Conceptos básicos de dinámica estructural

1
Conceptos básicos de dinámica
estructural
Fundamentos de dinámica
de estructuras
Septiembre de 2009
Conceptos básicos de dinámica
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
CONTENIDO
Introducción
Estructura simple
Grados de libertad
Sistemas elásticos
Amortiguamiento
Ecuación de movimiento
Excitación sísmica
Fundamentos de dinámica de estructuras
2
Introducción
• La Dinámica de Estructuras es un área del
análisis mecánico de las construcciones que
estudia el efecto de las acciones externas que
producen vibraciones. Su desarrollo comienza
en el siglo XIX con las investigaciones de Lord
Rayleigh sobre los efectos del sonido en
cuerpos elásticos las cuales aun tienen validez.
• Actualmente esta área de la Mecánica presenta
un estado avanzado de desarrollo pues se ha
logrado establecer métodos de cálculo para
estructuras lineales y no lineales sometidas a
acciones deterministas o aleatorias.
Fundamentos de dinámica de estructuras
3
Introducción
• El análisis dinámico de estructuras consiste en
determinar la respuesta (desplazamientos,
velocidades y aceleraciones) de estructuras
sometidas a excitaciones (acciones dinámicas).
• Los parámetros más significativos de la
respuesta son los desplazamientos relativos
máximos y aceleraciones absolutas.
Fundamentos de dinámica de estructuras
4
Introducción
• Este capítulo introductorio comienza con la
definición de algunos términos básicos en la
dinámica estructural.
• Se hace la deducción de las ecuaciones del
movimiento dinámico de un sistema sencillo es
decir de un grado de libertad.
• Luego se describen brevemente las principales
cargas dinámicas que actúan sobre las
estructuras y se discute la utilidad de los
sistemas sencillos para representar el
comportamiento de estructuras más complejas.
Fundamentos de dinámica de estructuras
5
Introducción
• Las principales acciones dinámicas que actúan
sobre las estructuras son las siguientes:
–
–
–
–
–
Motores y equipos mecánicos.
Terremotos.
Vientos.
Oleaje.
Otras:
• Impacto.
• Paso de vehículos o personas.
• Explosiones.
Fundamentos de dinámica de estructuras
6
Estructura simple
• Una estructura simple es aquella que se puede idealizar
como un sistema que está constituido por una masa
concentrada “en la parte superior” soportada por un
elemento estructural que proporciona rigidez en la
dirección considerada.
Fundamentos de dinámica de estructuras
7
Estructura simple
Fundamentos de dinámica de estructuras
8
Grados de libertad
• El grado de libertad es definido como el número de
desplazamientos independientes requerido para definir
las posiciones desplazadas de todas las masas relativas
a sus posiciones originales.
Fundamentos de dinámica de estructuras
9
Grados de libertad
• Un grado de libertad corresponde a cualquier
movimiento posible de los nodos de los elementos en
una dirección no restringida.
Fundamentos de dinámica de estructuras
10
Grados de libertad
• En el caso dinámico el modelo empleado aquí está
basado en la suposición de que la rigidez se concentra
en un resorte que carece de masa mientras que la masa
se ubica en un cuerpo rígido que no se deforma.
Fundamentos de dinámica de estructuras
11
Grados de libertad
Fundamentos de dinámica de estructuras
12
Grados de libertad
• Para un marco plano básico tenemos:
– Análisis estático:
– Análisis dinámico:
3 DOF
1 DOF
Fundamentos de dinámica de estructuras
13
Grados de libertad
• Obviamente, cualquier estructura posee un número
infinito de grados de libertad debido a su continuidad
pero el proceso de discretización en elementos supone
un número finito aunque elevado de ellos.
• Discretización de una viga simple:
– Modelo continuo:
– Modelo discreto:
∞ DOF
3 DOF
Fundamentos de dinámica de estructuras
14
Sistemas elásticos
• Un material es elástico cuando recupera su forma
original después de retirar la carga aplicada si además
existe una proporcionalidad entre fuerzas y
desplazamientos se dice que el material es lineal.
– Donde k es la rigidez lateral del sistema y su unidad es
[fuerza/longitud].
Fundamentos de dinámica de estructuras
15
Amortiguamiento
• El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración
libre disminuye en amplitud; en este proceso la energía
del sistema en vibración es disipada por varios
mecanismos los cuales pueden estar presentes
simultáneamente.
• En sistemas simples la mayor parte de la disipación de
la energía proviene de efectos térmicos causados por
repetidos esfuerzos elásticos del material y de la fricción
interna cuando el sólido es deformado.
Fundamentos de dinámica de estructuras
16
Amortiguamiento
• En las estructuras actuales el amortiguamiento es representado de
forma idealizada; para efectos prácticos el amortiguamiento actual
en estructuras SDF puede ser idealizado satisfactoriamente por un
amortiguamiento lineal viscoso.
– A diferencia de la rigidez, el coeficiente de amortiguamiento no puede
ser calculado a partir de las dimensiones de la estructura y del tamaño
de los elementos estructurales, debido a que no es factible el identificar
todos los mecanismos disipadores de energía vibracional en las
estructuras actuales.
Fundamentos de dinámica de estructuras
17
Ecuación de movimiento
• Modelo matemático de un sistema SDF sujeto a la
acción de una fuerza dinámica p(t) aplicada en la
dirección del desplazamiento u las cuales varían con el
tiempo.
Fundamentos de dinámica de estructuras
18
Ecuación de movimiento
Fundamentos de dinámica de estructuras
19
Ecuación de movimiento
Fundamentos de dinámica de estructuras
20
Excitación sísmica
• Si lo que se tiene es un movimiento inducido no por una
fuerza aplicada sino por un movimiento aplicado en la
base de la estructura.
Fundamentos de dinámica de estructuras
21
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2
Vibraciones libres de sistemas
con un grado de libertad
Fundamentos de dinámica
de estructuras
Septiembre de 2009
Vibraciones libres
1.
2.
3.
4.
5.
CONTENIDO
Introducción
Teoría general de vibraciones
Definición de vibración libre
Vibración libre no amortiguada
Vibración libre amortiguada
Fundamentos de dinámica de estructuras
2
Introducción
• En los problemas de ingeniería no es siempre
posible obtener soluciones matemáticas
rigurosas. En realidad solo en algunos casos
simples puede obtenerse soluciones analíticas
• Cuando los problemas implican propiedades de
materiales, distribución de cargas y condiciones
de contorno complejas es necesario introducir
simplificaciones, esto teniendo a la vista el
cumplimiento de los criterios de seguridad y
economía.
