SEÑALES Y SISTEMAS I
TABLAS
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Propiedad
Señal
Transformada
ROC
x (t )
X( s)
R
x1 (t )
X1 (s )
R1
x 2 (t )
X 2 (s )
R2
ax1 ( t ) + bx 2 ( t )
aX1 (s) + bX 2 (s)
Al menos R 1 ∩ R 2
Desplazamiento en el tiempo
x( t − t 0 )
e − st 0 X(s)
R
Desplazamiento en el dominio s
e s0t x( t )
X( s − s 0 )
Versión desplazada de R
( es decir, s está en la ROC
si s-s0 está en R)
Escalado en el tiempo
x( at )
1 ⎛ s⎞
X⎜ ⎟
a ⎝ a⎠
ROC escalada (es decir, s
está en la ROC si s/a está
en R)
Conjugación
x * (t )
X * s*
R
Convolución
x 1 ( t )∗ x 2 ( t )
X1 (s) X 2 (s)
Al menos R 1 ∩ R 2
d x( t )
sX(s)
Al menos R
d
X(s)
ds
R
1
X(s)
s
Al menos
Linealidad
Diferenciación en el dominio
del tiempo.
dt
−tx( t )
Diferenciación en el dominio s
Integración en el dominio del
tiempo.
( )
t
∫−∞
x ( τ ) dτ
R ∩ { Re{s} > 0}
Teoremas del valor inicial y final.
Si x (t ) = 0 para t < 0 y x (t ) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en
t = 0 , entonces
( )
x 0+ = Lim sX (s )
x →∞
Lim x (t ) = Lim sX(s )
t →∞
s →0
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES
SEÑAL
TRANSFORMADA
ROC
δ( t )
1
Todo s
u( t )
− u( − t )
−
Re{s} < 0
1
s
t n−1
u( t )
( n − 1) !
−
Re{s} > 0
1
s
Re{s} > 0
1
sn
t n−1
u( − t )
( n − 1) !
Re{s} < 0
1
s
n
e −αt u( t )
1
s+α
− e − αt u( − t )
1
s+α
t n−1 − αt
e u( t )
( n − 1) !
1
t n−1 − αt
e u( − t )
( n − 1) !
Re{s} > −α
Re{s} < −α
Re{s} > −α
(s + α)
n
Re{s} < −α
1
(s + α) n
δ( t − T)
e − sT
Para todo s
[ cosω 0 t ]u( t )
s
Re{s} > 0
s 2 + ω 20
[sen ω 0 t ]u( t )
s
[e
−αt
[e
−αt
]
cos ω 0 t u( t )
]
sen ω 0 t u( t )
Re{s} > 0
ω0
2
+ ω 20
s+α
(s + α )
2
Re{s} > −α
+ ω 20
ω0
Re{s} > −α
(s + α ) 2 + ω 20
d n δ (t )
u n (t ) =
dt n
sn
Para todo s
u − n (t ) = u (t ) * " * u (t )
1
sn
Re{s} > 0
n veces
PROPIEDADES DE LA SERIE CONTINUA DE FOURIER
Propiedad
Señal Periódica
Coeficientes de la serie
x (t )⎫
⎬ Periódicas de periodo T y
y(t )⎭
frecuencia fundamental ω0 = 2π T
x (t ) T
Obtención de coeficientes
=
∞
∑ a k e jkω t
0
ak
bk
ak =
k = −∞
1
x (t )e − jkω0 t dt
T ∫T
2 T2
x (t ) cos(kω 0 t ) dt
T ∫0
x(t) Señal par
ak =
x(t) Señal impar
ak = −
2j T 2
x (t ) sen (kω 0 t ) dt
T ∫0
A x (t ) + B y (t )
A a k +B b k
Desplazamiento en el tiempo
x (t − t 0 )
a k e − jkω0 t 0
Desplazamiento en frecuencia
x (t ) e jMω0 t
a k −M
Conjugación
x * (t )
a ∗−k
Inversión de tiempo
x (− t )
a −k
x (αt ), α > 0 (Periódica de periodo T/α)
ak
∫T x(τ) y(t − τ)dτ
T a k bk
Linealidad
Escalamiento en el tiempo
Convolución periódica
x (t ) y (t )
Multiplicación
∞
∑ a p b k −p
p = −∞
dx (t )
dt
Diferenciación
Integración
∫−∞ x(τ) dτ
t
(de valor finito y periódica
solo si a 0 = 0 )
Simetría conjugada para
señales reales.
