Dibujo Tecnico y Geometrico

Ing. EMILIO PÉREZ RAMÍREZ
Profesor Investigador Titular C en la U. de G.
y Centenaria Escuela Normal de Jalisco
Revisor Técnico:
Ing. Arq. Gerardo López Campoy
Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, IPN
McGRAW-HILL
MÉXICO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID
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Asistente editorial: Alma Sámano Castillo
Supervisor de edición: Luis Amador Valdez
Supervisores de producción: Jorge A. Martínez Jiménez
Paula Sosa J.
Diseño y composición tipográfica: Servicios Editoriales Gráficos, S.A. de C.V.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 1998, respecto a la primera edición por
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Cedro No. 512, Col. Atlampa, C.P. 06450, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN 970-10-1108-2
1234567890
U.S.-97
Impreso en México
9086543217
Printed in México
Esta obra se terminó de
imprimir en Octubre de 1997 en
Servicios Litograficos Ultrasol,
S.A. de C.V.
Fiscales No. 46 Col. Sifón
09400 México, D.F.
Se tiraron 6000 ejemplares
Contenido
Prólogo
vii
Unidad 1
Instrumentos y materiales para el dibujo
1
Unidad 2
Manejo de instrumentos para el dibujo geométrico; rotulado
19
Unidad 3
Construcción y trazo de líneas perpendiculares,
paralelas, ángulos, triángulos y cuadriláteros
40
Unidad 4
Construcción y trazo de polígonos inscritos,
estrellados con base a uno de sus lados
60
Unidad 5
Construcción y trazo de circunferencias tangentes entre sí,
empalme de líneas rectas y curvas, trazo de cónicas
74
y curvas planas, cerradas y abiertas
Unidad 6
La escala y sus aplicaciones. Sistema Métrico Decimal
y Sistema Inglés; conversiones
97
Unidad 7
Dibujo a mano libre y a mano alzada
110
Unidad 8
La perspectiva
118
Apéndices
1. Tablas de geometría
2. Sugerencias al profesor
127
131
Prólogo
E
l dibujo, en cualquiera de sus manifestaciones, desempeña un papel de primer orden en todas las
actividades de la humanidad. Esta importancia radica en que, antes que se elabore cualquier objeto
o cosa, es necesario diseñarlo con todas sus características por medio de un dibujo.
El contenido de este texto lo forma el dibujo geométrico, que es básico e imprescindible para llegar a
ser un buen dibujante técnico. El propósito que trato de alcanzar con este trabajo es que los alumnos
encuentren un material de aprendizaje accesible y práctico; por ello recurro al uso de un vocabulario
sencillo, a la eliminación de una teoría geométrica rebuscada, y al auxilio de un gran número de figuras
que permite facilitar el aprendizaje. Porque no hay que olvidar que vale más una imagen que mil palabras.
Alumno, no olvides que un dibujante técnico no nace sino que se hace.
Agradezco toda sugerencia que me puedan hacer compañeros, maestros y alumnos, ya que estaré
pendiente de todas estas iniciativas para mejorar este trabajo siempre que se requiera.
EL AUTOR
Instrumentos
y materiales para el dibujo
Objetivos
particulares
Al término de la presente unidad, el alumno será capaz de:
Conocer los diferentes instrumentos de dibujo.
Identificar las características de operación de los instrumentos de dibujo geométrico y técnico.
Seleccionar los materiales apropiados para el dibujo geométrico y técnico.
Objetivos
específicos
Conocer los diferentes tipos de reglas y escuadras.
Conocer los diferentes tipos de compases.
Conocer las características de operación de los instrumentos geométricos requeridos
en el dibujo geométrico y técnico.
Identificar el tipo de material apropiado para los dibujos a desarrollar.
Usar con eficiencia todos los materiales e instrumentos de dibujo.
Efectuar una buena compra de los materiales e instrumentos de dibujo.
Conservar y mantener los instrumentos de dibujo adecuadamente.
Introducción
En toda actividad humana el hombre ha buscado la
forma de simplificar su trabajo. Debido a esta necesi­
dad ha podido crear los instrumentos que facilitan
muchas de las tareas que realiza. Estos instrumentos
se conocen con el nombre de herramientas, máquinas
o dispositivos electromecánicos o computacionales. El
dibujo no es una actividad estática y por lo tanto va de
la mano con todas las nuevas aportaciones de la tecno­
logía; el dibujo demanda muchas herramientas de tra­
bajo acordes a sus objetivos.
Algunas de estas herramientas datan de hace miles
de años y siguen teniendo vigencia y operatividad, ta­
les como la regla, el compás, las escuádrasete; otras
son de uso más reciente como el grafo y las plumillas,
el leroy y las mesas de dibujo con pantalla y compu­
tadora, donde se puede transformar dibujos bidimensionales en dibujos tridimensionales.
Seleccionar adecuadamente los materiales para
dibujar reviste mucha importancia; el desconocimien­
to de las características de fabricación y uso de estos
instrumentos provoca errores que pueden echar a
perder un trabajo que costó un gran esfuerzo, tiempo
y costo. Por lo tanto, no es justo incurrir en errores por
desconocimiento, selección inadecuada de material
o uso indebido.
Es importante mencionar que en el campo de la
enseñanza nunca una máquina podrá sustituir a un
maestro. También es necesario expresar que todo alum­
no debe ocuparse de recorrer la escalera de la forma­
ción técnica, es decir, iniciar por el dominio y manejo
de sus herramientas, luego el conocimiento y aplica­
ción de la tecnología del dibujo, y por último la aplica­
ción en la máquina computadora de dibujo.
1
2
DIBUJO TECNICO Y GEOMETRICO
El restirador
Para trabajos de carácter profesional, por lo general
miden 1 m de ancho por 1.30 m de largo y 3 cm de grueso.
El restirador o tablero de dibujo se fabrica de secciones de
pino blanco o cedro, sujetas entre sí por uniones ensambla­
das con cola, para obtener así una superficie plana; no es
indispensable que el restirador sea estrictamente del mate­
rial indicado, ya que en la actualidad los hay de diferentes
tipos de madera o metálicos. Generalmente todos los ta­
bleros de dibujo tienen los lados perpendiculares entre sí,
pero es imprescindible que el borde izquierdo sea recto.
Figura 1.1
Restirador o tablero de dibujo.
Figura 1.3
que se deslice con facilidad la cabeza de la regla T
y las líneas que se trazan con ella sean perpendiculares al
borde antes dicho, se sugiere que, al borde que no sea recto,
con un cepillo de carpintero se haga el borde correcto.
NOTA: En el caso de que la persona sea zurda, entonces se debe
cuidar el borde derecho.
Tamaño del tablero de dibujo
El tamaño varía según las necesidades. Los tableros de
dibujo en las escuelas deben ser más pequeños, con la
finalidad de aprovechar los espacios lo mejor posible, pero
sin descuidar los requisitos indispensables de éstos.
Modelo de restirador empotrado en una pared.
El tamaño de las mesas de trabajo no puede ser mayor
que el de las antes mencionadas, debe atenderse a la necesidad de que el dibujante pueda ver, con un rápido movimiento de ojos, toda la superficie de la hoja en que trabaja.
Cuando la superficie del tablero es dura, se usa una
hoja de cartoncillo para que sea más suave y pueda deslizarse el lápiz, la mina o el grafo con mayor facilidad y no
se marque el papel.
Improvise un restirador
Una mesa cualquiera o escritorio cuyo borde izquierdo
sea recto o plano, servirá como tablero de dibujo.
Levante las patas posteriores de la mesa, aproximadamente 8 cm y procure que el borde anterior llegue a la
altura de la cintura (véase figura 1.4).
Las máquinas de dibujar
Mesas de dibujo convencionales
Figura 1.2
Disposición de restiradores en un aula.
Algunos tableros están diseñados para trabajar lo mismo sentados que de pie, y sus medidas son de 0.80 m de
ancho por 1.20 m de largo con 3 cm de grueso.
Las mesas convencionales se han usado durante muchos
años; sin embargo, últimamente se han diseñado y construido mesas de dibujo que se pueden inclinar mediante
varios sistemas; algunas con mecanismos de resorte, y
otras, con contrapesos. Existen modelos en que se usan
incluso sistemas hidráulicos.
En este tipo de mesas se trabaja cómodamente sentado o de pie, pues el tablero puede quedar totalmente vertical; hay además otras mejoras técnicas de diversos tipos de
las que exponemos las principales.
INSTRUMENTOS Y MATERIALES PARA EL DIBUJO
3
reglas que permiten trazar líneas verticales, horizontales o inclinadas, y reemplazan a la regla T, las escuadras y los cartabones.
Figura 1.4
Mesas de dibujo con conducción paralela de la regla,
donde ésta cubre toda la longitud del tablero y se mueve por medio de ruedas y cadenas articuladas o por
medio de cables. En este tipo de mesas se pueden trazar líneas en sentido longitudinal, sin interrupción, a lo
largo de todo el tablero. Para trazar las rectas verticales
o las inclinadas se emplean cartabones o escuadras.
b) Mesas de dibujo con máquinas de dibujar conocidas
con el nombre de tecnígrafos, brazos articulados con
Además de esto, se siguen creando nuevos tipos de
mesas de dibujo para diversas actividades técnicas; en algunas, las patas se han sustituido por una base firme que
ocupa menos espacio, y en otras se han elaborado tableros
gigantes para dibujo técnico de piezas de maquinado, ingeniería naval y otras, o pequeños tableros de dibujo muy
manuables, que se arman y desarman por lo que pueden
transportarse en maletas especiales. Este tipo de mesas están equipadas también con tecnígrafos.
Las mesas modernas de dibujo permiten un gran ahorro de espacio y un menor ordenamiento en los salones de
dibujo o de proyecto, además de todas las ventajas enumeradas con anterioridad (rapidez, precisión, comodidad, etc.).
Sin embargo, durante un buen tiempo seguirán usándose
las mesas convencionales de dibujo, debido fundamentalmente a su bajo costo y poca complejidad en su construcción, que las hacen aceptables para los talleres que no poseen recursos suficientes para la adquisición de las de tipo
moderno.
Figura 1.7 Las modernas mesas de dibujo permiten un mejor ordenamiento de los salones de trabajo.
Figura 1.5
Mesa de dibujo de tipo convencional.
Tecnígrafo
Figura 1.6
Moderna mesa de dibujo equipada con tecnígrafo.
Las mesas modernas de dibujo están provistas de un
tecnígrafo. Éste permite ejecutar los dibujos con gran rapidez, por lo cual es un instrumento muy útil para los dibujantes.
El tecnígrafo está compuesto por dos reglas que forman entre sí un ángulo de 90°, fijadas con la máxima solidez a una escuadra que forma parte de la cabeza del
tecnígrafo, la cual está provista de un puño para la maniobra del aparato. La posición normal de la escuadra es tal,
4
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
que las dos reglas son paralelas, respectivamente, a la base
y a la altura del tablero. La cabeza está unida al tablero
mediante un sistema de palancas, de manera que puede
moverse libremente en contacto con él a través de toda la
superficie del dibujo. Se comprende fácilmente que al tomar con una mano el puño del tecnígrafo, por un sencillo
movimiento de traslación hacia el sitio necesario, es fácil
trazar, sin la ayuda de las escuadras ni de construcciones
geométricas, segmentos paralelos y perpendiculares entre
sí y a los lados del tablero, en cualquier punto del plano de
dibujo. Además, al apretar una palanca y mover el tornillo
correspondiente, la escuadra que forma parte de la cabeza
del tecnígrafo queda libre para girar el ángulo que se desee, graduable con el goniómetro* de dicha cabeza, que se
fija luego en la orientación deseada. El tecnígrafo da la posibilidad de trazar series de rectas perpendiculares y paralelas, con inclinación variable sobre la longitud, en cualquier
punto del plano del dibujo
En los de resorte, la tensión puede regularse con lo
que se obtiene fácilmente un equilibrio perfecto para determinada inclinación del tablero; pero cuando sea conveniente
variar esta inclinación, se regula nuevamente el resorte.
La inclinación del tablero se gradúa maniobrando los
pedales de la mesa de dibujo.
En cambio, en los tecnígrafos de contrapeso, el equilibrio de la parte móvil se logra mediante el contrapeso que
se puede realizar a lo largo de una barra, para obtener la
regulación necesaria.
También se utilizan en la actualidad los tecnígrafos de
corredera sobre guías ortogonales, que parecen tener mayores ventajas sobre los tipos antes descritos.
Los tecnígrafos, tanto de los sistemas de resorte y contrapeso, como los de guías ortogonales, tienen un gran uso en la
actualidad en la mayoría de las mesas de dibujo modernas.
Figura 1.10 Cabeza de un tecnfgrafo con limbo graduado.
Figura 1.8
Moderna mesa de dibujo con tecnígrafo de correderas.
La condición necesaria que deben satisfacer los tecnígrafos es que su cabeza, colocada en un punto cualquiera del plano del dibujo, no pueda moverse en dirección
alguna, ni a deslizarse por la inclinación del tablero. Para
lograr este resultado se ha ideado hace tiempo los mecanismos de resorte y de contrapeso.
Figura 1.9 En a, tecnígrafo ensamblado a un brazo acodado, que
emplean las modernas mesas de dibujo con sistema de resorte o de
contrapeso. En b, tecnígrafo que se mueve sobre el tablero mediante guía o correderas ortogonales.
Reglas
paralelas
La regla paralela está constituida por una pieza de madera dura (peral, ébano, etc.) y en ocasiones, de material
plástico a causa de su uso frecuente, a veces combinada
con el tecnígrafo. Por lo general, su longitud es igual a la
anchura del tablero de la mesa, y se mueve mediante un
mecanismo de cordones y poleas, de tal manera que la
regla puede moverse hacia arriba y hacia abajo, pero
manteniéndose siempre horizontal y paralela a sí misma,
si ninguna flexión o distorsión.
Figura 1.11 Regla de tipo paralela, que se mueve libremente sobre
el tablero mediante cables. Las rectas trazadas siempre serán paralelas entre sí. Su fijación al tablero es por medio de chinchetas.
INSTRUMENTOS Y MATERIALES PARA EL DIBUJO
5
Las primeras reglas paralelas poseían un mecanismo
muy sencillo. Un conjunto de pequeñas poleas metálicas
acanaladas estaban insertas dentro de la regla, por donde
corría un cordón que tensaba y sostenía al tablero mediante chinchetas de dibujo.
Figura 1.12 Regla de tipo paralela más moderna. Su fijación al tablero se hace por la parte posterior del mismo.
Las reglas paralelas más modernas parten del mismo
principio, pero poseen un equipo más complicado, y por lo
general éste se coloca en la parte posterior del tablero. La
tensión del cordón o cable se regula mediante soportes o
tornillos de tensión. Es por ello que con este método la
regla tiene un movimiento más fácil y seguro que la de
fijación al tablero por medio de chinchetas de dibujo (véase figuras 1.13 y 1.14).
Figura 1.14
Modernas mesas de dibujo.
La superficie del tablero debe ser lo más lisa posible y
no debe poseer "nudillos" o rugosidades.
En las mesas de dibujo convencionales, se debe tener
presente que los cabeceros estén perfectamente a escuadra, y los cantos o bordes de éstos no deben estar mellados
por golpes u otras causas, ya que dificultarán el trabajo de
la regla T. Esto no tiene especial importancia si se utiliza la
regla llamada paralela o los tableros de las mesas de dibujo
modernas, equipadas con tecnígrafos.
Figura 1.13 Mecanismos de poleas, cables y tensores para fijar la
regla paralela a la parte posterior del tablero.
Tablero de dibujo
La principal condición de un tablero de dibujo, de cualquier tipo de mesa, es que sea perfectamente plano y fuerte, indeformable y de madera blanda y muy seca.
Antiguamente se construían totalmente de madera
dura, con pequeñas tablas machihembradas; en los últimos tiempos se construyen de madera blanda muy seca
con cabeceras de madera dura, o por completo de madera
blanda. Los de contrachapa o plywood (madera formada
de láminas delgadas y colocada cada una de ellas en posición perpendicular a las fibras tienen bastante aceptación;
estas mesas están reforzadas, en el plano inferior, con dos
travesanos de madera muy dura o metal, fijados al tablero
por ensambladura o tornillos apropiados.
Forrado del tablero
Sobre el tablero se debe colocar un papel relativamente
grueso lo menos poroso posible, encima del cual se pone
el papel en que se realizará el dibujo. Esto se hace para
que las líneas trazadas en el dibujo sean lo más suaves y
uniformes, además de mantener la limpieza del tablero.
No existen prácticamente indicaciones específicas; algunos dibujantes prefieren colocar cartulinas delgadas del
tipo Bristol, otros usan pliegos de papel Bond que vienen
en rollos, o papeles de copias heliográficas "veladas" usadas por el dorso, u otros papeles fabricados especialmente para los tableros con una superficie muy pulida. Lo
fundamental es que el papel que se coloca en el tablero
sea de color claro para que permita una buena visibilidad
en caso de hacer calcos sobre originales traslúcidos, pues
le sirve de fondo. Existen diversas formas de colocar este
papel para forrar tableros de las mesas de dibujo.
6
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Un método, muy extendido durante algún tiempo, fue
el de pegar un pliego de papel en el tablero. El procedimiento que debe seguirse en este caso es el siguiente:
Antes del engomado se recorta el pliego de papel del tamaño exacto del tablero y se doblan hacia arriba sus bordes.
Se humedece con una esponja la hoja de papel vuelta al revés, con excepción de los bordes. Éstos se untan en el lado
derecho con goma adhesiva y se pegan finalmente al tablero.
Se debe esperar el tiempo necesario para que seque el
papel, y al quedar tirante, suministra una superficie magníficamente tensa para dibujar; se puede recortar rápidamente
una vez concluido el trabajo.
Esta misma operación se realiza con otros procedimientos en vez de utilizar goma adhesiva:
Se fija el forro del tablero mediante cintas de papel
engomado que se humedecen con agua.
En relación a tensar y fijar el papel de dibujo en el
tablero existen muchas modalidades pero todas, por supuesto, sujetas a tipos de planos, de tableros, habilidad del
dibujante y otros aspectos; es por ello que no existen indicaciones únicas, sólo se brindan las más generales para usarlas en cada caso.
El tiempo y la experiencia ofrecerán los métodos más
aceptables.
Tamaño del papel
La dimensión del papel proviene del número de partes
que dividen un pliego. Las más populares son de 1/8 de
pliego, cuyo tamaño es igual al que conocemos come carta, y 1/4 de pliego o doble carta.
La regla T
Como su nombre lo indica, esta regla tiene la forma de la
letra T. Se compone de cabeza y regla; regularmente la
cabeza es de un material duro con el borde recto y un
poco rebajado, para que quede aproximadamente a la
mitad del canto izquierdo del restirador del dibujo.
NOTA: Se puede verificar el borde de la regia T con una escuadra o
regla, al observar que no quede ninguna línea de luz al ponerse en
contacto las dos partes.
Longitud de la regla T
El papel para dibujo
Hay gran variedad de tipos de papel, en cuanto a tamaños, colores, gruesos y precios hechos especialmente para
el dibujo. Se pueden clasificar en tres grupos:
El borde de trabajo de la cabeza
de la regla T debe ser recto.
El borde de trabajo de
la regla T debe ser recio.
1. Papel de dibujo blanco. Lo podemos encontrar liso y
brilloso, con cierta porosidad, opaco y de diferentes
gruesos.
a) El opaco con cierta porosidad es el más recomendable para los trabajos llamados de borrador que
se elaboran a lápiz y que permiten usar trazos auxiliares, efectuar cambios o modificaciones, ya que
al borrar el papel no se maltrata. Con este papel
no se debe usar tinta porque debido a su textura
ésta se extiende con facilidad.
b) El papel liso y brillante se usa con el trabajo a
tinta, pues su textura consistente permite que la
tinta se corra con facilidad y pueda soportar las
borraduras. En la actualidad el uso de este papel
es menor, debido a que en muchos departamentos de dibujo se hacen originales a lápiz.
c) El papel para calcar es un material muy bueno
para las calcas heliográficas.
2.
Papel transparente o de calca. Generalmente los dibujos industriales se elaboran a lápiz, sobre papel transparente para producir copias heliográficas. La tinta se
aplica en tela para calco. Además, muchas veces se
trabaja directamente y los trazos auxiliares se borran
con facilidad, sin perjuicio a la superficie del papel.
Borde de plástico transparente
que permite ver el dibujo
Para colgar
que hay debajo.
Cabeza
Figura 1.15
La regla T.
Clasificación de las reglas T
Las reglas T pueden ser rígidas o móviles.
a)
Las reglas T rígidas son aquellas que están atornilladas, ensambladas o pegadas; ambas piezas están a
escuadra una de la otra, es decir, forman un ángulo
recto de 90° entre sí.
b) Las reglas móviles son las que tienen la cabeza doble,
donde una parte va fija al cuerpo y la otra puede variar su posición. Esta inclinación se controla con un
tornillo opresor. Por este motivo este tipo de reglas
son muy prácticas, pues permiten trazar rectas a diferentes inclinaciones.
INSTRUMENTOS Y MATERIALES PARA EL DIBUJO
Figura 1.16
7
Regla T móvil y rígida.
Figura 1.18 Colocación del papel con base en la regla T.
Las reglas T pueden estar hechas de una sola pieza
(madera, plástico, metal). Las de madera pueden combinarse con tiras de celuloide en los bordes, lo que permite
tener mayor visibilidad alrededor de donde se hace el trazo
y evitar que la regla se tuerza fácilmente; por esta razón
este tipo de reglas son las más recomendables.
NOTA: No es absolutamente indispensable que esté a escuadra,
basta que no tengan movimiento alguno la cabeza y la regla.
Figura 1.17
blero de dibujo o colgarla de la perforación que tiene en
el extremo, si no es así, fácilmente se encorva.
Uso de la regla T
La regla T se utiliza para trazar líneas horizontales o para
guiar las escuadras de líneas verticales o inclinadas. Se
debe usar únicamente el canto superior y sólo en posición
horizontal.
Si se usa de otra forma se demuestra falta de conocimiento en su aplicación.
Forma de verificar si la regla T es perfectamente recta.
Para comprobar si la regla T es perfectamente recta,
trace en un papel una línea entre dos puntos e invierta la
regla como se indica en la figura 1.17 y con ese lado haga
otra línea entre los mismos puntos.
Las dos líneas deben quedar una sobre otra, de lo contrario, la regla está encorvada o defectuosa.
Una regla defectuosa se debe regresar al vendedor, por
eso conviene probarla lo antes posible (véase la figura 1.18).
Conservación de la regla T
No se recomienda usar la regla T como guía para cortar
con navaja, pues se daña fácilmente la tira de celuloide
con los rebajes que se le pueden producir. Cuando se deja
de usar se recomienda subirla en la parte superior del ta-
Figura 1.19
Uso correcto de la regla T.
Las escuadras
Son instrumentos de dibujo que tienen la forma de un
triángulo. Las hay de madera o de materiales plásticos;
estas últimas son las preferidas porque son transparentes.
Las escuadras de 30° x 60° son triángulos con un ángulo de 90°, otra de 45° x 30°, que al apoyarse en la regla
T sirven para trazar líneas rectas, verticales e inclinadas a
30o, 60 o y 45°.
8
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Figura 1.22
Esta marca nos sirve para colocar el transportador de
manera que el vértice del ángulo quede exactamente en
esa marca, para que coincida la base recta del transporta­
dor con el otro lado del ángulo que se mide.
90°
Figura 1.20
El transportador.
Escuadras de 30° y 45°
NOTA: Recuerde usted que las propiedades de los triángulos es que
la suma interior de sus ángulos es igual a 180°:
90° + 30° + 60° = 180°
90° + 45° + 45° = 180°
a+
Figura 1.21
b+
c=180°
El compás
El compás es uno de los instrumentos que más ayudan al
dibujante. Se usa para dividir las líneas en partes iguales,
para medir distancias, para transferir medidas de la regla
de medición al dibujo o a las partes de éste, y para hacer
la mayoría de los pasos geométricos de un problema, por
medio de arcos de circunferencia que se cortan entre sí.
Principales ángulos generados por las escuadras.
El transportador
Los transportadores son dispositivos de dibujo, marcados
en grados, que permiten medir ángulos con exactitud o
dibujarlos a la abertura deseada.
Generalmente tienen escala de 0o a 180°, o sea, medio círculo, pero también los hay de 360° o de círculo
completo (véase figura 1.22).
Modo de usar el transportador
Observe que hay una marca central sobre la línea recta
que corre medio círculo de 0° a 180°.
Figura 1.23
Estuche de compases.
Clasificación de los compases
Los compases se clasifican en dos grupos:
1. Compases de precisión. Son aquellos que, debido a
un tornillo que se encuentra entre sus brazos, se pueden abrir o cerrar en espacios milimétricos; los hay
grandes y pequeños y entre éstos se encuentran los
compases de bomba, con los que podemos trazar circunferencias muy pequeñas.
INSTRUMENTOS Y MATERIALES PARA EL DIBUJO
Figura 1.26
Figura 1.24
2.
Compases de precisión.
Compases para trazos amplios. Actualmente se ha generalizado un compás que funciona como compás de
punta, compás con mina o compás para entintar, pues
está formado por un brazo largo y otro corto donde
se insertan la punta, la mina o el tiralíneas.
Figura 1.25
9
Paralelógrafo.
cunferencia se trazan con lápiz o tiralíneas, usando reglas
curvas de forma irregular, llamadas plantillas de curvas. Estos
instrumentos son de plástico, de color claro o ámbar.
Cuando una persona usa este instrumento trata generalmente que la posición de la plantilla alcance el trazo de
muchos puntos, a fin de disminuir el número de posiciones. Esto da como resultado que la curva no tenga la fluidez que se requiere.
Compases para trazos amplios.
Es conveniente que haya cierta precisión en el ajuste
de los brazos del compás. Ésta se controla con un tornillo
opresor que no debe ajustarse más de lo debido, porque la
cuerda o la cabeza del tornillo se pueden barrer o trasroscar.
Paralelógrafo
El paralelógrafo sirve para trazar líneas paralelas o
equidistantes entre sí. Está formado por dos regletas unidas por dos tiras metálicas que al girar marcan la distancia donde se traza la paralela; después se gira en posición
contraria, volviendo a su posición original, adaptándose
a la línea antes trazada; cuando vuelve a semigirar da la
posición de la siguiente recta paralela, y así sucesivamente. Este instrumento para el dibujo está casi en desuso
(véase la figura 1.26).
Plantillas de curvas
Las plantillas de curvas también son conocidas con el nombre de pistolas. Todas las curvas que no son arcos de cir-
Figura 1.27
Plantillas de curvas.
Regla flexible
Actualmente hay en el mercado reglas flexibles con anillos, por los que pasan resortes con alma de plomo, a fin
de que permitan su ajuste a la curva deseada.
NOTA: Se pueden improvisar con alambre para soldar; ya que se
acomodan fácilmente a la forma deseada.
Los lápices
Los lápices constituyen los instrumentos que el dibujante
deberá conocer, usar y manejar a la perfección, porque
de ello depende la calidad del terminado del dibujo.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Lápices duros
Los lápices duros son los que van de 9H a 7H y se usan
en casos donde se requiere extrema exactitud, como los
diagramas y cálculos gráficos.
Los lápices 6H, 5H y 4H se usan para planos, proyectos de ingeniería o en prácticas lineales en que se necesitan
líneas delgadas.
Lápices medianos
Figura 1.28
Juego de lápices para el dibujo.
