Factorización y Conjeturas de Goldbach y Polignac.-1ª parte

FACTORIZACION
Y CONJETURAS DE
GOLDBACH
José Antonio Martín Arnanz
Paulina Harriet ,4 .-3 ª J
47006-Valladolid
Profesor Mercantil.- Ldo.Ciencias Económicas y Empresariales
Jubilado
payeymaye@hotmail.es
983-338425
1
RESUMEN
Primera Parte , Factorización.
Todo número entero,positivo.impar ,no múltiplo de tres , en función de su congruencia
módulo 36 , si se identifica con una determinada fórmula , es número compuesto. En
caso contrario será número primo . Se trata de hallar todas y cada una de las fórmulas
correspondientes, (Pág.3 a 11)
Segunda Parte,Conjeturas de Goldbach.
Partiendo de las citadas fórmulas , conseguimos :
c [ [ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + (1-c) [ K – [ ( 7 + 6 g ) t – g ] ] = ó ≠ ± 6 X
que es la fórmula base para el estudio-demostración de las Conjeturas de Goldbach y
Conjetura de Números Primos Gemelos ,que como veremos es la misma .
INTRODUCCION
Como sabemos , en carta fechada el 7 de junio de 1.742 ,dirigida por Goldbach a Euler,
afirmaba haber observado que todo número par mayor que 2 , podría escribirse como
suma de dos primos. The Goldbach Conjecture ( Wang Yuan ,2002)
Desde entonces hasta la fecha , los matemáticos más expertos en teoría de números han
tratado infructuosamente de demostrar la validez o no de dicha Conjetura. A través de
la Informática,no se ha encontrado contraejemplo alguno para valores inferiores a 10^18
La totalidad del desarrollo del trabajo es muy simple.Con elementales conocimientos de
Algebra es posible su comprensión . divisibilidad , factorización , ecuaciones lineales ,
congruencias , progresiones aritméticas son los temas que se relacionan en el estudio .
En buena lógica pensamos que esto es una incongruencia . Los más grandes expertos en
teoría de números no logran resolver el problema desde hace siglos , y por otra parte se
nos dice que es posible la demostración de la “ Conjetura” con simples conocimientos
de Algebra.
En realidad se trata de dos procesos diferentes . La generalidad de matemáticos intenta
demostrar la Conjetura en toda su amplitud ,tal como ella menciona , los números pares.
Nuestro estudio hace referencia a diversos grupos de pares ,perfectamente diferenciados
Cada grupo se identifica con una ecuación o desigualdad diferente .Comenzamos por
demostrar la validez de la Conjetura , para todos los pares ≡ ( 10 +12d ) módulo 72,
continuamos demostrándolo para los pares ≡ ( 4 + 12 d ) módulo 72 , después para los
pares = 6 n , y finalmente para los pares ≡ ( 2 + 6 n ) módulo 72..
Las ecuaciones que definen estos grupos , no pueden ser más simples , pues se trata de
ecuaciones lineales .
2
PRIMERA PARTE
FACTORIZACION
Iniciamos nuestro estudio dividiendo los números impares , previa eliminación de los
que son divisibles por tres , en grupos según su congruencia módulo 36 .
Hemos elegido este módulo , por ser de la forma 2 ʸ . 3 ʷ . Es decir que habría sido
válido cualquier módulo que solo tuviese como divisores el 2 y 3. Las congruencias son:
5 ; 11; 17 ; 23 ; 29 ; 35 , que a su vez son congruentes 5 , módulo 6.
1 ; 7 ; 13 ; 19 ; 25 ; 31 , que son congruentes 1 , módulo 6.
Por definición quedan excluidos los congruentes 2 ,4 y 3 ,los dos primeros por ser pares
y el último ,por ser divisibles por 3.
La diferencia entre los congruentes cinco y uno estriba, en que los números compuestos
congruentes cinco , N = y . z ; y ≡ 5 ( mód.6 ) ; z ≡ 1 ( mód.6 ) , y los
congruentes uno , N = y. z ; y ≡ 5 ( mód.6) ; z ≡ 5 ( mód.6 ) ó
N = y . z ; y ≡ 1( mód.6) ; z ≡ 1 ) mód.6 )
Esto hace , que estos últimos precisen de más ecuaciones para su representación.
Comenzamos analizando los congruentes 1 . módulo 6 . Indicaremos el proceso seguido
con los números 36 H + 7 , toda vez que es el mismo procedimiento a seguir con los
con los congruentes 1,13,19,25,31 .
FACTORIZACION.-I
I.- NUMEROS = 36 H + 7
Estos números , cuando son compuestos , pueden representarse como diferencia de dos
cuadrados de la forma :
(18 h ± 4) ² - ( 6 h´ + 3) ² .- A su vez, estos números les
incluimos en seis subgrupos :
( 18 x + 4 )² - ( 18 x´+ 3 )² ; ( 18 x + 4) ² - ( 18 x´ + 9 ) ² ;
( 18 x + 4 )² – ( 18 x´ + 15 )² ; ( 18 x – 4 ) ² - ( 18 x´+ 3 ) ² ;
( 18 x – 4 ) ² –( 18 x´+ 9 )² ; ( 18 x – 4 ) ² – ( 18 x´+ 15 ) ²
Para
(18 x + 4 )² - ( 18 x´+ 3 )² ,
22² - 3² = 475
40² - 21² = 1159
58² - 39² = 1843
( 18 x + 22 ) ² - ( 18 x + 3 ) ² =
475 + 684 x
40² - 3² = 1591
58² – 21² = 2223
76² - 39² = 4255
( 18 x + 40 ) ² - ( 18 x + 3 ) ² =
1591 + 1332 x
(18 x + 58 ) ² - ( 18 x + 3 ) ² =
3355 + 1980 x
58² - 3² =
76² – 21² =
94² – 39² =
3355
5335
7315
( 18 x + 22 ) ² - ( 18 x + 3 ) ² = 475 + 684 x
( 18 x + 40 ) ² - ( 18 x + 3 ) ² = 1591 + 1332 x
( 18 x + 58 ) ² - ( 18 x + 3 ) ² = 3355 + 1980 x
3
como vemos, cada término independiente es igual a 475 más la suma de los términos
de una progresión aritmética ,cuya primer término es 1116 , y la razón 648.
En cuanto a los coeficientes de “x” , son igual a 684 + 648 n
Estas diferencias de cuadrados son igual a :
475 + 324 n² + 792 n + ( 684 + 648 n) x = N;
restamos 36 j + 7 ,por ejemplo 187 , y dividimos por 36. ; N = 36 B + 187
9 n² + 22 n + 19 x + 18 n x + 8 = ó ≠ B
seguimos el mismo proceso al desarrollar los otros cinco subgrupos.
Obteniendo las seis ecuaciones :
9 n² + 14 n + 5 x + 18 nx - 2 = ó ≠ B
9 n² + 14 n + 17 x + 18 nx
= ó ≠ B
9 n² + 14 n + 11 x + 18 nx
= ó ≠ B
N = 36 B + 187
9 n² + 22 n + 7 x + 18 nx + 2 = ó ≠ B
9 n² + 22 n + 13 x + 18 nx + 6 = ó ≠ B
9 n² + 22 n + 19 x + 18 nx + 8 = ó ≠ B
Sustitutivas de estas seis ecuaciones ,se pueden aplicar estas ecuaciones lineales :
( 18 Lm + 5 L + 5 m - 9 ) / 2 = ó ≠ B
( 18 Lm + 17L + 11 m
)/2=ó≠ B
( 18 Lm + L + 7 m -10 ) / 2 = ó ≠ B
( 18 Lm + 13 L+ 13 m - 1 ) / 2 = ó ≠ B
II.- OTROS NUMEROS CONGRUENTES ( 1 + 6 D ) . MODULO 36.
