Argomenti Indice ( per la prova finale)

Argomenti di matematica
1 M C 2009
Argomenti di Matematica
( per la prova finale)
Indice:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
Sistema decimale
Misura
Espressioni
I numeri naturali
a. Confronto
b. Rappresentazione su una semiretta
Addizione
Sottrazione
Moltiplicazione
Divisione
Potenza
Enti geometrici fondamentali
a. Punto
b. Linea
c. Piano
d.Segmento (addizione, sottrazione, confronto, multipli e sottomultipli
e misura di un segmento)
Angoli
Divisibilitá
a. Criteri
Numeri primi e numeri composti
a. Crivello di Eratostene
b. Ricerca di tutti i divisori di un numero
c. Scomposizione di un numero in fattori primi
MCD (Massimo Comune Divisore)
MCM ( Minimo Comune Multiplo)
Frazione
~1~
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1 M C 2009
SIGNIFICATI O INFORMAZIONI UTILI
GEOMETRIA: É la scienza che studia la forma e l’estensione delle figure e le
trasformazioni che possano subire. La geometria piana studia le figure piane. La
geometria solida studia le figure solida.
LE DIMENSIONI:Le tre dimesioni sono la larghezza, la lunghezza e lo spessore.
ARITMETICA: Deriva dal verbo greco arithmèo, che vuol dire “io conto”.
~2~
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1) Sistema Decimale
Per rappresentare i numeri naturali usiamo dei simboli che
leghiamo fra loro con alcune regole che ci permettono di scrivere
tutti i numeri. Costruiamo cioé un sistema di numerazione decimale.
I simboli, cioé le cifre, del nostro sistema di numerazione sono 10:
0123456789
Si chiamano unitá del 1º ordine.
Raggruppando le unitá di dieci in dieci otteniamo unitá di ordine
superiore:
- 10 unitá del 1º ordine formano una decina (unita del 2º ordine)
- 10 decine formano un centinaio (unitá del 3º ordine)
- 10 centinaia formano un migliaio (unitá del 4º ordine)
- 10 migliaia formano una decina di migliaia (unitá del 5º ordine)
- 10 decine di migliaia formano un centinaio di migliaia (unitá del 6º
ordine)
- 10 centinaia di migliaia formano un milione (unitá del 7º ordine)
123.456.789
Centinaia di milione
Decina di milione
Unitá
Decina
Centinaia
Unitá di migliaia
Decina di migliaia
Unitá di milione
Centinaia di migliaia
~3~
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2) Misura
Misurare una grandezza vuol dire confrontarla con un’altra grandezza,
omogenea con essa (detta unitá di misura), e determinare quante volte
quest’ultima é contenuta nella prima. Il numero ottenuto si dice misura
della grandezza rispetto all’unitá di misura scelta.
 Si dice grandezza tutto ció che si puó misurare, cioé esprimere con un
numero.
 Si dice che le grandezze sono omogenee se sono confrontabili, cioé che
si possa dire quale é maggiore e quale minore.
 In Italia e in gran parte del mondo si é adottato il Sistema Internazionale
di Misura (S.I).
 L’unitá di misura per le lunghezze é il metro, per il peso il grammo, per i
liquidi il litro, per il tempo il secondo, per la temperatura il kelvin, per
l’intensitá luminosa il candela, per la materia la mole e per l’intensitá di
corrente elettrica l’ampere e per l’area si usa il metro quadro.
Km Hm Dam M Dm Cm Mm
Kg Hg Dag G Dg Cg Mg
Kl
Hl Dal
L Dl Cl Ml
 Multipli
 Sottomultipli
~4~
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3)Espressioni
 Nelle espressioni si fanno prima le moltiplicazioni e le divisioni e
poi le sottrazioni e addizioni.
 Nelle espressioni prima si fanno le potenze (nel caso che non ci
siano frazioni), poi le parentesi ( ), dopo le parentesi quadre [ ] e
infine le chaivi { }.
