ΣMa = 5 (3) - Rby (5) = 0 Rby = 15/5= 3 ton ΣFy = Ray - 5 + Rby = 0 Ray = 5 – 3 = 2 ton 0 <= x <= 3 Mx = Ray (x) Mx = 2x Mx = 2 (3) = 6 ton*m 3 <= x <= 5 Mx = Ray (x) - 5 (x-3) Mx = 2x – 5x + 15 Mx= - 3x + 15 Doble integración E I (d^2y/d`2x) = M (x) dx Tramo 1 E I (d^2y/d`2x) = Ş (2x) dx Resolviendo la primera integral E I (dy/dx) = 2 (x^2/2) + C1 Ecuación de giro Volver a integral la ecuación del tramo 1 donde ya encontramos el giro E I (dy/dx) = 2 (x^2/2) + C1) E I Y = 2 (x^3/6) + C1x + C2 Ecuación de flecha Tramo 2 E I (d^2y/d`2x) = Ş (- 3x + 15) dx Resolviendo la primera integral E I (dy/dx) = - 3(x^2/2) + 15x + C3 Ecuación de giro Volver a integral la ecuación del tramo 2 donde ya encontramos el giro E I (dy/dx) = 3(x^2/2) + 15x + C3) E I Y =- 3 (x^3/6) + 15 (x^2/2) + C3x + C4 Ecuación de flecha La condición de frontera Y = 0; si X = 0 en el tramo 1, evaluamos la ecuación de flecha. E I Y = 2 (x^3/6) + C1x + C2 E I (0) = 2 ((0)^3/6) + (0) C1 + C2 0 = 0 + 0 C2 por lo tanto C2= 0 La condición de frontera Y = 0; si X = 5 en el tramo 2, evaluamos la ecuación de flecha. E I Y =- 3 (x^3/6) + 15 (x^2/2) + C3x + C4 E I (0) = - 3 ((5^3) /6) + 15 ((5^2) /2) + 5 C3 + C4 0 = - 125/2 + 375/2 + 5C3 + C4 0 = 125 +5C3 + C4 Ecuación 1 Igualamos la ecuación de giro del tramo 1 y 2 cuando Y ≠ 0; X = 3 2 (x^2/2) + C1 = - 3(x^2/2) + 15x + C3 2 ((3^2) /2) + C1 = - 3 ((3^2) /2) + 15 (3) + C3 9 + C1 = - 27 /2 + 45 + C3 9 + C1 = 63 /2 + C3 0 = - 9 + 63 /2 - C1 + C3 0 = 45 /2 - C1 + C3 Ecuación 2 Igualamos la ecuación de flecha del tramo 1 y 2 cuando Y ≠ 0; X = 3 2 (x^3/6) + C1x + C2 = - 3 (x^3/6) + 15 (x^2/2) + C3x + C4 2 ((3^3) /6) + 3C1 + C2 = - 3 ((3^3) /6) + 15 ((3^2) /2) + 3C3 + C4 9 + 3C1 = - 27 /2 + 135 /2 + 3C3 + C4 0 = - 9 - 27 /2 + 135 /2 - 3C1 + 3 C3 + C4 0 = 45 – 3C1 + 3 C3 + C4 Ecuación 3 Sistema de ecuaciones 0 = 125 + 5 C3 + C4 C 4 = 45 /2 0 = 45 /2 - C1 + C3 0 = 45 - 3C1 + 3 C3 + C4 0 = 45 /2 - C1 + C3 0 = 45 (-3) - 3C1 + 3 C3 + C4 Multiplicando 0 = - 135 /2 + 3 C1 - 3 C3 0 = 45 - 3 C1 + 3 C3 + C4 Restando las ecuaciones 0 = - 45 /2 + C4 por lo tanto C4 = 45 /2 Sustituyendo en la ecuación 1 a C4 0 = 125 + 5 C3 + C4 0 = 125 + 5 C3 + 45 /2 0 = 295 /2 + 5 C3 C3 = - (295 /2) /5 por lo tanto C3 = - 59 /2 Sustituyendo en la ecuación 2 a C3 0 = 45 /2 - C1 + C3 0 = 45 / 2 - C1 + (-59 /2) 0 = - 7 - C1 por lo tanto C1 = - 7 C3 = - 59 /2 C1 = - 7 La deflexión máxima es cuando Ymax; X =3 E I Y = 2 (x^3/6) + C1x + C2 E I Y max = 2 ((3^3) /6) + (-7) (3) + 