Material de los lápices
Los lápices están compuestos principalmente de madera
de cedro y de una mina. Se le da el nombre de mina al
material que se encuentra al centro de la madera, compuesto de dos sustancias: grafito y arcilla.
El grafito es una sustancia de aspecto metálico y grasiento al tacto y es el que pinta. La arcilla es el material que
sirve de aglutinante. De la proporción de estas dos sustancias depende la dureza de la punta del lápiz.
Los lápices medianos se usan para trabajos más generales del dibujo técnico. Para hacer rótulos, acotamientos y
algunos trabajos a pulso (croquis de objetos o piezas mecánicas) se utilizan los lápices F, HB y B.
Los lápices 3H, 2H y H se utilizan para el trazo de
líneas en el dibujo mecánico, arquitectónico e industrial.
Clasificación de los lápices
según su dureza
De acuerdo con lo antes mencionado, los lápices se clasifican en duros, medianos y blandos.
Para que esta clasificación quede perfectamente definida, los fabricantes de lápices utilizan números y letras;
por ejemplo, los lápices duros se identifican con la H, es
decir, el lápiz tendrá más dureza cuando el número que
acompaña a esta letra sea mayor.
La letra B se utiliza para los lápices blandos, mientras
el número que acompaña a esta letra sea mayor el lápiz
será más blando.
Los lápices que combinan ambas letras, es decir HB,
se llaman medianos y son lápices intermedios, entre duros
y blandos.
El grueso de la mina de un lápiz está en relación con el
grado del mismo (observe que cuando más duro es el lápiz, más delgada será la mina y viceversa).
Figura 1.30 Trazo con lápiz H en el dibujo arquitectónico.
Lápices blandos
Como su propio nombre lo indica, son lápices cuya mina
es muy blanda: 2B, 3B, 4B, 6B y 7B.
Por esta razón no se puede utilizar en el dibujo técnico
industrial, porque trazan líneas gruesas y sucias, además
de que con las escuadras y la regla T se corre fácilmente el
grafito y se mancha el dibujo que se está realizando; por
otro lado, borrar es difícil.
Este tipo de lápices son útiles para el dibujo artístico, y
en algunos casos, para detallar el dibujo arquitectónico. Hay
casos en que no se puede recomendar tal letra y número
de lápiz, sino que la experiencia nos dirá qué lápiz es propio para el tipo de línea que se va a trazar.
Se recomienda no utilizar lápices corrientes o desconocidos, pues fácilmente echan a perder el dibujo.
La punta del lápiz
Selector de grados
Figura 1.29
Graduación de los lápices para el dibujo.
Parece que esto no tiene importancia, pero quien conoce
el dibujo sabe que el presentado y terminado de un dibujo depende en parte del uso correcto de la punta del lápiz.
INSTRUMENTOS Y MATERIALES PARA EL DIBUJO
Figura 1.31
Punta de un lápiz suave.
Figura 1.34
Figura 1.32
Afilado del lápiz.
Distintos tipos de afilado de lápiz con papel o lija.
Para sacarle punta a los lápices se puede usar una
navaja de bolsillo (nunca una hoja de afeitar, por delgada
y peligrosa), un sacapuntas o un afilaminas. La punta debe
tener unos 3.5 cm de longitud total, 2.5 cm de desbastado de madera y el centímetro que resta debe ser la longitud de la mina. Se debe tener cuidado de que el polvo
grafito caiga en una hoja sucia y no en el dibujo para
tirarlo después.
Afilado
El lápiz se afila conforme el trabajo que se va a desempeñar; por ejemplo, para dibujos a mano libre, se prefiere
una punta cónica, como el que se ve en la figura 1.33a.
Para trazar líneas en general, la punta debe ser plana como
la de una cuña (Fig. 1.33b).
a) La mina en forma de cuña, aplicada de manera
plana sobre el papel, es propia para
trazos anchos y
grisados.
Figura 1.35
Limpie la punta del lápiz con una franela; guarde muy
bien la tablilla de la lija en un lugar seguro para no ensuciar
el dibujo.
b) La misma mina, variando la posición del lápiz,
proporciona trazos
finos para el perfilado de las formas. ■
Figura 1.33a y b
Longitud correcta de la mina en el afilado de un lápiz.
Uso del lápiz afilado en uña.
Los lápices se afilan en un papel o en una lija, después
de haber pelado la punta como 10 cm con una navaja,
tanto en forma cónica como de cuña (véase figura 1.34).
Sólo un lápiz afilado puede producir líneas precisas,
nítidas y oscuras que brillen con claridad para dar el acabado requerido.
De otra manera producen líneas gruesas, imprecisas,
de mala calidad. Esto es característico del estudiante descuidado y sucio.
Lápices pequeños
Para no desperdiciar lápices cortos, use un apuralápiz, que
es una especie de casquillo que, embonado a la parte superior del lápiz, lo hace crecer.
Figura 1.36
Apuralápiz.
No se recomienda dibujar con un lápiz y luego otro
porque no se controla bien el trazo y el grueso de la línea.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Portaminas
El uso de las portaminas se ha generalizado últimamente,
debido a su práctico mecanismo: basta con apretar un
botón en la parte posterior del mismo para que suelte o
presione la mina.
Figura 1.37
Portaminas.
Ventajas
Las ventajas que se obtienen con el uso de estos instrumentos de dibujo es:
1. Se puede cambiar la mina fácilmente y poner la que
se ocupe.
2. Sale más económico, porque sólo se paga el precio
de la mina.
Existen dos tipos de lápices portaminas: uno para las
minas de diámetro normal, y otro para las minas gruesas.
Es conveniente que el borrador tenga un canto afilado
que permita rectificar pequeños detalles; esto se consigue
al cortarlo en diagonal.
La goma debe ser blanda al tacto y suave al roce con
el papel. Para borrar líneas de lápiz se usa la llamada de
migajón y de manteca, aún cuando ninguna de estas materias es básica en su fabricación.
Figura 1.39
Borradores de migajón.
Para borrar líneas a tinta, la goma debe ser más dura.
En algunos casos se usa una navaja filosa (no es muy recomendable) para raspar la tinta sin dañar el papel. Cuando
se borra una línea es casi seguro que se borren las líneas
adyacentes, que no deben desaparecer, a menos que sea
esa la intención.
En el mercado hay un protector llamado plantilla para
borrar, que tiene varias ranuras de diferentes formas. Si no
se tiene una plantilla se puede improvisar una al cortar varias ranuras en una tarjeta o cartulina semejantes a las que
se ven en la figura 1.40.
Borradores
El uso de los borradores es muy necesario, ya sea por un
error en el trazo, para líneas auxiliares o para que el trabajo tenga más limpieza. Para usarlo correctamente debemos utilizar ciertas técnicas.
Figura 1.40
Plantilla para borrar.
NOTA: Se recomienda que la práctica de borrar quede limitada a lo
indispensable; que se dibujen todas las líneas con verdadera atención.
pensando que el papel no debe frotarse y restregarse, pues la calidad
del dibujo es como una tarjeta de presentación de quien lo hace
Figura 1.38
Borradores de goma.
Para borrar líneas a lápiz se usa un borrador o goma
suave, pero se debe tener cuidado de no frotarla con fuerza
para no destruir la superficie del papel. Esto puede evitarse
si se trazan suavemente las líneas.
Figura 1.41
Uso de la plantilla para borrar.
INSTRUMENTOS Y MATERIALES PARA EL DIBUJO
Las tintas
A veces hay necesidad de darle un acabado más completo
o permanente al dibujo. Para esto se usa tinta negra a prueba de agua, conocida en el mercado como tinta china.
Plumilla
1Conductor
2
3
Figura 1.42
11l
Envase de tinta china con gotero integrado.
4
5-
Muchos de los trabajos geométricos del dibujo técnico y arquitectónico requieren de cierta calidad que se
logra únicamente con la tinta. Además, éstos pueden reproducirse más fácilmente mediante copias que resultan
de más claridad que las elaboradas a base de dibujos a
lápiz.
La tinta china es un material volátil, por lo tanto se
recomienda no dejarla destapada, porque empieza a secarse. Se debe tener cuidado de que la tinta no se seque en
los instrumentos de dibujo porque puede picarlos y oxidarlos. Para limpiar la tinta del dibujo se emplea una navaja y
debe tenerse cuidado de no rayar o dañar el papel; también puede usarse alcohol o agua, pues ablanda la tinta y
fácilmente se desprende al pasarle un trapo, pero no deben
dejarse mucho tiempo en agua y alcohol. Hay también otros
limpiadores en el mercado.
Grafos y estilógrafos
En la actualidad se ha popularizado un instrumento de
dibujo en forma de pluma. Consta de un depósito de tinta y una punta con un cuadrito en donde se inserta la
plumilla que se necesita. Por medio de un agujero llega la
tinta del depósito y corre por la plumilla al hacer un trazo
sobre el papel. A este instrumento se le llama grafo (véase
la figura 1.43).
A últimas fechas se ha popularizado otro instrumento
también parecido al grafo pero que tiene la forma de una
pluma. Lleva también un depósito de tinta, pero difiere
en que la plumilla se fija al cuerpo de la pluma por medio
de una cuerda. A este instrumento se le llama estilógrafo
técnico.
Estos dos instrumentos se pueden utilizar como plumas individuales o hacer un juego que conste de una pluma y una serie de plumillas para diferentes trazos de líneas.
6
1. Entalladura
2. Paso de tinta
3. Ganchito sujetador
4. Pieza giratoria
5. Lengüeta sujetadora
6. Punta doblada
7. Salida de tinta
8. Abertura de rellene
9. Dispositivo de enchufe
10- Sistema de conducción
11. Saca-conductor
12. Conducción de rellene
12
10
El conductor se fabrica en
tres gradaciones distintas:
No. 1 para aflujo reducido
No. 2 para aflujo normal
No. 3 para aflujo fuerte
91
8
7
Pieza
auxiliar
Vista vertical
Vista lateral
Figura 1.43
El grafo y sus piezas auxiliares.
Estos instrumentos también nos pueden servir para
trazar arcos y círculos; basta comprar un sujetador espe­
cial para montarlo al compás y sostener al gratos. Estos
sujetadores se montan y desmontan con facilidad.
Figura 1.44
Montaje de un estilógrafo en un compás.
14
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Figura 1.45
Estilógrafo.
Plumillas para grafos y estilógrafos
En la elaboración de un dibujo y letreros se necesita el
trazo de líneas rectas y curvas de diferentes gruesos y ta­
maños. Para esto se necesitó fabricar plumillas especiales.
Para poder seleccionar la plumilla correcta se hizo la si­
guiente clasificación:
Plumillas tiralíneas para líneas finas
0.1
0.12 0.16
0.2
0.25
0.3
0.4
0.5
0.6
Plumillas para líneas anchas
0.8 1.0 1.25 1.6
2.5
4.0
6.4
Figura 1.46b
10.0
Clasificación de las plumillas para delinear.
Plumillas (forma de disco) para trazos
en forma de cordón
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.81.01.251.6 2.0 2.5 3.2
Plumillas oblicuas (hacia la derecha) para
trazos en forma de cinta
0.8
1.25
2.0
2.5
3.2
4.0
Como un utensilio muy adecuado para llenar el de­
pósito del grafos es recomendable utilizar un tubo llenador
de tinta china, como el que se muestra en la figura 1.47.
5.0
5.0
Plumillas oblicuas (hacia la izquierda) para
trazos en forma de cinta
1.25
2.0
3.2
5.0
Plumillas tubulares para plantillas
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.01.25 1.5 1.75 2.0 2.25
Figura 1.47
con grafos.
El tubo llenador de tinta china se recomienda para usarlo
3.0
Plumillas muy finas para dibujar a pulso
B = blandas
HB = medio-blandas
Figura 1.46a
H = duras
K = durísimas
Clasificación de las plumillas para rotular.
Estilógrafos
Las plumas de dibujo representaron un avance tecnológi­
co con relación a los tiralíneas y los grafos. Sin embargo,
INSTRUMENTOS Y MATERIALES PARA EL DIBUJO
Cabo o armadura
Tanque o depósito
Capuchón
Puntera
Aguja Contrapeso
Canutillo
Figura 1.50
Figura 1.48 Al detener el trabajo por un momento, lo mejor es dejar las plumas en sus estuches. La inclinación de éstos permite la
perfecta fluidez de la tinta.
no llegaron a sustituirlos totalmente, aunque esto, por supuesto, está condicionado por las preferencias de los
dibujantes.
Soporte
Seguro del
contrapeso
Partes de una pluma fuente de dibujo.
Mantenimiento
Si los dibujantes llegan a conocer a fondo las plumas para
tinta china, y al manejarlas observan las reglas adecuadas, podrán hacer un trabajo imprescindible, debido a su
gran precisión y a su aplicación múltiple; podrán rectificar
cualquier pequeña imperfección.
Cargado de tinta
Se debe utilizar solamente la tinta adecuada y no tintas
chinas que contengan disolvente. En la figura 1.51 se
muestra cómo debe inclinarse el depósito de tinta china
hasta casi por debajo de la espaldilla antes de rellenarla.
Previamente se debe haber enjuagado la puntera de dibujo. Si la tinta china no es de buena calidad, empañará
las paredes del depósito. Esta empañadura puede evitarse al frotar el depósito previamente con un palillo y un
algodón humedecido en aceite mineral extrafino. Si no se
dispone de tinta de mejor calidad, ésta se debe filtrar. Esto
es sobre todo importante en las plumas de calibres 0.1,
0.2 y 0.3 mm, que se obstruyen fácilmente con tintas de
mala calidad.
Figura 1.49
dibujo.
Algunos de los diferentes modelos de pluma fuente de
Las principales piezas que las constituyen son: el capuchón, el cabo o armadura, el soporte, el tanque o depósito, la puntera y su canutillo, el contrapeso y la aguja y
el seguro del contrapeso. Todos se muestran en la figura
1.50.
Figura 1.51 Al llenar el depósito éste debe mantenerse inclinado y
la tinta debe quedar un poco más abajo de la espaldilla.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Existen también depósitos de tinta que se distribuyen
sellados. Éstos se introducen en la armadura.
El leroy
El leroy es un instrumento para hacer letras normadas bastante parecido a las plantillas de letras llamadas normógrafos.
Se habla de que uno de los dos sistemas es más perfecto que el otro, sin embargo, cualquiera de ellos sirve para
un trabajo específico. Además, influyen otros factores: la
habilidad del dibujante, su rapidez, conocimientos, cuidado del equipo, etcétera.
El cangrejo o transportador de letras
Este instrumento consiste en una pieza, por lo general
metálica, que posee tres puntos de apoyo distribuidos en
cada una de sus patas.
Uno de estos puntos de apoyo es el cursor, que consiste en una especie de tornillo que rueda en un surco
incluido en las reglas de letras, con el cual se logra que
todas las letras queden a la misma altura, además de servir de punto de apoyo.
Descripción
El leroy consta fundamentalmente de tres piezas: las reglas de letras, el transportador (conocido popularmente
como "cangrejo") y los puntos para el trazo de letras, que
bien pueden ser las plumas de dibujo con un adaptador,
plumillas tubulares u otras como después veremos.
El equipo tiene diversas presentaciones: en estuches
de madera o de plástico que poseen por lo general 12
reglas de letras de distintos tamaños, transportadores o
cangrejos y puntos para el trazo de las letras (que son, por
lo general, plumillas tubulares). Poseen, además, otros aditamentos y equipos auxiliares, como envases de tinta, cabo
de plumilla, portaminas para el trazo a lápiz, soporte o
apoyo para el transportador (si es del tipo convencional)
y otros, aunque también se distribuyen por separado en
envases de cartón o de plástico con diferentes piezas.
Y
Figura 1.54 El transportador de letras o "cangrejo" posee tres puntos de apoyo; el cursor (a), la punta trazadora (f) y la aguja (d). Otros
elementos importantes son: apéndice para sostenerlo (b), tornillo de
nivelación (c) y rosca para cambiar la inclinación de las letras (e).
Figura 1.52
Estuche completo de leroy.
Figura 1.53
Transportador de letras o "cangrejo".
Los normógrafos o plantillas de letras poseen, en dos
de sus extremos, una especie de cinta que funciona como
apoyo y no permite que la tinta se corra al trazar las letras
con la pluma, ya que de esta forma la plantilla queda levantada algunos milímetros del tablero. Para el rotulado
con normógrafo se deben trazar líneas de guía, y las plantillas deben estar apoyadas sobre la regla T, escuadras,
etc., sujetándose firmemente para que no se desplace la
plantilla. Algunas plantillas especifican con qué calibre de
pluma se debe trabajar, debido al tipo de letra que poseen. En otro de los extremos de las patas se encuentra un
punto de apoyo; una aguja que se introduce en las aca-
INSTRUMENTOS Y MATERIALES PARA EL DIBUJO
naladuras de las letras grabadas en las reglas. Esta aguja
posee dos terminales: una fina para las reglas pequeñas
(por lo general, para las reglas números 40, 60 y 80) y
otra más gruesa para las demás.
Dicha aguja se atornilla al extremo de la pata mediante
una rosca y se le pone un capuchón atornillado al extremo de la aguja, para evitar que pueda herirse el dibujante
que manipula el cangrejo y para que no se dañe la aguja
mientras no se trabaje con ella.
Esta pata puede cambiar de posición mediante una
rueda dentada que está situada en la parte inferior del
cangrejo a fin de modificar la inclinación de las letras desde un ángulo de 75° aproximadamente hasta el tipo vertical, es decir, 90°.
Figura 1.55
Posición del "cangrejo" para letras verticales.
plástico o madera que permite mantener levantada la
punta trazadora para evitar que se pueda dañar la pluma o plumilla tubular, y en algunos transportadores modernos, esta pieza o soporte se sustituye por una palanca que al presionarse permite la salida de una pequeña
varilla metálica en la parte inferior del cangrejo, que lo
levanta.
Reglas de letras
Como su nombre lo indica, son unas pequeñas reglas de
plástico que poseen grabados un abecedario y los números, de tal manera que la aguja del cangrejo pueda moverse por las acanaladuras de dichas letras.
Las reglas tienen también una acanaladura a todo lo
largo, que permite al cursor del transportador moverse
sobre toda la longitud de la regla. Las reglas están numeradas con las cifras 40, 60, 80, 100, 120, 140, 175, 200,
240, 290, 300, 350, 450 y aun mayores; la altura de las
letras es de 1 mm hasta 2 cm.
Las reglas poseen además, por debajo de la acanaladura guía, unas marcas que indican la altura de las letras,
con ellas podemos determinar letras y espacios, según los
vayamos distribuyendo en su rotulado. Las reglas tienen
en su borde superior derecho el número de puntos que se
ajustan al tamaño, aunque esto varía de acuerdo a las
necesidades del dibujante.
Regla graduada
Es un instrumento básico para el dibujante, ya que permite medir objetos, piezas metálicas, figuras y formas
geométricas, planos, croquis, etcétera.
La regla consiste en una tabla plana de madera o metal,
por una de sus caras se ubican las diferentes magnitudes o
divisiones, siendo las más comunes la de centímetros (cm) y
milímetros (mm) en el Sistema Métrico Decimal (SMD), y en
pulgadas (pulg o inch) en el Sistema Inglés (SI).
Figura 1.56
nadas.
Forma de girar la pata del "cangrejo" para letras incli­
En la otra pata se encuentra el agujero donde se aloja la punta trazadora que se regula mediante un tornillo
de presión; aunque en algunos cangrejos modernos este
tornillo se sustituye por una pequeña palanca de presión,
que al oprimirla permite la entrada o salida de la pluma
fuente o plumilla tabular.
En los cangrejos convensionales, al detener un momento el rotulado, se le adapta una pieza o soporte de
Figura 1.57
Regla graduada.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Escalímetro
Es también una regla graduada, pero la diferencia de una
regla común y corriente, estriba en que la integran varias
Figura 1.58
escalas, por ello su forma es triangular, en donde cada
cara tiene un par de escalas diferentes.
Escalímetro.
ACTIVIDADES Y PRÁCTICAS PARA EL TALLER
1.1 Cuaderno de trabajo
Lee detenidamente cada una de las preguntas, piensa, reflexiona y contesta correctamente, si no recuerdas lo que se te pregunta investiga en tu libro de
dibujo o en otros libros.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
¿Para qué sirve una regla graduada?
¿Por qué se llama regla T?
¿Qué ventajas al dibujar ofrece la regla T?
¿Cómo debe conservarse la regla T?
¿Para qué sirven las escuadras?
¿Cómo debes tomar un compás?
¿Qué tipo de compás son los más comunes?
Enuncia las características más sobresalientes
de los siguientes instrumentos geométricos:
♦
♦
♦
♦
♦
♦
♦
Compás
Regla de cabeza móvil
Escuadras de 30°, 45° y 60°
Restirador
Moderna mesa de dibujo
Tecnígrafo
Reglas paralelas
9. Escribe seis diferentes tipos de materiales para
dibujar.
10. ¿Para qué sirven los lápices de punta dura?
1 1 . ¿Para el trazo de las letras, ¿qué lápiz usarías?
12. Explica el procedimiento que emplearías para
fijar el papel.
1 3 . ¿Cómo debe ser la punta de un lápiz?
14. ¿Para qué empleamos un transportador?
15. ¿Para qué nos sirve un compás?
16. Explica los pasos para emplear en el trazo de
una curva con plantilla.
17. ¿Qué técnica usas para borrar?
18. ¿Cómo debes tomar y mover un lápiz?
19. ¿Cómo debes mover un compás para trazar un
círculo?
2 0 . ¿Qué características tiene un transportador?
2 1 . ¿Cómo debes usar un transportador?
2 2 . Dibuja un transportador de 180°.
1.2 Usa tu imaginación y creatividad
Pon a prueba tu imaginación elaborando los siguientes instrumentos de dibujo, organízate en equipo.
♦ Elabora un compás.
♦ En una tira de madera o de cartoncillo elabora
una regla de un metro dividida en centímetros y
pulgadas.
♦ En un semicírculo elabora un transportador.
1.3 Investigación
Investiga cuál es el origen de los instrumentos empleados en geometría. Investiga también cuál es el
origen de los lápices.
1.4 Prácticas para el taller de dibujo
a) Divide una lámina en seis partes iguales y dibuja
en cada una los siguientes instrumentos de dibujo:
♦
♦
♦
♦
♦
♦
Restirador
Mesa moderna de dibujo
Tecnígrafo
Restirador para empotrar
Mesa de reglas paralelas
Mesa moderna con pantalla
b) Dibuja seis instrumentos de dibujo.
c) Elabora un listado con tres recomendaciones de
uso de los instrumentos geométricos.
Manejo de instrumentos
para el dibujo geométrico;
rotulado
Objetivos particulares
Al término de la presente unidad, el alumno será capaz de:
♦ Conocer la técnica para manejar con eficiencia y precisión los instrumentos geométricos requeridos en
la elaboración de un dibujo geométrico.
♦ Conocer y aplicar la técnica para rotular dibujos geométricos y técnicos a tinta china con instrumentos
clásicos y modernos.
♦ Comprender todas las sugerencias para dibujar con más efectividad.
Objetivos específicos
♦ Aplicar con eficiencia el manejo de los instrumentos geométricos como regla T, compás, escuadras,
transportador, plantillas, reglas, etcétera.
♦ Comprender el significado de calidad técnica del rotulado.
♦ Manejar con habilidad y soltura el trazo con instrumentos geométricos que emplean tinta china como
grafo, estilógrafo, puntillas, compás, etcétera.
♦ Manejar con habilidad y soltura el trazo de líneas rectas y curvas con tinta china.
♦ Manejar con habilidad y soltura: plantilla, leroy y regletas.
♦ Apegarse a la higiene y seguridad del dibujo.
♦ Conservar eficientemente sus instrumentos geométricos y de rotular.
♦ Conocer y aplicar los diferentes tipos de líneas empleadas en el dibujo geométrico, mecánico, arquitectónico y de la construcción.
♦ Aplicar una serie de recomendaciones que debe apegarse antes de dibujar y lograr una comprensión
más efectiva en el aprendizaje del dibujo.
Introducción
Conocer y manejar con eficiencia los instrumentos
para el dibujo técnico garantiza dibujos limpios, precisos y de gran calidad; esto sólo se logra con la técnica básica de cada instrumento y la práctica que en
esta unidad se propone.
De la misma forma juega un papel muy importante el rotulado, pues se dice que la tarjeta de presentación de un dibujo son sus rótulos o letreros. Puede tenerse un dibujo técnicamente bien elaborado,
con calidad en sus trazos, pero si falla su rotulado, el
dibujo pierde presentación.
Éstas y otras razones son las que le dan impor­
tancia al conocimiento y aplicación de la técnica del
rotulado, tanto a mano libre como con plantillas. Uno
de los propósitos de esta unidad respecto al dibujo a
mano libre es dar los elementos y las habilidades para
que el alumno domine el trazo de la línea y la forma,
y así pueda dominar la escritura de números y letras
con la calidad necesaria.
También en esta unidad se da a conocer la técni­
ca para el manejo de instrumentos que escriben o
trazan líneas con tinta china, como las plantillas, el
grafo y el estilógrafo, con todos sus aditamentos, ade­
más del leroy y un juego muy amplio de regletas.
20
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Manejo de la regla T
y las escuadras
Al trazar las líneas inclinadas se debe tener cuidado de
que la cabeza de la regla T haga contacto perfecto con el
borde izquierdo de la mesa de dibujo, y que la escuadra
con que se está trabajando apoye perfectamente en el
bisel de la regla T. De esta manera se evitan trazos de
líneas con otra inclinación de la requerida (para los zurdos debe ser la posición contraria).
Trazo de líneas
verticales
Figura 2.2 Trazo de líneas mediante la combinación de escuadras
y regla T.
Figura 2.1
Trazo de líneas verticales con regla T y escuadra.
Trazo de la línea vertical
con escuadra de 45° y 60°
Las líneas verticales se trazan de abajo hacia arriba con el
lápiz inclinado ligeramente hacia adentro.
La dirección de las flechas nos indica la forma del
trazo de las líneas inclinadas. El lápiz se debe tomar con la
mano derecha, como a unos 3 cm de la punta y con una
inclinación a lo largo de todo el trazo. No lo presione ni
apriete con fuerza al dibujar, de lo contrario las líneas quedarán cortadas en el papel, se cansarán más los músculos
de los dedos y si usted suda el dibujo podría mancharse.
Líneas con una inclinación de 75° y 15°
Con esta inclinación las líneas se pueden trazar en dos
formas:
1. Comprando escuadras de 75° x 15° que a veces se
venden y que se están dejando de usar.
2. Si combinamos las escuadras de 45° con la de 30°
podemos obtener líneas con una inclinación de 15° o
de 75° (véase figura 2.2).
Se puede lograr cualquier posición siguiendo las siguientes instrucciones:
Las líneas horizontales paralelas se obtienen con la
regla T a la distancia deseada.
Para las líneas paralelas se va deslizando la escuadra
sobre la regla T, a las diferentes distancias requeridas.
Líneas paralelas a 30°, 60°, 45°, 15° y 75°. Para obtener estos trazos se deslizan las escuadras sobre el bisel de la
regla a las diferentes distancias requeridas (véase figura 2.3).
Figura 2.3 Trazo de líneas a diferentes ángulos mediante las es­
cuadras y la regla T.
Trazo de líneas horizontales
Para trazar este tipo de líneas se requiere de una regla T,
para manejarla correctamente usted necesita tomar en
consideración los siguientes aspectos:
1. Se debe trabajar solamente con el canto superior de
la regla T.
