MÁQUINAS HIDRÁULICAS COLECCIÓN DE PROBLEMAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA
NUCLEAR Y MECÁNICA DE FLUIDOS
INGENIARITZA NUKLEARRA ETA
JARIAKINEN MEKANIKA SAILA
MÁQUINAS HIDRÁULICAS
COLECCIÓN DE PROBLEMAS
Curso 2010-2011
Profesores:
Aitor Barinaga
Gabriel Ibarra
Igor Peñalva
Kontxi Olondo
Natalia Alegría
Andoni Larreategui
Martín Garay
Índice - 2
ÍNDICE
Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas.............................................. 3
Tema 2: Triángulos de Velocidades y Ecuación de Euler............................................ 9
Tema 3: Bombas......................................................................................................... 12
Tema 4: Turbinas........................................................................................................ 54
Exámenes: 2004-2005 ................................................................................................ 67
Exámenes: 2005-2006 ................................................................................................ 78
Exámenes: 2006-2007 ................................................................................................ 87
Exámenes: 2007-2008 ................................................................................................ 98
Exámenes: 2008-2009 .............................................................................................. 108
Exámenes: 2009-2010 .............................................................................................. 116
Ejercicios resueltos ................................................................................................... 126
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas - 3
Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas
1.1. Con objeto de verificar las características de una bomba centrífuga se procede a
realizar un ensayo según el esquema de la Figura 1.1.a. Para un caudal de 0,1 [m3/s] el
manómetro diferencial de columna de mercurio indica una diferencia ∆z de
700 [mm Hg]. Los diámetros de las secciones de entrada y de salida son D1 = 0,20 [m] y
D2 = 0,15 [m]. Dichas secciones se sitúan a las cotas 4,3 [m] y 5,0 [m] respectivamente.
Se pide:
a)
b)
Determinar la energía hidráulica másica suministrada al agua por la bomba.
Determinar el valor de la potencia hidráulica de la bomba.
Hipótesis:
•
•
•
Aceleración de la gravedad.
Densidad del agua
Densidad del mercurio
g = 9,81
ρw = 1000
ρHg = 13480
[m/s2]
[kg/m3]
[kg/m3]
Figura 1.1.a. Esquema del ensayo
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas - 4
1.2. Se está proyectando un nuevo tipo de camión para bajar madera del monte una
vez sea cortada. A fin de prevenir la propagación de incendios fortuitos, el camión
deberá incluir un equipo para apagar incendios en el monte.
Para ello, se pretende que se pueda acoplar un rodete de bomba al eje del camión
de forma que sea el motor el que con el camión arrancado pero sin movimiento,
transmita el giro al rodete centrífugo.
El agua se captaría de algún riachuelo que se encuentre aproximadamente a
3,5 [m] por debajo del nivel de la carretera. A la salida de la bomba, la impulsión se
bifurca en 2 mangueras de aproximadamente 50 [m] de longitud en cada una de las
cuales se producen unas pérdidas de carga de aproximadamente 4 [m C.A.] cuando el
equipo está en operación.
En las boquillas situadas a la salida de las mangueras, las pérdidas de carga son de
0,8 [m C.A.] y se espera que el personal del camión esté capacitado para manejar las
mangueras con sus manos, de pie sobre la carretera y sosteniendo la boquilla a una
altura de 1,5 [m] sobre el nivel de la carretera.
La potencia del motor del camión es de 150 [C.V.] y el rendimiento del rodete,
para el punto de máximo rendimiento en el que se supone va operar es de 0,8 [-].
Sabiendo que las pérdidas en la aspiración son despreciables y que el caudal que
sale a gran velocidad por cada una de las 2 mangueras es de 50 [L/s], calcular el
diámetro de las boquillas a acoplar a la salida de las mismas.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas - 5
1.3. Se está procediendo a la realización de un ensayo de características de una
bomba axial sumergible emplazada en una cántara o foso de aspiración conectado
directamente a un río. Desde el citado foso se bombeará el agua a un canal dotado de un
vertedero de pared gruesa por medio de una tubería de impulsión cuyo diámetro interior
es 400 [mm]. El diámetro interior de la sección de impulsión, donde se alojan las tomas
de presión es también de 400 [mm].
Las principales cotas altimétricas en [m] (s.n.m.) de la instalación son:
•
•
•
•
Solera del foso de aspiración:
Boca de aspiración :
Sección de tomas de presión en la impulsión:
Piso de armarios eléctricos de la caseta de bombas:
zsol
zboca
ztomas
zpiso
= 450,00
= 450,50
= 452,69
= 454,00
Para medir la altura de impulsión se ha dispuesto un manómetro de Bourdon
cuyo plano de referencia se sitúa a 1,5 [m] por encima del piso de armarios y un
caudalímetro de ultrasonidos con sondas de inserción en la tubería de impulsión. En el
momento de realizar las lecturas, el nivel en el foso de aspiración correspondía a un
calado de 3 [m] respecto de la solera.
Las lecturas obtenidas en la bomba, han sido:
•
•
lectura en el caudalímetro:
lectura en el manómetro de impulsión:
0,300 [m3/s]
2055 [Pa] (relativa)
Datos de cálculo:
•
•
densidad:
aceleración gravedad:
1000 [kg/m3]
9,81 [m/s2]
Se pide:
a)
b)
Determinar la energía específica de impulsión y la altura de impulsión de la
bomba.
Determinar la potencia hidráulica generada por la bomba.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas - 6
1.4. Se está ensayando una bomba centrífuga cuyos datos para las respectivas
secciones de referencia son:
•
Entrada:
cota z1 = 35,0 [m]
diámetro sección entrada: D1 = 0,3 [m]
•
Salida:
cota z2 = 35,5 [m]
diámetro sección salida: D2 = 0,2 [m]
A la entrada de dispone de un manómetro de columna de mercurio de dos ramas:
la rama de baja presión va conectada a la sección de tomas de presión. La otra rama va
conectada a la atmósfera. El cero del manómetro está situado en el mismo plano que la
sección de referencia.
A la salida se dispone de un transductor de presión absoluta de fondo de escala
6 [bar] con salida 4 [mA] ÷ 20 [mA]. El plano de referencia del transductor está situado
a la misma cota que la sección de referencia en la salida.
En el punto actual de ensayo las lecturas son:
•
•
•
Transductor: 16,78 [mA]
Manómetro Hg:
650 [mm] (rama de baja: sección de tomas de presión)
350 [mm] (rama de alta: lado atmósfera)
Caudal:
200 [L/s]
Determinar la energía específica aplicada por la bomba al agua.
Datos:
•
•
•
•
•
densidad del agua en el momento del ensayo:
densidad del mercurio en el momento del ensayo:
densidad del aire en el momento del ensayo:
aceleración de la gravedad:
presión barométrica actual:
ρw = 998,5
[kg/m3] (cte)
ρHg = 13450 [kg/m3] (cte)
ρaire = 1,20
[kg/m3] (cte)
g = 9,81
[m/s2]
pb = 101300 [Pa] (cte)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas - 7
1.5. Una central hidroeléctrica dispone de un embalse superior de otro inferior y de
cuatro grupos hidroeléctricos dotados de bombas-turbinas y sus correspondientes
motores-alternadores.
El nivel máximo de explotación del embalse superior se sitúa a la cota
684,0 [m] (s.n.m.) y la carrera del embalse es de 20 [m]. En el embalse inferior la cota
mínima es la 602 [m] (s.n.m.) y la cota máxima, en avenidas, la 616 [m] (s.n.m.).
La tubería forzada es de acero laminado soldado de diámetro 5 [m] y rugosidad
absoluta 0,1 [mm] y tiene una longitud equivalente de 450 [m]. La galería de aspiración
o desagüe consiste en una tubería de hormigón de sección circular y de diámetro 7 [m]
con rugosidad absoluta de 1 [mm] y longitud equivalente 150 [m]. En su cálculo no se
han considerado las pérdidas singulares en la conducción hasta la máquina.
La maquinaria se ha dispuesto en caverna, y es de ejecución horizontal (no
habitual). El eje se sitúa a la cota 589,2 [m] (s.n.m.). La embocadura de la tubería
forzada arranca en la cota 640 [m] (s.n.m.) y es vertical en su primer tramo hasta llegar
a la cota del eje de máquinas en que pasa a ser horizontal. El acuerdo entre ambas se
realiza por medio de un codo R = 10 ⋅ D de modo que el coeficiente de pérdidas es igual
a ξ = 0,05 [-]. En la galería de desagüe no existen elementos singulares a considerar,
pero en el cálculo de pérdidas de carga secundarias sí se debe tener en cuenta la
conexión “depósito-entrada a tubería” (ξ = 0,5 [-]) así como la conexión “tuberíaentrada a depósito” (ξ = 1 [-]).
Para simplificar el problema se asume (nada realista) que las pérdidas de carga
en el repartidor para los cuatro grupos son nulas y que el tramo recto de cada una de las
tuberías individuales es suficientemente corto como para ser despreciable. Esto es
válido tanto para el lado de alta presión como para el de baja.
El caudal nominal total es el siguiente:
•
•
Bombeo:
Turbinado:
40 [m3/s]
49 [m3/s]
En un momento determinado de los cuatro grupos existentes únicamente uno se
encuentra en operación. Determinar en este caso la curva resistente en cada sentido de
funcionamiento (bombeo y turbinado), en los cuatro casos posibles de embalse.
Determinar asimismo las pérdidas de carga para los correspondientes caudales
nominales (bombeo y turbinado).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 1: Mecánica de Fluidos en Máquinas Hidráulicas - 8
1.6. Se dispone de un depósito de agua de gran sección y 10 [m] de profundidad en
cuya parte inferior existe una conducción. A la salida de dicha conducción existe una
bomba centrífuga en cuya impulsión hay otra tubería que asciende hasta una cota igual al
nivel superior del depósito de gran sección (ver Figura 1.6). A la salida de la tubería se
dispone de una boquilla cuya sección es de 3,6 [cm2], teniendo el agua, entonces, una
velocidad de 9,8 [m/s]. Si la bomba tiene un rendimiento de 0,7 [-] y está accionada por un
motor eléctrico cuyo rendimiento es 0,8 [-], se pide calcular la potencia eléctrica absorbida
de la red por el grupo.
Nota.- suponer despreciables las pérdidas de carga.
Figura 1.6. Esquema de la instalación
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 2: Triángulos de Velocidades y Ecuación de Euler - 9
Tema 2: Triángulos de Velocidades y Ecuación de Euler
2.1. Una bomba centrífuga suministra un caudal de 2,4 [L/s] impulsando agua a
27 [m C.A.]. Su rendimiento manométrico es del 75 [%]. Se admite que las pérdidas
energéticas tienen un valor 5 veces superior a la energía cinética relativa a la salida del
rodete.
El diámetro de salida del rodete es D2 = 0,2 [m] y la sección de salida
correspondiente S2 = 0,2 ⋅ (D2)2.
Calcular el ángulo β 2 y la velocidad de rotación N (en [r.p.m.]), si se supone que
el flujo penetra en el rodete sin prerrotación.
2.2. Una turbina Francis gira a una velocidad de rotación de 600 [r.p.m.] y absorbe
un caudal de 1,0 [m3/s]. Los diámetros de entrada y salida (para filete medio) son
conocidos, así como sus secciones de paso correspondientes:
•
•
D1 = 1,0 [m]
D2 = 0,45 [m]
S1 = 0,14 [m2]
S2 = 0,09 [m2]
El ángulo de salida del distribuidor es αd2 = 15 [º] y el ángulo de salida en el
rodete es β2 = 45 [º].
Sabiendo que el rendimiento manométrico es igual a 0,78 [-], calcular la energía
hidráulica másica y la potencia hidráulica efectiva suministrada a la máquina.
Suponer que no existe variación en el entrehierro, de manera que α1 ≈ α2d.
2.3. Una bomba centrífuga que gira a 750 [r.p.m.] debe suministrar un caudal de
0,56 [m3/s] a una energía específica de Euler o teórica de 120 [J/kg]. El rendimiento
manométrico es de 0,8 [-] y las pérdidas energéticas totales en la bomba son iguales a
0,54 veces la energía cinética a la salida. La entrada en los álabes se efectúa sin
prerrotación. La componente meridiana de la velocidad absoluta en los álabes, a la
salida, es constante e igual a 2,7 [m/s].
Se pide:
a)
b)
c)
el radio de salida de los álabes,
la sección de salida, y
el ángulo de salida β 2.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 2: Triángulos de Velocidades y Ecuación de Euler - 10
2.4. El rodete de la bomba centrífuga esquematizado en la Figura 2.4, es arrastrado a
1470 [r.p.m.] y suministra un caudal de 100 [L/s]. La energía específica ganada por el
fluido al atravesar la bomba es de 400 [J/kg].
Se pide: representar gráficamente los triángulos
de entrada y salida, asumiendo un valor del rendimiento
hidráulico de 0,78 [-] y la inexistencia de prerrotación
en la entrada.
Figura 2.4. Esquema del rodete (cotas en [mm])
2.5. El rodete de la máquina axial representado en la Figura 2.5 gira a una velocidad
de rotación de 45 [rad/s]. Funcionando como bomba el agua tras atravesar la máquina
gana 120 [J/kg], mientras que funcionando como turbina el agua pone a disposición de
la máquina esa misma cantidad de energía específica. Representar los triángulos de
velocidades para ambas situaciones: bombeo y turbinado, asumiendo una velocidad
axial de 12 [m/s].
Hipótesis:
•
•
•
Suponer un rendimiento hidráulico de 0,85 [-] para funcionamiento en bomba y
de 0,87 [-] para rendimiento en turbina.
Asumir entrada sin prerrotación en funcionamiento en bomba y salida sin
torbellino en turbina.
Para simplificar realizar los cálculos con el diámetro medio.
Figura 2.5. Esquema del rodete (cotas en [mm])
2.6. Una turbina Pelton que funciona bajo un salto de 750 [m] posee uno o varios
inyectores con chorros iguales cuyo diámetro es: dj = 180 [mm]. Calcular el esfuerzo a
que se ve sometida cada cuchara cuando el chorro impacta por completo sabiendo que la
velocidad de las cucharas es aproximadamente igual a la mitad de la velocidad del
chorro.
Nota.- suponer que el ángulo β2 ≈ 0 [º] y que no hay pérdidas de carga.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 2: Triángulos de Velocidades y Ecuación de Euler - 11
2.7. Una bomba multicelular (multietapa) está constituida por 8 rodetes dispuestos en
serie, de diámetros exterior e interior iguales a 0,4 [m] y 0,2 [m] respectivamente que
giran a 3000 [r.p.m.].
El difusor se ha trazado para que sean iguales en módulo, las velocidades
absoluta y relativa a la salida de los rodetes y para que la entrada a los rodetes se
produzca sin prerrotación. En este caso, el rendimiento manométrico es del 90 [%].
a)
Calcular la altura de impulsión generada.
Sabiendo que la anchura de canal del rodete a la salida (anchura de paso de agua,
B) es de 0,02 [m] y que los álabes ocupan un 10 [%] de la sección de salida, se pide:
b)
Calcular el caudal circulante y la potencia de la bomba suponiendo que el
rendimiento manométrico citado es el global.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 12
Tema 3: Bombas
3.1. En una instalación se necesita impulsar un caudal de 19,2 [m3/h] de agua. Para
ello se requiere de un acoplamiento que proporcione una altura manométrica de
50 [m C.A.].
Se dispone para el uso en el acoplamiento de 3 bombas centrífugas iguales que
tienen por curva característica, (con Q en [m3/h]):
H = 71,0 − 0,3501⋅ Q 2
[m C.A.]
Se pide determinar, de todos los acoplamientos posibles que se pueden
configurar con las 3 bombas, aquel que permita trabajar más cerca del punto de
funcionamiento deseado.
3.2. Un depósito situado a 25 [m] de altura sobre una bomba que gira a 740 [r.p.m.],
es alimentado por ésta con un líquido de densidad 850 [kg/m3]. El depósito, cilíndrico,
se encuentra presurizado a 1,26 [kg/cm2] y tiene unas dimensiones de 16 [m] de
diámetro y 6 [m] de altura. La alimentación al depósito se efectúa por la parte superior
de forma que la altura de salida del líquido es constante. Se desea llenar el depósito en
2 horas. Se pide:
a)
b)
c)
d)
e)
Caudal que debe dar la bomba.
Calcular la altura manométrica y la potencia que debe aportar el motor si la
conducción de alimentación tiene un coeficiente de pérdidas
K = 1800 [m C.L./(m3/s)2] y el rendimiento hidráulico de la bomba es del
80 [%].
Si el tiempo de llenado deber reducirse a la mitad para las mismas
condiciones anteriores, qué acoplamiento y cual será el número mínimo de
bombas a instalar, si se dispone de un modelo básico cuya curva
característica es
H = 45 – 80 ⋅ Q – 508 ⋅ Q2 [m C.L.], con Q en [m3/s].
¿Qué potencia será necesaria considerar en cada motor si el rendimiento de
éstos es del 85 [%]?
Como funcionamiento alternativo a la pregunta c), determinar a qué
velocidad de rotación debe girar una sola bomba para poder doblar,
asimismo el caudal inicial y cuál pasa a ser la potencia que debe aportar el
motor si el rendimiento hidráulico pasa a ser del 78 [%].
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 13
3.3. En un proceso industrial se dispone una instalación de elevación de agua dotada
de una bomba axial con su circuito según el esquema de la Figura 3.3.a. Las curvas
características de la bomba en función del caudal se incluyen en las Figuras 3.3.b
(altura de impulsión y rendimiento). El circuito hidráulico está constituido por tres
tramos A, B y C, cuyas características se adjuntan en la Tabla 3.3.
En el circuito principal se dispone de una válvula de guarda y regulación de tipo
compuerta y diámetro 800 [mm]. En el by-pass la válvula es del mismo tipo pero de
diámetro 400 [mm].
El caudal del proceso según cálculos realizados previamente deberá ser siempre
de 0,7 [m3/s].
Se pide:
a)
b)
c)
d)
Determinar el grado de apertura de la compuerta cuando el by-pass se
encuentra cerrado para trabajar en el caudal de diseño.
Si la válvula de la rama principal se encuentra completamente abierta y el
by-pass está habilitado, determinar los caudales que circulan por los tramos
A y C, del circuito debiendo alcanzarse el caudal de diseño en la rama
principal.
Determinar en relación a la pregunta anterior, la apertura de la válvula del
bypass para garantizar estos caudales.
¿Cuál de las dos soluciones es más ventajosa en términos de costes de
operación?
Figura 3.3.a. Esquema del bombeo
Tramo
Longitud equivalente (*) [m]
Rugosidad [mm]
Diámetro int [m]
A
20
0,32
0,8
B
100
0,32
0,8
C
40
0,16
0,4
(*) Incluye todas las pérdidas salvo las debidas a las válvulas
Tabla 3.3. Características de los tramos
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 14
Característica H-Q de bomba axial.
30,0
6
25,0
H [m C.A.]
5
4
3
H = -140,403878*Q + 616,343545*Q - 1005,125353*Q + 715,365299*Q 2
184,972493*Q - 13,972666*Q + 24,937616
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,40
1,50
3
Q [m /s]
Característica η-Q de bomba axial.
0,9
0,8
0,7
η [-]
0,6
0,5
0,4
0,3
4
0,2
3
2
η = -0,8542*Q + 1,5757*Q - 1,2446*Q + 1,3659*Q - 0,0005
0,1
0,0
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
3
Q [m /s]
Figura 3.3.b. Curvas características de la bomba
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
1,20
1,30
Tema 3: Bombas - 15
3.4. Se necesita transvasar agua de un embalse inferior a otro superior por medio de
una bomba de cámara partida de doble aspiración con eje horizontal y un circuito
hidráulico. Cada embalse tiene su carrera correspondiente con niveles mínimo (vacío) y
máximo (lleno). Las cotas principales (en [m] (s.n.m.)) se muestran en la Tabla 3.4.
Embalse
Inferior
Superior
Solera Nivel mínimo Nivel máximo
1000,0
1010,0
1040,0
1240,0
1254,0
1295,0
Cota eje de bomba: 1000,5
Tabla 3.4. Niveles de los embalses
La tubería de aspiración tiene un diámetro de 1,5 [m] con una rugosidad de
0,3 [mm] y una longitud equivalente de 100 [m]. La tubería de impulsión tiene un
diámetro de 1,2 [m], una rugosidad idéntica y una longitud equivalente de 800 [m]. Se
asume que estos valores incluyen la pérdida de carga por entrada y salida en las
tuberías.
Para estas condiciones de funcionamiento se ha seleccionado un diseño de
bomba que se basa en los resultados de ensayos en un modelo de trazado homólogo
pero realizado en su versión de simple aspiración. Los datos obtenidos del ensayo en
modelo, con un rodete cuyo diámetro de entrada era de 150 [mm] y el de salida
416 [mm], bajo una velocidad de rotación constante de 1480 [r.p.m.], han aportado las
características que se indican en forma numérica y gráfica (ver Figuras 3.7.a y 3.7.b,
con Q en [m3/h]).
En principio se ha seleccionado una máquina cuyo diámetro de entrada es de
500 [mm], para un caudal nominal de funcionamiento (a modo de orientación),
establecido en 7,0 [m3/s], aproximadamente. Se asume que no se producen mermas en
las prestaciones de la máquina prototipo respecto al modelo, por el hecho de tener que
disponer del eje atravesando el aspirador: en todo caso se produce un efecto de escala
positivo, de forma que el rendimiento en prototipo (en su versión de simple aspiración)
resulta superior al del modelo según la fórmula empírica:
Q
η P = η M + 0,004 ⋅ η M ⋅ P [-]
subíndices P: prototipo; M: modelo
QM
Se pide:
a)
b)
c)
Asumiendo que el motor de arrastre de la bomba es síncrono, determinar la
velocidad de rotación adecuada al funcionamiento del grupo.
Velocidad específica (ns y nq) de la máquina en el nominal y en el punto de
óptimo rendimiento.
Representación gráfica de las curvas características (H-Q; η-Q y NPSHr-Q),
así como de las curvas del circuito hidráulico, etc., marcando los puntos
límite de funcionamiento para cada característica, y realizando un análisis de
las condiciones de funcionamiento.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 16
Con el fin de evitar excesivos arranques y paradas en el grupo se plantea ahora la
posibilidad de aumentar la carrera de los embalses estableciendo nuevos niveles límite.
En el embalse superior, el nivel superior será de 1300,5 [m] y en el embalse inferior, el
nivel inferior será de 1005,0 [m]. Se pide ahora:
d)
Nuevos puntos límite de funcionamiento y análisis de las condiciones de
funcionamiento.
Notas:
•
•
•
curvas características modelo (I)
H = 1,2902E-09*Q4 - 1,9734E-06*Q3 + 9,0765E-04*Q2 1,4813E-01*Q + 6,6578E+01
Rend = 1,314E-09*Q3 - 5,663E-06*Q2 + 4,133E-03*Q
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
100
200
300
400
500
600
Q [m3/h]
Figura 3.4.a. Curva característica del modelo
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
700
Rendimiento [-]
•
Considerar un valor único (promedio) del coeficiente de fricción para el
conjunto del circuito hidráulico y de caudales.
La presión de vapor, Hv, expresada en [m C.A.] se considera constante e igual a
0,24 [m C.A.]
La densidad del agua, ρ, se considera igual a 1000 [kg/m3] y la aceleración de la
gravedad, g, igual a 9,81 [m/s2].
La viscosidad cinemática del agua, ν, se asume como constante e igual a
1 ⋅ 10-6 [m2/s].
La expresión del NPSH es válida entre 320 [m3/h] y 600 [m3/h].
H [m C.A.]
•
Tema 3: Bombas - 17
curvas características modelo (II)
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
100
200
300
400
500
600
Q [m3/h]
Figura 3.4.b. Curva característica del modelo
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
8
7
6
5
4
3
2
1
0
700
NPSHr [m C.A.]
H [m C.A.]
NPSH = 3,555E-05*Q2 - 1,944E-02*Q + 3,881E+00
Tema 3: Bombas - 18
3.5. Se proyecta un grupo motobomba para elevar 0,7 [m3/s] de agua a una altura de
88,2 [m] a través de una tubería de impulsión cuyo coeficiente de pérdida de carga es
K = 196,2 [J⋅s2/(kg⋅m6)]. Para ello, se construye un modelo reducido a escala, de tamaño
5 veces menor que el prototipo, que gira a 3000 [r.p.m.] suministrando un caudal de
0,014 [m3/s] para E = 240,4 [J/kg] cuando la potencia mecánica es de 5,145 [kW]. Se
pide:
a)
b)
c)
d)
Comprobar si es correcta la escala del modelo.
Rendimiento hidráulico suponiendo que es el mismo en el prototipo y
modelo.
Potencia a aplicar y revoluciones del grupo (prototipo).
Ecuación de la curva característica del grupo suponiendo que el máximo de
altura de impulsión H corresponde a cierre completo y que dicho máximo es
1,5 veces la altura manométrica del punto de funcionamiento.
Arrancando de la impulsión del grupo se montan 2 tuberías en paralelo, para
impulsar el agua distribuyendo el caudal de 0,7 [m3/s] a dos depósitos. El primero a una
altura de 73 [m] siendo el coeficiente de pérdidas K’= 100 [m C.A.s2/m6] y el segundo a
una altura de 92 [m] y un coeficiente de pérdidas con pérdidas K’’= 150 [m C.A.s2/m6].
Se pide:
e)
Calcular los caudales impulsados a cada uno de los depósitos.
Como variante de instalación se proyecta montar una única una tubería de
impulsión pero con tres tramos de diferente diámetro. El coeficiente de pérdidas en cada
tramo es ahora K1 = 50 [m C.A.s2/m6], K2 = 100 [m C.A.s2/m6] y
K3 = 150 [m C.A.s2/m6]. Se pide:
f)
Calcular el caudal circulante para elevar el agua a una altura geométrica
47 [m].
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 19
3.6. Dos depósitos muy profundos y muy altos contienen agua. Ambos depósitos
están unidos por una tubería por lo que inicialmente el agua en ambos alcanza el mismo
nivel. El depósito 1 tiene una sección de 10 [m2] y el 2 de 20 [m2].
En la tubería que conecta ambos depósitos se instala una bomba para trasvasar
agua del 1 al 2 con lo cual los niveles de agua cambian significativamente según avanza
el bombeo. La bomba instalada tiene unas curvas características de la forma:
H = A + B ⋅ Q2
[m C.A.]
η = E ⋅ Q + F ⋅ Q2
[-]
siendo A = 60 B = – 2000
E = 18,476
F = – 106,6
con Q en [m3/s].
La tubería que conecta ambos depósitos tiene una constante de pérdidas de valor
K = 5000 [m C.A.s2/m6].
Se pide:
a)
b)
c)
¿Qué desnivel se alcanzará entre ambos depósitos a los 10, 20 y 30 minutos
de bombeo? Para ello, plantear la ecuación diferencial que rige la evolución
del desnivel Z en función del tiempo, sabiendo que en t = 0 el desnivel vale
0.
Caudal y alturas de funcionamiento a los 600, 1200 y 1800 segundos de
iniciado el bombeo.
Equivalente energético de la instalación [kW-h/m3] en esos tres mismos
instantes, suponiendo un rendimiento del motor constante de valor 80 [%].
Notas:
•
Antes de integrar, se recomienda realizar las siguientes sustituciones:
C 0 = (B − K )
−1
C1 = − A ⋅ (B − K )
•
−1
Este modelo de integral se da a título orientativo, pudiendo resolverse el
problema sin su empleo e integrando directamente:
∫ (z
du
1/ 2
= 2 ⋅ z0−1 ⋅ ( z0 ⋅ u + z1 )
1/ 2
0 ⋅ u + z1 )
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 20
3.7. Se quiere construir un ventilador centrífugo con un rodete de 500 [mm] de
diámetro que, girando a 900 [r.p.m.], impulse un caudal de 3,1 [m3/s] de aire de
densidad absoluta ρ = 1,2 [kg/m3].
Para ello se fabrica primero un modelo con un rodete de 250 [mm] de diámetro. Se
prueba con aire, a una velocidad de rotación de 2810 [r.p.m.], obteniéndose los
siguientes resultados:
•
•
•
•
Punto 1: altura manométrica de 100 [mm C.Agua.] para un caudal de 35 [L/s]
Punto 2: altura manométrica de 150 [mm C.Agua.] para caudal nulo.
Punto 3: altura manométrica nula para un caudal de 360 [m3/h]
Rendimiento global en el punto 1: 80 [%]
Se pide:
a)
Expresión de la curva característica del ventilador modelo cuya expresión
genérica es:
H m = A − B⋅Q − C ⋅Q2
b)
c)
d)
e)
f)
con Q en [m3/s] y Hm en [Pa]
Punto de funcionamiento del modelo semejante al que se quiere conseguir en
prototipo.
¿Sería posible conseguir el caudal de diseño (prototipo) con el ventilador
modelo, girando este último a 2810 [r.p.m.]? Razonar la respuesta en 3
líneas.
Considerando en el modelo el punto de 35 [L/s] y la altura de
100 [mm C.A.], ¿cuál sería el punto de funcionamiento del prototipo
(diámetro 500 [mm] y N = 900 [r.p.m.]), homólogo (semejante) a éste?
Obtener la potencia mecánica en el acoplamiento del rodete (no se
consideran las pérdidas mecánicas por fricción en cojinetes y juntas) para el
punto de funcionamiento en prototipo citado en el apartado d), si se asume
como hipótesis que los rendimientos globales en las dos máquinas son
iguales.
En relación al apartado anterior, es bien sabido que el rendimiento global en
modelo y en prototipo no es igual. Indicar cuál será mayor y razonar la
respuesta en dos líneas.
Nota.- considérese el aire como un fluido incompresible
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 21
3.8. Se ha diseñado un bombeo entre dos depósitos cuyos niveles máximos y
mínimos se indican en la Figura 3.8, expresados en [m] (s.n.m.).
La bomba seleccionada es de cámara partida, de doble aspiración acoplada a un
motor con variador de velocidad que gira inicialmente a 500 [r.p.m.]. Las curvas
características de la bomba en estas condiciones son:
Q-H:
H = 0,26 ⋅ Q 4 − 4,09 ⋅ Q 3 + 15,82 ⋅ Q 2 − 20,9 ⋅ Q + 83
con Q en [m3/s]
[m C.A.]
Q-NPSHr:
NPSH r = 9,7 ⋅ Q 2 − 62,2 ⋅ Q + 104
con Q en [m3/s]
[m C.A.]
Se pide:
a)
b)
Determinar, por construcción gráfica los puntos extremos de funcionamiento
(Q, H, NPSH) indicando los valores numéricos y analizar sus condiciones de
operación.
Se debe plantear alguna objeción al diseño realizado (bomba o circuito
hidráulico).
Una vez determinadas las condiciones de operación del primer apartado, se decide
que es necesario incrementar el caudal del bombeo, pasando la velocidad de rotación de
500 [r.p.m.] a 600 [r.p.m.].
c)
Determinar los nuevos puntos y valorar las nuevas condiciones de
funcionamiento.
Notas:
•
La presión de vapor, Hv, expresada en [m C.A.] se considera constante e igual a
0,24 [m C.A.].
•
La densidad del agua, ρ, se considera igual a 1000 [kg/m3] y la aceleración de la
gravedad, g, igual a 9,81 [m/s2].
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 22
Tuberías del circuito hidráulico
Tuberías
K [m C.A. ⋅ s2/m6]
Aspiración
0,5
Impulsión, primer tramo
0,75
Impulsión, segundo tramo
0,25
Figura 3.8. Esquema del bombeo
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 23
3.9. Un circuito tiene una tubería con pérdidas de carga cuya expresión es
∆e = 98100 ⋅ Q2 [J/kg] (con Q en [m3/s]) y una bomba que suministra un caudal de
0,06 [m3/s] de agua empleado en llenar un depósito a 30 [m] de altura y con una
sobrepresión de 0,1 [bar]; el depósito se llena en 2 horas. Se pretende llenarlo en 30
minutos a través de la misma tubería. Se dispone como dato de los siguientes puntos de
la curva característica:
•
Q=0
[m3/s]
E = 686,7
[J/kg]
•
Q = 0,3
[m3/s]
E=0
[J/kg]
¿Cuántas bombas hacen falta y qué tipo de conexionado o acoplamiento se
necesita?
3.10. Una instalación de producción de vapor consta, entre otros elementos de una
caldera cuya presión absoluta es de 1,06 [bar] y una bomba de alimentación de caldera,
de tipo centrífugo que impulsa agua desde un depósito de aspiración cuya presión
absoluta es 95000 [Pa] (ver Figura 3.10). El eje de la bomba está situado a 6 [m] por
debajo del la acometida de la tubería de impulsión a la caldera y 1 [m] por encima del
nivel del depósito de aspiración. En la tubería de impulsión entre la bomba y la caldera
se dispone de una válvula de bola. La llegada del agua a la caldera se realiza por encima
de ésta.
Como datos adicionales se tienen:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Diámetro de la tubería de aspiración:
400 [mm]
Diámetro de la tubería de impulsión:
350 [mm]
Pérdida de energía en la aspiración:
4,9
[J/kg]
Temperatura del agua:
90
[ºC]
Presión de vapor del agua a 90 [ºC]:
71500 [Pa]
Caudal de diseño para la caldera:
600 [m3/h]
Rendimiento de la bomba en el punto de diseño: 0,8
[-]
Rendimiento del motor:
0,87 [-]
NPSE requerido en el punto de diseño:
9,81 [J/kg]
HMAX = 1,6 ⋅ Hactual. Siendo HMAX la altura de impulsión a válvula cerrada.
Se realizan ahora unas medidas de la energía hidráulica másica en la bomba,
empleando para ello un manómetro de presión diferencial de columna de mercurio,
cuyas ramas van conectadas a las secciones de referencia de entrada y salida de la
bomba. La diferencia de cotas entre las secciones citadas es 350 [mm]. La medida ha
resultado ser de 1587 [mm Hg]. Se pide:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Altura de impulsión y energía hidráulica másica de la bomba para el punto
de funcionamiento correspondiente a las medidas.
Potencia mecánica suministrada a la bomba y eléctrica demanda por el
motor.
Pérdidas de carga en la tubería de impulsión y totales
Determinar la máxima altura de aspiración a que podría colocarse la bomba
sin que se produzcan problemas de cavitación
¿Qué sucederá si se desea arrancar la bomba con la válvula de bola abierta?
¿Cuál será, en relación a al pregunta anterior, la altura a la que se eleva la
columna de agua en la aspiración respecto del depósito de aspiración?
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 24
zII – zr
Figura 3.10. Esquema de la instalación
3.11. Se proyecta un grupo motobomba que eleva un caudal de 0,2 [m3/s] a una altura
de 50 [m] a través de una tubería cuyas pérdidas tienen la siguiente expresión:
∆ = 200 ⋅ Q2.
Dicho grupo consta de una bomba centrífuga que gira a 400 [r.p.m.] y consume
147 [kW]. La curva característica resulta estable, con un máximo a válvula cerrada de
62 [m C.A.]. Se pide:
a)
b)
Rendimiento global si el rendimiento del motor es de 0,9 [-].
Curva característica de la bomba.
Se desea obtener, ahora, un 20 [%] más de caudal y elevarlo a una altura
superior, de valor 60 [m].
c)
¿A qué velocidad deberá girar, entonces, la bomba?
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 25
3.12. Una bomba centrífuga que gira a 1400 [r.p.m.], suministra un caudal de
240 [L/min] a una altura manométrica (o de impulsión) de 8 [m C.L.]. La curva
característica de la bomba pasa por los puntos:
•
•
H = 8 [m C.L.]
H = 7 [m C.L.]
Q=0
Q = 300
[L/min]
[L/min]
La curva de rendimientos de la bomba, contiene a su vez los puntos:
•
•
•
η = 0 [%]
η = 50 [%]
η = 68 [%]
Q = 0 [L/s]
Q = 2 [L/s]
Q = 4 [L/s]
El circuito es cerrado y por tanto, no existe desnivel geométrico a vencer. Se
pide:
a)
Determinar la potencia mecánica demandada al motor y coeficiente K de
pérdidas de carga de la curva resistente del circuito cuando la densidad del
líquido es 880 [kg/m3].
Ahora se realizan dos modificaciones en el funcionamiento sin que los efectos
de escala sean apreciables: por un lado se cambia de líquido pasando a agua fría y por
otro se introducen pérdidas de carga suplementarias de forma que se duplica el valor
original de éstas. Se pide:
b)
Nueva velocidad de rotación si se desea que el caudal de funcionamiento
siga siendo constante.
c)
Potencia y rendimiento en las nuevas condiciones de funcionamiento.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 26
3.13. El modelo básico de bomba SV60 admite entre 2 y 8 rodetes según las curvas
características de la gráfica mostrada en la Figura 3.13. Se trata de elegir el número de
etapas para un bombeo de 50 [m3/h] entre dos depósitos separados por 24 [m] de
desnivel y a través de una tubería cuya constante de pérdidas es
K = 0,0148 [m C.A. ⋅ (m3/h) -2]. Calcular el rendimiento, potencia hidráulica, potencia
mecánica y equivalente energético de la instalación, expresado en [kW-h/m3]. Suponer
que el rendimiento del motor vale 0,8 [-].
Figura 3.13. Curvas características de la bomba
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 27
3.14. La figura muestra un esquema de una instalación de bombeo de agua. Las
bombas B1 y B2 son iguales. Los tramos 1 y 2 tienen unas pérdidas de carga, cuyos
coeficientes de pérdidas de carga valen: tramo 1, K1 = 2 [m C.A. ⋅ (L/s)-2] y tramo 2,
K2 = 5 [m C.A. ⋅ (L/s)-2]. Se facilitan las curvas características de la bomba:
•
Bombas B1 y B2:
H = 49 – Q2
η = 0,42 ⋅ Q – 0,06 ⋅ Q2
•
Bomba B3:
H = 25 – 0,5 ⋅ Q2
η = 0,88 ⋅ Q – 0,24 ⋅ Q2
Donde las unidades son:
H [m C.A.]
Q [L/s]
η [-]
Si el nodo B tiene 70 [kPa] más de presión que el nodo A, se pide:
a)
b)
Determinar cuáles son los puntos de funcionamiento de las bombas B1, B2 y
B3 (H, Q y η) suponiendo que los 3 motores eléctricos que accionan las
bombas funcionan prácticamente al mismo rendimiento de valor 0,8 [-].
Calcular el equivalente energético de la instalación y de cada bomba.
Nota.- Suponer que en A y en B la velocidad del agua por la tubería es la misma.
Figura 3.14. Esquema de la instalación
3.15. Se dispone de la familia de bombas cuyas características se adjuntan (Figura 3.15).
Al poner cualquiera de ellas a bombear agua entre dos depósitos, la constante de pérdidas
desde el depósito inferior hasta la entrada de la bomba es 2 ⋅ 10-6 [m C.A. ⋅ (m3/h)-2]. Si los
valores de HS que sugiere el fabricante hacen referencia a la altura geométrica de la bomba
sobre el depósito inferior y dichos valores ya incluyen un margen de seguridad de
1 [m C.A.], se pide:
a)
b)
Calcular la expresión de la altura neta positiva de succión requerida sabiendo
que ésta es de segundo grado.
Calcular el equivalente energético de cada rodete cuando el caudal es
700 [m3/h], considerando constante e igual a 0,9 [-], el rendimiento del
motor.
Nota.- Suponer los datos habituales de presión atmosférica y presión de vapor del agua.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 28
Figura 3.15. Curvas características de la bomba
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 29
3.16. La bomba cuya curva característica se adjunta (Figura 3.16), tiene 4 etapas y se
emplea para elevar a la superficie, 16 [m3/h] desde un pozo cuyo nivel de agua se
encuentra a 15 [m] de profundidad. Se pide:
a)
Calcular la constante K de pérdidas de la conducción.
b)
Calcular la potencia hidráulica en [kW]
c)
Calcular la potencia mecánica en [kW].
d)
Si el rendimiento del motor es de 0,65 [-], calcular el equivalente energético
del bombeo.
Figura 3.16. Curvas características de la bomba
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 30
3.17. Se dispone de una instalación de bombeo, con una bomba centrífuga y un
circuito hidráulico. El líquido que se trasiega tiene una densidad de 2000 [kg/m3]. La
bomba, cuyo rendimiento se considera constante e igual 0,9 [-], es arrastrada por un
motor eléctrico. Se han previsto dos modalidades de trabajo, pero en ambos casos
empleando el mismo circuito y la misma bomba:
•
En la primera condición de funcionamiento la bomba trabaja en un campo
gravitatorio (g) normal con una velocidad de rotación N, dada. El caudal de
trabajo para esta condición es de 0,4 [m3/s].
•
En la segunda condición el campo gravitatorio es doble que el anterior y la
velocidad de rotación 4 veces menor que la anterior. Además se conocen dos
puntos de la curva característica, el primero es el punto de funcionamiento con
una altura de impulsión de 80 [m C.L.], cuando circula un caudal de 324 [m3/h]
y el otro correspondiente a caudal nulo con un máximo de altura de impulsión
1,5 veces la del punto de funcionamiento. Además la expresión de la pérdida de
carga en el circuito en este caso tiene la forma:
∆H = 4 ⋅ Q 2
con Q [m3/s] y ∆H [m C.L.]
Se pide:
a)
b)
c)
d)
Curva característica de la bomba en la segunda condición.
Altura de impulsión de la bomba en la primera condición de funcionamiento.
Altura (geométrica) a la que se elevará el líquido en ambas condiciones de
funcionamiento.
Potencia eléctrica consumida en ambas condiciones. Suponer rendimiento
del motor 1 [-].
3.18. Calcular las características de un grupo motobomba destinado a elevar agua a un
depósito a 150 [m] de altura a través de una tubería de 0,5 [m] de diámetro con una
velocidad de 3 [m/s] con un coeficiente de fricción de 0,02 [-] y una longitud de
1000 [m]. La curva característica incluye los dos puntos siguientes: (H = 220, Q = 0) y
(H = 0, Q = 1,5), con H en [m C.A.] y Q en [m3/s]. Hay que poner otro grupo idéntico al
anterior en paralelo sobre la misma tubería, con lo que ahora el líquido circulará a
5 [m/s]. La tubería no cambia.
Se pide:
a)
b)
c)
d)
e)
Caudal que circula por la bomba en el primer caso.
Pérdida de carga correspondiente al primer caso.
Constante K de pérdidas de la conducción acorde a la expresión ∆H = K ⋅ Q2.
Curvas características en ambos casos.
Velocidad de rotación de las dos bombas en paralelo, si se sabe que la
velocidad de rotación en el primer caso es de N = 600 [r.p.m.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 31
3.19. El modelo de bomba cuya curvas se adjuntan (Figura 3.19), corresponde a una
bomba multietapa que puede incluir entre 5 y 8 rodetes. Las curvas de la figura
corresponde al caso de un solo rodete. Se pretende trabajar con un caudal de
190 [L/min] elevando agua entre dos depósitos cuyo desnivel es de 58 [m].
Las pérdidas en la aspiración son despreciables; la presión de vapor se considera
igual a 0,2 [m C.A.]; el rendimiento del motor eléctrico de arrastre es 0,85 [-]. Se pide:
a)
b)
Altura de succión máxima admisible par aun buen funcionamiento de la
bomba.
Elegir el número de etapas o escalones que deberá incorporar la bomba en
base a criterios de eficiencia energética para cumplir con las especificaciones
operativas requeridas.
Figura 3.19. Curvas características de la bomba
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 32
3.20. Se desea bombear un caudal de 200 [m3/h] de resina de pino entre dos depósitos
a nivel constante de modo que la diferencia de cotas es 50 [m], por medio de una tubería
de impulsión (pues la brida de aspiración de la bomba está directamente conectada al
depósito inferior) de acero inoxidable, de diámetro interior 200 [mm], de rugosidad
despreciable y longitud equivalente, contando todas las pérdidas, de 100 [m].
Los datos de la resina de pino a 37,8 [ºC], que es la temperatura prevista de
bombeo, son:
•
•
Viscosidad:
Densidad:
ν = 559
ρ = 1059
[cSt]
[kg/m3]
Se pide,
a)
b)
c)
d)
Seleccionar hoja y curva de entre las indicadas en el catálogo de bombas
Dibujar en papel milimetrado adjunto las curvas H – Q, η – Q y P – Q, los
cuatro puntos de funcionamiento previstos en el ábaco, para funcionamiento
con agua y con la resina (es decir para Q^ y para 0,6⋅Q^; 0,8⋅Q^ y 1,2⋅Q^).
Incluir una tabla con los valores numéricos obtenidos.
Recomienda alguna actuación mecánica especial en la bomba o en el
circuito.
Retomando las bombas y curvas rechazadas en la primera pregunta,
determinar los diámetros de rodete que hubieran podido cumplir las
especificaciones de caudal establecidas
Se modifica ahora la temperatura de la resina, pasando a ser de 55,6 [ºC], con lo
que la viscosidad cinemática desciende hasta 108 [cSt]; la densidad permanece
prácticamente invariable. Se pide (no considerando las bombas de la pregunta d)):
e)
Rehacer las curvas de la pregunta b).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 33
3.21. Un sistema de riego por aspersión es alimentado a partir de una acequia con una
bomba accionada por el cigüeñal de un tractor. La bomba alimenta una tubería con 5
aspersores alineados a lo largo de 132 [m] y sostenidos por sendos tubos portaaspersores a 1 [m] del nivel de la tubería inferior de distribución que es alimentada por
la bomba (ver Figura 3.21). Las pérdidas en los tubos porta-aspersores son de 0,45 [m]
y las pérdidas en los propios aspersores son de 4 [m C.A.] Ambas son prácticamente
iguales para los 5 aspersores. El primer aspersor se encuentra sobre la conexión con la
manguera proveniente de la acequia. El segundo aspersor se encuentra a 12 [m] y el
tercero, cuarto y quinto se encuentran separados 40 [m] entre sí estando, por tanto, el
último aspersor a 132 [m] de la conexión con la manguera (ver Figura 3.21). Al ser el
caudal variable en cada tramo, el proveedor ha proporcionado al agricultor una
expresión simplificada para calcular las pérdidas de carga en [m C.A.] a lo largo de los
132 [m] de la tubería que sostiene los 5 aspersores:
∆H = 0,03106 ⋅ L – 0,000117654 ⋅ L2
[m C.A.], con L en [m]
La boquilla de los aspersores tiene un diámetro de 5 [mm] y la tubería que sostiene
a los aspersores se encuentra 2 [m] por encima de la acequia de donde se extrae el agua.
Como referencia para realizar el riego de manera correcta se calcula que a la salida del
5º tubo portaspersor (entrada del 5º aspersor) se requiere una presión de 24,66 [m C.A.].
Para realizar el bombeo se dispone de una familia de bombas cuyas curvas a
2900 [r.p.m.], para el modelo de 125 [mm] son (Q en [m3/h]):
H = 71,01 – 0,3501 ⋅ Q2
[m C.A.]
η = 0,148 ⋅ Q – 0,011412 ⋅ Q2
[-]
Además del modelo de rodete de 125 [mm] se dispone de otros tres modelos de
120 [mm], 115 [mm] y 110 [mm], cuyas curvas características se deducirán a partir de
la teoría del recorte al no disponer de datos de las mismas.
Figura 3.21. Esquema del bombeo
Despreciando sólo en la manguera, tubería y tubos portaspersores los términos
cinéticos, se pide:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 34
a)
b)
c)
Calcular el caudal arrojado por cada aspersor y la velocidad a la que lo hace.
Presión necesaria a la salida de la manguera para satisfacer las necesidades
descritas.
Selección del rodete y velocidad a la que girará para trabajar en el punto
señalado con el criterio de rendimiento máximo.
3.22. En el esquema de la Figura 3.22, las bombas B1 y B2 elevan agua de los depósitos
1 y 2 al 3 sin que sus desniveles H1 = 30 [m] y H2 = 25 [m] varíen significativamente en el
bombeo. Los tramos I, II y III tienen como constantes de pérdidas en [m C.A. ⋅ (m3/h)-2]:
KI = 7 ⋅ 10-5, KII = 8 ⋅10-5 y KIII = 9 ⋅ 10-5.
En este sistema, se necesita aportar al depósito 3 un volumen de 3000 [m3] diarios
y hay que seleccionar las bombas B1 y B2 que van a impulsar el agua.
Por simplificar las operaciones de mantenimiento, B1 y B2 deberán ser del mismo
tipo. Para su elección, se dispone de dos tipos de bombas candidatas: BOMBA TIPO A
y BOMBA TIPO B. Bomba y motor serán comprados al mismo suministrador por
separado, por lo que habrá que elegir ambos. La información que se tiene de ellas es la
curva H-Q, curva η-Q y sus precios (Q en [m3/h]):
BOMBA TIPO A:
H = 35,187 – 0,000916 ⋅ Q2
[m C.A.]
2
η = 0,01591 ⋅ Q – 0,00008124 ⋅ Q
[-]
bomba + motor = 1510 [€]
BOMBA TIPO B:
H = 90,78 – 0,001374 ⋅ Q2
[m C.A.]
η = 0,013068 ⋅ Q – 0,00005088 ⋅ Q2
[-]
bomba + motor = 6200 [€]
Se pide:
a)
b)
c)
d)
e)
Puntos de funcionamiento de las bombas B1 y B2 y caudales circulantes por
los tramos I, II y III cuando estas sean del tipo A o del tipo B.
Elección de los motores adecuados para ambos tipos de bomba, de entre los
de la Tabla 3.22. Para ello, sobredimensionar el motor en relación a la
potencia mecánica en los puntos de funcionamiento, un 10 [%] si dicha
potencia mecánica es mayor de 10 [kW] y un 20 [%] si es menor. El
fabricante de motores recomienda elegir el motor inmediatamente superior
después de sobredimensionar.
Cálculo de las potencias eléctricas consumidas y número de horas de
funcionamiento diario del sistema para ambos tipos de bombas.
Energía específica o equivalente energético de la instalación con bombas
TIPO A y con bombas TIPO B.
Selección del tipo de bomba a instalar y justificar por qué.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 35
Figura 3.22. Esquema del bombeo
Pm
[kW]
9
11
15
18,5
22
25
30
37
45
Rendimiento del
motor [%]
Factor de carga [-]
4/4
3/4
2/4
83
81
79
86
85
83
86
85
83
86
85
84
88
86
84
88
86
84
89
88
86
89
88
87
90
89
88
Tabla 3.22. Rendimientos del motor
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 36
3.23. El abastecimiento de agua a los municipios del Duranguesado arranca del
acuífero de Aramotz en Mañaria. En este acuífero existen 2 pozos, llamados Iturrieta y
Amantegi, desde los cuales se realiza el bombeo conjunto de un caudal de 290 [L/s]
hasta la depuradora.
Desde el pozo Iturrieta, con una profundidad de 50 [m] se bombean 100 [L/s] que
son llevados por una conducción de 850 [m] hasta la confluencia con el pozo Amantegi,
que también tiene una profundidad de 50 [m] pero aporta 190 [L/s].
Desde la confluencia de ambos aportes existe una conducción de 842 [m] que
lleva el caudal total de 290 [L/s] hasta la entrada de la depuradora donde, por
necesidades de operación, el agua debe entrar a 19,3 [m C.A.]. Las conducciones en los
tramos L1 y L2 se eligen con el criterio de diámetro óptimo que resulta ser
respectivamente de 0,25 [m] y 0,4 [m]. Se ignorarán las pérdidas en las conducciones
del pozo hasta cota 0 [m]. Para el cálculo de las pérdidas de carga en los tramos L1 y L2
se empleará la siguiente expresión empírica:
∆H = L ⋅ Q2 ⋅ 10 (15,784116 – 5,2429092 ⋅ log D)
con:
L: longitud
Q: caudal
∆H: pérdida de carga
D: diámetro tubería
[km]
[m3/s]
[m C.A.]
[mm]
Para la realización del bombeo en ambos pozos, se dispone de un modelo básico
de bomba con 4 tipos de rodetes de distintos diámetros, llamados A, G, L y N. A su vez,
el fabricante ofrece para cada diámetro distintos modelos que resultan ser bombas
multietapa de los tipos anteriores, hasta un máximo de 4. Las curvas características de
las bombas se pueden ajustar genéricamente a:
H = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q2
η = G ⋅ Q + H ⋅ Q2
En la Tabla 3.23, el fabricante adjunta puntos de las curvas H-Q y Pm-Q
correspondientes a los 4 tipos de rodete básico, todo a 2950 [r.p.m.]:
Q
[L/s]
117
133
167
183
200
H 1-N
28
25
21
16
11
H 1-L H 1-G
[m C.A.]
33
39
31
37
27
32
23
29
18
25
H 1-A
Pm 1-N
45
42
38
35
31
46
47
46
45
39
Pm 1-L Pm 1-G Pm 1-A
[kW]
56
68
78
57
69
80
60
72
85
58
72
86
55
70
85
Tabla 3.23. Puntos H-Q y Pm-Q de los rodetes básicos
Se pide determinar para los 2 pozos el tipo de rodete, número de etapas, y
velocidad de giro de las bombas elegidas con el criterio de rendimiento máximo. Se
dispone de un inversor de frecuencia por lo que deberán seleccionarse aquellas
soluciones con velocidades menores de 2950 [r.p.m.].
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 37
L1=850 m
L2=842 m
DEPURADORA
POZO
ITURRIETA
POZO
AMANTEGI
BOMBA B1
H = -50 m
BOMBA B2
H = -50 m
Q = 100 l/s
Q = 190 l/s
Figura 3.23. Esquema de la instalación
3.24. Se dispone de una bomba centrífuga clásica de eje horizontal y rodete simple,
modelo IN-300-400 (ver Figura 3.24), con diámetro de rodete (impulsión) 430 [mm], que
gira a 1485 [r.p.m.]. La bomba trabaja a velocidad constante en el rango de caudales
comprendido entre 800 [m3/h] y 1400 [m3/h]. Respecto a las características indicadas el
fabricante recomienda adoptar 0,5 [m C.A.] como margen de seguridad a la hora de
establecer el NPSHd.
A la hora de su instalación se plantean dudas acerca de la elección de la cota más
conveniente para la implantación de la máquina. Vistas las importantes dimensiones de
la bomba se debe analizar el comportamiento en cavitación no sólo frente a la pérdida
de prestaciones sino frente al riesgo de erosión. Esto plantea la necesidad de realizar una
comparación de nuestra máquina frente a la literatura disponible. Por tanto, se pide:
a)
b)
c)
Realizar un estudio comparativo del NPSHr indicado por el fabricante frente
a las distintas estadísticas disponibles (criterios de pérdidas de prestaciones y
de erosión).
Definir la cota de implantación con ambos criterios.
Obtener algunas conclusiones.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 38
Curvas características para bombas
Characteristics curves for pumps
Courbes caractéristiques pour pompes
1485
IN-300/400
R.P.M.
0100.12016/40/01
70
m.
65
Ø 430
Qmin
Ø 420
60
50
60
65
70
Ø 410
55
74
77
79
Ø 400
50
79,9
79
Ø 390
77
Ø 380
45
50
74
60
40
70
65
35
60
60
30
25
0
240
200
400
600
800
1000
1400 m3/h. 1600
1200
kW
Ø 430
220
Ø 420
200
Ø 410
Ø 400
180
Ø 390
160
Ø 380
140
120
100
0
12
200
400
600
800
1000
1200
m.
1400 m3/h. 1600
Ø 430
Ø 380
8
4
0
0
200
400
600
800
1000
1200
Figura 3.24. Curvas características de la bomba
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
1400 m3/h. 1600
Tema 3: Bombas - 39
3.25. Se dispone de una bomba centrífuga clásica de eje horizontal y rodete simple,
modelo IN-300-400 (se trata de la misma bomba que el problema 3.24, ver Figura 3.24),
con diámetro de rodete (impulsión) 430 [mm], que gira a 1485 [r.p.m.]. La bomba trabaja a
velocidad constante en el rango de caudales comprendido entre 800 [m3/h] y 1400 [m3/h].
El fabricante ha entregado, por otro lado las gráficas (Figura 3.25) que muestran la
evolución del coeficiente de cavitación de Thoma en función del caudal para los
criterios normalmente empleados, a saber:
•
•
Criterio de erosión (σad).
Criterio de pérdida de prestaciones (σ3%).
Se pide:
Definir la cota de implantación con ambos criterios.
Valorar las soluciones obtenidas
0,6
3%
admisible
0,5
0,4
sigma [-]
a)
b)
0,3
0,2
0,1
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Q [m3 /h]
Figura 3.25. Coeficiente de cavitación de Thoma, bomba IN-300/400
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 40
3.26. El esquema de la Figura 3.26 representa un modelo patentado de planta
desalinizadora. Está diseñada para tratar 450000 [m3] diarios de agua de mar. Para su
funcionamiento hay contratadas dos tarifas horarias con los siguientes precios:
•
•
DIURNA: vigente durante 16 [h] en la que el [kW-h] vale 9 [c€].
NOCTURNA: vigente durante las 8 [h] nocturnas con el [kW-h] a 5 [c€].
En esta planta, el agua de mar pasa por una fase A de pretratamiento químico para
lo cual la BOMBA 1 absorbe el agua del mar de manera continua durante las 24 [h] del
día, elevándola hasta el primer depósito donde el agua alcanza 1 [m] (s.n.m.). En la
fase B, aprovechando las 8 [h] de tarifa nocturna, por medio de la BOMBA 2, se eleva
el agua de mar hasta una altura de 61 [m] (s.n.m.) donde se almacena en un depósito de
elevación. El agua de mar tiene un peso específico de 10045 [N/m3] y el agua dulce
9800 [N/m3]. Cuando empieza la tarifa diurna, la BOMBA 2 se detiene y el agua fluye
por gravedad (fase C) del depósito de elevación a un pozo situado a 640 [m] de
profundidad respecto al nivel del mar y en cuya parte inferior se logra crear por
gravedad una presión en torno a 70 [atm].
A esta presión, por el efecto de ósmosis inversa se produce, en unas membranas, la
separación del agua dulce que fluye por un lado a presión atmosférica y el agua salada
concentrada o salmuera por otro a alta presión que permite su retorno al mar. La
proporción de desalinización es de 0,45 [L] de agua dulce por cada litro de agua salada
introducido en la planta. De esta manera y en esta proporción, durante las horas de tarifa
diurna, el depósito superior se vacía y se llena con agua dulce el aljibe subterráneo
situado a una profundidad de 640 [m].
Cuando entra en vigor la tarifa nocturna, arranca la BOMBA 3 que eleva el agua
del depósito inferior al tanque de agua potable superior cuyo nivel es de 5 [m] (s.n.m.)
lista para su distribución y posterior consumo (fase D). Igualmente, durante estas horas,
la BOMBA 2 funciona para llenar el depósito de elevación con agua de mar.
La BOMBA 1, la BOMBA 2 y la BOMBA 3 funcionan a un rendimiento global,
incluyendo el eléctrico de 0,7 [-]. Para estas bombas se dispone de un modelo a escala
cuya curva motora a 1450 [r.p.m.], con Q en [m3/h] es:
H = 0,078125 – 2,9127 ⋅ 10– 6 ⋅ Q2
[m C.A.]
Se considera que la viscosidad del agua marina y dulce es muy similar.
La BOMBA 1 es realmente un acoplamiento compuesto de bombas de tamaño
cuatro veces el del modelo y girando a 1450 [r.p.m.]. La BOMBA 2 es un prototipo de
tamaño 16 veces el del modelo. La BOMBA 3 es un acoplamiento de 10 bombas en
serie girando a 2900 [r.p.m.] y cuyo tamaño también es de 16 veces el del modelo. Sin
embargo, en este último caso, para ajustar el punto de funcionamiento es necesario
recortar el diámetro externo del rodete a las 10 bombas del acoplamiento.
Considerando que las pérdidas de carga en todos los circuitos son despreciables,
todos los depósitos se encuentran a presión atmosférica y que al ser de base muy ancha
sus niveles se mantienen prácticamente constantes a lo largo del ciclo de 24 [h],
calcular:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 41
a)
b)
c)
d)
¿Cuántas bombas y de qué manera hay que acoplarlas para formar el
acoplamiento ‘BOMBA 1’?
¿Cuál será la velocidad de giro de la BOMBA 2?
¿En qué porcentaje hay que recortar los rodetes del acoplamiento
‘BOMBA 3’?
¿Cuánto cuesta el [m3] producido de agua dulce en [є/m3]?
Figura 3.26. Esquema de la instalación de desalación
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 42
3.27. Se dispone de 3 bombas iguales, cuya curva característica es:
H = 20 + Q – Q2
Se necesitan elevar 6 [m3/s] a una altura de 10 [m]. ¿Qué configuración deberá
tener el acoplamiento si la conducción tiene unas pérdidas cuya expresión es
∆H = 0,2 ⋅ Q2?
3.28. Se desea instalar una bomba centrífuga en un proceso industrial, en una planta al
nivel del mar (presión atmosférica 101 300 [Pa]), en el cual se impulsa el líquido desde
un recipiente situado en la aspiración de la citada bomba, a presión atmosférica, hasta
otro recipiente en vacío, cuya presión ambiente absoluta es 65 000 [Pa]. La diferencia
de cotas entre los niveles libres de ambos depósitos es de 23 [m].
El circuito hidráulico consiste una tubería de aspiración cuyas pérdidas son
despreciables, una válvula de regulación que en posición totalmente abierta, también
supone pérdidas de carga despreciables, y una tubería de impulsión de acero inoxidable
de 20 [”], DN500, cuyo diámetro exterior es de 508,0 [mm] y cuyo espesor es de
7,92 [mm]. La longitud equivalente de la tubería incluyendo codos y accesorios o
singularidades hidráulicas es de 50 [m]. La rugosidad absoluta de la tubería es
ε = 0,1 [mm].
La bomba se ha seleccionado pensando en un tipo concreto cuyas prestaciones
se deducen a partir ensayos realizados en un modelo a escala con agua fría como fluido
de ensayo. Los principales datos de dichos ensayos han sido:
•
•
•
•
Velocidad de rotación:
2365
Diámetro de referencia del rodete: 196
Curva característica (Q en [m3/s]):
H = 46,1 – 1710,94 ⋅ Q2
[m C.A.]
3
Curva de rendimiento (Q en [m /s]):
η = 22,7 ⋅ Q – 151,1 ⋅ Q2
[-]
[r.p.m.]
[mm]
El proceso en que se ha de implantar la bomba incluye el trasiego alternativo de
dos líquidos bien diferentes: aceite de oliva y bromuro de etileno, cuyas características a
sus respectivas temperaturas de operación, se incluyen a continuación:
•
Aceite de oliva:
•
Bromuro de etileno: densidad:
viscosidad cinemática:
densidad:
viscosidad cinemática:
915
43,200
[kg/m3]
[cSt]
2180
0,787
[kg/m3]
[cSt]
El caudal másico fijado, por el cliente para el proceso es, en ambos casos, de
1250 [kg/s]. El proceso es continuo, con semanas alternadas para cada fluido. Con estas
premisas se ha elegido para ambos procesos un tamaño de bomba con diámetro de
referencia de 600 [mm], y cuyo impulsor va accionado por un motor eléctrico, cuyo
rendimiento en función de la potencia mecánica, P expresada en [MW] tiene la
expresión siguiente:
ηa = 0,7882 + 0,25 ⋅ P – 0,138 ⋅ P2
[-]
En todos los casos, considerar que g = 9,81 [m/s2]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 43
Determinar:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
El punto de funcionamiento (Q, H) para cada fluido, donde Q en [m3/s] y
H en [m C.A.].
La velocidad de rotación cuando el fluido de operación es el bromuro de
etileno, si se asume que no existen efectos de escala de ningún tipo con este
fluido.
La velocidad de rotación cuando el fluido es aceite de oliva, asumiendo que
existen efectos de escala (en este caso variación de la viscosidad) que se
traducen en reducciones de caudal volumétrico, de altura de impulsión y de
rendimiento de la bomba respecto a un fluido con viscosidad cinemática
similar a la del agua. Estos efectos de escala para puntos de funcionamiento
homólogos resultan ser, respectivamente, de 3,75 [%] para el caudal, de
6,94 [%] para la altura de impulsión y de 8 [%] para el rendimiento, en la
zona de interés.
Las potencias mecánica y eléctrica en cada caso, expresadas en [kW].
El equivalente energético (o energía específica) global de la máquina,
expresado en [kW-h/m3] y [W-h/kg] para el punto de funcionamiento en
ambos casos.
El coste de la factura eléctrica semanal en el bombeo de cada fluido si se
aplican dos precios diferentes para el [MW-h]: 92,59 [€] entre las 7 [h] de la
mañana y las 11 [h] de la noche y 25,85 [€] para el resto del tiempo. En
función de los datos obtenidos deducir cuál es el proceso más caro.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 44
3.29. En un abastecimiento de agua para consumo humano se ha previsto instalar la
captación desde un río mediante un bombeo de baja cota para ser equipado con 8
bombas axiales directamente montadas cada cual en su cántara en el foso de aspiración.
De esta forma será posible captar más o menos caudal de acuerdo con las necesidades
del municipio y de disponibilidad de agua en el río. El caudal de diseño del conjunto de
bombas, especificado por el cliente, es de 2,4 [m3/s].
Desde el citado foso se bombeará el agua a un canal dotado de un vertedero de
pared gruesa, común a todas las bombas por medio tuberías de impulsión idénticas,
cuyo diámetro interior es 400 [mm] y la rugosidad 0,24 [mm], equipadas todas ellas con
su válvula de mariposa correspondiente de diámetro interior 300 [mm]; para instalar
dichas válvulas se ha previsto un juego de reducción – expansión sin especificar.
Con el fin de optimizar al máximo el consumo energético del bombeo se ha
procedido a la instalación de dos bombas de un mismo fabricante pero de características
diferentes: bomba tipo HE300, curva nº5 y bomba HE380, curva nº4; donde el número
que sigue a las letras HE, denota el diámetro del rodete (ver Figuras 3.29.a y 3.29.b).
Por otro lado, se han respetado siempre las características: longitudes y diámetros en las
tuberías de impulsión, diámetros y características de válvulas, etc. El diámetro interior
de la sección donde se alojan las tomas de presión es 350 [mm] para la bomba HE300 y
de 400 [mm] para la bomba HE380. Se asume que las pérdidas de carga en la expansión
que sigue a la sección de tomas de presión en la bomba HE300, son despreciables.
Se incluyen, como documentación adicional, las curvas de funcionamiento de
ambas bombas (ver Figuras 3.29.a y 3.29.b); no se empleará la información relativa a
NPSH, ni a potencias en el eje. Respecto de las válvulas el fabricante presenta la
Tabla 3.29 de coeficientes de pérdida de carga en función del grado de apertura de la
mariposa, en la cual 0 [º] corresponde a válvula completamente abierta
Grado de
0
5
10
15
20
25
30
40
50
60
65
70 90
apertura [º]
Coeficiente
0,19 0,24 0,52 0,90 1,54 2,51 3,91 10,8 32,6 118, 256, 751, ∞
ξ [-]
Pérdida de
carga
∆H = ξ ⋅
v2
2⋅ g
[m C.A.]
Tabla 3.29. Pérdidas de carga de la válvula de mariposa
Las principales cotas altimétricas en [m] (s.n.m.) de la instalación son:
•
•
•
•
•
•
Solera del foso de aspiración:
Boca de aspiración (en ambas bombas)
Sección de tomas de presión en la impulsión (bomba HE300):
Sección de tomas de presión en la impulsión (bomba HE380):
Piso de armarios eléctricos de la caseta de bombas:
Labio de vertido en el canal:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
zsol = 450,00
zboca = 450,50
ztomas = 452,50
ztomas = 452,69
zpiso = 454,00
zlabio = 453,80
Tema 3: Bombas - 45
Sobre dichas bombas se han realizado unas mediciones de caudal y energía
hidráulica específica (o, lo que es lo mismo, su equivalente altura de impulsión) con la
válvula totalmente abierta. Para medir la altura de impulsión se ha dispuesto un
manómetro de Bourdon cuyo plano de referencia se situaba a 1,5 [m] por encima del
piso de armarios y un caudalímetro de ultrasonidos con sondas de inserción en la tubería
de impulsión.
En el momento de realizar las lecturas, el nivel en el foso de aspiración
correspondía a un calado de 3 [m] respecto de la solera. En el canal a la salida de las
tuberías de impulsión el nivel en el vertedero se situaba a 0,20 [m] sobre el labio de
vertido (se ha comprobado que este nivel era constante e independiente del caudal).
Las lecturas obtenidas en la bomba HE380, han sido:
•
•
lectura en el caudalímetro:
lectura en el manómetro de impulsión:
0,300 [m3/s]
2055 [Pa] (relativa)
Datos de cálculo:
•
•
•
densidad:
viscosidad cinemática:
aceleración gravedad:
1000
1,2 ⋅ 10-6
9,81
[kg/m3]
[m2/s]
[m/s2]
Se pide:
a)
b)
c)
d)
e)
Determinar el punto de funcionamiento de la bomba HE380, tanto por
cálculo como gráficamente en la figura anexa.
Determinar la longitud equivalente de cada tubería, sin que se incluya en esta
la pérdida de carga correspondiente a la válvula.
Determinar el punto de funcionamiento y la presión en la impulsión leída en
el manómetro para el caso de HE300.
Determinar las expresiones de las curvas de rendimiento global en función
del caudal y la potencia mecánica para cada bomba.
¿Cuál de las dos bombas resulta más atractiva económicamente, si se asume
que el coste del motor es similar (precio de la bomba y coste de la factura
eléctrica)? Razonar la respuesta. Considerar el punto actual de
funcionamiento en cada bomba.
Es evidente que la bomba HE 300 suministra mayor caudal que el especificado
por el cliente. Respecto de esta bomba, exclusivamente, se pide:
f)
g)
h)
Enunciar las soluciones que se pueden proponer para cumplir
especificaciones (caudal igual a 300 [L/s]).
Determinar entre que grados de apertura se debe situar la lenteja de la
mariposa para obtener el caudal especificado por el cliente.
Como alternativa a la anterior determinar la nueva velocidad de rotación para
obtener el citado caudal especificado
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 46
Figura 3.29.a. Curvas características de la bomba HE300
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 47
Figura 3.29.b. Curvas características de la bomba HE380
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 48
3.30. Un dique seco para reparación de buques de cabotaje dispone de 3 grupos de
bombeo sumergibles de aguas cargadas instalados según el esquema de la Figura 3.30.a
(disposición nº 1). Cada bomba extrae agua del dique por un circuito independiente del
resto. El dique tiene forma de paralelepípedo con 80 [m] de longitud; 20 [m] de anchura
y 14,5 [m] de profundidad útil.
Cada circuito (disposición nº1) consta de la propia bomba sumergible cuya
característica hidráulica se adjunta en la curva nº4 de la Figura 3.30.b, un codo en la
brida de impulsión de ésta, la tubería que asciende, otro codo en la superficie y un
pequeño tramo recto final, realizándose el vertido hacia la ría, descargando a la
atmósfera. La longitud total equivalente de la tubería (contabilizando todas las pérdidas)
es de 122 [m], el diámetro interior de 0,700 [m] y el coeficiente de fricción a considerar
es f = 0,013 [-]. Suponer que la aceleración de la gravedad es 9,81 [m/s2].
El vaciado se suele realizar en la bajamar. El dique se considera lleno a la cota
+7 [m] y vaciado cuando se llega a la cota (en el interior del dique) –7,5 [m]. En ese
momento una boya de fin de carrera provoca el disparo de cada bomba y su parada
automática. Se pide:
a)
Calcular las curvas resistentes del circuito y representarlas en la gráfica de la
curva característica de la bomba. Obtener gráficamente los puntos de
funcionamiento inicial y final del proceso de achique.(ENTREGAR LA
GRÁFICA JUNTO CON EL RESTO DEL PROBLEMA).
b)
Calcular el tiempo que se tarda en el achique, en el supuesto de que el caudal
medio en el bombeo corresponda a la media de los puntos inicial y final. A
su vez todas las bombas arrancan y paran al mismo tiempo.
Un técnico del astillero decide mejorar el proceso de bombeo colocando desde la
actual sección de salida un tramo de tubería hasta sumergirse en la ría llegando a la cota
+1 [m] (ver Figura 3.30.a, disposición nº 2). Se supone que la longitud equivalente del
circuito hidráulico de cada bomba sigue siendo prácticamente igual a la disposición
original. También permanecen constantes el diámetro y el coeficiente de fricción. Se
pide:
c)
Calcular ahora el tiempo que tarda el bombeo en achicar el dique, adoptando
los mismos criterios que en la configuración anterior. Para simplificar el
problema se supondrá que el nivel en la ría es constante a la cota +5 [m]
(media de pleamar y bajamar).
d)
Tiene que realizar alguna crítica a favor o en contra de la nueva disposición
adoptada respecto de la original (1 línea por comentario). Proponer, en su
caso nuevas actuaciones (dos líneas) para eliminar los posibles problemas.
Luego de un fallo de aislamiento se estropean los motores de las 3 bombas.
Como solución de emergencia, se buscan 3 bombas centrífugas clásicas montadas sobre
bancada y con motores no sumergibles (ver Figura 3.30.a, disposición nº 3). Para
simplificar el problema se supone que las curvas características (alturas - caudales,
potencias, NPSH) de las bombas siguen siendo iguales a las anteriores. Se aprovechan
asimismo las tuberías de la disposición nº2, debiendo instalarse en la aspiración, una
válvula de pie para evitar el descebado. Permanecen constantes el diámetro y el
coeficiente de fricción. Se pide:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 49
e)
Calcular el nuevo tiempo de vaciado asumiendo el mismo nivel en la
impulsión que en la disposición nº2. Tiene que hacer alguna crítica a la
nueva disposición (nº3) adoptada.
Figura 3.30.a. Las 3 disposiciones posibles de la instalación
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 50
Figura 3.30.b. Curvas características de la bomba BF-75
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 51
3.31. Se desea realizar un bombeo industrial de agua fría. El punto de funcionamiento
deseado es aquel que tiene una altura de impulsión de 15,5 [m C.A.] y un caudal de
65 [L/s] (ver Figura 3.31).
a)
Seleccionar de entre el catálogo de los ábacos la bomba más adecuada,
justificando comparativamente la respuesta (2 líneas).
b)
Determinar el diámetro de impulsión del rodete correspondiente.
Asimismo se ha previsto que la misma bomba se emplee para inyectar un líquido
de densidad 950 [kg/m3] y viscosidad 65 [cSt].
c)
Determinar los 4 puntos característicos de funcionamiento de la bomba con
el nuevo producto. Es decir H, Q, P, η para el 100 [%], 120 [%], 80 [%],
60 [%] del punto nominal de funcionamiento. Se indicarán dichos puntos en
la hoja milimetrada adjunta.
d)
¿Cuál será la lectura del manómetro de impulsión, en [Pa], si se asume que
las pérdidas en la aspiración (y en la impulsión hasta el propio manómetro)
son nulas? La tubería es de 5 [”] y su diámetro interior de 127 [mm].
Figura 3.31. Esquema de la instalación
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 52
3.32. Dadas las curvas correspondientes a una bomba que gira a 1450 [r.p.m.]:
H = C1 + C2 ⋅ Q2
η = C3 ⋅ Q + C4 ⋅ Q2
donde C1 = 80, C2 = - 4000, C3 = 25 y C4 = - 176,77, con caudales expresados en
[m /s], se pide:
3
a)
Dibujar las gráficas de H - Q, η - Q, potencia en el eje-Q y potencia útil-Q.
b)
Calcular analítica y gráficamente las parábolas de isorrendimiento por
cambio en la velocidad de giro para rendimientos crecientes desde
η = 40 [%], con incrementos del 10 [%] (40 [%], 50 [%], 60[%],…). A partir
de ellas, dibujar aproximadamente las curvas de colina de isorrendimiento
reales que tendría esta bomba.
c)
Buscar la combinación serie-paralelo que permita trabajar a 1450 [r.p.m.] en
las inmediaciones del punto Q = 0,12 [m3/s] y H = 65 [m] con el criterio de
menor número de bombas y mejor rendimiento.
3.33. Se considera una bomba del catálogo (ábacos) tipo IN 80-250-aF tanto a
1450 [r.p.m.] como a 2970 [r.p.m.]. Se trata de verificar las relaciones de semejanza
hidráulica en el punto de óptimo rendimiento.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 3: Bombas - 53
3.34. En un balneario se quiere adquirir una partida de bombas para bañeras de
hidromasaje. En cada bañera, va acoplada una bomba que absorbe de una piscina que
contiene aguas con propiedades termales. La impulsión de la bomba se bifurca,
dividiéndose el caudal en dos, para ser impulsado a través de dos boquillas, situadas a
ambos lados de la bañera y a una profundidad de 0,7 [m] respecto al nivel de la misma.
Las boquillas tienen un diámetro de 1 [cm] y las pérdidas en cada una de ellas tienen
una constante de valor 624021,2 [m C.A./(m3/s)2]. Para lograr un adecuado efecto de
masaje, la velocidad del agua al salir por las boquillas debe ser superior a los 10 [m/s].
La bomba funciona prácticamente todo el tiempo con la bañera llena. El nivel de la
piscina es 30 [cm] inferior que el de los chorros y las pérdidas en todo el circuito
(excepto boquillas) se pueden considerar despreciables. Se dispone de 3 modelos
correspondientes a la familia de bombas TIPER marca ESPA con distintos diámetros.
Los 3 modelos son bombas monoblock, es decir, con motor incorporado que va incluido
en el precio. De dichos modelos, se conocen los puntos de sus curvas características
mostrados en la Tabla 3.34 (H-Q y Pm-Q) y motores acoplados.
Tipo de
bomba
TIPER
75
TIPER
50
TIPER
30
Caudal
[L/min]
Altura
[m C.A.]
60
150
240
60
150
240
60
150
240
13
6,1
12
4,1
11
2
Potencia
mecánica
[kW]
0,52
0,68
0,80
0,48
0,58
0,62
0,42
0.49
0,52
Potencia
nominal del
motor
[kW]
Rendimiento Rendimiento
del motor al del motor al
100 [%]
50 [%]
η [-]
η [-]
Precio
[€]
0,75
0,69
0,65
190
0,75
0,69
0,65
198
0,55
0,68
0,64
202
Tabla 3.34. Puntos conocidos de las curvas características y del motor
Las curvas características son de la forma siguiente:
H = A + C ⋅ Q2
Pm = D + E ⋅ Q + F ⋅ Q2
Las bombas tienen una vida útil estimada (n) de 8 años y el tipo de interés vigente
(t) es del 5 [%]. El factor de amortización del coste total para el primer año es
A.F. = t ⋅ (1 - (1 + t) - n) -1
Este primer año el [kW-h] tiene un precio de 0,09 [€] y cada bañera funciona una
media de 2 horas diarias en temporada baja (120 días), 3 horas diarias en temporada media
(120 días) y 4 horas diarias en temporada alta (120 días). El resto de días el balneario
cierra. Elegir el modelo óptimo de bomba desde el punto de vista de mínimo coste
conjunto de inversión y explotación.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 4: Turbinas - 54
Tema 4: Turbinas
4.1. Se tiene una máquina que gira a 500 [r.p.m.], cuyo diseño corresponde al período
1965-1969. Se dispone de la colina de rendimientos de los ensayos en modelo de dicha
máquina, que se muestra en la Figura 4.1.
Se pide:
a)
b)
c)
d)
Determinar las condiciones de funcionamiento en el punto de óptimo
rendimiento y en el nominal.
Cota de implantación (eje del rodete)
Saltos brutos característicos y coeficiente de pérdidas de carga de la tubería
Dimensionar la máquina.
Nota.- para determinar las condiciones del punto de funcionamiento nominal se
recomienda considerar un caudal nominal aproximadamente un 15 [%] superior al
caudal óptimo y utilizar la curva resistente de la instalación para calcular el salto neto
nominal correspondiente.
Figura 4.1. Colina de rendimientos del modelo
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 4: Turbinas - 55
4.2. Un aprovechamiento hidroeléctrico dispone de 6 grupos turbina-alternador
iguales. Para este tipo de turbinas, un estudio estadístico realizado sobre múltiples
máquinas en todo el mundo, sugiere la siguiente relación estadística entre el ns y el salto
neto nominal (de diseño) H:
ns = 2959 ⋅ H–0,625 [*]
(H en [m C.A]).
A plena apertura de distribuidor, se recoge en el canal de fuga un total de
690 [m /s], provenientes de los seis grupos. En estas condiciones, atraviesa las turbinas
un caudal 1,25 veces el caudal circulante en el punto de funcionamiento óptimo. El
rendimiento de las turbinas varía según el punto de funcionamiento, tal y como se
muestra en las curvas de colina adjuntas facilitadas por el «Bureau of Reclamation» (ver
Figuras 4.2.a y 4.2.b), mientras que los alternadores funcionan a un rendimiento
eléctrico constante de 0,97 [-]. La potencia que cada una de las 6 turbinas transmite al
alternador es, en el punto de funcionamiento óptimo, de 104,892 [MW]. Calcular:
3
a)
b)
c)
d)
Grado de apertura del distribuidor en el punto de funcionamiento óptimo.
Salto neto nominal en cada conducción hasta la entrada de las turbinas,
expresado en [m C.A.], si se realiza la hipótesis de que las pérdidas de carga
son despreciables.
Potencia total en el nominal y máxima que puede dar el aprovechamiento.
Número de pares de polos del alternador y valor de ns.
Nota.- suponer que las maniobras de regulación no modifican sustancialmente el salto
neto.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 4: Turbinas - 56
Figura 4.2.a. Curva de colina H-Q
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 4: Turbinas - 57
Figura 4.2.b. Curva de colina P-Q
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 4: Turbinas - 58
4.3. Se ha previsto la instalación de 2 bombas turbina en un aprovechamiento
hidroeléctrico entre dos embalses. Los valores de niveles y saltos brutos se indican en la
Tabla 4.3. Los grupos son alimentados por dos tuberías forzadas independientes de
195 [m] de longitud y diámetro variable entre 7 [m] y 4,5 [m] y vierten por una única
conducción de aspiración primero de 49 [m] de longitud, y 6,9 [m] de diámetro y luego
de 884 [m] de longitud con un área de 154 [m2].
Las máquinas prototipo tiene un diámetro de referencia de 3,860 [m] y giran a
200 [r.p.m.]. La potencia límite del alternador es de 230 [MVA] y el rendimiento de
éste, que se puede considerar constante, es de ηa = 98,75 [%]. El caudal nominal en
turbina es de 170 [m3/s]
Las máquinas hidráulicas a instalar se basan en un diseño ensayado en
laboratorio cuya colina se muestra en las Figuras 4.3.a y 4.3.b, tanto en turbina como en
bomba. Los coeficientes de semejanza aplicados son los tradicionales. Las ensayos
fueron realizados en agua fría, a salto constante de 20 [m C.A.] para funcionamiento en
turbina y a 25 [m C.A.] para funcionamiento en bomba. El diámetro de rodete de
referencia (aspiración) era de 250 [mm].
Las pérdidas mecánicas externas entre máquina hidráulica y máquina eléctrica se
pueden considerar despreciables, así como las pérdidas de carga en el circuito hidráulico
tanto en bomba como en turbina.
Se pide, siempre para funcionamiento de una sola máquina:
a)
Marcar los límites de funcionamiento en ambas colinas.
b)
Determinar gráficamente, en la hoja adjunta la colina parcial de rendimiento
en turbina entre las aperturas de distribuidor 16 [º] y 40 [º], con y sin
revalorización para el funcionamiento de la turbina con salto bruto nominal.
La fórmula de revalorización a aplicar es la de Hutton. Indicar en una tabla
los valores numéricos obtenidos de caudales y rendimientos.
Determinar gráficamente, en la hoja adjunta la característica H-Q y la colina
parcial de rendimiento en bomba entre los saltos brutos de operación sin
revalorización de rendimientos. Indicar en una tabla los valores obtenidos de
caudales y rendimientos.
Determinar la cota de implantación del rodete.
Comparar el resultado del apartado anterior con las estadísticas existentes.
¿Tiene alguna crítica que realizar al funcionamiento previsto?
c)
d)
e)
f)
Salto bruto /Altura de impulsión bruta [m]
nominal máximo mínimo
turbina
137,83
145
126
bomba
137,83
145
112
Cotas de los embalses [m] (s.n.m.)
superior
328
318
inferior
206
183
Tabla 4.3. Saltos brutos y cotas de los embalses
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 4: Turbinas - 59
Figura 4.3.a. Funcionamiento del modelo como turbina
Figura 4.3.b. Funcionamiento del modelo como bomba
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 4: Turbinas - 60
4.4. Se han instalado 9 turbinas Francis en un aprovechamiento hidroeléctrico a pie
de presa situado en la Baie James (Canadá). Los valores de saltos brutos se indican en la
Tabla 4.4. Los grupos son alimentados por nueve tuberías forzadas independientes de
100 [m] de longitud y 7 [m] de diámetro, pudiendo asumirse como nulas las pérdidas de
carga de éstas.
Las máquinas prototipo tiene un diámetro de referencia de 5,550 [m], van
acopladas a un alternador síncrono de 28 pares de polos, cuya potencia límite es de
315 [MVA] y cuyo rendimiento, que se puede considerar constante, es de
ηa = 99,00 [%]. Las turbinas funcionan con aperturas de distribuidor comprendidas entre
133,4 [mm] y 333,5 [mm]. La cota de implantación del rodete, para el plano medio del
distribuidor es la 253,4 [m] (s.n.m.).
El diseño de las turbinas se ha basado en los resultados de ensayos modelo, cuya
colina se muestra en la Figura 4.4. Las condiciones del ensayo han sido: agua fría a
26 [ºC], a salto constante de 15 [m C.A.] para funcionamiento en turbina; diámetro de
rodete de referencia (aspiración) era de 416 [mm].
Suponer viscosidad fluido prototipo de valor 1 ⋅ 10-6 [m2/s].
La fórmula de revalorización de rendimientos a aplicar es la de Hutton.
Las pérdidas mecánicas externas entre máquina hidráulica y máquina eléctrica se
pueden considerar despreciables, así como las pérdidas de carga en el circuito hidráulico
de la turbina.
Los valores del coeficiente de cavitación de Thoma previstos para esta central
(σpl) oscilan entre 0,13 [-] (máximo salto) y 0,17 [-] (salto mínimo). Suponer
σadmisible = 0,10 [-]. Suponer T = 10 [ºC].
Se pide, siempre para funcionamiento de una sola máquina:
a)
Marcar en la colina adjunta, los límites de funcionamiento previstos en
prototipo.
b)
Número de Reynolds en modelo y en prototipo.
c)
Velocidad de rotación y caudal durante el ensayo en modelo para los puntos
extremos de la colina parcial Am= 22,5 [mm].
d)
Determinar gráficamente, en la hoja adjunta la colina parcial de rendimiento
en turbina entre las aperturas de distribuidor con y sin revalorización para el
funcionamiento de la turbina con salto bruto nominal. Indicar en una tabla
los valores numéricos obtenidos de caudales y rendimientos.
e)
Determinar el nivel de desagüe.
f)
Comparar el resultado de la pregunta anterior con las estadísticas existentes
Energía bruta [J/kg]
nominal
máximo
mínimo
1144
1163
1133
Tabla 4.4 Energías brutas de la instalación
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 4: Turbinas - 61
Figura 4.4. Colina obtenida en los ensayos con el modelo
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 4: Turbinas - 62
4.5. La colina de la Figura 4.5 corresponde a una turbina Kaplan de diámetro
2850 [mm], acoplada a un generador síncrono de 750 [r.p.m.] mediante un multiplicador
de velocidad de relación de transmisión 1/5,77. Se pide:
