Tarea 1. Introducción al Diseño de Máquinas Eléctricas César Gallardo Sánchez UdeC, Concepción, Chile cgallardos@udec.cl Abstract—En este informe se propone calcular el valor de la corriente magnetizante necesaria para establecer un flujo magnético en un material ferromagnético. Este valor de corriente se calculará para diferentes valores de flujo magnético y diferentes propiedades del núcleo, logrando asi conclusiones sobre la importancia de la elección del material que se utilizara en la elaboración del núcleo magnético. Keywords—permeabilidad, magnético. fuerza magnetomotriz, flujo I. INTRODUCCIÓN Se denomina circuito magnético a un dispositivo en el cual las líneas de fuerza del campo magnético se hallan canalizadas trazando un camino cerrado. Para su fabricación se utilizan materiales ferromagnéticos, pues éstos tienen una permeabilidad magnética mucho más alta que el aire y por tanto el campo magnético tiende a confinarse dentro del material, llamado núcleo. El llamado acero eléctrico es un material cuya permeabilidad magnética es excepcionalmente alta y por tanto apropiado para la fabricación de núcleos. Fig. 1. Núcleo ferromagnético. La correcta elección del acero eléctrico es de gran importancia para el diseño de un circuito magnético. De las propiedades de este material va a depender el valor de la corriente que va a circular por la bobina para establecer en el núcleo un flujo determinado. II. PROBLEMA Dado un núcleo ferromagnético como el que se muestra en la Fig.1, donde las medidas están en milímetros y las secciones del núcleo están enumeradas, desde la sección uno hasta la cinco. Con las dimisiones del núcleo y el número de vueltas de la bobina, se propone calcular la caída de la fuerza magnetomotriz (FMM) en cada sección del núcleo y la FMM total. Esto se va a realizar para tres valores de flujo diferentes, con dos valores fijos de permeabilidad magnética y con dos materiales de los cuales conocemos sus curvas B-H (Fig. 2). III. CÁLCULOS La ley básica que gobierna la producción de un campo magnético por medio de una corriente es la ley de Ampere: ∮ 𝑯 ∙ 𝑑𝑙 = 𝑖𝑛𝑒𝑡𝑎 donde H es la intensidad del campo magnético producida por la corriente ineta, y dl es el elemento diferencial a lo largo de la Fig. 2. Curvas B-H. trayectoria de integración. Como el núcleo es de materiales ferromagnéticos, casi todo el campo magnético producido por la corriente permanecerá dentro del núcleo, de modo que el camino de integración especificado en la ley de Ampere es la longitud media del núcleo (l). La corriente que pasa por el camino de integración ineta es entonces Ni, puesto que la bobina de alambre corta dicho camino N veces mientras pasa la corriente i. La ley de Ampere se expresa entonces como 𝐻𝑙 = 𝑁𝑖 (1) o de una forma más general ∑ 𝐻𝑙 = 𝑁𝑖 (1.1) La intensidad del campo magnético H es, de alguna manera, una medida del “esfuerzo” de una corriente por establecer un campo magnético. La potencia del campo magnético producido en el núcleo depende también del material del que está hecho. 𝐵 = 𝜇𝐻 Mediante la aplicación de estas ecuaciones matemáticas y la elaboración de un código en Matlab se la llega a los resultados que se muestran en el epígrafe IV. (2) donde µ: permeabilidad magnética del material B: densidad de flujo magnético resultante IV. RESULTADOS Primeramente, se calcula la longitud media de cada sección (el número de cada sección se observa en la Fig. 1) del núcleo y el área de las mismas. Estos valores se muestran en la tabla I. Posteriormente con los valores de inducción magnética y la curva de magnetización de los materiales que se disponen a analizar, M 19 e Hyperco 50, se obtienen los valores de la intensidad del campo magnético, estos se muestran en la tabla II. Tabla I. Valor de longitud media y área de las diferentes secciones del núcleo magnético. La permeabilidad del espacio libre (aire) se denomina µ0, y su valor es 𝜇0 = 4𝜋 ∗ 10−7 𝐻/𝑚 La permeabilidad de cualquier material comparada con la del espacio libre se denomina permeabilidad relativa 𝜇 𝜇𝑟 = (3) 𝜇0 La permeabilidad relativa es una medida útil para comparar la capacidad de magnetización de los materiales. Ahora el flujo total en cierta área está dado por ∅ = ∫ 𝑩 ∙ 𝑑𝑨 (4) donde dA es la diferencial del área. Si el vector de densidad de flujo es perpendicular a un plano de área A y si la densidad de flujo es constante en toda el área, la ecuación se reduce a ∅ = 𝐵𝐴 ℱ = 𝑁𝑖 En un circuito eléctrico, el voltaje aplicado ocasiona un flujo de corriente I. En forma similar, en un circuito