Para determinar el formulario relativo a los números :
36 H + 1 ; 36 + 13 ; 36 H + 19 ; 36 H + 25 ; 36 H + 31 ;
empleamos el mismo procedimiento empleado para 36 H + 7
III.- RESUMEN DE FORMULARIO .- N ≡ ( 1 + 6 d ) , MODULO 36
N = 36H + 1N = y. z ; y < z
N = 36 B + 181
B = (N- 181 ) / 36
9 n² + 17 n + 11 x + 18 nx + 2 = ó ≠ B ; y = 18 n + 11 ; z = ( 18 n + 23 ) + 36 x
9 n² + 17 n + 5 x + 18 nx - 1 = ó ≠ B ; y = 18 n + 5 ; z = ( 18 n + 29 ) + 36 x
9 n² + 17 n + 17 x + 18 nx + 3 = ó ≠ B ; y = 18 n + 17 ; z = ( 18 n + 17 ) + 36 x
9 n² + 19 n + 13 x + 18 nx + 4 = ó ≠ B ; y = 18 n + 13 ; z = ( 18 n + 25 ) + 36 x
9 n² + 19 n + 7 x + 18 nx + 1 = ó ≠ B ; y = 18 n + 7 ; z = ( 18 n + 31 ) + 36 x
9 n² + 19 n + 19 x + 18 nx + 5 = ó ≠ B , y = 18 n + 19 ; z = ( 18 n + 19 ) + 36 x
ecuaciones sustitutivas :
( 18 Lm + 11 L + 5 m – 7 ) / 2 = ó ≠ B; N = y.z ; y = 18 L + 5 ; z = 18 m + 11
( 18 Lm + 17 L + 17 m + 6 ) / 2 = ó ≠ B; N = y.z ; y = 18 L +17 ; z = 18 m + 17
( 18 Lm + 13 L + 7 m -5 ) / 2 = ó ≠ B; N = y.z ; y = 18 L + 7 ; z = 18 m + 13
( 18 Lm +
L + m -10 ) / 2 = ó ≠ B; N = y.z ; y = 18 L + 1 ; z = 18 m + 1
N = 36H+7N = y . z ; y < z
9 n² + 14 n + 5 x + 18 nx – 2 = ó ≠
9 n² + 14 n + 17 x + 18 nx
=ó≠
9 n² + 14 n + 11 x + 18 nx
=ó≠
9 n² + 22 n + 7 x + 18 nx + 2 = ó ≠
9 n² + 22 n + 13 x + 18 nx + 6 = ó ≠
N = 36 B + 187
B ; y = 18 n + 5 ;
B ; y = 18 n + 17 ;
B ; y = 18 n + 11 ;
B ; y = 18 n + 7 ;
B ; y = 18 n + 13 ;
B = ( N – 187 ) / 36
z = ( 18 n + 23 ) + 36 x
z = ( 18 n + 11 ) + 36 x
z = ( 18 n + 17 ) + 36 x
z = ( 18 n + 37 ) + 36 x
z = ( 18 n + 31 ) + 36 x
4
9 n² + 22 n + 19 x + 18 nx + 8 = ó ≠ B ; y = 18 n + 19 ;
z = ( 18 n + 25 ) + 36 x
pueden aplicarse estas ecuaciones , o sustituirse por las siguientes lineales :
( 18 Lm + 5 L + 5 m – 9 ) / 2= ó ≠
( 18 Lm + 17 L + 11 m ) / 2= ó ≠
( 18 Lm +
L + 7 m–10)/ 2= ó ≠
( 18 Lm + 13 L+ 13 m -1 ) / 2= ó ≠
N = 36H +13
B ; N = y.z ;
B ; N = y.z ;
B ; N = y.z ;
B ; N = y.z ;
N=y.z; y<z
y=
y=
y=
y=
N = 36 B + 193
18 L + 5 ;
18 L +11 ;
18 L + 7 ;
18 L +13 ;
z=
z=
z=
z=
18 m
18 m
18 m
18 m
+ 5
+17
+ 1
+13
B = ( N – 193 ) / 36
9 n² + 29 n + 11 x + 18 nx + 9 = ó ≠ B ; y = 18 n + 11
z = ( 18 n + 47 ) + 36 x
9 n² + 29 n + 17 x + 18 nx + 14 = ó ≠ B ; y = 18 n + 17
z = ( 18 n + 41 ) + 36 x
9 n² + 29 n + 5 x + 18 nx + 2 = ó ≠ B ; y = 18 n + 5
z = ( 18 n + 53 ) + 36 x
9 n² + 25 n + 7 x + 18 nx + 3 = ó ≠ B ; y = 18 n + 7
z = ( 18 n + 43 ) + 36 x
9 n² + 25 n + 13 x + 18 nx + 8 = ó ≠ B ; y = 18 n + 13
z = ( 18 n + 37 ) + 36 x
9 n² + 25 n + 19 x + 18 nx + 11 = ó ≠ B ; y = 18 n + 19
z = ( 18 n + 31 ) + 36 x
y las ecuaciones lineales :
( 18 Lm + 11 L + 11 m -4 ) / 2 = ó ≠ B ; N = y.z ; y = 18 L +11 ; z = 18 m + 11
( 18 Lm + 17 L + 5 m – 6 ) / 2= ó ≠ B ; N = y.z ; y = 18 L + 5 ; z = 18 m + 17
( 18 Lm + 7 L + 7 m – 8 ) / 2= ó ≠ B ; N = y.z ; y = 18 L + 7 ; z = 18 m + 7
( 18 Lm + 13 L + m – 10 ) / 2= ó ≠ B ; N = y.z ; y = 18 L + 1 ; z = 18 m + 13
N= 36H +19
N=y.z;y<z
N = 36 B + 199
9 n² + 28 n + 7 x + 18 nx + 4 = ó ≠ B ;
9 n² + 28 n +19 x + 18 nx + 14 = ó ≠ B ;
9 n² + 28 n +13 x + 18 nx + 10 = ó ≠ B ;
9 n² + 26 n + 5 x + 18 nx + 1 = ó ≠ B ;
9 n² + 26 n +17 x + 18 nx + 11 = ó ≠ B ;
9 n² + 26 n +11 x + 18 nx + 7 = ó ≠ B ;
ecuaciones lineales :
( 18 Lm + 7 L + 13 m – 6 ) / 2= ó ≠ B ;
( 18 Lm + L + m -11 ) / 2= ó ≠ B ;
( 18 Lm + 5 L + 11 m - 8 ) / 2 = ó ≠ B ;
( 18 Lm + 17 L+ 17 m + 5 ) / 2= ó ≠ B ;
N = 36 H +25N = y .z ; y < z
y=
y=
y=
y=
y=
y=
18 n + 7 ;
18 n + 19 ;
18 n + 13 ;
18 n + 5 ;
18 n + 17 ;
18 n + 11 ;
B = ( N – 199 ) / 36
z = ( 18 n + 49 ) + 36 x
z = ( 18 n + 37 ) + 36 x
z = ( 18 n + 43 ) + 36 x
z = ( 18 n + 47 ) + 36 x
z = ( 18 n + 35 ) + 36 x
z = ( 18 n + 41 ) + 36 x
N = y.z ; y = 18 L + 13 ; z =
N = y.z ; y = 18 L + 1 ; z =
N = y.z ; y = 18 L + 11 ; z =
N = y.z ; y = 18 L + 17 ; z =
N = 36 B + 205
18 m + 7
18 m + 1
18 m + 5
18 m +17
B = ( N -205 ) / 36
9 n² + 23 n + 17 x + 18 nx + 8 = ó ≠ B ; y = 18 n + 17 ; z = ( 18 n + 29 ) + 36 x
9 n² + 23 n + 11 x + 18 nx + 5 = ó ≠ B ; y = 18 n + 11 ; z = ( 18 n + 35 ) + 36 x
9 n² + 23 n + 5 x + 18 nx
= ó ≠ B ; y = 18 n + 5 ; z = ( 18 n + 41 ) + 36 x
9 n² + 31 n + 7 x + 18 nx + 5 = ó ≠ B ; y = 18 n + 7 ; z = ( 18 n + 55 ) + 36 x
