Ingeniería Técnica en Informática de Gestión Matemáticas II
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Tema 1: ECUACIONES LINEALES
Ingeniería Técnica en Informática de Gestión
Curso 2001-2002
2º Cuatrimestre
Matemáticas II
“Problemas Tema 1: ECUACIONES LINEALES”
Grupo 11-1
-.1.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
Problemas Tema 1.
ECUACIONES LINEALES
Problema 1.1 Decida por eliminación si existe o no solución para cada uno de los
siguientes sistemas:
En caso de que exista, calcúlela.
(a)
u + v + w = 0
1 1 1 0
1 1 1 0
2f → 2f-1f
⇒ 0 1 2 0 ⇒ 3f
u + 2v + 3w = 0 ⇒ 1 2 3 0 ⇒
3u + 5v + 7 w = 1 3 5 7 1 3f → 3f-3*1f
0
2
4
1
→
1
2
3f
1 1 1
⇒ 0 1 2
0 1 2
0
0
1
2
No tiene solución porque dos ecuaciones iguales (filas 2 y 3) no pueden dar
resultados distintos. Por lo tanto, es un sistema incompatible
u − v + 3w = 3
1 −1 3 3
1 −1 3 3
2f → 2f-1f
(b) u + 2v − w = 2 ⇒ 1 2 −1 2 ⇒
⇒ 0 3 −4 −1 ⇒ 3f
3f → 3f-2*1f
2u + v + 2 w = 5 2 1 2 5
−
−
0
3
4
1
1 −1 3 3
⇒ 0 3 −4 −1 ⇒ 1f
0 0 0 0
→ 1f+
1
3
2f
→ 3f-2f
⇒
−1 + 4 w
v=
4
1
3
1 0 3 − 3 3 − 3
5 8
⇒ 0 3 −4
−1 ⇒ u = − w
3 3
0 0
0
0
w → libre
Sistema compatible indeterminado, es decir, que tiene infinitas soluciones, una por
cada valor de w
(c)
2u − 5v + 4 w = −3 2 −5 4 −3
1 −2 1 5
3f → 3f-1f
⇒ 1 −2 1 5 ⇒ 1f ↔ 2f ⇒ 2 −5 4 −3 ⇒
⇒
u − 2v + w = 5
2f → 2f-2*1f
u − 4v + 6 w = 10
1 −4 6 10
1 −4 6 10
1 −2 1 5
1 −2 1 5
1 −2 1 5
⇒ 0 −1 2 −13 ⇒ 3f → 3f-2*2f ⇒ 0 −1 2 −13 ⇒ 2f → 2f-2*3f ⇒ 0 1 0 75 ⇒
0 −2 5 5
0 0 1 31
0 0 1 31
⇒ 1f
→ 1f+2*2f
1 0 1 155
⇒ 0 1 0 75 ⇒ 1f
0 0 1 31
→ 1f-3f
u = 124
1 0 0 124
⇒ 0 1 0 75 ⇒ v = 75
w = 31
0 0 1 31
Sistema compatible determinado, una única solución.
-.2.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
Problema 1.2 Encuentre la solución general del sistema cuya matriz ampliada es la
siguiente:
1
0
0
0
5
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
a = 3 − 5b
3
b → libre
−2
⇒ c = −2
6
d =6
λ
λ=0
λ tiene que ser 0 porque 0+0+0+0 sólo puede dar como resultado 0 porque si no el
sistema sería incompatible, es decir, que el sistema sólo tiene solución cuando λ vale
0
Problema 1.3 Halle los posibles valores de h para los cuales las siguientes matrices
son las matrices ampliadas de sistemas lineales compatibles:
4
-2
1 4 −2
1
⇒ 2f → 2f-3*1f ⇒
⇒ h − 12 = 0 ⇒ h = 12
−6
0 h − 12 0
a)
3 h
Si h = 12 el sistema es un sistema indeterminado y, por lo tanto, no existe solución
para el sistema. Si h ≠ 12 el sistema se convierte en un sistema compatible
determinado con una única solución.
2
b)
−4
−6 −3
2 -6 -3
⇒ 2f → 2f+2*1f ⇒
⇒h−6=0⇒ h = 6
12 h
0 0 h − 6
Si h = 6 el sistema se convierte en un sistema compatible indeterminado con infinitas
soluciones y una variable libre. Si h ≠ 6 el sistema es un sistema indeterminado y no
existe solución.
Problema 1.4 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. (Por
razonar se entenderá citar teoremas o resultados apropiados en el caso verdadero y
proporcionar contraejemplos en el caso falso).