Fundamentos de dinámica de estructuras
3
Introducción
• El nexo entre el sistema físico y la posible
solución matemática se obtiene con el modelo
matemático.
• El estudio de las vibraciones se refiere a los
movimientos de los cuerpos y a las fuerzas
asociadas con ellos.
• Todos los cuerpos que poseen masa y
elasticidad, son capaces de vibrar
Fundamentos de dinámica de estructuras
4
Teoría general de vibraciones
• Una vibración mecánica es el movimiento de
una partícula o cuerpo que oscila alrededor de
una posición de equilibrio.
• El sistema tiende a retornar a dicha posición,
bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas
o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro
hasta alcanzar su posición de equilibrio.
Fundamentos de dinámica de estructuras
5
Teoría general de vibraciones
Tipos de
vibraciones
Amortiguadas
Libres
No
amortiguadas
Vibraciones
Amortiguadas
Forzadas
No
amortiguadas
Fundamentos de dinámica de estructuras
6
Teoría general de vibraciones
Conceptos
generales
• Periodo de vibración: Es el intervalo de tiempo
necesario para que el sistema efectúe un ciclo
completo de movimiento.
• Frecuencia: Es el número de ciclos por unidad
de tiempo.
• Amplitud de vibración: Es el desplazamiento
máximo del sistema desde su posición de
equilibrio.
Fundamentos de dinámica de estructuras
7
Definición de vibración libre
• Una estructura está en vibración libre cuando es
perturbada de su posición estática de equilibrio y
comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa
alguna.
Fundamentos de dinámica de estructuras
8
 Vibración libre no amortiguada
• El sistema de marco mostrado es sacado de su posición
de equilibrio por la aplicación de una fuerza o un
desplazamiento, debido a las fuerzas de restitución el
sistema entra en vibración.
• Este sistema puede reducirse a un solo grado de
libertad para el análisis dinámico, si se desprecian las
deformaciones axiales y se supone una viga de gran
rigidez.
Fundamentos de dinámica de estructuras
9
Vibración libre no amortiguada
• La ecuación que representa el movimiento de un
sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está
sometido a la acción de una fuerza externa es:
• Donde por conveniencia ωn es la frecuencia natural o
frecuencia circular natural en vibración libre del sistema
y es igual a:
• De acuerdo a la teoría de ecuaciones diferenciales la
ecuación anterior es una EDH de segundo orden con
coeficientes constantes y su solución es:
Fundamentos de dinámica de estructuras
10
Vibración libre no amortiguada
• Donde A y B son constantes que se hallan a partir de
las condiciones iniciales de desplazamiento y
velocidad:
• Obteniéndose por lo tanto:
Fundamentos de dinámica de estructuras
11
Vibración libre no amortiguada
• El sistema presenta el siguiente comportamiento de
desplazamiento contra tiempo:
Fundamentos de dinámica de estructuras
12
Vibración libre no amortiguada
• A partir de estas figuras se observa que el tiempo
requerido de un sistema no amortiguado para completar
un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural
de vibración:
• La frecuencia cíclica natural de vibración, es definida
como el número de ciclos que se repiten en 1 segundo
de tiempo y su valor es:
• Las propiedades de vibración natural, dependen de la
masa y rigidez de la estructura.
Fundamentos de dinámica de estructuras
13
Vibración libre no amortiguada
• Si se hace una representación vectorial del movimiento,
puede obtenerse una ecuación alterna para la solución
de la EDH:
Fundamentos de dinámica de estructuras
14
Vibración libre no amortiguada
• Esta ecuación auxiliándose de un ángulo de fase o de
desfase es:
• Que tiene como soluciones de sus constantes uo y ø:
Fundamentos de dinámica de estructuras
15
 Vibración libre amortiguada
• Si en el sistema anterior consideramos la perdida de
energía en el tiempo, lo que tenemos será un sistema
con amortiguación viscosa:
• El cual puede representarse por el siguiente modelo:
Fundamentos de dinámica de estructuras
16
Vibración libre amortiguada
• La ecuación de movimiento para un sistema lineal
amortiguado en vibración libre es:
• Dividiendo la ecuación por la masa se obtiene:
• Además se ha introducido la razón de amortiguamiento
crítico:
• Y el coeficiente de amortiguamiento crítico:
Fundamentos de dinámica de estructuras
17
Vibración libre amortiguada
• Las soluciones de la ecuación diferencial anterior
dependerá de los valores que tome la razón de
amortiguamiento. Así tenemos:
– Sistema con amortiguamiento crítico ξ=1 (c=ccr): El
sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar.
– Sistema sobreamortiguado ξ >1 (c>ccr): El sistema no
oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente.
– Sistema subamortiguado ξ <1 (c<ccr): El sistema oscila
alrededor de la posición de equilibrio con una amplitud que
decrece progresivamente.
Fundamentos de dinámica de estructuras
18
Vibración libre amortiguada
• El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, es llamado
así debido a que es un valor pequeño de c que inhibe
completamente la oscilación y representa la línea de
división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio.
• Las estructuras civiles poseen una relación de
amortiguamiento ξ <1 la cual las cataloga como sistemas
subamortiguados.
• En mediciones experimentales se han identificado valores
de ξ entre 0.02 y 0.05 para los materiales estructurales
típicos.
Fundamentos de dinámica de estructuras
19
Vibración libre amortiguada
• Los tipos de movimiento resultante en vibración amortiguada
dependen de los parámetros de amortiguamiento:
Fundamentos de dinámica de estructuras
20
Vibración libre amortiguada
Sistema
subamortiguado
• Para un sistema subamortiguado (con ξ <1) la solución
de la ecuación diferencial es la siguiente:
• Donde ωd es la frecuencia natural de la vibración
amortiguada y vale:
• El valor del periodo natural de vibración amortiguado es:
Fundamentos de dinámica de estructuras
21
Vibración libre amortiguada
Sistema
subamortiguado
• La relación entre el periodo natural sin amortiguamiento y
con amortiguamiento viene dada por:
• La relación entre dos desplazamientos pico en un
intervalo de tiempo TD es constante, y el decremento
logarítmico está definido como el logaritmo natural de
esta cantidad y está dado por:
Fundamentos de dinámica de estructuras
22
Vibración libre amortiguada
Sistema
subamortiguado
• Y la relación entre dos desplazamientos cuales quiera es:
• El amortiguamiento tiene el efecto de reducir la
frecuencia natural de ωn a ωd y aumentar el periodo
natural de Tn a TD este efecto es despreciable para una
relación de amortiguamiento por debajo del 20%.
• Para la mayoría de las estructuras ingenieriles ωd y TD
son aproximadamente iguales a ωn y Tn.
