120""PB/23" "270?02'35.9880""PB/21" "89?57'18.0000""PB/21" "89?58'10.9920""PB/23" "270?01'53.0040""PB/23" "270?01'54.9840""PB/23" "270?02'44.0160""PB/21" "90?01'14.0160""PB/22" "90?01'13.0080""PB/22" "89?59'42.0000""PB/24" "270?00'12.9960""PB/24" 125 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD AD VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA VA 1186 1187 1188 1189 1190 1191 1192 1193 1194 1195 1196 1197 1198 1199 1200 1201 1202 1203 1204 1205 1206 1207 1208 1209 1210 1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219 1220 1221 1222 1223 1224 1225 1226 1227 1228 1229 1230 1231 1232 1233 1234 1235 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 179 90? 272 92? 269 0? 182 2? 180 0? 0? 179 359 180 90? 269 89? 269 0? 179 359 179 179 0? 0? 180 0? 179 90? 270 90? 270 0? 0? 187 7? 180 90? 277 97? 270 0? 0? 178 358 179 90? 268 88? 270 ? 59 00' ? 21 21' ? 59 00' ? 21 21' ? 00 00' 00' ? 21 ? 21 ? 00 00' ? 21 21' ? 59 00' ? 21 ? 21 ? 59 ? 59 00' 00' ? 37 37' ? 59 00' ? 37 37' ? 00 00' 00' ? 30 30' ? 00 00' ? 30 30' ? 00 00' 00' ? 23 ? 23 ? 59 00' ? 24 24' ? 00 ' 49.9920 "00.0000""" ' 02.9880 "09.0000""" ' 58.9920 "00.0000""" ' 10.0080 "09.0000""" ' 03.9960 "00.0000""" "01.0080""" ' 36.0000 ' 28.0080 ' 02.0160 "00.0000""" ' 33.0120 "24.0120""" ' 54.9960 "00.0000""" ' 30.9960 ' 25.9920 ' 56.0040 ' 57.9840 "00.0000""" "00.0000""" ' 13.0080 "10.9920""" ' 56.0040 "01.0080""" ' 13.0080 "15.9960""" ' 00.0000 "00.0000""" "00.0000""" ' 06.9840 "11.9880""" ' 02.9880 "00.0000""" ' 07.9920 "11.9880""" ' 00.0000 "00.0000""" "00.0000""" ' 48.9840 ' 52.0080 ' 56.0040 "01.0080""" ' 00.0000 "02.9880""" ' 02.0160 """ 1109.15" 1109.15 """ 1049.76" 1049.76 """ 1109.15" 1109.15 + """ 1049.76" 1049.75 + """ 1109.15" <Null> + 1049.74 + """ 1115.02" """ 1115.02" """ 1049.74" 1049.74 """ 1115.02" 1115.02 """ 1049.74" 1049.74 + """ 1115.02" """ 1115.02" """ 1049.74" """ 1049.74" <Null> + 1115.01 + """ 1066.12" 1066.12 + """ 1115.01" 1115.01 """ 1066.12" 1066.12 """ 1115.01" <Null> + 1066.11 + """ 1091.55" 1091.55 + """ 1066.11" 1066.11 """ 1091.55" 1091.55 """ 1066.11" <Null> + 1091.54 + """ 1096.90" """ 1096.90" """ 1091.54" 1091.54 """ 1096.90" 1096.9 """ 1091.54" "269?58'50.9880""PB/22" "90?01'21.0000""PB/22" "89?59'36.9960""PB/24" "270?00'16.9920""PB/24" "269?58'45.0120""PB/22" "90?01'14.0160""PB/22" "89?59'38.0040""PB/24" "270?00'15.9840""PB/24" "269?58'50.0160""PB/22" "89?58'53.0040""PB/23" "89?58'54.0120""PB/23" "89?58'54.0120""PB/25" "270?01'03.0000""PB/25" "270?00'51.9840""PB/23" "89?59'02.0040""PB/23" "89?58'51.9960""PB/25" "270?01'09.0120""PB/25" "270?00'55.0080""PB/23" "89?59'11.0040""PB/23" "89?58'53.0040""PB/25" "270?01'03.0000""PB/25" "270?00'51.9840""PB/23" "270?00'52.9920""PB/23" "90?04'