1. Una matriz con n filas y m columnas puede tener, como máximo, n + m
pivotes. → FALSO porque los pivotes sólo están relacionados con las filas
pudiendo, como máximo, tener n pivotes, uno por fila. Da igual el número
que tenga la matriz de columnas
2. Para que una matriz no tenga ningún elemento pivote debe ser,
obligatoriamente, una matriz de ceros. → VERDADERO porque un pivote
es el primer elemento de una matriz no nulo, siempre y cuando la matriz
esté en forma escalonada. Es decir, si la matriz está escalonada, el primer
elemento no nulo de cada fila es elemento pivote. Por lo tanto, para que no
haya elementos pivote ha de ser una matriz de ceros
3. El número de pivotes de una matriz sólo depende de sus dimensiones. →
FALSO si entendemos por dimensiones m x n donde m es el número de
filas y n el número de columnas. Digo que es falso porque el número de
-.3.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
elementos pivote depende del número de filas que tenga la matriz, de que
la matriz esté en forma escalonada y de los ceros que haya en cada fila
4. Matrices escalonadas equivalentes por filas tienen exactamente el mismo
número de columnas pivote. → VERDADERO mientras que no se trate de
matrices de ceros
5. Una matriz 5 x 7 no puede tener una posición pivote en cada fila. →
FALSO, sí puede tener un pivote en cada fila ya que no hace falta que haya
tantas columnas como pivotes
6. Una matriz 6 x 5 no puede tener una posición pivote en cada fila. →
VERDADERO porque no puede haber más de un pivote por columna
Problema 1.5 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
1. Todas las columnas de la matriz ampliada de un sistema lineal
indeterminado son columnas pivote. → FALSO porque si la última columna
de un sistema lineal indeterminado es pivote ya no sería lineal
indeterminado si no que sería incompatible porque para que haya pivote
todos los elementos predecesores han de ser 0 y, por lo tanto, sería que
quedase 0+0+0+0 = a, donde a es el pivote y eso es incompatible para
todos los valores de a excepto el 0 pero si a = 0 ya no es columna pivote
2. Para que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas sea compatible
determinado, se debe verificar que m ≤ n. → FALSO a no ser que haya
ecuaciones que sean combinación lineal de otras ecuaciones ya que si no
sobrarían ecuaciones y producirían resultados distintos. Sería
VERDADERO si pusiese que m = n y siempre y cuando no hubiese
ecuaciones que fuesen combinaciones lineales de otras
3. Si la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales presenta una
fila de ceros en su forma escalonada, el sistema es obligatoriamente
compatible determinado. → FALSO porque si hay una fila de ceros sólo
puede ser o compatible indeterminado o incompatible ya que o quedan
variables libres (compatible indeterminado) o no se puede resolver
(incompatible)
4. En un sistema lineal, el número de variables básicas es siempre mayor que
el número de variables libres. → FALSO porque puede que el sistema
tenga varias variables libres y una sóla variable básica, por ejemplo:
x1 libre
x 2 libre Éste es un ejemplo que contradice la afirmación
x =0
3
5. Las matrices ampliadas de dos sistemas compatibles determinados con la
misma solución tienen, forzosamente, que ser idénticas en su forma
escalonada reducida. → VERDADERO ya que si no los resultados no
serían iguales. Esto es verdad porque una matriz escalonada reducida tiene
unos como elementos pivote y por encima de cada pivote también hay
ceros (al igual que por debajo) y, por lo tanto, sólo pueden tener la misma
solución si son iguales en su forma escalonada reducida. Esto no quiere
decir que los sistemas sean iguales porque pueden ser completamente
-.4.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
distintos y tener la misma forma escalonada reducida y dar los mismos
resultados
6. Sistemas de ecuaciones equivalentes tienen matrices ampliadas
equivalentes por filas. → VERDADERO porque cualquier matriz es
equivalente por filas a muchísimas más matrices escalonadas, exceptuando
si la matriz es una matriz de ceros
Problema 1.6 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
1. Cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene como
máximo n soluciones. → FALSO porque como mucho tiene una sóla
solución, esto suponiendo que el sistema sea compatible determinado
porque que no sea así y resulte que sea un sistema compatible
determinado porque haya ecuaciones que sean combinación lineal de otras
2. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene dos soluciones diferentes,
entonces tiene infinitas soluciones diferentes. → VERDADERO porque no
puede tener dos soluciones diferentes, o tiene una (sistema compatible
determinado), o tiene infinitas soluciones (sistema compatible
indeterminado) o no tiene solución (sistema incompatible)
3. Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene variables libres entonces
tiene una única solución. → FALSO porque puede que no tenga solución
aunque si no tiene variables libres sólo puede tener una solución o no tener
solución
4. La presencia de una variable libre en un sistema garantiza que el sistema
es compatible. → VERDADERO porque hace que el sistema tenga infinitas
soluciones dependiendo del valor que tomen las variables libres
5. Si todas las columnas de la matriz de coeficientes de un sistema son
columnas pivote, entonces el sistema tiene solución única. →
VERDADERO porque a partir de ahí se sacan las soluciones para el
sistema compatible determinado
6. Un sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones si y sólo si al
menos una columna en la matriz de coeficientes no contiene una posición
pivote. → VERDADERO porque esto quiere decir que la fila (en la que no
hay pivote) de coeficientes es entera de ceros. Aunque se puede dar la
salvedad de que sea la fila de coeficientes ceros pero que como último
elemento de esa fila en la matriz no haya un cero lo que supondría que el
sistema fuera incompatible por lo ya mencionado antes y es que si hay
0+0+0+0 no puede dar un número que no sea 0
7. Un sistema compatible de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones si y
sólo si al menos una columna en la matriz de coeficientes no contiene una
posición pivote. → VERDADERO porque si es compatible sólo pueden
darse los casos de que sea determinado o indeterminado pero además,
para que tenga infinitas soluciones ha de tener una fila sin pivote
-.5.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
Problema 1.7 Dadas las siguientes matrices:
4 −3 1
1
−3 6 −2 −7 6 0
,
−1 3 1 7 −2 , 0
0 4 1 0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
a) Encuentre una forma escalonada
−3 6
−1 3
-1 3
⇒ 1f ↔ 2f ⇒
⇒ 2f → 2f-3*1f ⇒
−1 3
−3 6
0 -3
***
4 −3
1
1
−2 −7 6 2f → 2f+2*1f
0
⇒
⇒
***
3f → 3f-1f
1 7 −2
0
0 4 1
0
1
0
⇒ 4f → 4f-3f ⇒
0
0
1
0
***
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
4 −3
1
0
1 0
3f → 3f-3*2f
⇒
⇒
3 1 4f → 4f-4*2f
0
4 1
0
4 −3
1 0
⇒
0 1
0 1
4 −3
1 0
0 1
0 0
0
1
0
1
⇒ 2f ↔ 3f ⇒
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
b) Encuentre su forma escalonada reducida
1f → 1f+2f
−3 6
-1 3
1 0
1
−1 3 apartado
uuuuuuuuuuuaur 0 -3 ⇒ 2f → − 3 2f ⇒ 0 1
1f → -1f
4 −3
1
1
−2 −7 6
0
apartado a
1 7 −2 uuuuuuuuuuuur 0
0 4 1
0
4 −3
1
0
1 0
⇒ 1f → 1f-4*2f ⇒
0 1
0
0 0
0
-.6.-
0 -3
1
0
1 0
⇒ 1f → 1f+3*3f ⇒
0 1
0
0 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
apartado a
0 uuuuuuuuuuuur 0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1f → 1f-3f
⇒
⇒
1 2f → 2f-4f
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0 −1
0 −1
0 1
1 1
c) Decida qué columnas son columnas pivote
−3 6 1
⇒
−1 3 0
***
0
1
4 −3 1
1
−2 −7 6
⇒ 0
***
7 −2 0
1
0 4 1 0
1
0
***
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0 1
1 0
⇒
0 0
1 0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
−1
−1
1
1
d) Si estas matrices fueran matrices ampliadas de sendos sistemas lineales,
calcúlese la solución general de estos sistemas
1
−3 6
apartado
c
uuuuuuuuuuur
−1 3
0
***
4 −3 1
1
−2 −7 6
⇒ 0
***
7 −2 0
1
0
4
1
0
1
0
***
0
0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
⇒
1 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0
⇒ Sistema incompatible
1
0
0
0
⇒ Sistema incompatible
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
−1 a = −1
−1 b = −1
⇒ Sistema compatible determinado
⇒
1 c =1
1 d = 1
e) Explicítese qué variables serían variables básicas y cuáles variables libres
En ninguna de las opciones hay variables libres, todas son básicas en la única matriz
que tiene solución
-.7.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
Problema 1.8 Sabemos que un polinomio de tercer orden pasa por los puntos: (0,0)
(1,0) (2,-8) y (4,12). Calcule los coeficientes del polinomio. [Ayuda: Un polinomio
de orden n es una función de la forma f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + L + an x n , donde
a1 , a2 , a3 ,L , an son los coeficientes del polinomio].
