DISEÑO CON TRES FACTORES En esta ocasión se considera un experimento con tres factores A, B y C en niveles a, b y c, respectivamente en un diseño experimental completamente aleatorizado. Supóngase de nuevo que se tienen “n” observaciones para cada una de las abc combinaciones de tratamiento. Se procederá a esbozar las pruebas de significancia para los tres efectos principales y las interacciones involucradas. Se espera entonces se pueda utilizar la descripción dada aquí para generalizar el análisis a k>3 factores. El modelo para el experimento de tres factores está dado por: Xijkl= μ + αi + βj + γk + (αβ)ij+ (αγ)ik + (βγ)jk + (αβγ)ijk + εijkl i=1,2,……,a; j=1,2,…,b; k=1,2,…,c; y l=1,2,….,n; Dónde: αi, βj,γk son los factores principales; (αβ)ij, (αγ)ik , ( βγ)jkson los efectos de la interacción de dos factores que tienen la misma interpretación que en el experimento de dos factores. El termino (αβγ)ijk recibe el nombre de efecto de interacción de tres factores, un término que representa la no actividad de las (αβ)ij sobre los diferentes niveles de factor C. Igual que antes, la suma de todos los efectos principales es cero y la suma de cualquier subíndice de los efectos de interacción de dos y tres factores es cero. En muchas situaciones experimentales estas interacciones de orden más alto son insignificantes y sus cuadrados medio reflejan únicamente variación aleatoria, pero el análisis se hará en forma general. De nuevo, con objeto de que se puedan realizar pruebas válidas de significancia, se debe asumir que los errores son valores de variables aleatorias independientes y con distribución normal, cada una con media cero y varianza σ2. La filosofía general del análisis es la misma que utilizada para los experimentos de uno y dos factores. La suma de cuadrados se particiona en ocho términos, cada uno representa una fuente de variación de las cuales se obtienen estimaciones independientes de σ2 cuando todos efectos principales y los efectos de interacción son cero. Si los efectos de cualquier factor o interacción dados no todos son cero, entonces el cuadrado medio estimara la variancia del error más una componente debida el efecto sistemático en cuestión. Ahora se procede directamente a la parte de cálculo para obtener las sumas de cuadrados en el análisis de varianza de tres factores se requiere la siguiente notación: T….= promedio de todas las abcn observaciones. Ti...= promedio de las observaciones para el nivel i-ésimo del factor A. T.j..=promedio de las observaciones para el nivel j-ésimo del factor B. T..k.= promedio de las observaciones para el nivel k-ésimo del factor C. Tij..= promedio de las observaciones para el nivel i-ésimo de A y el nivel j-ésimo de B Ti.k.= promedio de las observaciones para el nivel i-ésimo de A y el nivel k-ésimo nivel de C T.jk.