Fundamentos de dinámica de estructuras
23
Vibración libre amortiguada
Sistema
subamortiguado
• El efecto del amortiguamiento en las vibraciones libres
puede apreciarse en el siguiente esquema:
Fundamentos de dinámica de estructuras
24
3
Vibraciones forzadas armónicas
de sistemas con un grado de
libertad
Fundamentos de dinámica
de estructuras
Octubre de 2009
Vibraciones libres
CONTENIDO
1. Introducción
2. Sistema no Amortiguado con Carga Armónica
• Ecuación de movimiento
• Resonancia
3. Sistema Amortiguado con Carga Armónica
•
•
•
•
•
Ecuación de movimiento
Resonancia
Deformación Máxima
Factores de Respuesta Dinámica
Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante
Fundamentos de dinámica de estructuras
2
Introducción
• En vibraciones libres, las oscilaciones se inician
por una perturbación que da lugar a un
desplazamiento inicial o una velocidad inicial o
ambas cosas. Sin necesidad de fuerzas
externas al sistema durante el movimiento.
• En vibración forzada, una fuente externa
sostenida es responsable de mantener la
vibración.
Fundamentos de dinámica de estructuras
3
Introducción
• Las vibraciones más importantes desde
el punto de vista de la ingeniería son las
vibraciones forzadas.
• Las vibraciones forzadas ocurren
cuando un sistema es sujeto a una
fuerza que cambia con el tiempo o un
desplazamiento que cambia con el
tiempo.
Fundamentos de dinámica de estructuras
4
Introducción
• El estudio de la respuesta del sistema de un
solo grado de libertad (SDF) a la acción de una
carga armónica establece bases para el
entendimiento de la respuesta de estructuras
más complejas a excitaciones externas.
• Se estudiará primero el caso de fuerzas que
tienen comportamiento periódico, es decir
vibraciones forzadas armónicas.
Fundamentos de dinámica de estructuras
5
Teoría general
• Un sistema bastante general puede ser
representado de la siguiente manera.
• El sistema aunque posea amortiguamiento no
puede regresar a su posición de equilibrio por la
presencia de la fuerza externa que siempre esta
presente en el sistema.
Fundamentos de dinámica de estructuras
6
Tipos de
vibraciones
Teoría general
Amortiguadas
Libres
No
amortiguadas
Vibraciones
Amortiguadas
Forzadas
No
amortiguadas
Fundamentos de dinámica de estructuras
7
 Sistema no Amortiguado Armónico
Ecuación de Movimiento
• Estableciendo p(t)=po·senωt en la ecuación diferencial
general de movimiento se obtiene la siguiente ecuación
por carga armónica para un sistema no amortiguado:
• Donde po es la amplitud o valor máximo de la fuerza y ω
es la frecuencia de excitación.
Fundamentos de dinámica de estructuras
8
Sistema no Amortiguado Armónico
• La ecuación anterior es una ecuación diferencial de
segundo orden no homogénea y su solución esta
compuesta por dos términos:
• El primer termino es la solución particular que hace
referencia a la situación de estado permanente y el
segundo es la solución complementaria que toma en
cuenta el estado transitorio. Así tenemos:
Fundamentos de dinámica de estructuras
9
Sistema no Amortiguado Armónico
• La solución total es la suma de ambas ecuaciones:
• Las constantes A y B son determinadas aplicando las
condiciones iniciales:
• Para condiciones iniciales en reposo y partiendo del
origen:
Fundamentos de dinámica de estructuras
10
Sistema no Amortiguado Armónico
• Esta ecuación contiene dos componentes de vibración
distintas:
 El término “senωt” para la oscilación en frecuencia de
excitación; representa el estado permanente de vibración
debido a que siempre está presente porque la fuerza aplicada
no depende de las condiciones iniciales.
 Los términos “senωnt” y “cosωnt” para la oscilación en
frecuencia natural del sistema; representan el estado
transitorio de vibración que depende de u(0) ú(0) el cual existe
a pesar de que estos valores sean nulos. El término “estado
transitorio de vibración” se debe a que el amortiguamiento,
siempre presente en sistemas reales, hace que la vibración
libre decrezca en el tiempo.
Fundamentos de dinámica de estructuras
11
Sistema no Amortiguado Armónico
• El sistema presenta el siguiente comportamiento de
desplazamiento contra tiempo:
Fundamentos de dinámica de estructuras
12
Sistema no Amortiguado Armónico
Resonancia
• Ignorando el efecto dinámico de la aceleración se
obtiene como resultado la deformación estática en cada
instante de tiempo:
• Donde el máximo valor de esta deformación es:.
• Por lo que la respuesta dinámica del estado
permanente, puede ser expresada como:
Fundamentos de dinámica de estructuras
13
Sistema no Amortiguado Armónico
• Graficando el factor entre corchetes de la ecuación
anterior contra la relación de frecuencias, se tiene:
Fundamentos de dinámica de estructuras
14
Sistema no Amortiguado Armónico
• De esta grafica se puede observar que:
 Para ω/ωn < 1 ó ω < ωn el factor es positivo indicando que
u(t) y p(t) tienen el mismo signo, lo que significa que el
desplazamiento está en fase con la fuerza aplicada (el
sistema está desplazado en la misma dirección de la
fuerza).
 Para ω/ωn > 1 ó ω > ωn el factor es negativo indicando que
u(t) y p(t) tienen signos opuestos, lo que significa que el
sistema estará fuera de fase con la fuerza aplicada (el
sistema está desplazado en dirección opuesta a la fuerza).
Fundamentos de dinámica de estructuras
15
Sistema no Amortiguado Armónico
• La ecuación anterior puede ser reescrita en términos de
la amplitud uo y el ángulo de fase ø :
• De donde:
• Donde el factor de deformación o amplificación Rd es la
relación de amplitud de deformación vibratoria uo y la
deformación estática (ust)o debido a la fuerza po.
• Por lo que se define la frecuencia resonante como
aquella frecuencia de excitación para la cual Rd es
máximo.
Fundamentos de dinámica de estructuras
16
Sistema no Amortiguado Armónico
• Para un sistema no amortiguado la frecuencia resonante
es ωn siendo Rd infinito para esta frecuencia y la
deformación vibratoria crece indefinidamente,
volviéndose infinita sólo después de un tiempo infinito.