9 n² + 31 n + 19 x + 18 nx +17 = ó ≠ B ; y = 18 n + 19 ; z = ( 18 n + 43 ) + 36 x
9 n² + 31 n + 13 x + 18 nx +12 = ó ≠ B ; y = 18 n + 13 ; z = ( 18 n + 49 ) + 36 x
las ecuaciones sustitutivas :
( 18 Lm + 17 L + 11 m - 1 ) / 2 = ó ≠ B ; N = y.z ; y = 18 L +11 ; z = 18 m +17
( 18 Lm + 5 L + 5 m – 10 ) / 2 = ó ≠ B ; N = y.z ; y = 18 L + 5 ; z = 18 m + 5
( 18 L m + 7 L + m – 11 ) / 2 = ó ≠ B ; N = y.z ; y = 18 L + 1: z = 18 m + 7
( 18 L m + 13 L + 13 m – 2 ) / 2 = ó ≠ B ; N = y.z ; y = 18 L +13 ; z = 18 m +13
5
N = 36H + 31N = y . z ; y < z
9 n² + 16 n + 13 x + 18 nx + 1 = ó ≠
9 n² + 16 n + 7 x + 18 nx - 1 = ó ≠
9 n² + 16 n + 19 x + 18 nx + 1 = ó ≠
9 n² + 20 n + 17 x + 18 nx + 5 = ó ≠
9 n² + 20 n + 11 x + 18 nx + 3 = ó ≠
9 n² + 20 n + 5 x + 18 nx - 1 = ó ≠
ecuaciones sustitutivas :
( 18 Lm + 13 L + m –11 ) / 2 = ó ≠
( 18 Lm + 7 L + 7 m – 9 ) / 2 = ó ≠
( 18 Lm +17 L + 5 m – 7 ) / 2 = ó ≠
( 18 Lm + 11 L + 11 m - 5 ) / 2 = ó ≠
N =36 B + 211
B = ( N -211 ) / 36
B;
B;
B;
B;
B;
B;
y = 18 n + 13
y = 18 n + 7
y = 18 n + 19
y = 18 n + 17
y = 18 n + 11
y = 18 n + 5
z=
z=
z=
z=
z=
z=
( 18 n + 19 ) + 36 x
( 18 n + 25 ) + 36 x
( 18 n + 13 ) + 36 x
( 18 n + 23 ) + 36 x
( 18 n + 29 ) + 36 x
( 18 n + 35 ) + 36 x
B;
B;
B;
B;
N = y.z ; y = 18 L + 1 ;
N = y.z ; y = 18 L + 7 ;
N = y.z ; y = 18 L + 5 ;
N = y.z ; y = 18 L +11 ;
z=
z=
z=
z=
18 m +
18 m +
18 m +
18 m +
13
7
17
11
Ejemplo:
N = 2.407 ≡ 31 ( mód.36) = 29 x 83
Entre las 6 ecuaciones correspondientes a congruencia 31 ,observamos que,
y = 18 n + 11 = 29 ,luego la ecuación correspondiente es :
9 n² + 20 n + 11 x + 18 nx + 3 = ó ≠ B ; y = 18 n + 11
z = ( 18 n + 29 ) + 36 x
n=1;
z = 83 ; x = 1
B = ( N -211 ) / 36 = 61
sustituyendo los valores de “x” “n” , en la ecuación ,
9 n² + 20 n + 11 x + 18 nx + 3 = 61 , y también ,
para L = 1 ; m = 4
( 18 Lm + 11 L + 11 m - 5 ) / 2 =61 ; N = y.z ; y = 18 L +11 ; z = 18 m + 11
Mostramos otro ejemplo ,con un número primo ,
N = 2.371 ≡ 31 ( mód.36 ) = primo
B = ( N -211 ) / 36 = 60
9 n² + 16 n + 13 x + 18 nx + 1 ≠ B ≠ 60
9 n² + 16 n + 7 x + 18 nx - 1 ≠ B ≠ 60
9 n² + 16 n + 19 x + 18 nx + 1 ≠ B ≠ 60
9 n² + 20 n + 17 x + 18 nx + 5 ≠ B ≠ 60
9 n² + 20 n + 11 x + 18 nx + 3 ≠ B ≠ 60
9 n² + 20 n + 5 x + 18 nx - 1 ≠ B ≠ 60
( 18 Lm + 13 L +
m –11 ) / 2 ≠ 60
( 18 Lm + 7 L + 7 m – 9 ) / 2 ≠ 60
( 18 Lm +17 L + 5 m – 7 ) / 2 ≠ 60
( 18 Lm + 11 L + 11 m - 5 ) / 2 ≠ 60
FACTORIZACION II
I.-IMPARES CONGRUENTES CINCO , MODULO 6
Como ya hemos indicado , todo número compuesto puede representarse como
diferencia de dos cuadrados .Relativo a los N≡ 5 ( mód.6 ) ,
N(1) ≡ 5 ( módulo 36 ) = y . z ; y = 6 h + 5 ; z = 6 f + 1
N(1) = ( c + d ) ( c – d ) ; ( c + d ) = 6 h + 5 ; ( c – d ) = 6 f + 1 ; c = 3 , d = ± 2
Por deducción, siguiendo este proceso ,llegamos a la conclusión de que :
36 H + 5 = ( 6 a + 3 ) ² - ( 18 b ± 2 ) ² ; 36 H + 11 = ( 6 a ) ² – ( 18 b ± 5 ) ²
6
36 H + 17 = ( 6 a + 3 ) ² - ( 18 b ± 8 ) ² ;
36 H + 29 = ( 6 a + 3 ) ² – ( 18 b ± 4 ) ² ;
36 H + 23 = ( 6 a ) ² – ( 18 b ± 7 ) ²
36 H + 35 = ( 6 a ) ² – ( 18 b ± 1 ) ²
estudiaremos los impares congruentes cinco, módulo 36 . Estos , se identifican con :
36 H + 5 = ( 6 a + 3 ) ² - ( 18 b + 2 ) ²
36 H + 5 = ( 6 a + 3 ) ² - ( 18 b - 2 ) ²
N≡ 5 ( mód. 36 ) ; N = ( 6 a + 3)² - ( 18 b + 2 )² ; N = y . z
La sucesión de diferencias de cuadrados sería :
9² - 2² = 77
27² – 20² = 329
45² – 38² = 581
63² – 35² = 833
81² – 74² = 1085
( 18 x + 9 )² - ( 2 + 18 x )² = 77 + 252x
-----------------------------------------------------------15² - 2² = 221
33² - 20² = 689
51² - 38² = 1157
69² – 56² = 1625
87² – 74² = 2093
(18 x + 15 )² - ( 2 + 18 x )² = 221 + 468 x
------------------------------------------------------------------21² - 2² = 437
39² - 20² = 1121
57² – 38² = 1805
75² – 56² = 2489
93²- 74² = 3173
( 18 x + 21 )² - ( 2 + 18 x )² = 437 + 684 x
es decir,
(18 x +
(18 x +
(18 x +
(18 x +
9 )² – ( 2 + 18 x)² = 77 + 252 x
15 )² – ( 2 + 18 x)² = 221 + 468 x
21 )²– ( 2 + 18 x)² = 437 + 684 x
27 )²– ( 2 + 18 x)² = 725 + 900 x
---------------(18 x + 69 )² – ( 2 + 18 x)² = 4757 + 2412 x
=N
=N
=N
=N
= N,
observamos que cada término independiente es igual a 77 ,más la suma de los términos
de una progresión aritmética , en la cual , a(1) = 144 ; r = 72 ; n = ?
