81 Área de Ματεµατιχα TEXTO SAN MATEO 2002 CONTENIDO 12. . FACTORIZACIÓN NOCION :. Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores. Ejemplo : Factoriza 20 en dos de sus divisores : 4 · 5, es decir 20 = 4 ⋅ 5 ¿ Y en álgebra, qué será factorizar una expresión algebraica ? Cuando realizamos las multiplicaciones : i) ii) 2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35 entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la multiplicación. La factorización es de extrema importancia en la Matemática, asi es que debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar. Existen varios casos de factorización : 1. FACTOR COMUN MONOMIO : Factor común monomio : es el factor que está presente en cada término del polinomio : Ejemplo N° 1: ¿ cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z ) Ejemplo N° 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a 2 - 15ab - 10 ac El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a : por lo tanto 5a2 - 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c ) Ejemplo N° 3 : ¿ Cuál es el factor común en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 El factor común es “ 6xy “ porque 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy ) Realiza tú los siguientes ejercicios : EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios : 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 6x - 12 = 24a - 12ab = 14m2n + 7mn = 8a3 - 6a2 = b4-b3 = 14a - 21b + 35 = 20x - 12xy + 4xz = 10x2y - 15xy2 + 25xy = 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 4x - 8y = 10x - 15x2 = 4m2 -20 am = ax + bx + cx = 4a3bx - 4bx = 3ab + 6ac - 9ad = 6x4 - 30x3 + 2x2 = 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 = 82 Área de Ματεµατιχα 17. 19. 20. 21. 22. TEXTO SAN MATEO 2002 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 = m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 = 18. . 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 = 3 2 8 x y − xy 2 = 4 9 1 2 3 1 3 4 1 2 5 1 4 2 a b + a b − a b + a b = 2 4 8 16 4 2 12 8 2 3 16 3 a b− ab + a b − a b= 35 5 15 25 2. FACTOR COMUN POLINOMIO : Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión : EJEMPLO N° 1. Factoriza Existe un factor común que es (a + b ) x(a + b ) + y( a + b ) = = x(a + b ) + y( a + b ) = = ( a + b )( x + y ) EJEMPLO N° 2. Factoriza 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = = 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = (m - 2n )( 2a - b ) EJERCICIOS. 23. 25. 27. 29. 31. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = x2( p + q ) + y2( p + q ) = ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = (a( a + b ) - b ( a + b ) = 24. 26. 28. 30. 32. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) = ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) = a(2 + x ) - ( 2 + x ) = (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) = 3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO. Se trata de extraer un doble factor común. EJEMPLO N°1. Factoriza ap + bp + aq + bq Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos p(a + b ) + q( a + b ) Se saca factor común polinomio (a+b)(p+q) EJERCICIOS : 33. 35. 37. 39. 41. 43. 44. 45. a2 + ab + ax + bx = ab - 2a - 5b + 10 = am - bm + an - bn = 3x2 - 3bx + xy - by = 3a - b2 + 2b2x - 6ax = ac - a - bc + b + c2 - c = 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd = ax - ay - bx + by - cx + cy = 34. 36. 38. 40. 