Cinemática 2

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Problemas resueltos de Física
Cinemática
Ejemplo 1:
Un móvil se desplaza hacia el norte 120 Km. empleando para ello 2 horas y luego hacia el
este 180 Km. empleando 4 horas. Determinar, expresando el resultado en m/s:
I. El vector velocidad media del primer tramo.
II. El vector velocidad media del segundo tramo.
III. El vector velocidad media del recorrido total.
Solución:
Fijamos un sistema de coordenadas cartesiano de manera que el eje x se dirige de oeste a
este y el eje y de sur a norte y ubicamos inicialmente al móvil en el origen de coordenadas.
De esta forma, la velocidad en el primer tramo será:
y en el segundo:
)
r
km )
Δr 120 km j - 0
j
v1 =
=
= 60
h
2h- 0
Δt
)
)
)
)
r
Δr 180 km i + 120 km j - (0 km i + 120 km j )
km )
=
= 45
i
v2 =
Δt
h
6 h - 2h
La velocidad media en todo el trayecto será
)
)
)
)
r
Δr 180 km i + 120 km j - (0 km i + 0 km j )
km )
km )
=
= 30
i + 20
j
v3 =
Δt
h
h
6 h - 0h
Ejemplo 2
Un móvil se desplaza en el plano de una mesa, de manera que si adosamos a ésta un
sistema de ejes X e Y con origen en un vértice, la posición del móvil en el instante t1= 3 s. es 1,2 m
en el eje X y 0.25 m en el Y . En otro instante t2= 8 s. la posición es 0,8 m en el eje X y 1,4 m en el Y.
Calcular la velocidad media entre estos instantes.
Solución:
Observemos el sistema de referencias utilizado
En éste sistema los vectores posición en los instantes indicados son:
1
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(
(
v
r (t ) = (1,2 i + 0,25 j ) m
1
(
(
v
r (t ) = (0,8 i + 1,4 j ) m
2
La velocidad media se calcula aplicando la definición
r
r
Δr
vm =
Δt
(
(
(
(
(
(
r
v
(
( m
v
r (t 2 ) − r (t1) (0,8 i + 1,4 j )m - (1,2 i + 0,25 j )m (-0,4 i + 1,15 j )m
=
=
= (-0,08 i + 0,23 j )
vm =
t 2 − t1
8s-3s
5s
s
El signo negativo en la componente en X de la velocidad corresponde al versor (- ) e
indica que el móvil se desplazó en el sentido decreciente del eje X.
Ejemplo 3
Un móvil se desplaza en una trayectoria rectilínea de manera que si la asociamos con un
eje X de coordenadas su posición en el instante en que un reloj marca 20 seg. es 50 m., cuando el
reloj indica 30 seg. la posición es 70 m, cuando el reloj indica 40 seg. la posición es 6'0 m y cuando
marca 50 seg. es 10 m. Calcular la velocidad media entre los instantes: 20 y 30 seg. ; 20 y 40 seg.;
20 y 50 seg. ; 30 y 40 seg. y 40 y 50 seg.
Solución:
Veamos nuestro sistema de referencias y asignemos nombre a los datos:
Para calcular la velocidad media en el primer intervalo aplicamos la definición:
r
r
Δr
vm =
Δt
Dado que el móvil se desplaza solo en la dirección del eje X, podemos simplificar nuestra
ecuación y expresarla solo en una componente pues:
r
Δx ( Δy ( Δz (
vm =
i+
j+ k
Δt
Δt
Δt
Y como en los ejes Y y Z no hay desplazamiento nos queda:
r
Δx (
vm =
i
Δt
2
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En el primer caso:
(
(
(
r
x 2 − x 1 70 m i - 50 m i 20 m i
m(
=
=
=2
vm =
i
t 2 − t1
30 s - 20 s
10 s
s
Obsérvese que al conocer que el movimiento es en una sola dimensión, podemos
simplificar la escritura y eliminar tanto el versor como el símbolo de vector sobre la v pues en
este caso la velocidad media podrá tomarse como un escalar y el sentido del desplazamiento
vendrá indicado con el signo del resultado del cálculo. Si el signo es positivo, significa que el móvil
se desplaza en el sentido creciente del eje X y si es negativo el desplazamiento será en el sentido
decreciente.