Señal real y par
Señal real e impar
x (t ) Señal real
jkω0 a k
1
ak
jkω 0
⎧a k = a ∗− k
⎪
⎪R e [a k ] = R e [a − k ]
⎪
⎨I m [a k ] = − I m [a − k ]
⎪a = a
−k
⎪ k
⎪⎩ϕ [a k ] = −ϕ [a − k ]
x(t) real y par
ak real y par
x(t) real e impar
ak imaginaria e impar
Relación de Parseval para señales periódicas
∞
1
2
2
Pm [x (t )] = ∫ x (t ) dt = ∑ a k
T
T
k = −∞
COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
SEÑAL PERIÓDICA
x (t ) =
+∞
∑ a k e jkω t
COEFICIENTES
ak
0
k = −∞
x (t ) =e jω0 t
⎧1 ∀ k = 1
ak = ⎨
⎩0 ∀ k ≠ 1
cos ω0 t
a 1 = a −1 =
sen ω0 t
a 1 = −a −1 =
x (t ) = 1
a 0 = 1 ; a k = 0, ∀ k ≠ 0
x (t ) =
∞
∑ δ(t − nT )
ak =
n = −∞
1
T
1
; a k = 0, ∀ k ≠ 1
2
1
; a k = 0, ∀ k ≠ 1
2j
∀k
Onda cuadrada periódica
x (t ) =
∞
⎛ t − mT ⎞
⎟
τ ⎠
∑ A ∏⎜⎝
m = −∞
(τ anchura del pulso)
ak = A
ó
⎧⎪A, t < τ 2
x (t ) = ⎨
⎪⎩0, τ 2 < t < T 2
y x (t + T ) = x (t )
Onda triangular periódica
x (t ) =
∞
⎛ t − mT ⎞
⎟
τ ⎠
∑ A ∆⎜⎝
m = −∞
sen (kω0 τ / 2) Aτ
⎛ kω τ ⎞
sin c ⎜ 0 ⎟
=
T
πk
⎝ 2π ⎠
(2τ anchura del pulso )
∞
⎛ t − mT ⎞
x (t ) = ∑ A ∏ ⎜
⎟⋅cosω p t
⎝ τ ⎠
−∞
ak =
ak =
Aτ
⎛ kω τ ⎞
sin c 2 ⎜ 0 ⎟
T
⎝ 2π ⎠
⎡⎛ kω0 − ωp ⎞ ⎤ Aτ
⎡⎛ kω0 + ωp ⎞ ⎤
Aτ
⎟⎟τ⎥ +
⎟⎟τ⎥
sin c ⎢⎜⎜
sin c ⎢⎜⎜
2T
⎣⎝ 2π ⎠ ⎦ 2T
⎣⎝ 2π ⎠ ⎦
TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO PROPIEDADES
Propiedad
Señal
Transformada de Fourier
x(t)
X(ω)
y (t )
Y(ω)
x (t ) =
∞
X(ω) = ∫ x (t ) e − jωt dt
1 ∞
X (ω) e jωt dω
∫
−
∞
2π
−∞
∞
Ecuaciones
Linealidad
x(t) Par
X(ω) = 2∫ x (t ) cosωt dt
x(t) Impar
X(ω) = −2 j∫ x (t ) senωt dt
0
∞
0
a X(ω) + b Y(ω)
Desplazamiento en el tiempo
a x(t) + b y(t)
x(t-t0)
Desplazamiento en frecuencia
x (t ) e jω 0 t
X(ω-ω0)
Conjugación
Inversión de tiempo
x*(t)
x(-t)
Escalado de tiempo y
frecuencia
Convolución
x(at)
X*(-ω)
X(-ω)
1 ⎛ ω⎞
X⎜ ⎟
a ⎝a⎠
Multiplicación
x(t) y(t)