a)
Calcular las diferentes expresiones de velocidad específica en el óptimo (nq,
ns y ν).
b)
Calcular QnD, EnD, φ y ψ. Comprobar la relación entre ν, φ y ψ.
Se quiere utilizar los mismos moldes del rodete para otro aprovechamiento en el
que el salto neto nominal (que en este caso coincide con el óptimo) es de 3,75 [m], por
lo que se decide que las máquinas sean exactamente iguales.
c)
Calcular la velocidad de rotación de la nueva máquina y la nueva relación de
transmisión del multiplicador, si el generador gira a la misma velocidad.
d)
¿Cuál será el caudal en el punto óptimo?
e)
Aplicando la fórmula de revalorización de Hutton para este tipo de
máquinas, determinar cuál será el rendimiento en el óptimo para esta nueva
turbina.
f)
Calcular la potencia máxima eléctrica del nuevo generador sabiendo que el
caudal máximo es 1,25 veces el caudal óptimo, que el rendimiento del
multiplicador es del 96 [%] y el rendimiento del generador del 97 [%].
Figura 4.5. Colina de la turbina Kaplan
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 4: Turbinas - 63
4.6. Una turbina Francis que gira a 600 [r.p.m.] tiene un salto neto nominal de
200 [m C.A.] y un caudal nominal de 13,5 [m3/s]. Desde el punto de vista de cavitación
se ha detectado que la situación más desfavorable se produce cuando, debido a las
oscilaciones estacionales del depósito de extremidad, el salto neto vale 250 [m C.A.], ya
que en esta situación el caudal a distribuidor plenamente abierto alcanza los
21 [m3/s].
El rendimiento volumétrico es constante y de valor igual a 0,975 [-] y la sección
a la salida del tubo de aspiración es de 8,65 [m2]. Las pérdidas de fricción y choque (sin
contar el posible efecto torbellino) en el tubo de aspiración valen el 0,5 [%] del salto
neto y el nivel del canal de desagüe se mantiene prácticamente constante a lo largo del
año. Calcular:
a)
nq y ν (velocidad específica científica) para la turbina, dimensiones básicas
(D2e, D1i, D1e) y la cota de implantación de la máquina, calculados a partir
del punto de funcionamiento nominal, al nivel del mar y en base a los datos
estadísticos más recientes.
b)
Si en el punto nominal, la salida del agua de la rueda es sin torbellino,
calcular en estas condiciones las fracciones del salto neto
•
contenidas en la energía cinética del agua a la salida de la rueda, y
•
la pérdida a la salida del tubo de aspiración, así como la presión absoluta
a la salida del rodete.
c)
Si la presión de vapor a temperatura ambiente para el agua es 0,24 [m C.A.],
calcular el margen de seguridad en metros con respecto al nivel del canal de
desagüe con el que cuenta la turbina para no entrar en cavitación en la
situación más desfavorable, con H = 250 [m C.A.] y Q = 21 [m3/s]. En estas
condiciones, el ángulo α2 a la salida de la rueda vale 85 [º].
d)
Calcular el incremento de pérdidas producidas en el tubo de aspiración
debido a la aparición de la componente tangencial de la velocidad absoluta
cu2 a la salida del rodete.
Nota.- σ = 35,29 ⋅ 10 –5 ⋅ nq 1,41
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 4: Turbinas - 64
4.7. El esquema de la Figura 4.7.a representa tres tramos de tubería de fibrocemento,
estando dichos tramos en el mismo plano. Los tramos I y II derivan del III y proveen de
agua a dos urbanizaciones. Debido a las necesidades de consumo, en condiciones
normales en el punto 2 debe existir una presión de 15 [m C.A.] para un caudal de 5 [L/s]
y en el punto 1 el caudal debe ser también de 5 [L/s]. La presión en 1 deberá ser mayor
o igual a 15 [m C.A.]. Las longitudes y diámetros de los tramos son:
•
•
•
LI = 1000
LII = 1500
LIII = 3000
[m];
[m];
[m];
DI = 100
DII = 100
DIII = 150
[mm]
[mm]
[mm]
En la Tabla 4.7.a aparecen las pérdidas de carga en [mm C.A.] por metro lineal
de tubería para diferentes caudales y diámetros en conducciones de fibrocemento. Para
otros caudales, interpolar. El sistema está alimentado por una bomba accionada
directamente por una turbina Pelton de 1 inyector por el que circula un caudal de
10 [L/s], de manera que el nivel del depósito se mantenga constante (ver Figura 4.7.b).
El desnivel hasta el punto 3 de enganche a la conducción es de 5 [m], siendo en este
pequeño tramo despreciables las pérdidas por fricción. Los datos de las máquinas se
muestran en la Tabla 4.7.b. Se pide:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Presión en [m C.A.] en los puntos 1 y 3.
Potencia mecánica entregada a la bomba.
Salto neto bajo el que opera la turbina.
Acción del chorro y par producido.
Rendimiento manométrico y mecánico de la turbina.
Velocidad de giro del conjunto turbina-bomba.
Dibujar los triángulos de velocidades de la turbina.
Comprobar que realmente se trata de una turbina Pelton.
D [mm]
70
80
100
125
150
2
4,75
4
16,68
8,69
2,95
Caudales [L/s]
6
8
35,16
60,01
18,24
31,02
6,14
10,38
2,08
3,50
10
12
46,96
15,64
5,25
2,17
21,90
7,33
3,02
Tabla 4.7.a. Pérdidas de carga por unidad de longitud de las tuberías de fibrocemento
de acuerdo con la fórmula de Colebrook
DATOS DE LAS MÁQUINAS
PELTON
BOMBA
ηglobal = 0,7 [-]
ηglobal = 0,7 [-]
ηvol = 1,0 [-]
Ku1 =0,435 [-]
Kc1 =0,97 [-]
dj/Dp =0,141 [-]
β2 =15 [º]
ratio w2/w1: m = 0,96 [-]
Tabla 4.7.b. Datos de las máquinas
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 4: Turbinas - 65
Figura 4.7.a. Esquema de la instalación
Figura 4.7.b. Grupo turbina-bomba
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Tema 4: Turbinas - 66
4.8. Un aprovechamiento hidroeléctrico con un salto bruto medio anual de
139,83 [m], dispone de 6 grupos turbina-alternador iguales, alimentados
individualmente cada uno por una tubería forzada. Para este tipo de turbinas, un estudio
estadístico realizado sobre múltiples máquinas en todo el mundo, sugiere la siguiente
relación estadística entre el ns y el salto neto nominal (o salto neto de diseño) H:
ns = 2959 ⋅ H – 0,625 [*]
(H en [m C.A.])
A plena apertura de distribuidor, se recoge en el canal de desagüe un total de
690 [m3/s], provenientes de los seis grupos. En estas condiciones (nominales), atraviesa
las turbinas un caudal 1,25 veces el caudal circulante en el punto de funcionamiento
óptimo. El rendimiento de las turbinas varía según el punto de funcionamiento, tal y
como se muestra en las curvas de colina mostradas en las Figuras 4.2.a y 4.2.b
facilitadas por el «Bureau of Reclamation», mientras que los alternadores funcionan a
un rendimiento eléctrico constante de 0,97 [-]. La potencia que cada una de las 6
turbinas transmite al alternador es, en el punto de funcionamiento nominal, de
123,402 [MW]. Calcular:
a)
Salto neto en el nominal y pérdidas en la conducción hasta la entrada de las
turbinas, expresadas en [m C.A.].
b)
La potencia total de cada máquina en el óptimo y el salto neto en el óptimo.
c)
Si cada alternador se ha diseñado con una limitación de potencia (eléctrica)
de 137,655 [MW] dibujar la curva límite de potencia en ambas gráficas:
colinas H-Q y H-P.
d)
Dibujar y resaltar el conjunto de curvas límite en la colina H-Q: apertura de
distribuidor, potencia del alternador, frontera de salto neto.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2004-2005 - 67
Exámenes: 2004-2005
04-05-FEB.1.
(35 minutos)
El salto bruto nominal (o de diseño) de una turbina Francis es 145 [m]. Las
curvas características o de colina correspondientes al diseño de Francis seleccionado
son las que se adjuntan. En el eje de abscisas se representan potencias de la turbina y en
el eje de ordenadas saltos netos, ambos expresados en términos porcentuales en relación
al salto neto nominal y potencia asociada a distribuidor abierto respectivamente. El
caudal nominal en dicha instalación, se corresponde para el salto neto nominal con un
grado de apertura del distribuidor del 80 [%]. Por otra parte, a salto neto nominal la
turbina da una potencia máxima de 150692,093 [kW]. Debido a las oscilaciones
estacionales el salto bruto alcanza un máximo anual de valor 179,075 [m]. Calcular
a)
Potencia máxima en [kW] que puede dar la turbina.
b)
nq de la turbina en el punto nominal sabiendo que el alternador conectado
tiene 14 pares de polos.
Se construye otra máquina del mismo diseño pero con un tamaño un 50 [%]
mayor. En este caso, el rendimiento con respecto a la máquina anterior experimenta una
revalorización en todo el rango de funcionamiento de aproximadamente un 1 [%]. Dicha
máquina se sitúa en una central donde el salto bruto alcanza un máximo anual de
90,123 [m C.A.].
c)
En estas condiciones, para un grado de apertura del distribuidor del 70 [%],
calcular potencia y caudal de esta turbina si el alternador conectado tiene
28 pares de polos.
Los puntos nominales en ambas máquinas son homólogos.
En ambas instalaciones hidroeléctricas, las pérdidas en la conducción hasta
entrada de turbina son despreciables para los distintos grados de apertura del
distribuidor.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2004-2005 - 68
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2004-2005 - 69
04-05-FEB.2.
(60 minutos)
Se pretende alimentar a una población mediante dos bombas en paralelo dotadas
de motores de velocidad variable desde un canal en el que se supone un nivel constante.
A la entrada de la población, que se encuentra en la cota 10 respecto al nivel en
el canal, se requiere una presión que es función del consumo de la población según la
siguiente expresión:
p = 3 + 4 ⋅ Q2
(p en [bar] y Q en [m3/s])
Las bombas son del tipo 150/400.b, el rodete es de 418 [mm] y pueden girar
entre 1000 [r.p.m.] y 2000 [r.p.m.].
Las ecuaciones deducidas de las curvas suministradas por el fabricante con Q en
[m /s] son para 1480 [r.p.m.]:
3
H = 59,56 + 150 ⋅ Q – 1406,25 ⋅ Q2
[m C.A.]
NPSHr = 2,125 – 37,5 ⋅ Q + 312,5 ⋅ Q2
[m C.A.]
a)
Calcular la velocidad de giro de una bomba funcionando en solitario cuando
tiene que suministrar el caudal mínimo de consumo estimado en 50 [L/s].
b)
Calcular el caudal máximo que puede ser suministrado con este bombeo.
c)
Suponiendo que la del punto anterior es la peor condición de funcionamiento
desde el punto de vista de cavitación, calcular en estas condiciones la cota de
implantación de las bombas.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2004-2005 - 70
04-05-FEB.3.
(60 minutos)
Se va a equipar una planta de desalación de agua de mar, por ósmosis inversa,
con las bombas de alta presión correspondientes (ver Figura 1). El tipo elegido,
solución clásica, consiste en una bomba centrífuga multietapa, de la cual se posee la
información sintetizada en la Figura 2, que contiene datos relevantes de los ensayos en
modelo realizados en dicha máquina. Para el prototipo se ha pensado en un diámetro de
rodete (salida en bomba) D2e = 380 [mm] y una velocidad de rotación de 2980 [r.p.m.].
Este método de desalación de agua de mar, se suele realizar inyectando el agua
salada a alta presión sobre la batería de membranas, de forma que una cierta cantidad de
agua dulce pasa al otro extremo de éstas membranas, permaneciendo en el lado de alta
presión el resto, denominado salmuera. La presión que permite la separación de la sal, y
la cantidad de agua desalada, suelen variar con el grado de envejecimiento de las
membranas, teniéndose típicamente los siguientes valores:
•
•
•
•
Temperatura del proceso:
Densidad del agua de mar:
Presión de trabajo membranas:
Producción agua dulce:
θ = 20
[ºC]
ρmar = 1023 [kg/m3]
65 ≤ pII 75 [bar]
40 ÷ 45
[%]
Para evitar problemas de cavitación, tanto en pérdida desde prestaciones como
en riesgo de erosión se ha previsto una contrapresión, constante, en la aspiración p1 de
140 000 [Pa] (relativa). Se asume, como hipótesis simplificadora la inexistencia de
pérdidas de carga de carga en el circuito hidráulico y la nulidad del término cinético a la
entrada. Se pretende el estudio exclusivo del punto de funcionamiento medio, en que la
energía hidráulica másica (expresada como presión total relativa ptII) será de 70 [bar] en
la cámara de entrada a las membranas y la producción de éstas, como media, será del
42,5 [%] del agua inyectada.
Se pide.
a)
Número de etapas de la bomba prototipo. Caudal de agua salada a inyectar y
caudal de agua dulce.
b)
Rendimiento del punto de funcionamiento si se considera no afectado por el
número de etapas, pero debiendo revalorizarlo por medio de la fórmula CEI
(asumir que la viscosidad del agua salada igual a la del agua dulce). Potencia
mecánica.
c)
¿Es adecuada la contrapresión en la aspiración para evitar la cavitación
erosiva? Razonar la respuesta, aplicando, por ejemplo, el método de
implantación de Sulzer. Se supondrá que la presión de vapor del agua salada
es la misma que la del agua dulce.
Vista la importante potencia consumida y el remanente de energía que posee la
salmuera, se ha pensado aprovecharla disponiendo en el mismo árbol de bomba y
motor, una turbina Pelton, insertada entre ambos. Se pide ahora, considerando que la
presión para el punto de diseño (nominal) y óptimo en la turbina, es la misma y coincide
con la presión media de inyección en las membranas:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2004-2005 - 71
d)
Determinar la potencia mecánica que se ahorra en el motor eléctrico por el
hecho de insertar esta turbina en el eje, asumiendo un valor dado en el
rendimiento. Velocidad específica de la turbina.
e)
Si los rodetes de la bomba giran a izquierdas vistos desde la aspiración
(antihorario), y la brida de aspiración se sitúa en el extremo opuesto del lado
motor, donde se deberá colocar en la turbina, el inyector situado por debajo
del eje, para que el chorro impacte adecuadamente sobre las cucharas? A la
izquierda ó a la derecha? Razonadlo con un croquis.
f)
Ventajas e inconvenientes que se tienen en la nueva situación frente a la
inicial.
Figura 1. Esquema de la instalación
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2004-2005 - 72
Figura 2. Resultados de los ensayos en modelo
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2004-2005 - 73
04-05-JUN.1.
(30 minutos)
Una turbina Francis lenta tiene un Kc2 de valor 0,18 [-]. El ángulo α2 vale 85 [º] y
el salto neto bajo el que trabaja vale 100 [m C.A.]. La presión atmosférica es de
10,33 [m C.A.] y la rueda se encuentra 3 [m] por encima del nivel del canal de fuga. Las
pérdidas por fricción en el interior del tubo de aspiración y las pérdidas por
ensanchamiento brusco a la salida del mismo son despreciables.
Calcular:
a)
La fracción del salto neto total que se ha recuperado por la implantación del
tubo de aspiración en relación a una situación en que no hubiera tubo de
aspiración.
b)
¿Qué fracción de la energía cinética total a la salida de la rueda no se puede
recuperar?
c)
¿Que proporción del salto neto representa?
d)
¿Cuál es la presión del agua a la salida de la rueda?
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2004-2005 - 74
04-05-JUN.2.
(45 minutos)
Un constructor de bombas hidráulicas ha recibido un pedido de una bomba cuyo
punto de funcionamiento debe ser:
•
•
•
altura de elevación: 30 [m],
caudal: 72 [t/h], y
velocidad de rotación: 1800 [r.p.m.].
La bomba debe aspirar agua a 20 [ºC] de un depósito abierto. El nivel de la
superficie libre del agua en el depósito se mantiene constante e igual a 4 [m] por debajo
del eje de la bomba. Las pérdidas de carga en la tubería de aspiración son de 0,25 [m]
para un caudal de 10 [L/s]. La presión atmosférica es de 1013 [mbar].
El constructor dispone de una instalación para el ensayo de sus fabricados. En la
Figura se ha esquematizado la citada instalación. El nivel del agua en el depósito es de
1 [m] por encima del eje de la bomba. La presión en el depósito es regulable. El motor
de accionamiento de la bomba gira a 1500 [r.p.m.]. La temperatura del agua durante el
ensayo es de 20 [ºC]. En este banco de ensayo las pérdidas de carga del conducto de
aspiración son de 1,44 [m] para un caudal de 20 [L/s].
Admitiendo que en las condiciones reales de funcionamiento la altura neta
positiva de aspiración debe tener un margen de seguridad de 0,5 [m], calcular la presión
que debe reinar en el depósito del banco de ensayo para poder controlar las
características del punto nominal de funcionamiento de la bomba.
Datos:
1000 [kg/m3]
•
densidad del agua:
•
presión de vapor del agua a 20 [ºC]: 2337 [Pa]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2004-2005 - 75
04-05-SEP.1.
(20 minutos)
Una turbina Pelton funciona con un caudal de 80,7 [L/s] y un salto neto de
113 [m C.A.]. Para este tipo de turbinas, el fabricante ha establecido una relación entre
el coeficiente de velocidad de la velocidad periférica de la rueda (Ku1) y el Nsj (potencias
en [kW]) que es
Ku1 = 0,5445 – 0,0039 ⋅ Nsj
La turbina está funcionando en el punto óptimo con un rendimiento de 0,89 [-] y
se sabe que las pérdidas en el inyector representan un 4 [%] del salto neto. La rueda gira
acoplada a un alternador de 3 [pares de polos].
Se pide:
a)
Potencia de la turbina.
b)
Número de inyectores.
c)
Diámetro medio de la rueda.
d)
Rendimiento manométrico y mecánico, si el rendimiento volumétrico es
~ 1 [-], la fricción en el interior de la cuchara es despreciable y el ángulo de
salida de cuchara es ~ 0 [º].
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2004-2005 - 76
04-05-SEP.2.
(60 minutos)
Se dispone de un bombeo, según el esquema de la figura, equipado con una
máquina que gira a 2960 [r.p.m.], modelo IN-100-200.bF y rodete de 214 [mm] de
diámetro. El circuito hidráulico tiene unas pérdidas de carga globales de acuerdo a las
condiciones de diseño de la instalación en su conjunto, que se puede asumir, se
encuentran concentradas en el circuito de impulsión y que responden a la expresión:
∆H = 1000 ⋅ Q2
[m C.A.], Q en [m3/s]
Como instrumentación para el monitorizado de la máquina se dispone de un
manómetro de Bourdon presión absoluta en la aspiración, de un manómetro del mismo
tipo, pero de presión relativa en la impulsión y de un caudalímetro electromagnético,
también en la impulsión. El caudalímetro suministra una señal eléctrica entre
4 [mA] ÷20 [mA], proporcional al fondo de escala del equipo que es de 150 [L/s].
En el momento actual, con válvula de regulación en la impulsión abierta a tope,
se han realizado unas mediciones que aportan los siguientes datos:
•
Lectura de caudal:
LQ = 13,4815
[mA].
•
Desnivel geométrico:
zII – zI = 32
[m]
Se ha comprobado que, efectivamente, tanto el diámetro de rodete como la
velocidad de rotación son correctos, así como los valores aportados de las cotas de
altimetría correspondientes y los cálculos que han llevado a determinar la expresión de
la curva resistente. El funcionamiento del caudalímetro también ha sido verificado
llegando a la conclusión de que es, asimismo, correcto. Además, se ha verificado la
apertura de la válvula de regulación, que se sitúa efectivamente en el 100 [%]. Se pide,
entonces:
a)
b)
c)
d)
e)
Determinar el punto de funcionamiento actual de la bomba: caudal y altura
de impulsión.
¿Aprecia usted alguna anomalía de funcionamiento digna de reseñar?
Explicar razonadamente y con ayuda de una gráfica, las causas.
¿Cuál será aproximadamente la altura de aspiración a la que se encuentra
trabajando actualmente la máquina?
Determinar el caudal de diseño previsto inicialmente en el circuito y la altura
de aspiración máxima necesaria para lograrlo.
Determinar las lecturas aproximadas en [Pa], de los manómetros de
aspiración e impulsión para las condiciones de funcionamiento actuales.
Suponer ρw = 998,5 [kg/m3] y g = 9,81 [m/s2].
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2004-2005 - 77
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2005-2006 - 78
Exámenes: 2005-2006
05-06-FEB.1.
(35 minutos)
Se necesita seleccionar una bomba para regar la huerta de un caserío. Para
disponer de agua para riego, el dueño ha construido un depósito de hormigón donde se
recogen las aguas de lluvia. El nivel del agua en este depósito se sitúa a 1 [m] por
debajo del suelo. La huerta se riega con una manguera que en toda su extensión tiene
6 [mm] de diámetro. Debido a su avanzada edad, el dueño suele regar sentado,
sosteniendo con su mano la boquilla de la manguera por donde sale el agua a 1 [m] de
altura sobre el suelo. A fin de poder llegar a todos los extremos de su huerta, necesita
que el agua salga a gran velocidad.
Para ello, se dispone de un modelo de bomba de 250 [mm] cuyas curvas
características a 2900 [r.p.m.] son de la forma:
H = C0 + C1 ⋅ Q2
η = E0 ⋅ Q + E1 ⋅ Q2
En esas expresiones los caudales están en [L/min], la altura en [m C.A.] y el
rendimiento en [-] para los coeficientes según la siguiente Tabla:
DIÁMETRO [mm]
250
C0
54,27
C1
– 0,0107
E0
0,0339
E1
– 0,00047348
El motor eléctrico que acciona la bomba tiene un rendimiento de 0,8 [-] y se
pretende que la velocidad del agua sea de 10 [m/s]. A tal fin se manejan tres opciones:
a)
b)
c)
Regulación con una válvula en la impulsión.
Instalar un by-pass.
Cambiar la velocidad de giro de una bomba que con el mismo diseño está
construida a escala siendo el diametro del rodete de 300 [mm].
Las válvulas en la impulsión y en el by-pass son del mismo tipo de compuerta
con guillotina circular y en caso de estar presentes, son los únicos elementos que
generan pérdidas de carga.
Calcular los puntos de funcionamiento e indicadores energéticos de la
instalación en [kW-h/m3] con cada solución y selección de la más eficiente.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2005-2006 - 79
05-06-FEB.2.
(40 minutos)
Se dispone una instalación de turbinado T1 con las siguientes características:
Caudal: 10 [m3/s]
Nivel depósito superior: 700 [m] (s.n.m.)
Nivel desagüe: 0 [m] (s.n.m.)
Coeficiente pérdidas de carga tramo AC: 0,03 [m C.A./(m3/s)2]
Coeficiente pérdidas de carga tramo CD: 0,04 [m C.A./(m3/s)2]
Rendimiento conjunto turbina – generador: 0,95 [-]
•
•
•
•
•
•
700
[m s.s.m.]
A
500
C
[m s.n.m.]
B
b)
D
a)
0
[m s.n.m.])
T1
T2
En la cota 500 [m] se dispone de una aportación de 500 [L/s] de agua no
aprovechada. Existen dos posibilidades de utilización de esta aportación.
•
Construir una minicentral T2 que recoja esta agua y la turbina hasta la cota
0 [m], por medio de una tubería con una pérdida de carga de 5 [m] y un grupo
turbina – generador de rendimiento global 0,95 [-].
•
Inyectar el agua por medio de un grupo motobomba B de rendimiento 0,90 [-] y
una tubería de coeficiente de pérdidas 2 [m C.A./(m3/s)2] en el punto intermedio
C de la tubería forzada del primer aprovechamiento.
Calcular
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Potencia eléctrica de la instalación inicial (T1).
Potencia eléctrica de la instalación nueva (T2) en caso de adoptarse la
solución a).
Potencia eléctrica de la bomba B en caso de adoptarse la solución b).
Nueva potencia eléctrica que genera la turbina original (T1) en el caso de
adoptarse la solución b).
Potencia global del aprovechamiento (B+T1) en el caso b).
¿Qué solución le parece la más apropiada? Enumere ventajas e
inconvenientes de cada una de ellas.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2005-2006 - 80
05-06-FEB.3.
(60 minutos)
Se ha diseñado una instalación de bombeo entre dos depósitos, cuyos niveles
permanecen prácticamente constantes, y que va equipado con una bomba, una válvula
de regulación de caudal, una válvula de pie y un caudalímetro de ultrasonidos. La
bomba seleccionada por la Ingeniería gira a 2970 [r.p.m.] y es del tipo IN 100-250.bF,
con diámetro de rodete 266 [mm]. El caudal de diseño es de 0,1 [m3/s]. Algunos datos e
informaciones adicionales del presente bombeo son:
•
•
•
•
Las cotas de niveles e implantación de máquina se han obtenido por medios
topográficos.
La válvula de regulación es de tipo mariposa, familia B.
La tubería (aspiración e impulsión) tienen un diámetro interior de 200 [mm]. El
coeficiente de pérdidas de carga en función del caudal ha sido calculado por la
Ingeniería para todo el circuito, con la salvedad de la válvula de mariposa, y ha
resultado ser de Ktotal = 1505,156 [m C.A. ⋅ s2/m6].
El caudalímetro suministra una salida 4 [mA] ÷ 20 [mA] para un span (rango)
de velocidad de 0 [m/s] ÷ 6 [m/s].
En la puesta en marcha se ha realizado una medición con el caudalímetro
obteniéndose un valor de 11,0736 [mA]. El caudal correspondiente no cubre las
expectativas previstas, por lo que se procede a investigar que anomalía se puede estar
produciendo.
a)
Enunciar, con una breve explicación (2 líneas y alguna gráfica si se
considera oportuno), cuáles pueden ser los diferentes motivos de que la
instalación, aparentemente, no funcione con corrección.
Estudiando ahora varias de las posibles causas, cada una por separado (y
haciendo abstracción del resto de posibles problemas en cada caso), se pide:
b)
Causa: error en el torneado del rodete. ¿Cuál sería el diámetro real de rodete
en caso de que se hubiera torneado, por error, el original? Explicar
ayudándose de una gráfica.
c)
Causa: funcionamiento en condiciones de cavitación desarrollada. ¿Cuál
sería la altura de aspiración si el coeficiente de pérdidas de carga en la
aspiración, incluyendo la válvula de pie es de Kasp = 200 [m C.A. ⋅ s2/m6]?
Explicar ayudándose de una gráfica.
d)
En el mismo caso de la pregunta 3, ¿cuál sería la lectura en [mA] de un
transductor de presión absoluta conectado coaxialmente a la tubería de
impulsión, antes de la válvula? El span de éste transductor es de
0 [bar] ÷ 10 [bar] para una señal de 4 [mA] ÷ 20 [mA]. Nota: suponer que
la tubería de impulsión aquí, se encuentra a la misma cota que la de
referencia de la máquina.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2005-2006 - 81
Figura. Instalación de bombeo
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2005-2006 - 82
05-06-JUN.1.
(15 minutos)
Se necesita seleccionar una bomba para regar la huerta de un caserío. Para
disponer de agua para riego, el dueño ha construido un depósito de hormigón donde se
recogen las aguas de lluvia. El nivel del agua en este depósito se sitúa a 1 [m] por
debajo del suelo. La huerta se riega con una manguera que en toda su extensión tiene
6 [mm] de diámetro. Debido a su avanzada edad, el dueño suele regar sentado,
sosteniendo con su mano la boquilla de la manguera por donde sale el agua a 1 [m] de
altura sobre el suelo. A fin de poder llegar a todos los extremos de su huerta, necesita
que el agua salga a gran velocidad.
Para ello, se dispone de un modelo de bomba de 250 [mm] cuyas curvas
características a 2900 [r.p.m.] son de la forma:
H = C0 + C1 ⋅ Q2
η = E0 ⋅ Q + E1 ⋅ Q2
En esas expresiones los caudales están en [L/min], la altura en [m C.A.] y el
rendimiento en [-] para los coeficientes según la siguiente Tabla:
DIÁMETRO [mm]
250
C0
54,27
C1
– 0,0107
E0
0,0339
E1
– 0,00047348
El motor eléctrico que acciona la bomba tiene un rendimiento de 0,8 [-] y se
pretende que el caudal sea de 37,38 [L/min] para lo cual es necesario recortar la bomba.
Calcular el grado de recorte necesario para lograrlo, el punto de funcionamiento
y el indicador energético en [kW-h/m3] de la instalación.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2005-2006 - 83
05-06-SEP.1.
(45 minutos)
Se asume que la variación de la curva de NPSHR en función del caudal, de una
bomba dada, se ajusta razonablemente bien a una expresión de segundo grado. Se
conocen 3 puntos de dicha curva:
•
NPSHr = 2
[m C.A.],
para
Q = 1300
[L/h],
•
NPSHr = 3
[m C.A.],
para
Q = 3000
[L/h], y
•
NPSHr = 4
[m C.A.],
para
Q = 3600
[L/h].
La citada bomba se ha dispuesto en una instalación con el fin de elevar un caudal
de 1500 [L/h]. Para la conducción de aspiración se ha seleccionado una tubería de PVC
de 35 [mm] de diámetro y cuya longitud equivalente es de 10 [m], la pérdida de carga
que se genera es 1,42 [m C.A.]. El depósito de aspiración se encuentra abierto a la
atmósfera cuya presión se estima es 10,33 [m C.A.] y la presión de vapor a considerar
es de 0,24 [m C.A.]. La bomba se sitúa a 7,5 [m] por encima del nivel del depósito de
aspiración.
En estas condiciones, se pide determinar si la bomba trabaja en cavitación o no,
razonando la respuesta.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2005-2006 - 84
05-06-SEP.2.
(60 minutos)
En un proceso industrial se dispone una instalación de elevación de agua dotada
de una bomba axial con su circuito según el esquema de la Figura A. El motor de la
bomba es asíncrono girando a 980 [r.p.m.] aproximadamente. Las curvas características
de la bomba en función del caudal se incluyen en la Figura B (altura de impulsión,
rendimiento y altura neta positiva de succión requerida: 3 [%]). La máquina puede
trabajar a cualquier caudal de los indicados en las gráficas de la Figura B.
El circuito hidráulico está constituido por tres tramos A (común), B (principal) y
C (by-pass), cuyas características se adjuntan en la Tabla. En el circuito principal se
dispone de una válvula de guarda y regulación de tipo compuerta sin reducción y
diámetro 600 [mm]. En el by-pass la válvula es del mismo tipo pero de diámetro
300 [mm]. Las cotas de altimetría se indican en la Figura A.
Como instrumentación del proceso se tiene un caudalímetro en la línea principal
y un manómetro de Bourdon instalado en el eje de la tubería horizontal, en el tramo
común (cota zT). Dicho manómetro está conectado a las tomas de presión z2.
La máquina se encuentra funcionando en la actualidad en las siguientes
condiciones de proceso:
•
•
•
Caudal del proceso en la línea principal: 0,7 [m3/s].
Presión leída en el manómetro: 93600 [Pa].
Temperatura del agua 12 [ºC]
Se pide:
a)
b)
c)
Determinar el punto de funcionamiento de la bomba y la potencia mecánica.
Nota.- Para el cálculo de la altura de impulsión suponer, en primera
aproximación, que el término cinético en la rama común es doble que en la
rama principal.
Seleccionar el motor adecuado para la bomba, de entre los indicados en los
ábacos, razonando la respuesta. Determinar la potencia eléctrica consumida
por la bomba y el equivalente energético en el punto actual de
funcionamiento.
Determinar el grado de apertura de la compuerta del by-pass.
Un incidente provoca un descenso de 2 [m] en el nivel en el pozo de aspiración,
lo que aconseja proceder al cierre del by-pass, dejando a su vez la válvula en el circuito
principal a la apertura de 24 [%]. Se pide ahora,
d)
Determinar, razonadamente, el caudal en las nuevas condiciones de
operación.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2005-2006 - 85
Figura A. Instalación de bombeo
Tramos
longitud equivalente (*) [m]
rugosidad [mm]
diámetro interno [m]
coeficiente K de pérdidas
[m C.A. / (m3/s)2]
A
20
0,6
B
100
0,24
0,6
0,34428
1,721416
C
40
0,15
0,3
(*) Considerando todas las pérdidas de carga salvo las corresponientes a las
válvulas
Tabla. Características de cada tramo
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2005-2006 - 86
Característica H-Q de bomba axial.
30,0
28,0
26,0
24,0
H [m C.A.]
22,0
20,0
18,0
16,0
14,0
12,0
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,20
1,30
1,40
1,50
1,20
1,30
1,40
1,50
3
Q [m /s]
Característica η-Q de bomba axial.
0,9
0,8
0,7
η [-]
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
3
Q [m /s]
Característica NPSHr-Q de bomba axial.
15,0
NPSHr [m C.A.]
14,0
13,0
12,0
11,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
3
Q [m /s]
Figura B. Curvas características de la bomba
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2006-2007 - 87
Exámenes: 2006-2007
06-07-FEB.1.
(60 minutos)
Una Estación de Bombeo equipada con tres bombas iguales conectadas en
paralelo aspira agua del depósito de agua filtrada a la salida de una planta potabilizadora
y la inyecta en un sistema hidráulico. La superficie libre en el depósito está a una cota
de 2,85 [m] por debajo del eje de las bombas. El régimen de funcionamiento de la
estación de bombeo varía en función del consumo, de tal manera que, a lo largo del día
pueden llegar a funcionar una, dos o las tres bombas simultáneamente.
Dado el desconocimiento del sistema hidráulico se han realizado una serie de
medidas en la Estación de Bombeo a fin de caracterizarlo. De esta manera se han
medido el caudal inyectado por el conjunto de bombas en diferentes instantes del día, la
presión en el colector de aspiración y en el de impulsión de las bombas en paralelo y la
potencia consumida por cada una de ellas, observándose los siguientes valores:
Bomba1 Bomba2 Bomba3 Caudal [m3/s] pasp [m C.A.] pimp [m C.A.] Potencia [kW]
Abierta
Abierta
Abierta
Abierta
Abierta
Cerrada
0,431
0,394
-4,15
-3,94
50,72
46,35
112,7
125
Se pide:
a)
Obtener la curva resistente de la instalación supuesta del tipo
Hr = Hg + k ⋅ Q2, calculando la característica resistente del tramo de
aspiración y del de impulsión.
b)
Curvas H-Q (supuesta del tipo H = A – B ⋅ Q2) y η-Q (supuesta como
η = E ⋅ Q – F ⋅ Q2) de cada una de las bombas.
Durante la noche, en que los consumos caen, sólo está en marcha una de las
bombas. Los técnicos que están a cargo de la estación de bombeo han notado que en
este periodo los equipos producen un ruido parecido a un martilleo metálico que les
hace sospechar que algo no funciona correctamente. Es por ello que han vuelto a medir
observando los siguientes valores:
Bomba1 Bomba2 Bomba3 Caudal [m3/s] pasp [m C.A.]pimp [m C.A.] Potencia [kW]
Abierta
c)
d)
e)
Cerrada
Cerrada
0,25
-3,29
33,08
139,3
Justificar cuál es la causa del martilleo y calcular el rendimiento registrado
en la bomba en estas condiciones.
Sabiendo que en el caso anterior el Salto Neto de Succión Requerido tiene la
siguiente expresión: NPSHr = 4,145 + 41,06 ⋅ Q2, establecer la nueva
velocidad de giro de la bomba para que no se produzca el fenómeno de
cavitación, sabiendo que la velocidad nominal es de 1450 [r.p.m.].
Determinar la relación λ de recorte de rodete a aplicar para que, girando a la
velocidad nominal, no se produzca cavitación.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2006-2007 - 88
06-07-FEB.2.
(35 minutos)
Se tiene la bomba centrífuga cuyas curvas características a 1490 [r.p.m.] son
respectivamente:
H = 21,15 + 2,23 ⋅ Q – 0, 538 ⋅ Q2
Pmecánica = 0,6091 – 0,0114 ⋅ Q + 0,0045 ⋅ Q2
H viene en [m C.A.], los caudales en [m3/h] y la potencia en el eje (potencia
mecánica) en [kW]. Se pretende trabajar en un circuito cerrado – sin desniveles – que
alimenta de agua a un pequeño intercambiador de calor y las pérdidas en el circuito son
de la forma K ⋅ Q2. A válvula abierta, la bomba funciona 3000 [h/año] a una velocidad
en torno a 1490 [r.p.m.], con K de valor 0,1 [m C.A./(m3/h)2]. El resto de los distintos
puntos de funcionamiento se regulan por cambio en la velocidad de rotación de la
bomba a válvula abierta para lo cual se pone un inversor de frecuencia que presenta un
rendimiento constante de valor 0,93 [-]. Estos caudales de trabajo adicionales son
6 [m3/h], 8 [m3/h], 10 [m3/h], 12 [m3/h] y durante un año medio la bomba trabaja 100
horas a 6 [m3/h], 125 a 8 [m3/h], 250 a 10 [m3/h] y 500 a 12 [m3/h].
A partir de la pareja siguiente de números π: π1 = Q/(D3⋅N),
a)
π2 = g⋅H/(D2⋅N2), obtener el número π correspondiente a la relación de
potencias entre dos puntos semejantes.
b)
Calcular a partir de las curvas H(Q) y Pm(Q) dadas a 1490 [r.p.m.], las
curvas H(Q,N) y Pm(Q,N) de esta misma bomba a cualquier velocidad de
giro N.
c)
Seleccionar el motor a acoplar al rodete con potencias nominales y
rendimientos señalados en la tabla adjunta (N = 1490 [r.p.m.]) para distintas
fracciones de carga. El criterio para la selección del motor es
sobredimensionar respecto a la potencia en el eje requerida a válvula abierta
en un 20 [%] y elegir a continuación el motor más cercano de la tabla.
d)
Determinar los puntos de funcionamiento y la energía específica de la
instalación.
potencia
Factor de carga [-]
VÁLVULA
mecánica 4/4
3/4
2/4
INTERCAMBIADOR
nominal
rendimiento [%]
[kW]
0,18
64
60
52
0,25
66
63
56
0,37
69
67
59
0,55
70
70
65
0,75
72
72
65
1,1
75
75
72
1,5
75
74
73
2,2
80
80
78
3
81
81
79
4
83
82
81
5,5
85
84
80
NOTA 1.- Como los distintos puntos de
funcionamiento, se suceden continuamente, el inversor está conectado todo el tiempo.
NOTA 2.- Para los rendimientos del motor, interpolar o extrapolar según proceda.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2006-2007 - 89
06-07-FEB.3.
(40 minutos)
La Central Hidroeléctrica de Aschach (Austria) se construyó entre los años 1959 y
1964, constituyendo la segunda central austriaca ubicada en el río Danubio. Consta de
un total de 4 turbinas iguales, detallándose a continuación los datos relacionados para
una única turbina.
En condiciones normales de funcionamiento, cada turbina dispone de un salto neto
de H = 17,5 [m], y el caudal que circula a su través es de Q = 455 [m3/s], desarrollando
una potencia de 73 [MW]. La turbina se encuentra acoplada a un alternador de 44 pares
de polos que tiene una potencia límite de 85 [MVA] y un rendimiento (de alternador)
que se puede considerar constante e igual a ηa = 98,75 [%].
Se pide, siempre para un único grupo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Calcular el rendimiento de la turbina y la potencia eléctrica, para los datos
facilitados en el párrafo anterior.
Si en las condiciones de funcionamiento el salto bruto es de 18,5 [m] y el
conducto de alimentación a la turbina tiene una longitud 5 [m], calcular el
coeficiente K de pérdidas de dicho conducto.
Calcular nq (velocidad específica de Brauer) y ν (velocidad específica
científica).
Determinar el tipo de turbina y dimensiones básicas: diámetro(s) del rodete,
altura del distribuidor y número de álabes.
Si el modelo reducido empleado en la fase de diseño para los ensayos de
laboratorio era 4 veces más pequeño que la máquina prototipo final y los
ensayos llevados a cabo entonces se realizaron a la misma velocidad de giro
que en las condiciones de prototipo, determinar el rendimiento de dicho
modelo en el punto de funcionamiento semejante al descrito en el segundo
párrafo (utilizar la fórmula de revalorización actual propuesta por CEI).
La cota de implantación real del rodete se encuentra 3,5 [m] por debajo del
nivel de restitución (canal de desagüe). Comentar la idoneidad de dicha
implantación de acuerdo con las estadísticas relevantes.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2006-2007 - 90
06-07-JUN.1.
(40 minutos)
Los turistas que se acercaron a mediados de abril a conocer de cerca el Palacio
Euskalduna se llevaron una pequeña decepción al comprobar que el estanque que
bordea el gran edificio no está unido a la Ría, tal y como se aprecia en la Figura 1.
Dicho estanque se encontraba vacío ya que se limpia de forma periódica y le ha tocado
esta primavera.
Figura 1. Estanque del palacio Euskalduna
En efecto, para poder limpiar todas las paredes del estanque adecuadamente se
procede en primer lugar al vaciado del mismo y cuando las tareas de limpieza finalizan
se vuelve a llenar. El estanque ocupa un área aproximada de 7000 [m2] y, cuando se
encuentra lleno, tiene una profundidad de 1,40 [m] más o menos constante en toda su
extensión. Para que el proceso de vaciado sea rápido se propone el uso una bomba,
modelo BF-75 con rodete de 711 [mm] girando a 485 [r.p.m.], cuyas curvas
características se adjuntan.
La bomba dispone de un circuito hidráulico que vierte el agua directamente a la ría
descargando a la atmósfera (ver Figura 2). Las pérdidas de carga en la tubería de
aspiración se pueden calcular, en cualquier instante del bombeo, mediante una constante
de pérdidas de carga de valor Kasp = 1,2 [m C.A./(m3/s)2] y, de igual forma, las de la
tubería de impulsión mediante Kimp = 0,5 [m C.A./(m3/s)2]. Ambos conductos tienen un
diámetro interior de valor Dint = 0,7 [m].
Suponiendo que el nivel del estanque permanece constante para cada uno de los
instantes estudiados, se pide:
1. Determinar gráficamente los puntos extremos de funcionamiento de la bomba,
es decir: al principio del proceso de vaciado con el estanque completamente
lleno, z = 1,4 [m], y al final del mismo con el estanque prácticamente vacío,
z ≈ 0 [m]. Definir en cada caso H, Q y η. (ENTREGAR LA GRÁFICA)
2. Calcular el tiempo necesario para vaciar el estanque, suponiendo que el caudal
medio del bombeo se corresponde con la media entre los caudales
correspondientes a los puntos extremos calculados en el apartado anterior.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2006-2007 - 91
3. Calcular el equivalente energético de la instalación en [kW-h/m3], tomando
nuevamente valores medios para la altura de impulsión y el rendimiento
hidráulico, si en el rango de operación el motor acoplado tiene un rendimiento
medio de valor 92 [%].
4. Comprobar el correcto funcionamiento de la bomba en los dos puntos extremos,
dando credibilidad a los datos proporcionados por el fabricante para la altura de
succión neta positiva requerida por la bomba.
5. Si se quisiera reducir el tiempo de vaciado a la mitad, ¿bastaría con colocar en
paralelo otra bomba idéntica a la anterior con su circuito hidráulico
correspondiente? Responder razonadamente sin realizar ningún cálculo.
6. Calcular la velocidad específica de la bomba a partir de los valores de H y Q del
punto óptimo de funcionamiento de la bomba para el diámetro de 711 [mm].
7. Si se diseñara una máquina 1,4 veces más grande semejante a la anterior y se
hiciera girar a 1000 [r.p.m.], ¿qué altura y qué caudal se obtendrían en el punto
óptimo de funcionamiento de la nueva bomba? Calcular la velocidad específica
de la nueva bomba en ese punto. Datos.-
g = 9,81 [m/s2]
pbarométrica = 101300 [Pa]
ρw = 1000 [kg/m3]
0,6 [m]
psaturación = 2339 [Pa]
0,8 [m]
ESTANQUE
RÍA
1,4 [m]
Figura 2. Esquema del bombeo
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2006-2007 - 92
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2006-2007 - 93
06-07-JUN.2.
(40 minutos)
En una central hidroeléctrica rehabilitada en 1985, se instala una turbina Francis. El
salto bruto disponible es de 105 [m] y el caudal de equipamiento es de 20 [m3/s]. La
turbina está directamente acoplada a un alternador síncrono y las pérdidas en la
conducción hasta la entrada de la turbina son de 5 [m C.A.]. El coeficiente de velocidad
Kcm2, obtenido a partir de mediciones directas en planta tiene un valor de 0,255 [-].
1. Calcular el diámetro D2 (D2e) a la salida del rodete.(2 ptos)
2. En base a las estadísticas disponibles, estimar la velocidad de giro de la turbina
bajo la condición de sincronismo.(2 ptos)
3. Recalcular los valores reales (no estadísticos) de Ku2 y u2 .(2 ptos)
4. Si el ángulo a la salida α2 vale 85 [º], calcular la fracción de la energía cinética
contenida en el agua a la salida de la rueda que no se recupera y se invierte en
generar un remolino.(2 ptos)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2006-2007 - 94
06-07-JUN.3.
(40 minutos)
Una bomba centrífuga toma agua de un depósito de aspiración y a la impulsa hasta otro
depósito, a través de un circuito resistente cuya curva característica es del tipo
Hr = Hg + r ⋅ Q2. Para modificar el punto de funcionamiento de la bomba se dispone de
dos válvulas reguladoras a la salida, una en serie, A, y la otra en derivación, B, que
devuelve el agua al depósito de aspiración, según muestra la Figura mostrada a
continuación:
El conjunto bomba-válvula está equipado con un medidor de caudal a la salida y con
tres manómetros, ubicados en las posiciones mostradas en la figura. Asimismo es
posible medir la potencia absorbida por la bomba en cada punto de trabajo por
diferencia de lecturas en el vatímetro de activa durante un tiempo determinado.
Estando la válvula B cerrada se ensaya la instalación, primero con la válvula A abierta y
luego con la válvula A parcialmente cerrada, obteniendo los siguientes resultados:
Q1 = 70 [L/s]
pe1 / γ = -1,4 [m]
ps1 / γ = 35,6 [m]
pv1 / γ = 34,6 [m]
∆E1 = 0,564 [kW.h/min]
Q2 = 40 [L/s] pe2 / γ = +0,2 [m] ps2 / γ = 49,3 [m]
pv2 / γ = 29,7 [m]
∆E2 = 0,493 [kW.h/min]
Se sabe además que en las cercanías del punto de trabajo, la curva característica de la
bomba se puede ajustar mediante una función del tipo Hb = C – D ⋅ Q2, y su curva de
rendimientos mediante una función del tipo η = E ⋅ Q – F ⋅ Q2, se pide determinar:
a) La altura de impulsión desde el eje de la bomba hasta el nivel de descarga y la
altura de dicho eje respecto al nivel de aspiración.
b) Los coeficientes de resistencia del tramo de aspiración, y del tramo de impulsión
a válvula abierta.
c) La curva característica de la bomba y su punto óptimo de trabajo.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2006-2007 - 95
06-07-SEP.1.
(40 minutos)
Se dispone de la bomba ACUARIA 30 con 6 etapas y girando a 2900 [r.p.m.], con
curvas características según la figura adjunta, siendo rendimientos y potencias los
correspondientes a una sola etapa.
1. Determinar el rendimiento con el que funciona el motor eléctrico que acciona la
bomba en el punto de máximo rendimiento (2 ptos).
2. Determinar el equivalente energético de la instalación cuando extrae agua de un
pozo venciendo un desnivel de 68 [m] a través de una conducción sin
practicamente fricción (2 ptos).
3. Si el diámetro externo de cada rodete es 145 [mm], calcular el coeficiente
óptimo de velocidad de la velocidad lineal de la rueda a la salida U2 (2 ptos).
4. Si la anchura de boca del rodete es de 2 [cm] y los álabes ocupan el 15 [%] de la
sección de salida, calcular el coeficiente óptimo de velocidad para la
componente meridiana a la salida Cm2 (2 ptos).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2006-2007 - 96
06-07-SEP.2.
(40 minutos)
Desde principios del siglo XX se comenzaron a contemplar las posibilidades
hidroeléctricas del cañón del Duero. Hoy en día, uno de los aprovechamientos más
importantes lo constituye la Central Hidroeléctrica de Aldeadávila (Salamanca). El 30
de diciembre de 1963 entraba en funcionamiento el último de los 6 grupos idénticos de
la primera fase denominada Aldeadávila I.
En condiciones normales de funcionamiento, estas 6 turbinas disponen de un salto
bruto de Hb = 139,83 [m], y el consumo de agua total de la instalación a plena carga
asciende a 615,5 [m3/s], desarrollando una potencia mecánica total (nominal) de
750220 [kW]. Cada turbina se encuentra acoplada a un alternador y cada alternador
consta de 16 pares de polos con 119700 [kW] de potencia nominal.
El suministro de agua a las turbinas se hace a través de 6 tuberías forzadas
excavadas en roca de 5 [m] de diámetro y 184 [m] de longitud cada una con un
coeficiente de fricción de valor f ≈ 0,04 [-] más menos constante. Las pérdidas de carga
secundarias en cada una de esas tuberías pueden estimarse considerando una longitud
equivalente de 55 [m].
Se pide, en las condiciones descritas y siempre para un único grupo:
1. Calcular el salto neto.
2. Calcular la potencia hidráulica, el rendimiento de la turbina, el rendimiento del
alternador y el rendimiento global del grupo.
3. Calcular nq (velocidad específica de Brauer) y ν (velocidad específica científica).
4. Determinar el tipo de turbina y estimar las dimensiones básicas: diámetro(s) del
rodete y altura del distribuidor.
5. Si el modelo reducido empleado en la fase de diseño para los ensayos de laboratorio
era 3 veces más pequeño que la máquina prototipo final y los ensayos llevados a
cabo entonces se realizaron a 375 [r.p.m.],
determinar el rendimiento de dicho modelo en
el punto de funcionamiento semejante al
descrito (utilizar la fórmula de revalorización
actual propuesta por CEI).
6. La cota de implantación real del rodete se
encuentra aproximadamente 7,5 [m] por
debajo del nivel de restitución (canal de
desagüe). Comentar la idoneidad de dicha
implantación de acuerdo con las estadísticas
relevantes.
Datos: g = 9,81 [m/s2]
pb = 101300 [Pa]
Agua: νW = 1 ⋅ 10 -6 [m2/s]
pv = 2339 [Pa]
Vista panorámica de la presa de Aldeadávila
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2006-2007 - 97
06-07-SEP.3.
(50 minutos)
Una bomba, cuyas curvas características a la velocidad de giro nominal
N = 2900 [r.p.m.], y en el rango útil de operación, son las siguientes:
H = 50 + 31,25 ⋅ Q – 312,5 ⋅ Q2
Peje = 30 + 150 ⋅ Q + 2000 ⋅ Q2
Con H en [m], Q en [m3/s] y P en [kW], eleva agua desde el depósito inferior A hasta el
depósito superior B, desde el que se suministra el caudal Qd. A la salida de la bomba se
dispone de un manómetro M, una válvula de by-pass V1 que retorna el agua al depósito
de aspiración, una válvula de regulación V2, y una válvula de retención VR, por este
orden, como muestra la Figura.
Se pide:
a) Obtener las curvas resistentes de la tubería de impulsión y del by-pass a partir de
las siguientes lecturas del manómetro M, realizadas para diferentes posiciones
de las válvulas V1 y V2:
Punto
Válvula V1
Válvula V2
Lectura en M [kp/cm2]
P1
Abierta
Cerrada
5
P2
Cerrada
Abierta
5
P3
Abierta
Abierta
4.7
Nota: Se despreciarán las pérdidas en la aspiración
b) Determinar el par absorbido por la bomba y su velocidad de giro en el momento
en que se abra la VR, para el caso de un arranque con la válvula del by-pass
cerrada, y para el caso de un arranque con la válvula del by-pass abierta.
c) Determinar el modo de funcionamiento del sistema si del depósito B se extrajera
un caudal constante de Qd = 10 [L/s], estando la válvula V1 cerrada y la V2
abierta.
Nota.- se supondrá que el nivel del depósito B puede fluctuar en cualquier rango requerido sin desbordar.
En cuanto al depósito A se supondrá que su nivel es invariable.
d) ¿Sería posible, actuando sobre la válvula V1, suministrar desde el depósito
cualquier caudal Qd con un funcionamiento estable de la bomba? Justificar la
respuesta y determinar en caso afirmativo la posición de la válvula que
garantizaría esta condición.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2007-2008 - 98
Exámenes: 2007-2008
07-08-FEB.1.
(30 minutos)
Una turbina Kaplan tiene las curvas de colina que se adjuntan expresadas en función de
los coeficientes científicos de caudal ф y de energía Ψ. El desnivel geométrico
característico o nominal del aprovechamiento es de 10 [m] y el caudal nominal asociado
es de 0,1 [m3/s]. Hasta entrada de turbina las pérdidas tienen una constante
K = 30 [m C.A. ⋅ (m3/s)-2] y el alternador conectado tiene un par de polos. El diámetro
del rodete es de 16,93 [cm]. Se pide:
1. Para el salto bruto nominal, determinar los saltos netos (1 pto), rendimientos
(1 pto), grados de apertura del distribuidor (α) (1 pto) y orientación de las aletas
del rodete (β) (1 pto) correspondientes a unos caudales de valor 0,05 [m3/s],
0,1 [m3/s] y 0,15 [m3/s].
2. Para un caudal fijo de 0,12 [m3/s] calcular con qué desniveles geométricos
aprovechables ocurre que se trabajará con rendimientos de exactamente el
91 [%] (4 ptos).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2007-2008 - 99
07-08-FEB.2.
(45 minutos)
Se está diseñando el sistema contra incendios de un caserío situado en un monte, el cual
está constituido por un depósito a presión, una bomba, una tubería de impulsión
horizontal, y 6 aspersores conectados mediante una tubería como se muestra en la
figura.
KII
0,2 [kg/cm2]
KII
32 [m]
KII
KI
KI
KI
B
Al final de la tubería de impulsión se coloca el primer aspersor y formando un ángulo
recto con esta tubería se coloca la tubería que conecta con el resto de los aspersores.
Se puede considerar que cuando el sistema está en funcionamiento, por los 6 aspersores
sale el mismo caudal.
La diferencia de cotas entre el aspersor más alto y el nivel del depósito es 32 [m],
estando el depósito presurizado a la presión de 0,2 [kg/cm2].
La parte de la tubería que conecta el aspersor más alto y los dos siguientes tienen una
constante de pérdidas igual a K II = 50000 [m C.A./(m3/s)2] en cada tramo, mientras
que tanto la tubería de impulsión horizontal como el resto de los tramos de los
aspersores
tienen
unas
pérdidas
proporcionales
a
la
constante
3
2
K I = 21650 [m C.A./(m /s) ]. El diámetro de la boquilla de salida del aspersor es
5 [cm]. Las pérdidas secundarias pueden considerarse despreciables.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2007-2008 - 100
Existen varias posibilidades para acometer la instalación que garantizan que se apague
el incendio:
a) Colocar una única bomba cuyas curvas características son:
Q [m3/s]
0
0,028
0,014
H [m]
50
0
35
η [%]
0
0
75
b) Colocar dos bombas iguales en serie, siendo las características de una de ellas:
H = 26,20 − 4808,16 ⋅ Q 2
η = 93,6 ⋅ Q − 2293,92 ⋅ Q 2
y
(H [m], Q [m3/s] y η [-])
c) Colocar dos bombas iguales en paralelo, siendo las características de una de
ellas:
(H [m] y Q [m3/s])
H = 40 − 19440 ⋅ Q 2
y la gráfica η-Q
1
0,9
rendimiento
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
3
Q (m /s)
Teniendo en cuenta la siguiente tabla en la que se indican los costes de energía y de
agua y que el sistema funciona en cada incendio un promedio de 2 horas, ¿cuál es el
coste en cada una de las opciones? ¿Cuál es la opción más rentable sin tener en cuenta
el coste inicial de las bombas?
[kW-h]
[m3] de agua
Coste [€]
0,20
0,15
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2007-2008 - 101
07-08-JUN.1.
(40 minutos)
La figura muestra la colina de rendimientos de una turbina de acuerdo con los
coeficientes unitarios tradicionales n11-Q11, (velocidad unitaria-caudal unitario). La
turbina se encuentra acoplada a un alternador de 25 pares de polos de forma que el
punto de funcionamiento óptimo se corresponde con un salto neto de 45 [m].
a) Calcular el diámetro de la turbina, así como el caudal y la potencia mecánica en
el punto de funcionamiento óptimo.
b) Indicar el tipo de turbina.
c) Determinar gráficamente la colina parcial de rendimiento para el salto neto del
punto óptimo.
d) Si el punto de funcionamiento nominal tiene el mismo salto neto que el punto de
funcionamiento óptimo y un caudal un 10 [%] superior a éste, determinar la
potencia mecánica nominal desarrollada por la turbina.
Los ensayos previos en modelo se han realizado con una máquina 5 veces más
pequeña que el prototipo girando a 300 [r.p.m.] con agua aproximadamente a la misma
temperatura.
e) Determinar el salto neto y el caudal del punto de funcionamiento óptimo en
modelo.
f) Verificar que el modelo y el prototipo son máquinas semejantes.
Nota.- NO considerar en ningún caso los posibles efectos de escala.
1,0
0,9
0,8
Q11 [m0,5 ⋅ s–1]
0,7
0,6
0,5
70
80
90
0,5
n11 [m
⋅ r.p.m.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
100
Exámenes: 2007-2008 - 102
07-08-JUN.2.
(30 minutos)
La instalación de la figura nos muestra una estación de bombeo en una instalación
existente. Por defecto de proyecto, la instalación dispone de una tubería de aspiración de
diámetro insuficiente. Además, dispone de una válvula de regulación situada antes de la
bomba por lo cual las probabilidades de que en la bomba aparezca el fenómeno de
cavitación son elevadas.
Se sabe que las características de la bomba son (en [m C.A.]):
Hb = 60 – 5208 ⋅ Q2 (Q en [m3/s])
NPSHr = 5 – 600 ⋅ Q + 30208 ⋅ Q2 (Q en [m3/s])
De la instalación se sabe que la tubería de aspiración tiene un diámetro de 80 [mm], y
una longitud de 14 [m], la tubería de impulsió tiene 951 [m] de longitud y un diámetro
de 250 [mm], y ambas dos tuberías tienen un factor de fricción f = 0,02 [-]. Además, se
sabe que la válvula no introduce pérdidas cuando está completamente abierta.
Se pide:
a) Determinar el punto de funcionamiento de la instalación cuando la válvula de
regulación está totalmente abierta.
b) Determinar el grado de cierre de la válvula (a través de la k de pérdidas en la misma)
para que no se produzca cavitación en la instalación.
c) Calcular el diámetro de la tubería de aspiración para que no se produzca cavitación a
válvula abierta.
Nota.- suponer que la tensión de vapor del agua a la temperatura de trabajo es de
– 10 [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2007-2008 - 103
07-08-JUN.3.
(20 minutos)
Un salto bruto de 270 [m] es utilizado para una central hidroeléctrica, y es entregado a
una sala de máquinas a través de 3 tuberías de 2,4 [km] de longitud (colocadas en
paralelo), en cada una de las cuales las pérdidas por fricción son de 24 [m C.A.].
Se decide instalar un número determinado de rodetes Pelton de chorro simple, con una
velocidad específica dimensional Ns, que no exceda de 38 [*] cuando la potencia está en
[C.V.], para producir una potencia total en el eje (potencia mecánica) de 18000 [C.V.] y
cada rodete va acoplado a un eje. El alternador conectado tiene 5 pares de polos y la
relación entre la velocidad del álabe y la del chorro es 0,46 [-]. Suponer que el
rendimiento global de los rodetes es 0,87 [-] y que las boquillas tienen un coeficiente de
velocidad cv = 0,97 [-].
Determinar:
a) El número de ruedas Pelton a instalar y la velocidad específica. (2,5 puntos)
b) El diámetro de la rueda. (1,75 puntos)
c) El diámetro del chorro. (1,75 puntos)
d) El diámetro de las tuberías de suministro. (2 puntos)
NOTA.- suponer que el coeficiente de fricción f = 0,006 [-] y que las pérdidas
secundarias en toda la instalación son despreciables.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2007-2008 - 104
07-08-SEP.1.
(40 minutos)
“Tras las líneas vanguardistas que han hecho famosa y reconocible la bóveda de una estación
subterránea del metro de
Bilbao, se esconde una
compleja
red
de
conducciones que hacen
circular el agua procedente
de acuíferos y de las
abundantes lluvias. Este
caudal de agua limpia es
bombeado y reconducido a
la
red
principal
del
Consorcio de Aguas a
través de un potente sistema
de drenaje que cuenta con
44 pozos y 88 bombas,
distribuidos a lo largo de los
17,5 kilómetros de túnel.
(…)
En
lugar
de
impermeabilizar totalmente
el túnel, se optó por
reconducir el agua. Unas pequeñas perforaciones en el hormigón permiten que el líquido circule
por unas conducciones interiores alojadas entre las distintas capas de hormigón y el material
aislante. Un canal central, situado bajo la plataforma de la vía, recoge esta agua para conducirla
a uno de los pozos desplegados en el tramo subterráneo. Una vez en los depósitos, las bombas
impulsan el agua hasta la red general del Consorcio de Aguas.”
Metroberri 48, diciembre de 2007
Supóngase que uno de los pozos existentes en el tramo subterráneo del metro de
Bilbao está dotado de tres bombas idénticas conectadas tal y como aparecen en la
figura. En un momento determinado el nivel de agua alcanzado en dicho pozo activa
automáticamente el dispositivo de encendido y las tres bombas se ponen en marcha
simultáneamente para expulsar el agua almacenada en el interior del pozo. Las curvas
características con Q en [m3/s] de una única bomba girando a 2900 [r.p.m.] se ajustan
razonablemente bien a las siguientes expresiones:
H = 100 – 6 ⋅ 104 ⋅ Q2
[m C.A.]
η = 73,49 ⋅ Q – 1800 ⋅ Q2
[-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2007-2008 - 105
El circuito hidráulico está diseñado de forma que debe vencer los 50 [m] de
desnivel existentes entre el pozo subterráneo de grandes dimensiones que se encuentra a
presión atmosférica y la conexión a la red general. El agua bombeada debe incorporarse
a dicho punto de conexión con una presión relativa de 4,905 ⋅ 104 [Pa], siendo el
término cinético en dicho punto despreciable. Las pérdidas de carga secundarias del
circuito y las pérdidas de carga primarias de las tuberías de impulsión de cada bomba
son despreciables. Así, las pérdidas de carga del circuito se concentran básicamente en
la tubería común que se incorpora a la red general y se pueden estimar utilizando el
caudal total bombeado mediante constante K = 3500 [m C.A./ (m3/s)2].
Se pide:
a) Calcular el caudal desalojado del pozo.
b) Si el rendimiento de los motores que accionan las bombas se puede considerar
constante y de valor 90 [%], calcular el equivalente energético de la instalación
en [kW-h/m3].
Accidentalmente se estropea una de las tres bombas. Si se desea evacuar el mismo
caudal del pozo mediante las dos bombas que quedan operativas:
c) Calcular la velocidad de giro a la que habría que hacerlas girar.
d) Calcular el nuevo equivalente energético suponiendo que el rendimiento de los
motores se mantiene constante.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2007-2008 - 106
07-08-SEP.2.
(30 minutos)
Hacer el dimensionado aproximado de la turbina Pelton con cuatro inyectores de
la figura, correspondiente a la central de CUBATAO (Brasil).
Los datos para la potencia normal de funcionamiento son los siguientes:
H = 684
[m]
Pe* = 60000
[C.V.]
N = 450
[r.p.m.]
Se estima un rendimiento del 86 [%].
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2007-2008 - 107
07-08-SEP.3.
(45 minutos)
Un circuito de refrigeración está constituido por una bomba de circulación, con
intercambiadores de 150 tubos en paralelo de 10 [mm] de diámetro interior y la tubería
de unión entre ambos equipos.
En el intercambiador el agua a refrigerar circula a 4 [m/s] y la longitud de los
tubos es de 2 [m]. La tubería de unión bomba-intercambiador tiene una longitud
equivalente de 200 [m], la velocidad del agua es de 3 [m/s] y el material de los tubos del
intercambiador y de la tubería es acero comercial (ε = 0,040 [mm]).
La curva característica de la bomba es tal que Hm, MAX = 58,8 [m] con Q = 0 [m3/s]
en su punto máximo.
Todo el circuito está situado en un plano horizontal y los términos cinéticos y de
presión se pueden considerar despreciables.
Se pide:
a) Altura manométrica, caudal de la bomba y potencia del motor para el
rendimiento óptimo del 72,5 [%]. (2 puntos)
b) Coeficiente K de la curva de pérdida de carga en la tubería ∆H = K ⋅ Q2.
(1 punto)
c) Se colocan 2 circuitos iguales en paralelo alimentados por la misma bomba.
Hallar la velocidad de rotación de la bomba si la actual es de N = 500 [r.p.m.]
para mantener la velocidad del fluido en el intercambiador. (2 puntos)
d) Si en el circuito inicial se reemplaza el agua del intercambiador por un aceite
que tiene un peso específico de 850 [kgf/m3] y una viscosidad cinemática de
12 [cSt]. Calcular el nuevo punto de funcionamiento (altura, caudal y potencia
del motor) teniendo en cuenta los efectos viscosos. (3 puntos)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2008-2009 - 108
Exámenes: 2008-2009
08-09-FEB.1.
(15 minutos)
Una turbina Francis cuyo diámetro a la salida es de 1,9 m funciona en un
emplazamiento con un caudal de 14,134 m3/s y salto neto de 300 m C.A. en el punto
óptimo. Las pérdidas en la conducción hasta entrada de turbina son despreciables. Este
punto se corresponde con un grado de apertura del distribuidor del 75 %, estando la
rueda conectada a un alternador de 5 pares de polos. La curva de colina adjunta
(potencia (%) Eje X – salto neto (%) Eje Y) se corresponde a las turbinas de velocidad
específica igual la del emplazamiento según el Bureau of Reclamation.
Se pide:
1. Velocidad específica de Cammerer (potencia en kW) (1 punto), Brauer (1 punto)
y notación científica de la turbina (1 punto).
2. Para el mismo salto neto, expresar por medio de los coeficientes científicos de
caudal (2,5 puntos) y energía (2,5 puntos) el valor del punto correspondiente a
un grado de apertura del 85 %.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2008-2009 - 109
08-09-FEB.2.
(20 minutos)
Se está evaluando la posibilidad de llevar a cabo un proceso químico delicado
que se sabe será más eficiente en condiciones de gravedad reducida. Por ello, de manera
prospectiva, se está realizando un diseño preliminar de lo que quizás en un futuro será
una planta de esas características en una base lunar donde la gravedad es
aproximadamente 6 veces inferior a la de la Tierra. Uno de los elementos de dicha
planta es un sistema de refrigeración. Para ello, se piensa emplear un refrigerante de
densidad 600 kg/m3 que se mueve en un circuito cerrado accionado por una bomba. Las
condiciones de operación lunares requieren que la bomba instalada en dicho circuito
cerrado, girando a 990 r.p.m. impulse un caudal de 80 m3/h proporcionando una altura
manométrica de 234,64 m C.L..
Para tal fin, se dispone de una bomba centrífuga construida en base a un modelo
cuyo rodete tiene un diámetro de 200 mm. Los ensayos en este modelo se han realizado
en la Tierra a 2900 r.p.m. usando el mismo refrigerante (densidad 600 kg/m3) que se ha
pensado utilizar en su día en la base lunar. La bomba modelo se ensaya en laboratorio,
existiendo un vacuómetro en la aspiración y un manómetro en la impulsión. Las tuberías
de impulsión y aspiración tienen el mismo diámetro y las cotas a la entrada y salida de
la bomba son prácticamente iguales. Las mediciones para los distintos caudales de
funcionamiento son las de la tabla adjunta.
Q m3/h
1,8
2,4
3
3,6
4,2
4,8
5,4
6
6,6
7,2
7,8
8,4
9
Vac. m C.L.
0,9
1,1
1,3
1,6
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,5
2,7
2,9
Man. m C.L.
54,1
53,4
52,2
50,4
49,2
47,6
46,0
43,9
42,3
40,2
38,0
35,8
33,1
Por su parte, la curva de rendimiento de la bomba modelo es:
η = 0,1956 ⋅ Q – 0,0123 ⋅ Q2
, con Q en m3/h
La máquina que basada en este modelo se deberá construir e instalar en la base lunar
es un prototipo cuyo rodete tiene un diámetro de 600 mm. Se pide:
1. El punto semejante al de funcionamiento del prototipo en la Luna correspondiente a
la máquina modelo funcionando en la Tierra.
2. Se considera trabajar en un segundo punto en la Luna correspondiente a caudal
72 m3/h y H = 764,13 m C.L.. A tal fin, se modifica la característica del circuito,
pero no se considera oportuno modificar la velocidad de giro del prototipo anterior y
se decide realizar un acoplamiento de bombas en serie. ¿Cuántas bombas será
necesario acoplar y con qué rendimiento funcionará el acoplamiento?
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2008-2009 - 110
08-09-FEB.3.
(40 minutos)
Una turbina Francis gira a 600 [r.p.m.] y en el punto de funcionamiento óptimo
circula un caudal de 1 [m3/s]. En dicho punto de funcionamiento el ángulo de salida del
distribuidor es de 12 [º] siendo despreciable la distorsión producida en el entrehierro
existente entre el distribuidor y el rodete. El ángulo de salida del rodete es β2 = 45 [º].
Los diámetros medios de entrada y salida del rodete son de 1 [m] y 0,45 [m]
respectivamente y a su vez, las secciones de paso entre álabes correspondientes a la
entrada y a la salida del rodete son 0,14 [m2] y 0,09 [m2]. Si el rendimiento manométrico
de la turbina es del 85 [%] y se admite que éste coincide prácticamente con el
rendimiento global de la turbina, se pide calcular:
a) Triángulos de velocidad a la entrada y a la salida del rodete.
b) Salto neto.
c) Par y potencia sobre el eje.
d) Velocidad específica de Brauer. ¿Es correcta la elección de una turbina Francis para
este aprovechamiento hidráulico?
Para el diseño de la turbina en cuestión se han realizado ensayos en un modelo a
escala 4 veces más pequeño que el prototipo y con una velocidad de giro de
3000 [r.p.m.]. Asumiendo efectos de escala entre los rendimientos obtenidos para
modelo y prototipo, se pide:
e) Estimar el rendimiento del modelo en el punto de funcionamiento óptimo de
acuerdo con la fórmula de CEI tomando como referencia el diámetro a la salida del
rodete.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2008-2009 - 111
08-09-JUN.1.
(45 minutos)
Se desea bombear agua desde un embalse inferior a uno superior, ambos de grandes
dimensiones y a presión atmosférica. El nivel del embalse inferior oscila entre 100 [m]
y 115 [m] sobre el nivel de mar, mientras que el embalse superior tiene un nivel mínimo
de 130 [m] sobre el nivel de mar con la misma carrera que el embalse de aspiración
inferior.
El circuito hidráulico tiene las siguientes constantes de pérdidas de carga definidas
para la tubería de aspiración y para la tubería de impulsión:
 m C.A. 
K asp = 200  3 2 
 (m /s) 
y
 m C.A. 
K imp = 800  3 2 
 (m /s) 
Se ha seleccionado la bomba a emplear y el fabricante ha facilitado las siguientes
curvas características válidas para N = 1400 [r.p.m.] con Q en [m3/s]:
H = 60 − 1500 ⋅ Q 2
[m C.A.]
η = 16 ⋅ Q − 80 ⋅ Q 2
[-]
NPSH R = 5 − 140 ⋅ Q + 1000 ⋅ Q 2
[m C.A.]
Además el fabricante recomienda adoptar un margen de seguridad de 0,5 [m] a la
hora de seleccionar la cota de implantación.
a) Determinar los puntos de funcionamiento (H, Q, η) para los niveles extremos de los
embalses.
b) Determinar la cota de implantación de acuerdo con la información facilitada por el
fabricante y compararla con las estadísticas existentes. Para las estadísticas, emplear
el punto óptimo de funcionamiento.
c) Determinar si en algún caso pueden producirse problemas de inestabilidad de
bombeo.
Se decide aumentar el caudal bombeado por el sistema. Se toma como referencia la
situación en la que se tiene la mínima diferencia de cota entre los embalses, es decir,
embalse superior vacío y embalse inferior lleno. En dicha situación se plantean dos
posibilidades:
•
OPCIÓN A: colocar dos bombas iguales en paralelo sin variar la velocidad de giro.
En este caso el rendimiento de los motores se puede estimar en 70 [%].
•
OPCIÓN B: elevar la velocidad de giro de una única bomba hasta obtener el mismo
punto de funcionamiento (H, Q) que para el caso de la OPCIÓN A. En este caso el
rendimiento del motor se puede estimar en 90 [%].
d) Determinar dicho punto de funcionamiento y la velocidad de giro necesaria para la
segunda opción.
e) Calcular la eficiencia energética del proceso para ambas opciones.
f) Analizar si existe riesgo de cavitación en ambas opciones de acuerdo con la cota de
implantación establecida en el apartado c).
g) Seleccionar una de las dos opciones razonando la respuesta.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2008-2009 - 112
08-09-JUN.2.
(40 minutos)
Desde un pozo abierto a la atmósfera situado a una cota de – 5 [m] se quiere
suministrar agua a una fuente instalada en un jardín, a una cota de 5 [m] por la que, en
esta situación, sale agua en continuo a una velocidad 2 [m/s] mediante una bomba
centrífuga.
La constante de pérdidas de carga para la aspiración es Kasp = 2000 [m C.A./(m3/s)2]
y la correspondiente para la impulsión Kimp = 8000 [m C.A./(m3/s)2], siendo el diámetro
de ambas tuberías igual a 150 [mm].
El fabricante ha proporcionado la siguiente información:
35
30
H [m C.A.]
25
2
H 1 = -2000 Q - 200 Q + 32
20
H1
H2
15
2
H 2 = -1500 Q - 150 Q + 25
10
5
0
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
3
Q [m /s]
De las bombas proporcionadas por el fabricante seleccionar la más adecuada,
indicando el punto de funcionamiento. (3 puntos)
Tras observar el correcto funcionamiento de la fuente se está planteando instalar otra
fuente más. Esta nueva fuente tendría la tubería de alimentación en la mitad de la
tubería de impulsión del sistema anterior, siendo ahora la Kimp = 4000 [m C.A./(m3/s)2],
tanto para la parte de la tubería de impulsión anterior y posterior a la bifurcación como
para la tubería que lleva agua a la nueva fuente.
El caudal que se pretende que llegue a la nueva fuente será un tercio del que llegue a
la fuente ya instalada (en este nuevo caso se desconoce el caudal que sale por la primera
fuente).
Con la bomba elegida anteriormente, obtener la cota a la que se debe instalar la
nueva fuente y el punto de funcionamiento en esta nueva situación. (5 puntos)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2008-2009 - 113
08-09-SEP.1.
(30 minutos)
Se tienen que instalar turbinas en un salto de 130 [m] de altura bruta y 16 [m3/s] de
caudal total en condiciones normales de funcionamiento.
Discutir el tipo de turbina, número y tamaño de las mismas (dimensionamiento) para:
a) Un generador con 24 pares de polos (50 [Hz]).
b) Un generador con 4 pares de polos (50 [Hz]).
Conviene utilizar al menos dos turbinas. Dibujar la instalación y las turbinas.
Justificar cada decisión o supuesto tomado.
Notas:
• Las pérdidas de carga en la tubería de alimentación de entrada a las turbinas se
pueden estimar en un 8 [%] del salto bruto.
• Si fuera necesario presuponer un rendimiento de la turbina tomar como valor de
referencia 90 [%].
• Para el dimensionamiento de las turbinas se pueden utilizar las relaciones estadísticas
que se estimen oportunas, entre ellas, las propuestas en el libro ábacos de la asignatura
(apartados 10, 11, 12 y 13).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2008-2009 - 114
08-09-SEP.2.
(15 minutos)
Una bomba trabaja impulsando un líquido de peso específico de valor 870 [kg/m3] en
un circuito cerrado de constante de pérdidas 19110 [m C.L. ⋅ (m3/s)-2]. El caudal de
trabajo en ese punto es de 0,05 [m3/s] con un rendimiento de 0,675 [-].
Se pide:
1. Calcular el indicador energético de la instalación en [kW-h/m3] en su punto de
funcionamiento.
(3 puntos)
2. Se reduce la velocidad de giro en un 10 [%]. Calcular el nuevo indicador
energético.
(5 puntos)
Nota.- suponer el rendimiento del motor de valor 0,7 [-] en ambos casos.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2008-2009 - 115
08-09-SEP.3.
(40 minutos)
Se desea obtener una potencia eléctrica máxima de 800 [kW] por medio de un
alternador de velocidad síncrona de N = 1500 [r.p.m.] arrastrado por una turbina Francis
que funciona bajo un salto bruto constante de 100 [m]. El rendimiento del conjunto
turbina-alternador se puede considerar constante de valor 0,813 [-]. La conducción que
alimenta a la turbina tiene una longitud de 600 [m] y su coeficiente de fricción,
prácticamente constante, es f = 0,022 [-].
a) Obtener una expresión de la potencia eléctrica del tipo P = A ⋅ Q + B ⋅ Q 3 ,
relacionando el caudal, el salto bruto y las pérdidas de carga en el conducto de
alimentación que tiene un diámetro D conocido.
(2 puntos)
b) Para la situación de potencia máxima calcular el valor del caudal, la constante K
de las pérdidas de carga, la altura de la turbina y verificar que es una turbina
Francis. (3 puntos)
c) Representar la curva Potencia – Caudal.
(1 punto)
d) Si tanto en el triángulo de entrada como en el de salida la velocidad absoluta no
tiene componente periférica, el diámetro de la salida es 20 [%] superior que a la
entrada, el espesor de los álabes resta un 4 [%] al área útil tanto a la entrada
como a la salida, siendo b1 = b2 = 50 [mm] y c1 = 36,15 [m/s], calcular dichos
triángulos.
(2 puntos)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2009-2010 - 116
Exámenes: 2009-2010
09-10-FEB.1.
(30 minutos)
Una bomba que habitualmente trabaja con agua fría se usa para impulsar pulpa
de papel refinada con consistencia del 5 [%]. Las curvas características de la bomba con
agua y pulpa se encuentran graficadas en la figura adjunta, con lecturas en unidades
inglesas (abajo Q, izquierda Hm) y métricas derivadas (arriba Q, derecha Hm).
1. Obtener la curva de potencia en el eje [kW] – caudal [L/s] para agua (3 puntos) y
para pulpa (γpulpa = 10200 [N/m3]) (3 puntos). Para ello, elegir dos puntos hacia
los extremos de la gráfica y ajustar las dos curvas pedidas, Peje (Q), a una recta.
2. Razonar, a la vista de la forma de las curvas de potencia, de qué tipo de bomba
se trata. (2 puntos)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2009-2010 - 117
09-10-FEB.2.
(25 minutos)
En 1998 se finalizó la obra de la Central Hidroeléctrica de pie de presa del
Embalse de Undurraga que permite el aprovechamiento energético previo de las aguas
procedentes del Sistema del Zadorra y destinadas al abastecimiento.
La central consta de 2 turbinas semi-Kaplan de eje horizontal para un caudal de
6 [m3/s] cada una, con un salto neto de 17,44 [m C.A.], siendo la velocidad de rotación
N igual a 600 [r.p.m.]. Se pide, para una única turbina:
1. Calcular el Nq (1 punto) y comentar si las turbinas Kaplan se corresponden con
el valor obtenido (1 punto).
2. Calcular la potencia hidráulica. (1 punto)
3. Calcular la potencia mecánica si el rendimiento global es del 80 [%]. (1 punto)
4. Considerando la fórmula de Hutton para turbinas Kaplan, calcular el
rendimiento del modelo que se usó para los cálculos, conociendo que el
diámetro del modelo es la mitad que el del prototipo y que la altura de prototipo
es cuatro veces la del modelo. (2 puntos)
5. Dibujar los triángulos de velocidades tanto a la entrada como a la salida del
rodete, conociendo que la velocidad meridiana en ambos casos es de 7 [m/s],
que el diámetro medio es de 1 [m] y que
α1
= 3 , siendo β 2 = 45 [º]. (3 puntos)
α2
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2009-2010 - 118
09-10-FEB.3.
(40 minutos)
La figura muestra el esquema simplificado de una instalación de suministro de
agua a dos depósitos a diferentes alturas para el abastecimiento de dos poblaciones.
Todos los depósitos son de grandes dimensiones y se encuentran a presión atmosférica
salvo el depósito de aspiración, que se encuentra en depresión. Los datos altimétricos y
de presión se muestran en la misma figura.
100 [m]
c
– 0,03 [MPa]
30 [m]
B
2 [m]
B
d
B
0 [m]
b
a
Las pérdidas de carga en los tramos a, b y d mostrados en la figura se pueden
calcular a partir de las siguientes constantes:
TRAMO
a
b
d
K [m C.A./(m3/s)2]
12
80
250
El bombeo se realiza utilizando un modelo de bomba con las siguientes curvas
características facilitadas por el fabricante con el caudal expresado en [m3/s] para una
velocidad de giro de N = 1500 [r.p.m.]:
H = 70 – 120 · Q2
[m C.A.]
η = 4 · Q – 5,5 · Q2
[-]
NPSHR = 2 – 3 · Q + 16 · Q2
[m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2009-2010 - 119
El fabricante, además, recomienda contemplar un margen de seguridad de
0,5 [m C.A.] para establecer la cota de implantación de la bomba.
Se utilizan un total de tres bombas iguales. El bombeo principal se realiza a través
de una conexión de dos bombas en serie y se dispone de una tercera bomba adicional
para ayudar al bombeo del depósito más elevado.
Se pide:
1. Calcular la distribución de caudales en la instalación, la constante de pérdidas
del tramo c y los puntos de funcionamiento de cada una de las bombas en
régimen permanente para las condiciones descritas, teniendo en cuenta que se
extraen 0,528 [m3/s] del depósito de aspiración.
2. Calcular el equivalente energético de la instalación expresado en [kW-h/m3]
suponiendo un rendimiento de los motores de valor constante 0,8 [-].
3. Comprobar si alguna de las bombas corre el riesgo de trabajar en condiciones de
cavitación. En caso afirmativo, calcular estas tres posibles soluciones de forma
independiente para evitar la aparición de dicho fenómeno en la(s) bomba(s)
afectada(s):
a. Nueva cota de implantación.
b. Nueva presión del depósito de aspiración.
c. Nueva velocidad de rotación.
4. Calcular el rendimiento y la velocidad específica de una única bomba en el
punto óptimo de funcionamiento.
(8 puntos)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2009-2010 - 120
09-10-JUN.1.
(30 minutos)
Dimensionar de forma aproximada una turbina Francis para la potencia nominal
de funcionamiento: H = 402,5 [m C.A.], Pe* = 78000 [C.V.], N = 600 [r.p.m.].
Nota.- C1 = 0,66 [-], U1* = 0,72 [-], α1* = 13 [º]
(8 puntos)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2009-2010 - 121
09-10-JUN.2.
(30 minutos)
En el balneario de Gastein en Austria, se realizan tratamientos con radón, que se
encuentra tanto en el agua como en el aire. Se pretende instalar una nueva instalación de
bombeo para un nuevo tratamiento, definida por su ecuación característica,
hm = 50 + 1,4 · 10–5 ⋅ Q2
en [m C.A.] y Q en [m3/h].
Para esta instalación se ha pensado instalar una bomba comercial que a su
velocidad nominal de 1500 [r.p.m.] tiene estas curvas características:
hB = 75 – 3,5 · 10–4 ⋅ Q2
en [m C.A.] y Q en [m3/h],
y cuya “altura neta positiva de succión” es:
NPSHR = 0,5 + 4,1 ⋅ 10–5 ⋅ Q2
en [m C.A.] y Q en [m3/h],
La cota de implantación es 2 [m]. La altura de pérdidas en la aspiración, hasta la
entrada de la bomba, es 5 ⋅ 10–6 ⋅ Q2 en [m C.A.] y Q en [m3/h]. El agua bombeada está
a 17,5 [ºC], cuya carga de vapor es hps = 0,21 [m C.A.] y siendo la presión atmosférica
el valor habitual.
a) Calcular el punto de funcionamiento, comprobando si cavita o no. (2 puntos)
Si se modifica la velocidad de rotación a 1600 [r.p.m.],
b) Obtener las nuevas curvas hB y NPSHR. (2 puntos)
Si a su vez se introducen más pérdidas de carga en la aspiración que responden
al término 2,5 · 10–6 ⋅ Q2 en [m C.A.] con Q en [m3/h], y se eleva la cota de
implantación 3 [m] más,
c) Calcular el nuevo punto de funcionamiento. (4 puntos)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2009-2010 - 122
09-10-JUN.3.
(40 minutos)
Una turbina Pelton de un único inyector se elige para mover un alternador de
3 [pares de polos]. El chorro de agua tiene un diámetro de 85 [mm] y una velocidad de
110 [m/s]. El chorro se desvía 165 [º] tras el impacto con la cuchara y a la entrada del
rodete la relación de la velocidad tangencial del álabe a la velocidad del chorro es
0,48 [-]. Debido a la fricción, la velocidad relativa a la salida del rodete se ve reducida
un 10 [%] con respecto a la de entrada. Las pérdidas de carga en el inyector pueden
considerarse como un 3 [%] del salto neto en el punto de funcionamiento descrito. Las
pérdidas mecánicas y las volumétricas se consideran despreciables.
Se pide:
a)
b)
c)
d)
Calcular los triángulos de velocidades a la entrada y la salida del rodete.
Calcular el diámetro medio del rodete.
Potencia desarrollada por la turbina y par motor.
La altura neta y el rendimiento manométrico en el punto de funcionamiento
descrito.
e) Comprobar que se trata de una turbina Pelton y dimensionar estadísticamente la
cuchara.
Los ensayos previos realizados con el modelo se han realizado con una turbina
más pequeña geométricamente semejante a la anterior, con relación de semejanza
λ = 2 [-], girando a 3000 [r.p.m.]. Para el punto de funcionamiento semejante al descrito
en el primer párrafo, se pide:
f) Calcular la altura neta y el caudal de ensayo con el modelo, así como su
velocidad específica.
g) Estimar el rendimiento en el modelo de acuerdo con la siguiente fórmula de
revalorización:
  Re
∆η = (1 − η M ) ⋅ 0,6 ⋅ 1 −  M
  Re P
con Re =
B⋅ 2⋅ E
ν