De aquí en adelante, siempre que podamos haremos ésta simplificación.
Ahora sí, teniendo en cuenta estas aclaraciones, resolveremos el resto del ejemplo.
Para el segundo intervalo de tiempo tenemos:
vm =
x 3 − x 1 60 m - 50 m
m
=
= 0,5
t 3 − t1
40 s - 20 s
s
Para el tercero:
vm =
x 4 − x1 10 m - 50 m
4m
m
=
== - 1,33
t 4 − t1
50 s - 20 s
3 s
s
Para el cuarto:
vm =
x 3 − x 2 60 m - 70 m
10 m
m
=
== -1
t3 − t2
40 s - 30 s
10 s
s
vm =
x 4 − x 3 10 m - 60 m
50 m
m
=
==-5
t4 − t3
50 s - 40 s
10 s
s
Para el quinto:
Discuta con sus compañeros los resultados obtenidos.
Ejemplo 4:
Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de un móvil son:
y = 20 t + 5
x = 10 t
(si se coloca un valor de t en segundos, x e y son dados en metros)
Se pide:
I.
La función y = f (x)
II.
Graficar la trayectoria.
III.
La función Vx = f ( t )
IV.
La función Vy = f ( t )
V.
La función ax = f ( t )
VI.
La función ay = f ( t )
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
XII.
La gráfica de X = f ( t )
La gráfica de Y = f ( t )
La gráfica de Vx = f ( t )
La gráfica de Vy = f ( t )
La gráfica de ax = f ( t )
La gráfica de ay = f ( t )
3
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Solución
I. Despejamos t de la segunda ecuación y lo remplazamos en la primera:
y = 20
II.
x
+ 5 = 2x + 5
10
III. Para hallar Vx(t) hay que derivar la ecuación paramétrica correspondiente de la posición:
Vx =
dx
= 20
dt
IV. Para hallar Vy(t) hay que derivar la ecuación paramétrica correspondiente de la posición:
Vy =
V. Para hallar la ax(t) derivamos nuevamente
dy
= 10
dt
ax=0
VI. Lo mismo hacemos para hallar ay(t) con la ecuación Vy(t)
VII.
ay=0
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VIII.
IX.
X.
5
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XI.
XII:
Ejemplo 5
Un móvil parte desde la posición 5 m de un sistema de referencias y se desplaza con MRU a
una velocidad de 3 m/s. Calcular su posición a los 4 s. , 7 s. y 10 s., y representar su posición y
velocidad en función del tiempo.
Solución:
Aplicamos la ecuación horaria del MRU teniendo en cuenta que la posición inicial y la
velocidad son datos:
x(t) = x 0 + v.t
x(t)= 5m + 3
m
.t
s
Luego reemplazamos los datos del tiempo en cada caso t obtenemos las distintas
posiciones:
6
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x(4s)= 5m + 3
m
. 4s = 17 m
s
x(7s)= 5m + 3
m
. 7s = 26 m
s
x(10s)= 5m + 3
m
. 10s = 35 m
s
Con estos datos trazamos los gráficos.
Ejemplo 6
Dos móviles parten simultáneamente con MRU en sentidos opuestos de dos puntos "A" y "B"
ubicados a 100 m uno del otro. El móvil que parte de "A" tiene una velocidad cuyo módulo es 10
m/s y el que parte de "B", 40 m/s. Calcular la posición y el instante en que se encuentran y
representar gráficamente la posición en función del tiempo para ambos móviles.
Solución:
Este tipo de problemas suele denominarse "de encuentro", pues en ellos siempre hay dos o
más móviles que en algún lugar de sus trayectorias se encuentran.
Para resolver éste tipo de problemas, debe fijarse un sistema de referencias y en el expresar
claramente los datos:
En este caso se ha tomado un sistema de referencias con origen en "A" y dirigido hacia "B"
de manera que la posición inicial del móvil "A" es cero y la del móvil "B" es 100 m. Debido también
al sistema de referencias adoptado la velocidad del móvil "B" queda con signo negativo pues su
sentido es contrario al sentido creciente del sistema de referencias.