Polinomio = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Para (0,0) → d = 0
Para (1,0) → a + b + c + d = 0
Para (2,-8) → 8a + 4b + 2c + d = −8
Para (4,12) → 64a + 16b + 4c + d = 12
0
0
a
b
4b
8a
64a 16b
0
c
2
4c
d
d
d
d
0
b
c 0
a
0
⇒ d = 0 ⇒ 8a 4b 2c −8 ⇒ 2f → 2f-8*1f ⇒
−8
64
16
4
12
a
b
c
12
0
0
b
c
b
c
a
a
⇒ 0 −4b −6c −8 ⇒ 3f → 3f-64*1f ⇒ 0 −4b −6c −8 ⇒ 3f → 3f-12*2f ⇒
64a 16b 4c 12
0 −48b −60c 12
a
⇒ 0
0
a
⇒ 0
0
0
c
0
a b
1
−4b −6c −8 ⇒ 3f → * 3f → 0 -4b -6c -8 ⇒ 2f → 2f + 6*3f ⇒
12
0 12c 108
c 9
0 0
b c 0
a b c 0
a b 0 -9
1
-4b 0 46 ⇒ 2f → * 2f ⇒ 0 -b 0 11'5 ⇒ 1f → 1f-3f ⇒ 0 -b 0 11'5 ⇒
4
0 c 9
0 0 c 9
0 0 c 9
5
a=
2
a 0 0 2'5
23
⇒ 1f → 1f + 2f ⇒ 0 -b 0 11'5 ⇒ b = −
2
0 0 c 9
c=9
b
c
f ( x) =
5 3 23 2
x − x + 9x
2
2
-.8.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
Problema
1.9
Una
función
desconocida
pasa
por
los
puntos:
A = (0,1) B = (1,0.5) y C = (2, −1) . Nos interesa estimar el punto en el que la
función se anula (es decir, nos interesa encontrar un valor aproximado del punto en el
que la función se hace cero).
a) Represéntese los puntos en el plano
Y
A (0,1)
B (1,½)
C (2,-1)
X
b) Calcúlese la recta que pasa por los puntos B y C
Recta = r: y = mx + n
1ª forma
2ª forma
uuur
BC = (2, −3)
Para B (1,½) → ½ = m +n
Para C (2,-1) → -1 = 2m + n
x − 2 y +1
=
2
−3
( −3)( x − 2) = 2 y + 2
2 y = −3 x + 4
3
1
= m + n m = −
⇒
2
2
1 = −2m − n n = 2
3
y =− x+2
2
3
y =− x+2
2
c) Calcúlese el punto de corte de dicha recta con el eje de abscisas. Ésta será
una estimación del punto buscado
Eje de abscisas = Eje 0X ⇒ y = 0
-.9.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
3
4
x + 2 ⇒ 4 − 3x = 0 ⇒ 3x = 4 ⇒ x =
2
3
4
punto buscado = P ,0
3
y=0=−
d) Para encontrar otra estimación, calcúlese un polinomio interpolador que
pase por los puntos A, B y C. Discútase el orden que deberá tener dicho
polinomio
El orden de este polinomio ha de ser 2 puesto que si miramos la gráfica con los
puntos (apartado a) nos damos cuenta de que lo que los une es una parábola
Polinomio = f (x) = ax2 + bx + c
0 0 1 1
1 1 1 1 2
↔
2f
1f
1
B → a+b+c =
⇒ 4 2 1 − 1 ⇒ 2f → 2f - 4 *1f ⇒
⇒ 1 1 1 12 ⇒
2f ↔ 3f
2
0 0 1 1
C → 4a + 2b + c = −1 4 2 1 − 1
1
1
1 1
1 1 0 − 12
2
1
1f
1f
3f
→
2f → 2f
⇒ 0 − 2 − 3 − 3 ⇒
⇒ 0 − 2 0 0 ⇒
⇒
2
2f → 2f + 3f
0 0
0 0 1 1 1f → 1f + 2f
1
1
A → c =1
1
1 0 0 − 1 2 a = − 2
⇒ 0 −1 0 0 ⇒ b = 0
0 0 1 1 c = 1
1
y = − x2 + 1
2
e) ¿En qué punto se hace cero el polinomio?. Ésta será otra estimación del
punto buscado
1
y = − x2 + 1 = 0
2
1 x2 = 1
2
x2 = 2 ⇒ x = ± 2
f)
Si quisiéramos calcular el punto de corte con un polinomio de orden mayor
(digamos, un orden mayor), ¿cuántos puntos adicionales necesitaríamos?