0, 2



, siendo B la anchura de la cuchara.
(8 puntos)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2009-2010 - 123
09-10-SEP.1.
(30 minutos)
Se dispone de un conjunto de grupos motobomba iguales, siendo la curva
característica de cada grupo la siguiente:
Hm = 40 – 4 ⋅ Q – 100 ⋅ Q2
[m C.A.] (con Q en [m3/s])
Con dichas bombas se debe de suministrar un caudal de 1 [m3/s], elevándose
hasta una altura de 30 [m] por una tubería cuya curva de pérdidas es la siguiente:
∆H = 60 ⋅ Q2
[m C.A.] (con Q en [m3/s])
Se pide:
1. ¿Qué tipo de acoplamiento será necesario efectuar para cumplir las
exigencias?
2. ¿Cuál será el número mínimo de bombas a utilizar?
3. Si el suministro sólo se puede efectuar con 2 bombas acopladas en paralelo,
¿cuál debe ser la nueva velocidad de rotación de las mismas si la actual es de
500 [r.p.m.]?
(8 puntos)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2009-2010 - 124
09-10-SEP.2.
(30 minutos)
La turbina hélice de la figura adjunta se corresponde al emplazamiento de
CHAYEDIVI en la India. Su punto nominal de funcionamiento se corresponde con un
caudal de 48,26 [m3/s] y salto neto de 29 [m C.A.].
A la salida, el tubo de aspiración tiene sección rectangular de valor 2,85 [m]
(alto) x 7,30 [m] (ancho). Para el Hn nominal de 29 [m C.A.] (coincide con el Hn
óptimo), el rendimiento (EJE Y, [%]) varía con el caudal (EJE X, [m3/s]) según la curva
adjunta.
En el punto de funcionamiento óptimo, la energía cinética asociada a la
componente tangencial de la velocidad absoluta a la salida del rodete es 0,05 [m C.A.].
Determinar en el punto óptimo:
a) El ángulo α2 de la velocidad absoluta del agua a la salida de la rueda ≡ entrada
tubo de aspiración, considerando que para el cálculo de l sección efectiva de
paso hay que descontar la sección del bulbo donde van montados los álabes. (4
puntos)
b) La energía cinética que se pierde entre la salida del tubo de aspiración y el final
de la turbina por pérdidas de Borda-Carnott. (4 puntos)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Exámenes: 2009-2010 - 125
09-10-SEP.3.
(20 minutos)
La dirección y magnitud de la velocidad del agua a la salida del impulsor de una
bomba centrífuga se miden con una sonda de velocidad especial. Los resultados se
indican en la Figura. A la entrada del impulsor la velocidad del agua no tiene
componente tangencial. Suponiendo flujo ideal y número infinito de álabes, determinar:
a)
b)
c)
d)
Par motor que impulsa el rodete.
Ángulo de salida de los álabes, β2.
Potencia consumida.
Altura proporcionada por el rodete.
Nota.- suponer b1 = b2 = 3 [mm]
(8 puntos)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 126
Ejercicios resueltos
EJERCICIO 1.1.
a) Entre 1 (entrada de la bomba) y 2 (salida de la bomba) (Figura 1.1) se puede plantear
la ecuación de la energía, si se considera que no hay pérdidas entre 1 y 2:
H2 = Hmanométrica + H1
La energía total en 1 H1 es:
H1 = (p1 γ (-1))+ (c12 (2g) (-1)) + z1
La energía total en 2 H2 es:
H2 = (p2 γ (-1))+ (c22 (2g) (-1)) + z2
En ambos ramales del manómetro la presión debe ser la misma a la misma cota.
Eligiendo como referencia la cota correspondiente a la interfaz agua-mercurio del ramal
2 (Figura 1.1.b) se puede plantear la siguiente ecuación:
p2 + γ agua h2 = γ agua (h1 – ∆z)+ γ Hg ∆z + p1
(p2 – p1)= –γ agua (h2 – h1+∆z)+ γ Hg ∆z
Siendo
γ agua = 9,81 ⋅ 1000 = 9810 [N ⋅ m-3]
γ Hg = 9,81 ⋅ 13480 = 132238,8 [N ⋅ m-3]
h2 – h1 = 0,7 [m]
∆z = 0,7 [m]
Figura 1.1.b
p2 – p1=78832,6 [Nm-2]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 127
Por otra parte, si Q es dato (Q = 0,1 [m3s-1]) y S2 y S1 son las secciones a la salida y la
entrada se pueden calcular C2 y C1:
S2 = 0,25 π D2 2 = 0,01767 [m2]
S1 = 0,25 π D1 2 = 0,03142 [m2]
c2 = Q ⋅ S2 -1= 5,658 [ms-1]
c1 = Q ⋅ S1 -1= 3,183 [ms-1]
Por su parte:
z2 – z1 = 0,7 [m]
A partir de aquí,
Hm = H2 – H1 = (p2 – p1 ) ⋅ γ agua (-1) + (c22 – c12 )(2g) (-1) + (z2 – z1 )
Sustituyendo:
Hm = 9,853 [m C.A.]
Expresado en forma de energía hidrúalica másica
E = Hm g = 96,6 [J kg-1]
b) La potencia hidráulica:
Ph = γ agua Q Hm = 9665,8 [W] ≈ 9,7 [kW]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 128
EJERCICIO 1.2.
Se plantea la ecuación de continuidad a la salida de una de las boquillas. En ese punto el
caudal es de 50 [L/s], de forma que:
Q=v⋅S
⇒
Q2 = v2 ⋅ (π ⋅ D22 / 4)
⇒
50 ⋅ 10-3 = v2 ⋅ (π ⋅ D22 / 4)
[m3/s]
(1)
Por lo tanto, para poder obtener el diámetro de la boquilla se debe calcular previamente
la velocidad a la salida de la misma. Para ello se plantea la ecuación de conservación de
la energía (Bernoulli) entre la superficie libre del riachuelo y la salida de una de las
boquillas:
z1 +
v12 p1
v2 p
+ + H b = z 2 + 2 + 2 + hR12 [m C.A.]
2g γ
2g γ
(2)
En este caso, z2 – z1 = 3,5 + 1,5 = 5 [m]
v1 ≈ 0 [m/s] (suponiendo que el nivel del riachuelo apenas varía)
p1 = p2 = 0 [Pa] (presión atmosférica en ambos casos)
hR12 = 5 + 0,8 = 5,8 [m C.A.]
Hb y v2 desconocidos
Para poder despejar el valor de la velocidad a la salida de la boquilla (v2) es necesario
conocer la altura de impulsión de la bomba (Hb). Dado que se conocen el rendimiento y
la potencia mecánica de la bomba, la potencia hidráulica resulta ser:
Y como
PH = Pm ⋅ η = (150 ⋅ 735,5) ⋅ 0,8 = 88260
[W]
PH = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ Q ⋅ H
[W]
se tiene que: 9810 ⋅ Q ⋅ H = 88260
[W]
(3)
Finalmente, la bomba debe aportar el caudal total del sistema, es decir,
2 [mangueras] ⋅ 50 ⋅ 10-3 [(m3/s)/manguera] = 100 [m3/s]
Sustituyendo en (3):
H = 89,97 [m C.A.]
Llevando a (2):
v2 = 39,66 [m/s]
Y finalmente, llevando este valor a (1):
D2 = 0,04 [m]
⇒
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
D2 = 40 [mm]
Ejercicios resueltos - 129
EJERCICIO 1.3.
455,5
punto 2´
Armarios
eléctricos
453
punto 1
452,69
punto 2
M
B
450,5
450
D = 0,4 [m]
Q = 0,3 [m3/s] ⇒
v = 0,3 / (π ⋅ 0,42/4) = 2’38 [m/s]
Balance entre 1 y 2:
H1 + Hm = H2
453 = H1 ya que
p1 / γ = 0 (es la atmosférica)
v12 / 2g = 0 (está parado)
z1 = 453 [m]
Entre 2 y 2’ la cota piezométrica se mantiene:
p2 / γ + z2 = p2’ / γ + z2’
p2 / γ = 3,02 [m C.A.]
H2 = p2 / γ + v22 / 2g + z2 = 456 [m C.A.]
Altura de impulsión de la bomba:
Hm = H2 – H1 = 456 – 453 = 3 [m C.A.]
Energía específica:
Hm g = 29,42 [J/kg]
Potencia hidráulica generada por la bomba:
Ph = γ Q Hm = 9810 · 0,3 · 3 = 8,83 [kW]
O bien:
Ph = ρ · Q · E = 1000 · 0,3 · 29,42 = 8,83 [kW]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
454
Ejercicios resueltos - 130
EJERCICIO 1.4.
Aplicando Bernoulli entre 1 y 2.
p1
γ
v12
p
v2
+ z1 + hB = 2 + 2 + z 2 + hR1−2
2⋅ g
γ 2⋅ g
+
Por el principio de conservación de la masa Q = v ⋅ A y despejando la velocidad
v1 =
v2 =
Q
Q
4 ⋅ 0,2
=
=
= 2,83 [m/s]
2
2
A π⋅D
π ⋅ (0,3)
4
Q
Q
4 ⋅ 0,2
=
=
= 6,37 [m/s]
2
2
A π⋅D
π ⋅ (0,2)
4
Trabajando con presiones relativas p A = p B = 0 [Pa]
0 = p1 − 0,65 ⋅ 9,81 ⋅ 998,5 + 0,3 ⋅ 9,81 ⋅ 13450
p1 = −33216,42 [Pa]
En el transductor de presión
4 [mA] Æ 0 [bar]
20 [mA] Æ 6 [bar]
7
6
bar
5
4
3
2
1
0
0
4
8
12
16
20
mA
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
24
Ejercicios resueltos - 131
Como la lectura en el punto actual de ensayo es de 16,78 [mA] mediante un ajuste lineal
se obtiene la presión de ese punto.
20 − 4
6−0
=
16,78 − 4 x − 0
x = 4,7925 [bar]
p2 (abs) = 4,7925 [bar] = 4,7925 ⋅10 5 [Pa]
p2 ( rel ) = p2 ( abs ) − Patm = 4,7925 ⋅ 10 5 − 101300 = 377950 Pa
De manera que al introducir los datos en la ecuación de Bernoulli:
− 33216,42 2,832
377950
6,37 2
+
+ 35,0 + hB =
+
+ 35,5 + 0
998,5 ⋅ 9,81 2 ⋅ 9,81
998,5 ⋅ 9,81 2 ⋅ 9,81
− 33216,42   6,37 2
2,83 2 
 377950
 + (35,5 − 35,0 ) = 41,98 + 1,66 + 0,5
hB = 
−
−
 + 
 998,5 ⋅ 9,81 998,5 ⋅ 9,81   2 ⋅ 9,81 2 ⋅ 9,81 
hB = 44,14 [m C.A.]
EB = hB ⋅ g = 433,01 [J/kg]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 132
EJERCICIO 1.5.
Se calcula en primer lugar la curva resistente para el caso de BOMBEO. Se aplica para
ello la ecuación de Bernoulli en el sentido del flujo, entre la superficie libre del embalse
inferior y la superficie libre del superior:
z1 +
v12
p
v2
p
+ 1 + hB = z 2 + 2 + 2 + hR12
2⋅ g γ
2⋅ g γ
[m C.A.]
hB = ∆z + hR12
Simplificando, se tiene que:
[m C.A.]
Para obtener la curva resistente, se deben calcular las pérdidas de carga en función del
caudal circulante. Se consideran siguientes pérdidas de carga: pérdidas de carga
primarias en los tramos depósito inferior-bomba y bomba-depósito superior y las
pérdidas de carga secundarias de entrada a tubería, codo y entrada a depósito:
1
1
2
2
2
hR12 = hRI
+ hRII
+ hRT
+ hRC
+ hRD
•
Pérdidas de carga primarias en el tramo I
DI = 7 [m];
εI = 1 [mm]; LeI = 150 [m]
La rugosidad relativa εI´ = εI / DI = 0,00014 [-]
La sección de la tubería SI = 0,25 ⋅ π ⋅ DI2 = 38,49 [m2]
En bombeo (QB = 40 [m3/s]), la velocidad en la tubería: vIB = QB/SI = 1,04 [m/s]
con lo que el número de Reynolds resulta ser: ReIB = vIB ⋅ DI/ν = 7,3 ⋅ 106 [-]
y leyendo la f en el ábaco de Moody:
fIB ≈ 0,013 [-]
De forma que para calcular las pérdidas en los tramos I y II se aplica la expresión
genérica de Darcy-Weissbach:
1
hRI
= f IB
Operando se tiene que:
•
2
LeI vIB
8 ⋅ f IB LeI
=
⋅ QB2 = K IB ⋅ QB2
DI 2 ⋅ g g ⋅ π 2 DI5
1
hRI
= 9,59 ⋅ 10 −6 ⋅ QB2
Pérdidas de carga primarias en el tramo II
DII = 5 [m];
εII = 0,1 [mm];
LeII = 450 [m]
La rugosidad relativa εII´ = εII / DII = 0,00002 [-]
La sección de la tubería SII = 0,25 ⋅ π ⋅ DII2 = 19,64 [m2]
En bombeo (QB = 40 [m3/s]), la velocidad en la tubería: vIIB = QB/SII = 2,04 [m/s]
con lo que el número de Reynolds resulta ser: ReIIB = vIIB ⋅ DII/ν = 10,2 ⋅ 106 [-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 133
y leyendo la f en el ábaco de Moody:
1
Como antes: hRII
= f IIB
Operando se tiene que:
•
fIIB ≈ 0,010 [-]
2
LeII vIIB
8 ⋅ f IIB LeII 2
=
⋅ QB = K IIB ⋅ QB2
DII 2 ⋅ g g ⋅ π 2 DII5
1
hRII
= 1,19 ⋅ 10 −4 ⋅ QB2
Pérdidas de carga secundarias, entrada a tubería
La pérdida de carga que se produce en la conexión “depósito-entrada a tubería” viene
caracterizada con el coeficiente ξT = 0,5 [-], por lo que asociando dicho coeficiente al
término cinético de la tubería del tramo I, se tiene que:
2
= ξT ⋅
hRT
Operando se tiene que:
•
2
vIB
8 ⋅ξT
=
⋅ QB2
2
4
2 ⋅ g g ⋅ π ⋅ DI
2
hRT
= 1,72 ⋅ 10 −5 ⋅ QB2
Pérdidas de carga secundarias, codo
En este caso la pérdida de carga se caracteriza con el coeficiente ξC = 0,05 [-] asociado
al término cinético del tramo II:
2
hRC
= ξC ⋅
Operando se tiene que:
•
2
8 ⋅ξC
vIIB
=
⋅ QB2
2
4
2 ⋅ g g ⋅ π ⋅ DII
2
hRC
= 6,61 ⋅ 10 −6 ⋅ QB2
Pérdidas de carga secundarias, entrada a depósito
En este caso se tiene que ξD = 1 [-], por lo que asociando dicho coeficiente al término
cinético de la tubería II:
2
hRD
= ξD ⋅
Operando se tiene que:
2
vIIB
8 ⋅ξD
=
⋅ QB2
2
4
2 ⋅ g g ⋅ π ⋅ DII
2
hRD
= 1,32 ⋅ 10 −4 ⋅ QB2
Las pérdidas de carga totales para la situación de bombeo quedan:
1
1
2
2
2
hR12 = hRI
+ hRII
+ hRT
+ hRC
+ hRD
= 2,85 ⋅10 −4 ⋅ QB2
Y para el caudal nominal de bombeo resultan ser:
hR12 = 2,85 ⋅10 −4 ⋅ QB2 = 2,85 ⋅10 −4 ⋅ 40 2 = 0,456
[m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 134
Y la curva resistente de la instalación para el caso de bombeo queda, en definitiva:
hB = ∆z + 2,85 ⋅10 −4 ⋅ QB2
Los niveles de los embalses oscilan según los ciclos estacionales entre los siguientes
límites que delimitan los desniveles geométricos, ∆z:
Embalse superior
Máximo
Mínimo
684 [m] (s.n.m.) 664 [m] (s.n.m.)
Máximo, 616 [m] (s.n.m.)
68
48
Embalse inferior
Mínimo, 602 [m] (s.n.m.)
82
62
Gráficamente, las cuatro curvas:
bombeo 1G
110
100
H [m C.A.]
90
80
70
60
50
40
0
40
80
120
160
200
240
280
320
3
Q [m /s]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 135
Se calcula a continuación la curva resistente para el caso de TURBINADO. Se aplica
para ello la ecuación de Bernoulli en el sentido del flujo, entre la superficie libre del
embalse superior y la superficie libre del inferior:
z2 +
v22
p
v2
p
+ 2 = z1 + 1 + 1 + hT + hR21
2⋅ g γ
2⋅ g γ
[m C.A.]
hT = ∆z − hR21
Simplificando, se tiene que:
[m C.A.]
Para obtener la curva resistente, se deben calcular las pérdidas de carga en función del
caudal circulante. Se consideran siguientes pérdidas de carga: pérdidas de carga
primarias en los tramos depósito superior-turbina y turbina-depósito inferior y las
pérdidas de carga secundarias de entrada a tubería, codo y entrada a depósito:
1
1
2
2
2
hR 21 = hRII
+ hRI
+ hRT
+ hRC
+ hRD
•
Pérdidas de carga primarias en el tramo II
DII = 5 [m];
εII = 0,1 [mm];
LeII = 450 [m]
La rugosidad relativa εII´ = εII / DII = 0,00002 [-]
La sección de la tubería SII = 0,25 ⋅ π ⋅ DII2 = 19,64 [m2]
En turbinado (QT = 49 [m3/s]), la velocidad en la tubería: vIIT = QT/SII = 2,50 [m/s]
con lo que el número de Reynolds resulta ser: ReIIT = vIIT ⋅ DII/ν = 12,5 ⋅ 106 [-]
y leyendo la f en el ábaco de Moody:
2
LeII vIIT
8 ⋅ f IIT LeII 2
=
⋅ QT = K IIT ⋅ QT2
2
5
DII 2 ⋅ g g ⋅ π DII
1
Como antes: hRII
= f IIT
Operando se tiene que:
•
fIIT ≈ 0,010 [-]
1
hRII
= 1,19 ⋅ 10 −4 ⋅ QT
Pérdidas de carga primarias en el tramo I
DI = 7 [m];
εI = 1 [mm]; LeI = 150 [m]
La rugosidad relativa εI´ = εI / DI = 0,00014 [-]
La sección de la tubería SI = 0,25 ⋅ π ⋅ DI2 = 38,49 [m2]
En turbinado (QT = 49 [m3/s]), la velocidad en la tubería: vIT = QT/SI = 1,27 [m/s]
con lo que el número de Reynolds resulta ser: ReIT = vIT ⋅ DI/ν = 8,9 ⋅ 106 [-]
y leyendo la f en el ábaco de Moody:
fIT ≈ 0,013 [-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 136
Como antes:
1
hRI
= f IT
Operando se tiene que:
LeI vIT2
8 ⋅ f IT LeI
=
⋅ QB2 = K IT ⋅ QT2
DI 2 ⋅ g g ⋅ π 2 DI5
1
hRI
= 9,59 ⋅10 −6 ⋅ QT2
Nota.- al ser régimen turbulento completamente desarrollado la f en ambos tramos es la
misma para los caudales de bombeo y de turbinado (fB ≈ fT). Por ello, se puede
caracterizar cada tramo por medio de una única constante para cada tramo (KB ≈ KT):
KI = 9,59 ⋅ 10–6 [m C.A./(m3/s)2] y KII = 1,19 ⋅ 10–4 [m C.A./(m3/s)2].
•
Pérdidas de carga secundarias, entrada a tubería
La pérdida de carga que se produce en la conexión “depósito-entrada a tubería” viene
caracterizada con el coeficiente ξT = 0,5 [-], pero en este caso se debe asociar dicho
coeficiente al término cinético de la tubería del tramo II:
2
= ξT ⋅
hRT
Operando se tiene que:
•
2
vIIB
8 ⋅ξT
=
⋅ QT2
2
4
2 ⋅ g g ⋅ π ⋅ DII
2
hRT
= 6,61⋅10 −5 ⋅ QT2
Pérdidas de carga secundarias, codo
En este caso la pérdida de carga se caracteriza con el coeficiente ξC = 0,05 [-] asociado
al término cinético del tramo II:
2
= ξC ⋅
hRC
Operando se tiene que:
•
2
8 ⋅ξC
vIIT
=
⋅ QT2
2 ⋅ g g ⋅ π 2 ⋅ DII4
2
hRC
= 6,61 ⋅ 10 −6 ⋅ QT2
Pérdidas de carga secundarias, entrada a depósito
En este caso se tiene que ξD = 1 [-], pero dicho coeficiente se debe asociar al término
cinético de la tubería I:
2
hRD
= ξD ⋅
Operando se tiene que:
vIT2
8 ⋅ξD
=
⋅ QT2
2
4
2 ⋅ g g ⋅ π ⋅ DI
2
hRD
= 3,44 ⋅10 −5 ⋅ QT2
Las pérdidas de carga totales para la situación de turbinado quedan:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 137
1
1
2
2
2
hR21 = hRI
+ hRII
+ hRT
+ hRC
+ hRD
= 2,36 ⋅10 −4 ⋅ QT2
Y para el caudal nominal de turbinado resultan ser:
hR21 = 2,36 ⋅10 −4 ⋅ QT2 = 2,36 ⋅10 −4 ⋅ 49 2 = 0,567
[m C.A.]
Y la curva resistente de la instalación para el caso de turbinado queda, en definitiva:
hT = ∆z − 2,36 ⋅10 −4 ⋅ QT2
Los niveles de los embalses oscilan según los ciclos estacionales entre los siguientes
límites que delimitan los desniveles geométricos, ∆z:
Embalse superior
Máximo
Mínimo
684 [m] (s.n.m.) 664 [m] (s.n.m.)
Máximo, 616 [m] (s.n.m.)
68
48
Embalse inferior
Mínimo, 602 [m] (s.n.m.)
82
62
Gráficamente, las cuatro curvas:
turbinado 1G
90
80
H [m C.A.]
70
60
50
40
30
20
0
40
80
120
160
200
240
280
3
Q [m /s]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
320
Ejercicios resueltos - 138
EJERCICIO 1.6.
Como se conoce el rendimiento del motor la potencia eléctrica absorbida de la red
eléctrica se puede expresar en función de la potencia mecánica a través de la siguiente
expresión:
ηmot = Pm / Pe ⇒
Pe = Pm / ηmot [W]
⇒
Pe = Pm / 0,8 [W]
(1)
A su vez, como se conoce el rendimiento de la bomba, la potencia mecánica se puede
expresar en función de la potencia hidráulica:
η = PH / Pm ⇒
⇒
Pm = PH / η
[W]
Pm = PH / 0,7 [W]
(2)
A su vez, la potencia hidráulica:
PH = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ Q ⋅ H [W]
(3)
Por lo tanto, se deben calcular el caudal y la altura aportados por la bomba en las
condiciones de funcionamiento descritas.
Aplicando la ecuación de continuidad a la salida de la boquilla:
Q=v⋅S
Q = 9,8 ⋅ 3,6 ⋅ 10-4 = 3,528 ⋅ 10-3
⇒
[m3/s]
Por otra parte, se plantea la ecuación de conservación de la energía (Bernoulli) entre la
superficie libre del depósito y la salida de la boquilla:
z1 +
v12 p1
v2 p
+ + H b = z 2 + 2 + 2 + hR12 [m C.A.]
2g γ
2g γ
En este caso, z2 = z1
v1 ≈ 0 [m/s] (suponiendo que el nivel del depósito apenas varía)
p1 = p2 = 0 [Pa] (presión atmosférica en ambos casos)
v2 = 9,8 [m/s]
g = 9,81 [m/s2]
hR12 ≈ 0 [m C.A.] (pérdidas de carga despreciables)
Es decir que la energía que proporciona la bomba se emplea íntegramente para
comunicarle energía cinética al fluido. Despejando se tiene que Hb = 4,895 [m C.A.]
Sustituyendo los valores de caudal y energía obtenidos en (3):
PH = 169,4
[W]
Llevando a (2) se tiene la potencia mecánica:
Pm = 242,0
[W]
Y finalmente, en (3):
Pe = 302,5
[W]
⇒
Pe = 302,5
[W]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 139
EJERCICIO 2.1.
Q = 2,4 [L/s]
∑hf = 5 w22 /2g
Hm = 27 [m C.A.]
D2 = 0,2 [m]
ηman = 75 [%]
S2 = 0,2 D22
Euler sin pérdidas de carga →
no coincide con β2 sería Hm real
en este caso β2 coincide con el ángulo del álabe. Si
HmT= u2 cu2 /g
(sin prerrotación ⇒ u1cu1 = 0)
cm2
c2
w2
α2
β2
cu2
Q = cm2 ⋅ S2
⇒
u2
cm2 = 0,300 [m/s]
cm2 = w2 ⋅ senβ2
w2 ⋅ cosβ2 = u2 – cu2
HmT = u2 ⋅ cu2 /g → 36 = u2 ⋅ cu2 /g
ηman = 27/36 = 0,75 [-] → ok
HmR = 27 [m C.A.]
∑hf = HmT – HmR = 36 – 27 = 9 [m C.A.] = 5 w22 /2g
9 = 5 w22 /2g
36 = u2 ⋅ cu2 /g
0,3 = w2 ⋅ senβ2
w2 ⋅ cosβ2 = u2 – cu2
[1]
[2]
[3]
[4]
4 ecuaciones con 4 incógnitas: w2, u2, cu2, β2
[1][3]
[2]
[4]
⇒
w2 = 5,93 [m/s];
352’8 = u2 ⋅ cu2
u2 – cu2 = 5,922
β2 = 2,89 [º]
cu2 =16,054 [m/s]
u2 = 21,98 [m/s] = (2 ⋅ π ⋅ N /60) ⋅ (D2 /2)
⇒
N = 2099 [r.p.m.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 140
EJERCICIO 2.2.
Turbina Francis donde se supone que no existe variación en el entrehierro, de manera
que α1 ≅ α 2d .
u1
w1
c1
2 ⋅ π ⋅ N 2 ⋅ π ⋅ 600
ω=
= 20 ⋅ π
=
60
60
[rad/s]
u1 = ω ⋅ R1 = 20 ⋅ π ⋅ 0,5 = 10 ⋅ π
u 2 = ω ⋅ R2 = 20 ⋅ π ⋅
[m/s]
0,45
= 4,5 ⋅ π
2
[m/s]
Q1 = c1m ⋅ S1 Æ 1 = c1m ⋅ 0,14 Æ c1m = 7,14
[m/s]
Q2 = c2 m ⋅ S 2 Æ 1 = c2 m ⋅ 0,09 Æ c2 m = 11,11
sin α 1 =
c1m
7,14
Æ sin 15 =
Æ c1 = 27,59
c1
c1
Con respecto al triángulo de salida.
[m/s]
[m/s]
u2
w2
c2
sin β 2 = sin 45 =
tan 45 =
c2 m
Æ w2 = 15,71
w2
c2 m
11,11
=
= 1 Æ C 2u = 3,03
u 2 − C 2u 4,5 ⋅ π − c2u
[m/s]
[m/s]
E E = u1 ⋅ c1 ⋅ cos α1 − u 2 ⋅ c 2 ⋅ cos α 2
E E = 10 ⋅ π ⋅ 27,60 ⋅ cos15 − 4,5 ⋅ π ⋅ 3,03 = 794,69
η man =
E
EE
794,69
Æ E= E =
= 1018,84
E
η man
0,78
PH = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H = ρ ⋅ Q ⋅ E = 1000 ⋅1⋅1018,84 = 1,02 ⋅10 3 [W] = 1,02
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[J/kg]
[J/kg]
[MW]
Ejercicios resueltos - 141
EJERCICIO 2.3.
Q = 0,56 [m3/s];
N = 750 [r.p.m.];
cm2 = 2,7 [m/s]
S2 = Q /cm2 = 0,207 [m2]
EEuler = 120 [J/kg]
⇒ HEuler = EEuler/g = 120/9,8 = 12,25 [m C.A.]
ηman = 0,8 [-]
Σh f totales = 0,54 c22/2g
EEuler = u2cu2 – u1cu1
cu1 = 0
HE =
(sin prerrotación)
u 2 c2
g
(1)
η man = 0,8 =
H Euler
=
12,25 − Σhf
12,25 − Σhf
; 0,8 =
12,25
12,25
c22
2g
(3)
2πN D2
⋅
60 2
(4)
Σhf = 0,54
u2 =
H Euler − Σh f
(2)
u2 – cu2 = w2cosβ2
cm2 = w2senβ2
⇒ tan β 2 =
cm2 = c2 senα 2
(6)
c u 2 = c 2 cos α 2
cm 2
u 2 − cu 2
(5)
(7)
7 ecuaciones con 7 incógnitas.
u2 = 13,287 [m/s];
R2 = 0,169 [m]
cu2 = 9,035 [m/s];
c2 = 9,43 [m/s]
Σhf T = 2,45 [m C.A.];
β2 = 32,42 [º]
α2 = 16,64 [º]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 142
EJERCICIO 2.4.
Se deben calcular los triángulos de velocidades tanto a la entrada como a la salida del
rodete. Se deben calcular, por tanto c1, u1, w1, α1, β1 y c2, u2, w2, α2, β2.
Triángulo de velocidades a la entrada del rodete
Conocida la velocidad de rotación y el radio de entrada del rodete se calcula la
velocidad tangencial u1:
ω= N⋅
2⋅π
2⋅π
= 1470 ⋅
= 153,94 [rad/s]
60
60
⇒
u1 = ω ⋅ R1 = 153,94 ⋅ (0,2/2) = 15,39 [m/s]
Si se asume la inexistencia de rotación a la entrada del rodete, tal y como indica el
enunciado, directamente α1 = 90 [º].
Por la misma razón, la velocidad absoluta a la entrada no tiene componente tangencial.
Es decir que la velocidad absoluta a la entrada sólo tiene componente en el plano
meridiano y, en consecuencia, es la velocidad relacionada con el cálculo del caudal:
⇒
cu1 = 0
⇒
c1 = cm1
[m3/s],
Q = c1 ⋅ S1
En este caso, despreciando el espesor ocupado por los álabes, se tiene que:
S1 = 2 ⋅ π ⋅ (0,2/2) ⋅ 0,03 = 18,85 ⋅ 10 –3 [m2].
Y como el caudal es conocido, Q = 0,1 [m3/s], se obtiene directamente c1 = 5,31 [m/s].
Una vez conocidos c1, u1, y α1, β1 y w1 se obtienen por trigonometría:
•
tan β1 = c1/u1
⇒
β1 = 19,02 [º]
•
sen β1 = c1/w1
⇒
w1 = 16,28 [m/s]
Gráficamente:
w1 = 16,28 [m/s]
c1 = 5,31 [m/s]
α1 = 15,39 [º]
β1 = 15,39 [º]
u1 = 15,39 [m/s]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 143
Triángulo de velocidades a la salida del rodete
Como antes, conocida la velocidad de rotación y el radio de salida del rodete se calcula
la velocidad tangencial u2:
ω = 153,94 [rad/s]
u2 = ω ⋅ R2 = 153,94 ⋅ (0,37/2) = 28,48 [m/s]
⇒
A la salida del rodete la velocidad absoluta tiene componente tangencial y meridiana. La
componente meridiana proporciona información relacionada con el cálculo del caudal:
Q = cm2 ⋅ S2
En este caso, despreciando el espesor ocupado por los álabes a la salida del rodete, se
tiene que:
S2 = 2 ⋅ π ⋅ (0,37/2) ⋅ 0,03 = 34,87 ⋅ 10 –3 [m2].
Y como el caudal es conocido, Q = 0,1 [m3/s], se obtiene cm2 = 2,87 [m/s].
Por otra parte, de acuerdo con la ecuación de Euler para bombas:
EE = u2 ⋅ c2 ⋅ cosα2 – u1 ⋅ c1 ⋅ cosα1 [J/kg]
Teniendo en cuenta que α1 = 90 [º] y que c2 ⋅ cosα2 = cu2, se tiene en este caso:
EE = u2 ⋅ cu2
[J/kg]
En este caso u2 = 28,48 [m/s] y la energía específica ganada por el fluido al atravesar
ÚNICAMENTE el rodete (Euler) se calcula a través del rendimiento manométrico:
η man =
E
EE
[-]
⇒
0,78 =
400
[-]
EE
⇒
EE = 512,82 [J/kg]
Por lo que se puede calcular la componente periférica de la velocidad absoluta:
cu2 = 18,01 [m/s].
Una vez conocidas las componentes tangencial y meridiana de la velocidad absoluta, se
calculan por trigonometría la propia velocidad absoluta c2 y el ángulo α2:
⇒
•
2
2
c2 = cu2
+ cm2
•
tan α2 = cm2/cu2
c2 = 18,23 [º]
⇒
α2 = 9,05 [º]
Una vez conocidos c2, u2, y α2, β2 y w2 se obtienen por trigonometría.
•
tan β2 = cm2/(u2 – cu2)
⇒
β2 = 15,32 [º]
•
sin β2 = cm2/w2
⇒
w2 = 10,86 [º]
Gráficamente:
c2 = 18,23 [m/s]
α2 = 9,05 [º]
w2 = 10,86 [m/s]
c2m = 2,87 [m/s]
β2 = 15,32 [º]
u2 = 28,48 [m/s]
c2u = 18,08 [m/s]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 144
EJERCICIO 2.5.
ω = 45 [rad/s];
E = 120 [J/kg];
Dmedio = 1050 [mm] = 1,05 [m]
Para el caso de funcionamiento en BOMBA:
c1
cm1 = c1 = 12 [m/s]
u1 = u2 = 45 ⋅ 1,05/2 = 23,625 [m/s]
w1
β1
Entrada sin prerrotación:
α1 = 90 [º];
cu1 = 0 [m/s]
u1
w1 = (c12 + u12)1/2 = 26,50 [m/s]
β1 = arctan (c1 / u1) = 26,93 [º]
cm2
c2
u2
cu2
cm2 = 12 [m/s]
EE = u2 · cu2 – u1 · cu1 = u2 · cu2
141,17 = u2·cu2
→
β2
α2
ηB = 0,85 [-]; E = 120/ ηB = 141,17 [J/kg]
→
w2
cu2 = 5,975 [m/s]
y
c2 = (cm22 + cu22)1/2 = 13,41 [m/s]
tanβ2 = cm2 / (u2 – cu2)
sinβ2 = cm2 / w2
β2 = 33’29 [º]
→
w2 = 21,86 [m/s]
Para el caso de funcionamiento en TURBINA:
c2
cm2 = c2 = 12 [m/s]
u1 = u2 = 45 ⋅ 1,05/2 = 23,625 [m/s]
w2
β2
Salida sin torbellino:
α2 = 90 [º];
cu2 = 0 [m/s]
u2
w2 = (c22 + u22)1/2 = 26,50 [m/s]
β2 = arctan (c2 / u2) = 26,93 [º]
cm1
c1
w1
α1
ηT = 0,87 [-]; EE = u1 · cu1 – u2 · cu2
cu2 = 0
(sin prerrotación) →
E = 120 [J/kg];
cu1
EE = u1 · cu1
EE = 120 ⋅ ηT = 104,4 [J/kg]
u1 = 23,625 [m/s]
→
cm1 = 12 [m/s];
c1 = (cm12 + cu12)1/2 = 12,79 [m/s]
cu1 = c1 ⋅ cosα1
→
tanβ1 = cm1 / (u1–cu1) →
cm1 = w1 sinβ1 →
cu1 = 4,42 [m/s]
α1 = 69,79 [º]
β1 = 32,0 [º]
w1 = 22,65 [m/s]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
β1
u1
Ejercicios resueltos - 145
EJERCICIO 2.6.
Turbina Pelton
Se supone que β2 ≈ 0 [º] y que no hay pérdidas de carga.
Inyector
1
E
Aplicando Bernoulli en el inyector entre la entrada (E) y la salida (1)
v2
p
v2
E + E +z = 1 + 1 +z +h
RE −1
E γ
γ
2⋅ g 1
2⋅ g
p
y aplicando las siguientes simplificaciones
P
v2
E + E =H;
2⋅ g
γ
z = z =0;
E 1
P
1 = 0;
γ
hRE −1 = 0
Sustituyendo en la ecuación se obtiene:
v12
c12
H=
=
Æ c1 = 750 ⋅ 2 ⋅ 9,81 = 121,31
2⋅ g 2⋅ g
Q = v⋅ A = c⋅ A = c⋅
π⋅d 2
π ⋅ 0,18 2
= 121,31⋅
= 3,09
4
4
m& = ρ ⋅ Q = 3086,86
r
v
v
F = m& ⋅ (w2 − w1 )
u=
[m/s]
[m3/s]
[kg/s]
c1
Æ c1 = 2u
2
w2 =
c1
= w1
2
 2 ⋅ c1 
F = m& ⋅ 
 = 3086,8 ⋅121,31 = 374465,34
 2 
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[N]
Ejercicios resueltos - 146
EJERCICIO 2.7.
N = 3000 [r.p.m.];
8 rodetes
Dext = 0,4 [m];
Dint = 0,2 [m];
|w2| = |c2|;
u2 =
2 π ⋅ N D2
= 62,83
60 2
HE =
u1 =
entrada sin prerrotación:
ηman = 0,9 [-]
[m/s]
u 2 ⋅ cu2 − u1 ⋅ cu1
g
2 π ⋅ N D1
= 31,42
60 2
[m/s]
w2 ⋅ sinβ2 = c2 ⋅ sinα2
|w2| = |c2|
β2 = α2
⇒
c2 ⋅ cosα2 = u2 – w2 ⋅ cosα2
2 cosα2 = u2
2 cu2 = u2
→
cu1 = 0
(sin prerrotación)
HE =
u 2 ⋅ cu2 31,42 ⋅ 62,85
=
= 201,21 [m C.A.]
g
9,81
HEuler Total
HE =
cu2 = u2/2 = 31,42 [m/s]
(8 etapas)
Hm
ηm
(1 etapa)
= HE ⋅8 = 1609,67 [m C.A.]
⇒ Hm = 1448,71 [m C.A.]
B = 0,02 [m]
S 2 = 2π ⋅
D2
⋅ B ⋅ 0,9 (álabes ocupan un 10 [%] de la sección de salida)
2
S2 = 0,022609 [m2]
tanα2 = cm2/cu2
c2 ⋅ cosα2 = cu2 = 31,42 [m/s];
w2 ⋅ sinα2 = cm2
w2 ⋅ cosα2 = 31,42 [m/s]
⇒ cm2 = 31,42 tanα2
Q = cm2 ⋅ S2; Q = 0,71 tanα2
Ph = 9,81 ⋅ 0,716 tanθ ⋅1448,71 = 10080,07 tanα2
ηman = ηbomba = 0,9 [-]
Pm = Ph/ηbomba = 11,2 tanα2 [MW]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 147
EJERCICIO 3.1.
Se plantean uno por uno todos los acoplamientos posibles con las tres bombas
centrífugas disponibles para, a continuación verificar el punto de funcionamiento
requerido: Q = 19,2 [m3/h] y H = 50 [m C.A.].
Los acoplamientos posibles son:
a. Una única bomba
En este caso la curva característica resulta ser:
H1 = 71,0 – 0,3501 ⋅ Q12
[m C.A.]
Si Q1 = 19,2 [m3/h] entonces, la bomba proporciona H1 = – 58,06 [m C.A.]
#
Es decir, una única bomba NO es capaz de proporcionar ese caudal a esa altura.
b. Dos bombas en serie
En este caso la curva característica resulta ser:
H2s = 2 ⋅ H = 142 – 0,7002 ⋅ Q2s2 [m C.A.]
Si Q2s = 19,2 [m3/h] entonces, el acoplamiento proporciona
H2s = – 116,12 [m C.A.]
#
Es decir, el acoplamiento de dos bombas en serie NO es capaz de proporcionar ese
caudal a esa altura.
c. Dos bombas en paralelo
En este caso la curva característica resulta ser:
H2// = H (Q/2) = 71,0 – 0,08725 ⋅ Q2// 2 [m C.A.]
Si Q2// = 19,2 [m3/h] entonces, el acoplamiento proporciona
H2// = 38,74 [m C.A.]
<
50 [m C.A.]
Es decir, el acoplamiento de dos bombas en paralelo NO es capaz de proporcionar ese
caudal a esa altura.
d. Tres bombas en serie
En este caso la curva característica resulta ser:
H3s = 3 ⋅ H = 213 – 1,0503 ⋅ Q3s 2 [m C.A.]
Si Q3s = 19,2 [m3/h] entonces, el acoplamiento proporciona
H3s = – 174,18 [m C.A.]
#
Es decir, el acoplamiento de tres bombas en serie NO es capaz de proporcionar ese
caudal a esa altura.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 148
e. Tres bombas en paralelo
En este caso la curva característica resulta ser:
H3// = H (Q/3) = 71,0 – 0,0389 ⋅ Q3// 2 [m C.A.]
Si Q3// = 19,2 [m3/h] entonces, el acoplamiento proporciona
H3// = 56,66 [m C.A.]
>
50 [m C.A.]
Es decir, el acoplamiento de tres bombas en paralelo SÍ es capaz de proporcionar ese
caudal a esa altura, aunque el punto de funcionamiento difiere ligeramente del deseado.
f. Dos bombas en serie + una en paralelo
En este caso se deben acoplar en paralelo una rama con una única bomba con otra rama
con dos bombas acopladas en serie. Las curvas características resultan ser:
H1 = 71,0 – 0,3501 ⋅ Q12
H2s = 2 ⋅ H = 142 – 0,7002 ⋅ Q2s2 [m C.A.]
Ahora se tiene que Q = Q1 + Q2s = 19,2 [m3/h] y H = H1 = H2s.
Dado que H1 = H2s, igualando las expresiones anteriores:
71,0 – 0,3501 ⋅ Q12 = 142 – 0,7002 ⋅ Q2s2 [m C.A.]
Como Q2s = 19,2 – Q1 [m3/h], se tiene que:
71,0 – 0,3501 ⋅ Q12 = 142 – 0,7002 ⋅ (19,2 – Q1)2 [m C.A.]
Operando se obtiene el siguiente polinomio de segundo grado:
0,3501 ⋅ Q12 – 26,88768 ⋅ Q1 + 187,121728 = 0
Resolviendo: Q1 = 69,07 [m3/h] # (Q1 > 19,2 [m3/h] implica Q2s negativo (¿turbina?))
Q1 = 7,74 [m3/h]
Y en consecuencia, Q2s = 19,2 – Q1 = 11,46 [m3/h] y el caudal total Q = 19,2 [m3/h]
Con estos caudales H = H1 = H2s = 50,03 [m C.A.]
Es decir, el acoplamiento de dos bombas en serie con una en paralelo es capaz de
proporcionar ese caudal a esa altura, siendo el punto de funcionamiento prácticamente
el deseado. Además se cumple que la bomba acoplada en paralelo con las otras dos es
capaz de bombear por sí misma a la altura requerida, pues tiene la limitación de
HMAX = 71,0 [m C.A.].
g. Dos bombas en paralelo + una en serie
En este caso se debe acoplar una única bomba en serie con un acoplamiento de dos
bombas en paralelo. Las curvas características resultan ser:
H1 = 71,0 – 0,3501 ⋅ Q12
H2// = H (Q/2) = 71,0 – 0,08725 ⋅ Q2// 2 [m C.A.]
Ahora se tiene que Q = Q1 = Q2s = 19,2 [m3/h] y H = H1 + H2s.
Así:
H = 71,0 – 0,3501 ⋅ Q2 + 71,0 – 0,08725 ⋅ Q2 = 141 – 0,43735 ⋅ Q 2 [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 149
Como Q = 19,2 [m3/h], sustituyendo, H = – 20,22142 [m C.A.]
#
Es decir, el acoplamiento de dos bombas en paralelo con otra en serie NO es capaz de
proporcionar ese caudal a esa altura. Además se debería cumplir que la bomba acoplada
en serie con las otras dos es capaz de bombear por sí misma el caudal requerido, pues
tiene la limitación de QMAX = 14,24 [m3/h].
0
50
100
150
200
0
10
H [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Q [m3/h]
20
30
H-Q
40
H1
H2S
H2//
H3S
H3//
H2//S
H2S//
punto de funcionamiento
⇒ El acoplamiento que permite trabajar más cerca del punto de funcionamiento
deseado es el de dos bombas en serie + una en paralelo
Ejercicios resueltos - 150
EJERCICIO 3.2.
p = 1,26 [kg/cm2]
H = 6 [m]
25 [m]
B
Ф = 16 [m]
ρ = 850 [kg/m3]
Se debe llenar en 2 horas
1) Volumen = π · D2 · h /4 = π · 162 · 6/4 = 1206,37 [m3]
Q = 1206,37 / (3600 · 2) = 0,1676 [m3/s]
2) ∑hf = K · Q2 = 1800 · 0,16762 = 50,53 [m C.L.]
Curva resistente:
H = 25 + 1800 · Q2 + (1,26 · 9,8 · 104)/ (9,8 · 850)
H = 39,82 + 1800 · Q2
Punto de funcionamiento:
Hm = 39,82 + 1800 · 0,16762
→ Hm = 90,36 [m C.L.]
Potencia efectiva = γ Q Hm = 126,24 [kW]
Potencia en el eje = Potencia efectiva/η = 157,80 [kW]
3) Nuevo caudal:
Q = 0,1676 · 2 = 0,3351 [m3/s]
HR = 39,82 + 1800 · Q2 = 241,95 [m C.L.]
Nuevo punto de funcionamiento con los nuevos HR y Q
H = 45 – 80 · Q – 508 ·Q2
Acoplamiento en serie:
H = n · (45 – 80 · Q – 508 · Q2) → n es negativo, no hay acoplamiento en serie posible
Acoplamiento en paralelo:
H = 45 – 80 · Q/n – 508·Q2/n2
→
no llega
Acoplamiento 1º 2 en paralelo:
H = 45 – 80 · Q/2 – 508 · Q2/22 = 45 – 40 ⋅ Q – 127 · Q2
2º en serie n:
H = n · (45 – 40 · Q – 127 · Q2)
241,95 = n · (45 – 40 · 0,3351 – 127 · 0,33512)
→
n = 13,96 → n = 14
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 151
H = 14 · (45 – 40 · Q – 127 · Q2)
Por lo tanto, el punto de funcionamiento obtenido más cercano al objetivo:
H = 630 – 560 · Q – 1778 · Q2
H = 39,82 + 1800 · Q2
⇒
Q = 0,33535 [m3/s]; H = 242,25 [m C.L.]
x 14
x 14
(…)
(…)
4) Cada bomba impulsa Qi = 0,33535/2 = 0,1677 [m3/s]
Cada bomba aporta 1/14 de la altura total Hi = 17,30 [m C.L.]
Potencia efectiva de cada bomba = 9,8 · 850 · Qi · Hmi = 24,19 [kW]
Potencia en el eje de cada bomba = Pefectiva / η = Pefectiva / 0,8 = 30,24 [kW]
Potencia absorbida por cada motor = Pefectiva / ηmot = Pefectiva / 0,85 = 35,58 [kW]
5) Hay que llegar por cambio en N a Q = 0,3351 [m3/s]; H = 241,95 [m C.L.]
H = 45 – 80 · Q – 508 · Q2
Q/Q’ = N/N’ ;
Q = (N/N’) · Q’
H/H’ = (N/N’)2 ;
H = (N/N’)2 · H’
Sustituyendo nos queda:
H’· (740/N’)2 = 45 – 80 · (740/N’) · Q’ – 508 · (740/N’)2 · Q’2
H’ = 45 · (N’/740)2 – 80 · (N’/740) · Q’ – 508 · Q’2
Nos queda una ecuación con una incógnita al sustituir Q’ y H’ por 0,3351 [m3/s] y
241,95 [m C.L.] respectivamente, que son los valores del punto de funcionamiento
deseado. Así:
N’ = 2166,03 [r.p.m.]
Potencia efectiva total = 9,8 · 850 · 0,3351 ·241,95= 676,06 [kW]
Potencia en el eje total = Pefect / η = 866’75 [kW]
(siendo el rendimiento 0,78 [-])
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 152
EJERCICIO 3.3.
Rugosidad relativa εA´ = εA/DA = 4 ⋅ 10-4
Rugosidad relativa εB ´ = εB/DB = 4 ⋅ 10-4
Rugosidad relativa εC´ = εC/DC = 4 ⋅ 10-4
Tramo A
Tramo B
Tramo C
Reynolds turbulento desarrollado. Entrando en Moody (Ábacos, pag. 26) con
ε´ = 4 ⋅ 10-4, f = 0,016 (cte)
Le [m]
Tramo A
Tramo B
Tramo C
20
100
40
D [m]
0,8
0,8
0,4
S = 0,25 ⋅ π ⋅ D2
[m2]
0,50
0,50
0,13
Σhf tramo = f ⋅ Le ⋅ (D ⋅ 2g ⋅ S2)-1 ⋅ Q2
[m C.A.]
0,08 ⋅ Q2
0,40 ⋅ Q2
5,17 ⋅ Q2
1ª Pregunta
Válvula A parcialmente abierta. By-pass cerrado. QC = 0 [m3/s]; QA = QB = 0,7 [m3/s]
Aplicando la ecuación de la energía entre I y II,
HI + Hm(Q = 0,7 [m3/s]) - Σhf válvula A - Σhf tramo A - Σhf tramo B = HII
HII - HI =4 [m C.A.]
Hm(Q = 0,7 [m3/s]) =15,63 [m C.A.]
Σhf tramo A + Σhf tramo B =0,48 ⋅ 0,72 = 0,2352 [m C.A.]
Despejando Σhf válvula A =11,39 [m C.A.]
Por otra parte, Σ hf válvula A = ξ ⋅ CA2 ⋅(2g)-1
CA= QA ⋅ SA-1; CA= 1,926 [m/s] ==Î ξ = 115,11 [-]
Entrando en la gráfica (Ábacos, pag. 35, figura 4) de válvulas de compuerta con
ξ = 115,11 [-], se corresponde con un grado de apertura de la válvula A 0,07 [-], es decir
un 7 [%] de apertura.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 153
2ª Pregunta
Válvula A 100 [%] abierta. By-pass habilitado. QC = ? QA = ? QB = 0,7 [m3/s]
Se puede plantear un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. 2 ecuaciones se
corresponden con sendas líneas de corriente entre HI - HI y HI - HII sobre las que se
aplicará la ecuación de la energía.
HI + Hm(QA) - Σhf tramo A (QA) - Σhf tramo B (QB = 0,7 [m3/s]) = HII
HI + Hm(QA) - Σhf tramo A (QA) - Σhf tramo C (QC) - Σhf válvula C (QC) = HI
QA = QB + QC
(1)
(2)
(3)
Σhf valvula C (QC); QA; QC
INCOGNITAS
QA= 1,34815 [m3/s]; Hm(QA)= 4,34 [m C.A.]
QC = 0,64815 [m3/s]
Σhf válvula C (QC)= 2,024 [m C.A.]
Resuelto el sistema
3ª Pregunta
Grado de apertura de válvula C
Σhf válvula C = 2,024 = ξ ⋅ CC2 ⋅ (2g)-1
CC = QC ⋅ SC-1; CC = 5,15 [m/s] ==Î ξ = 1,488 [-]
Entrando en la gráfica (figura 4) de válvulas de compuerta con ξ = 1,488 [-], se
corresponde con un grado de apertura de la válvula C 0,55 [-], es decir un 55 [%] de
apertura.
4ª Pregunta.
Costes de operación
1er caso
2º caso
Q
[m3/s]
0,70
1,35
H
[m C.A.]
15,63
4,34
η
[-]
0,68
0,62
Ph
[kW]
107,22
57,37
Pm
[kW]
157,68
92,61
eu
[kW-h/m3]
0,063
0,019
Coste operación
[€]
0,063 ⋅ P / ηm
0,019 ⋅ P / ηm
Supongo que el rendimiento del motor es ηm y el [kW-h] cuesta P euros.
Obviamente, el segundo caso (regulación por by-pass) tiene menos costes de regulación.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 154
EJERCICIO 3.4.
Respuesta 1
Figura 1. Sección de una bomba de cámara partida
de doble aspiración
Figura 2. Fotografía de una bomba de doble
aspiración. Aspecto exterior
La metodología básica de solución consiste en:
‰ determinar en primer lugar la expresión de las pérdidas de carga en el circuito
hidráulico para un caudal del orden del nominal y establecer el correspondiente
punto hipotético en la curva resistente. Dicho punto será, en general cercano a
uno de los puntos de funcionamiento (intersección de una de las curvas
resistentes y de la característica de la bomba prototipo) y
‰ establecer la curva característica de la bomba prototipo en función de la
velocidad de rotación, partiendo de la curva característica modelo y de las
relaciones de semejanza pertinentes.
Se tiene un caudal de 7 [m3/s] y una altura resistente que será suma de las pérdidas de
carga y diferencia de cotas a salvar por el bombeo. Es decir:
H r nom = ∆z + ∆H
[m C.A.]
Para ∆z, se elige el desnivel medio de los valores límite en ambos embalses, como valor
de tanteo, sea:
∆z = 250
[m]
La pérdida de carga total se compondrá de la pérdida de carga en la aspiración y de la
pérdida de carga en la impulsión:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 155
∆H = ∆H asp + ∆H imp
[m C.A.]
El cálculo de la pérdida de carga en cada tramo se realiza como sigue:
aspiración
D
= 1500 [mm]
Tuberías:
= 100 [m]
Leq
ε
= 0,3 [mm]
impulsión
D
= 1200 [mm]
= 800 [m]
Leq
ε
= 0,3 [mm]
Caudal de cálculo, velocidad y número de Reynolds. Se considera el caudal nominal de
7,0 [m3/s] y las velocidades y Re, se calculan de acuerdo a las expresiones siguientes:
v=
Q
π ⋅ D2
4
[m/s]
Re =
v⋅D
ν
[-]
aspiración:
v = 3,961
[m/s]
Re ≈ 6 ⋅ 10 6
[-]
impulsión:
v = 6,189
[m/s]
Re ≈ 7,4 ⋅ 10 6
[-]
Rugosidad relativa de la tubería:
ε=
ε
[-]
D
aspiración:
ε = 2 ⋅ 10 −4
[-]
impulsión:
ε = 2,5 ⋅ 10 −4
[-]
Coeficiente de fricción en cada tubería:
Con el fin de simplificar el problema se considera un valor único del coeficiente de
fricción en ambos casos, que tenga en cuenta las variaciones de rugosidad relativa en
cada tubería y la gama de números de Reynolds previstos en los rangos de caudales
entre 6 [m3/s] y 8 [m3/s]. Entrando en el ábaco de Moody, se tiene:
f = 0,014
(para todos los casos)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[-]
Ejercicios resueltos - 156
Con los datos anteriores, ya se puede determinar la pérdida de carga en el circuito, para
cada tramo:
Pérdida de carga. La expresión de la pérdida de carga por fricción ó uniformemente
repartida en una tubería se puede enunciar según la fórmula clásica.
∆H = f ⋅
L v2
⋅
D 2⋅ g
[m C.A.]
Por otro lado, en el presente problema, y para simplificar se asume (es dato) que la
pérdida de carga del conjunto de singularidades ó accesorios, se asimila a la
correspondiente a una longitud dada de tubería. Entre las pérdidas de carga singulares se
consideran las de puesta en carga del flujo y las de frenado a la llegada al embalse
superior. La longitud total resultante se denomina como longitud equivalente.
∆H = f ⋅
Aspiración:
Leq
v2
D 2⋅ g
⋅
∆H asp = 0,014 ⋅
100 3,9612
⋅
= 0,746
1,5 2 ⋅ 9,81
[mC.A.]
[m C.A.]
800 6,189 2
= 0,014 ⋅
⋅
= 18,221
1,2 2 ⋅ 9,81
Impulsión:
∆H imp
Total:
∆H total = 18,967
[m C.A.]
[m C.A.]
El punto (de tanteo) de la curva resistente correspondiente al caudal nominal será, para
el desnivel hipotético asignado de 250 [m], del orden de:
H r ( ∆Z =250) ≈ 268,967
[m C.A.]
Atención: dicho valor va ser ayuda a la hora de definir la velocidad de rotación pero no
tiene por que coincidir con el punto nominal de funcionamiento de la bomba. Lo
importante es que el punto hipotético de la curva resistente esté situado entre los límites
de funcionamiento de la máquina. Desde luego que, para evitar dudas en el proceso de
cálculo es deseable que dichos valores sean cercanos pero, en general:
H nom (bomba) ≠ H r ( ∆z=250) ( tanteo)
Por su parte los coeficientes de pérdida de carga en función del caudal para el tramo de
aspiración y el total del circuito serán:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 157
Aspiración:
K asp =
Impulsión:
K total =
∆H asp
Q
2
[m C.A. ⋅ s2/m6]
= 0,0152245
∆H
= 0,3870816
Q2
[m C.A. ⋅ s2/m6]
En este punto del problema se aprovecha la situación para calcular los tres puntos (Hr,
Q) que definen la parábola de pérdidas de carga del circuito hidráulico y de la
aspiración, según la tabla siguiente:
∆H asp [m C.A.]
Q = 0 [m3/s]
0,0
Q = 4 [m3/s]
0,244
Q = 8 [m3/s]
0,974
∆H total [m C.A.]
0,0
6,193
24,773
Tabla 2
Hasta ahora se ha calculado un hipotético punto de la curva resistente para
∆z = 250 [m], que será bastante aproximado a algún punto de funcionamiento en la
curva característica. Dicho punto va a servir de guía para poder establecer la
velocidad de rotación necesaria para una correcta operación de la bomba.
Para determinar dicha velocidad de rotación se parte de la ecuación característica de la
bomba modelo, que tiene la forma:
H M = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q 2 + D ⋅ Q3 + E ⋅ Q 4
[m C.A.]
Como el caudal a considerar tenía unidades de [m3/h], debe pasarse a la unidad
empleada en prototipo [m3/s]. Además y como dato importante debe tenerse en cuenta
que la máquina prototipo tiene doble aspiración, lo que equivale a implementar dos
bombas en paralelo (ver figuras 1 y 2). La ecuación a considerar para poder aplicar la
semejanza tendrá, entonces, la forma siguiente:
H M (d.a.)
3600
3600 2 2
36003 3
3600 4 4
= A + B⋅
⋅Q + C⋅
⋅Q + D⋅
⋅Q + E ⋅
⋅Q
2
4
8
16
[m C.A.] (1)
o en general:
H M(d.a.) = A + B'⋅Q + C'⋅Q 2 + D'⋅Q 3 + E'⋅Q 4
[m C.A.]
Las expresiones que relacionan las alturas de impulsión y caudales en dos máquinas
homólogas funcionando en puntos homólogos son:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 158
N
H M = H P ⋅ λ ⋅  M
 NP
2
L



2
QM = QP ⋅ λ3L ⋅
[m C.A.] (2)
NM
NP
[m3/s] (3)
En las expresiones (2) y (3) son conocidos λ L = 0,3 [-] y NM = 1480 [r.p.m.].
Sustituyendo (2) y (3) en (1):
1 N
H P(d.a.) = A ⋅ 2 ⋅  P
λL  N M
[m C.A.] (4)
2

λ3 N
λ6
λ9
 + B'⋅ 2L ⋅ P ⋅ QP + C '⋅ 2L ⋅ QP2 + D'⋅ 2L
λL N M
λL
λL

N
⋅  M
 NP
 3
λ12
 ⋅ QP + E '⋅ L2
λL

N
⋅  M
 NP
2
 4
 QP

Sustituyendo:
H P ( d .a.) = 0,000337726 ⋅ N P2 − 0,054047432 ⋅ N P ⋅ QP + 23,820367 ⋅ QP2 − 3725,144618 ⋅
+ 175179,4006 ⋅
1
⋅ QP4
N P2
1
⋅ QP3 +
NP
[m C.A.] (5)
La velocidad de rotación se establece por tanteo, considerando las siguientes
velocidades síncronas:
N P = 1500
[r.p.m.]
N P = 750
[r.p.m.]
N P = 1000
[r.p.m.]
De forma que la velocidad que se elija correctamente propiciará una altura de impulsión
cercana al valor obtenido para la curva resistente cuando el caudal circulante sea del
orden de 7 [m3/s]. Sustituyendo los valores de caudal y velocidad de rotación prototipo
en la expresión (5), se tiene:
Q P = 7 ,0
[m3/s] y
N P = 1500
[r.p.m.]
H P = 694,703 [m C.A.]
Q P = 7 ,0
[m3/s] y
N P = 750
[r.p.m.]
H P = 117,531 [m C.A.]
Q P = 7 ,0
[m3/s] y
N P = 1000
[r.p.m.]
H P = 269,473 [m C.A.]
Respuesta: La velocidad de rotación síncrona, adecuada, es de 1000 [r.p.m.]
Aunque no la pidan, la expresión de la curva característica de la bomba en prototipo
será:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 159
H P = 337,726 − 54,0474 ⋅ QP + 23,82037 ⋅ QP2 − 3,725145 ⋅ QP3 + 0,1751794 ⋅ QP4
[m C.A.] (6)
Otra forma de resolver esta pregunta, consiste en introducir en la expresión (5) el caudal
nominal considerado y la altura de impulsión correspondiente a ∆z = 250 [m], y
despejar Np de la citada expresión. El valor resultante será diferente, aunque cercano a
1000 [r.p.m.], debiendo adoptarse este valor como el de velocidad de rotación síncrona.
Volviendo a introducir ésta en la expresión (5) se podrá recalcular el valor de Hp
Comentarios:
‰
‰
‰
Las alturas de impulsión para velocidades de rotación diferentes a 1000 [r.p.m.] se
alejan bastante del valor obtenido previamente para la curva resistente.
La altura de impulsión obtenida a partir de la característica de la bomba, para el
caudal nominal difiere del valor calculado para el circuito resistente con ∆z = 250
m, siendo algo mayor. Esto quiere decir que el punto de funcionamiento obtenido
como intersección de ambas características corresponderá a un caudal algo mayor
y a una altura de impulsión algo inferior a la obtenida aquí.
A su vez, y es obvio, siempre existirá un punto de funcionamiento para el caudal
nominal, siempre y cuando ∆z sea algo superior a 250 [m].
Respuesta 2
La expresión de la velocidad específica en cada caso será:
ns = N ⋅ P 2 ⋅ H −
1
5
[*] (7)
4
nq = N ⋅ Q 2 ⋅ H −
1
3
[*] (8)
4
En primer lugar se calculan los valores de ns y nq para el punto de funcionamiento
nominal, es decir para un caudal nominal de 7 [m3/s]:
Entrando a la expresión (8) con los datos del punto nominal, se tiene:
(n )
q nom
= 1000 ⋅ (7 ) 2 ⋅ (269,473)
− 34
1
= 39,77979
(n )
q nom
≈ 39,78
[*]
Aunque no lo pidan, nq por rodete será:
(n )
q r nom
= 1000 ⋅ (3,5) 2 ⋅ (269,473)
1
− 34
= 28,128565 ≈ 28,13
[*]
El punto de máximo rendimiento en modelo se puede obtener bien por tanteo, bien
derivando la expresión del rendimiento respecto del caudal e igualando a cero
(condición de máximo). Si se elige esta segunda opción, se tiene:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 160
dη
= 4,133 ⋅10 −3 − 1,1326 ⋅10 −5 ⋅ Q + 3,942 ⋅10 −9 ⋅ Q 2 = 0
dQ
Despejando se obtiene los valores de máximo en modelo:
[m3/h]
QM^ = 428,955
η M^ = 0,8346
[-]
El punto de funcionamiento homólogo en prototipo, se obtendrá aplicando la expresión
(3) El caudal así obtenido corresponde al caso de rodete simple:
[m3/s]
Q' P^ = 2,982
y para rodete doble, lógicamente:
[m3/s]
QP^ = 5,964
A su vez la altura de impulsión se puede determinar a partir de la curva característica de
prototipo, expresión (6).
H P^ = 294,006
[m C.A.]
Llevando estos valores a la expresión (8), se tiene:
(n )
q ^
= 1000 ⋅ (5,964) 2 ⋅ (294,066)
− 34
1
= 34,389
(n )
q ^
≈ 34,39
[*]
y por rodete:
(n )
qr ^
= 1000 ⋅ (2,982) 2 ⋅ (294,066)
1
− 34
= 24,318 ≈ 24,32
[*]
Para determinar la velocidad específica basada en la potencia (mecánica) se debe
determinar el rendimiento en prototipo lo que implica a su vez, determinar en primer
lugar el rendimiento en modelo para un punto de funcionamiento homólogo.
En el caso de máximo rendimiento ya se ha determinado dicho punto en modelo. Para el
punto de funcionamiento nominal, se calcula de modo más sencillo a través de la
expresión dato en el problema, resultando:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 161
η M nom = 0,8131
[-]
A la hora de terminar los rendimientos de prototipo se aplicará la expresión dato pero se
debe tener en cuenta que el caudal de prototipo indicado en dicha expresión corresponde
al caso de rodete simple:
η P nom = 0,8131 + 0,004 ⋅ 0,8131 ⋅
η P ^ = 0,8346 + 0,004 ⋅ 0,8346 ⋅
3,5
= 0,8945
0,1399
[-]
2,982
= 0,9181
0,1192
[-]
Las potencias mecánicas respectivas se determinarán a partir de la potencia hidráulica
transmitida al agua y del rendimiento en cada punto de funcionamiento:
(Pm )P nom =
(Ph )P nom
η p nom
=
ρ ⋅Q ⋅ g ⋅ H
= 20687,2
η p nom
[kW]
Para el óptimo, de modo análogo:
(Pm )P ^ =
(Ph )P ^
ηp ^
[kW]
= 18735,82
Llevando ahora los valores obtenidos a la expresión (7), se tiene:
(ns )nom = 1000 ⋅ (20687.2) ⋅ (269,473)−
1
y por rodete:
2
4
= 131,74
(ns )nom ≈ 131,74
(ns r )nom ≈ 93,16
(ns )^ = 1000 ⋅ (18735.82) ⋅ (294,066)−
1
y por rodete:
5
2
5
4
[*]
[*]
= 112.43
(ns )^ ≈ 112,43
(ns r )^ ≈ 79,5
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[*]
[*]
Ejercicios resueltos - 162
Respuesta 3
Se debe representar en el papel milimetrado adjunto, las gráficas de las curvas
características y puntos de funcionamiento. Para los puntos de las curvas resistentes del
circuito se dispone ya de los valores de pérdida de carga (calculados en el apartado 1)
para 3 caudales, incluyendo caudal nulo. Por dichos puntos se puede trazar la parábola
correspondiente por medio de plantillas. Los desniveles a superar para cada pareja
límite de condición de embalses y las expresiones de las curvas resistentes
correspondientes, se resumen en la tabla 3.
Lleno 285,0
H r [m C.A.]
Q=4
Expresión
[m3/s]
285 + 0,3870816 ⋅ Q 2 291,19
Q=8
[m3/s]
315.97
Lleno 255,0
255 + 0,3870816 ⋅ Q 2
261,19
285.97
Vacío 244,0
244 + 0,3870816 ⋅ Q
2
250,19
274.97
Vacío 214,0
214 + 0,3870816 ⋅ Q
2
220,19
244.97
Embalse Inferior Embalse Superior
Vacío
Condición
Lleno
Vacío
Condición
Lleno
∆z
[m]
Tabla 3
A la hora de representar la curva característica (H-Q) de la bomba se debe observar la
existencia de una zona con pendiente positiva, es decir inestable. En el caso estándar de
una curva cuadrática hubiera bastado con considerar 3 puntos para definir la media
parábola pero aquí, un mínimo de prudencia aconseja añadir varios más. A modo de
ejemplo, se consideran los correspondientes a los caudales modelo de 100, 200,.. [m3/h].
Además de los anteriores se van a añadir los de máximo rendimiento y nominal. Las
parejas de puntos (H,Q) y (η ,Q) se indican en la Tabla 4.
Nota. El hecho de considerar los puntos de modelo no es fruto del azar, sino que
permite elegir los que mejora se adaptan a las variaciones de pendiente.
QM
QM
3
3
[m /h]
0
100
200
300
400
500
600
320
428,96
[m /s]
0
0,0278
0,0556
0,0833
0,1111
0,1389
0,1667
ηM
[-]
0
0,3580
0,6106
0,7657
0,8312
0,8150
0,7249
0,8346
QP
(1 rodete)
[m C.A.]
[m3/s]
0
0,695
1,390
2,085
1,793
2,781
3,049
3,476
5,015
4,171
1,301
(NPSHr)M
QP
HP
3
[m /s]
0
1,390
2,781
4,171
5,561
6,951
8,342
[m C.A.]
337,726
299,271
302,000
309,411
300,716
270,818
230,257
5,964
7
294,006
269,473
Tabla 4
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
ηP
(NPSHr)P
[-]
[m C.A.]
0
0,3938
0,6717
0,8423
0,9144
9,095
0,8966 15,466
0,7975 25,439
6,600
0,9181
0,8945
Ejercicios resueltos - 163
También se deben calcular los valores de NPSH disponible y cruzarlos con los de NPSH
requerido de forma que pueda chequearse la condición de funcionamiento en cavitación.
Se recuerda que para un funcionamiento apropiado se debe dar que:
NPSH d ≥ NPSH r
La expresión del NPSH disponible es:
NPSH d = H b − H v − H s
[m C.A.] (9)
Donde:
‰
Hb representa la presión atmosférica (en general, ambiente) expresada en
[m C.A.]. Dicha presión depende de la altitud. En nuestro caso, la altitud del
eje de la bomba es de 1000,0 [m]. Por tanto, y consultando la figura de los
ábacos, se tiene que:
H b = 9,1
[m C.A.]
También se podía haber aplicado la expresión citada en dichos ábacos.
‰
‰
Hv representa la presión de vapor del agua, que es dato e igual 0,24 [m C.A.]
Hs es la altura de aspiración que tendrá en cuenta la diferencia de cotas entre
el nivel de embalse inferior y plano de referencia de la bomba (eje) y además
las pérdidas de carga en el circuito hidráulico de aspiración.
H s = (z emb inf − z eje ) − ∆H asp = (z emb inf − z eje ) − 0,0152245 ⋅ Q 2
[m C.A.]
Llevando estos valores a la expresión (9):
[
NPSH d = 8,86 − (z emb inf − z eje ) − 0,0152245 ⋅ Q 2
]
[m C.A.]
Los valores límite se recogen en la Tabla 5.
Embalse Inferior
Condición Vacío
Lleno
z embinf − z eje
[m]
- 9,5
- 39,5
NPSH d [m C.A.]
Q=0
Q=4
Q=8
3
3
[m /s]
[m /s]
[m3/s]
18,36
18,12
17,39
48,36
48,12
37,39
Tabla 5
Queda por último por calcular el NPSHr en la máquina prototipo. Se obtiene dicho valor
como función del caudal aplicando la expresión (2), que corresponde a las energías ó
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 164
alturas, a puntos homólogos de funcionamiento. El NPSH también se puede determinar
a partir del coeficiente de cavitación de Thoma σ, en modelo; dicho coeficiente será
idéntico en prototipo.
1 N
NPSH P = NPSH M ⋅ 2 ⋅  P
λL  N M



2
[m C.A.] (2)
Tampoco conviene olvidar los caudales asociados a cada NPSHr corresponden al caso
de rodete simple por lo que los caudales a considerar en prototipo serán dobles de los de
modelo. Ver Tabla 4.
Con todos estos valores numéricos se trazan las curvas correspondientes, observando
que el funcionamiento es correcto tanto en lo concerniente a la curva (H – Q) como a
la curva (NPSH – Q).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 165
Fi
20 3 (
3)
Figura 3
Los puntos de funcionamiento en las curvas H-Q, η -Q y NPSH-Q aparecen marcados en
negro en la Figura 3.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 166
Respuesta 4
Ahora se produce un desplazamiento de los valores límite en los niveles de embalse, de
forma que se reduce el nivel inferior (condición de vacío) en el embalse inferior y del
nivel superior (condición de lleno) en el embalse superior. Estas variaciones repercuten
sobre la altura geométrica pero no modifican la curvatura de las curvas resistentes. Se
tienen los nuevos valores siguientes de la curva resistente y de la curva de NPSHd.
Vacío
H r [m C.A.]
Variación
Q=4
Q=8
¿?
Expresión
[m3/s] [m3/s]
Lleno 300,0 300 + 0,3870816 ⋅ Q 2 305,950 323,799
SI
Lleno
Lleno 265,0 265 + 0,3870816 ⋅ Q 2 270,950 288,799
SI
Vacío 249,0 249 + 0,3870816 ⋅ Q
254,950 271,799
SI
Vacío 214,0 214 + 0,3870816 ⋅ Q 2 219,950 237,799
NO
Embalse Inferior
Condición
Vacío
∆z
[m]
Embalse
Superior
Condición
Lleno
2
Tabla 6
Embalse Inferior
Condición
Vacío
Lleno
z embinf − z eje
[m]
-4,5
-39,5
NPSH d [m C.A.]
Q=0
Q=4
Q=8
3
3
[m /s]
[m /s]
[m3/s]
13,36
13,12
12,39
48,36
48,12
37,39
Variación
¿?
SI
NO
Tabla 7
Se llevan las nuevas curvas límite a la gráfica anterior (Figura 4), con las curvas
marcadas a trazo – punto. Las nuevas curvas resistentes (marcadas con 2) se producen
en las condiciones
Vacio – Lleno
Lleno – Lleno
Vacío – Vacío
Sin embargo permanece constante la curva lleno – vacío.
Ahora se observa la presencia de dos anomalías:
1. Cuando el desnivel a vencer es máximo (condición vacío – lleno) el punto de
funcionamiento se puede situar en tres posiciones diferentes (x’, x’’ y x’’’) ya
que la curva resistente atraviesa una zona inestable en la bomba. Trabajar en
dicha zona de inestabilidad es altamente indeseable por la imposibilidad
práctica de conocer donde se va a situar el referido punto de funcionamiento:
‰ Sólo será posible trabajar en x’’’ si el arranque de la bomba se ha
producido con desnivel inferior a dicho extremo y se va achicando
progresivamente el embalse inferior y rellenado el superior.
‰ Por el contrario si se produce el arranque en dicha condición será imposible
alcanzar el lado de la curva de pendiente negativa en zona útil.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 167
Por otro lado el rendimiento en dichos puntos de operación (x’ y x’’) va a ser
muy bajo.
2. En condición de embalse inferior vacío y superior vacío, se tiene que el NPSH
disponible resulta inferior al requerido por lo que la bomba está funcionando en
dicha situación, en condiciones de cavitación desarrollada, con pérdida de
rendimiento y riesgo elevado de erosión.
Figura 4 (respuesta 4)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 168
EJERCICIO 3.5.
Realizando el dibujo de la instalación:
MODELO
N m = 3000 [r.p.m.]
PROTOTIPO
Qm = 0,014 [m3/s]
Qp = 0,7 [m3/s]
Em = 240,4 [J/kg]
Pm m = 5,145 [MW]
Respuesta 1
Utilizando las relaciones de semenjanza
Ep
Q
E
Qm
y 2 m 2 = 2
= 3 p
D ⋅ Nm Dp ⋅ N p
Dm ⋅ N m D p ⋅ N 2p
3
m
3
2
D  N 
Qm  Dm  N m
E
y m =  m  ⋅ m 
⋅
=
Q p  D p  N p
E p  D p   N p 
E m  Dm
=
E p  D p
2
  Qm
 ⋅
  Qp
 