• Para esta condición (ωn= ω) la solución particular falla y
habrá que buscar otra solución para la ecuación de
movimiento que para el caso la siguiente solución cumple
su propósito:
• Siendo la solución total:
Fundamentos de dinámica de estructuras
17
Sistema no Amortiguado Armónico
• Para condiciones iniciales de reposo y partiendo del
origen, se tiene:
Fundamentos de dinámica de estructuras
18
Sistema no Amortiguado Armónico
• En cada ciclo el incremento de la amplitud está dado por:
• La interpretación de este resultado teórico para
estructuras reales es que a medida que la deformación
se incrementa, el sistema en algún punto en el tiempo
fallará si es frágil o cederá si es dúctil.
Fundamentos de dinámica de estructuras
19
Sistema no Amortiguado Armónico
• Los dos tipos de comportamiento posibles a presentarse
dependerán del valor de la frecuencia natural:
Fundamentos de dinámica de estructuras
20
 Sistema Amortiguado Armónico
Ecuación de Movimiento
• Estableciendo p(t)=po·senωt en la ecuación diferencial
general de movimiento se obtiene la siguiente ecuación
por carga armónica para un sistema amortiguado:
• Donde po es la amplitud o valor máximo de la fuerza y ω
es la frecuencia de excitación.
• Esta es la forma más completa de la ecuación de
movimiento (en carga armónica).
Fundamentos de dinámica de estructuras
21
Sistema Amortiguado Armónico
• Tenemos siempre una ecuación diferencial de segundo
orden no homogénea y su solución nuevamente esta
compuesta por dos términos:
• Una solución particular que hace referencia a la
situación de estado permanente y una solución
complementaria que toma en cuenta el estado
transitorio. Así tenemos como soluciones:
Fundamentos de dinámica de estructuras
22
Sistema Amortiguado Armónico
• Siendo la solución total:
• Las constantes A y B son determinadas aplicando las
condiciones iniciales. De igual manera para C y D
tenemos:
Fundamentos de dinámica de estructuras
23
Sistema Amortiguado Armónico
• El sistema presenta el siguiente comportamiento de
desplazamiento contra tiempo.
Fundamentos de dinámica de estructuras
24
Sistema Amortiguado Armónico
Resonancia
• Para ω=ωn las constantes C y D son:
• Las constantes A y B se obtienen a partir de condiciones
iniciales en reposo uo=úo =0 y para ω=ωn :
• Luego la respuesta para un sistema amortiguado sujeto
a carga armónica para ω=ωn :
Fundamentos de dinámica de estructuras
25
Sistema Amortiguado Armónico
• Ecuación que para amortiguamientos pequeños toma la
forma de:
• El incremento en amplitud uj después de j ciclos de
vibración es determinado por la siguiente expresión:
Fundamentos de dinámica de estructuras
26
Sistema Amortiguado Armónico
• Para un sistema con factor de amortiguamiento del 5%
en resonancia se tiene:
Fundamentos de dinámica de estructuras
27
Sistema Amortiguado Armónico
• Los dos tipos de comportamiento posibles a presentarse
dependerán nuevamente del valor de la frecuencia
natural:
Fundamentos de dinámica de estructuras
28
Sistema Amortiguado Armónico
Deformación Máxima
• La deformación en el estado permanente del sistema
debida a una carga armónica puede ser reescrita como:
• Donde:
• Luego:
Fundamentos de dinámica de estructuras
29
Sistema no Amortiguado Armónico
• Graficando valores de Rd en función de ω/ωn :
1
2
Fundamentos de dinámica de estructuras
30
Sistema no Amortiguado Armónico
• El amortiguamiento reduce a Rd y que tanto lo reduce
depende de la frecuencia de excitación:
 Si ω/ωn << 1. Rd es sólo levemente más grande que 1 y es
esencialmente independiente del amortiguamiento (la
fuerza está variando lentamente).
 Si ω/ωn >> 1. Rd tiende a cero y no es afectada por el
amortiguamiento (la fuerza está variando rápidamente).
 Si ω/ωn ≈ 1. Rd es sensible al amortiguamiento, implicando
que la deformación dinámica puede ser más grande que la
estática.
Fundamentos de dinámica de estructuras
31
Sistema Amortiguado Armónico
Factores de Respuesta Dinámica
• Los factores de respuesta dinámica hacen referencia a
las respuestas en deformación, velocidad y aceleración.
• Ya hicimos referencia a la respuesta en deformación:
• Si derivamos dos veces esta expresión obtenemos la
respuesta en velocidad y aceleración respectivamente:
• Donde:
Fundamentos de dinámica de estructuras
32
Sistema no Amortiguado Armónico
• Graficando las respuestas dinámicas en función de ω/ωn:
Fundamentos de dinámica de estructuras
33
Sistema Amortiguado Armónico
Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante
• La frecuencia resonante está definida como la
frecuencia de excitación en la cual ocurre la amplitud
máxima de respuesta.
• La frecuencia resonante es determinada estableciendo
la primera derivada igual a cero en las respuestas
dinámicas respecto a la relación de frecuencias para un
ξ<1/√2.
Fundamentos de dinámica de estructuras
34
Sistema Amortiguado Armónico
• Así tenemos las siguientes frecuencias resonantes:
• Para desplazamiento:
• Para velocidad:
• Para aceleración:
• Para un sistema no amortiguado las tres frecuencias son
iguales a la frecuencia angular.
Fundamentos de dinámica de estructuras
35
4
Respuesta a carga dinámica
general
Fundamentos de dinámica
de estructuras
Noviembre de 2009
Vibraciones libres
1.
2.
3.
4.
5.
CONTENIDO
Introducción
Integral de Duhamel
Solución numérica de la integral de Duhamel
Método de la aceleración lineal
Espectros de respuesta
Fundamentos de dinámica de estructuras
2
Introducción
• La vibración armónica es un caso muy especial
de vibraciones forzadas, pero no es ni muy
cerca el tipo de vibración que encontramos con
frecuencia en la realidad de los sistemas
estructurales.
• En los sistemas reales la fuente de excitación
por lo general presenta un comportamiento
caótico (caso sísmico) u otra forma que no es
sinusoidal.
Fundamentos de dinámica de estructuras
3
Introducción
• Se desarrollará un método de carácter
general para encontrar la respuesta de un
sistema dinámico ante una excitación
cualquiera.
• Para el desarrollo de este método es
necesario recordar el concepto de
impulso, que se relaciona con cargas
aplicadas en períodos de tiempo muy
cortos y que modifican la cantidad de
movimiento del sistema.
Fundamentos de dinámica de estructuras
4
Integral de Duhamel
• En la figura se muestra la forma en como varia
una fuerza en el tiempo.
• Si consideramos un impulso aplicado al sistema
en el tiempo en un intervalo corto de tiempo d
el sistema altera su cantidad de movimiento
cambiando su velocidad.