36.9840""PB/24" "89?59'52.0080""PB/24" "89?55'36.9840""PB/26" "270?04'18.9840""PB/26" "270?00'01.0080""PB/24" "89?59'48.9840""PB/24" "89?55'36.0120""PB/26" "270?04'13.0080""PB/26" "270?00'02.0160""PB/24" "90?02'53.0160""PB/25" "90?03'01.0080""PB/25" "89?48'20.0160""PB/27" "270?11'35.9880""PB/27" "269?56'57.0120""PB/25" "90?02'52.0080""PB/25" "89?48'20.0160""PB/27" "270?11'33.0000""PB/27" "269?56'57.0120""PB/25" "90?14'45.9960""PB/26" "90?10'05.9880""PB/26" "89?33'51.9840""PB/28" "270?25'57.0000""PB/28" "269?49'41.0160""PB/26" "90?10'10.9920""PB/26" "89?33'56.9880""PB/28" "270?25'54.9840""PB/28" "269?49'41.9880""PB/26" 126 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Anexo K. Tabla de corrección PPM Anexo L. Formulas de corrección atmosférica de Barrels y Sears. Donde: ns= Índice de refracción para las condiciones normales. λ= Longitud de onda luminosa transportadora en micrómetros (μm) n= índice de refracción p= presión atmosférica mmHg t= temperatura ºC 127 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Anexo M. PLANILLAS DE CAMPO (ESTACIONES OBSERVADAS LAIK, P028 Y P-27) (Ángulos y Distancias sin considerar la influencia Atmosférica) Planilla 1 ESTACION LAIK TEMPERATURA 15º C INSTRUMENTO SET510 V31-12 PRES ATM. 760 mmHg SERIE 202989 SOKKIA PPM 0 ALT. PRIS. 1,550 m FECHA 17/06/2008 ALT. INS. 1,491 m HORA 10:15 a.m. OPERADOR: RICHARD TOLA VARGAS ESTACION OBSERVADA DISTANCIA INCLINADA m DISTANCIA HORIZONTAL m. DESNIVEL m. P-27 P-27 P-27 P-27 P-27 P-27-PROM. P028 P028 P028 P028 P028 P028-PROM. 1999,520 1999,520 1999,520 1999,520 1999,520 1999,520 1908,930 1908,930 1908,930 1908,930 1908,970 1908,938 1984,039 1984,039 1984,040 1984,040 1984,040 1984,039 1900,591 1900,591 1900,591 1900,591 1900,631 1900,599 248,336 248,336 248,327 248,327 248,327 248,331 178,236 178,236 178,236 178,236 178,240 178,237 ANGULO CENITAL 82 82 82 82 82 82 84 84 84 84 84 84 º º º º º º º º º º º º 51 51 51 51 51 51 38 38 38 38 38 38 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 56,016 56,016 56,988 56,988 56,988 56,599 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 " " " " " " " " " " " " Planilla 2 ESTACION P-27 TEMPERATURA 15º C INSTRUMENTO SET510 V31-12 PRES ATM. 760 mmHg SERIE 202989 SOKKIA PPM 0 ALT. PRIS. 1,550 m FECHA 17/06/2008 HORA 11:15 a.m. ALT. INS. 1,382 m OPERADOR: RICHARD TOLA VARGAS ESTACION OBSERVADA DISTANCIA INCLINADA m. DISTANCIA HORIZONTAL m. DESNIVEL m. P028 P028 P028 P028 P028 P028 PROM. LAIK LAIK LAIK LAIK LAIK LAIK PROM. 1036,020 1036,030 1036,020 1036,020 1036,020 1036,022 1999,480 1999,480 1999,480 1999,480 1999,490 1999,482 1033,646 1033,656 1033,646 1033,646 1033,647 1033,648 1983,946 1983,946 1983,946 1983,946 1983,956 1983,948 -70,089 -70,090 -70,089 -70,089 -70,084 -70,089 -248,755 -248,755 -248,755 -248,755 -248,756 -248,755 ANGULO CENITAL 93 93 93 93 93 93 97 97 97 97 97 97 º º º º º º º º º º º º 52 52 52 52 52 52 8 8 8 8 8 8 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 45,012 45,012 45,012 45,012 44,004 44,810 48,012 48,012 48,012 48,012 48,012 48,012 " " " " " " " " " " " " 128 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Planilla 3 ESTACION P028 TEMPERATURA 15ºC INSTUMENTO SET510 V31-12 PRES ATM. 760 mmHg SERIE 202989 SOKKIA PPM 0 ALT. PRIS. 1,550 m FECHA 17/06/2008 ALT. INS. 1,220 m HORA 12:10 a.m. OPERADOR: RICHARD TOLA VARGAS ESTACION OBSERVADA LAIK LAIK LAIK LAIK LAIK LAIK PROM. P-27 P-27 P-27 P-27 P-27 P-27-PROM. DISTANCIA INCLINADA m. 1908,890 1908,890 1908,890 1908,890 1908,890 1908,890 1036,080 1036,090 1036,060 1036,070 1036,070 1036,074 DISTANCIA HORIZONTAL m. 1900,548 1900,548 1900,548 1900,548 1900,548 1900,548 1033,690 1033,701 1033,672 1033,682 1033,682 1033,685 DESNIVEL m. -178,270 -178,260 -178,270 -178,270 -178,260 -178,266 70,334 70,320 70,302 70,303 70,303 70,312 ANGULO CENITAL 95 º 21 ' 30,996 95 º 21 ' 29,988 95 º 21 ' 30,996 95 º 21 ' 30,996 95 º 21 ' 29,988 95 º 21 ' 30,593 86 º 6 ' 27,000 86 º 6 ' 29,988 86 º 6 ' 33,012 86 º 6 ' 33,012 86 º 6 ' 33,012 86 º 6 ' 31,205 " " " " " " " " " " " " Las planillas 1, 2 y 3 corresponden a medición de distancias por observaciones recíprocas con ET entre las estaciones LAIK, P-27 y P028. Considerando una constante para los valores atmosféricos. Planilla 4 ESTACION LAIK TEMPERATURA 10ºC INSTUMENTO SET510 V31-12 PRES ATM. 491 mmHg SERIE 202989 SOKKIA PPM 96 ALT. PRIS. 1,550 m FECHA 28/06/2008 ALT. INS. 1,440 m HORA 11:46 am OPERADOR: RICHARD TOLA VARGAS ESTACION OBSERVADA P028-1 P028-2 P028-3 P028-4 P028-5 P028-PROM P-27-1 P-27-2 P-27-3 P-27-4 P-27-5 P-27-PROM DISTANCIA INCLINADA m 1909,120 1909,120 1909,120 1909,120 1909,120 1909,120 1999,780 1999,780 1999,770 1999,760 1999,770 1999,772 DISTANCIA HORIZONTAL m. 1900,786 1900,787 1900,785 1900,786 1900,787 1900,786 1984,298 1984,298 1984,287 1984,277 1984,287 1984,289 DESNIVEL metros 178,081 178,072 178,090 178,081 178,072 178,079 248,251 248,251 248,259 248,258 248,259 248,256 ANGULO CENITAL 84 º 38 ' 39,984 84 º 38 ' 40,992 84 º 38 ' 39,012 84 º 38 ' 39,984 84 º 38 ' 40,992 84 º 38 ' 40,193 82 º 51 ' 56,988 82 º 51 ' 56,988 82 º 51 ' 56,016 82 º 51 ' 56,016 82 º 51 ' 56,016 82 º 51 ' 56,405 " " " " " " " " " " " " 129 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Planilla 5 ESTACION P-27 TEMPERATURA 15ºC INSTUMENTO SET510 V31-12 PRES ATM. 468 mmHg SERIE 202989 SOKKIA PPM 107 ALT. PRIS. 1,550 m FECHA 28/06/2008 1,32 m. HORA 12:20 am ALT. INS. OPERADOR: RICHARD TOLA VARGAS ESTACION OBSERVADA P028-1 P028-2 P028-3 P028-4 P028-5 