FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA DE LOS MATERIALES Tecnología y Sistemas Constructivos 1er Curso de los CFGS de la Familia de Interiores FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA DE LOS MATERIALES INTRODUCCIÓN Para ampliar el conocimiento de los materiales que hemos visto durante el curso, debemos fijar algunos conceptos generales que tienen que ver con su comportamiento al someterlos a fuerzas (esfuerzos) en diferentes condiciones. Empezaremos haciendo una pequeña e intuitiva clasificación mecánica de los materiales, para luego definir los diferentes tipos de esfuerzos que se pueden realizar sobre ellos. A continuación veremos la influencia que tiene el tipo de material y la forma que se le da en la respuesta del elemento correspondiente al aplicar un determinado esfuerzo. Por último, introduciremos el concepto de estructura y veremos algunos tipos. COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LOS MATERIALES Imaginemos una barra de un material ficticio que mide un metro de largo y con una sección cuadrada de 1 centímetro de lado. La fijamos al techo por uno de sus extremos y situamos una regla graduada por detrás de la barra, con el cero a la altura del otro extremo. Ahora vamos colgando de dicho extremo inferior sucesivas masas de un kilogramo y observamos lo siguiente: 1. Al añadir las tres primeras cargas la barra no se deforma absolutamente nada; el extremo se mantiene en el cero de la regla. 2. A partir de la cuarta carga se observa que la barra se estira 1cm cada vez. Además, si después se retira una carga se observa que el extremo sube 1 cm y la barra recupera su longitud anterior. Este comportamiento se repite hasta añadir la sexta carga. 3. Ponemos la séptima carga y ahora la barra se estira 2 cm, con la octava se estira otros 4 cm y con la novena otros 8 cm más. Por otro lado, si en cualquier momento se retira una de estas cargas, la barra no recupera del todo su longitud anterior; tiene lugar una deformación permanente. 4. Finalmente con una décima carga la barra se rompe. Toda esta información podemos representarla gráficamente en un cuadrante definido por: • un eje horizontal que indica, en kg, la carga total suspendida de la barra. • un eje vertical que indica, en cm, la posición del extremo inferior (elongación de la barra). En dicho cuadrante marcamos los puntos que corresponden a los pares de datos obtenidos y unimos dichos puntos para obtener una representación gráfica que nos permite analizar el comportamiento de la barra al aumentar la fuerza ejercida sobre ella. Todo esto se muestra a continuación. 1 Carga en kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 elongación en cm 0 0 0 0 1 2 3 5 9 17 Ruptura Se pueden diferenciar tres zonas características en el gráfico: (1) – Comportamiento RÍGIDO del material. La barra no se deforma cuando la fuerza aplicada se encuentra en este rango. La gráfica correspondiente es una un segmento recto horizontal en el cero. (2) – Comportamiento ELÁSTICO del material. La barra se estira de manera proporcional a la fuerza ejercida. Además el material recupera su forma al cesar la fuerza. La gráfica es un segmento recto con cierta pendiente en ese rango. (3) – Comportamiento PLÁSTICO del material. La elongación deja de ser proporcional a la fuerza ejercida y el material sufre deformaciones permanentes. La gráfica deja de tener forma rectilínea. (4) – RUPTURA del material, definida en el punto en el que la fuerza ejercida ya no puede ser soportada por el material y la barra pierde su integridad. Difícilmente podríamos encontrar un material cuya gráfica de la relación entre deformación y esfuerzo sea, siquiera aproximadamente, como esta. Los materiales reales suelen comportarse de tal forma que una o varias de las zonas son aparentemente inexistentes. Si coges una tiza por sus extremos y empiezas a tirar de ellos con una fuerza cada vez mayor se observa que se pasa directamente del comportamiento rígido a la ruptura. ¿Y cómo se comporta una goma o un chicle? Es por ello que los materiales suelen clasificarse mecánicamente según su comportamiento típico, el que se espera que muestren en los rangos de esfuerzos habituales en ellos o para los que han sido diseñados los objetos fabricados a partir de ellos. Por eso decimos que una tiza es rígida, una goma es elástica y un chicle es plástico, al menos cuando ya ha sido masticado. Salvo casos especiales, como los muelles apretados, no se tiene una zona de rigidez y otra zona de elasticidad puesto que los materiales se deforman proporcionalmente al esfuerzo desde el inicio; si el segmento recto inicial es poco inclinado decimos que el material es rígido y si es más inclinado entonces el material se considera elástico. 