240,4
 0,014 
= 54 ⋅ 

Ep
 0,7 
 Dp 

⋅ 
 Dm 
3 2
2
4
 =  Dp  ⋅  Qm
D  Q

 m  p





2
2
E p = 961,6
[J/kg]
Por otro lado, aplicando Bernoulli entre 1 y 2
P1 v12
P2 v 22
+
+ z1 ⋅ g + E B =
+
+ z2 ⋅ g + K ⋅ Q 2
ρ
ρ
2
2
E B = z 2 ⋅ g + K ⋅ Q 2 = 88,2 ⋅ 9,81 + 196,2 ⋅ 0,7 2 = 961,38
2
240,4
 0,014 
= λ4 ⋅ 
 Æ λ ≈ 5 como se quería comprobar.
961,38
 0,7 
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[J/kg]
Ejercicios resueltos - 169
Respuesta 2
PH = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H
PH = 9810 ⋅ 0,014 ⋅
ηH =
240,4
= 3365,6
9,81
[W]
PH 3365,6
=
= 0,6542 Æ η H = 65,42
Pm
5145
[%]
Respuesta 3
961,38
672966
9,81
=
= 1,029 ⋅ 10 6 W = 1,03
0,6542
0,6542
9810 ⋅ 0,014 ⋅
Pm =
[MW]
3
3
Qm  Dm  N m
0,014  1  3000
=  ⋅
Æ
Æ N p = 1200 [r.p.m.]
⋅
=
Q p  D p  N p
0,7
5 Np
Respuesta 4
H = A + B⋅Q + C ⋅Q2
dH
= 0 = B + 2 ⋅ C ⋅ Q y cuando Q = 0 entonces B = 0 ,
dQ
de manera que la ecuación queda: H = A + C ⋅ Q 2 funcionando en los siguientes puntos:
1) H = 98 [m C.A.] y Q = 0,7 [m3/s]
2) H = (1,5 x 98) = 147 [m C.A.] y Q = 0 [m3/s]
Para calcular el caudal máximo
Resolviendo la ecuación:
A = 147 y C = −100
H = 147 − 100 ⋅ Q 2
160
140
120
80
60
40
20
1,
2
1,
1
1
0,
9
0,
8
0,
7
0,
6
0,
5
0,
4
0,
3
0,
2
0,
1
0
0
H
100
Q
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 170
Respuesta 5
H = 147 − 100 ⋅ Q 2 = 73 + 100 ⋅ Q' 2
H = 147 − 100 ⋅ Q 2 = 92 + 150 ⋅ Q' ' 2
Q = Q'+Q' '
Cuando Q = 0,7 [m3/s] H = 147 − 100 ⋅ 0,7 2 = 98 [m C.A.]
De manera que Q' = 0,5 [m3/s]
Q' ' = 0,2 [m3/s]
Respuesta 6
H = 147 − 100 ⋅ Q 2 = 47 + (50 + 100 + 150) ⋅ Q' 2
100 = 400 ⋅ Q' 2
De manera que Q' = 0,5 [m3/s]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 171
EJERCICIO 3.6.
Las curvas características de la bomba que realiza el bombeo entre los 2 depósitos son:
H = A + B ⋅Q2 = 60 – 2000 ⋅ Q2
η = E ⋅ Q + F ⋅ Q2 = 18,476 ⋅ Q – 106,6 ⋅ Q2
Las bases de los depósitos son:
A1 = 10 [m2] y A2 = 20 [m2]
En todo momento se cumple que el volumen extraído del depósito 1 es el mismo que
entra al 2:
Vdesalojado del depósito 1 = Vtrasvasado al depósito 2
⇒
Q1 = Q2 = Q de bombeo
El desnivel geométrico Hg no es constante sino que varía con el tiempo, por lo que
Hg = Hg (t).
Este desnivel es la diferencia entre lo que asciende el depósito en 2 z2(t) y lo que
desciende el depósito 1 a lo largo del tiempo z1(t). Por tanto:
Hg(t) = z2(t) – (– z1(t)) = z2(t) + z1(t)
A su vez el caudal tampoco es constante según avanza el bombeo por lo que:
Q = Q(t)
En un intervalo incremental de tiempo ∆t con un caudal medio Q el nivel en 2 aumenta:
∆z2 = Q ⋅ ∆t/A2
∆z1 = Q ⋅ ∆t/A1
Y en 1 disminuye:
Con lo cual en un intervalo ∆t:
∆Hg(t) = ∆z2(t) – (–∆z1(t))
∆Hg(t) = Q ⋅ ∆t ⋅ [(1/A2) + (1/A1)] (1)
Por otra parte, en todo momento deberá cumplirse que curva motora es igual a curva
resistente:
A + B Q(t)2 = Hg (t) + K ⋅ Q(t)2
De aquí, despejando:
Q(t) = [(Hg (t) – A) ⋅ (B – K)–1 ]0,5
(2)
Y sustituyendo en (1)
∆Hg(t) = ∆t ⋅[(1/A2) + (1/A1)] ⋅ [(Hg (t) – A) ⋅ (B – K)–1 ]0,5
Realizando los cambios sugeridos en el enunciado:
C0 = (B – K)–1
C1= – A ⋅ (B – K)–1
Y pasando a ecuaciones diferenciales la ecuación (3) queda en
[(C0 ⋅ Hg + C1)]–0,5 ⋅ dHg = [(1/A2) + (1/A1)] ⋅ dt
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
(3)
Ejercicios resueltos - 172
Integrando (por ejemplo empleando el modelo de integral proporcionado en el
enunciado), resulta ser
2 ⋅ C ⋅ (C0 ⋅ H g + C1 )
]
1/ 2 H g
−1
0
0
t
 1
1  
=  +  ⋅ t 
 A1 A2   0
Operando:
Hg (t) = – 8,03571 ⋅ 10–7 ⋅ t2 + 13,887301 ⋅ 10–3 ⋅ t
(4)
Para los distintos instantes t = 600, 1200 y 1800 segundos entrando en la ecuación (4) se
pueden calcular los desniveles existentes.
Por otra parte, en cada instante, conocida Hg (t) a través de la ecuación (3), se puede
calcular Q y con las curvas motoras y de rendimiento (datos), alturas manométricas y
rendimientos en los tres instantes señalados. Las potencias hidráulicas se calcularán
como:
PH = γ ⋅ Q ⋅ Hm
Pm = PH /η.
y potencias mecánicas como:
Las potencias eléctricas absorbidas de red serán:
Pe = Pm /0,8 (rendimiento motor)
Finalmente, la energía específica de la instalación a cada instante:
eu [kW-h/m3] = Pe [kW]/Q [m3/h]
Todo ello queda calculado en la Tabla 3.6.1.
t [s]
600
1200
1800
Hg [m]
8,04
15,51
22,39
Q [m3/s]
8,62E-02
7,97E-02
7,33E-02
Hm[m C,A,]
45,16
47,29
49,26
η
0,801
0,795
0,782
PH [kW]
38,12
36,95
35,38
Pm [kW]
47,62
46,45
45,27
Pe [kW]
59,53
58,06
56,59
Tabla 3.6.1. Resultados.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
eu [kW-h/m3]
0,19
0,20
0,21
Ejercicios resueltos - 173
EJERCICIO 3.7.
Conocida la expresión general de la curva característica del modelo y conocidos 3
puntos de funcionamiento del mismo, se plantean tres ecuaciones que permiten obtener
las tres constantes A, B y C en las unidades requeridas ([Pa] y [m3/s]):
0,1 ⋅ 9810 = A – B ⋅ 0,035 – C ⋅ 0,0352
0,15 ⋅ 9810 = A – B ⋅ 0 – C ⋅ 02
0 = A – B ⋅ 0,1 – C ⋅ 0,12
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen las constantes, quedando la curva
característica del modelo:
HM = 1471,5 – 13636,98 ⋅ QM – 10780,22 QM2
[Pa] (con QM en [m3/s])
Respuesta 2
En el prototipo se desea conseguir el punto de funcionamiento correspondiente al caudal
QP = 3,1 [m3/s]. Aplicando la relación de semejanza correspondiente al caudal se puede
obtener el punto de funcionamiento homólogo para el modelo:
QM
QP
=
3
N M ⋅ DM N P ⋅ DP3
En este caso: QP = 3,1 [m3/s]
NP = 900 [r.p.m.];
DP = 500 [mm];
NM = 2810 [r.p.m.]
DM = 250 [mm]
Operando se obtiene QM = 1,210 [m3/s], caudal correspondiente al punto de
funcionamiento homólogo al que se desea obtener en el prototipo. Sustituyendo dicho
valor en la curva característica obtenida en el apartado anterior, se obtiene la altura
correspondiente a dicho caudal: HM = – 30807,05 [Pa]
⇒
QM = 1,210 [m3/s],
HM = – 30807,05 [Pa]
Respuesta 3
El resultado de la pregunta anterior indica que para el caudal del modelo homólogo al
que se desea obtener en el prototipo el ventilador modelo “aporta” una “altura negativa”
al aire. El signo negativo debe interpretarse como una imposibilidad de la máquina
modelo para operar en las condiciones descritas. La “altura negativa” implicaría que el
ventilador “roba” energía al fluido en lugar de aportársela, que es lo que debe hacer el
ventilador. Luego NO puede funcionar como ventilador en el punto de funcionamiento
indicado.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 174
Respuesta 4
Para encontrar puntos de funcionamiento homólogos entre el modelo y el prototipo se
utilizan directamente las relaciones de semejanza:
QM
QP
=
3
N M ⋅ DM N P ⋅ DP3
y
HM
H
= 2 P 2
2
N ⋅ DM N P ⋅ DP
2
M
En este caso: QM = 0,035 [m3/s]
HM = 981 [Pa]
NM = 2810 [r.p.m.]; NP = 900 [r.p.m.]
DM = 250 [mm];
DP = 500 [mm]
Operando se obtiene el punto homólogo en el prototipo:
⇒
QP = 0,08968 [m3/s];
HP = 402,53 [Pa]
Nota.- Se puede obtener la curva característica genérica para el prototipo sin más que
sustituir QM en función de QP y HM en función de HP en la expresión del modelo
obtenida en el primer apartado:
HM = 1471,5 – 13636,98 ⋅ QM – 10780,22 QM2
N ⋅ D3
2810 ⋅ 2503
QM = M M3 ⋅ QP =
⋅ QP = 0,39028 ⋅ QP
N P ⋅ DP
900 ⋅ 500 3
[Pa] (con QM en [m3/s])
2810 2 ⋅ 250 2
N M2 ⋅ DM2
HM = 2 2 ⋅ HP =
⋅ H P = 2,43707 ⋅ H P
N P ⋅ DP
900 2 ⋅ 500 2
La expresión resultante se puede emplear para relacionar alturas y caudales del
prototipo:
HP = 603,80 – 2185,09 ⋅ QP – 1337,91 QP2
[Pa] (con QP en [m3/s])
Respuesta 5
Para obtener la potencia mecánica se calcula previamente la potencia hidráulica:
PHP = ρ ⋅ g ⋅ QP ⋅HP = 1,2 ⋅ 9,81 ⋅ 0,08968 ⋅ [402,53 / (1,2 ⋅ 9,81)] = 36,10 [W]
Asumiendo que el rendimiento global es el mismo en modelo y en prototipo para puntos
de funcionamiento homólogos se tiene que, para el punto descrito:
ηM = ηP = 0,80 [-]
Y en consecuencia la potencia mecánica:
PMP = PHP / ηP = 45,12 [W]
Respuesta 6
El rendimiento es mayor para la máquina de mayor tamaño debido a la aparición de
efectos de escala. Así el rendimiento de la máquina prototipo será algo mayor (2 [%] ÷
3 [%]) que el de la máquina modelo en puntos homólogos (ηP > ηM = 0,80 [-]). Esta
revalorización se debe fundamentalmente a la dependencia de las pérdidas por fricción
con el número de Reynolds.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 175
EJERCICIO 3.8.
Respuesta 1
Nota. Para abordar esta pregunta se debe tener en cuenta la información recibida
hasta la realización de la pregunta.
¾
¾
¾
¾
¾
La metodología básica de solución consiste en:
Dibujar la curva característica (H – Q) de la bomba.
Dibujar las curvas resistentes del circuito para sus 4 estados límite.
Dibujar la curva característica de (NPSHr – Q) de la bomba.
Dibujar las curvas (NPSHd – Q) correspondientes al circuito en la aspiración.
Verificar la bondad de los puntos de funcionamiento, tanto en lo que respecta a
H – Q como NPSH – Q
Nota. Se deben considerar cuatro estados límite de funcionamiento que corresponden a
las combinaciones de niveles de embalse lleno y vacío tanto para el superior o de
impulsión como para el inferior o de aspiración.
Desde el punto de vista curva H –Q sólo haría falta considerar los dos extremos
(embalse inferior vacío y superior lleno) y (embalse inferior lleno y superior vacío).
No obstante, desde el punto de vista NPSH –Q se deben considerar las cuatro
combinaciones posibles, como es sabido y quedará patente en la solución de esta
pregunta.
Para realizar la construcción gráfica se deben analizar los límites de trabajo y
elegir la escala adecuada. Por ejemplo se tendrá, en la curva H – Q de la bomba:
™ Para Q = 0 [m3/s]
™ Para Q = 5,5 [m3/s]
H = 83 [m C.A.]
H = 4,88 [m C.A.]
Nota. El segundo punto se realiza por tanteo, pues es más sencillo que despejar el
caudal en la curva H – Q. Para un caudal de 6 [m3/s], H resulta negativo, fuera del
cuadrante de operación normal.
En cuanto a las curvas NPSH – Q para fijar la escala de caudales se seguirá la
misma pauta que para la curva H – Q por razones obvias. Para establecer el NPSH de
trabajo se debe calcular el disponible, aproximadamente (a nivel de definir la escala, por
ejemplo, sin considerar las pérdidas de carga):
™ Para embalse inferior lleno, aprox.
NPSHd = 40 [m C.A.] para Q = 0
™ Para embalse inferior vacío, aprox.
NPSHd = 30 [m C.A:] para Q = 0
Con estas premisas se define una escala de la siguiente forma:
¾ Q, 2 [cm] por cada [m3/s]
¾ H, 1 [cm] por cada 10 [m C.A.]
¾ NPSH, 2 [cm] por cada 10 [m C.A.]
Se aprovecha para agrandar la escala de NPSH para evitar confusiones con una
escala más pequeña.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 176
Una vez establecida la escala se procede a dibujar la curva característica de la
bomba, H – Q. Para ello se hace una tabla con parejas de valores. La pregunta es
¿cuántas parejas y cuáles se ponen? Se dan los consejos siguientes:
1) La curva es de 4º orden, luego se recomienda al menos 6 puntos para definirla.
2) ¿Cuáles? Pues comenzando desde caudales altos hacia bajos, por ejemplo de 1
en 1 [m3/s], salvo el primero; se tendrá: Q = 5,5 [m3/s], Q = 5 [m3/s],
Q = 4 [m3/s], Q = 3 [m3/s], Q = 2 [m3/s] y Q = 1 [m3/s].
3) Según se vaya realizando la curva se podrá observar la necesidad de añadir
puntos nuevos; ¿dónde?; en este caso se observa la existencia de una
inestabilidad para caudales inferiores a 2,5 [m3/s]. Por tanto de ser necesario, se
añadirán puntos para Q = 2,5 [m3/s], Q = 1,5 [m3/s] y Q = 0,5 [m3/s].
Se tiene, entonces, la siguiente tabla 3.8.1:
Puntos curva H –Q
Puntos básicos
Puntos adicionales
H
Q
H
Q
3
[m C.A.]
[m /s]
[m C.A.]
[m3/s]
4,05
5,5
75,88
2,5
25,25
5,0
74,76
1,5
57,32
4,0
76,01
0,5
73,31
3,0
75,92
2,0
74,09
1,0
Tabla 3.8.1
Ahora se procede a dibujar la curva resistente del circuito en las 4 circunstancias
extremas, según las expresiones bien conocidas:
[m C.A.]
H r = ∆z condicion + ∆H
∆H = (∑ K )⋅ Q 2
[m C.A.]
Se puede confeccionar la tabla 3.8.2 con las diversas condiciones (límites de
funcionamiento y pérdidas de carga).
Para definir cada parábola bastarán 3 puntos y el manejo de la plantilla de
curvas. Para evitar que se deformen mucho se pueden considerar 4 puntos.
Curvas resistentes del circuito (extremos)
Condición
1
2
3
Niveles embalses
V - LL
LL - V
LL - LL
+35,00
+5,00
+25,00
Altura geométrica ∆z [m]
Q
∆H
Hr1
Hr2
Hr3
3
[m C.A.]
[m /s]
[m C.A.]
[m C.A.]
[m C.A.]
0
0
35,0
5,0
25,0
2,0
6,00
41,0
11,0
31,0
4,0
24,00
59,0
29,0
49,0
5,5
45,38
80,4
50,4
70,4
Tabla 3.8.2
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
4
V-V
+15,00
Hr4
[m C.A.]
15,0
21,0
39,0
60,4
Ejercicios resueltos - 177
Figura 3.8.1
A continuación se procede a trazar las curvas y se determinan gráficamente los
puntos de funcionamiento en la figura 3.8.1. Resultan los siguientes (ver tabla 3.8.3):
Puntos de funcionamiento pedidos: curva H - Q
Condición
1
2
3
4
Niveles
V - LL
LL - V
LL - LL
V-V
3
3,95
4,67
4,22
4,45
Q [m /s]
58,44
37,66
51,68
44,74
H [m C.A.]
Tabla 3.8.3
Ahora se vuelve a realizar una operación análoga con el NPSH. Se representará
tanto el disponible (dependiente de la instalación) como el requerido, propiedad
intrínseca de la bomba instalada. La tradicional expresión del NPSHd sin pérdidas de
carga en la aspiración es:
NPSH d = H b − H v − (H s )
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[m C.A.]
Ejercicios resueltos - 178
y ahora con dichas pérdidas de carga
NPSH d = H b − H v − (H s ) − ∆H asp
[m C.A.]
La expresión de las pérdidas de carga será:
∆H asp = K asp ⋅ Q 2
[m C.A.]
Como datos se tiene:
H b − H v = 10,33 − 0,24 = 10,09
[m C.A.]
Aquí todos los puntos tienen sumergencia positiva, es decir altura de aspiración
negativa. Las dos condiciones límite son nivel de aspiración lleno o vacío. Se
consideran, por otro lado, los caudales antes contemplados para las curvas resistentes:
2 [m3/s], 4 [m3/s] y 5,5 [m3/s]. La información relevante se agrupa en la tabla 3.8.4.
NPSHd (extremos)
Condición
1-4
Nivel embalse inferior
LL
– 30,0
Altura aspiración Hs [m]
Q
∆Hasp
NPSHd - LL
[m3/s]
[m C.A.]
[m C.A.]
0
0
40,0
2,0
2,0
38,0
4,0
8,0
32,0
5,5
15,13
24,87
2-3
V
– 20,0
NPSHd - V
[m C.A.]
30,0
28,0
22,0
14,87
Tabla 3.8.4
En cuanto al NPSHr se determina la curva correspondiente. En primer lugar se
calcula el mínimo, derivando la expresión dato, respecto al caudal. Se tiene:
Q = 3,21
[m3/s]
NPSH r = 4,29
[m C.A.]
Por otro lado, sólo interesa la curva en el primer cuadrante, por lo que se realiza
el cálculo de parejas de valores para las caudales que estamos manejando, por ejemplo
Q = 5,5 [m3/s], Q = 4 [m3/s], Q = 3 [m3/s], Q = 2,5 [m3/s], Q = 2 [m3/s] y Q = 1 [m3/s].
En realidad hubiera bastado con ver la zona de funcionamiento en la curva H – Q. Se
tiene la tabla 3.8.5.
Puntos curva NPSHr – Q
Puntos básicos
NPSHr [m C.A.]
Q [m3/s]
55,3
5,5
35,5
5,0
10,4
4,0
4,5
3,0
18,4
2,0
51,5
1,0
Tabla 3.8.5
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 179
Ahora, con los puntos obtenidos en las tablas 3.8.4 y 3.8.5 se elabora la gráfica
correspondiente (figura 3.8.2). El siguiente paso consiste en realizar la intersección de
las verticales correspondientes a puntos de operación dados (las cuatro condiciones
límites) para su caudal correspondiente, con la curva de NPSHd para la condición
considerada. Se opera, en la práctica, de esta manera: un punto que corresponda a
condición de embalse inferior vacío irá sobre la curva NPSHd mínima y si se
corresponde con la condición de embalse inferior lleno irá sobre la curva de NPSHd
máxima.
A su vez para los mismos caudales de operación se pueden calcular
numéricamente los valores de NPSHr, aunque la determinación gráfica hubiera bastado.
Con ambas series de datos se confecciona, además de la gráfica citada, la tabla 3.8.6.
Puntos de funcionamiento pedidos: curvas NPSH - Q
Condición
1
2
3
4
Niveles
V - LL
LL - V
LL - LL
V-V
3,95
4,67
4,22
4,45
Q [m3/s]
22,28
29,20
31,20
20,18
NPSHd - [m C.A.]
9,69
24,96
14,21
19,35
NPSHr - [m C.A.]
Tabla 3.8.6
Como conclusiones del análisis se tiene:
¾ El funcionamiento en curva H – Q es correcto, alejado de la zona de inestabilidad
presente para caudales inferiores a 3 [m3/s].
¾ El funcionamiento en cavitación es, a priori, correcto teniéndose que todos los
NPSHd de los puntos posibles de funcionamiento (representados en el romboide de
la figura) se encuentran, para su caudal correspondiente por encima del NPSHr.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 180
Figura 3.8.2
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 181
Respuesta 2
A modo de ejemplo se realiza la figura 3.8.3, representando las líneas de energía
y piezométricas (en este caso, cargas) del bombeo, tanto para presión relativa, como
absoluta, para un punto de funcionamiento dado (p.e.: condición 3). También se
representa la línea del terreno.
Figura 3.8.3
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 182
La energía asociada a la línea del terreno, corresponderá al límite energético a no
ser sobrepasado (en sentido descendente) por la línea piezométrica absoluta. En ese caso
el funcionamiento sería imposible.
Como se puede apreciar, para una condición de funcionamiento como la 3, en
principio de las menos desfavorables, se cruzan ambas líneas hacia, aproximadamente,
el nivel energético correspondiente a 50 [m C.A.] (abs). En ese momento se produciría
la rotura de columna de agua de agua (en realidad algo antes si se tiene en cuenta la
presión de vapor).
El punto de funcionamiento real se situará a una altura de impulsión superior: se
modificará la curva resistente de modo que el bombeo trabaje a menos caudal y más
altura de impulsión.
La readaptación entre el punto hipotético y el real se producirá con riesgo de
golpes de ariete parciales en la conducción.
¿Dónde se situaría el punto de funcionamiento? Para poder determinarlo se debe
recordar como se desplaza el punto de funcionamiento H-Q desde el 0,0 hasta el punto
de régimen, durante el transitorio de arranque (figura 3.8.4). Se supone la existencia de
una válvula en la impulsión, habitual en bombas centrífugas, inmediatamente después
de la máquina y que permanece cerrada hasta que se haya alcanzado la velocidad de
régimen.
1. Al inicio hasta llegar a la velocidad de régimen se alcanzará el punto
H = 83 [m]; Q = 0 [m3/s].
2. Luego, al ir abriendo válvula el punto se comenzará a desplazar dentro de la
curva de la bomba, aumentando gradualmente el caudal.
3. Se llegará a un punto de funcionamiento a caudal inferior al que le
correspondería por la configuración de embalses y de circuitos.
4. En este punto las condiciones de funcionamiento serían sumamente inestables,
pues un pequeño aumento de la presión local (normal en el transitorio)
implicaría un aumento del caudal.
5. Justamente entonces se alcanzaría la presión de vapor en el punto alto (+70),
provocando la rotura de la columna, lo que inmediatamente redundaría en situar
el punto de funcionamiento, de nuevo a H = 83 [m]; Q = 0 [m3/s], pero antes de
llegar se pasaría de nuevo a fase líquido, intentado llegar otra vez al caudal
citado en el apartado anterior.
6. Esto daría lugar primero a un transitorio y luego a una oscilación de presión,
ambos perjudiciales para el buen funcionamiento de la bomba.
El punto de funcionamiento se desplazaría a su vez dependiendo de que el nivel
en el embalse inferior corresponda a lleno o vacío.
La curva resistente se habrá modificado, con dos posibilidades:
9 en el sentido de aumentar z (ya que el punto zII podría pasar a ser el eje de la
conducción en el punto más alto: +70 [m] (s.n.m.), si se estableciera un nivel
libre en la tubería (que a su vez se eliminaría en el descenso hacia el depósito: al
ponerse en carga, se volvería a iniciar el transitorio)
9 o, lo más normal, por aumento de pérdidas de carga al ocupar gruesas bolsas de
vapor de agua toda la tubería en dicha zona, reduciendo la sección útil de paso
de agua.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 183
Figura 3.8.4
Figura 3.8.5
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 184
Gráficamente se han representado en la figura 3.8.6 dos hipotéticas líneas de energía
que cumplen la condición de que el líquido posea siempre más línea piezométrica
(absoluta) que la correspondiente a la tubería (terreno). Los puntos de funcionamiento
en el diagrama H-Q, corresponden al H = 68 [m C.A.] y H = 58 [m C.A.]. En el primer
caso se observa que existe margen para superar el punto más peligroso, al final del
tramo horizontal, marcado con (*). Ambas líneas son hipotéticas, pues en el momento
de rotura de carga, al llegar al embalse superior, existe un remanente de energía
apreciable, del orden de 23 [m C.A.] y 15 [m C.A.], respectivamente, y marcadas con
(+) y (++), en lugar del nivel II que correspondería al embalse.
Si se hubiese continuado descendiendo en el punto H-Q, al llegar al punto
peligroso, se produciría la vaporización del agua, con riesgo de rotura de la columna, en
cuyo caso el caudal recularía hacia atrás provocándose una situación de inestabilidad de
funcionamiento generalmente difícil de solucionar. En tal situación, un acontecimiento
esperable será el de producirse la intensa pérdida de carga en la tubería, citada en la
página anterior, de modo que la línea de energía y piezométrica caigan abruptamente y
de modo localizado (figura 3.8.6, representando solamente, el funcionamiento para
H = 58 [m C.A.]). En este caso, podría producirse un episodio del mismo tipo, más
adelante, antes de llegar al embalse superior.
Nota: una válvula de regulación inmediatamente dispuesta en la impulsión de la
bomba, no hubiera servido para nada. Sólo será posible trabajar sin problemas
situando la válvula al final del circuito, disipando localmente toda la energía
excedentaria hasta llegar a la correspondiente al nivel libre. Esto, sin embargo, puede
generar a su vez, problemas de transitorios de otros tipos (mal purgado, presencia de
aire, etc.).
Figura 3.8.6
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 185
Respuesta 3
En primer lugar se deben calcular las curvas características para la nueva
velocidad de rotación. (H – Q) y (NPSHr – Q).
H 500
N 
= H 600 ⋅  500 
 N 600 
2
Q500 = Q600 ⋅
[m C.A.]
N 500
N 600
H 500 = A ⋅ Q 4 + B ⋅ Q 3 + C ⋅ Q 2 + D ⋅ Q + E
[m C.A.]
3
4
2
[m3/s]
2
N 
N 
N 
N 
N 
2
3
4
⋅  500  + D ⋅ Q600 ⋅  500  + E
⋅  500  + C ⋅ Q600
⋅  500  + B ⋅ Q600
H 600 ⋅  500  = A ⋅ Q600
 N 600 
 N 600 
 N 600 
 N 600 
 N 600 
[m C.A.]
Despejando:
−1
2
H 600 = A ⋅ Q
4
600
N 
N 
N 
N 
3
2
+ D ⋅ Q600 ⋅  500  + E ⋅  500 
⋅  500  + C ⋅ Q600
⋅  500  + B ⋅ Q600
 N 600 
 N 600 
 N 600 
 N 600 
[m C.A.]
Resultando:
4
3
2
H 600 = 0,181 ⋅ Q600
− 3,41 ⋅ Q600
+ 15,82 ⋅ Q600
− 25,08 ⋅ Q600 + 119,52
[m C.A.]
Análogamente para el NPSH, pues no deja de tratarse de una energía:
−1
NPSH r 600 = F ⋅ Q
2
600
N 
N 
+ G ⋅ Q600 ⋅  500  + I ⋅  500 
 N 600 
 N 600 
−2
2
NPSH r 600 = 9,7 ⋅ Q600
− 74,64 ⋅ Q600 + 149,76
Puntos curva H –Q (600 [r.p.m.])
Puntos básicos
Puntos adicionales
H
Q
H
Q
3
[m C.A.]
[m /s]
[m C.A.]
[m3/s]
5,82
6,6
36,36
6,0
82,54
4,8
105,57
3,6
109,33
2,4
106,69
1,2
Tabla 3.8.7
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[m C.A.]
[m C.A.]
−2
Ejercicios resueltos - 186
Notas:
Se incluyen los caudales homólogos de los anteriores.
En principio no hacen falta puntos adicionales
Puntos curva NPSHr – Q
Puntos básicos
NPSHr
Q
[m C.A.]
[m3/s]
79,67
6,6
51,12
6,0
14,98
4,8
6,78
3,6
26,50
2,4
74,16
1,2
6,17
3,85
Tabla 3.8.8
El nuevo mínimo corresponde a Q = 3,85 [m3/s]
Ahora se procede, al igual que antes a trazar las nuevas curvas características y a
buscar las intersecciones con las curvas resistentes y de NPSHd que permanecen
invariables. Se obtienen los siguientes puntos de operación:
Puntos de funcionamiento pedidos: curva H - Q
Condición
1
2
3
4
Niveles
V - LL
LL - V
LL - LL
V-V
3
5,08
5,64
5,28
5,46
Q [m /s]
73,74
52,66
66,68
59,77
H [m C.A.]
Tabla 3.8.9
Puntos de funcionamiento pedidos: curvas NPSH - Q
Condición
1
2
3
4
Niveles
V - LL
LL - V
LL - LL
V-V
3
5,08
5,64
5,28
5,46
Q [m /s]
17,18
24,20
26,05
15,17
NPSHd - [m C.A.]
20,95
37,23
26,16
31,49
NPSHr - [m C.A.]
Tabla 3.8.10
Conclusiones:
¾ Desde el punto de vista de la curva H – Q el funcionamiento sería correcto,
siempre trabajando bien a la derecha de la zona de inestabilidad. Lógicamente
aumentan caudales y alturas de impulsión.
¾ Sin embargo, en cavitación todos los puntos de funcionamiento (romboide en
azul) aparece dentro y a la izquierda de la curva NPSHr – Q: de ellos un único
punto se sitúa sobre la misma curva.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 187
Figura 3.8.7
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 188
Otra cuestión es evaluar el impacto que va a suponer el trabajar en condiciones
de cavitación: en el texto del problema no se indica a criterio de admisibilidad se ha
aplicado a la hora de establecer la curva NPSHr, puede tratarse de:
‰ NPSHadmisible (desde el punto de vista erosión por cavitación).
‰ NPSH3[%] variación del 3 [%] sobre (posibilidades H, Q o η).
‰ NPSHestándar (variación nula de prestaciones o muy pequeña variación).
Esa ambigüedad no se rompe ya que no se ha fijado un límite de validez para la
expresión del NPSHr, de lo que hubiera podido deducirse que se trataba de NPSH3[%].
En resumen:
En el primer caso el funcionamiento puede ser posible pero se van a producir
severas erosiones, se supone que sobre el lado intradós del rodete (aunque no se sabe:
esto se podría haber conocido a partir de la colina de rendimiento). Aún así, el punto de
funcionamiento para condición 4, se encuentra alejadísimo de la curva de NPSHr por lo
que se podría temer un descenso en las prestaciones.
En el segundo caso el funcionamiento es totalmente inaceptable siendo inviable
el bombeo en su configuración actual. Las consecuencias serán el trabajo en
condiciones de caudal inferior al actual. Esto será cierto para prácticamente todo el
romboide que expresa el funcionamiento en NPSH.
En el tercer caso la situación será prácticamente igual al segundo caso pero, con
quizás, algo más de caudal.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 189
EJERCICIO 3.9.
punto 2
p = 0,1 [bar]
30 [m]
B
punto 1
∆e = 98100 · Q2
[J/kg]
∆h = 10000 · Q2
[m C.A.],
siendo Q = 0,06 [m3/s]
HR = 30 + 10000 · Q2 + p2 / γ
Hm(Q) – ∑hf = H2
Hm(Q) – 10000 · Q2 = p2 / γ + z2 – z1
Hm (Q) = 30 + 10000 · Q2 + 0’1 · 105 /9810 = 31,02 + 10000 · Q2
HR = 31,02 + 10000 · Q2
Q [m3/s]
0,06
0
0,3
H [m C.A.]
67,02 (= 31,02 + 10000 ⋅ 0,062)
70
(= 686,7/9,81)
0
La curva característica de la bomba
1) 70 = c0
2) 67,02 = c0 + c1 · 0,06 + c2 · 0,062
3) 0 = c0 + c1 · 0,3 + c2 · 0,32
Nos queda:
⇒
H [m C.A.]
70
67,02
31,02
c0 = 70; c1 = – 3,75; c2 = – 765,28
H = 70 – 3,75 · Q – 765,28 · Q2
Por la misma tubería si Q = 0,06 [m3/s] en 2 horas el volumen será:
V = 0,06 · 7200 = 432 [m3]
El nuevo punto de funcionamiento para llenarlo en media hora será:
•
Q = 432 / 1800 = 0,24 [m3/s]
•
H = 31,02 + 10000 · Q2 = 607,02 [m C.A.]
Probamos disposiciones en paralelo:
H = 70 – 3,75 · Q/n – 765,28 · Q2/n2
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
0,06 0,3
Q [m3/s]
Ejercicios resueltos - 190
Para el punto de funcionamiento necesario n no es real, por lo que no es posible con este
tipo de acoplamiento.
Probamos disposiciones en serie:
H = n · (70 – 3,75 · Q – 765,28 · Q2)
nos queda n = 24,26
⇒
n = 25 en serie
acoplamiento
en serie
607
H [m C.A.]
acoplamiento
en paralelo
70
0,24 0,3
Q [m3/s]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 191
EJERCICIO 3.10.
Respuesta 1
La altura de impulsión (manométrica) o energía hidráulica en la bomba se puede
determinar a partir de las mediciones realizadas.
Se tiene:
pL = (ρ w ⋅ g ⋅ z2 + p2 ) − (ρ w ⋅ g ⋅ z1 + p1 )
[Pa]
Es decir:
E=
p L c 22 − c12 g ⋅ (ρ Hg − ρ w ) ⋅ (∆L Hg ) c 22 − c12
+
=
+
ρ
2
2
ρ
[J/kg]
Como comentario previo se debe indicar que es habitual disponer el manómetro de
columna alejado “térmicamente” de las tomas depresión de forma que la temperatura en
el manómetro será bastante más fría que la del agua que circula por la bomba. La
temperatura fría será del orden de 30 [ºC]. Por tanto, en los ábacos se considera el
mercurio Labein. No obstante, la temperatura del agua en la bomba es de 90 [ºC], luego
la densidad a considerar del agua en el denominador (que corresponde a las presiones p2
y p1 citadas en la expresión de arriba) será:
ρ Hg = 13468,2 [kg/m3]
ρ w = 995,7 [kg/m3] ρ = 965,4 [kg/m3]
Los valores numéricos se han determinado en los ábacos. El caudal es de 600 [m3/h] o,
0,16667 [m3/s]. Se tiene entonces:
E=
9,81 ⋅ (13468,2 − 995,7 ) ⋅ (1,587 ) 1,7322 2 − 1,3263 2
+
965,4
2
E = 201,758 [J/kg]
H = 20,567
[J/kg]
[m C.L.]
Nota: Comparar el resultado si se hubiera considerado agua fría: E = 195,637 [J/kg].
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 192
Respuesta 2
Ph = ρ ⋅ Q ⋅ E
Pm =
Ph
ηg
Pa =
Pm
ηa
[W]
Ph = 965,4 ⋅ 0,1667 ⋅ 201,758 = 32.463,5
[W]
Pm =
32463,5
= 40.579,4
0,8
[W]
Pa =
40.579,4
= 46.643,0
0,87
[W]
Respuesta 3
La expresión de la curva resistente es la siguiente:
E r = g ⋅ ∆z +
∆p
+ ∆e tot
ρ
[J/kg]
Aplicada entre los puntos extremos del circuito (depósito de aspiración y llegada a la
caldera), se tiene:
E r = g ⋅ (z II − z I ) +
p II − p I
+ ∆e tot
ρ
[J/kg]
Ahora, la energía resistente es igual a la de la bomba (en el punto de funcionamiento) y,
sustituyendo el resto de datos:
201,758 = 9,81 ⋅ [6 − (− 1)] +
106.000 − 95.000
+ ∆e tot
965,4
[J/kg]
Resultando las pérdidas de carga totales:
∆e tot = 121,694
[J/kg]
∆h tot = 12,4051
[m C.A.]
No obstante se pedía, también, las pérdidas de carga en la impulsión. Se realiza la
diferencia con el dato:
∆e imp = ∆e tot − ∆e asp
[J/kg]
∆e imp = 121,694 − 4,9
[J/kg]
∆e imp = 116,794
[J/kg]
∆h imp = 11,9056
[m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 193
Respuesta 4
La condición de funcionamiento sin problemas de cavitación debe cumplir que el NPSE
disponible (o de instalación) sea superior al NPSE requerido (característica de la
máquina definida por medio de ensayos de laboratorio), que, en este caso, es dato:
NPSE d ≥ NPSE r
[J/kg]
Planteando la expresión de NPSEd en función de las condiciones de instalación:
NPSE d = E b − E v − E s − ∆e asp
[J/kg]
La presión ambiente en la aspiración, Eb, que es dato, es inferior a la atmosférica. La
presión de vapor del agua, Ev, es función de la temperatura, que también es dato, y se
consulta en los ábacos. La altura de aspiración Es, también es dato, así como la pérdida
de carga en la aspiración, ∆easp.
Notas:
1. Lógicamente, los conceptos de presión de vapor, presión barométrica, etc.
Vendrán indicados en forma de energía específica. Se ha incluido la
denominación tradicional por costumbre, aunque se trata en cada caso de
energías específicas en [J/kg]
2. El concepto de energía de aspiración, referido a la altura de aspiración se
considera a veces, como aquí, como simple desnivel geométrico con las
pérdidas separadas ó bien con éstas incluidas.
3. Se incluyen expresiones equivalentes, de modo que se pueden consultar
directamente con los ábacos
NPSE d = g ⋅ NPSH d
[J/kg]
g ⋅ NPSH d = g ⋅ (H b − H v − H s − ∆hasp )
[J/kg]
NPSE d =
pb
ρ
−
pv
ρ
− g ⋅ H s − ∆easp
[J/kg]
Sustituyendo, pues, los datos:
9,81 =
95.000 71.500
−
− 9,81 ⋅ (z eje − z asp ) − 4,9
965,4
965,4
z eje − z asp = 0,982
[J/kg]
[m]
Para alturas superiores se producirá una cavitación excesiva. Concretamente, pues, la
disposición actual con una altura del eje respecto del nivel de 1 [m], conduce a un
funcionamiento incorrecto.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 194
Respuesta 5
Las bombas centrífugas siempre deben arrancar y pararse a válvula cerrada, ya que a
caudal 0 los requerimientos de potencia (mecánica y eléctrica) son menores en el
arranque. Justo al revés que en bombas axiales (ver figura 6.13 en el libro, página 157).
Al no haber válvula de pie, además, si la válvula de bola está cerrada el circuito se
descebará. Por ello, si –a pesar de no ser recomendable- se desea arrancar la bomba con
válvula abierta y se tiene siempre una altura de aspiración positiva (eje de bomba por
encima de nivel de aspiración), el circuito estará vacío, inicialmente, por lo que la
bomba no podrá impulsar agua. Se ha producido el fenómeno de descebe; la bomba
estaría trabajando como ventilador. Si la altura de aspiración fuese negativa, podría
funcionar la bomba siempre que la conducción de aspiración no esté dispuesta en sifón.
Remedios:
™ Válvula de pie en la aspiración y circuito auxiliar de llenado de la tubería de
aspiración (para la primera vez).
™ Válvula en la impulsión con cierre automático en la parada de la bomba (para
mantener la columna) y circuito auxiliar de vacío. Será útil si no se producen
fugas por el sistema de estanquidad del eje (prensaestopas).
™ Otros.
Problemas:
™ Un funcionamiento prolongado con bomba descebada puede deteriorar la
estopada o el cierre mecánico.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 195
EJERCICIO 3.11.
Respuesta 1
Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:
hB = z 2 + K ⋅ Q 2 = 50 + 200 ⋅ Q 2
ηm =
Pm
P
Æ 0,9 = m Æ Pm = 147 ⋅ 0,9 = 132,3 [kW]
Pelec
147
PH = γ ⋅ Q ⋅ H = 9810 ⋅ 0,2 ⋅ 58 = 113796 [W]
ηG =
PH 113,796
=
= 0,8641 Æ 86,01 [%]
132,3
Pm
Respuesta 2
Si Q = 0,2 [m3/s] entonces hB = 58 [m]
En el enunciado se indica que con la válvula cerrada Q = 0 [m3/s] entonces H = 62 [m]
siendo la bomba estable, de manera que conociendo estos dos puntos de
funcionamiento:
Q [m3/s] H [m C.A.]
0
62
Estable
0,2
58
Siendo la ecuación H = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q 2
para calcular el caudal máximo
dH
= 0 = B + 2 ⋅ C ⋅ Q y cuando Q = 0 entonces B = 0
dQ
de manera que la ecuación queda: H = A + C ⋅ Q 2 funcionando en los siguientes puntos:
3) H = 58 [m C.A.] y Q = 0,2 [m3/s]
4) H = 62 [m C.A.] y Q = 0 [m3/s]
Resolviendo la ecuación:
⇒
A = 62 y C = −100
H = 62 − 100 ⋅ Q 2
180
160
140
H
120
100
80
60
40
20
0
0,
05
0,
1
0,
15
0,
2
0,
25
0,
3
0,
35
0,
4
0,
45
0,
5
0,
55
0,
6
0,
65
0,
7
0,
75
0
Q
H
hB
Respuesta 3
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 196
Si Q' = 1,2 ⋅ 0,2 = 0,24 [m3/s] entonces h' B = 56,24 [m] y con la bomba del apartado
anterior no es suficiente, de manera que hay que elevarlo hasta una altura de 60 [m].
hB = z + K ⋅ Q' 2 = 60 + 200 ⋅ Q' 2
2
Si Q'= 0,24 [m3/s] entonces h' B = 71,52 [m C.A.]
Aplicando semejanza
H N
Q N
=
y
= 
Q' N ' H '  N ' 
2
2
2
N
 400 
H =   ⋅ H '= 
 ⋅ H'
 N'
 N' 
⇒
N
400
⋅ Q' =
⋅ Q'
N'
N'
Q=
Y sustituyendo en la ecuación
2
 400 
 400

⋅ Q' 

 ⋅ H ' = 62 − 100 ⋅ 
 N' 
 N'

2
2
 N' 
2
H ' = 62 ⋅ 
 − 100 ⋅ Q'
 400 
⇒
2
 N' 
2
71,52 = 62 ⋅ 
 − 100 ⋅ 0,24 Æ N ' = 446,58 [r.p.m.]
 400 
80
70
H [m C.A.]
60
50
40
30
20
10
0
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
Q [m3/s]
H
hB
Resolviéndolo de otra manera:
2
2
2
Q
H Q
 Q 
=   Æ H =   ⋅ H ' = 
 ⋅ 71,52
H '  Q' 
 0,24 
 Q' 
E igualando a H ' = 62 − 100 ⋅ Q' 2
H = 57,38 [m];
Q = 0,21497 [m3/s]
Como son puntos semejantes:
0,21497 400
=
Æ N ' = 446,58 [r.p.m.]
0,24
N'
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
0,30
Ejercicios resueltos - 197
EJERCICIO 3.12.
N = 1400 [r.p.m.];
Q = 240 [L/min] = 0,004 [m3/s];
Hm = 8 [m C.L.]
Se conocen 3 puntos de funcionamiento que deben pertenecer a la curva H (Q):
H = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q2
8 = A + B ⋅ 0 + C ⋅ 02
7 = A + B ⋅ 0,005 + C ⋅ 0,0052
8 = A + B ⋅ 0,004 + C ⋅ 0,0042
Resolviendo: H [m C.L.] = 8 + 800 ⋅ Q – 2 ⋅ 105 ⋅ Q2
Lo mismo con los puntos de la curva de rendimiento η (Q):
η = E ⋅ Q + F ⋅ Q2
0 = E ⋅ 0 + F ⋅ 02
0,5 = E ⋅ 2 ⋅ 10-3 + F ⋅ (2 ⋅ 10-3)2
0,68 = E ⋅ 4 ⋅ 10-3 + F ⋅ (4 ⋅ 10-3)2
Resolviendo: η = 330 ⋅ Q – 40000 ⋅ Q2
Punto de funcionamiento: Q = 0,004 [m3/s], H = 8 [m C.L.], ya que z2 – z1 = 0 (circuito
cerrado).
Ph = γ ⋅ Q ⋅ H = 880 ⋅ 9,81 ⋅ 0,04 ⋅ 8 ⇒
Ph = 0,276 [kW]
Pm = Ph/η = 0,405 [kW]
8 = K ⋅ 0,0042 (curva resistente)
⇒
K = 5 ⋅ 105 [m C.L. /(m3/s)2]
Como no hay efectos de escala, las viscosidades del líquido inicial de 880 [kg/m3] y la
del agua fría son suficientemente similares (νlíquido ≈ νagua fría ) por lo que las pérdidas en
las mismas condiciones son las mismas.
K = 5 ⋅ 105 [m C.L. /(m3/s)2] →
K = 5 ⋅ 105 [m C.A. /(m3/s)2]
Por todo ello, si se duplican las pérdidas es indiferente que se trate del agua o del
líquido inicial por lo que puede escribirse que:
K’ = 2K
→ K’ = 106 [m C.A. /(m3/s)2]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 198
Por tanto la altura manométrica requerida para bombear en esta nueva curva resistente
un caudal de 0,004 [m3/s] es:
16 = 106 ⋅ 0,0042
(nueva curva resistente)
Por la misma razón la curva H-Q a 1400 [r.p.m.] es válida excepto que ahora vendrá
expresada en metros de columna de agua.
H [m C.A.] = 8 + 800 ⋅ Q – 2 ⋅ 105 ⋅ Q2
Si se cambia la velocidad de giro pasando de N = 1400 [r.p.m.] a otra velocidad
desconocida N’, la expresión paramétrica:
2
2
 N'
 N'
 N' 
 N' 
5
2
H = A  + B Q + CQ 2 ⇒ H = 8
 + 800
Q − 2 ⋅10 Q
 1400 
 1400 
N
N
Se trata de buscar el valor de N’ para que el punto Q = 0,004 [m3/s] y H = 16 [m C.A.]
2
 N' 
 N' 
5
2
pertenezca a H = 8
 + 800
Q − 2 ⋅10 Q
1400
1400




