UNIDAD 7 Medidas de dispersión UNIDAD 7 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Al calcular un promedio, por ejemplo la media aritmética no sabemos su representatividad para ese conjunto de datos. La información suministrada por ella es limitada y nada nos dice sobre la forma como están diseminados los datos con relación a la tendencia central. Si existe concentración de datos alrededor del promedio, nos indica una buena aplicación en su uso, por el contrario una gran dispersión está indicando poca representatividad, por lo tanto no será confiable. Las medidas de dispersión son las indicadas cuando queremos evaluar dos o más promedios. Las medidas de dispersión más conocidas y utilizadas son la varianza, la desviación típica o estándar. 7.1 VARIANZA ( ó ) La varianza se define como la media aritmética de los cuadrados de las diferencias entre los valores que toman la variable y su media aritmética. Se simboliza en la muestra y en la población. Datos sin agrupar: al trabajar con datos sin agrupar utilizamos: = = ∑ − ̅ ∑ − y ó EJEMPLO 1. Con los siguientes datos 5, 3, 1, 6, 10 calcule la varianza ̅= ∑ ̅= 5 + 3 + 1 + 6 + 10 =5 5 = = ∑ 5 − 5 − ̅ + 5 − 3 + 5 − 1 5 + 5 − 6 + 5 − 10 = 9,2 Datos agrupados: al trabajar con datos agrupados utilizamos: = ∑ − ̅ ∑ − = y ó EJEMPLO 2. Calcular la varianza distribuciones: para − ̅ las − ̅ siguientes − ̅ ( xi ni ni xi 5 2 10 -9,75 -19,50 190,1250 10 4 40 -4,75 -19,00 90,2500 15 8 120 0,25 2,00 0,5000 20 5 100 5,25 26,25 137,8125 25 1 25 10,25 10,25 105,0625 Σ 20 295 0,00 523,7500 ̅= ∑ = ∑ = - 295 = 14,75 20 − ̅ 523,75 = = 26,1875 20 7.2 DESVIACIÓN TÍPICA ( ó ) EJEMPLO 5. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, considerada siempre positiva. Para la media y la varianza de un conjunto se han hallado, respectivamente los valores 4 y 25 ¿qué opinión merece la media aritmética? = - y = - ó La desviación típica, es la medida de dispersión más utilizada y de mayor utilidad, dado que las unidades son expresadas en la misma de la variable; mientras que, la varianza se expresan en las mismas unidades pero al cuadrado. EJEMPLO 3. Si la varianza es = 26,1875, la desviación típica es: 01 = 5 × 100 = × 100 = 125% ̅ 4 Esta media aritmética no lo es suficientemente representativa de la distribución, debido a variabilidad tan alta. 7.4 PUNTAJE TÍPICO O ESTANDARIZADO (5, 6) Es el estadígrafo de dispersión muy utilizado en la distribución normal y en el análisis de coeficiente de correlación, mide la desviación de una observación con respecto a la media aritmética en unidades de desviación típica, determinando la posición de una observación dada, dentro de un conjunto de observaciones. = - = -26,1875 = 5,12 7= − ̅ = − ̅ 7.3 COEFICIENTE DE VARIACIÓN (./) Se utiliza para comparar la variabilidad entre dos series de datos. Es frecuente encontrar que dos series de datos no tienen las mismas unidades, por lo tanto no podrán compararse con sus varianzas, entonces el coeficiente de variación es un buen aplicativo 01 = 01 = 2 ̅ ̅ × 100 EJEMPLO 4. ̅ × 100 = Medidas de dispersión En un examen final de estadística la puntuación media de un grupo de 150 estudiantes fue de 78 y la varianza 64. En contabilidad general, sin embargo, la media final del grupo fue de 73 y la desviación 7,6. En que asignatura hubo mayor b. Dispersión relativa ̅ = 14,75 EJEMPLO 6. a. Dispersión absoluta = 5,12 01 = El puntaje típico sirve para comparar dos o más datos individuales, aunque pertenezcan a distribuciones diferentes, aún en casos en que la media y/o la varianza no coincidan. Se utiliza a Z cuando la muestra es mayor de 30 y t cuando es menor 5,12 × 100 = 34,71% 14,75 c. Si un estudiante consiguió 75 en estadística y 71 en contabilidad general ¿en qué asignatura fue su puntuación relativa superior? 