 Nel caso che ci siano frazioni nella espressione prima si fanno le
parentesi e poi, con il risultato del calcolo si fa la potenza.
4
2
22
484
5
3
15
225
Es: ( + )2 = ( )2 =
(se hace 22x22 y 15x15)
 Esempio di espressione senza frazioni:
= 23 x 23 - 152 : 15 -7 x 22 – 22 x 21 – 7 x 23=
= 8 x 23 – 225: 15 - 7 x 4 – 4 x 21 – 7 x 8 =
= 184 – 15 – 28 – 84 – 56=
=1
 Esempio di espressione con frazione:
=(
7
4
: +
10
13
x
15 5 13
4
7 5 1 7
=(
=(
7
3
4
7
+ - - ) : (1-
12 2 3 4
7 30 4 21
12
1
+
=( :
1
= ( 1x
=
1
- -
12
5
x
12
5
12
12
5
5
12
-
-
12 12
12
):
):
5
12
5
):(
) : (1-
12
12
12
):
-
12
5
7
7
4
2
15 5
5
=
):
12
: ) : ( 2+ )=
12
5
=
=
=
=1
~5~
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4)I numeri naturali
 L’operazione di contare é nota fin dalle epoche piú remote ed é
uno dei concetti fondamentali dell’aritmetica.
 L’insieme dei numeri naturali é un insieme infinito che si indica
con N.
 Il numero é quindi un concetto astratto, di natura puramente
quantitativa, che permette di contare.
 I numeri naturali 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 costituiscono l’ordine
considerato la successione dei numeri naturali.
 Ogni numero, eccetto lo zero, si dice successivo o consecutivo.
CONFRONTO DI NUMERI NATURALI
 Nella successione dei numeri naturali ogni numero é minore di
ciascuno di quelli precedenti che lo seguono e maggiore (a
eccezione dello zero) di ciascuno di quelli che lo precedono.
Per rappresentare disuguaglianze fra dei numeri si usano questi
simboli:
maggiore 
 minore
 Per indicare che due numeri sono diversi si usa questo simbolo:

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NATURALI SU UNA
SEMIRETTA
O______A_____B______C______D____________________
0
1
2
3
4
s
~6~
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5)Addizione
 La somma di due numeri naturali é il numero che si ottiene
contando di seguito al primo tanti numeri consecutivi quante sono
le unitá del secondo.
 L’addizione é l’operazione con la quale si calcola la somma; i
numeri da addizionare si dicono termini dell’addizione o addendi e il
risultato si dice somma o totale.
 La somma di tre o piú numeri naturali, dati un certo ordine, é il
numero che ottiene addizionando al primo numero il secondo, alla
somma ottenuta ul terzo numero e cosí via.
Es:
2+3=5 4+6=10
5+8=13
 Una addizione con tre addendi si fa in questo modo:
2+4+5= 6+5=11
(si addizionano il 2 el il 4 e poi al risultato si li somma 5)
PROPRIETÁ DELLA ADDIZIONE
 Le proprietá della addizione sono tre: la commutativa, la
associativa e la dissociativa.
- La commutativa é la somma di due o piú addendi che non cambia
cambiando l’ordine degli addendi.
Es: 2+4=6 -- 4+2=6
- La proprietá associativa é la somma di tre o piú addendi che non
cambia se a due o piú de essi si sostituisce la loro somma.
Es: 2+3+6+5= 5+11=16
- La proprietá dissociativa é la somma di due o piú addendi che non
cambia se a uno o piú addendi si sostituiscono altri addendi che
hanno per somma l’addendo sostituito.
Es: 23+34+96= 20+3+30+4+90+6=153
 L’addizione é un’operazione interna a N.
 La somma di due numeri naturali da un numero naturale.
 Il numero zero si considera elemento neutro dell’addizione perché
non ha nessun efetto in tale operazione.