Operando:
N’ = 1907 [r.p.m.]
Ph = γ ⋅ Q ⋅ Hm = 0,627 [kW]
Razonando igual con la curva de rendimiento
2
N
N
η = E   Q'+ F   Q' 2 ⇒
 N'
 N'
2
 1400 
 1400  2
η = 330
Q'−40000
 Q'
 1907 
 1907 
η = 242,28 ⋅ Q – 21560,8 ⋅ Q2
η (Q = 0,004 [m3/s]) = 0,624 [-]
⇒
Pm =
Ph
η
=
0,627
≅ 1 [kW]
0,624
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 199
EJERCICIO 3.13.
Respuesta 1
Aplicando la ecuación de la energía entre las superficies libres de los depósitos inferior
(1) y superior (2), se tiene que:
z1 +
c2
p
c12
p
+ 1 + h B = z 2 + 2 + 2 + h R12
2⋅g γ
2⋅g γ
[m C.A.]
En este caso: z2 – z1 = 24 [m]
c1 = c2 ≈ 0 [m/s] (suponiendo depósitos grandes)
p1 = p2 ≈ 0 [Pa] (suponiendo ambos depósitos a presión atmosférica)
hR12 = 0,0148 ⋅ Q2
[m C.A.]
De forma que la curva resistente de la instalación queda:
hB = 24 + 0,0148 ⋅ Q2
[m C.A.] (con Q en [m3/h])
Como el caudal a bombear está definido (Q = 50 [m3/h]), la bomba debe ser capaz de
aportar la siguiente altura: H = 24 + 0,0148 ⋅ 502 = 61 [m C.A.]
Analizando las curvas características se observa que la bomba con 5 rodetes (SV6005)
aporta exactamente 50 [m3/h] y 61 [m C.A.], por lo que se elige la bomba con 5 rodetes
(en general se debería seleccionar la bomba inmediatamente superior a la del punto de
funcionamiento deseado y a continuación ajustar el punto de funcionamiento).
El rendimiento se lee directamente en la gráfica. Para un caudal de 50 [m3/h] se tiene
que:
⇒
η = 67 [%]
Respuesta 2
La potencia hidráulica se calcula a partir del caudal y de la altura de la bomba:
PH = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ (50/3600) ⋅ 61 = 8311,25 [W]
Respuesta 3
La potencia mecánica se calcula a partir de la potencia hidráulica y el rendimiento:
Pm = PH / η = 8311,25/ 0,67 = 12,41 ⋅ 103 [W]
Se puede comprobar con el valor facilitado por el fabricante, que ofrece la potencia
mecánica por cada una de las etapas. En este caso la potencia mecánica calculada para
cada una de las 5 etapas sería:
Pmst = Pm / 5 = 2480,97 [W],
valor que coincide con el facilitado gráficamente por el fabricante ( ≈ 2,5 [kW])
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 200
Respuesta 4
Para calcular el equivalente energético de la instalación se calcula primero la potencia
eléctrica consumida a partir de la potencia mecánica calculada y el rendimiento del
motor:
Pe = Pm / ηmotor = 12,41 / 0,8 = 15,51 ⋅ 103 [W] = 15,51 [kW]
Y finalmente el equivalente energético:
⇒
e = Pe / Q = 15,51 / 50 = 0,3101 [kW-h/m3]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 201
EJERCICIO 3.14.
Q1
QT
QT
Q2
Tramo 1:
HA – ∑hf T1 + HmB1(Q1) + HmB2(Q1) = HB
⇒
HA – ∑hf T1 +2 · HmB1(Q1) = HB
Tramo 2:
HA – ∑hf T2 + HmB3(Q2) = HB
⇒
HA – ∑hf T2 + HmB3(Q2) = HB
siendo
HA = pA / γ + vA2/ 2·g
HB = pB / γ + vB2/ 2·g
vB = vA
⇒
HB – HA = 70000/9810 = 7,14 [m C.A.]
∑hf T1 = K1 · Q12 = 2 · Q12
∑hf T2 = K2 · Q22 = 5 · Q22
Por lo tanto:
– 2 · Q12 + 2 · Hm1 (Q1) = 7,14
⇒ – 2 · Q12 + 2 ⋅ (49 – Q12) = 7,14
2
– 5 · Q2 + Hm3 (Q2) = 7,14
⇒ – 5 · Q22 + (25 – 0,5 · Q22) = 7,14
Resolviendo: Q1 = 4,77 · 10-3 [m3/s]; Q2 = 1,80 · 10-3 [m3/s]
HmB1 = 49 – 4,772 = 26,28 [m C.A.]
HmB2 = 49 – 4,772 = 26,28 [m C.A.]
HmB3 = 25 – 0,5 ⋅ 1,802 = 23,38 [m C.A.]
Ph1 = 9,81 · 26,28 · 4,77 · 10-3 = 1,228 [kW] = Ph2
Ph3 = 9,81 · 23,38 · 1,80 · 10-3 = 0,413 [kW]
-3
3
ηB1 (Q1 = 4’77 · 10 [m /s]) = 0,6388 [-] = ηB2
ηB3 (Q2 = 1,80 · 10-3 [m3/s]) = 0,8064 [-]
Pejemec1 = Ph1 / ηB1 = 1,228 / 0,6382 = 1,923 [kW] = Pejemec2
Pejemec3 = Ph3 / ηB3 = 0,413 / 0,8064 = 0,513 [kW]
PABS1 = Pejemec1 / ηelect1 = 1,923/0,8 = 2,40 [kW] = PABS2
PABS3 = Pejemec3 / ηelect3 = 0,513/0,8 = 0,64 [kW]
Ph = ρ ⋅ g · H · Q
⇒
PABStotal = PABS1 + PABS2 + PABS3 = 5,45 [kW]
QT = Q1 + Q2 = 6,57 [L/s] = 23,652 [m3/h]
El equivalente energético será entonces:
eu = PABS / QT = 5,45 / 23,652 = 0,23 [kW-h/m3]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 202
EJERCICIO 3.15.
h
Respuesta 1
NPSH r = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q 2
NPSH d = H b − H v − H S = 10,33 −
NPSH d = 10,33 −
2339
− H a − K ⋅ Q2
9810
2389
− H a − 2 ⋅ 10 −6 ⋅ Q 2
9810
Leyendo de la gráfica y descontando el margen de seguridad se obtiene el NPSHR que
se debe entender como NPSH3%:
Q [m3/h]
350
575
635
675
805
900
Ha [m C.A.]
7,8
7,7
7,6
7,5
7,0
6,5
Ha + 1 [m C.A.]
8,8
8,7
8,6
8,5
8,0
7,5
NPSH3% [m C.A.]
1,05
0,73
0,69
0,68
0,80
0,97
Y ahora ajustando por mínimos cuadrados:
n
∑ NPSH
n
n
1
1
= A ⋅ n + B ⋅ ∑ Qi + C ⋅ ∑ Qi2
i
1
n
n
n
n
1
1
1
∑ (NPSH
i
∑ (NPSH
2
2
3
4
i ⋅ Qi ) = A ⋅ ∑ Qi + B ⋅ ∑ Qi + C ⋅ ∑ Qi
1
n
1
⋅ Qi ) = A ⋅ ∑ Qi + B ⋅ ∑ Qi2 + C ⋅ ∑ Qi3
n
n
n
1
1
1
⇒
NPSH = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q 2
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 203
NPSH3%
[m C.A.]
1,05
0,73
0,69
0,68
0,80
0,97
Q
[m3/h]
350
575
635
675
805
900
Q2
[m6/h2]
122500
330625
403225
455625
648025
810000
Q3 [m9/h3]
Q4 [m12/h4]
NPSH3% ⋅ Q [m
C.A m3/h]
NPSH3%⋅ Q2
[m C.A m6/h2]
42875000
190109375
256047875
307546875
521660125
729000000
15006250000
109312890625
162590400625
207594140625
419936400625
656100000000
367,50
419,75
438,15
459,00
644,00
873,00
128625,00
241356,25
278225,25
309825,00
518420,00
785700,00
NPSH r = 2,427335384 − 0,005391413 ⋅ Q + 4,18706 ⋅ 10 −6 ⋅ Q 2
1,1
NPSH3% [m C.A.]
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
325
425
525
625
725
825
925
Q [m /h]
3
NPSH3%-Q
Polinómica (NPSH3%-Q)
y = 4E-06x 2 - 0,0054x + 2,4273
Respuesta 2
Q = 700 [m3/h] = 0,198 [m3/s]
η mot = 0,9 [-]
φ [mm]
270
280
290
300
310
320
330
H
[m C.A.]
11
12,8
15
17
20
22,8
25,5
PH [kW]
20,98
24,42
28,61
32,43
38,15
43,49
48,64
η [-] PM [kW]
0,67
0,70
0,73
0,76
0,79
0,82
0,84
31,92
34,88
39,20
42,67
48,29
53,04
57,90
η mot [-]
Pabs [kW]
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
54,80
38,76
43,55
47,41
53,66
58,93
64,34
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
 kWh 
e 3 
 m 
0,0497
0,0554
0,0622
0,0677
0,0767
0,0842
0,0919
Ejercicios resueltos - 204
EJERCICIO 3.16.
De la gráfica se lee que para Q = 16 [m3/h] la altura manométrica correspondiente es:
Hm = 28 [m C.A.] y Hg = 15 [m]
Ese punto pertenece a la curva resistente, con lo que:
Hm = 28 = Hg + K ⋅ Q2
k = 0,051 [m C.A./(m3/h)2]
La potencia hidráulica se calcula de manera inmediata:
Ph = γ ⋅ Q ⋅ H m = 9,8 ⋅
16
⋅ 28 = 1,22 [kW]
3600
De la gráfica en la curva de rendimiento se lee que para Q = 16 [m3/h] el ηBOMBA es
0,70 [-], por lo que se puede calcular la potencia en el eje o mecánica Pm:
Pm = Ph/ηBOMBA = 1,742 [kW]
Si la bomba tiene 4 etapas iguales a cada etapa se le puede atribuir una potencia
mecánica:
Pm etapa = Pm/4 = 0,4355 [kW]
De la observación de la gráfica se puede ver que la potencia por etapa (kW/Stage) no es
compatible con la potencia mecánica por etapa ya que para Q = 16 [m3/h] la lectura es
de ~ 0,67 [kW]. Por tanto, se deduce que la gráfica se refiere a potencia eléctrica
consumida. Para comprobarlo, se calcula la potencia eléctrica absorbida de red que debe
ser compatible con la lectura de la gráfica. Si la bomba tiene 4 etapas y el rendimiento
del motor es dato (η motor = 0,65 [-] y nº etapas = 4), la potencia absorbida de red Pabs total
es:
Pabstotal =
Pmec
η motor
= 2,68 [kW]
⇒
Pabstetapa =
Pabstotal
= 0,67 [kW/etapa]
4
Lo cual confirma que el fabricante está proporcionando potencias eléctricas en su curva.
A partir de aquí, se puede calcular el equivalente energético del bombeo:
en =
Pabstotal 2,68
=
= 0,1675 [kW-h/m3]
Q
16
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 205
EJERCICIO 3.17.
Respuesta 1
Para obtener la curva característica de la bomba en la segunda condición de
funcionamiento, se dispone de la siguiente información:
•
Q2 = 324 [m3/h] = 0,09 [m3/s]
⇒
H2 = 80 [m C.F.]
•
Q2 = 0 [m3/h]
⇒
H2MAX = 1,5 ⋅ 80 = 120 [m C.F]
En general la expresión de la curva característica de bombas centrífugas se puede
ajustar a un polinomio de segundo grado:
H = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q2
En este caso particular el máximo de altura de impulsión se produce para el caudal
mínimo Q = 0 [m3/h], es decir:
dH/dQ = B + 2 ⋅ C ⋅Q = 0
con Q = 0
⇔
B=0
Es decir, la curva característica se puede ajustar a la expresión:
H2 = A + C ⋅ Q22
80 = A + C ⋅ 0,092
Sustituyendo los valores conocidos:
120 = A + C ⋅ 02
Despejando: A = 120 y C = - 4938,27
Por lo que la curva característica queda:
H2 = 120 – 4938,27 ⋅ Q22
[m C.F] con Q2 en [m3/s]
Respuesta 2
De la primera condición de funcionamiento se conoce el caudal Q1 = 0,4 [m3/s]. La
altura de impulsión correspondiente a dicho caudal se puede obtener a partir de la curva
característica de la bomba en esas condiciones. Para obtenerla se aplicarán las siguientes
relaciones de semejanza a partir de la curva característica obtenida en el apartado
anterior (sin olvidar que g NO es constante):
•
Q1
Q2
=
3
N1 ⋅ D1 N 2 ⋅ D32
•
E1
E
= 2 2 2
2
N ⋅ D1 N 2 ⋅ D 2
2
1
⇒
g1 ⋅ H1
g ⋅H
= 22 22
2
2
N1 ⋅ D1 N 2 ⋅ D 2
Para la bomba se tiene que: N2 = 0,25 ⋅ N1
D2 = D1
g2 = 2 ⋅g1
De forma que las relaciones de semejanza quedan: H2 = H1/32 y Q2 = Q1/4
Y finalmente, sustituyendo en la curva característica, H2 = 120 – 4938,27 ⋅ Q22, se tiene
que:
H1 = 3840 – 9876,54 ⋅ Q12
Como Q1 = 0,4 [m3/s], sustituyendo:
[m C.F] con Q1 en [m3/s]
H1 = 2259,75 [m C.F]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 206
Respuesta 3
Aplicando la ecuación de conservación de la energía (Bernoulli) entre el depósito
inferior y el depósito superior, se tiene que para cualquiera de las dos situaciones:
z1 +
v12 p12
v2 p2
+ + h B = z 2 + 2 + 2 + h R12
2⋅g γ
2⋅g γ
[m C.F.]
En este caso, suponiendo depósitos grandes sin variación apreciable de nivel y a la
presión atmosférica correspondiente:
h B = ∆z + h R12
[m C.F.]
Para la segunda situación se tiene que:
•
hB2 = 80 [m C.F]
•
hR122 = K2 ⋅ Q22 = 4 ⋅ 0,092 = 0,0324 [m C.F.]
Por lo tanto, el desnivel geométrico:
∆z2 ≈ 79, 97 [m]
Para la primera situación se tiene que:
•
hB1 = 2259,75 [m C.F]
•
hR121 = K1 ⋅ Q12 = K1 ⋅ 0,42 [m C.F.]
En este caso, al variar el valor de g, la curva resistente del circuito hidráulico expresada
en [m C.F.] también varía (K1 ≠ K2). Para la segunda condición de funcionamiento se
sabe que:
∆HR2 = 4 ⋅ Q22 [m C.F.]
En ambas situaciones el parámetro que permanece constante es la “potencia de
pérdidas”. Es decir, para un mismo circuito hidráulico funcionando en el mismo
régimen, la potencia de pérdidas es la misma. El problema surge al expresar dicha
pérdida en metros de columna de fluido, pues dicho valor varía al variar condiciones
gravitatorias.
Se tiene que:
Si
Pp1 = ρ1 ⋅ g1⋅ Q1⋅ ∆HR1 = ρ2 ⋅ g2 ⋅ Q2 ⋅ ∆HR2 = Pp2
ρ1 = ρ2
(el fluido no varía)
g2 = 2 ⋅ g1
(el campo gravitatorio varía)
Q1 = Q2
(suponiendo mismo régimen de funcionamiento)
Entonces para que Pp1 = Pp2, se debe cumplir que:
[W]
∆HR1 = 2 ⋅ ∆HR2 [m C.F.]
Es decir, que la constante de pérdidas para la primera situación se duplica, resultando:
∆HR1 = 8 ⋅ Q22
[m C.F.]
Nota.- se puede llegar a la misma conclusión aplicando las relaciones de semejanza (sin
olvidar que g NO es constante) a la INSTALACIÓN HIDRÁULICA:
•
Q1
Q2
=
3
N1 ⋅ L1 N 2 ⋅ L32
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 207
•
g ⋅ ∆H
g ⋅ ∆H
∆E R1
∆E
= 2 2 2R2
= 2 R2 2 ⇒ 1 2 R1
2
2
2
N 1 ⋅ D1 N 2 ⋅ D 2
N 1 ⋅ D1
N2 ⋅ D2
Para la instalación hidráulica se tiene que:
•
N2 = N1
(ninguna gira)
•
L2 = L1
(la geometría no varía)
•
g2 = 2 ⋅g1
De forma que las relaciones de semejanza quedan:
2
Así: ∆HR2 = 4 ⋅ Q2 ⇒
∆HR2 = ∆HR1/2 y Q2 = Q1
2
∆HR1 / 2 = 4 ⋅ Q1 ⇒ ∆HR1 = 8 ⋅ Q12
[m C.F.]
Las pérdidas de carga para la primera situación por tanto:
•
hR121 = K1 ⋅ Q12 = 8 ⋅ 0,42 = 1,28 [m C.F.]
∆z1 ≈ 2258,47 [m]
Y, en consecuencia, el desnivel geométrico:
Respuesta 4
La potencia eléctrica consumida por la bomba en cada una de las situaciones se
calculará a partir de la potencia hidráulica ganada por el fluido y los rendimientos de la
bomba y el motor. En general:
PH = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H
Pm = PH / η
Pe = Pm / ηa
Para la primera situación se tiene que:
•
•
•
•
•
•
ρ1 = 2000 [kg/m3]
g1 = 9,81 [m/s2]
Q1 = 0,4 [m3/s]
H1 = 2259,75 [m C.F.]
η1 = 0,9 [-]
ηa1 ≈ 1 [-]
Operando se obtienen los siguientes valores de las potencias:
PH1 = 17,74 [MW];
Pm1 = 19,71 [MW];
Pe1 ≈ 19,71 [MW]
Para la segunda situación se tiene que:
•
•
•
•
•
•
ρ2 = 2000 [kg/m3]
g2 = 19,62 [m/s2]
Q2 = 0,09 [m3/s]
H2 = 80 [m C.F.]
η2 = 0,9 [-]
ηa2 ≈ 1 [-]
Operando se obtienen los siguientes valores de las potencias:
PH2 = 282,53 [kW];
Pm2 = 313,92 [kW]; Pe2 ≈ 313,92 [kW]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 208
EJERCICIO 3.18.
150 [m]
B
1)
2)
3)
4)
Q = v · S = 3 · π · 0,52 / 4 = 0,589 [m3/s]
∆ = f · L · v2 / (D · 2 · g) = 0,02 · 1000 · 32 / (0,5 · 2 · g) = 18,35 [m]
∆ = k · Q2
⇒
18,35 = K · 0’5892 ⇒
K = 52,88 [m C.A./(m3/s)2]
er
1 caso
HR = 150 + 52,88 · Q2
⇒
Q = 0,589 [m3/s]
HR = 168,35 [m C.A.]
Hm = c0 + c1 · Q + c2 · Q2
Con los dos puntos siguientes y el del punto de funcionamiento hallamos los
coeficientes de la curva motora:
Q=0
[m3/s] ;
H = 220
[m C.A.]
Q = 1,5
[m3/s] ;
H=0
[m C.A.]
⇒
Hm = 220 – 49,56 · Q – 64,73 · Q2
2º caso (con grupo en paralelo)
Hm = 220 – 49,56 · Q / 2 – 64,73 · Q2 / 4 = 220 – 24,78 · Q – 16,18 · Q2
HR = 150 + 52,88 · Q2
Con 2 bombas en paralelo el nuevo punto de funcionamiento para v = 5 [m/s];:
Q´ = v´ · S = 5 · π · 0,52 / 4 = 0,9817 [m3/s]
La curva resistente no ha variado, por lo que,
H´ = 150 + 52,88 ⋅ 0,98172= 200,97 [m C.A.].
Deberemos modificar la velocidad de rotación de las bombas:
Hm = 220· (N´ / 600 )2 – 24,78 · Q´ · (N´/ 600 ) – 16,18 · Q´2
Sustituyendo en la curva motora por los valores del punto de funcionamiento deseado se
obtiene:
N´ = 629,38 [r.p.m.]
5)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 209
EJERCICIO 3.19.
Respuesta 1
NPSH r = 1,8 [m C.A.]
NPSH d = H b − H v − H S = 10,33 − 0,2 − H a
Igualando, estrictamente:
1,8 = 10,33 − 0,2 − H a ⇒ H a = 8,33 [m]
Se modifica la instalación, suponiendo que se le añade 0,5 [m] de margen de seguridad,
de manera que H a = 7,83 [m].
Respuesta 2
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 210
Con el valor del caudal establecido Q = 190 [L/min] = 11,4 [m3/h] se plantea Bernoulli
entre 1 y 2:
P1 v12
P2
v22
+
+ z + hB =
+
+ z 2 + hR1−2
γ 2⋅ g 1
γ
2⋅ g
Y haciendo las simplificaciones pertinentes:
hB = 58 + hR1− 2 = H > 58 [m C.A.]
0,19
PH = γ ⋅ Q ⋅ H = 9810 ⋅
⋅H
60
Para 1 etapa:
PH 1 = γ ⋅ Q ⋅ H = 9810 ⋅
PH 1
0,19
⋅10 = 310,65 [W]
60
310,65
= 443,79 [W] Æ PM 1 = 0,444 [kW]
0,7
η
PM 1 = 0,45 [kW]
P
443,79
= 522,1 [W] Æ Pabs1 = 0,552 [kW]
Pabs1 = M 1 =
0,85
η mot
PM 1 =
=
y
en
la
Para todas las etapas:
n (etapas)
Hm [m C.A.]
5
6
7
8
50
60
70
80
PH [kW]
1,804
2,175
2,485
PM [kW]
Pabs [kW]
No vale
2,663
3,133
3,107
3,655
3,550
4,177
Tras observar los resultados se elegiría el caso de 6 rodetes.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
 kWh 
e 3 
 m 
0,275
0,321
0,366
gráfica
es
Ejercicios resueltos - 211
EJERCICIO 3.20.
Respuesta 1
En primer lugar se establece la expresión de la curva resistente para las condiciones de
funcionamiento. Se tiene la expresión de la pérdida de carga, ya conocida:
L c2
∆e = f ⋅ ⋅
D 2
[J/kg]
donde:
c=
Q
0,05556
=
= 1,768
A 0,0314159
Re =
[m/s]
c⋅D
0,3536
=
= 632
υ vc
559 ⋅ 10 −6
!!!
[-]
El flujo se encuentra en condiciones de régimen laminar. En el ábaco de Moody, se
tiene f = 0,1012 [-], aunque también es posible la solución exacta, ya que en régimen
laminar:
f=
64
= 0,1012
Re
[-], resultando:
∆e = 0,1012 ⋅
100 1,768 2
⋅
= 79,08
0, 2
2
[J/kg]
Expresando ahora la relación entre pérdida de carga (energía) en función del caudal se
debe tener en cuenta que la función es lineal y no cuadrática. Efectivamente,
sustituyendo por sus valores respectivos se tiene:
∆e =
64 L c 2
⋅ ⋅
Re D 2
[J/kg]
∆e =
128 ⋅ ν ⋅ L
⋅ Q = 1423,5 ⋅ Q
π ⋅ D4
[J/kg]
[J.s.kg-1.m-3]
K = 1423,5
La curva resistente tendrá por expresión:
E r = g ⋅ ∆z + ∆e = 9,81 ⋅ 50 + 1423,5 ⋅ Q
[J/kg]
Para el caudal especificado, el punto en la curva resistente coincidiría o sería del orden
de magnitud del punto en la curva característica de la bomba (aún por definir).
E r = 569,58 [J/kg]
Q = 0,05556 [m3/s]
Teniendo ya, aproximadamente, el punto de funcionamiento objetivo (líquido viscoso),
se plasman en la Tabla 3.20.1, las expresiones que corresponderán al punto de
funcionamiento en el catálogo de bombas (agua fría).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 212
Magnitud
Caudal
Unidad
[m3/s]
Resina de pino [1]
Q vc = 0,05556
Energía
[J/kg]
E vc = 569,58
Altura impulsión
[m C.L.]
H vc = 58,061
Altura impulsión
[m C.A.]
H vc = 61,487
Densidad
[kg/m3]
ρ vc = 1059
ρ w = 1000
[3]
Viscosidad
[m2/s]
ν vc = 559 ⋅ 10 −6
ν w = 1 ⋅ 10 −6
[4]
Agua fría
Q w = Q vc c Q
H w = H vc c H
[2]
[1] a 37,8 [ºC]
[2] a modo de información
[3], [4] Datos del fabricante (catálogo)
Tabla 3.20.1
Para ello bastará con determinar las correcciones a realizar en las magnitudes H y Q,
respectivamente cH y cQ. Dichas correcciones se calculan empleando el ábaco HI, de
permuta de agua a líquidos viscosos.
La utilización normal del ábaco es a la inversa, es decir, se entra con los datos del
agua (H y Q) y se calculan los coeficientes en función de las propiedades del líquido
viscoso. Obviamente cuanta más diferencia haya entre ambos más diferirán los
caudales y alturas entre líquidos. Por tanto el primer resultado que se obtendría sería
aproximado y habría que proceder a una iteración. No obstante la diferencia de
resultados entre una doble ó triple iteración y un cálculo en una sola etapa como el que
se efectúa en este texto, es pequeña.
En la Figura 3.20.1, se determina:
= 0,92
= 0,90
= 0,88
= 0,83
= 0,87
[-]
[-]
[-]
[-]
[-]
c η = 0,50
[-]
cH
cH
cH
cH
cQ
para
para
para
para
Q = 0,60 ⋅ Q ∧
Q = 0,80 ⋅ Q ∧
Q = Q∧
Q = 1,20 ⋅ Q ∧
Con lo que se puede confeccionar la Tabla 3.20.2:
Magnitud
Caudal
Unidad
[m3/h]
Resina de pino
Q vc = 200,0
Agua fría
Q w = 229,89
Energía
[J/kg]
E vc = 569,58
E w = 647,25
Altura impulsión
[m C.L.] H vc = 58,061
Tabla 3.20.2
H w = 65,979
Recurriendo al catálogo para bombas a 2900 [r.p.m.], se preseleccionan tres bombas que
puede cumplir con el punto de funcionamiento calculado (ver Figuras 3.20.2 y 3.20.3):
9 Bomba 80-250.bF, entre curvas de 240 y 230 [mm] de diámetro, con rendimiento
η = 78 [%].
9 Bomba 80-250.aF, curva de 251 [mm] de diámetro (prácticamente), con rendimiento
η = 70 [%].
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 213
9 Bomba 100-250.bF, entre curvas de 236 y 226 [mm] de diámetro, con rendimiento
η = 77,75 [%].
Figura 3.20.1. Ábaco de corrección
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 214
Figura 3.20.2. Curvas características de bombas preseleccionadas y rechazadas con el
punto de funcionamiento en agua fría
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 215
Figura 3.20.3. Curvas características de la bomba seleccionada con el punto de
funcionamiento en agua fría
De las tres bombas candidatas, se desecha en primera instancia la 80-250.aF, por ser su
rendimiento en el punto de servicio sensiblemente inferior al resto (del orden de un
8 [%]). Las dos bombas restantes tienen sus pros y contras, aunque se puede considerar
prácticamente igual el rendimiento de ambas:
‰
La 80-250.bF será algo más barata pero se saturará un poco antes (llegará a un
menor caudal) y su curva de NPSHr es más desfavorable (en el punto de diseño se
sitúa entre 5,5 y 6 [m C.A]).
‰
La 100-250.bF tendrá un coste algo superior, pero alcanzará un mayor caudal y su
NPSHr será más favorable: del orden de 3,5 [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 216
Quede claro que las hipotéticas ventajas lo serán siempre y cuando existan exigencias
en dicho sentido (no expresadas en el enunciado). En caso contrario, se puede afirmar
que las dos bombas serían indistinguibles salvo en el coste de las mismas con ventaja
para la 80-250.bF.
El asunto del NPSHr no se cerraría considerando el valor indicado por el fabricante,
pues pueden existir efectos de escala (en sentido positivo ó negativo) debido al cambio
del líquido de trasiego. Estos efectos de escala estarán relacionados con el contenido
en aire del líquido y sobre todo con la nucleación (gérmenes) del líquido, como se
comenta en el capítulo 19.
Elección para continuar el problema: entre curvas 236 y 226 [mm] de diámetro
de la bomba 100-250.bF a 2970 [r.p.m.]
Respuesta 2
Aplicando las “seudo-leyes de semejanza” empleadas en el recorte en el diámetro de
impulsión, para bombas centrífugas, se tendrá:
H D
= 
H'  D' 
2
y
Q D
= 
Q'  D' 
2
[-]
El método para determinar el diámetro que se ajusta al punto de funcionamiento es, en
el presente caso, meramente gráfico. Para ello se traza el lugar geométrico de los puntos
“homólogos”, es decir aquellos que satisface las expresiones de aquí arriba (una recta):
ver Figura 3.20.4. Se determinan a continuación los valores de H y Q en las curvas de
diámetro conocido (para mayor certeza y detectar posibles errores se verifican tanto en
relación de caudales como de alturas y tanto para la Ø236, como la Ø226). Se tienen los
valores que se consignan en la Tabla 3.20.3.
Punto de funcionamiento objetivo:
Q’= 229,89 [m3/h]; H’= 65,979 [m C.A.]
D2 [mm] H [m C.A.]
Original curva
236
67,286
D’2 según
233,70
Original curva
226
61,282
D’2 según
234,50
Media D’2
234,1
Q [m3/h]
235,60
233,12
213,40
234,57
233,85
Media D’2 [mm]
233,41
234,54
233,99
Tabla 3.20.3
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 217
Este método permite para bombas del tamaño del problema, poder afirmar que las
diferencias en diámetro deben ser inferiores, para valores extremos a 2 [mm] y en las
medias a 1 [mm].
El diámetro de rodete después de cilindrado deberá ser de 234,00 [mm].
Respuesta 3
En principio se deberían recalcular todos los coeficientes correctores adaptados a la
nueva realidad. Es decir, una vez definida la bomba y estimados el caudal y la altura en
el óptimo para agua, se debería entrar de nuevo en el ábaco de corrección, obteniendo
nuevos valores (esta forma de proceder conducirá, en general a coeficientes algo
mayores, luego a menores correcciones). Sin embargo, a nivel docente se considera
suficiente con la metodología seguida, considerando siempre los coeficientes de
corrección obtenidos inicialmente.
Otra cuestión que se puede plantear es que el óptimo de la máquina (refiriéndose
siempre a la curva H-Q actual) no coincida con el punto de diseño (tal hubiera sido el
caso, por ejemplo, si la elección hubiera recaído en la bomba 80-250.b). En general
esta diferencia repercutiría sobre el valor de los coeficientes ya que se debería entrar,
de nuevo, en el ábaco de corrección. Se recomienda dejar los coeficientes de corrección
como están siempre que las diferencias entre el caudal de diseño y el caudal en el
óptimo sean inferiores a un cierto valor. Orientativamente este valor se fija en el
15 [%].
En el caso presente no existe el problema citado en el párrafo anterior ya que el punto
de diseño se sitúa en el óptimo de la curva H-Q nueva.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 218
Figura 3.20.4. Lugar geométrico de puntos homólogos para diferentes diámetros
(seudo ley de semejanza del recorte de rodetes), aplicado al caso del problema.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 219
Figura 3.20.5. Construcción gráfica de la curva característica para D2e = 234 [mm].
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 220
Queda pendiente, por último, antes de completar la tabla de valores 41.2, definir
completa ó parcialmente la curva H-Q para el nuevo diámetro, 234 [mm]. Esto se
realiza aproximadamente, de modo gráfico, fijando los caudales numéricamente
(porcentajes del de diseño) y guardando proporcionalidad con las curvas anterior y
posterior (ver Figura 3.20.5). Completando ahora la Tabla 3.20.2, para todos los puntos
de funcionamiento se tiene la Tabla 3.20.4 y se realiza la Figura 3.20.6:
Magnitud
Caudal
[m3/h]
Altura
impuls.
[m C.L.]
Energía
específica
[J/kg]
Rendimiento
[%]
Potencia
mecánica
[kW]
Resina de pino (vc)
Agua fría (w)
0,6 ⋅ Qdis 0,8 ⋅ Qdis 1,0 ⋅ Qdis 1,2 ⋅ Qdis 0,6 ⋅ Qdis 0,8 ⋅ Qdis 1,0 ⋅ Qdis 1,2 ⋅ Qdis
120,0
160,0
200,0
240,0
137,93
183,91
229,89
275,87
67,160
63,000
58,061
49,029
73,000
70,000
65,979
59,071
658,84
618,03
569,58
480,97
716,13
686,70
647,25
579,49
34,0
38,0
38,9
37,6
68,0
76,0
77,80
75,2 *
68,403
76,582
86,145
90,310
40,350
46,159
53,127
59,051
Tabla 3.20.4
Notas a la Tabla 3.20.4 y a la gráfica de la Figura 3.20.6.
1. Los valores para agua (curvas H-Q y η –Q) se han obtenido confeccionando la
gráfica en el catálogo.
2. Los valores para agua de la curva (P-Q) se pueden obtener de las curvas ó bien (más
preciso) a partir de la potencia hidráulica y los datos obtenidos gráficamente (nota
1), es decir:
Pm w =
Ph ρ w ⋅ Q w ⋅ g ⋅ H w
=
ηw
ηw
[W]
3. Los valores para la resina de pino (curvas H-Q y η –Q) se obtienen a partir de los
correspondientes para agua y de los coeficientes de corrección aplicables en cada
caso.
4. Los valores para la resina de pino de la curva (P-Q) se recomienda obtenerlos a
partir de la expresión:
Pm vc =
ρ ⋅Q ⋅E
Ph
= vc vc vc
η vc
η vc
[W]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 221
Respuesta 4
Se deberán considerar dos posibles acciones:
1. Vigilar bien la robustez del eje, seguramente requerirá de un sobredimensionamiento del árbol. Ahora la potencia aumenta sensiblemente frente al
funcionamiento con agua, al ser la velocidad de rotación igual, el eje estará
sometido a solicitaciones superiores, pudiendo sobrepasar la tensión admisible para
dimensionado estándar.
2. Intentar reducir la viscosidad del líquido es una opción interesante. Por ejemplo, en
casi todas las plantas químicas disponen de vapor de agua para diversos procesos.
En el caso de la resina de pino, la viscosidad baja bastante, desde 559 [cSt] a
108 [cSt] cuando la temperatura se eleva a 55,6 [ºC]. Este asunto se debe abordar en
la respuesta nº5, a desarrollar por el alumno.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 222
Figura 3.20.6. Curvas características corregidas para el líquido de proceso
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 223
EJERCICIO 3.21.
1)
Punto de funcionamiento, 5º aspersor:
E5 = E5B – ∑hf 5B-5
punto 5
p5 / γ + z5 + v52 / (2·g) = p5b / γ + z5b + v5b2 / (2·g) – ∑hf 5-5b
24,66 = v52 / (2·g) + 4
⇒
v5 = 20,13 [m/s]
punto 5b
Tomando la superficie libre de la acequia como referencia (o):
E5b = E0 – ∑hf 0-5b
p5b / γ + z5b + v5b2 / (2·g) + H = p0 / γ + z0 + v02 / (2·g) – ∑hf 0-5b
24,66 + 3 + H = – (2,05 + 0,45)
⇒
H = 30,16 [m C.A.]
De forma análoga para el resto de puntos:
distancia
Bernoulli
0-1
0-2
0-3
0-4
0-5
2)
pérdidas tubería
[m]
0
12
52
92
132
resto pérdidas
[m C.A.]
0
0,36
1,30
1,86
2,05
4,45
4,45
4,45
4,45
4,45
v
salida
[m/s]
21,11
20,94
20,50
20,23
20,13
Q
salida
[m3/h]
1,423
1,430
1,449
1,480
1,492
Presión a la salida de la manguera:
Em = E0 – ∑hf 0-m
pm / γ + zm + vm2 / (2·g) + H = p0 / γ + z0 + v02 / (2·g) – ∑hf 0-m
pm / γ = 30,16 – 2 = 28,16 [m C.A.] ⇒
3)
pm = 276,25 [Pa]
Las curvas características a 2900 [r.p.m.] y para diámetro 125 [mm]:
H = 71,01 – 0,3501 · Q2
η = 0,148 · Q – 0,011412 · Q2
Para obtener las curvas características a cualquier velocidad y para cualquier recorte de
diámetro (siendo λ = Doriginal/Drecortado):
H/H’ = λ2
H/H’= (N/N’)2
Q/Q’ = λ2
Operando:
H = 71,01 · N2/ (29002 · λ2) – 0,3501 · λ2 · Q2
η = 0,148 ·2900· λ2 · Q / N – 0,011412 · Q2 · λ4 · 29002 / N2
La bomba trabaja en el siguiente punto de funcionamiento:
H = 30,16 [m C.A.] y
Q = ∑ Qi = 7,274 [m3/h]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
(Q/Q’) = N/N’
Ejercicios resueltos - 224
Por lo tanto:
30,16 = 71,01 · N2/ (29002 · λ2) – 0,3501 · λ2 · 7,2742
η = 0,148 ·2900· λ2 · 7,274 / N – 0,011412 · 7,2742 · λ4 · 29002 / N2
Operando para cada recorte:
diámetro [mm]
125
120
115
110
λ [-]
1
1,04
1,09
1,14
N [r.p.m.]
2401,22
2541,43
2698,63
2875,92
η [-]
0,4195
0,4073
0,3935
0,3780
Con criterio de rendimiento máximo se elegirá el diámetro original de 125 [mm] con un
rendimiento de 0,4195 [-] girando a 2401,22 [r.p.m.] para obtener el punto de
funcionamiento correspondiente a H = 30,16 [m C.A.] y Q = 7,274 [m3/h].
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 225
EJERCICIO 3.22.
Respuesta a)
Para encontrar los puntos de funcionamiento de las bombas B1 y B2 y los caudales
circulantes por cada tramo se plantean las ecuaciones de Bernoulli entre la superficie
libre del depósito 1 y el 3 y entre la superficie libre del depósito 2 y el 3:
v32
p
v12
p1
z1 +
+ + hB1 = z 3 +
+ 3 + hR13
2⋅ g γ
2⋅ g γ
z2 +
[m C.A.]
v2
p
v22
p
+ 2 + hB 2 = z 3 + 3 + 3 + hR 23
2⋅ g γ
2⋅ g γ
[m C.A.]
Dado que se conocen las diferencias de cotas y las constantes de pérdidas de carga de
cada tramo, se tiene que:
2
hB1 = 30 + 7 ⋅10 −5 ⋅ QI2 + 9 ⋅10 −5 ⋅ QIII
[m C.A.]
(1)
2
hB 2 = 80 + 7 ⋅10 −5 ⋅ QII2 + 9 ⋅10 −5 ⋅ QIII
[m C.A.]
(2)
Por otra parte, se cumple que:
QI + QII = QIII
[
(3)
Si las bombas son de TIPO A se conoce la curva característica correspondiente, de
manera que:
hB1 = 35,187 − 0,000916 ⋅ QI2
[m C.A.]
(4)
hB 2 = 35,187 − 0,000916 ⋅ QII2
[m C.A.]
(5)
Se tiene un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas: hB1, hB2, QI, QII y QIII
Y si las bombas son de TIPO B las ecuaciones (4) y (5) varían, tal que:
hB1 = 90,78 − 0,01374 ⋅ QI2
[m C.A.]
(4)
hB 2 = 90,78 − 0,01374 ⋅ QII2
[m C.A.]
(5)
Resolviendo ambos sistemas, se tiene que:
TIPO A
TIPO B
[m3/h]
QII
90,83
191,27
QI
57,12
182,69
QIII
147,95
373,96
[m C.A.]
hB1
hB2
32,20
27,63
44,92
40,51
η1
64,37
68,92
[%]
η2
77,49
63,81
Nota.- los rendimientos se han obtenido sustituyendo los caudales resultantes (QI, QII)
en las curvas características correspondientes:
TIPO A:
η = 0,01591 ⋅ Q – 0,00008124 ⋅ Q2
[-]
TIPO B:
η = 0,013068 ⋅ Q – 0,00005088 ⋅ Q2
[-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 226
Respuesta b)
Para seleccionar los motores adecuados se debe calcular inicialmente la potencia
mecánica demandada al motor para cada bomba:
Pm1 =
9810 ⋅ Q1 ⋅ H1
Pm 2 =
[W]
η1
9810 ⋅ Q2 ⋅ H 2
[W]
η2
Si el valor obtenido en cada caso es mayor que 10 [kW] se sobredimensiona un 10 [%]
y, a continuación, se elige el motor inmediatamente superior de la tabla. Si el valor
obtenido para la potencia mecánica es menor que 10 [kW] se procede de forma análoga
pero sobredimensionando un 20 [%]. Operando se tiene que:
[W]
Pm1
7786
32447
TIPO A
TIPO B
[-]
factor
1,20
1,10
[W]
Pm1´
9344
35691
[W]
Pm2
8825
33089
motor
11 [kW]
37 [kW]
[-]
factor
1,20
1,10
[W]
Pm2´
10590
36398
motor
11 [kW]
37 [kW]
Respuesta c)
Para calcular las potencias eléctricas consumidas se debe conocer la potencia mecánica
y el rendimiento del motor en cada caso:
Pe1 =
Pm1
ηM1
Pe 2 =
[W]
Pm 2
ηM 2
[W]
Las potencias mecánicas se han calculado en el apartado anterior (Pm1, Pm2). Los
rendimientos de los motores se obtienen por interpolación de los valores proporcionados
en la tabla. Para ello se calcula el factor de carga de cada uno de los motores en los
puntos de funcionamiento correspondientes:
F .C.1 =
Pm1
Pmotor 1
F .C.2 =
[-]
Pm 2
Pmotor 2
[-]
Operando:
TIPO A
TIPO B
[-]
F.C.1
0,7078
0,8770
[%]
ηM1
84,66
88,51
[W]
Pe1
9196,80
36660,08
[-]
F.C.2
0,8023
0,8943
[%]
[W]
Pe2
ηM2
85,21 10357,25
88,58 37356,44
Para calcular las horas de funcionamiento diarias se divide el volumen objetivo de la
instalación, 3000 [m3], entre el caudal que abastece al depósito superior (tramo III).
Operando:
[m3]
V
TIPO A
TIPO B
3000
[m3/h]
QIII
147,95
373,96
[h/día]
n
20,28
8,02
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 227
Respuesta d)
Para calcular el equivalente energético de la instalación en cada caso se calcula en
primer lugar la potencia eléctrica total consumida:
Pe = Pe1 + Pe 2
[W]
El valor obtenido dividido entre el caudal que abastece al depósito superior (tramo III)
indicará la energía consumida por cada unidad de volumen bombeada al depósito
superior. Operando:
TIPO A
TIPO B
[kW]
Pe1
9,20
36,66
[kW]
Pe2
10,36
37,36
[kW]
Pe
19,56
74,02
[m3/h]
QIII
147,95
373,96
[kW-h/ m3]
e
0,132
0,198
Respuesta d)
En este caso las bombas de TIPO A resultan más baratas (1510 [€]< 6200 [€]) y, a su
vez, más eficientes (0,132 [kW-h/ m3] < 0,198 [kW-h/ m3]).
⇒
se eligen bombas TIPO A
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 228
EJERCICIO 3.23.
Pozo Iturrieta:
z1 = – 50 [m] y
Q1 = 100 [L/s] (Bomba 1)
Pozo Amantegi:
z2 = – 50 [m] y
Q2 = 190 [L/s] (Bomba 2)
Qtot = 290 [L/s]; D1 = 0,25 [m] y D2 = 0,4 [m]
∆H = LQ 2 ⋅10 (15, 784116−5, 2429092 log D )
siendo
∆H: pérdida de carga [m C.A.];
L ≡ longitud [km];
Q ≡ caudal [m3/s],
D ≡ diámetro [mm]
H = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q2
η = G ⋅ Q + H ⋅ Q2
Planteando la ecuación de la energía entre los dos pozos y la entrada a depuradora
(punto 3):
H 1 + H B1 (Q = 0,1) − ∑ h f 1 − ∑ h f 2 = H 3 (1)
H 2 + H B 2 (Q = 0,19) − ∑ hf 2 = H 3
Siendo,
(2)
H1= – 50 [m]; H2 = – 50 [m]
H3 = 19,3 + c32/2g (en conducciones de suministro de agua con velocidades típicas del
orden de 1 [m/s] se puede considerar el término cinético despreciable) por lo que:
H3 ≈ 19,3 [m C.A.]
Por su parte, las pérdidas se pueden calcular a partir de la expresión empírica de
pérdidas:
Σhf1= Σhf1(Q = 0,1, L = 0,85, D = 0,25)
Σhf2= Σhf2(Q = 0,29, L = 0,842, D = 0,29)
En el sistema de ecuaciones (1)-(2) hay dos ecuaciones con dos incógnitas, que son las
alturas manométricas de la bomba B1 y B2 cuando impulsan respectivamente
Q1 = 0,1 [m3/s] y Q2 = 0,19 [m3/s] que resuelto da:
HB1(Q1 = 0,1 [m3/s]) = 92,96 [m C.A.]
HB2 (Q2 = 0,19 [m3/s]) = 79,11 [m C.A.]
Definidos caudal y altura de cada bomba se trata de buscar la combinación de
1) Tipo de bomba (rodetes tipo N - L -G -A)
2) Número de etapas del rodete (hasta un máximo de 4)
3) Velocidad de giro (O2950 [r.p.m.])
que dé el mejor rendimiento para cada bomba trabajando en los puntos de
funcionamiento para B1 y B2 identificados más arriba.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 229
En primer lugar, se calculará a partir de la tabla 3.23, los puntos de las curvas η-Q
correspondientes a una etapa de los distintos rodetes a 2950 [r.p.m.].
CAUDAL ALTURA 1- ALTURA 1- ALTURA 1- ALTURA 1Q
N
L
G
A
[L/s]
[m C.A.]
[m C.A.]
[m C.A.]
[m C.A.]
117
28
33
39
45
133
25
31
37
42
167
21
27
32
38
183
16
23
29
35
200
11
18
25
31
CAUDAL
Pot. eje 1-N Pot. eje 1-L Pot. eje 1-G Pot. eje 1-A
Q
[L/s]
[kW]
[kW]
[kW]
[kW]
117
46
56
68
78
133
47
57
69
80
167
46
60
72
85
183
45
58
72
86
200
39
55
70
85
CAUDAL
REND. 1-N REND. 1-L REND. 1-G REND. 1-A
Q
[L/s]
[%]
[%]
[%]
[%]
117
69,79
67,57
65,76
66,15
133
69,33
70,89
69,89
68,43
167
74,71
73,65
72,74
73,17
183
63,77
71,12
72,23
72,99
200
55,28
64,15
70,00
71,48
Tabla 3.23.2
Ajustando por mínimos cuadrados las curvas de H-Q y η-Q a las expresiones genéricas:
H = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q2
η = G ⋅ Q + H ⋅ Q2
Los coeficientes resultan ser según tabla 3.23.3:
COEFICIENTES A 2950 [r,p,m.] y 1 RODETE
A
B
C
1,38E+01 3,00E-01
–1,57E-03
H-N
1,46E+01 3,46E-01
–1,64E-03
H-L
3,84E+01
1,04E-01
–8,54E-04
H-G
4,72E+01 5,86E-02
–6,91E-04
H-A
G
H
1,05E-02
–3,80E-05
η-N
9,47E-03
–3,09E-05
η-L
8,66E-03
–2,58E-05
η-G
8,45E-03
–2,44E-05
η-A
Tabla 3.23.3
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 230
Conocidas las curvas H (Q) y η (Q) a 2950 [r.p.m.] y una etapa se pueden calcular las
curvas a cualquier velocidad genérica N y número de etapas Ns para los 4 tipos de
rodete N-L-G-A
H = H(Q, N, Ns)
y
η (Q)= η (Q, N, Ns))
Se trata de buscar los valores combinados de N y Ns que permitan trabajar en los puntos
de funcionamiento identificados para B1 y B2.
HB1 (Q1 = 0,1 [m3/s]) = 92,96 [m C.A.]
HB2 (Q2 = 0,19 [m3/s]) = 79,11 [m C.A.]
Los resultados pueden verse en la tabla 3.23.4:
TIPO
N
L
G
A
N
L
G
A
N
L
G
A
N
L
G
A
BOMBA 1
BOMBA 2
1 RODETE
N [r,p,m,] η [-] N [r,p,m,] η [-]
5665,72
0,44
4982,05
0,70
5297,43
0,43
4606,69
0,70
4412,14
0,46
4288,46
0,69
4112,66
0,48
4046,96
0,70
2 RODETES
3825,31
0,58
3793,13
0,72
3551,74
0,69
3506,67
0,72
3153,30
0,63
3305,09
0,73
2960,32
0,60
3119,03
0,73
3 RODETES
3093,34
0,65
3363,62
0,69
2864,18
0,65
3112,44
0,70
2619,21
0,65
2919,35
0,71
2467,11
0,66
2748,53
0,71
4 RODETES
2693,35
0,69
3141,36
0,66
2490,84
0,69
2909,22
0,68
2313,02
0,69
2710,43
0,69
2545,55
0,68
2182,25
0,70
Tabla 3.23.4
De todas las soluciones, la que simultáneamente cumple la condición de mejor
rendimiento a N < 2950 [r.p.m.] es:
1. Para la bomba 1, una tipo A con 4 rodetes con rendimiento 0,70 [-] y
N = 2182,25 [r.p.m.].
2. Para la bomba 2, cabría una de 3 etapas bien tipo G (N = 2919,35 [r.p.m.]) o
bien tipo A (N = 2748,53 [r.p.m.]) con prácticamente el mismo rendimiento de
0,71 [-].
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 231
EJERCICIO 3.24.
Comentarios previos:
™ Al no indicar ningún dato en sentido contrario, se asume que la curva de NPSHr de la
máquina corresponde a la definición más habitual, es decir, NPSH3%, o pérdida de
altura de impulsión del 3 [%]
™ La curva de NPSHr que indica el fabricante ha sido obtenida de modo experimental.
™ Se supone que el rodete es de función gris o nodular y no de otros materiales (aceros
inoxidables, por ejemplo).
Respuesta 1
El punto de óptimo rendimiento de la bomba tiene por valores característicos:
H ∧ = 52,8
Q ∧ = 0,3264 [m3/s]
[m C.A.]
nq ∧ = 43,32
NPSH r ∧ = 9,25 [m C.A.]
Q ∧ = 1175
[m3/h]
S^ = 160
[*]
[*]
σ 3% = 0,1752 [-]
(Ábacos, pag. 20)
Además se ha previsto trabajar a caudales diferentes, por lo que también se deberán tener
en cuenta:
H max = 45,5 [m C.A.]
Q max = 1400 [m3/h] NPSH max = 11,9
H min = 58,2
Q min = 800
[m C.A.]
[m3/h] NPSH min = 6,5
[m C.A.]
[m C.A.]
El fabricante propone determinar la cota de implantación de la máquina considerando una
cobertura de seguridad de 0,5 [m] en el NPSHd sobre el NPSHr.
Valor a adoptar según el fabricante.
Los NPSHd para los tres puntos principales de funcionamiento serán como mínimo, según
el fabricante (con margen de seguridad constante de 0,5 [m C.A.]):
Q max = 1400 [m3/h]
NPSH d _ max = 11,9 + 0,5 = 12,4
[m C.A.]
Q min = 800
[m3/h]
NPSH d _ min = 6,5 + 0,5 = 7,0 [m C.A.]
Q ^ = 1175
[m3/h]
NPSH d _^ = 9,25 + 0,5 = 9,75 [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 232
Valor a adoptar según estadísticas diversas de bombas industriales.
Se determinan los valores para bombas industriales que postulan diversos autores (ver pág.
41 ábacos). Las estadísticas se refieren a NPSHd = σd H ∧
σd =c nq ∧ d
nq ∧ d =43,32
Autor
c
[-]
Von Widdern 0,001203
Wislicenus
0,001034
Graeser (*)
0,001308
Rütschi
0,001195
Stépanoff
0,001224
(*) para bombas industriales
d
[-]
4/3
4/3
4/3
4/3
4/3
σd
[-]
0,1830
0,1573
0,1990
0,1818
0,1862
NPSHd
[m C.A.]
9,664
8,306
10,507
9,600
9,833
Tabla 3.24.1
Valor a adoptar según estadísticas SULZER y el empleo de su margen de
seguridad
Para aplicar la estadística de Sulzer obtenido (Ábacos, pag. 42) se debe considerar el
ábaco para S00 = 160 (Ábacos, pag. 20), entrando con el caudal en el óptimo, que es de
1175 [m3/h] y la velocidad de 1485 [r.p.m.]: resulta un valor aproximado del NPSH3% en el
óptimo de 9 [m C.A.] similar al del fabricante. Entrando en la curva de márgenes de
seguridad (Ábacos, pag.43), con el valor resultan los siguientes valores de disponible:
M seg = 1,36
[-]
9 ⋅ 1,36 = NPSH d = 12,24
[m C.A.]
M seg = 1,66
[-]
9 ⋅ 1,66 = NPSH d = 14,94
[m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 233
Respuesta 2
Este estudio (riesgo de erosión) se debería realizar con datos de ensayos efectuados en
laboratorio, de modo que se conozca la extensión de las imágenes de cavitación en los
álabes y se puedan relacionar dichas imágenes con los correspondientes valores de σ. De
modo experimental se tendría entonces el σad (admisible). En el problema presente esta
información no se da, por lo que no se puede establecer de modo fidedigno la cota de
implantación. En el problema 3.25 sí se aporta dicha información.
Valor a adoptar según estadísticas de máquinas hidroeléctricas
Otra posibilidad, en el plano teórico, consiste en analizar la máquina frente a las
estadísticas de Graeser en los ábacos. Se debe tener en cuenta que la máquina del presente
problema es una bomba industrial y la estadística prevista se refiere a máquinas
hidroeléctricas con un diseño y ejecución mucho más cuidados. Además otro factor
importante tiene que ver con la variación de alturas de impulsión que se comportan de
diferente manera en máquinas hidroeléctricas (con un patrón más estrecho) que en bombas
industriales. En primer lugar se determina la velocidad específica científica. Se tiene en el
óptimo:
12
(
Q π)
ν = ω⋅
(2 ⋅ E )3 4
ν ∧ = 0,275
[-]
Se determina ahora el coeficiente de cavitación de Thoma requerido de la máquina según
el fabricante:
σr =
NPSH r ∧
= 0,1752
H∧
[-]
Y a continuación el valor del coeficiente de cavitación, estadístico (a partir de los ábacos)
en el óptimo, que se ajusta a la siguiente expresión:
σ planta = a ⋅ ν b
Se tiene la tabla 3.24.2.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[-]
Ejercicios resueltos - 234
Ábaco página 47
Autor
Ábaco página 48
Guli
Knapp y otros
Vevey
Sulzer
Gerber y otros
Graeser (poco δH)
Graeser (mucho δH)
a
[-]
1,05
0,597
0,689
0,641
1,37
0,819
b
[-]
4/3
4/3
1,20
1,22
4/3
1,23
σpl
[-]
0,188
0,107
0,146
0,133
0,245
0,167
0,200
NPSHpl
[m C.A.]
9,914
5,650
7,728
7,006
12,936
8,837
10,560
Tabla 3.24.2
Graeser en su ábaco para bombas-turbina nº1, curva 6 aporta datos estadísticos únicamente
para el punto de rendimiento óptimo y suponiendo que la variación de altura de impulsión
es inferior al 5 [%] de la del óptimo. La estadística de Guli, tiene un criterio similar, en
tanto que la de Gerber y Sutherland incorporan la variación de altura de impulsión.
Por otro lado, considerando el ábaco de Graeser para bombas-turbina, nº2, correspondiente
a variaciones de altura de impulsión se tiene el último valor de la tabla (empleando la curva
superior del ábaco), ya que, en el caso presente, la variación de altura de impulsión es de:
δ(H ) =
H max − H min
= 0,2415
H∧
[-]
Por tanto, se adopta la curva superior, resultando:
σ pl = 0,200
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[-]
Ejercicios resueltos - 235
Respuesta 3
Instrucciones del fabricante
La cota de implantación de acuerdo a las instrucciones del fabricante (margen de
0,5 [m C.A.]) se define para el punto más desfavorable que corresponde al caudal de
1400 [m3/h], a partir de la conocida expresión:
NPSH d = H b − H v − H s
[m C.A.]
Al no aportarse ningún dato específico, se suponen los siguientes:
™ atmósfera estándar al nivel del mar, es decir: pb = 101 300 [Pa]
™ densidad del agua y presión de vapor del agua a 20 [ºC], en los ábacos:
ρ = 998,2 [kg/m3]
pv = 2339 [Pa]
™ aceleración de la gravedad:
g = 9,81
[m/s2]
Tampoco se aporta ningún dato sobre el circuito hidráulico, por lo que se asume
como nula la pérdida de carga en la aspiración. Se tiene entonces:
12,4 =
101.300 − 2339
− Hs
998,2 ⋅ 9,81
H s = −2,294
[m C.A.]
Lo que comporta una altura de aspiración negativa (bomba a cota inferior al nivel
de aspiración).
Estadísticas: aplicando la misma metodología se determinan las alturas de aspiración
resultantes de considerar cada fórmula, obteniéndose la tabla 3.24.3
Fuente
Fabricante
Von Widdern
Wislicenus
Graeser (*)
Rütschi
Stépanoff
Sulzer, Mseg=1,36
Sulzer, Mseg=1,66
Guli
Gerber y otros
Graeser
NPSHpl
Hs
Criterio
[m C.A.] [m C.A.]
12,4
-2,294 evitar 3%
9,664
+0,442
“
8,306
+1.8
“
10,507
-0,401
“
9,600
+0,506
“
9,833
+0,273
“
12,24
-2,135
“
14,94
-4,834
erosión?
9,914
+0,192
erosión
12,936
-2,830
“
10,560
-0,454
“
δH
Aplicación
elevado
bajo
bajo
“
“
“
elevado
“
bajo
elevado
“
BOMBAS
INDUSTRIALES
Tabla 3.24.3
ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
SULZER
BOMBATURBINA
Ejercicios resueltos - 236
La primera constatación al observar los resultados radica en la gran dispersión de éstos
fruto de las experiencias propias de cada uno, orientadas hacia aplicaciones concretas y
parciales. Los motivos concretos se citan más adelante.
1. Las estadísticas para bombas industriales (al margen de las de Sulzer) presentan
dispersión entre autores pero menos que las de bombas y bombas-turbina (generación
eléctrica).
2. En general casi todas las estadísticas están referidas al punto de diseño, que suele
coincidir, aunque no siempre con el de óptimo rendimiento.
3. Los valores de implantación más elevados corresponden a la estadística y metodología
de Sulzer. Sólo superan al dato aconsejado por el fabricante dicha metodología con
Mseg=1,66 y la estadística de Gerber.
4. Resulta chocante que algunas estadísticas de bombas industriales conduzcan a valores
más conservadores de implantación que algunas de las estadísticas de bombas de
generación eléctrica, a pesar de que, en el plano teórico, el criterio de erosión es más
restrictivo que el de pérdida de prestaciones.
Una explicación para los bajos valores de las estadísticas hidroeléctricas puede ser la
mayor calidad de diseño y fabricación de estos tipos de máquinas, lo que conduce a
menores valores en los coeficientes de cavitación, tipo σs o similares (prestaciones). En
paralelo, el empleo de aceros inoxidables en este tipo de realizaciones es práctica
habitual. Al tratarse de materiales mucho más resistentes es posible bajar el σad
Otro aspecto no tratado, tiene que ver con los criterios de diseño que siga cada fabricante,
para cada aplicación: de este modo resultan muy diferentes velocidades específicas de
aspiración, es decir diferentes NPSHr, dependiendo del ángulo β1 que se elija para la
entrada y del número de álabes. En concreto se recuerdan las cifras citadas en el capítulo
17.4.2:
9 Diseño normal:
NPSH r ⇔
β1 = 17
[º]
S = 174
9 Bombas caldera:
NPSH r ⇑
β1 = 24
[º]
S = 232 ÷ 348 [*]
9 Bombas pequeñas:
NPSH r ⇓
β1 = 14 ÷ 15
[º]
S = 97 ÷ 136 [*]
[*]
Esto supone que el diseñador modifica el NPSHr a voluntad (dentro de un cierto margen)
en función de que desee una máquina más compacta ó más apta para alturas de aspiración
elevadas. Cada fabricante tiene sus propios diseño que pueden variar frente a sus
competidores y también frente a otras gamas de su propio producto, modificando los
ángulos de los álabes a la entrada. Pero……
…desde el punto de vista análisis, supone que, para poder comparar una máquina dada
con estadísticas se debería tener en cuenta la banda de velocidades específicas de
aspiración tanto de éstas como de la propia.
Además, en el caso de la bomba actual, se tiene una velocidad específica de aspiración
baja (S=160), para rodete simple (simple aspiración). Se ha comparado con la estadística
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 237
Sulzer para máquinas de doble aspiración con el mismo S. En tanto que la otra estadística
de Sulzer, para rodetes de simple aspiración considera un S=200.
Teniendo en cuneta estas consideraciones y a la vista de los resultados, se pueden
establecer algunas CONCLUSIONES, que para cada caso pueden ser matizables, por lo
que no se puede considerar lo siguiente como una regla, ó serie de reglas, de aplicación fija
y universal.
1. Las estadísticas se deben utilizar como una guía comparativa aproximada. Su
empleo se asume para una velocidad específica de aspiración concreta, por lo que
se debería conocer la aplicación concreta que se ha previsto en cada caso.
2. Por tanto, PREVALECERÁ, de partida la información que facilita el fabricante
(NPSHr), aunque no, en el caso presente su margen de seguridad propuesto, por
estimarse muy escaso tanto frente al riesgo de pérdidas de prestaciones como, con
mayor razón, de erosión
3. No conviene, en principio aplicar las estadísticas de máquinas de generación
eléctrica a bombas industriales.
4. Las estadísticas para bombas industriales se refieren casi exclusivamente al caso
de máquinas trabajando en el óptimo ó muy cerca de él y adoptando el criterio
de evitar la pérdida de prestaciones. Por tanto, no se pueden considerar válidas
para fuertes variaciones en la altura de impulsión y evitar el riesgo de erosión.
De dichas estadísticas se emplearán preferentemente las correspondientes a
Graeser y Stépanoff.
5. Se intuye, por otro lado, que la metodología que aplica Sulzer es la más lógica
por coherente: manejar en primer lugar el dato objetivo (en este caso el NPSHr)
y proponer un coeficiente se seguridad. Por su interés se trata a parte.
6. La implantación que permita garantizar la ausencia de erosión en la bomba sólo
se puede lograr a partir de los ensayos de laboratorio y de haber fijado los
valores admisibles de σ y NPSH. Se recuerda que estos serán función del diseñó
concreto realizado (y de su bondad objetiva) y pero también del criterio que
aplique el experto de cada Empresa fabricante que puede diferir del otros
expertos (subjetividad).
METODOLOGÍA SULZER
Incluso si parece la metodología más fiable, su aplicación plantea ciertos aspectos que
deben ser aclarados:
• La estadística de partida de NPSHr se refiere a dos tipos muy concretos, con
velocidades específicas de aspiración S dadas. Para ser de uso universal haría falta
tener una base de datos con valores de S, comprendidos entre 100 y 350 en
escalones de 25.
• No queda claro en el Hanbook de Sulzer el empleo de las bandas de margen de
seguridad Mseg: se trata de considerar como criterio el de pérdida de prestaciones y
aceptar variaciones de la altura de impulsión del 30%, por ejemplo? Ó bien, se trata
de aplicar el coeficiente inferior par a la pérdida de prestaciones y el superior para
evitar la erosión, pero en ambos casos para puntos de funcionamiento cercanos al
óptimo?
Queda claro, en cualquier caso, que el margen de seguridad adoptado en el caso de la
bomba actual, resulta pequeño para el punto de máximo caudal, si se quiere evitar la
erosión.
Una alternativa novedosa, que se propone aquí consiste en aplicar las curvas Mseg a los
datos concretos de la bomba actual. En concreto, se tendría, para NPSHr=9,25 [m C.A.]:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 238
9 Margen inferior
M seg = 1,4
[-]
NPSH d = 12,95
[m
M seg = 1,7
[-]
NPSH d = 15,725
[m
C.A.]
9 Margen superior
C.A.]
La curva con menor margen se aplicaría a implantaciones con criterio de pérdida de
prestaciones y la curva superior a implantaciones con criterio de evitar la erosión.
No obstante, para valores de NPSHr bajos, los NPSHd resultantes son incluso inferiores a
los que se obtienen con un margen lineal de 0,5 [m C.A.]. Para estos casos parece prudente
aplicar un primer valor de seguridad en función del citado NPSHr. Por ejemplo, se tendría:
9 NPSH 'r = 1 − 3
ℵ =1
NPSH r = 2 − 4
[m C.A.]
9 NPSH 'r = 3,5
ℵ = 0,75
NPSH r = 4,25
[m C.A.]
9 NPSH 'r = 4
ℵ = 0,5
NPSH r = 4,5
[m C.A.]
Con: NPSH 'r valor leído en la gráfica del fabricante y NPSH r valor a mayorar con
Mseg.
Resumen.
Sirva pues, el presente problema para llamar la atención sobre lo complejo de proceder
al diseño de una instalación de bombeo de cierto tamaño, sin llegar a ser un
aprovechamiento hidroeléctrico, sobre todo a la hora de decidir una implantación con
ausencia de erosión. Sin ser una solución definitiva, una variante interesante es la
propuesta aquí arriba.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 239
EJERCICIO 3.25.
Respuesta 1
A partir de los resultados de los ensayos de laboratorio, analizando la gráfica facilitada por
el fabricante, se puede confeccionar una tabla que recoja los NPSH requerido (criterio
pérdida de prestaciones) o admisible (criterio erosión).
H
Q
[m C.A.] [m3/h]
58,5
800
57,5
900
56,5
1000
54,5
1100
52,75
1175
52,25
1200
49,5
1300
45,75
1400
σad
[-]
0,29
0,245
0,21
0,199
0,195
0,200
0,240
0,31
NPSHad
[m C.A.]
16,97
14,09
11,87
10,85
10,29
10,45
11,88
14,18
σ3%
[-]
0,111
0,122
0,137
0,156
0,175
0,182
0,212
0,260
NPSH3%
[m C.A.]
6,5
7,0
7,75
8,5
9,25
9,50
10,5
11,9
Tabla 3.25.1
Como se puede apreciar la columna de NPSH3% coincide con los datos de la gráfica de las
curvas características de la bomba (en el problema 3.24).
A partir de la tabla 3.25.1 se observa que los puntos más peligrosos, son
™ Para el criterio de erosión el de caudal 800 [m3/h]
™ Para el criterio de pérdidas de prestaciones, el de caudal 1400 [m3/h]
Para cada uno de ellos, se debe cumplir, respectivamente, que:
NPSH planta ≥ NPSH ad
NPSH d ≥ NPSH r
[m C.A.]
En el primer caso, se tiene:
NPSH planta = H b − H v − H s
[m C.A.]
Aplicando las mismas premisas que en el problema anterior, respecto de presión
barométrica, densidad, presión de vapor y aceleración de la gravedad, se tiene:
16,97 =
•
•
101.300 − 2339
− H s = 10,106 − H s
998,2 ⋅ 9,81
Criterio erosión:
Criterio pérdidas de prestaciones:
H s ≤ −6,864
ver problema 3.24
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[m C.A.]
[m C.A.]
[m C.A.]
Ejercicios resueltos - 240
Notas a los resultados:
1. La sumergencia mayor (más profunda implantación de la máquina) se requiere en
el caso de aplicar el criterio de protección frente a la erosión. Los valores de
NPSH en este caso son del orden del doble de los necesarios al aplicar el criterio
de evitar la pérdida de prestaciones, pero en general, no hay regla fija, pudiendo
llegarse a valores cuádruples.
2. El punto más peligroso al aplicar el criterio de erosión ha resultado el de menor
caudal, pero bien puede producirse en el de caudal máximo, ya que, en general, el
rango de funcionamiento (margen de caudales) juega un importante papel.
3. El punto más peligroso al aplicar el criterio de pérdida de prestaciones es siempre
el de caudal máximo.
Respuesta 2
La elección de la cota de implantación de una bomba no es una cuestión sencilla pues
interviene múltiples factores. Simplificando los aspectos positivos y negativos, se tiene, en
general:
1. Para una máquina concreta, una implantación más profunda es casi siempre una
solución más cara (excavación de obra civil, etc.).
2. Para la misma máquina, una implantación elevada supondrá un riesgo de erosión
mayor.
3. En cualquier caso no se puede admitir un funcionamiento con pérdida de
prestaciones
4. En los casos en que una implantación más profunda no suponga un coste adicional,
sin dudar se debe optar por ello.
Si se aplica el criterio de evitar la erosión en la bomba, se debe realizar los siguientes
comentarios:
1. No existe una fórmula mágica para determinar el valor de σ o NPSHplanta a partir
del valor correspondiente de NPSH3%; el único método válido consiste en conocer
previamente, mediante ensayos en modelo, la curva de σad en función del caudal
como en el caso del presente problema.
2. Empleando por ejemplo el método Sulzer (curva superior), se obtienen en el
presente caso valores cercanos a los de laboratorio pero aún inferiores.
3. El establecimiento de un coeficiente de seguridad tipo margen d e1 o 2 [m C.A.] es
claramente insuficiente frente a la erosión. Basta con revisar la figura 8.91 del libro
de teoría para comprender que con valores superiores de NPSHd, si bien se evita la
pérdida de prestaciones, está muy presente el riesgo de erosión.
4. Se puede observar que la relación coeficientes de cavitación σad / σ3% es del
orden de 4 veces cuando se va a trabajar en cargas parciales (del óptimo a la
izquierda). Como criterio general cuando se opere en sobrecargas (del óptimo a al
derecha), se deberá emplear relaciones de coeficientes de cavitación del orden de
1,5 veces. De todas formas la decisión última dependerá del rango de
funcionamiento.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 241
EJERCICIO 3.26.
BOMBA MODELO
N = 1450 [r.p.m.]
Hm = A + C ⋅ Qm2
[1]
A = 0,078125
C = - 2,9127 ⋅ 10-6
H [m C.A.]; Q [m3/h]
EFECTO CAMBIO VELOCIDAD Y DIAMETRO
Qm ⋅ Nm-1 ⋅ Dm-3 = Qp ⋅ Np-1 ⋅ Dp-3
[2]
Hm ⋅ Nm-2 ⋅ Dm-2 = Hp ⋅ Np-2 ⋅ Dp-2
[3]
Ratio de diámetros modelo/prototipo: Rd = Dm ⋅ Dp-1
Ratio de velocidades modelo/prototipo: Rn = Nm ⋅ Np-1
Sustituyendo en [2] y [3]
Qm = Rn ⋅ Rd 3 ⋅ Qp
[4]
Hm = Rn2 ⋅ Rd 2 ⋅ Hp
[5]
Sustituyendo [4] y [5] en [1]
Hp = (A ⋅ Rn-2 ⋅ Rd-2) + (C ⋅ Rd4) ⋅ Qp2
[6]
+ EFECTO RECORTE
(Sin primas representan situación de la bomba con diámetro original. Con prima recortado)
Ratio de diámetro original a diámetro recortado: Rr = Dp ⋅ Dp’ -1
Qp ⋅ Qp’-1 = Rr2
[7]
Qp = Qp’ ⋅ Rr2
[8]
Hp ⋅ Hp’-1 = Rr2
[9]
Hp = Hp’ ⋅ Rr2
[10]
Sustituyendo [8] y [10] en [6]
Hp’ = (A ⋅ Rn-2 ⋅ Rd-2 ⋅ Rr-2)+ (C ⋅ Rd4 ⋅ Rr2) ⋅ Qp’2
[11]
+EFECTO DE Np BOMBAS EN PARALELO
Hp’= (A ⋅ Rn-2 ⋅ Rd-2 ⋅ Rr-2) + (C ⋅Rd4 ⋅ Rr2 ⋅ Np-2) ⋅Qp’2
[12]
+EFECTO DE Ns BOMBAS EN SERIE
Hp’= Ns ⋅ [(A ⋅ Rn-2 ⋅ Rd-2 ⋅ Rr-2) + (C ⋅ Rd4 ⋅ Rr2 ⋅ Np-2) ⋅ Qp’2]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[13]
Nº HORAS
(nocturno)
Hm
[m C.A]
Q [m3/h]
Rd
Rn
Rr
Ns
Np
γ [N/m3]
Ph=γQH
[kW]
Pele = Ph/ηm
[kW]
16
8
1
18750
0,25
1
1
¿?
¿?
10045
52,31
74,74
BOMBA 1
TOTAL
Coste
[є/dia]
Nº HORAS
(diurno)
Ejercicios resueltos - 242
DIURNO
107,63
137,52
NOCTUR
29,89
Nº HORAS
(nocturno)
Hm
[m C.A]
Q [m3/h]
Rd
Rn
Rr
Ns
Np
γ [N/m3]
Ph=γQH
[kW]
Pele = Ph/ηm
[kW]
0
8
60
56250
0,0625
¿?
1
1
1
10045
9417
13453
BOMBA 2
Coste
[є/dia]
Nº HORAS
(diurno)
El acoplamiento BOMBA 1 podría tener Ns bombas en serie o Np en paralelo. Entrando
en [13] con los valores de Q y H, se ve que sólo es posible un acoplamiento de Np = 4
bombas en paralelo
NOCTUR
5381,3
5381,3
0
TOTAL
Np
γ [N/m3]
Ph=γQH
[kW]
Pele = Ph/ηm
[kW]
0,5
¿?
10
1
9800
44444,5
63492,2
TOTAL
Coste
[є/dia]
Ns
25312,5 0,0625
Rr
645
Rn
8
Rd
Hm
[m C.A]
0
Q [m3/h]
Nº HORAS
(nocturno)
BOMBA
3
Nº HORAS
(diurno)
Entrando en [13] con los valores de Hm y Q y despejando, Rn vale 3 0,5 y la velocidad
pedida de la BOMBA 2 es N = 2514,42 [r.p.m.].
DIURNO
NOCTUR
0
25396,9
25396,9
Entrando en [13] con los valores de Hm y Q y despejando, Rr vale 1,11 y el porcentaje
de recorte de la BOMBA 3 es 10,2 [%].
COSTE DIARIO 30915,66 [є]; VOLUMEN DIARIO AGUA DULCE PRODUCIDO:
202500 [m3]; COSTE DEL [m3] AGUA DULCE PRODUCIDO = 0,1527 [є/m3]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 243
EJERCICIO 3.27.
Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:
hB = z + K ⋅ Q 2 = 10 + 0,2 ⋅ Q 2
2
3
Si Q = 6 [m /s] entonces hB = 17,2 [m C.A.]
Partiendo de la ecuación H = 20 + Q − Q 2 , si se instalan 2 bombas en paralelo:
H2p
Q Q
= 20 + −  
2 2
2
2
Q Q
−   Æ 0,45 ⋅ Q 2 − 0,5 ⋅ Q − 10 = 0
2 2
3
Resolviendo: Q = 5,3 [m /s] entonces hB = 15,6 [m]
Igualando:
10 + 0, 2 ⋅ Q 2 = 20 +
Si se instalan 2 bombas en serie que están en paralelo con la restante:
2
2
H = 40 + 2 ⋅ Q1 − 2 ⋅ Q1
H = 20 + Q2 − Q2
Q = Q1 + Q2
2
2
Q = Q1 + Q2
E igualando: 40 + 2 ⋅ Q1 − 2 ⋅ Q1 = 20 + Q 2 − Q 2
3
3
Resolviendo: Q = 6,15 [m /s], Q1 = 3,913 [m /s] y Q2 = 2,246 [m3/s]
Si se instalan 2 bombas en paralelo con la restante en serie:
2
Q Q
H 2 = 20 + Q − Q 2
− 
2 2
Resolviendo: Q = 6 [m3/s] y hB = 4 [m]
H 1 = 20 +
H = H1 + H 2
Si se instalan 3 bombas en paralelo:
H2p
Q Q
= 20 + −  
3 3
2
2
Q Q
E igualando: 10 + 0,2 ⋅ Q = 20 + −   Æ 2,8 ⋅ Q 2 − 3 ⋅ Q − 90 = 0
3 3
3
Resolviendo: Q = 6,23 [m /s] entonces hB = 17,76 [m]
Para el caso a resolver ( Q = 6 [m3/s] y hB = 17,2 [m C.A.]) se podrían instalar:
3 bombas en paralelo ó 2 en serie con la otra en paralelo.
2
erresistente
H-Q
1
H [m U.Z.]
60
2s
50
40
2//
30
2//+s
20
10
3s
0
0
5
10
Q [m 3/s]
15
3//
2s+//
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 244
EJERCICIO 3.28.
Se plasma el croquis del bombeo y los datos de partida:
Tubería:
DN 500
Dext = 508 [mm]
e = 7,92 [mm]
Leq
= 50 [m]
ε
= 0,1 [mm]
Fluidos de proceso:
* aceite
densidad
viscosidad
* bromuro de etileno densidad
viscosidad
ρ = 915
ν = 43,2
ρ = 2180
ν = 0,778
[kg/m3]
[cSt] = 43,2 ⋅ 10–6 [m2/s]
[kg/m3]
[cSt] = 0,788 ⋅ 10–6 [m2/s]
Caudal de proceso:
caudal másico
qm = 1250
[kg/s]
Nota: el caudal másico es un invariante, no así los caudales volumétricos.
Datos de los ensayos de la bomba modelo (a escala):
* Fluido de ensayo: agua fría
ρ = 998,5
densidad
velocidad de rotación N = 2365
gravedad
g = 9,81
[kg/m3]
[r.p.m.]
[m/s2]
Nota: la aceleración de la gravedad se supone constante tanto en modelo como en
proceso (dato del problema)
Croquis de funcionamiento: Se confecciona la Figura 3.28.1
Figura 3.28.1
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 245
Aspecto de las curvas características: Se adjunta la Figura 3.28.2, con las gráficas de
las curvas características de bomba modelo y prototipo funcionando a diferentes
velocidades de rotación. Se adjuntan diversos puntos homólogos de funcionamiento en
ambas situaciones.
E [J/kg]
Curva característica E-Q de la bomba en modelo y en prototipo
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Modelo
Prototipo N=606,02 rpm
Protototipo N=918,2 rpm (sin E.E.)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Q [m3/s]
Figura 3.28.2. Curvas de modelo y prototipo, sin efectos de escala
a)
Para determinar el punto de funcionamiento de la bomba con cada fluido de
proceso se determina, en primer lugar, el caudal volumétrico y la pérdida de carga en la
tubería.
Diámetro interior:
Dint = Dext − 2 ⋅ e = 0,49216
[m]
Caudal volumétrico y velocidad, de acuerdo a las expresiones siguientes:
qm
Q
2
π ⋅ Dint
4
[m3/s]
v=
aceite:
Q = 1,3661
[m3/s]
v = 7,181
[m/s]
bromuro de etileno:
Q = 0,5734
[m3/s]
v = 3,014
[m/s]
Q=
ρ proceso
[m/s]
Resultando:
Número de Reynolds en cada proceso, de acuerdo a la expresión ya conocida:
Re =
v ⋅ Dint
ν proceso
[-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 246
Resultando:
aceite:
Re ≈ 81810 ≈ 8,2 ⋅10 4
[-]
bromuro de etileno:
Re ≈ 1882500 ≈ 1,9 ⋅10 6
[-]
Rugosidad relativa de la tubería:
ε ´=
Resultando:
ε
[-]
Dint
ε ´= 2 ⋅10 −4
[-]
Coeficiente de fricción en cada proceso:
Entrando en el ábaco de Moody, con la rugosidad relativa por la ordenada en el
origen de la derecha (constante) y con el número de Reynolds por la abscisa (variable
para cada fluido), se tienen los siguientes coeficientes de fricción (redondeados a 3
decimales):
aceite:
f = 0,020
[-]
bromuro de etileno:
f = 0,014
[-]
Con los datos anteriores, ya se puede determinar la pérdida de carga en el
circuito, para cada fluido:
Pérdida de carga. La expresión de la pérdida de carga por fricción o uniformemente
repartida en una tubería se puede enunciar según la fórmula clásica que, en el caso
presente, como se va a ver, resulta bastante engorrosa.
∆H = f ⋅
L v2
⋅
D 2⋅ g
[?]
Por otro lado, en el presente problema, y para simplificar se asume (es dato) que
el conjunto de singularidades o accesorios, se ha considerado en la forma de tramo
equivalente de tubería, de modo que, se debe tener en cuenta la longitud equivalente de
tubería, resultante de la suma de la longitud real y del equivalente en [m] de tubería, que
supone la pérdida de carga (de energía o de presión) en los citados accesorios o
singularidades:
∆H = f ⋅
Leq
v2
D 2⋅ g
⋅
[?]
En las expresiones citadas se plantea la cuestión de cuáles son las unidades: [m C.L.]
en lugar de [m C.A.].
Por tanto, es más sencillo y didáctico calcular la pérdida de presión o pérdida de
energía en lugar de la pérdida de carga en [m], aunque como se sabe los tres conceptos
son equivalentes. Se tiene, entonces:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 247
∆p = ρ proceso ⋅ f ⋅
Leq v 2
⋅
D 2
[Pa]
o bien:
∆E = f ⋅
Leq v 2
⋅
D 2
[J/kg]
o, aún, expresado en [m C.A.]:
∆H =
ρ proceso
Leq v 2
⋅f⋅
⋅
ρw
D 2⋅ g
[m C.A.]
Resultando:
Bromuro:
∆p = 14083,8 [Pa]
∆E = 6,461
∆p = 47935,5 [Pa]
Aceite:
∆E = 52,389 [J/kg]
[J/kg]
∆H * = 0,659 [m C.L.]
∆H * = 5,340 [m C.L.]
∆H = 1,438
∆H = 4,894
[m C.A.]
[m C.A.]
Como se deduce fácilmente, el concepto de pérdida de carga, expresado en
metros puede ser objeto fácil de confusión.
Altura de impulsión en el punto de funcionamiento. Para mayor claridad se determinará
siguiendo la metodología citada de balances energéticos en el sistema.
Una posible forma de resolución radica en considerar la diferencia de energía
entre el depósito inferior y el superior:
E II = EI + Eb − ∆E
[J/kg]
Donde Eb representa la energía de impulsión aportada por la bomba y ∆E las
pérdidas de energía (carga) en el circuito hidráulico, ya calculadas para el caudal
correspondiente en cada caso.
Por otro lado en los puntos I y II el término cinético es nulo. Se puede escribir,
entonces:
E II − E I = g ⋅ ∆z +
pII − pI
[J/kg]
ρ proceso
Sustituyendo:
E b = 9,81 ⋅ 23 +
65000 − 101300
ρ proceso
+ ∆E
[J/kg]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 248
Resultando en cada caso los siguientes valores (se citan todas las formas
posibles) y recuadrando las respuestas que se demandaban en la pregunta:
Bromuro:
Aceite:
pbomba = 469658,4
[Pa]
Eb = 215,44 [J/kg]
pbomba = 218087,4
[Pa]
E b = 238,35
[J/kg]
*
H bomba
= 21,98
[m C.L.]
*
H bomba
= 24,30
[m C.L.]
H bomba = 47,95
[m C.A.]
H bomba = 22,27
[m C.A.]
b)
Se tienen los siguientes datos: el punto de funcionamiento en proceso de la
máquina prototipo y la curva característica de la bomba en modelo, con su velocidad de
rotación. También es dato el diámetro de referencia de la máquina, tanto en modelo
como en prototipo. Además como dato adicional se indica la inexistencia de efectos de
escala.
Una forma de resolución consiste en emplear, por ejemplo, los coeficientes
unitarios (seudo-adimensionales) de la máquina, estableciendo que en puntos
homólogos de funcionamiento los coeficientes de caudal y de energía de modelo y de
prototipo en proceso, son iguales. Además se dispone de la curva característica del
modelo:
Q11 =
Q
N ⋅ D3
[*]
E11 =
E
N ⋅ D2
[*]
0,5734
N ⋅ 0,6003
[*]
E11 =
215,44
N ⋅ 0,600 2
[*]
Q'
2365 ⋅ 0,1963
[*]
E11 =
E'
[*]
2365 ⋅ 0,196 2
2
De forma que:
en prototipo se tiene: Q11 =
y en modelo:
Q11 =
2
2
Además se tiene la expresión analítica de la característica de la bomba en
modelo, en forma de [m C.A.], lo que se puede convertir a energía específica:
H ' = 46,1 − 1710,94 ⋅ (Q')
2
[m C.A.]
E ' = 452,24 − 16784,321⋅ (Q')
2
[J/kg]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 249
Realizando la igualdad de coeficiente de caudal y coeficiente de energía en
modelo y en prototipo y considerando la curva característica del modelo se tienen 3
ecuaciones con 3 incógnitas: H’, Q’ (modelo) y N (prototipo), resultando la velocidad
de rotación en prototipo, para bromuro de etileno:
N = 606,2
[r.p.m.]
Curva característica E-Q de la bomba en prototipo a diferentes
velocidades
700
Prototipo N=606,02 rpm
650
Prototipo ficticio N= 918,27 rpm (sin E.E.)
600
Prototipo N=918,2 rpm (con E.E.)
550
500
Er (bromuro)
E [J/kg]
450
Er (aceite)
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Q [m3/s]
Figura 3.28.3. Puntos de funcionamiento con y sin efectos de escala
c)
Se tienen los mismos datos que en el apartado anterior: el punto de
funcionamiento en proceso de la máquina prototipo y la curva característica de la
bomba en modelo, con su velocidad de rotación y los diámetros de referencia de la
máquina tanto en modelo como en prototipo. Ahora, sin embargo, existen efectos de
escala. Estos se cifran en una merma de caudal de 3,75 [%] y de la altura de impulsión
de 6,94 [%]. El efecto de escala, es debido al diferente peso de las pérdidas por fricción
en la bomba por la mayor viscosidad del líquido de proceso respecto del líquido de
ensayo en modelo (agua).
De un modo práctico para la resolución del problema, el efecto de escala implica
la necesidad de hacer funcionar la bomba a una mayor velocidad de rotación que la
hubiera correspondido en ausencia de tal efecto de escala. En el presente problema el
cálculo es bastante sencillo pues se aportan datos porcentuales en caudal y altura de
impulsión. A la nueva velocidad de rotación (real) le hubiera correspondido una altura
de impulsión y un caudal (ficticios) ponderados por el valor del efecto de escala. Es
decir:
Qficticio = Q ⋅ (1 + 0,0375) = 1,4173
[m3/s]
Eficticio = E ⋅ (1 + 0,0694) = 254,884 [J/kg]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 250
Resolviendo de modo análogo a la respuesta del apartado b), a partir de los
coeficientes unitarios, se tiene:
en prototipo: Q11 =
1,4173
N ⋅ 0,6003
[*]
E11 =
254,884
N 2 ⋅ 0,600 2
y en modelo: Q11 =
Q' '
2365 ⋅ 0,1963
[*]
E11 =
E' '
[*]
2365 ⋅ 0,196 2
E ' = 452,24 − 16784,321⋅ (Q')
2
[*]
2
[J/kg]
Al igual que en el caso anterior, se tienen 3 ecuaciones con 3 incógnitas: E’’, Q’’
(modelo) y N (prototipo), resultando la velocidad de rotación en prototipo, para aceite
de oliva:
N = 918,3
[r.p.m.]
d)
La formulación a emplear es la siguiente:
Potencia hidráulica:
Ph = E ⋅ qm
Potencia mecánica:
Pm =
Potencia eléctrica:
Pa =
[W]
Ph
[W]
ηh
Pm
ηa
=
Ph
η h ⋅η a
[W]
La potencia hidráulica puede calcularse, entonces, a partir de los datos
conocidos y de los calculados:
* aceite:
Ph = 297,93
[kW]
* bromuro de etileno:
Ph = 269,47
[kW]
Nota.- Otra forma de calcular la potencia hidráulica sería aplicando la
expresión ya conocida
Ph = ( g ⋅ H ) ⋅ ( ρ ⋅ Q )
[W]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 251
Nota.- Pero aquí se debe tener cuidado tanto con el valor H como con el de ρ
dependiendo de las unidades. A modo de ejemplo, en el caso del bromuro de etileno se
tendrían las siguientes posibilidades:
Considerando la altura de impulsión en [m C.L.]:
Ph = (9,81 ⋅ 21,975) ⋅ (2180 ⋅ 0,5734 )
[W]
Considerando la altura de impulsión en [m C.A.]:
Ph = (9,81 ⋅ 47,95) ⋅ (1000 ⋅ 0,5734 )
[W]
El rendimiento hidráulico se determina, en el caso del bromuro de etileno, a
partir de la curva de rendimiento del ensayo en modelo ya que se indica que no existen
efectos de escala. Es decir a puntos homólogos de funcionamiento corresponden
rendimientos iguales.
A partir de la expresión establecida en la respuesta del apartado b), se tiene, para
funcionamiento en modelo:
Q' =
47,27193 47,27193
=
= 0,07798 ≈ 0,078
606,2
N
[m3/s]
Llevando a la expresión del rendimiento en modelo, en función del caudal:
η h = 22,7 ⋅ Q'−151,1⋅ Q'2 = 0,8514
[-]
Para el caso del aceite de oliva, se debe tener en cuenta la existencia, de nuevo,
de efectos de escala en rendimiento, que se superponen a los efectos de escala descritos
anteriormente. En primer lugar se calcula el rendimiento ficticio sin efecto de escala, del
mismo modo que para el bromuro de etileno, pero con las expresiones de la respuesta
del apartado c).
Q' ' =
112,625 112,625
=
= 0,122645 ≈ 0,1227
918,3
N
[m3/s]
Llevando a la expresión del rendimiento en modelo, en función del caudal, se
obtiene un rendimiento ficticio (sin afectar por el efecto de escala):
η hficticio = 0,5112
[-]
A la hora de determinar el rendimiento real en proceso con aceite de oliva, y al
no concretar más los datos aportados, se puede entender (y resolver), el 8 [%] de menos
en rendimiento de dos formas. La más normal, consiste en suponer que el rendimiento
es un 8 [%] inferior al que hubiera tenido en caso de no existir efectos:
η h = η hficticio − 0,080 = 0,4312
[-]
En variante se podía suponer que el rendimiento era inferior al ficticio en un
8 [%] de su valor actual:
ηh =
η hficticio
1 + 0,08
= 0,4733
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[-]
Ejercicios resueltos - 252
En lo que sigue se adopta como respuesta la primera (aunque también son
admisibles los cálculos con la segunda).
La potencia mecánica resulta entonces, en [kW]:
* aceite:
Pm =
297,93
= 690,98
0,4312
[kW]
* bromuro de etileno:
Pm =
269,47
= 316,51
0,8514
[kW]
El rendimiento eléctrico en el motor es función de la potencia mecánica, según la
expresión (dato):
η a = 0,7882 + 0,25 ⋅ Pm − 0,138 ⋅ Pm2
[-]
* aceite:
η a = 0,8951
[-]
* bromuro de etileno:
η a = 0,8535
[-]
Y en definitiva, las potencias eléctricas resultan:
* aceite:
Pa = 772,00
[kW]
* bromuro de etileno:
Pa = 370,84
[kW]
e)
El equivalente energético en función de la energía consumida en [kW-h] o
[W-h] por cada unidad bombeada (de volumen o de masa) tiene la siguiente expresión:
EeqV =
Energía consumida Pa
=
Volumen bombeado Q
[kW-h/m3]
Eeqm =
Energía consumida Pa
=
Masa bombeada
qm
[W-h/kg]
Nótese:
1) La relación energía/volumen, que puede expresarse también como potencia/ caudal,
pero es necesario adoptar múltiplos de las unidades SI.
2) El [kW-h], que es la unidad utilizada a la hora facturar la energía eléctrica
consumida.
3) El equivalente energético másico, que expresa mucho mejor el coste de bombear un
producto u otro.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 253
[kW-h/m3]
Eeqm = 0,1716
[W-h/kg]
* bromuro de etileno: EeqV = 0,1798 [kW-h/m3]
Eeqm = 0,0824
[W-h/kg]
EeqV = 0,1570
* aceite:
f)
Se realiza el cálculo a partir del equivalente energético másico, aunque también
puede hacerse con el volumétrico. El caudal másico horario resulta ser:
qm = 4500000
* ambos líquidos:
[kg/h]
La expresión del coste para una tarifa dada, será:
C = (precio unitario ) ⋅
nº h
1 nº días
⋅ qm ⋅ Eeqm ⋅ 6 ⋅
día
10 semana
[€]
Resultando:
•
•
aceite,
tarifa 1:
C1 = 8010,26 [€]
total:
C = 9128,00 [€]
tarifa 2:
C 2 = 1117,73 [€]
tarifa 2:
C2 = 536,91 [€]
bromuro de etileno:
tarifa 1:
C1 = 3846,17 [€]
total:
C = 4383,08 [€]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 254
EJERCICIO 3.29.
Nota: Como metodología para abordar este problema, se recomienda al alumno
realizar una primera lectura rápida del enunciado y proceder de inmediato a la
resolución: en cada pregunta concreta, será el momento de repasar en detalle los datos
que se aportan para cada cuestión.
Croquis de la instalación (no incluido en el texto del problema)
Figura 3.28.1. Croquis de la instalación
Figura 3.28.2. Sección del tipo de bomba utilizada
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 255
Respuesta 1A
Bomba HE-380, resolución gráfica. El caudal leído para el ensayo de dicha bomba, es
de 300 [l/s], lo que coincide con 1/8 del caudal total de especificación que era de 2,4
[m3/s] para el conjunto del bombeo. Considerando en la gráfica el corte de la curva nº 4
(ver figura 3.28.3), con la vertical de caudal 0,3 [m3/s], se tiene:
H=3
[m C.A.]
Figura 3.28.3. Curva característica y punto de funcionamiento con la
bomba HE·380.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 256
Respuesta 1B
Resolución numérica. Se disponen de todos los datos de las medidas realizadas en el
ensayo de dicha bomba. La energía hidráulica másica suministrada por la bomba al agua
tendrá por expresión:
p 2 − p1
c 22 − c12
+ g ⋅ (z 2 − z1 ) +
E = e 2 − e1 =
2
ρw
[J/kg]
Con el subíndice 2 para el lado de alta presión y subíndice 1 para el lado de baja
Nota: En el tipo de bomba utilizado, con boca de aspiración directamente sumergida en
el agua, es muy difícil determinar la energía en la aspiración en la misma boca, por lo
que se define por convención (asumida en la normativa relevante de ensayos) que la
sección 1 de entrada en bomba corresponde en realidad al nivel de agua en la cántara,
siempre y cuando el flujo en la cántara no sea irregular y esté exento de vórtices.
En la cántara o foso de aspiración de la bomba, se tendrá:
c1 = 0
p1 = 0
[m/s]
z1 = z solera + calado = 450,0 + 3,0
[Pa]
[m]
En la sección 2, o de alta presión, se conoce el término cinético al conocer el caudal y el
diámetro de la sección de las tomas de presión, se conoce el término de posición (cota
de las tomas, que es dato). No se conoce directamente la presión en la sección 2 sino en
la cota donde se ha emplazado el manómetro de lectura de la presión.
c2 =
Q bomba
4 ⋅ 0,3
=
= 2,3837
2
π⋅D
π ⋅ 0,4 2
4
[m/s]
z 2 = z tomas = 452,69
[m]
p 2 = p 2 L + (z L − z tomas ) ⋅ ρ ⋅ g = p 2 L + (1,5 + z piso − z tomas ) ⋅ ρ ⋅ g
[Pa]
p 2 = 2.055 + (1,5 + 454,0 − 452,69 ) ⋅ 1000 ⋅ 9,81 = 29.611,1
[Pa]
Resultando:
Sustituyendo en la expresión de la energía, se tiene:
E = 29,4297
[J/kg]
Es decir, el punto de funcionamiento resulta ser:
H = 2,999969 ≈ 3,0
[m C.A.]
Q = 0,3
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[m3/s]
Ejercicios resueltos - 257
Otra forma de resolución directa consiste en sustituir las energías parciales a nivel de
lecturas en la expresión de la energía:
E=
p 2L
c2
+ g ⋅ (z 2 L − z1 ) + 2
2
ρw
[J/kg]
Como se puede apreciar, no es necesario determinar la expresión analítica de la curva
característica para determinar el punto de funcionamiento!!!
Respuesta 2
Se conoce el desnivel que debe vencer la bomba (altura de impulsión bruta) y la altura
de impulsión (neta). Se tiene:
H b = ∆z = (z canal − z1 ) = (z labio + 0,2 − z1 ) = 1
[m C.A.]
∆H = H − H b = 3,0 − 1,0 = 2,0
[m C.A.]
Aplicando la expresión de la pérdida de carga uniformemente repartida menos la
pérdida singular en la válvula (que no se debe tener en cuenta según el enunciado), se
tiene que:
∆H = λ ⋅
L eq c 2tub
c2
⋅
+ ξ ⋅ valv
D 2⋅g
2⋅g
[m C.A.]
Nota: se recuerda que el diámetro de la tubería es 400 [mm] y el diámetro de la válvula
de mariposa 300 [mm].
La pérdida de carga de la válvula se puede determinar, considerando el coeficiente de
pérdidas para plena apertura.
∆H valv = 0,19 ⋅
4,24412
= 0,1744
2 ⋅ 9,81
[m C.A.]
Por su parte de la tubería se dispone de los datos de velocidad, diámetro, rugosidad y
por cálculo se obtiene el numero de Reynolds y el coeficiente de fricción, quedando
como incógnita la longitud (equivalente):
D = 0,4
ε=
[m]
c tub = 2,3873 [m/s] Re ≈ 796.000
[-]
ε
[-]
En el ábaco de Moody:
= 6.10 − 4
D
λ = f (Re, ε ) = 0,018 [-]
Luego, la longitud equivalente de tubería, resulta despejando:
∆H tub = ∆H − ∆H valv = 2,000 − 0,1744 = 1,8256
L eq =
1,8256 ⋅ 0,4 ⋅ 2 ⋅ 9,81
= 139,66
0,018 ⋅ 2,3873 2
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[m C.A.]
[m]
Ejercicios resueltos - 258
Respuesta 3A
Ahora se trata de determinar el punto de funcionamiento de la bomba HE-300. Se debe
considerar, como punto de partida, que dicha bomba se ha ensayado sobre el mismo
circuito hidráulico que la anterior HE-380, por tanto, la curva resistente ó de pérdidas de
carga en el circuito es la misma. La obtención del punto de funcionamiento se realizará
a partir de la intersección de la curva resistente con la curva característica nº5 de la
bomba
Un primer método de cálculo, aproximado consiste en el trazado gráfico: sobre la
gráfica de la familia de bombas se dibuja la curva del circuito resistente (pérdida de
carga y ∆z). Teniendo el cuidado debido, la precisión puede ser suficientemente buena.
Ver figura 3.28.4.
El segundo método, analítico y más exacto precisa de conocer previamente la expresión
de la curva característica, que en el problema presente no es dato. Es necesario,
entonces, determinar la expresión de la curva resistente a partir de la gráfica de la figura
3.28.4, tomando 3 o 4 parejas de valores Q-H. En realidad, con esta acción, se está
cometiendo un error cuyo orden magnitud es similar al del primer método.
La expresión de la pérdida de carga en función del caudal será:
H r = ∆z + K ⋅ Q 2
[m C.A.]
donde:
∆z = 1,00
[m]
y
H = 3,000
[m C.A.]
si
Q = 0,300
[m3/s]
Resultando:
K = 22,2222 [s2/m5]
H r = 1 + 22,2222 ⋅ Q 2
[mC.A.]
Por su parte, la característica hidráulica de la bomba HE-300 se obtendrá a partir de la
conocida expresión general:
H = C 0 + C1 ⋅ Q + C 2 ⋅ Q 2
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[m C.A.]
Ejercicios resueltos - 259
Figura 3.28.4. Curva característica y punto de funcionamiento de la
bomba HE300
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 260
Para determinar los coeficientes se consideran, por ejemplo, tres puntos de
funcionamiento dados. Se dispone de toda la curva en forma gráfica. Con el fin de
homogeneizar resultados, se propone en el enunciado determinar tres puntos de
funcionamiento para alturas de impulsión concretas; estos son:
H = 6,5
[m C.A.]
→
Q = 0,2364
[m3/s]
H = 4,5
[m C.A.]
→
Q = 0,2938
[m3/s]
H = 2,5
[m C.A.]
→
Q = 0,3246
[m3/s]
Sustituyendo estos tres puntos de funcionamiento en la expresión general se tiene 3
ecuaciones con 3 incógnitas, resultando la siguiente expresión:
H = −8,30223 + 141,23 ⋅ Q − 334,46 ⋅ Q 2
[m C.A.]
La intersección de la curva característica de la bomba con la curva resistente
(característica del circuito), se obtiene el punto de funcionamiento:
H = 3,20366 ≈ 3,204
[m C.A.]
Q = 0,3149
[m3/s]
Nota importante. La expresión de la parábola que intenta definir la curva característica
de la bomba HE300, llama poderosamente la atención por el hecho de tener una
ordenada en el origen negativa, lo cual es absurdo, pues la altura de impulsión a
válvula cerrada siempre es positiva. No obstante la curva se considerará válida para la
zona de trabajo considerada, es decir, hasta alturas de impulsión no superiores a 6,5
[m C.A.]
En realidad se debería:
‰
‰
haber realizado una curva de grado 3 que se ajusta mejor al tipo de máquinas
axiales (no obstante con las parejas de puntos citados en el enunciado, sigue
obteniéndose un absurdo a caudal nulo, esta vez por exceso).
haber tenido en cuenta varios puntos de funcionamiento en la zona de caudales
bajos, para obtener una curva más fiel, pero estos datos no son aportados por el
fabricante.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 261
Respuesta 3B
Queda por determinar la presión que se está leyendo en el manómetro de ensayo. Este
apartado es el caso opuesto del planteado en la primera pregunta.
Retomando la expresión de la energía hidráulica,
E = e 2 − e1 =
p 2 − p1
c 2 − c12
+ g ⋅ (z 2 − z1 ) + 2
ρw
2
[J/kg]
donde:
E = g ⋅ H = 9,81 ⋅ 3,204 = 31,43
[J/kg]
y, además:
c1 = 0
[m/s]
p1 = 0
z 1 = 453,0
[Pa]
[m]
siendo, ahora, diferentes:
c 2 = 3,2730
[m/s]
z 2 = z tomas = 452,50
[m]
Llevando estos datos a la expresión general y despejando, se obtiene la presión estática
en la sección 2 (ó de tomas de presión):
p 2 = 1000 ⋅ 31,43 + 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 0,5 − 1000 ⋅
3,2732
= 30.978,74
2
[Pa]
y por último:
p 2 L = p 2 − (z L − z tomas ) ⋅ ρ ⋅ g
[Pa]
p 2 L = 1548,74 ≈ 1549
[Pa]
Resultando:
Otro modo de resolución, más directo relaciona la energía hidráulica másica con la
presión leída en el manómetro, por medio de la expresión:
E=
p 2L
c2
+ g ⋅ (z L − z1 ) + 2
2
ρw
[J/kg]
Despejando:
p 2 L = 1000 ⋅ 31,43 − 1000 ⋅ 9,81 ⋅ (455,5 − 453,0) − 1000 ⋅
3,2732
≈ 1549
2
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[Pa]
Ejercicios resueltos - 262
Respuesta 4
El rendimiento de cada bomba se determina en las gráficas respectivas, resultando:
η HE 380 = 0,80
η HE 300 ≈ 0,675
[-]
[-]
La potencia mecánica, numéricamente, se determina a partir de la expresión:
Pm =
Ph
η
[W]
En cada caso, resultan los siguientes valores:
PmHE 380 = 11036
[W]
PmHE 300 = 14772,68 ≈ 14773
[W]
Respuesta 5
El análisis del coste de cada bomba (precio de compra) se realiza a partir del diámetro
del rodete, que es de 380 [mm] en el caso de la HE380, y de 300 [mm] en el caso de la
bomba HE 300, de acuerdo al dato que se proporciona en el enunciado. En
consecuencia, si el coste del motor eléctrico es similar, por hipótesis, y que las bombas
son del mismo fabricante, se deduce que será más barata la bomba de menor diámetro,
es decir la HE 300.
La hipótesis del coste del motor es bastante real ya que si bien la potencia demandada
en el caso de la HE300 es mayor, el motor gira a una velocidad de rotación mayor,
luego es proporcionalmente más pequeño.
Queda por último el análisis del coste de operación por factura eléctrica. Asumiendo
que el rendimiento del motor sea similar en los puntos de operación respectivos, se
deduce que la factura eléctrica con la bomba HE300 será bastante mayor que con la
HE380, al absorber una potencia mecánica bien superior.
Se puede demostrar, aunque ello escape a la pregunta concreta del examen, que el
coste de la factura eléctrica puede superar en el transcurso de 1 año (funcionando en
continuo) a la diferencia de precio entre las bombas.
Otro error de concepto que se puede cometer al analizar el coste de la factura eléctrica
viene dado por el hecho de considerar únicamente el equivalente energético ó energía
específica por unidad de volumen bombeada. Aunque éste hubiera resultado inferior
(cosa que no sucede en el caso actual) en la bomba HE300, el hecho de tener
desplazado por exceso el caudal de funcionamiento podría suponer un consumo total
superior.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 263
Respuesta 6
Para lograr reducir el caudal en la bomba HE300 existen 3 soluciones inmediatas:
‰
‰
‰
Actuar sobre la válvula de mariposa cerrando parcialmente ésta.
Proceder a sustituir el rodete actual por otro con un ángulo de calado diferente.
Se recuerda que en el caso de máquinas axiales el recorte de rodete no tiene
sentido.
Instalar un variador de velocidad, reduciendo ésta.
Desde el sentido común se deben desechar otras soluciones como:
9 Incrementar la pérdida de carga en el circuito por reducción del diámetro de la
tubería (coste de reemplazar más de 100 [m] de tubería)
9 Incrementar la pérdida de carga por medio de un diafragma o restrictor por el
mayor coste que cualquiera de las otras dos (aunque en bombas más pequeñas,
por ejemplo de grupos óleo, suele ser muy utilizada).
Al margen de lo demandado en el examen, se pueden añadir los siguientes comentarios:
‰
‰
‰
La actuación sobre la válvula es sencilla, de coste nulo e inmediata, pero puede
tener sus riesgos: cavitación, vibraciones e incluso que el actuador no pueda
retener la posición en ciertas posiciones de cierre, salvo que se haya
dimensionado adecuadamente. Además, energéticamente, es más desfavorable
que cualquiera de las otras, puesto que en bombas axiales el consumo del motor
crece a medida que se reduce el caudal. Por tanto, se debe considerar como una
actuación provisional.
La sustitución del rodete por otro con el mismo diámetro pero diferente ángulo
de calado, es interesante pues, normalmente, el coste deberá ser asumido por el
fabricante, al no cumplir especificaciones. Energéticamente es mejor que la
actuación sobre la válvula pero faltaría comprobar si es peor ó mejor que el
variador. Además se debe tener en cuenta que el NPSH requerido por la bomba
puede modificarse respecto al diseño original.
El variador suele ser una solución eficiente, garantizando unas buenas
condiciones de funcionamiento, pero se debe chequear el rendimiento de éste,
debido a las pérdidas eléctricas que tiene. Además, suele suponer un coste
mayor.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 264
Respuesta 7
En primer lugar se determina el nuevo punto de funcionamiento en la bomba HE300,
que debe tener un caudal de 0,3 [m3/s]. Considerando la curva característica determina
en la respuesta 3, se tiene:
H = 4,14534 ≈ 4,145
[m C.A.]
[m3/s]
Q = 0,300
En el actual punto de funcionamiento la expresión de la curva resistente será ahora:
Hr = 1+ λ ⋅
L eq c 2tub
c2
⋅
+ ξ ⋅ valv
D 2⋅g
2⋅g
[m C.A.]
Despejando:
Hr −1− λ ⋅
ξ=
L eq c 2tub
⋅
D 2⋅g
c 2valv
⋅2⋅g
[m C.A.]
Donde:
c tub = 2,3873 [m/s]
c valv = 4,2441 [m/s]
L eq = 139,66 [m]
D = 0,400
[m]
λ ≈ 0,018
[-]
Resultando:
ξ = 1,4372
[-]
luego:
Posición de válvula entre 15 y 20º
Respuesta 8
Se parte de la expresión de la curva característica de la bomba 1450 [r.p.m.], es decir:
H = −8,30223 + 141,23 ⋅ Q − 334,46 ⋅ Q 2
[mC.A.]
Se puede, ahora, obtener la expresión que corresponderá a la velocidad de rotación
buscada sin más que considerar el caudal objetivo de 0,3 [m3/s]. Por otro lado se
considerará la característica del circuito ó curva resistente, teniendo 2 ecuaciones con
dos incógnitas:
2
 N' 
 N' 
2
H' = −8,30223 ⋅ 
 − 334,46 ⋅ 0,3
 + 141,23 ⋅ 0,3 ⋅ 
 1450 
 1450 
[m C.A.]
H' = H r = 1 + 22,2222 ⋅ 0,3 2
[m C.A.]
N' = 1386,46 ≈ 1386,5
[r.p.m.]
Resultando:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 265
EJERCICIO 3.30.
Respuesta 1
En primer lugar se determina la diferencia de alturas geométricas a vencer por las
bombas. Se tienen dos situaciones: dique lleno y dique vacío:
∆z = z tubería − z dique
[m]
dique lleno:
∆z = 8 − 7 = 1
[m]
dique vacío:
∆z = 8 − (− 7,5) = 15,5
[m]
(1)
La pérdida de carga en el conjunto de cada tubería resulta se determina de acuerdo a la
expresión:
L v2
∆H = f ⋅ ⋅
D 2⋅g
[m C.A.]
(2)
En la expresión (2) son conocidas todas las variables salvo el caudal y, por tanto la
velocidad. No obstante, lo que se desea obtener es, precisamente, la expresión de la
curva de pérdidas de carga en función del caudal.
f = 0,013
[-]
g = 9,81
[m/s2]
L = 122
D = 0,700
[m]
[m]
Para parametrizar la curva de pérdidas de carga en función del caudal se supone un
caudal de, por ejemplo, 2,0 [m3/s], obteniendo:
v = 5,196896 ≈ 5,197
[m/s] ∆H = 3,118972 ≈ 3,119
[m C.A.]
y el coeficiente de pérdidas en función del caudal será:
[s2/m5]
K = 0,77975
La expresión de la curva de pérdidas de carga y de las curvas resistentes, por tanto,
resultan:
∆H = 0,77975 ⋅ Q 2
[m C.A.]
H r = ∆z + ∆H
[m C.A.]
para dique lleno:
H r = 1 + 0,77975 ⋅ Q 2
[m C.A.]
para dique vacío:
H r = 15,5 + 0,77975 ⋅ Q 2
[m C.A.]
Para trazar las curvas en la gráfica de características de las bombas, se calculan varios
valores de Hr como función de Q, según, por ejemplo, la tabla adjunta:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 266
Q [m3/s]
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Hr (dique
lleno)
--1,780
2,754
4,119
5,873
Hr (dique
vacío)
15,695
16,280
17,254
-----
A continuación se dibujan ambas curvas resistentes sobre la gráfica de curvas de las
bombas (figura 3.30.3).
Figura 3.30.3. Puntos de funcionamiento a dique lleno y vacío
Por construcción gráfica se determinan los caudales de operación en las situaciones,
resultado de la intersección de las curvas:
dique lleno:
Q = 2,37
[m3/s]
H = 5,40
[m C.A.]
dique vacío:
Q = 1,22
[m3/s]
H = 16,80
[m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 267
Respuesta 2
El caudal medio de cada bomba durante el achique resulta ser:
Q med = Q lleno + Q vacío
Q med =
2,37 + 1,22
= 1,795
2
[m3/s]
[m3/s]
Par el total de 3 bombas se tendrá:
(Q med )3bombas = 5,385
[m3/s]
Por otro lado el volumen útil del dique seco será:
Vdique = h util ⋅ L dique ⋅ b
[m3]
Vdique = 14 ,5 ⋅ 80 ⋅ 20 = 23.200
[m3]
Y el tiempo medio de achique será:
t med =
Vdique
(Q med )3bombas
t med = 4.308 ,26
[s]
[s]
Respuesta 3
Antes de proceder a ningún cálculo conviene repasar la descripción de los circuitos de
bombeo. La configuración del circuito en su primera versión (disposición nº1) es
bastante habitual en las realizaciones de éste tipo:
™
™
™
™
Bomba
Codos
Tubería
Descarga a la atmósfera.
EN NINGÚN CASO SE CITA LA PRESENCIA DE VÁLVULAS CUYA FUNCIÓN
SERÍA EVITAR EL PASO DEL FLUJO. Al no disponer de válvula, la configuración en
su versión 2 (disposición nº2) conecta directamente dos “depósitos”, el propio dique y
la ría en este caso, con niveles energéticos diferentes).
En el momento de proceder a la parada de las bombas, cuando se haya alcanzado la cota
– 7,5 [m] en el dique, la situación energética en el nivel libre de ambos depósitos será la
siguiente:
Energía en el nivel libre dique:
E dique = g ⋅ z niveldique +
pb
v2
+ 1
ρ 2⋅g
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[J/kg]
Ejercicios resueltos - 268
E ria = g ⋅ z nivelria +
Energía en el nivel libre ría:
pb
v2
+ 2
ρ 2⋅g
[J/kg]
Aquí se tiene que la presión barométrica es igual en ambos caso y que las velocidades v1
y v2 son nulas. Además en el momento de la parada los valores de z en los niveles libres
son:
z nivel _ dique = −7,5
[m]
z nivel _ ria = +5
[m]
Se observa con claridad que el nivel energético en la ría es bien superior al nivel en el
dique. Por tanto hay un incremento de energía entre ambos. Al no existir ningún
impedimento (válvulas) y estar la tubería completamente llena (después de haber estado
funcionando la bomba) dicho incremento de energías provoca un flujo de agua en el
sentido ría – dique. Por tanto inmediatamente después de parar las bombas se invierte el
flujo y se comienza a llenar de nuevo el dique. El llenado se detendrá en el momento
que los niveles se igualen ó bien cuando se proceda al nuevo arranque de las bombas
Solución, por tanto:
t med = ∞
[s]
Notas:
1) En el problema que nos ocupa el nivel energético en pleamar hubiese sido aún
mayor y en bajamar menor, pero en cualquiera de los casos se hubiese producido
este fenómeno que se denomina vulgarmente “sifón”.
2) Es bastante habitual encontrarse con problemas de este tipo en numerosas
instalaciones por desconocimiento ó inexperiencia del personal de diseño ó
explotación.
Respuesta 4
Análisis crítico:
9 La principal crítica negativa respecto de la solución adoptada reside en la
incapacidad de ésta para cumplir la función deseada: es decir proceder al achique
del dique. Más adelante se analizan algunas soluciones sencillas.
Si se implementan las soluciones propuestas el sistema, en su disposición nº2, se
tendrían las siguientes ventajas frente al anterior:
9 Aumento en el caudal, lo que supone que se puede tardar menos en achicar el dique.
Sin embargo, esta ventaja debería confirmarse con las especificaciones del dique: es
decir, si realmente se valora como positiva la reducción en el tiempo de achique;
normalmente sí lo es.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 269
Y las siguientes dudas (para el caso que nos ocupa):
9 No estaría claro el mayor o menor consumo energético, pues la curva P-Q, pasa por
un máximo a 1700 [l/s] y después desciende. Esto, de acuerdo a la información que
facilita el fabricante pero, no se debe olvidar que si el rodete de la bomba es
centrífugo era de esperar una mayor potencia a medida que aumente el caudal.
El tema de la potencia, pues, se debe analizar caso a caso, confirmando la
tendencia de consumo con el fabricante. Si, por ejemplo, la bomba del problema
hubiese sido axial, no habría habido lugar a dudas: consumo menor a mayor
caudal.
Nota: Por otro lado, en el caso que nos ocupa, y a la vista de la forma de las
gráficas, podrían darse problemas de cavitación ó de límite de potencia en el motor.
Soluciones:
1) Incorporar una válvula antirretorno a la salida de la boca de impulsión de cada
bomba (tipo clapeta simple ó doble). Esta solución es sencilla y fiable, si las
válvulas instaladas son de buena calidad. No se necesita de personal para su
operación. En el debe se considerará el incremento de pérdida de carga en la
válvula, aunque nunca superará la ganancia energética obtenida por la inmersión de
la tubería en la ría y el fuerte impacto que se producirá en el cierre de la clapeta
(recordar: diámetro 700 [mm]).
2) Incorporar una válvula (que normalmente se denomina de rotura de carga), en el
punto más alto de la tubería en paralelo con ésta. Dicha válvula que podría ser de
tipo bola ó compuerta por ejemplo, en ejecuciones de DN100 ó DN200, al ser
abierta pondría en comunicación con la atmósfera la columna de líquido alojada en
la tubería, con lo cual destruiría el sifón, quedando los niveles libres en cada lado de
la tubería igualados a los de los “depósitos” respectivos (dique y ría). La maniobra
de ésta válvula implica emplear personal ó bien un incremento de coste al motorizar
y automatizar el sistema. En caso de automatización se deberá tener en cuenta el par
máximo de cierre y apertura.
Nota: Siempre hay que diseñar con cuidado los sistemas de rotura de carga.
3) Variante del primero: instalar una válvula de cierre en la propia tubería en el punto
más alto. El tipo preferible a emplear sería el de mariposa (una de bola ó de
compuerta sería, en este caso mucho más cara). En todo caso, se trataría de la
solución más cara de todas, exigiría de personal de maniobra, ó bien de incremento
de precio al automatizar el sistema. También se debería tener en cuenta la pérdida de
carga.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 270
Respuesta 5
Con la disposición nº3 sucede que es imposible vaciar el dique, pero esta vez se produce
una problemática mucho más grave que en el caso anterior, y es debida a la cavitación.
El funcionamiento de la bomba desde el arranque con dique lleno sería el
hipotéticamente el indicado en la figura 3.30.4, siguiendo una metodología análoga a la
de la figura 3.30.3:
Figura 3.30.4
El nuevo punto de funcionamiento para caudal máximo, se tendrá para una diferencia de
cotas zII-zI = (3-7) = -4 [m]. Las curvas de pérdida de carga y la resistente, siguen siendo
paralelas a las anteriores condiciones (disposición nº1). Este punto se sale de la escala
de la gráfica, por lo que no se ha representado. En su lugar se procede al estudio del
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 271
punto correspondiente a la diferencia de cotas –2 [m], con nivel medio en la ría y dique
lleno (cotas zII = +5 y zI =+7), como se aprecia en la figura 3.30.4. Para poder
determinar el punto de funcionamiento se ha extrapolado en parte la curva característica
de la bomba (continuando la característica documentada con una curva a puntos). El
punto se ha marcado con un asterisco.
En estas condiciones se tendría, hipotéticamente una situación similar a la comentada en
la respuesta 4: desde el punto de vista exclusivo de característica hidráulica H-Q, el
resultado es positivo (se bombea más caudal). Un primer aspecto negativo tiene que ver
con el menor rendimiento en esta zona de operación y dudas sobre la curva P-Q. El
segundo y definitivo tiene que ver con la presencia de un flujo cavitante en la bomba.
Fijando la atención sobre la curva de NPSHr de la bomba (la situada más hacia la
derecha), se aprecia la necesidad de extrapolación a partir de 2400 [l/s] de caudal, por
lo que se ha marcado dicha curva también a puntos. Si ya era arriesgada la
extrapolación H-Q, ahora dicha operación es temeraria pues es conocida la fuerte
pendiente que alcanza el NPSH a caudales alejados del óptimo.
Con todo, de la figura 56.4, se deduce el valor de NPSHr (que corresponde al 3% de H):
(NPSH r )actual = 10,4
[m C.A.]
Q actual = 2,5
para
[m3/s]
Mientras tanto, el NPSHd resulta ser, haciendo abstracción de las pérdidas de carga (que
existen) en la aspiración:
NPSH d = H b − H v − H s = 10,13 − 0,23 − 2 = 7,9
(NPSH r )actual f (NPSH d )actual
[m C.A.]
[mC.A.]
para
Q actual = 2,5
[m3/s]
Resulta pues, un valor bastante inferior al requerido, lo que supone que la altura de
impulsión se habrá mermado bastante y la máquina estará funcionando en condiciones
lamentables. El punto real de funcionamiento estará situado hacia la izquierda del que se
presumía teóricamente. Esto se puede apreciar recurriendo a la figura 3.30.5, variante de
una presentada en el capítulo 19 del libro. Cuando el NPSHd es muy inferior al
requerido (en nuestro caso del 3 [%]), se ha producido la caída total de prestaciones en
la máquina, como se desprende de una curva de “break” típica que se muestra en el
mismo capítulo 19. Por tanto, funcionar en el punto hipotéticamente calculado es
imposible. En su lugar la máquina intentará trabajar a menor caudal hasta lograr un
equilibrio entre los NPSHd y NPSHr. No se debe olvidar, que en el momento del
arranque, si se ha realizado a válvula cerrada, se pasa por el punto H=max; Q=0 y se
produce un desplazamiento a través de la curva característica de la bomba.
Los posibles estados de equilibrio se muestran, esquemáticamente, en la figura 56.5. Se
representan varios posibles NPSHd (como en el caso del presente problema) y tres
curvas de NPSHr, representando cada una de ellas, el lugar geométrico de los NPSH de
máquina, como función del caudal
¾ en el caso en que todavía no se ha producido el descenso de prestaciones (0%),
¾ cuando se produce un descenso “controlado” (del 3%) en la altura de impulsión y
¾ cuando se está en funcionando a plena cavitación.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 272
Figura 3.30.5
Obviamente si se ha producido un descenso del 3%, la altura de impulsión actual se
“caerá” de un 3%, separándose algo de la característica H-Q, cosa que se aprecia en la
figura. Si el NPSHd es algo inferior, se producirá un brusco descenso, cuasi-vertical de
la curva H-Q, alejándose bastante de la situación si cavitación. La nueva forma de la
curva H-Q se cortará con la curva resistente en el punto de funcionamiento actual.
Por tanto, para poder determinar el punto de funcionamiento en condiciones de
cavitación desarrollada (o “plena cavitación”), es preferible proceder a establecer este, a
partir de la intersección entre NPSHd y NPSHr. Para la actual condición de operación,
NPSHd es una recta horizontal que pasa por 7,9 y la intersección se produce para un
caudal de aproximadamente 2175 [L/s]: ver figura 3.30.6. Se traza entonces una recta
vertical que arranque con cierta curvatura desde la característica H-Q sin cavitación, y
buscando la intersección con la curva resistente se tiene el punto de funcionamiento en
condiciones de cavitación desarrollada para la cota zI = +7 en la aspiración. Esto no es
riguroso, pues el punto de funcionamiento estaría situado algo más a la derecha, de
acuerdo a la figura 56.5, pero se puede considerar suficientemente aproximado.
Se recuerda que la forma de la caída de la curva característica de la bomba depende de
la velocidad específica de esta (más brusca cuanto menor sea y más suave, pero
empezando más a la izquierda, a velocidades específicas elevadas) y del punto de
funcionamiento: a caudales inferiores al óptimo será más brusca que a caudales
superiores.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 273
Figura 3.30.6
A medida que descienda el nivel en el dique, se irá reduciendo el NPSHd y los puntos de
intersección con el requerido se irán desplazando hacia la izquierda. En la figura 3.30.7
se representa las condiciones de funcionamiento para:
zI = +6 [m]
zI = +3 [m]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 274
Figura 3.30.7
A partir del NPSHr = 4,0 [m], que corresponde a una cota en el dique de
aproximadamente +3 [m], no se dispone de información en el gráfico presentado por el
fabricante. Se presume, no obstante, que dicha magnitud desciende poco, siendo
prácticamente asintótica con la horizontal. La bomba continuará trabajando en
condiciones cada vez más precarias, aumentando el tamaño de las láminas y bolsas
cavitantes a media que el NPSHd sea cada vez más bajo. Llegará un momento, bastante
antes de que se alcance la presión de vapor (valor límite: nivel a la cota –1,0 [m]), que
las láminas cavitantes cerrarán completamente la sección de paso entre álabes,
produciéndose el descebado de la bomba.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 275
EJERCICIO 3.31.
Respuesta 1
A 2900 [r.p.m.] todas las bombas presentan características H-Q con elevada altura de
impulsión.
Se va, por tanto, al catálogo con velocidad a 1450 [r.p.m.].
Se seleccionan, para análisis, los siguientes tipos de bomba:
¾ IN 125-250 bF, con diámetro D2 comprendido entre 251 [mm] y 241 [mm].
Rendimiento del orden de 85 [%].
¾ IN 150-250 bF, con diámetro D2 entre 216 [mm] y 226 [mm]. Rendimiento del
orden del 75 [%].
La primera es claramente la mejor opción, por su mayor rendimiento y menor tamaño
(lo que indicará, para la misma gama de producto y de presiones un coste inferior).
Notas:
1. El mejor rendimiento se debe producir en la zona de funcionamiento previsto
para la máquina.
2. No se indicaba ningún requisito especial respecto al riesgo de cavitación.
Respuesta 2
El diámetro definitivo se determinará empleando la seudo-semejanza en recorte de
rodetes centrífugos, a partir de las dos curvas de catálogo de la bomba IN 125-250 bF.
Por construcción gráfica, se parte del origen H-Q, trazando una recta que pase por el
punto de funcionamiento deseado. Se anotan los dos puntos, inferior y superior, sobre
cada curva (241 [mm] y a 251 [mm]).
Las leyes de recorte tiene por expresiones.
H D
= 
H'  D' 
2
Q D
= 
Q'  D' 
2
[-]
Por ejemplo, partiendo de la curva a 251 [mm], se tiene:
Diámetro
251
?
Altura
16,14
15,5
Caudal
245
234
Para tener la solución es suficiente con considerar un solo diámetro y una sola de las
magnitudes hidráulicas: bien el caudal, bien la altura de impulsión. No obstante, es
altamente recomendable proceder al cálculo realizando la media de las 4 operaciones:
para las 2 curvas (2 diámetros) y para las 2 magnitudes (H y Q). Los valores obtenidos
en cada caso deberán diferir muy poco entre sí: para diámetros del orden del
considerado (inferior a 0,5 [mm]). En caso contrario se habrá operado mal.
En el presente caso, resultan:
Se adopta el valor medio:
según H:
según Q.
245,97 [mm]
245,30 [mm]
245,6 [mm]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 276
Respuesta 3
En este caso el óptimo se sitúa muy cerca del punto de funcionamiento; se considera,
por tanto el punto de diseño como el valor del caudal para 100 [%]. Ahora se
determinan los puntos H-Q, para caudales 120 [%], 80 [%] y 60 [%] del de diseño. Los
caudales de modo numérico y las alturas de impulsión a partir de la curva para
245,6 [mm] y de la ley de recorte (ver tabla). En la misma gráfica se determinan los
rendimientos correspondientes. La potencia mecánica se prefiere determinar por
cálculo.
Pm =
ρw ⋅ Q ⋅ E
η
[W]
Una vez determinados dichos valores (para agua), se deberán establecer las correcciones
correspondientes al efecto de escala que producen en la máquina, cosa que se efectúa
por medio del ábaco empírico del Hydraulic Institute (capítulo 5 de los ábacos).
Entrando con la viscosidad, el caudal (100 %) y la altura de impulsión correspondiente,
es decir:
ν = 65
Q = 234
[cSt]
[m3/h]
H = 15,5
c Q = 0,985
[-]
[m C.L.]
se tiene:
c η = 0,793
[-]
c H _ 100 = 0,944
[-]
c H _ 120 = 0,931
[-]
c H _ 80 = 0,958
[-]
c H _ 60 = 0,972
[-]
Se confecciona entonces la tabla 3.31.1, donde conviene destacar el cálculo de la
potencia mecánica que se realizará, para la densidad del nuevo líquido. Las expresiones
de cálculo serán las ya conocidas. Por ejemplo para el caudal 100 [%]:
η VC = η w ⋅ c η
[-]
Q VC = Q w ⋅ c Q
[m3/h]
H VC _ 100 = H w _ 100 ⋅ c H _ 100
PmVC _ 100 =
ρ VC ⋅ Q VC ⋅ g ⋅ H VC
η VC
[m C.L.]
[W]
La gráfica correspondiente se muestra en la figura 3.31.2.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 277
[%]
Agua
Relativo
H
Q
Η
del
Punto [m C.A.] [m3/h] [-]
100
15,5
234 0,855
120
12,8
280,8 0,830
80
17,3
187,2 0,830
60
18,6
140,4 0,750
Correcciones
cH
Pm
[kW]
11,560
11,800
10,633
9,488
cQ
cη
Líquido viscoso
H
[-]
[-]
[-] [m C.L.]
0,944 0,985 0,793 14,63
0,931 “
“
11,92
0,958 “
“
16,57
0,972 “
“
18,08
Tabla 3.31.1
Figura 3.31.2
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Q
η
Pm
[m3/h]
230,5
276,6
184,4
138,3
[-]
0,678
0,658
0,658
0,595
[kW]
12,876
12,972
12,021
10,879
Ejercicios resueltos - 278
Respuesta 4
Si se admite por hipótesis, que no hay pérdidas hasta el manómetro, se tendrá,
designando con “II” la sección correspondiente al manómetro y con “I” al nivel del
depósito de aspiración:
E (bomba) = E II − E I
[J/kg]
Es decir:
E (bomba) =
p II
c2
p
c2
+ g ⋅ z II + II − I + g ⋅ z I + I
2 ρ VC
2
ρ VC
[J/kg]
En el punto de funcionamiento para el 100 [%], se tiene:
143,52 =
p II 5,054 2
+
950
2
luego:
p II = 124.211 [Pa]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 279
EJERCICIO 3.32.
H-Q Pe-Q Pu-Q
80
60
40
20
0
0
0.05
0.1
0.15
Caudal (m3/s)
Figura 3.32.1. CC de una bomba
RENDIMIENTO
1
Altura (m.c.a)
Altura (m.c.a)
100
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.05
0.1
0.15
Caudal (m3/s)
Figura 3.32.2. Curva de rendimiento de una bomba
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 280
CURVAS DE ISORRENDIMIENTO
140
120
H (m.c.a.)
100
80
60
40
20
0
0
0.05
0.1
0.15
Caudal (m3/s)
Figura 3.32.3. Curvas de isorrendimiento.
En la tabla siguiente se pueden ver todas las combinaciones de bombas en serie y
paralelo. La mejor opción resulta ser 2 bombas en paralelo
h
serie
1
2
3
4
5
paralelo
1
22,4
44,8
67,2
89,6
112
2
65,6
131,2
196,8
262,4
328
3
73,6
147,2
220,8
294,4
368
4
76,4
152,8
229,2
305,6
382
5
77,696
155,392
233,088
310,784
388,48
paralelo
1
0,454512
0,454512
0,454512
0,454512
0,454512
2
0,863628
0,863628
0,863628
0,863628
0,863628
3
0,717168
0,717168
0,717168
0,717168
0,717168
4
0,590907
0,590907
0,590907
0,590907
0,590907
5
0,49818048
0,49818048
0,49818048
0,49818048
0,49818048
η
serie
1
2
3
4
5
Tabla 3.32.1. Resultados.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 281
EJERCICIO 3.33.
En primer lugar se localizan las curvas características de la bomba IN-80-250.aF para
las dos velocidades en los Ábacos y se identifican las propiedades del punto de
funcionamiento óptimo en ambos casos:
•
•
1450 [r.p.m.]:
pág 68
HΛ = 21 [m C.A.]
QΛ = 92 [m3/h]
2970 [r.p.m.]:
pág 99
HΛ = 88,3 [m C.A.]
QΛ = 197 [m3/h]
ηΛ = 72 [%]
ηΛ = 76 [%]
Al tratarse de bombas semejantes funcionando en puntos de funcionamiento semejantes
se deben verificar las relaciones de semejanza:
Q1
Q
= 3 2
D ⋅ N1 D2 ⋅ N 2
H1
H
= 2 2 2
2
D ⋅ N1 D2 ⋅ N 2
2
1
3
1
En ambos casos el diámetro de rodete es el mismo (271 [mm]), por lo que D1 = D2, de
forma que las relaciones se simplifican:
H1 H 2
=
N12 N 22
Q1 Q2
=
N1 N 2
Operando se tiene que:
21
88,3
= 9,988 ⋅10 −6 ≈ 1 ⋅10 −5 =
2
1450
2970 2
⇒
92
197
= 0,06345 ≈ 0,06633 =
1450
2970
Se verifican por tanto las relaciones de semejanza hidráulica.
Nota.- al tratarse de bombas semejantes funcionando en puntos de funcionamiento
semejantes se debería obtener, en principio, el mismo rendimiento en ambos casos; los
efectos de escala pueden explicar las diferencias entre “modelo” (1450 [r.p.m.]) y
“prototipo” (2970 [r.p.m.]). Si se realizan los cálculos de revalorización a partir del
rendimiento en modelo (ηMΛ = 72 [%]) se obtienen los siguientes valores para el
rendimiento en prototipo:
•
Sulzer (Ábacos, pag 21): ηPΛ = 75 [%]
(revalorización del 3 [%])
•
Hutton (Ábacos, pag 21): ηPΛ = 77 [%]
(revalorización del 5 [%])
•
CEI (Ábacos, pag 22):
ηPΛ = 80 [%] (revalorización del 8 [%], ¿excesiva?)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 282
EJERCICIO 3.34.
En la figura 3.34.1 puede verse el esquema de la bañera de hidromasaje.
Figura 3.34.1
La bomba impulsa un caudal Q y a cada boquilla le llega un caudal Q/2. Por cada
boquilla donde la constante de pérdidas vale KB = 624021,2 [m C.A./(m3/s)2] sale el
agua a una velocidad c y profundidad 0,7 [m]. Aplicando la ecuación de la energía entre
la piscina y cualquiera de las boquillas:
H (Q) – KB (Q/2)2 = 0,7 + 0,3 + c2/2g
(1)
Por otra parte, conocido el diámetro de la boquilla D = 0,01 [m] se puede calcular la
[m2]
sección A de la misma:
A = 0,25 ⋅ π ⋅ D2
Y expresando c en función del caudal que circula por la boquilla (Q/2):
c = (Q/2)/A
Que sustituido en (1):
H (Q)= 1 + [(KB /4) + (1/(8 ⋅ g ⋅ A2))] Q2
(2)
Esta ecuación (2) es la expresión genérica del circuito donde para Hm (Q) hay tres
expresiones correspondientes a las tres bombas candidatas TIPER 30-50-75
De los datos tabulados del problema se pueden ajustar las curvas características a las
expresiones de H = H (Q) y Pm = Pm (Q)
TIPER 30
TIPER 50
TIPER 75
A
11,60
12,53
13,46
C
– 1,67E-04
– 1,46E-04
– 1,28E-04
D
3,51E-01
3,80E-01
3,91E-01
E
1,30E-03
1,89E-03
2,30E-03
F
– 2,47E-06
– 3,70E-06
– 2,47E-06
Tabla 3.34.1
Con los coeficientes A y C para la curva H (Q) de las distintas bombas y entrando en la
ecuación 2, se pueden calcular Q y H de funcionamiento, potencias mecánicas potencias
hidráulicas y rendimientos de la bombas candidatas (Tabla 3.34.2).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 283
Q [m3/s]
1,94E-03
2,05E-03
2,15E-03
TIPER 30
TIPER 50
TIPER 75
Q [L/min]
116,25
122,83
129,28
H [m C.A.]
9,35
10,32
11,32
Pm [kW]
0,47
0,56
0,65
PH [kW]
0,18
0,21
0,24
ηB [-]
0,38
0,37
0,37
Tabla 3.34.2
A partir de las potencias mecánicas en relación a la potencia nominal de los motores de
accionamiento se calculan las fracciones de carga a la que trabajan y con las mismas se
interpola el rendimiento eléctrico del motor. Con él se puede calcular la potencia
eléctrica absorbida de red y en función del número de horas de trabajo anuales se
calcula la energía total [kW-h] consumidos en un año. Conocido el coste del [kW-h]
(0,09 [€]) se puede calcular el coste de la energía consumida en un año con cada una de
las opciones. (Tabla 3.34.3).
TIPER 30
TIPER 50
TIPER 75
FACTOR
CARGA
0,85
0,74
0,86
ηM
0,67
0,67
0,68
PABS
[kW])
0,70
0,83
0,95
Nº HORAS
1080
1080
1080
Eabs
[kW-h/año]
757,20
897,36
1028,67
Coste energía
anual [€]
68,15
80,76
92,58
Tabla 3.34.3
Por otra parte, el coste de inversión de comprar cada tipo de bomba debe repartirse a lo
largo de su vida útil estimada. El factor de amortización (A.F.) sirve para calcular
cuánto se debe atribuir al primer año (amortización). Con los datos del problema
A.F. = 0,15472181. Multiplicando el coste total de cada bomba por A.F. se calcula el
coste de inversión atribuible al primer año. Sumándole el coste de la energía en un año,
da el coste total (amortización + energía) permitiendo la selección de la opción
globalmente más económica a pesar de ser la bomba más cara (TIPER 30)
(Tabla 3.34.4).
precio [€]
TIPER 30
TIPER 50
TIPER 75
202,00
198,00
190,00
1er año
coste inv.
31,25
30,63
29,40
1er año coste energ
68,15
80,76
92,58
Tabla 3.34.4.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
1er año
coste total
99,40
111,40
121,98
Ejercicios resueltos - 284
EJERCICIO 4.1.
N = 500 [r.p.m.] Æ ω = 52,36 [rad/s]
En el periodo 1965 – 1969 la fórmula para obtener el nq es:
n q = 1087,8 ⋅ H −0,625
Y los coeficientes científicos son:
Q
[-],
ϕ=
π ⋅ R5 ⋅ω
2⋅ E
ψ = 2 2
R ⋅ω
[-]
ν=
y
ϕ
1
ψ
3
2
[-]
4
Respuesta 1
En el caso presente es dato la curva de salto neto nominal, y las de máximo y
mínimo. Se aprecia que éste varía con el caudal por las pérdidas de carga. Si se desea
trabajar con un valor invariable se debería considerar el Salto Bruto Nominal.
En el punto óptimo los valores son:
ϕη = 0,27
[-];
ψ η = 4,40
ηη = 88,5
[-];
[%];
ν = 0,171
[-]
Conocida la relación, nq = 169,208 ⋅ν (nom a opt), se puede calcular
nqnom = 169,208 ⋅ν Λ = 28,93 [*]
Mirando en tablas se observa que corresponde a una turbina FRANCIS.
Si el salto neto varía con el caudal,
ϕ nom ≈ 1,15 ⋅ ϕ Λ = 0,3105 [-]
Con este valor se entrará en la gráfica para leer el valor
ψ nom = 4,26 [-];
ν nom = 0,188 [-];
n q = 1087,8 ⋅ H −0,625 [*]
⇒
nqnom = 29,65 [*];
H nom = 318,6 [m C.A.]
Como se puede apreciar hay cierta diferencia entre los valores en este caso
concreto. Para continuar se sigue con estos últimos valores calculados.
Una vez conocidos estos valores, empleando ahora los coeficientes de caudal y
energía, se puede determinar el diámetro de referencia del rodete, en función de las
condiciones del punto nominal.
ψ 2e =
2⋅ E
2 ⋅ 9,81⋅ 318,4
⇒ 4,26 = 2
⇒ R2 e = 0,7316 [m] ⇒ D2e = 1,463 [m]
2
2
R ⋅ω
R2 e ⋅ 52,36 2
A partir de este punto se podría proceder:
- al dimensionamiento completo de la turbina, a partir de los valores de las diferentes
magnitudes geométricas obtenidas estadísticamente por De Siervo y De Leva.
- a la obtención de los valores de salto y caudal de toda la colina.
- a la determinación estadística de la cota de implantación de la turbina para evitar una
cavitación excesiva.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 285
Los puntos seleccionados resultantes son:
Magnitud
Caudal [m3/s]
Salto Neto [m C.A.]
Coeficiente del caudal (ϕ) [-]
Coeficiente de Altura (ψ) [-]
Óptimo
17,39
329,1
0,27
4,40
Nominal
20,00
318,6
0,3105
4,26
Respuesta 2
Estadísticas ⇒ Francis ⇒ σ = a ⋅ν b con ν Λ = 0,171 [-]
AUTOR
Creager
Knapp
Vivier
De Siervo
a
1,024
0,634
0,530
0,436
b
1,990
1,665
1,742
1,388
σ [-]
0,0305
0,0335
0,0244
0,0376
NPSHest [m C.A.]
10,037
11,024
8,030
12,373
Ha [m C.A.]
+ 0,055
– 0,933
+ 2,062
– 2,280
Respuesta 3
En la figura de colina se determinan gráficamente los diferentes coeficientes
adimensionales de energía. Dichos valores se llevan a la expresión del coeficiente y se
despeja el salto bruto.
ψ [-]
Máximo
Nominal
Mínimo
5
4,75
4,2
Salto Bruto [m]
379,94
355,25
314,11
El coeficiente de pérdidas se determina por ejemplo para el nominal, ya que se
dispone de datos:
H b = H n + ∆H Æ 355,25 = 318,6 + ∆H
∆H = K ⋅ Q 2 Æ 36,65 = K ⋅ 20,00 2 Æ K = 91,62 ⋅10 −3 [m C.A. ⋅ (m3/s)2]
Respuesta 4
Utilizando las ecuaciones de dimensionado de las turbinas Francis se obtiene:
k u 2 = 0,293 + 0,0081⋅ nq = 0,533 [-]
u 2 = k u 2 2 g ⋅ H n = 42,11 [m/s]
u2 =
2 ⋅ π ⋅ N D2
⋅
Æ D2 = 1,61 [m]
60
2
D1 = 2,18 [m] Æ D1e = 1,612 [m]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 286
EJERCICIO 4.2.
Respuesta 1
El caudal para distribuidor a plena apertura (nominal) y en el óptimo para cada
grupo será:
Qnom =
Q∧ =
Qtot 690
=
= 115,0
6
6
Qnom
= 92,0
1,25
[m3/s]
[m3/s]
El correspondiente grado de apertura en el distribuidor estará comprendido entre
60 [%] y 70 [%]; aunque se ha tomado como hipótesis el valor de 70 [%] (colina nº1
H – Q).
A = 70
[%]
Figura 4.2.1. Determinación del caudal óptimo y apertura de distribuidor
correspondiente en colina (Q-H)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 287
Respuesta 2
El rendimiento óptimo se supone como del 92 [%] (en la colina) de acuerdo a la
nota al fin del enunciado (en realidad es algo superior). En cuanto al resto, todo es dato
salvo el salto neto.
Pm ∧ = Ph ⋅η h^ = ρ ⋅ Q∧ ⋅ g ⋅ H ∧ ⋅η h^
H ∧ ≡ H nom = 126,327
[MW]
[m C.A]
Respuesta 3
Consultando ahora la colina nº2 P – H, se tendrá que la potencia a plena apertura
de distribuidor para salto neto nominal (de diseño) será del 100 [%], cuando en el
óptimo será del 85 [%]:
Pm_nom = Pm_ ∧ ⋅
100
100
= 104,892 ⋅
= 123,40
85
85
[MW]
A su vez la potencia eléctrica resulta:
Pa_nom = Pm_nom ⋅η a = 116,70
[MW]
Para los 6 grupos resultará:
Pa_nom (central) = 6 ⋅ Pa_nom = 718,20
[MW]
Figura 4.2.2. Determinación de la potencia nominal en la colina (P-H).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 288
La potencia máxima se situará en el punto extremo de la colina P-H, es decir
para el mayor salto neto posible (125 [%] del nominal) y máxima apertura de
distribuidor (100 [%]). Se tiene:
H MAX ≡ 1,25 ⋅ H nom = 157,91
[m C.A]
Pm_MAX ≡ 1,42 ⋅ Pm_nom = 175,23
[MW]
Pa_MAX ≡ 0,97 ⋅ Pm_MAX = 169,97
[MW]
Y para los 6 grupos:
Pa_MAX (central) ≡ 6 ⋅ Pa_MAX = 1019,84
[MW]
Figura 4.2.3. Determinación de la potencia máxima en la colina (P-H).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 289
Notas:
1. Para determinar el punto extremo en la colina ha sido necesario salirse de la escala
(terminaba en 140 [%] y se ha pasado a 142 [%])
2. La potencia máxima se ha determinado en el supuesto de que la potencia de diseño
del alternador no supone ningún límite. Normalmente se suele introducir una cierta
limitación por cuestiones económicas. Si tal límite existiera se representaría por
medio de una recta en la colina P-H.
3. Un caso típico de limitación se suele dar en las máquinas Kaplan y bulbo que
trabajan con pequeños saltos. Siendo dado que el nivel en la captación (azud o
represa de agua fluyente,…) es prácticamente constante, el nivel aguas abajo
condiciona el salto neto, y resulta ser muy función del caudal. En consecuencia es
difícil que se dé simultáneamente un gran caudal y un gran salto.
4. En turbinas Francis, como el caso del problema se puede presentar una situación
similar pero en menor medida. Podría aceptarse un dimensionamiento del
alternador como el calculado aquí arriba si se prevén situaciones repetitivas de
estiaje, de modo que funcionen pocos grupos a mucho salto y plena carga.
Respuesta 4
La velocidad específica se determina a partir de la expresión estadística dato. No
obstante se debe tener en cuenta que dicho valor se refiere al nominal y no al óptimo. En
el presente caso se debe asumir que el nominal corresponde al punto de diseño (100 [%]
de Q y 100 [%] de H).
−0,625
ns = 2959 ⋅ H nom
= 143,78
[*]
Llevando ahora el valor estadístico, obtenido, a la expresión de la velocidad
específica:
ns = N ⋅
12
Pm_nom
[*]
54
H nom
Despejando, teniendo en cuenta que la potencia se introduce en [kW], se obtiene
un valor tentativa de la velocidad de rotación N y el número de pares de polos
aproximado. Para el presente caso se supone que la frecuencia de la red es la europea,
con 50 [Hz]. Se tiene:
N = 173,34
N=
[r.p.m.]
60 ⋅ f
n. p.
n. p. =
[r.p.m.]
60 ⋅ 50
= 17,41
172,32
[p.p]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 290
Se elige, entonces, un número de pares de polos superior (si se desea ser
conservador). En este caso:
n. p. = 18
[p.p.]
N = 166,6667
[r.p.m.]
Resultando, entonces la velocidad específica definitiva:
ns = 138,24
[*]
La opción elegida corresponde a una estrategia conservadora en el supuesto de
que se disponga de poca sumergencia, o en el límite, de una excesiva altura de
aspiración y por consiguiente bajo σplanta.
Ahora bien, también puede resultar el caso contrario, en que sea posible y
económicamente viable enterrar algo más el plano de referencia de rodetes. En dicha
situación se puede ir a un número de pares de polos inferior, teniéndose:
n. p. = 17
[p.p.]
N = 176,47
[r.p.m.]
Resultando, entonces la velocidad específica definitiva:
ns = 145,80
[*]
Como no se daban datos adicionales relativos a la cavitación, cualquiera de las
dos respuestas es válida, pero convenientemente razonada.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 291
EJERCICIO 4.3.
Respuesta 1
En primer lugar se determinan las zonas de funcionamiento marcando los saltos netos
(en este caso coinciden con los brutos) para el nominal, el máximo y el mínimo. Se
tiene: (Ábacos, pag. 17. Expresiones 3.43-3.44):
Q11 =
Q
D ⋅ H1 2
[m0,5*s-2]
n 11 =
N⋅D
H1 2
[m0,5*r.p.m.]
2
Nota: Se puede observar que las unidades que se asignan en las gráficas, por tradición
indican [m3/s] y [r.p.m.]: nada más lejos de la estricta realidad!!!!
Al ser igual salto bruto y neto (no hay pérdidas de carga) se tienen para los principales
valores de salto bruto ó altura de impulsión bruta (prototipo):
Nominal
Máximo
Mínimo
H [m.C.A.]
Turbina
137,8
145
126
n11 [*]
65,75
64,11
68,77
Tabla 4.3.1.
H [m C.A.]
n11 [*]
137,8
145
112
122
135
65,75
64,11
72,95
69,89
66,44
Bomba
Nominal
Vacioinf (183) –LLenosup (328) (max)
LLinf (206)-Vsup (318) (mín)
LLinf (206)-LLsup (328)
Vinf (183)-Vsup (318)
Tabla 4.3.2.
Se marcan ahora los valores de n11 en cada gráfica aportada en el examen. En principio
los confines de funcionamiento en bomba estarán perfectamente definidos por los
valores de n11. En turbina conviene marcar además, las aperturas de distribuidor
admitidas.
Queda por último verificar con la potencia (del alternador) si existe algún limite
solapado a los anteriores. Esto es fácil de ver en el caso de funcionamiento en bomba
pues se aporta la curva P11 función de n11. En turbina el cálculo debe ser indirecto. El
punto más desfavorable será: mínimo n11, máxima apertura a máximo salto neto. Es
decir, sobre la colina:
n 11 = 64,11
Q 11 = 0,995
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[*]
Ejercicios resueltos - 292
H = 145
[m.C.A.]
Q = 178,518
[m3/s]
Teniéndose:
Pa = Ph ⋅ η g ⋅ η a
[W]
Pero el rendimiento de turbina a considerar será el de prototipo. Siendo conservador,
este rendimiento se supone, por ahora, igual al de modelo pero con una revalorización
del 3,5 [%]: Se tiene, en el punto considerado:
Pa = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 145 ⋅ 178,518 ⋅ (0,875 + 0,035) ⋅ 0,985
Pa= 227,61
[W]
[MW]
Se estaría, pues, dentro de lo admisible.
Los límites para cada modalidad de funcionamiento (turbina y bomba) se indican en las
figuras 4.3.3 y 4.3.4.
Figura 4.3.3. Límites de funcionamiento en turbina.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 293
Figura 4.3.4. Limites de funcionamiento en bomba. Se han marcado también los
niveles intermedios correspondientes a depósito lleno ó vacío. Esto es necesario
para definir el funcionamiento favorable en cavitación
Respuesta 2
Se trata ahora de obtener la colina parcial de rendimientos para el salto neto nominal
(turbina). Se procede acotar la colina global por la línea n11 = constante, para valores
enteros del rendimiento. Se anotan los valores en una tabla previa a realizar cualquier
gráfica. En cuanto al número de puntos se comienza espaciando algo los valores. Si
posteriormente fuera necesario se procedería a añadir puntos.
El valor de máximo rendimiento es difícil de evaluar exactamente pero se supone que
será muy cercano al 90,50 [%]. Este valor es necesario para aplicar una de las
modalidades de revalorización.
Para definir el extremo de funcionamiento se ha considerado el punto a plena apertura
que corresponde aproximadamente a un rendimiento de 87,4 [%].
En cuanto a la revalorización de rendimientos la expresión a aplicar es la de Hutton para
bombas turbina funcionado en turbina y turbinas Francis de baja velocidad específica
(Ábacos: página 23, expresión 3.91).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 294
  Re
∆η = (1 − η M ) ⋅ 0,6 ⋅ 1 −  M
  Re P