Fundamentos de dinámica de estructuras
5
Integral de Duhamel
• La cantidad de movimiento se relaciona con la
fuerza por medio de la siguiente ecuación:
• Nótese que en esta ecuación de movimiento no
aparece el termino ku, debido a que, como el
impulso se aplica en un infinitesimal de tiempo
la estructura no alcanza a reaccionar.
• El incremento de velocidad es entonces:
Fundamentos de dinámica de estructuras
6
Integral de Duhamel
• El impulso aplicado genera una pequeña
vibración libre considerada solo para esta
excitación.
Fundamentos de dinámica de estructuras
7
Integral de Duhamel
• En vista de que la carga desaparece en un
instante infinitesimal podemos considerar que
se producen vibraciones libres por la aplicación
de cada uno de los impulsos.
• Donde las condiciones iniciales pueden
obtenerse a partir del cambio de velocidad y
posición del sistema.
• Tomando condiciones iniciales:
Fundamentos de dinámica de estructuras
8
Integral de Duhamel
• Tenemos la siguiente ecuación:
• En un sistema lineal podemos aplicar el concepto
de superposición y obtener la respuesta completa
sumando todos los impulsos:
• Esta solución se conoce con el nombre de
Integral de Duhamel.
Fundamentos de dinámica de estructuras
9
Integral de Duhamel
• En un caso general donde:
• La respuesta total del sistema sería sumar a la
solución anterior (particular) la solución del
sistema homogéneo (complementaria):
• Que para un sistema amortiguado adquiere la
forma:
Fundamentos de dinámica de estructuras
10
Solución numérica de la integral de Duhamel
• En la practica pocas situaciones presentan un
comportamiento que pueda permitir una
representación por medio de una expresión
analítica explícita que facilite el cálculo de la
integral de Duhamel.
• Por esto es necesario recurrir a métodos
numéricos para el cálculo indirecto de la integral
que representan el impulso de las fuerzas.
• Los métodos de cálculos aproximados de
integrales mas usados son el método de los
trapecios y el método de Simpson.
Fundamentos de dinámica de estructuras
11
Solución numérica de la integral de Duhamel
• El método del trapecio se basa en
interpolaciones lineales del comportamiento del
sistema.
• El método de Simpson en cambio hace una
aproximación cuadrática del comportamiento
para calcular las integrales.
• Ambos métodos necesitan de una definición de
pasos de tiempo muy cercanos para lograr
presición.
Fundamentos de dinámica de estructuras
12
Solución numérica de la integral de Duhamel
• Si consideramos la parte de la solución a la
ecuación de movimiento que contiene la integral
de Duhamel.
• Buscando desacoplar los términos en t y
tenemos:
• Con lo que podemos escribir:
Fundamentos de dinámica de estructuras
13
Solución numérica de la integral de Duhamel
• Escribiendo la ecuación anterior en forma
compacta, tenemos:
Donde:
• Con lo que la solución de u(t) está ahora
supeditada a resolver c(t) y s(t) por medio de la
obtención de las integrales planteadas, tarea
que la podemos realizar por integración
numérica.
Fundamentos de dinámica de estructuras
14
Solución numérica de la integral de Duhamel
Integración numérica
• Para obtener una integral cualquiera por
integración numérica:
• Se procede a discretizar el intervalo [0,t] en
subintervalos [0, 1], [ 1, 2], [ 2, 3], …, [ n-1, n],
espaciados
y siendo n=t.
• Con esto podemos obtener la integral
dependiendo del método seleccionado:
Fundamentos de dinámica de estructuras
15
Solución numérica de la integral de Duhamel
Integración numérica
• Método de los trapecios:
Donde f( i ) es el valor del integrando f( ) en el
tiempo ti=i .
• Método de Simpson:
Donde n debe de ser par.
Fundamentos de dinámica de estructuras
16
Solución numérica de la integral de Duhamel
• Dado que en dinámica estructural se necesita
conocer la historia completa de la respuesta
para todo tiempo t en un rango determinado,
resulta conveniente plantear el cálculo de las
integrales c(t) y s(t) en forma recurrente, lo que
significa que la respuesta para ti se expresa en
función de la respuesta en ti-1.
• Esto es con la intención de evitar el recálculo de
sumas hechas en pasos anteriores.
Fundamentos de dinámica de estructuras
17
Solución numérica de la integral de Duhamel
• Si llamamos ci y si a el valor de las integrales c(t)
y s(t) en el instante ti ; fi y gi a el valor de los
integrandos p( )cos ωa y p( )sen ωa en t=i .
Para ambos métodos las ecuaciones recurrentes
se expresarían como:
• Método de los trapecios:
Fundamentos de dinámica de estructuras
18
Solución numérica de la integral de Duhamel
• Método de Simpson:
• Cabe mencionar que debido a la limitante de la regla de
Simpson de que el número de intervalos debe ser par, es
mas común hacer uso de la regla de los trapecios.
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Solución numérica de la integral de Duhamel
• Progama en Matlab para resolver la integral de
Duhamel por el método de los trapecios:
function [t,d]=dtrapez(p,m,w,xi,dt)
%------------------------------------------% [t,d]=dtrapez(p,m,w,xi,dt)
%------------------------------------------% Calcula la integral de Duhamel (como respuesta
% de un sistema sencillo lineal) por la regla de
% los trapecios.
% Entradas:
% p: vector de carga externa
% m: masa del sistema
% w: frecuencia natural del sistema
% xi: fraccion de amortiguamiento viscoso
% dt: paso de tiempo
% Salidas:
% t: vector de tiempo
% d: vector de desplazamientos de respuesta
%-------------------------------------------n=length(p);
tmax=dt*n;
t=linspace(0,tmax,n)';
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Solución numérica de la integral de Duhamel
wa=w*sqrt(1-xi^2);
f=p.*cos(wa*t);
g=p.*sin(wa*t);
f1=[0, f(1:n-1)];
g1=[0, g(1:n-1)];
pc=f1*exp(-xi*w*dt)+f;
ps=g1*exp(-xi*w*dt)+g;
pc=pc*dt/m/wa/2;
ps=ps*dt/m/wa/2;
for i=1:n
if i==1
c(i,1)=pc(i,1);
s(i,1)=ps(i,1);
else
c(i,1)=c(i-1,1)*exp(-xi*w*dt)+pc(i,1);
s(i,1)=s(i-1,1)*exp(-xi*w*dt)+ps(i,1);
end
end
d=c.*sin(wa*t)-s.*cos(wa*t);
figure
plot(t,d)
xlabel('Tiempo')
ylabel('Desplazamiento')
%-------------------------------------------% Fin
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Solución numérica de la integral de Duhamel
Método de la aceleración lineal
• Además del método de integración desarrollado
anteriormente, existen otras tecnicas para
evaluar la respuesta de sistemas dinámicos a
excitaciones generales de carga, una de ellas
es el método de la aceleración lineal, famoso or
su simplicidad y presición.