2. La cabeza de la regla debe presionar siempre el borde izquierdo del restirador.
3. Con la mano izquierda presione la regla T, y con la
mano derecha haga movimientos simultáneos (véase
figura 2.4).
Con la mano izquierda presione suavemente la
regla para que la cabeza de la regla haga contacto
con el borde del restirador.
b) Con el índice y el pulgar de la mano izquierda se
pueden ir moviendo las escuadras.
MANEJO DE INSTRUMENTOS PARA EL DIBUJO GEOMÉTRICO; ROTULADO
Uso del compás
El compás se toma con la mano derecha y se sostiene con
el dedo pulgar y el índice; después se abren los dos brazos
del compás con los dedos restantes hasta tener la medida
deseada. Al nivelar las dos puntas del compás, la punta
que va a servir para fijarse al centro (la más afilada, de
metal) se debe dejar más larga para que al clavarse se
empareje con la otra punta, que tiene la mina o el grafo.
Figura 2.4 Trazo de líneas horizontales.
4. La inclinación del lápiz con respecto al restirador debe
ser aproximadamente de 60°, si varía, se pueden dar
líneas de diferente grueso.
5. El lápiz se gira lentamente para tener líneas del mismo grueso, debido al desgaste de la punta.
6. Para los zurdos se invierten los puntos 1 y 3.
Figura 2.7 Trazo de círculos
con el compás.
Figura 2.5
Trazo de paralelas horizontales.
Trazo de líneas paralelas
y perpendiculares en
cualquier posición
El procedimiento que se sigue para el trazo de paralelas
es muy similar al de las perpendiculares: basta ubicar la
regla T debajo de la escuadra, y sobre la línea, a la cual se
está trazando las paralelas; las escuadras se mueven simultáneamente en las posiciones requeridas.
Se hace lo mismo para las líneas perpendiculares, la
diferencia es que la escuadra se va moviendo horizontalmente de acuerdo a las posiciones señaladas.
Para trazar un círculo, primero se marca el centro y se
ajusta el compás al radio requerido.
El círculo se hace de izquierda a derecha, tal como
giran las manecillas del reloj y se sostiene la perilla del
compás con el pulgar y el índice, inclinándolo ligeramente hacia donde va el trazo; si la línea no es lo suficientemente oscura,- trácela de nuevo.
Actualmente los dibujos se hacen directamente con lápiz. Por lo tanto, las líneas deben ser de un negro intenso, y
para ello se requiere de una mina más blanda que la del
lápiz que será utilizado, debido a que con el compás no se
puede presionar de la misma manera que con el lápiz. Las
minas tienen la misma graduación que las de los lápices.
Cómo afilar la punta del compás
El tamaño de las puntas de los compases debe ser aproximadamente de 10 mm para que el trazo del compás sea
delgado como el del lápiz. Es necesario rebajar la punta a
lo largo de una inclinación que abarque dos terceras partes de la punta; esto se hace con una lija. (En algunos
casos conviene rebajar los lados.) (Véase figura 2.8.)
Se recomienda que en los compases (al hacer círculos
grandes) el afilado de la mina se haga hacia afuera, y en los
círculos pequeños (compases de globo) hacia adentro.
Uso del compás con tinta
Figura 2.6
Trazo de paralelas verticales.
Las recomendaciones para el uso y manejo del compás
son las mismas que con la mina del lápiz y la tinta, con la
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Manténgase un ojo
sobre la línea
de lápiz.
Tiralíneas
Ángulo
Línea centrada
Correcto
Céntrense las
líneas de tinta Incorrecto
sobre las
líneas de lápiz.
Demasiada tinta
en el tiralíneas.
Incorrecto
Papel de lija
Figura 2.8 Afilado de la punta de lápiz del compás.
única diferencia de que la cantidad de tinta debe ser de
una altura de 6.4 mm y que la punta de la aguja sea un
poco más larga, para que al insertarse en el papel se emparejen las dos partes. Se debe tener cuidado de usar el
compás correcto, según el tamaño del círculo que se vaya
a trazar; la bigotera del compás de bomba se usa para
círculos muy pequeños debido a que este compás tiene
una pierna que funciona como eje fijo y la otra pierna
gira a su alrededor, por lo que se facilita el trazo de estos
círculos.
Para los círculos medianos se usa el compás con extensión, y para los círculos grandes el compás de vara.
Incorrecto
2.
Línea seca
Correcto
Correcto
Línea
húmeda
Incorrecto
Línea húmeda
Líneas traslapadas.
Figura 2.10
Primero se entintan
los arcos y círculos.
Línea
húmeda
Incorrecto
Recomendaciones generales para entintar.
Conviene tener un trozo de papel del mismo tipo para
trazar líneas de prueba antes de trazar sobre la hoja de
trabajo; esto es con el fin de saber si el papel tiene el mismo grueso y saber de qué manera corre la tinta sobre él.
Procedimiento para entintar
un trabajo a lápiz
Figura 2.9 Uso del compás con tinta.
1. Las líneas de tinta deben estar centradas a la del lápiz.
2. En el caso de dos o más rectas tangentes, unas estarán sobre otras, en el punto de tangencia.
3. Cuando se centran las líneas de tinta sobre las del
lápiz, únicamente se tocan.
4. Los pasos a seguir en un dibujo:
a) se entintan los arcos y después los círculos;
b) después se entintan las líneas horizontales y luego
las verticales;
c) por último se entintan las líneas inclinadas; lo anterior es porque es más fácil unir las líneas rectas
con los arcos que viceversa.
Si no se usa el compás adecuado se corre el riesgo de
que el círculo no cierre perfectamente o de que el compás
se barra hacia un lado.
Entintado
Para poder entintar un trabajo de dibujo, debe observarse
que el papel sea el apropiado, de una textura mate para
que reciba la tinta y no se corra.
Es conveniente primero que se haga el dibujo a lápiz.
No debe olvidarse que las líneas son más gruesas a tinta
que a lápiz.
5.
En seguida se entintan las líneas de centro, extensión
y acotación.
a) Luego las puntas de las flechas y los enunciados o
rótulos.
b) Se debe cuidar que el tiralíneas no cargue más de
6.4 mm de tinta, en caso contrario, los extremos
de la línea trazada serán demasiado gruesos.
MANEJO DE INSTRUMENTOS PARA EL DIBUJO GEOMÉTRICO; ROTULADO
do por dos hojas que, al separarse por un tornillo de presión en su parte superior, se embona a un mango de madera, plástico o metal.
1. Se entintan los arcos y círculos.
2. Se entintan las líneas rectas.
Figura 2.11
Entintado de arcos, círculos y líneas rectas.
6. No junte dos líneas frescas porque hay peligro de que
se corra la tinta.
7. También existe el riesgo de que las líneas cortadas
queden más gruesas al principio que al final.
8. Se debe limpiar constantemente el instrumento de dibujo para evitar que la tinta se seque y produzca trazos irregulares.
3. Se entintan las líneas auxiliares.
Taladrar a 1/2" 2 agujeros
Figura 2.13
Entintado con tiralíneas.
Las puntas de estas hojas tienen un baño de carburo
de tungsteno y están redondeadas. La tinta se deposita
en el espacio que hay entre las hojas, a través de un
entintador que tiene la forma de gotero. Por lo general,
todos los pomos de tinta lo traen. Se recomienda que cuando se trabaje con el tiralíneas éste debe inclinarse un poco.
Por otro lado, debe llenarse de tinta a una altura de
6.4 mm aproximadamente. Si la columna de la tinta es
más alta, puede hacer que el mismo peso haga que corra
más tinta de la debida o que al secarse no corra bien.
NOTA: Se recomienda que cuando la tinta del tiralíneas esté casi
seca se sumerja de nuevo en el tintero. Luego, sus costados deben
secarse cuidadosamente, sólo en este caso se justifica que se sumerja el tiralíneas en la tinta. Si no se hace como se indica, hay el peligro
de que poco a poco se vaya deteriorando la punta. El tornillo opresor que está entre las dos hojas del tiralíneas debe dar el grueso de la
línea; hay que utilizarlo de inmediato cuando tenga tinta, ya que
seca rápidamente, y no permite que fluya como en las condiciones
normales.
4. Se entintan las acotaciones y los datos.
Figura 2.12
Entintado de líneas auxiliares, acotaciones y datos.
Tiralíneas
Como su propio nombre lo dice, es un instrumento que
se usa para entintar líneas. Es de acero inoxidable, forma-
El procedimiento que se sigue para el manejo del
tiralíneas es igual al del lápiz con respecto a la posición y
la dirección del trazo, es decir, las líneas verticales se marcan de arriba hacia abajo, las horizontales de izquierda a
derecha y las inclinadas también de abajo hacia arriba;
cuando se traza hacia el lado izquierdo de la escuadra y
de arriba hacia abajo cuando el trazo es a la derecha de
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Figura 2.14
Entintado con tiralíneas.
la escuadra. Esto en caso de que el dibujante sea dere­
cho. Para los zurdos las direcciones de trazo serán del lado
contrario.
Figura 2.16 Trazo incorrecto con el tiralíneas.
Manejo de las plantillas
de curvas
Se recomiendan los siguientes pasos en el uso de plantillas:
1. A lápiz:
a) Determinar la serie de puntos por los que debe
pasar la curva que va a trazarse.
b) Una los puntos con una línea muy tenue para que
sirva de guía.
c) Elimine la tendencia de dar demasiada curvatu­
ra entre los puntos consecutivos (lo que resulta
es la formación de ángulos). Esto se evita al pro­
curar que la plantilla pase por tres puntos de la
curva por lo menos. Al cambiarla de posición el
trazo debe coincidir con la parte de la curva ya
trazada.
d) El borde de la plantilla debe ser tangente a la cur­
va en el punto en donde cambia la dirección de la
curvatura.
Figura 2.15 Trazo correcto con el tiralíneas.
La posición del tiralíneas y el lápiz con respecto al
papel debe ser de 60°.
Consecuencias del mal uso del tiralíneas al trazar una
línea recta:
1. La posición correcta de acuerdo a las indicaciones da
como resultado una línea correcta.
2. Cuando una de las hojas del tiralíneas toca el papel
se obtiene una línea con levantamientos sobre un
lado.
3. La tinta se corre por debajo de la regla y sobre el
papel debido a que la punta del tiralíneas se pega al
borde de la regla, se recomienda usar reglas bisela­
das.
4. Con una posición incorrecta se obtiene una línea sin
uniformidad.
2.
Con el tiralíneas:
En este caso se debe aplicar lo anterior, más los si­
guientes pasos (véase la figura 2.17):
e) Mantener el tiralíneas en posición casi vertical.
/) Las hojas del tiralíneas deben ser siempre tangen­
tes a la plantilla.
MANEJO DE INSTRUMENTOS PARA EL DIBUJO GEOMÉTRICO; ROTULADO
Marca de lápiz sobre
la plantilla
Figura 2.17
Figura 2.18
elipse.
Plantillas de curvas.
g) La superficie de la hoja de papel debe tener la
misma dirección que lleva la curva en el punto
donde la hoja del tiralíneas toca el papel (véase la
figura 2.18).
h) Se dejan pequeños espacios entre los segmentos
entintados que deben llenarse después a mano.
( A) Cómo se monta la plumilla en el grafo
1. Se toma la pluma con la mano izquierda y se coloca la plumilla sobre
el casquillo de metal, de tal manera que
la lengüeta sujetadora empiece a entrar en el dispositivo de enchufe.
Puntos más juntos
en los extremos
Manejo de las plantillas de curvas para el trazo de una
i) Con monedas pequeñas colocadas y pegadas bajo
la plantilla se evitará que la tinta se corra por debajo y manche el papel.
NOTA: Este último punto debe usarse como recurso.
(B) Cómo se desmonta la plumilla en el grafo
2. Se aprieta la plumilla contra el casquillo de metal y debe moverse en
dirección a la flecha, procurando al
mismo tiempo que el ganchito sujetador entre en la muesca de la salida
de tinta china.
( C ) Cómo se saca el conductor
3. La plumilla se toma pos sus puntas dobladas, entre el pulgar e indice de la mano derecha.
4. Con el pulgar de la mano izquierda se empuja la plumilla hacia afuera.
( D ) Cómo se llena el grafo
5. Se coloca un cuchillo o un utensilio 6. El conductor debe sacarse con
semejante debajo del saca-conductor cuidado, tomándolo con un pedazo
y se empuja hacia afuera.
de tela.
Figura 2.19
7. Se saca el conductor y se llena el 8. O bien, se puede llenar la pluma con
tiralíneas con el gotero del frasco. Una el tubo llenador o con el cuentagotas
vez llenada la pluma, se recomienda por la abertura, sin sacar el conductor,
volver a quitar con el gotero algo de hasta que el nivel de la tinta china que­
la tinta china para evitar un derrame de visible. Debe evitarse que se for­
men burbujas.
al colocar el conductor.
Operación y uso del grafo.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
( F) Aplicar sin apretar
( E) Cómo se prepara el grafo
9. Al golpear ligeramente la mano que
sostiene la pluma con la mesa de dibu­
jo, la tinta china entrará en el espacio
entre la plumilla y su pieza giratoria. A
partir de aquí se puede empezar a di­
bujar.
10. El mismo resultado se obtiene al
mojar el paso de tinta con una gota de
tinta china. Después se cierra la pieza
giratoria y se toca con la plumilla un
trocito de esponja o de tela mojada.
(G) El aflujo de la tinta china al papel
13. Cuando se seca la tinta china en los
cantos de la plumilla basta tocar con la
punta una esponja o un trocito de tela
mojada.
11. La Inclinación de la pluma fuente
debe ser de un ángulo aproximado de
60°. Debe procurarse tocar el papel con
toda la superficie de la punta de la plu­
milla.
12. En trabajos con regla, las plumillas
con grafos se aplican de la misma ma­
nera que los tiralíneas. Se aconseja no
usar reglas muy gruesas.
( H ) Después del trabajo
14. La tinta china sale de la pluma por
el sistema de conducción, atraviesa el
paso de la tinta, se mete entre la plu­
milla y la pieza giratoria y de ésta pasa
al papel.
Figura 2.19
15. La plumilla se debe sacar inme­
diatamente. Después de abrir la pie­
za giratoria la plumilla se limpia con
un paño. Deben limpiarse también las
entalladuras en la punta de la plumi­
lla, cerrar la pluma fuente y guardarla
en posición vertical.
16. SI la pluma ha quedado obstruida
por no quedar cerrada durante un tiem­
po prolongado, el conductor se debe
sacar y enjuagar, limpiando a su vez el
sistema de conducción. El interior de la
pluma debe limpiarse bajo un chorro de
agua corriente.
Operación y uso del grafo (continuación).
El rotulado con grafo
y estilógrafo
Para rotular un dibujo, se necesitan plumas especiales:
1. para trazo a mano libre, y
2. para plantilla.
Para las primeras se necesita mucha práctica, y esto
se logra con paciencia y ejercicios. Estas plumas se clasifi­
can con letras y números según el grueso que la letra re­
quiera (véase figura 2.20).
Se recomienda seguir las siguientes instrucciones para
el rotulado, según el caso:
1. La plumilla se sumerge 6.4 mm en la tinta.
2. La plumilla se escurre en la parte inferior del frasco
de tinta (algunos dibujantes prefieren entintarla en el
exterior con el tapón).
3.
4.
5.
6.
7.
8.
El trazo se hace suave, en forma natural (de esta ma­
nera se evita el cansancio de la mano).
Las puntas de la plumilla no deben presionarse mu­
cho porque se separan.
Al terminar las plumillas deben limpiarse para que la
tinta seca no las perjudique.
Tome una plumilla nueva y sumérjala varias veces en
la tinta y escúrrala.
Nunca queme una plumilla con un cerillo, porque tam­
bién se quema la capa de aceite que la protege.
Guarde las plumillas en una cajita para que no se
golpeen, se enchuequen o se achaten.
Rotulado con el leroy
y normógrafos
Bien poco se puede decir del rotulado con el leroy, ya que
éste es eminentemente práctico; sin embargo, hay algu­
nas nociones generales que ayudan a mejorar el trabajo.
MANEJO DE INSTRUMENTOS PARA EL DIBUJO GEOMÉTRICO; ROTULADO
Figura 2.21 Rotulado con leroy.
Figura 2.20 Puntos para rotular con plantilla.
Figura 2.22 Rotulado con plantillas de letras o normógrafos.
a) Nunca se debe tratar de jalar las letras con la aguja
para llevarlas al lugar donde se desea rotular, ya que
este procedimiento daña las acanaladuras de las letras.
b) El espacio entre las letras lo dará la práctica; es por
ello que se necesita mucha ejercitación.
c) La superficie donde descansa la regla del leroy debe
estar perfectamente plana, ya que de lo contrario las
letras pueden salir torcidas.
d) Antes de comenzar a rotular el dibujante debe cerciorarse de que los tornillos y mecanismos del cangrejo
estén apretados y firmes: la aguja que penetra en las
acanaladuras de las letras, el cursor que pasa por la
guía de la regla, el tornillo T de presión para fijar la
pluma o punto y la rueda dentada que fija la inclinación de las letras (véase figura 2.21).
e) Las reglas deben descansar sobre una superficie firme, como la regla T o las paralelas o reglas del
tecnígrafo. La presión de las manos se debe ejercer
sobre estos instrumentos y no sobre las reglas de letras. Se debe tener cuidado de que la regla T no esté
ligeramente curvada, pues las reglas de letras tenderían a correrse por debajo o habría problemas con la
posición correcta de las letras (véase figura 2.22).
/)
Se debe tratar, en lo posible, de no utilizar escuadras
con un apoyo de las reglas de letras, ya que aunque
se haga una buena presión sobre ellas, es fácil que se
muevan, con lo que las letras quedarán en forma de
"escalera", es decir, unas más altas que otras con respecto a las líneas guías. Si es indispensable utilizar las
escuadras como apoyo, porque el rotulado es inclinado y no se puede mover el papel o no hay la posibilidad de utilizar una regla T u otros instrumentos, se
debe apoyar la regla de letras en la hipotenusa de las
escuadras y tratar de colocar dos chinchetas, una en
cada cateto, a fin de que la escuadra se fije firmemente. También se pueden utilizar objetos pesados.
g) Si al rotular la rueda dentada resbala sobre la regla de
letras, es posible que la pluma sea muy corta o que el
tornillo de presión no esté apretado correctamente, y
por este motivo el punto o la pluma esté flojo y no
pueda descansar sobre el papel, haciendo resbalar al
cangrejo.
h) Se debe tener especial cuidado al rotular letras inclinadas, ya que el cangrejo está abierto al máximo y es
difícil sostenerlo firmemente con la mano.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
j)
Si se trabaja con pluma de dibujo adaptada al cangrejo se debe tener cuidado, porque puede romperse el canutillo de la misma. Una buena medida para
evitar un poco esta posibilidad es quitarle el cabo a
la pluma, es decir, dejarla sólo con la puntera y el
depósito de tinta. Se debe sacar la pluma con lentitud para evitar que se rompan los canutillos o la parte
de la puntera que se inserta en el brazo del cangrejo.
Si en lugar de plumas se utilizan puntos o plumillas
tubulares, al terminar el trabajo se deben limpiar inmediatamente para que la tinta no se seque y quede
soldado el punto. El procedimiento para el lavado de
estos puntos es semejante al de las punteras de dibujo.
REGLA
ALTURA
DE
LETRAS
PUNTO
Figura 2.23 Distribución en la regla de leroy según la altura de las
letras y el grueso del punto que se debe emplear.
k) Si se desea se pueden hacer las letras "dobles", con
lo cual quedan más gruesas, así como rellenarlas con
tinta como se indica en la figura 1.107.
Éstas son las recomendaciones ofrecidas para realizar
el rotulado con leroy. Sin embargo, insistimos en que sólo
con la práctica constante se lograrán buenos resultados.
Rotulado mediante
letras transferibles
o adhesivas
Además de los ya tradicionales métodos para la ejecución
de rótulos, como los de mano alzada (con lápiz, grafos,
plumas fuente, plumillas y pinceles) o mediante instrumentos (normógrafos, plantillas de letras, leroy), se han
creado otras técnicas, que son más económicas, ahorran
tiempo, facilitan el trabajo y logran mayor calidad.
Dentro de las técnicas modernas se encuentran las letras transferibles, también denominadas adhesivas. Este nombre se debe a que son letras que se presentan en hojas de
papel especial o bandas, que por diversos medios, ya sea
frotamiento o presión, pueden transferirse de la hoja de papel a prácticamente cualquier tipo de material como madera, papel, cartón, vidrio, metal, formaica, acetato, etc. Por
otro lado, este tipo de sistemas posee tipos o caracteres especiales, como símbolos matemáticos o letras derivadas de otras
lenguas (ruso, griego, neerlandés, árabe, griego, etcétera).
Además de todas las ventajas enumeradas anteriormente, las letras transferibles se emplean en casi todas las ramas del dibujo (arquitectónico, mecánico, eléctrico, etc.), así
como en la mayoría de los trabajos de presentación y reproducción (Offset, Litho, Engravin, Silk Screen, etcétera).
Para la confección de rotulados las letras transferibles
presentan varios modelos con diferentes características
según su uso.
Las primeras consisten en unas hojas especiales, de
celofán o celuloide, en las que vienen impresas las letras y
los números, así como algunos signos de puntuación. La
hoja de papel que contiene el abecedario y los números
es transparente.
Las letras y los números vienen alineados. Debajo de
cada fila de letras se encuentra una línea guía que nos
sirve para colocar las letras bien centradas cuando se transfieren al papel de trabajo.
Estas hojas de letras tienen en su cara posterior una
sustancia adhesiva como cera, goma sintética, etc., que
es la que permite que, al transferir a la hoja, la letra se una
firmemente al papel de trabajo. Para proteger la sustancia
adhesiva del polvo o la suciedad se coloca otra hoja que
sirve de cubierta de protección, y que sólo se retira cuando sea necesario adherir una letra.
El procedimiento para transferir las letras al papel de
trabajo es el siguiente:
a) Se traza una línea guía en el papel de trabajo, situando en el lugar exacto donde se quiere colocar la palabra.
b) Se separa la cubierta de protección de la hoja de letras, se selecciona la letra deseada y se recorta dejando determinada área alrededor de la misma, incluyendo la línea guía.
MANEJO DE INSTRUMENTOS PARA EL DIBUJO GEOMÉTRICO; ROTULADO
c)
Se sitúa la letra seleccionada en la posición prevista y se
hace coincidir la línea guía de la letra con la de la hoja
de trabajo, con el fin de que la letra quede en posición
correcta.
2.
Letras de tipo bold:
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz
1234967890
3.
Letras tipo romano:
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz
1234967890
1. Primero trazamos una línea guía.
2. De la hoja con letras adhesivas se selecciona la que nos in­
terese v después se corta.
3. La letra se centra bien con la línea guía y se adhiere ligera­
mente.
Figura 2.24
Rotulado con letras adhesivas.
Uso de las letras
Las letras que se usan en el dibujo deben ser sencillas, de
rápida ejecución, lo que evita todo adorno que quite rapidez a su ejecución.
Antiguamente el uso de las letras era muy rebuscado,
con un sinnúmero de rasgos innecesarios, que sólo servían de adornos; sin embargo, en el dibujo geométrico
industria! el dibujante no se puede dar ese lujo, pues necesita de los tipos de letra rapidez, precisión y claridad en
su lectura.
Diferentes tipos de letra
Los tipos de letras predominantes son:
1. Letras de tipo itálico:
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz
1234967890
4.
Letras góticas:
A nosotros nos interesa la de tipo itálico ya que llena
los requisitos necesarios.
Las letras pueden ser verticales o inclinadas, mayús­
culas o minúsculas.
Para las letras verticales, ya sean mayúsculas o mi­
núsculas, el dibujante se auxilia de líneas horizontales y
verticales.
Las líneas horizontales a lo largo del renglón donde se
escribirán las letras son necesarias para que éstas tengan la
misma altura. En cuanto a las líneas verticales, su uso de­
pende de la práctica del dibujante. Sólo se trazan con lápiz
duro, para que casi no se note y pueda servir de guía.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Las letras inclinadas, mayúsculas y minúsculas, requieren para su trazo de las líneas rectas. Las líneas horizontales nos sirven para hacer las letras del mismo tamaño y las
líneas inclinadas nos sirven también para guías.
Las podemos espaciar de acuerdo a nuestra posibilidad o experiencia en su elaboración. Se recomienda que
la inclinación de estas líneas rectas sea de 68° a 70°.
Para trazar las líneas horizontales auxiliares se utiliza
la regla T.
Figura 2.26
Las letras y números tipo romano están en desuso
debido a ser muy laboriosos, se necesitan instrumentos
geométricos y mucha habilidad para su ejecución.
Se pueden hacer horizontal y verticalmente en trabajos especiales como invitaciones o trabajos artísticos.
Letras de tipo itálico de diferente tamaño.
Las líneas inclinadas se pueden trazar de tres formas:
con una escuadra, cuidando que los catetos tengan un
valor de 5 x 2, así la hipotenusa tendrá una inclinación de
68° aproximadamente.
Figura 2.29
Diferentes tipos de letras (romano y gótico).
En la antigüedad se usaba un tipo de letra que se
adornaba con un gran número de trazos y rasgos, con la
finalidad de que pudiera resaltar y lucir más, recibiendo,
por lo mismo, el nombre de gótica. La podemos encontrar en casi todos los escritos de la antigüedad. En la
actualidad su uso se ha limitado a letreros o encabezados comerciales que indiquen algo de esta época, o para
trabajos especiales, como invitaciones, tarjetas de Navidad, etcétera.
Figura 2.27 Escuadra especial para el trazo de guias para rotular.
En el mercado hay escuadras de 45° con agujeros
que tienen diferentes separaciones entre sí. A través de
ellos se inserta la punta de un lápiz duro y se mueve la
escuadra a lo largo de la regla T. Se trazan líneas horizon­
tales (paralelas entre sí) con una ranura se marcan líneas
inclinadas que sirven como guías.
Los números deben ser sencillos y de rápida ejecu­
ción; se elimina todo adorno superfluo. La forma de algu­
nos números es elíptica, su trazo lo indican las flechas en
la figura 2.28.
El 0, el 6 y el 9 son elípticos
Figura 2.28 Trazo de números tipo itálico.
Dispositivo para
rotular Ames
El instrumento de rotular Ames, es un dispositivo muy útil
para el dibujo, pues basta girar un disco a la posición de
uno de los números que, de acuerdo con el valor del número, da la separación para la altura de las letras.
A través de la práctica el dibujante va eliminando el
uso de todas las rectas auxiliares, las formas de los trazos
y la separación que debe tener entre sí, etcétera.
No debe olvidarse que el acabado de las letras escritas a mano libre o con plantillas es tan importante como
el dibujo; su perfección habla de la capacidad del ejecutor,
ya que es una de las muchas facetas del dibujo a pulso.
Las letras y números tipo bloc tienen menor demanda
debido a que son más laboriosas. Se usan en rótulos o encabezados. Su trazo requiere de instrumentos geométricos.
Estas letras se rellenan con plumas especiales.
MANEJO DE INSTRUMENTOS PARA EL DIBUJO GEOMÉTRICO; ROTULADO
Construcciones
geométricas, base
del dibujo técnico
La geometría es la base del dibujo técnico, por ello en
esta obra intercalamos algunos principios geométricos. Nos
limitaremos a la geometría plana, que es la que cursará el
estudiante de dibujo técnico.
1. Las líneas que se den como dato del problema, se
trazan delgadas.
2. Las que se busquen como solución del problema, se­
rán gruesas.