0 E I Y max = 9 – 21 Ymax = - 12 ton*m^3 /EI Método Área-momento ΣMa = 5 (3) - Rby (5) = 0 Rby = 15/5= 3 ton ΣFy = Ray - 5 + Rby = 0 Ray = 5 – 3 = 2 ton 0 <= x <= 3 Mx = Ray (x) Mx = 2x Mx = 2 (3) = 6 ton*m 3 <= x <= 5 Mx = Ray (x) - 5 (x-3) Mx = 2x – 5x + 15 Mx= - 3x + 15 Mx= -3 (3) + 15 = 6 ton*m Mx= -3 (5) + 15 = 0 ton*m Tan α = (Δ´c /3) = (tba /5) por lo tanto Δ´c = 3 tba /5 Δ´c = Δc + tca Δc = Δ´c - tca ecuación 1 nos sirve para despejar al Δc Areas de las figuras y centros de gravedad. Areas A = (b*h) /2 A = (3*6) /2 A = 9 ton*m^2 A = (b*h) /2 A = (2*6) /2 A = 6 ton*m^2 Centros de gravedad X testada = 1b/3 X testada = 1(3)/3 X testada = 1 m X=3–1 X=2m X testada´ = 1b/3 X testada´ = 1(2)/3 X testada´ = 2/3 m X´ = 2 - 2/3 X´ = 4/3 Encontrar las variables tba, tca, Δ´c y Δc. Tba = 1 /EI ((9)(2+1) + (6)(4/3)) Tba = 1 /EI ((27) + (8)) Tba = 35 ton*m^3 /EI Δ´c = 3 Tba /5 Δ´c = (3 (35))/5 Δ´c = 21 ton*m^3/EI Tca = 1/EI ((9)(1)) Tca = 9 ton*m^3/EI Δc = Δ´c - Tca Δc = 21 – 9 Δc = 12 ton*m^3/EI por lo tanto Δc = Ymax Método de viga conjugada Areas de las figuras y centros de gravedad. Areas A = (b*h) /2 A = (3*6) /2 A = 9 ton*m^2 A = (b*h) /2 A = (2*6) /2 A = 6 ton*m^2 Centros de gravedad X testada = 1b/3 X testada = 1(3)/3 X testada = 1 m X=3–1 X=2m X testada´ = 1b/3 X testada´ = 1(2)/3 X testada´ = 2/3 m X´ = 2 - 2/3 X´ = 4/3 ΣMa = (9)(2) + (6) (11/3) - (Rby)(5) = 0 Rby = (18 + 22) /5 Rby = 8 ton*m^2 ΣFy = 9 + 6 – 8 – Ray = 0 Ray = 7 ton*m^2 Mc = Y max = Y c Mc = - (9)(1) + (7)(3) Mc= -9 + 21 Mc = Y max = Yc = 12 ton*m^3/EI Metodo de la viga conjugada (viga Simetrica) Σ Ma = (5)(2) + (5)(5) - Rby (7) = 0 Rby = (10 + 25) /7 Rby = 5 ton Σ Fy = - 5 - 5 + 5 + Ray = 0 Ray = 5 ton 0 <= x <= 2 Mx = Ray (x) Mx = 5x Mx = 5 (2) = 10 ton*m 2 <= x <= 5 Mx = Ray (x) - 5 (x-2) Mx = 5x – 5x + 10 Mx = 10 ton*m 5 <= x <= 7 Mx= Ray (x) - 5 (x-2) - 5 (x-5) Mx = 5x – 5x + 10 –5x + 25 Mx = - 5x + 35 Mx = -5 (5) + 35 = 10 ton*m Mx= - 5 (7) + 35 = 0 A1 triangulo= (b*h) /2 A1 = (2*10) /2 A1 = 10 ton*m^2 X testada = 1/3 b X testada = 2/3 m X= 2 – 2/3 = 4/3 m A2 rectangular = b*h A2 = 3*10 A2 = 30 ton*m^2 X testada´ = ½ b X testada´ = 3/2 m X testada´ = 1.5 m X´ = 3 - 1.5 X´ = 1.5 m A3 triangulo= (b*h) /2 A3 = (2*10) /2 A3 = 10 ton*m^2 X´´ testada = 1/3 b X´´ testada = 2/3 m X´´= 2 – 2/3 = 4/3 m Σ Ma = - (10) (4/3) - (30) (3.5) - (10) (17/3) + Rby (7) = 0 Rby = 175 /7 Rby = 25 ton*m^2 Σ Fy = 10 + 30 + 10 - 25 - Ray = 0 Ray = 25 ton*m^2 Mc = Ymax = Yc Mc = (15) (0.75) + (10) (13/6) - (25) (3.5) Mc = - 655 ton*m^3/12 EI = Ymax Método de área-momento Σ Ma = (5)(2) + (5)(5) - Rby (7) = 0 Rby = (10 + 25) /7 Rby = 5 ton Σ Fy = - 5 - 5 + 5 + Ray = 0 Ray = 5 ton 0 <= x <= 2 Mx = Ray (x) Mx = 5x Mx = 5 (2) = 10 ton*m 2 <= x <= 5 Mx = Ray (x) - 5 (x-2) Mx = 5x – 5x + 10 Mx = 10 ton*m 5 <= x <= 7 Mx= Ray (x) - 5 (x-2) - 5 (x-5) Mx = 5x – 5x + 10 –5x + 25 Mx = - 5x + 35 Mx = -5 (5) + 35 = 10 ton*m Mx= - 5 (7) + 35 = 0 CURVA ESLASTICA Ymax= Δc= Tac A1 triangulo= (b*h) /2 A1 = (2*10) /2 A1 = 10 ton*m^2 X testada = 1/3 b X testada = 2/3 m X= 2 – 2/3 = 4/3 m A2 rectangular = b*h A2 = 3*10 A2 = 30 ton*m^2 X testada´ = ½ b X testada´ = 3/2 m X testada´ = 1.5 m X´ = 3 - 1.5 X´ = 1.5 m Tac = 1/EI ((10) (4/3) + (15) (2.75)) Tac = 655 ton*m^3/12EI = Ymax Método de doble integración Σ Ma = (5)(2) + (5)(5) - Rby (7) = 0 Rby = (10 + 25) /7 Rby = 5 ton Σ Fy = - 5 - 5 + 5 + Ray = 0 Ray = 5 ton 0 <= x <= 2 Mx = Ray (x) Mx = 5x 2 <= x <= 5 Mx = Ray (x) - 5 (x-2) Mx = 5x – 5x + 10 Mx = 10 ton*m 5 <= x <= 7 Mx= Ray (x) - 5 (x-2) - 5 (x-5) Mx = 5x – 5x + 10 –5x + 25 Mx = - 5x + 35 Tramo 1 E I dy^2/d^2x = Ş (5 x) dx E I dy/dx = 5 x^2/2 + C1 Ecuación de giro Volviendo a integrar la ecuación de giro E I dy/dx = Ş (5 x^2/2 + C1) dx E I Y = 5 x^3/6 + C1x + C2 1/2 (x^2) = 1/2 (x^3/3) Ecuación de flecha Tramo 2 E I dy^2/d^2x = Ş (10) dx E I dy/dx = 10 x + C3 Ecuación de giro Volviendo a integrar la ecuación de giro E I dy/dx = Ş (10 x + C3) dx E I Y = 5 x^2 + C3x + C4 Ecuación de flecha Tramo 3 E I dy^2/d^2x = Ş (- 5x + 35) dx E I dy/dx = -5 x^2/2 + 35 x + C5 Ecuación de giro Volviendo a integrar la ecuación de giro E I dy/dx = Ş (-5 x^2/2 + 35 x + C5) dx E I Y = -5 x^3/6 + 35 x^2/2 + C5 x + C6 Ecuación de flecha Condición de frontera cuando y = 0 si x = 0, la evaluación de estos valores es la ecuación de flecha del tramo 1. E I Y = 5 x^3/6 + C1x + C2 E I (0) = 5 (0^3) /6 + C1 (0) + C2 0 = 0 + 0 + C2 por lo tanto C2 = 0 Condición de frontera cuando y = 0 si x = 7, la evaluación de estos valores es la ecuación de flecha del tramo 3. E I Y = -5 x^3 /6 + 35 x^2 /2 + C5 x + C6 E I (0) = - 5 (7^3) /6 + 35 (7^2) /2+ 7 C5 + C6 0 = - 1715 /6 + 1715 /2 + 7 C5 + C6 0 = 1715 /3 + 7 C5 + C6 Ecuación 1 Igualamos las ecuaciones de giros del tramo 1 y 2, cuando x = 2 5 x^2 /2 + C1 = 10 x + C3 5 (2^2) /2 + C1 = 10 (2) + C3 10 + C1 = 20 + C3 0 = 20 – 10 – C1 + C3 0 = 10 – C1 + C3 Ecuación 2 Igualamos las ecuaciones de flechas del tramo 1 y 2, cuando x = 2 5 x^3/6 + C1x + C2 = 5 x^2 + C3x + C4 5 (2^3) /6 + 2 C1 + 0 = 5 (2^2) + 2 C3 + C4 20 /3 + 2 C1 = 20 + 2 C3 + C4 0 = 20 – 20 /3 - 2 C1 + 2 C3 + C4 0 = 40 /3 - 2 C1 + 2 C3 + C4 Ecuación 3 Igualamos las ecuaciones de giros del tramo 2 y 3, cuando x = 5 10 x + C3 = -5 x^2/2 + 35 x + C5 10 (5) + C3 = - 5 (5^2) /2 + 35 (5) + C5 50 + C3 = - 125 /2 + 175 + C5 0 = - 125 /2 - 50 + 175 – C3 + C5 0 = 125 /2 - C3 + C5 Ecuación 4 Igualamos las ecuaciones de flechas del tramo 2 y 3, cuando x = 5 5 x^2 + C3x + C4 = -5 x^3/6 + 35 x^2/2 + C5 x + C6 5 (5^2) + 5 C3 + C4 = -5 (5^3) /6 + 35 (5^29 /2 + 5 C5 + C6 125 + 5 C3 + C4 = - 625 /6 + 875 /2 + 5 C5 + C6 0 = - 625 /6 - 125 + 875 /2 - 5 C3 – C4 + 5 C5 + C6 0 = 625 /3 - 5 C3 – C4 + 5 C5 + C6 Ecuación 5 Sistema de ecuaciones 0 = 1715 /3 + 7 C5 + C6 0 = 10 - C1 + C3 0 = 40 /3 - 2 C1 + 2 C3 + C4 0 = 125 /2 - C3 0 = 625 /3 - 5 C3 - C4 + 5 C5 + C6 0 = 10 - C1 + C3 0 = 40 /3 - 2 C1 + 2 C3 + C4 + C5 (-2) 0 = -20 + 2 C1 – 2 C3 0 = 40 /3 - 2 C1 + 2 C3 + C4 0 = - 20 /3 + C4 C3 por lo tanto C4 = 20 /3 0 = 125 /2 - + C5 (-5) 0 = 625 /3 - 5 C3 – 20/3 + 5 C5 + C6 0 = - 625 /2 + 5 C3 0 = 625 /3 - 5 C3 – 20/3 + 5 C5 + C6 - 5 C5 0 = - 665 /6 + C6 por lo tanto C6 = 665 /6 0 = 1715 /3 + 7 C5 + 665 /6 0 = 1365 /2 + 7 C5 por lo tanto C5 = -(1365 /2) /7 C5 = - 195 /2 0 = 125 /2 - C3 + C5 0 = 125 /2 - C3 + (- 195 /2) 0 = - 35 – C3 por lo tanto C3 = - 35 0 = 10 - C1 + C3 0 = 10 – C1 + (- 35) 0 = - 25 – C1 por lo tanto C1 = - 25 La deflexión máxima Y max; si X = 3.5 en la ecuación de flecha del tramo 2 E I Y = 5 x^2 + C3x + C4 E I Y max = 5 (3.5^2) + 3.5 (-35) + 20 / 3 Y max = - 655 ton*m^3 /12EI Método de doble integración Σ Ma = - 7 (3) + Rby (10) = 0 Rby = 21 /10 ton ó 2.1 ton Σ Fy = Ray - 7 + 2.1 = 0 Ray = 49 /10 ton ó 4.9 ton 0<= x <= 3 Mx = Ray (x) Mx = (49 /10) (x) Mx = (49 /10) (3) = 147 /10 ton*m 3<= x <= 10 Mx = Ray (x) - 7 (x - 3) Mx = (49 /10) (x) - 7 (x) + 21 Mx = (- 21 /10) (x) + 21 Mx = (-21 /10) (3) + 21 = 147 /10 ton*m Mx = (-21 /10) (10) + 21 = 0 ton*m Tramo 1 E I dy^2/d^2x = Ş ( 49 /10 (x)) dx E I dy/dx = 49 /10 (x^2/2) + C1 Ecuación de giro Volviendo a integrar la ecuación de giro E I dy/dx = Ş (49 /10 (x^2/2) + C1) dx E I Y = 49 /10 (x^3/6) + C1 x + C2 Ecuación de flecha Tramo 2 E I dy^2/d^2x = Ş (- 21 /10) (x) + 21) dx E I dy/dx = - 21 /10 (x^2/2) + 21 x + C3 Ecuación de giro Volviendo a integrar la ecuación de giro E I dy/dx = Ş (- 21 /10 (x^2/2) + 21 x + C3) dx E I Y = - 21 /10 (x^3 /6) + 21 (x^2/2) + C3 