= promedio de las observaciones para el nivel j-ésimo de B y el nivel k-ésimo de C. Las sumas de los cuadrados se calculan: ∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Análisis de varianza para un experimento de tres factores de n réplicas Fuente de Variación Efectos principales Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio Razón de Varianza A SCA a-1 F1= B SCB b-1 F2= C SCC c-1 F3= AB SC(AB) (a-1)(b-1) F4= AC SC(AC) (a-1)(c-1) BC SC(BC) (b-1)(c-1) ABC SC(ABC) (a-1)(b-1)(c-1) Error SCE abc(n-1) Total SCT abcn-1 Interacción de dos factores F5= F6= Interacción de tres factores F7= Y SCE, como es usual, se obtiene por sustracción. Para el experimento de tres factores con una sola replica se puede utilizar el análisis de la tabla haciendo n=1 y utilizando la suma de cuadrados de la interacción ABC para SCE. En este caso se estará asumiendo que los efectos de interación(αβγ)ijkson todos iguales a cero de tal forma que: [ ( ( ) )( )( ) ∑ ] ( ∑ ∑ )( ( )( ) ) Esto es, SC(ABC) representa la variación debida únicamente al error experimental. Su cuadrado medio por tanto proporciona una estimación insesgada de la varianza del error. Con n=1 y SCE=SC(ABC), la suma de cuadrados del error se encuentra de las efectos principales y las interacciones de dos factores de la suma total de cuadrados. Ejemplo 1 El departamento de control de calidad de una planta de acabados textiles estudia el efecto de varios factores sobre el teñido de una tela de algodón y fibras sintéticas utilizada para fabricar camisas para caballero. Se seleccionaron tres operadores, tres duraciones del ciclo y dos temperaturas, y se tiñeron tres ejemplares pequeños de la tela bajo cada conjunto de condiciones. La tela terminada se comparó con un patrón, y se le asignó una evaluación numérica. Los datos se presentan enseguida. Analizar los datos y sacar conclusiones. Temperatura 1 23 24 25 350 Operador 2 27 28 26 3 31 32 29 50 36 35 36 34 38 39 60 28 24 27 35 35 34 Duración del ciclo 40 1 24 23 28 350 Operador 2 38 36 35 3 34 36 39 33 34 35 37 39 35 34 38 36 34 36 31 26 27 25 26 29 25 36 37 34 28 26 24 1) Modelo Xijkl=µ+ αi+ βj+γk+(αβ)ij+ (αγ)ik+ (βγ)jk+ (αβγ)ijk+Eijkl i=1,2,3 j=1,2,3 k=1,2 l=1,2,3 2) Suposiciones a) Todas las muestras provienen de poblaciones con distribución normal b) Las ab muestras tienen igual variante c) Las abc muestras son independientes 3) Hipótesis a) Para la Temperatura H0:γ 1= γ 2 H1: No todos los γ k son iguales b) Para la Duración del Ciclo H0:α1= α2= α3 H1: α1 ≠α2 ≠α3 c) Para los Operadores H0: β1= β2=β3 H1: No todos los βj son iguales d) Para la Interacción Duración de Ciclo-Operador H0: (αβ)11=(αβ)12=(αβ)13=(αβ)21=(αβ)22=(αβ)23 H1: No todos los (αβ)ijson iguales e) Para la Interacción Duración de Ciclo-Temperatura H0: (αγ)11=(αγ)12=(αγ)13=(αγ)21=(αγ)22=(αγ)23 H1: No todos los (αγ)ikson iguales f) Para la Interacción Operador-Temperatura H0:(βγ)11=(βγ)12=(βγ)13=(βγ)21=(βγ)22=(βγ)23 H1:No todos los (βγ)jk son iguales g) Para la Interacción Duración de Ciclo-Temperatura H0: (αβγ)111=(αβγ)121=(αβγ)131=(αβγ)211=(αβγ)221=(αβγ)231=(αβγ)311= (αβγ)321=(αβγ)331=(αβγ)112=(αβγ)122=(αβγ)132=(αβγ)212=(αβγ)222= (αβγ)232=(αβγ)312=(αβγ)322=(αβγ)332= H1: No todos los (αβγ)ijk son iguales 4) Cálculos Temperatura 350 Operador Duración del ciclo 40 50 60 1 23 24 25 72 36 35 36 107 28 24 27 79 2 27 28 26 81 34 38 39 111 35 35 34 104 3 31 32 29 92 33 34 35 102 26 27 25 78 350 Operador 81 84 80 245 103 107 110 320 89 86 86 261 1 24 23 28 75 37 39 35 111 26 29 25 80 2 