• La premisa de partida es que la aceleración
tiene un comportamiento lineal entre dos puntos
de análisis cualesquiera.
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Solución numérica de la integral de Duhamel
• Partiendo de la ecuación de aceleración por
integraciones sucesivas encontramos las
ecuaciones de velocidad y desplazamiento
respectivamente.
• En estas ecuaciones las constantes de
integración pueden determinarse gráficamente
como los interceptos en el eje de las ordenadas,
para expresar estas en su forma explícita.
Fundamentos de dinámica de estructuras
23
Solución numérica de la integral de Duhamel
• El siguiente esquema ilustra el método:
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Solución numérica de la integral de Duhamel
• Por último resolvemos estas ecuaciones por
métodos numéricos obteniendo las siguientes
expresiones.
• Sustituyendo estas expresiones en la ecuación
de movimiento se obtiene:
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Solución numérica de la integral de Duhamel
• Ecuación que puede expresarse en la forma:
Donde:
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Solución numérica de la integral de Duhamel
• El algoritmo en Matlab para su resolución es el
siguiente:
function [t,d,v,a]=dmaclin(p,m,w,xi,dt)
%------------------------------------------% [t,d,v,a]=dmaclin(p,m,w,xi,dt)
%------------------------------------------% Calcula la respuesta de un sistema sencillo
% lineal por el metodo de la aceleracion lineal
% Entradas:
% p: vector de carga externa
% m: masa del sistema
% w: frecuencia natural del sistema
% xi: fraccion de amortiguamiento viscoso
% dt: paso de tiempo
% Salidas:
% t: vector de tiempo
% d: vector de desplazamientos de respuesta
% v: vector de velocidad de respuesta
% a: vector de aceleracion de respuesta
%-------------------------------------------n=length(p);
tmax=dt*n;
t=linspace(0,tmax,n);
Fundamentos de dinámica de estructuras
27
Solución numérica de la integral de Duhamel
d0=0;
v0=0;
a0=0;
%
k=m*w^2;
c=2*m*w*xi;
kbar=k+3*c/dt+6*m/(dt^2);
ikbar=1/kbar;
%
for i=1:n
p1=p(i,:);
dp=m*(6*d0/dt^2+6*v0/dt+2*a0);
dp=dp+c*(3*d0/dt+2*v0+dt*a0/2);
pbar=p1+dp;
d1=ikbar*pbar;
v1=3*(d1-d0)/dt-2*v0-dt*a0;
a1=6*(d1-d0)/dt^2-6*v0/dt-2*a0;
d(i,1)=d1;
v(i,1)=v1;
a(i,1)=a1;
d0=d1;
v0=v1;
a0=a1;
end
%
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Solución numérica de la integral de Duhamel
figure
plot(t,d)
xlabel('Tiempo')
ylabel('Desplazamiento');
figure
plot(t,v)
xlabel('Tiempo')
ylabel('Velocidad');
figure
plot(t,a)
xlabel('Tiempo')
ylabel('Aceleracion');
%-------------------------------------------% Fin
Fundamentos de dinámica de estructuras
29
Espectros de Respuesta
• De forma similar que en el análisis estático de
estructuras, en dinámica estructural también
resulta de interés las respuestas máximas de los
sistemas, dado que estas gobiernan los diseño.
• Los espectros de respuesta son gráficos que
recogen las respuestas máximas de sistemas
sencillos de un grado de libertad para diferentes
períodos con igual fracción de amortiguamiento
ante una excitación dada.
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Espectros de Respuesta
• Aunque se deducen para sistemas sencillos la
aplicación de los espectros de respuesta
transciende a sistemas de varios grados de
libertad, pues en estos existen períodos
dominantes que pueden tomarse como base
para lectura de la respuesta.
• Las respuestas que se grafican contra el
período (o ya sea contra la frecuencia) puede
ser cualquier respuesta, aunque las mas
usuales son desplazamiento, velocidad y
aceleración.
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Espectros de Respuesta
• De acuerdo a lo expresado hasta aquí,
necesitamos varios SDOF con diferentes T a un
mismo ξ.
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Espectros de Respuesta
• Podemos definir los espectros de acuerdo a los
parámetros de los cuales dependen así:
• Así tenemos que el espectro en desplazamiento
por ejemplo es una función de ξ, T y p(t), y la
función se define como el máximo
desplazamiento calculado.
Fundamentos de dinámica de estructuras
33
Espectros de Respuesta
• Debe de tenerse el cuidado en el caso del
espectro de aceleración, que si calculamos el
efecto sísmico en base a la aceleración del
suelo, la aceleración utilizada debe ser la
absoluta:
• A manera de ejemplo se muestran los espectros
de desplazamiento, velocidad y aceleración para
un sismo en Japón en la región de Tokachi-oki,
con períodos comprendidos entre 0.05 y 3
segundos para varios ξ.
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Espectros de Respuesta
Fundamentos de dinámica de estructuras
35
Espectros de Respuesta
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Espectros de Respuesta
Fundamentos de dinámica de estructuras
37
Espectros de Respuesta
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Espectros de Respuesta
• Puede demostrarse que los espectros de
respuesta sísmico cumplen las siguientes
relaciones:
• Se muestra a continuación una función en Matlab
para construir espectros de respuesta en función
de la aceleración del terreno.
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Espectros de Respuesta
Fundamentos de dinámica de estructuras
40
Espectros de Respuesta
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Espectros de Respuesta
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Espectros de Respuesta
• Además de todo esto debe mencionarse que
existen espectros de respuesta suavizados
llamados seuodo espectros y espectros de
respuesta linealizados o paramétrizados
llamados espectros de diseño.
• La forma de crear estos espectros son temas
propios de la ingeniería sísmica, por lo que no se
abordan aquí. Aunque si se puedan utilizar o
aplicar como datos de entrada en análisis
sísmico en dinámica de estructuras.
Fundamentos de dinámica de estructuras
43
Espectros de Respuesta
Fundamentos de dinámica de estructuras
44
5
Sistemas con varios grados de
libertad
Fundamentos de dinámica
de estructuras
Noviembre de 2009
Vibraciones libres
1.
2.
3.
4.
5.
6.
CONTENIDO
Introducción
Ecuación de movimiento
Respuesta dinámica
Método matricial
Método numérico
Método iterativo
Fundamentos de dinámica de estructuras
2
Introducción
• Un sistema de varios grados de libertad
es aquel en el cual su movimiento se
caracteriza por un numero finito de
puntos o nodos, con los cuales dicho
movimiento puede ser definido o
representado.
