S07.s1 - Material

Matemática para Ingenieros 1
Unidad 7: Integral definida . Aplicaciones : Área y volumen
Ciclo Marzo 2020
Temario
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Integral definida
Área.
Volumen . Método del disco
Volumen : Método corteza cilíndrica
Conclusiones
Logro de la sesión:
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante aplica la integral definida
en el cálculo
de áreas y volúmenes en ejercicios y problemas
contextualizados
Datos/Observaciones
UTILIDAD :
Teniendo en cuenta la gráfica y además que el trabajo debido
a la fuerza 𝑓 sobre el intervalo 0; 1 ; se calcula como 𝑤 =
𝑓𝑑
¿Cómo calcula el área de la región R?
f(x) = 2x
¿Cómo calcula el trabajo realizado?
Á𝑟𝑒𝑎 =
g(x) = 2x2
R
1
𝑏ℎ =
2
1
1 2 = 1 𝑢2
2
Si la región sombreada R es dada por la gráfica de
g 𝑥 sobre el intervalo [0; 1] y el eje 𝑋.
¿Cómo calcula el área?
¿Cómo calcula el trabajo realizado?
Datos/Observaciones
R
¿Para que sirven los sólidos de revolución?
Sirven para crear (diseñar) sólidos, pero sobre todo para conocer sus
características físicas (volumen, peso) y geométricas (superficie,
centroide, momento de inercia)
Datos/Observaciones
2do Teorema fundamental del cálculo integral
Si 𝑓: 𝑎; 𝑏 → ℝ es continua en [a; b] y la función F es cualquier
antiderivada de 𝑓 en dicho intervalo, entonces

b
a
f ( x)dx  F (b)  F (a)
Ejemplo.
2
3𝑥 2 𝑑𝑥 = 23 − 13 = 7
1
Observación:
𝒃
𝒇′ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂
𝒂
Datos/Observaciones
Propiedades:
Consideremos dos funciones f y g integrables en [a,b] y k una
constante arbitrariamente, entonces:
𝒂
𝟏.
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎
𝒂
2
3
4
b
b
a
a
 kf ( x)dx  k 
f ( x)dx
b
b
a
a
 [ f ( x)  g ( x)]dx  

b
a
b
f ( x)dx   g ( x)dx
a
c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
Donde 𝑓 es integrable en [a,c],[c,b],[a,b]
a≤c≤b.
Datos/Observaciones
y
Ejercicio 1
Calcular el valor de
2
2𝑥 + 3 𝑑𝑥
0
Datos/Observaciones
Ejercicio 2
Calcular el valor de
𝐿𝑛𝑒
0
Datos/Observaciones
𝑒 2𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
Ejercicio 3
Calcular el valor de
𝜋
4
0
Datos/Observaciones
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
Integral definida
Integral definida
Teorema
Sea 𝑓: 𝑎, 𝑏 → ℝ una función continua, entonces 𝑓 es
integrable sobre el intervalo 𝑎, 𝑏
Definición
Sea 𝑓 ≥ 0 e integrable sobre sobre 𝑎, 𝑏 , entonces el área
bajo la curva de la grafica de 𝑓 desde 𝑎 hasta 𝑏 se define
como
Á𝑟𝑒𝑎 𝑓 =
Datos/Observaciones
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥
Aplicación de la Integral
Área de una figura plana
A) El área por debajo de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) entre 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏.
Á𝑟𝑒𝑎 =
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥
B) En el caso de que la curva corte al eje OX en varios puntos:
Á𝑟𝑒𝑎 =
𝑥1
𝑓
𝑎
Datos/Observaciones
𝑥 𝑑𝑥 +
𝑥2
𝑓
𝑥1
𝑥 𝑑𝑥 +
𝑏
𝑓
𝑥2
𝑥 𝑑𝑥
Aplicación de la Integral
C) Área comprendida entre dos curvas y = f(x), y = g(x).
Á𝑟𝑒𝑎 =
Datos/Observaciones
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 −
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥
Aplicación de la Integral
Ejercici
o
Hallar el área limitada por la curva y = x3 – 6 x2+ 8 x y el eje
OX.
Solución:
Hacemos y=0 → x3 – 6 x2+ 8 x = 0
Las raíces son x=0, x=2, x=4
Á𝑟𝑒𝑎 =
2
0
𝑥 3 − 6𝑥 2 + 8𝑥 𝑑𝑥 +
Datos/Observaciones
4
2
𝑥 3 − 6𝑥 2 + 8𝑥 𝑑𝑥 = 8 𝑢2
Aplicación de la Integral
Ejercici
o
Hallar el área de la figura limitada por las curvas 𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝑦 = 𝑒 −𝑥 , y por la
recta 𝑥 = 1.