asímismo los coeficientes de “x” son 252 más 216 n
que será igual a :
77 + ( n² + 3 n ) / 2 × 72 + (252 + 216 n) x = N ≡ 5 ( mód.36 )
36 n² + 108 n + 252 x + 216 n x + 77 = N
restamos 36 d + 5 ,por ejemplo 185 , y dividimos por 36 ,
n ² + 3 n + 7 x + 6 n x – 3 = (N-185) / 36 :
llamamos B = (N-185) / 36
N = 36 B + 185
esto nos indica que todo impar N , de la forma ,
N≡ 5 ( mód.36) ; N = ( 6 a + 3)² - ( 18 b +2 )² ; (N – 185) / 36 = B
Si ……………. n ² + 3 n + 7 x + 6 n x – 3 = B ; N = y . z
y< z ; y = 6 n + 7 ;
z = ( 6 n + 11 ) + 36 x
y = 6 L +1
z= 6m–1
N = ( 6 L + 1) ( 6 m – 1 )
7
por otra parte , si ,
n²+3n+7x+6nx–3 ≠ B ;
N = número primo
III.-N≡ 5 ( mód. 36 ) ; N = ( 6 a + 3)² - ( 18 b - 2 )² ; N = y . z
La diferencia de cuadrados sería :
( 18 x + 21 ) ² –( 16 + 18 x ) ² = 185 + 180 x
( 18 x + 27 ) ²– ( 16 + 18 x ) ² = 473 + 396 x
( 18 x + 33 ) ² - ( 16 + 18 x ) ² = 833 + 612 x
( 18 x + 39 ) ² - ( 16 + 18 x ) ² = 1265 + 828 x
( 18 x + 45 ) ² - ( 16 + 18 x ) ² = 1769 + 1044 x
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( 18 x + 69 ) ² - ( 16 +18 x ) ²
= 4505 + 1908 x
cada término independiente corresponde a 185 más la suma de términos de una
progresión aritmética , a(1) = 288 ; r = 72 ; n = son d?
En cuanto a las coeficientes de “x” son igual a 180 más 216 n.
185 + 72 ( n² + 7 n ) /2 + ( 180 + 216 n ) x = N ≡ 5 ( mód.36)
restando 185 , y dividiendo por 36 ,
n² + 7 n + 5 x + 6 n x = ó ≠ B
en caso de desigualdad de "B" ,
36 B + 185 = N = número primo
y todo lo contrario , si n² + 7 n + 5 x + 6 n x = B
N= y.z ; y=6n+5 ;
z = 6 n + 37+ 36 x
y= 6L-1
z= 6m+1
N = ( 6 L -1 ) ( 6 m + 1 )
----------------------------------------------------------n² + 3n + 7x + 6nx – 3 = ó ≠ B
n² + 7 n + 5x + 6nx = ó ≠ B
estas dos ecuaciones pueden ser sustituidas por una sola ecuación lineal :
y=6L+1;
z=6m–1;
y = ( 6 L – 1) ; z = ( 6 m + 1 )
( 6 L+1 ) ( 6 m-1) = N = 36 L m -6 L + 6 m -1;
( 6 L -1 ) (6 m+1) =N = 36 L m +6 L – 6 m -1
N = 36 B + 185 , sustituyendo el valor de “N”, nos queda :
( 6 L m – L + m -31) / 6 = ó ≠ B
y = ( 6 L + 1 ) ; z = ( 6 m-1)
ó bien
y = ( 6 L – 1) ; z = 6 m + 1)
IV.- N=36 H+11;N=36 H+17;N=36H+23; N=36H+29;N=36 H + 35
Cuando se trata de números compuestos , pueden representarse :
36 H + 11 ………….
( 6 a ) ² - ( 18 b ± 5 ) ²
36 H + 17………….. ( 6 a + 3) ² – ( 18 b ± 8 ) ²
36 H + 23…………..
( 6 a ) ² – ( 18 b ± 7 ) ²
36 H + 29………….. ( 6 a + 3 ) ² – ( 18 b ± 4 ) ²
36 H + 35…………..
( 6 a ) ² - ( 18 b ± 1 ) ²
Siguiendo el mismo procedimiento que hemos empleado para N = 36 H + 5, nosotros
obtendremos los diferentes valores de “ B ” “ y” “z” , en función de sus congruencias ,
módulo 36 ,cuyo resumen citamos a continuación.
8
V.-RESUMEN
N = 36 H+5
N=y.z ;
y<z
N = 36 B + 185 ;B = ( N – 185 ) / 36
n ² + 3 n + 7 x + 6nx – 3 = ó ≠ B ;
y=(6n+7);
z = ( 6 n + 11 ) + 36 x
n ² + 7 n + 5 x + 6nx
=ó≠ B ;
y=(6n+5);
z = ( 6 n + 37 ) + 36 x
estas 2 ecuaciones se pueden sustituir por : ( 6 Lm – L + m -31) / 6 = ó ≠ B
N = y . z ; y = 6 L+ 1 ; z = 6 m -1 ; o bien
y = 6L -1 ; z = 6 m + 1
----------------------------------------------------------
N =36H + 11
N=y.z; y<z
N = 36 B + 191
B = ( N – 191 ) / 36
n² + 4 n + 7 x + 6 nx - 2 = ó ≠ B ;
y= 6n+7
z = ( 6 n + 17 ) + 36 x
n² + 6 n + 5 x + 6 nx - 1 = ó ≠ B ;
y= 6n+5
z = ( 6 n + 31 ) + 36 x
ecuación lineal,
( 6 Lm - L + m -32 ) / 6 = ó ≠ B ;
N = y . z ; y = 6 L+ 1 ; z = 6 m -1 ; o bien
y = 6L -1 ; z = 6 m + 1
----------------------------------------------------------
N = 36h +17
N=y.z; y<z
N = 36 B + 197
n² + 5 n + 7 x + 6 nx – 1 = ó ≠ B ; y = 6 n + 7
n² + 5 n + 5 x + 6 nx – 2 = ó ≠ B ; y = 6 n + 5
ecuación lineal,
( 6 LM – L + m – 33 ) / 6 = ó ≠ B ;
N = y . z ; y = 6 L+ 1 ; z = 6 m -1 ; o bien
B = ( N - 197 ) / 36
z = ( 6 n + 23 ) + 36 x
z = ( 6 n + 25 ) + 36 x
y = 6L -1 ; z = 6 m + 1
--------------------------------------------------------------
N = 36H+23
N=y.z; y<z
N = 36 B + 203
B = ( N - 203 ) / 36
n² + 4 n + 5 x + 6 nx – 3 = ó ≠ B ; y = 6 n + 5 ;
z = ( 6 n + 19 ) + 36 x
n² + 6 n + 7 x + 6 nx
=ó≠ B; y=6n+7 ;
z = ( 6 n + 29 ) + 36 x
o bien la ecuación :
( 6 Lm – L + m - 34 ) / 6 = ó ≠ B
N = y . z ; y = 6 L+ 1 ; z = 6 m -1 ; o bien
y = 6L -1 ; z = 6 m + 1
-------------------------------------------------------------------
N = 36H +29
N = y.z; y<z
N = 36 B + 209B = ( N – 209 ) / 36
n² + 3 n + 5 x + 6 nx – 4 = ó ≠ B ; y = 6 n + 5 ;
z = ( 6 n + 13 ) + 36 x
n² + 7 n + 7 x + 6 nx + 1 = ó ≠ B ; y = 6 n + 7
z = ( 6 n + 35 ) + 36 x
ecuación lineal ,
( 6 Lm – L + m -35 ) / 6= ó ≠ B ;
N = y . z ; y = 6 L+ 1 ; z = 6 m -1 ; o bien
y = 6L -1 ; z = 6 m + 1
----------------------------------------------------------------------
9
N = 36 H+35
N=y.z; y<z
N = 36 B + 215
B = ( N -215 ) / 36
n² + 2 n + 5 x + 6 nx -5 = ó ≠ B ;
y=6n+5 ;
z = ( 6 n + 7 ) + 36 x
n² + 8 n + 7 x + 6 nx +2 = ó ≠ B ;
y=6n +7;
z = ( 6 n + 41 ) + 36 x
ecuación sustitutiva :
( 6 Lm – L + m – 36 ) / 6 = ó ≠ B
N = y . z ; y = 6 L+ 1 ; z = 6 m -1 ; o bien
y = 6L -1 ; z = 6 m + 1
VI.-EJEMPLOS
N = 4.000.001 ≡ 5 ( módulo 36 )En la página anterior ,decíamos ,
N = 36 H+5
N=y.z ; y<z
n ² + 3 n + 7 x + 6nx – 3 = ó ≠ B ;
n ² + 7 n + 5 x + 6nx
=ó≠ B ;
N = 36 B + 185 ;B = ( N – 185 ) / 36
y=(6n+7);
z = ( 6 n + 11 ) + 36 x
y=(6n+5);
z = ( 6 n + 37 ) + 36 x
estas 2 ecuaciones se pueden sustituir por : ( 6 Lm – L + m -31) / 6 = ó ≠ B
N = y . z ; y = 6 L+ 1 ; z = 6 m -1 ; o bien
y = 6L -1 ; z = 6 m + 1
----------------------------------------N = 4.000.001 = ( 36 x 111.106 ) + 185 ; B = 111.106 ; N = y . z ; y < z
4.000.001 = 41 x 97.561 ; y = ( 6 n + 5 ) = 41 ;
n=6
z = ( 6 n + 37 ) + 36 x = 97.561 ;
x = 2708
n ² + 7 n + 5 x + 6nx = B = 111.106 ;
6 ² + ( 7 x 6 ) + ( 5 x 2708 ) + ( 6 x 6 x 2708 ) = 111.106
Otro ejemplo,con número primo,
N = 5.477 ≡ 5 ( mód.36 ) = primo ;
B = ( N-185 )/36 = 147
n ² + 3 n + 7 x + 6nx – 3 ≠ B ≠ 147
n ² + 7 n + 5 x + 6nx
≠ B ≠ 147
( 6 Lm – L + m -31) / 6 ≠ B ≠ 147
FACTORICACION III
I.-NUMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Si un determinado número positivo, N(1) ≡ c ( módulo 36 ) puede representarse con la
correspondiente ecuación de 36 H + c ,también podrá representarse con signo negativo
en la ecuación de 36 H + ( 36 - c ) .