Fundamentos de dinámica de estructuras
3
Introducción
• Se debe de diferenciar estos sistemas de
múltiples grados de libertad de los sistemas
continuos, que poseen infinitos grados de
libertad.
Fundamentos de dinámica de estructuras
4
Introducción
• Se examinarán las propiedades estructurales
básicas, para sistemas de múltiples grados de
libertad.
• Se planteará la ecuación de movimiento que
nos obliga a un análisis de tipo matricial.
• Se obtendrán las matrices de masas y de rigidez
relacionadas a sistemas que pueden ser
modelados como vigas de cortante.
Fundamentos de dinámica de estructuras
5
Ecuación de movimiento
• Sea el siguiente sistema de 2 grados de
libertad:
• Haciendo DCL para cada carro tenemos:
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Ecuación de movimiento
• Esto nos conduce al siguiente sistema de
ecuaciones de movimiento:
• Ordenando estas ecuaciones tenemos:
• Sistema que puede expresarse matricialmente:
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Ecuación de movimiento
• Donde:
• Evidentemente no se ha incluido ningún tipo de
amortiguamiento en el sistema.
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Ecuación de movimiento
• Esta ecuación de movimiento puede escribirse
de forma completa, de acuerdo a varias
simbologías adecuadas:
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Respuesta dinámica
Viga de Cortante
• El concepto de viga de cortante es muy
importante en dinámica de estructuras, dado
que permite simplificar los modelos de una
manera aceptable sin perdida sustancial de
exactitud en el cálculo de su respuesta.
• Imaginemos que el siguiente marco puede
representarse por el modelo de dos grados de
libertad que se muestra.
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Respuesta dinámica
• Esta simplificación será posible siempre que
existan ciertas condiciones en el marco, como
por ejemplo, que posea diafragmas rígidos y
que puedan despreciarse las deformaciones
axiales en los elementos.
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Respuesta dinámica
• Si para la matriz de rigidez k se define el
elemento kij como la fuerza aplicada en el grado
de libertad i cuando en j tiene lugar un
desplazamiento unitario, siendo todos los demás
desplazamientos iguales a cero.
2
k21
k2
k11
1
k1
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Respuesta dinámica
• De acuerdo a lo anterior, para provocar un
desplazamiento unitario en el piso 1 se requiere
una fuerza en dicho piso igual a:
• Y en el piso 2:
Fundamentos de dinámica de estructuras
13
Respuesta dinámica
• De forma similar, para provocar un
desplazamiento unitario en el piso 2 se requiere
una fuerza en dicho piso igual a:
• Y en el piso 1:
Fundamentos de dinámica de estructuras
14
Respuesta dinámica
• Resumiendo tenemos:
Fundamentos de dinámica de estructuras
15
Respuesta dinámica
• Este modelo se denomina de cortante, debido a
que si consideramos solo la condición estática,
tenemos:
• La fuerza cortante acumulada por nivel, sería:
• Y el desplazamiento relativo de un nivel respecto
al otro:
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Respuesta dinámica
• Lo cual indica que la deriva de piso es igual a la
fuerza cortante dividida por la rigidez.
• Ecuación guarda estrecha relación con la
ecuación de esfuerzo cortante que da la
resistencia de materiales:
Fundamentos de dinámica de estructuras
17
Respuesta dinámica
• Generalizando para un sistema de varios grados
de libertad tenemos:
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18
Respuesta dinámica
Análisis modal
• Para determinar la respuesta dinámica de una
estructura de varios grados de libertad se puede
utilizar el procedimiento de análisis modal.
Fundamentos de dinámica de estructuras
19
Respuesta dinámica
• El método consiste en obtener la respuesta máxima
por separado para cada modo, modelando cada
uno como un sistema de simple grado de libertad.
• Dado que los valores máximos no ocurren
simultáneamente, estos son combinados
estadísticamente para obtener la respuesta total
(SRSS, CQC, etc.)
• El análisis modal puede ser enfocado mediante
métodos matriciales, numéricos o métodos
iterativos.
Fundamentos de dinámica de estructuras
20
Método matricial
• Como la respuesta dinámica de una estructura
depende de la frecuencia o periodo de vibración
y de la forma desplazada (forma modal), el
primer paso en un análisis de un sistema de
varios grados de libertad es encontrar las
frecuencias y las formas modales de vibración
libre.
• En este caso no existen fuerzas externas y no
hay amortiguamiento, es decir, tenemos un
sistema de varios grados de libertad en
vibración libre sin amortiguamiento.
Fundamentos de dinámica de estructuras
21
Método matricial
• Cada grado de libertad dinámico provee una
ecuación de equilibrio dinámico, la vibración
resultante del sistema consiste de n ecuaciones,
por lo tanto tenemos:
• Esta ecuación se corresponde con la siguiente
historia de desplazamientos:
Fundamentos de dinámica de estructuras
22
Método matricial
• La vibración libre descrita gráficamente por las
gráficos de u-t de un sistema no amortiguado en
uno de sus modos de vibración natural puede
describirse matemáticamente por:
• Donde n, es un vector con la configuración
deformada o amplitud relativa de movimiento,
que no varia con el tiempo; y la variación del
desplazamiento con el tiempo esta descrita por
una función armónica:
Fundamentos de dinámica de estructuras
23
Método matricial
• Es decir que:
• En base a esto tenemos:
• O en forma alternativa:
• Esta expresión es una representación de la
ecuación de autovalores; la cual tiene una
solución no trivial sólo si el determinante de los
coeficientes es igual a cero.
Fundamentos de dinámica de estructuras
24
Método matricial
• Es decir que las frecuencias naturales ωn
(escalar) y los modos n (vector) deben
satisfacer la siguiente ecuación:
• El desarrollo del determinante conduce a un
polinomio de grado n en (ωn)2, las raíces del
cual son los autovalores.
Fundamentos de dinámica de estructuras
25
Método matricial
• Sustituyendo éstos autovalores en la ecuación
previa a la del determinante, se obtienen los
autovalores para cada modo. A partir de los
autovalores se obtienen los periodos naturales
correspondientes y se pueden obtener las
aceleraciones espectrales a partir de una curva
de respuesta apropiada.
Fundamentos de dinámica de estructuras
26
Método matricial
 Matriz modal y espectral
• Los n autovalores y los n modos pueden ser
acoplados en forma matricial.
• El modo natural o autovector n correspondiente
a la frecuencia natural ωn tiene elementos jn,
donde j indica el DOF.