Solución:
El área pedida está remarcada en la
gráfica 1
𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
Á𝑟𝑒𝑎 =
0
= 𝑒 + 𝑒 −1 − 𝑒 0 + 𝑒 −0
= 𝑒 + 𝑒 −1 − 2
Datos/Observaciones
Ejercicio 1
Calcular el área bajo la curva 𝑓 𝑥 = 2𝑥 sobre el intervalo 0; 1
Datos/Observaciones
Ejercicio 2
Calcular el área bajo la curva 𝑓 𝑥 = 2𝑥 2 sobre el intervalo 0; 1
Datos/Observaciones
Ejercicio 3
Calcular el área limitada por las curva y = 2𝑥 2 , y = 𝑥 3
Datos/Observaciones
Ejercicio 4
Calcular el área limitada por las curvas y = 8 − 𝑥 2 , y = 𝑥 2
Datos/Observaciones
Aplicación de la Integral
APLICACIONES
1. DISTANCIA RECORRIDA: Si un objeto se desplaza rectilíneamente
en un intervalo de tiempo [t1,t2] y su velocidad esta representado por v(t)
entonces la distancia total esta dada por la integral definida:
𝑡2
𝑑=
𝑣 𝑡 𝑑𝑡
𝑡1
Se requerirá el valor absoluto por que el objeto puede moverse a la
izquierda, de modo que durante algún tiempo tiene velocidad negativa.
Datos/Observaciones
APLICACIONES
2. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL: Sea la función de posición de
un objeto que se mueve en Iínea recta s(t)=f(t) entonces:
a.
Velocidad: v(t)=f’(t)
b.
Aceleración: a(t)=v’(t)=f’’(t)
Si aplicamos la integral indefinida, las funciones s=f(t) y v(t) pueden
expresarse como:
c.
s(t )  f (t )   v(t )dt
d.
v(t )   a(t )dt
Ahora si se conocemos la posición inicial s(0) y la velocidad inicial v(0),
es posible encontrar valores específicos de las constantes de
integración.
Datos/Observaciones
Ejercicio
La función de posición de un objeto que se mueve sobre una recta es 𝑠 𝑡 = 𝑡 2 − 5𝑡,
donde t es el tiempo en segundos y 𝑠(𝑡) es la distancia en centímetros.
Encuentre la distancia recorrida en el intervalo de tiempo desde t1=0 hasta t2=12.
Solución:
Posición: 𝑠 𝑡 = 𝑡 2 − 5𝑡
Distancia Recorrida =
12
0
Luego 𝑣 𝑡 = 2𝑡 − 5
2𝑡 − 5 𝑑𝑡
12
2.5
2𝑡 − 5 𝑑𝑡 +
=
2.5
0
2.5
=
2𝑡 − 5 𝑑𝑡
12
− 2𝑡 − 5 𝑑𝑡 +
0
 (5t  t
Datos/Observaciones
2𝑡 − 5 𝑑𝑡
2.5
2 2.5
0
)  (t  5t
2
12
2.5
)  96.5cm
Ejercicio 2
Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 1600
pies/s. Despreciando la resistencia del aire, calcule la altura máxima que alcanza el proyectil.
Solución:
Aceleración
𝑎 𝑡 = −𝑔 = −32 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠 2
Velocidad
𝑣 𝑡 =
Velocidad
inicial
𝑣 0 = 1600 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠
−32𝑑𝑡 = −32𝑡 + 𝐶
𝑣 0 = 1600 = 𝐶
𝑣 𝑡 = −32𝑡 + 1600
Datos/Observaciones
Ejercicio 3
Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde una ventana situada
a 40 m sobre el suelo. Si la piedra golpea el suelo 4 s después de
soltarse, determine la velocidad con la cual se lanzó hacia arriba y la
velocidad con la que golpea el suelo.
Datos/Observaciones
Ejercicio 4
1
¿ Puedes calcular el área que acotada por las funciones 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 15𝑥
y ℎ 𝑥 = 𝑥 3 − 4𝑥 2 − 11𝑥 + 30 ?
Datos/Observaciones
Sólido de revolución
Sólido de revolución
Es aquella figura tridimensional que resulta de rotar 3600 una región
del plano en torno a un eje.
𝑌
𝑋
Datos/Observaciones
Sólido de revolución
Datos/Observaciones
Sólido de revolución
Datos/Observaciones
Reflexión
¿Cómo puedes calcular el volumen de esta sandia si lo consideramos
como un solido de revolución ?