~7~
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6)Sottrazione
 La sottrazione é l’operazione con la quale si determina la differnza
fra due numeri; il primo numero si dice minuendo e il secondo
sottraendo.Il risultatosi dell’operazione si chiama differenza o resto.
 Minuendo e sottraendo sono i termini della sottrazione.
L’insieme N non é chiuso rispetto alla sottrazione perche se il
sottraendo é minore del minuendo il resto avrá virgola.
 La sottrazione non ha elemento neutro.
PROPRIETÁ DELLA SOTTRAZIONE
La sottrazione ha solo una proprietá: l’invariantiva.
- La proprietá invariantiva: Se addizioniamo uno stesso numero al
minuendo e al sottraendo, la differenza non cambia; se sottraendo
da entrambi i termini uno stesso numero, non maggiore del
sottraendo, la differenza non cambia.
Es:
(11-2)-(7-2)=9-5=4
 Si dice differenza fra un numero e un altro, che non sia maggiore
del primo, un terzo numero che addizionato al secondo dá per
somma il primo.
 La sottrazione é la operazione inversa all’addizione.
Es. di sottrazione:
55-20=30 63-12=51 36-18=18 29- 15= 14 87-27=60
~8~
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7)Moltiplicazione
 I termini della moltiplicazione si chiamano fattori e precisamente il
primo si dice moltiplicando e il secondo moltiplicatore. Il risultato si
dice prodotto.
 Si dice moltiplicazione l’operazione con la quale calcoliamo il
prodotto di due numeri naturali che si dicono fattori.
PROPRIETÁ DELLA MOLTIPLICAZIONE
 La moltiplicazione ha cinque proprietá: la commutativa, la
associativa, la dissociativa, la distribuitiva (rispetto all’addizione), la
distribuitiva (rispetto alla sottrazione).
- Proprietá commutativa. Cambiando l’ordine dei fattori non cambia
il risultato.
- Proprietá associativa. Il prodotto di tre o piú fattori non cambia se
a due o piú di essi si sostituisce il loro prodotto
- Proprietá dissociativa. Il prodotto non cambia se uno o piú fattori
vengono sostituiti da due o piú fattori, il cui prodotto sia ugguale al
fattore sostituito.
- Proprietá distribuitiva ( rispetto alla addizione). Per moltiplicare
una somma per un numero, si puó moltiplicare ciascun addendo per
quel numero e addizionare poi i prodotti cosí ottenuti.
- Proprietá distribuitiva (rispetto alla sottrazione). Per moltiplicare
una differenza per un numero, si possono moltiplicare il minuendo e
il sottraendo per quel numero ed eseguire poi la sottrazione fra il
primo e il secondo dei prodotti ottenuti.
 Il prodotto di due fattori é uguale a zero se almeno uno dei fattori
é uguale a zero o viceversa.
 Il numero 1 é l’elemento neutro della moltiplicazione.
La moltiplicazione é una operazione interna a N.
Es. di moltiplicazione:
5x8=40 60x3=180
90x5=450 8x3=24 2x70=140
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8)Divisione
 Dati due numeri naturali il primo dei quali sia multiplo del
secondo, si dice quoziente esatto o quoto fa il primo e il secondo (se
quest’ultimo é diverso da zero) il numero naturale che moltiplicato
per il secondo dá per il risultato.
 La sottrazione e la divisione esatta si dicono operazioni
fondamentali inverse mentre la moltiplicazione e la addizione si
dicono operazioni fondamentali dirette
Dati due numeri naturali, dei quali il secondo sia diverso da zero e
il primo non sia multiplo del secondo, si dice quoziente aprossimato
fra il primo e il secondo il massimo numero naturale che
moltiplicato per il secondo dá un prodotto che non supera il primo.
PROPRIETÁ DELLA DIVISIONE
 La divisione ha due proprietá: l’invariantiva e la distribuitiva.
