UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, Decana de América) FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS ESCUELA PROFESIONAL DE FÍSICA PRACTICA DIRIGIDA N°01 Curso: Algebra lineal Tema: Matrices Semestre: 2020-I a b c 1) Pruebe que las matrices A y B b a d d son conmutativas para todos los c valores reales de a, b, c, d . 2 1 a 2) Dada la matriz A 2 4 b 2 3 4 3 4 , determinar los valores de a, b, c tales que A 3 c sea una matriz antisimétrica. 1 3) Si A a 2 x a x y 3 2y 1 y 2a es una matriz simétrica, calcule A². 2 5 2 3 4) Si A 1 3 1 , compruebe que: A3 7 A2 13 A I 0 . 2 2 1 5) Si A es una matriz simétrica, demuestre que A² es simétrica, y si B es una matriz antisimétrica; demuestre que B² es también simétrica. 6) Indicar qué matrices son idempotentes o involutivas: 2 2 4 A 1 3 4 1 2 3 1 2 4 B 1 2 4 1 2 4 7) Si A es una matriz involutiva, pruebe que 4 3 3 C 1 0 1 4 4 3 2 3 5 D 1 4 5 1 3 4 1 I A I A 0 . 4 1 0 8) Sea A , demuestre que A2 2 A I y calcule: A100 , An . 1 1 9) Determinar: An , A100 1 1 A 0 1 n , an a 1 0 a 0 na n 1 an , 0 1 0 A 1 1 0 0 0 1 2 1 2 1 10) Determinar si A 2 2 1 es una matriz ortogonal. 3 1 2 2 11) Si A y B son matrices cuadradas y I A AB ; pruebe que A es no singular, y que A1 I B . 12) Sea A una matriz de orden 3, tales que A I D , D es una matriz de orden 3 donde los elementos de su diagonal principal son ceros y los demás unos. Hallar y de tal manera que A2 I . 13) Sea A nn ; B aA bI ; a, b . Pruebe que AB BA . 14) Si A es una matriz involutiva A 2 I . Pruebe que 1 1 I A y I A son 2 2 idempotentes B 2 B . 15) Si A y B son matrices cuadradas simétricas, de orden n, demostrar usando propiedades que AB es simétrica sí y sólo si AB =BA. 16) Hallar la inversa de las siguientes matrices: 1 1 1 1 2 1 a) A 1 1 2 1 3 3 nn 17) Sea A, B 1 2 ; 1 2 nn ; D a) Si AD DA e) An At ; t n 0 1 c) C 2 2 diagonal, pruebe que: AD n D n A; n b) Si AB B; c) AB BA 1 2 3 4 1 1 2 2 ; b) B 1 3 5 6 1 4 5 9 An B n B; n A kI y B kI sonconmutativas ; k n 0 1 0 1 18) Dada A 1 0 0 , halle 2 0 0 1 n A , n par. i i 0 1 n 1 1 1 19) Sabiendo que A 0 1 1 , demostrar que An 0 1 0 0 0 0 1 n n 1 2 n 1 cos x sen x cos nx sen nx 20) Si B ; demostrar que Bn . sen x cos x sen nx cos nx 21) Sean A, B nn , A posee inversa, pruebe que: A B A1 A B A B A1 A B 0 1 22) Sea B A A2 A3 A4 . . . A200 . Halle la traza de B donde A . 1 0 FCF; Junio 2020 WMQ. 1 2 2 1 2 3 2 2 3 3 3 3