2 Las gráficas obtenidas al realizar experimentos sobre objetos reales hechos de diferentes materiales suelen ser algo más complejas que la que se muestra más arriba, al aparecer zonas de fluencia, máximos en el esfuerzo, etc. Aquí vemos un ejemplo de dichas gráficas, en donde, a propósito, están intercambiados los ejes. En este caso σ, la fuerza aplicada por sección, está en el eje vertical y ε, que es la elongación relativa, está en el eje horizontal. Finalizamos este apartado resaltando la importancia del comportamiento de los elementos ante los diferentes esfuerzos. No es suficiente asegurarse de que se puede soportar sin ruptura cierta carga si resulta que la deformación provocada termina siendo inaceptable. SOLICITACIONES Vamos a dedicar ahora un tiempo a describir esos esfuerzos que hemos estado mencionando al estudiar el comportamiento mecánico de los materiales. Pero antes debemos hacernos un poco más rigurosos en cuanto a los términos empleados. • La MASA de un cuerpo se define como la cantidad de materia del mismo y depende de la densidad del material. Cuesta más trabajo hacer alcanzar una cierta velocidad a un cuerpo de una masa determinada que a otro de menor masa. La masa se mide en kilogramos (kg). • Una FUERZA es una acción que se ejerce sobre un cuerpo y que tiende a acelerarlo. Si las circunstancias del cuerpo impiden parcial o totalmente esa aceleración entonces la fuerza produce algún tipo de deformación (elástica, plástica o ruptura) en él. En la mayoría de los casos, a nosotros nos interesa el caso estático, en el que las fuerzas no producen aceleración y sí deformaciones. La fuerza se mide en newton (N). Las fuerzas que actúan en estructuras suelen llamarse cargas en el ámbito de la construcción. o El PESO es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre sus cuerpos. Sin remontarse a fórmulas generales, baste decir que la fuerza con que nuestro planeta atrae a un cuerpo es proporcional a la masa de éste. Ese factor de proporcionalidad es 3 el valor de la aceleración con el que los objetos caerían al suelo en condiciones ideales, se designa por g y vale 9,8m/s2 o 9,8 N/kg. Esta relación directa entre el peso y la masa hace que a menudo se confundan ambos términos y por eso decimos que pesamos tantos kilogramos. Cuando decimos algo así las unidades empleadas son los kilogramos–fuerza (kgf) o kilopondios (kp), unidades que equivalen entonces a 9,8 newton. Y ahora un ejemplo para resumirlo todo: Una pelota parada de un kilogramo sufre la fuerza de la gravedad de 9,8 newton, pero sus circunstancias (el suelo) le impiden acelerarse y por tanto se deforma. • El EQUILIBRIO ESTÁTICO es aquella situación en la que las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo se compensan entre sí, con lo que no se genera ninguna aceleración. Cuando dichas fuerzas se aplican en puntos diferentes del cuerpo, sí se producen deformaciones. Estas fuerzas compensadas pueden agruparse en conjuntos de fuerzas opuestas denominados esfuerzos. Ya podemos centrarnos en las fuerzas que tienden a deformar de alguna manera los elementos tal como hemos visto al introducir el comportamiento mecánico de los materiales. Como acabamos de decir, nos basta con definir los esfuerzos o, como se llaman en construcción, las solicitaciones. Existen cinco tipos fundamentales de esfuerzos según la dirección y sentido de las fuerzas implicadas. Nos bastará con definirlos de la siguiente manera: Esfuerzo de COMPRESIÓN: Esfuerzo de TRACCIÓN: Esfuerzo de FLEXIÓN: 4 Esfuerzo de TORSIÓN: Esfuerzo CORTANTE o de CIZALLADURA: Además incluimos un tipo de flexión causada en la práctica cuando se generan esfuerzos de compresión en elementos de sección pequeña en comparación con su longitud (elementos esbeltos): Esfuerzo de PANDEO: Sobre un elemento pueden realizarse todos estos esfuerzos y combinaciones de ellos en diferentes direcciones que tienden a deformar aquel. Si además los elementos forman parte de un conjunto o estructura, los esfuerzos se transmiten a través de las uniones rígidas, puntos de apoyo, articulaciones y otras restricciones y la cosa se complica. Aun así, siempre se pueden hacer aproximaciones lo bastante precisas del conjunto de fuerzas que afectan a los objetos. 