3. Las líneas auxiliares o de construcción que en la prác­
tica no se trazan, deben ser de puntos o de trazos
muy finos.
Aspectos a considerar
antes de dibujar
Los dibujos deben hacerse con limpieza y terminarse a
lápiz, antes de empezar a entintarlos.
Es necesario hacerlos proporcionales al tamaño del
espacio donde se va a trabajar y centrarlos. No deben
olvidarse los detalles, de manera que no se eche a perder
la buena presentación del dibujo; se recomienda no borrar líneas, sólo cuando sea indispensable, porque el papel se arruga con mucha facilidad. Por este motivo, las
líneas auxiliares a la construcción geométrica deben trazarse lo más fino posible, para que la superficie del papel
no se estropee al borrarlas.
La rugosidad del papel se puede alisar con facilidad
al frotar su superficie con una sustancia dura, como el
costado de una pluma de escribir o el mango de una navaja; de esta manera se comprimen las fibras del papel y
se forma una superficie dura, sobre la cual se puede trazar
una línea de tinta.
Recomendaciones de
higiene y seguridad
del dibujo
♦
♦
♦
♦
♦
Lavarse las manos antes de dibujar.
Limpiar y revisar muy bien el equipo de dibujo antes
de empezar a hacer un trabajo.
Colocar el equipo y el material de dibujo en un lugar
accesible. El descuido y el desorden hacen trabajar el
doble.
Trabajar en un lugar bien ventilado e iluminado de preferencia con luz natural. Cuando se use luz artificial es
recomendable situarla a la izquierda del área de trabajo.
Al terminar un trabajo limpia cuidadosamente los instrumentos que pueden dañarse con la tinta y guárdalos en sus estuches respectivos.
Tipos de líneas a usar
Para que se facilite entender un ejercicio o problema
geométrico, es conveniente clasificar los diferentes tipos
de líneas que se van a usar.
Figura 2.30
Diferentes tipos de líneas a usar en el entintado.
Debe seguirse el mismo procedimiento en todas las
láminas, de esta manera, basta una simple ojeada para
comprender el objeto con que se ha trazado cada una de
las líneas.
Se recomienda que todas las líneas finas y las de puntos se pasen primero a tinta y sean de un mismo espesor.
Abra más el tiralíneas o cambie la plumilla del grafo
cuando trace a tinta las líneas gruesas; después haga las
letras y por último las líneas del margen, las cuales deben
ser más gruesas que las del dibujo.
Indicaciones generales
No debe olvidarse que las líneas dadas y buscadas deben
dibujarse de distinto grueso para distinguirlas con facilidad unas de otras. Téngase presente que las líneas auxiliares son líneas de trazos de longitud uniforme, separadas por espacios iguales.
Los trazos se hacen de 4 mm y el espacio entre ellos
debe ser como de un tercio de esa longitud.
Las construcciones deben ser exactas, y todas las líneas serán de la longitud que les corresponda.
Para evitar errores es preciso trabajar despacio y cuidadosamente. Los lápices deben estar bien afilados.
Las letras de los dibujos son tan importantes como el
dibujo mismo y deben hacerse con la mayor limpieza posible. Cuide hacer el dibujo del tamaño debido.
No presione mucho el compás para evitar hacer agujeros grandes.
Antes de empezar a desarrollar un trabajo es conveniente hacer una serie de prácticas con diferentes tipos de
ejercicios lineales, logrando con ello:
1. Habilidad en el manejo de sus instrumentos geométricos.
2. Presentación correcta de las partes que debe tener
una lámina.
3. Limpieza en su elaboración.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Líneas empleadas en dibujo
Para definir las partes que forman un objeto o pieza mecánica es necesario utilizar diferentes tipos de líneas:
a) llenas o continuas de dos espesores, gruesas y delgadas;
b) de trazos en dos espesores;
c) de trazo y puntos;
d) de mano alzada o a pulso.
En este curso, el uso de estas líneas no es necesario,
se utiliza sólo como ejercicio lineal.
1. Línea de contornos
2. Contorno invisible
3. Línea de centros
4. Línea de centros a lápiz
5. Línea de dimensiones
6. Línea de extensión
7. Posición alterna
8. Línea de movimiento
9. Corte de un plano
10. Línea repetida
11. Material roto
Figura 2.32
Diferentes tipos de márgenes
12. Límite quebrado
Figura 2.31
Líneas empleadas en el dibujo.
Márgenes
En todo trabajo de dibujo técnico son necesarios los
márgenes, ya que permiten ubicar una serie de datos que
complementan las características del dibujo. A continuación se muestran diferentes tipos de márgenes y ejercicios
lineales, como sugerencia (véase figura 2.32).
Tipos de líneas que se emplean
en el dibujo industrial
La base de todos los dibujos es la línea. Al combinar líneas de diferentes espesores y tipos, es posible describir
gráficamente cualquier objeto o expresar gran parte de la
información necesaria en la construcción de una obra, de
manera que cuando se necesite se pueda visualizar con
exactitud la forma de un objeto o elemento de una construcción.
Tipos de líneas empleadas en la
ingeniería y el dibujo mecánico
En dibujo mecánico se utilizan también las líneas convencionales del dibujo. Los tipos de líneas que se utilizan comúnmente en muchos países se rigen por ciertas
normas, las cuales establecen sus proporciones y medidas, que son de estricto y obligado cumplimiento. A estas líneas convencionales también se les denomina alfabeto de líneas.
Las líneas convencionales de dibujo son:
M A N E J O DE INSTRUMENTOS PARA EL DIBUJO GEOMÉTRICO; ROTULADO
1. Línea de contorno y aristas visibles
5. Líneas de dimensiones y extensión
Es una línea continua de un ancho de 0.8 mm y se traza
comúnmente con lápices de punta blanda, por ejemplo,
HB, B, etc. ( Fig. 2.33 a).
Son líneas continuas de un ancho no mayor que 0.2 mm
y se trazan con lápices de punta dura, por ejemplo, 3H o
4H. Estas líneas son utilizadas en los dibujos para acortar
las dimensiones de los objetos descritos; por lo general,
las líneas de dimensión tienen saetas o puntas de flecha
en sus extremos (Fig. 2.33 e).
Figura 2.33a
2. Línea de contorno y aristas invisibles
Es una línea discontinua de un ancho de 0.4 mm y se traza
con lápices medios, por ejemplo, F o H, y las proporciones
son las siguientes: trazos cortos de 3 mm de largo con una
separación entre ellas de 1 mm (Fig. 2.33 b).
Figura 2.33b
3. Línea para representar áreas
seccionadas
Es una línea continua de un ancho no mayor que 0.2 mm
y se traza con lápices de punta dura, por ejemplo, 3H o
4H y la separación entre ellas será de aproximadamente
1.5 mm, con una inclinación de 45° (Fig. 2.33 c).
Figura 2.33e
6. Líneas que presentan planos de corte
y sección
Esta línea se emplea también en vistas parciales para indicar en los planos de planta la parte que se va a representar en vista, con las cabezas de flecha sin rellenar y con
una letra en su interior que identificará la vista parcial en
el plano correspondiente, como se puede apreciar en la
figura 2.33 /.
Figura 2.33f
7. Líneas de roturas parciales
Figura 2.33c
Es una línea fina e irregular de un ancho no mayor que
0.2 mm y se traza con lápices de punta dura, por ejemplo:
3H o 4H. Este tipo de línea se asemeja a la línea que resulta de la rotura hecha a una hoja de papel (Fig. 2.33 g).
4. Línea de eje de simetría
Es una línea discontinua y de ancho no mayor que 0.2
mm y se traza con lápices de punta dura, por ejemplo,
3H o 4H y sus proporciones son las siguientes: trazos de
un largo que oscila entre 15 mm con un punto que
equidista de los extremos ( Fig. 2.33 d).
Figura 2.33g
8. Líneas de planos de referencia
Figura 2.33d
Este tipo de línea no está normalizada y sólo tiene uso
docente una combinación de líneas finas de 0.4 mm y
gruesos de 0.8, la línea fina es discontinua. Sus extremos
están separados 3 mm aproximadamente, con dos puntos equidistantes entre sí y de los extremos de la línea;
además, tienen en sus extremos una línea gruesa de un
largo de 15 mm aproximadamente. Sobre los trazos grue-
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
sos se colocan las iniciales PR y G, y a continuación, el
número del plano de referencia (Fig 2.33 h).
Nombre
Grueso
Diseño
Extensión
Cota o dimensión
3 mm
15 mm
Figura 2.33h
Rayados varios
Interrupción quebrada
Eje
Interrupción sinuosa
Trazos
9. Líneas de construcción y guías
Objeto y contorno
Éste es un tipo de línea que sólo tiene por objeto el permitirnos trazar aquellas líneas que, no debiendo aparecer en
el dibujo, nos sirven para realizar las construcciones necesarias y facilitar el proceso del dibujo. Estas líneas son similares a las que utilizamos para la confección de rótulos.
Como las líneas de construcción y de guía no forman
parte de los objetos representados en el dibujo, se trazan
muy finas y con un lápiz duro, ejerciendo poca presión
con el fin de que no resalten dentro del conjunto de líneas
trazadas.
Oculta
Líneas convencionales empleadas
en el dibujo arquitectónico
y de construcción
En dibujo arquitectónico, las líneas son convencionales y
están normadas, por lo que se deben utilizar en el país
con carácter obligatorio. El sector de la construcción tiene
normadas las líneas y se emplean en los planos de ejecución.
Según esta norma, se emplearán tres gruesos de líneas, finas, medianas y gruesas. Los gruesos de las líneas,
la longitud de sus trazos y los espacios entre los mismos
que se utilizan en su diseño, dependerán de la escala que
se emplee en el plano. Dentro de las líneas finas se encuentran las de extensión, cota o dimensión, rayados varios, interrupción quebrada y eje.
En las líneas medianas se encuentran las de interrupción sinuosa, trazos, objetos y contorno, oculta y límite de
terreno.
Las líneas gruesas son las de contorno contenido en
el plano cortante y las de trazo de plano cortante y
seccionador.
Estas líneas y la forma de su trazado se pueden observar en la figura 2.34 elaborada en una escala aproximada de 1:50.
♦
♦
La línea de extensión, prolonga un punto del objeto
dibujado hasta la línea de cota.
La línea de cota o dimensión se trazará paralela a la
línea del objeto y entre líneas de extensión. Se servirá
para determinar la distancia que hay entre dos puntos.
Límite de terreno
Contorno contenido
en el plano cortante
Trazo de plano cortante y
seccionador
Figura 2.34
La línea de rayados varios tendrá distintas aplicaciones; servirá para representar materiales en sección,
rayar esquemas, índices, destacar áreas, etc. El rayado siempre se espaciará uniformemente.
La línea de interrupción quebrada se aplicará para
evitar dibujar partes innecesarias.
La línea de eje está formada por dos trazos finos, con
medidas aproximadas de 10 mm el mayor, y de 2
mm el menor, separados por espacios de 1 mm. Cuando dos ejes se intersequen lo harán en el trazo mayor,
y cuando el objeto del dibujo sea demasiado pequeño los ejes se representarán con una línea fina continua. Esta línea se empleará también para indicar simetría (Fig. 2.35).
Figura 2.35
MANEJO DE INSTRUMENTOS PARA EL DIBUJO GEOMÉTRICO; ROTULADO
La línea de interrupción sinuosa tiene la misma función que la línea quebrada. Se empleará sólo en dibujos ilustrativos, como son las proyecciones
isométricas y se trazará a mano alzada (Fig. 2.36).
- Comenzar con trazos en
el punto de tangencia
Figura 2.37b
Comenzar
con espacio
Figura 2.36
Figura 2.37c
Comenzar con espacio
La línea de trazos está formada por trazos de aproximadamente 1 mm. Se utilizará para indicar y representar en el plano cortante todos los elementos que
se encuentran en la parte del objeto que no se considera al dar el corte; por ejemplo: las aleros representados en el plano de planta.
La línea de objeto y contorno puede ser mediana y
gruesa. La mediana se empleará para representar el
contorno de los objetos contenidos en el plano cortante y seccionador.
La línea oculta, está formada por trazos de aproximadamente 1 mm y se empleará para representar las
partes ocultas del objeto. La representación une el
trazo y el espacio como puede observarse en los ejemplos de la figura 2.37.
Comenzar con espacio
Figura 2.37d
♦
♦
Comenzar con trazos
■ Definir esquinas con trazos
Figura 2-37a.
La línea límite de terreno, tiene un diseño igual a la
del eje, pero de grueso mediano. Se empleará para
definir el contorno de la propiedad, en planos de situación, emplazamientos, etcétera.
La línea de trazo de plano cortante y seccionador,
está formada por trazos de aproximadamente 10 mm
y 2 mm separados por espacios de poco más o menos 1 mm. Esta línea puede estar trazada parcialmente y deberá representarse siempre la parte de la línea
que indica el cambio de dirección de plano cortante.
En ambos extremos de la línea se colocarán cabezas
de flechas rellenas en negro acompañados de un número arábigo que servirá para la identificación de la
sección en el plano correspondiente.
La numeración se hará horizontalmente de izquierda a derecha y verticalmente de arriba hacia abajo, como
se puede ver en los ejemplos de la figura 2.38.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Figura 2.38b
Figura 2.38a
Radio de compás. Es la abertura que hay entre las
dos piernas y puntas del compás. El compás lo em­
pleamos para trazar:
a)
b)
c)
d)
e)
Circunferencias
Arco de circunferencias
Tomar la medida de líneas
Tomar la medida de ángulos
Trasladar medidas de líneas, ángulos o partes de
una pieza mecánica.
Planta
Elevación A-A
Figura 2.38c
Figura 2.39
Términos geométricos
más usados en problemas
geométricos
Con el propósito de facilitar la comprensión en la explicación de los diferentes problemas geométricos, analizaré
algunos de los términos más usados en la mayoría de los
problemas y los pasos a seguir en su desarrollo; estos términos están en función de la geometría básica (bidimensional) y también de los instrumentos o equipo de
dibujo empleado.
Arco de circunferencia. El trazo de una parte de una
circunferencia, le llamamos arco de circunferencia.
Uso del compás y la escuadra. El compás y la escuadra son básicos para la elaboración de los problemas
geométricos; tanto para el trazo de arcos de circunferencia, circunferencias o segmentos de recta en diferentes posiciones.
Uso del arco de circunferencia. En la mayoría de los
trazos para construir o resolver una figura geométrica
requerimos de trazos con el compás llamados arcos de
circunferencias dado que son parte de una circunferencia.
MANEJO DE INSTRUMENTOS PARA EL DIBUJO GEOMÉTRICO; ROTULADO
arco de circunferencia en la posición y tamaño que el
dibujante quiera elaborarlo.
2. En dos partes iguales es el resultado buscado.
Figura 2.40
♦
♦
Líneas. Éstas pueden ser rectas o curvas.
Segmento de una línea. Como una línea tiende al
infinito lo que usamos normalmente es una parte de
ella, que llamamos segmento y puede ser de línea
recta o curva.
Cómo interpretar
el enunciado de un
problema geométrico
Es muy importante comprender el significado de lo que
nos enuncia un problema geométrico porque así estaremos en posibilidad de entender con facilidad el propósito
y el procedimiento, y lo que buscamos en todo problema
geométrico, para ello se tiene necesidad de dividir en dos
partes el texto de cada problema.
1. La parte donde nos indica los datos del problema,
que el dibujante traza en el tamaño y posición que se
adecúe al espacio de la hoja donde va a dibujar.
2. La parte donde nos indica lo que se quiere encontrar
(solución) en el problema.
Para entender mejor estos puntos analizaremos a continuación los enunciados de dos problemas geométricos:
Problema 1.1
Dividir una recta o arco de circunferencia en dos partes
iguales
Análisis del enunciado:
1. Dividir a una recta o arco de circunferencia. Nos está
indicando que tenemos como dato una recta y un
Otro elemento que permitirá identificar los datos y el
resultado será el grueso y el tipo de línea empleado en el
dibujo.
Línea delgada. Datos del problema.
Línea punteada. Procedimiento del problema.
Línea un poco gruesa. Solución del problema.
Problema 5.10
Dado un círculo, inscríbale un dodecágono
Análisis del enunciado:
1. Dado un círculo. Indica que se tiene un círculo como
dato.
2. Inscríbale un dodecágono. Es el resultado o figura geométrica que se va a construir, siguiendo los pasos indicados en su procedimiento de construcción del problema geométrico.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Nomenclatura y
recomendaciones para la
solución de los problemas
geométricos
En los problemas que a continuación se van a resolver, el
enunciado de cada uno de ellos se va a representar con
letras cursivas, y en mayúsculas las letras que se usen en
cada problema.
Los problemas que hay que resolver y memorizar
debido a que son básicos en la construcción de todos los
demás, serán indicados con un asterisco ( * ) a un lado
del número.
Cuando se requiera un conocimiento nuevo de geo­
metría para solucionar un problema se iniciará el tema
con la teoría correspondiente.
ACTIVIDADES Y PRÁCTICAS PARA EL TALLER
2.1
Cuaderno de trabajo
Lee con cuidado cada una de las preguntas, reflexiona, piensa y contesta correctamente. Si por alguna razón no
recuerdas o no posees el conocimiento, estudia la información técnica y científica que se encuentra en tu libro.
1. ¿Qué importancia tienen los instrumentos geométricos?
2. ¿Consideras posible dibujar sin instrumentos geométricos apropiados? ¿Por qué?
3. ¿Qué instrumentos geométricos sabes emplear?
4. ¿Para qué nos sirve un restirador?
5. ¿Qué posición debe tener el restirador con respecto a la luz?
6. ¿Cómo debes mover la regla T en el restirador?
7. ¿Cómo debes mover las escuadras sobre la regla T?
8. ¿Qué ángulo de inclinación le puedes dar al trazo de líneas al combinar las escuadras?
9. ¿Qué se recomienda para usar el compás con eficiencia?
10. ¿Cuál es el compás de vara y cuándo lo debemos usar?
1 1 . ¿Qué pasa si no fijamos bien el papel?
12. ¿Para entintar qué recomendaciones se aconsejan?
13. ¿Cómo debes usar las plantillas de curvas?
14. ¿Qué es un grafo?
15. ¿Cuál es la diferencia entre un grafo y un estilógrafo?
16. ¿Qué ventajas o desventajas se tienen al usar un estilógrafo con respecto a un grafo?
17. Escribe las recomendaciones básicas antes de dibujar.
18. ¿A qué reglas de higiene del dibujo te debes apegar?
MANEJO DE INSTRUMENTOS PARA EL DIBUJO GEOMÉTRICO; ROTULADO
2.2 Usa tu imaginación y creatividad
Elabora una mesa de dibujo abatible en tu casa.
En tu libro de dibujo se sugiere elaborar un restirador abatible empotrado al muro, puedes colocarlo en tu recámara y ocupa poco espacio; además, es muy económico.
Procura que tu restirador esté ubicado en un lugar donde tenga buena iluminación y ventilación.
2.3
Investigación
♦ Investiga el desarrollo que se ha tenido en los instrumentos para entintar.
♦ Investiga el proceso de desarrollo de las mesas para dibujar.
♦ Investiga la nueva tecnología de las mesas de dibujo modernas (con pantalla).
2.4
Prácticas para el taller de dibujo
Dibuja una serie de láminas donde se practique el trazo de:
♦
♦
♦
♦
Líneas rectas y curvas a lápiz y a tinta.
Abecedario mayúsculo, minúsculo y números a mano libre y con plantilla.
Problemas geométricos (trazo a lápiz y a tinta China).
Problemas de perspectiva, etcétera.
Construcción y trazo de líneas
perpendiculares, paralelas,
ángulos, triángulos y cuadriláteros
Objetivos
particulares
Al término de la presente unidad, el alumno será capaz de:
Conocer y aplicar la técnica del dibujo geométrico para trazar el dibujo de líneas perpen­
diculares, paralelas, ángulos, triángulos y cuadriláteros.
Objetivos
específicos
Comprender la geometría básica de este tema.
Manejar con habilidad sus instrumentos geométricos.
Conocer la aplicación de estas formas geométricas a otros problemas geométricos y a
otros campos de la tecnología.
Aplicar con eficacia la metodología propuesta para cada problema geométrico.
Trazar con precisión técnica los dibujos propuestos en esta unidad.
Introducción
Al abordar esta unidad se da inicio a la construcción y
trazo de la geometría plana, pronto los alumnos se da­
rán cuenta de que el trazo de todas las figuras geo­
métricas con dimensiones regulares no son difíciles de
dibujar; en gran medida podemos resolver los proble­
mas geométricos apegándonos a la metodología pro­
puesta y empleando los instrumentos geométricos
como el compás, las escuadras, la regla T, etcétera.
En esta unidad se dará la metodología básica
para dibujar rectas paralelas y perpendiculares, án­
gulos, triángulos y cuadriláteros.
Muchos de los procedimientos empleados en este
tipo de figuras geométricas servirán de base para
construir otras figuras como polígonos, tangencia y
empalme entre circunferencias y rectas, curvas pla­
nas abiertas, cerradas y cónicas.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LÍNEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Conceptos geométricos
básicos
1.
Un punto P se puede considerar como la descripción
gráfica que carece de dimensión, porque no tiene ni
largo ni ancho ni grueso.
2.
La sucesión de puntos genera una línea y ésta puede
ser curva o recta.
De acuerdo a su forma, posición o combinación entre ellas, las líneas se clasifican de diferentes formas.
5.
Por su forma la línea puede ser:
a) Recta, Por lo antes mencionado.
b) Curva. Por lo antes mencionado.
c) Quebrada. Combinación de dos o más líneas rectas en diferentes posiciones.
d) Mixta. Combinación de una línea recta y una curva.
3. Si los puntos tienen la misma dirección, la línea es recta.
NOTA: Como la dimensión de una línea recta es infinita, lo que
representamos es una parte de ella llamado segmento de recta, pero
por costumbre se omite la palabra segmento.
6.
Por su posición pueden clasificarse como:
a) Vertical. Es la que está en posición contraria a la
horizontal.
4.
Si la sucesión de puntos no tiene la misma dirección
de líneas curva u ondulada.
b) Horizontal. Es la que tiene la misma posición del
horizonte.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
c) Inclinada. Es la que tiene una posición diferente a
la horizontal y vertical.
d) Transversales. Son las que al cortarse forman
entre sí ángulos mayores y menores de 90°.
8.
7.
Por la combinación de varias rectas se clasifican en:
Se entiende por circunferencia a la línea curva cerrada cuyo centro es equidistante a cualquier punto de
la circunferencia.
a) Perpendiculares. Son las rectas que forman entre
sí un ángulo recto de 90°.
9. El arco de la circunferencia, es una parte de la misma, pudiendo ser de diferente tamaño.
b) Paralelas. Son aquellas en que la distancia que las
separa es la misma.
NOTA: Para la resolución de casi la totalidad de los problemas
geométricos vamos a usar el compás, y a su vez describiremos varios
pasos geométricos por medio de arcos de circunferencia.
c) Convergentes y divergentes. Son aquellas en que
por un lado se aproximan (convergentes) y por
otro se van separando (divergentes).
Problema 1.1
Dividir a una recta o arco de circunferencia en dos partes
iguales*
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LÍNEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Construcción
1. Trace la recta AB o el arco SP, los cuales va a dividir
en dos partes iguales.
2. Haga centro en los extremos de la recta AB y el arco
SP con un radio en el compás, mayor que la mitad
de la recta o el arco, y trace arcos de circunferencia
arriba y abajo.
3. Éstos se cortan en un punto arriba y abajo llamados
L y M, por los cuales trazamos una recta que divida
en dos partes iguales a la recta y al arco de circunferencia.
NOTA: Se llama radio del compás a la abertura de éste, ya que su
separación es la medida del radio de la circunferencia que se va a
trazar.
NOTA: En el caso de la recta, además de ser dividida en dos partes
iguales, es perpendicular a la recta encontrada.
Problema 1.3
Trazar una perpendicular por el extremo de una recta*
Construcción
1. Trace la recta SP del tamaño que sea proporcional al
espacio donde se va a dibujar.
2. Haga centro en el punto extremo S, donde se quiere
levantar la perpendicular con un radio cualquiera y
describa un arco de circunferencia, éste corta a la recta SP en el punto L.
3. Con el mismo radio haga centro en el punto L y corte
el arco en el punto A.
4. Vuelva a hacer centro en A y con el mismo radio,
trace un arco que corte al mismo arco en E.
5. Ahora haga centro en A y E, y con el mismo radio
trace dos arcos que al cortarse nos dé el punto M
buscado, por MS hacemos pasar la recta que es la
perpendicular buscada.
Problema 1.2
Por un punto dado en una recta, trazar una perpendicular
a ella*
Construcción
1. Trace la recta AB y haciendo centro en el punto dado
S y con un radio cualquiera, trace dos arcos que corten a la recta AB en los puntos llamados R y M.
2. Haciendo centro en R y M, describa dos arcos que se
corten en L.
3. Trace por L y S la recta buscada que es perpendicular
a la primera.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Problema 1.4
4. Este punto M y S nos dan la perpendicular buscada.
Segundo procedimiento del caso anterior*
Construcción
1. Trace una línea recta SP del tamaño proporcional al
espacio donde se va a dibujar.
2. Ubique un punto L próximo al extremo de la recta
donde se quiere describir la perpendicular.
3. Con un radio igual a la distancia LP describa un arco de
circunferencia que corte a la recta SP en un punto Q.
4. El punto Q con L nos sirven de referencia para trazar
una recta que corte al arco de circunferencia en un
punto llamado R.
5. El punto R y el P nos dan la posición para trazar la
perpendicular en el extremo de esa recta.
NOTA: Es conveniente que los alumnos al hacer la práctica del ejercicio lo hagan en cualquiera otra posición diferente a la del texto.
Esto permitirá mayor seguridad y probarán haber comprendido el
procedimiento de construcción.
Problema 1.6
Segundo caso: cuando la perpendicular va a quedar cerca
del extremo de la recta dada*
Construcción
1. Trace una recta dada SP y el punto fuera de ella L.
2. Trace un punto / sobre la recta SP y en posición contraria al punto P.
3. Haga centro en / y abra el compás con un radio IL; describa un arco que corte a la recta SP en un punto E.
4. Con un radio igual a la distancia EL haga centro en E
y corte en la parte inferior del arco, en el punto llamado D; por L y D tenemos la perpendicular buscada
fuera de una recta.
Problema 1.5
Trazar una perpendicular a una recta, por un punto dado
fuera de ella*
Construcción
1. Trácese la línea AB.
2. Haga centro en el punto S fuera de la recta, abriendo
el compás en un radio poco mayor de la distancia del
punto a la recta, y trace un arco, que corte a la recta
en dos puntos llamados Q y L.
3. Haga centro con el compás en Q y L y con un radio
mayor o menor trace dos arcos que corten en un punto M.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LÍNEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Problema 1.7
Problema 1.9
Por un punto H fuera de una recta, trazar una paralela a la
recta dada*
Trazar una paralela a una recta dada y a una distancia
requerida*
Construcción
1. Se da el punto H fuera de la recta AB.
2. Se hace centro en H y con un radio cualquiera se
traza un arco que corta la recta AB en el punto D,
con el mismo radio y haciendo centro en D trazamos
un arco que corta a la recta AB en E, y contiene a H.
3. Hacemos centro en D y con un radio igual a EH cortamos al arco en el punto F.
4. El punto H y F nos da la posición de la paralela.
Construcción
1. En la recta dada AB, se dan dos puntos M y N e n
cualquier posición de la misma.