x + C4 Ecuación de flecha Evaluamos la ecuación de flecha del tramo 1 con la condición de frontera cuando Y = 0; si X = 0. E I Y = 49 /10 (x^3/6) + C1 x + C2 E I (0) = 49 /10 (0^3 /6) + C1 (0) + C2 por lo tanto C2 = 0 Evaluamos la ecuación de flecha del tramo 2 con la condición de frontera cuando Y = 0; si X = 10. E I Y = - 21 /10 (x^3 /6) + 21 (x^2/2) + C3 x + C4 E I (0) = -21 /10 (10^3 /6) + 21 (10^2 /2) + 10 C3 + C4 0 = 700 + 10 C3 + C4 Ecuación 1 Igualación de ecuaciones en giros del tramo 1 y 2, cuando X = 3 49 /10 (x^2/2) + C1 = - 21 /10 (x^2/2) + 21 x + C3 49 /10 (3^2 /2) + C1 = -21 /10 (3^2 /2) + 21 (3) + C3 441 /20 + C1 = 1071 /20 + C3 0 = - 441 /20 + 1071 /20 - C1 + C3 0 = 63 /2 - C1 + C3 Ecuación 2 Igualación de ecuaciones en flechas del tramo 1 y 2, cuando X = 3 49 /10 (x^3/6) + C1 x + C2 = - 21 /10 (x^3/6) + 21 (x^2 /2) + C3 x + C4 49 /10 (3^3 /6) + 3 C1 + 0 = -21 /10 (3^3 /6) + 21 (3^2 /2) + 3 C3 + C4 441 /20 + 3 C1 = 1701 /20 + 3 C3 + C4 0 = - 441 /20 + 1701 /20 - 3 C1 + 3 C3 + C4 0 = 63 – 3 C1 + 3 C3 + C4 Ecuación 3 Resolviendo el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de las constantes de integración 0 = 700 + 10 C3 + C4 0 = 63 /2 - C1 + C3 0 = 63 - 3 C1 + 3 C3 + C4 0 = 63 /2 - C1 + 0 = 63 C3 (-3) - 3 C1 + 3 C3 + C4 0 = - 189 /2 +3 C1 – 3 C3 0 = 63 - 3 C1 + 3 C3 + C4 0 = - 63 /2 + C4 por lo tanto C4 = 63 /2 0 = 700 + 10 C3 + C4 0 = 700 + 10 C3 + 63 /2 por lo tanto C3 = - 1463 /20 0 = 63 /2 - C1 + C3 0 = 63 /2 - C1 + (- 1463 /20) 0 = - 833/20 - C1 por lo tanto C1 = - 833/20 Encontrar la deflexión máxima (Ymax) en la viga cuando X = 3, en la ecuación de flecha del tramo 1 E I Y = 49 /10 (x^3/6) + C1 x + C2 E I Ymax = 49 /10 (3^3 /6) + (-833 /20) (3) + 0 E I Ymax = - 2499 /20 + 441 /20 Ymax = - 1029 ton*m^3/10 EI E I Y = - 21 /10 (x^3 /6) + 21 (x^2/2) + C3 x + C4 E I Ymax = -21 /10 (3^3 /6) + 21 (3^2 /2) -1463 /20 (3) + 63 /2 Ymax = - 1029 ton*m^3/10 EI Método de área-momento Σ Ma = - 7 (3) + Rby (10) = 0 Rby = 21 /10 ton o 2.1 ton Σ Fy = Ray - 7 + 2.1 = 0 Ray = 49 /10 ton o 4.9 ton 0<= x <= 3 Mx = Ray (x) Mx = (49 /10) (x) Mx = (49 /10) (3) = 147 /10 ton*m 3<= x <= 10 Mx = Ray (x) - 7 (x - 3) Mx = (49 /10) (x) - 7 (x) + 21 Mx = (- 21 /10) (x) + 21 Mx = (-21 /10) (3) + 21 = 147 /10 ton*m Mx = (-21 /10) (10) + 21 = 0 ton*m Nuestras ecuaciones para poder encontrar la Ymax Tan α = Δ´c /3 = tba /10 por lo tanto Δ´c = 3 tba /10 Δ´c = Δc + tca por lo tanto Δc = Δ´c - tca A = (b*h) /2 A = (3*147/10) /2 A = 441/20 ton*m^2 