ED Mezclas

7. Desde el instante t = 0 se bombea agua fresca a razón de 3 galones/minuto en un
tanque de 60 galones lleno con una solución salina. La mezcla resultante se desborda con
la misma razón en un segundo tanque de 60 galones que inicialmente contenía sólo agua
pura, y de ahí se derrama al piso. Suponiendo una mezcla perfecta en ambos tanques,
¿en qué momento será más salada el agua del segundo tanque? ¿Y qué tan salada
estará, comparada con la solución original?
Solución. Esquema del problema.
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )

( )
Para el tanque 1
(
)
( )
( )
( ))
(
Siendo así la ecuación diferencial queda:
( )
Resolviendo por variables separables
∫
∫
Además tome
( )
( )
Utilizando la condición inicial ( )
( )
( )
Entonces
Por lo cual la cantidad de sustancia en cualquier instante t del tanque 1 es:
( )

Para el tanque 2
(
( ))
( ))
(
( )
( )
( )
( )
Siendo así la ecuación diferencial queda:
( )
Reescribiendo y solucionando la ecuación diferencial
( )
El factor integrante será
∫
( )
Por lo cual al multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante da:
( )
(
∫ (
)
)
∫
∫
∫
( )
Ahora queda solucionar la integral reemplazando el factor integrante encontrado.
( )
∫
∫(
(∫
)
(
)
)
Entonces la solución general queda:
( )
Utilizando la condición inicial
(
)
( ( )
)
( )
( )
( )
La constante será:
Reemplazando
( )
(
)
Finalmente la cantidad de sustancia en cualquier instante t del tanque 2 es:
( )
Respuestas a las preguntas planteadas:
¿En qué momento será más salada el agua del segundo tanque?
Dado que la cantidad de sal en el tanque 1 disminuirá y la cantidad de sal en el tanque de
sal lo superara, esto sucederá después del momento en que las dos cantidades sean
iguales. Luego.
( )
( )
¿Y qué tan salada estará, comparada con la solución original?
(
)
(
(
)
Luego la concentración
(
)
(
)
)
9. En 1980, el departamento de recursos naturales liberó 1000 ejemplares de una especie de pez
en un lago. En 1987, la población de estos peces en el lago se estimó en 3000. Use la ley de
Malthus para el crecimiento de poblaciones y estime la población de estos peces en el lago en el
año 2010.
Solución. Tomemos que 1987 seria t = 0 y 1987 sea t = 7, entonces:
( )

( )
Por el modelo de Malthus
Resolviendo por variables separables
∫
∫
Además tome
( )
Utilizando la condición inicial ( )
( )
( )
Entonces
Reemplazando:
( )
Utilizando la segunda condición:
( )
( )
Despejando:
( )
Entonces la población de peces en el lago en cualquier instante de tiempo está dada por
la función:
( )
Estime la población de estos peces en el lago en el año 2010.
Dado que 1987 seria t = 0 y 1987 sea t = 7 entonces 2010 seria t = 30
(
)
(
)