Ahora deberemos aplicar la ecuación horaria del MRU, x(t) = x 0 + v.t , para cada móvil:
7
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⎧x A (t) = x A0 + v A . t
⎨
⎩x B (t) = x B0 + v B . t
m
⎧
⎪⎪x A (t) = 0 m + 10 s . t
⎨
⎪x (t) = 100 m + (- 40 ) m . t
⎪⎩ B
s
En el momento del encuentro los dos móviles deberán ocupar la misma posición en el
mismo instante, por lo tanto x y t serán iguales para ambos móviles. ( es importante tener en claro
que ésta igualdad se da si y solo sí en el instante de encuentro). Por lo tanto estamos en presencia
de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( Posición e instante de encuentro) que se
puede resolver por cualquier método. Nosotros utilizaremos el de igualación:
x A (t) = x B (t)
m
m
. t = 100 m + (- 40 ) . t
s
s
m
m
10 . t + 40 . t = 0 m + 100 m
s
s
m
50 . t = 100 m
s
100 m
t=
= 2s
m
50
s
0 m + 10
Los móviles se encuentran a 2 s. de la partida. Para calcular la posición aplicamos este
resultado a cualquiera de la ecuaciones horarias:
x A (t) = 0 m + 10
m
. 2s = 20 m
s
La posición de encuentro es 20 m. (Medidos desde el punto A según nuestro sistema de
referencias).
Veamos el gráfico.
8
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Ejemplo 7:
Un móvil parte desde el reposo con MRUV y alcanza una velocidad de 30 m/s en 5 s.
Calcular:
a- Su aceleración
b- La distancia que recorrió en dicho tiempo.
Solución:
Lo primero que se debe hacer para resolver un problema es fijar un sistema de referencias
y la posición inicial de el móvil en dicho sistema. En nuestro caso utilizaremos el eje X y el móvil
partirá desde el origen. Esta elección simplifica la resolución del problema ya que la posición
inicial será igual a cero y la posición calculada con la segunda ecuación horaria será
directamente la distancia recorrida por el móvil.
Calcularemos primero la aceleración aplicando la primera ecuación horaria y despejando:
v(t) = v 0 + a.t
a=
v(t) - v 0 30 m/s - 0
m
=
=6 2
t
5s
s
Ahora calcularemos la posición que ocupaba a los 5 seg. aplicando la segunda ecuación
horaria:
9
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1
x(t) = x 0 + v 0 . t + . a . t 2
2
m
x(5s) = 0 + 0 . t + . 6 2 . 25 s 2 = 75 m
2
s
1
Ejemplo 8:
Un móvil marcha con una velocidad de 40 m/s y comienza a frenar con MRUV hasta
detenerse en 8 s. Calcular la aceleración, la distancia que recorre y representar gráficamente la
aceleración, la velocidad y la posición en función del tiempo.
Solución:
Nuevamente debemos fijar el sistema de referencias y la posición inicial del móvil en dicho
sistema. Utilizaremos el eje X y el móvil se encontrará en el origen en el momento en que
empezamos a medir. Al igual que en el ejemplo anterior, la posición inicial será igual a cero y la
posición calculada con la segunda ecuación horaria será directamente la distancia recorrida por
el móvil.
Calculamos la aceleración:
a=
v(8s) - v 0 0 - 40 m/s
m
=
=-5 2
t
8s
s
El signo negativo nos indica que la aceleración tiene sentido contrario al sistema de
referencias.
Ahora calculamos la posición.
1
x(t) = x 0 + v 0 . t + . a . t 2
2
x(8 s) = 0 + 40
m
m
1
. 8 s + . (- 5 2 ) . 64 s 2 = 160 m
s
2
s
Representamos gráficamente:
10
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Ejemplo 9:
Un tren eléctrico marcha por una vía recta con une velocidad de 50 m/s. En un
determinado instante, invierte la polaridad de sus motores de manera que comienza a frenar con
una aceleración de 2 m/s2 . Una vez que se detiene, continúa con la misma aceleración.
Calcular:
a- ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse?
b- ¿Qué distancia recorre, desde que comienza a frenar hasta que se detiene?
c- ¿En qué instante se encuentra a 200 m del lugar en donde comenzó a frenar?
Solución:
Colocamos el sistema de referencias con el origen en el punto donde comienza a frenar y
en sentido del movimiento. Dadas estas condiciones, la aceleración tendrá signo negativo.