0, 2



[-]
El número de Reynolds tiene por expresión
Re =
D⋅ 2⋅g⋅H
ν
[-]
Para el modelo Rem se calculará con Hnm = 20 [m C.A.] y Dm = 0,25 [m]
Para el prototipo Rep se calculará con Hnp = 137,8 [m C.A.] y Dp = 3,86 [m]
Rem = 4,94 ⋅ 106
Rep = 200,6 ⋅ 106
La fórmula de Hutton se aplica normalmente punto a punto. Es decir el incremento de
rendimiento resulta diferente dependiendo del propio rendimiento de cada punto en
modelo. Por otro lado las fórmulas modernas consideran la revalorización como
constante e igual al resultado de aplicar la fórmula al máximo.
En el caso del problema se asume dicho valor como el máximo para la colina parcial
actual (a n11 = 65,75), aunque también se podría haber considerado el máximo de toda la
colina aunque está vedada a su empleo en la presente aplicación.
ηM
[%]
78
84
88
90
90,5
90
88
87,4
n11
[*]
65,75
Q11
[*]
0,445
0,54
2
1/2
0,655 Qp=Q11*Dp *Hnp
0,7175
0,76
0,825
0,965
0,995
QP
[m3/s]
77,8
94,4
114,6
125,5
132,9
144,3
168,0
174,0
∆η
[-]
6,90
5,02
3,77
3,14
2,98
3,14
3,77
3,95
Tabla 4.3.3.
(1): Rendimiento revalorizado punto a punto
(2): Rendimiento revalorizado constante a partir del
óptimo
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
ηP (1)
[-]
84,90
89,02
91,77
93,14
93,48
93,14
91,77
91,35
ηP (2)
[-]
80,98
86,98
90,98
92,98
93,48
92,98
90,98
90,38
Ejercicios resueltos - 295
Revalorización de Hutton (Turbina)
n11= 65.75 (Hnp nominal=137.8 m.c.a)
Rend (%)
95
90
85
80
75
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
Qp (m3/s)
ηmodelo [%]
ηprototipo (1) Pto. a pto
ηprototipo (2): ηm + 2.98(%)
Figura 4.3.5. Revalorización de Hutton. Modo turbina.
Respuesta 3
Para el funcionamiento en bomba se procede de modo análogo. La única salvedad ahora
consiste en que varían simultáneamente caudal y altura de impulsión.
Del mismo modo que en el caso anterior se consideran una serie de puntos reducida,
ampliándose posteriormente si se viera la necesidad. En principio los puntos elegidos
corresponden a las 4 situaciones de embalse superior e inferior más el nominal. Como
punto adicional se elige el correspondiente al máximo rendimiento.
En cuanto a la revalorización de rendimientos la expresión a aplicar es la de Ackeret
(Ábacos, pag. 2. Expresion 3.89), de la misma estructura que la de Hutton pero con
coeficiente de pérdidas diferente.
  Re
∆η = (1 − η M ) ⋅ 0,5 ⋅ 1 −  M
  Re P



0, 2



[-]
El número de Reynolds es igual al anterior según
Re =
D⋅ 2⋅g⋅H
ν
Para el modelo, ahora la altura manométrica es 25 [m C.A.] con lo Rem = 5,53 ⋅ 106 [-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 296
Respecto a la revalorización punto a punto o constante se realiza el mismo comentario
que la respuesta anterior.
Qp=Q11*Dp2*Hnp1/2
Nominal
Optimo
ηM
[%]
86,80
88,50
89,80
89,95
89,40
90,00
n11
HP
Q11
[*] [m.C.A,]
[*]
72,95
112
1,02
69,89
122
0,905
66,44
135
0,77
65,75 137,8
0,74
64,11
145
0,665
65,5
138,9
0,725
Rem=5,53 106
QP
[m3/s]
160,05
148,94
133,30
129,43
119,31
127,31
Rep
180944679
188849884
198656917
200706490
205883151
201505975
180944679
ηM
+2,56(cte)
∆η
[-]
3,31
2,91
2,61
2,57
2,73
2,56
ηP (1)
[-]
90,11
91,41
92,41
92,52
92,13
92,56
ηP (2)
[-]
89,36
91,06
92,36
92,51
91,96
92,56
Tabla 4.3.4.
(1): Rendimiento revalorizado punto a punto
(2): Rendimiento revalorizado constante a partir del óptimo
Curva H-Q del prototipo
160
140
Hmp (m.c.a.)
120
100
80
60
40
20
0
0
50
100
150
200
Qp (m3/s)
.
Figura 4.3.6. Curva H-Q prototipo
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 297
Revalorizacion de Ackeret (Bomba)
93
92
Rend (%)
91
90
89
88
87
86
0
50
100
150
200
Qp m3/s
ηmodelo [%]
ηprototipo (1) Pto. a pto
ηprototipo (2): ηm + 2.56(%)
Figura 4.3.7. Revalorización de Ackeret. Modo bomba.
Respuesta 4
Se conocen tanto las cotas de niveles máximos y mínimos en los embalses como las
curvas de σ en cada modalidad de funcionamiento. En las gráficas se incluyen los σadm
de turbina y bomba y el σ3% de bomba.
Por otro lado el valor de σadm en turbina es bastante inferior al de bomba en todos los
puntos por lo que no merece la pena realizar ningún cálculo. Va a ser el valor de σ en
bomba el que obligue a establecer la cota de implantación.
La diferencia de alturas de impulsión en las distintas cotas de embalse es bastante
elevada por lo que el valor de σ no permite a priori hacerse una idea rápida de las
sumergencias y, por tanto, de la cota de implantación necesaria.
Las expresiones a emplear serán para el NPSH admisible y 3 [%] (intrínsecos):
NPSH xx = H ⋅ σ xx
[m C.A.]
Y para el cálculo del NPSH disponible o de planta con una altura de succión Hs
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 298
NPSHd = [(pb-pv).γ-1]-Hs
(No hay pérdidas en la aspiración:KQ2=0) [m C.A.]
Si
Hb = pb.γ-1
Hv = pv.γ-1
Los valores de Hb y Hv se determinan en los ábacos considerando en primera
aproximación, y al no especificar el enunciado más detalles, que:
™ Densidad del agua:
1000 [kg/m3]
™ Cota a considerar (altitud): 183 [m] (s.n.m.) (la del nivel inferior del embalse
inferior aunque podría cogerse con embalse lleno o bien un punto intermedio: en
cualquiera de los tres casos los valores serían prácticamente iguales)
™ Temperatura del agua:
20 [ºC] (para el sitio, conservador)
™ Aceleración gravedad:
9,81 [m/s2]
Se tiene que para turbina
(Ábacos, pag.5. Expresión 2.3):
5,256
pb = pb0 (1-2,2558e-05 z)
p b = 99030
[Pa]
H b = 10,095 [m C.A.]
(Ábacos pag. 8, Tabla 2.1):
p vw = 2339
[Pa]
H v = 0,238
[m C.A.]
Luego:
NPSHdisponible o de planta = 9,857- Hs
[m C.A.]
Aquí los criterios de protección serán dos posibles:
1. frente al criterio de pérdida de prestaciones del 3 [%].
En este caso la condición será que:
NPSHdisponible o de planta >= NPSH 3%
2. frente al riesgo de erosión.
En este caso la condición será que:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 299
NPSHdisponible o de planta >= NPSH adm
Ambos criterios deberán cumplirse en todo el rango de caudales de funcionamiento en
bomba que oscila entre 119,31 y 160,05 m3/s. Para ello habrá que identificar en ambos
casos en el rango de caudales de funcionamiento cuál es el valor requerido más alto de
NPSH 3% (NPSH adm). Calculando la altura de succión necesaria que da la condición de
que la NPSHdisponible o de planta>= NPSH 3% ( >= NPSH adm ) en esos puntos más
desfavorables, para el resto de puntos el funcionamiento será sin cavitación.
A continuación se confecciona una tabla con el conjunto de valores resultantes para los
puntos básicos de operación en bomba:
Condición
Embalse
inferior
embalse
superior
LL(206)-V(318)
LL(206)- LL(328)
V(183)- V(318)
nominal
V(183) - LL(328)
n11
Q11
Qp
HP
σ3%
NPSH3%
σadm
NPSHadm
[*]
[*]
(m3/s)
[m.C.A.]
[-]
[m.C.A.]
[-]
[m.C.A.]
72.95
69,89
66,44
65,75
64,11
1,02
0,91
0,77
0,74
0,67
160,05
148,94
133,30
129,43
119,31
112
122
135
137,8
145
0,475
0,215
0,09
0,09
0,12
53,20
26,23
12,15
12,40
17,40
0,785
0,38
0,145
0,14
0,18
87,92
46,36
19,58
19,29
26,10
Tabla 4.3.5.
La protección 3 [%] requiere que en el rango de caudales de la bomba, el NPSH
disponible o de planta sea en todos los puntos mayor o igual que 53,20.
NPSHdisponible o de planta = 9,857- Hs >=53,20.
Esto significa que la altura de succión para protección 3% deberá de ser
Hsplanta para 3% =< 9,857- 53,20
Hsplanta para 3% =< -43,34 [m]
Es decir, la bomba deberá encontrarse al menos 43,34 m por debajo del nivel del
embalse inferior. Puesto que esta condición se corresponde con la situación de embalse
inferior lleno –Z=206 -(y superior vacío) la cota máxima de la bomba para protección
3% será
Zplanta para 3%=<206-43,34
Zplanta para 3%=<162,66 [m] (s.n.m.)
La protección frente a la erosión requiere de una NPSH disponible o de planta en todos
los puntos de funcionamiento mayor o igual que 87,92.
NPSHdisponible o de planta = 9,857- Hs >=87,92.
Esto significa que la altura de succión para protección frente a la erosión o admisible
deberá de ser
Hsplanta para protección erosión =< 9,857- 87,92
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 300
Hsplanta para protección erosión =< -78,063 m.
Es decir, la bomba deberá encontrarse al menos 78,063 [m] por debajo del nivel del
embalse inferior. Puesto que esta condición se corresponde con la situación de embalse
inferior lleno –Z=206 -( y superior vacío) la cota máxima de la bomba para protección
frente a la erosión será
Zplanta para protección erosión =<206-78,063
Zplanta para protección erosión=<127,937 [m] (s.n.m.)
El punto más desfavorable, corresponde a la condición lleno inferior – vacío superior,
con una sumergencia necesaria de 78,063 [m] para evitar daños de erosión por
cavitación. En este punto se cumple que
Hsplanta para protección erosión = -78,063 [m].
σplanta= σadmisible=0,785 [-].
NPSHdisponible o de planta= NPSH adm = 87,92 [m C.A.]
Con valores de Hs menores de -78,063, se cumple que σplanta> σadmisible, NPSHdisponible
o de planta> NPSH adm y nos alejamos de cavitación, moviéndonos a zonas más seguras.
Si se deseara trabajar (ilógico, peligroso y costoso en centrales hidroeléctricas) con
valores correspondientes al 3 [%] de pérdida de prestaciones Hsplanta para 3% = -43,34 [m].
Se recuerda que el criterio de pérdidas de prestaciones no debe tenerse en cuenta en
centrales de generación eléctrica, salvo en el caso de máquinas de flujo axial: tipos
Kaplan, hélice y tubular. Aún en este caso se considerará el valor estándar del número
de Thoma (σs ) y no, obviamente, el 3 [%]. En el presente problema la inclusión del
criterio de la pérdida de prestaciones tenía una función meramente didáctica con el fin
de evaluar el orden de proporciones entre ésta y la ya citada de la erosión.
NPSH-Q Prototipo
NPSH (m.C.A.)
100
80
60
40
20
0
0
50
100
150
200
Qp (m3/s)
NPSH 3% [m.C.A.]
NPSH adm [m.C.A.]
NPSH planta [m.C.A.]
Figura 4.3.8. NPSH-Q
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 301
Respuesta 5
Las estadísticas a considerar son las correspondientes a generación eléctrica, es decir los
ábacos de Graeser.
Para poder realizar la comparación se debe determinar la velocidad específica en el
nominal (prácticamente coincide con el óptimo en el caso presente)
Se tiene:
n q = N ⋅ Q1 2 ⋅ H −3 4
[*]
Para N = 200 [r.p.m.], Q = 129,43 [m3/s] y H = 137,8 [m C.A.], se tiene:
nq = 56,57
[*]
La conversión a notación científica (Ábacos, pag. 16)
nq = 157,787 ν
ν = 0,359
[-]
Otro dato que es necesario determinar es la fluctuación de altura de impulsión que se
tiene en el Aprovechamiento, de acuerdo a la expresión.
∆H =
H max − H min
⋅ 100
H nom
[%]
145 − 112
⋅ 100 = 23,9
137,8
[%]
Es decir:
∆H =
Graeser tiene dos ábacos, el primero con 6 datos estadísticos diferentes (diferentes
autores) que corresponde a Aprovechamientos con poca variación de altura de
impulsión respecto del nominal, del orden del 6 [%] (Ábacos, pag. 47). El segundo
(Ábacos, pag. 48) corresponde a fluctuaciones de altura de impulsión con dos valores, el
primero para variaciones entre el 10 y el 15 [%] y el segundo para variaciones de más
del 20 [%]. Este será el primer valor a determinar:
Con: ∆H = 23,9 [%]
y ν = 0,359 [-]
σ planta = 0,27 [-]
Como se puede apreciar el valor de σ que se propone es bastante inferior al determinado
en el problema σplanta= 0,785 [-].
Conviene realizar un segundo cálculo, en este caso con la estadística para valores
inferiores al 6 [%] de fluctuación, en concreto considerando la curva de Gerber y
Sutherland (nº5). Se tiene:
Con ν = 0,359 [-]
σ planta = 0,35 [-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 302
El nuevo valor, es superior al anterior. En cualquier caso ambos son bastante inferiores
a lo obtenido en la respuesta 4. Esta discrepancia tan importante merece los siguientes
comentarios.
1. Independiente de la discrepancia de resultados se debe recalcar la gran variación en
sigma en función del punto de operación en bomba. El valor es bajo en la zona de
óptimo y se dispara hacia ambos lados, caudales inferiores y superiores. Esta
evolución es difícil de predecir estadísticamente, lo que representa una dificultad
tradicional en este tipo de aplicaciones.
2. El Aprovechamiento objeto del problema, tiene la particularidad de una gran
fluctuación de alturas de impulsión. Es evidente que cuanto mayor sea ésta, el valor
de σadm será mayor y, por tanto, la implantación más profunda. Una pregunta que
debería realizarse al Propietario de la Central es si esta fluctuación especificada
corresponde a valores posibles pero no probables, o bien en que porcentaje de
tiempo de funcionamiento de la central se producen los valores extremos de
funcionamiento. Por ejemplo, se podría admitir una implantación menos profunda si
el 95 [%] del tiempo de funcionamiento se produce entre los puntos V-V y V-LL y
sólo el 5 [%] entre LL-V y LL-LL. En esta circunstancia σadm pasaría de 0,785 a
0,34. Por otro lado, este somero análisis lleva a la conclusión de que quizás las
estadísticas no estén bien establecidas y deba ser necesario revisarlas.
3. Al margen de lo anterior se debe plantear la cuestión de cómo se ha establecido la
curva de σadm para esta máquina en concreto y si es correcta. No se debe olvidar que
el valor de σadm fijado suele serlo de modo subjetivo en base a la experiencia del
operador del laboratorio. Además, en el caso del problema, el tipo de cavitación
preponderante es de entrada intrados, que, se recuerda, no puede ser observada de
modo directo con facilidad durante los ensayos en modelo.
Respuesta 6
No hay ningún comentario que hacer salvo los ya indicados en relación a la cavitación.
Por otro la colina de funcionamiento en turbina es típica de las máquinas reversibles. Es
decir, por el propio hecho de tratarse de una bomba-turbina la zona de funcionamiento
en turbina se sitúa a saltos inferiores a los que corresponderían al óptimo rendimiento.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 303
EJERCICIO 4.4.
Respuesta 1
La colina que se adjunta presenta los resultados de los ensayos en modelo en forma n11 Q11, es decir velocidad unitaria versus caudal unitario (en notación tradicional). Las
unidades que se indican en el texto del problema, son erróneas pero corresponden,
asimismo a una forma tradicional de denominación (se indican las reales aquí). Se tiene.
n 11 =
N⋅D
H1 2
[m0,5*r.p.m.]
Q11 =
Q
D ⋅ H1 2
[m0,5*s-1]
2
Para marcar los límites de funcionamiento se debe determinar la velocidad unitaria y el
caudal unitario en los extremos. Para determinar la velocidad unitaria se conocen
™ los saltos brutos máximo y mínimo que son iguales a los netos al considerar nulas
las pérdidas de carga,
™ el diámetro de rodete en prototipo
™ la velocidad de rotación en prototipo, aunque de modo indirecto.
N=
f ⋅ 60
n .p.
[r.p.m.]
Al tratarse de un país como Canadá, la frecuencia de la red es de 60 [Hz], luego:
N=
60 ⋅ 60
= 128,57
28
[r.p.m.]
Se puede confeccionar la tabla 4.4.2, suponiendo g = 9,81 [m/s2] para la gravedad.
Condición
Máximo
Mínimo
Nominal
Eb
H
[J/kg] [m C.A.]
1163 118,552
1133 115,494
1144 116,616
n11
65,536
66,398
66,078
Tabla 4.4.2.
Los límites en Q11, vendrán marcados por las aperturas de distribuidor. Las
correspondientes en modelo se obtienen a partir de los datos de prototipo:
Am = Ap ⋅
Dm
Dp
Máximo: A m = 24,997 ≈ 25,00 [mm]
[mm]
Mínimo: A m = 9,999 ≈ 10,00 [mm]
Faltaría marcar la potencia límite en el alternador. En este caso resulta que dicho límite es
menos restrictivo que la apertura de distribuidor, por lo que no se marca.
A resaltar lo bien calada que está la máquina respecto de los rangos de operación previsto
para cada máquina.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 304
Figura 4.4.2. Límites de operación
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 305
Respuesta 2
El número de Reynolds se determina en base a la fórmula tradicional, ya que indican que
la fórmula de revalorización de rendimientos a aplicar es la de Hutton. En la fórmula se
conocen todos los datos (la viscosidad cinemática en modelo se determina en el ábaco,
tabla para 26 [ºC] y para el prototipo se asume un valor constante de 1 ⋅ 10-6 [m2/s]). Se
tiene:
Re =
D⋅ 2⋅g⋅H
ν
[-]
modelo:
Re m =
0,416 ⋅ 2 ⋅ 9,81 ⋅ 15
= 8.174.745
0,873 ⋅ 10 −6
[-]
prototipo:
Re p =
5,550 ⋅ 2 ⋅ 9,81 ⋅ H
1 ⋅ 10 −6
[-]
salto máximo
n 11 = 65,536 H=118,55
Re p = 267,668 ⋅ 10 6
[-]
salto mínimo
n 11 = 66,398 H=115,49
Re p = 264,194 ⋅ 10 6
[-]
salto nominal
n 11 = 66,078
Re p = 265,474 ⋅ 10 6
[-]
H=116,62
Respuesta 3
En la colina dato del problema se pueden determinar los valores n11 – Q11 correspondientes
a la apertura de 22,5 [mm]. Por otro lado, en las expresiones de caudal unitario y velocidad
unitaria se conoce Dm = 0,416 [m] y el salto de ensayos que es Hm = 15 [m C.A.]. Por
tanto, se despejará la velocidad de rotación (de n11) y el caudal (de Q11). Se tiene, en
resumen la siguiente tabla:
Condición
n11 max.
n11 min.
n11
[*]
89,10
54,93
N
[r.p.m.]
829,53
511,40
Q11
[*]
0,72
0,8239
Q
[m3/s]
0,4826
0,5522
Tabla 4.4.3
Respuesta 4
La determinación de la colina parcial para el salto neto nominal requiere de la
determinación sobre la colina de ensayo en modelo de diversos puntos de funcionamiento
n11 – Q11 (el primero constante e igual 66,078). Se deben seleccionar suficientes puntos
para definir correctamente la colina. En el presente caso se consideran todos los
rendimientos (modelo) que aparecen en la colina, de forma que éste dato sea exacto, y se
determinan los Q11: a partir de ahí se tiene el caudal de prototipo. Por otro lado se debe
determinar el rendimiento de prototipo y la potencia mecánica de prototipo, con lo cual se
debe realizar la revalorización de rendimientos, por medio de la fórmula de Hutton. Como
es sabido existe dos expresiones, la primera para turbinas Francis de baja velocidad
específica y bombas turbina funcionando en turbina y la segunda para turbinas Francis de
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 306
gran velocidad específica y turbinas Kaplan. En la resolución aquí presentada se ha
adoptado la fórmula segunda.

 Re
η p = 1 − (1 − η m ) ⋅ 0,3 + 0,7 ⋅  m
 Re

p






0,2




[-]
Nota: Las máquinas objeto de éste problema tienen una velocidad específica ν^ =0,35 (ver
pregunta 5), lo que significa que son “muy Francis”: por ejemplo obsérvese la figura 6.16
del libro donde se aprecia que el rendimiento alcanzable es el mayor de todos. En el
presente problema, al tratarse de una zona frontera, pueden admitirse cualquiera de las
dos expresiones.; no obstante resulta una diferencia de rendimientos de 0,5 [%] entre
ambas, por lo que hubiera sido lo más correcto aplicar un valor medio.
Esta fórmula, debe aplicar punto a punto, de modo que la revalorización de rendimientos
es variable con el caudal. Con todo ello se elabora la tabla 4.4.4 y la figura 4.4.3.
Nota: Resulta, no obstante, didáctico incluir asimismo la variante que supone una
revalorización constante de rendimientos, tomando como referencia el óptimo en modelo.
Esto permite observar la diferente evolución de rendimientos. En realidad este diferente
comportamiento fue el motivo para uniformizar la metodología de revalorización,
desembocando en la actual fórmula CEI.
Condición
óptimo
ηm
Q11
Qp
ηp
[-]
0,75
0,80
0,84
0,86
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,942
0,94
0,93
0,92
0,91
[*]
0,3358
0,3836
0,4187
0,4567
0,5037
0,5269
0,5537
0,5866
0,6209
0,6687
0,7119
0,7304
0,7761
0,8321
0,8642
0,8881
[m3/s]
111,7
127,6
139,3
151,9
167,6
175,3
184,2
195,1
206,5
222,4
236,8
243,0
258,2
276,8
287,5
295,4
P–p
[-]
0,8378
0,8702
0,8962
0,9091
0,9221
0,9286
0,9351
0,9416
0,9481
0,9546
0,9611
0,9624
0,9611
0,9546
0,9481
0,9416
Pm
p–p
[MW]
107,06
127,03
142,79
157,99
176,74
186,19
197,03
210,19
224,01
242,91
260,36
267,49
283,43
302,27
311,79
318,22
Tabla 4.4.4.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
ηp
^ cte
[-]
0,7711
0,8211
0,8611
0,8811
0,9011
0,9111
0,9211
0,9311
0,9411
0,9511
0,9611
0,9624
0,9611
0,9511
0,9411
0,9311
Pm
^ cte
[MW]
98,53
119,86
137,20
153,13
172,72
182,68
194,08
207,84
222,36
242,02
260,37
267,57
283,48
301,16
309,49
314,67
Ejercicios resueltos - 307
Figura 4.4.3.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 308
Respuesta 5
El dato indicado de σpl = 0,17 [-], corresponde a máximo caudal de la central y mínimo
salto neto. A la inversa para σpl = 0,13 [-], se tendrá máximo salto bruto y mínimo caudal.
La expresión del coeficiente de cavitación de Thoma es:
σ pl =
H b − H v − Hs
H
[-]
En esta expresión se determina Hb, presión barométrica en función de altitud (ábacos) y
suponiendo una temperatura del agua máxima del orden de 10 [ºC]. Al igual que la presión
de vapor del agua Hv.
Siendo pbo = 101320 [Pa], se tiene:
[
pb = pb 0 ⋅ 1 − 253,4 ⋅ 2,256 ⋅10 −5
]
5, 256
= 98160,4
[Pa]
ρ w = 999,7
[kg/m3]
p v = 1228
[Pa]
Hb − Hv =
98.160,4 − 1228
= 9,884
999,7 ⋅ 9,81
[m C.A.]
Se tiene:
σ pl = 0,17 y
H = 115,494
H s = −9,750 [m C.A.]
z II = 263,15
σpl = 0,13 y
H = 118,552
H s = −5,528 [m C.A.]
z II = 258,928 [m]
[m]
Respuesta 6
La comparación se puede realizar determinando la relación estadística entre velocidad
específica y coeficiente de cavitación de planta. Como dicha estadística se refiere a
velocidad específica científica en el óptimo, se tiene:
ν∧ = ω ⋅
(Q π)1 2
(2 ⋅ E )3 4
= 0,3579
[-]
σ = a ⋅ ν b∧
[-]
Resultando la tabla 4.4.5:
Fuente
Creager y Justin
Knapp y otros
Vivier
De Siervo y otros
a
1,024
0,634
0,530
0,436
b
1,990
1,665
1,742
1,388
σpl
0,1325
0,1146
0,0884
0,1047
Tabla 4.4.5
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 309
EJERCICIO 4.5.
La velocidad de rotación del rodete será:
Na
750
=
= 130 [r.p.m.]
rmult 5,77
N turb =
Es decir:
nturb = 2,17
[r.p.s.]; ω turb = 13,6 [rad/s]
Otros datos:
D = 2,85
[m]
En el óptimo: H Λ = 5
[m C.A.]
QΛ = 31
[m3/s]
η Λ = 91,5
[%]
La velocidad de rotación de turbina debe, efectivamente, ser inferior a la del
generador, para este tipo de máquinas axiales, cosa que se puede apreciar fácilmente
chequeando la relación velocidad específica-salto, que conducirá a velocidades de
rotación bajas. El empleo del multiplicador, permite aumentar la velocidad de rotación
en el generador (alternador), consiguiendo una máquina eléctrica más compacta (más
barata, por tanto) y en general, de mejor rendimiento.
a)
La potencia mecánica resulta: PΛ = η Λ ⋅ ρ ⋅ QΛ ⋅ g ⋅ H Λ = 1391,3
Y las velocidades específicas en el óptimo:
nqΛ = N ⋅ QΛ1 / 2 ⋅ H Λ−3 / 4 = 216,5
[*]
nsΛ = N ⋅ PΛ1 / 2 ⋅ H −5 4 = 648,5
[*]
ν Λ = ω ⋅ (QΛ π )1 2 ⋅ (2 ⋅ EΛ )−3 4 = 1,37 [-]
b)
QnD Λ =
ϕΛ =
QΛ
= 0,618
n ⋅ D Λ3
QΛ
= 0,251
π ⋅ ω ⋅ RΛ3
[-];
E nD Λ =
[-];
ψΛ =
EΛ
= 1,286
n ⋅ DΛ2
2
2 ⋅ EΛ
= 0,261
ω 2 ⋅ RΛ2
[-]
[-]
Obviamente se cumple la siguiente relación:
ϕ Λ1 / 2
ν Λ = 3 / 4 = 1,37
ψΛ
[-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[kW]
Ejercicios resueltos - 310
c)
La máquina es, físicamente, la misma luego:
D = D' = 2,85
[m]
E = 5⋅ g
[J/kg]
E ' = 3,75 ⋅ g
[J/kg]
E nD =
Resultando:
E
E'
= 2 2
2
n ⋅D
n' ⋅D '
[-]
2
N '= N ⋅
E'
= 112 ,6 [r.p.m.]
E
Y la relación de multiplicación:
rmult' =
Na
= 6,66
N'
[-]
¿Por qué realizar dos máquinas físicamente iguales para saltos diferentes? Es
una cuestión de economía de costes que debe estudiarse caso por caso. Por un lado, se
evitan los costes de personal para la realización de los planos constructivos, esquemas,
etc. (que pueden ser del orden de 200 en una máquina de este tipo). Por otro, si los
pedidos se realizan simultáneamente se pueden lograr economías de escala (modelistas
y proveedores diversos). En el debe de tal estrategia se debe considerar que, como
ambas máquinas tienen la misma velocidad específica, una de las dos o ambas, se
apartarán de la estadística que relaciona esta magnitud con el salto. Sin embargo, esta
actitud es lícita cuando se trata de minicentrales. En máquinas más grandes habría que
considerar eventuales modificaciones en la implantación, por ejemplo.
Por otro lado, como se va a ver, la diferencia en rendimientos para las dos
máquinas será pequeña.
d)
Q' = QnD ⋅ n'⋅D 3 = 26,85 [m3/s]
e)
La fórmula de Hutton a emplear, es la correspondiente a máquinas axiales.
Considerando como máquina “modelo” la correspondiente a 5 [m C.A.] de salto y la
“prototipo”, la nueva a 3,75 [m C.A.] de salto. Resulta:

 Re
η P = 1 − (1 − η M ) ⋅ 0,3 + 0,7 ⋅  M

 Re P



0, 2

 = 0,913

[-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 311
f)
El caudal máximo será:
Qmax = 1,25 ⋅ Q^ = 33,56
[m3/s]
Y la potencia mecánica máxima:
Pmax = η tur ⋅ ρ ⋅ Qmax_ nom ⋅ g ⋅ H nom
[W]
Pmax = 0,8883 ⋅1000 ⋅ 33,56 ⋅ 9,81⋅ 3,75 = 1096766,7 [W]
Pa _ max = η a ⋅η mult ⋅ Pmax
[W]
Pa _ max = 1021,31
[kW]
En la última expresión de la potencia, los rendimientos contemplados
corresponden a la localización física donde se produce la transformación energética
(turbina, multiplicador y alternador), más que al tipo de potencia perdida (hidráulica,
mecánica o eléctrica).
Por otro lado, conviene destacar que el rendimiento de turbina a considerar se
obtendrá en la colina actual, buscando sobre las líneas isorrendimientos, el punto H-Q
equivalente correspondiente (H = 5 [m C.A.] y QMAX = 1,25 ⋅ 31 = 38,75 [m3/s]). En
dicha figura este valor será de aproximadamente 89 [%], pero para las nuevas
condiciones el rendimiento en el óptimo era 0,17 [%] inferior. Asumiendo que dicha
diferencia fuera constante (lo cual es bastante aproximado) se obtiene el citado valor de
0,8883 [-]. En variante, más trabajosa, se puede determinar el nuevo rendimiento
aplicando Hutton a este punto, aunque las diferencias serán mínimas.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 312
EJERCICIO 4.6.
N⋅ Q
nq =
H
3
=
600 ⋅ 13,5
200
4
3
= 41,452 [*]
4
La velocidad específica científica es:
1
1
 13,5  2
Q 2


 
2 ⋅π
π
 π 
v = w ⋅   3 = 600 ⋅
= 0,263 [-]
⋅
3
60
4
4
(2 ⋅ E )
(2 ⋅ 9,81 ⋅ 200)
K u = 0.293 + 0.0081 ⋅ nq = 0,629 [-]
Ku =
π ⋅ D2 e ⋅ N
60 ⋅ 2 ⋅ E
⇒ 0,629 =
π ⋅ D2e ⋅ 600
60 ⋅ 2 ⋅ 9,81 ⋅ 200
⇒ D2 e = 1,254 [m]
Una vez calculada D2e calculamos D1i y D1e:

28,40 
28,40 

D1i =  0,4 +
⋅ D2e =  0.4 +
 ⋅1,254 = 1,360 [m]


n
41
,
452


q



1
D1e = 
 0,96 + 0,0013n
q


1

 ⋅ D2 e = 
 ⋅1,254 = 1,237 [m]

 0,96 + 0,0013 ⋅ 41,452 

Antes de calcular la cota implantación deberemos calcular σ cuya fórmula experimental,
es la siguiente:
σ = 35,29 ⋅ 10 −5 ⋅ nq 1, 41 = 0,0674 [-]
De esta manera la cota de implantación será:
σ=
10,33 − 0,24 − H a − 0,005 ⋅ 200
H b − H v − H a − H Ra
⇒ 0,0674 =
200
Hn
⇒ H a = −2,382 [m]
Nota.- si se tienen en cuenta las pérdidas por ensanchamiento brusco (Borda-Carnot) del
tubo de aspiración (hr2 = 0,118 [m C.A.]) entonces la cota de implantación sería
H a = −2,262 [m]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 313
Pregunta 2
Triángulo de velocidades a la salida:
U2
W2
C2
η vol =
Q−q
13,5 − q
⇒ 0,975 =
⇒ q = 0,338 [m3/s]
Q
13,5
Q2 = Q − q = 13,5 − 0,338 = 13,163 [m3/s]
u 2 = K u 2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ H = 0,629 ⋅ 2 ⋅ 9,81 ⋅ 200 = 39,387 [m/s]
c2 = cm 2 =
Q2
13,163
=
= 10,662 [m/s]
S 2 π ⋅1,254 2
4
cu 2 = 0 Porque no hay rotación.
La energía cinética del agua a la salida de la rueda es:
c22
10,622 2
5,794
=
= 5,794 [m C.A.] ⇒
⋅100 = 2,897 [%]
2 ⋅ g 2 ⋅ 9,81
200
Las pérdidas a la salida del tubo de aspiración son:
2
2
 Q2 
 13,163 
 


2
S3 
C3
8,65 
0,118


=
=
ϕ3 =
= 0,118 [m C.A.] ⇒
⋅100 = 0,059 [%]
2⋅ g
2⋅ g
2 ⋅ 9,81
200
La presión absoluta a la salida del rodete es:
p atm − p2
γ
10,33 −
+ ϕ 2 + ϕ3 =
p2
γ
+
c22
+ (z 2 − z a )
2⋅ g
p
0,5
200 + 0,118 = 5,794 + (− 2,262) ⇒ 2 = 7,916 [m C.A.]
γ
100
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 314
Pregunta 3
Triángulo de velocidades de la salida:
u2
cu2
85 [º]
w2
c2
η vol =
cm2
Q−q
21 − q
⇒ 0,975 =
⇒ q = 0,525 [m3/s]
Q
21
Q2 = Q − q = 21 − 0,525 = 20,475 [m3/s]
cm 2 =
c2 =
Q2
20,475
=
= 16,586 [m/s]
S 2 π ⋅1,254 2
4
cm 2
= 16,649 [m/s];
sen(85)
cu 2 = c2 ⋅ cos(85) = 1,451 [m/s]
La energía cinética del agua a la salida de la rueda es:
c22
16,649 2
=
= 14,128 [m C.A.]
2 ⋅ g 2 ⋅ 9,81
Las pérdidas a la salida del tubo de aspiración son:
2
2
 Q2 
 20,475 
 


2
S3 
c3
8,65 


=
=
ϕ3 =
= 0,286 [m C.A.]
2⋅ g
2⋅ g
2 ⋅ 9,81
La cota de implantación cuando p2 = pvap .= 0,24 [m C.A.],se calcula a través de la
siguiente ecuación:
p atm − p2
γ
c22
+ ϕ 2 + ϕ3 =
+ (z 2 − z a )
2⋅ g
Pero tomando en cuenta que ahora ϕ 2 incluye las pérdidas por fricción y choque
(0,5 [%] Hn) + la energía cinética contenida en cu2 que se invierte en irreversibilidades,
en hacer girar el agua, es decir en un remolino a la salida de la rueda.
cu22 1,4512
ϕ 2 = (0,5 [%] Hn) + (energía cinética de cu2 =
=
= 0,107 [m C.A.])
2 ⋅ g 2 ⋅ 9,81
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 315
Cuando la presión a la salida de la rueda es la mínima para no entrar en cavitación
(0,24 [m C.A.]) se tendrá en la situación más desfavorable la altura de succión frontera
o máxima H succiónfrontera antes de entrar en cavitación:
10,33 − 0,24 +
0,5
250 + 0,107 + 0,286 = 14,128 + H succiónfrontera
100
⇒ H succiónfrontera = −2,395 [m]
Por lo tanto, si la rueda hay que hundirla por debajo de la cota del canal de fuga al
menos H succiónfrontera = – 2,395 [m] y está hundida realmente – 2,262 el margen de
seguridad es − 2,395 − (− 2,262) = −0,133 [m]. Por lo tanto, realmente no existe margen
de seguridad y es posible que en esas condiciones se produzca cavitación.
Pregunta 4
El incremento de pérdidas producidas en el tubo de aspiración debido a la aparición de
la componente tangencial es:
cu22 1,4512
=
= 0,107 [m C.A.]
2 ⋅ g 2 ⋅ 9,81
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 316
EJERCICIO 4.7.
5 [m]
1.
Tramo I:
Tramo II:
Tramo III:
QI = 5
QII = 5
QI = 10
[L/s]; LI = 1000
[L/s]; LII = 1500
[L/s]; LIII = 3000
∑hf I = 4,54 · 10-3 · 1000 = 4,54
∑hf II = 4,54 · 10-3 · 1500 = 6,81
∑hf III = 2,17 · 10-3 · 3000 = 6,51
vI =QI / SI = 0,636 [m/s] = vII
vIII = 0,566 [m/s]
[m];
[m];
[m];
DI = 100
DII = 100
DIII = 150
[m C.A.]
[m C.A.]
[m C.A.]
Aplicando la ecuación de la energía entre 1 y 3, y 2 y 3:
p1 / γ + c12 / 2·g + z1 = p3 / γ + c32 / 2·g + z3 – ∑hf III – ∑hf I
p2 / γ + c22 / 2·g + z2 = p3 / γ + c32 / 2·g + z3 – ∑hf III – ∑hf II
Ya que 1-2-3 están a la misma altura podemos simplificar los términos z:
p1 / γ + 0,6362 / 2·g = p3 / γ + 0,5662 / 2·g – 6,51 – 4,54
15 + 0,6362 / 2·g = p3 / γ + 0,5662 / 2·g – 6,51 – 6,81
Nos quedan dos ecuaciones con dos incógnitas y resolviendo:
p3 / γ = 28,32 [m C.A.];
p1 / γ = 17,27 [m C.A.]
2.
H0 + Hm(Q) = H3 (no hay pérdidas)
p0/γ + c02/2·g + z0 + Hm(Q) = p3 / γ + c32 / 2·g + z3
Hm(Q)= p3 / γ + c32 / 2·g + z3 – z0 = 33,34 [m C.A.]
Q = 10 [L/s] = 10 · 10–3 [m3/s]
Bomba:
PH = 9,81· Q · Hm = 3,27 [kW]
Pm = PH / ηB = 3,27 / 0,7 = 4,667 [kW]
3.
Pmbomba = Pmturbina = 9,81 · Q · Hn · η
0
Hn = 68 [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[mm]
[mm]
[mm]
Ejercicios resueltos - 317
4.
u1 = Ku1 · (2 ⋅ g ⋅Hn)1/2 = 0,435 · (2 · 9,81 · 68)1/2 = 15,88 [m/s]
c1 = Kc1 · (2 ⋅ g ⋅ Hn)1/2 = 0,97 · (2 · 9,81 · 68)1/2 = 35,41 [m/s]
1 inyector:
Qj = c1 · π · dj2 / 4
→
dj = 0,01896 [m]
dj / D = 0,141
→
D = 0,134 [m]
F = ρ · Q · (c1 – u1) · (1 + m · cosβ2) = 376,4 [N]
Cm = R· D2 / 2 = 25,29 [N · m]
5.
ηman = 2 · Ku1 · (Kc1 – Ku1) · (1 + m · cosβ2)
ηmec = ηG / (ηman · ηvol) = 0,7 / (0,8983 · 1) = 0,78 [-]
6.
u1 = 2 · π · N · D/(60 · 2)
→
N = 2263,33 [r.p.m.]
7. u1 = u = 15,90 [m/s]
c1 = 35,45 [m/s]
w1 = c1 – u1 = 19,55 [m/s]
α1 = 0 [º]
β1 = 0 [º]
u2 = u = 15,90 [m/s]
w2 = 0,96 ⋅ w1 = 18,77 [m/s]
β2 = 15[º]
⇒
cm2 = 4,86 [m/s]
senβ2 = cm2/w2
⇒
cu2 = 2,23 [m/s]
cosβ2 = (u2 + cm2)/w2
c2 = (cm22 + cu22)1/2 = 5,35 [m/s]
⇒
α2 = 114,65 [º]
tanα2 = cm2/cu2
8.
nq = N · Q1/2/ Hn3/4 = 2263,33 · (10 · 10-3)1/2 / 683/4 = 9,55 [*]
⇒
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
PELTON
Ejercicios resueltos - 318
EJERCICIO 4.8.
Respuesta 1
El caudal para distribuidor a plena apertura (caudal nominal), para cada grupo
será:
Qnom =
Qtot 690
=
= 115,0
6
6
[m3/s]
El salto neto en el nominal determinará:
Pm_nom = Ph_nom ⋅η h_nom = ρ ⋅ Qnom ⋅ g ⋅ H nom ⋅η h_nom
[W]
Es decir:
123,04 =
1000 ⋅115 ⋅ 9,81⋅ H nom ⋅ 0,87
10 6
[MW]
Resultando:
H nom = 125,73
[m C.A]
Las pérdidas de carga en el nominal, serán:
∆hnom = H b − H nom = 139,83 − 125,73
∆hnom = 14,10
[m C.A.]
[m C.A]
Y el coeficiente de pérdidas:
∆h = K ⋅ Q 2
K=
14,101
= 1,066 ⋅10 −3
2
115
[m C.A.]
[m C.A.⋅ s2/m6]
Respuesta 2
La potencia total en el óptimo precisa de localizar previamente, el punto óptimo
en la colina Q-H. Siendo dato la relación entre Q^ y Qnom, se identifica la abscisa. Sin
embargo, ahora, variará el salto neto en el óptimo frente al nominal ya que existen unas
pérdidas de carga apreciables.
Q∧ =
Q
= 92,0
1,25
[m3/s]
En porcentaje (sobre la figura 4.8.1), se tiene:
Q∧% =
Q^ ⋅100
= 80
Qnom
∆h^ = K ⋅ Q^2 = 9,025
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[m3/s]
[m C.A.]
Ejercicios resueltos - 319
H ^ = H b − ∆h^ = 130,81
[m C.A]
Si el salto nominal corresponde al 100 [%], el óptimo será, en porcentaje:
H ^% =
H ^ ⋅100
= 104,04
H nom
[%]
Aunque no se pide, se puede determinar la posición porcentual del salto bruto,
para dibujar la parábola de pérdidas de carga:
H b% =
H b ⋅100
= 111,22
H nom
[%]
Ambos datos resultan útiles para mostrar la distinta localización de los puntos,
como se aprecia en la figura 4.8.3: se puede apreciar como el óptimo se sitúa, ahora,
entre las aperturas 0,6 y 0,7.
Figura 4.8.3. Determinación del óptimo en la colina (Q-H)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 320
La potencia mecánica en el óptimo se debe determinar, preferiblemente a partir
de la potencia hidráulica, pues dicho punto no coincide con ninguna de las aperturas de
distribuidor marcada en las colinas.
Pm_^ = Ph_^ ⋅η h_^ = ρ ⋅ Q^ ⋅ g ⋅ H ^ ⋅η h_^
[W]
Pa_^ = Pm_^ ⋅η a
[W]
Pm_^ =
1000 ⋅ 92 ⋅ 9,81⋅130,805 ⋅ 0,92
10 6
Pm_^ = 108,610
[MW]
Pa_^ = 105,352
[MW]
[MW]
Nota.- Retomando la figura 4.8.3 se analiza, ahora, el caso en que se hubiera dado por
definición, como es bastante habitual, que el salto neto en el nominal hubiera
coincidido con el óptimo. Esto se muestra en la figura 4.8.4. Para el presente problema,
entonces, se tendría que el salto bruto correspondiente al neto nominal (caso 1) no
sería igual al bruto correspondiente al neto óptimo (caso 2).
Figura 4.8.4. Comparación entre dos diferentes posibilidades de salto neto óptimo en
una colina Q-H. En el caso 1, mismo salto bruto para el nominal y el óptimo;
diferentes saltos netos en nominal y óptimo. Caso 2, salto neto óptimo igual al
nominal; diferentes saltos brutos.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 321
Respuesta 3
El límite de potencia en el alternador se representa por medio de una recta
paralela al eje de ordenadas en la colina P-H (ver figura 4.8.5).
Figura 4.8.5. Curva de potencia límite en el alternador en la colina (P-H)
El valor porcentual se determina así:
Pa_lim = η a ⋅ Pm_lim
[W]
Pm_lim = 141,912 [MW]
Pm_lim% =
141,912
⋅100 = 115,0
123,402
[%]
A la hora de representar dicha curva límite en el diagrama Q-H, se debe expresar
la potencia mecánica límite en función de la potencia hidráulica.
Pm_lim = ρ ⋅ Q ⋅ g ⋅ H ⋅η h
[W]
Es decir:
Q⋅H =
Pm_lim ⋅10 6
ρ ⋅ g ⋅η h
= 16163,19
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[m4/s]
Ejercicios resueltos - 322
Se considerará, pues, constante el segundo miembro de la igualdad. Entrando
con un valor con un valor Q se obtendrá un valor de H. Se puede confeccionar una tabla
como la 4.8.1 y se tendrá como resultado la figura 4.8.6.
Puntos H-Q para Pm_lim = 141,912 [MW]
Q
Q
H
H
[%]
[m3/s]
[m C.A.] [%]
120
138
117,124
93,2
110
126,5
127,772 101,6
100
115
140,549 111,8
90
103,5
156,11 124,21
Tabla 4.8.1
Figura 4.8.6. Curva límite de potencia en el alternador en la colina (Q-H)
Nota: El rendimiento hidráulico no es constante para una misma potencia límite.
Observando la curva P-H la variación es del orden de 90[%] a 85%. Se fija entonces
un valor constante, resultando aproximada la curva de potencia límite. Este valor se
establece como igual a 89,5 [%], pues es más extensa la zona con mejor rendimiento y
la curva que se obtendrá será un poco más conservadora.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 323
Respuesta 4
Figura 4.8.7. Curvas límite de funcionamiento de cada máquina en la colina (Q-H)
En la figura 4.8.7 se representan las curvas límite que se pueden establecer para
el funcionamiento de una turbina Francis. Se tienen las siguientes:
1. Límite de potencia en el alternador, que se ha comentado en la respuesta
anterior.
2. Límite de máxima apertura de distribuidor. Este lo suele fijar el fabricante de la
turbina. En el presente caso no se ha representado la colina más allá de éste
límite, pero por supuesto que existe. Lo que sucede es que a aperturas de
distribuidor mayores que el 100 [%] se acrecienta el riesgo de cavitación de
salida tipo burbujas y, además, en la zona de saltos algo inferiores al óptimo se
produce un brutal descenso de rendimientos. En la realidad este límite puede
oscilar algo hacia sobrecargas dependiendo de las aplicaciones concretas y de la
sumergencia disponible.
3. Límite de mínima apertura de distribuidor. Este límite en realidad no lo es tal.
Existen numerosas realizaciones en las cuales las turbinas trabajan entre apertura
de distribuidor nula o cercana al vacío hasta plena apertura. Es habitual cuando
las turbinas están llamadas a regular la red eléctrica. No obstante, trabajar con
caudales inferiores al 40 [%] del nominal implica la aparición de vórtices
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 324
cavitantes entre alabes con riesgo de erosión en diversas partes de rodete e
incluso distribuidor, debido a los fuertes ángulos de incidencia del flujo respecto
de los álabes. Por otro lado, si se desea funcionar con buenos rendimientos esta
zona estará, claramente vedada.
4. Límite de salto mínimo. En la figura se ha representado el caso del salto neto
mínimo, aunque en la realidad, se debería haber considerado el salto bruto
mínimo. Desde el punto de vista turbina, no hay limitaciones: es la instalación,
es decir el embalse y conducciones, la que marca dicho valor. Desde el punto de
vista máquina, simplemente se produce un descenso apreciable en el
rendimiento y la aparición de cavitación de entrada intradós, ruidosa pero
inofensiva desde el punto de vista erosión.
5. Límite de salto máximo, caso 1. En esta primera situación, se considera que el
límite vendría fijado por un salto neto máximo a caudal nominal, del 125 [%] del
salto neto nominal. Resultaría:
H MAX = 157,16 [m C.A.]
y
H b_MAX = 171,26 [m]
Sin embargo la curva límite dibujada a trazos (salto bruto máximo: 1) resultará,
en general, menos restrictiva que la curva continua que establecería un límite de
salto neto a no sobrepasar (salto neto máximo: 1). Esta restricción, típica de
turbinas Francis viene impuesta para evitar riesgos de erosión por cavitación de
entrada extradós. Por otro lado añadir que el salto bruto máximo dependerá,
como antes, para el mínimo de la instalación y no de la turbina.
6. Límite de salto máximo, caso 2. En este caso, se tendría un salto bruto máximo
inferior y, que en el presente problema se ha hecho coincidir con el valor de
125 [%] del nominal. Al situarse la curva de saltos netos (instalación) por debajo
de la curva límite de salto neto debido a la turbina (y citada en 5) la instalación
resulta ahora más restrictiva que la máquina. En estas condiciones se tendría:
H b_MAX = 157,16 [m]; H ^ _MAX = 148,14 [m C.A.]
H Qnom_MAX = 143,06 [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 325
04-05-FEB-1.
A distribuidor abierto con salto neto nominal de 145 [m] el rendimiento de la turbina es
de 0,89 [-]. La potencia de la turbina a distribuidor abierto (FGNOM) vale (dato) =
150692,093 [kW]:
P1-FGHnNOM:P100=9,8*Q1-FGHnNOM*Hn1NOM*η1-FGHnNOM
P1-FGHnNOM:P100=
150692,093 [kW]
Hn1NOM= 145 [m C.A.]
Despejando:→
Q1-FGHn1NOM=119,15 [m3/s]
η1-FGHn1NOM= 0,89 [-]
En la gráfica a HnNOM si la potencia a FG es 100 en términos porcentuales y en valor
absoluto 150692,093 [kW], a 0,8Gate la potencia es 92. Por tanto, una regla de tres
permite calcular P0,8GNOM=138636,72 [kW]. El rendimiento en este punto η0,8GNOM≈
0,912
P1-0,8GHnNOM:P92=9,8*Q0,8GHnNOM*HnNOM*η0,8GHnNOM
P1-0,8GHnNOM:P92=138636,72 [kW]
Hn1NOM= 145 [m C.A.]
Despejando: Q1-0,8GHn1NOM=106,98 [m3/s]
η1-0,8GHn1NOM= 0,912 [-]
(Caudal nominal)
Si el Hn es 179,075 [m C.A.] frente a 145 (Nominal) representa 123,5 [%] .
En esta situación, a distribuidor abierto la potencia es en términos porcentuales 140.
Si P100 = 150692,093 una regla de tres permite calcular la potencia máxima de la turbina
PFGHn123.5%:P140 = 210968,932 [kW]
Si p=14, la velocidad de giro de la turbina es 3000*14-1=214,285 [r.p.m.]
nq=N*Q0.5*Hn-0.75
nq=214,285*106,980.5*145-0.75
nq=53,04 [*].
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 326
Expresiones semejanza entre nominales
Q2 NOM =Q1 NOM *(N2/N1)*(D2/D1)3
Hn2NOM=Hn1 NOM *(N2/N1)2*(D2/D1)2
Q1NOM = 106,976 [m3/s]
Despejando
Q2NOM = 180,52 [m3/s]
N1 = 214,285 [r.p.m.]
El caudal nominal también es
Hn1NOM = 145 [m C.A.]
ahora a 0,8GATE
N2= 107,143 [r.p.m.]
Q2-0,8GHn2NOM=180,52 [m3/s]
D2/D1=1,5
Hn2NOM = 81,56 [m C.A.].
En este punto Q2-0,8GHn2NOM=180,52 [m3/s] Hn2NOM = 81,56 [m C.A.] de 0,8Gate el
rendimiento es un 1 [%] más que la lectura de la curva de colina
η2-0,8GHn2NOM=η1-0,8GHn1NOM+0.01
η2-0,8GHn2NOM=0.912+0.01=0,922
ahora la potencia en términos porcentuales es 92 [%]
P2-0,8GHn2NOM:P92=9,8* Q2-0,8GHn2NOM* Hn2NOM*η2-0,8GHn2NOM
P2-0,8GHn2NOM:P92=9,8* 180,52* 81,56*0,922=133033,0472 [kW]
El salto neto máximo es de 90,123 que en relación al nuevo nominal de 81,56 es el
110,5 [%]. Para este salto neto, el punto de 0,7Gate se corresponde con un rendimiento
de 0,92 que hay que revalorizar en un 1 [%] por lo que η2-0,7GHn2-110,5=0,92+0,01 y por
tanto
η2-0,7GHn2-110,5 = 0,93
La potencia de este punto en términos porcentuales es de 100. Con una regla de tres si
P92=133033,0472 [kW], P100=144601,14 [kW]. Es decir
P2-0,7GHn2-110,5:P100 = 144601,14 [kW]
y además la potencia en este punto
P2-0,7GHn2-110,5:P100 =9,8* Q2-0,7GHn2-110,5 * Hn2-110,5 * η2-0,7GHn2-110,5
P2-0,7GHn2-110,5:P100 = 144601,14 [kW]
η2-0,7GHn2-110,5 = 0,93
Despejando→
Q2-0,7GHn2-110,5 =176,05 [m3/s]
Hn2-110,5 =90,123 [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 327
04-05-FEB-2.
Para un caudal de 50 [L/s], la presión de bombeo requerida a entrada de circuito es
según la fórmula dada:
P = 3+ 4 ⋅ (0,05)2 = 3,01 [bar] x 10,19 [m C.A./bar] = 30,68 [m C.A.]
Pero además la bomba debe aportar 10 [m C.A.] adicionales para vencer el desnivel
desde la acequia hasta entrada de circuito. Por tanto (si no hay pérdidas de carga), la
altura manométrica total que deberá aporta la bomba es de:
Hm = 10 + 30,68 = 40,68 [m C.A.]
A 1480 [r.p.m.] la curva H(Q) es:
H1480 = 59,56 + 150 Q1480- 1406,25Q14802
1. En el primer punto, se trata de buscar la nueva velocidad de 1 bomba en solitario que
funcione en el punto Hm= 40,68 [m C.A.] y Q = 0,05 [m3/s],
La expresión paramétrica de de la curva H(Q,N) a distintos valores de N conocida la
curva H(Q) a 1480 [r.p.m.] es la siguiente:
HN = 59,56 ⋅(N/1480)2 + 150 ⋅ (N/1480) ⋅ QN – 1406,25 ⋅QN2
(1)
En la expresión (1) se trata de buscar el valor de N que contenga al punto requerido
Para ello sustituyendo en (1) HN= 40,68 [m C.A.] y QN = 0,05 [m3/s], queda una
ecuación con una incógnita que es N. Resuelta da:
N = 1185 [r.p.m.]
2. El caudal máximo se va a dar cuando ambas bombas estén funcionando en paralelo y
a su máxima velocidad de 2000 [r.p.m.]
La curva (1) cuando N = 2000 H(Q, N=2000) es para una bomba. Si están en paralelo
las dos será:
H = 59,56 ⋅ (2000/1480)2 + 150 (2000/1480) (Q/2) – 1406,25 (Q2 /4)
(2)
La curva resistente de la instalación es:
H = 10 + ((3+4Q2) x 10,19) = 40,581 + 40,77 ⋅ Q2
(3)
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (2) y (3) resulta ser el siguiente
punto de funcionamiento máximo:
H= 53,66 [m C.A.]
Q = 0,567 [m3/s]. En cada bomba el caudal vale 0,567/2 = 0,2835 [m3/s]
3. La curva del NPSHr es a 1480 [r.p.m.]. Al ser el NPSH una altura en [m C.A.] se
puede calcular la curva a cualquier otra velocidad, (en este caso N=2000) por semejanza
NPHSr = 2,125 ⋅ (2000/1480)2 – 37,5 (2000/1480) (Q) + 312,5 (Q2)
Sustituyendo en (4) con Q = 0,2835 para cada bomba
NPSHr = 14,63 = 10,1- hs
Hs= -4,53 [m] (está situada por debajo de la acequia)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
(4)
Ejercicios resueltos - 328
04-05-FEB-3.
Respuesta 1
En primer lugar se debe determinar la altura de impulsión de la bomba prototipo (se
asume que multietapa por el sentido de la pregunta) a partir de los datos del circuito.
Se conoce p1 (entrada en bomba) y ptII O presión total relativa a la entrada (inyección)
de las membranas. Al no dar ninguna indicación sobre el término geométrico y al
asumir como hipótesis la inexistencia de pérdidas de carga, se tendrá:
E = e 2 − e1 =
p tII − p1 7.000.000 − 140.000
=
ρw _s
1023
[J/kg]
o, lo que es lo mismo:
E = 6705,77 [J/kg]
H=
E
= 683,564
g
[m C.L.]
El caudal por ahora se desconoce: se determina más adelante. Ahora se trata de
aprovechar la información que se aporta a nivel de ensayos en modelo. Se consideran
los puntos extremos de la colina, con sus respectivos Ku2e y Kcm2e.
K cm 2e = 0,075 [-]
para
K u 2e = 0,948 [-]
K cm 2 e = 0,145 [-]
para
K u 2 e = 1,090 [-]
A partir de ellos se determina con la información de prototipo (diámetro, velocidad de
rotación) la altura de impulsión de los extremos para una sola etapa. Se tiene:
D 2 e = 0,38
N = 2980,0
[m]
K u 2e =
u 2e
2⋅E
[-]
→
→
u 2e = 59,292 [m/s]
[r.p.m.]
E 1 _ etapa
1  u 22 e
= ⋅  2
2  K 2e

 [J/kg]


E etapa = 1955,91 [J/kg]
o H etapa = 199,379 [m C.L.] para
K u 2e = 0,948 [-]
E etapa = 1479,50 [J/kg]
o H etapa = 150,815 [m C.L.] para
K u 2 e = 1,090 [-]
De modo intuitivo se observa que para cualquier combinación de etapas distinta de 4 las
alturas de impulsión se alejan bastante del objetivo:
3 etapas:
H máx = 598,137 [m C.L.]
H mín = 452,445 [m C.L.]
4 etapas:
H máx = 795,516 [m C.L.]
H mín = 603,260 [m C.L.]
5 etapas:
H máx = 996,895 [m C.L.]
H mín = 754,070 [m C.L.]
La respuesta es, por tanto: 4 etapas
La segunda parte de la pregunta, implica definir, ahora, exactamente, el punto actual de
funcionamiento. Se tendrá:
Para H=683,564 [m C.L.] se tendrá:
Para: H = 683,564 [m C.L.] H etapa = 170,891 [m C.L.]
y:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
K u 2 e = 1,024 [-]
Ejercicios resueltos - 329
A su vez el coeficiente de velocidad meridiana correspondiente se determinará
consultando la gráfica y empleando la expresión:
K cm 2 e =
c m 2e
[-]
2⋅E
Resulta:
K cm 2 e = 0,1155 [-]
c m 2 e = 6,6879 [m/s]
y:
Por otro lado el caudal y la velocidad meridiana, para la sección de salida en bomba (2e)
están relacionados por medio de la expresión:
[m3/s]
Q = c m 2e ⋅ S = c m 2e ⋅ π ⋅ D 2e ⋅ B 2
La altura del rodete a la salida se determina aplicando la relación de escala geométrica
entre modelo y prototipo, es decir:
B 2 _( P ) = B 2 _( M ) ⋅
D 2e _( P )
D 2 e _( M )
= 0,0312 ⋅
0,38
= 0,02964
0,40
[m]
Resultando entonces el caudal de agua inyectada (salada):
[m3/s]
Q w _ s = 0,23664
Y el de agua dulce obtenida en las membranas:
[m3/s]
Q dulce = 0,425 ⋅ Q w _ s = 0,10058
Respuesta 2
El rendimiento en el punto de funcionamiento modelo se determina gráficamente. Se
tiene:
η h _( M ) = 0,889 [-]
K cm 2 e = 0,1155
para
[-]
La expresión de la revalorización de rendimientos propugnada por la CEI es la
siguiente:
(∆η h )( M )→( P ) = δ ref
 Re
⋅  ref
 Re M



0 ,16
 Re
−  ref
 Re P



0 ,16



[m]
Los números de Reynolds de modelo y prototipo se referirán al diámetro D2e (salida), al
no indicarse ninguna información sobre el de entrada. La expresión de cálculo será:
Re =
D 2e ⋅ u 2e
ν
[-]
Como la temperatura de ensayo y la de planta es la misma, la viscosidad será igual (por
hipótesis) y se determina en tablas de los ábacos:
ν = 1,004 ⋅ 10 −6 [m2/s]
Re M =
0,4 ⋅ 27,227
1,004 ⋅ 10 −6
Re P =
0,38 ⋅ 59,292
1,004 ⋅ 10 −6
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[-]
Ejercicios resueltos - 330
Re ref = 7 ⋅ 10 6
Re M = 10.847.465
Re P = 22.441.195
[-]
A su vez, el coeficiente de pérdidas δref tiene por expresión:
δ ref =
1 − ηh^_ M
 Re ref

 Re ^M



0 ,16
1 − Vref
+
Vref
[-]
El coeficiente Vref y el número de Reynolds de referencia se han determinado
consultando los ábacos:
Vref = 0,6
[-]
Ahora queda por determinar el rendimiento óptimo en modelo ya que el número de
Reynolds del ensayo en modelo es constante y ya ha sido calculado. Gráficamente se
tiene:
η h ^ _ M = 0,89
[-]
Sustituyendo en la expresión se tiene:
δ ref = 0,068794
[-]
(∆η h )( M )→( P ) = 0,00704 ≈ 0,0070
[-]
Como la revalorización por este método será constante si, como es el caso, el número de
Reynolds es constante, el rendimiento de prototipo resulta ser:
η h ( P ) = 0,8960
[-]
La potencia mecánica se determina a partir de la potencia hidráulica y del rendimiento:
Pm =
Ph ρ w _ s ⋅ g ⋅ Q ⋅ H 1023 ⋅ 9,81 ⋅ 0,23664 ⋅ 683,564
=
=
ηh
ηh
0,896
Pm ( P ) = 1.811,774
[-]
[kW]
Respuesta 3
Del ensayo en modelo sólo se dispone de información para el punto óptimo ya que se
indica en la figura 1, el valor de velocidad específica de aspiración en el óptimo:
S^3% = 200
[*]
ara poder determinar el valor de NPSH requerido del 3% en el óptimo, es necesario
calcular el caudal ya que la velocidad de rotación es dato. Con esto conocido se puede
emplear el ábaco de Sulzer para máquinas con S^3% = 200. En la figura 1, se determina
Kcm2e para el óptimo:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 331
K u 2e^ = 1,002 [-]
H ^ = 178,467 [m C.L.]
K cm 2e^ = 0,105 [-]
Q ^ = 0,21985 [m3/s]
Q ^ = 791,5 [m3/h]
Entrando con dicho caudal y la velocidad de rotación del prototipo se determina el valor
del NPSH requerido en el óptimo, resultando:
NPSH ^3% = 12,0
[m C.L]
Ahora se debe mayorar dicho resultado por el coeficiente de seguridad Mseg lo que
también se consulta en el ábaco.
1,45 ≤ M seg ≤ 1,74
[-]
Se tienen entonces dos posibles valores de NPSH disponible recomendado por Sulzer
para la instalación (planta):
NPSH d _ mín = 17,4
NPSH d _ máx = 20,88 [m C.L]
Considerando ahora la expresión del NPSH disponible de la forma clásica:
NPSH d = H b − H v − H s
[m C.L]
O en forma de presiones:
NPSH d =
p b − p v − (− p1 ) 101.320 − 2339 + 140.000
=
ρw _ s ⋅ g
1023 ⋅ 9,81
[m C.L]
Se determina el valor actual de funcionamiento de la máquina.
NPSH d _ actual = 23,813
[m C.L]
Antes de pasar a analizar si la implantación es correcta ó no, conviene repasar la
información disponible y la que falta:
1. Se dispone de modo implícito del NPSHr en el óptimo (a través de la velocidad
específica en la aspiración) Esto se debe considerar como un dato experimental
del Laboratorio)
2. No se dispone de la curva de NPSHr en función del caudal (objetivo del 3%)
3. No se dispone de la curva de NPSHad en función del caudal (objetivo de evitar la
erosión).
Se deducen las siguientes conclusiones:
1. El valor actual del NPSHd es superior a cualquiera de los propuestos por Sulzer.
Si dicho método proporcionara resultados definitivos, se estaría, pues, en el lado
de la seguridad. Esto es claramente cierto para el punto de óptimo rendimiento
2. La falta de información (nota 2, arriba) no permite poder afirmar que también se
esté evitando el riesgo de pérdidas de prestaciones a cualquier caudal, aunque
por las márgenes con que se trabaja se puede suponer razonablemente que esto
sea cierto.
Conviene recordar que el aspecto de la curva Q-NPSHr puede variar de un
diseño a otro en función del ángulo β1, dato que no se conoce. No obstante, la
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 332
variación de alturas de impulsión frente al óptimo del orden del 14,6 [%], valor
relativamente moderado.
3. La misma falta de información (nota 3, arriba) resulta ahora más crítica, pues el
valor actual de NPSHd estará, sin duda más cerca del NPSHad. Para caudales
cercanos al óptimo, por experiencia la cobertura será suficiente pero no se puede
decir lo mismo en los extremos. Las dudas ahora, son mayores.
4. Como se ha afirmado reiteradamente en el curso el único método racional de
evitar eventuales riesgos de erosión estriba en el conocimiento de los valores de
NPSHad frente a la erosión. En su defecto, y esto es una situación habitual en las
aplicaciones prácticas, se ha intentado paliar dicha ausencia por márgenes de
seguridad, no del todo documentados y que no dejan de ser conjeturas.
Respuesta 4
Para determinar el rendimiento óptimo esperable en la turbina se debe calcular la
relación Dp/B, cuestión que no se realiza en el presente caso. En su lugar se plantea
definir un valor algo inferior, suponiendo:
η h _ turbina = 0,905
[-]
La potencia mecánica que se genera en la turbina será:
Pm = η h _ turbina ⋅ ρ salm ⋅ Q salm ⋅ E salm
[-]
En la expresión (64.1) se observa que han cambiado algunas variables, la primera es la
densidad, ya que la salmuera concentra mayor cantidad de sal. Un método de cálculo
puede ser:
ρ salm =
100 ⋅ ρ w _ s − 42,5 ⋅ ρ dulce
57,5
=
100 ⋅ 1023 − 42,5 ⋅ 998,2
= 1041,33
57,5
[-]
El caudal de salmuera, que es el agua que proviene del rechazo de las membranas, con
contenido adicional de sal, se determinará por diferencia del de la salada y el de la
dulce. En el presente caso:
Q salm = Q w _ s − Q dulce = 0,23664 − 0,10058 = 0,13606
[m3/s]
Efectivamente, la suma de caudales volumétricos permanece constante, si se ha hecho
abstracción de la compresibilidad de cada líquido.
Queda por determinar la energía hidráulica específica de la salmuera a la entrada de la
turbina. Resulta ser:
E salm =
H salm =
p t _ II
ρ salm
=
7.000.000
= 6722,17
1041,33
E salm
= 685,236
g
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[J/kg]
[m C.L.]
Ejercicios resueltos - 333
¿Era realmente necesario efectuar este cálculo para determinar la potencia mecánica?
La respuesta es no, ya que el producto densidad por energía que interviene en la
expresión de la potencia será un invariante (el dato del problema):
E salm ⋅ ρ salm = p t _ II = 7.000.000
[Pa]
La potencia resulta ser, en cualquier caso:
Pm = 861,940
[kW]
La velocidad específica de la máquina queda definida por:
nq = N ⋅
Q1 2
0,136061 2
2980
=
⋅
H3 4
685,236 3 4
n q = 8,21
[*]
[*]
Respuesta 5
Figura 63.1. Conjunto rodete Pelton y rodetes de bomba centrífuga, con giro a
izquierdas visto desde la aspiración.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 334
Figura 63.2. Vistas del conjunto según un plano axial (derecha) y un plano normal a este (izquierda)
desde la referencia (aspiración de la primera etapa). En la imagen de la izquierda, al fondo, se presentan
parcialmente las cucharas del rodete Pelton.
Considerando un plano normal al eje y observando los rodetes de la bomba desde el
lado de aspiración, girarán a izquierdas (antihorario), según el dato del problema. A su
vez el rodete de turbina Pelton, solidario de los rodetes de la bomba por intermedio del
árbol, girará desde el mismo punto de observación, también en sentido antihorario. Esto
se refleja gráficamente en la figura 63.3, en perspectiva y en alzado y perfil en la figura
63.4.
Para tal disposición de la máquina,
el inyector que actúe por debajo del
eje de giro deberá situarse a la
izquierda, de modo que el chorro
impacte correctamente en cada
cuchara, tal y como se muestra en
la figura 63.5.
Figura 63.3. Máquina Pelton mostrando un inyector
que actúa por debajo del eje tal como se requiere en
el enunciado. Nota: vista desde la aspiración de la
bomba.
Un medio de comprobación rápido
consiste en considerar la condición
de cada máquina frente a la
potencia mecánica: la bomba será
consumidora
(luego
potencia
negativa) y la turbina generadora
luego potencia positiva:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 335
En la bomba se tendrá, entonces que el par debe tener signo contrario a la velocidad de
rotación y en la turbina deberá tener el mismo signo. Ver figura 63.6.
Figura 63.4. Sentidos del par y de la
velocidad en la bomba y en la turbina.
Respuesta 6
La nueva disposición con turbina de recuperación tiene las siguientes ventajas frente a
la situación sin turbina:
El motor de arrastre será en general más barato que el original, debido a la menor
potencia necesaria.
1. El consumo eléctrico es bastante inferior, del orden de un 45 [%], siendo esta la
ventaja decisiva.
2. La disipación de la energía hidráulica remanente en las membranas (lado
rechazo) se realiza de un modo más racional, ya que dicha energía hidráulica se
transforma en mecánica en el rodete Pelton con muy buen rendimiento. En caso
de no disponer de turbina dicha energía hidráulica, de elevada cuantía debería
disiparse en forma de pérdida de carga en una válvula apropiada (denominada de
disipación de energía). Este tipo de válvulas debe estar muy bien diseñada para
evitar problemas de cavitación erosiva.
Los inconvenientes son:
1. El coste de la turbina que, en general superará el ahorro en el motor. En general
se logrará una instalación más barata con dos inyectores.
2. El coste del regulador de turbina.
3. El árbol deberá estar sobre-dimensionado para aguantar ambos pares, que son
de signo contrario.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 336
Figura 63.5 Diseño Sulzer de un grupo de bombeo de 4 etapas con turbina
Pelton de recuperación con dos inyectores, intercalada entre bomba y motor.
En el presente caso la boca de aspiración de la bomba se sitúa en el lado del
rodete Pelton.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 337
04-05-JUN-1.
1. La velocidad absoluta a la salida es: C2 = Kc2 ⋅ (2 ⋅ g ⋅ Hn)0,5
C2 = 0,18 ⋅ (2 ⋅ 9,8 ⋅ 100)0,5 = 7,96 [m/s]
La componente meridiana C2m = C2 ⋅ sin (85) = 7,938 [m/s]
La componente tangencial C2u = C2 ⋅ cos (85) = 0,694 [m/s]
La energía cinética contenida en la componente meridiana más la cota de la rueda por
encima del nivel del canal de fuga es lo que se recupera en relación a la situación sin
tubo de aspiración.
7,938 2 (2 ⋅ 9,8)-1 + 3 = 3,215 + 3 = 6,215 [m C.A.]
En relación al Hn es el 6,215 [%]
2. La fracción de la energía cinética a la salida de la rueda que no se recupera es la
contenida en la componente tangencial C2u de la velocidad absoluta.
0,694 2 (2 ⋅ 9,8)-1 = 0,0246 [m C.A.].
La Ec total a la salida de la rueda es
7,96 2 (2 ⋅ 9,8)-1 = 3,233 [m C.A.]
Por lo tanto la fracción contenida en la componente tangencial y no recuperable
representa: respecto a la Ec total: 0,0246/3,233 = 0,76 [%]
3. Y respecto al Hn total: 0,0246/100 = 0,0246 [%]
4. Si no hay pérdidas en el aspirador ni a la salida del mismo los 6,215 [m C.A.]
recuperados se logran exclusivamente a costa de una caída de presión de ese valor a la
salida de la rueda. Por tanto, la depresión alcanzada es de valor:
10.33 - 6.215 = 4,115 [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 338
04-05-JUN-2.
Para la citada instalación, tendremos:
Para evaluar las pérdidas de carga en la tubería de aspiración sabemos que, para un
caudal Q = 0,01 [m3/s], la pérdida de carga es de 0,25 [m], lo que nos permite definir la
curva característica de la tubería de aspiración:
Si la bomba debe aspirar un caudal de 72 [t/h], Q = 0,02 [m3/s], la pérdida de
carga correspondiente será:
Si sustituimos en la expresión de NPSHd, resulta:
Admitiendo un margen de seguridad de 0,5 [m] tenemos:
En este punto hay que admitir que la bomba instalada gira a 1800 [r.p.m.],
mientras que la bomba que se ensaya lo hace a 1500 [r.p.m.]. Para evaluar el NPSHr,
cuando la bomba gira a 1500 [r.p.m.], debemos de emplear las relaciones de semejanza
y los parámetros adimensionales correspondientes. Éstos son:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 339
Si u = ω · R, sustituyendo obtenemos:
Como en los dos casos σ y R son iguales, podemos simplificar:
por tanto:
Numéricamente:
En el banco de ensayo se cumple:
en donde z = -1 [m], y
El caudal impulsado por la bomba instalada en el banco de ensayo se calcula por
las relaciones desemejanza y los parámetros adimensionales:
Como el valor de R es el mismo para la bomba ensayada y para la bomba
instalada, podemos simplificar a:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 340
luego:
y obtenemos finalmente el valor de la presión en el depósito del tanque de
ensayo:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 341
04-05-SEP-1.
Q = 80,7 [L/s]
Hn =113 [m C.A.].
ηg = 0,89 [-]
El salto neto se invierte un 4 [%] en vencer las pérdidas en el
inyector y un 96 [%] en la energía cinética necesaria para
imprimir velocidad al agua a la salida del inyector.
C12/2g = (Hn-Σpérdidas en el inyector ); Si (Hn-Σpérdidas en el inyector ) se escribe como CTE ⋅ Hn y
si las pérdidas en el inyector = 4 [%] Hn se puede escribir C12/2g = 0,96 ⋅ Hn.
De aquí se puede deducir que C1= √0,96 ⋅ √2gHn y poniendo C1=Kc1 ⋅√2gHn
=> Kc1 = 0,98 [-].
Por otra parte, en el punto de máximo rendimiento,
Ku1 = Kc1 ⋅ 0,5; Ku1 = 0,49 [-]
Ku1 = Ku1(Nsj)
=> Nsj = 13,97 [r.p.m.]
N ⋅ p = 3000; p = 3; =>N=1000 [r.p.m.]
Ns = N ⋅ P0,5 ⋅ Hn (-5/4)
P = 9,8 ⋅ 0,0807 ⋅ 113 ⋅ 0,89 = P = 79,53 [kW] => Ns = 24,20 [r.p.m.]
Nsj =Ns ⋅ j-0.5 Î j = 3 inyectores
U1 = Ku1 ⋅ (2 ⋅ g ⋅ Hn)0.5
U1 = 23,06 [m/s]
U1= π ⋅ N ⋅ D ⋅ 60-1 =>D = 0,44 [m]
ηman = 2 ⋅ Ku1 ⋅ ( Kc1 - Ku1) ⋅ (1 + m ⋅ cosθ) ; m = 1 ; θ = 0
ηvol = 1; ηg = 0,89
ηman= 0,96
ηg = ηman⋅ ηmec⋅ ηvol
Alternativamente, al no haber fricción en las cucharas y
ηmec = 0,92
suponiendo que las pérdidas en el borde de ataque son pequeñas,
se puede considerar que todas las pérdidas internas se producen en
el inyector y por tanto
ηman= (Hn-Σpérdidas en el interior de la turbina )/Hn = 0,96
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 342
04-05-SEP-2.
Respuesta 1
De la lectura del caudalímetro se puede deducir el caudal.
Q actual = F.E. ⋅
LQ − L0
L F. E . − L 0
= 150 ⋅
13,4815 − 4
= 88,888
20 − 4
[L/s]
Este caudal, expresado en [m3/h], resulta ser:
[m3/h]
Q actual = 320
A su vez, sobre la curva resistente del circuito la intersección del caudal actual permite
determinar la altura de impulsión actual, que resulta ser:
H r = ∆z + ∆H = ∆z + 1000 ⋅ Q 2 = 32 + 1000 ⋅ (0,088888)
2
H r _ actual = 39,901
[m C.A.]
[m C.A.]
Por otro lado, en la figura de los ábacos, para la bomba IN 100-200 bF, para diámetro de
rodete 214 [mm], la altura de impulsión correspondiente al caudal obtenido arriba,
resulta ser (gráficamente):
H s _ cata log o = 50,000
[m C.A.]
A simple vista se observa la gran discrepancia entre ambos resultados. Reteniendo como
válida la información que se aporta justo en el párrafo de preguntas (velocidad y
diámetros correctos, funcionamiento del caudalímetro correcto y expresión de cálculo
de las pérdidas de carga, también correcto), se llega a la conclusión de que la bomba
tiene algún problema de funcionamiento debido a la cavitación. Esto se trata en la
respuesta 2.
Por tanto, el punto de funcionamiento se sitúa sobre al curva resistente con:
H actual = 39,901
[m C.A.]
Q actual = 88,888
[L/s]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 343
Respuesta 2
El punto de funcionamiento, muy por debajo de la “habitual” curva H-Q (en el sentido
de ausencia de problemas) sugiere el síntoma de un funcionamiento en condiciones
cavitantes con un NPSHd muy inferior al NPSHr para el punto objetivo si no hubieran
existido problemas. Este punto, objeto de la pregunta 4, tiene un caudal de 100 [L/s].
Figura 2. Gráfica de las curvas característica (catálogo) y resistente.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 344
Esta tesis viene avalada por la ausencia de incidentes, ya reseñado en el texto del
problema, cuya relación específica es la siguiente:
o
o
o
o
Verificado que el diámetro del rodete es el indicado
Verificada la velocidad de rotación (igual a la del enunciado)
Verificado el buen funcionamiento del caudalímetro.
Verificada la válvula que está a plena apertura.
Por otro lado, en la figura 1 se incluyen todas las cotas (que también están verificadas)
salvo las de los niveles en los depósitos inferior y superior. Por tanto, se desconoce la
altura de aspiración actual, es decir, la diferencia de cotas entre nivel del depósito
inferior y de la máquina.
Se llega, pues, a la conclusión de funcionamiento en condiciones cavitantes, por
descarte de las otras posibles.
¿Qué está sucediendo, por tanto? La respuesta es:
9 La altura de aspiración (seguramente positiva) es excesiva, de modo que el
NPSHd es insuficiente.
9 En el punto de funcionamiento objetivo, el NPSHr sería de 8,57 [m],
consultando la figura de los ábacos.
9 Al ser inferior el NPSHd a las necesidades de la bomba en el punto de
funcionamiento se estaría trabajando con un brutal descenso de prestaciones.
9 La bomba entonces busca acomodo, automáticamente, en otro caudal inferior, de
modo que el NPSHr en dicho punto sea del orden del NPSHd.
Como es sabido la bomba dispone, además de la curva característica H-Q, en ausencia
de problemas de cavitación (lo que se ha llamado arriba “curva habitual”), de toda una
familia de curvas que parte de la “habitual” y se desploman verticalmente, para distintos
e insuficientes NPSHd, como se puede observa en la figura 3.
Figura 3. Gráfica que explica el punto de funcionamiento actual cuando el
NPSHd es insuficiente vis a vis el NPSHr .
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 345
En el caso del problema que nos ocupa, el NPSHd es constante, aunque desconocido. El
punto de funcionamiento actual corresponderá a un NPSHd inferior al requerido,
NPSH3% pero igual al de “plena cavitación” o NPSHxx%. En la figura 4 se observa la
situación particularizada para el presente problema.
Respuesta 3
En la gráfica de los ábacos, se puede obtener el NPSH3% para el punto actual de
funcionamiento como función del caudal (se aprecia mejor en la gráfica de la figura 4):
NPSH 3% = 6,0
[m C.A.]
Los correspondientes NPSH0% y NPSHxx% serán respectivamente algo superior y algo
inferior al requerido (del 3%). De modo aproximado, se consideran los siguientes
valores:
NPSH 0% = 6,5
[m C.A.]
NPSH xx % = 5,5
[m C.A.]
De modo que el disponible se considerará igual al de cavitación desarrollada, es decir:
NPSH d ≡ NPSH xx % = 5,5
[m C.A.]
En el examen se consideraba válido el valor de 6,0 [m C.A.] correspondiente al 3%,
aunque la respuesta correcta era la de algo inferior a 6,0 [m C.A.]. Efectivamente, se
recuerda que se han fijado de modo aproximado los valores para el 0% y xx%.
La altura de aspiración se determina por medio de la conocida expresión (se tiene en
cuenta la hipótesis del enunciado de que no hay pérdidas de carga en la aspiración):
NPSH d =
Hs =
pb − pv
− Hs =
ρw ⋅ g
101300 − 2300
− 5,5 = 10,107 − 5,5
998,5 ⋅ 9,81
H s = +4,607
[m C.A.]
[m]
[m]
Es decir, la cota de la máquina se sitúa 4,607 [m] por encima del nivel del depósito de
aspiración.
En la figura 4 se puede observar el momento en que la curva característica actual se
separa de la de catálogo (para NPSHd=NPSH0%), y la intersección de la curva
característica actual con la curva resistente (vertical), para NPSHd=NPSHxx%. En medio
se sitúa el nuevo punto para la pérdida del 3%.
Nota: En el presente problema no se ha indicado ninguna sugerencia para implantar márgenes
de seguridad en el valor de Hs (entre otras cosas porque era un dato desconocido).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 346
Figura 4. Particularización de la gráfica 67.3 (general) al caso particular del presente
problema. Las curvas de NPSH0% y de NPSHxx% se han supuesto.
Respuesta 4
Se trata ahora de determinar el punto de funcionamiento en condiciones exentas de
cavitación. Dicho punto será la intersección de la curva característica “habitual” con la
curva resistente. Para ello se dibuja dicha curva sobre la figura de catálogo de la bomba.
El punto de intersección resulta ser de:
[m3/s]
Q previsto = 0,100
La altura de impulsión correspondiente se calcula por medio de la expresión de la curva
resistente, ó bien, directamente en la gráfica:
H previsto = 42,000
[m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 347
Queda por determinar la altura mínima de aspiración. Se procede de modo similar a la
pregunta 3. Como se ha indicado al principio, el NPSH3% para el caudal de 0,1 [m3/s],
resulta, de analizar al figura del catálogo, igual a 8,57 [m C.A.].
Análogamente al caso de la pregunta 3, se considera una banda de valores de
0,5 [m C.A.] para los NPSH0% y NPSHxx%. Entonces se tiene, al límite:
NPSH d ≡ NPSH 3% = 8,57
Resultando:
[m C.A.]
H s ≤ +1,807
[m]
Es decir, la cota de la máquina se deberá situar a 2,307 [m] por encima del nivel del
depósito de aspiración, COMO MÁXIMO, o a una distancia inferior.
Respuesta 5
La presión absoluta en la sección de referencia de entrada a la bomba (1), tendrá la
siguiente expresión:
p1 _ abs = p b − ρ w ⋅ g ⋅ (z 1 − z I ) − ρ w ⋅
c2
c12
= pb − ρw ⋅ g ⋅ Hs − ρw ⋅ 1
2
2
[Pa]
2,8294 2
= 52176,4
2
[Pa]
p1 _ abs = 101300 − 998,5 ⋅ 9,81 ⋅ 4,607 − 998,5 ⋅
Ahora bien, el manómetro se sitúa a una cota superior (zm) a la de la sección de
referencia (z1), por tanto la presión leída resultará:
p L1 _ abs = p1 _ abs − ρ w ⋅ g ⋅ (z m − z 1 ) = 52176,4 − 998,5 ⋅ 9,81 ⋅ (28,75 − 27 )
[Pa]
p L1 _ abs = 35034,7
[Pa]
En lo que respecta a la impulsión, la presión relativa en la sección de referencia 2,
resultará de la siguiente expresión:
H actual = (z 2 − z1 ) +
p 2 − p1 c 22 − c12
+
ρw ⋅ g
2⋅g
39,901 = (27,75 − 27 ) +
p 2 − (52176,4 − 101300 ) 5,03012 − 2,8294 2
+
998,5 ⋅ 9,81
2 ⋅ 9,81
p 2 = 325736,4
[m C.A.]
[m C.A.]
[Pa]
Atención: el valor citado se refiere a presión relativa.
Queda, por último referir dicha presión a la cota en que se halla emplazado el
manómetro de Bourdon:
p L 2 = p 2 − ρ w ⋅ g ⋅ (z m − z 2 ) = 325735,4 − 998,5 ⋅ 9,81 ⋅ (28,75 − 27,75)
p L 2 = 315940,1
[Pa]
[Pa]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 348
05-06-FEB-1.
1. Válvula en la impulsión
Aplicando la ecuación de la energía entre 0 y 1,
H0 + Hm(Q) - Σhf válvula= H1
(1)
Por otra parte el caudal que sale por la boquilla
Q1= C1 ⋅ S1
y a su vez la sección S1;
S1 = 0,000028274 [m2]
S1=0,25 ⋅ π ⋅ D12
Q1 [L/min] = 1,696460033 ⋅ C1 [m/s] C1 [m/s] = 0,589462752 ⋅ Q1
En (1)
H0 = 0
H1= 2 + [0,589462752 2 ⋅ Q12 ⋅ 19,6-1 ] + Σhf válvula
H1 = Z1 + [C1 2 ⋅ (2g)-1] + Σhf válvula
Hm(Q) =2 +0.017727874* Q12 + Σhf válvula
Si C1 =10 m/s, Q1 = 16.964 l/min
Hm(Q)= 7.102+ Σhf válvula
Σhf válvula serán de la forma K* Q12
Hm(Q)= 7.102+ K*16.964 2
Por otra parte, la bomba para caudal Q1 = 16,964 [L/min]
da una altura de 51,19 [m C.A.]
51,19 = 7,102+ K ⋅ 16,964 2 ; De donde K= 0,153 [m C.A. ⋅ (L/min)-2]
ξ = 8,64 que se corresponde con una apertura de
K ⋅ Q12 =ξ ⋅ C12/2g
0,28 (figura 4)
Con este grado de cierre, el pto de funcionamiento es el siguiente
Q [L/min]
H [m C.A.]
REND
PHID [kW]
PMEC [kW]
PABS [kW]
EU [kw-h/m3]
16,9646003
51,190565
0,43883351
0,14184315
0,32322772
0,40403465
0,397
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 349
2. La segunda opción es desviar parte con un bypass con válvula.
Por el ramal A; H0 + Hm(Q) = H1 ; Hm(Q) =7,102 [m C.A.]
Por el ramal B; H0 + Hm(Q) - Σhf válvula ramal B= H0
Hm(Q) = 7,102 = Σhf válvula by pass
El punto de funcionamiento ahora es:
Q [L/min]
66,3943563
H [m C.A.]
7,10214711
REND
0,16356915
PHID [kW]
0,07701861
PMEC [kW]
0,47086267
PABS [kW]
0,58857834
EU [kw-h/m3]
0,5784
Si la bomba da 66,39 [L/min] y sólo salen por la boquilla 16,96 se desvían por el ramal
B 49,429756 [L/min]
7,102= Σhf válvula by pass serán de la forma K ⋅ QB2
K = 0,002906724 [m C.A.(L/min)-2]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 350
3. La tercera opción consiste en modificar la velocidad de giro a una bomba mayor. En
este caso, no hay pérdidas de carga
Aplicando ahora la ecuación de la energía entre 0 y 1,
H0 + Hm(Q) = H1 y ahora Hm(Q)= 7,102 [m C.A.] con Q1 = 16.964 [L/min]
En la expresión paramétrica de la altura manométrica Hm(Q, Dp, N) se trata de despejar
el valor de N para que la curva contenga al punto buscado.
Hm (Q1 = 16,964, Dp = 300, N=?) = 7,102 [m C.A.] => N = 961,35 [r.p.m.]
Con esta velocidad, en la expresión paramétrica del rendimiento:
η (Q1 = 16,964, Dp = 300, N = 961,35) = 0,5887
Con esta velocidad de giro, el punto de funcionamiento es el siguiente:
Q [L/min]
16.9646003
H [m C.A.]
7,10288043
REND
0,5887
PHID [kW]
0,01968126
PMEC [kW]
0,03343
PABS [kW]
0,04179
EU [kw-h/m3]
0,04029
De las tres opciones la más eficiente energéticamente es la 3 (cambio de velocidad) ya
que requiere el menor número de [kW-h/m3]: 0,04029
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 351
05-06-FEB-2.
a) Q= 10 [m3/s]
H = 700 – 0,03 ⋅ 102 – 0,04 ⋅ 102 =693 [m C.A.]
Pelect turbina T1 = ρgHQ ηT = 64,58 [MW]
b) Q= 0,5 [m3/s]
H = 500 - 5 =495 [m C.A.]
Pelect turbina T2 solucion a= ρgHQ ηT =2,31 [MW]
c) Bombeo hasta la conexión: Pto C
Hm = 700 – 500 – 0,03 ⋅ 102+ 2 ⋅0,52 =197,5 [m C.A.]
Pelect bomba solución B= ρgHmQ/ηB=1,076 [MW]
d) Q= 10,5 [m3/s]
H = 700 – 0,03 ⋅ 102 - 0,04 ⋅10,52 = 692,59 [m C.A.]
ρgHQη=67,77 [MW]
e) Pelect global solución a = 64,58 + 2,31 = 66,89 [MW]
Pelect global solución b = 67,77 (producidos por la turbina) – 1,076 (absorbidos por la
bomba) = 66,69 [MW]
f) Pelect global solución a > Pelect global solución b pero la diferencia es muy pequeña y puesto
que una turbina adicional para generar 2,31 [MW] es mucho mas cara que una
bomba adicional de 1,076 [MW], no compensa y la solución a adoptar sería la b)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 352
05-06-FEB-3.
Respuesta 1.
Se identifican 8 causas principales.
1. Topografía de los embalses mal, aunque bomba correctamente implantada punto
de vista cavitación; es decir zm-zI correcto.
2. Lectura incorrecta en el caudalímetro: mal ajustado ó mal implementado.
3. Diámetro del rodete mal
4. Cálculo de las pérdidas de carga en el circuito salvo la válvula incorrectas
5. Válvula semicerrada y no completamente abierta en el momento de las medidas
6. Velocidad del motor insuficiente o variador en posición incorrecta.
7. Implantación insuficiente para protegerse de la cavitación. Es decir zm-zI
incorrecto.
8. Combinación de algunas de las anteriores.
Además de las anteriores algunos alumnos propusieron otras que se tomaron en
consideración (algunas de ellas improbables).
9. Obstrucciones en el túnel provocan una pérdida de carga adicional no tenida en
cuenta
10. Diámetro interior de tubería erróneo ó mayor espesor (englobada en la 4).
11. Fugas en el circuito (¿?).
12. Válvula de pie no abre bien y se produce mucha pérdida de carga en la
aspiración. Entonces aunque esté bien, se está trabajando en condiciones
cavitantes (emparentada con la 7).
13. Potencia del motor insuficiente ó tensión excesivamente baja en la red.
14. Cuerpos extraños u obstrucciones en la bomba.
Respuestas no consideradas:
15. Transductor de presión mide mal (no hace al caso).
16. Caudalímetro mide mal por cavitación (pudiera suceder pero aquí no hace al
caso).
17. Desgastes excesivos en la bomba (la instalación es nueva, por lo que no al caso).
18. Rugosidad excesiva (en una instalación nueva no hace al caso)
Respuesta 2.
Punto de funcionamiento objetivo ó deseado: en la gráfica de la bomba (ábacos) cortar
con Q = 0,1 [m3/s] sobre la curva Ø = 266 [mm]. Se tiene H = 83,14 [m C.A.]. Con los
datos de partida se puede calcular el punto de funcionamiento actual.
El caudal actual es:
[m3/s]
Q = v⋅A
 L − L0
v = 
 L FE − L 0