2. Se hace centro en M y N, se describen dos arcos en
cada caso, que cortan a la recta dada.
3. Se hace centro en cada uno de ellos con cualquier
radio y se trazan dos arcos; al cortarse lo hace uno en
el punto Z y otro en el punto P.
4. Con los puntos dados en la recta y con los encontrados, podemos trazar dos perpendiculares indefinidas.
5. Medimos la distancia requerida en las dos perpendiculares, indicando con dos puntos R y Q la posición a
la recta paralela buscada.
Problema 1.8
Trazar una paralela a otra recta dada, sin importar la distancia que las separe*
Construcción
1. Se traza la recta LM con un punto intermedio J.
2. Se hace centro en J y se traza con un radio cualquiera, un arco de circunferencia que corta a la recta dada
en dos puntos R y S.
3. Se hace centro en R y S con el mismo radio o con
cualquier otro se trazan dos arcos que cortan al primero en dos puntos A y B.
Trazo de ángulos
y bisectrices
1. Se entiende por ángulo la abertura que hay entre dos
rectas que concurren a un mismo punto llamado vértice.
4. Se unen los puntos A y B por medio de una recta,
paralela a la primera.
2. La dimensión o abertura de los ángulos no depende del
tamaño de las rectas que la forman, sino de la abertura
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
que hay entre ellas, A= B. Los lados de los ángulos son
diferentes pero sus ángulos son iguales.
3. Se entiende por bisectriz a la recta que divide en dos
partes iguales a un ángulo.
6. Ángulo obtuso es aquel que mide más de 90° y menos de 180°.
7. Ángulo colineal es aquel que mide 180° exactos.
Clasificamos los ángulos de acuerdo con su abertura en: agudos, rectos, obtusos, colineal o llano, entrante, perígono o de vuelta completa.
8. Ángulo entrante es aquel que mide más de 180° y
menos de 360°.
Bisectriz
4. Ángulo agudo es aquel que mide menos de 90°.
9. Ángulo perígono es aquel que mide 360° exactos, o
sea, una vuelta completa.
5. Ángulo recto es aquel que mide 90° exactos.
10. Cuando la suma de dos o más ángulos es igual a 90°
se dice de ellos que son complementarios.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LÍNEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
11. Cuando la suma de dos o más ángulos es igual a
180°, se dice que son suplementarios.
dan el punto por donde debe pasar la recta del ángulo trasladado.
Problema 2.2
Sume varios ángulos conocidos*
Construcción
Figura 3.1.
Problemas geométricos
de ángulos
Problema 2.1
Traslade el ángulo a una recta dada
Construcción
1. Trazamos primero el ángulo A que vamos a trasladar
a la recta LM.
2. En un punto A de la recta hacemos centro y trazamos
un arco.
3. Con ese mismo radio del compás hacemos centro en
el vértice A del ángulo y trazamos otro arco similar al
anterior.
4. Abrimos nuestro compás y medimos la abertura del
arco del ángulo CP.
5. Trasladamos ese arco del compás, al arco de la recta
LM, el punto C donde se cortan los dos arcos nos
1. Trazamos los ángulos 1, 2, 3 y 4 que vamos a sumar
y la recta SP sobre la cual vamos a efectuar la suma.
2. Con el mismo radio del compás, trazamos los arcos
de circunferencia de los cuatro ángulos y el de la recta en el punto B.
3. Trasladamos las diferentes aberturas del compás, correspondientes a los ángulos dados, al arco de circunferencias trazadas en la recta dada.
4. Haciendo centros sucesivos, en cada corte de los arcos de circunferencia de izquierda a derecha, logramos obtener un arco total, que es igual a la suma de
todos los demás ángulos.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
3.
Hacemos ahora centro en A y B y con el mismo radio
descubrimos dos arcos que se cortan en el punto R.
4.
Los puntos M y R nos dan la posición de la bisectriz.
Problema 2.3
Restar dos ángulos dados*
Construcción
1. Trace la recta SP sobre la cual se van a restar los dos
ángulos dados.
2.
3.
Describa primero el ángulo mayor 1, sobre el cual se
va a trasladar la abertura del ángulo menor 2, haciendo centro en L de derecha a izquierda, trazamos el arco M correspondiente a la abertura del ángulo menor.
Pasamos una recta por M, corte de los dos arcos, el
ángulo formado por Q a la izquierda es la diferencia
de los dos ángulos dados.
Problema 2.5
Dividir un ángulo en cuatro partes iguales
Construcción
1. Si LPR es el ángulo que hay que dividir.
2.
Se siguen los mismos pasos del problema anterior, obteniendo con ello la división del ángulo en dos partes.
3.
Si G es el punto donde el arco y la bisectriz se cortan,
éste nos servirá para hacer centro, como también A y B.
4.
Con el mismo radio trazamos arcos de circunferencia
que al cortarse nos dan dos puntos, D y F, por los
cuales deben pasar las bisectrices que a la vez dividen
el ángulo en cuatro partes iguales.
Problema 2.4
Trazar la bisectriz de un ángulo dado o sea dividirlo en
dos partes iguales*
Construcción
1. Sea LMS el ángulo cuya bisectriz se desea trazar.
2. Haciendo centro en M y con un radio conveniente,
descríbase un arco que corta los dos lados del ángulo
en los puntos A y B.
NOTA: Siguiendo estos mismos pasos podemos dividir un ángulo
en el número de lados pares que se quieran.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LÍNEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Problema 2.6
Trisección de un ángulo recto
Construcción
1. Dado el ángulo recto SRP.
2. Hacer centro en R con un arco de radio conveniente,
donde el arco corta a las dos rectas en L y N.
3. Con el mismo radio se hace centro en L y N, se trazan
otros dos arcos que al cortarse con el primero nos
dan dos puntos A y B por donde pasarán las rectas
que van a dividir el ángulo en tres partes o ángulos
iguales.
Problema 2.8
Segundo caso del problema anterior
Construcción
1. Trácense dos rectas no paralelas AB y CD, a cierta
inclinación.
2. Describa un punto en cada recta F y G con cierta
separación y haga centro en ellos con un radio igual
a dicha separación, trazando dos arcos que se cortan
en H' y L, y a la vez cortan a las rectas en P y H.
3. A su vez hacemos centro en P y H trazando dos arcos
que se cortan en M y N.
Problema 2.7
Trazar la bisectriz de dos rectas concurrentes a un punto
Construcción
1. Sea DM y AL las dos rectas concurrentes.
2. Describa una línea vertical que corte a las dos rectas
anteriores en SC.
3. Haga centro en S y C y con un radio conveniente,
trace dos arcos que se corten: el primero en Q, T, G, y
el segundo en R, P, N.
4. Con el mismo radio y haciendo centro en Q y T, T y
G, R y P y P y N, describimos arcos que se cortan en
cuatro puntos E, F, O y H.
5. Trace cuatro rectas que pasen por los siguientes puntos: S y E, S y F, C y O, C y H, éstas se cortan en otros
dos puntos K y K' que son por los cuales hacemos
pasar la bisectriz.
4. Unimos los dos cortes de cada uno de los arcos por
una recta; al cortarse ambas, lo hacen en el punto O.
Con centro en O describimos un arco que corta a las
dos rectas en R y S.
5. Con centro en R y S trazamos dos arcos que al cortarse nos dan el punto O', por O y O' pasa la bisectriz.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Problema 2.9
Cómo obtener diferentes ángulos a partir de los ángulos
de 15°, 30°, 45°, 60°
Para poder obtener ángulos de diferentes dimensiones en
base a los antes mencionados, se requiere efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación o división, además de
aplicar varios de los métodos usados para dividir ángulos.
2. Los triángulos los clasificamos:
A. Por sus lados.
a) Equiláteros. Tienen los tres lados iguales.
Construcción
1. Se sugiere trazar primero un ángulo recto LOR.
2. Encontrar un ángulo de 15°, 45°, 67°, 30°, 75°, 105°,
135°.
3. Por los métodos antes explicados encontramos primero el de 45°, por la bisectriz del ángulo recto.
M
N
b) Isósceles. Tienen dos lados iguales y uno diferente.
4. Dividimos el ángulo en tres partes y obtenemos ángulos de 30°, al bisectarlo obtenemos el de 15°.
5. Con la abertura del compás igual al de 15°, le restamos a 90° y nos da el de 75°, bisectamos el de 30°
próximo al de 90°.
6. El ángulo de 67°30' es igual al radio de 45° + 22°30'
= 67°30'. Los de 22°30' vienen siendo la mitad del
de 45°.
c) Escalenos. Tienen los tres lados desiguales.
7. El ángulo de 105° lo obtenemos al agregarle 90° +
15° = 105° o también haciendo centro en el punto
donde se corta el arco de circunferencia con la bisectriz
del ángulo recto y trazando el otro arco hacia afuera.
8. Al sumarle a la abertura del de 30° nos da el ángulo
de 135°.
Trazo de triángulos
1. Se entiende por triángulo a las figuras geométricas
planas que tienen tres lados y tres ángulos.
B. Por sus ángulos:
a) Acutángulos. Los que tienen tres ángulos agudos.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LINEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
b) Rectángulo. Es el que tiene un ángulo recto.
Problemas geométricos
de triángulos
Problema 3.1
Dado el lado de un triángulo equilátero, construir el triángulo*
Construcción
1. Sea AB el lado dado; se ubica como base.
2.
Se hace centro en A y B; con un radio igual a AB trace dos arcos que se corten en C.
3.
Uniendo AC y BC nos da el triángulo buscado.
c) Obtusángulo. Es el que tiene un ángulo obtuso.
3.
El triángulo rectángulo es el único que a sus dos lados
más pequeños se les llaman catetos y al más grande
hipotenusa.
Problema 3.2
Trazar un triángulo isósceles, dada su altura
Construcción
Cateto
4. La suma total de los ángulos de cualquier triángulo
será siempre igual a 180°.
Para definir un triángulo se requieren tres datos,
aunque en algunos casos uno o dos de ellos pueden
ser suplidos por las propiedades de los mismos.
Así, el triángulo isósceles o el rectángulo requieren dos datos solamente, mientras que el equilátero o
rectángulo isósceles quedará concreto con un dato
únicamente.
1. Si LM es la altura dada.
2. Trace dos rectas paralelas SM y TD perpendiculares
a la recta LM.
3. Haciendo centro en L con un radio conveniente, trace un arco que corte a la recta en los puntos A y B.
4. Haciendo centro en A y B y con el mismo radio corte
el arco antes trazado en los punto H e I.
5. Los lados buscados nos los dan las posiciones de los
puntos H e I que al prolongarse cortan a la otra recta
en R y Q, quedando determinados los tres lados.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Conceptos básicos con respecto al triángulo rectángulo
La suma interior de los ángulos de cualquier triángulo es igual a 180°. El triángulo rectángulo recibe ese nombre por tener un ángulo recto, que es igual a 90°; por lo
tanto, la suma de los otros dos ángulos agudos también es
de 90°. Con esto podemos calcular fácilmente el valor de
un ángulo agudo desconocido, efectuando una simple
diferencia de ángulos.
La nomenclatura que se usa para determinar los lados y ángulos de un triángulo es la siguiente:
2. La unión de los extremos de los dos catetos nos da la
hipotenusa desconocida CB.
A. Los ángulos se representan con letras mayúsculas.
B. Los lados reciben el nombre de la letra del ángulo
opuesto, pero se representa con letras minúsculas.
C. En un triángulo rectángulo la hipotenusa está siempre frente al ángulo recto, además lo identificamos
porque es el lado de mayor tamaño.
Problema 3.4
Dada la hipotenusa y un cateto trazar un triángulo rectángulo
Construcción
1. Trazamos del centro L de la hipotenusa BC un arco
que vaya a los extremos del mismo.
2. Con un radio igual al cateto AC, hacemos centro en
C y cortamos con un arco al anterior en A.
3. El lado desconocido es la distancia BA.
Problema 3.3
Trazar un triángulo rectángulo dados los dos catetos
Construcción
1. Trazar los dos catetos dados, AB y AC, perpendiculares entre sí, ya que éstos siempre concurrirán al vértice del ángulo recto en posición perpendicular.
Problema 3.5
Dado un cateto y su ángulo agudo contiguo, trazar un triángulo rectángulo
1. Se traza el cateto AB con su ángulo agudo contiguo
B, trasladándolo a la recta.
2. Como el otro cateto AC debe ser perpendicular al
lada dado, lo hacemos con una línea indefinida.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LÍNEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
3. La hipotenusa la trazamos de acuerdo a la inclinación del ángulo dado.
4. Éstos al cortarse determinan el tamaño C que deben
tener AC y CB.
Problema 3.6
Dada ¡a hipotenusa y uno de los ángulos agudos, trazar
un triángulo rectángulo*
Construcción
1. Del centro de la hipotenusa BC se traza una semicircunferencia; se traslada el ángulo C a su extremo correspondiente, haciendo partir una recta CA que pase
por ese ángulo y la limite el arco.
2. Al unir AB nos da el tamaño correcto de los catetos
desconocidos.
Problema 3.6
Dada la hipotenusa y uno de los ángulos agudos, trazar
un triángulo rectángulo
Construcción
1. Del centro de la hipotenusa BC se traza una semicircunferencia; se traslada el ángulo C a su extremo correspondiente, haciendo partir una recta CA que pase
por ese ángulo y la limite el arco.
2. Al unir AB nos da el tamaño correcto de los catetos
desconocidos.
3. La hipotenusa la trazamos de acuerdo a la inclinación del ángulo dado.
4. Éstos al cortarse determinan el tamaño C que deben
tener AC y CB.
Problema 3.7
Dados los tres lados de un triángulo, trácelo
1. Trazamos el lado más grande AB.
2. Hacemos centro en los extremos del lado AB y un radio igual al de cada uno de los otros dos lados AC y
CB conocidos; trazamos un arco que al cortarse entre sí
nos da el punto C, que debemos unir con los otros dos.
3. Al unirse los tres puntos nos da el triángulo buscado.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Problema 3.8
Trazar un triángulo conociendo uno de sus lados y dos
ángulos adyacentes.
1. Trazamos el lado AB con sus dos ángulos adyacentes α y β.
2.
Trazamos cada uno de los lados con la inclinación de los
ángulos adyacentes hasta lograr que se corten entre sí.
3. Así obtenemos el triángulo y la dimensión de sus lados desconocidos AC y CB.
Trazo de cuadriláteros,
conceptos generales
1.
Los cuadriláteros son las figuras planas cerradas que
tienen cuatro lados y cuatro ángulos.
2.
Éstos pueden ser regulares o irregulares.
3.
Los cuadriláteros regulares son aquellos que tienen los
cuatro lados y los cuatro ángulos iguales, o sus lados y
ángulos opuestos iguales.
Problema 3.9
Trazar un triángulo conociendo dos de sus lados y el ángulo que forman
Construcción
1. Se trazan los lados AB y AC, con el ángulo α que
forman entre sí.
2.
Unimos BC y obtenemos el lado desconocido completándose el triángulo correspondiente.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LÍNEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
4. Los cuadriláteros irregulares son los que tienen sus
lados o ángulos diferentes.
c) Romboide. Lados opuestos iguales de dos en dos;
y ángulos agudos iguales y dos obtusos iguales.
5. La diagonal LS de una figura plana cerrada es la recta que une a dos vértices opuestos y divide a la figura
en dos partes iguales.
Rectángulo. Lados opuestos iguales de dos en dos; sus
cuatro ángulos son rectos.
Los cuadriláteros los dividimos en tres grandes grupos:
a) Cuadrado. Los cuatro lados iguales; los cuatro ángulos rectos.
Paralelogramos. Tienen sus lados opuestos paralelos.
b) Rombo. Los cuatro lados iguales y sus ángulos
opuestos iguales.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Construcción
Trapecios. Solamente tienen dos lados paralelos.
1. Sea la diagonal LD dada como dato.
2.
De acuerdo al método antes explicado, se traza la otra
diagonal MN en forma perpendicular y al centro de la otra.
3.
Una los cuatro puntos y obtendrá el cuadrado buscado.
Trapezoides. No tienen lados paralelos.
Problemas geométricos
de cuadriláteros
Problema 4.1
Dado un lado trazar un cuadrado*
Construcción
Problema 4.3
Dados dos lados y el ángulo que forman trazar un paralelogramo
Construcción
1. Sean los dos lados AB y AC y el ángulo B los dados
como datos.
2.
Se trazan los dos lados con el ángulo dado. (Véase el
problema 2.1 que explica el procedimiento.)
1. Sea el lado AB, dado como dato.
2.
Por B trazamos una perpendicular (método 1.3) del
tamaño de la recta dada llamada BC.
3.
Haciendo centro en 8 y en C, en cada caso con un
radio igual a los lados AB y AC.
3.
Se hace centro en C y A, con un mismo radio de la
recta dada; córtense en un punto llamado D; obteniéndose el cuadrado.
4.
Se trazan dos arcos que se cortan en un punto llamado D, que al unirlos nos da el cuadrilátero.
Problema 4.2
Dada una de sus diagonales trazar un cuadrado
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LÍNEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Problema 4.4
Dada la diagonal menor o mayor y un lado, trazar un
rombo
Construcción
1. Sea AB la diagonal menor y AC el lado dado.
2. Con un radio igual al lado, se hace centro a cada extremo de la diagonal.
3. Éstos, al cortarse, nos dan dos puntos C y D y al unirlos obtenemos el rombo.
Problema 4.6
Dada la base mayor con el lado que forma un ángulo
agudo y el valor de dicho ángulo, trazar un trapecio rectangular
Construcción
1. Sea AL la base mayor, LM el lado y L el ángulo
agudo formado entre ambos lados.
2. Por el extremo A trazamos una perpendicular y por M
una paralela a la base mayor con un tamaño a discreción.
3. Al cortarse en S, éstas nos dan el tamaño exacto de
los dos lados desconocidos, obteniendo el trapecio.
Problema 4.5
Dadas sus dos diagonales y uno de sus ángulos que forman, trazar un paralelogramo
Construcción
1. Sean las diagonales SP y QR y el ángulo agudo los
datos dados.
2. Trazamos las diagonales con el ángulo agudo que forman por su parte media.
3. Unimos los extremos de las diagonales obteniendo la
figura buscada.
ACTIVIDADES Y PRÁCTICAS PARA EL TALLER
3.1
Cuaderno de trabajo
Lee detenidamente cada una de las preguntas, piensa, reflexiona y contesta correctamente, si no recuerdas lo que
se te pregunta, investiga en tu libro de dibujo o en otros libros.
1. ¿Qué entiendes por líneas perpendiculares entre sí?
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
2. ¿Consideras que es importante el conocimiento de la geometría para resolver un problema geométrico?
¿Por qué?
3. ¿Cuáles son las cuatro recomendaciones que se proponen para resolver un problema?
b).
c).
4. ¿Cuáles son los seis términos técnicos de mayor uso en un problema geométrico y cuál es su significado?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5. En el enunciado de un problema están implícitos dos elementos que nos indican:
2.6 Trisección de un ángulo recto.
a)
b)
1.8 Trazar una paralela a otra recta dada sin importar la distancia que las separe.
α)
b)
7. ¿Qué entiendes por arco de circunferencia?
8. ¿Cuál es el tamaño o dimensión con los que se tiene que dibujar una figura geométrica?
9. ¿Cómo trasladas medidas de líneas y ángulos?
10. ¿Qué ángulo forman dos líneas perpendiculares entre sí?
1 1 . ¿Cómo se llama a la abertura que hay entre las dos piernas del compás?
12. ¿Cómo se genera un ángulo?
1 3 . Dibuja y escribe las propiedades de los siguientes ángulos:
Agudo
Recto
Colineal
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LÍNEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
♦
♦
♦
♦
♦
Obtuso
Perígono
Complementario
Suplementario
Bisectriz
3.2 Usa tu imaginación y creatividad
Analiza, nombra y dibuja las formas geométricas de tu aula e identifica las líneas o planos que sean:
♦
♦
♦
♦
♦
♦
Paralelos
Perpendiculares
Inclinados
Ángulos rectos
Ángulos agudos
Otros
Dibuja a mano alzada la fachada de una iglesia o una catedral e identifica y dibuja separadamente las diferentes
formas geométricas que aparecen en ella, además, señala los ángulos que tienen integrados estas figuras geométricas.
3.3 Investigación
Investiga en una enciclopedia las características arquitectónicas, geométricas y técnicas de las pirámides construidas en el mundo y de qué manera colaboró el dibujo geométrico en su construcción.
♦
♦
♦
♦
Pirámides egipcias
Pirámides mexicanas
Pirámides del Perú
Otras
3.4 Prácticas para el taller de dibujo
Consultando la metodología, resolver los problemas geométricos y dibujarlos en hojas tamaño carta divididas en
cuatro partes, para ubicar en cada una un problema diferente; a su vez, darle espacio para los márgenes y los letreros
que identifiquen cada problema.
En su primera etapa, dibujar las láminas a lápiz y los letreros a mano libre.
En la segunda etapa, y después de haber sido aprobado el dibujo, elaborarlos a tinta china y rotularlos con
plantilla.
Construcción y trazo de
polígonos inscritos, estrellados
y con base a uno de sus lados
Objetivos
particulares
Al termino de la presente unidad, el alumno será capaz de:
Conocer y aplicar con efectividad la técnica de construcción y trazo de diferentes tipos de polígonos
regulares.
Objetivos
específicos
Conocer las bases de la geometría plana respecto a este tema.
Manejar con eficiencia los instrumentos para dibujo geométrico.
Comprender la metodología propuesta para la solución de los problemas geométricos de polígonos
regulares inscritos en una circunferencia, estrellados, y con base en uno de sus lados.
Trazar con eficiencia el dibujo de estos problemas geométricos.
Se apegará a las normas de higiene y seguridad del dibujo.
Conservar eficientemente sus instrumentos geométricos.
Introducción
Para la elaboración de las figuras geométricas pla­
nas llamadas polígonos hay varios métodos parti­
culares. Uno de ellos es a partir de una circunferen­
cia, que se divide de acuerdo a los lados que el
polígono regular requiere. En otro método, se deri­
va el polígono a partir de un solo lado conocido.
Además, existen métodos generales para obtener
polígonos de n lados.
Para resolver cada uno de estos casos se propo­
ne en este libro una metodología sencilla y rápida
que ayudará al estudiante a comprender y trazar este
tipo de problemas geométricos.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE POLÍGONOS INSCRITOS, ESTRELLADOS Y CON BASE A UNO DE SUS LADOS
Trazo de polígonos inscritos
b) Convexos. Cuando todos sus vértices están hacia
fuera.
Conceptos fundamentales
1. La palabra polígono significa "muchos ángulos" y con
ella se describen todas las figuras planas limitadas por
tres o más líneas rectas y tres o más ángulos.
2. Los hay de tres, cuatro, 15, 20 o 100 lados. Así hasta
llegar al que tiene un número tan grande de lados
que se convierte prácticamente en un círculo.
3. La línea que limita a un círculo se llama circunferencia.
4. Toda moneda o rueda es circular; su superficie está encerrada por una circunferencia formando un círculo.
5. La recta que pasa por el centro del círculo y une dos
puntos de la circunferencia se llama diámetro; si no
pasa por el centro del círculo se le llama cuerda y si
parte del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio.
c) Cerrados. Son aquellos en que ninguno de sus
vértices están abiertos.
Secante
d) Abiertos. En uno de sus vértices está abierto.
Diámetro
Cuerda
Arco
6. Los polígonos pueden ser:
a) Cóncavos. Son aquellos en que uno o más de sus
vértices están hacia adentro.
e) Regulares. Todos sus lados y ángulos son iguales.
C
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
/) Irregulares. Uno o más de sus lados y ángulos pueden ser diferentes.
Problemas geométricos de
división de circunferencias
Problema 5.1
Hallar el centro de una circunferencia dado un arco y su
radio*
Construcción
1. Si LM es el arco y SP el radio dado.
También pueden estar:
a) Inscritos: trazado dentro de la circunferencia. Cuando los vértices de un polígono están en una circunferencia se dice que ese polígono está inscrito.
b) Circunscritos: trazado alrededor de la circunferencia. Cuando la circunferencia está dentro del polígono.
2. Se hace centro en los puntos L y M, con un radio SP.
3. Se cortan los dos radios en un punto O, que es el
centro buscado.
Problema 5.2
Dado un círculo, trácelo con plantilla y encuentre el centro de éste.
1. Sea el círculo el dato dado.
2. Trace el diámetro AB en posición horizontal.
3. Haga centro en A y trace un arco de circunferencia
que pase por el centro.
4. Haga centro en B y trace otro arco de circunferencia
que pase por el centro y corte el otro arco en el punto
O que es el centro del círculo.
8. Los polígonos reciben su nombre de acuerdo al número de lados y ángulos que tienen y son: de tres,
triángulo; cuatro, cuadrado; cinco, pentágono; seis,
hexágono; siete, heptágono; ocho, octágono; nueve,
eneágono; diez, decágono, etcétera.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE POLÍGONOS INSCRITOS, ESTRELLADOS Y CON BASE A UNO DE SUS LADOS
Problema 5.3
Problema 5.5
Dado un círculo, inscribirle un triángulo
Dado un círculo inscríbale un pentágono
Construcción
1. Sea el círculo de centro O el dato dado.
2. Trace un diámetro AB en posición vertical.
3. Haga centro en A y trace un semicírculo que corte a
la circunferencia en SP.
4. Una los puntos B, S y P y obtendremos el triángulo
buscado.
Construcción
1. Trace un círculo de centro O.
2. Trace dos diámetros AB y CD perpendiculares.
3. Divida el radio DO a la mitad y obtendrá el punto F;
haga centro en F con un radio AF. Baje un arco que
cortará al radio CO en un punto G.
4. Con un radio AG y centro en A, suba un arco que
corte a la circunferencia en L.
5. Lleve consecutivamente sobre la circunferencia un radio AL, hasta completar el pentágono.
Problema 5.4
Inscribir un cuadrado a un círculo dado
Construcción
1. Dado el círculo de centro O.
2. Trácense dos diámetros perpendiculares entre sí: LM
y SP.
3. Una los cuatro extremos LM y SP y obtendrá el cuadrado buscado.
Problema 5.6
Dado un círculo, inscríbale un hexágono
Construcción
1. Sea el círculo de centro O el dato dado.
2. Abra su compás a la abertura del radio de ese círculo.
3. Trace sobre la circunferencia seis veces el arco del radio del compás, iniciándolo en el lugar que más le
convenga.
4. Una los puntos y obtendrá un hexágono.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Problema 5.8
Dado un círculo, inscríbale un heptágono
Construcción
1. Sea el círculo del centro O el dato dado.
2. Se traza un diámetro LM.
3. Haciendo centro en L y con un radio OM, se traza
un arco que corta a la circunferencia en dos puntos
RQ; los unimos con una recta que cortará el diámetro en A.
4. La distancia de AR o AQ es la séptima parte del
heptágono buscado, descríbalo siete veces y una los
puntos dados y obtendremos la figura.
Problema 5.7
Segundo método del problema anterior
Construcción
1. Sea el círculo del centro O el dato dado.
2. Trace un diámetro LM.
3. Haga centro en L y M, y con un radio LO y MO
trace dos semicircunferencias; corte a la circunferencia en S y P y Q y T.
Problema 5.9
Dado un círculo, inscríbale un octágono
Construcción
1. Sea el círculo de centro O el dato dado.
2. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí LM
y SP.
3. Trazamos bisectrices a los cuatro ángulos rectos formados.
4. Una los puntos L y M, S y P y Q y T, dándonos un
hexágono.
