3guia111049M (1)

Marzo – Julio 2019 UNIVERSIDAD
FACULTAD DE DEL CIENCIAS VALLE
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Prof. OLGA VASILIEVA
Ecuaciones Diferenciales (código 111049M): GUIA #3
Soluci ̃on de EE.DD. mediante series de potencias.
1. Encontrar los puntos ordinarios, singulares regulares o singulares irregulares de las siguientes ecuaciones:
(a) x2(x − 1)y + xy = 0; (b) (x + 1)2y + 3xy + x2y = 0;
(c) x(x − 1)2y + y − 5xy = 0; (d) xy + ex2y + xy = 0.
2. Resolver las ecuaciones diferenciales dadas usando dos métodos: (1) separando las variables; (2) por
medio
de las series de potencias. Comparar los resultados.
(a) y − x2y = 0; (b) (1 − x)y − y = 0.
3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando series de potencias:
(a) y − xy − y = 0; (b) y + 2x2y = 0;
(c) y − 2xy = x2; (d) y − xy = e−x.
4. Resolver los problemas de valor inicial usando series de potencias:
(a) (x − 1)y − xy + y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6; (b) y − 2xy + 8y = 0, y(0) = 3, y (0) = 0.
5. Use el método de Frobenius para obtener una solución de la ecuación dada alrededor del punto singular
x =0:
(a) 3x2y − xy + (x2 + x)y = 0; (b) 3xy + y + 2y = 0. (c) 2x2y − x2y − (x + 4)y = 0; (d) x2y − x(3 + x)y + 2xy = 0. (e)
xy + y − 4y = 0; (f) x2y + (x2 − x)y + y = 0.
6. Demuestre que la ecuación de Bessel
x2y + xy +
(x2 − 14)y = 0 puede convertirse en z + z = 0 mediante la transformación z(x) = y(x) · √x.
7. Demuestre que la ecuación de Legendre
)
(1 − x2 dx
2−
d2
y
2xdx dy+ n(n + 1)y = 0 se puede transformar en
d
sen θ dθ2y
2+
cosθdy
dθ
+ n(n + 1)(sen θ)y = 0
mediante la sustitución x = cosθ.
1
Respuestas
1. (a) x = 0, x = 1 singulares regulares, x = 0, x = 1 ordinarios; (b) x = −1 singular irregular, x = −1
ordinarios; (c) x = 0 singular regular, x = 1 singular irregular, x = 0, x = 1 ordinarios; (d) x = 0 singular
regular, x = 0 ordinarios.
2. (a) y = cex3/3, y = c0 ∑∞n=0 n!
1(x3
3)n
; (b) y = 1 − c x, y = c0 ∑∞n=0 xn.
3. (a) y = c0
+x
(1 + x2 2
+ ···)
+x
84
48 6
+ c1
)+ ···
+x
(x + x3 3
15 5
;
(b) y = c0
+
(1 − x6 4 168
x8
) −···+ c1
+
(x − x10 5 360
x9
)−···;
(c) y = c0
+x
(1 + x3 3
+
45 6 1620
x9
) + ···
+
(x + x6 4 126
+ c1
x7
) + ···
+
x7
(x12 4+ 252
)+ ···
;
(d) y = c0 + c1
+x
(x + x6 3
+
40 5 336
x7
) + ···
x
8 4− x30 5
+x
(x2 2− 6 3
+ 13x
720 6
− 240 x7
)+ ···
.
(
x
4. (a) y = 6x − 2 1 + 2!
+ ···
2+
x
3!
3+
x
4!
4)
= 8x − 2ex; (b) y = 3 − 12x2 + 4x4.
+
5. (a) y = x4/3 1 − 7 − 3x70 2
(
+
+
210
x
x3
1680
x4
)+ ···
(
; (b) y = x2/3 1 −
+
9240
2x + x
5
20 2− 330
x3
x4
)−···; (c)
(
y = x2 1 +
+x
+
3x + 3x
96 3 896
)+ ···
8
x4
; (d) y = x4 +
+
336
40 2
2x
+x
55
+ 2x
10 6
105 7
x8
+ ···;
(e) y =1+4x + 4x2 +
2
16 x3 4 x4
9
+ 9
+ 225
16 x5
+ ···; (f) y = xe−x.