 11,0736 − 4 
 ⋅ rango = 
 ⋅ 6 = 2,6526
 20 − 4 

[m/s]
[m3/s]
Q = 0,08333
Por hipótesis (dato del problema), se sabe que:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 353
9 Coeficiente de pérdidas de carga correcto
9 Diferencia de alturas geométricas correcta.
∆H circ = K ⋅ Q 2 + K valv ⋅ Q 2 = 2,6526
[m C.A.]
K es dato e igual 1505,156. La pérdida de carga en la válvula se puede determinar con
la expresión, donde ξ se determina en ábacos de válvulas, figura 10, curva B:
∆H valv = ξ ⋅
v2
2,6528 2
= 0, 2 ⋅
= 0,07173
2⋅g
2 ⋅ 9,81
[m C.A.]
Se tiene en conjunto:
H = 78,3692
∆H circ = 10,5242
[m C.A.]
Una vez definido el punto actual, en la misma gráfica de la bomba, se hace pasar una
recta por el punto actual de funcionamiento y por el origen de H y Q. En la intersección
de la recta con la curva de 266 [mm] se anotas los valores de H y Q. Se tiene:
H 266 = 85,5
[m C.A.]
Q 266 = 337
[m3/h]
Aplicando la seudo semejanza de recorte de rodetes se tiene:
9 Con alturas de impulsión:
H actual  D ?
= 
H 266
 D 266
2

 ⇒ D ? = 254,66

[mm]
9 Con caudales:
Q actual  D ?
= 
Q 266
 D 266
2

 ⇒ D ? = 251,72

[mm]
La media resulta:
D ? = 253,19
[mm]
El problema admitía soluciones igualmente válidas cortando a las curvas de 256 [mm] o
246 [mm] de diámetro.
Respuesta 3.
Si la máquina está funcionando en condiciones de cavitación desarrollada que está
implicando una pérdida de prestaciones, la implantación es defectuosa. Observando la
gráfica, para el caudal actual se tiene que el NPSH requerido (3%) resulta ser:
NPSH r ( 3%) = 4,4
[m C.A.]
Como se ha producido el deterioro de las prestaciones las condiciones serán peores que
las referidas al 3%, teniéndose cavitación “desarrollada” con un NPSHd inferior a dicho
valor. Por hipótesis se puede indicar un valor menor en 0,5 [m]:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 354
NPSH d = NPSH CD
[m C.A.]
NPSH d ≈ NPSH r ( 3%) − 0,5 = 3,9
[m C.A.]
Por otro lado, recurriendo a la conocida expresión de la energía disponible en la
aspiración se tiene:
NPSH d = H b − H v − H s − ∆H asp
[m C.A.]
Nota: se consideraba igualmente valida la expresión si se hubiera tenido en cuenta el
término cinético.
La presión barométrica, a expresar en [m C.A.] se determina, por medio de los ábacos
(fórmula 2.3), en función de la cota a la que se ha implantado la máquina:
(
p b = p b 0 ⋅ 1 − 2,2556 ⋅ 10 −5 ⋅ z m
)
5 , 256
[Pa]
En esta expresión se tendrá aproximadamente que:
p b 0 = 101.325
[Pa]
z m ≈ z I = 952,205
[m]
Resultando:
p b = 90.397,4
[Pa]
Expresado en [m C.A.], considerando condiciones estándar de aceleración de la
gravedad y densidad de agua a 20 [ºC], se tiene:
[m/s2]
g = 9,81
ρ w = 998,6
H b = 9,2277 ≈ 9,228
[kg/m3]
[m C.A.]
El resto de términos de la expresión del NPSHd se calcula, así:
9 Teniendo en cuenta los datos de los ábacos:
Hv =
pv
2.339
=
= 0,23876 ≈ 0,239
ρ w ⋅ g 998,6 ⋅ g
[m C.A.]
9 A partir de los datos del problema:
∆H asp = K asp ⋅ Q 2 = 200 ⋅ 0,08333 2 = 1,3888 ≈ 1,389
[m C.A.]
Resultando:
H s = +3,7
[m C.A.]
Es decir altura de aspiración positiva, referencia de bomba por encima del nivel del
depósito.
Este problema se valoraba más dibujando la gráfica de la curva característica H-Q y NPSH-Q y el croquis de la disposición de la
bomba respecto del nivel del depósito de aspiración.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 355
Respuesta 4
En primer lugar es necesario calcular la presión total absoluta en la aspiración a la
entrada de la bomba. Se tiene:
p abs _ 1 = p b − ρ w ⋅ g ⋅ (H s + ∆H asp )
[Pa]
p abs _ 1 = 90.397,4 − 998,6 ⋅ 9,81 ⋅ (3,7 + 1,389) = 40.521,2
[Pa]
h abs _ 1 = 4,13639 ≈ 4,136
[m C.A.]
La presión expresada en [m C.A.] en la sección de salida de máquina, resultará de sumar
la altura de impulsión a la presión remanente en la aspiración:
h abs _ 2 = h abs _ 1 + H = 4,136 + 78,369 = 82,505
[m C.A.]
Expresado en bar, será:
p abs _ 2 =
ρ w ⋅ g ⋅ h abs _ 2
10 5
= 8,08241
[bar]
A dicha presión hay que restar la presión dinámica, a partir del término cinético que
resulta ser:
pd _ 2 = ρw ⋅
c2
= 3.513,22
2
p d _ 2 = 0,03513
[Pa]
[bar]
Con lo que la presión estática (que es lo que lee el transductor) será:
p e _ abs _ 2 = 8,08241 − 0,03513 = 8,04728
[bar]
En el transductor, la expresión de cálculo a emplear será:
p abs _ 2 = G ⋅ (L − L 0 )
[bar]
Siendo, la ganancia y la lectura cero, respectivamente:
G=
F.E.
10
=
= 0,625
L max − L 0 20 − 4
L0 = 4
[bar/mA]
[mA]
Despejando:
L=
p abs _ 2
G
+ L0 =
8,04728
+4
0,625
L = 16,87564 ≈ 16,876
[mA]
[mA]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 356
05-06-JUN-1.
Aplicando la ecuación de la energía entre 0 y 1,
H0 + Hm(Q) = H1
(1)
Por otra parte el caudal que sale por la boquilla
Q1= C1 ⋅ S1
y a su vez la sección S1;
S1 = 0,000028274 [m2]
S1 = 0,25 ⋅ π ⋅ D12
C1 [m/s] = 0,589462752 ⋅ Q1
Q1 [L/min] = 1,696460033 ⋅ C1 [m/s]
En (1)
H0 = 0
H1 = 2 + [0,589462752 2 ⋅ Q12 ⋅ 19,6-1 ]
H1 = Z1 + [C1 2 ⋅ (2g)-1]
Hm(Q) = 2 + 0,017727874 ⋅ Q12
Si Q1 = 37,38 [L/min] => C1 = 22,03 [m/s]
Hm(Q)= 2 + 0.017727874* 37.382 = 26.77 m.c.a.
Si grado de recorte λ = Diámetro original ⋅ Diámetro recortado-1 los nuevos valores de los
coeficientes de las curvas características (C.C.) son:
C0’ = C0 ⋅ λ-2
C1’ = C1 ⋅ λ2
E0’ = E0 ⋅ λ2
E1’ = E1 ⋅ λ4
(2)
(3)
(4)
(5)
La nueva C.C. recortada debe contener al punto Q = 37,38 [L/min]; Hm = 26,77 [m C.A.]
por lo que sustituyendo, queda:
26,77 = C0’+ C1’⋅ 37,38 2
(6)
Despejando entre (2) (3) y (6), queda λ = 1,1, con lo que el nuevo diámetro resulta ser:
Diámetro recortado ≈ 227,3 [mm]
Con el valor de λ = 1,1 en (4) y (5) se puede calcular E0’ y E1’y calcular el rendimiento
para la bomba recortada en el punto Q = 37,38 [L/min]; Hm = 26,77 [m C.A.];
REND = 0,56
Ph [kW] = 0,16
Pe [kW] = 0,29
Pabs [kW] = 0,36
A partir de la Pabs; eu [kW-h/m3] = 0,16
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 357
05-06-SEP-1.
Asumiendo que la curva de NPSHR de la bomba se ajusta razonablemente bien a un
polinomio de segundo grado y dado que se conocen los datos de 3 puntos de dicha
curva, se plantea el siguiente sistema de ecuaciones:
NPSH R = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q 2 ⇒
2 = A + B ⋅1,3 + C ⋅1,32
3 = A + B ⋅ 3 + C ⋅ 32
4 = A + B ⋅ 3,6 + C ⋅ 3,6 2
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene que la curva de NPSHr de la bomba se
ajusta a la siguiente expresión:
NPSH R = 3,064 − 1,428 ⋅ Q + 0,469 ⋅ Q 2
[m C.A.] (Q en [m3/h])
Se sabe que en el punto de funcionamiento se bombea un caudal de 1,5 [m3/h], de forma
que el NPSHR de la bomba en dicho punto:
NPSH R
Q =1, 5
= 3,064 − 1,428 ⋅1,5 + 0,469 ⋅1,5 2 = 1,977
[m C.A.]
Por otra parte el NPSHD de una instalación de bombeo se calcula mediante la siguiente
expresión (Ábacos, pag 19):
NPSH D = H b − H v − H a − ∆H RA
En el caso de la instalación en cuestión se tiene que:
•
•
•
•
Hb = 10,33
Hv = 0,24
Ha = 7,5
∆HRA = 1,42
[m C.A.]
[m C.A.]
[m C.A.]
[m C.A.]
Sustituyendo los valores se tiene que:
NPSH D = 10,33 − 0,24 − 7,5 − 1,42 = 1,23 [m C.A.]
Como NPSHD < NPSHR la bomba CAVITA en dichas condiciones.
Esta situación se debe evitar. Para ello se puede:
•
•
•
•
Disminuir la altura entre el depósito y la bomba (Ha).
Disminuir las pérdidas de carga en la aspiración (∆HRA).
Presurizar el depósito (¿?), aumentando la presión barométrica (Hb).
Cambiar de bomba.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 358
05-06-SEP-2.
Respuesta 1
e 2 − e1 
p2
c 22  
p1
c12 



H=
=  z2 +
+
 −  z1 + ρ ⋅ g + 2 ⋅ g 
ρ
⋅
g
2
⋅
g
g
w
w

 

[m C.A.]
En el caso particular de una bomba axial sumergible se tiene, en función de las lecturas
del manómetro:
H = (z 2 − z I ) +
p2L
c2
+ (z T − z 2 ) + 2
ρw ⋅ g
2⋅g
(1)
[m C.A.]
El término cinético en la sección 2 es el doble del término cinético en cualquier sección
del tramo B.
c 22
c 2B
= 2⋅
2⋅g
2⋅g
[m C.A.]
c 22
= 2 ⋅ 0,3124 = 0,6248
2⋅g
[m C.A.]
ρ w = 999,5
dato
[kg/m3]
z 2 = 1000,5
dato
[m]
z T = 1002,0
dato
[m]
z I = 1000,0
dato
[m]
H = 12,1709
[m C.A.]
Consultando ahora la característica H-Q de la figura 2, se obtiene el caudal que circula
por la bomba y en el by-pass:
Q A = 1,0
[m3/s]
QC = 0,3
[m3/s]
Se puede verificar que la energía cinética expresada en [m C.A.] real en el tramo A,
difiere de la hipotética preconizada en solamente 1 [cm].
Para determinar la potencia mecánica se debe considerar previamente el rendimiento en
la bomba (rendimiento global de bomba: hidráulico y mecánico), que se estima
consultando la figura 2.
η global = 0,84
[-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 359
Pm =
Ph
η global
=
ρ w ⋅ g ⋅ H ⋅ Q 999,5 ⋅ 9,81 ⋅ 12,1709 ⋅ 1,0
=
= 142.067,7
η global
0,84
[W]
Pm = 142,07
[kW]
Antes de continuar convendrá siempre controlar si el punto de funcionamiento está
influenciado por los adversos efectos de la cavitación. Para ello se determina el NSPH
disponible en las actuales condiciones de funcionamiento, verificando que dicho valor
sea superior no sólo al NPSH requerido para el 3 [%] de pérdida de altura de impulsión,
sino para el 0 [%], por razones obvias.
Se tiene:
NPSH d = H b − H v − H s =
pb − pv
− Hs
ρw ⋅ g
(2)
[m C.A.]
En los ábacos, se tiene:
p b = 89.874,2
[Pa]
p v = 1.403
[Pa]
H b − H v = 9,023
[m]
Y además:
H s = −2,0
[m]
Resultando:
NPSH d = 11,023
[m C.A.]
Se lleva ahora la recta correspondiente a dicho valor de disponible a la gráfica que
muestra las diferentes curvas de NPSHr para el 0, el 3 y el xx [%]: figura 81.3. Estas
gráficas se han construido considerando una diferencia de 0,5 [mC.A.] entre cada curva.
Se comprueba en la gráfica que:
NPSH d ≥ NPSH o%
[m C.A.]
Ya que:
NPSH o% = 10,8
[m C.A.]
NPSH 3% = 10,3
[m C.A.]
NPSH xx % = 9,8
[m C.A.]
Por tanto, el funcionamiento es correcto, desde el punto de vista de pérdida de
prestaciones y el punto hallado en las páginas anteriores está bien calculado.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 360
Respuesta 2
El motor debe tener la capacidad suficiente para poder asegurar el funcionamiento a
cualquier caudal de los indicados en la figura 81.2: eso es un requisito fijado en el texto
del enunciado. Entonces, debe cubrir cualquier caudal entre 0,1 y 1,33 [m3/s]. Entrando
en la gráfica de la figura 2, se tienen los siguientes valores para el punto más
desfavorable:
Q = 0,1
[kg/m3]
H = 22,5
[m]
η global = 0,12
Resulta, entonces, una potencia de:
Pm = 183,9
[kW]
En función de la potencia mecánica obtenida aquí arriba, y consultando el ábaco para
motores asíncronos con carcasa de hierro: página 105, capítulo IX.3, tabla 9.3 se tiene
un motor de 160 [kW] y otro 200 [kW]. Se elige éste último. El rendimiento eléctrico
máximo de éste motor y su velocidad de rotación real serán:
Pm = 200
[kW]
η a = 0,957
[-]
N = 989
[r.p.m.]
A su vez para determinar el rendimiento actual en el punto de funcionamiento se debe
recurrir a la tabla 9.1, página 103 de los ábacos, donde se indican los rendimientos
eléctricos a diversas fracciones de carga (ó potencia mecánica), en relación a los
rendimientos máximos, que se tienen a potencia nominal. La máquina a considerar tiene
6 polos.
fracción actual =
Pm _ actual
Pm _ nom
=
142,07
= 0,71
200
[-]
Este valor es muy cercano al indicado en la tabla 9.1, por lo que se puede adoptar el
valor de la tabla sin cambios. A su vez, se observa que para rendimientos en el nominal
de 96 ó 95 [%] el rendimiento a ¾ de carga está inalterado. En resumidas cuentas, el
rendimiento eléctrico actual resulta el mismo que en el nominal:
η a _ actual = 0,957
[-]
En resumidas cuentas, la potencia eléctrica actual y el equivalente energético, resultan
ser de:
Pa =
Pm 142,07
=
= 148,45
ηa
0,957
Eqen =
Pa
148,45
=
= 0,058908
Q 0,70 ⋅ 3600
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[kW]
[kW-h/m3]
Ejercicios resueltos - 361
Respuesta 3
∆H A = K A ⋅ Q 2A
[m C.A.]
La energía motora residual en la embocadura de la bifurcación, expresada en [m C.A.]
resulta ser:
H residual = H − ∆H A = 12,1709 − 0,34428 = 11,8266
[m C.A.]
Dicha energía residual será igual a la curva resistente del circuito del by-pass, es decir:
H residual = H resistente −C
H resistente _ C = λ C ⋅
[m C.A.]
L eq _ C
DC
c C2
c 2valv
⋅
+ ξ⋅
2⋅g
2⋅g
(3)
[m C.A.]
En la expresión (3), se conocen todos los términos con la salvedad del coeficiente de
fricción, que debe despejarse. Se tiene:
Q C = 0,3
[m3/s]
c C = 4,24413
[m/s]
ν = 1,236 ⋅ 10 −6
[m2/s]
D C = 0,3
ε=
[m]
ε
= 6.10 − 4
D
11,8266 = 0,0178 ⋅
[-]
Re ≈ 1.030.000
[-]
λ C = f (Re, ε ) = 0,0178
[-]
40 4,24412
4,24412
⋅
+ ξ⋅
0,3 2 ⋅ 9,81
2 ⋅ 9,81
[m C.A.]
Despejando:
ξ = 10,51
[-]
Ahora se consultan los ábacos en el apartado de pérdidas de carga singulares
correspondientes a válvulas de compuerta, figura 4.
Apertura = 24,0
[%]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 362
Respuesta 4
El incidente que menciona el enunciado tiene tres consecuencias:
9 cambia el NPSH disponible al reducir la sumergencia (aumento de la altura de
aspiración) y
9 cambia el caudal al modificar la estructura de pérdidas de l circuito, por lo que
también cambia el NSPH disponible.
En este tipo de situaciones se realizará el cálculo del circuito resistente como siempre,
procediendo en la gráfica al corte de dicha curva con la motora de altura de impulsión
de la bomba. Por otro lado. Una vez determinado el punto resultante, se procederá al
chequeo de las condiciones de cavitación.
La nueva curva resistente tiene por expresión:
H resistente = ∆z + ∆H A + ∆H valv + ∆H B
c 2B
+ K B ⋅ Q2
2⋅g
2
= ∆z + K A ⋅ Q + K valv _ B ⋅ Q 2 + K B ⋅ Q 2
[m C.A.]
H resistente = ∆z + K A ⋅ Q 2 + ξ valv _ B ⋅
(4)
[m C.A.]
H resistente
(5)
[m C.A.]
∆z = 6,0
[m]
K A = 0,344283
[m C.A. s2m-6]
Para calcular el coeficiente de pérdidas por fricción en el tramo B, se entra con un
caudal hipotético igual al anterior, aunque luego de determinar el punto sea distinto. El
coeficiente de fricción será el mismo que el calculado en pregunta anterior para el tramo
común. Se tiene, entonces:
Q = 1,0
[m3/s]
c = 3,5368
ν = 1,236 ⋅ 10 −6
D = 0,6
[m/s]
[m2/s]
[m]
λ B = f (Re, ε ) = 0,0162
[-]
Resulta, para el caudal de cálculo utilizado un valor de:
∆H B = 0,0162 ⋅
KB =
100 3,5368 2
⋅
= 1,721416
0,6 2 ⋅ 9,81
∆H B
= 1,721416
Q2
[m C.A.]
[m C.A.s2m-6]
Para la válvula se tienen todos los datos. Conocida la apertura se determina en los
ábacos el coeficiente de pérdidas:
ξ = 10,51
[-]
c = 3,5368
[m/s]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 363
Expresando ahora la pérdida de carga en la válvula en función del caudal se tiene, para
la apertura impuesta:
∆H valv = 10,51 ⋅
K valv =
3,5368 2
= 6,7008
2 ⋅ 9,81
[m C.A.]
∆H valv
= 6,7008
Q2
[m C.A.s2m-6]
Retomando todos los términos la expresión (5) deviene en:
H resistente = 6 + (0,344283 + 6,700770 + 1,21416) ⋅ Q 2 = 6 + 8,766469 ⋅ Q 2
[m C.A.]
El punto de funcionamiento actual (provisional) resulta:
H = 13,5
Q = 0,925
[m C.A.]
[m3/s]
Al igual que en el caso de la 1ª pregunta se debe estudiar, aún, el posicionamiento en
cavitación del punto de funcionamiento. Para ello se determina el NSPH disponible en
las actuales condiciones de funcionamiento, verificando que dicho valor sea superior no
sólo al NPSH requerido para el 3 [%] de pérdida de altura de impulsión, sino para el 0
[%], al igual que en la 1ª pregunta.
H b − H v = 9,023
Y además:
Resultando:
[m]
H s = 0,0
NPSH d = 9,023
[m]
[m C.A.]
Se lleva ahora la recta correspondiente a dicho valor de disponible a la gráfica de la
figura 3, que muestra las diferentes curvas de NPSHr para el 0, el 3 y el xx [%] (se
recuerda que estas gráficas se han construido considerando una diferencia de
0,5 [m C.A.] entre cada curva).
Característica NPSH-Q de bomba axial.
15,0
NPSH 3%
NPSH [m C.A.]
14,0
NPSH xx%
13,0
NPSH 0%
Disponible (4ª pregunta)
12,0
11,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
3
Q [m /s]
Figura 19.3. Características en cavitación (4ª pregunta).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
1,30
1,40
1,50
Ejercicios resueltos - 364
Se comprueba en la gráfica que el punto de funcionamiento actual está afectado por la
cavitación. Los caudales correspondientes a 0,3 [%] y xx [%] son los siguientes
(determinados por intersección gráfica en la figura 3 y marcados con aspas):
NPSH 0% = 9,023
[m C.A.]
Q = 0,63
[m3/s]
NPSH 3% = 9,023
[m C.A.]
Q = 0,775
[m3/s]
NPSH 0% = 9,023
[m C.A.]
Q = 0,88
[m3/s]
El punto de funcionamiento correspondiente se determinará, por intersección de una
vertical para el caudal de 0,88 [m3/s] con la curva resistente.
H = 12,79
[m C.A.]
Q = 0,88
[m3/s]
Característica H-Q de bomba axial y curva resistente (4ª pregunta),
mostrando la influencia de la cavitación sobre la curva característica
30,0
28,0
26,0
Curva H-Q de la bomba, sin cavitación
24,0
Curva resistente del circuito
H [m C.A.]
22,0
Curva H-Q afectada por la cavitación, para NPSH disponible = 9,023 [m]
20,0
18,0
16,0
14,0
12,0
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
Q [m3/s]
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
Figura 81.7. Curva característica H-Q influenciada por la cavitación (4ª pregunta).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
1,50
Ejercicios resueltos - 365
06-07-FEB-1.
a) Curva resistente de la instalación
En el punto de funcionamiento se cumple que la altura motriz que da la bomba es igual
a la altura resistente de la instalación.
Suponiendo que la curva resistente de la instalación es del tipo Hr=Hg+kQ2
desconocemos el valor de Hg, desnivel geométrico de la instalación, y k, característica
resistente del ramo de impulsión y aspiración, parámetros que no varían.
La altura motriz que da la bomba la obtenemos por diferencia entre las presiones en el
colector de impulsión y de aspiración de la bomba. Así, para cada uno de los puntos de
funcionamiento:
H 1 = pimp1 − p asp1 = 50,72 − ( −4,15) = 54,87mca
H 2 = p imp 2 − p asp 2 = 46,35 − ( −3,94) = 50,29mca
El caudal que pasa por la instalación es el que medimos en el colector de impulsión de
las bombas.
Conocemos dos puntos de funcionamiento del sistema, con lo cual podemos planear un
sistema de dos ecuaciones, las curvas resistentes para los dos puntos de funcionamiento
medimos, con dos incógnitas, Hg y k.
54,87 = H g + k 0,4312
50,29 = H g + k 0,394 2
Resolviendo el sistema, obtenemos:
H g = 27m
k = 150
m
(m s) 2
3
donde k=kimp+kasp que nos piden que determinemos por separado. Para ello bastará con
que calculemos una de ellas y por diferencia con respecto al valor de k que acabamos de
calcular obtendremos la otra.
Para calcular la kasp vamos a aplicar a ecuación de Bernouilli entre el depósito de
aspiración, que podemos deducir del enunciado que está abierto a la atmósfera y el
colector de aspiración de la bomba en donde está instalado el manómetro de aspiración.
Así:
p0
γ
+ z 0 − k asp Q 2 =
p asp
γ
+
v2
+ z asp
2g
despreciando el término cinético, para cualquiera de las dos medidas de que disponemos
tenemos:
p asp
k asp =
γ
+ z asp − z 0 −
−Q
2
p0
γ
=
− 4,15 + 2,85 − 0 − 0
m
=7 3 2
2
− 0,431
(m s)
k asp = 7
m
(m s) 2
3
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 366
Restando de la característica resistente total de la instalación tenemos:
k imp = k − k asp = 150 − 7 = 143
k imp = 143
m
(m s) 2
3
m
(m s) 2
3
Quedando la curva resistente de la instalación de la siguiente manera:
H r = H g + kQ 2
H r = 27 + 150Q 2
b) Curvas características de la bomba
Partiendo, al igual que antes, de que en el punto de funcionamiento altura motriz y
resistente se igualan, procedemos de manera similar pero con las características de una
sola bomba.
La altura que proporcionan las bombas en los puntos de funcionamiento medidos las
hemos calculado en el punto anterior.
Sabiendo que las bombas son iguales, el caudal que trasiegan cada una de ellas lo
obtenemos dividiendo el medido por el número de bombas puestas en marcha. Así:
QT 1
0,431
=
= 0,1437 m 3 s
3bombas
3
QT 2
0,394
Q2 =
=
= 0,197 m 3 s
2bombas
2
Q1 =
Si suponemos, tal y como nos indica el enunciado, que la curva de la bomba es de tipo
parabólico (Hb = A-BQ2) vamos a plantear un sistema con dos ecuaciones, las de la
bomba en los puntos de medida y dos incógnitas: A y B. De esta manera:
54,87 = A − B0,1437 2
50,29 = A − B0,197 2
Despejando, la curva H-Q de la bomba queda:
H b = 60 − 252,2Q 2
con Q en m3/s
Si suponemos la curva de rendimiento del tipo η = EQ-FQ2 podemos obtener los
coeficientes E y F planteando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas con tal
de conocer el valor del rendimiento para los dos caudales medios.
El rendimiento lo obtenemos despejando en la expresión de la potencia de la bomba.
η=
γQH
Pot
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 367
que particularizando a las medidas resultan:
η1 =
η2 =
γQ1 H 1
Pot1
=
9,81 ⋅ 0,1437 ⋅ 54,87
= 0,686
112,7
=
9,81 ⋅ 0,197 ⋅ 50,29
= 0,777
125
γQ 2 H 2
Pot 2
Conocemos dos rendimientos para diferentes puntos de funcionamiento del sistema, por
lo que podemos plantear un sistema de ecuaciones, con dos incógnitas, E y F:
0,686 = E ⋅ 0,1437 − F ⋅ 0,1437 2
0,777 = E ⋅ 0,197 − F ⋅ 0,1437 2
Resolviendo el sistema, obtenemos:
E = 7,0107
F = 15,5661
η = 7,0107Q − 15,5661Q 2
c) Justificación del martilleo y nuevo rendimiento
Sabemos que uno de los efectos que el fenómeno de la cavitación produce en las
bombas es el ruido. El colapso de las burbujas de vapor sobre las superficie de los
elementos de la bomba, principalmente el rodete, produce el característico ruido
metálico similar a un granallado sobre la superficie.
Sabemos también que, desde el momento en que se produce la cavitación, la curva H-Q
de una bomba centrífuga cae verticalmente, no sobrepasando el caudal de cavitación.
Comprobamos la existencia del fenómeno comparando la altura que proporcionaría la
bomba para la curva original H-Q con los valores medidos en la Estación de Bombeo.
La altura medida que proporciona la bomba vale:
H b = pimp − p asp = 33,08 − ( −3,29) = 36,37mca
La altura que debería proporcionar la bomba para el caudal medido la obtenemos
sustituyendo éste último en la expresión de la curva de la bomba.
H b (Q = 0,25 m 3 s ) = 60 − 252,2 ⋅ 0,25 2 = 44,23mca
valor que no se parece al anterior.
Por otro lado podemos comprobar que el caudal altura medidos se encuentran sobre la
curva resistente de la instalación. Así:
H r (Q = 0,25 m 3 s ) = 27 + 150 ⋅ 0,25 2 = 36,37mca
valor que sí que coincide, como era de esperar, con los resultados medidos.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 368
El rendimiento de la bomba en este punto no lo podemos obtener sustituyendo el caudal
medido en la expresión del rendimiento que hemos calculado en el apartado anterior
pues, al igual que le sucede a la curva de H-Q, la curva η-Q cae verticalmente para el
caudal de cavitación, luego difiere de la original.
Para el cálculo procedemos con la expresión de la potencia absorbida por la bomba.
η=
γQH
Pot
=
9,81 ⋅ 0,25 ⋅ 36,37
= 0,64
139,3
η = 0,64
d) Nueva velocidad de giro para que no se produzca la cavitación
Sabemos que cuanto mayor caudal trasiegue la bomba más probable es que aparezca el
fenómeno de cavitación. Una de las formas de evitarlos es reducir la velocidad de giro
de la bomba, buscando que su curva de H-Q se desplace hacia caudales inferiores y con
ello reducir el riesgo de cavitación.
Por otro lado, la variación en la velocidad de giro afectará también a la curva NPSHr de
la bomba, desplazándola hacia abajo, lo que también redunda en un menor riesgo de
cavitación.
La condición de no cavitación establece que NPSHd ≥ NPSHr (α). En nuestro caso:
NPSHd = 7,15 − 7Q2 ≥ 4,145α 2 + 41,06Q2 = NPSHr
en donde queremos despejar el valor de α.
Ahora bien, como hemos comentado, una variación de α afecta a la curva motriz de la
bomba, luego al punto de funcionamiento de la instalación.
Si buscamos que la bomba no cavite la ecuación de comportamiento seguirá siendo:
H b = 60 − 252,2Q 2
afectada evidentemente por el coeficiente de cambio de velocidad.
Así la condición de punto de funcionamiento se cumple que:
H r = 27 + 150Q 2 = 60α 2 − 252,2Q 2 = H b
Tenemos pues un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en donde despejamos el
valor de α.
α ≤ 0,957
N '= N ⋅α
N '= 1387,65rpm
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 369
e) Relación de recorte de rodete para que no cavite la bomba
Sucede al igual que el apartado anterior que buscamos reducir la curva de la bomba para
que no se produzca cavitación.
Sucede ahora que el recorte de rodete, a diferencia del cambio de velocidad o de
variación de características geométricas de la bomba, no afecta a la curva NPSHr de la
bomba, puesto que el recorte sólo modifica el diámetro exterior y la NPSHr depende en
esencia del diámetro de entrada de la bomba.
Realizamos un planteamiento similar. De la condición de no cavitación obtenemos que:
NPSH d = 7,15 − 7Q 2 ≥ 4,145 + 41,05Q 2 = NPSH r
Como quiera que no se han modificado las curvas, nos tiene que dar el mismo caudal
que hemos medido. Así el caudal máximo de cavitación sigue siendo Q = 0,25 m3/s.
Para determinar la relación de recorte debemos aplicar las leyes de la semejanza para
recorte de rodete. Estas leyes sólo son de aplicación entre puntos homólogos, luego
tenemos que calcular el punto homólogo al Q = 0,25 m3/s ; H = 36,37mca.
Hh =
36,37
Qh = 145,48Qh
0,25
intersectando esta recta con la curva de la bomba obtenemos el punto homólogo del
anterior.
H b = 60 − 252,2Qh2 = 145,48Qh
Qh = 0,278 m 3 s
Aplicamos ahora la relación de semejanza con recorte de rodete entre Q y Qh calculando
λr
λ2r =
Q
0,25
=
= 0,89
Qhom 0,278
λ r = 0,94
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 370
06-07-FEB-2.
5
3
1. Multiplicando π1 y π2, queda π3 = gHQ/(D N ). Multiplicando y dividiendo por ρ ,
5 3
en el numerador queda unidades de potencia y el número π3 = P/(ρD N ) aplicable
para potencias
2. Entre dos puntos semejantes para el mismo campo gravitatorio g, mismo fluido (igual ρ)
y siendo la misma máquina se deberá cumplir
π1= Q/N = Q’/N’ => Q= Q’(N/N’)
π2= H/N2= H’/N’2=> H= H’(N2/N’2)
π3 = P/N3= P’/N’3=> P = P’(N3/N’3)
Y sustituyendo Q, H y P en (siendo N = 1490 [r.p.m.])
H = 21,15 + 2,23 ⋅ Q – 0,1538 ⋅ Q2
Pm= 0,6091 – 0,0114 ⋅ Q + 0,0045 ⋅ Q2
Queda
2
2
H (Q,N) = 21,15 (N’ /1490 ) + 2,23(N’/1490)Q – 0,1538Q 2
3
3
2
2
Pm (Q,N) = 0,6091 (N’ /1490 ) – 0,0114(N’ /1490 )Q + 0.0045(N’/1490)Q 2
3. El punto de funcionamiento a válvula abierta y a 1490 [r.p.m.] se calculará resolviendo
el sistema curva resistente - curva motora
PTO. FTO.
2
14,52 [m3/h]
H = 0,1 ⋅ Q
21,0948 [m C.A.].
H = 21,15 + 2,23 ⋅ Q – 0,1538 ⋅ Q2
Y sustituyendo en la curva de potencia da una potencia en el eje Pm = 1,39 [kW]. El
rendimiento η se puede calcular como Ph/Pm y resulta ser
η = 0,599 [-]
Con Pm = 1,39 [kW] sobredimensionando un 20 [%] resulta ser 1,668 [kW] y entrando en
la tabla el motor más cercano es el de 1,5 [kW].
4. Si la potencia nominal es de 1,5 [kW] y está dando a válvula abierta 1,39 [kW] el motor
está trabajando al 93 [%] de la carga. Si al 100 [%] de la carga (4/4) el rendimiento del
motor es 75 [%] y al 75[%] de la carga (3/4) es 74 [%], interpolando al 93 [%] de la carga,
el rendimiento del motor resulta ser 0,747 [-]. Si además, el inversor está colocado –
aunque a válvula abierta no sea necesario-y éste tiene un rendimiento de 0,93 [-], la
potencia absorbida de red es:
Pabs =2 [kW]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 371
Para el resto de puntos, conocida la curva resistente se puede para los distintos caudales
calcular los puntos de funcionamiento
Caudal [m3/h]
2
H [m C.A.] = 0,1 ⋅ Q
6 8 10 12 14,5240543
3,6 6,4 10 14,4 21,0948153
Entrando con estos valores en H = H(Q,N), se despejan los valores de N
615,53 820,71 1025,88 1231,06 1490,00
N [r.p.m]
Y en Pm = Pm(Q,N) se calculan las potencias en el eje
Pm [kW] 0,10 0,23 0,45 0,79 1,39
Con las potencias hidraulicas (Ph = γQH) y potencias en el eje (Pm) se calculan los
rendimientos y se estima frente a la potencia nominal del motor de 1,5 [kW] a qué
fraccion de carga (f.c.= Pm/1,5)) se está trabajando. Con ello se interpola (o extrapola)
para calcular el rendimiento del motor
Caudal [m3/h]
Rend
f.c.
Rend. motor
6
8
10
12 14,5240543
0,60
0,60
0,60
0,60
0,60
0,07
0,16
0,30
0,52
0,93
0,71262 0,71621 0,72212 0,73095
0,74714
Con un rendimiento del inversor fijo se calcula la Peléctrica y en base a las horas de
trabajo anuales, la suma del total de [kW-h] empleados y [m3] impulsados, así como el
indicador energético Eu [kW-h/ m3]
rend. inversor
0,93000
Caudal [m3/h]
6
8
10
12 14,5240543
0,15
0,35
0,68
1,16
2,00
Pabs [kW]
100,00 125,00 250,00 500,00
3000,00
N [h/año]
14,82
43,68 169,23 577,79
6013,43
[kW-h/año]
600,00 1000,00 2500,00 6000,00
43572,16
vol/año [m3]
0,0247 0,0437 0,0677 0,0963
0,1380
[kW-h/m3]
6818,94
[kW-h] total gastados en 1 año
3
53672,16
Volumen total [m ] impulsado en 1 año
3
0,1270
Eu [kW-h/m ]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 372
06-07-FEB-3.
1.
Ph = γ ⋅ Q ⋅ H = 9810 ⋅ 455 ⋅ 17,5 = 78,11 ⋅ 106 [W]
η = Pm/Ph = 73 ⋅ 106 / 78,11 ⋅106 = 0,9346 [-]
Pe = Pm ⋅ ηa = 73 ⋅ 106 ⋅ 0,9875 = 72,0875 ⋅ 106 [W]
2.
Hb = 18,5 [m]; Hn = 17,5 [m]
∆HR = 18,5 – 17,5 = 1 [m C.A.]
Æ
1 = K ⋅ 4552
∆HR = K ⋅ Q2
Æ
Æ
Æ
η = 93,46 [%]
Pe = 72,0875 [MW]
K = 4,83 ⋅10-6 [m C.A./ (m3/s)2]
3.
nq = N ⋅ Q1/2 / H3/4
ν = ω ⋅ (Q/π)1/2 / (2 ⋅ E)3/4 , cumpliéndose nq = 157,787 ⋅ ν (nominal a nominal)
Æ ω = N ⋅ 2 ⋅ π / 60 = 7,14 [rad/s]
N = 60 ⋅ f / p.p. = 60 ⋅ 50 / 44 = 68,18 [r.p.m.]
nq = 68,18 ⋅ 4551/2 / 17,53/4 = 169,98 [*]
ν = 7,14 ⋅ (455/π)1/2 / (2 ⋅ 9,81 ⋅ 17,5)3/4 = 1,077 [-]
(o bien, ν = nq / 157,787 = 1,077 [-])
4. (páginas 123 a 126 de ábacos)
Æ
TURBINA KAPLAN
nq = 169,98 [*]
Ku = 0,90163 + 0,004242 ⋅ nq = 1,623 [-]
Ku = π ⋅ De ⋅ N / (60 ⋅ (2 ⋅ E)1/2)
Æ De = 1,623 ⋅ 60 ⋅ (2 ⋅ 9,81 ⋅ 17,5)1/2 / (π ⋅ 68,18) = 8,24 [m] (ver imagen)
b = 0,9 – 21,3485 / nq = 0,77 [m]
nº de álabes, para nq = 169,98 [*], y H = 17,5 [m C.A.]
6-7 álabes
Vivier, 1966 Æ
Æ
5 álabes
Flad, 1982
Nota.- la turbina real tiene 5 álabes (ver imagen)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 373
5. (páginas 22 y 23 de ábacos)
Æ
Dm = 8,42 / 4 = 2,105 [m]
λ = Dp/ Dm = 4 [-]
ω m = ω p = 7,14 [rad/s]
Nm = Np = 68,18 [r.p.m.];
um = ω ⋅ Rm = 7,14 ⋅ 2,105/2 = 7,52 [m/s]
up = ω ⋅ Rp = 7,14 ⋅ 8,42/2 = 30,06 [m/s]
Suponiendo que las condiciones normales de funcionamiento descritas se ajustan a un
punto cercano al de óptimo funcionamiento, se emplean, a continuación las expresiones
propuestas por CEI (ver páginas 22 y 23 de ábacos):
Reref = 7 ⋅ 106 [-]
Vref = 0,8 [-]
Rem = Dm ⋅ um / νw = 2,105 ⋅ 7,52 / 10-6 = 15,82 ⋅ 106 [-]
Rep = Dp ⋅ up / νw = 8,42 ⋅ 7,52 / 10-6 = 253,10 ⋅ 106 [-]
Operando, se obtiene:
Æ
ηm = 0,9093 [-]
Æηm = 90,93 [%]
0,9346 – ηm = (1 - ηm) ⋅ 0,2789
Es decir, la revalorización para el rendimiento:
∆η M-P = 0,9346 - 0,9093 = 0, 0253 [-]
Æ ∆ηm = 2,53 [%]
6. (páginas 45, 46 y 124 de ábacos)
NPSHpl = Hb – Hs – Ha + Hra
Tomando valores habituales para la presión atmosférica y la de vapor y despreciando las
pérdidas de carga en el tubo aspirador:
NPSHpl = 10,33 – 2339/9810 – Ha = 10,09 – Ha [m C.A.]
Por otra parte, σ = NPSH/H [-], siendo H = 17,5 [m] y nq = 169,98 [*]
Estadística (pág. 122)
Estadística (pág. 122)
Creager y Justin
Vivier
De Siervo y De Leva
Graeser
año
1986
1976
1950
1966
1977
1974
a
1,000
0,447
0,500
-
b
1,940
1,780
1,427
-
σ [-]
0,674
0,571
1,155
0,510
0,556
0,640
NPSH [m C.A.]
11,795
9,9925
20,2125
8,925
9,73
11,2
Ha [m]
-1,705
0,0975
-10,12
1,165
0,36
-1,11
El valor ofrecido por Creager y Justin difiere notablemente del ofrecido por el
resto de las estadísticas. Esta discrepancia se puede deber a la fecha en la que se realizó
la estadística, 1950. El resto de los valores datan de fechas posteriores y ofrecen valores
mucho más cercanos entre sí. Dado que la turbina en cuestión se construyó en el
intervalo 1959-1964, esa estadística anterior no se considerará en los siguientes
comentarios.
La cota de implantación real es de -3,5 [m], por lo que resulta inferior a
cualquiera de los valores ofrecidos por las estadísticas. A priori parece que la solución
adoptada resulta conservadora, a falta de los datos obtenidos en el laboratorio para el
modelo, que son los que realmente deben prevalecer.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 374
06-07-JUN-1.
1.
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la superficie libre y del estanque y la sección
de salida de la tubería de impulsión, se tiene que:
hB = ∆z + v22 / (2⋅ g) + 1,2 ⋅ Q2 + 0,5 ⋅ Q2
Ecuación de continuidad para expresar la altura de impulsión sólo en función del
caudal:
Æ
v2 = Q/A = 4 ⋅ Q / (π ⋅ D22)
Q=v⋅A
Sustituyendo en la ecuación anterior e introduciendo los valores para g y el diámetro, se
obtiene la curva resistente de la instalación:
hB = ∆z + 2,044 ⋅ Q2
Si el estanque se encuentra LLENO:
hB = 0,8 + 2,044 ⋅ Q2
Si el estanque se encuentra VACÍO:
hB = 2,2 + 2,044 ⋅ Q2
Dando valores a Q en [m3/s] se representan las dos curvas sobre las curvas
características:
Q [m3/s]
Hlleno [m C.A.]
Hvacio [m C.A.]
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
0,8
0,8
0,9
1,0
1,1
1,3
1,5
1,8
2,1
2,5
2,8
3,3
3,7
4,3
4,8
5,4
6,0
6,7
7,4
8,2
9,0
9,8
2,2
2,2
2,3
2,4
2,5
2,7
2,9
3,2
3,5
3,9
4,2
4,7
5,1
5,7
6,2
6,8
7,4
8,1
8,8
9,6
10,4
11,2
Se definen los puntos extremos de
funcionamiento en las intersecciones de las
dos curvas resistentes con la curva
característica correspondiente a 711 [mm]:
Estanque LLENO: H
[m C.A.]
Q
[L/s]
≈
≈
4,9
1425
η ≈ 76
[%]
Estanque VACÍO: H
[m C.A.]
Q
[L/s]
≈
≈
5,8
1340
η ≈ 79
[%]
2.
El caudal medio durante el bombeo: Qm = (1,340 + 1,425) / 2 = 1,3825 [m3/s]
El volumen total a vaciar:
V = 7000 ⋅ 1,4 = 9800 [m3]
De forma que el tiempo de vaciado: t = V / Qm = 7088,6 [s]
Es decir:
1 [h] 58 [min] 8,6 [s], prácticamente 2 [h]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 375
3.
La altura de impulsión media:
El rendimiento medio:
Así, la potencia hidráulica:
103 [W]
La potencia mecánica:
Hm = (5,8 + 4,9) / 2 = 5,35 [m C.A.]
[%]
ηm = (76 + 79) / 2 = 77,5
Ph = γ ⋅ Qm ⋅ Hm = 9810 ⋅ 1,3825 ⋅ 5,35 = 72,56 ⋅
Pm = Ph / ηH = 72,56 ⋅ 103 / 0,775 = 93,62 ⋅ 103 [W]
(se comprueba que este valor coincide de forma
aproximada con un valor medio de los puntos de
funcionamiento
extremos
para
la
curva
característica de potencias)
La potencia consumida:
Pc = Pm / ηM = 93,62 ⋅ 103 / 0,92 = 101,77 ⋅ 103 [W]
e = 101,77 / (1,3825 ⋅ 3600) = 0,02045
Y finalmente, el equivalente energético:
[kW-h / m3]
4.
Se deben comparar el NPSH requerido por la bomba y el NPSH disponible en la
instalación en cada una de las situaciones extremas.
El NPSH requerido por la bomba lo proporciona el fabricante y aunque éste suele ser el
NPSH3%, se va a suponer que en efecto es el NPSH requerido puesto que el enunciado
indica que se le conceda credibilidad. Así, mirando en las gráficas, para los puntos de
funcionamiento extremos:
Estanque LLENO: NPSHR ≈ 5,0 [m C.A.]
Estanque VACÍO: NPSHR ≈ 4,7 [m C.A.]
Y el NPSH disponible se calcula, en cada caso:
NPSHD = Hb – Hv – Hs
En ambos casos extremos:
Hb – Hv = (101300 – 2339) / 9810 = 10, 088 [m C.A.]
La altura de la bomba sobre la superficie libre del estanque depende de si éste está lleno
o vacío y sólo se deben considerar las pérdidas de carga correspondientes a la tubería de
aspiración, en cada caso con el caudal correspondiente:
Estanque LLENO: NPSHD = 10, 088 – 0,6 – 1,2 ⋅ 1,4252 = 7,05 [m C.A.] (> NPSHR)
Estanque VACÍO: NPSHD = 10, 088 – 2,0 – 1,2 ⋅ 1,3402 = 5,93 [m C.A.] (> NPSHR)
Si se le concede credibilidad a las curvas facilitadas por el fabricante, el funcionamiento
es el correcto y no se producirá cavitación.
5.
H
Q1
Q2
Q3
Q
Al ser creciente la curva resistente de la instalación, el hecho de colocar dos bombas en
paralelo NO logra duplicar el caudal (Q2 < 2 ⋅ Q1).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 376
En el hipotético caso en el que la curva resistente de la instalación pudiera considerarse
horizontal (en este problema concreto supondría despreciar las pérdidas de carga, tal
que H = ∆z) la altura permanecería constante, independiente del caudal, obteniendo así
el doble caudal: Q3 = 2 ⋅ Q1, y en consecuencia se reduciría el tiempo de vaciado a la
mitad.
6.
Como no se especifica, se puede calcular cualquiera de las velocidades específicas:
[*]
• Brauer no adimensional: nq = N ⋅ Q1/2 / H3/4
1/2
3/4
nQE = n ⋅ Q / E
[-]
• Brauer adimensional:
1/2
3/4
[-]
• Científica adimensional: ν = ω ⋅ (Q/π) / (2 ⋅ E)
Así, para la primera expresión:
N = 485 [r.p.m.]
Y en la curva característica se identifica el punto óptimo de funcionamiento para el
diámetro de 711 [mm]:
ηMAX ≈ 81,5 [%]
[m C.A.]
HΛ = 7,6
[L/s]
QΛ = 1170
nq = 485 ⋅ 1,1701/2 / 7,63/4 = 114,61 [*]
nQE = 485 ⋅ (1 / 60) ⋅ 1,1701/2 / (2 ⋅ 9,81 ⋅ 7,6)3/4 = 0,2049 [-]
ν = 485 ⋅ (2 ⋅ π / 60) ⋅ (1,170/π)1/2 / (2 ⋅ 9,81 ⋅ 7,6)3/4 = 0,7264 [-]
(se puede comprobar, por ejemplo la relación ν = nq / 157,787)
7.
λ = 1,4 [-]
N´ = 1000 [r.p.m.]
Relaciones de semejanza entre puntos homólogos de máquinas semejantes:
QΛ´ = (D´3 / D3) ⋅ (N´ / N) ⋅ QΛ= 1,43 ⋅ (100/485) ⋅ 1,17 = 6,62 [m3/s]
HΛ´ = (D´2 / D2) ⋅ (N´2 / N2) ⋅ HΛ = 1,42 ⋅ (1000/485)2 ⋅ 7,6 = 63,33 [m C.A.]
Y la velocidad específica:
nq = 1000 ⋅ 6,621/2 / 66,333/4 = 114,61 [*]
Mismo valor que antes, como no podía ser de otra forma: máquinas semejantes,
puntos homólogos Æ misma velocidad específica
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 377
06-07-JUN-2.
1. En los ábacos, para turbinas Francis en el año 1985: nq = 638 ⋅ Hn-0.512
Entrando con Hn = Hb –5 [m C.A.]; Hn = 100 [m C.A.], nq = 60,37 [*]
Por otra parte, Cm2 = Kcm2 ⋅ (2g Hn )0.5
; Cm2 =11,3 [m/s]
Cm2 = Q/(0,25 ⋅ π ⋅ D22) ; D2 = 1,5 [m]
2. Las estadísticas son:
Ku2 = 0,293 + 0,0081 nq = Ku2 =0,782 y con Ku2 se calcula U2 ;
U2 = Ku2 ⋅ (2g Hn)0.5
; U2 = 34,75 [m/s] ;
U2 = (D2/2) ⋅ (2 ⋅ π ⋅ N)/60; N = 442,5 [r.p.m.]. Obtenida a partir de valores estadísticos.
La velocidad síncrona más cercana es la de 428,57 [r.p.m.], por tanto se corrige
imponiendo la velocidad igual a 428,57 [r.p.m.]
Alternativamente, a partir de nq= 60,37 [*]
nq = N(Q )0.5(Hn )-0.75
Con Q = 20 [m3/s] y Hn =100 [m C.A.] despejando N = 426,88 [r.p.m.] que se corrige
imponiendo la velocidad igual a 428,57 [r.p.m.]
3. Con N = 428, 57 [r.p.m.], a partir de aquí se recalculan U2 y Ku2
U2 = (1,5/2) ⋅ (2 ⋅ π ⋅ 428,57)/60; U2 = 33,66 [m/s] y
U2 = Ku2 ⋅ (2g Hn)0.5
; 33,66 = Ku2 ⋅ (2g 100)0.5 ; Ku2 = 0,76 [-]
4. tan α2 = Cm2 / Cu2 ; Cu2 =0,098 [m/s]
Ec = Cu22 /2g = 4,9 10-04 [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 378
06-07-JUN-3.
a) Altura de impulsión
En la figura adjunta se reflejan los puntos de funcionamiento de la bomba, P1 y P2, para
las dos condiciones de ensayo. Hr representa la curva resistente del sistema, sin contar
con la válvula, Hr1 incluyendo la válvula en posición abierta, y Hr2 con la válvula
parcialmente cerrada.
En cada estado del sistema, la diferencia de lecturas (ps/γ – pe/γ) nos proporcionará la
altura de la bomba, la diferencia de lecturas (pv/γ – ps/γ) las pérdidas en la válvula, y
finalmente, la diferencia (pv/γ – pe/γ) representará la altura consumida en el circuito
(altura geométrica más pérdidas en las tuberías de aspiración e impulsión). En
consecuencia, con estas últimas podremos caracterizar la curva resistente el circuito,
excluyendo la válvula:
Q1 = 70 [L/s] → Hr1 = pv1 / γ – pe1 / γ = 34,6 - (-1,4) = 36 [m]
Q2 = 40 [L/s] → Hr2 = pv2 / γ – pe2 / γ = 29,7 – 0,2 = 29,5 [m]
y puesto que según el enunciado Hr = Hg + rQ2:
36 = Hg + r 0,072
29,5 = Hg + r 0,042
r = 1970 [m/(m3/s)2]
Hg = 26,35 [m]
donde el coeficiente r será suma del correspondiente al ramo de aspiración, ra, más el
tramo de impulsión, ri.
b) Coeficientes de resistencia del tramo de aspiración, y del tramo de
impulsión
Por otra parte, planteando la ecuación de Bernoulli entre el nivel de aspiración y la
entrada a la bomba donde se ubica el manómetro:
0 = pe/γ + Ha + Σhfa → pe/γ = -Ha - raQ2
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 379
donde Ha es la altura de aspiración, esto es, altura aproximada del eje de la bomba sobre
el nivel de aspiración, considerándola positiva si el eje se sitúa por encima de dicho
nivel. Identificando valores para los dos puntos de ensayo:
-1,4 = - Ha – ra 0,072
49 = -Ha – ra 0,042
ra = 484,85 [m/(m3/s)2]
Ha = -1,0 [m]
lo que significa que la bomba está trabajando en carga (con el eje por debajo del nivel
de aspiración).
Teniendo en cuenta que Hg es el desnivel entre la superficie libre de descarga y la
superficie de aspiración, resulta:
Altura de aspiración → Ha = -1,0 [m]
Altura de impulsión → Hg – Ha = 26,35 - (-1,0) = 27,35 [m]
En cuanto a los coeficientes de resistencia serán:
Tramo de aspiración → ra = 484,85 [m/(m3/s)2]
Tramo de impulsión (sin válvula) → ri' = r – ra = 1970 – 484,8 = 1485,2 [m/(m3/s)2]
En realidad, en el tramo de impulsión deberíamos contemplar también el coeficiente de
pérdidas en la válvula para posición abierta, la cual sabemos que provoca una pérdida
de 35.6 - 34.6 = 1 [m] para un caudal de 70 [L/s]. Si éstas son del tipo hv = rv Q2,
tendremos:
rv = (pv1 – ps1) / Q12 = (35,6 – 34,6) / 0,072 = 204,1 [m/(m3/s)2]
y por consiguiente:
ri = ri' + rv = 1485,2 + 204,1 = 1689,3 [m/(m3/s)2]
de modo que la curva resistente global del circuito, a válvula abierta, será:
Hr = Hg + (ra + ri )Q2 = 26,35 + (484,85 + 1689,3)Q2 = 26,35 + 2174,1Q2
di) Curva característica de la bomba y su punto óptimo de trabajo
Veamos ahora la curva de alturas útiles de la bomba:
Q1 = 70 [L/s] → H1 = ps1/γ – pe1/γ = 35,6 - (-1,4) = 37 [m]
Q2 = 40[L/s] → H2 = ps2/γ – pe2/γ = 49,3 – 0,2 = 49,1 [m]
y si admitimos que ésta es de la forma Hb = C – DQ2, tendremos:
37 = C – D · 0,072
49 = C – D · 0,042
D = 3666,67
C = 55
Así pues, la curva de la bomba será:
Hb = 55 – 3666,7Q2
Finalmente, determinemos los rendimientos de la bomba en cada uno de los puntos de
ensayo:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 380
Q1 = 70 [L/s] → η1 = γQ1H1 / p1 = (9,81 · 0.07 · 37) / (0,564 · 60) = 0,75
Q2 = 40 [L/s] → η2 = γQ2H2 / p2 = (9,81 · 0,04 · 49,1) / (0,493 · 60) = 0,65
Si la curva de rendimientos suponemos que es del tipo η = EQ – FQ2 en la zona de
ensayo, tendremos:
0,75 = E · 0,07 – F · 0,072
0,65 = E · 0,04 – F · 0,042
F = 184,5
E= 23,63
y por consiguiente:
η = 23,63 Q – 184,5 Q2
El punto óptimo de trabajo de la bomba corresponderá al de máximo rendimiento, esto
es:
dη / dQ = 23.63 – 2 · 184,5Q0
Q0 = 0,064 [m3/s] = 64 [L/s]
que corresponden a un punto intermedio entre los dos de ensayo.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 381
06-07-SEP-1.
1. El punto de máximo rendimiento es (gráfica) Q = 100 [L/min]; H=68 [m C.A.] En ese
punto la potencia útil o hidraúlica es:
Putil = 9,81 ⋅ 100/(1000 ⋅ 60) ⋅ 68= 1,118 [kW]
De la gráfica se ve que el máximo rendimiento es 0,68 [-] por lo que la potencia en el
eje o mecánica es
Pmec = Putil/0,68= 1,635 [kW] necesarios para accionar la bomba de seis etapas. Por ello,
a cada etapa se le puede atribuir una potencia
Pmec.etapa = Pmec/6 = 0,2725 [kW]
De la observación de la gráfica se puede ver que la potencia leida por etapa para
Q = 100 [L/min] es sustancialmente distinta, aproximadamente 0,42 [kW].
Esta discrepancia es la que indica que el fabricante esta proporcionando potencias
eléctricas consumidas y no potencias mecánicas.
Por ello, el rendimiento del motor eléctrico pedido será:
Rend eléctrico = Pmec.etapa/Pelec. Etapa = 0,2725/0,42 = 0,648 [-]
2. Si no hay pérdidas de carga Hm = 68 [m C.A.] y yendo a la gráfica se puede ver que
éste es el mismo punto que antes, es decir Q = 100[L/min]. Por tanto:
Potencia electrica total = 0,42 ⋅ 6 = 2,52 [kW]
Caudal = 100 [L/min] = 0,00166 [m3/s] = 6 [m3/h]
Por tanto, el equivalente energético es
Eu = 2,52/6 = 0,42 [kW-h/m3]
3. Por una parte U2 = Ku2 ⋅ (2 ⋅ g ⋅ Hm)0,5 y si se define en el punto de máximo
rendimiento, Ku2 es el coeficiente óptimo de velocidad. En máximo rendimiento, H = 68
[m] y por otra parte, U2= 2πN/60⋅(D2/2). Si N = 2900 [r.p.m.] y D2 = 145 [mm]
U2 = 22,02 [m/s] y despejando de U2 = Ku2 ⋅ (2 ⋅ g ⋅ Hm)0,5 resulta ser
Ku2 = 0,60 [-]
4. Sección de salida = 2 ⋅ π ⋅ (D2/2) ⋅ b2 = 9,1 ⋅ 10-3 [m2]
Pero sólo es operativa el 85 [%] , es decir = 0,000777 [m2]
Q = 0,00166 [m3/s]
Por tanto Cm2 = Q/S = 0,214 [m/s]
Y a su vez, Cm2=Kcm2 ⋅ (2gHm)0,5 de donde, de nuevo, en el punto de máximo
rendimiento se podrá deducir el coeficiente óptimo Kcm2
Kcm2 = 0,0058 [-]
Igual que en el apartado anterior, el Kcm2i atribuible a cada etapa será.con Hmi = 11,33
[m C.A.]:
Kcm2i= Cm2 *(2gHmi)-0.5
Kcm2i = 0,014 [-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 382
06-07-SEP-2.
1.
Hb = Hn + Hr_tub_forz
Hb = 139,83 [m C.A.]
Hr_tub_forz = f ⋅ (L/D) ⋅ (v2/(2 ⋅ g))
f = 0,04 [-]
L = 184 + 55 =239 [m]
D = 5 [m]
v = Q/A = (615,5 /6) / (π ⋅ 52 / 4) = 5,225 [m/s]
g = 9,81 [m/s2]
Æ Hr_tub_forz = 2,66 [m C.A.]
ÆHn = 139,83 – 2,66 = 137,17 [m C.A.]
2.
Ph = γ ⋅ Q ⋅ H = 9810 ⋅ (615,5/6) ⋅ 137,17 = 138040,00 ⋅ 103 [W]
ηt = Pm/Ph = (750,220/6) / 138,04= 0,9058 [-]
ηa = Pe/Pm = (119,7) / (750,220/6) = 0,9573 [-]
ηG = Pe/Ph = (Pm/Ph) / (Pe/Pm) = ηt ⋅ ηa = 0,8671 [-]
Æ Ph = 138,04 [MW]
Æ ηt = 90,58 [%]
Æ ηa = 95,73 [%]
Æ ηG = 86,71 [%]
3.
nq = N ⋅ Q1/2 / H3/4
ν = ω ⋅ (Q/π)1/2 / (2 ⋅ E)3/4 , cumpliéndose nq = 157,787 ⋅ ν (nominal a nominal)
N = 60 ⋅ f / p.p. = 60 ⋅ 50 / 16 = 187,5 [r.p.m.] Æ ω = N ⋅ 2 ⋅ π / 60 = 19,635 [rad/s]
nq = 187,5 ⋅ (615,5/6)1/2 / 1137,173/4 = 47,38 [*]
ν = 19,635 ⋅ (615,5/(6 ⋅ π))1/2 / (2 ⋅ 9,81 ⋅ 137,17)3/4 = 0,3003 [-]
(o bien, ν = nq / 157,787 = 0,3003 [-])
4. (páginas 117 a 118 de ábacos)
TURBINA FRANCIS
nq = 47,38 [*] Æ
Ku = 0,293 + 0,0081 ⋅ nq = 0,676778 [-]
Ku = π ⋅ De ⋅ N / (60 ⋅ (2 ⋅ E)1/2)
Æ D2e = 0,676778 ⋅ 60 ⋅ (2 ⋅ 9,81 ⋅ 137,17)1/2 / (π ⋅ 187,5) = 3,58 [m]
Æ D1i = (0,4 + (28,40/nq)) ⋅ D2e = 3,58 [m]
Æ D1e = D2e / (0,96 + 0,0013 ⋅ nq) = 3,50 [m]
Æ B = 0,20 + 0,0042 ⋅ nq = 1,43 [m]
5. (páginas 22 y 23 de ábacos)
Æ tomando un valor intermedio:
λ = Dp/ Dm = 3 [-]
Np = 187,5 [r.p.m.]; Nm = 375 [r.p.m.]
um = ωm ⋅ Rm = 375 ⋅ (2 ⋅ π / 60) ⋅ (1,183 / 2) = 23,24 [m/s]
up = ωp ⋅ Rp = 187,5 ⋅ ⋅ (2 ⋅ π / 60) ⋅ (3,55 / 2) = 34,85 [m/s]
Dp = 3,55 [m]
Dm = 3,55 / 3 = 1,183 [m]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 383
Suponiendo que las condiciones normales de funcionamiento descritas se ajustan a un
punto cercano al de óptimo funcionamiento, se emplean, a continuación las expresiones
propuestas por CEI (ver páginas 22 y 23 de ábacos):
Reref = 7 ⋅ 106 [-]
Vref = 0,7 [-]
Rem = Dm ⋅ um / νw = 1,183 ⋅ 23,24 / 10-6 = 27,5 ⋅ 106 [-]
Rep = Dp ⋅ up / νw = 3,55 ⋅ 34,85 / 10-6 = 123,7 ⋅ 106 [-]
Operando, se obtiene:
Æ
ηm = 0,8905 [-]
Æ ηm = 89,05 [%]
0,9058 – ηm = (1 - ηm) ⋅ 0,13948
Es decir, la revalorización para el rendimiento:
Æ ∆η = 1,53 [%]
∆η M-P = 0,9058 - 0,8905 = 0, 0153 [-]
6. (páginas 43, 44)
NPSHpl = Hb – Hs – Ha + Hra
Tomando valores habituales para la presión atmosférica y la de vapor y despreciando las
pérdidas de carga en el tubo aspirador:
NPSHpl = 101300/9810 – 2339/9810 – Ha = 10,09 – Ha [m C.A.]
Por otra parte, σ = NPSH / H [-], siendo H = 137,17 [m]
Creager y Justin
Knapp, Daily y Hammit
Vivier
De Siervo y De Leva
Graeser
año
a
b
σ [-]
1950
1968
1966
1976
1974
1,024
0,634
0,530
0,436
-
1,990
1,665
1,742
1,388
-
0,0935
0,0856
0,0652
0,0821
0,0700
NPSH
[m C.A.]
12,82
11,74
8,94
11,26
9,60
Ha [m]
- 2,73
- 1,65
1,15
- 1,17
0,49
Todas las estadísticas ofrecen valores ofrecidos del mismo orden de magnitud.
La estadística más antigua es a su vez la más conservadora (contempla las instalaciones
hasta 1950) es la ofrecida por Creager y Justin e indica que para este tipo de turbinas la
cota de implantación media era de 2,73 metros por debajo del nivel de restitución.
La cota de implantación real es de - 7,5 [m], por lo que resulta inferior a
cualquiera de los valores ofrecidos por las estadísticas. A priori parece que la solución
adoptada resulta conservadora, si bien son los datos obtenidos en el laboratorio para el
modelo los que realmente deben prevalecer a la hora de definir la implantación de la
máquina.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 384
06-07-SEP-3.
a) Curvas resistentes de la tubería de impulsión y del by-pass
Los tres modos de funcionamiento del sistema, para las diferentes posiciones de las
válvulas, quedan reflejados en la Figura siguiente por los puntos P1, P2 y P3, siendo los
dos primeros coincidentes.
La curva resistente del by-pass es una curva del tipo Hbp = r1Q2, de modo que se puede
identificar a partir del punto de paso P1. La altura H1 de la bomba en dicho punto
coincidirá con la lectura del manómetro, por ser despreciables las pérdidas en la
aspiración y se la cota de éste igual a la del depósito de aspiración:
H1 = 5 [kp/cm2]· 10 = 50 [m]
El caudal Q1 se obtendrá entrando en la curva de la bomba con dicha altura:
50 = 50 + 31,25 Q1 – 312,5Q12
Q1 = 31,25 / 312,.5 = 0,10 m3/s
con lo que:
r1 = 50 / 0,12 = 5000 [m/(m3/s)2]
y la curva del by-pass, con la válvula V1 abierta, será:
Hbp = 5000 Q2
En el segundo ensayo, con la válvula V1 cerrada y la V2 abierta, el punto de trabajo P2
coincide con el P1, y será punto de paso de la curva resistente de la tubería de
impulsión, ahora del tipo Hri = Hg + r2Q2. Nos falta un segundo punto para poder
identificar los dos parámetros desconocidos Hg y r2, el cual obtendremos a partir del
tercer ensayo. En el punto P3 se tiene H3 = 4.7 · 10 = 47 [m], y el caudal proporcionado
por la bomba será:
47 = 50 + 31.2Q3 – 312.5Q32
Q3 = 0,160 m3/s
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 385
Ahora bien, para esa misma altura y estando V1 abierta, el by-pass derivará un caudal
de:
Q3' = √(H3 / r1) = √(47 / 5000) = 0,097 [m3/s]
con lo que al depósito subirán:
Q3'' = Q3 – Q3' = 0.160 – 0.097 = 0,063[ m3/s]
Con estos datos podemos ya identificar la curva resistente de la impulsión:
Hg + r2 0,12 = 50
Hg + r2 0,0632 = 50
donde
Hg = 45 [m]
r2 = 500 [m/(m3/s)2]
esto es:
Hg = 45 + 500Q2
b) Par y velocidad de giro de la bomba en el momento de apertura de la VR,
con el by-pass cerrado y con el by-pass abierto
En el primer caso, con la válvula del by-pass V1 cerrada, la VR abrirá cuando la altura
de la bomba, a Q = 0, se iguale a la altura estática que reina al otro lado de la válvula,
esto es, 45 [m], lo que en la Figura corresponde al punto P4 en que la velocidad de giro
de la bomba es N1. Así pues:
50α12 + 312,α1Q – 312,5Q2 = 45
y, teniendo en cuenta que el caudal en este caso toma el valor de 0:
α1 = √(45 / 50) = 0,95
N1 = 2750 [r.p.m.]
La expresión general de la potencia absorbida por la bomba a la velocidad de giro α es:
Peje = 30α3 + 150α2Q + 2000αQ2
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 386
de modo que en el momento de la apertura de la VR (Q = 0) ésta valdrá:
P1 = 30α13 = 30 · 0,953 = 25,6 [kW]
y el par aplicado en el eje tendrá por valor:
M1 = P1 / ω = (25,6 · 1000 · 60) / (9,8 · 2π · 2750) = 9.07 [kp⋅m]
Si la válvula V1 estuviera abierta en el momento del arranque, el punto de
funcionamiento iría recorriendo la curva del by-pass hasta alcanzar el punto P5,
momento en que se abriría la VR por igualarse las presiones a ambos lados de la misma.
Las características del punto P5 serán H5 = 45 m], y
Q5 = √( H5 / r1) = √(45 / 5000) = 0,095 [m3/s]
La velocidad de giro para la cual la curva de la bomba pasa por dicho punto será aquella
que cumpla:
45 = 50α22 + 31,2α2 0,095 – 312,5 · 0,0952
esto es:
α22 + 0,0594α2 – 0,9564 = 0
α2 = 0,948
N2 = 2750 [r.p.m.]
resultando la misma velocidad de giro que en el caso anterior. El motivo de que los
puntos P4 y P5 sean puntos de la misma curva estriba en que también los son sus
homólogos a la velocidad de giro nominal P0 y P1. La potencia absorbida en P5 será
ahora, sin embargo, distinta por serlo también el caudal, resultando:
P2 = 30 · 0,953 + 150 · 0,952 · 0,095 + 2000 · 0,95 · 0,0952 = 55,7 [kW]
y el valor del par en el eje:
M2 = P2 / ω = (P2 / P1) M1 = (55,7 / 25,6) 9,07 = 19,74 [kp⋅m]
c) Modo de funcionamiento del sistema si s extrae del depósito un caudal de
Qd = 10 [L/s]
En los apartados anteriores de ha supuesto que el sistema estaba siempre en equilibrio,
es decir, que el caudal de demanda desde el depósito era igual al caudal entrante en cada
caso, y por consiguiente, el nivel estable. En particular, para obtener un estado de
equilibrio con el nivel del depósito en 45 [m] y la válvula V1 cerrada, el caudal de
demanda debería ser de 100 [L/s].
Si en esta situación, el caudal de la bomba debería también reducirse hasta dicho valor.
En principio la tendencia del sistema es, en efecto, la de alcanzar un nuevo estado de
equilibrio, ya que si el caudal entrante es superior al extraído, el nivel del depósito
aumenta, lo que provoca a su vez una disminución del caudal de la bomba al exigirle
mayor altura. El nuevo estado de equilibrio podrá alcanzarse siempre que la altura a
vencer no supere a la altura máxima de la bomba. En realidad si la curva resistente
presenta pérdida, el caso límite se alcanzará cuando las curvas motriz y resistente
resulten tangentes, lo que en la figura anterior corresponde al punto P6. Calculemos las
características de este punto igualando las tangentes de ambas curvas:
dHri / dQ = dHb / dQ
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 387
2 · 500 Q6 = 31,25 / 2(500 + 312,5) = 0,0192 [m3/s]
La altura de la bomba en el punto P6 será:
H6 = 50 + 31,25Q6 – 312,5Q62 = 50.5 [m]
y puesto que dicho punto debe pertenecer también a la curva resistente, el desnivel
geométrico en ese instante será:
Hg1 = H6 – r1Q62 = 50,5 – 500 · 0,01922 = 50.3 m
En el momento en que el depósito alcanza dicho nivel el caudal entrante es aún superior
al extraído (Q6 > Qd), y cualquier pequeño incremento de nivel hará que el depósito
trate de “apoderarse” de la bomba invirtiendo el sentido del flujo en la tubería de
impulsión. Puesto que la bomba está protegida por una VR, ésta se cerrará y la bomba
pasará a trabajar con Q = 0. En el lado de la VR que mira a la bomba la presión reinante
será de 50 [m] (la altura de la bomba para Q = 0) y en el otro lado los 50,3 [m] de carga
del depósito.
Ahora bien, puesto una vez cerrada la VR, del depósito siguen aún extrayéndose 10 l/s,
éste comenzará a vaciarse y a disminuir su nivel, hasta alcanzar el valor de 50 m, en
cuyo momento se equilibrará la VR y la bomba podrá abrirla de nuevo, pasando el
nuevo punto de trabajo a ser el P7, cuyo caudal correspondiente obtendremos igualando
la curva motriz con la resistente en el momento de la apertura:
50 + 500Q72 = 50 50 + 31,25Q7 – 312,5Q72
Q7 = 31,25 / (500 + 312,5) = 0,0385 [m3/s]
Puesto que Q7 > 10 [L/s], el depósito volverá a llenarse hasta alcanzar de nuevo el nivel
antes calculado, completándose un ciclo entre los puntos P7, P6, P8 y P0, en el cual el
nivel del depósito oscilará entre los 50 [m] y los 50,3 [m]. Es claro, por el principio de
conservación de la masa, que el caudal medio elevado por la bomba a lo largo de un
ciclo deberá ser igual a los 10 [L/s], por lo que será la sección del depósito quien
determine el tiempo del ciclo.
Hay que recalcar que sólo para caudales de demanda superiores a Q6 = 19,2 [L/s] será
posible alcanzar de nuevo un punto de equilibrio estable, mientras que para caudales
inferiores, como es el caso propuesto, irremediablemente la bomba pasará a trabajar en
un régimen cíclico tal como el descrito.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 388
e) Posición de la válvula V1 que garantizaría el funcionamiento estable de la
bomba para cualquier demanda en el depósito.
En el apartado a), con la válvula V1 totalmente abierta, si hacemos oscilar el nivel en el
depósito entre los 45 [m] y los 50 [m], el punto de trabajo de la bomba fluctuará entre
P3 y P1, al tiempo que el caudal elevado al depósito variará entre los Q3’’ = 63 [L/s]
calculados para el punto P3 y los 0 [L/s] correspondientes al punto P1, en el cual todo el
caudal aportado por la bomba se derivaría por el by-pass.
Sin embargo, en el apartado c) hemos visto que con la válvula V1 cerrada, solamente es
posible alcanzar estados de equilibrio estable del sistema para caudales de demanda
superiores a los 19,2 [L/s].
La garantía de un funcionamiento estable para cualquier valor de la demanda se dará si
la válvula V1 se abre como mínimo hasta un grado tal que la curva resistente del by-pass
pase por el punto de máxima altura de la bomba P9, como muestra la Figura adjunta. En
efecto, con el by-pass en dicha posición, el punto de funcionamiento resultante de
componer la curva del by-pass con la de la tubería de impulsión para diferentes niveles
en el depósito, e intersectar con la curva de la bomba, quedará siempre a la derecha de
P9, es decir en la rama descendente de la curva de la bomba, siendo por consiguiente
siempre estable.
Calculemos las características del punto P9 para determinar la posición del by-pass:
dHb / dQ = 31,5 – 2 · 312,5Q9 = 0
Q9 = 0,05 [m3/s] = 50 [L/s]
H9 = 50,8 [m]
con lo que la curva del by-pass deberá ser tal que:
r1' = H9 / Q92 = 50,8 / 0,052 = 20320 [m/(m3/s)2]
Con el by-pass en dicha posición, si Hg = 50,8 [m] entonces Q2 = 0 [L/s], lo que
correspondería al caso de una demanda nula. Si la altura fuera Hg = 45 [m], el caudal
elevado sería QB, el máximo caudal de elevación posible, si la altura mínima permitida
en el depósito fuera de 45 [m].
Recordemos que con V1 cerrada y la misma altura se llegaba a elevar hasta 100 [L/s], lo
que significa que conseguir una garantía de estabilidad por este método es a costa de
una reducción en el caudal máximo de elevación al depósito, al tiempo que se disipan
unas pérdidas importantes por la propia válvula V1. A pesar de no ser un método muy
eficiente, puede resultar efectivo en algunas ocasiones, tanto más cuanto más reducido
sea el caudal correspondiente al punto máximo de la parábola.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 389
07-08-FEB-1.
1.
Las curvas de colina están expresadas en términos unitarios comunes a toda la familia
de turbinas semejantes como son los coeficientes científicos de caudal Ф y de energía
Ψ.
De los ábacos:
Eje X: coeficiente científico de caudal:
Ф = Q ⋅ (π ⋅ R3 ⋅ ω)–1
Eje Y: coeficiente científico de energía:
Ψ= 2 ⋅ g ⋅ Hn ⋅ (R2 ⋅ ω2) –1
En este emplazamiento, el salto bruto nominal vale 10 [m] pero al haber pérdidas de
carga hasta entrada de turbina el Hn no es constante y depende del caudal de
alimentación. En cualquier caso, se cumplirá que salto neto es igual a salto bruto menos
pérdidas en la conducción hasta entrada de turbina:
Hn = Hb – K ⋅ Q2
Hn = 10 – 30 ⋅ Q2
Por tanto, para los tres caudales que se mencionan, el salto neto vale
3
Q [m /s]
Hn [m C.A.]
0,05
0,1
0,15
9,925
9,7
9,325
La velocidad de giro se puede deducir sabiendo que el número de pares de polos del
alternador con el que gira solidariamente la turbina es 1. Por tanto, (suponiendo
f = 50 [Hz], Europa), la velocidad de giro de la turbina N es de 3000 [r.p.m.]. La
velocidad de giro expresada en [s-1] será:
ω = 2 ⋅ π ⋅ N/60 = 314,16 [s-1]
Por su parte, el radio de giro R es la mitad del diámetro (dato): R = 0,08465 [m]
Con ω y R ya se pueden calcular los valores de los coeficientes científicos de caudal Ф
y de energía Ψ asociados a los puntos que se piden:
Q [m3/s]
0,05
0,1
0,15
Hn [m C.A.]
9,925
9,7
9,325
Ф [-]
0,0834
0,1669
0,2503
Ψ [-]
0,2752
0,2690
0,2586
Con lo que ya se pueden situar en el gráfico (Fig .2) y leer (aproximadamente)
rendimientos, apertura del distribuidor en grados (α) y orientación de las aletas del
rodete (β).
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 390
Figura 2.
Q [m3/s]
0,05
0,1
0,15
Hn [m C.A.]
9,925
9,7
9,325
Ф [-]
0,0834
0,1669
0,2503
Ψ [-]
0,2752
0,2690
0,2586
Η [%]
83
91,5
89,3
α [º]
β [º]
7
17
27
25
33
43
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 391
2.
En esta turbina, un caudal de 0,12 [m3/s] se corresponde con un coeficiente de
caudal de Ф = 0,2 [-].
En la Fig. 3 se puede ver que para Ф = 0,2 [-] hay dos únicos puntos de rendimiento
0,91 [-], correspondientes a Ψ =0,24 [-] y Ψ = 0,33 [-]. Estos dos valores se
corresponden con valores del salto neto de 8,66 [m C.A.] y 11,90 [m C.A.]
respectivamente.
Estos saltos netos también cumplirán que Hn = Hb –30 ⋅ Q2
Siendo Q = 0,12 [m3/s] constante.
Para el primer caso:
Para el segundo caso:
8,66 = Hb – (30 ⋅ 0,122)
⇒
Hb = 9,09 [m]
2
⇒
Hb = 12,33 [m]
11,90 = Hb – (30 ⋅ 0,12 )
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 392
07-08-FEB-2.
Para calcular la curva resistente Æ Bernoulli entre el depósito y el aspersor más alto.
2
PD v D
PA v 2A
+
+ z D + hB =
+
+ z A + hr
2⋅ g
2⋅ g
γ
γ
PD v 2A
hB = −
+
+ z A − z D + hr
2⋅ g
γ
Como por todos los aspersores sale el mismo caudal se van a calcular las pérdidas de
carga y el caudal total.
El caudal que la bomba trasiega es Q y por tanto por cada aspersor saldrá
Tramo antes de tubería
que conecta con el
aspersor
6
Q
.
6
Caudal
Constante de pérdidas
[m.C.A./(m3/s)2]
Pérdidas K ⋅ Q2
Q
21650
21650 ⋅ Q 2
5⋅Q
6
21650
 5⋅Q 
21650 ⋅ 