5 RESPUESTAS DE LOS DIFERENTES MATERIALES Y SECCIONES Volvamos a nuestra barra de sección cuadrada y situémosla horizontalmente sobre dos soportes en sus extremos. Conocemos las dimensiones de la barra. Puedes comprobar que su volumen es de 0,0001 m3. Si asignamos al material una densidad imaginaria de 3000 kg/m3, entonces su masa es de 0,3 kg y su peso es de 2,94 N. Ese peso es la fuerza que tira de la barra hacia el centro de la Tierra por su punto medio y que se transmite a los soportes que a su vez reaccionan con dos fuerzas hacia arriba que compensan el peso de la barra. Esto significa que tenemos un claro esfuerzo de flexión. Y si la barra no es idealmente rígida, se produce una deformación. Cuánto se deforma va a depender de tres factores: el esfuerzo (que, en este caso, depende exclusivamente del peso), el tipo y las condiciones del material con el que está hecha la barra y, por último, la geometría de esta. En lo que respecta al esfuerzo ya hemos dicho suficiente, así que vamos a ver en qué influye el material. Volvamos al principio. Si la barra estuviese hecha de un material que se comportara mecánicamente como la tiza, la veríamos casi tan recta como cuando colgaba del techo, o bien se habría partido. Así se porta la tiza. Ya te imaginas lo que pasaría si estuviera hecha de chicle masticado. Y si el material fuera algo más apropiado como madera, algún metal o algún plástico que tuviera un comportamiento elástico visible para este esfuerzo, veríamos una curva similar a la de la imagen. 6 ¿Cómo de pronunciada sería dicha curva? Eso podemos medirlo con la flecha máxima, que es el desplazamiento máximo hacia abajo que se observa en la barra. En nuestro caso sería en su punto medio. Para un elemento como este, de longitud l y sección cuadrada de arista a, la flecha (y) que se produce debido al peso propio (F) sin otras cargas, puede calcularse con esta fórmula: 5 ∙ ∙ 32 ∙ No vamos a explicar cómo se obtiene esta expresión, ya que para cada situación y tipo de elemento tendremos una fórmula diferente y, además, nos basta con resaltar que en ella se incluyen, como hemos dicho, los tres factores que determinan la deformación: • F representa el esfuerzo aplicado • E es una constante propia del material. Se llama módulo de Young y es aquella razón de proporcionalidad entre σ y ε que mencionábamos al principio. • l y a determinan la geometría del elemento. La tabla que se muestra a continuación muestra algunos valores típicos del módulo de elasticidad o de Young (MPa es megapascal, es decir un millón de pascales): Como es de esperar, las diferencias entre los valores de materiales que son muy diferentes mecánicamente, como la goma y el acero, son enormes. Para tener en cuenta otros esfuerzos y deformaciones, se definen otras constantes propias de cada material que están relacionados con estos módulos de elasticidad. Pero para el objeto de esta introducción general no es necesario entrar en más detalles. También existen tablas con otros valores como los correspondientes al límite elástico y al esfuerzo de rotura que, evidentemente, tienen también un interés esencial en el diseño y construcción de estructuras. En principio, nosotros no vamos a realizar cálculos precisos, que son generalmente complicados. Nos bastará con tener una idea del predimensionado de los elementos, es decir; ser capaces de señalar el tipo y tamaño adecuado de los elementos estructurales que se necesitan para un determinado uso. Una vez visto lo relativo a los parámetros que afectan al comportamiento del material, debemos determinar de qué manera influye la geometría particular de un elemento. Para verlo con un ejemplo vamos a suponer varias vigas de acero con la misma longitud pero con secciones de diferente forma, diferente tamaño o ambos aspectos a la vez. 7 Supongamos, para empezar que usamos una barra como la de nuestro ejemplo, pero cuya sección cuadrada tiene la arista, a’, 2 de cm en lugar de 1 cm. Es decir a’ = 2·a. Si observas la fórmula que nos daba la flecha de la barra al apoyarla sobre sus extremos, advertirás que sólo hay dos valores que van a cambiar: uno es a y el otro será F, puesto que el peso propio de la barra depende del tamaño de la sección. Veámoslo: F’ = m’ · g = V’ · d · g = a’2 · L · d · g = (2 a)2 · L · d · g = 4 · a2 · L · d · g = 4·F Por tanto la nueva flecha, y’, será: 5 ∙ 32 ∙ ∙ 5 4 ∙ ∙ 32 ∙ 2 5 4 ∙ ∙ 32 ∙ 16 1 5 ∙ 4 32 ∙ ∙ 4 Es decir, duplicar la arista de la sección hace que la flecha sea la cuarta parte de la inicial. Aunque el peso es mayor, aumenta en mayor medida la capacidad del elemento para oponerse a tal esfuerzo. ¿Y qué pasa si se cambia la forma de la sección? Pues que cambiará también la relación entre el esfuerzo (debido sólo al peso propio, en nuestro caso) y la deformación. El cálculo de la flecha máxima para el ejemplo que hemos propuesto se resolverá con la fórmula general para esas sencillas condiciones, que es la siguiente: 5 ∙ ∙ 384 ∙ Donde I es una cantidad determinada por la geometría de la sección. A la izquierda