Datos/Observaciones
Reflexión
Hallemos el volumen
mostrada en la figura:
de
la
sandia
Dividamos el sólido (sandia) en 𝑛
anchura ∆𝑥 y radio 𝑅 𝑥𝑖 .
∆𝑥
𝑦 = 𝑓𝑥
𝑎
𝑏
𝑎
𝒙𝒊
discos de
∆𝑥 =
𝒙𝒊+𝟏
𝑏−𝑎
𝑛
𝑏
El volumen del sólido será aproximado por los 𝑛
discos.
Datos/Observaciones
Hallemos el volumen del disco seleccionado.
𝑦 = 𝑓𝑥
𝑹
𝒙𝒊
𝑅
∆𝑥
𝑉𝑖 = 𝜋 𝑓 𝑥𝑖
Datos/Observaciones
2
∆𝑥
𝑥𝑖
= 𝑓 𝑥𝑖
Reflexión
Luego, el volumen aproximado del sólido (sandia) es la suma de los 𝑛
discos. Es decir,
𝑛
Volumen del sólido ≈
𝜋𝑅
2
𝑥𝑖
𝑖=1
𝑛
=𝜋
𝑅
2
𝑥𝑖
∆𝑥
∆𝑥
𝑖=1
Esta aproximación es mejor y aun mas cuando ∆𝑥 ⟶ 0 (𝑛 ⟶ +∞).
Así, se puede definir el volumen del sólido como:
𝑛
Volumen del sólido = lim 𝜋
∆𝑥 →0
Datos/Observaciones
𝑅
𝑖=1
2
𝑥𝑖
𝑏
∆𝑥 = 𝜋
𝑎
𝑓𝑥
2
𝑑𝑥
Método del disco
Método del disco: respecto al eje x
Descripción de la región:
R
y=f(x)
a
 x; y  ∈R
/a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f x 
Elemento
diferencial de
volumen
radio: r = f(x)
b
dx
Diferencial de
volumen:
V 
dV=[f(x)]2 dx

b
a
Datos/Observaciones
2
 [f x ]2 dx
Método del disco
Ejemplo
Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x, la
región acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1,
x = 2, y = 0.
radio: r = 𝑥 2
dx
1 2
2
𝜋 𝑥 2 2 𝑑𝑥 = 𝜋
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
1
=
Datos/Observaciones
31
𝜋 𝑢3
5
2
1
𝑥 4 𝑑𝑥 =
𝜋 5
2 − 15 𝑢3
5
Ejemplo 2
Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x, la región acotada por la
curva y = x2 y las rectas x = 0,
4
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
2
𝜋 𝑥 𝑑𝑥
0
= 8𝜋 𝑢3
Datos/Observaciones
x = 4, y = 0.
4
=𝜋
𝑥𝑑𝑥
0
=
𝜋 2
4 − 02 𝑢 3
2
Si la región R está limitada por la curva x=g(y), y el eje “Y” y las rectas y=c,
y=d(c<d) entonces el volumen del sólido generado al girar la región R sobre el
eje Y, esta dado por la expresión.
𝑓
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝜋
𝑔 𝑦
𝑒
Datos/Observaciones
2
𝑑𝑦
Ejercicio 1
Calcular el volumen al rotar sobre el eje X la región comprendida entre
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 , y = 0 sobre el intervalo 1; 4
Datos/Observaciones
Ejercicio 2
Calcular el v olumen generado al rotar sobre el eje X la región limitada por 𝑦 =
2𝑥 2 , 𝑦 = 𝑥 3
Datos/Observaciones
Ejercicio 3
Calcular el v olumen generado al rotar sobre el eje X la región limitada por 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 𝑥 + 2
Datos/Observaciones
Ejercicio4
La región limitada por la elipse 𝑏 2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏 2 con 0<b<a,
gira alrededor de su eje mayor. Calcule el volumen del sólido
generado.
Alternativas:
a) (
b) (
c) (
d) (
Datos/Observaciones
4
ab2 π2 )μ3
3
4
ab2 π)μ3
3
4
ab2 2π)μ3
3
4
ab2 π/2)μ3
3
Método de corteza
Datos/Observaciones
Método de corteza
Datos/Observaciones
Método de corteza
Datos/Observaciones
Datos/Observaciones
Datos/Observaciones
Conclusiones:
Se ha comprobado la aplicación de la integral en el cálculo de
áreas y volúmenes
Consulte, desarrolle las actividades y practique……
•Muchas gracias!
• “La ciencia nunca resuelve un problema sin crear otros 10 más».”
•
George Bernard Shaw