- L’invariantiva. Se moltiplichiamo il dividendo e il divisore di una
divisione (o dividiamo se sono divisibili) per uno stesso numero
diverso da zero, il quoziente rimane invariato.
- La distribuitiva. Per dividere una somma ( o una difernza) per un
numero, purché tutti i termini della somma ( o della differenza)
siano divisibili per quel numero, si puó dividere ciascún termine
della somma ( o della differenza) per quel numero e addizionare i
quozienti parziali ottenuti ( o sottrarre dal primo quoziente il
secondo)
 Per dividere un prodotto per un numero, si puó dividere per quel
numero uno solo dei fattori che sia divisibile per quel quel numero e
moltiplicare, poi, il quoziente ottenuto per gli altri fattori.
 Per dividere un prodotto per un fattore, o per il prodotto di alcuni
di essi, si possono sopprimere tali fattori e moltiplicare fra loro
quelli rimasti.
 Un’espressione aritmetica é un insieme di numeri legati fra di loro
da segni di operazione; puó contenere parentesi o esserne priva.
~ 10 ~
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9)Potenza
Si dice potenza n-esima di un numero un prodotto di n fattori
ugguali a quel numero.
 Si dice elevamento a potenza l’operazione con la quale si calcola la
potenza di un numero.
PROPRIETÁ DELLA POTENZA
 La potenza ha cinque proprietá:
Prodotto di potenze di ugualle base. Il prodotto di due o piú
potenze cha hanno la stessa base á la potenza che ha per base la
stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
 Quoziente di potenza di uguale base.Il quoziente fra due potenze
che hanno la stessa base é la potenza che ha per base la stessa base
e per esponente la differenza fra gli esponenti (se l’esponente del
dividendo non é minore di quello del divisore).
 Potenza di potenza.La potenza di una potenza á la potenza che ha
per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
 Distribuitiva del per.Il prodotto di due o piú potenze che hanno lo
stesso esponente é la potenza che ha per base il prodotto delle basi
e per esponente lo stesso esponente.
Distribuitiva della divisione. Il quoziente fra due potenze che
hanno lo stesso esponente é la potenza che ha per base il quoziente
fra le basi e per esponente lo stesso esponente.
Casi particolari:
 Qualunque potenza di 1 é uguale a 1.
 Qualunque potenza di zero, esclusa quella con esponente zero, é
uguale a zero.
La potenza 00 non ha significato.
 La potenza con esponente zero di un numero naturale, diverso da
zero, é uguale a 1.
 La potenza con esponente 1 di un numero naturale é uguale al
numero stesso.
 Si dice ordine di grandezza di un numero la potenza di 10 piú
vicina a quel numero.
~ 11 ~
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10) Gli enti fondamentali
 Euclide, grande matematico, nel secolo III a.C, ha riordinato tutte le
conoscenze matematiche di quell’epoca in un solo libro: “ Gli elementi”.
 Gli enti fondamentali sono il punto, la retta e il piano.
 Gli enti vengono detti primitivi perché si supone che tutti li conoscono. I
concetti primitivi sono la base di ogni scenza, perche essi possono definire
tutti gle altri concetti.
 Euclide utilizza sistematicamente il metodo assiomatico-deduttivo:
ASSIOMATICO: Significa che ció di che si sta parlando é indiscutibile.
DEDUTTIVO: Significa che si ottiene con il ragionamento.
a)Punto:
 Il punto geometrico non ha dimensioni ma ha una sua posizione nello
spazio.
 Il punto si segna con una lettera maiuscola (A;B;C) che si mette a destra.
 Per scrivere che un punto coincide con un altro si segna cosí: P=F (cioé
che il punto P coincide con il punto Q).
b)Linea:
 La linea geometrica ha una sola dimesione: la larghezza.
 La linea si rappresenta con una lettera minuscola (a;b;c)
 La linea e un insieme di infiniti e continui punti.
 Una linea é chiusa se comincia da un punto e finisce nello stesso punto
di partenza. Si chiama aperta se incomincia da un punto e finisce in uno
diverso.