Hace falta 4 puntos para hallar los coeficientes de las ‘x’ en el polinomio de orden
mayor. Esos 4 puntos deben pertenecer al polinomio de orden mayor y, una vez
hallados los coeficientes lo único que hay que hacer es igualar las ‘y’ (porque cuando
dos funciones se cortan en un punto, ese punto es común para ambas funciones y, por
lo tanto, el valor que tenga cualquier coordenada en ese punto debe ser común para
ambas funciones) de ambos polinomios y de ahí sacamos el valor de la coordenada ‘x’
del punto de corte, una vez hallado eso lo único que hay que hacer es irse a uno de
los polinomios y sustituir esa ‘x’ por su valor para hallar el valor de la ‘y’.
-.10.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
Si el polinomio de mayor orden es s y el de menor orden (el ya hallado) es r
entonces:
r:y=−
1 2
x +1
2
s : y = rx 3 + sx 2 + tx + u
Punto de corte = (x, y ) ⇒ Hallamos x ⇒ Igualamos las ' y' ⇒ rx 3 + sx 2 + tx + u = −
1 2
x +1
2
1
Hallamos y ⇒ f rx 3 + sx 2 + tx + u = − x 2 + 1 = y
2
Problema 1.10 Sean los vectores:
−2
4
σ
5
1
a = , b = , c = 1 , d = 2 , e = 1
3
−1
−6
0
1
•
Efectúense las siguientes operaciones:
a) a – 5b
5 5
3 − −5 =
0
8
b) –5c + 6d - λe
10 24 −λσ
−5 + 12 + −λ =
0 −36 −λ
34 − λσ
7−λ
−36 − λ
c) 2b + c
No se pueden sumar porque no tienen
−2
2
−2 + 1 ⇒ las matrices las mismas dimensiones
0 y para sumarlas deben tenerlas iguales
d) 5 ( 2 ( c - 3µe ) + 6d )
−2 −3µσ 24
−2 − 3µσ 24
−4 − 6µσ 24
5 2 1 + −3µ + 12 = 5 2 1 − 3µ + 12 = 5 2 − 6 µ + 12 =
−6µ −36
0 −3µ −36
−3µ −36
20 − 6µσ
= 5 14 − 6µ =
−36 − 6µ
-.11.-
100 − 30µσ
70 − 30 µ
−180 − 30 µ
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
Problema 1.11 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
1. Si u ≠ 0, el subespacio Gen{u,v} contiene a la recta que pasa por el origen
y es paralela a u, incluso si v = 0 → FALSO porque para que eso sea cierto
tanto los vectores u y v han de ser distintos de 0
2. Si u ≠ 0, el subespacio Gen{u,v} contiene a la recta que pasa por el origen
y es paralela a u, sólo si v ≠ 0 → VERDADERO si u no es múltiplo de v y
viceversa ya que si fuera así no sería cierto.
3. Preguntar si el sistema lineal correspondiente a una matriz ampliada [ a1
a3 b ] tiene solución es equivalente a preguntar si b pertenece
subespacio Gen{a1,a2,a3} → VERDADERO según lo que dice en
r
r r
teorema porque b es combinación lineal de a1 − a n ⇔ tiene solución, por
tanto es compatible
a2
al
el
lo
4. Un plano cualquiera se puede representar por el subespacio Gen{u,v} para
unos ciertos vectores u y v → FALSO porque para representar R n
necesitamos n vectores. En este caso sólo podemos representar R 2 ya
que sólo nos dan 2 vectores
5. Si u y v son vectores no nulos, el subespacio Gen{u,v} puede, en
determinadas situaciones, representar una recta que pasa por el origen →
VERDADERO siempre y cuando v no sea múltiplo de u y viceversa
6. Si w = 0, entonces Gen{u,v} = Gen{u,v,w} → FALSO porque el primero
representa un espacio generado en R 2 y el otro en R 3 aunque w = 0
7. Gen{u,v} = Gen{u,u - v} → FALSO porque no existe combinación lineal al
hacer u – v
Problema 1.12 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
Dados a1, a2, a3, b ∈ R m , tales que b = a1 + 3a2 – 2a3, entonces:
1. El sistema lineal cuya matriz ampliada es [ a1 a2 a3 b ] tiene,
necesariamente, solución única → VERDADERO porque b es combinación
de a1 a2 a3 siempre y cuando el sistema tenga solución
2. La matriz [ a1 a2 a3 b ] tiene, necesariamente, tres elementos pivote →
VERDADERO porque como tiene sólo una solución todas las variables son
básicas y por la definición sabemos que hay un pivote en cada columna y,
por lo tanto, cada variable es un pivote en la matriz