Diferenciación en el tiempo
d x (t )
dt
Integración
∫−∞ x(τ)dτ
1
X(ω) + πX(0 )δ(ω)
jω
x(t) Señal real
⎧X(ω) = X ∗ (− ω)
⎪
⎪R e [X(ω)] = R e [X(− ω)]
⎪
⎨I m [X(ω)] = −I m [X(− ω)]
⎪ X(ω) = X(− ω)
⎪
⎪⎩ϕ[X(ω)] = −ϕ[X(− ω)]
X (ω) e − jωt 0
x(t)∗y(t)
X(ω) Y(ω)
1
[ X( ω)∗ Y( ω)]
2π
jω X( ω)
t
Simetría conjugada para
señales reales
Simetría para señales reales y
pares
x(t) Señal real y par
Simetría para señales reales y
pares
x(t) Señal real e impar
Descomposición par e impar de
señales reales
[x (t ) real]
x I (t ) = Im p{x (t )} [x (t ) real]
x p (t ) = Par{x (t )}
⎧ X( ω) = R [ X( ω) ]
e
⎪
X( ω) = R e [ X( ω) ] ⎨
⎧0
⎪ϕ[ X( ω) ] = ⎨
⎩± π
⎩
⎧ X( ω) = I [ X( ω) ]
m
⎪
X( ω) = j I m [ X( ω) ] ⎨
π
⎪ϕ[ X( ω) ] = ±
⎩
2
Re{X (ω)}
j Im{X(ω)}
f ( t ) ↔ G( ω)
G( t )
Relación de Parseval para
señales no periódicas
⎫
⎬ DUALIDAD
↔ 2π f ( −ω) ⎭
E[x (t )] = ∫
∞
−∞
x (t ) dt =
2
1 ∞
2
X (ω) dω
∫
−
∞
2π
EJEMPLOS DE TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
SEÑAL
TRANSFORMADA
x (t ) T =
0
∞
∑ a k e jkω t
2π
0
k = −∞
∞
∑ a k δ(ω − kω0 )
k = −∞
x(t) = A
2πA δ( ω)
x (t ) = Ae jω0 t
2π Aδ(ω − ω0 )
x(t) = A cos ω0 t
πA[δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )]
x(t) = A sen ω0 t
π
A[δ(ω − ω0 )− δ(ω + ω0 )]
j
Pulso rectangular
⎛t⎞
x( t ) = A ∏⎜ ⎟
⎝τ ⎠
(τ
anchura del pulso)
ó
X (ω) =
2A sen (ω τ 2 )
⎛ ωτ ⎞
= Aτsin c⎜ ⎟
ω
⎝ 2π ⎠
⎧⎪A, t < τ 2
x (t ) = ⎨
⎪⎩0, t > τ 2
Pulso triangular
⎛ t ⎞
x (t ) = A ∆⎜ ⎟ (2τ anchura del pulso )
⎝ 2τ ⎠
x (t ) =
∞
∑ δ(t − nT )
2π ∞ ⎛
2πk ⎞
δ⎜ ω −
⎟
∑
T −∞ ⎝
T ⎠
sen Wt
πt
⎧⎪1, ω < W
X(ω) = ⎨
⎪⎩0, ω > W
n = −∞
x (t ) =
⎛ ωτ ⎞
X( ω) = Aτ sinc 2 ⎜ ⎟
⎝ 2π ⎠
x(t) = A δ(t)
A
x(t) = A δ(t-t0)
A e − jω t 0
u(t)
1
+ πδ(ω)
jω
x (t ) = e − at u (t ),
Re{a} > 0
x (t ) = te − at u (t ), Re{a} > 0
t n −1 −at
x (t ) =
e u (t ), Re{a} > 0
(n − 1)!