38 36 35 109 34 38 36 108 36 37 34 107 3 34 36 39 109 34 36 31 101 28 26 24 78 96 95 102 293 105 113 102 320 90 92 83 265 SCT=55128 53770.67=1757.33 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) 53770.67=435.44 53770.67=261.28 53770.67=50.07 356.23 79.37 ( ) 11.26 ( ) 54823.67 54335.56 54 093.33 54206.11 54032 53820.74 53770.67=45.63 SCE=1757.33 435.44 261.33 50.07 356.23 79.37 11.26 45.63 =518 5) Análisis de Varianza Fuente de Variación Efectos principales A B C Interacción de dos factores AB AC BC Interacción de tres factores ABC Error Total Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio Razón de Varianza F Tabla 435,44 261,33 50,07 2 2 1 217,72 130,665 50,07 15,13 9,09 3,48 3,29 3,29 4,14 356,23 79,37 11,26 4 2 2 89,06 39,685 5,63 6,19 2,76 0,39 2,66 3,29 3,29 45,63 518,00 1757,33 4 36 53 11,41 14,39 0,79 2,66 NOTA: Si la F calculada es mayor que la F tabla entonces rechazamos H0 y aceptamos H1 de donde obtenemos un nivel de significancia F0,05 la prueba del efecto principal del factor C es significativa al igual que la interacción de 2 factores AC,BC y la interacción de 3 factores. 6) Conclusión Concluimos de este análisis que la variación de la temperatura, la interacción de duración de ciclo-temperatura, operador-temperatura y la interacción de duración del ciclo-operador-temperatura afectan al teñido del algodón y a las fibras sintéticas para fabricar camisas para caballeros Ejemplo 2: En un experimento para investigar las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra, se utilizaron dos períodos (Edad A) diferentes de curado en combinación con dos Temperaturas(B) diferentes de curado y dos tierras(C) diferentes. Se hicieron dos réplicas para cada combinación de niveles de los tres factores, resultando los siguientes datos: Edad (A) Temperatura (B) 1 Tierra 2 (C) Tierra (C) 1 2 1 2 1 471 413 385 434 485 552 530 593 2 712 637 770 705 712 789 741 806 1) Modelo : 2) Suposiciones : a) Todas las muestras provienen de población con distribución normal. b) Las ab muestras tiene igual variante. c) Las abc muestras son independientes. 3) Hipótesis: Variable Respuesta: Resistencia a la compresión de la mezcla de Cemento y Tierra. Forma Verbal a) H0: La edad o períodos no influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad o períodos influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. b) Ho: La Temperatura no influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La Temperatura influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. c) H0: Los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: Los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. d) H0: La edad y la temperatura no influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad y la temperatura influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. e) H0: La edad y los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad y los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. f) H0: La temperatura y los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La temperatura y los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. g) H0: La edad, Temperatura y tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad, Temperatura y tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. Datos a = b = c =2 , n=2 N = abcn = 2x2x2x2= 16 , i=1,2 j=1,2 k=1,2 Como puede observarse en la tabla los datos obtenidos tienen valores grandes. A continuación se presentan la tabla de los datos codificados (divididos por 100); para llevar a cabo de una manera mas fácil y eficiente los cálculos matemáticos. Edad (A) Temperatura (B) 1 Tierra 1 2 2 (C) Tierra (C) 1 2 1 2 4.71 3.85 4.85 5.30 4.13 4.34 5.52 5.93 7.12 7.70 7.12 7.41 6.37 7.05 7.89 8.06 4) Calculos : Totales por celdas y111.= 4.71 + 4.13 = y211. = 7.12 + 6.37 = 13.49 8.84 y112. = 3.85 + 4.34 = 8.19 y212. = 7.70 + 7.05 = 14.75 y121. = 4.85 + 5.52 = 10.37 y221. = 7.12 + 7.89 = 15.01 y122. = 5.30 + 5.93 = 11.23 y222. = 7.41 + 8.06 = 15.47 Totales del factor A (yi… = ) Totales del factor B (y.j.. = y1.. = 8.84 + 8.19 + 10.37 + 11.23 = 38.63 y.1. = 22.33 + 22.94 = 45.27 y2... = 13.49 + 14.75 + 15.01 + 15.47 = 58.72 y.2.. = 25.38 + 26.70 = 52.08 Totales del factor C (y..k. = y..1. = 22.33 + 25.38 = 47.71 ) y..2. = 22.94 + 26.70 = 49.64 Totales de la interacción AxB (yij.. = y11.= 8.84 + 8.19 = 17.03 y21..= 13.49 + 14.75 = 28.24 ) y12.. = 10.37 + 11.23 = 21.60 y22.. = 15.01 + 15.47 = 30.48 ) Totales de la interacción AxC (yi.k. = ) y1.1.= 8.84 + 10.37 = 19.21 y2.1.= 13.49 + 15.01 = 28.50 y1.2.= 8.19 + 11.23 = 19.42 y2.2.= 14.75 + 15.47 = 30.22 Totales de la interacción BxC (y.jk. = ) y.11. = 8.84 + 13.49 = 22.33 y.21. = 10.37 + 15.01 = 25.38 y.12. = 8.19 + 14.75 = 22.94 y.22. = 11.23 + 15.47 = 26.70 Total general y….= y…. = = 4.71 + 4.13 + 3.85 + 4.34 + 4.85 +…+ 7.89 + 7.41 + 8.06 = 97.35 = 38.63 + 58.72 = 97.35 y…. = = 45.27 + 52.08 = 97.35 y…. = = 47.71 + 49.64 = 97.35 y…. = ó ó ó = 22.33 + 22.94 + 25.38 + 26.70 = 97.35 Ahora el siguiente cuadro con los datos … Edad (A) Temperatura (B) 1 2 Tierra (C) Tierra (C) 1 2 1 2 1 8.84 8.19 10.37 11.23 38.63 2 13.49 14.75 15.01 15.47 58.72 Totales BXC (y.jk.) 22.33 22.94 25.38 26.70 y…. = 97.35 y.j.. 45.27 yi… 52.08 Totales AxB Edad (A) ( yij..) Totales AxC Temperatura (B) 1 2 1 17.03 21.60 2 28.24 30.48 (yi.k.) Edad (A) Tierra (C) 1 2 1 19.21 19.42 2 28.50 30.22 Totales del factor C (y..k.) Tierra (C) 1 2 47.71 49.64 Suma de Cuadrados : = (4.71)2 + (4.73)2 + (3.85)2 +….+ (7.89)2 + (7.41)2 + (8.06)2 = 623.2289 - 592.3139063 = 30.91 Las sumas de cuadrados de los efectos principales se obtiene usando los totales de cada uno de los factores de la siguiente manera: = = 617.5394125 - 592.3139063 = 25.2255062 25.23 =595.2124125 - 592.3139063=2.8985602 2.90 La suma de cuadrados del error se obtiene: Restando a la suma total de cuadrados las sumas de cuadrados de los efectos principales, las sumas de las interacciones dobles y la suma de cuadrados de la interacción triple. SSE = SST - SSA - SSB - SSC - SSAB - SSAC - SSBC = 30.91499-25.22550-2.89850-0.23280-0.33924-0.1425063-0.03150-0.33356 = 1.7113503 5) Analisis de Varianza : Medias de Cuadrados : Las Medias de Cuadrados se obtienen dividiendo las Sumas de Cuadrados por sus grados de libertad respectivos, como se muestra a continuación. Los estadísticos para