Dentro del apartado RESUMEN DE FORMULARIO ( pág.4-6)y relativo a los números
congruentes uno,módulo 6 :
N= 36 B + 181 ; N = 36 B + 187……
N = 36 B + C = 36 B + ( 181 + 6 d )
0< d<6
N = 36 B + (181 + 6 d) ; - N = - 36 B – C = - 36 B - ( 181 + 6 d )
En las páginas 4 al 6 , 9 y 10 ,observamos que el valor de “C” , tiene que ser positivo.
- ( 36 B + Δ ) - [ ( 181 + 6 d ) - Δ ] = - N
10
Del mismo modo,en las páginas 9 y 10 , con relación a los números congruentes
cinco,módulo seis :
N= 36 B´ + 185 ; N = 36 B´ + 191……
N = 36 B´ + C´ = 36 B´ + ( 185 + 6 d ´)
0< d´<6
Luego,
( 181 + 6 d ) + ( 185 + 6 d ´ ) = 36 w ; 366 + 6 d + 6 d ´ = 36 w
61 + d + d ´= 6 w ;
d + d ´= 5 ;
Para , d = 0 ; d´= 5 ……N = 36 B + 181 (positivo)…… - N = -36 B´ + 215(negativo)
Para , d = 1 ; d´= 4…… N = 36 B +187 (positivo)….. – N = - 36 B´ + 209(negativo)
………………………………………………………..
Para , d = 5 ; d¨= 0……N= 36 B +211(positivo)…… - N = - 36 B´ + 185(negativo)
y viceversa,
Para , d = 0 ; d´= 5 … . N = 36 B´ +185 (positivo)…… - N = -36 B +211(negativo)
Para , d = 1 ; d´= 4…… N = 36 B´ +191 (positivo)….. – N = - 36 B +205(negativo)
………………………………………………………..
Para , d = 5 ; d¨= 0….. N = 36 B´ +215(positivo)…… - N = - 36 B + 181(negativo)
C + C ´= 396 = 36 x 11 ;
B – B´= 11
Lo veremos mejor a través de un ejemplo :
N = 71.959 ≡ 31 ( módulo 36 ) = 227 x 317 ; le corresponde le ecuación ,
N=y.z
N = 36 B + 211
9 n² + 20 n + 11 x + 18 nx + 3 = B ; y = 18 n + 11
z = ( 18 n + 29 ) + 36 x
n = 12 ; x = 2 ; B = ( N – 211) / 36 = 1993
9 n² + 20 n + 11 x + 18 nx + 3 = 1993 ; ( 1993 x 36 ) + 211 = 71.959
N = - 71.959 ≡ - 5 ( módulo 36 ) = 227 x -317 ; le corresponde le ecuación ,
n ² + 7 n + 5 x + 6nx = ó ≠ B ;
y = ( 6 n + 5 ) ; - z = ( 6 n + 37 ) + 36 ( - x )
n = 37 ; - x = - 16 ;
n ² + 7 n + 5 x + 6nx = B = - 2004
( - 2004 x 36 ) + 185 = - 71.959 , la diferencia entre los dos valores de “B” , es ,
( 185 + 211 ) / 36 = 11 , con signo contrario.
SEGUNDA PARTE
CONJETURA DE GOLDBACH
I.- INTRODUCCION
Intentaremos demostrar esta Conjetura , para pares congruentes 10 ; 22; 34 ; 46 ; 58 ;
70 , módulo 72. Que corresponden respectivamente a los impares multiplicados por
dos de :
36 H + 5 ; 36 H + 11 ; 36 H + 17 ; 36 H + 23 ; 36 H + 29 ; 36 H + 35
Habíamos dicho ,en relación con N = 36 H + 5 que ,
( 6 Lm – L + m -31 ) / 6 = ó ≠ B
B = (N – 185) / 36
Multiplicamos por 6,
[ ( 6 L + 1) ( 6 m-1) -185 ] / 36 = ó ≠ B
recordamos que si [ ( 6 L + 1) ( 6 m-1) -185 ] / 36 = B ,
11
36 B + 185 = N = número compuesto, y en el caso de que
[ ( 6 L + 1) ( 6 m-1) -185 ] / 36 ≠ B
36 B + 185 = N = número primo
si al valor de “B” le sumamos ± X ,
[ ( 6 L + 1) ( 6 m-1) -185 ] / 36 = ó ≠ B + X
[ ( 6 L + 1) ( 6 m-1) -185 ] / 36 = ó ≠ B - X
(B + X ) 36 + 185 = N(1) ;
( B-X ) 36 + 185 = N(2)
N(1) + N(2) = 2 N = Par ≡ 10 ( módulo 36 )
[ ( 6 L + 1) ( 6 m-1) -185 ] / 36 = ó ≠ B ± X ,
( 36 L m – 6 L + 6 m - 1 – 185 – 36 B ) / 36 = ó ≠ ± X ; N = 36 B +185 = Par/2
[ 36 L m – 6 L + 6 m – 1 – P/2 ] / 36 = ó ≠ ± X
[ 36 L m – 6 L + 6 m – ( P +2) /2 ] / 36 = ó ≠ ± X
6 L m – L + m - (P+2) / 12 = ó ≠ ± 6 X
dando valores a “L” , “m” , 6 L m – L + m = [ ( 7 + 6 h ) f – h ] – 1
[ ( 7 + 6 h ) f – h ] – 1 - (P+2) / 12 = ó ≠ ± 6 X
(P+2) / 12 + 1 , lo denominaremos “K”
[(7+6h)f–h]–K] = ó ≠ ± 6 X
hemos dicho que , (B + X ) 36 + 185 = N(1) ;
( B-X ) 36 + 185 = N(2)
( 36 B + 185 ) + 36 X = N(1) ;
( 36 B + 185 ) – 36 X = N (2)
( 36 B + 185 ) = N = Par/2
[[ ( 7 + 6 h ) f – h ] – K ] = ó ≠ 6 X ; [ [ ( 7 + 6 g ) t – g ] – K ] = ó ≠ - 6 X
N(1) = 36 B + 185 + 36 X ; N(2) = 36 B + 185 – 36 X
N(1) = P/2 + 36 X
N(2) = P/2 - 36 X
[[ ( 7 + 6 h ) f – h ] – K ] = ó ≠ 6 X ; [ [ ( 7 + 6 g ) t – g ] – K ] = ó ≠ - 6 X
[[ ( 7 + 6 g ) t – g ] – K ] = ó ≠ - 6 X , que es igual a
[K-[ ( 7 + 6 g )t – g ]] = ó ≠ 6 X
II.-CONJETURA DE GOLDBACH ,
Número Par ≡ ( 10 + 12 n ) ( módulo 72 )
Luego según hemos visto anteriormente ,
c [ [ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + (1-c) [ K – [ ( 7 + 6 g ) t – g ] ] = ó ≠ ± 6 X
que será la ecuación o desigualdad de la Conjetura de Goldbach.