1
a + jω
1
(a + jω)2
1
(a + jω)n
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA z
Propiedad
Expresión
x[n ]
x 1 [n ]
Señal
x 2 [n ]
x[n]
Transformada z
X(z )
X1 (z )
X 2 (z )
R2
∞
X(z ) =
∑ x[n ] z −n
k = −∞
Linealidad
Desplazamiento en el
tiempo
Escalado en el dominio z
Inversión en el tiempo
Expansión en el tiempo
a x 1 [n ] + b x 2 [n ]
x[n − n 0 ]
a X1 (z ) + b X 2 (z )
e jω0n x[n ]
X e − jω0 z
z 0n x[n ]
z − n 0 X (z )
(
X (z z 0 )
X a −1z
x[− n ]
X z −1
⎧x[r ], n = rk
x (k ) [n ] = ⎨
⎩0, n ≠ rk
Convolución
Primera diferencia
Acumulación
x * [n ]
x1 [n ]* x 2 [n ]
x[n ] − x[n − 1]
n
∑ x[k ]
k = −∞
Diferenciación en el
dominio z
nx[n ]
( )
(1 − z )X(z )
−1
)
d X(z )
dz
Teorema del valor inicial
Si x[n] = 0 para n < 0, entonces,
x[0] = Lim X(z )
z →∞
supresión del origen
R
z0R
es decir, el conjunto de
puntos z
X* z*
X1 (z ) X 2 (z )
−z
R, excepto para la posible adición o
R
( )
(
Al menos la intersección de R1 y R2
R invertida (es decir, R-1= el conjunto de
puntos z-1, donde z está en R
1k
X zk
X (z )
1 − z −1
R
Versión escalada de R (es decir, |a|R = el
conjunto de puntos{|a|z} para z en R
( )
para algún entero r
Conjugación
)
( )
a n x[n ]
ROC
R
R1
1k
donde z está en R
R
Al menos la intersección de R1 y R2
Al menos la intersección de R y
|z|>0
Al menos la intersección de R y
|z|>1
R
TABLA DE TRANSFORMADAS z FRECUENTES
Secuencia x[n]
Transformada z X(z)
ROC
δ[n ]
1
Todo z
δ[n − m]
z −m
Para todo z excepto 0 (si m > 0) o
infinito (si m < 0)
1
1 − z −1
z >1
1
1 − z −1
z <1
a n u[n ]
1
1 − az −1
z >a
− a n u[− n − 1]
1
1 − az −1
z<a
na n u [n ]
az −1
z >a
u[n ]
− u[− n − 1]
(1 − az )
−1 2
− na n u[− n − 1]
az −1
z<a
(1 − az )
−1 2
[cos (Ω 0 n )] u[n ]
1 − z −1 cosΩ 0
−1
1 − 2z cosΩ 0 + z
[sen (Ω 0 n )] u[n ]
z −1senΩ 0
−1
1 − 2z cosΩ 0 + z
[r
n
]
cos (Ω 0 n ) u[n ]
[r sen (Ω n )] u[n]
n
0
z >1
−2
z >1
−2
1 − [r cos Ω 0 ]z −1
z >r
[r sen Ω 0 ]z −1
1 − [2r cos Ω 0 ]z −1 + r 2 z − 2
z >r
1 − [2r cos Ω 0 ]z −1 + r 2 z −2
SERIES DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO
Propiedad
Coeficiente
Señal periódica
x[n ]⎫
⎬ Periódicas con periodo N y
y[n ]⎭
ak ⎫
⎬ Periódicas de periodo N
bk ⎭
frecuencia fundamental Ω0=2π/N
x[n ] =
Ecuaciones
∑ ake
jk 2Nπ n
k= N
A x1 [n ] + Bx 2 [n ]
Linealidad
Desplazamiento de tiempo
x[n ] e
− jk 2Nπ n 0
ak e
a k −M
jM 2Nπ n
x ∗ [n ]
a ∗−k
⎧x[n m], n multiplo de m
x (m ) [n ] = ⎨
⎩0, resto de valores
a −k
1
a (vistas como periódicas de periodo
m k
x[− n ]
Inversión en el tiempo
Escalado en el tiempo
Convolución periódica
(periódica de periodo mN)
mN)
z[n ] = x[n ] ⊗ y[n ] =
N a k bk
x[n ] y[n ]
Multiplicación
∑ x[r ]y[n − r ]
r= N
x[n ] − x[n − 1]
Primera diferencia
Suma consecutiva
1
− jk 2 π n
x[n ]e N
∑
N n= N
Aa k + Bb k
x[ n − n0]
Desplazamiento en
frecuencia
Conjugación
ak =
n
∑ a r b k −r
r= N
(1 − e
− jk (2 π N )
)a
k
a
∑ x[k ] (de valor finito y periódica sólo (1 − e − jkk(2π N ) )
k = −∞
si a0=0)
a k = a ∗−k
Re[a k ] = Re[a −k ]
Simetría conjugada para
señales reales.