• De este modo los n autovectores pueden
presentarse o disponerse en una matriz
cuadrada, de la cual cada columna es un modo.
Fundamentos de dinámica de estructuras
27
Método matricial
• La siguiente es la llamada matriz modal [Φ] :
• Los n autovalores ωn2 pueden ser acoplados en
una matriz diagonal Ω2, la cual es conocida
como matriz espectral.
Fundamentos de dinámica de estructuras
28
Método matricial
• Cada autovalor y autovector satisfacen la
ecuación de autovalores que puede ser
reescrita como:
• Utilizando la matriz modal y espectral es posible
reunir todas las ecuaciones (por cada autovalor)
en una sola ecuación matricial simple:
Fundamentos de dinámica de estructuras
29
Método matricial
 Ortogonalidad de los modos
• Los modos naturales correspondientes a
diferentes frecuencias naturales se muestran a
continuación para satisfacer la siguiente
condición de ortogonalidad. Cuando ωn≠ωr
• La demostración de esta propiedad es la
siguiente:
• Análogamente:
Fundamentos de dinámica de estructuras
30
Método matricial
• Haciendo uso de la propiedad de simetría de la
matriz de masa y rigidez. La transpuesta de la
matriz en el lado izquierdo es igual a la
transpuesta de la matriz en el lado derecho de
la primera ecuación; de esta forma:
• Restando las dos ecuaciones anteriores,
tenemos:
Fundamentos de dinámica de estructuras
31
Método matricial
• Se ha establecido la relación de ortogonalidad
entre modos con distintas frecuencias. La
ortogonalidad de los modos naturales implica
que las siguientes matrices cuadradas son
diagonales:
• Donde los elementos de la diagonal son:
Fundamentos de dinámica de estructuras
32
Método matricial
 Normalización de los modos
• Usualmente se aplica factores de escala a los
modos naturales para estandarizar sus
elementos asociándolos con sus amplitudes en
varios grados de libertad. Este proceso es
llamado normalización.
• Algunas veces es conveniente normalizar cada
modo de tal forma que el elemento mayor sea la
unidad. Otras ocasionas se aplica una regla de
normalización diferente.
Fundamentos de dinámica de estructuras
33
Método matricial
• En teoría de dinámica estructural y programas
computacionales es común normalizar los
modos de tal manera que mn tenga valores
unitarios:
• Los componentes de la matriz modal
normalizada están dados por:
Fundamentos de dinámica de estructuras
34
Método matricial
• Donde:
øjn= es el componente para el nudo j, de la forma modal
normalizada asociada al modo n.
mjj= masa concentrada en el nudo j.
ujn= el componente, para el nudo j, del autovector
asociado con el modo n.
Fundamentos de dinámica de estructuras
35
Método matricial
 Factor de participación
• Las ecuaciones de movimiento para cada grado
de libertad no dependen de los modos de
vibración y tienen forma similar a la ecuación de
movimiento de un sistema de un solo grado de
libertad.
• El factor de participación, para sistemas de
varios grados de libertad esta definido en forma
matricial por:
Fundamentos de dinámica de estructuras
36
Método matricial
• Donde:
[P]= vector de coeficientes de participación para todos
los modos considerados
{1}= vector unitario.
• La matriz de máximos desplazamientos esta
definida por:
Fundamentos de dinámica de estructuras
37
Método matricial
• Donde:
[D] = matriz diagonal de desplazamiento espectral.
[V] = matriz diagonal de velocidad espectral.
[A] = matriz diagonal de aceleración espectral.
• La matriz de fuerzas laterales en cada nudo del
sistema esta dada por:
• El vector de fuerzas cortantes en la base esta
dado por:
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Método numérico
• Para facilitar el procedimiento del análisis modal
se puede utilizar métodos numéricos.
• Para un modo de vibración dado el factor de
participación está definido por:
• Donde:
Mi = masa correspondiente al nivel i.
øi = componente de la forma modal para el nudo i para
un modo dado.
M = masa modal = ΣMi·φi2
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Método numérico
• La masa efectiva está definida por:
• De forma similar el peso efectivo es definido por:
• La aceleración pico en el nudo está definida por:
• El desplazamiento máximo en el nudo es:
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Método numérico
• La fuerza lateral en el nudo está dada por la ley
de Newton:
• La cortante basal y la fuerza lateral en cada
nudo pueden determinarse de la manera
siguiente:
• Para autovectores normalizados:
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Método iterativo
• Para edificios de pocos niveles, que no excedan
a cinco plantas, el análisis modal puede
limitarse al modo fundamental.
• El sistema estructural puede ser modelado
como un pórtico con losas de entre piso rígidas.
• Los desplazamientos laterales de los nudos son
entonces el resultado de la flexión de las
columnas sin incluir rotación en los nudos.
Fundamentos de dinámica de estructuras
42
Método iterativo
• La rigidez de un nivel en particular esta dada
por:
• La masa en cada nivel se asume concentrada
en las losas de entre piso.
Fundamentos de dinámica de estructuras
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Método iterativo
• Se han desarrollado técnicas iterativas basadas
en métodos propuestos por Rayleigh, Stodola y
Holzer.
• A continuación se presenta una adaptación del
método de Holzer.
• Cuando un nudo alcanza su desplazamiento
lateral máximo ui, la velocidad es cero y la
fuerza de inercia en el nudo está dada por:
Fundamentos de dinámica de estructuras
44
Método iterativo
• El incremento en la fuerza de corte en el nudo
es producido por la fuerza de inercia en ese
nivel.
• El incremento de la fuerza cortante esta dado
por:
Donde:
k· = fuerza cortante total en el nivel i.
• Igualando la fuerza de inercia y el incremento de
la fuerza cortante se tiene:
Fundamentos de dinámica de estructuras
45
Método iterativo
• La solución de esta ecuación se puede obtener
de la siguiente manera:
1. Asumiendo una forma modal inicial con un desplazamiento unitario
en el nivel superior; a partir del cual se calcula la fuerza de inercia o
el incremento de fuerza cortante en términos de la frecuencia
natural, en cada nivel.
2. Sumando el incremento de fuerza cortante a partir del nivel superior
hacia abajo se tiene la fuerza cortante total en cada piso. Dividiendo
este valor por la rigidez apropiada de cada nivel se obtiene el
desplazamiento (deriva) de cada piso.
3. Dividiendo estos desplazamientos por el desplazamiento en la parte
superior de la estructura se obtiene la forma modal corregida.
4. Esta forma modal corregida puede ser usada como una nueva
forma modal inicial en el proceso de iteración hasta que coincidan la
forma modal corregida con la inicial.
Fundamentos de dinámica de estructuras
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