4. La circunferencia queda dividida en ocho partes; al
unirse las puntas que la dividen, se obtiene el octágono buscado.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE POLÍGONOS INSCRITOS, ESTRELLADOS Y CON BASE A UNO DE SUS LADOS
Problema 5.11
Dado un círculo, inscríbale un dodecágono
Construcción
1. Sea el círculo de centro O el dato dado.
2. Trace dos diámetros perpendiculares entre sí AB y LM.
3. Haga centro en cada uno de los extremos A, B, L y
M, de los diámetros trazando cuatro semicircunferencias.
4. Una todos los puntos obtenidos con los arcos y los
diámetros y obtendrá el dodecágono buscado.
Problema 5.10
Dado un círculo, inscríbale un decágono.
Construcción
1. Sea el círculo de centro O el dato dado.
2. Trace dos diámetros AB y CD perpendiculares entre sí.
3. Escriba un punto L en el centro del radio OB, y haga
centro en L con un radio LC.
4. Baje un arco que corte el diámetro en M. Tome un
radio MO, trácelo sobre la circunferencia en forma
sucesiva. Al unirse le dará un decágono.
Problema 5.12
Método general para trazar un polígono de cualquier número de lados, inscrito a un círculo eneágono.
Construcción
1. Sea el círculo de centro O el dato dado.
2. Trace dos diámetros LM y SP perpendiculares entre sí, la horizontal LM divídala en el número de lados que quiera que tenga el polígono (nueve).
3. Prolongue en la parte superior del diámetro vertical
tres partes, correspondientes a las divisiones del otro
diámetro LM.
4. Describa una línea que parta del extremo del lado
prolongado y pase por la división dos hasta cortar a
la circunferencia en A.
5. La distancia AL es el lado del polígono buscado; llevándolo nueve veces en forma sucesiva.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
NOTA: Este método es aproximado pues no hay uno general para
resolver con exactitud estos problemas.
representan décimas de milímetro que al irse repitiendo llegarán a tener una medida de consideración.
Polígonos estrellados
Problema 5.13
Trazar un polígono de trece lados
Reciben este nombre porque al unir los vértices de un
polígono con cierta relación obtenemos una figura en forma estrellada. Su uso puede ser decorativo; en jardinería,
en aspectos arquitectónicos, etc. Haremos algunos ejercicios explicando esa relación, señalaremos los datos de la
relación de los vértices, en otros polígonos.
Construcción
1. Sea el círculo de centro O el dato dado.
2. Siga los mismos pasos ya antes mencionados, con la
diferencia que el diámetro LM horizontal lo dividimos en 13 lados o sea:
3. Se prolongan las tres partes en el diámetro SP, de ahí
trazamos una línea que pase por la división 2 y corte a
la circunferencia en A (se hace en todos los casos).
4. Lleve la resultante AL 13 veces y tendrá el polígono
buscado.
NOTA: Es recomendable tener cuidado de que al dividirse en las
partes correspondientes, sea exacto en el trazo con el compás, pues
hasta una décima de milímetro influye en el resultado.
Cuide siempre las puntas del compás que tengan la
misma longitud.
Dé a la punta de carbón un afilado muy fino para que
no trace líneas apelusadas; busque el centro de cada arco
de circunferencia en cada trazo del compás, porque éstos
Problema 5.14
Hacer el estrellado de un octágono
Construcción
1. Sea el círculo de centro O el dato dado, de acuerdo
con el tamaño que se quiere.
2. De acuerdo con los pasos antes explicados, divida al
círculo en ocho partes iguales.
3. Si se va ocupar solamente el estrellado no hay necesidad de hacer el polígono.
4. El octágono presenta un estrellado; para formarlo una
cada vértice, de tres en tres.
5. Del vértice de inicio uno, cuente tres veces a la derecha y únalo con una recta al número 4, luego siga
contando de tres en tres y una cada uno de los puntos del octágono hasta formar el estrellado de ocho
puntos.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE POLÍGONOS INSCRITOS, ESTRELLADOS Y CON BASE A UNO DE SUS LADOS
Problema 5.17
En el eneágono se hace el estrellado uniendo cada vez de
dos en dos y de cuatro en cuatro.
Problema 5.15
El estrellado del pentágono se hará uniendo cada vértice
de dos en dos hacia la izquierda y luego hacia la derecha.
Problema 5.18
En el decágono se hace el estrellado uniendo cada vez de
tres en tres. En el pentadecágono se hace el estrellado
uniendo cada vez de dos en dos, de cuatro en cuatro y de
siete en siete (hacer el estrellado).
NOTA: En todos los casos, al unir los vértices, se hace manteniendo
el mismo sentido de rotación.
Problema 5.16
En el heptágono se hace el estrellado uniendo de dos en
dos y de tres en tres.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Trazo de polígonos
conociendo uno
de sus lados
3. Trace la circunferencia con el radio OL.
4. Con ese radio lleve en forma consecutiva el trazo de
arcos que corten a la circunferencia, obteniendo el
hexágono buscado.
En este caso los conceptos geométricos del capítulo anterior competen a éste. El triángulo y el cuadrado no se
desarrollarán en este capítulo porque ya están incluidos
en otros capítulos.
Problema 6.1
Dado un lado, trazar un pentágono regular
Construcción
1. Sea LM el lado dado.
2. Se busca el centro R de LM y se prolonga por M el
lado dado, se trazan dos perpendiculares a discreción
por el punto M y R.
3.
Se hace centro en M y con un radio LM, se traza un
arco que corta la perpendicular de M en el punto A,
haciendo centro en R y con un radio RA baje un
arco que corte a la prolongación de LM en el punto
β.
4.
5.
Con un radio LB y con centro en L, describa un arco
que corte a la perpendicular levantada por R en el
πunto D.
Con un radio LM, haga centro en D, L, M y trace
arcos que se corten en dos puntos E y G, únalos y
tendrá el pentágono buscado.
Problema 6.3
Segundo procedimiento al problema anterior
Construcción
1. Sea LM el lado dado.
2. Haciendo centro en L y M con un radio igual a LM,
se trazan arcos prolongados a un poco menos que
una semicircunferencia, cortándose en el punto N.
3. Con el mismo radio de LM se hace centro en N y se
trazan dos arcos que corten a la prolongación de la
semicircunferencia en RQ.
4. Haciendo centro en R y N, Q y N se trazan otros arcos, obteniendo los puntos S y T.
Unimos los seis puntos y tenemos el hexágono buscado.
Problema 6.2
Dado un lado, trazar un hexágono regular
Construcción
1. Sea LM el lado dado.
2. Haciendo centro en L y M trace dos arcos que al cortarse nos dan un punto O, que es el centro de la circunferencia.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE POLÍGONOS INSCRITOS, ESTRELLADOS Y CON BASE A UNO DE SUS LADOS
Problema 6.4
Dado un lado, trazar un heptágono regular
Construcción
1. Sea LM el lado dado.
2. Por el punto medio y el extremo M trazamos dos perpendiculares y con una inclinación de 30° trazamos
una recta que parte por L y corta la perpendicular del
extremo M, en el punto A.
3. Con centro en L y con un radio LA describimos un
arco que corta en O la perpendicular (que pasa por el
centro).
4. Haciendo centro en O y con un radio LO, tracemos
una circunferencia que contendrá siete veces el lado
dado, se obtendrá así el heptágono buscado.
Problema 6.6
Dado un lado, trazar un eneágono regular
Construcción
1. Sea LM el lado dado.
2. Tracemos una perpendicular al centro de LM; haremos centro en M y con un radio igual a LM, levantemos un arco que corte la perpendicular en Q.
ZM
3. Con una recta uniremos QM y le trazaremos una perpendicular que la divida en dos partes; haciendo centro en Q y con un radio QS levantaremos un arco que
corte en O la perpendicular.
4. Con un radio OL tracemos una circunferencia que contendrá nueve veces el lado dado.
Problema 6.5
Dado un lado, trazar un octágono regular
Construcción
1. Sea LM el lado dado.
2. Tracemos dos perpendiculares por el extremo M y el
centro de LM indefinidos; prolonguemos LM con
una línea punteada, por el extremo M.
3. Tracemos la bisectriz del ángulo recto formado, S, M,
R, y sobre la bisectriz, describiremos la longitud de
ese lado, llamándolo MB.
4. Por MB tracemos otra mediatriz que corte en O la
perpendicular central.
5. Con un radio LO y haciendo centro en O, tracemos
una circunferencia sobre la cual construiremos, al llevar
en forma sucesiva, el lado LM del octágono buscado.
Uniremos y obtendremos el eneágono buscado.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Problema 6.7
Dado un lado, trazar un decágono regular
5. Con un radio OM y centro en O, tracemos una circunferencia que contendrá 12 veces el lado buscado,
obteniendo el polígono de 12 lados iguales.
Construcción
1. Sea LM el lado dado.
2. Por la parte media B y el extremo L, tracemos dos
perpendiculares y prolonguemos el extremo L.
3. Haciendo centro en L y con un radio LM tracemos
un arco que corte la perpendicular del extremo en C;
ahora con centro en B y en BC como radio, bajemos
un arco que corte la prolongación en F.
4. Con centro en M y un radio MF, levantaremos un
arco que corte la perpendicular central en O.
5. Haciendo centro en O y un radio OM, tracemos una
circunferencia que contendrá diez veces el lado dado.
6. Uniendo los cortes de los arcos con la circunferencia
obtendremos el decágono buscado.
Primer método general
para trazar cualquier
polígono regular
Este método es muy práctico y su desarrollo es sencillo;
como se dijo antes, sus resultados son aproximados; en
algunos casos, si se hace con detenimiento, puede dar un
resultado exacto.
Problema 6.9
Por el primer método general, trazar un polígono de 13
lados
Construcción
1. Sea LM el lado dado.
Problema 6.8
Dado un lado, trazar un dodecágono regular
Construcción
1. Sea LM el lado dado.
2. Por el centro S de LM tracemos una perpendicular a
discreción.
3. Con un radio LM y centro en L, tracemos un arco que
corte la perpendicular en Q.
4. Haciendo centro en Q y con radio QL, levantemos un
arco que corte en O la perpendicular.
2. Con radio LM y centro en L y M, tracemos dos arcos
que se corten en Q y P.
3. Unimos con una recta QM y la dividimos en seis partes iguales.
4. Sobre el punto Q llevemos siete partes iguales, dándonos el punto O.
5. Con centro en O y radio OL tracemos una circunferencia, donde pueda contener a LM trece veces y obteniendo al trazarlo un polígono de trece lados.
NOTA: El número de partes iguales que van de arriba hacia abajo
depende de una relación aritmética muy sencilla.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE POLÍGONOS INSCRITOS, ESTRELLADOS Y CON BASE A UNO DE SUS LADOS
Número de lados del polígono, menos seis nos da las partes que van de Q hacia arriba o hacia abajo.
Ejemplo 1. Polígono de 16 lados, entonces es igual 16-6
= 10 partes hacia arriba por ser positivo.
Ejemplo 2. Polígono de cinco lados, entonces es igual 5 6 = -1 partes que se cuenta hacia abajo por ser negativo.
Para conocer el ángulo opuesto del lado LM dado, y
la base del triángulo isósceles, basta dividir 360 entre el
número de lados.
Para saber el valor de los dos ángulos (iguales) hasta
conocer el ángulo opuesto y con la suma de los otros dos
dará 180°.
Ejemplo: Dado un lado LM, trazar un hexágono.
a) Valor del ángulo opuesto:
360° / 6 = 60°.
b) Valor de los ángulos adyacentes:
60° / 180° = 120°
120° / 2 = 60°.
Con estos valores fácilmente podemos dar los pasos
para la construcción del hexágono buscado.
Construcción
1. Sea LM el lado dado.
2. Se le trazan dos ángulos adyacentes de 60° al lado
LM.
3. Partiendo por L y M pasando por la abertura de 60°
se trazan dos rectas que se cortan en un punto O,
centro de la circunferencia.
4. Sobre la circunferencia trazada llevamos seis veces el
lado dado.
5. Unimos y obtenemos el polígono regular buscado.
Problema 6.10
Segundo método general para trazar cualquier polígono
regular, dando el lado
Este método es también muy práctico y sencillo. Antes de
empezar a trazar el polígono se requiere el desarrollo de
algunos procedimientos geométricos.
Sabemos que un polígono regular al unir uno de sus
lados con el centro, nos da un triángulo isósceles (con excepción del hexágono, ya que el triángulo obtenido es
equilátero), que tiene dos lados y sus ángulos adyacentes
son iguales.
Problema 6.11
Tercer método general para trazar cualquier polígono, dado
el lado (heptágono)
Construcción
M
1. Dado el lado LM, trazar un polígono regular de siete
lados (auxilíese del transportador).
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
2. Trazamos el lado LM y lo prolongamos por M, con
líneas punteadas.
3. Con un ángulo de 360 / 7= 51° 42' trazamos el lado
MP, con respecto al tamaño del lado prolongado.
4. Por el centro del lado LM y MP describimos dos
perpendiculares las que al prolongarse se cortan en
O, centro de la circunferencia.
5. Con OM de radio trazamos la circunferencia que contiene el heptágono buscado.
en posición vertical SP, dividiéndolo en partes iguales de acuerdo al número de lados que se quiere el
polígono
3. Con centro en P y radio SP, trazamos un arco que al
prolongarlo corte a la prolongación del eje horizontal
en el punto R.
4. Describimos una recta que parta de R y pase por la
división número 2 hasta tocar a la circunferencia en
el punto Q.
5. El arco QS lo llevamos en forma consecuente sobre
la circunferencia. Al unir las divisiones nos dará el polígono de 11 lados buscado.
NOTA: La división del diámetro SP tiene un pequeño error.
Problema 6.12
Cuarto método general para trazar cualquier polígono de
11 lados
Construcción
1. Sea O el centro de la circunferencia dada.
2. Trazamos un diámetro horizontal LM y lo prolongamos por la derecha y a su vez trazamos otro diámetro
ACTIVIDADES Y PRÁCTICAS PARA EL TALLER
4.1
Cuaderno de trabajo
Lee detenidamente cada una de las preguntas, piensa, reflexiona y contesta correctamente, si no recuerdas lo que
se te pregunta, investiga en tu libro de dibujo o en otros libros.
1.
2.
3.
4.
5.
¿Qué entiendes por polígonos?
¿Cuáles son los polígonos regulares?
¿Cuáles son los polígonos irregulares?
¿Cuáles son las propiedades del dodecágono?
Explica el significado del enunciado de los siguientes problemas:
5.5 Dado un círculo, inscríbale un pentágono.
a)
b)
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE POLÍGONOS INSCRITOS, ESTRELLADOS Y CON BASE A UNO DE SUS LADOS
6.5 Dado un lado, trazar un octágono regular.
a)
b)
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
¿Qué entiendes por radio de compás?
¿Qué entiendes por segmento de arco de circunferencia?
En un polígono, la suma de todos los ángulos interiores es igual a
¿A cuántos radios equivale un diámetro?
¿A qué le llamamos segmento circular?
¿Es lo mismo círculo que circunferencia? Explíquelo.
Explique cuándo una recta es tangente a una circunferencia.
.
4.2 Usa tu imaginación y creatividad
Busca diferentes piezas mecánicas, analiza sus partes e identifica qué formas geométricas encuentras. Dibújalas
anotando abajo de cada una de ellas su nombre de acuerdo a su forma geométrica.
4.3
Investigación
♦ Investiga el origen de la rueda, del tornillo y de las tuercas.
♦ Investiga y dibuja piezas mecánicas que tienen caras poligonales.
♦ Una transmisión de un coche es una máquina con muchos engranes, visita un taller, dibuja los engranes e
identifica su forma y número de lados con el polígono que le dio origen.
6.4 Prácticas para el taller de dibujo
Consultando la metodología, resolver los problemas geométricos y dibujarlos en hojas tamaño carta divididas en
cuatro partes, para ubicar en cada una un problema diferente; a su vez, darle espacio para los márgenes y los
letreros que identifiquen cada problema.
Es su primera etapa, dibujar las láminas a lápiz y los letreros a mano libre.
En la segunda etapa, y después de haber sido aprobado el dibujo, elaborarlos a tinta china y rotularlos con
plantilla.
Construcción y trazo de circunferencias
tangentes entre sí, empalme de líneas
rectas y curvas, trazo de cónicas y curvas
planas, cerradas y abiertas
Objetivos
particulares
Al término de la presente unidad, el alumno será capaz de:
Conocer y aplicar con efectividad la técnica de construcción y trazo de circunferencias tangentes
entre sí y empalme de rectas y curvas.
Conocer y aplicar con efectividad la técnica de construcción y trazo de diferentes cónicas y curvas
planas, cerradas y abiertas.
Objetivos
específicos
Conocer las bases de la geometría plana respecto a este tema.
Manejar con eficiencia los instrumentos de dibujo geométrico.
Comprender la metodología propuesta para la solución de los problemas geométricos de circunfe­
rencias que son tangentes entre sí, empalme de rectas y curvas, trazo de cónicas y curvas planas,
cerradas y abiertas.
Trazar con eficiencia el dibujo de estos problemas geométricos.
Apegarse a las normas de higiene y seguridad del dibujo.
Conservar eficientemente sus instrumentos de dibujo.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LINEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.
Circunferencias y rectas
tangentes entre sí
1. Cuando dos rectas se cortan forman un solo punto
de corte.
Problemas geométricos
de circunferencias
tangentes a rectas
Problema 7.1
Hacer que una circunferencia sea tangente a una recta
MN, en el punto S, y además pase por un punto L situado
fuera de ella
Construcción
1. Sea MN la recta dada.
2. Si se cruzan dos rectas una pasa sobre la otra.
2. Por el punto S trace una perpendicular a MN, y únalo también con una recta al punto L.
3. Por el punto medio de SL describa una perpendicular que al prolongarse corte a la otra (perpendicular)
en un punto O.
4. Con un centro en O y radio OS trazamos la circunferencia que será tangente a MN, y contiene al punto L.
3. Cuando dos líneas se tocan en un punto se dice que
una es tangente respecto a la otra.
Problema 7.2
Hacer que una circunferencia de radio conocido sea tangente a una recta dada MN, y que contenga al punto S
fuera de la recta
Construcción
4. Cuando dos líneas rectas o curvas se cortan o son
tangentes se representan por un punto.
1. Sea MN la recta dada.
2. Trazamos otra recta paralela a MN separada por la
distancia del radio conocido.
3. Haciendo centro en el punto S, fuera de la recta y
con el mismo radio dado, trace un arco que corte a la
paralela en O.
4. Con el radio dado y con el centro en O, trace una
circunferencia cuya tangencia con MN se determina
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
bajando de O una recta perpendicular a MN, y contiene al punto S.
4. Con centro en O y con un arco OM tracemos la circunferencia buscada, que será tangente y contiene al
punto.
Problema 7.3
Por un punto cualquiera de una circunferencia, hacer pasar una recta tangente
Construcción
1. Sea M el punto dado en la circunferencia de centro O.
2. Haciendo centro en My con radio MO trace un arco,
éste cortará a la circunferencia en el punto L.
3. Haciendo centro en L y con radio LM se traza un
arco que corta en S a la recta que pasa por O y L.
4. Tracemos por MS una recta, que será la tangente
que buscamos.
Problema 7.5
Trazar dos rectas tangentes a una circunferencia y que
partan de un punto dado fuera de una circunferencia
Construcción
1. Sea P el punto fuera de la circunferencia de centro O.
2. Se unen P y O con una recta.
3. A la mitad de esa recta ubicamos Q.
4. Haciendo centro en Q y un radio QO trace un arco
que corte a la circunferencia en A y A, punto de
tangencia de las rectas.
Problema 7.4
Hacer que una circunferencia sea tangente en M a una
recta y que pase por un punto dado L, fuera de la recta
Construcción
1. Sea SP la recta dada y M el punto de tangencia y L
el punto fuera de la recta.
2. Tracemos una perpendicular que parta por M y unamos este mismo punto con L, con una recta.
3. Le trazamos una perpendicular a ML que partirá la
anterior en un punto O.
Problema 7.6
Trazar una circunferencia de radio conocido en forma tangente a un ángulo dado
Construcción
1. Sea L, M, N el ángulo dado y la circunferencia de
radio igual a 1 cm.
2. De acuerdo a la dimensión del radio, con esa separación, tracemos rectas paralelas a cada uno de los lados del ángulo.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LÍNEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.
3. Éstas se cortan en un punto O, centro de la circunferencia.
4. Partiendo por O, tracemos perpendiculares a los lados LM y MN; puntos de tangencia: S y S', al trazar
la circunferencia.
2. A cada uno de los ángulos del triángulo equilátero se
le trazan bisectrices que se cortan en O, centro de la
circunferencia tangente al triángulo dado.
3. Las rectas que partan de O, en forma perpendicular a
cada uno de los lados del triángulo, nos dan el punto
de tangencia A, B, C.
Problema 7.7
Dado el punto de tangencia en un ángulo, trazarle una
circunferencia que pase por ese punto
Construcción
1. Sea el ángulo L, M, N y B el punto de tangencia.
2. Trace la bisectriz del ángulo y levante una perpendicular del punto de tangencia.
Problema 7.9
Dadas dos circunferencias, trazarle dos rectas tangentes a
ambas
Construcción
3. Éstos se cortan en un punto O, centro de la circunferencia.
1. Sean O y O' los centros de las dos circunferencias
dadas.
4. Con un radio BO y centro en O tracemos la circunferencia tangente buscada al ángulo en el punto B y B'.
2. Se unen los dos centros por una recta y por el centro
L de la misma y con un radio LO tracemos un arco.
3. Con el radio de la circunferencia de O' se hace centro
en O y se traza un arco que se cortará en el anterior
en los puntos A y A'.
4. Dos rectas que pasen por OA y OA' nos darán los
puntos F y F' de tangencia.
5. Por el punto O' tracemos dos paralelas a las rectas
OF y OF' encontrando los puntos de tangencia R y
R'. Unimos F y R y F' y R' y obtenemos las dos rectas
tangentes buscadas.
Problema 7.8
A un triángulo, trazarle una circunferencia tangente
Construcción
1. Sea M, N, S el triángulo dado.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Problema 7.10
Trazar dos rectas tangentes interiores a dos circunferencias dadas.
Construcción
1. Sea O y O' los centros de las dos circunferencias dadas.
Construcción
1. Sea O el centro de la circunferencia dada, y i? el punto de tangencia (que será tangente a la primera) y
que contenga al punto M.
2.
Se une OR con una recta que se prolonga a discreción.
3. También se une R y M y se traza una perpendicular
que, al prolongarse, se corta con OR, en O', centro
de la circunferencia buscada.
2. Se unen los dos centros por una recta y por el centro
L de la misma y con un radio LO se trazará un arco
indefinido que se corte en M y M' con otro arco de
centro O y radio OS.
3. El punto S lo encontraremos llevando el radio de la
circunferencia chica al punto de corte B de la circunferencia grande y la línea que los une.
4.
Unimos con rectas los puntos OM y nos darán dos
puntos de tangencia G y G'.
5. Tracemos por O' dos paralelas OH y O'H'a las otras
dos rectas de tangencia OG y O' G'. Uniremos con
rectas, que serán tangentes en los puntos encontrados y que pasen por el interior.
Problema 8.2
Por un punto S de circunferencia, trace otra circunferencia tangente de radio conocido
Construcción
1. Sea O el centro de la circunferencia y S el punto dado
de tangencia.
Circunferencias
tangentes entre sí
Problema 8.1
Trazar una circunferencia tangente a otra por el punto R y
que además contenga al punto M
2.
Una con una recta a OS prolongándola a discreción.
3.
Con el radio de la otra circunferencia y centro en S,
trace sobre la prolongación de OS el centro O' , con
el radio dado.
4.
Trace la circunferencia de centro O' buscado.
Problema 8.3
Dadas dos circunferencias, trazarle otras dos tangentes
entre sí
Construcción
1. Sea O1 y O2 el centro de las dos circunferencias dadas, N y N' dos puntos de referencia.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LÍNEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.
2.
3.
4.
Unimos O1 y N, y O2 y N' con rectas prolongadas a
discreción, llevándonos sobre cada una de las rectas
(con centro en N y N') a una distancia igual a su radio, indicando con los puntos de corte, R y R'.
Con centro en O1 y O2 y arcos O1 R y O2 R' se trazan
arcos que se cortan en O7 y O8, centro de las dos circunferencias buscadas.
Unimos los cuatro centros entre sí con rectas que cortan
las circunferencias en el punto de tangencia 1, 2, 3, 4.
Problema 8.5
Trazar dos circunferencias tangentes de radío conocido, a
una circunferencia de centro O, siendo N punto de tangencia
Construcción
1. Sea 2 cm el radio de las dos circunferencias y N el
punto de tangencia a la circunferencia de centro O.
2.
Por el punto O y N trazamos una recta.
3.
Haciendo centro en O' y O" y con el mismo radio
trazamos las dos circunferencias tangentes a la recta
LM.
4.
Con los radios dados trazamos las circunferencias tangentes en el punto N.
Problema 8.6
Problema 8.4
Trazar dos circunferencias tangentes a la recta ML en el
punto S, conociendo el radio de las circunferencias
Construcción
1. Sea S el punto de contacto y ML la recta dada y el
radio conocido de las dos circunferencias de 2 cm.
2.
Por el punto S trazamos una perpendicular LM y haciendo centro en el mismo punto, describimos una
circunferencia con radio de 2 cm.
3.
La circunferencia se corta con la perpendicular en los
puntos O y O', centros de las dos circunferencias buscadas. Al trazarlas se encuentran en el punto de tangencia.
Trazar dos circunferencias tangentes a una recta dada, de
radio conocido y que pasen por el punto N.
Construcción
1. Sea 2 cm el radio de las circunferencias por trazar;
LM la recta tangente a ellas y N el punto dado.
2. A una distancia del radio dado, trazamos una paralela a LM, haciendo centro en N y con un radio de 2
cm describimos una circunferencia auxiliar que corta
a la paralela en O y O'.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Problema 8.7
2. Pasando por P una recta que corte a LM en B, sobre
Dada una circunferencia, trazarle dos o más circunferencias tangentes y del mismo radio y que pasen por el punto
L exterior a la circunferencia dada
3. Por D1 y D2 levantamos perpendiculares a LM, al án-
Construcción
1. Sea O el centro de la circunferencia y Tl y T2, T3 y T4
sus puntos de tangencia con las demás circunferencias de radio de 2 cm y que pasan por el punto L.
LM, llevamos la distancia PB a la izquierda y derecha con los puntos D y D'.
gulo formado en B le trazamos sus bisectrices, que se
cortan con las rectas perpendiculares en dos puntos
O y O'.
4. Con centro en O y O' trazamos las circunferencias de
radio OD y OD', que son tangentes entre sí en P y a la
recta en D y D'.
2. Unimos con una recta OL, hacemos centro en L y
con un radio de 1.5 cm trazamos una circunferencia
auxiliar.
3. Con un radio igual a la suma del radio dado 7 mm +
1.5 mm = 22 mm, más el de la circunferencia dada
haciendo centro en O trazamos un arco, que corta a
la circunferencia auxiliar en C1 y C2
4. Haciendo centro en O pero con la diferencia del radio dado menos el de la circunferencia dada 2 + 1
cm trazamos otro arco que corta a la circunferencia
auxiliar en C3 y C4.
5. Los puntos C1 C2, C3 y C4 son los centros de las cuatro circunferencias tangentes buscadas, que al unirlos
con el centro O nos dan los cuatro puntos de tangencia.