42. ab + 3a + 2b + 6 = 2ab + 2a - b - 1 = 3x3 - 9ax2 - x + 3a = 6ab + 4a - 15b - 10 = a3 + a2 + a + 1 = 83 Área de Ματεµατιχα 46. 47. 48. 49. TEXTO SAN MATEO 2002 . 3am - 8bp - 2bm + 12 ap = 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z = 15 2 21 10 143 x − xz − xy + yz + 5 x − 7z = 4 4 3 3 2 8 4 16 am − am − bm + bn = 3 3 5 5 4. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c El trinomio de la forma x2 + bx + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso : EJEMPLO N° 1. Descomponer x2 + 6x + 5 1° Hallar dos factores que den el primer término x · x 2° Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6” 1 · 5 ó -1 ·-5 pero la suma debe ser +6 luego serán EJEMPLO Nº 2 : Factorizar (x + 1 )( x + 5 ) x2 + 4xy - 12y2 1º Hallar dos factores del primer término, o sea x2 : 2º Hallar los divisores de 12y2 , éstos pueden ser : x · x 6y · -2y ó -6y · 2y ó 4y · -3y ó -4y · 3y ó 12y · -y ó -12y · y pero la suma debe ser +4 , luego servirán 6y y -2y, es decir 2 2 x + 4xy - 12y = ( x + 6y )( x - 2y ) EJERCICIOS : Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios : 50. x2 + 4x + 3 = 51. 52. b2 + 8b + 15 = 53. 2 54. r - 12r + 27 = 55. 2 56. h - 27h + 50 = 57. 58. x2 + 14xy + 24y2 = 59. 2 60. x + 5x + 4 = 61. a2 + 7a + 10 = x2 - x - 2 = s2 - 14s + 33 = y2 - 3y - 4 = m2 + 19m + 48 = x2 - 12x + 35 = 5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA AX2+ BX + C EJEMPLO Factoriza 2x2 - 11x + 5 1º El primer término se descompone en dos factores 2x · x 84 Área de Ματεµατιχα TEXTO SAN MATEO 2002 2º Se buscan los divisores del tercer término 3º Parcialmente la factorización sería pero no sirve pues da : se reemplaza por y en este caso nos da : 5 · 1 . ó -5 · -1 ( 2x + 5 )( x + 1 ) 2x 2 + 7x + 5 ( 2x - 1 )( x - 5 ) 2x 2 - 11x + 5 EJERCICIOS : 62. 64. 66. 68. 70. 72. 74. 76. 78. 5x2 + 11x + 2 = 4x2 + 7x + 3 = 5 + 7b + 2b2 = 5c2 + 11cd + 2d2 = 6x2 + 7x - 5 = 3m2 - 7m - 20 = 5x2 + 3xy - 2y2 = 6a2 - 5a - 21 = 2a2 - 13a + 15 = 63. 65. 67. 69. 71. 73. 75. 77. 3a2 + 10ab + 7b2 = 4h2 + 5h + 1 = 7x2 - 15x + 2 = 2x2 + 5x - 12 = 6a2 + 23ab - 4b2 = 8x2 - 14x + 3 = 7p2 + 13p - 2 = 2x2 - 17xy + 15y2 = 6. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS : EJEMPLO: Factorizar 9x2 - 16y2 = Para el primer término 9x2 se factoriza en 3x · 3x y el segundo término - 16y2 se factoriza en +4y · -4y luego la factorización de 9x2 - 16y2 = ( 3x + 4y )( 3x - 4y ) EJERCICIOS : 79. 81. 83. 85. 9a2 - 25b2 = 4x2 - 1 = 36m2n2 - 25 = 169m2 - 196 n2 = 80. 82. 84. 86. 16x2 - 100 = 9p2 - 40q2 = 49x2 - 64t2 = 121 x2 - 144 k2 = 87. 9 2 49 2 a − b = 25 36 88. 1 4 9 4 x − y = 25 16 89. 91. 93. 3x2 - 12 = 8y2 - 18 = 45m3n - 20mn = 90. 92. 94. 5 - 180f2 = 3x2 - 75y2 = 2a5 - 162 a3 = 7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO : Ejemplo: Factorizar 9x2 - 30x + 25 = 1° Halla la raiz principal del primer término 9x2 : 2° Halla la raiz principal del tercer término 25 3x · 3x 85 Área de Ματεµατιχα TEXTO SAN MATEO 2002 . con el signo del segundo término -5 · -5 luego la factorización de 9x2 - 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )2 EJERCICIOS : 95. b2 - 12b + 36 = 97. m2 - 2m + 1 = 99. 16m2 - 40mn + 25n2 = 101.36x2 - 84xy + 49y2 = 103. 1 + 6ª + 9a2 = 105. 25a2c2 + 20acd + 4d2 = 107. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 = 96. 25x2 + 70xy + 49y2 = 98. x2 + 10x + 25 = 100. 49x2 - 14x + 1 = 102. 4a2 + 4a + 1 = 104. 25m2 - 70 mn + 49n2 = 106. 289a2 + 68abc + 4b2c2 = EJERCICIOS DIVERSOS: 108. 