 Una linea si dice semplice se non attraversa se stessa. In caso contrario
si chiama intrecciata.
 Se due linee hanno in comune un punto o piú di uno si dice che le due
linee si intersecano in quei punti.
RETTA
 La retta geometrica é priva di larghezza e di spessore, ma ha , come
tutte le linee, lunghezza.
 Una retta non si puó rappresentare intera perché é infinitamente lunga,
perció si reppresenta una parte della retta in un foglio.
 Un insieme di infinite rette passanti per un punto chiama fascio di rette.
~ 12 ~
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 Per due punti diversi passa UNA sola retta.
 Per un punto passsano infinite rette.
 Per due punti passa una retta.
 Piu punti passanti per una retta si dicono alleneati.
 Due rette che hanno due punti comune sono sovvrapposte, cioé
coincidono.
 Due rette diverse non possono avere piu di un punto in comune.
 Le rette si segnano con una lettera minuscola o con due dei suoi punti:
_____A_______B __________ ( questa retta si chiama AB )
___________________________
f
( questa retta si chiama f)
 Due rette si dicono incidenti se hanno un solo punto in comune.
SEMIRETTA
 La semiretta é ciascuna delle due parti di una retta divisa in due.
 La semiretta si indica scrivendo prima la lettera con cui si é indicata
l’origine e poi la lettera con cui si é indicato il punto di divisione della
retta.
 Le semirette AB e AC in cui la retta r risulta divisa dal suo punto A si
dicono opposte.
________B_____A_____C______________ r
 Il punto A é l’origine delle semirette.
c)Piano
 Fra le superfici ha una particolare importanza la superficie piana o piú
semplicemente piano.
 Il piano geometrico é esteso illimitatamente in tutti i versi.
 Non si puó rappresentare un piano intero in un foglio, ma solo una sua
parte.
 Il piano si indica con le lettere greche:  (alfa),  (beta),  (gamma), 
(delta).
 Ogni superficie non piana si dice curva.
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SOLIDI
Tutti gli oggetti che ci circondano sono solidi. Nei solidi geometrici si
considera la forma e le estensione, cioé lo spazio che occupano nello
spazio.
FIGURE GEOMETRICHE
Le figura geometriche sono rigide e indeformabili. Si dice che due figure
sono ugguali se hanno la stessa forma e la stessa estensione. Due figure si
chiamano congruenti se sono ugguali.
d)Segmento
Il segmento é la parte di retta limitata da due suoi punti ce si dicono
estremi del segmento e appartengono al segmento stesso.
Due segmenti che hanno solo un estremo in comune si chiamano
consecutivi.
Il segmento si indica con le lettere dei due estremi.
 Due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e se appartengono a
una stessa retta.
 Due segmenti sono sovvrapposti se hanno un estremo in comune e se
tutti i punti di uno di essi sono anche punti dell’altro; in particolare sono
coincidenti se hanno entrambi gli estremi in comune.
ADDIZIONE DI SEGMENTI
La somma di due segmenti adiacenti é il segmento che ha per estremi gli
estremi non comuni dei due segmenti dati.
 L’operazione con cui si determina la somma di due o piú segmenti si dice
addiazione dei segmenti.
 Per determinare la somma di tre o piú segmenti, dati in un certo ordine,
si determina la somma del primo e del secondo, poi la somma del
segmento ottenuto e del terzo e coisí via.
SOTTRAZIONE DEI SEGMENTI
~ 14 ~
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 La differenza fra due segmenti, di cui il primo non sia minore del
secondo, é il segmento che si deve addizionare al secondo per ottenere il
primo.
 L’operazione con cui si determina la differenza fra due segmenti si dice
sottrazione dei segmenti.
 La differenza fra due segmenti congruenti é un segmento nullo e cioé un
segmento avente gli estremi coincidenti.