x[n ] Re al
Señales reales y pares
Señales reales e impares
Descomposición par e impar
de señales reales
x[ n] REAL y PAR
x[ n] REAL e IMPAR
x p [n ] = Par{x[n ]}
[x[n ] real]
x I [n ] = Im par{x[n ]} [x[n ] real]
Im[a k ] = − Im[a −k ]
a k = a −k
ϕ a k = −ϕ a − k
ak real y par
ak imaginaria e impar
Re[a k ]
j Im[a k ]
Relación de Parseval para señales periódicas
1
2
2
x[n ] = ∑ a k
Pm =
∑
N n= N
k= N
EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE
FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS
SEÑAL
∑ak e
jk
COEFICIENTES
2π
n
N
ak
k= N
2πm
N
⎧1 , k = m, m ± N, m ± 2 N,"
ak = ⎨
⎩0 , otro valor
(a ) Ω 0 =
e jΩ0n
( b)
Ω0
irracional ⇒ señal aperiódica
2π
2πm
N
⎧1 / 2 , k = ± m, ± m ± N, ± m ± 2 N,"
ak = ⎨
⎩0 , otro valor
(a ) Ω 0 =
cos Ω 0 n
( b)
Ω0
irracional ⇒ señal aperiódica
2π
2πm
N
⎧1 / 2 j , k = m, m ± N, m ± 2 N,"
⎪
a k = ⎨ − 1 / 2 j , k = − m, − m ± N , − m ± 2 N , "
⎪0 , otro valor
⎩
(a ) Ω 0 =
sen Ω 0 n
( b)
⎧1, k = 0, ± N, ± 2 N
ak = ⎨
⎩0, con otro valor
x[n ] = 1
x[n ] =
Ω0
irracional ⇒ señal aperiódica
2π
∞
∑ δ(n − kN )
ak =
k = −∞
Onda cuadrada periódica
⎧⎪1, n ≤ N 1
x[n ] = ⎨
⎪⎩0, N 1 < n ≤ N 2
y x[n + N ] = x[n ]
ak =
1
N
∀k
sen [(2πk N ) (N1 + 12 )]
, k ≠ 0, ± N, ± 2 N, "
N sen [(2πk 2 N ) ]
2 N1 + 1
ak =
, k = 0, ± N, ± 2 N, "
N
TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO
Propiedad
Señal
Transformada
x[n ]⎫
X(Ω )⎫
⎬
⎬ Periódicas de periodo 2π
y[n ]⎭
Y(Ω )⎭
Ecuación
Señal periódica
x[n ] =
x[n ] =
1
X(Ω )e jΩn dΩ
∫
2π 2 π
∑ ake
jk 2Nπ n
∞
X(Ω ) =
∑ x[n ]e − jΩn
n = −∞
∞
(señal periódica, N)
k= N
X(Ω ) = 2π ∑ a k δ(Ω − k 2Nπ )
k = −∞
Señal periódica
x[n ] = x[n + N] (señal periódica)
ak =
Linealidad
a x[n ] + b y[n ]
a X(Ω ) + b Y(Ω )
Desplazamiento en el
tiempo
Desplazamiento en
frecuencia
Conjugación
Inversión en tiempo
x[n − n 0 ]
1 ⎛ 2π ⎞ 1
X⎜ k ⎟ = X(kΩ 0 )
N ⎝ N⎠ N