P028-PROM LAIK-1 LAIK-2 LAIK-3 LAIK-4 LAIK-5 LAIK-PROM DISTANCIA INCLINADA m 1036,130 1036,130 1036,130 1036,130 1036,130 1036,130 1999,700 1999,690 1999,690 1999,700 1999,680 1999,692 DISTANCIA HORIZONTAL m. 1033,755 1033,754 1033,755 1033,755 1033,755 1033,755 1984,161 1984,151 1984,152 1984,164 1984,146 1984,155 DESNIVEL metros -70,343 -70,348 -70,343 -70,338 -70,338 -70,342 -249,037 -249,036 -249,026 -249,008 -248,997 -249,021 ANGULO CENITAL 93 º 52 ' 49,008 93 º 52 ' 50,016 93 º 52 ' 49,008 93 º 52 ' 48,000 93 º 52 ' 48,000 93 º 52 ' 48,806 97 º 8 ' 51,000 97 º 8 ' 51,000 97 º 8 ' 49,992 97 º 8 ' 48,012 97 º 8 ' 47,004 97 º 8 ' 49,402 " " " " " " " " " " " " Planilla 6 ESTACION P028 TEMPERATURA 20ºC INSTUMENTO SET510 V31-12 PRES ATM. 472 mmHg SERIE 202989 SOKKIA PPM 109 ALT. PRIS. 1,550 m FECHA 28/06/2008 ALT. INS. 1,220 m HORA 01:40 pm OPERADOR: RICHARD TOLA VARGAS ESTACION OBSERVADA P-27-1 P-27-2 P-27-3 P-27-4 P-27-5 P-27-PROM LAIK-1 LAIK-2 LAIK-3 LAIK-4 LAIK-5 LAIK-PROM DISTANCIA INCLINADA m 1036,170 1036,160 1036,160 1036,160 1036,170 1036,164 1909,110 1909,100 1909,110 1909,100 1909,110 1909,106 DISTANCIA HORIZONTAL m. 1033,780 1033,770 1033,770 1033,770 1033,780 1033,774 1900,750 1900,739 1900,748 1900,736 1900,745 1900,744 DESNIVEL metros 70,009 70,014 70,014 70,014 70,010 70,012 -178,787 -178,795 -178,814 -178,832 -178,842 -178,814 ANGULO CENITAL 86 º 6 ' 29,016 86 º 6 ' 28,008 86 º 6 ' 28,008 86 º 6 ' 28,008 86 º 6 ' 29,016 86 º 6 ' 28,411 95 º 21 ' 50,004 95 º 21 ' 51,012 95 º 21 ' 52,992 95 º 21 ' 55,008 95 º 21 ' 56,016 95 º 21 ' 53,006 " " " " " " " " " " " " Las planillas 4, 5 y 6 corresponden a medición de distancias por observaciones reciprocas con ET entre las estaciones LAIK, P-27 y P028, considerando la variación de los datos atmosféricos. 130 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia PLANILLAS DE OBSERVACION POLIGONAL PLANILLA 7 OBSERVACION DE ANGULO HORIZONTAL º ' " BMDK14 GP-VC12 0 0 0.000 180 0 29.988 0 0 14.994 -14.994 0 0 0.000 1.4 PB-VC10 332 51 5.004 152 51 20.016 332 51 12.510 -14.994 332 50 57.516 BMDK14 GP-VC12 90 0 1.008 270 0 6.012 90 0 3.510 -2.502 90 0 1.008 1.4 PB-VC10 62 50 57.012 242 51 5.004 62 51 1.008 -2.502 62 50 58.506 PBVC10 BM-DK14 0 0 0.000 180 0 5.004 0 0 2.502 -2.502 0 0 0.000 1.481 PB-VC11 176 19 28.992 356 19 54.984 176 19 41.988 -2.502 176 19 39.486 PBVC10 BM-DK14 90 0 1.008 270 0 7.992 90 0 4.500 -3.492 90 0 1.008 1.481 PB-VC11 266 19 32.016 86 19 39.000 266 19 35.508 -3.492 266 19 32.016 PBVC11 PB-VC10 0 0 0.000 179 59 57.984 0 0 1.008 -1.008 0 0 0.000 204 10 22.008 24 10 33.996 204 10 28.002 -1.008 204 10 26.994 90 0 1.008 270 0 38.988 90 0 19.998 -18.990 90 0 1.008 1.5 II I II I II I II CORREGIDA PBVC11 PB-VC12 PB-VC10 1.5 