se indican los parámetros I para tres figuras elementales. La primera expresión es la que corresponde a la barra de sección cuadrada que utilizamos en nuestro ejemplo y que conduce a la primera fórmula de la flecha que hemos visto. Las expresiones se complican para otras secciones, como las IPN, IPE, etc. de la perfilería estándar en construcción. Para tales casos prácticos lo habitual es utilizar las tablas que se encuentran disponibles para obtener los datos concretos. Queda claro que el análisis de la deformación de elementos reales es generalmente complejo. Si además tenemos en cuenta otras condiciones de cargas, apoyos, uniones, etc. el problema puede llegar a ser irresoluble en la práctica sin la ayuda de programas informáticos adecuados. Para nuestros intereses, cuando no se necesite la precisión de cálculos estructurales completos, nos basta con entender los conceptos y llegar a ser capaces de hacer algún predimensionado básico. 8 TIPOLOGÍAS ESTRUCTURALES. ELEMENTOS ESTRUCTURALES SENCILLOS. Vamos a definir el término estructura, en nuestro campo. Es el conjunto de elementos típicamente rígidos, realizados en materiales adecuados como madera, acero, plástico, etc., cuya función es soportar su propio peso y aquellas otras cargas y esfuerzos que puedan derivarse del uso del conjunto. El armazón a base de vigas y pilares de un edificio cumple tal definición, pero también objetos que entran más en nuestro ámbito, como pueden ser una simple silla o una estantería. Antes de entrar en el análisis de este tipo de estructuras, veamos un par de cuestiones elementales. • El triángulo es la única figura geométricamente indeformable que puede formarse al unir segmentos. Las celosías o entramados de elementos rectos interconectados, como los de tipo Pratt, Howe, Warren, etc. son buenos ejemplos de aplicación de este principio. • El efecto mecánico de las fuerzas depende de la intensidad de las mismas y también del ángulo y de la distancia a dicho punto. Por ejemplo la deformación a flexión que se representa a continuación. Intentemos ahora diseñar adecuadamente un objeto cotidiano. Por ejemplo una estantería. Queremos anclar a la pared, mediante dos escuadras metálicas, una balda consistente en una tabla de madera. 9 La función prevista para esta estantería será sostener una colección de libros que ocupará toda la longitud de la balda. Se indica la posición de los apoyos, la longitud y anchura de la tabla, el peso distribuido y la tensión admisible y el módulo elástico de la madera en cuestión. a = 15 cm l = 100 cm b = 20 cm p = 0,6 kgf/cm σadm = 4 N/mm2 E = 10000 N/cm2 ¿Cuál será el espesor mínimo, h, de la tabla para que cumpla su función apropiadamente? Para responder a esta pregunta habrá que resolver unas cuantas ecuaciones de momentos flectores, escribir la condición para la tensión máxima y despejar el espesor, con lo que obtendremos en nuestro caso h = 1,5 cm. Utilizando las expresiones adecuadas también podremos calcular la flecha máxima correspondiente (y = 27 mm). En este ejemplo, los cálculos no son excesivamente laboriosos, aunque todavía nos quedaría considerar otros asuntos como los esfuerzos en los anclajes, según el tipo de soporte, tornillería, etc. Queda fuera de nuestra competencia realizar análisis precisos de este tipo. Lo que haremos será orientarnos con los objetos que ya existen en el mercado y acudir a las especificaciones de los fabricantes, que por norma ya han tenido que determinar todos los parámetros de sus productos según las condiciones de trabajo. Esto no significa que no nos sean útiles todos estos conceptos teóricos, puesto que estarán presentes durante el proceso de diseño, pero la mayoría de las veces será suficiente con la observación de nuestro entorno, el cumplimiento de la normativa vigente y el seguimiento de algunas reglas prácticas disponibles en prontuarios, etc. Existen, incluso, algunas páginas web que contienen herramientas de cálculo específicas para varios problemas de flexión, pandeo, etc. (por ejemplo, en www.woodbin.com/calcs/sagulator.htm - en inglés - se calcula y califica la flecha para estanterías hechas de diversas maderas a partir de los datos que proporciona el usuario) Como conclusión, resaltamos los objetivos principales de este documento: • Comprensión de los conceptos esenciales de la mecánica de los materiales • Adquisición de la terminología técnica correspondiente • Capacidad de referencia a elementos existentes a la hora de emplear y diseñar estructuras • Utilización de fichas de fabricantes y tablas de datos en normas y prontuarios. Sergio Monte. Rev. 140519 (Algunas ilustraciones se han tomado de otros documentos.) 10 11 12