CONFRONTO DEI SEGMENTI
Due segmenti si dicono congruenti se si possono sovraporre con un
movimento rigido in modo che i loro estremi coincidano.
Confrontare due segmenti qualsiasi signifa stabilire se essi sono
congruenti o quale dei due é maggiore.
MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DI UN SEGMENTO
 Il punto medio di un segmento é il punto che divide il segmento in due
segmenti congruenti.
SPEZZATE
L’insieme di piú segmenti a due a due consecutivi (ma non adiacenti) e
tali che uno stesso estremo non appartenga a piú di due segmenti
costituisce una linea spezzata o semplicemente spezzata.
I segmenti che formano parte di una spezzata si dicono lati della spezzata
e gli estremi dei segmenti si dicono vertici della spezzata.
Una spezzata puó essere aperta o chiusa, intrecciata o semplice.
MISURA DELLA LUNGHEZZA DI UN SEGMENTO
Misurare la lunghezza di un segmento significa confrontarla con la
lunghezza di un altro segmento, scelto come unitá di misura, e
determinare il numero che indica quante volte la lunghezza del segmento
dato contiene l’unitá di misura o un suo multiplo o sottomultiplo.
~ 15 ~
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11)Angoli
 L’angolo é ciscuna delle due parti in cui un piano risulta diviso da due
semirette che hanno l’origine in comune.
 L’angolo é la parte di piano generata da una semiretta che ruota intorno
alla sua origine.
 Due semirette aventi la stessa origine dividono il piano in due parti dette
angoli; si dice angolo convesso quella che non contiene i prolungamenti
dei suoi lati e si dice angolo concavo quella ce contiene tali prolungamenti.
 Il semipiano é ciascuna delle due parti in cui il piano viene diviso da una
sua retta che si dice origine di ciascuno dei due semipino.
 Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e sei lati non comuni sono
semirete opposte.
 Due angoli sono consecutivi se hanno in comune soltanto il vertice e un
lato.
 Si dice angolo piatto l’angolo i cui lati sono semirette oposte.
 L’angolo giro é l’angolo che ha 360 gradi.
 L’angolo nullo é l’angolo che ha 0 gradi.
 L’angolo retto é l’angolo che ha 90 gradi.
 L’angolo ottuso é maggiore di 90 gradi.
 L’angolo acuto é l’angolo che é minore di 90 gradi.
 L’operazione con cui si determina la somma di due o piú angoli si dice
addizione di angoli.
 La somma di due angoli adiacenti é un angolo piatto.
 La somma di due angoli piatti é un angolo giro.
 La differenza fra due angoli, di cui il primo non sia minore del secondo, é
l’angolo che si deve addizionare el secondo per ottenere il secondo.
 Differenza fra angoli rispettivamente congruenti sono congruenti.
 Si dice bisettrice di un angolo la semiretta che divide l’angolo in due
angoli congruenti.
 La bisettrice di un angolo piatto divide l’angolo in due angoli congruenti
che chiamiamo angoli retti.
 Due angoli si dicono complementari se la loro somma é un angolo retto.
~ 16 ~
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 Due angoli si dicono supplementari se la loro somma é un angolo piatto.
 Due angoli si dicono esplementari se la loro somma é un angolo giro.
 Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i
prolungamenti dei lati dell’altro.
 Due angoli opposti al vertice sono congruenti.
 Si dice grado l’angolo che é la trecentosessantesimeça parte dell’angolo
giro.
 Misusare l’ampiezza di un anglo o, come si dice piú semplicementte,
misurare un angolo significa confrontarlo con un altro angolo scelto come
unitá di misura e stabilire quante volte l’angolo dato contiene l’unitá di
misura o un suo multiplo.
~ 17 ~
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12)Divisibilitá
 Per riconoscere se un numero é divisibile per un altro, occorre eseguire
la divisione;se il resto resulta uguale a zero, il primo numero é divisibile
per il secondo, in caso contrario non lo é. Esisitono delle semplici regole
chiamate criteri di divisibilitá, che ci permette di sapere se un numero é
divisibile per un altro senza fare fare la divisione.