Para ,
c [ [ ( 7 + 6 h ) f – h ]- K ] + (1-c) [ K – [ ( 7 + 6 g ) t – g ]] =
6X
y = 6h + 7 ;
z = 6 f±1 ;
v = 6g + 7 ;
w = 6 t± 1
6 X . 6 + P/2 = N(1)= y . z ; - 6 X . 6 + P/2 = N(2) = v . w
N(1) ó N(2) , ó los dos , son números compuestos
c [[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + (1-c) [ K – [ ( 7 + 6 g ) t – g ] ] ≠ 6 X
6 X . 6 + P/2 = N(1) ;
- 6 X . 6 + P/2 = N(2) ;
en este caso se trata de dos números primos .
0≤ c<2
K = (P+2)/12 + 1
Como quiera que el valor de X es :
X = a + b/6 , 6 X es un número entero ,pero no tiene por qué ser múltiplo de 6.
el valor de 6 X estará comprendido en el intervalo :
12
- P/12 < 6 X < P/12
parece ser que para P <1018 . se ha comprobado la validez de la Conjetura .
Luego estimamos que para que sea falsa esta demostración , todos los números
enteros ,positivos y negativos comprendidos en el citado intervalo , tendrían que
identificarse con :
c [ [ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + (1-c) [ K – [ ( 7 + 6 g ) t – g ]]
CONCLUSION.-1
Todo número par de la forma ,P ≡ (10 + 12 d) módulo 72 ,puede ser representado
como suma de dos números primos , siempre que se cumpla la condición :
c [ [ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + (1-c) [ K – [ ( 7 + 6 g ) t – g ] ] ≠ 6 X
en la cual, 0 ≤ c < 2 ; K = (P+2)/12 + 1 ; - P/12 < 6 X < + P/12
(6 X.6) + P/2 = Primo(1)
(-6X.6) + P/2 = Primo (2)
EJEMPLOS
Par = 20.000.002 ≡ 22 ( módulo 36 ) ; K = (Par + 2)/12 + 1 = 1.666.668
Par/2 = 10.000.001
c=0 ;c=1
6 X < Par/12
c [ [ ( 7 + 6 h) f – h ] – K ] + (1-c) [ K –[ ( 7 + 6 g) t – g ] ] = ó ≠ 6 X
6 X < Par/12
, damos un valor a 6 X , por ejemplo, 6 X = 1.000.000
( 6 x 1.000.000 ) + 10.000.001 = 16.000.001 = 641 x 24.961 ; h = 4159 ; f = 107
( 24961-7) / 6 = 4,159 ; ( 641 +1 )/ 6 = 107
( 6 x -1.000.000 ) + 10.000.001 = 4.000.001 = 41 x 97561 ; g = 16259 ; t = 7
g = (97561 – 7 )/ 6 = 16.2589 ; t = ( 41 + 1 ) / 6 = 7
como , [ [ ( 7 + 6 h) f – h ] – K ] = 6 X , origina número compuesto
también, [ K –[ ( 7 + 6 g) t – g ]] = 6 X , origina número compuesto
Números primos , 19.895.453 + 104.549 = 20.000.002
K = (Par + 2)/12 + 1 = 1.666.668 ; Par/2 = 10.000.001 ; c = 0 , c = 1
c [ [ ( 7 + 6 h) f – h ] – K ] + (1-c) [ K – [( 7 + 6 g) t – g ]] = ó ≠ 6 X
[ [ ( 7 + 6 h) f – h ] – K ] ≠ 6 X ≠ 1.684.117
[ K –[ ( 7 + 6 g) t – g ] ] ≠ 6 X ≠ 1.684.117
c [ [ ( 7 + 6 h) f – h ] – K ] + (1-c) [ K –[ ( 7 + 6 g) t – g ]] ≠ 1.684.117
( 1.684.117 x 6 ) + 10.000.001 = 19.895.453…. primo
(-1.684.117 x 6 ) + 10.000.001 =
104.549…. .primo
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Antes de continuar ,creemos conveniente ,que como quiera que ,
c [[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ K –[ ( 7 + 6 g ) t – g ]] = ó ≠ 6 X
es la ecuación o desigualdad “base” de nuestro estudio.Podemosenumerar las
expresiones en ella contenidas ,así como las relacionadas con ella.
Par = P = que es todo número par entero y positivo. = N(1) + N(2)
Número Base = NB ; cualquier número par ≡ ( 10 + 12 d ) . módulo 72
S(1) = Sumando 1 ; c [ [( 7 + 6 h ) f – h] - K ]
S(2) = Sumando 2 ; ( 1 – c) [ K –[ ( 7 + 6 g ) t – g ] ]
N(1) = número impar , no múltiplo de tres ( primo o compuesto )
N(2) = número impar, no múltiplo de tres ( primo o compuesto )
13
N(1) , cuando es compuesto = y . z ;
N(2) , cuando es compuesto = v . w
N(1) = ( 6X(1) . 6 ) + NB/2 ; N(2) = ( 6 X(2). 6 ) + NB/2
6 X = 6 X (1) ; 6 X = 6 a + 6 ( b/6)
6 X (t) = 6 X(1) + 6 X(2)
En Conjetura Goldbach ,para pares ≡ (10 + 12d) ,módulo 72 , coinciden los
valores de “Par” y de “Número Base “.
En Conjetura de Goldbach , para pares ≡ (10 + 12d) ,módulo 72 , 6 X(2) = - 6 X(1)
c= 0ó1
h , si es positivo = ( y – 7 ) / 6 ; - h ,si es negativo = ( - y - 7 ) / 6
f , si es positivo = ( z ± 1 ) / 6 ; - f , si es negativo = . ( - z ± 1 ) / 6
g , si es positivo = ( y´– 7 ) / 6 ; - g ,si es negativo = (- y´ - 7 ) / 6
t , si es positivo = ( z ± 1 ) / 6 ; - t , si es negativo = . ( - z ± 1 ) / 6
K = ( NB + 2 ) / 12 + 1
D = N(1) – N(2) ;6 X < Par/12
IV .-CONJETURA DE GOLDBACH
N ≡ ( 4 + 12 d ) , módulo 72
Las combinaciones de dos impares cuyas sumas se identifiquen con el enunciado son :
N(1) = 36 H + 5 ; N(2) = 36 H + 11
N(1) = 36 H + 5 ; N(2) = 36 H + 35
N(1) = 36 H + 11 ; N(2) = 36 H + 29
N(1) = 36 H + 17 ; N(2) = 36 H + 35
N(1) = 36 H + 35 ; N(2) = 36 H + 29
todos ellos son congruentes cinco, módulo 6 .
