Subido por Jorg Suin

EDO-NO-HOMOGÉNEAS-Coeficientes Indeterminados

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M.Sc. Fredy Suntaxi – ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS
METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS.
Llamado también por superposición, el método consiste en determinar la solución de la función
complementaria y encontrar una solución particular donde los coeficientes 𝑎𝑖 = 0, 1,2, … , 𝑛 son
constantes, y donde 𝑔(𝑥) puede ser una constante, una función polinomial, una función
exponencial (𝑒 𝛼𝑥 ), las funciones coseno o seno (cos(𝛽𝑥) 𝑜 𝑠𝑒 𝑛(𝛽𝑥)), o sumas y productos finitos
de estas funciones.
Para ello podemos establecer una tabla de posibles soluciones particulares:
𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 𝑥𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
Forma de 𝑦𝑝 (posibles soluciones)
𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵
𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶
𝑦𝑝 = 𝐴𝑆𝑒𝑛 (3𝑥) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(3𝑥)
𝑦𝑝 = (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑆𝑒𝑛 (3𝑥) + (𝐶𝑥 + 𝐷)𝑐𝑜𝑠(3𝑥)
𝑦𝑝 = 𝐴𝑒 𝑥
𝑦𝑝 = (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒 5𝑥
𝑔(𝑥)
30x
2𝑥 2
2𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑥 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑒𝑥
𝑥 𝑒𝑥
EDO
𝑦 ′′ − 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 30𝑥
𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ − 2𝑦 = 2𝑥 2
𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑒 𝑥
𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑥
2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑦𝑝 = 𝑦1 + 𝑦2
𝑦1 = 𝐴𝑥 + 𝐵
𝑦2 = 𝐶𝑆𝑒𝑛 (2𝑥) + 𝐷𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
𝑦𝑝 = (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒 2𝑥 𝑆𝑒𝑛 (𝑥) + (𝐶𝑥 + 𝐷)𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑥𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
Ejemplos:
CASO I: En la solución particular asumida, ninguna función es una solución de la ecuación
diferencial homogénea asociada o complementaria.
Regla: La forma de 𝑦𝑝 es una combinación lineal de todas las funciones independientes que se
generan por diferenciaciones repetidas de 𝑔(𝑥).
CASO II: Una función presente en la solución particular asumida también es una solución de la
ecuación diferencial homogénea asociada o complementaria.
Regla: Si cualquier 𝑦𝑝𝑖 contiene términos que duplican en 𝑦𝑐 , entonces dicha 𝑦𝑝𝑖 debe
multiplicarse por 𝐱 𝐬 , donde 𝒔 es el entero positivo más pequeño posible que elimina la duplicidad.
EN GENERAL SE PUEDE EXPRESAR ASÍ,
g(x)
𝑝𝑛(𝑥) = 𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + 𝐴2 𝑥 2 + ⋯ + 𝐴𝑛 𝑥 𝑛
𝑃𝑛 (𝑥) . 𝑒 ∝𝑥
𝑃𝑛 (𝑥) . cos ∝ 𝑥
𝑃𝑛 (𝑥). 𝑠𝑒𝑛 ∝ 𝑥
Nota: 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑠 = 0 ,1 , 2
Yp
𝑥 𝑠 [𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + 𝐴2 𝑥 2 + ⋯ + 𝐴𝑛 𝑥 𝑛 ]
𝑠
𝑥 [(𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + 𝐴2 𝑥 2 + ⋯ + 𝐴𝑛 𝑥 𝑛 )𝑒 ∝𝑥 ]
𝑥 𝑠 [(𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + 𝐴2 𝑥 2 + ⋯ 𝐴𝑛 ) cos ∝ 𝑥]
𝑥 𝑠 [(𝐵0 + 𝐵1 𝑥 + 𝐵2 𝑥 2 + ⋯ 𝐵𝑛 𝑥 𝑛 )𝑠𝑒𝑛 ∝ 𝑥]
ESTO CON LA FINALIDAD DE EVITAR LA DUPLICIDAD, es decir, cuando se repitan las soluciones.
Ejercicios:
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1) 𝑦 ′′ − 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 30𝑥 + 3
2) 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑒 𝑥
1) Dada la ED 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 4𝑥 − 5 + 6𝑥𝑒 2𝑥 , identifique g(x) y suponga una posible 𝑦𝑝
3) 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
2) Dada la ED 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 6𝑥 2 + 2 + 𝑥𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥, identifique g(x) y suponga una posible 𝑦𝑝
4) 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
El método de coeficientes indeterminados no es aplicable a ecuaciones
dn y
d(n−1) y
d2 y
an (x) n + an−1 (x) (n−1) + ⋯ + a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y = g(x)
dx
dx
dx
dx
cuando 𝑔(𝑥) tiene la forma,
𝑔(𝑥) = ln(𝑥)
1
𝑔(𝑥) =
𝑥
𝑔(𝑥) = tan(𝑥)
𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛−1 (𝑥)
5) 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑥
Recuerde que la solución de una ecuación diferencial no homogénea está dada por la solución
asociada o complementaria y la solución particular, donde la solución particular está dada por
2) 𝑦 ′′′ + 𝑦 ′′ = 𝑒 𝑥 cos(𝑥)
dy
𝑦𝑝 = 𝑦𝑝1 (𝑥) + 𝑦𝑝2 (𝑥) + ⋯ + 𝑦𝑝𝑛 (𝑥)
Para solucionar este tipo de EDO, se deben analizar los siguientes casos:
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior mediante coeficientes
indeterminados:
1) 𝑦 ′′′ + 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 4𝑥
3) 𝑦 (4) + 𝑦 ′′′ = 1 − 𝑥 2 𝑒 −𝑥
M.Sc. Fredy Suntaxi – ECUACIONES DIFERENCIALES
Tarea en casa
Preguntas planteadas
ED de orden superior homogéneas y no homogéneas.
1) 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ − 2𝑦 = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6
2) 𝑦 ′′ − 16𝑦 = 2𝑒 4𝑥
3) 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 4𝑥 − 5 + 6𝑥𝑒 2𝑥 (se recomienda separar en dos posibles soluciones)
4) 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 6𝑥 2 + 2 + 𝑥𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 (se recomienda separar en dos posibles soluciones)
5) 𝑦 ′′′ − 3𝑦 ′′ + 4𝑦 = 𝑥𝑒 2𝑥
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