PB-VC12 294 10 50.016 114 11 0.996 294 10 55.506 -18.990 294 10 36.516 PBVC12 PB-VC11 0 0 0.000 180 0 0.001 0 0 0.001 -0.001 0 0 0.000 1.464 PB-VC13 167 31 17.004 347 31 17.004 167 31 17.004 -0.001 167 31 17.004 PBVC12 PB-VC11 90 0 0.000 270 0 11.016 90 0 5.508 -5.508 90 0 0.000 1.464 PB-VC13 257 31 23.988 77 31 24.996 257 31 24.492 -5.508 257 31 18.984 PBVC13 PB-VC12 0 0 0.000 180 0 3.996 0 0 1.998 -1.998 0 0 0.000 1.45 PB-VC14 182 58 36.984 2 58 40.008 182 58 38.496 -1.998 182 58 36.498 PBVC13 PB-VC12 90 0 0.000 270 0 6.984 90 0 3.492 -3.492 90 0 0.000 1.45 PB-VC14 272 58 41.016 92 58 46.992 272 58 44.004 -3.492 272 58 40.512 PBVC14 PB-VC13 0 0 1.008 180 0 0.000 180 0 0.504 0.504 180 0 1.008 1.448 PB-VC15 162 56 48.984 342 56 51.000 162 56 49.992 0.504 162 56 50.496 PBVC14 PB-VC13 90 0 0.000 270 0 6.012 90 0 3.006 -3.006 90 0 0.000 1.448 PB-VC15 252 56 53.988 72 56 57.984 252 56 55.986 -3.006 252 56 52.980 Ang. Final " 57.507 " 332 50 ' 35.247 º 176 19 " 31.251 ' 204 10 º 17.994 I " 167 31 II ' 38.505 I º DIRECTA 182 58 II EST OBS Alt. Pris. m. 51.234 I LECTURA DE ANGULOS HORIZONTALES INVERºSA PROMEDIO E” EST. Alt. Ins. m. 56 Nº de Serie HOJA: 1/2 FECHA: Enero 2009 CIUDAD: LA PAZ 252 PROYECTO: POLIGONAL DE ENLACE INSTRUMENTO: SOKKIA SET 530 RK3 OPERADOR: ALTURA MEDIA: 3853.841 msnm. TEMPERATURA: 17º C. 131 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia PLANILLA 8 OBSERVACION DE ANGULO HORIZONTAL PROYECTO: POLIGONAL DE ENLACE INSTRUMENTO: SOKKIA SET 530 RK3 OPERADOR: ALTURA MEDIA: 3853.841 msnm. TEMPERATURA: 17º C. PBVC17 1.45 II I PBVC17 1.45 PBVC18 1.471 II I PBVC18 1.471 PBVC19 1.462 II I PBVC19 1.462 GPVC14 1.426 II GPVC14 1.426 Ang. Final 1 13 0.012 181 12 54.000 -2.502 181 12 51.498 0 0.000 270 0 3.996 90 0 1.998 -1.998 90 0 0.000 271 12 47.016 91 12 55.008 271 12 51.012 -1.998 271 12 49.014 PB-VC15 0 0 0.000 179 59 57.984 0 0 1.008 -1.008 0 0 0.000 PB-VC17 182 54 39.996 2 54 46.008 182 54 43.002 -1.008 182 54 41.994 PB-VC15 90 0 2.016 270 0 2.016 90 0 2.016 0.000 90 0 2.016 PB-VC17 272 54 50.004 92 54 54.000 272 54 52.002 0.000 272 54 52.002 PB-VC16 0 0 1.008 179 59 54.996 0 0 3.006 -1.998 0 0 1.008 PB-VC18 169 7 32.988 349 7 35.004 169 7 33.996 -1.998 169 7 31.998 PB-VC16 90 0 1.008 269 59 58.992 90 0 0.000 1.008 90 0 1.008 PB-VC18 259 7 41.988 79 7 44.004 259 7 42.996 1.008 259 7 44.004 PB-VC17 0 0 1.008 179 59 58.992 0 0 1.008 0.000 0 0 1.008 PB-VC19 211 54 52.992 31 54 55.008 211 54 54.000 0.000 211 54 54.000 PB-VC17 90 0 0.000 269 59 57.984 89 59 58.992 -58.992 89 59 0.000 PB-VC19 301 54 50.004 121 54 54.000 301 54 52.002 -58.992 301 53 53.010 PB-VC18 0 0 1.008 180 0 1.008 0 0 1.008 0.000 0 0 1.008 GP-VC14 173 29 42.000 353 29 48.984 173 29 45.492 0.000 173 29 45.492 PB-VC18 90 