Calculamos el tiempo que tarda en detenerse considerando que en esta instante la
velocidad es cero.
m
v(t) - v 0
s = 25 s
t=
=
m
a
-2 2
s
0 - 50
Con éste tiempo calculamos la posición que gracias al sistema de referencias adoptado
coincidirá con la distancia recorrida.
1
x(t) = x 0 + v 0 . t + . a . t 2
2
x(t) = 0 + 50
m
m
1
. 25 s + . (-2 2 ) . 625 s 2 = 625 m
s
2
s
Por ultimo calculamos el instante en que se encuentra en la posición 200 m aplicando
nuevamente la segunda ecuación horaria y resolviéndola como una cuadrática.
1
x(t) = x 0 + v 0 . t + . a . t 2
2
m
m
1
. t - . 2 2 . t2
s
2
s
m
m
200 m - 50
. t + 1 2 . t2 = 0
s
s
200 m = 0 + 50
11
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t=
- b ± b 2 - 4.a.c 50 ± (-50)2 - 4. 1. 200
=
= 45,6 s y 4,4 s
2.a
2 .1
Como vemos hay dos soluciones ya que el móvil pasa dos veces por el punto en cuestión,
una cuando va y otra cuando vuelve.
Ejemplo 10
Una locomotora parte desde una estación con una aceleración numérica de 1m/s2 . Un pasajero
que se lamenta de no haber alcanzado al tren se encuentra en el punto de partida de la
máquina. Pasados 25 s. de partida escucha el silbato de la misma. El tren se ha movido siguiendo
una trayectoria recta. Despreciando la influencia de los factores atmosféricos y suponiendo
constante a la velocidad del sonido (330 m/s). Calcular a que distancia de la estación se
encontraba la máquina en el instante que sonó el silbato.
Solución
Establecemos un sistema de coordenadas con origen en la estación y consideramos que el tren se
mueve sobre el semieje positivo de las x. Teniendo en cuenta que el tiempo transcurrido desde
que partió el tren hasta que el pasajero demorado escucha el silbato es t=25 s. podemos concluir
que este tiempo es la suma del que transcurrió desde que el tren arrancó hasta que tocó pito (tT)
más el que tardó el sonido en regresar al punto de partida (tS) .
t=tT+tS
Llamaremos posición final del tren al valor de la coordenada cuando toca el silbato xTf. Ésta es
igual a la posición inicial del sonido, ya que desde este punto comienza a propagarse la onda
sonora con velocidad constante vs.
Planteamos las ecuaciones horarias para el tren y para el sonido.
1
⋅ a ⋅ t 2T
2
x sf = x S0 − v s ⋅ t s
xT =
Considerando que la posición final del sonido es cero, ya que el pasajero se encuentra en el
origen de coordenadas, podemos despejar e igualar las ecuaciones.
0 = x S0 − v s ⋅ t s
x S0 = v s ⋅ t s
1
⋅ a ⋅ t 2T = v s ⋅ t s
2
Despejamos ts de la ecuación que vincula los tiempos y lo remplazamos en la ecuación anterior:
tS=t-tT
1
⋅ a ⋅ t 2T = v s ⋅ (t - t T )
2
Teniendo en cuenta que t=25s , a=1m/s2 y vs=330 m/s nos queda
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1
⋅1⋅ t 2T = 330 ⋅ (25 - t T )
2
Para simplificar obviamos las unidades sabiendo que todas se encuentran en MKS
0,5 ⋅ t 2T = 8250 - 330t T
0,5 ⋅ t 2T + 330t T − 8250 = 0
La ecuación tiene dos soluciones: t=24 s y t=-684s, pero la que nos interesa es la positiva ya que
el valor negativo correspondería a algo sucedido antes de que arrancara el tren y no tiene
sentido.
Calculamos la posición del tren remplazando este tiempo en la ecuación horaria:
x Tf =
1
1
⋅ a ⋅ t 2T = ⋅ 1⋅ 24 2 = 288m
2
2
Ejemplo 11:
Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba en el vacío con una velocidad
r
2
de 40 m/s desde lo alto de una torre que mide 50 m. (Para simplificar cálculos tome g = 10 m/s ).
Calcular:
a- Velocidad con que llega a la máxima altura.
b- Altura máxima alcanzada.
c- Tiempo que tarda en tocar la tierra.