X testada = 1/3 b X testada = 1 (3) /3 X testada = 1 m A = b*h /2 A = 7*(147/10) /2 A = 1029 /20 ton *m^2 X testada´= 1 /3 b X testada´= 1 (7) /3 X testada´= 7 /3 m X´= 7 - 7/3 X´= 14 /3 m Calculando las tba, tca, Δ´c y Δc Tba = 1 /EI (((441/20) (8)) + ((1029/20) (14/3))) Tba = 833ton*m^3/2EI Tca = 1 /EI ((441/20) (1)) Tca= 441 ton*m^3/20EI Δ´c = 3 tba /10 Δ´c = (3 (833/2))/10 Δ´c = 2499 ron*m^3/20EI Δ´c = Δc + Tca Δc = Δ´c- tca Δc = 2499/20EI - 441/20EI Δc = 1029 ton*m^3/10 EI = Ymax Método de viga conjugada A = (b*h) /2 A = (3*147/10) /2 A = 441/20 ton*m^2 X testada = 1/3 b X testada = 1 (3) /3 X testada = 1 m X=3–1 X=2m A = b*h /2 A = 7*(147/10) /2 A = 1029 /20 ton *m^2 X testada´= 1 /3 b X testada´= 1 (7) /3 X testada´= 7 /3 m X´= 7 - 7/3 X´= 14 /3 m Σ Ma = 441/20 (2) + 1029/20 (16/3) - Rby (10) = 0 Rby = (441/20 (2) + 1029/20 (16/3)) /10 Rby = 637/20 ton*m^2 Σ Fy = - Ray + 441/20 + 1029/20 -- 637/20 = 0 Ray = 833/20 ton*m^2 Mc = Yc = Ymax Mc = - 441/20 (1) + 833/20 (3) Mc = 1029 ton*m^3/10EI = Ymax Mc = 1029/20 (7/3) - 637/20 (7) Mc = 1029 ton*m^3/10EI = Ymax Método de área-momento Σ Ma = -8 (2) - 5(5) + Rby (7) = 0 Rby = (16 + 25) /7 = 41 /7 ton Σ Fy= -8 –5 +41 /7 + Ray = 0 Ray = 13 – 41 /7 = 50 /7 ton 0 <= x <= 2 Mx = Ray (x) Mx = (50/7) (x) Mx = (50 /7) (2) Mx = 100 /7 ton*m 2 <= x <= 5 Mx = Ray (x) - 8 (x-2) Mx = (50 /7) (x) - 8x +16 Mx = - 6 /7 (x) + 16 Mx= - 6 /7 (2) + 16 Mx = 100 /7 ton*m Mx = -6 /7 (5) + 16 Mx = 82 /7 ton*m 5 <= x <= 7 Mx = Ray (x) - 8 (x-2) - 5 (x-5) Mx = (50/7) (x) -8x + 16 – 5x + 25 Mx = - 41 /7 x + 41 Mx = - 41 /7 (5) + 41 MX = 82 /7 Ton*m Mx = -41 /7 (7) + 41 Mx = 0 ton*m Área y distancias del primer triangulo A= b*h/2 A= (2*(100/7)) /2 A= 100 /7 ton*m^2 X testada= 1b/3 X testada = 2/3 m X= 2 – x testada X = 2 – 2/3 X = 4 /3 m Área y distancias del trapecio A = (bm + Bm (h)) /2 A= (((82 /7) + (100 /7)) (3)) /2 A = 39 ton*m^2 X testada´ = ((bm+ 2Bm) (h/3)) /(bm + Bm) X testada´ = (((82 /7) + (2*100 /7)) (3/3))/ ((82 /7) + (100 /7)) X testada´ = 141 /91 m X´ = 3 – x testada´ X´ = 3 – 141 /91 X´ = 132 /91 m Área y distancias del segundo triangulo A= b*h/2 A= (2*(82/7)) /2 A= 82 /7 ton*m^2 X testada´´= 1b/3 X testada´´ = 2/3 m X´´ = 2 – x testada X´´ = 2 – 2/3 X´´ = 4 /3 m Tan α= (Δ´c /2) = (tba /7) por lo tanto Δ´c = 2 tba /7 Δ´c = Δc + tca por lo tanto Δc = Δ´c - tca Calcular las tba, tca, Δ´c y Δc Tba = 1 /EI (((100 /7) (2 + 3 + 2/3)) + ((39) (2 + 141/91) + ((82 /7) (4 /3))) Tba = 1 /EI ((1700 /21) + (969 /7) + (328 /21)) Tba = 235 ton*m^3 /EI Tca = 1 /EI ((100 /7) (2/3)) Tca = 200 ton*m^3 /21EI Δ´c = ((2) (235)) /7 Δ´c = 470 ton*m^3 /7EI Δc = (470 /7 - 200 /21) / EI Δc = 1210 ton*m^3/21EI = Yc = Ymax Método de viga conjugada Área y distancias del primer triangulo A= b*h/2 A= (2*(100/7)) /2 A= 100 /7 ton*m^2 X testada= 1b/3 X testada = 2/3 m X= 2 – x testada X = 2 – 2/3 X = 4 /3 m Área y distancias del trapecio A = (bm + Bm (h)) /2 A= (((82 /7) + (100 /7)) (3)) /2 A = 39 ton*m^2 X testada´ = ((bm+ 2Bm) (h/3)) /(bm + Bm) X testada´ = (((82 /7) + (2*100 /7)) (3/3))/ ((82 /7) + (100 /7)) X testada´ = 141 /91 m X´ = 3 – x testada´ X´ = 3 – 141 /91 X´ = 132 /91 m Área y distancias del segundo triangulo A= b*h/2 A= (2*(82/7)) /2 A= 82 /7 ton*m^2 X testada´´= 1b/3 X testada´´ = 2/3 m X´´ = 2 – x testada X´´ = 2 – 2/3 X´´ = 4 /3 m Σ Ma = (100 /7) (4 /3) + (39) (2 + 132 /91) + (82 /7) (2 + 3 + 2/3) - Rby (7) = 0 Rby = 220 /7 ton*m^2 Σ Fy = 100 /7 + 39 + 82 /7 - 220 /7 - Ray = 0 Ray = 235 /7 ton*m^2 Mc = Yc = Ymax Mc = - 100 /7 (2/3) + 235 /7 (2) Mc = 1210 ton*m^3/21EI = Yc = Ymax Método de doble integración Σ Ma = -8 (2) - 5(5) + Rby (7) = 0 Rby = (16 + 25) /7 = 41 /7 ton Σ Fy= -8 –5 +41 /7 + Ray = 0 Ray = 13 – 41 /7 = 50 /7 ton 0 <= x <= 2 Mx = Ray (x) Mx = (50/7) (x) 2 <= x <= 5 Mx = Ray (x) - 8 (x-2) Mx = (50 /7) (x) - 8x +16 Mx = - 6 /7 (x) + 16 5 <= x <= 7 Mx = Ray (x) - 8 (x-2) - 5 (x-5) Mx = (50/7) (x) -8x + 16 – 5x + 25 Mx = - 41 /7 x + 41 Tramo 1 E I dy^2/d^2x = Ş (50 /7 x) dx E I dy/dx = (50 /7) (x^2 /2) + C1 Ecuación de giro Volvemos a integral la ecuación encontrada para obtener la siguiente expresión E I dy/dx = Ş ((50 /7) (x^2 /2) + C1) dx E I Y = 50/7 (x^3/6) + C1 x + C2 Ecuación de flecha Tramo 2 E I dy^2/d^2x = Ş (-6/7) (x) + 16) dx E I dy/dx = -6/7 (x^2/2) + 16x + C3 Ecuación de giro Volvemos a integral la ecuación encontrada para obtener la siguiente expresión E I dy/dx = Ş ((-6/7) (x^2/2) + 16x + C3) dx E I Y = -6/7 (x^3/6) + 16x^2/2 + C3 x + C4 Ecuación de flecha Tramo 3 E I dy^2/d^2x = Ş (-41/7 (x) + 41) dx E I dy/dx = -41/7 (x^2/2) + 41x + C5 Ecuación de giro Volvemos a integral la ecuación encontrada para obtener la siguiente expresión E I dy/dx = Ş ((-41/7) (x^2/2) + 41x + C5) dx E I Y = -41/7 (x^3/6) + 41x^2/2 + C5 x + C6 Ecuación de flecha La condición de se cumple cuando Y = 0; Si X = 0, en la ecuación de flecha del tramo 1 E I Y = 50 /7 (x^3/6) + C1 x + C2 E I (0) = 50 /7 (0^3/6) + C1 (0) + C2 0 = 0 + C2 por lo tanto