NOTA: Este problema tiene cuatro soluciones como máximo.
Problema 8.9
Trazar cuatro circunferencias de radio conociendo tangentes a una recta y otra circunferencia dada
Construcción
1. Sea LM la recta dada y O7 el centro de la circunferencia y el radio de las circunferencias.
2. Tracemos dos paralelas a LM a la distancia del radio
dado, más el de la circunferencia tangente R = 2 +
2.5 = 4.5 cm y haciendo centro en O describimos un
arco de circunferencia que corta a la paralela en O1
02, 0 3 , 0 4 .
3. Con los centros de circunferencias antes encontrados,
trazamos cuatro circunferencias tangentes a la circunferencia dada.
4. Unimos con una recta a O7 con sus puntos de
tangencia T1 T2, T3 y T4 hacia adentro llevamos un
arco de radio igual al dado, que al cortarse con la
recta nos da los otros dos centros O5 y O6 de circunferencias tangentes.
Problema 8.8
Trazar circunferencias tangentes en el punto P y a la vez
tangentes a una recta
Construcción
1. Si LM es la recta dada y P el punto de tangencia de
las dos circunferencias.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LÍNEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.
Problema 8.10
A dos rectas concurrentes trazarles dos o más circunferencias tangentes
Construcción
1. Sea LM y NP las dos rectas concurrentes.
2. Trazamos su bisectriz y por el punto Q levantamos
una perpendicular que corta en O1 a la bisectriz.
3. Con centro y arco O1Q trazamos la circunferencia tangente, que corta a la bisectriz en B.
4. De B bajamos una perpendicular a la bisectriz que
corta LM en C.
5. Con un radio BC y haciendo centro en C llevamos
un arco que corta a LM en D, de ahí levantamos una
recta perpendicular cortando a la bisectriz en O2, centro de la circunferencia siguiente; al trazarla será tangente a las rectas y a la otra circunferencia.
Problema 8.12
Trazar cuatro circunferencias y tres rectas tangentes entre sí
Construcción
1. Sea AB, CD y LM las tres rectas que al cortarse
forman un triángulo equilátero y O1, O 2 , O3 y O4 los
centros de las circunferencias buscadas que ubicamos
próximos a las rectas, esto es, a criterio del dibujante.
2. Por el método ya explicado se encuentran la circunferencia tangente al triángulo interior (problema 7.8).
3. Se saca la bisectriz de cada ángulo del triángulo central
y se prolongan hasta que se corten en un punto centro
de cada una de las circunferencias O2, O3, O4.
4. Se trazan las cuatro circunferencias tangentes, buscando el punto de tangencia por el procedimiento antes explicado.
6. Estos mismos pasos se siguen repitiendo de acuerdo
al número de circunferencias que se quieran.
Problema 8.11
Trazar cuatro circunferencias de radio conocido tangentes
a dos rectas
Construcción
1. Sea AB y CD las dos rectas que se cortan en M y 1
cm el radio de las circunferencias.
2. Se le trazan dos rectas paralelas, una de cada lado,
con la distancia del radio dado a las rectas AB y CD.
3. Estas se cortan en cuatro puntos que son O1 O2, O3,
O4, centros de las circunferencias tangentes buscadas.
NOTA: El punto de tangencia se encuentra haciendo pasar una escuadra por el centro de la circunferencia, adaptando su base a la
posición de la recta.
M
Problema 8.13
Dada una circunferencia, trazarle tres circunferencias tangentes entre sí
Construcción
1. Sea O el centro de la circunferencia dada.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
2. Se traza un triángulo LST inscrito a la circunferencia
de acuerdo al método ya explicado.
3. Se hace centro en cada uno de los vértices de LST,
con un radio igual a la distancia LO, se trazan las tres
circunferencias tangentes entre sí en M, M' y N.
4. Haciendo pasar una recta por O y L, O y S y O yT
hasta tocar la circunferencia exterior y sus puntos de
tangencia.
5. Con un radio OP trazamos la circunferencia exterior
que será tangente a las circunferencias interiores en P,
Q y R.
Problema 8.15
Trazar tres circunferencias entre sí centradas en los vértices de un triángulo dado
Construcción
1. Sea LMN el triángulo dado.
2. Trazando las bisectrices de los tres ángulos, encontramos el incentro / del triángulo.
3. Trazando perpendiculares que pasen por el incentro
de cada uno de los lados encontramos los radios de
cada una de las circunferencias.
Problema 8.14
4. Con radios 1L, 2M, 3N y centro en cada vértice del
triángulo trazamos las tres circunferencias tangentes
en 1,2, 3.
Dada una circunferencia trazarle seis circunferencias tangentes entre sí
Construcción
1. Sea O el centro de la circunferencia dada.
2. El procedimiento es el mismo sólo que en vez de un
triángulo inscrito se traza un hexágono de acuerdo al
método ya explicado.
3. Si se quiere el trazo de seis circunferencias, entonces
la figura buscada es un dodecágono.
4. Se trazan seis líneas que partan del centro O y pasen
por cada vértice del hexágono. Dichos puntos serán
el centro de las seis circunferencias.
5. Se trazan las seis circunferencias.
6. Se prolongan las seis líneas que parten del centro O
hasta tocar las seis circunferencias.
7. Con un radio OA se traza otra circunferencia tangente a las seis circunferencias internas en los puntos A,
B, C, D, E y F.
Empalme de dos
rectas por arcos
de circunferencia
El concepto de empalme o enlace se entiende como: el
punto en donde se embonan o se unen una recta y una
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LÍNEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.
curva, conociendo perfectamente ambas líneas. El uso de
los empalmes o enlaces es muy común en el trazo del
dibujo industrial.
Vamos a presentarlo de la manera más simple posible, bajo su aspecto meramente gráfico y de más aplicación, en los ejemplos se podrá observar el caso de
tangencia en que se fundamenta.
3. Haciendo centro en E y £' y con el mismo radio, trazamos dos arcos que al cortarse nos dan el centro O
del arco de empalme.
Problemas geométricos
de empalme de rectas
Problema 9.1
Empalme de dos rectas por medio de una semicircunferencia en los puntos MM'.
Construcción
1. Sea LM y SP las dos rectas paralelas y M1 y M2 los
puntos de empalme.
2. Se traza una línea perpendicular a la recta que une a
M1 y M2.
3. A dicha perpendicular se le traza una mediatriz.
4. El punto de cada corte de las dos rectas será el centro
de la semicircunferencia.
Problema 9.3
Empalme de dos rectas paralelas por arcos iguales e inversos, conociendo su punto de empalme
Construcción
1. Sea MB y CD las dos rectas paralelas y A y A' los
puntos de empalme.
2. Se unen los puntos de empalme con una recta y en
su parte intermedia ubicamos el punto L.
3. Trazamos una perpendicular a cada recta en los puntos de tangencia A y A', y otras dos perpendiculares
de cada parte media de la recta AL y LA'.
4. Al prolongarse las perpendiculares nos dan el centro
de las circunferencias O1 y O2 que al trazarse sus arcos se enlazan perfectamente.
5. Se traza la semicircunferencia que empalmará a las
dos rectas en los puntos M1 y M2.
Problema 9.2
Empalme de dos rectas perpendiculares por un arco de
radio dado
Construcción
1. Sean AB y BC las dos rectas perpendiculares y el
radio del arco de empalme de 2 cm.
2. Haciendo centro en B trazamos un arco que corta a
las rectas en E y E'.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Problema 9.4
Problema 9.6
Empalme por dos rectas convergentes por un arco de radio dado
Empalme de varios arcos de circunferencia al extremo de
una recta
Construcción
1. Sea LM y SP las dos rectas convergentes.
2. Se le traza una recta paralela a cada recta dada, a
una distancia igual al radio del arco (1 cm).
3. Estas paralelas al cortarse nos dan el centro O del
arco de enlace, al trazarlo determinamos también los
punto M y P donde se enlazan.
Construcción
1. Sea ST la recta dada.
2. Por su punto medio L se levanta una perpendicular.
3. Haciendo centro sobre ella y con un radio igual a la
distancia del centro al extremo, sobre el cual van a
partir los arcos de circunferencia, se trazan el empalme de la recta con el arco de circunferencia.
4. Este proceso se repite las veces que se requiera y con
el radio de cada arco.
Problema 9.5
Empalme de dos rectas paralelas por dos arcos de circunferencia de radios diferentes pero en el mismo sentido
Construcción
1. Sea LM y SP las dos rectas paralelas.
2. Se unen por una recta los dos puntos T y T' que se quieren de enlace y en el punto medio ubicamos el punto A.
3. A cada uno de los puntos de tangencia se le prolonga
una distancia TA; sobre cada una de las rectas dadas
se unen esos extremos con una recta punteada, formándose dos ángulos.
4. Dichos ángulos los bisectamos y por cada punto de
tangencia trazamos una perpendicular, la que al
prolongarse corta por la bisectriz (centros, O1 O2) de los
arcos de circunferencia buscada; al trazarlos se empalman mutuamente y también con las rectas paralelas.
Problema 9.7
Empalme de un arco de circunferencia con un punto dado
en cualquier parte
Construcción
1. Sea O el centro del arco y N el punto dado
2. Se traza una recta que una el centro de la circunferencia con el punto de tangencia R, con una recta que se
prolonga a una distancia a discreción.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LÍNEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.
3. Se unen los puntos de tangencia R y el punto N dado
y a esa recta se le traza una perpendicular que al
prolongarse corta a la otra recta OR en un punto 0 2 ,
centro de enlace de arco.
Empalme de dos
circunferencias
por medio de arcos
Problema 10.1
Empalme de dos arcos de circunferencia por un arco de
radio conocido
Construcción
1. Sea O1 y O2 los dos centros de las circunferencias que
se van a empalmar y L el punto de arranque.
2. Se une con una recta el punto L con el centro de la
circunferencia O1
3. Se hace centro en L y con un radio de la otra circunferencia O2 se traza sobre la recta el punto S, que se
une en el centro O2 por medio de una recta.
4. A la recta O2S se le traza una perpendicular que al
prolongarse corta a la recta LO1 en F (centro del arco
de enlace); el otro punto de tangencia nos lo da la
recta que parte de F y pasa por O2 terminando en el
punto de tangencia P.
Construcción
1. Sea O1 y O2 los dos centros de los arcos de circunferencia a empalmar y el radio dado (como dato es de
2cm).
2. Haciendo centro en O1 y O2 y con un radio en cada
caso equivalente a la suma del radio conocido más el
radio de cada circunferencia, trazamos dos rectas que
se cortan en O, centro del arco que empalma a los
otros dos.
Empalme o enlace
de recta y arco
de circunferencia
Problema 11.1
Empalme de una recta y un arco de circunferencia por un
arco de radio dado
Construcción
1. Sea AB la recta y O1 centro del arco de la circunferencia, con un radio de 2 cm.
3. Unimos los tres centros y se corta cada circunferencia
en S y P, puntos de tangencia.
Problema 10.2
Empalme de dos circunferencias de diferente radio por
medio de un arco que parta del punto L dado en una de
las circunferencias
2. Se le traza una paralela a la recta AB, a la distancia
del radio dado.
3. Con la suma del radio dado, LT, más el radio del
arco de la otra circunferencia O1L (haciendo centro
en O1) trazamos un arco que al prolongarse corta a la
paralela en el punto O2 del arco de circunferencia de
enlace; lo trazamos con radio 02M y se empalma con
el arco en M y con la recta en M'.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Construcción
1. Sea CD la recta y O1 el centro de la circunferencia y
T el punto de empalme.
2. Trazamos una tangente a la circunferencia por el punto T y que corte a la recta en el punto E.
Haciendo centro en £ y con un radio TE, bajamos el
arco sobre la recta cortándola en T', de ahí levantamos una perpendicular que corte a la recta que pasa
por O1T, en el punto O2.
4. Con centro en O2 y radio O2T' trazamos el arco de
empalme en los puntos T y T'.
Problema 11.2
Empalme de una recta y un arco de circunferencia, conociendo el punto de empalme en la recta
Construcción
1. Sea LM la recta y O1 el centro de la circunferencia y
T el punto de empalme.
2.
Por el punto de empalme se levanta una perpendicular, sobre la cual se lleva la medida del radio de la
circunferencia dada, dándonos el punto S.
3.
Se une O1 y S con una línea recta a la cual le trazamos una mediatriz que corta a la perpendicular en el
punto O2 centro del arco de empalme que al trazarlo
se lo hacen en Ty T1
Problema 11.4
Empalme de una recta y un arco de circunferencia por
medio de enlaces parabólicos
Construcción
1. Sea CD la recta y O el centro de la circunferencia y 7
y T' los puntos de empalme.
2. Se prolonga la recta a partir del punto T de empalme
y en la circunferencia se le traza una tangente al punto T', ambas rectas se cortan en el punto P.
3. Las dos rectas se dividen en cierto número de partes;
por ejemplo, en cinco partes iguales.
4. Se unen con rectas los puntos Ty 7' con todos los
demás puntos, encontrando su enlace en la intersección de 1 l', 12', 3 3', 4 4' y TT'
Problema 11.3
Empalme de una recta y un arco de circunferencia, conociendo el punto de empalme en el arco de circunferencia
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LÍNEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.
Problema 11.5
Problema 12.1
Enlace del número de puntos que se quiera por medio de
arcos de circunferencia
Dado el eje mayor construir un óvalo con cuatro centros
Construcción
1. Sea L, M, N, O, P y R los puntos dados.
2. Se unen todos los puntos con rectas de acuerdo al
orden dado.
3. A los puntos LM y MN se le sacan las mediatrices y
éstas se cortan en el punto C1
4. Este procedimiento se repite con todos los demás puntos que haya.
Construcción
1. Sea AB el eje mayor, se corta en tres partes iguales,
sirviendo los dos puntos intermedios de centros de
dos circunferencias, de radio igual a la tercera parte
de AB.
2. El corte de las dos circunferencias con el eje AB nos
da los centros C3 y C4, y el corte entre éstas nos dan
los centros C1 y C2.
3. Haciendo centro en C1 y C2 y con radio C1L o C2S
se trazan los arcos de circunferencia. En seguida, y
con centro C3 y C4 y con radio C3A o C4B trazamos
otros dos arcos, enlazándose perfectamente los arcos
que se trazaron primero.
Problema 12.2
Dado el eje menor, construir un óvalo con cuatro centros
El óvalo
Es conveniente que no se confunda el óvalo con la elipse,
pues sus figuras son muy parecidas. El óvalo es una curva
plana cerrada como la elipse.
La diferencia estriba en que no satisface la condición
de igualdad entre la suma de sus radios vectores, o sean
las rectas que unen un punto cualquiera de la curva con
los focos.
En la mayoría de los casos el óvalo lo trazamos mediante el enlace de cuatro a ocho arcos de circunferencia
con diferentes tipos de radio, es por eso que es muy simple su construcción.
Construcción
1. Sea AB el eje menor y diámetro de la circunferencia.
2. Trazamos una recta perpendicular al eje menor, de
tamaño regular; éste corta a la circunferencia, en dos
de sus centros del óvalo C3 y C4; y los otros dos centro C1 y C2 nos lo da el extremo del eje menor.
3. Se unen entre sí los cuatro centros por rectas con una
longitud a discreción.
4. Haciendo centro en C1 y C2 y radio CM trazamos los
dos arcos; enseguida, haciendo centro C3 y C4 y radio CL, trazamos los otros dos arcos enlazándose en
L,NyS.
DIBUJO TÉCNICO YGEOMÉTRICO
2. Se divide el eje AB en cuatro partes iguales, concentro en las tres partes intermedias y con un radio C3A
trazamos tres circunferencias.
3. Estas se cortan entre sí en C4 y C3, prolongando 2
diámetros a 45° y que pase por el C3 y por C4, éstos al
interceptarse nos darán C2 y C3 por un extremo y por
el otro los puntos de enlace L, N, M y S.
4. Haciendo centro en C1 y C2 y radio C1L trazamos
dos arcos; enseguida, con centro C3 y C4 y radio
C3A, trazamos los otros dos arcos que se enlazan perfectamente en L, M, N y S.
Problema 12.3
Segundo método del problema anterior con ayuda de la
escuadra de 45°
Construcción
1. Sea AB el eje menor y diámetro de la circunferencia.
2. Ubicándose la hipotenusa de la escuadra al eje menor
AB, le trazamos cuatro rectas a una inclinación de 45°.
3. Los extremos del eje menor (A y B) serán los dos centros de los arcos LM y NS.
4. Haciendo centro en C1 y C2 y con radio C1B o C2A
trazamos dos arcos; enseguida, con centros C3 y C4 y
radio C3L o C4N, trazamos los otros dos arcos enlazándose en L, M, N y S.
La elipse
Problema 13.1
Trazar una elipse por medio de puntos por el corte de
arcos de circunferencia dado sus dos ejes
Construcción
1. Sea AB y CD los dos ejes perpendiculares en el punto O.
2. Buscamos los focos F y F' en la siguiente forma: con
un radio igual BO (semi-eje-mayor) y centro en C,
trazamos arcos que cortan al eje mayor AB en F y F
focos de la elipse.
Problema 12.4
Dado el eje mayor, trazar un óvalo con cuatro centros (segundo método)
Construcción
1. Sea AB el eje mayor.
3. Del foco F y F al centro lo dividimos en cuatro partes
o más.
4. Haciendo siempre centro primero en F y segundo en
F y con radios (A-1' y B-l) (A-2' y B-2) (A-3' y B-3)
trazamos arcos arriba y abajo que al cortarse nos dan
una serie de puntos que al unirlos, ya sea a mano o
con curvígrafo, nos dan la elipse buscada.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LÍNEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.
Problema 13.3
Dado un rectángulo, trazarle una elipse tangente por medio de haces proyectivos
Construcción
1. Sea L, M, N, D, el rectángulo y AB y CD los ejes de
la elipse.
2. Se dividen el eje mayor en cuatro partes iguales y el
menor en seis partes iguales.
3. Se trazan rectas que partan de C y D y pasen por
cada una de las divisiones del eje mayor y menor.
Problema 13.2
4. Las rectas trazadas se cortan entre sí en doce puntos
que servirán de guía para trazar con una plantilla curva, la elipse.
Dadas dos circunferencias concéntricas de diámetro igual
a cada uno de los ejes de la elipse, trazarla al localizar
varios puntos
Construcción
1. Sea O centro de las dos circunferencias concéntricas
de diámetro igual a cada uno de los ejes.
2. Se dividen las dos circunferencias en doce partes iguales, de acuerdo al método de dividir un ángulo recto
en tres partes iguales.
3. Del punto de tangencia de los diámetros no perpendiculares a la circunferencia mayor, bajamos rectas
verticales.
4. Del punto de corte en la circunferencia menor trazamos rectas horizontales; ambas rectas se cortan en
varios puntos, la sucesión de éstos nos dan la elipse.
Problema 13.4
Por medio de una tira de papel, conociendo sus dos ejes
trazar una elipse
Construcción
1. Sea LM y SP los dos ejes dados.
2. Se trazan los dos ejes en forma perpendicular en su
parte media.
3. En una tira de papel tomamos la medida del semi-eje
mayor LC y sobre la misma distancia LC tomamos
la medida del semi-eje menor SD, partiendo de L'
hasta C.
4. Para trazar la elipse se requiere que los dos puntos C
y D' coincidan con los dos ejes perpendiculares; cuando la tira de papel se vaya girando se irán describiendo líneas punteadas sobre las posiciones sucesivas que
vaya teniendo el punto L' de la tira de papel.
5. Unimos a mano o con un curvígrafo los puntos, dándonos la elipse buscada.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
2. A la distancia que hay entre el foco y la directriz se le
llama parámetro, que es igual a dos.
3. El eje que pasa por el vértice V y el foco F será perpendicular a la directriz.
4. Compruébese la propiedad número 1, o sea FS = ST;
esto sería para cualquier punto de la parábola.
5. La distancia que hay del vértice al foco es igual del
vértice a la directriz.
Problema 14.1
Problcma 13.5
Con el auxilio de un hilo trazar una elipse
Construcción
1. Sea LM y SP los dos ejes perpendiculares entre sí,
por su punto medio.
2. Trazar sobre el eje mayor los dos focos de acuerdo al
método antes explicado.
3. Con un hilo fijo en los focos F y F' y una longitud
FSF se trazará la elipse.
4.
Con un lápiz ponemos tenso el hilo, iniciando en el
punto S la descripción de la elipse.
5. Es necesario que el lápiz siempre mantenga tenso el
hilo, para en tal forma ir describiendo tanto arriba y
abajo del eje mayor.
Por el corte de haces proyectivos encontrar una parábola
Construcción
1. Sea LM la directriz y VF el eje que contiene al vértice y al foco.
2. Damos dos puntos T y T' que limitarán la curva y
trazamos una recta que pase por el vértice y sea paralela a la directriz.
3. Unimos T y T' a dos puntos de la recta, formando un
rectángulo, dividimos los dos lados menores, en el mismo número de partes iguales, el lado mayor también
se divide en el mismo número de partes iguales para
cada uno de sus semi-ejes.
4. Unimos el vértice con cada una de las divisiones de
los lados menores por medio de haces rectas, y del
lado mayor cada uno de los semi-ejes se proyectan
haces en posición perpendicular al eje.
5. Al prolongarse se cortan los haces entre sí dándonos
los puntos de la parábola.
La parábola
1. La parábola es una curva plana abierta, en la cual
todos los puntos son equidistantes a un punto llamado foco y una recta llamada directriz.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LÍNEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.
Problema 14.2
Dado un ángulo y sus puntos de contacto trazar una parábola
Construcción
1. Sea A, B y C el ángulo agudo y M y M' los puntos de
contacto.
2. Dividimos en el mismo número de partes a la distancia de los puntos de contacto MB y M'B; cada uno
de ellos en partes iguales.
3. Unimos con líneas rectas los nueve puntos contrarios
entre sí: 1 con 1', 2 con 2'... 8 con 8',etcétera.
4. El corte de estas líneas rectas forman la parábola.
La hipérbola
La hipérbola es la curva plana y abierta que resulta de
cortar un cono por un plano paralelo a su eje.
La hipérbola se puede dar con las siguientes características:
a) Una curva de ramas cerradas.
b) Una hipérbola equilátera.
c) Una curva de ramas abiertas.
Problema 15.1
Encontrar una serie de puntos para trazar una hipérbola
Construcción
1. Sea LM el eje que contiene a los dos focos F y F.
2. Los puntos V y V" son los vértices de la hipérbola.
3. A partir de F dividimos el eje en el mismo número de
partes iguales ( 4 ) y haciendo siempre centro en F y
F trazaremos arcos con los siguientes radios V1 y V'1,
V2 y V2... V4 y V'4.
4. Unimos los puntos encontrados ya sea en forma manual o con curvígrafo, obteniendo la hipérbola.
Problema 14.3
Encontrar una serie de puntos para trazar una parábola
Construcción
1. Sea LM la directriz y DS el eje que contiene al vértice V y el foco F y D el punto dado en la directriz.
2. Dividimos el eje que contiene al foco en diez partes
iguales y hacemos pasar perpendiculares por cada uno
de esos puntos.
3. Haciendo centro siempre en F y con un radio 1D, 2D,
3D,... 10D, vamos trazando arcos que cortan a las perpendiculares en los puntos que nos dan la figura de la
parábola al unirlos, a mano o con un curvígrafo.
Los ovoides
Los ovoides son figuras cerradas formadas por varios arcos de circunferencia tangentes entre sí.
Tienen un eje de simetría en el que se encuentran
ubicados dos de los centros.
Su forma es similar a la de un huevo, por eso en ocasiones le denominamos así.
Problema 16.1
Dado el eje de simetría construir un ovoide
Construcción
1. Sea LM el eje de simetría.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
2. Lo dividimos en seis partes iguales, donde el número
2 y el 5 serán los dos primeros centros encontrados, y
trazamos una semicircunferencia con radio 2L y 5M
con centro C1 y C2
3. Trazando una perpendicular por el punto 2, llevaremos sobre ella una distancia igual al diámetro de la
semicircunferencia (tanto a un lado como al otro)
obteniendo los otros dos centros C3 y C4 del ovoide;
al trazar los arcos tangentes AT y BT' obtenemos la figura.
Problema 16.3
Dada una circunferencia trazar un ovoide
Construcción
1. Trazamos una circunferencia con diámetros perpendiculares entre sí.
2. Los extremos del diámetro horizontal serán los centros C1 y C2.
3. El corte del diámetro perpendicular con la circunferencia nos da otro de los centros, C3 hacemos pasar
dos rectas que partan del C1 y C2 y pasen por C3.
4. Haciendo centro en C1 C2 y C3 trazamos arcos que
al unirse nos dan el ovoide buscado.
Problema 16.2
Dado un eje no simétrico trazar un ovoide
Construcción
1. Sea LM el eje dado.
2. En los extremos del eje y en su parte media encontramos tres de los centros C1 C2 y C3
3. En el centro del eje dado, trazamos una perpendicular y una circunferencia de radio C2M, y en el punto
de corte de ambas partes nos da el C4.
4. Trazamos dos rectas que partan de L y M y pasen por
C4 y haciendo centro en C1 y C3 y con un radio LM,
describimos dos arcos que cortan en P y Q a las rectas antes trazadas.
5. Con centro en C4 y radio C4Q trazamos el último arco
tangente obteniendo el ovoide buscado.
Problema 16.4
Dado el eje simétrico trazar un ovoide (segundo método)
Construcción
1. Sea LM el eje simétrico dado.
2. Se divide en tres partes iguales, haciendo pasar por la
parte 1 una perpendicular cuyo tamaño es igual a la
distancia de dos de las divisiones.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LÍNEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.
3. Dividimos las partes 2 y 3 a la mitad, obteniendo el
punto C2 sobre el cual hacemos pasar dos rectas que
parten de los extremos SP.
4. Haciendo centro en C1 y radio L1 trazamos una
semicircunferencia SP, con centro en S y P y radio SP.
5. Describimos dos arcos hasta las dos rectas dadas en
los puntos T y T, por último, con centro en C2 y radio C2T, describimos el arco que termina al formar
el ovoide.
Perímetro
Paso del centro
Problema 17.2
Trazo de una espiral de base rectangular
r
La espiral envolvente
Conceptos geométricos básicos
Recibe el nombre de espiral la curva generada por un
punto, el cual va abriéndose por dos movimientos sobre
un plano:
a) El de alejamiento en la posición inicial.
b) El de desplazamiento angular.
A una vuelta completa se le llama espiral; a la distancia comprendida entre el origen y el punto final de la espiral se le llama paso.
El paso de una espiral es igual al perímetro del polígono de los centros.
Clasificación de las curvas espirales
1. La envolvente es aquella cuya base es un polígono
(triángulo, cuadrado, circunferencia, etcétera).
2. La espiral de Arquímedes. Esta curva se genera por
la sucesión de puntos equidistantes en una recta, en
la que va girando alrededor del punto que en su origen es fijo.
Problema 17.1
Trazo de una espiral de base triangular.
Problema 17.3
Trazo de una espiral de base cuadrada
94
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Problema 17.4
6. Esto podemos hacerlo a mano o con compás.
Trazo de una espiral de base hexagonal
Construcción
1. El método es aplicable en todos los casos de espirales
envolventes; solamente variará de acuerdo con el
número de centros, siendo éstos los vértices de los
polígonos.
2. Se va haciendo centro en los vértices del polígono en
forma sucesiva, en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
3. Su radio va creciendo con una magnitud igual a la
suma del lado más la distancia hasta donde se quedó
la espiral.