Solución:
Utilizaremos un sistema de referencias con el origen en el piso. Por
lo tanto, la posición inicial será 50 m, la velocidad inicial 40 m/s y la
aceleración de la gravedad 10 m/s2 dirigida hacia abajo.
En la máxima altura la velocidad será cero pues en ese punto el
móvil se detiene y comienza a caer. Por lo tanto: vhmax = 0
Este dato lo utilizaremos para calcular el tiempo que el móvil
tarda en alcanzar la máxima altura.
v hmax = v 0 - g . t hmax
t hmax =
v hmax - v
0
-g
m
s =4s
=
m
- 10 2
s
0 - 40
Una vez calculado el tiempo, calculamos la altura máxima:
1
y(t) = y 0 + v 0 . t - . g . t 2
2
y(t) = 50m + 40
m
s
. 4s -
1
2
. 10
m
s2
2
. 16 s = 130m
13
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Para calcular el tiempo que tarda en tocar tierra, tendremos en cuenta que en ese
instante y = 0:
1
y(t) = y 0 + v 0 . t - . g . t 2
2
0m = 50m + 40
t=
1
m
m
. t - . 10 2 . t 2
2
s
s
- b ± b 2 - 4.a.c - 40 ± (40)2 - 4. (-5). 50 - 40 - 51
=
=
= - 1,1s y 9,1s
2.a
2 . (-5)
- 10
El resultado negativo no tiene sentido físico pues corresponde a algo sucedido antes de que se
lanzara el proyectil.
Ejemplo 12:
Un cañón se dispara en el vacío, bajo un ángulo de 30º con una velocidad de 300 m/s.
Calcular:
a- La distancia desde el cañón hasta el punto donde hace impacto.
b- La altura máxima alcanzada.
c- La velocidad a los 10 seg. de ser disparado.
Solución:
a)
Primero descomponemos la velocidad:
m
m
m
. sen 30º = 300 . 0,5 = 150
s
s
s
m
m
m
v x = v . cos α = 300 . cos 30º = 300 . 0,866 = 260
s
s
s
v y0 = v . sen α = 300
Planteamos las ecuaciones horarias:
⎧x(t) = v x . t
⎪
1
⎪
2
⎨y(t) = v y0 . t - . g . t
2
⎪
⎪⎩v y (t) = v y0 - g . t
De la ecuación y(t) obtenemos el tiempo que tarda en tocar tierra, planteando que en
este momento y(t) = 0:
1
2
y(t)= v y0 . t - . g . t
2
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0 = 150
Sacamos factor común t :
m
m
1
. t - . 10 2 . t 2
s
2
s
0 = ( 150
m 1
m
- . 10 2 . t ) . t
s 2
s
Para que esta ecuación valga cero, uno de los factores debe ser cero, por lo tanto esta
ecuación tiene dos soluciones, una es t = 0, que corresponde al instante en que la bala se disparó.
y la otra:
m 1
m
0 = 150
s
- . 10
s2
2
.t
m
s = 30 s
t=
m
5 2
s
150
Esta es la solución que nos interesa y que ahora reemplazaremos en la ecuación de la
posición en X:
x(30s) = v x . t = 260
m
. 30 s = 7800 m
s
b)
Como el cuerpo tardará lo mismo en subir que en bajar, el tiempo que emplea para llegar
a la máxima altura es t = 15 s. Por lo tanto la altura máxima será:
m
m
1
1
2
2
y máx = v y0 . t - . g . t = 150
2
s
. 15 s - . 10
2
s2
. (15 s) = 1125 m
c)
La velocidad a los diez segundos tendrá una componente en X y otra en Y. En X es siempre
la misma pues se trata de un MRU.
v x = 260
m
s
En Y la calcularemos con la ecuación de la velocidad:
v y (10s) = 150
Vectorialmente se puede expresar:
m
m
m
- 10 . 10 s = 50
s
s
s
(
( m
r
v = (260 i + 50 j )
s
Si queremos calcular el módulo:
2
2
r
m⎞ ⎛ m⎞
m2
m
⎛
v = v 2x + v 2y = ⎜ 260 ⎟ + ⎜ 50 ⎟ = 70100 2 = 264,8
s⎠ ⎝
s ⎠
s
s
⎝
15