C2 = 0 La condición de se cumple cuando Y = 0; Si X = 7, en la ecuación de flecha del tramo 3 E I Y = -41/7 (x^3/6) + 41x^2/2 + C5 x + C6 E I (0) = -41/7 (7^3/6) + 41 (7^2/2) + 7 C5 + C6 0 = 2009 /3 + 7 C5 + C6 Ecuación 1 Igualamos las ecuaciones de giro en el tramo 1 y 2 cuando X = 2 (50 /7) (x^2 /2) + C1 = -6/7 (x^2/2) + 16x + C3 (50/7) (2^2/2) + C1 = (-6/7) (2^2/2) + 16(2) + C3 100 /7 + C1 = 212 /7 + C3 100 /7 -212 /7 + C1 – C3 = 0 -16 + C1 – C3 = 0 Ecuación 2 Igualamos las ecuaciones de flecha en el tramo 1 y 2 cuando X = 2 50/7 (x^3/6) + C1 x + C2 = -6/7 (x^3/6) + 16x^2/2 + C3 x + C4 50/7 (2^3/6) + 2 C1 + 0 = -6/7 (2^3/6) + 16 (2^2/2) + 2 C3 + C4 200 /21 + 2 C1 = 216 /7 + 2 C3 + C4 200 /21 - 216 /7 + 2 C1 - 2 C3 – C4 = 0 - 64/3 + 2 C1 - 2 C3 - C4 = 0 Ecuación 3 Igualamos las ecuaciones de giro en el tramo 2 y 3 cuando X = 5 -6/7 (x^2/2) + 16x + C3 = -41/7 (x^2/2) + 41x + C5 -6/7 (5^2/2) + 16 (5) + C3 = -41/7 (5^2/2) + 41(5) + C5 485/7 + C3 = 1845/14 + C5 485/7 - 1845/14 + C3 – C5 = 0 - 125/2 + C3 - C5 = 0 Ecuación 4 Igualamos las ecuaciones de flecha en el tramo 2 y 3 cuando X = 5 -6/7 (x^3/6) + 16x^2/2 + C3 x + C4 = -41/7 (x^3/6) + 41x^2/2 + C5 x + C6 -6/7 (5^3/6) + 16 (5^2/2) + 5 C3 + C4 = - 41/7 (5^3/6) + 41 (5^2/2) + 5 C5 + C6 1275/7 + 5 C3 + C4 = 8200/21 + 5 C5 + C6 1275/7 - 8200/21 + 5 C3 + C4 - 5 C5 - C6 = 0 - 625/3 + 5 C3 + C4 - 5 C5 - C6 = 0 Ecuación 5 Sistema de ecuaciones 2009 /3 + 7 C5 + C6 = 0 C4 = 32/3 -16 + C1 - C3 - 64/3 + 2 C1 - 2 C3 - C4 C6 = 689/6 =0 C5 = - 1569 /14 - 125/2 + C3 =0 C3 = -347/7 - 625/3 + 5 C3 + C4 - 5 C5 - C6 = 0 C1 = - 235/7 -16 + C1 - - C5 =0 C3 = 0 (-2) - 64/3 + 2 C1 - 2 C3 - C4 32 -2 C1 + 2 C3 =0 =0 - 64/3 + 2 C1 - 2 C3 - C4 = 0 32/3 - C4 = 0 por lo tanto C4 = 32/3 - 625/3 + 5 C3 + 32/3 - 5 C5 - C6 = 0 - 125/2 + C3 - 625/3 + 5 C3 + 32/3 - 5 C5 - C6 = 0 625/2 - 5 C3 - C5 + 5 C5 689/6 = 0 (-5) =0 - C6 = 0 por lo tanto C6 = 689/6 2009 /3 + 7 C5 + C6 = 0 2009 /3 + 7 C5 + 689/6 = 0 1569 /2 + 7 C5 = 0 C5 = (- 1569/2) /7 - 125/2 + C3 por lo tanto C5 = - 1569 /14 - C5 =0 -125/2 + C3 + 1569/14 = 0 347/7 + C3 = 0 -16 + C1 - por lo tanto C3 = -347/7 C3 =0 -16 + C1 + 347/7 = 0 235/7 + C1 = 0 por lo tanto C1 = - 235/7 Encontrar el valor de Ymax; si X=2, en la ecuación de flecha del tramo 1 o 2 E I Y = 50/7 (x^3/6) + C1 x E I Ymax = 50/7 (2^3/6) + -235/7 (2) Ymax = -1210 ton*m^3 /21EI E I Y = -6/7 (x^3/6) + 16x^2/2 + C3 x + C4 EI Ymax = -6/7 (2^3/6) + 16 (2^2/2) - 347/7 (2) + 32/3 Ymax = -1210 ton*m^3/21EI