 6 
2
5
4⋅Q
6
21650
 4⋅Q 
21650 ⋅ 

 6 
2
4
50000
 3⋅Q 
50000 ⋅ 

 6 
2
3
3⋅Q
6
2⋅Q
6
50000
 2⋅Q 
50000 ⋅ 

 6 
2
2
1
1⋅ Q
6
50000
 1⋅ Q 
50000 ⋅ 

 6 
2
Las pérdidas totales serán por tanto la suma de las pérdidas de los distintos tramos
1+ 4 + 9  2
 16 + 25 + 36  2
2
hr = 50000 ⋅ 
 ⋅ Q + 21650 ⋅ 
 ⋅ Q = (19444,44 + 46306,94) ⋅ Q
36
36




hr = 65751,38 ⋅ Q 2
Por el principio de conservación de la masa Q = v ⋅ A y despejando la velocidad
Q
4⋅Q
Q/6
6 =
=
v=
= 84,88 ⋅ Q
2
2
A
π ⋅D
π ⋅ 5 ⋅10 −2 ⋅ 6
4
(
)
Por tanto, sustituyendo en la ecuación de la curva resistente
0,2 ⋅10 4 ⋅ 9,81 (84,88 ⋅ Q )
+
+ 32 + 65751,38 ⋅ Q 2 = 30 + 66118,58 ⋅ Q 2
1000 ⋅ 9,81
2 ⋅ 9,81
2
hB = −
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 393
Caso a)
H = A + B ⋅ Q + C ⋅ Q2
50 = A + B ⋅ 0 + C ⋅ 0 2
0 = A + B ⋅ 0,028 + C ⋅ 0,028 2
35 = A + B ⋅ 0,014 + C ⋅ 0,014 2
Resolviendo las ecuaciones, los valores resultantes son:
A = 50
B = −357,14
C = −51020,41
de manera que la ecuación resultante es:
H = 50 − 357,14 ⋅ Q − 51020,41⋅ Q 2
Ahora los rendimientos
η = D ⋅ Q + E ⋅ Q2
0,75 = D ⋅ 0,014 + E ⋅ 0,014 2
0 = D ⋅ 0,028 + E ⋅ 0,028 2
Resolviendo las ecuaciones, los valores resultantes son:
D = 107,14
E = −3826,53
de manera que la ecuación resultante es:
η = 107,14 ⋅ Q − 3826,53 ⋅ Q 2
Ahora igualando la curva resistente a la curva de la bomba
hB = 30 + 66118,58 ⋅ Q 2 = 50 − 357,14 ⋅ Q − 51020,41⋅ Q 2
117139 ⋅ Q 2 + 357,14 ⋅ Q − 20 = 0
Q = 0,0116 = 1,16 ⋅10 −2
H = 38,94
[m3/s]
[m]
En el punto de funcionamiento el rendimiento es:
η = 107,14 ⋅ 0,0116 − 3826,53 ⋅ 0,0116 2 = 0,728 [-]
Por tanto la potencia hidráulica será: PH = 9810 ⋅ 38,94 ⋅1,16 ⋅10 −2 = 4431,22
Y la potencia mecánica será: PM =
PH
η
= 6086,84 [W]
Con relación al Coste:
Coste eléctrico: 6,08684 ⋅ 0,2 ⋅ 2 = 2,43 [€]
Coste de agua: 1,16 ⋅10 −2 ⋅ 3600 ⋅ 2 ⋅ 0,15 = 12,53 [€]
Coste total: 14,96 [€]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[W]
Ejercicios resueltos - 394
La representación de las curvas del caso a) se muestra en la siguiente figura:
140
0,8
120
0,7
0,6
0,5
80
0,4
60
0,3
40
rend
H (m)
100
0,2
20
0,1
2,8E-02
2,7E-02
2,5E-02
2,3E-02
2,1E-02
1,9E-02
1,7E-02
1,5E-02
1,3E-02
1,1E-02
9,0E-03
7,0E-03
5,0E-03
3,0E-03
1,0E-03
0
0,0E+00
0
Q (m 3/s)
Curva caracteristica de la bomba
Curva característica de la instalación
Rendimiento
Caso b)
Siendo las características de una de las bombas
H = 26,20 − 4808,16 ⋅ Q 2 y η = 93,6 ⋅ Q − 2293,92 ⋅ Q 2
Si realizamos el acoplamiento de 2 bombas en serie
(
)
H = 2 ⋅ 26,20 − 4808,16 ⋅ Q 2 = 52,4 − 9616,32 ⋅ Q 2
Ahora igualando la curva resistente a la curva de la bomba
hB = 30 + 66118,59 ⋅ Q 2 = 52,4 − 9616,32 ⋅ Q 2
75734,91 ⋅Q 2 − 22,40 = 0
Q = 0,0172
[m3/s]
H = 49,56
[m]
En el punto de funcionamiento el rendimiento es:
η = 93,6 ⋅ 0,0172 − 2293,92 ⋅ 0,0172 2 = 0,931
Por tanto la potencia hidráulica será: PH = 9810 ⋅ 49,56 ⋅ 0,0172 = 8362,36 [W]
Y la potencia mecánica será: PM =
PH
η
= 8982,12
[W]
Con relación al Coste:
Coste eléctrico: 8,98213 ⋅ 0,2 ⋅ 2 = 3,59 [€]
Coste de agua: 0,0172 ⋅ 3600 ⋅ 2 ⋅ 0,15 = 18,58 [€]
Coste total: 22,17 [€]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 395
140
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
120
H (m)
100
80
60
40
20
2,8E-02
2,7E-02
2,5E-02
2,3E-02
2,1E-02
1,9E-02
1,7E-02
1,5E-02
1,3E-02
1,1E-02
9,0E-03
7,0E-03
5,0E-03
3,0E-03
1,0E-03
0,0E+00
0
rend
La representación de las curvas del caso b) se muestra en la siguiente figura:
Q(m 3/s)
Curva caracteristica de la bomba
Curva característica de la instalción
Rendimiento
Caso c)
Siendo las características de una de las bombas
H = 40 − 19440 ⋅ Q 2 y la gráfica de Q- η
1
0,9
rendimiento
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
Q (m 3/s)
Si realizamos el acoplamiento de 2 bombas en paralelo
2
Q
H = 40 − 19440 ⋅   = 40 − 4860 ⋅ Q 2
2
Ahora igualando la curva resistente a la curva de la bomba
hB = 30 + 66118,59 ⋅ Q 2 = 40 − 4860 ⋅ Q 2
70978,59 ⋅Q 2 − 10 = 0
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
0,012
Ejercicios resueltos - 396
Q = 1,19 ⋅10−2 [m3/s]
H = 39,32 [m]
En el punto de funcionamiento con el caudal Q =
rendimiento leído de la gráfica es: η = 0,68 [-]
1,19 ⋅10 −2
= 5,95 ⋅10 −3 [m3/s] el
2
Por tanto la potencia hidráulica será: PH = 9810 ⋅ 39,32 ⋅1,19 ⋅10 −2 = 4590,18
Y la potencia mecánica será: PM =
PH
η
= 6750,26 [W]
Con relación al Coste:
Coste eléctrico: 6,750 ⋅ 0,2 ⋅ 2 = 2,7 [€]
Coste de agua: 1,19 ⋅10 −2 ⋅ 3600 ⋅ 2 ⋅ 0,15 = 12,86 [€]
Coste total: 15,56 [€]
Comparando los casos
Caso a) Coste total: 14,96 [€]
Caso b) Coste total: 22,17 [€]
Caso c) Coste total: 15,56 [€]
⇒
el mejor es el Caso A
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[W]
Ejercicios resueltos - 397
07-08-JUN-1.
a) En primer lugar se definen los coeficientes unitarios tradicionales n11-Q11 que
aparecen en la colina de rendimientos:
n11 =
N ⋅D
H 1/ 2
[*];
Q11 =
Q
D ⋅ H 1/ 2
[*]
2
Estos coeficientes tienen unidades, aunque tradicionalmente se traten como números
adimensionales. De acuerdo con las unidades expresadas en los ejes correspondientes de
la colina de rendimientos, las unidades a emplear son las siguientes: N [r.p.m], D [m],
H [m] y Q [m3/s].
Se conoce el salto neto del punto de funcionamiento óptimo (H = 45 [m]) y dicho
punto se identifica en la colina de rendimientos como el punto de mayor rendimiento:
Q11Λ = 0,76 [*]; n11Λ = 86 [*]; ηΛ = 90,5 [%]
Por otra parte, conocido el número de pares de polos del alternador se calcula la
velocidad de giro de la turbina, suponiendo una frecuencia de 50 [Hz];
N=
60 ⋅ν 60 ⋅ 50
=
= 120 [r.p.m.]
25
p. p.
Utilizando la expresión del coeficiente velocidad unitaria en el punto óptimo:
n11Λ =
N ⋅D
H Λ1 / 2
⇒
86 =
120 ⋅ D
451 / 2
⇒
D = 4,81 [m]
Una vez conocido el diámetro se obtiene el caudal mediante la expresión del
coeficiente velocidad unitaria en el punto óptimo:
Q11Λ =
QΛ
⇒
D ⋅ H Λ1 / 2
2
0,76 =
QΛ
4,812 ⋅ 451 / 2
⇒
QΛ = 117,83 [m3/s]
Finalmente, la potencia mecánica desarrollada por la turbina en el punto óptimo:
Pm Λ = ρ ⋅ g ⋅ QΛ ⋅ H Λ ⋅η Λ = 9,81⋅1000 ⋅117,83 ⋅ 45 ⋅ 0,905 = 47,08 ⋅10 6 [W]
⇒ P mΛ = 47,08 [MW]
b) Para determinar el tipo de turbina se calcula la velocidad específica de la misma.
Dado que el punto de funcionamiento óptimo es conocido, se utiliza dicho punto para el
cálculo:
1/ 2
nq Λ
117,83
Q1 / 2
= N ⋅ Λ3 / 4 = 120 ⋅
453 / 4
HΛ
= 74,97
[*]
Esa velocidad específica caracteriza a una turbina de tipo FRANCIS.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 398
c) La colina parcial de rendimiento correspondiente al salto neto del punto óptimo se
obtiene calculando los binomios η-Q (rendimiento-caudal) para el valor constante de
salto neto del punto óptimo (45 [m]). En este caso se parte de la curva n11-Q11, y se traza
una vertical por el valor de n11= 86 [*] correspondiente al salto neto del punto óptimo y
se obtiene una serie de valores Q11-η. Resta traducir los valores de Q11 a valores de
caudal para la turbina en cuestión (D = 4,81 [m] N = 120 [r.p.m.]). Se presenta la tabla
de resultados y la colina parcial correspondiente:
Q11 [*]
η [%]
Q [m3/s]
0,34
70
52,72
0,38
75
58,92
0,43
80
66,67
0,48
82
74,42
0,52
84
80,62
0,56
85
86,82
0,62
87
96,13
colina de rendimientos (HΛ = 45 [m])
rendimiento [%]
95
90
85
80
75
70
65
50
0,68
89
105,43
0,73
90
113,18
0,76
90,5
117,83
0,79
90
122,48
0,84
89
130,24
0,89
87
137,99
0,92
85
142,64
0,95
84
147,29
70
90
110
130
3
Q [m /s]
d) El punto de funcionamiento nominal queda definido de la siguiente forma:
Qnom = 1,10 QΛ; y
Hnom = HΛ
Q11nom = 1,10 ⋅ Q11Λ; y
n11nom = n11Λ)
Operando, se tiene que: Qnom = 129,62 [m3/s] y
Q11nom = 0,836
[*]
n11nom = 86
[*]
(o bien
Hnom = 45
[m]
y
Con los valores de Q11nom y n11nom se sitúa el punto en la gráfica y se obtiene el
rendimiento correspondiente al punto de funcionamiento nominal: ηnom = 89 [%].
Así se determina la potencia mecánica nominal desarrollada por la turbina:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
150
Ejercicios resueltos - 399
Pm nom = ρ ⋅ g ⋅ Qnom ⋅ H nom ⋅η nom = 9,81 ⋅ 1000 ⋅ 129,62 ⋅ 45 ⋅ 0,89 = 50,93 ⋅ 10 6 [W]
⇒ P mnom = 50,93 [MW]
Se verifica que la potencia nominal es superior a la potencia correspondiente al
punto óptimo. Sin embargo, la conversión de energía hidráulica a mecánica es de “peor
calidad” tal y como se observa al comparar los rendimientos de la turbina en ambos
puntos.
e) Se tiene que:
DP = 4,81 [m] y NP = 120 [r.p.m.]
DM = 0,96 [m] y NM = 300 [r.p.m.]
En la colina de rendimientos n11-Q11, sin embargo, el punto óptimo no varía, de
forma que, para el modelo, se tiene que:
n11Λ =
Q11Λ =
N ⋅D
H Λ1 / 2
QΛ
⇒
D ⋅ H Λ1 / 2
2
86 =
⇒
0,76 =
300 ⋅ 0,96
H 1/ 2
QΛ
0,96 ⋅ 11,251 / 2
2
⇒
⇒
HΛM = 11,25 [m]
QΛM = 2,36 [m3/s]
f) Para verificar que el modelo y el prototipo son semejantes se calcula la velocidad
específica del modelo. Si una máquina es semejante a otra tendrán la misma velocidad
específica en puntos de funcionamiento semejantes. Si tomamos el punto de
funcionamiento óptimo, la máquina modelo debería tener el mismo valor de velocidad
específica calculado anteriormente para el prototipo (nq = 74,97 [*]). Si se opera para el
modelo
nq Λ = N ⋅
2,361 / 2
QΛ1 / 2
=
300
⋅
= 74,97
11,253 / 4
H Λ3 / 4
Se observa que nqMΛ = nqPΛ
⇒
[*]
SON MÁQUINAS SEMEJANTES
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 400
07-08-JUN-2.
a) Punto de funcionamiento con la válvula totalmente abierta.
El punto de funcionamiento de la instalación se obtiene por intersección de la altura
motriz y resistente de la instalación.
Si se supone que la bomba no está cavitando, la curva de la bomba es la que se expresa
en el enunciado (de no ser así, la respuesta de la bomba para el caudal de cavitación
corresponde a una recta vertical).
Hb = 60 – 5208 ⋅ Q2 = 52 + (8f ⋅ Limp ⋅ Q2)/(π2 ⋅ g ⋅ Dimp5) + (8f ⋅ Lasp ⋅ Q2)/(π2 ⋅ g ⋅Dasp5)
60 – 5208 ⋅ Q2 = 52 + (8 ·0,02 ·951 · Q2)/(π2 g 0,255) + (8 ·0,02 ·14 · Q2)/(π2 g 0,085)
Q = 0,024 [m3/s ]
Se comprobará el supuesto que se ha realizado de que la bomba no se encontraba
cavitando. Para ello se comprueba la condición de no cavitación NPSHd > NPSHr.
Se calcula, por un lado el NPSHd de la instalación:
NPSHd = pasp/γ – hasp – raspQ2 – Tv
Si se establece el depósito inferior como punto de aspiración, el valor de la NPSHd para
el caudal de funcionamiento calculado:
NPSHd = 0 – 0,5 – (8 · 0,02 · 14)/(π2 g · 0,085) · 0,0242 – (–10) = 5,42 [m C.A.]
Por otro lado, en el enunciado se proporciona la expresión de la NPSHr de la bomba.
Sustituyendo el caudal de funcionamiento en ella:
NPSHr = 5 – 600 · 0,024 + 30208 · 0,0242 = 8 [m C.A.] > 5,42 [m C.A.]
Luego la bomba se encuentra cavitando y el supuesto realizado no era correcto.
El máximo caudal que se puede trasegar en la instalación se obtiene para la igualdad de
la condición de cavitación: NPSHd = NPSHr, formuladas ambas expresiones en función
del caudal y despejando su valor en la ecuación que resulta.
NPSHd = 0 – 0,5 – (8 · 0,02 · 14)/(π2 g · 0,085) · Q2 – (–10) = NPSHr
NPSHd = 5 – 600Q + 30208Q2 = NPSHr
Q = 0,0216 [m3/s]
Para conocer la altura de bombeo se tiene en cuenta que el punto es de funcionamiento
luego estará sobre la curva resistente de la instalación. Así, para un valor del caudal de
0,0216 [m3/s] la altura resistente de la instalación es:
Hr (Q = 0,0216 [m3/s]) = 52 + 1609,3 · 0,02162 + 7060,4 · 0,02162
Hr (Q=0,0216 [m3/s]) = 56 [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 401
b) Grado de cierre de la válvula para que no exista cavitación.
Al ir cerrando la válvula de regulación se va a generar una pérdida de carga adicional
que va a provocar la disminución del caudal que circula por la instalación, lo que
favorece que no aparezca cavitación.
Ahora bien, al estar ubicada la válvula en la aspiración de la bomba, un aumento en las
pérdidas de la válvula va a disminuir la NPSHd de la instalación, lo que favorece que
aparezca la cavitación.
Por tanto, cualquier grado de cierre no sirve para evitar la cavitación y hay que
calcularlo.
Se plantean dos ecuaciones, la condición de funcionamiento de la instalación y la
condición de cavitación, teniendo como incógnitas el caudal de funcionamiento y el
coeficiente de pérdidas de la válvula.
Hb = 60 – 5208 ⋅ Q2 = 52 + 1609,3 ⋅ Q2 + 7060,4 ⋅ Q2 + hv ⋅ Q2 = Hr
NPSHd = 10,33 – 0,5 – (7060,4 ⋅ Q2 + hv Q2) – 0,33 = 5 – 600 ⋅ Q + 30208 ⋅ Q2 = NPSHr
Para resolver, se despeja en la segunda ecuación el valor de
hv ⋅ Q2 = 4,5 + 600 ⋅ Q – 37268,4 ⋅ Q2
y se sustituye en la primera, quedando una ecuación de 2º grado en función
exclusivamente de Q. Se resuelve obteniendo dos soluciones para hv y Q:
Q1 = 0,0897 [m3/s] y hv1 = 85549 [m/(m3/s)2]
Q2 = 0,0166 [m3/s] y hv2 = 15205 [m/(m3/s)2]
c) Diámetro del tubo de aspiración para que no se produzca cavitación.
El planteamiento es similar al caso anterior. Las pérdidas de carga que introducía en
aquel caso la válvula, son generadas ahora por la disminución del diámetro de la tubería
de aspiración.
Las pérdidas de carga en la aspiración anteriormente calculadas eran:
rasp = rtub + hv
Como quiera que existen dos soluciones:
SOLUCIÓN 1
rasp1 = rtub + hv1 = 7060,4 + 85549 = 92609,4 [m/(m3/s)2]
Estas pérdidas deben ser producidas sólo por el nuevo tubo, luego
92609,4 [m/(m3/s)2] = (8 · f · Lasp · Q2)/(π2 g · Dasp15)
D1 = 47,81 [mm]
SOLUCIÓN 2
rasp2 = rtub + hv2 = 7060,4 + 15205,4 = 22265,4 [m/(m3/s)2]
Estas pérdidas deben ser producidas sólo por l nuevo tubo, luego
22265,4 [m/(m3/s)2] = (8 · f · Lasp · Q2)/(π2 g · Dasp25)
D2 = 63,58 [mm]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 402
07-08-JUN-3.
a) H n = H B − hR = 270 − 24 = 246 [m]
N=
50 ⋅ 60
= 600 [r.pm.]
5
NS =
N ⋅ W&
Hn
5
2
N ⋅H
Æ W& = S 2 N
N
4
Nº Máquinas =
5
2
38 2 ⋅ 246
=
600 2
5
2
= 3807,17 [C.V.]
18000
= 4,73 Æ Por tanto hay que instalar 5 TURBINAS PELTON
3807,17
Por tanto la velocidad específica será:
18000
5
600 ⋅
NS =
246
5
= 36,95 [*]
4
b) vch = cv ⋅ 2 ⋅ g ⋅ H n = 0,97 ⋅ 2 ⋅ 9,81⋅ 246 = 67,35 [m/s]
u = 0,46 ⋅ vch = 30,99 [m/s]
u=
2 ⋅π ⋅ N D π ⋅ N ⋅ D
⋅ =
Æ D = 0,99 [m] de diámetro de la rueda
60
2
60
18000 ⋅ 735
c) W& =
= 2646 [kW]
5
2646 ⋅10 3
W&T =
= 3041,4 [kW]
0,87
3041,4 ⋅10 3 = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H T Æ 3041,4 ⋅10 3 = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ Q ⋅ 246 Æ Q = 1,26 [m/s]
Q = vch ⋅
π ⋅ d ch 2
4
Æ d ch =
4⋅Q
4 ⋅1,26
=
= 0,154 [m] de diámetro del chorro
π ⋅ vch
π ⋅ 67,35
d) Qtotal = Q ⋅ 6 = 1,05 ⋅ 6 = 6,3 [m3/s]
Qtubería =
hr = f ⋅
6,3
= 2,1 [m3/s]
3
L v2
8 ⋅ f ⋅ L ⋅ Q 2 8 ⋅ 0,006 ⋅ 2400 ⋅ 2,12
⋅
= 2
=
= 24 [m C.A.]
D 2 ⋅ g π ⋅ g ⋅ D5
π 2 ⋅ 9,81 ⋅ D 5
⇒ D = 0,738 [m] de diámetro de las tuberías de suministro
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 403
07-08-SEP-1.
a)
Aplicando la ecuación de la energía entre la superficie libre del pozo y el punto
de conexión a la red general, se obtiene la curva resistente de la instalación:
z1 +
v12
p
v2
p
+ 1 + hB = z2 + 2 + 2 + hR12
2⋅ g γ
2⋅ g γ
[m C.A.]
En este caso los términos cinéticos son despreciables y la ecuación queda:
hB = 50 +
49050
+ 3500 ⋅ Q 2 [m C.A.]
9810
hB = 55 + 3500 ⋅ Q 2
[m C.A.]
(1)
En esta ecuación el caudal hace referencia al caudal total bombeado en [m3/s].
Por otra parte se tienen las ecuaciones características de cada una de las bombas:
H = 100 – 6 ⋅ 104 ⋅ Q2
[m C.A.]
η = 73,49 ⋅ Q – 1800 ⋅ Q2
[-]
Si se acoplan 3 bombas en paralelo, las ecuaciones quedan:
H3// = 100 – (6 ⋅ 104 / 9) ⋅ Q2
[m C.A.]
η3// = (73,49 / 3) ⋅ Q – (1800 / 9) ⋅ Q2
[-]
(2)
(3)
Buscando la intersección de la curva resistente (1) y la curva característica del
acoplamiento (2), se obtiene el punto de funcionamiento:
H = 70,49 [m C.A.]
y
Por lo tanto el caudal total bombeado es:
Q = 0,06653 [m3/s]
Q = 0,06653 [m3/s]
(0,02218 [m3/s] por cada bomba)
b)
Una vez calculado el caudal y la altura se puede calcular el rendimiento a través
de la ecuación (3) con el caudal total (o bien con la ecuación η-Q de una de las bombas
con el caudal correspondiente, un tercio del total) de forma que:
η = 0,7445 [-]
⇒
η = 74,45 [%]
Sabiendo que el rendimiento del motor es 0,9 [-] y que permanece constante, se
calcula la potencia eléctrica consumida en el bombeo:
Pe =
ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H 1000 ⋅ 9,81⋅ 0,06653 ⋅ 70,49
= 68,66 ⋅103
=
η ⋅η m
0,7445 ⋅ 0,9
[W]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 404
Con este valor y el caudal bombeado se obtiene el equivalente energético de la
instalación que, operando en las unidades adecuadas, resulta ser:
e=
Pe
68,66
=
= 0,2867
Q 0,06653 ⋅ 3600
[kW-h/m3]
c)
Ahora se tienen dos bombas funcionando en paralelo en lugar de tres, por lo que
la curvas características del bombeo con las bombas girando a 2900 [r.p.m.] resultan
ser:
H2// = 100 – (6 ⋅ 104 / 4) ⋅ Q2
[m C.A.]
η2// = (73,49 / 2) ⋅ Q – (1800 / 4) ⋅ Q2
[-]
Aplicando las relaciones de semejanza, se obtienen las ecuaciones características
de las dos bombas a cualquier velocidad de giro:
H N
= 
H ´  N´ 
2
Q
N
=
Q´ N ´
Operando, se tiene:
H 2´ // = 100 ⋅
η
´
2 //
N ´2
6 ⋅10 4 ´2
−
⋅Q
2900 2
4
(4)
73,94 2900
1800 2900 2 ´2
=
⋅
⋅Q −
⋅
⋅Q
2
N´
4
N ´2
(5)
El punto de funcionamiento debe ser el mismo que en el caso anterior:
H´ = 70,49 [m C.A.]
y
Q´ = 0,06653 [m3/s]
Sustituyendo en (4) y (5), se tiene:
N´ = 3392,94 [r.p.m.] y
η´ = 0,6344 [-]
d)
Como antes, se calcula la potencia eléctrica absorbida y el equivalente
energético del bombeo:
Pe =
e=
ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H 1000 ⋅ 9,81⋅ 0,06653 ⋅ 70,49
= 80,58 ⋅10 3 [W]
=
η ⋅η m
0,6344 ⋅ 0,9
Pe
80,58
=
= 0,3364
Q 0,06653 ⋅ 3600
[kW-h/m3]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 405
07-08-SEP-2.
Velocidad específica ns
ns = (N · Pe* 1/2)/(H* 5/4) = (450 · 600001/2)/(6845/4) = 31,5 [*]
Con cuatro inyectores, la potencia correspondiente a cada uno se divide por cuatro, en
cuyo caso la velocidad específica ns por inyector sería,
ns (por inyector) = 31,5/2 = 15,75
Velocidad absoluta c1 y velocidad tangencial u*
c1 = C1 (2 · g · H)1/2 = 0,98 (2 · g · 684) = 113,5 [m/s]
u* = 0,46 · c1 = 0,46 · 113,5 = 52,2 [m/s]
Caudal Q* de diseño
Pe* = γ · Q* · H · η
60000 · 735,5 = 9,81 · 1000 · Q* · 684 · 0,86
Q* = 7,65 [m3/s] (1,91 [m3/s] por inyector)
Diámetro d del chorro
Q*/4 = c1 · π · d2/4
7,65 = 113,5 · π · d2
d = 0,146 [m] = 14,6 [cm]
Dimensiones de la cuchara y paso t
L = 2,1 · d = 2,1 · 14,6 = 30,7 [cm]
B = 2,5 · d = 2,5 · 14,6 = 36,5 [cm]
T = 0,85 · d = 0,85 · 14,6 = 12,4 [cm]
t = 2 · d = 2 · 14,6 = 29,2 [cm]
Diámetro D del rodete
D = (60 · u*)/(π · n) = (60 · 52,2)/(π · 450) = 2,22 [m]
Número z de cucharas
z = π · D/t = π · 2,22 / 0,292 = 24 cucharas
Relación D/d
D/d = 2,22 / 0,146 = 15,2 [-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 406
07-08-SEP-3.
1) La altura manométrica de la bomba se invierte en las pérdidas del circuito de tubos de
refrigeración y en las pérdidas de la tubería de unión.
H m = ∆H int ercambiador + ∆H tubería −unión
Para el intercambiador
L v2
= f⋅ ⋅
D 2⋅ g
∆H int ercambiador
Re =
ε
D
=
v⋅D
υ
=
4 ⋅ 0,01
= 4 ⋅ 10 4 [-]
−6
10
0,04
= 0,004 [-]
10
Mirando en el ábaco de Moody Æ f ≈ 0,031 [-]
∆H int ercambiador = 0,031 ⋅
∆H int ercambiador = 0,031 ⋅
2
42
⋅
= 5,056. [m C.A.]
0,01 2 ⋅ 9,81
2
42
⋅
= 5,056 = K int ercambiador ⋅ Q 2 = K int ercambiador ⋅ ( 4,7123 ⋅ 10 − 2 ) 2 Æ
0,01 2 ⋅ 9,81
K int ercambiador = 2276,88 [m C.A./(m3/s)2]
Por conservación de la masa
Qint ercambiador = Qtubería −unión
Qint ercambiador =
Qint ercambiador =
π ⋅ D2
4
π ⋅ D2
4
⋅150 ⋅ v =
⋅150 ⋅ v =
π ⋅ 0,012
4
⋅150 ⋅ 4 = 0,04712 [m3/s]
π ⋅ Dtubería−unión 2
4
⋅3
Dtubería −unión = 0,1414 [m]
Para la tubería de unión
∆H tubería −unión
Re =
ε
D
=
v⋅D
υ
=
L v2
= f⋅ ⋅
D 2⋅ g
3 ⋅ 0,1414
= 4,24 ⋅ 10 5 [-]
−6
10
0,04
= 0,000283 [-]
141,4
Mirando en el ábaco de Moody Æ f ≈ 0,017 [-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 407
∆H tubería −unión = 0,017 ⋅
200
32
⋅
= 11,03 [m C.A.]
0,1414 2 ⋅ 9,81
200
32
∆H tubería −unión = 0,017 ⋅
⋅
= 11,03 = K tubería −unión ⋅ Q 2 = K tubería −unión ⋅ (4,7123 ⋅10 −2 ) 2
0,1414 2 ⋅ 9,81
Æ K tubería −unión = 4967,18 [m C.A./(m3/s)2]
H m = ∆H int ercambiador + ∆H tubería −unión = 5,06 + 11,03 = 16,09 [m C.A.]
P=
ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H m 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 4,7123 ⋅10 −2 ⋅16,09
=
= 10259,35 [W]
0,725
η
2) H m = ∆H = 16,09m.C. A. = K ⋅ Q 2 = K ⋅ (4,7123 ⋅ 10 −2 ) 2
Æ K = 7245,86 [m C.A./(m3/s)2]
3) Ahora con 2 circuitos en paralelo alimentados por la misma bomba, se duplica el
caudal que trasiega por la bomba y por la tubería de unión
Q' = 2 ⋅ 4,7123 ⋅10 −2 = 0,09424 [m3/s]
H 'm = ∆H int ercambiador + ∆H tubería−unión = 5,06 + K tubería−unión ⋅ Q'2
H ' m = 5,06 + 4967,18 ⋅ 0,09424 2 = 49,17 [m C.A.]
La ecuación de la bomba será:
H = 58,8 + C ⋅ Q 2
Y con los valores del punto de funcionamiento se obtiene el valor de C
16,09 = 58,8 + C ⋅ (4,7124 ⋅ 10 −2 ) 2 Æ C = −19232,92
H = 58,8 − 19232,92 ⋅ Q 2
H Q2
=
H ' Q' 2
H
Q2
Æ H = 5537,55 ⋅ Q 2
=
49,18 (0,09424) 2
5537,55 ⋅ Q 2 = 58,8 − 19232,92 ⋅ Q 2
Q = 0,04872 [m3/s]
Q N
=
Q' N '
0,04872 500
=
Æ N '= 967,16 [r.p.m.]
0,09424
N'
4) mirando en la gráfica V. Efectos de Escala en Bombas industriales con líquidos
viscosos, los resultados obtenidos son:
cη = 0,9
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 408
cQ = 0,99
c H = 0,99
H m = ∆H int ercambiador + ∆H tubería −unión
Para el intercambiador
∆H int ercambiador = f ⋅
Re =
ε
D
=
v⋅D
υ
=
L v2
⋅
D 2⋅ g
4 ⋅ 0,01
= 3333,33 [-]
12 ⋅ 10 −6
0,04
= 0,004 [-]
10
Mirando en el ábaco de Moody Æ f ≈ 0,045 [-]
∆H int ercambiador = 0,045 ⋅
2
42
⋅
= 7,34 [m C.Aceite]
0,01 2 ⋅ 9,81
Por conservación de la masa
Qint ercambiador = Qtubería −unión
Qint ercambiador =
Qint ercambiador =
π ⋅ D2
4
π ⋅ D2
4
⋅150 ⋅ v =
⋅150 ⋅ v =
π ⋅ 0,012
4
⋅150 ⋅ 4 = 0,04712 [m3/s]
π ⋅ Dtubería−unión 2
4
⋅3
Dtubería −unión = 0,1414 [m]
Para la tubería de unión
∆H
tubería −unión
Re =
ε
D
=
v⋅D
υ
=
L v2
= f⋅ ⋅
D 2⋅ g
3 ⋅ 0,1414
= 3,54 ⋅ 10 4 [-]
−6
12 ⋅ 10
0,04
= 0,000283 [-]
141,4
Mirando en el ábaco de Moody Æ f ≈ 0,0245 [-]
∆H tubería −unión = 0,0245 ⋅
200
32
⋅
= 15,90 [m C.Aceite]
0,1414 2 ⋅ 9,81
H m = ∆H int ercambiador + ∆H tubería −unión = 7,34 + 15,90 = 23,24 [m C.Aceite]
ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H m 850 ⋅ 9,81 ⋅ 4,7123 ⋅10 −2 ⋅ 23,24
=
= 13995,12 [W]
P=
0,725 ⋅ 0,9
η
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 409
08-09-FEB-1.
1. 5 pares de polos se corresponde con N = 600 [r.p.m.];
ω =2 ⋅ π ⋅ N/60 = 62,83 [s –1]
La potencia es: P = 9,81 ⋅ Q ⋅ Hn ⋅ η = 38268,653 [kW]
Cammerer:
Ns = N ⋅ P0,5 ⋅ Hn–1,25
Ns = 94 [*]
Brauer:
Nq = N ⋅ Q0,5 ⋅ Hn–0,75
Nq = 31,29 [*]
Científica:
ν = ω (Q/π)0,5(2 ⋅ g ⋅ Hn)–0,75
ν = 0,19832 [-]
2. En la gráfica el punto con grado de apertura 75 [%] a Hn de diseño (o nominal u
óptimo = 300 [m C.A.] es en términos porcentuales de potencia de valor 88 [%] y el
correspondiente a apertura del 85 [%] es de 101 [%]. Este será también el ratio de
sus valores absolutos.
P (85 [% ] GATE) = 38268,653 ⋅ 101 / 88 = 43921,98 [kW]
En este punto, el rendimiento también vale 92 [%] con lo que el caudal correspondiente
a 85 [%] GATE será
Q (85 [%] GATE) = P (85 [%] GATE) ⋅ (9,81 ⋅ Hn ⋅ η) –1
Q (85% GATE) = 16,22 [m3/s]
R = D/2 = 0,95 [m]
Coeficiente de caudal:
φ (85 [%] GATE) = Q/(π ⋅ R3 ⋅ ω) = 0,0958 [-]
Coeficiente de energía:
ψ (85 [%] GATE) = 2 ⋅ g ⋅ Hn/(R2 ⋅ ω2) = 1,6521 [-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 410
08-09-FEB-2.
1. En la Tierra, los puntos de funcionamiento ensayados son:
Q [m3/h]
1,8
2,4
3
3,6
4,2
4,8
5,4
6
6,6
7,2
7,8
8,4
9
H. [m C.L.]
55
54,5
53,5
52
51
49,5
48
46
44,5
42,5
40,5
38,5
36
El ajuste por mínimos cuadrados de esta nube de puntos es la curva H-Q de esta
bomba modelo en la Tierra a 2900 [r.p.m.]:
Hm = 57,145 – 0,7468 ⋅ Qm – 0,1776 ⋅ Qm2
[1]
Que juntamente a [2] representan las 2 CC del modelo en la Tierra:
ηm = 0,1956 ⋅ Qm – 0,0123 ⋅ Qm2
[2]
Denominando a las relaciones entre modelo (subíndice m) y prototipo (subíndice p):
Ratio de diámetros:
Rd = Dm/Dp
Ratio de velocidades:
Rn = Nm/Np
Ratio de campos gravitatorios:
Rg = gm/gp
Y aplicando las leyes de la semejanza entre modelo y prototipo deberán cumplirse
simultáneamente [3] y [4]:
Qm = Qp ⋅ Rd3 ⋅ Rn
[3]
Hm = Hp ⋅ Rd2 ⋅ Rn2 ⋅ Rg–1
[4]
Despejando Rn de [3] y sustituyendo en [4] :
Hm = Hp ⋅ Qm2 ⋅ Rd–4 ⋅ Rg–1 ⋅ Qp–2
[5]
Para las condiciones del problema el prototipo tiene un diámetro triple que el
modelo y funciona en un campo gravitatorio de valor la sexta parte de en el que se han
hecho los ensayos, por lo que Rd = 0,333 [-] y Rg = 6 [-].
Sustituyendo, la ecuación [5] queda,
H = 0,49693 ⋅ Q2
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
[6]
Ejercicios resueltos - 411
Que es la curva de congruencia o lugar geométrico de los puntos semejantes al
punto de funcionamiento lunar.
El punto semejante también pertenece a la curva H-Q del modelo [1].
Las ecuaciones [1] y [6] representan un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas
que resuelto da el punto de funcionamiento semejante:
H = 37,3 [m C.L.]
Q = 8,667 [m3/h]
2. Sustituyendo [3] y [4] en [1] y [2] se llega a la expresiones paramétricas [7] y [8],
CC de un prototipo construido a en base al mismo diseño, girando a cualquier
velocidad y funcionando en cualquier campo gravitatorio:
Hp = (57,145 ⋅ Rd–2 ⋅ Rn–2 ⋅ Rg) – (0,7468 ⋅ Rd ⋅ Rn–1 ⋅ Rg) ⋅Qp – (0,1776 ⋅ Rd4 ⋅ Rg) ⋅Qp2
[7]
ηp = (0,1956 ⋅ Rd3 ⋅ Rn) ⋅ Qp – (0,0123 Rd6 ⋅ Rn2) ⋅ Qp2
[8]
El acoplamiento en serie de NS bombas iguales a este prototipo genérico tendrá por
CC las siguientes:
Hp = NS ⋅ (57,145 ⋅ Rd–2 ⋅ Rn–2 ⋅ Rg) – (0,7468 ⋅ Rd ⋅ Rn–1 ⋅ Rg)⋅Qp – (0,1776 ⋅ Rd4 ⋅ Rg)⋅Qp2
[9]
ηp = (0,1956 ⋅ Rd3 ⋅ Rn) ⋅ Qp – (0,0123 Rd6 ⋅ Rn2) ⋅ Qp2
[10]
Igual que antes, para las condiciones del problema el prototipo tiene un diámetro
triple que el modelo y funciona en un campo gravitatorio de valor la sexta parte de en el
que se han hecho los ensayos, por lo que por lo que Rd = 0,333 [-] y Rg = 6 [-]. Por su
parte, la velocidad de giro del prototipo es 990 [r.p.m.] con lo que Rn = 2,93 [-]
Si el nuevo punto de funcionamiento lunar es Q = 72 [m3/h] y H = 764,14 [m C.L.],
la ecuación [7] tiene una sola incógnita NS, que resuelta es
NS = 3 [-]
Entrando con estos valores en la ecuación [8] el rendimiento resulta ser:
ηp = 0,777 [-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 412
SOLUCIÓN ALTERNATIVA
1. El punto de funcionamiento en la Luna está definido: HL = 234,64 [m C.L.]
QL = 80 [m3/h]
Aplicando directamente las leyes de semejanza, se obtiene el punto de funcionamiento
homólogo al dado en la Tierra:
QL
QT
=
⇒
DL3 ⋅ N L DT3 ⋅ N T
QT
80
=
600 3 ⋅ 990 200 3 ⋅ 2900
gL ⋅ H L
g ⋅H
= T2 T2 ⇒
2
2
D L ⋅ N L DT ⋅ N T
gT
⋅ 234,64
gT ⋅ H T
6
=
⇒
2
2
600 ⋅ 990
200 2 ⋅ 2900 2
⇒
2. El nuevo punto de funcionamiento en la Luna está definido:
QT = 8,68 [m3/h]
HT = 37,29 [m C.L.]
HL = 764,13 [m C.L.]
QL = 72 [m3/h]
Aplicando directamente las leyes de semejanza, se obtiene el punto de funcionamiento
homólogo al dado en la Tierra:
QL
Q
= 3 T
⇒
D ⋅ N L DT ⋅ N T
QT
72
=
3
3
600 ⋅ 990 200 ⋅ 2900
gL ⋅ H L
g ⋅H
= T2 T2 ⇒
2
2
D L ⋅ N L DT ⋅ N T
gT
⋅ 764,13
gT ⋅ H T
6
=
⇒
2
2
600 ⋅ 990
200 2 ⋅ 2900 2
3
L
⇒
QT = 7,81 [m3/s]
HT = 121,42 [m C.L.]
Mirando en la tabla que contiene los puntos de funcionamiento del modelo en la tierra
se observa que para QT = 7,8 [m3/s] se tiene HT = 40,5 [m C.L.].
Si hubiera 3 bombas acopladas en serie para el mismo valor del caudal se tendría que
HT = 3 ⋅ 40,5 = 121,5 [m C.L.], valor que prácticamente coincide con el nuevo punto de
funcionamiento deseado.
⇒
3 bombas en serie
Para evaluar el rendimiento del acoplamiento se sustituye el valor del caudal homólogo
en la Tierra (7,81 [m3/s]) en la ecuación de la bomba en la Tierra:
ηL = ηT (QT = 7,81 [m3/s]) = 0,7774 [-]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 413
08-09-FEB-3.
a) Triángulo de velocidades a la entrada del rodete:
c
α1
c
c
w1
β1
u
Despreciando la distorsión producida en el entrehierro existente entre el distribuidor
y el rodete se tiene que el ángulo de salida del distribuidor coincide con α1. Por lo tanto,
α1 = 12 [º]
⇒
Además, se conocen la velocidad de giro y el diámetro, por lo que se puede calcular
la velocidad tangencial u1:
ω=N⋅
2⋅ π
2⋅ π
= 600 ⋅
= 62,83 [rad s]
60
60
u1 = ω ⋅ R1 = 62,83 ⋅ 0,5 = 31,42 [m s ]
⇒
u1 = 31,42 [m/s]
Por otra parte, dado que se conocen el caudal y la sección de paso entre los álabes se
puede calcular la componente meridiana de la velocidad absoluta cm1:
cm1 = Q S1 = 1 0,14 = 7,14 [m s]
Y como α1 es conocido:
Por trigonometría: cos α 1 =
tan α 1 =
c m1
7,14
⇒ tan(12) =
c u1
cu 1
c u1
33,61
⇒ cos(12) =
c1
c1
⇒ cu1 = 33,61 [m/s]
⇒
c1 = 34,36 [m/s]
Se observa que la proyección de la velocidad tangencial en la dirección de u, cu1, es
mayor que u1, por lo que el triángulo de velocidades realmente tiene el siguiente
aspecto:
c
α1
w1
u
c
β1
c
Por lo tanto,
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 414
tan(180 − β1 ) =
cm1
7,14
⇒ tan(180 − β1 ) =
cu1 − u1
33,61 − 31,42
Y finalmente, sin (180 − β1 ) =
β1 = 107,04 [º]
⇒
cm1
7,14
⇒ sin (180 − 107,04) =
w1
w1
⇒ w1 = 7,47 [m/s]
Triángulo de velocidades a la salida del rodete:
c
α2
c
c
Se conoce de partida el ángulo β2:
⇒
w2
β2
u
β2 = 45 [º]
Como se conocen la velocidad de giro y el diámetro, se puede calcular la velocidad
tangencial u2:
u 2 = ω ⋅ R2 = 62,83 ⋅ 0,225 = 14,14 [m s]
⇒
u2 = 14,14 [m/s]
Por otra parte, dado que se conocen el caudal y la sección de paso entre los álabes se
puede calcular la componente meridiana de la velocidad absoluta cm2:
cm2 = Q S 2 = 1 0,09 = 11,11 [m s]
Y como β2 es conocido:
sin β 2 =
cm 2
11,11
⇒ sin(45) =
w2
w2
⇒ w2 = 15,71 [m/s]
Por otra parte, se tiene que: cu 2 = u 2 − w2 ⋅ cos β 2 = 14,14 − 15,71 ⋅ cos(45) = 3,03 [m/s]
c2 = c u22 + cm2 2 = 3,032 + 11,112 = 11,52 [m/s]
Así, el vector velocidad absoluta:
⇒ c2 = 11,52 [m/s]
Y finalmente, por trigonometría:
tan α 2 =
cm 2
11,11
⇒ tan α 2 =
cu2
3,03
⇒
α2 = 74,77 [º]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 415
b) Para calcular el salto neto se utilizará la relación entre el rendimiento manométrico,
E
H
que es dato, y la altura de Euler (salto efectivo) para turbinas: η man = E = E
E
H
Se calcula la energía de Euler para turbinas a través del segundo teorema de Euler:
E E = u1 ⋅ cu1 − u 2 ⋅ cu 2
Sustituyendo los valores obtenidos en el apartado anterior, se tiene que:
E E = 31,42 ⋅ 33,61 − 14,14 ⋅ 3,03 = 1012,94 [J/kg]
η man =
Por lo tanto,
EE
1012,94
⇒ 0,85 =
E
9,81 ⋅ H
⇒
H = 121,48 [m C.A.]
c) Para calcular la potencia en el eje:
Pm = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H E = 9,81⋅1000 ⋅1⋅103,25 = 1,013 ⋅10 6 [ W ] ⇒
[MW]
Pe = 1,013
Y el par, una vez conocida la potencia y la velocidad angular:
T=
Pe
ω
=
1,013 ⋅10 6
= 16121,39 [ N ⋅ m]
62,83
⇒
T = 16121,39 [N ⋅ m]
d) Se calcula la velocidad específica de Brauer a través de la expresión:
11 / 2
Q1 / 2
nq = N ⋅ 3 / 4 = 600 ⋅
= 16,40 [*]
121,483 / 4
H
⇒
nq = 16,40 [*]
Se observa que es una velocidad específica relativamente baja para tratarse de una
turbina Francis. Las turbinas Francis trabajan bien dentro del rango de velocidades
específicas comprendido entre 20 [*] y 120 [*] (Ábacos, página 117). Además dentro de
ese rango se observa que para velocidades específicas bajas las turbinas se ajustan bien
con saltos sensiblemente más elevados (>500 [m C.A.]) que el de este aprovechamiento
(121,48 [m C.A.]). A falta de más datos, se deduce que la elección no es del todo
correcta. Las características del aprovechamiento indican que una turbina Pelton de 4
inyectores posiblemente se hubiese ajustado mejor (Ábacos, página 107).
e) Para estimar el rendimiento del modelo se emplean las expresiones propuestas por
CEI (Ábacos, páginas 22 y 23):
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 416
(∆η h )M→P = δ ref
 Re
⋅  ref
 Re M



0 ,16
 Re
−  ref
 Re P



0 ,16



con
δ ref =
1 − (η h ∧ )M
 Re ref

 Re ∧M



0 ,16
+
1 − Vref
Vref
Se tienen los siguientes valores:
⇒
λ = DP/DM = 4 [-]
DM = 0,45 / 4 = 0,1125 [m]
NM = 3000 [r.p.m.]
u M = ω M ⋅ RM = 3000 ⋅
Re M =
Re P =
u M ⋅ DM
ν
u P ⋅ DP
ν
=
=
2 ⋅ π 0,1125
⋅
= 17,67 [m/s]
60
2
17,67 ⋅ 0,1125
= 1,99 ⋅10 6 [-]
−6
1⋅10
14,14 ⋅ 0,45
= 6,36 ⋅10 6 [-]
−6
1 ⋅10
Vref = 0,7 [-] y Reref = 7 ⋅ 106 [-]
Operando, se obtiene:
0,85 – ηM = (1 – ηM) ⋅ 0,12575 ⇒
ηM = 0,8284 [-]
⇒
ηM = 82,84 [%]
Es decir, la revalorización para el rendimiento:
∆ηM-P = 0,85 – 0,8284 = 0, 0216 [-]
⇒ ∆ηM-P = 2,16 [%]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 417
08-09-JUN-1.
Aplicando la ecuación de Bernoulli (conservación de la energía) entre los niveles
inferior y superior de los depósitos se tiene que:
z1 +
v12
p
v2
p
+ 1 + hB = z 2 + 2 + 2 + hR12
2⋅ g γ
2⋅ g γ
[m C.A.]
Al tratarse de depósitos grandes a presión atmosférica los términos cinéticos y de
presión pueden considerarse nulos, resultando la curva resistente de la instalación, en
este caso:
hB = ∆z + 1000 ⋅ Q 2 [m C.A.]
La diferencia de cotas ∆z puede variar dependiendo de los niveles de los embalses.
Para los casos extremos:
Embalse inferior Embalse superior
∆z [m]
z1 [m]
z2 [m]
Vacío, 100
Lleno, 145
45
Vacío, 100
Vacío, 130
30
Lleno, 115
Lleno, 145
30
Lleno, 115
Vacío, 130
15
El punto de funcionamiento se obtiene como la intersección de la curva
característica de la bomba ( H = 60 − 1500 ⋅ Q 2 ) con la curva resistente de la instalación.
70
60
H [m C.A.]
50
40
30
20
10
0
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
3
Q [m /s]
Sustituyendo los valores de altura y caudal obtenidos en las curvas características
correspondientes (η = 16 ⋅ Q − 80 ⋅ Q 2 y NPSH R = 5 − 140 ⋅ Q + 1000 ⋅ Q 2 ) se obtienen el
rendimiento y el valor del NPSHR, resultando:
• Si ∆z = 45 [m]
H = 51 [m C.A.], Q = 0,07746 [m3/s], η = 0,7594 [-], NPSHR = 0,156 [m C.A.]
• Si ∆z = 30 [m]:
H = 42 [m C.A.], Q = 0,10955 [m3/s], η = 0,7927 [-], NPSHR = 1,664 [m C.A.]
• Si ∆z = 15 [m]:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 418
H = 33 [m C.A.], Q = 0,13416 [m3/s], η = 0,7066 [-], NPSHR = 4,217 [m C.A.]
a) En principio, de acuerdo con la información facilitada con el fabricante la situación
más desfavorable en términos de cavitación se produce, para el último punto de
funcionamiento calculado, en el que el NPSH máximo requerido por la bomba se da
para caudal máximo (NPSHR = 4,217 [m C.A.], Q = 0,13416 [m3/s]). Sin embargo, hay
que tener en cuenta que esta en esta situación el embalse inferior está lleno,
z1 = 115 [m]. Si la cota de implantación de la bomba se fija para ese nivel de referencia,
cuando el embalse inferior se encuentre vacío, z1 = 100 [m], se dispondría de 15 [m]
menos de columna de agua (Ha), por lo que aumentaría el riesgo de cavitación. Por lo
tanto, se calculará la cota de implantación para ambas situaciones (embalse inferior
lleno y vacío) en las condiciones más desfavorables y se elegirá la implantación más
restrictiva. Así se podrá garantizar que no se produce cavitación en ningún punto de
funcionamiento dentro del rango de operación.
En general, el NPSH disponible en la instalación:
NPSH d = H b − H v − H a − H Rasp
Con el embalse inferior lleno en la situación más desfavorable, z1 = 115 [m], se
calcula la presión barométrica en [Pa] mediante la fórmula:
(
pb = pb 0 ⋅ 1 − 2,2558 ⋅10 −5 ⋅ z1
)
5, 256
(
= 101325 ⋅ 1 − 2,2558 ⋅10 −5 ⋅115
)
5, 256
= 99951,04
Tomando un valor habitual (T = 20 [ºC]) para la presión la presión de vapor, se
tiene que:
NPSH d =
99951,04 2339
−
− H a − 200 ⋅ 0,13416 2
9810
9810
[m C.A.]
Igualando las expresiones de NPSH disponible y requerido, se obtiene la cota de
implantación teórica.
4,217 = 9,95 − H a − 200 ⋅ 0,13416 2
⇒
Ha = 2,13 [m]
Añadiendo el margen de seguridad recomendado, la bomba debería implantarse,
en esta situación y de acuerdo con las indicaciones facilitadas por el fabricante, 1,63 [m]
por encima de la superficie libre del depósito inferior. Para que no se produzca
cavitación en estas condiciones, la bomba debe implantarse en la cota
za = 115 + 1,63 = 116,63 [m].
Con el embalse inferior vacío en la situación más desfavorable (z1 = 100 [m],
NPSHR = 1,664 [m C.A.], Q = 0,10955 [m3/s]), se calcula la presión barométrica en [Pa]
mediante la fórmula:
(
pb = pb 0 ⋅ 1 − 2,2558 ⋅10 −5 ⋅ z1
)
5, 256
(
= 101325 ⋅ 1 − 2,2558 ⋅10 −5 ⋅100
)
5, 256
= 100010,47
Tomando un valor habitual (T = 20 [ºC]) para la presión la presión de vapor, se
tiene que:
NPSH d =
100010,47 2339
−
− H a − 200 ⋅ 0,10955 2
9810
9810
[m C.A.]
Igualando las expresiones de NPSH disponible y requerido, se obtiene la cota de
implantación teórica.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 419
1,664 = 9,95 − H a − 200 ⋅ 0,10955 2
⇒
Ha = 5,89 [m]
Añadiendo el margen de seguridad recomendado, la bomba debería implantarse,
en esta situación y de acuerdo con las indicaciones facilitadas por el fabricante, 5,39 [m]
por encima de la superficie libre del depósito inferior. En este caso la cota de
implantación resulta ser inferior a la calculada anteriormente. Para garantizar la no
cavitación en todo el rango, la bomba debe implantarse a la cota:
za = 100 + 5,39 = 105,39 [m].
Se analiza a continuación la cota de implantación de la bomba dada de acuerdo
con las estadísticas disponibles. Para ello se toma el punto óptimo de funcionamiento
como valor de referencia:
dη
= 0 ⇒ 16 − 160 ⋅ Qη MAX = 0 ⇒ QηMAX = 0,1 [m3/s]
dQ
Por lo tanto el punto óptimo de funcionamiento, para N = 1400 [r.p.m.]:
HΛ = 45 [m C.A.], QΛ = 0,1 [m3/s], ηΛ = 0,8 [-], NPSHRΛ = 1 [m C.A.]
En dicho punto, se calcula la velocidad específica de Brauer. A continuación, se
calcula el coeficiente de cavitación mediante valores estadísticos y el NPSH resultante
en cada caso, que determinará la cota de implantación “estadística”:
nqΛ = N ⋅
Q1 2
0,11 2
=
1400
⋅
= 25,48 [*]
H34
453 4
σ = c ⋅ nqd [-] ⇒
NPSH = 9,95 −
NPSH = σ ⋅ H Λ [m C.A.]
2339
− H a − 200 ⋅ 0,12
9810
Operando con los valores estadísticos correspondientes:
Fuente
Von Widern
Wislicenus
Graeser, bombas
industriales
Rustchi para η=0,85
Stépanoff
c
12,03 ⋅ 10-4
10,34 ⋅ 10-4
d
σ [-]
NPSH [m C.A.]
Ha [m]
4/3
4/3
0,090
0,078
4,06
3,49
3,89
4,46
13,08 ⋅ 10-4
4/3
0,098
4,41
3,54
11,95 ⋅ 10-4
12,24 ⋅ 10-4
4/3
4/3
0,090
0,092
4,03
4,13
3.92
3,82
Para emplear las estadísticas de Sulzer, se calcula el valor de la velocidad
específica de aspiración en notación tradicional para el punto de funcionamiento
óptimo:
N ⋅ (QΛ )
1400 ⋅ (0,1)
=
34
13 4
NPSH RΛ
12
SΛ =
12
= 442,72[*]
Dado que no se dispone de gráficas de Sulzer para SΛ = 442,72 [*] se tomará la
que más se aproxime de entre las gráficas disponibles, en este caso la correspondiente a
SΛ = 200 [*] (la diferencia es demasiado elevada como para que los resultados que
se obtengan sean realmente comparables, pero se plantea la resolución con fines
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 420
didácticos). Así, para N = 1400 [r.p.m.] y Q = 0,1 [m3/s] = 360 [m3/h] se tiene que
NPSH3%
y
2,5 [m C.A.]. Para dicho valor los márgenes de seguridad propuestos por
Sulzer varían entre Mseg = 1,28 [-] y Mseg = 1,56 [-], por lo que se tiene que:
NPSHRSULZER-PRESTACIONES = 1,28 ⋅ 2,5 = 3,2 [m C.A.]
NPSHRSULZER-EROSIÓN = 1,56 ⋅ 2,5 = 3,9 [m C.A.]
Y, en consecuencia, HaSULZER-PRESTACIONES = 4,75 [m]
HaSULZER-EROSIÓN = 4,05 [m]
Teniendo en cuenta que en el punto de funcionamiento óptimo la superficie libre
del embalse se encontrará en una posición intermedia entre las cotas límite, las
recomendaciones del fabricante resultan ser conservadoras a la vista de los datos
obtenidos a través de las estadísticas, por lo que parece sensato hacer caso a dichas
recomendaciones.
b) Para que se puedan producir problemas de inestabilidad de bombeo la curva
característica de la bomba debe alcanzar el máximo de energía específica a un caudal
que no sea nulo, de forma que puedan existir dos puntos de funcionamiento posibles
para la misma curva resistente. En este caso la pendiente de la curva característica
( H = 60 − 1500 ⋅ Q 2 ) es siempre negativa y el máximo de energía específica se alcanza
para caudal nulo, por lo que NO se producirán problemas de inestabilidad.
c) Con el embalse inferior lleno y el superior vacío se tiene la mínima diferencia de
cotas, ∆z = 15 [m]. En esta situación la curva característica de la instalación resulta ser:
hB = 15 + 1000 ⋅ Q 2
En el caso de la OPCIÓN A se tienen dos bombas iguales en paralelo girando a
la misma velocidad. Siendo las curvas características para una única bomba,
H = 60 − 1500 ⋅ Q 2
[m C.A.]
η = 16 ⋅ Q − 80 ⋅ Q 2
[-]
NPSH R = 5 − 140 ⋅ Q + 1000 ⋅ Q 2
[m C.A.]
Se tiene que, para el caso del acoplamiento de dos bombas en paralelo:
H 2 // = 60 − 375 ⋅ Q 2
[m C.A.]
η 2 // = 8 ⋅ Q − 20 ⋅ Q 2
[-]
NPSH R 2 // = 5 − 70 ⋅ Q + 250 ⋅ Q 2
[m C.A.]
El nuevo punto de funcionamiento se obtiene encontrando la intersección entre
la curva característica del acoplamiento y la curva resistente de la instalación:
15 + 1000 ⋅ Q 2 = 60 − 375 ⋅ Q 2
Resultando:
HA = 47,73 [m C.A.], QA = 0,18091 [m3/s], ηA = 0,7927 [-], NPSHRA = 0,518 [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 421
Para obtener el mismo punto de funcionamiento (HA, QA) en la OPCIÓN B, con
una única bomba girando a la velocidad NB se aplican las relaciones de semejanza con
la velocidad de giro como única variable:
QA N A
=
QB N B
H A  NA 

=
H B  N B 
y
2
Sustituyendo en las ecuaciones características, se tiene, en general para cualquier
velocidad de giro NB:
H B = 60 ⋅
η B = 16 ⋅
N B2
− 1500 ⋅ QB2
2
1400
[m C.A.]
1400
1400 2 2
⋅ QB − 80 ⋅
⋅ QB
NB
N B2
NPSH RB = 5 ⋅
[-]
N B2
N
− 140 ⋅ B ⋅ QB + 1000 ⋅ QB2
2
1400
1400
[m C.A.]
Dado que HB = HA= 47,73 [m C.A.] y QB = QA = 0,18091 [m3/s], se tiene que la
velocidad de giro para la OPCIÓN B debe ser NB = 1778, 41 [r.p.m.], de forma que el
punto de funcionamiento resulta ser:
HB = 47,73 [m C.A.], QB = 0,18091 [m3/s], ηB = 0,6561 [-], NPSHRB = 8,623 [m C.A.]
100
90
80
H [m C.A.]
70
1 bomba, 1400
[r.p.m.]
curva resistente
60
50
40
30
20
10
0
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
2 bombas //, 1400
[r.p.m.]
1 bomba, 1778,41
[r.p.m.]
3
Q [m /s]
d)
OPCIÓN A:
PeA =
γ ⋅ QA ⋅ H A 9810 ⋅ 0,18091⋅ 47,73
=
= 152,64 ⋅10 3 [W]
η A ⋅η MA
0,7927 ⋅ 0,7
eA =
PeA
152,64
 kW - h 
=
= 0,2344 
3
QA 0,18091 ⋅ 3600
 m 
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 422
OPCIÓN B:
PeB =
γ ⋅ QB ⋅ H B 9810 ⋅ 0,18091⋅ 47,73
=
= 143,45 ⋅10 3 [W]
η B ⋅η MB
0,6561⋅ 0,9
eB =
PeB
143,45
 kW - h 
=
= 0,2203 
3
QB 0,18091 ⋅ 3600
 m 
e) Suponiendo que la cota de implantación es la establecida en el apartado b) (za =
105,39 [m]), se tiene que la instalación dispone en las nuevas condiciones de
funcionamiento de:
NPSH D = 9,95 − (105,39 − 115) − 200 ⋅ 0,1809 2 = 13,02
[m C.A.]
Para el caso de dos bombas en paralelo girando a 1400 [r.p.m.], OPCIÓN A, se
tiene que NPSHRA = 0,518 [m C.A.]. En este caso NPSHD > NPSHRA, por lo que no
existe, en principio riesgo de cavitación.
Para el caso de una única bomba girando a 1778,41 [r.p.m.], OPCIÓN B, se
tiene que NPSHRB = 8,623 [m C.A.]. En este caso NPSHD > NPSHRB, por lo que
tampoco se producirá, en estas condiciones, el fenómeno de cavitación.
f) Se tiene que la instalación resulta a priori más eficiente con una única bomba
funcionando a 1778,41 [r.p.m.]. En principio esta opción es más económica, puesto que
un variador de frecuencia resulta más barato que una segunda bomba y, además, esta
opción es más eficiente. En la situación tomada como referencia (∆z = 15 [m]) no existe
riesgo de cavitación por lo que parece razonable optar por la OPCIÓN B.
g) Nota.- Tal y como se ha comentado en el apartado b) la situación más desfavorable
en lo referente a cavitación puede producirse con el depósito inferior en su nivel
mínimo, por lo que sería conveniente analizar el riesgo de cavitación en dicha situación,
siempre que este caso sea factible en la realidad.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 423
08-09-JUN-2.
Bernoulli Pozo – Fuente
2
P1
2
P
v
v
+ z1 + 1 + hB = F + z F + F + hRasp + hRimp
γ
γ
2⋅ g
2⋅ g
− 5 + hB = 5 +
Q = v⋅
22
+ 2000 ⋅ Q 2 + 8000 ⋅ Q 2
2⋅ g
Π ⋅ D2
Π ⋅ 0,15 2
= 2⋅
= 0,035m 3 / s
4
4
hB = 5 + 5 +
22
+ 10000 ⋅ Q 2 = 10,2039 + 10000 ⋅ Q 2 = 22,4539m
2⋅ g
50
45
40
35
30
H
25
H1
20
H2
15
10
5
0
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
Como se observa en la gráfica la bomba adecuada es la H1, cuya ecuación es:
H 1 = 32 − 200 ⋅ Q − 2000 ⋅ Q 2
NOTA: en caso de arrastrar todos los decimales al calcular el caudal la altura resulta ser
22,7 m, un poco superior a la altura de la que se obtendría al instalar la bomba H1, cuya
altura sería 22,6 m. Sin embargo, como la bomba H2 dista más de ese punto de
funcionamiento la bomba seleccionada seguiría siendo la H1.
Planteando la nueva situación:
Bernoulli Pozo – Fuente
P1
γ
2
+ z1 +
2
P
v1
v
+ hB = F + z F + F + hRasp + hRimp
γ
2⋅ g
2⋅ g
2
v
2
2
2
− 5 + hB = 5 + F + 2000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QF
2⋅ g
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 424
 4 ⋅ QF

2
π⋅D
hB = 5 + 5 +
2⋅ g



2
2
2
+ 2000 ⋅ Q B + 4000 ⋅ Q B + 4000 ⋅ Q F
2
2
2
hB = 10 + 163,21⋅ QF + 2000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QF
2
hB = 10 + 4163,21⋅ QF + 6000 ⋅ QB
2
2
2
Bernoulli Pozo – Nueva Fuente
2
2
v
P
v
+ z1 + 1 + hB = NF + z NF + NF + hRasp + hRimp
γ
γ
2⋅ g
2⋅ g
P1
2
− 5 + hB = z NF +
vF
2
2
2
+ 2000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QNF
2⋅ g
2
hB = z NF
 4 ⋅ QF 


Π ⋅ D2 
2
2
2

+5+
+ 2000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QNF
2⋅ g
2
2
2
hB = z NF + 5 + 163,21 ⋅ QF + 2000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QB + 4000 ⋅ QNF
2
hB = z NF + 5 + 4163,21 ⋅ QNF + 6000 ⋅ QB
2
2
Aplicándose conservación de la masa
QB = QF + QNF
QNF =
QF
3
Q B = QF +
QF 4
= QF
3
3
2
Sustituyendo en (1)
3 
2
2
hB = 10 + 4163,21⋅  QB  + 6000 ⋅ QB = 10 + 8341,80 ⋅ QB
4 
2
hB = 32 − 200 ⋅ QB − 2000 ⋅ QB = 10 + 8341,80 ⋅ QB
2
2
2
22 − 200 ⋅ QB − 10341,80 ⋅ QB = 0 Æ QB ⋅ +0,019QB − 2,12 ⋅10 −3 = 0
QB = 0,0375m 3 / s
hB = 21,79mCA
QF = 0,028m 3 / s
QNF = 9,375 ⋅10 −3 m 3 / s
Calculando en (2):
(
)
2
21,79 = z NF + 5 + 4163,21⋅ 9.375 ⋅10 −3 + 6000 ⋅ 0,0375 2
z NF = 7,99m = 8mCA
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 425
08-09-SEP-1.
Como el caudal no es muy grande, fijaremos ya de entrada 2 turbinas, que es el
mínimo que nos indica el enunciado. Tomaremos, a efectos de determinación de las
velocidades específicas, un rendimiento estimado del 90 [%]. De igual forma se estiman
las pérdidas de carga en el conducto de alimentación a la turbina en un 8 [%], dando
lugar a un salto neto de 120 [m] aproximadamente.
Bajo estos supuestos, la potencia aproximada por turbina:
Pe* = γ · Q* · H · η = 9,81 · (16 / 2) · 120 · 0,9 = 8476 [kW]
Velocidad específica ns (Pe = 8476 [kW] = 115241 [C.V.]):
a) ns = (N · Pe* 1/2) / (H* 5/4) = (125 · 115241/2) / (1205/4) = 33,8 [*] (Pelton)
b) ns = (N · Pe*1/2) / (H* 5/4) = (750 · 115241/2) / (1205/4) = 202,7 [*] (Francis)
Caso a)
Conviene la turbina Pelton con 3 ó 4 inyectores (ns = 19,5 [*] ó 16,9 [*]).
Escogemos 4 inyectores.
Velocidad absoluta c1 y velocidad tangencial u*
c1 = C1 · (2 · g · H)1/2 = 0,98 · (2 · g · 120)1/2 = 47,6 [m/s]
u* ≈ 0,46 · c1 = 0,46 · 47,6 = 21,9 [m/s]
Diámetro d del chorro: Q/4 = c1 · π · d2/4
8/4 = 47,4 · π · d2/4
d = 0,231 [m]
Dimensiones de la cuchara:
L ≈ 2,1 · d = 2,1 · 23,1 = 48,5 [cm]
B ≈ 2,5 · d = 2,5 · 23,1 = 57,8 [cm]
T ≈ 0,85 · d = 0,85 · 23,1 = 19,6 [cm]
t ≈ 2 · d = 2 · 23,1 = 46,2 [cm]
Diámetro D del rodete:
D = (60 · u*) / (π · N) = (60 · 21,9) / (π · 125) = 3,35 [m]
Número z de cucharas: z = π · D/t = π · 3,35 / 0,462 = 23 cucharas
Relación D/d:
D/d = 3,35 / 0, 231 = 14,5 [-]
Resultan un rodete y unas cucharas demasiado grandes. Tendríamos que pensar
en un alternador con más revoluciones, en cuyo caso iríamos a más inyectores, e incluso
a la solución Francis.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 426
Caso b)
Velocidad absoluta c1 (C1 = 0,66 [-]):
c1 = C1 · (2 · g · H)1/2 = 0,66 (2 · g · 120)1/2 = 32 [m/s]
Velocidad tangencial:
u1* = U1* · (2 · g · H)1/2 = 0,77 · (2 · g · 120)1/2 = 37,4 [m/s]
Diámetro D1 del rodete:
D1 = (60 · u1*) / (π · N) = (60 · 37,4) / (π · 750) = 0,952 [m]
Rendimiento hidráulico ηh (α1* = 20 [º]):
ηh * = 2 · U1* · C1 · cos α1* = 2 · 0,77 · 0,66 · cos 20 = 0,955 [-]
Ángulo β1 a la entrada del rodete:
tan β1 = (C1 · sen α1*) / (U1* - C1 · cos α1*) =
= (0,66 · sen 20) / (0,77 - 0,66 · cos 20) = 1,507
β1 = 56 [º]
Dimensiones D2 Dt B Dd
D2 / D1 ≈ 0,72 ; D2 = 0,72 · 0,952 = 0,68 [m]
Dt / D1 ≈ 1,05 ; Dt = 1,05 · 0,952 = 1,00 [m]
B / D1 ≈ 0,27 ; B = 0,27 · 0,952 = 0,26 [m]
B / Dd ≈ 0,25 ; Dd = 0,26 / 0,25 = 1,04 [m]
Número z de álabes:
z = 15 ó 16 álabes
Rendimiento óptimo:
η* = 0,948 [-]
Potencia de la turbina:
Pe* = γ · Q* · H · η* = 9,81 · 8 · 120 · 0,948 = 8930 [kW] = 12140 [C.V.]
Parece claro que las características del salto son más propicias para resolverlo
con una turbina Francis que con Pelton.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 427
08-09-SEP-2.
1.-
Al ser circuito cerrado, la curva resistente resulta ser: H = 19110 ⋅ Q2
Con Q = 0,050 [m3/s] se tiene que H = 47,78 [m C.L.]
La potencia hidráulica será:
Ph = γ ⋅ Q ⋅ H = 9,81 ⋅ 870 ⋅ 0,05 ⋅ 47,78 = 20,4 [kW]
Y la potencia mecánica:
Pm = Ph / η = 30,2 [kW]
Y siendo el rendimiento del motor de valor 0,7 [-]:
Pabs = Pm / 0,7 = 43,15 [kW]
A partir de aquí, e = Pabs [kW] / Q [m3/h]
Operando, e = 0,24 [kW-h/m3]
2.Al ser el circuito cerrado, la curva resistente coincide con la curva de
congruencia por lo que el nuevo punto será semejante al anterior.
Por tanto, la relación de velocidades permite a través de las relaciones de
semejanza calcular el nuevo punto de funcionamiento: (N/N’) = 1/0,9
Así:
Q/Q’ = N/N’ = 1/0,9
H/H’ = (N/N’)2 = 1/0,81
Con ello, H’ = 38,70 [m C.L.] y Q’ = 0,045 [m3/s] y al ser puntos semejantes, el
rendimiento es el mismo de valor η = 0,675 [-].
De esta forma,
Ph = 14,86 [kW]
Pm = 22,02 [kW]
Pabs = 31,45 [kW]
e = 0,194 [kW-h/m3]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 428
08-09-SEP-3.
hT = h − hR = h − K ⋅ Q 2
a)
(
We = η ⋅ ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ h − K ⋅ Q 2
(
)
(
))
dWe
d η ⋅ ρ ⋅ g ⋅Q ⋅ h − K ⋅Q2
=0=
= η ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h − K ⋅ Q 2 − η ⋅ ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ (2 ⋅ K ⋅ Q )
dQ
dQ
b)
(
(
)
) (
dWe
= 0 =η ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h − K ⋅Q2 − 2 ⋅ K ⋅Q2 = h − 3⋅ K ⋅Q2
dQ
h = 3 ⋅ K ⋅ Q 2 = 100 [m] Æ K ⋅ Q 2 =
)
h
3
100 
h


We = η ⋅ ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅  h −  = 0,813 ⋅1000 ⋅ 9,81⋅ Q ⋅ 100 −
 = 531702 ⋅ Q
3
3 


Q=
800 ⋅10 3
= 1,5 [m 3 /s]
531702

100
h
m
=
= 14,815 
K=
2
2
3
3⋅Q
3 ⋅1,5
 m s


2

( )
hT = h − hR = h − K ⋅ Q 2 = 100 − 14,815 ⋅1,5 2 = 66,66 [m]
NS =
N ⋅ We
H
5
=
1500 ⋅ 800
66,66
4
(
5
= 222,74 [*]
4
)
We = η ⋅ ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ h − K ⋅ Q 2 = 799515 ⋅ Q − 118448,15 ⋅ Q 3
c)
900000
800000
700000
W
600000
500000
400000
300000
200000
100000
0
0
0,5
1
1,5
2
3
Q (m /s)
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
2,5
Ejercicios resueltos - 429
d)
La velocidad a la entrada de la turbina:
c1 = 36,15 [m/s] = cm1
Triángulo 1
Triángulo 2
Q = 2 ⋅ π ⋅ R ⋅ b ⋅ k ⋅ cm1 = 1,5 = 2 ⋅ π ⋅ R ⋅ 0,05 ⋅ 0,96 ⋅ 36,15
Æ R = 0,1375 [m] Æ D = 0,275 [m]
u1 =
2 ⋅ π ⋅ N D1 2 ⋅ π ⋅1500 0,275
⋅
=
⋅
= 21,60 [m/s]
60
2
60
2
tan β1 =
c1 36,16
=
Æ β1 = 59,15 [º ]
21,6
u1
D2 = 1,2 ⋅ D1 = 1,2 ⋅ 0,275 = 0,33 [m]
Q = 2 ⋅ π ⋅ R2 ⋅ b ⋅ k ⋅ cm 2 = 1,5 = 2 ⋅ π ⋅
u2 =
0,33
⋅ 0,05 ⋅ 0,96 ⋅ cm 2 Æ cm 2 = 30,14 [m/s]
2
2 ⋅ π ⋅ N D2 2 ⋅ π ⋅1500 0,33
⋅
=
⋅
= 25,92 [m/s]
60
2
60
2
tan β 2 =
c2 30,14
=
Æ β 2 = 49,31 [º ]
u 2 25,92
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 430
09-10-FEB-1.
1. Realizando una lectura de la gráfica para agua y pulpa se obtiene la siguiente tabla.
La columna de Peje se obtiene como
Pe = (γ ⋅ Q ⋅ Hm / η) ⋅ (factores de conversión unidades para obtener [kW]) =
= (γ ⋅ Q ⋅ Hm / η) ⋅ (0,001 ⋅ 0,001 / 0,01)
Q [L/s]
Hm [m C.L.]
η [%]
Peje [kW]
Agua
12
33
28
13,86
Agua
80
26,5
80
25,97
Q [L/s]
Hm [m C.L.]
η [%]
Peje [kW]
Pulpa
12
32,5
28
14,21
Pulpa
80
22
63
28,50
Dos puntos (Peje, Q) permiten el ajuste de una recta que resulta ser, para el agua:
Peje = 11,7 + 0,1781 ⋅ Q
[kW], con Q en [L/s]
Y para la pulpa
Peje = 11,7 + 0,2101 ⋅ Q
[kW], con Q en [L/s]
Al tener la bomba a válvula cerrada (Q = 0) el mismo valor para ambos fluidos,
el ratio de pendientes permite predecir la Peje de la pulpa a partir de la Peje con agua
(o viceversa):
Peje con pulpa [kW] = 11,7 + (0,2101/0,1781) Peje con agua [kW]
Como es lógico, trasegar un caudal de pulpa, más viscoso y con mayor densidad,
requiere más Peje que el mismo caudal de agua.
2. La curva de potencia presenta un mínimo a caudal 0 creciendo a partir de ahí, por lo
que se trata de una bomba centrífuga.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 431
09-10-FEB-2.
1.
Nq =
600 ⋅ 6
= 172,21[*]
17,44 3/4
Se corresponde con valores típicos de turbinas tipo Kaplan.
2.
PH = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 17,44 ⋅ 6 = 1,02 ⋅10 6 [W]
3.
Pm = 1,02 ⋅ 10 6 ⋅ 0,8 = 816 ⋅ 10 3 [W]
4.
  Re  0, 2 
∆η = η p − η m = (1 − η m ) ⋅ 0,7 ⋅ 1 −  m  
  Re p  


Re =
con
D⋅ 2⋅ g ⋅ H
0, 2
 
 
H
D
m
m
  = (1 − η ) ⋅ 0,7 ⋅ 1 − 0,5 ⋅ 0,25
0,8 − η m = (1 − η m ) ⋅ 0,7 ⋅ 1 − 
⋅
m

 
  Dp
H
p
 
 
0,8 − 0,17 = η m ⋅ (1 − 0,17 )
(
ηM = 0,76 [-]
5.
u=
2 ⋅ π ⋅ N D π ⋅ 600 ⋅1
⋅ =
= 10π = 31,42 [m/s]
60
2
60
tan 45 =
7
Æ cu 2 = 24,41 [m/s]
31,42 − cu 2
tan α 2 =
7
Æ α 2 = 16 [º]
24,41
α1 = 3 ⋅ α 2 = 48 [º]
tan 48 =
7
c u1
cu1 = 6,30 [m/s]
tan β1 =
7
Æ β1 = 15,57 [º]
31,42 − 6,3
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
ν
)
0, 2
 = 0,17 ⋅ (1 − η )
m

Ejercicios resueltos - 432
09-10-FEB-3.
1. Se tiene que en el tramo a, Qa = 0,528 [m3/s]. Éste es el caudal de las dos primeras
bombas y del tramo b:
Qa = Qb = QB1 = QB2 = 0,528 [m3/s].
Conocido el caudal que atraviesa una bomba, la curva característica nos indica la
altura proporcionada por la misma. En nuestro caso:
HB1 = HB2 = 70 – 120 ⋅ 0,5282 = 36,55 [m C.A.].
Aplicando la ecuación de conservación de la energía (Bernoulli) entre la
superficie libre del depósito de aspiración y el depósito situado a 30 [m], se tiene que:
z1 +
p1
γ
+
p 2 v22
v12
+ hB1 + hB 2 = z 2 +
+
+ hR12
2⋅ g
γ 2⋅ g
Despreciando los términos cinéticos por tratarse de depósitos de grandes
dimensiones y tomando como referencia altimétrica la cota de la superficie libre del
depósito de aspiración, se tiene que:
− 0,03 ⋅10 6
+ 36,55 + 36,55 = 30 + (12 + 80) ⋅ 0,528 2 + 250 ⋅ Qd2
9810
Despejando el caudal del tramo d: Qd = 0,240 [m3/s].
Y como la masa del sistema se conserva: Qc = Qb – Qd = 0,288 [m3/s].
Conocido el caudal que circula por la tercera bomba y mediante la curva
característica de la misma, se tiene que:
HB3 = 70 – 120 ⋅ 0,2882 = 60,04 [m C.A.].
Finalmente, aplicando la ecuación de conservación de la energía (Bernoulli)
entre la superficie libre del depósito de aspiración y el depósito situado a 100 [m], y con
las mismas hipótesis que anteriormente:
p3
v32
v12
z1 + +
+ hB1 + hB 2 + hB3 = z 3 +
+
+ hR13
γ 2⋅ g
γ 2⋅ g
p1
− 0,03 ⋅10 6
+ 36,55 + 36,55 + 60,04 = 100 + (12 + 80) ⋅ 0,528 2 + K c ⋅ 0,288 2
9810
Despejando la constate de pérdidas del tramo c: Kc = 53,29 [m C.A./ (m3/s)2].
2. Conocidos los caudales que circulan por cada una de las bombas se calculan los
rendimientos de cada una de ellas mediante la correspondiente curva característica:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 433
η1 = η2 = 4 · 0,528– 5,5 · 0,5282 = 0,5787 [-]
η3 = 4 · 0,288– 5,5 · 0,2882 = 0,6958 [-]
Una vez conocidos los rendimientos de las bombas se calculan las potencias
eléctricas consumidas teniendo en cuenta que el rendimiento de los motores se puede
considerar constante de valor 0,8 [-]:
Pe1 = ρ ⋅ g ⋅ Q1 ⋅ H1 / (η1⋅ ηmot) = 408,9 [kW]
Pe2 = Pe1 = 189,3 [kW]
Pe3 = ρ ⋅ g ⋅ Q3 ⋅ H3 / (η3⋅ ηmot) = 304,9 [kW]
e = PeT / Q1 = (Pe1+ Pe2 + Pe3) / Q1 = 0,5906 [kW-h/m3]
3. La primera bomba es la que presenta mayor riesgo de cavitación. En el
acoplamiento en serie la segunda bomba no corre ningún riesgo.
Cabría plantearse posible riesgo de cavitación en la tercera bomba si las pérdidas
de carga del tramo b fueran suficientemente elevadas como para hacer disminuir la
presión de forma significativa en el punto en el que se bifurca el conducto. Sin embargo,
aplicando la ecuación de la energía entre el depósito de aspiración y la citada unión se
tiene que la energía en dicho punto es aproximadamente 42,4 [m C.A.], muy superior al
límite fijado por la presión de vapor del agua a temperatura ambiente, por lo que
tampoco se contempla cavitación en la tercera bomba.
Para la primera bomba, por tanto, se deben comparar el NPSHR por la bomba
facilitado por el fabricante y el NPSHd de la instalación:
NPSHR = 2 – 3 ⋅ 0,528 + 16 ⋅ 0,5282 = 4,877 [m C.A.]
Añadiendo el margen de seguridad de 0,5 [m C.A.] sugerido por el fabricante:
NPSHR = 5,377 [m C.A.]
Por otra parte, en la instalación se tiene que: NPSHd = Hb – Hv – Ha – hRa
En nuestro caso:
NPSHd = (10,33 – 0,03 ⋅ 106/9810) – 0,24 – 2 – 12 ⋅ 0,5282
NPSHd = 1,687 [m C.A.]
Se cumple que NPSHd < NPSHR, por lo que el riesgo de cavitación es más que
evidente. La bomba en estas condiciones se encontrará cavitando casi con total
seguridad, por lo que se proponen estas soluciones:
a. Nueva cota de implantación.
En este caso:
NPSHd = (10,33 – 0,03 ⋅ 106/9810) – 0,24 – Ha – 12 ⋅ 0,5282 = 3,687 – Ha
NPSHR = 5,377 [m C.A.]
Se debe cumplir que NPSHd > NPSHR. En el límite, NPSHd = NPSHR, por lo que
despejando la nueva cota de implantación se tiene que: Ha = – 1,69 [m]. Es decir, de
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 434
acuerdo con las indicaciones del fabricante, habría que implantar la bomba al menos
1,69 [m] por debajo de la superficie libre del depósito de aspiración (cuanto más abajo
menor riesgo) para evitar problemas de cavitación en la misma.
b. Nueva presión del depósito de aspiración.
En este caso:
NPSHd = (10,33 + p/9810) – 0,24 – 2 – 12 ⋅ 0,5282 = 4,745 + p/9810
NPSHR = 5,377 [m C.A.]
Se debe cumplir que NPSHd > NPSHR. En el límite, NPSHd = NPSHR, por lo que
despejando la nueva presión del depósito de aspiración, se tiene que: p = 6203,9 [Pa].
Es decir, de acuerdo con las indicaciones del fabricante, habría que presurizar el
depósito de aspiración con una sobrepresión de al menos 6203,9 [Pa] (mayor presión del
depósito de aspiración implica menor riesgo) para evitar problemas de cavitación en la
misma.
c. Nueva velocidad de rotación.
En este caso aplicamos las relaciones de semejanza teniendo en cuenta que la
única variable es la velocidad de giro: NPSH / NPSH´ = (N / N´)2 y Q / Q´ = N / N´
Sustituyendo estas relaciones en la ecuación facilitada por el fabricante para
N = 1500 [r.p.m.] se obtiene una expresión del NPSHR´ para cualquier velocidad de
giro N´:
NPSHR´ = 2 (N´/1500)2 – 3 · (N´/1500) Q´ + 16 · Q´ 2
[m C.A.]
Asumiendo que se desea obtener el mismo caudal (0,528 [m3/s]):
NPSHR´ = 2 (N´/1500)2 – 3 · (N´/1500) 0,528 + 16 · 0,5282
[m C.A.]
Suponiendo que la instalación no ha variado, NPSHd´ = 1,687 [m C.A.], y
teniendo en cuenta el coeficiente de seguridad de 0,5 [m C.A.] sugerido por el
fabricante,
1,687 – 0,5 = 2 (N´/1500)2 – 3 · (N´/1500) 0,528 + 16 · 0,5282
Se observa que no hay solución real posible para N´. Es decir, la bomba, tal cual
está dispuesta la instalación, no es capaz de proporcionar el caudal objetivo sin que
entre en cavitación simplemente variando la velocidad de giro.
4. En primer lugar se calcula el rendimiento óptimo de la bomba. Para ello:
dη / dQ = 0 → 4 – 11 ⋅ QΛ = 0 → QΛ = 0,3636 [m3/s]
Sustituyendo en las curvas características:
ηMAX = 0,7273 [-]
y
HΛ = 54,13 [m C.A.]
Finalmente, se calcula la velocidad específica en el punto óptimo de
nQΛ = N ⋅ QΛ0,5 ⋅ HΛ– 0 ,75 = 45,33 [*]
funcionamiento:
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 435
09-10-JUN-1.
Velocidad específica: ns = (N · Pe*1/2)/(H*5/4) = (600 · 78001/2)/(402,55/4) = 92,9 [*]
Velocidad absoluta con Kc1 = 0,66 [-]:
c1 = Kc1 · (2 · g ⋅ H)1/2 = 0,66 (2 · g · 402,5)1/2 = 59 [m/s]
Velocidad tangencial con Ku1 = 0,72 [-]:
u1 = Ku1* (2 · g · H)1/2 = 0,72 · (2 · g · 402,5)1/2 = 64 [m/s]
Diámetro D1 del rodete:
D1 = 60 · u1* / (π · 600) = 2,04 [m]
Rendimiento hidráulico con α1* = 13 [º]:
ηh* = 2 · Ku1* · Kc1 · cos α1 = 0,926 [-]
Ángulo β1 a la entrada del rodete:
tan β1 = Kc1 · sen α1 * / (Ku1* – Kc1 · cos α1) = 1,930
⇒
Dimensiones D2, Dd y B:
D2 / D1 ≈ 0,44
⇒ D2 = 0,90 [m]
B / D1 ≈ 0,11
⇒ B = 0,22 [m]
B / Dd ≈ 0,15
⇒ Dd = 1,47 [m]
Número de álabes:
Caudal Q* de diseño:
⇒
z = 17 álabes
Pe* = γ · Q* · H · η*
Q* = 15,8 [m3/s]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
β1 = 63 [º]
Ejercicios resueltos - 436
09-10-JUN-2.
Para el punto de funcionamiento:
hm = 50 + 1,4 · 10–5 · Q2 = hB = 75 – 3,5 · 10–4 · Q2
25 = 3,64 · 10–4 · Q2
Q = 262,07 [m3/h] = 0,0728 [m3/s]
hm = 50,95 [m C.A.]
NPSHR = 0,5 + 4,1 10–5 · Q2
NPSHd = 10,33 – 0,21 – 2 – 5 ⋅ 10–6 ⋅ Q2 = 8,12 – 5 ⋅ 10–6 ⋅ Q2
Sustituyendo el caudal Q = 262,07 [m3/h] = 0,0728 [m3/s]
NPSHR = 3,32 [m C.A.]
NPSHd = 7,78 [m C.A.]
7,78 > 3,32 · 1,3 = 4,316
H N
= 
H'  N'
2
⇒
NO CAVITA
Q N
= 
Q'  N ' 
2
N
N
H’   = 75 – 3,5 · 10–4 Q’2  
 N'
 N'
2
2
 N'
H’ = 75   – 3,5 · 10–4 Q’2
N
H’ = 75 (1600/1500)2 – 3,5 · 10–4 Q’2 = 85,33 – 3,5·10–4 Q’2
2
N
N
NPSH’R   = 0,5 + 4,1 ⋅ 10–5 ⋅ Q’2  
 N'
 N'
2
2
 N'
NPSH’R = 0,5   + 4,1 ⋅ 10–5 ⋅ Q’2= 0,57 + 4,1 ⋅ 10–5 ⋅ Q’2
N
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 437
hm = 50 + 1,4 · 10–5 ⋅ Q2+ 2,5 · 10–6 ⋅ Q2 = 50 + 1,65 · 10–5 ⋅ Q2
NPSHd = 10,33 – 0,21 – 5 – 7,5 ⋅ 10–6 ⋅ Q2 = 5,12 – 7,5 ·10–6 ⋅ Q2
En principio,
85,33 – 3,5 ⋅ 10–4 ⋅ Q’2 = 50 + 1,65 · 10–5 ⋅ Q2
Q = 310,5 [m3/h] = 0,0862 [m3/s]
hm = 51,59 [m C.A.]
NPSH’R = 0,57 + 4,1 ⋅ 10–5 ⋅ Q’2 = 4,53 [m C.A.]
NPSHd = 5,12 – 7,5 ⋅ 10–6 ⋅ Q2 = 4,40 [m C.A.]
4,40 < 4,53
⇒
CAVITA
Nuevo punto de funcionamiento, el límite antes de que se produzca cavitación:
NPSHd = 5,12 – 7,5 ⋅ 10–6 ⋅ Q2 = NPSH’r = 0,57 + 4,1 ⋅ 10–5 ⋅ Q2
Q = 306,33 [m3/h] = 0,0851 [m3/s]
hm = 52,49 [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 438
09-10-JUN-3.
a) Triángulo de velocidades a la entrada del rodete:
α1 ≈ 0 [º];
β1 ≈ 0 [º]
c1 = 110 [m/s]
u1 = 0,48 ⋅ c1 = 52,8 [m/s]
w1 = c1 – u1 = 57,2 [m/s]
Triángulo de velocidades a la salida del rodete:
β2 = 180 – 165 = 15 [º]
u2 = u1 = 52,8 [m/s]
w2 = 0,90 ⋅ w1 = 51,48 [m/s]
sin β 2 =
cm2
w2
⇒
cm2 = 13,32 [m/s];
cos β 2 =
u 2 − cu 2
w2
⇒
cu2 = 3,07 [m/s]
2
2
c 2 = c u2
+ cm2
= 13,67 [m/s] ⇒
tan α 2 =
cm 2
cu 2
⇒
c2 = 13,67 [m/s]
α2 = 77,01 [º]
b) Diámetro medio del rodete
3000
p.p.
⇒
N = 1000 [r.p.m.]
2π
60
⇒
ω = 104,72 [rad/s]
u=ω⋅R
⇒
R = 0,5042 [m]
N=
ω=N
⇒
D = 2⋅R = 1,01 [m]
c) Potencia desarrollada por la turbina y par motor
EE = u1 ⋅ c1 ⋅ cos α1 − u2 ⋅ c2 ⋅ cos α 2
π⋅d 2
4
⇒
EE = 5645,69 [J/kg]
⇒
Q = 0,6242 [m3/s]
PE = ρ ⋅ Q ⋅ E E
⇒
PE = 3,524 [MW]
PE
⇒
TE = 33651,81 [N/m]
Q = c1
TE =
ω
d) Altura neta y rendimiento manométrico
Hn =
c12
110 2
+ hRiny =
+ 0,03 ⋅ H n ⇒
2g
2 ⋅ 9,81
Hn = 635,79 [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 439
η man =
HE
Hn
⇒
ηman = 90,52 [%]
e) Comprobación Pelton
nq = N
Q1 / 2
⇒
H 3/ 4
nq = 6,24 [*] ⇒
PELTON
Dimensionamiento cucharas, Ábacos página 111, Vivier:
L = 2,5⋅ d = 212,5 [mm]
B = 2,8 ⋅ d = 238,0 [mm]
e = 1,2 ⋅ d = 102,0 [mm]
T = 0,9 ⋅ d = 76,5 [mm]
f) Altura neta y el caudal de ensayo con el modelo
QP
Q
= 3 M
D ⋅ N P DM ⋅ N M
⇒
QM = 0,2341 [m3/s]
HP
H
= 2 M 2
2
D ⋅ N P DM ⋅ N M
⇒
HM = 1430,53 [m C.A.]
⇒
nqM = 6,24 [*]
3
P
2
P
nqM = N M
1/ 2
QM
H M3/4
Evidentemente, nqM = nqP, ya que modelo y prototipo son máquinas semejantes
g) Rendimiento en el modelo
Re M =
Re P =
BM ⋅ 2 ⋅ E M
νM
BP ⋅ 2 ⋅ E P
νP
=
=
(0,238 / 2) ⋅ 2 ⋅1430,53 ⋅ 9,81
= 19,94 ⋅10 −6 [-]
−6
1 ⋅10
0,238 ⋅ 2 ⋅ 635,79 ⋅ 9,81
= 26,58 ⋅10 −6 [-]
−6
1 ⋅10
  Re
∆η = (1 − η M ) ⋅ 0,6 ⋅ 1 −  M
  Re P



0, 2



⇒
  19,94 ⋅10 −6  0, 2 
 
0,9052 − η M = (1 − η M ) ⋅ 0,6 ⋅ 1 − 
−6 
  26,58 ⋅10  
⇒
ηM = 90,19 [%]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 440
09-10-SEP-1.
a. Tipo de acoplamiento a utilizar:
Si Q = 0 [m3/s]
→
H = 40 [m]
Si H = 0 [m] →
Q = 0,613 [m3/s]
Los requerimientos del sistema son los siguientes:
Altura que debe proporcionar la bomba : 

p
u2
p1 u12
+
+ z1 + H r = 2 + 2 + z 2 + ∆H 12   H r = z 2 − z1 + ∆H 12
γ 2g
γ 2g
⇒ 
2
3
  H r = 30 + 60 ⋅ Q = Q = 1 [m s] = 90 [m]
p1 = p2 = patm

u1 = u 2 = 0 (depósitos)

{
}
CURVAS CARACTERÍSTICAS
90
80
70
1 BOMBA
H(m)
60
2 BOMBAS EN PARALELO
50
2 BOMBAS EN SERIE
40
2 CONJUNTOS DE 2 BOMBAS EN
PARALELO COLOCADOS EN SERIE
30
20
10
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Q(m 3/s)
Esta altura no se facilitará con dos bombas en paralelo, aunque sí existe la posibilidad de
trasegar el Q requerido. Será por tanto necesario un acoplamiento mixto, cuya ecuación
característica es la siguiente:
4
100 

H B = m ⋅ 40 − Q − 2 Q 2 
n
n


Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 441
b. Número mínimo de bombas:
Únicamente con bombas en paralelo no se alcanzará nunca la altura requerida, por lo que
el número mínimo de bombas en serie a colocar será el siguiente:
En base a la altura requerida (H r = 90 = H B ) :
4
100 
200 

8
Si m = 2 ⇒ H B = 2 × 40 − Q − 2 Q 2  ⇒ H B (∀n > 2) = 2 × 40 −  Q + 2 Q 2  < 90 [m]
n
n
n


n

⇒ m ha de ser mayor que 2
4
100 
200 

8
m = 3 ⇒ H B = 3 × 40 − Q − 2 Q 2  ⇒ H B (∀n > 2) = 3 × 40 −  Q + 2 Q 2  > 90 [m]
n
n
n


n

⇒ m podrí a ser 3
El nº mínimo de bombas en paralelo :
4 100 

m = 3 ⇒ H B = 3 × 40 − − 2  = 90 ⇒ n = 3,15 → n = 4
n n 

12 bombas colocadas en serie y en paralelo.
En base al caudal bombeado (Q = 1[m 3 s]) :
Con una bomba QMAX = 0,613[m 3 s] ⇒ será necesario un mínimo de 2 bombas en paralelo.
4 100 

Si n = 2 ⇒ H B = m × 40 − − 2  = m ×13 ⇒ m = 6,92 ⇒ m = 7
2 2 

Sistema de 14 bombas colocadas en serie y en paralelo.
Los acoplamientos válidos son por tanto:
a. 3 bombas en serie → 4 en paralelo → 12 bombas en total.
(se puede comprobar que 4 en serie y 3 en paralelo también cumple)
b. 2 bombas en paralelo → 7 en serie → 14 bombas en total.
c. Si el suministro sólo se puede efectuar con 2 bombas acopladas en paralelo, cuál debe ser
la nueva velocidad de rotación de las mismas si la actual es de 500 [r.p.m.].
4
100
H B = 40 − Q − 2 Q 2 = 40 − 2Q − 25Q 2
n
n
Para obtener el mismo punto de funcionamiento ( H = 90 [m] y Q = 1 [m 3 s]) a una velocidad
N′distinta de N = 500 [r.p.m.] :
2
2
N′
N′
 N′ 
 N′ 
− 25 ⇒ N ′ = 860,38 [r.p.m.]
− 25Q 2 ⇒ 90 = 40
H B = 40  − 2Q
 −2
500
N
 500 
N
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 442
09-10-SEP-2.
1. A la salida del rodete (entrada tubo de aspiración), el diámetro es de 2,589 [m], lo
cual se corresponde con una sección: S2 = 0,25 ⋅ π ⋅ D22 = 5,26 [m2]
Y la sección del núcleo central es:
S1 = 0,25 ⋅ π ⋅ D12 = 1,02 [m2]
Por ello, la sección efectiva de paso es:
Sefect = 5,26 – 1,02 = 4,24 [m2]
El caudal en el punto óptimo (ηMAX = 93,53 [%]) es (aproximadamente, leído de la
gráfica) de valor Q = 43,82 [m3/s].
Por tanto la componente meridiana de la velocidad absoluta del agua:
cm2 = Q / S2 =10,33 [m/s]
Si la Ec de la componente tangencial es 0,05 [m C.A.], se puede deducir cu2 como:
cu22 / 2g = 0,05 [m C.A.] ⇒ cu2 = 0,989 [m/s]
Finalmente, de acuerdo con el triángulo de velocidades:
cm2 / cu2 = tan α2 ⇒
α2 = 84,53 [º]
2. Al ser rectangular, la sección de salida del tubo de aspiración es:
S3 = 2,85 ⋅ 7,3 = 20,81 [m2]
La velocidad media c3 a la salida del tubo de aspiración es:
c3 = Q / S3 = 43,82 / 20,81 = 2,106 [m/s]
La energía cinética asociada es la que se disipará como pérdidas de ensanchamiento
brusco de Borda-Carnott:
c32 / 2g = 0,226 [m C.A.]
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 443
09-10-SEP-3.
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas
Ejercicios resueltos - 444
Máquinas Hidráulicas. Colección de Problemas