Par = P = ( 4 + 12 d ) , módulo 72. N B < P
N B = cualquier par ≡ ( 10 + 12 d) módulo 72
N(1) =
N(1) =
N(1) =
N(1) =
36 H + 5 ;
36 H + 11 :
36 H + 17 :
36 H + 23 ;
N(2) = 36 H + 23
N(2) = 36 H + 17
N(2) = 36 H + 23
N)2) = 36 H + 29
la ecuación base
c [ [( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ K –[ ( 7 + 6 g ) t – g ]] = ó ≠ 6 X
N(1) = 6 X(1). 6 + NB/2 ;
N(2) =(6 X(2). 6 + NB/2
N(1)+N(2) = P = 6 [ 6 X(1) + 6 X(2) ] + NB , luego ( P – NB ) / 6 = 6 X(t)
recordemos, 6 X(t) = 6 X(1) + 6 X(2) y también que 6X(1) = 6 X
luego la ecuación o desigualdad que define la Conjetura de Goldbach ,para números
pares congruentes ( 4 + 12 d ) , módulo 72 es :
c [[ ( 7 + 6 h ) f – h ]- K ] + ( 1 – c) [ ( 6 X (t) + K) -[ ( 7 + 6 g ) t – g ]] = ó ≠ 6 X
para , [[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] = 6 X ; (6X . 6 ) + NB/2 = N(1) = y . z
, para
[ ( 6 X (t) + K) -[ ( 7 + 6 g ) t – g ] ] = 6 X ; [ (6X(t)- 6X(1) ] 6 + NB/2 = y . z
y todo lo contrario ,
[[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] ≠ 6 X ; ( 6X . 6 ) + NB/2 = N(1) = número primo
[ ( 6 X (t) + K) -[ ( 7 + 6 g ) t – g]] ≠ 6 X ; [ (6X(t)- 6X(1) ] 6 + NB/2 = primo
esto es para valores de 6 X comprendidos dentro del intervalo :
(- N B / 12 ) < 6 X < ( 6 X (t) + K – 1)
CONCLUSION.-2
Todo número par de la forma, P ≡ ( 4 + 12 d ) módulo 72 ,podrá representarse
14
como suma de dos números primos siempre que ,
c [[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ ( 6 X (t) + K) -[ ( 7 + 6 g ) t – g ] ] ≠ 6 X
en la que ,
0 ≤ c < 2 ; K = (NB+2)/12 + 1 ; NB = cualquier Par ≡ ( 10 + 12 d ) ( módulo 72 )
6 X (t) = ( P- NB ) / 6
(- N B / 12 ) < 6 X < ( 6 X (t) + K – 1)
Igualmente podemos decir , que se ha demostrado que no existen contraejemplos
para valores P < 10 ^18 . Para que no sea válida esta demostración , cada uno
de los números comprendidos en el intervalo ,
-10 ^ 16 < 6 X < + 10 ^16
tendrían que identificarse con la función :
c [ [( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ ( 6 X (t) + K) -[ ( 7 + 6 g ) t – g ] ]
EJEMPLOS
Par = 12.433.132 ≡ 28 ( módulo 36 ) = P
Número Base = 10.632.130 ( es válido cualquier par ≡(10 + 12 d )módulo 72
K = (Número Base + 2 ) / 12 + 1 = 886.012
Número Base/2 = NB/2 = 5.316.065
6 X (t) = ( P – NB) / 6 = 300.167
N(1) = 9.431.609 = 11 x 857.419 ; N(2) = 3.001.523 = 2369 x 1267
c [ [ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ ( 6 X (t) + K) -[ ( 7 + 6 g ) t – g ]] =685.924
( 6 x 685.924 ) + 5.316.065 = 9.431.609
( 6 x (- 385.757) + 5.316.065 = 3.001.523
685.924 + (-385.757) = 6 X(t) = 300.167
h = (857.419-7)/ 6 = 142.902 ;
f = (11+1 )/6 = 2
g = (1267-7)/6 = 210 ;
t = (2369+1)/6 = 395
para el mismo número par , un ejemplo con dos números primos,
NB = 10.632.130 ;
NB / 2 = 5.316.065
N(1) = 10.332.071 ≡ 35 ( módulo 36 )
N(2) = 2.101.061 ≡ 29 ( módulo 36 )
K = 886.012
c [[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ ( 6 X (t) + K) - [( 7 + 6 g ) t – g ] ]≠ 836.001
( 6 x 836.001 ) + 5.316.065 = 10.332.071 , primo
[ 6 x (- 535.834) + 5.316.065 = 2.101.061 , primo
836.001 – 535.834 = 6 X (t) = 300.167
La ecuación será igual a 836.001 ,para valores h = (-1) ; g = (-1)
c [[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ ( 6 X (t) + K) -[ ( 7 + 6 g ) t – g ] ]= 836.001
en este caso , N(1) = 1 x 10.332.071 , N (2) = 1 x 2-101.061
CONJETURA DE LOS NUMEROS PRIMOS GEMELOS
“ Dos números primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro más dos
unidades “.
La Conjetura de los números primos gemelos dice :
“Existe un número infinito de primos “p” , tales que “p+2” ,también es primo” . Twin
Primes (P.Ribenboim ,1996)
Los primos gemelos son de la forma :
P(1) ≡ 5 ( módulo 6 ) ; P(2) ≡ 1 ( módulo 6 )
P(1) < P(2)
15
P(2) ,como todo impar congruente uno , módulo seis ,estará representado como número
negativo ,como ya hemos indicado.
Recordemos la ecuación o desigualdad base :
c [[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ K – [( 7 + 6 g ) t – g ] ] = ó ≠ 6 X
para 6 X = 0 ;
( 0 x 6 ) + NB/2 = NB/2 ( primo o compuesto)= N(1)
(-0 x 6) + NB/2 = NB/2 ( primo o compuesto)= N(2)
Sabemos que NB ≡ (10 + 12 d ) módulo 72 , luego NB/2 ≡ 5 ( módulo 6)
N(2) tiene su origen en , [ K – [( 7 + 6 g ) t – g ] ], como vemos, para 6X = 0 ,
N(1) = N(2).- Es decir si, NB/2 = 725 = N(1) , N(2) tendrá que ser - 727
La diferencia entre P(2) y N(2) es de - (NB/2 + NB/2 + 2) = - (NB + 2)
el valor negativo de 6 X se multiplica por 6 ,luego , la diferencia será -(NB+2)/6.
teniendo en cuenta que K = (NB+2)12 + 1 , - (NB+2)/6 = - ( 2 K- 2 )
[ K – [( 7 + 6 g ) t – g ]] le restamos ( 2 K – 2) y tendremos la ecuación o
desigualdad
que se identifica o no con los números primos gemelos.
c [[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ - ( K- 2) -[ ( 7 + 6 g ) t – g ] ] = ó ≠ 6 X
- ∞ < 6 X < - ( NB/6) , (Intervalo 1)
P(1) =negativo , P(2) = positivo
(- NB/6 ) < 6 X < ∞ ………, (Intervalo 2). P(1) = positivo , P(2) = negativo
CONCLUSION 3.Tomando como Número Base ,cualquier número congruente (10 + 12 d) (mód.72),
todo número entero , positivo o negativo que no se identifique con la ecuación
c [[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ - ( K- 2) - [( 7 + 6 g ) t – g ]] = ó ≠ 6 X
originará dos números primos gemelos , a saber :
P(1) = ( 6 X . 6 ) + NB/2
P(2) = [ 6X –(NB+2)/6](-1) 6 + NB/2
Para que no existiesen infinitos primos gemelos , sería preciso que a partir de un
número entero muy elevado , positivo o negativo , todos los enteros pudiesen ser
identificados con la ecuación.