magnético, la fuerza magnetomotriz aplicada ocasiona un flujo. La relación entre voltaje y corriente en un circuito eléctrico está dada por la ley de Ohm (V=IR); en forma semejante, la relación entre la fuerza magnetomotriz y el flujo es (6) donde ℜ: reluctancia del circuito 𝑙 ℜ= 𝜇𝐴 5 (7) A(m2) 2.89E-03 3.88E-03 2.49E-01 3.14E-01 1.24E-01 2.28E-03 3.88E-03 2.89E-03 En la sección 3, para un valor de flujo de 6 mWb, el valor de inducción magnética sobrepasa el punto de saturación del material, por lo que la permeabilidad es la del vacío y la intensidad del campo se obtiene a partir de la ecuación 2. Tabla II. Valores de intensidad del campo magnético. ϕ (mWb) Sec. B(T) 2 1 2 3 4 5 4 (5) En el circuito magnético, al igual que la fuente de voltaje en el circuito eléctrico, la fuerza magnetomotriz tiene una polaridad asociada a ella. El terminal positivo de la fuente de FMM es el terminal de donde sale el flujo y el terminal negativo es el terminal por donde el flujo retorna a la fuente. ℱ = ∅ℜ 3 4 (4.1) La fuerza magnetomotriz (FMM) de un circuito magnético es igual al flujo efectivo de corriente aplicado al núcleo, o l(m) 1.24E-01 3.14E-01 Sección 1 2 6 0.69 0.51 0.87 0.51 0.69 H(A/m) M 19 66.55 52.54 86.85 52.54 66.55 H(A/m) Hyperco 50 157.64 122.80 198.12 122.80 157.64 1 2 3 4 5 1.38 1.03 1.75 1.03 1.38 388 112.5 7629.6 112.5 388 340.19 236.58 510.42 236.58 340.19 1 2.07 72038 1500 2 3 4 5 1.548 2.63 1.54 2.07 1779 2095222.93 1779 72038 400 2095222.93 400 1500 Los resultados de las corrientes se muestran en las tablas III, IV, V, VI. Tabla III. Resultados para µ=∞. ϕ (mWb) 2 4 6 Sec. gap 1 2 3 4 i(A) 2.6 Hl (AV) 551.3 0.00 0.00 0.00 0.00 5 0.00 gap 1 2 3 4 1102.7 0.00 0.00 0.00 0.00 5.5 5 0.00 gap 1 2 3 4 1654.1 0.00 0.00 0.00 0.00 8.3 5 ∑Hl (AV) Tabla V. Resultados para M 19. Ni (AV) ϕ 551.6 1102.7 1654.1 551.1 1102.2 1653.3 2 4 6 0.00 Sec. i(A) Hl (AV) 2 4 gap 1 2 3 4 5 6 gap 1 2 3 4 5 3.5 551.4 17.1 32.3 43.5 32.3 17.1 6.9 1102.7 34.2 64.5 86.9 64.5 34.2 10.4 1654.1 51.3 96.8 130.4 96.8 51.3 Hl (AV) ∑Hl (AV) ∑Hl (AV) gap 1 2 3 4 3.1 551.4 8.3 16.5 21.6 16.5 5 8.3 gap 1 2 3 4 1102.7 48.1 35.3 1899.8 35.3 15.8 5 48.1 gap 1 2 3 4 1654.1 8932.7 558.6 521710.5 558.6 2711.7 Ni (AV) ϕ Sec. i(A) gap 1 2080.6 622.2 3169.4 3169.4 542347.3 542340 Hl (AV) 694 2 2 3 4 5 1388 2080 4 2 3 4 5 3.6 3 4 5 Ni (AV) 38.6 49.3 38.6 19.6 716.9 716.9 1462.8 1461.7 523987.9 523980 1102.7 42.2 7.3 gap 1 2 6 ∑Hl (AV) 551.4 19.6 gap 1 1387.0 622.5 8932.7 (mWb) 693.5 Ni (AV) Tabla VI. Resultados para Hyperco 50. (mWb) gap 1 2 3 4 5 i(A) 5 Tabla IV. Resultados para µr=4000 H/m. ϕ Sec. (mWb) 74.3 127.1 74.3 42.2 1654.1 186.0 125.6 2619.9 521710.5 125.6 186.0 La tabla III es para un material con una permeabilidad infinita, y se observa que la caída de la FMM en todas las secciones del núcleo es igual a cero, lo que nos indica que toda la corriente que pasa por la bobina se utiliza para que el flujo magnético cruce el entrehierro (gap). permeabilidad es menor esta caída. La permeabilidad de los materiales ferromagnéticos no es constante, sino que depende de H. Dado esto la permeabilidad relativa se incrementa con H (o corriente por la espira) hasta un máximo, y luego mientras el V. CONCLUCIONES Como se puede observar en las tablas III, IV, V y VI la FMM total de un circuito magnético se puede calcular mediante el producto de la corriente que circula por la bobina o por la suma de la caída de esta en cada sección del circuito magnético, pero entre estas dos formas existe una ligera diferencia en el resultado, y esto se debe a que no se tuvo en cuenta el flujo disperso. Para fines prácticos se desprecia el flujo disperso, ya que el error que se obtiene es por debajo del ± 5% del valor real. El flujo disperso es debido a que la permeabilidad del hierro es mucho mayor que la del aire, por lo que la mayor parte del flujo permanece dentro del núcleo en lugar de viajar a través del aire circundante, cuya permeabilidad es mucho más baja, este flujo que se escapa se llama flujo disperso. Además, cuando la permeabilidad el material es alta la caída de las FMM en las secciones del circuito magnético es mínima, como se observa en las tablas, a medida que aumenta la Fig. 3. Curva de saturación. material se aproxima a saturación, el efecto se invierte y la curva decrece hasta uno, haciendo que la permeabilidad del material sea igual a la del vacío, este comportamiento se puede observer en la Fig. 3.El efecto de saturación limita los máximos campos magnéticos que se pueden conseguir en un circuito magnético.