3. a2 ∈ Gen{a1,a3,b} → FALSO porque a2 es “independiente” de los otros, es b
quien depende de los vectores a
4. Gen{a1,a2,a3} = R m → FALSO porque no representan a todo el espacio R m
sino a una parte de ese espacio
5. Gen{a1,a2,a3} ⊂ R m → VERDADERO porque como he dicho antes ese
subespacio es parte del espacio R m y, por lo tanto, está contenido en él
6. Gen{a1,a2,a3} = Gen{a1,a2,a3 b} → VERDADERO porque b pertenece al
espacio generado por lo vectores a
-.12.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
1
7. Existe al menos un valor de λ ∈ R tal que [ a1 a2 a3 ] 3 = b →
λ
VERDADERO porque para que tenga solución b es combinación lineal de
los vectores a
1 3 −4
Problema 1.13 Sean A = 3
2 −6 y b =
−5 −1 8
b1
b
2
b3
a) Demuéstrese que la ecuación Ax = b no es consistente para cualquier b
b1
1 3 −4 b1
1 3 −4
2f
→
2f-3*1f
3 2 −6 b ⇒
⇒ 0 −7 6 b2 − 3b1 ⇒ 3f → 3f+2*2f ⇒
2
3f → 3f+5*1f
−5 −1 8 b3
0 14 −12 b3 + 5b1
b1
1 3 −4
⇒ 0 −7 6
b2 − 3b1
0 −b1 + 2b2 + b3
0 0
Como podemos ver en la última fila hay valores de b que hacen que el sistema sea
inconsistente
b) Describa el conjunto de todos los posibles b para los que la ecuación sí es
consistente. ¿Qué representa geométricamente dicho conjunto? El conjunto
de todos los posibles b que hacen que la ecuación sea consistente es un
plano en R 3 que pasa por el origen
Problema 1.14 Escriba la solución de los siguientes sistemas en forma paramétrica
vectorial indicando qué representan dichas soluciones geométricamente:
x1 − 3x2 − 2 x3 = 0
(a)
x2 − x3 = 0
−2 x + 3 x + 7 x = 0
1
2
3
1 −3 −2 x1 0
0 1 −1 x = 0
2
−2 3 7 x3 0
-.13.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
1 −3 −2 0
1 -3 -2 0
0 1 −1 0 ⇒ 3f → 3f + 2 *1f ⇒ 0 1 -1 0 ⇒ 3f → 3f+3*2f ⇒
−2 3 7 0
0 -3 11 0
z libre
1 −3 −2 0
0 1 −1 0 ⇒
y−z =0→ y = z
⇒
0 0 8 0 x − 3 y − 2 z = 0 → x = 3 y + 2 z
z =ϕ
y =ϕ
x = 3ϕ + 2ϕ = 5ϕ
x1
5
x = ϕ 1
2
x3
1
x1 + 2 x2 − 7 x3 = 0
(b) −2 x1 − 3x2 + 9 x3 = 0
− 2 x2 + 10 x3 = 0
2 −7 x1 0
1
−2 −3 9 x = 0
2
0 −2 10 x3 0
2 −7 0
1
1 2 -7 0
−2 −3 9 0 ⇒ 2f → 2f+2*1f ⇒ 0 1 -5 0 ⇒ 3f → 3f+2*2f ⇒
0 −2 10 0
0 -2 10 0
z libre
z=∂
1 2 −7 0
⇒ 0 1 −5 0 ⇒ y − 5z = 0 → y = 5z ⇒ y = 5∂
x = −3∂
x = 7z − 2 y
0 0 0 0
x1
−3
x = ∂ 5
2
x3
1
Problema 1.15 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
1. Una ecuación homogénea es siempre consistente → VERDADERO porque
al menos tiene una solución
2. Si el vector x = 0 es una solución de la ecuación Ax = b, entonces dicha
ecuación es homogénea → FALSO porque el sistema es homogéneo
cuando no presenta la solución trivial
3. Dada una ecuación homogénea Ax = 0, las soluciones no triviales son
aquellas que no tienen ninguna componente nula → FALSO porque pueden
-.14.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
tener alguna componente nula y que siga siendo la solución trivial, eso sí,
no pueden tener todas las componentes nulas
4. La solución de una ecuación lineal Ax = b puede entenderse como una
traslación de las soluciones de Ax = 0 → VERDADERO porque si Ax = 0
tiene una única solución, entonces el conjunto solución de Ax = b se
obtiene trasladando el conjunto solución de Ax = 0
5. Si el sistema Ax = 0 tiene solución, entonces Ax = b debe, a su vez, tener
solución (y consistirá en una mera traslación de la solución de Ax = 0) →
FALSO porque el teorema dice puede no ser homogéneo o puede que no
sea de la forma correcta
6. Siempre podemos encontrar un valor de b para el cual la ecuación lineal
Ax = b es compatible → VERDADERO porque si Ax = b es consistente hay
alguna solución fija que vendrá a ser la solución de la traslación
7. Si la solución de Ax = b puede escribirse paramétricamente como
x = p + λv (p,v ≠ 0), entonces A tiene una y sólo una columna pivote →