llevar a cabo la prueba de las hipótesis (F0) se obtienen dividiendo sus respectivas Medias de Cuadrados por la Media de Cuadrados del error, de la siguiente manera: Para el factor Edad (A) Para el factor Temperatura (B) Para el factor Tierra (C) (AxB) Para la interacción Edad-Tierra (AxC) (BxC) Para la interacción Edad-Temperatura Para la interacción Temperatura-Tierra Para la interacción Edad-Temperatura-Tierra (AxBxC) Acontinuaciòn se presentara la tabla ANVA con los respectivos datos hallados anteriormente. Tabla ANVA: Fuente de Variación Edad (A) Sumas Grados Medias de de Libertad de F0 1 Cuadrados 25.23 117.95 Cuadrados 25.23 Temperatura (B) 2.90 1 2.90 13.55 Tierra (C) 0.23 1 0.23 1.07 EdadxTemperatura (AxB) 0.34 1 0.34 1.59 EdadxTierra (AxC) 0.14 1 0.14 0.65 TemperturaxTierra(BxC) 0.03 1 0.03 0.14 EdadxTemperaturaxTierra (AxBxC) 0.33 1 0.33 1.54 Error 1.71 8 0.2139 Total 30.91 15 Tomando α = 0.05, encontrando para cada hipótesis a probar sus respectivos FTablas, se tiene: Ya que a = b = c = 2, entonces abc(n-1) = 2x2x2(2-1) = 8. 6) Conclusiones: Respecto a la Hipótesis a (Factor A(Edad)) Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 > FTablas (117.95 > 5.32); por lo tanto, se rechaza H0; es decir, la edad o períodos influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. Respecto a la Hipótesis b (Factor B (Temperatura)) Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 > FTablas (13.55 > 5.32); por lo tanto, se rechaza H0; es decir, la Temperatura influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. Respecto a la Hipótesis c (Factor C (Tierra)) Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (1.07 < 5.32); por lo tanto, se acepta H0; es decir, los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. Respecto a la Hipótesis d (Interacción(Edad y Temperatura)) Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (1.58 < 2.54); por lo tanto, se acepta H0; es decir, la edad y la temperatura no influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. Respecto a la Hipótesis e (Interacción(Edad y Tierra)) Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (0.66 < 2.54); por lo tanto, se acepta H0; es decir, la edad y los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. Respecto a la Hipótesis f (Interacción(Temperatura y Tierra)) Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (0.14 < 2.54); por lo tanto, se acepta H0; es decir, la temperatura y los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. Respecto a la Hipótesis g (Interacción(Edad,Temperatura y Tierra)) Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (0.55 < 2.54); por lo tanto, se acepta H0; es decir, la edad, Temperatura y tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. EJERCICIOS: 1. Los siguientes estudios datos se toman en un estudio que incluye tres factores A, B y C, todos efectos fijos: C1 A1 A2 C2 C3 B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3 15.0 14.8 15.9 16.8 14.2 13.2 15.8 15.5 19.2 18.5 13.6 14.8 15.4 12.9 11.6 14.3 13.7 13.5 22.1 12.2 13.6 14.3 13.0 10.1 13.0 12.6 11.1 11.3 17.2 16.1 18.9 15.4 12.4 12.7 17.3 7.8 14.6 15.5 14.7 17.3 17.0 13.6 14.2 15.8 11.5 18.2 