0 0.000 270 0 3.996 90 0 1.998 -1.998 90 0 0.000 GP-VC14 263 29 39.984 83 29 44.988 263 29 42.486 -1.998 263 29 40.488 PB-VC19 0 0 0.000 180 0 9.000 0 0 4.500 -4.500 0 0 0.000 GP-VC13 43 19 27.012 223 19 28.992 43 19 28.002 -4.500 43 19 23.502 PB-VC19 90 0 0.000 270 0 5.004 90 0 2.502 -2.502 90 0 0.000 GP-VC13 133 19 27.012 313 19 32.016 133 19 29.514 -2.502 133 19 27.012 50.256 47.988 181 12 " 0.000 54 7 I PBVC16 1.456 ' 0 54 II º 0 29 PBVC16 1.456 " -2.502 45.990 PB-VC16 " 2.502 182 90 ' 0 36.993 PB-VC14 PBVC15 1.481 º 0 169 12 CORREGIDA " 5.004 53.001 181 E“ ' 0 211 PB-VC16 PROMEDIO º 180 42.486 PB-VC14 INVERSA 173 I PBVC15 1.481 º 0 DIRECTA DIRECTA ' " 0 0.000 25.257 II EST OBS Alt. Pris. m. 19 I LECTURA DE ANGULOS HORIZONTALES EST. Alt. Ins. m. 43 Nº de Serie HOJA: 2/2 FECHA: Enero 2009 CIUDAD: LA PAZ 132 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia PLANILLA 9 OBSERVACION DE ANGULO CENITAL Y DISTANCIA INCLINADA (PPM=0) PROYECTO: POLIGONAL DE ENLACE INSTRUMENTO: SOKKIA SET 530 RK3 OPERADOR: ALTURA MEDIA: 3853.841 msnm. TEMPERATURA: 17º C. N de Serie HOJA: 1/2 FECHA: Enero 2009 CIUDAD: LA PAZ LECTURA DE ANGULOS VERTICALES DIRECTA INVERSA PROMEDIO ' " º ' " º ' " EST. Alt. Ins. m. EST OBS Alt. Pris. m. BM-DK14 GP-VC12 87 51 12.996 272 08 36.996 87 51 18.000 1.4 PB-VC10 89 35 39.012 270 24 15.984 89 35 41.514 BM-DK14 GP-VC12 87 51 14.004 272 08 39.012 87 51 17.496 1.4 PB-VC10 89 35 40.992 270 24 12.996 45 5 43.998 PB-VC10 BM-DK14 90 23 8.016 269 36 48.996 90 23 9.510 1.481 PB-VC11 90 13 37.992 269 46 18.012 90 13 39.990 PB-VC10 BM-DK14 90 23 7.008 269 36 50.004 90 23 8.502 1.481 PB-VC11 90 13 37.992 269 46 19.992 90 13 39.000 PB-VC11 PB-VC10 89 44 13.992 270 15 42.012 89 44 15.990 88 07 49.008 271 52 0.012 88 7 54.498 89 44 17.016 270 15 42.984 89 44 17.016 º I II I II I 1.5 PB-VC11 PB-VC12 PB-VC10 II 1.5 PB-VC12 88 07 50.988 271 51 54.000 88 7 58.494 PB-VC12 PB-VC11 91 48 25.992 268 11 26.016 91 48 29.988 1.464 PB-VC13 90 35 53.016 269 24 2.016 90 35 55.500 PB-VC12 PB-VC11 91 48 24.012 268 11 27.996 91 48 28.008 1.464 PB-VC13 90 35 48.012 269 24 6.012 90 35 51.000 PB-VC13 PB-VC12 89 21 6.984 270 38 47.004 89 21 9.990 1.45 PB-VC14 89 39 20.988 270 20 30.012 89 39 25.488 PB-VC13 PB-VC12 89 21 6.012 270 38 49.992 89 21 8.010 1.45 PB-VC14 89 39 20.988 270 20 26.988 89 39 27.000 PB-VC14 PB-VC13 90 17 44.016 269 42 11.988 90 17 46.014 1.448 PB-VC15 90 07 5.016 269 52 49.008 90 7 8.004 PB-VC14 PB-VC13 90 17 44.016 269 42 2.988 90 17 50.514 1.448 PB-VC15 90 07 0.012 269 52 50.988 90 7 4.512 I II I II I II DISTANCIA INCLINADA metros 630.841 630.841 1251.112 1251.110 630.840 630.840 1251.111 1251.112 1251.097 1251.098 777.829 777.829 1251.098 1251.097 777.829 777.828 777.825 777.826 526.974 526.973 