X (Ω )e − jΩn 0
x[n ]e jΩ 0n
X(Ω − Ω 0 )
x ∗ [n ]
X ∗ (− Ω )
x[− n ]
X(− Ω )
⎧x[n k ], n multiplo de k
x (k ) [n ] = ⎨
⎩0, resto de valores
X(kΩ )
Convolución
x[n ] ∗ y[n ]
X(Ω) ⋅ Y(Ω)
Multiplicación
x[ n] ⋅ y[ n]
Diferenciación en tiempo
x[n ] − x[n − 1]
1
X(θ)Y(Ω − θ)dθ
2π 2∫π
Expansión en tiempo
Acumulación
Diferenciación en
frecuencia
(1 − e ) X(Ω )
− jΩ
m =−∞
∞
X(Ω )
(
)
+
π
X
0
∑ δ(Ω − 2πk )
1 − e − jΩ
k = −∞
nx[n ]
j
n
∑ x[m]
dX(Ω )
dΩ
X(Ω ) = X ∗ (− Ω )
Simetría conjugada para
señales reales
x[n ] REAL
Re[X(Ω )] = Re[X(− Ω )]
Im[X(Ω )] = − Im[X(− Ω )]
X(Ω ) = X(− Ω )
ϕ X (Ω ) = − ϕ X ( − Ω )
Simetría para señales
reales pares
Simetría para señales
reales impares
Descomposición par e
impar de señales reales
x[ n] REAL y PAR
X(Ω ) real y par
x[ n] REAL e IMPAR
X(Ω ) imaginaria pura e impar
Re[X(Ω )]
j Im[X(Ω )]
Relación de Parseval para señales aperiódicas
∞
1
2
2
X(Ω ) dΩ
E = ∑ x[n ] =
∫
2π 2 π
n = −∞
x p [n ] = Par{x[n ]}
[x[n ] real]
x I [n ] = Im par{x[n ]} [x[n ] real]
TF
⎧x[n ] ←⎯
→ X(Ω )
DUALIDAD ⎨
⎩x[− n ] = a k [X(Ω )]
EJEMPLOS DE TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS
SEÑAL
∑ak e
jk
2π
n
N
COEFICIENTES
∞
k= N
⎛
∑ a k δ⎜⎝ Ω −
2π
k = −∞
e jΩ0n
2πk ⎞
⎟
N ⎠
∞
∑ δ(Ω − Ω 0 − 2πk )
2π
k = −∞
cos Ω 0 n
∞
∑ [δ(Ω − Ω 0 − 2πk ) + δ(Ω + Ω 0 − 2πk )]
π
k = −∞
π
j
sen Ω 0 n
x[n ] = 1
∞
∑ [δ(Ω − Ω 0 − 2πk ) − δ(Ω + Ω 0 − 2πk )]
k = −∞
2π
∞
∑ δ(Ω − 2πk )
k = −∞
x[n ] =
∞
∑ δ(n − kN )
k = −∞
a n u[n ] a < 1
2π
N
∞
⎛
∑ δ⎜⎝ Ω −
k = −∞
2πk ⎞
⎟
N ⎠
1
1 − ae − jΩ
sen [Ω (N1 + 12 )]
⎧⎪1, n ≤ N1
x[n ] = ⎨
⎪⎩0, n > N1
sen (Ω 2 )
sen Wn W
⎛ Wn ⎞
=
sin c ⎜
⎟ 0<W<π
πn
π
⎝ π ⎠
⎪⎧1, 0 ≤ Ω ≤ W
X (Ω) = ⎨
⎪⎩0, W ≤ Ω ≤ π
δ[n ]
1
u[n ]
∞
1
+
∑ π δ(Ω − 2πk )
1 − e − jΩ k =−∞
δ[n − n 0 ]
(n + 1)a n u[n ]
X ( Ω ) periódica de periodo 2π
e − jΩn 0
a <1
1
(1 − ae )
− jΩ 2
(n + r − 1)! a n u[n ]
n!(r − 1)!
a <1
1
(1 − ae )
− jΩ r