Criteri di divisibilitá:
 ... per il numero 2: Un numero é divisibile per 2 se la sua ultima cifra e
pari (0,2,4,6,8,)
... per il munero 3: Un numero é divisibile per 3 se la somma delle sue
cifre é divisibile per 3.
... per il numero 4: Un numero é divisibile per 4 se termina con due cifre
che formano un numero divisibile per 4 o con due zeri.
...per il numero 5: Un numero é divisibile per 5 se la sua ultima cifra é
5,0.
... per il numero 9: Un numero é divisibile per 9 se la somma delle sue
cifre é divisibile per 9.
...per il numero 10: Un numero é divisibile per 10 se finisce con il
numero 0.
.. per il numero 11: Un numero é divisibile per 11 se la differza fra la
somma delle sue cifre di posto dispari e quella delle cifre pari é un multipli
di 11.
...per il numero 25: Un numero é divisibile per 25 se termina con due
cifre che formanoun umero divisibile per 25 (cioé se termina in due zeri, in
50 o in 75)
~ 18 ~
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13)Numeri primi e numeri composti.
 Un numero naturale maggiore di 1 si dice primo se é divisibile per 1 e
per se stesso.
 Un numero naturale che ammette altri divisori oltre se stesso e 1, si dice
composto.
 I numeri pari, fatta eccezione il 2, non sono primi perché sono divisibili
per due tranne che per uno e per se stessi.
 I numeri primi , fatta eccezione del 2, sono sempre dispari.
 Il numero 1 ha un solo divisore (se stesso) e quindi non é primo ne
composto.
 Il numero 0 ha infiniti divisori ma non se stesso e quindi non é primo ne
composto.
 Eratostene di Cirene(275-195 a.C) ha fatto una tabella, detto crivello,
dove cé al principio il numero 2 e poi tutti i numeri dispari.
SCOMPOSIZIONE SI NUMERI IN FATTORI PRIMI
 Per scomporre un numero in fattori primi siginifica trovare in numeri
primi il cui prodotto é uguale al numero dato.
 Per scomporre un numero composto in fattori primi, dicidiamo il
numero per il piú piccolo numero primo che sia suo divisore; dividiamo
quindi il quoziente ottenuto per il piú piccolo numero primo che sia suo
divisore, e cosí via fino a quando otteniamo per quoziente 1 nella colonna
di sinistra. Il numero dato é uguale al prodotto di tutti i divisori trovati,
cioé dei numeri che si trovano a destra del tratto verticale.
 Se i numeri non sono molto grandi, possiamo individuare tutti i loro
divisori mentalmente. Ad esempio:
D(15)= (1,3,5,15). D(20)=(1,2,4,5,10,20)
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14)MCD (massimo comune divisore)
 Si dice masssimo comune divisore il piú grande dei divisori comuni di
due numeri.
Es: D (18)= {1,2,3,6,9,18}
D (24)= {1,2,3,4,6,8,12,24}
15)MCM(minimo comune multiplo)
 Si dice minimo comune multiplo di due o piú numeri il minore dei loro
multipli comuni.
Es: M(6)= {6,12,18,24,30}
M (8)= {8,16,24,32}
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16) Frazioni
 Unitá frazionaria é il simbolo che rappresenta una dell parti ugguali in
cui é stata divisa una grandezza che si considera come unitá o intero.
 Si dice frazione il simbolo che rappresenta una o piú unitá frazionaria
uguali.
Applicare una frazione come operatore e una grandezza significa dividere
quest’ultima per il denominatore e moltiplicare il risultato per il
numeratore.
 Ogni frazione rappresenta il quoziente esatto della divisione fra il
numeratore e il denominatore.
 Due o piú frazioni si dicono equivalenti se, applicate come operatori a
una stessa grandezza, conducono allo stesso risultato.