49 50 En los problemas prácticos las distribuciones dejan de ser simétricas para convertirse en asimétricas positivas o negativas y las tres medidas media, median y moda no tienen igual valor. Así: Solución a. Dispersión absoluta = √ ( = 64 57,76 ( 8 7,6 ̅ D AB D AC Eó é 2 En estadística hubo una mayor dispersión absoluta ̅ G AB G AC Hó é I2 7.6 MEDIDAS DE APUNTAMIENTO (AP) b. Dispersión relativa CV 01( 8 0,1025 78 01( 10,25% ; <= 01 7,6 0,1041 73 01 10,41% En contabilidad general hubo una mayor dispersión relativa c. Puntuación relativa 7 7( 7 75 78 0,37 71 73 7,6 0,26 8 >?>̅ Kurtosis o estadígrafo de apuntamiento, mide el grado de agudeza en la cima de la curva que la representa. Esta agudeza que se observa en la región del modo, comparada con las condiciones halladas para el mismo sitio en la curva normal, es lo que se llama curtosis. Si la curva es plana con relación a la normal, se denomina platicurtica; si es más aguda se llama leptocurtica; si es igual a la normal se denomina mesocurtica. @ Leptocúrtica Mesocúrtica Platicúrtica En contabilidad general hubo una mayor puntuación relativa del estudiante 7.5 MEDIDAS DE DEFORMACIÓN ASIMETRÍA O DE AB ̅ AC Una distribución simétrica no tiene riesgo; si ̅ AB AC consideramos que la distribución es normal y tiene la forma de una campana, denominada de Gauss o normal, ya que el promedio se ubica en el centro de ella Carlos Merlano Blanco Estadística Descriptiva 7.7 TALLER DE COMPETENCIAS 7 15 25 40 16 38 1. Dados los números: 19, 25, 18, 24, 21, y 15 encuentre la varianza, la desviación típica, coeficiente de variación relativo 2. Un examen presentado por 40 estudiantes se calificó de 1 a 50 los resultados fueron: 31 27 12 35 41 13 30 41 29 32 34 37 30 34 36 32 36 27 9 38 31 38 11 46 44 29 36 29 12 14 7 29 13 27 39 la 18 16 9 9 28 28 17 16 32 16 35 20 10 10 29 16 39 38 26 19 40 b. En un mismo plano, dibuje el histograma y el polígono de frecuencia. Haga una interpretación del mismo c. En un mismo plano dibuje las ojivas. tabla de d. Determine la mediana, la moda y la mediana frecuencias c. Calcule la media, la mediana y la moda e. El cuartil 3, el decil 3, el percentil 70 d. la varianza, la desviación coeficiente de variación relativo típica, f. Realizar el análisis estadísticos de acuerdo con la información del cuadro y las calculadas Los salarios semanales (en miles de pesos) pagados a los empleados de la compañía “La Tacaña ltda” son como se muestra en la siguiente tabla: g. Calcule la varianza, la desviación típica, coeficiente de variación relativo 3. 152 45 125 45 124 78 125 127 63 58 148 85 135 146 122 123 135 35 123 123 65 129 65 65 45 120 52 89 56 118 75 135 104 69 64 87 87 96 85 62 87 96 65 78 65 78 87 96 178 89 107 87 98 66 45 25 48 48 63 48 97 85 125 84 73 105 125 120 125 152 125 129 56 105 139 135 125 120 45 65 130 100 129 135 127 106 17 127 77 89 150 120 56 126 126 106 126 65 46 63 Construya una tabla de frecuencias acumuladas, empleando las técnicas estadísticas aprendidas para ello y encuentre las medidas de tendencia central y las medidas de desviación 4. 