ANÁLISIS: “¿CÓMO PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS?” -GEORGE POLYA- UNIVERSIDAD CATÓLICA DE COLOMBIA PROGRAMA INGENIERÍA CIVIL CÁCULO DIFERENCIAL - PRIMER SEMESTRE PRESENTADO POR • FELIPE GORDILLO -508606• SANTIAGO ZARTA -508512• JUAN VARGAS -508450- Introducción George Polya nació en Hungría en 1887 y murió en Estados Unidos en 1985. Fue una elogiado y galardonado matemático, conocido por su incríble trabajo acerca de la pedagogía en las matemáticas. Su grandiosa obra “Cómo plantear y resolver problemas “, publicada en 1945, ha sido un gran instrumento utilizado por muchos veteranos y principiantes en el mundo de las matemáticas. Polya tenía como obejtivo el despertar y motivar el ingenio del lector, para así animarlo de cara a la resolución de problemas, no sólo matemáticos, también de la vida cotidiana. Así mismo se preocupaba por la metodología de enseñanza y aprendizaje, en donde, en su obra, da consejos tanto a maestros como a estudiantes, para así lograr una armonía en el aprendizaje, donde el estudiante no tome con miedo nuevos temas, y que al contrario lo vea como un reto a superar de la mano de su mentor. A continuación se mostrarán algunos pasos y definiciones dadas por Polya en su obra. PÁGINA 1 1. ¿Qué es un problema? Un problema matemático plantea siempre una pregunta y establece unas determinadas condiciones. Usualmente esa pregunta la vemos como una incógnita, acerca de alguna entidad matemática, la cual debemos hallar a partir de otra entidad del mismo tipo y que a la vez satisfaga las condiciones ya mencionadas. 2. Partes de un problema. 1° Comprender el problema. En este paso se debe poner atención muy detallada a qué es lo que se pide resolver, ya que generalmente es la etapa más complicada a superar. Se deben plantear preguntas como “¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición?”. Es recomendable usar analogías para este paso; si es de dificultad encontrar una, se requiere la imitación hacia personas que hallan resuelto el tipo de problema identificado. Para la resolución del problema es necesario tener ciertos conociemientos sobre el tema del tipo de problema. 2° Crear un plan. En este paso se debe recordar si el problema a resolver es similar a algún otro problema ya antes resuelto, e identificar si es aplicable la estrategia antes utilizada. Polya nos anima a utilizar conocimientos ya antes demostrados, ya que para él, el saber se contruye apartir de lo realizado PÁGINA 2 por alguien más. Pero sólo los conocimientos no bastarán, ya que entra el juego la imaginación y capacidad para saberlos utilizar correctamente. 3° Ejecutar el plan. Al ya tener en claro todas las herramientas a utilizar, el plan pensado debe ser ejecutados. En este paso se hace especial uso de conocimientos previamente aprendido en el área. Es de advertir, que en este paso, de debe tener sumo cuidado con pequeños detalles, siempre tomando el tiempo necesario, ya que variará entre los diferentes tipos de problemas. 4° Examinar la solución obtenida. El análisis del resultado es el paso final, y quizá, el más importante. Se da lugar al gran descubrimiento y culminación de todo un proceso, en el cual se debe analizar todo lo hecho para haber dado lugar a la respuesta final. Acá de da la consolidación de conocimientos, habiendo desarrollado más las capacidades ya adquiridas. Si aún no se ha llegado a una respuesta que satisfaga todos los datos del problema, se recomienda mirar hacia atrás paso por paso, e identificar en donde se halla el error. Si el error persiste, y se hace totalmente ajeno a quien resuelve el problema, G. Polya recomienda: “Si no puedes resolver el problema propuesto, intenta resolver primero un problema relacionado. ¿Podrías imaginar un problema relacionado más accesible?” PÁGINA 3 3. Clases de problemas. •Problemas aritméticos: Aquellos que presentan en su enunciado datos en forma de cantidades, y establecen entre ellas relaciones de tipo cuantitativo. Se hace necesarias las operaciones aritméticas para llevar a cabo su resolución. -De primer nivel: De un sólo paso, una única operación. -De segundo nivel: De tipo combinado. Necesarias varias operaciones en un orden en específico. -De tercer nivel: Aquellos en que los datos del enunciado no son números naturales, en su lugar son números decimales o fraccionarios. •Problemas geométricos: El componente aritmético pasa a un segundo plano, y reina la imprtancia de lo relacionado con aspectos geométricos. •Problemas de razonamiento lógico: Este tipo de problema permite el desarrollo de diferentes destrezas para afrontar situaciones de tipo lógico, un claro ejemplo es el sudoku. •Problemas de recuento sistemático: Problemas que tienen varias soluciones, y es de menester encontarlas todas. Pueden ser tanto de ámbito numérico como geométrico. •Problemas de razonamiento inductivo: Consta de enunciar propiedades numéricas o geométricas a partir del descubrimiento de regularidades y patrones visibles. •Problemas de probabilidad: Situaciones en las cuales, a partir de datos seleccionados, se puede descubrir la viabilidad o no de algunas futuras situaciones, haciendo predicciones con base científica. PÁGINA 4 4. Elección de un problema, identificación de sus partes y clasificación. -Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el origen y el punto (2;4) Desde primer momento, podemos notar que es un problema aritmético, de segundo o tercer nivel. Para la resolución de este problema, nos dan dos datos. Específicamente dos puntos de una gráfica, el punto (0;0) y el punto (2;4). A su vez, ya podemos identificar que tenemos que hallar, una ecuación. Con conocimientos previamente adquiridos sabemos que la ecuación será de tipo lineal, de la forma y=mx+b. Teniendo dos puntos, podemos hacer uso de la ecuación de la pendiente (m), la cual es: m=Y2-Y1/X2-X1 Al reemplazar nos quedaría: m=4-0/2-0 m=4/2 m=2 Al haber hallado la pendiente podemos reemplazar en la ecuación: y=2x+b Seguimos con el proceso para hallar “b”, por lo cual tomamos cualquier punto dado en el enunciado del problema, y reemplazandolo en la ecuación. Punto tomado: (2;4) y=2x+b 4=2(2)+b 4-4=b 0=b PÁGINA 5 Finalmente podemos escribir toda la ecuación. y=2x+0 y=2x Y la gráfica sería: PÁGINA 6