777.826 777.825 526.974 526.973 526.950 526.949 663.281 663.281 526.948 526.949 663.281 663.281 663.278 663.278 664.822 664.821 663.279 663.278 664.820 664.819 664.813 664.814 1023.137 1023.135 664.813 664.813 1023.135 1023.134 133 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia PLANILLA 10 OBSERVACION DE ANGULO CENITAL Y DISTANCIA INCLINADA (PPM=0) PROYECTO: POLIGONAL DE ENLACE INSTRUMENTO: SOKKIA SET 530 RK3 OPERADOR: ALTURA MEDIA: 3853.841 msnm. TEMPERATURA: 17º C. Nª de Serie HOJA: 2/2 FECHA: Enero 2009 CIUDAD: LA PAZ LECTURA DE ANGULOS VERTICALES DIRECTA INVERSA PROMEDIO ' " º ' " º ' " EST. Alt. Ins. m. EST OBS Alt. Pris. m. PB-VC15 PB-VC14 89 51 18.000 270 08 29.004 89 51 24.498 1.481 PB-VC16 90 21 5.004 269 38 48.984 90 21 8.010 PB-VC15 PB-VC14 89 51 20.016 270 08 26.988 89 51 26.514 1.481 PB-VC16 90 21 2.988 269 38 44.016 90 21 9.486 PB-VC16 PB-VC15 89 36 37.008 270 23 18.996 89 36 39.006 1.456 PB-VC17 89 00 38.988 270 59 20.004 89 0 39.492 PB-VC16 PB-VC15 89 36 38.016 270 23 12.984 89 36 42.516 1.456 PB-VC17 89 00 38.016 270 59 17.016 89 0 40.500 PB-VC17 PB-VC16 90 56 27.996 269 03 28.008 90 56 29.994 1.45 PB-VC18 89 55 50.988 270 4 0.012 89 55 55.488 PB-VC17 PB-VC16 90 56 29.004 269 03 28.008 90 56 30.498 1.45 PB-VC18 89 55 51.996 270 4 3.000 89 55 54.498 PB-VC18 PB-VC17 90 01 21.000 269 58 23.988 90 1 28.506 1.471 PB-VC19 90 52 9.984 269 7 44.004 90 52 12.990 PB-VC18 PB-VC17 90 01 21.000 269 58 23.016 90 1 28.992 1.471 PB-VC19 90 52 3.000 269 7 46.992 90 52 8.004 PB-VC19 PB-VC18 89 06 41.004 270 53 8.016 89 6 46.494 1.462 GP-VC14 89 56 58.992 270 2 54.996 89 57 1.998 PB-VC19 PB-VC18 89 06 42.984 270 53 3.012 89 6 49.986 1.462 GP-VC14 89 57 5.004 270 2 48.012 89 57 8.496 GP-VC14 PB-VC19 90 02 7.008 269 57 47.988 90 2 9.510 1.426 GP-VC13 89 43 50.016 270 16 1.992 89 43 54.012 GP-VC14 PB-VC19 90 02 12.984 269 57 42.984 90 2 15.000 1.426 GP-VC13 89 43 50.016 270 16 4.008 89 43 53.004 º I II I II I II I II I II I II DISTANCIA INCLINADA metros 1023.132 1023.132 741.169 741.168 1023.131 1023.132 741.168 741.168 741.164 741.165 734.804 734.803 741.165 741.165 734.804 734.803 734.788 734.787 750.930 750.932 734.787 734.787 750.931 750.931 750.925 750.926 1083.447 1083.444 750.925 750.926 1083.444 1083.447 1083.445 1083.445 1133.406 1133.404 1083.450 1083.404 1133.404 1133.404 1133.402 1133.401 813.451 813.450 1133.403 1133.401 813.449 813.447 6.- BIBLIOGRAFIA 134 Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas Universidad Mayor de San Andrés Facultad Técnica Carrera de Topografía y Geodesia Torge, Wolfgrang; 1983, Geodesia-Introducción, Editorial DIANA S.A, Traducido por: Gualterio Luthe Garcia, Mexico-Tlacoquemecatl, pág. 13. 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