24 25 19 19 a. Construir un cuadro de frecuencias agrupadas, utilizando las reglas dadas anteriormente. a. Ordene los datos. b. Construya agrupadas 32 32 26 38 24 El administrador de la tienda de ropa para niño “El Agáchate” registró el número de prendas vendidas en un día durante el último mes. Los resultados son: Medidas de dispersión 5. En el departamento médico del colegio “El descalabrado” se mantiene un registro de las estaturas, en centímetro, de los estudiantes de los grados noveno y décimo. A continuación, se muestran estos datos. 174 144 170 161 171 162 186 135 Noveno 159 197 130 182 153 183 200 168 147 170 157 144 133 169 138 153 153 176 178 142 191 180 170 200 Décimo 144 175 180 200 156 199 137 197 136 134 142 149 150 152 162 200 160 139 158 144 144 150 a. construir un cuadro de frecuencias agrupadas para cada uno de los grados, usándolos intervalos: 130 a 139, 140 a 149, etc. b. Construir los histogramas de frecuencias para cada uno de los grados 51 52 c. En el mismo plano y usando colores diferentes para cada grado, construir los polígonos de frecuencias correspondientes. d. En el mismo plano y usando colores diferentes para cada grado, construir las ojivas correspondientes. e. De acuerdo con los polígonos, establecer las semejanzas y diferencias entre los estudiantes de grado décimo y noveno. f. Calcule para cada grupo la varianza, la desviación típica, coeficiente de variación relativo Intervalo 27,5 – 32,5 32,5 – 37,5 37,5 – 47,5 47,5 – 62,5 8. 6. 5 5 4 4 4 5 5 4 4 5 5 5 4 5 7 4 3 4 3 5 6 6 7 6 6 7 5 a. Construir una tabla de frecuencias agrupadas, utilizando las reglas dadas en esta sección. b. En un mismo plano, dibuje el histograma y el polígono de frecuencia. Haga una interpretación del mismo c. En un mismo plano dibuje las ojivas. d. Realizar el análisis estadísticos de acuerdo con la información del cuadro, las gráficas y la medidas de tendencia central y las medidas de dispersión 7. Determine la medidas de tendencia central y de dispersión con la información que se sumista 58 47 38 52 42 47 57 42 52 36 47 46 46 43 55 46 43 50 a. Elabore un agrupadas. 45 41 37 42 49 40 46 37 41 52 45 44 cuadro 44 40 42 30 50 45 de 50 54 54 37 43 45 49 39 38 52 58 57 43 30 53 36 46 51 frecuencias b. Dibuje el histograma, el polígono de frecuencia y las ojivas. c. Determine las medidas de tendencia central Se preguntó a 32 niños, del mismo estrato, entre 4 y 9 años sobre las horas que dedican a ver televisión en un día hábil de la semana. Los resultados son: 4 8 4 7 3 Los jornales por hora de los operarios de “Industrias Manufactures el Mocho” son: 62 51 43 32 40 64 g. Utilizar las tablas de frecuencias, la media aritmética, la moda y las medidas de dispersión para establecer las semejanzas y diferencias entre los estudiantes de grado décimo y noveno. Frecuencia 2 5 6 3 d. Y la varianza, la desviación típica, coeficiente de variación relativo 9. En la institución educativa “El Machete” se efectuó un estudio para analizar la capacidad intelectual; se trabajo con 40 alumnos que registraron las siguientes puntuaciones: 161 145 147 140 163 138 173 132 165 135 146 138 142 135 118 168 150 147 152 148 a. Elabore un agrupadas. 146 140 150 149 125 164 135 153 144 153 cuadro de 158 142 145 144 154 126 178 128 136 157 frecuencias b. Dibuje el histograma, el polígono de frecuencia y las ojivas. c. Calcule las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión d. Realice los análisis correspondientes Carlos Merlano Blanco Estadística Descriptiva