VERDADERO porque la solución general puede escribirse de varias formas
y una de ellas es la forma paramétrica
8. Si la matriz ampliada del sistema Ax = b tiene dos pivotes (ninguno de los
cuales se encuentra en la última columna), deben existir dos vectores p y q
tales que cualquier solución del sistema x ∈ Gen{p,q} → FALSO porque la
ecuación sólo tiene solución cuando b es es combinación lineal de las
columnas de A
9. Si el sistema Ax = b tiene más de una solución, el sistema Ax = 0 también
debe tener, necesariamente, más de una solución → FALSO porque sólo
tiene la solución trivial
NOTA: solución trivial = ( 0,0,0 )
Problema 1.16 Escriba la solución de los siguientes sistemas en forma paramétrica
vectorial, indicando qué representan dichas soluciones geométricamente:
x1 + 2 x2 − 7 x3 = 0
(a) −2 x1 − 3x2 + 9 x3 = 4
− 2 x + 10 x = −8
2
3
2 −7 0
1
1 2 -7 0
−2 −3 9 4 ⇒ 2f → 2f+2*1f ⇒ 0 1 -5 4 ⇒ 3f → 3f+2*2f ⇒
0 −2 10 8
0 -2 10 8
1 2 −7 0 x1 = 7 x3 − 2 x2
⇒ 0 1 −5 4 ⇒ x2 = 4 + 5 x3
0 0 0 0 x3 libre
-.15.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
x1 −3x3 − 8 −8
−3
x = x2 = 5 x3 + 4 = 4 + x3 5
x3 x3 0
1
Representa la ecuación de una recta
(b) x1 + 3 x2 = −1 en R 2
x −1 − 3x2 −1
−3
x = 1 =
= + x2
1
x2 x2 0
Representa la ecuación de una recta
(c) x1 + 3 x2 = −1 en R 3
x1 −1
−3
0
x = x2 = 0 + x2 1 + x3 0
x3 0
0
1
Representa la ecuación de un plano
{
Problema 1.17 Demuéstrese que cualquier conjunto de vectores a1 ,a 2 ,K ,a p
}
∈ Rn
es linealmente dependiente si p > n
(Ayuda: Procédase de igual manera que si se conocieran los vectores a1,a2,...,ap)
Imaginemos la matriz M que tiene dimensiones ( n x p ) y que p > n, entonces, hay
más variables que ecuaciones por lo que habrá n – p variables libres (si no hay
ecuaciones que sean combinación lineal una de otra) y, por lo tanto, será linealmente
dependiente
Problema 1.18 Sean tres vectores distintos v1, v2, v3 ∈ R 3 . Demuéstrese que si los
extremos de los vectores caen en una línea (que no tiene por qué pasar por el origen),
el conjunto { v1, v2, v3} es linealmente dependiente. ¿Es eso cierto si los vectores
pertenecen a R 3 ?
Para que 2 ó más vectores sean linealmente dependientes los vectores han de ser
múltiplos de los otros. Pero en R 3 no ocurre exactamente así por lo que forman un
plano. Aunque siguen siendo linealmente dependientes
-.16.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
Problema 1.19 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
1. Si el conjunto {a1,a2,a3,a4} de R 4 es linealmente independiente, entonces
{a1,a2,a3} es también linealmente independiente → FALSO porque puede
que sean combinaciones lineales de unos con otros por lo que serían
linealmente dependientes
2. Si los conjuntos {a1,a2} y {a3,a4} de R 4 son linealmente independientes,
entonces el conjunto {a1,a2,a3,a4} es también linealmente independiente →
FALSO porque puede que exista alguna combinación lineal entre los
vectores
3. Si el conjunto {a1,a2} es linealmente independiente, el conjunto {a1,a1 – a2}
es también linealmente independiente → VERDADERO porque a1 – a2 no
es combinación lineal de otro/s vectores
4. Lo anterior es sólo cierto en R 2 → FALSO porque trabajemos en la ℝn que
sea una resta como es a1 – a2 nunca será un múltiplo y, por lo tanto, nunca
habrá combinación lineal
5. Si x ∉ Gen{a1,a2,a3,a4} (es decir, x no es una combinación lineal de
a1,a2,a3,a4), entonces {a1,a2,a3,a4,x} es un conjunto linealmente
independiente de vectores → VERDADERO porque es verdadero cuando
haya, al menos, un vector que sea combinación lineal de otro/s
6. El conjunto {0,a1,a2,a3,a4} es linealmente dependiente aunque {a1,a2,a3,a4}
sea linealmente independiente → VERDADERO porque si contiene el