EJEMPLO
NB = 1450; K = 122 ; 6 X = - 1030
(NB+2)/6 = 242 ; ( -1030 + 242 )(-1) = 788
( - 1030 x 6 ) + 725 = - 5455 = - 5 x 1091 ; h = -2 ; f =182
(
788 x 6 ) + 725 = 5453 = 19 x 287 ; t = 2 ; g = 48
en este caso 6 X , es decir -1030 se identifica con la ecuación
c[ [ ( 7+ 6h ) f-h ]- K ] +(1-c)[ - ( K- 2) –[ ( 7 + 6g ) t-g ] ] = - 1030
Para valores comprendidos entre , (-NB/6) < 6 X < ∞
c[ [ ( 7+ 6h ) f-h ]- K ] +(1-c) [- ( K- 2) –[ ( 7 + 6g ) t -g ] ] ≠ 6 X
NB= 1450 ; K = 122 ; 6 X = 16606
(16606 + 242 ) (-1) = -16848
( 16606 x 6 ) + 725 = 100361= primo
( -16848 x 6 ) + 725 = -100363= primo
La ecuación es diferente a 6 X ; N(1)≡5(mód.6); N(2)≡1(mód.6)
16
CONJETURA DE GOLDBACH.- PAR = 6 d
Como sabemos , dos números primos gemelos suman 6 d :
c [[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ - ( K- 2) - [( 7 + 6 g ) t – g ]] = ó ≠ 6 X
luego la ecuación es válida para Par = 6 d = N(1) + N(2) ; N(1) = ( N(2)± 2
recordemos que , 6 X (t) = 6 X + 6 X(2) ; 6 X = 6 X(1)
( 6 X . 6 ) + NB/2 = N(1)
( - 6 X(2) . 6 ) + NB/2 = N(2) (negativo)
N(1) + N(2) = Par = 6 d ; [ ( 7 + 6 g ) t – g ] es negativo ; g ó t es negativo
[ N(2) – 7 ] / 6 = [ ( 7 + 6 g ) t – g ]
Si consideramos que ,
c [ [( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ - ( K- 2) -[ ( 7 + 6 g ) t – g ] ] = 6 X = 0
[[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] = 0 :
[ - ( K- 2) - [( 7 + 6 g ) t – g ]] = 0
[ - ( K- 2 + Δ ) - ( 7 + 6 g ) t – g - Δ ] = 0
Ejemplo :
NB=1486 ; NB/2 = 743 ; K = 125 ; 6 X = 0 ; N(1) = 743 ; N)2) = -745
(743+ 748) / 6 = 6 X(t) = 248
( 0 x 6 ) + 743 ) = 743
(-248 x 6 ) + 743 ) = -745= 5 x (-149) ; g = -26 ; t = 1
-[ ( 7 + 6 g ) t – g ] = - ( - 123 ) ; - ( K- 2) = - ( 125 – 2) = -123
Para que permanezca constante el valor de 6 X = 0 , si incrementamos :
- ( K- 2 + Δ ) ,tendremos que incrementar - ( 7 + 6 g ) t – g - Δ ]
luego la ecuación o desigualdad para números pares = 6 d , será :
c[ [ ( 7+ 6h ) f-h ]- K ] +(1-c)[ [ ( 7 + 6 g ) t-g ] + 6X(t) – K ] = ó ≠ 6 X
6 X (t) = d ;
- ∞ < 6 X < (6 X (t) – K + 1)
CONCLUSION .-4
Todo número par igual a ( 6X(t) . 6 ) , se podrá representar como suma de dos
números primos , tantas veces como valores comprendidos en el intervalo
-∞ < (6 X (t) – K + 1) , no se identifiquen con la función ,
c [ [ ( 7 + 6 h ) f-h ]- K ] + (1-c) [ [ ( 7 + 6 g ) t - g ] + 6X(t) – K ]
EJEMPLO
Par = 2880 = 6 d
Núm.Base = 1474 ≡ (10+12d) mód. 72
N(1) + N(2) = 2035 + 845 = 2880 ( números compuestos)
( 18 × 6 ) + 737 =
845 ≡ 17 ( mód.36)
K = (NB+2)/12+1 = 124
( - 462 × 6 ) + 737 = - 2035 ≡ 19 ( mód.36)
N/6 = 6 X (t) = 480 = 18+462
c[[( 7 + 6 h)f – h ] – 124 ] + (1-c) [ [(7 + 6 g)t – g ] + (480- 124 ) ] = 6 X= 18
845 = 13 × 65 ; (13-7)/6 = h = 1 ; (65 +1)/6 = f = 11
2035 = 37 × ( - 55 ) ; (37-7)/6 = g = 5 ; ( -55 + 1)/ 6 = - 9 : t = - 9
VII .-CONJETURA DE GOLDBACH
Par ≡ ( 2 + 6 d ) módulo 72
Estos números pares son igual a la suma de dos impares congruentes uno , módulo seis.
Como sabemos, se representan a través de números negativos.
Partimos de la fórmula de Par ≡ ( 10 + 12 d ) módulo 72.
17
c [[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ K -[ ( 7 + 6 g ) t – g ]] = ó ≠ 6 X
NB , cualquier número ≡ ( 10 + 12 d ) módulo 72.
K = (NB+2)/12 + 1
Par (suma de dos primos) ≡ ( 2 + 6 d ) módulo 72= P
6 X (t) = ( P + NB ) / 6 ; N(1) ,negativo , N(2) , negativo
6 X < - (NB/12) , para que N(1) sea negativo.
luego la ecuación o desigualdad , será :
c [[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ - [ ( 6X(t) - K ] – [( 7 + 6 g ) t – g ] ] = ó ≠ 6 X
- ( 6X(t) – K ) < 6 X < -(NB/12)
CONCLUSION .-5
Todo número par ≡ ( 2 + 6 d ) módulo 72 , se podrá representar como suma de
dos números primos , tantas veces como valores comprendidos en el intervalo
- ( 6X(t) – K ) < -(NB/12) , no se identifiquen con la función ,
c [[ ( 7 + 6 h ) f – h] - K ] + ( 1 – c) [ - [ ( 6X(t) - K ] –[ ( 7 + 6 g ) t – g ] ]
EJEMPLO
N = - 2900 ≡ 20 ( módulo 36 )
N B = 1474
-2017 - 883) = - 2900 ( los dos números son primos )
( -270 × 6 ) + 737 = - 883 ≡ 19 ( mód.36)
(- 459 × 6 ) + 737 = - 2017 ≡ 1 ( mód.36)
6 X(t)= ( 1474 + 2900 )/6 = 729
6 X(t) – K = 729 -124 = 605 ;
c[[ 7 + 6 h) f – h] - 124 ] + (1-c) [ - 605 - [7 + 6 g)t – g ] ] ≠ 6 X ≠ -270
---------------------------------------N = -2900 ≡ 20 ( módulo 36 )
N B = 1474
-2035 - 865 = 2900 ( los dos números compuestos)
c[[ 7 + 6 h) f – h] - 124 ] + (1-c) [ - 605 - [ 7 + 6 g)t – g ] ] = -267
6 X (t) – K = ( 729 – 124 )= 605 ; 729 – 267 = 462
( - 267 x 6 ) + 737 = - 865 = (- 5 ) x 173 ; h = - 2 : f = 29
( - 452 x 6 ) + 737 = -2035 = (- 5 ) x 407 ; g = - 2 ; t = 68
VIII.-CONJETURA DE GOLDBACH
Hemos demostrado la validez de la Conjetura en función de varias congruencias de
números pares ,para módulo 72. Con lo cual procede el siguiente :
CONCLUSION FINAL
Como quiera que hemos demostrado que todo número par congruente (4+ 12 d )
(10+ 12 d ), ( 2 + 6 d ) , ( 6 d ), módulo 72 , puede representarse como una suma
de dos números primos , queda igualmente demostrado , que todo número par
mayor que 2 , puede escribirse como suma de dos primos.
18
CONJETURA DEBIL DE GOLDBACH
Como una consecuencia de la conjetura de Goldbach , es el tema del número impar
como suma de tres números primos , conocida como Conjetura débil de Goldbach.
Meditations algebraicae (Edward Waring,1770)
c[ [ ( 7+6h ) f-h ]- K ] + (1-c) [ K – [ ( 7+6 g)t – g ] ] = ó ≠
según que el valor de 6 X sea superior o inferior a N/12 :
N(1)= primo ó compuesto;
N(2) = primo
N(1) - N(2) = Par
N(3) = primo
N(3) + N(4) = Par , luego
N(4( = primo
N(1) = N(2) + N(3) + N(4)
6X
(F)
N = par
CONCLUSION.-7
Teniendo en cuenta que todo número impar , N(1) , puede representarse como
suma de un número par , “ P ” y un número primo , N (2) , y que todo número
par , “P” ,puede identificarse como suma de dos primos , N(3) y N(4) ,el impar,
N(1) , podrá representarse como suma de los 3 primos , N(2),N(3) y N(4).
LISTA DE REFERENCIAS
Ribenboim,P : Twin Primes ( 1996 )
Waring,Edward : Meditations Algebraicae ( 1770 )
Wang,Yuan : The Goldbach Conjecture ( 2002 )
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