2ab + 4a2b - 6ab2 = 110.b2 - 3b - 28 = 112.5a + 25ab = 114.6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 116.8x2 - 128 = 118.x4 - y2 = 120. (a + b )2 - ( c + d)2 = 122. 36m2 - 12mn + n2 = 109. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 = 111. a2 + 6a + 8 = 113.bx - ab + x2 - ax = 115.ax + ay + x + y = 117.4 - 12y + 9y2 = 119.x2 + 2x + 1 - y2 = 121.a2 + 12ab + 36b2 = 123. x16 - y16 = 8. FACTORIZACIÓN PARA LOS FUTUROS MATEMÁTICOS. 1. DIFERENCIA DE CUBOS : Ejemplo : 8 – x3 = (2 – x)(4 + 2x + x2) 2. SUMA DE CUBOS : Ejemplo: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 27a3 + 1 = (3a + 1)(9a2 – 3a + 1) 125. 127. 64 – x3 = 27m3 + 6n6 = 126. 128. 8a3b3 + 27 = x6 – y6 = 129. 1 3 8 x + = 8 27 130. x3 − 1 = 64 86 TEXTO SAN MATEO 2002 Área de Ματεµατιχα . 9. UNA APLICACIÓN DE LA FACTORIZACIÓN: SIMPLIFICACIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS . 1° Simplificación de monomios : 8a 2 b 5 = 4ab 2 2ab 3 2° Simplificación de polinomios : x 2 + 7 x + 10 Ejemplo 1 2 x − 25 x 2 − 16 Ejemplo 2 2 2x + 8 x = = ( x + 2)( x + 5 ) ( x + 5)( x − 5 ) ( x + 4)( x − 4 ) 2x( x + 4 ) = = x+2 x −5 x−4 2x no te olvides : PRIMERO FACTORIZAR ....... LUEGO SIMPLIFICAR. EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN : 131. 133. 135. 137. 12a2b7 60a3b5c = 132. = 134. = 136. a2 − a − 20 a2 − 16 x2 + 6x + 8 x 2 + 7 x + 12 x 2 y3 2 x 2 y − 2x 2 y 2 = x 2 −1 xy + 3 y • = 3x + 9 x2y − y x 2 + 7 x + 10 x 2 − 4 x − 21 x 2 + 3 x − 4 ⋅ ⋅ = x 2 + 2x − 3 x 2 + 9 x + 20 x 2 − 5 x − 14 36 x 2 + 60 x + 25 a2 − 11a + 30 ( a − 5 )( 6 x − 5 ) ⋅ ⋅ = a2 − 25 36 x 2 − 25 ( 6 x + 5 )( a + 6 ) PERO EL SIGO SIENDO REEEYY...DE LA MATEMÁTICA Y DEL CARRETE 87 Área de Ματεµατιχα TEXTO SAN MATEO 2002 . 10. ECUACIONES CON DENOMINADORES ALGEBRAICOS EJEMPLO : 3x − 1 x +9 − =1 2x − 3 4 x − 6 se factoriza el 2º denominador 3x −1 x +9 − =1 2x − 3 2(2x − 3) / 2(2x-3) 2(3x-1)-(x+9) = 2(2x-3) 6x - 2 - x - 9 = 4x - 6 x = 5 EJERCICIOS. 5 7 = 138. x + 3 2x + 3 x 5 5 3 + = + 140. x + 1 8 2( x + 1) 4 x x −1 x + 1 + − =1 2 3 4 5 4 12 x + 6 + = 141. 2x + 1 x + 1 2x 2 − x − 1 139. 4 3 8 − = x − 2 x + 1 ( x + 1)( x − 2) x −1 x − 3 + =2 144. x − 3 x +1 143. 142. 5x 2x + 3 3 x + 2 4 x + 1 − + − =2 2x − 2 3 x − 3 4 x − 4 5 x − 5 148. 8x +1 4 − 7x x 2 +1 − − =0 x −1 x +1 x 2 −1 x −a x −b + =2 b a 7a − bx 5b − cx 11c − ax − − =0 152. 2a 3b 6c x − a x + 3b 3a − 13b − = 154. 2b 3a 6b 2x 2 − 5 x − 12 3 x + 4 6( x − 2 ) − = 2x + 3 7 21 2 6x + 5 3 − = 147. 4 x − 5 16 x 2 − 25 4x + 5 145. 146. 150. 5 3x − 8 7 6x − 1 − = − 2 x − 3 4 x − 6 9 10 x − 15 149. x +7 44 2x − 7 −1 = − 2 2x − 3 4 x +6 4x − 9 ax bx cx + + =1 bc ac ab x −a x +b + =2 153. x −b x −a 151. 155. ax − b2 a( b − x ) b2 − + =a a b a 11. PROBLEMAS CON ENUNCIADO. 156. ¿ De qué número hay que restar 5 1 para obtener la sexta parte de ese número? 4 88 Área de Ματεµατιχα TEXTO SAN MATEO 2002 . 157. De un estanque lleno de parafina se consumió una cantidad equivalente a los capacidad. Reponiendo 38 litros, la parafina sólo llega a las 7 de su 8 3 partes.¿Cuál es su 5 capacidad ? 158. Un depósito de agua puede llenarse por una llave en 2 horas y por otra en 6 horas. ¿ En cuánto tiempo se llenará el depósito abriendo las dos llaves a la vez ? 159. La suma de dos números es 200. Dividiendo el primero por 16 y el segundo por 10, la diferencia de los cuocientes es 6. ¿ cuáles son los números ? 160. Hallar tres números enteros consecutivos tales que la suma de los 3 del menor con los 5 5 del mayor exceda en 31 al número del medio. 