FISIK MECANIK 1

MOVIMIENTO PARABÓLICO
El movimiento parabólico, también conocido como tiro oblicuo, es un
ejemplo de composición de movimientos en dos dimensiones: un m.r.u.
en el eje horizontal y un m.r.u.a. en el eje vertical. En este apartado
estudiaremos:






El concepto y la representación de movimientos parabólicos
Sus ecuaciones
La altura máxima que alcanza un cuerpo que se mueve según
movimiento parabólico
El tiempo que está en el aire
El alcance
El ángulo de la trayectoria
Adicionalmente, puede que estés interesado en:



Estudiar otro caso de composición de movimientos a través
del lanzamiento horizontal
Repasar las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme
Profundizar en las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado
¿Empezamos?
Concepto y representación
El movimiento parabólico, también conocido como tiro
oblicuo, consiste en lanzar un cuerpo con una velocidad que forma un
ángulo α con la horizontal. En la siguiente figura puedes ver una
representación de la situación.
El movimiento parabólico o tiro oblicuo resulta de la composición de
un movimiento rectilíneo uniforme (mru horizontal) y un movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado de lanzamiento hacia arriba o hacia
abajo (mrua vertical).
Ecuaciones
Las ecuaciones del movimiento parabólico son:

Las ecuaciones del m.r.u. para el eje x
x=x0+vx⋅t

Las ecuaciones del m.r.u.a. para el eje y
vy=v0y+ay⋅t
y=y0+v0y⋅t+12⋅ay⋅t2
Dado que, como dijimos anteriormente, la velocidad forma un
ángulo α con la horizontal, las componentes x e y se determinan
recurriendo a las relaciones trigonométricas más habituales:
Finalmente, teniendo en cuenta lo anterior, que y0 = H , x0 = 0, y que ay =
-g , podemos reescribir las fórmulas tal y como quedan recogidas en la
siguiente tabla. Estas son las expresiones finales para el cálculo de
las magnitudes cinemáticas en el movimiento parabólico o tiro
oblicuo:
Posición (m)
Velocidad (m/s)
Aceleraci
ón (m/s2)
Eje
Horizo
ntal
x=vx⋅t=v0⋅cos(α)⋅t
vx=v0x=v0⋅cos(α)
ax=0
Eje
Vertica
l
y=H+v0y⋅t−12⋅g⋅t2=H+v0⋅sin
(α)⋅t−12⋅g⋅t2
vy=v0y−g⋅t=v0⋅si
n(α)−g⋅t
ay=−g
Experimenta y aprende
La bola azul de la figura representa un cuerpo suspendido sobre el suelo.
Puedes arrastrarlo hasta la altura inicial H que desees y seleccionar la
velocidad inicial (v0) con la que se lanzará formando un ángulo (α) con
la horizontal. La línea gris representa latrayectoria que describirá con los
valores que le has proporcionado.
A continuación pulsa el botón Play. Desliza el tiempo y observar como se
calcula su posición (x e y) y su velocidad (vx e vy) en cada instante de su
descenso hacia el suelo.
Comprueba como la proyección del cuerpo en el eje y (verde) describe
un movimiento delanzamiento vertical y en el eje x (rojo) describe un
movimiento rectilíneo uniforme.
Datos
g
H
α
v0
v0x
v0y
=
=
=
=
=
v0
v0
·
·
=
cos(α)
sin(α)
m/s2
m
rad
9.8
30.00
1.24
=
=
9.00
9.00
·
·
9.00
cos(1.24)
sin(1.24)
=
=
2.92
8.51
m/s
m/s
m/s
x
=
vx
·
t
=
2.92
·
0.00
=
0.00
m
2
2
y = H + v0y·t - 1/2 · g · t = 30.00 + 8.51 . 0.00 - 1/2 · 9.8 · 0.00 = 30.00 m
vx
=
v0x
=
vy = v0y - g · t = 8.51-9.8 · 0.00 = 8.51 m/s
0
5
10
15
0
25
50
t (s) = 0.00
v0 (m/s) = 9.00
α (rad) = 1.24
v0
2.92
m/s
v0y
v0x
H
Movimiento Parabólico
Ecuación de posición y de trayectoria en el movimiento parabólico
La ecuación de posición de un cuerpo nos sirve para saber en qué punto
se encuentra en cada instante de tiempo. En el caso de un cuerpo que se
desplaza en dos dimensiones, recuerda que, de forma genérica, viene
