NUMEROS PRIMOS . -MERSENNE.-FERMAT NUMEROS PRIMOS.-MERSENNE-FERMAT Marin Mersenne ( 8-9-1588 a 1-9-1648), francés,filósofo, franciscano y matemático. Pierre de Fermat ( 17-8-1601 a 12-1-1665),francés,abogado y también matemático. Marin Mersenne mantenía correspondencia con Descartes,Fermat,Galileo y otros matemáticos . Pierre de Fermat solo mantenía relación y correspondencia con Mersenne. A través de éste , Fermat daba a conocer sus progresos matemáticos. En el año 1641, Mersenne publicó un trabajo en el que dió a conocer lo que desde entonces se conocería como los "números primos de Mersenne" . Con dicho estudio demostró que : " El número "2" elevado a la potencia "P" ,(P= nº primo) restado la unidad , a veces ,no siempre , es igual a un número primo : 2 ³-1= 7 ; 2 ⁵ - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 127 ; pero (2¹¹- 1) ≠ a número primo = 23 x 89 Desconocemos la demostración de Mersenne.Una demostración podría ser : 2 ⁿ - 1= x ; 2 ⁿ = x + 1 ; multiplicado por 2 ⁿ , restamos la unidad , 2 ²ⁿ - 1 = 2 ⁿ x + 2 ⁿ - 1; 2 ²ⁿ - 1 = 2 ⁿ x + x , multiplicamos por 2ⁿ 2 ³ⁿ - 1 = 2 ²ⁿ x + 2 ⁿ x + ( 2 ⁿ - 1 ) . Con esto se demuestra que : 1º.- ( 2 ʸⁿ - 1 ) , no puede ser "primo". 2º.- Que ( 2 ʸⁿ - 1 ) tendrá los divisores de 2 ⁿ - 1 y los de 2 ʸ - 1 , entre otros . 3º.- Que "2" elevado a una potencia "P" ,( P=primo) ,puede ser número primo ,conocido como "primo de Mersenne". En cuanto a Pierre de Fermat ,hizo la siguiente conjetura : " El número "2" elevado a una potencia de "2" y sumado la unidad,es siempre número primo. Esta conjetura era válida para "2" elevado a las potencias 2,4,8 y 16 pero falla con "2" elevado a la potencia "32" , más la unidad . El fundamento de esta conjetura podría ser : 2 ⁿ +1 = x ; multiplicado por 2 2 ³ⁿ+1=2² 2 ²ⁿ + 2ⁿ ⁿx-(2 = 2ⁿ ²ⁿ- ²ⁿ;2³ⁿ+2² 1);(2 ²ⁿ ⁿ= 2 ²ⁿx; 2 ³ ⁿ = 2² ⁿ x - 2 ²ⁿ - 1 ) ≡ 0 (módulo x ) , porque 2ⁿ + 1 = x ; x ; ( 2² ⁿ - 1 ) + ( 2 ⁿ + 1 ) = 2ⁿ x como 2 ⁿ + 1 = x ; ( 2 ²ⁿ-1)≡ 0 ( módulo x ) , luego 2 ³ⁿ + 1 ≡ 0 ( módulo x ) Como quiera que todo número no potencia de "2" es de la forma : n = t ( 2 m + 1 ) , siguiendo el mismo proceso llegaríamos a la conclusión de que : 1º.- ( 2 ⁿ + 1 ) no puede ser número primo cuando n = t (2 m + 1), es decir , "n" no es potencia de dos. 2º.- Que ( 2 ⁿ + 1 ) tendrá como divisores los de 2 elevado a "t" más la unidad. 3º.- Que ( 2 ⁿ + 1 ) , cuando "n" es potencia de "2", puede ser un número primo. Después de estas consideraciones,da la impresión de que los números primos de Mersenne y los de Fermat son fruto de la investigación de un mismo matematico. Mersenne pudo ver pronto que 2 elevado a "P" menos uno , no originaba número primo en un número bajo , el 2047 , 2 ¹¹ - 1 = 2047 = 23 x 89 Fermat lo tenía más dificil , pues su conjetura falló en el número : 4.294.967.297 = 641 x 6.700.417 Por último podemos decir si bien 2 ⁿ + 1 ,para todo valor de "n" entero positivo , origina el producto de determinados números primos ,ejemplo, 2¹⁴ + 1 = 5 x 29 x 113 2 ⁿ - 1 , para todo valor de "n" , (de cero a infinito) , comprende el producto de todos los números primos . Esto fué demostrado por Fermat en su teorema : 2 elevado a "P-1" ,( P=primo) es congruente la unidad , módulo dicho número primo.