6 161. Dividir 260 en dos partes de modo que el doble de la mayor dividido por el triple de la menor da 2 como cuociente y 40 de resto. 2 3 de lo que tiene Alicia, y Mónica tiene de lo que tiene Jorge. Si juntos 3 5 tienen $ 24.800. ¿ Cuánto tiene cada uno ? 162. Jorge tiene 163. Marcela tiene 18 años más que Karla. Hace 18 años, la edad de Marcela equivalía a los de la edad de Karla. Hallar las edades actuales. 5 2 164. Se ha comprado un par de zapatillas, una polera y medias deportivas por $ 25.900. Las zapatillas costaron 8 veces lo que las medias y la polera $ 3.000 menos que las zapatillas. Encuentra los precios de cada prenda. 165. Si me adivinas cuántas nueces tengo, dijo Lucho a Juanito, te regalo la cuarta parte menos 2 nueces o, lo que es lo mismo, la sexta parte más una nuez. ¿ Cuántas nueces tenía Lucho ? 166. En un ataque del enemigo, la mitad de los soldados de una patrulla cayó prisionera, la sexta parte quedo herida, la octava parte murió y se salvaron 25 soldados. ¿ De cuántos soldados se componía la patrulla ? 167. Si a un número se suma 5, se multiplica la suma por 3, se resta 6 del producto y se divide la diferencia por 7, se obtiene un número que tiene 5 unidades menos que el número dado. ¿ Cuál es el número ? 89 Área de Ματεµατιχα TEXTO SAN MATEO 2002 . 168. Cierto número de personas deben pagar una cuenta en partes iguales. Si cada uno paga $ 435. faltan $ 20 y si cada uno paga $ 440 sobran $ 20. ¿ A cuánto ascendía la cuenta y cuántas personas eran ? 169. Un obrero puede hacer un trabajo en 12 días y otro en 15 días. ¿ En cuánto tiempo hacen el trabajo los dos juntos ? 170. Un depósito de agua puede llenarse por una llave en 3 horas y por otra en 4 horas, pero una tercera puede vaciarlo en 6 horas. ¿ En qué tiempo se llenará el depósito abriendo las tres llaves a la vez ? 171. Calcula la edad de dos personas, sabiendo que hace 8 años, la edad de la primera era el doble de la edad de la segunda y que 12 años después de la edad actual, la edad de la segunda será 3 de la edad de la primera. 4 172. Se debe repartir $ 1.020 entre Luis, Enrique y Luciano, de modo que Enrique reciba la parte de Luciano más $ 180. y Luis 3 de 4 5 de la parte de Enrique más $ 120. ¿ Cuánto 6 recibe cada uno ? 173. En una reunión hay el doble de mujeres que de hombres, y el triple de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿ Cuántos hombres, mujeres y niños hay si en total hay 156 personas ? 5 del lado menor, mientras que el lado mayor mide 3 4 centímetros más que el último. Si el perímetro del triángulo es de 45 centímetros, encuentra la magnitud de cada lado del triángulo. 174. Uno de los lados de un triángulo mide 175. Los viajeros de un avión pertenecen a cuatro nacionalidades. En total, viajan 65 personas. Colocando en orden decreciente los números de los que corresponden a cada 2 nacionalidad, cada uno de ellos es del anterior. ¿ Cuántos viajeros de cada 3 nacionalidad hay ? 176. La suma de dos números es 240. Si se divide el número mayor por el menor, el cuociente es 3 y el resto es 8. ¿ Cuáles son los números ? Despeja la letra indicada en cada ejercicio 90 Área de Ματεµατιχα n si S = a − ar 1− r 177. a, 178. f, 179. f, 180. a , 181. vi , vf2 – vi2 = 2ad 182. F , C= 183. v − vi vf , a = f si M= L 25 + 1 F f 1 1 1 = + f f1 f2 d = vi ⋅ t + 1 a ⋅ t2 2 5 ( F − 32) 9 t TEXTO SAN MATEO 2002 .