descrita por:
r⃗ (t)=x(t)i⃗ +y(t)j⃗
Sustituyendo la expresiones anteriores de la posición en el eje horizontal
( m.r.u. ) y en el eje vertical ( m.r.u.a. ) en la ecuación de posición
genérica, podemos llegar a la expresión de la ecuación de posición para
el lanzamiento horizontal.
La ecuación de posición del movimiento parabólico viene dada por:
r⃗ =(x0+v0x⋅t)⋅i⃗ +(H+v0y⋅t−12⋅g⋅t2)⋅j⃗
Por otro lado, para saber qué trayectoria sigue el cuerpo, es decir, su
ecuación de trayectoria, podemos combinar las ecuaciones anteriores
para eliminar t, quedando:
y=H+v0y⋅(xv0x)−12⋅g⋅(xv0x)2=H+k1⋅x−k2⋅x2k1=v0yvx;k2=12⋅v0x2⋅g
Como cabía esperar, se trata de la ecuación de una parábola.
Por otro lado, será frecuente que en los ejercicios te pidan alguno de los
siguientes valores.
Altura máxima
Este valor se alcanza cuando la velocidad en el eje y, vy , vale 0. A partir
de la ecuación de velocidad en el eje vertical, e imponiendo vy = 0,
obtenemos el tiempo t que tarda el cuerpo en llegar a dicha altura. A partir
de ese tiempo, y de las ecuaciones de posición, se puede calcular la
distancia al origen en el eje x y en el eje y.
Tiempo de vuelo
Se calcula igualando a 0 la componente vertical de la posición. Es decir,
el tiempo de vuelo es aquel para el cual la altura es 0 (se llega al suelo).
Alcance
Se trata de la distancia máxima en horizontal desde el punto de inicio del
movimiento al punto en el que el cuerpo impacta el suelo. Una vez
obtenido el tiempo de vuelo, simplemente sustituye en la ecuación de la
componente horizontal de la posición.
Ángulo de la trayectoria
El ángulo de la trayectoria en un determinado punto coincide con el
ángulo que el vector velocidad forma con la horizontal en ese punto. Para
su cálculo obtenemos las componentes vx y vy y gracias a la definición
trigonométrica de tangente de un ángulo, calculamos α:
tan(α)=cateto opuestocateto contiguo=vyvx⇒α=tan−1(vyvx)
EjercicioVer más ejercicios
Minuto 90 de juego... Lopera se acerca al balón para lanzar un libre
directo a 40 metros exactos de la portería, da dos pasos hacia atrássss y
lanzaaaa. El balón describe una trayectoria parabólica y sale con una
elevación de 20º... y ¡¡¡¡¡GOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡GOOOOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡El
balón entra por la escuadra a 1.70 metros de altura!!!. ¿Tras oir esta
emisión en la radio sabrías responder a las siguientes preguntas?
a) Desde que Lopera chuta y marca el gol, ¿Cuanto tiempo ha
transcurrido y a qué velocidad salió el balón desde las botas de Lopera?
b)
¿Qué
altura
máxima
alcanzó
el
balón?
c) ¿Con qué velocidad llegó el balón a la portería?
Solución
Cuestión a)
El instante en el que el balón llega a la portería x=40 m e y=1.7 m.
Sustituyendo en las ecuaciones de la posición del movimiento parabólico:
x=v0⋅cos(α)⋅ty=v0⋅sin(α)⋅t−12⋅g⋅t2⎫⎭⎬⇒40=v0⋅cos(20)⋅t1.7=v0⋅sin(20)⋅t
−12⋅9.8⋅t2⎫⎭⎬⇒40=v0⋅0.94⋅t1.7=v0⋅0.34⋅t−4.9⋅t2}⇒t=1.61 sv0=26.36 m
s/⎫⎭⎬⎪⎪
Cuestión b)
Cuando la componente y de la velocidad (vy) sea 0 entonces quiere decir
que estaremos en el punto más alto de la parábola. Recuerda que
comienza a ascender y su velocidad en el eje y va disminuyendo hasta
que se anula y comienza a ser negativa para descender.
vy=v0⋅sin(α)−g⋅t ⇒0=26.36 ms/⋅sin⎛⎝⎜⎜⎜20⎞⎠⎟⎟⎟−9.8 ms2/⋅t ⇒t=9.
05 ms/9.8 ms2/⇒t=0.92 s
Cuestión c)
Sabiendo que el balón llegó a la portería en 1.61 s, su velocidad se
obtiene:
vx=26.36⋅cos(20)=24.77 ms/vy=26.36⋅sin(20)−9.8⋅1.61=−6.76 ms/v=vx2
+vy2−−−−−−−−√=(2.77)2+(−6.76)2−−−−−−−−−−−−−−−−√=7.3 ms