 L’insieme di tutte le frazioni equivalenti a una data frazione si dice classe
di equivalenza. Ogni classe di equivalenza é individuata da una qualsiasi
frazione della classe stessa. Per ragioni si semplicitá ogni classe viene
individuata dalla frazione i cui termini sono primi fra loro.
 Proprietá invariantiva delle frazioni. Moltiplicando o dividendo, se é
possibile, i termini di una frazione oer uno stesso numero diverso da zero,
otteniamo una frazione equivalente a quella data.
 Semplificare una frazione (riducibile), significa trasformarla in un’altra
equivalente avente i termini piú piccoli. La semplicificazione si é effetuata
dividendo i termini della frazione data per un loro divisore comune.
 Una frazione si dice irriducibile o ridotta ai minimi termini quando i su oi
termini non si possono ridurre o semplicificare piú.
 Per ridurre ai minimi termini una frazione si dividono i termini per il
M.C.D.
 Per ridurre piú frazioni al minimo comun denominatore:
a) Riduciamo le frazioni date ai minimi termini, se non lo sono.
b) Calcoliamo il m.c.m dei denominatori della frazioni ottenute.
c) Trsformiamo ciascuna frazione nella frazione equivalente avente
per denominatore il m.c.m trovato.
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 Si dicono numeri razionali assoluti le classi formate da tutte le frazioni
fra loro equivalenti che si rappresentano con la frazione irriducibili do ogni
classe. L’insieme dei numeri razionali assoluti si indica con Q.
 La somma di due o piú frazioni cha hanno lo stesso denominatore é la
frazione che ha per numeratore la somma dei numeratori delle frazioni
date e per denominatore i denominatori delle frazioni date.
 Per addizionare due o piú frazioni non aventi lo stesso denominatore si
cerca il m.c.m dei denominatori delle frazioni date, poi si multiplica il
numeratore di una delle frazioni per il numero cha ai multiplicato il
denominatore per arrivare al m.c.m e lo stesso con l’altra frazione.
 Numero misto é la somma di un numero naturale e di una frazione
propria.
 La differenza fra due frazione che hanno lo stesso denominatore á la
frazione che ha per denominatore il denominatore delle frazioni e per
numeratore la differenza fra i numeratori delle frazione date.
 Si dice frazione complementare di una frazione propria la differenza fra
l’intero e la frazione data.
 Il prodotto di due frazioni é la frazione che ha per numeratore il
prodotto dei numeratori e per denomiantore il prodotto dei
denominatori. Il risultato di questa operazione puó variare se i termini
possono essere simplificati.
 Due frazioni si diono inverse o reciproche si il loro prodotto é l’unitá.
 La frazione inversa o reciproca di una frazione, non nulla, si ottiene
scambiando il numeratore con il denominatore della frazione stessa.
 Per dividere una frazione per un’altra (non nulla) so moltiplica la prima
per l’invesa della secona.
Una frazione si dice a terimini frazionari se uno o entrambi i suoi termini
sono frazioni.
 Per elevare a potenza una frazione si elevano all’esponente di quella
potenza entrambi i termini (numeratore e denominatore) della frazione.
 Per calcolare la frazione di un numero si moltiplica il numero per la
frazione.
 Per calcolare il numero di cui é data una parte frazionaria si divide
questa parte per la frazione.
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 Per calcolare due numeri conoscendo la loro somma e tali che uno é una
data frazione dell’altro, si deve dividere la somma conosciuta per la
somma del numeratore e del denominatore della frazione e moltiplicare il
quoziente ottenuto rispettivamente per il numeratore e per il
denominatore della frazione data.
 Per calcolare due numeri conoscendo la loro differenza e tali che uno é
una data frazione dell’altro, si deve dividere la deifferenza conosciuta per
la differenza fra i due termini della frazione (termine maggiore-termine
minore) e moltiplicare il quoziente ottenuto respettivamente per il
denominatore della frazione data.
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