vector 0 entonces el sistema es linealmente dependiente
7. Más de 4 vectores de R 4 tienen que ser linealmente dependientes →
VERDADERO porque si un conjunto tiene más vectores que entradas por
vector el sistema es linealmente dependiente
8. Sean a1,a2,a3 ∈ R m tales que Gen{a1,a2,a3} = R 3 , entonces m ≥ 3 →
FALSO porque para que sean linealmente dependientes tiene que ser
p > m y con lo cual m < 3
Problema 1.21 Sean
1 2 −1
A = 2 3 1 y b =
0 3 −8
5
9
4
Definimos la aplicación lineal T : R 3 → R 3 , como T ( x ) = Ax para todo vector x ∈ R 3
a) Encuéntrese x cuya imagen bajo T sea b
Ax = b
1 2 −1 x1 5
2 3 1 x = 9
2
0 3 −8 x3 4
-.17.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
1 2 −1 5
1 2 -1 5
2 3 1 9 ⇒ 2f → 2f-2*1f ⇒ 0 -1 3 -1 ⇒ 3f → 3f+3*2f ⇒
0 3 −8 4
0 3 -8 4
1 2 −1 5 x1 = −2
−2
⇒ 0 −1 3 −1 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = 4
0 0 1 1 x3 = 1
1
La imagen de x bajo T es el vector b dado
b) Determínese si la aplicación T es suprayectiva
T es suprayectiva si cada b es la imagen de por lo menos una x
c) Determínese si la aplicación T es inyectiva
T también es inyectiva si cada b es la imagen de una y sólo una x
Problema 1.22 Dada una transformación lineal T : R n → R m , cuya matriz estándar es
A, razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
1. Las dimensiones de A son m x n → VERDADERA, porque cuando hacemos
r
una transformación lineal lo que hacemos es asignar a cada vector x de
R n un vector T(x) de R m
2. Si ej es la columna j-ésima de la matriz Im, la columna j-ésima de A resulta
ser T(ej) → FALSO porque ej es la columna j-ésima de la matriz identidad
en R n no en R m
3. Si todo x ∈ n tiene una imagen T(x), T es una aplicación suprayectiva →
VERDADERO porque hay un teorema que asó lo afirma, diciendo que
r
r
x →A x transformándose en R n, por lo tanto, es suprayectiva
4. Si dos vectores distintos x e y se transforman en el mismo vector (es decir,
T(x) = T(y)), la aplicación T no puede ser inyectiva → FALSO porque para
que sea inyectiva cada elemento perteneciente al conjunto donde esta T(x)
y T(y) debe ser imagen de, al menos, 1 elemento
5. T puede ser, simultáneamente, suprayectiva e inyectiva → VERADERO
porque para que sea suprayectiva debe existir, al menos, una solución por
cada elemento mientras que para que sea inyectiva debe existir una única
solución. Así pues, si tiene una solución T es suprayectiva e inyectiva.
r
r
6. Si T(0) = 0, la aplicación T es inyectiva → VERDADERO porque si T( x )= x
se cumpliría
7. Las columnas de A deben ser linealmente independientes para que T sea
inyectiva → VERDADERO porque no debe haber ninguna variable libre ya
que si hubiera alguna sería linealmente dependiente
8. Si las columnas de A son linealmente dependientes, T no puede ser
suprayectiva → FALSO porque al haber variables libres (y las hay siempre
que son linealmente dependientes) se aseguran soluciones para el sistema
-.18.-
Tema 1: ECUACIONES LINEALES
9. A tiene m pivotes si y sólo si T es suprayectiva → FALSO porque puede ser
inyectiva con m pivotes
10. A tiene n columnas pivote si y sólo si T es inyectiva → VERDADERO
porque una función es inyectiva si cada elemento del conjunto imagen es
imagen de alguna x del conjunto inicial
11. Si T es suprayectiva, debe verificarse que m ≤ n → FALSO porque no tiene
porqué tener solución
12. Si m ≤ n, entonces T es suprayectiva → FALSO porque, al menos, debe
haber una solución
13. Si T es inyectiva, debe verificarse que m ≥ n → VERDADERO porque
dependiendo del sistema puede tener o no solución, si tiene solución, es
única
14. Si m ≥ n, entonces T es inyectiva → VERDADERO porque T es siempre
inyectiva si tiene una o ninguna solución y, en este caso, eso se cumple
-.19.-