14.2 13.4 16.1 18.6 15.2 15.9 14.6 12.2 a) Realice pruebas de significancia sobre todas las interacciones al nivel α=0.05 b) Realice pruebas de significancia sobre los efectos principales en el nivel α=0.05 c) Proporcione una explicación de cómo una interacción significativa encubre el efecto del factor C. 2. El método de fluorescencia de rayos X es una herramienta analítica importante para determinar la concentración de material en los propulsores sólidos de misiles. En el artículo An XrayFluorescenceMethodforAnalyzingPolybutadieneAcrylicAcid(PBAA) Propellants, QuarterlyReport, RK-TR-62-1 ArmyOrdinanceMissileCommand(1962), se postula que el proceso de mezcla del propulsor y el tiempo del análisis tienen una influencia en la homogeniedad del material y por ello sobre la precisión de las mediciones de la intensidad de rayos X. Se llevó a cabo un experimento con el uso de tres factores: A, condiciones de mezclado (4 niveles); B, el tiempo del análisis (2 niveles); y C, el método de carga del propulsor en los soportes de la muestra (caliente y temperatura ambiente). Se registraron los siguientes datos, que representan el análisis en porcentaje de peso de perclorato de amonio en un propulsor particular: Método de carga, C Caliente A1 A2 A3 A4 Temperatura Ambiente B1 38.62 37.20 B2 38.45 38.64 B1 39.82 39.15 B2 39.82 40.26 38.02 37.67 37.57 37.85 37.51 37.74 37.58 37.52 37.15 38.75 37.81 37.75 37.91 37.21 37.42 37.79 37.60 37.55 39.78 39.53 39.76 39.90 39.34 39.60 39.62 40.09 39.63 39.72 39.56 39.25 39.04 39.74 39.49 39.45 39.36 39.38 37.51 37.91 39.67 39.00 Realice un análisis de varianza con α=0.01 para probar la significancia de los efectos principal y de interacción. UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA EN INFORMATICA Y SISTEMAS Diseño con 3 factores INTEGRANTES : Jorge Maquera Parihuana Jhonatan Cabrera Jara Alan Quispe Acho Andre Valdivia Chipana Herson Urbina 2009-34080 2010-35516 2010-35524 2010-35530 2010-35558 PROFESOR : Luis Solórzano ASIGNATURA : Estadística y Probabilidades AÑO : 2º “A” TACNA-PERU 2011 FACTOR C FACTOR A A1 TOTAL B1 X1111 X1112 C1 FACTOR B B2 Bb X1211 X1b11 X1212 X1b12 B1 X1121 X1122 Cc FACTOR B B2 Bb X1221 X1b21 X1222 X1b22 TOTAL Ƭ1.11 Ƭ1.12 TOTAL Ƭ1.21 Ƭ1.22 .. .. X111n Ƭ111. X2111 X2112 .. .. .. .. X121n Ƭ121. X2211 X2212 .. .. .. .. X1b1n Ƭ1b1. X1b11 X1b12 .. .. .. .. Ƭ1.1n Ƭ1.1. Ƭ1.11 Ƭ1.12 .. .. .. .. X112n Ƭ112. X1b22 X1b22 .. .. .. .. X122n Ƭ122. X1b22 X1b22 .. .. .. .. X1b2n Ƭ1b2. X1b22 X1b22 .. .. .. .. Ƭ1.2n Ƭ1.2. Ƭ1.21 Ƭ1.22 .. .. X211n Ƭa11. Ƭ.11. X121n Ƭa21. Ƭ.21. X1b1n Ƭab1. Ƭ.b1. Ƭ1.1n Ƭi.k. Ƭ..k. X112n Ƭa12. Ƭ.12. X122n Ƭa22. Ƭ.22. X1b2n Ƭab2. Ƭ.b2. Ƭ1.2n Ƭi.k. Ƭ..k. Aa TOTAL FACTOR A A1 A2 …… Aa TOTAL FACTOR A A1 A2 …… Aa TOTAL FACTOR B B1 B2 …… Bb TOTAL B1 Ƭ11.. Ƭ21.. …… Ƭa1.. Ƭ.1.. FACTOR B B2 Ƭ12.. Ƭ22.. …… Ƭa2.. Ƭ.2.. Bb Ƭ1b.. Ƭ2b.. …… Ƭab.. Ƭ.3.. TOTAL Ƭ1... Ƭ2... …… Ƭ3... Ƭ.... C1 Ƭ1.1. Ƭ2.1. …… Ƭa.1. Ƭ..1. FACTOR C C2 Ƭ1.2. Ƭ2.2. …… Ƭa.2. Ƭ..2. Cc Ƭ1.c. Ƭ2.c. …… Ƭa.c. Ƭ..c. TOTAL Ƭ1... Ƭ2... …… Ƭ3... Ƭ.... C1 Ƭ.11. Ƭ.21. …… Ƭ.b1. Ƭ..1. FACTOR C C2 Ƭ.12. Ƭ.22. …… Ƭ.b2. Ƭ..2. Cc Ƭ.1c. Ƭ.2c. …… Ƭ.bc. Ƭ..c. TOTAL Ƭ.1.. Ƭ.2.. …… Ƭ.b.. Ƭ....