Problema 17.6
Trazar una espiral con dos centros
Construcción
1. Trazamos un eje con dos centros C2 y C2.
2. Haciendo centro en C1 y radio C 1 C 2 tracemos una
semicircunferencia que toque al eje en el punto 1.
3. Con centro en C2 y radio C 2 1, trazamos otra semicircunferencia que tocará al eje en el punto 2.
4. Los pasos seguirán repitiéndose de acuerdo a io explicado, hasta el tamaño que se quiera.
Problema 17.5
Trazar la espiral de Arquímedes
Construcción
1. Se traza una circunferencia con centro en O.
2. Dividimos la circunferencia en ocho partes iguales y
luego uno de sus radios (el vertical) en el mismo número de partes iguales.
3. Con centro siempre en O iremos trazando los arcos
de circunferencia de diferentes magnitudes.
4. Con radio O,, trazamos un arco hasta 1', después
con RO2, trazamos un arco hasta 2', y así sucesivamente.
5. La secuencia de la unión de la terminación de cada
arco nos da la espiral de Arquímedes.
La hélice cilindrica
Conceptos geométricos básicos
Se hará un estudio en su forma más elemental, sólo
que nos interesa gráficamente.
La hélice es una curva engendrada por un punto que
se mueve alrededor de un cilindro y avanza al mismo tiempo en el sentido de la longitud del cilindro.
CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LÍNEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.
Se dibujará la planta y el alzado del cilindro.
La planta será una circunferencia de diámetro igual a
la base del cilindro, y el alzado, un rectángulo, en el que
su diámetro EE' corresponde al paso.
Se divide el paso y la base con el mismo número de
partes iguales. Las intersecciones de las líneas correspondientes nos darán los siguientes puntos A, B, C, D, E, ...
LME' que al unirlos con una línea nos dan la hélice cilindrica.
Observará que la mitad de una vuelta de la hélice
está hecha de puntos, lo que indica que queda en la parte
de atrás del cilindro y por lo tanto no se ve.
Las líneas visibles se hacen siempre de puntos o trazos.
El dibujo comprenderá una vuelta completa y la mitad de la vuelta siguiente.
7 E
ACTIVIDADES Y PRÁCTICAS PARA EL TALLER
5.1
Cuaderno de trabajo
Lee detenidamente cada una de las preguntas, piensa, reflexiona y contesta correctamente, si no recuerdas lo que
se te pregunta, investiga en tu libro de dibujo o en otros libros.
1. Explica qué entiendes por tangencia:
a) de una línea recta y una circunferencia.
b) entre dos circunferencias.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
¿Qué tipo de curva es una circunferencia?
¿Por qué n es una constante? ¿Cuál es su valor? ¿Cómo empleamos este valor?
¿Por qué a la parábola, la hipérbola y la elipse se les llama cónicas?
Explica qué es un óvalo.
¿Cuál de los cuatro métodos para construir un óvalo consideras que es más sencillo?
¿Cuál es el eje menor de un óvalo? Dibújalo.
8. Dibuja una elipse con las partes que la forman.
9. Dibuja una parábola con los principales elementos que la forman.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
¿Cómo son las líneas de una hipérbola?
¿A qué se parece un ovoide?
¿Por qué se llama espiral envolvente?
¿Cuántos métodos propone el libro para dibujar una espiral envolvente? ¿En qué consisten?
¿Cómo es una hélice cilindrica?
¿En qué se parece una escalera de caracol a una hélice cilindrica?
Explica los enunciados de los problemas siguientes:
8.3 Dadas dos circunferencias, trazarle otras dos tangentes entre sí.
a) ¿Cuáles son los datos? ¿Qué medida?
b) ¿Qué se busca resolver?
12.1 Dado el eje mayor, construir un óvalo con cuatro centros.
a) ¿Cuáles son los datos? ¿Qué medida?
b) ¿Qué se busca resolver?
17. Qué entiendes por enlace o empalme:
a) de una línea recta con una curva.
b) entre dos curvas.
18. ¿Consideras que el problema 8.14 "Trazar seis circunferencias tangentes entre sí", sirve de base para el
diseño de un balero? ¿Por qué?
19. ¿Consideras que el problema 8.11 "Trazar cuatro circunferencias de radio conocido tangentes a dos rectas", sirve de base para el diseño de una caja de transmisión de un automóvil? ¿Por qué?
5.2 Usa tu imaginación y creatividad
Busca algunos juguetes u objetos que sus elementos internos estén estructurados por diversos mecanismos como
poleas, engranes, bandas, etcétera.
Estudia cómo se transmite el movimiento de sus partes e identifica cómo en este proceso están presentes
diferentes formas geométricas: poleas-círculos, engranes-polígonos, transmisión de movimiento por bandas o cadenas-enlace de líneas rectas con círculos, etcétera.
5.3 Investigación
Investiga e identifica qué formas geométricas se encuentran en las siguientes partes automotrices:
♦
♦
♦
♦
♦
♦
♦
♦
Generador
Motor
Transmisión de ruedas
Caja de velocidades
Caja de transmisión
Sistemas de volante y dirección
Sistema mecánico de vidrios eléctricos
Otros.
5.4 Prácticas para el taller de dibujo
Consultando la metodología, resolver los problemas geométricos y dibujarlos en hojas tamaño carta divididas en
cuatro partes, para ubicar en cada una un problema diferente; a su vez, darle espacio para los márgenes y los
letreros que identifiquen cada problema.
En su primera etapa, dibujar las láminas a lápiz y los letreros a mano libre.
En la segunda etapa, y después de haber sido aprobado el dibujo, elaborarlos a tinta china y rotularlos con
plantilla.
La escala y sus aplicaciones.
Sistema Métrico Decimal
y Sistema Inglés; conversiones
Objetivos
particulares
Al terminar la presente unidad, el alumno será capaz de:
♦ Aplicar las diferentes escalas y mediciones requeridas en el dibujo técnico.
♦ Efectuar conversiones en el Sistema Métrico Decimal y en el Sistema Inglés.
Objetivos
♦
♦
♦
♦
♦
♦
♦
♦
particulares
Identificar las diferentes escalas empleadas en el dibujo técnico industrial.
Practicar la escala de distintas relaciones que ésta representa.
Identificar diferentes sistemas de medición.
Manejar el Sistema Métrico Decimal (SMD) y el Sistema Inglés (si) en mediciones lineales.
Interpretar las escalas de reducción y ampliación.
Conocer las bases del SMD y sus conversiones.
Conocer las bases del si y sus conversiones.
Efectuar conversiones del SMD al si y viceversa.
Introducción
Cuando el hombre se enfrentó a la necesidad de dibu­
jar objetos mayores a su propia medida o menores
que el tamaño de sus uñas, tuvo que resolver este pro­
blema con imaginación y creatividad: inventó un pro­
cedimiento matemático que llamó escala de medición.
Si hablamos de un dibujo a escala de inmediato
nos viene a la mente los planos de una casa o un
edificio; si nos referimos a una ciudad, un Estado, un
país o un continente, les llamamos mapas; si se trata
de una representación del mundo tenemos un
mapamundi o globo terráqueo. En todos estos casos
solemos emplear una escala "de mayor a menor",
aunque en otras circunstancias sucede lo contrario,
debemos dibujar objetos tan pequeños que no es po­
sible realizarlos en su tamaño natural, en este caso
solemos emplear una escala "de menos a mayor",
por ejemplo, en una pieza de relojería o en un
microchip de una computadora.
En ocasiones el dibujo debe realizarse del mismo
tamaño que el objeto, como en el caso de una herra­
mienta, unos zapatos o una licuadora; en este caso la
escala es de 1:1, es decir, escala normal o natural, lo
cual es posible solamente si el tamaño del objeto cabe
dentro del espacio en donde se va a dibujar.
Esto nos muestra la importancia que tiene el uso
del dibujo a escala, ya que lo requerimos en miles y
m;les de cosas que empleamos en nuestra vida coti­
diana; para esto empleamos determinado sistema de
unidades métricas, el Sistema Métrico Decimal (SMD)
o el Sistema Inglés (si).
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Croquis
La escala y sus
complementos técnicos
Antes de usar la escala es importante conocer una serie
de casos técnicos de trazo, medición y acotación. No se
debe empezar un trabajo de atrás hacia adelante, es decir, del último paso de un proceso al primero, sino que
sabemos que para que todo resulte y funcione perfectamente es necesario llevar una secuencia metodológica.
En este caso, antes de aplicar el proceso gráfico matemático de la escala hay que transitar por los siguientes pasos:
♦
♦
♦
♦
♦
Croquis
Medición
Acotación
Escala
Desarrollo del dibujo o plano de la casa habitación con la escala y simbología correspondiente.
Es el procedimiento gráfico consistente en desarrollar un dibujo a mano libre del objeto que se quiere realizar a escala.
En este tipo de dibujo no se busca la perfección artística, simplemente es un auxiliar gráfico que capta todas
las características del objeto, por minúsculas que sean, para
que en él se puedan ubicar las medidas correspondientes
delimitadas por su acotación.
Medición
Consiste en medir todas las partes del objeto que se va a
elaborar a escala. Aquí se recomienda usar el mismo tipo
de unidad y el mismo sistema de medida.
Acotación
Es el procedimiento que consiste en delimitar todas las
partes que integran el objeto por medio de líneas que
determinan su dimensión.
Figura 6.2
Diferentes tipos de lineas de acotación.
Figura 6.1
Figura 6.3
Croquis y acotación de una silla pupitre.
LA ESCALA Y SUS APLICACIONES. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Y SISTEMA INGLÉS; CONVERSIONES
El espacio intermedio entre las líneas sirve para ubicar la medida correspondiente. Se recomienda que siempre se use el mismo tipo de forma de acotación, así como
la misma unidad de longitud.
Los técnicos e ingenieros ocupan, conocen y aplican
la técnica de la escala. El técnico electricista requiere saber interpretar un plano, para ello tiene que hacer uso de
las escalas mediante el escalímetro o efectuando las conversiones correspondientes.
El escalímetro es un instrumento de medida con la
forma de una regla con tres caras que forman entre sí un
triángulo, se tienen en sus caras hasta seis medidas de
longitud diferentes, pero con respecto a la unidad básica.
El uso de este instrumento permite que un objeto,
plano o instalación se reproduzca o amplíe de acuerdo
con las necesidades de cada caso.
Las escalas por lo general se interpretan o comparan
en función de un metro.
Figura 6-4
Acotación incorrecta en un plano arquitectónico.
Escala
La escala es uno de los instrumentos más importantes para
la confección de dibujos. A veces se puede denominar
Figura 6-5 Acotación correcta en un plano arquitectónico.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
como escala a cualquier regla graduada; sin embargo, las
reglas preferidas por los dibujantes son las llamadas esca-
300 es igual a 200 cm
1.5
las triangulares.
La diferencia entre una escala y una regla graduada
común estriba en que con la escala se representan en un
plano las dimensiones iguales, menores o mayores (con
relación al plano) de un objeto determinado. Esto podemos hacerlo también con una regla graduada cualquiera; pero tendríamos que efectuar algunas operaciones
matemáticas, mientras que en la escala ya vienen hechas, es decir, las relaciones de similitud entre el objeto y
el plano en que se van a representar están pretratados
de antemano.
No se excluye la posibilidad, por supuesto, de que
tengamos que dibujar un objeto representándolo en una
proporción que no venga expresada en la escala.
De lo anteriormente expuesto se deduce que existen
dos conceptos de escala, uno físico y otro matemático.
El primero es el instrumento que aprecia o da medidas; el segundo una simple relación de similitud entre el
dibujo y lo que presenta. Sin embargo, en las escalas físicas se marcan o expresan algunas de las relaciones de
similitud más utilizadas. Como se pueden apreciar, estos
dos conceptos se representan o se pueden obtener con la
escala física.
Una escala física es una regla que expresa unidades
naturales de un sistema de medidas o también relaciones
de las mismas, para poder tornar directamente sobre ella
las relaciones más utilizadas de las medidas que deseamos.
Las escalas físicas son por lo general de madera, aun
cuando también se hacen de metal, en algunos casos, o
de materiales plásticos no deformables.
Las graduaciones o divisiones que llevan las escalas
se hacen unas veces directamente sobre la propia madera
de que están hechas; otras veces los cantos o biseles van
recubiertos por una lámina delgada de celuloide blanco o
de marta, con la finalidad de destacar o hacer más visibles las divisiones o marcas.
300 es igual a 60 cm
5
Cómo usar la escala
Para apreciar con una escala física el valor de cierta magnitud y tener en ella el menor error de apreciación posible, debemos realizar lo siguiente:
Hay que poner el cero de la escala de forma que coincida tanto con el extremo del segmento de recta que se
va a medir como con el canto o borde de aquella con el
segmento de recta de modo que el plano del bisel o cara
de la misma, donde están marcadas las divisiones, coincida con el plano de visuales, es decir, el plano que pasa
por los ojos del que dibuja. En estas condiciones se mueve la escala en ese plano y se coloca de tal forma que la
visual del dibujante coincida primero con la marca que
está en el origen y con el extremo del segmento de recta.
Después se mueve el otro extremo bajo las mismas condiciones percibiendo qué división de la escala o fracción de
división de la misma coincide con el extremo de la magnitud que se va a medir. Se debe cuidar que la propia división de la escala indique la citada magnitud.
Figura 6-6
Escala (instrumento).
Figura 6-7
Escalímetro.
Relación de escalas
y sus magnitudes
Escala de
Escala de
Escala de
Escala de
Escala de
Escala de
1:100
1:75
1:50
1:25
1:20
1:125
se interpreta que 1 m equivale a 1 cm.
se interpreta que 1 m equivale a 1.5 cm.
se interpreta que 1 m equivale a 2 cm.
se interpreta que 1 m equivale a 4 cm.
se interpreta que 1 m equivale a 5 cm.
se interpreta que 1 m equivale a 8 mm.
En muchas ocasiones se indica de la siguiente forma:
E 1:100; por ejemplo, si queremos saber la magnitud de
300 m a la escala de 1:100, 1:75 y 1:20 tenemos que
300 es igual a 300 cm
1
LA ESCALA Y SUS APLICACIONES. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Y SISTEMA INGLÉS; CONVERSIONES
Cuando se tengan que hacer mediciones sucesivas sobre una misma recta, deberán hacerse de modo que se seleccione un punto de partida desde el cual se tomarán dichas medidas, sin que por ello se varíe la posición de la escala. Esto evitará errores sistemáticos y acumulativos. En este
caso las medidas tendrán que sumarse a partir de la primera,
que es la única que se puede tomar o situar en forma directa.
Relación matemática
en cada escala
Anteriormente se vio la utilización del término escala empleado para nombrar distintos tipos de reglas graduadas
muy utilizadas en el dibujo técnico. Sin embargo, ese término tiene también una aplicación matemática que indica una relación entre determinadas magnitudes.
Otra forma de indicar una escala
Desde el punto de vista matemático, las escalas se expresarán de diversas formas:
1. Como un quebrado o fracción representativa:
1
1
1 etc.
5000
100
2. Como igualdades o equivalencias: 4 cm = 200 m,
1 cm = 1 mm y otros.
3. En forma gráfica, por ejemplo, de barras o de transversales.
2
Escala absoluta
o fracción representativa
Figura 6-9
Escala de transversales.
Para que ello sea posible las dimensiones del objeto
en cuestión y las magnitudes representadas en el dibujo
deben guardar una relación constante que significa la escala. "La escala es entonces la relación que existe entre
una medida o distancia tomada en el dibujo y una medida o distancia tomada en el objeto o cosa representada."
A esta relación se le llama escala absoluta y se representa de la siguiente forma:
Medidas tomadas en el dibujo
Escala =
Medidas tomadas en el objeto o cosa representada
Llegamos a la conclusión de que el concepto de escala es la relación en forma de quebrado o fracción representativa del objeto que se requiere representar, y puede
emplearse para cualquier sistema de medidas, por ejemplo, la escala 1/10 quiere decir que por cada unidad que
tomemos en el dibujo, cualquiera que sea ésta (centímetros, milímetros, etc.), corresponderá siempre a 10 unidades de la misma naturaleza que las del dibujo (10 cm, 10
mm, etc.). Cuando la relación o valor absoluto de la esca-
En el dibujo técnico, por lo general, se realizan planos o
dibujos en los que las magnitudes de un objeto cualquiera son menores que en la realidad. Esto se hace así por
que en la mayoría de las ocasiones las dimensiones de los
objetos son grandes, por ejemplo, de varios metros de longitud e inclusive de decenas, centenas o miles de metros,
y sería por lo tanto bastante difícil o imposible dibujar tales objetos en sus dimensiones reales; entonces se realizan en tamaños menores a la realidad representando proporcionalmente esas magnitudes.
Figura 6-8
Forma correcta para tomar medidas con el escalímetro.
Figura 6-10
Forma de marcar distancias con el escalímetro.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
la es menor que la unidad, la escala es de reducción. Y si
la relación o valor absoluto de la escala es mayor que la
unidad, la escala es de ampliación, y si la relación o valor
absoluto de la escala es igual que la unidad, la escala se
denomina natural. Tenemos los siguientes ejemplos:
Escala =
1
La misma expresión de fracción representativa en las
escalas suele ser transformada, pero sigue manteniendo
la misma relación.
Esto sucede, por ejemplo, en dibujos cartográficos o
topográficos, donde la relación se expresa en forma de
complejo:
es escala de reducción
2500
2
Escala =
1
1
Escala =
E=
es escala de ampliación
es escala natural
1
La relación constante en la escala frecuentemente se
expresa matemáticamente:
E=
α)
Una distancia de 1000 m en la realidad es represen­
tada en un mapa por una medida de 2 cm. ¿Cuál es
la escala del mapa?
Datos:
D = 1000 m
d = 2 cm
d
D
£=
d = Distancia o medida tomada en el dibujo.
D = Distancia o medida tomada en el objeto o cosa re­
presentada.
De esta forma puede tenerse la escala absoluta en ex­
presión fraccionaria. Pongamos varios ejemplos:
Si en un dibujo o plano 1 cm representa 5 m de la rea­
lidad, ¿cuál es la escala?
Datos:
d = 1 cm
D = 5m
b)
1 cm
5m
d
D
E
1
500
Una medida de 1 mm, tomada en un plano, en la
realidad representa 10 m de terreno. ¿Qué escala tie­
ne el plano?
Datos:
d = 1 mm
D = 10 m
E=
c)
d
D
1 mm
10 m
D/d
Pongamos algunos ejemplos:
Donde:
α)
d
1
10 000
¿Cuál es la escala de un dibujo donde una medida de
5 cm representa 1 m en el objeto real?
Datos:
d
D/d
1
100 000/2 cm
En las escalas siempre existe una proporción entre las
medidas del dibujo y las magnitudes tomadas en el objeto
representado.
Cuando en dibujo arquitectónico hablamos de escala
1:20 queremos decir que 1 cm en el dibujo representa 0.2
m en el objeto, es decir, 20 cm en el objeto; en dibujo
topográfico la escala 1 mm = 5 m significa que por cada
milímetro en el plano se representan 5 m, lo que es lo
mismo que 5000 mm; y en dibujo cartográfico la escala
significa que por cada centímetro en el mapa correspon­
den 500 m en el terreno o 50 000 cm.
Junto con la forma fraccionaria o de quebrado la es­
cala absoluta se representa de la siguiente forma:
1:50
1:1000
1:50 000
Que se lee uno en cincuenta, uno en mil o uno en
cincuenta mil, respectivamente, y que indica la misma re­
lación, ya que por cada magnitud tornada en el dibujo,
corresponden 50, 1000 o 50 000 en la realidad.
Escala expresada por igualdades
o equivalencias
Es la forma de expresar la escala utilizando igualdades o
equivalencias; por ejemplo:
1 cm = 500 m
1 mm = 10 m
d = 5 cm
D= l m
E=
d
D
5 cm
1m
5
100
Las cantidades del primer miembro y las del segundo
de la igualdad no son homogéneas, y en realidad corres-
LA ESCALA Y SUS APLICACIONES. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Y SISTEMA INGLÉS; CONVERSIONES
ponden a una forma de expresar la escala absoluta, ya
que si 1 cm = 500 m ello equivale a una escala numérica
1:50 000.
Entonces si no se posee una escala física graduada
con dicha equivalencia, tendríamos que construir una escala gráfica para no dar motivo a equivocaciones. Las
escalas expresadas en forma de equivalencia no son muy
recomendables, por ello se emplean poco, por lo general
acompañando escalas gráficas y sólo en los casos en que
éstas son necesarias.
Escala gráfica
a) Escala gráfica ordinaria o de barra
Su construcción: es una recta que se dibuja en el mapa o
plano y que está dividida en un número determinado de
partes iguales; cada una de estas partes representan, según
la escala numérica del plano, una longitud a las distancias
correspondientes en el terreno. Las divisiones son tales que
deben numerarse por cifras terminadas en cero (10, 50,
100, etc.), y la primera se subdivide en un número tal de
partes iguales que cada una de ellas representa fracciones
de una división expresada por números sencillos.
Si se quiere construir una escala gráfica de barra para
un plano cuya escala numérica es 1:5000, en esta escala,
para d = 1 cm, significa que
D = dx
D
d
b) Mediciones con la escala gráfica
y el compás
La cuadrícula de gráfico que aparece en la figura 6.12
está a escala numérica 1:5000, es decir, cada centímetro
en él equivale a una distancia real de 50 m en el terreno.
Queremos saber la distancia entre los puntos A y B
del plano. Se toma el compás de punta seca y se colocan
cada una de las puntas en los puntos señalados A y B.
= 1 c m x 5000 cm = 50 m
Es decir, 1 cm en el plano representa 50 m en el terre­
no; 2 cm — 100 m; 4 cm = 200 m, etcétera.
Ahora construiremos la escala gráfica en el plano a
partir de un punto que dará el centro de la escala. Se
marcan segmentos consecutivos de 2 cm, cada uno de los
cuales representa 100 m; después se numeran 100, 200,
300, 400, etc., a partir de cero hacia la derecha; luego se
subdivide la primera parte de 100 m en 10 partes iguales
y cada una de ellas podrá representar valores de 10 m es
decir: 10, 20, 30, 40, 50... Observe la escala gráfica que
se construyó en la forma descrita (Figura 6.11).
Para conocer la medida real correspondiente entre dos
puntos del plano se coloca un compás de punta seca en­
tre esos puntos, se lleva con el compás esa distancia a la
escala gráfica y se obtiene la distancia real buscada por
lectura directa.
Figura 6-11
Una punta del compás se coloca sobre el trazo de
una división de la derecha, de modo que la otra punta
caiga en la subdivisión a la izquierda del cero. La distancia en el terreno o medida real se obtiene de esta forma:
el número de metros (100, 200, 300, etc.), señalado por
la parte donde se coloca la primera punta del compás,
más el número de subdivisiones completas (decenas de
metros) determinado por la otra punta, más la estimación
por percepción visual de la fracción de la subdivisión (unidades).
En la figura 6.13 se muestran en forma práctica las
mediciones de distancias con compás de punta seca y la
escala gráfica.
Ya podemos construir una escala gráfica en cualquier
plano y a cualquier escala y leer la que contenga otro mapa
o plano.
Escaia gráfica.
32 000
Figura 6-12
32 100
32 200
32 300
Forma de tomar distancia con el compás de punta seca.
La distancia tomada se lleva a la escala gráfica de
manera que una de sus puntas toque cualquier división
en la escala a la derecha del cero; y la otra, en las proximidades del punto cero. Si la distancia es exacta (lo que
ocurre con mucha frecuencia) se lee la cantidad de divisiones a la derecha del punto cero, por ejemplo: 100, 200,
etc. (Figura 6.13).
Cuando la distancia no es exacta, es decir, la otra
punta del compás toca un punto situado a la izquierda
del cero, se leen las subidivisiones a partir del cero, y se
estiman las fracciones (si las hubiere) entre una subdivisión
y otra.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Figura 6-15
Figura 6-13
Forma gráfica de una escala de transversales.
Forma de medir distancias en una escala gráfica.
Figura 6-14 Forma de situar el compás en la escala gráfica para
efectuar las mediciones.
En la figura 6.14 se muestra la distancia que se había
tomado entre los puntos A y B, y según la escala gráfica
del plano corresponde a 255 m. La visual debe ser perpendicular al plano.
La escala en los diversos
campos del dibujo técnico
Cuando en una escala absoluta, expresada en forma de
fracción, el denominador es un número muy pequeño se
dice que ésta es una escala grande, por ejemplo:
1000
5
Por otro lado, cuando el denominador es un número
grande se dice que es una escala pequeña, por ejemplo:
1
50 000
Existen otras que se denominan escalas medianas o
intermedias, dependiendo del tipo de trabajo donde se
empleen.
En el dibujo de mapas (cartográfico) por lo general se
emplean escalas pequeñas o muy pequeñas, por ejem­
plo, 1/50 000 o 1/100 000, pues las magnitudes en el di­
bujo representan zonas de terreno muy extensas en la rea-
Figura 6-16 Forma de situar el compás en una escala de transversales.
lidad: a veces la extensión de un continente, un hemisferio o todo el globo terráqueo.
En la topografía se utilizan las escalas denominadas
medianas o intermedias. Las magnitudes en los planos
representan un área de terreno relativamente menor que
las empleadas en geodesia, geografía o cartografía, ya que
por lo general no se considera la curvatura de la Tierra.
Por ello en dibujos topográficos las escalas que se utilizan
son: 1:10 000, 1:5000, 1:2500, etcétera.
En catastro se emplean por lo general escalas medianas y pequeñas. En los planos de catastro rural se utilizan
en inventarios o planificación de la actividad agrícola; son
frecuentes las escalas 1:20 000, 1:10 000,1:25 000; mientras que en los catastros urbanos se utilizarán por lo general
escalas medianas, 1:5000, 1:2500, 1:2000, 1:1000. etcétera.
En dibujo mecánico se utilizan escalas grandes para
observar los detalles de las piezas, secciones y otros, tales
como 1:120, 1:20, 1:50, etcétera.
En planos o dibujos de ingeniería civil se emplean
escalas como 1:1000, 1:500, 1:250, 1:200, 1:100, 1:50.
En los dibujos arquitectónicos se utilizan también diversas escalas. Para los planos de un conjunto urbanístico
se emplean las escalas 1:2500; otras, por ejemplo: 1:500,
1:1000 son para los planos generales, y 1:20, 1:10, 1:5 y
hasta 1:1 (escala natural) para detalles de cimentación,
carpintería, cerramiento, entre otros.
LA ESCALA Y SUS APLICACIONES. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Y SISTEMA INGLÉS; CONVERSIONES
Planos
Escalas
Detalles
1 cm real
en el dibujo
representa
1 m real se
representa en
el dibujo por
*1:1
0.01 mreal
1.00
m
*1:5
0.05 m real
0.20
m
*1:10
*1:20
0.10 m real
0.10
m
0.20 mreal
0.05
m
1:30
0.30 m real
0.033 m
1:33
0.33 m real
0.03
por lo tanto, las conversiones que se realicen se harán de
acuerdo con los procedimientos utilizados y explicados
para las potencias de diez.
Notación de las unidades de longitud
Equivalencia entre las unidades de longitud del sistema
métrico decimal.
m
Convertir 1278 m a Dm Hm, km, dm, cm y mm.
Generales
Tabla 6.1
1:30
0.30 m real
0.033 m
1:33
0.33 mreal
*1:50
0.50 m real
0.03
0.02
m
m
1:80
0.80 m real
0.0125 m
-1:100
1.00 m real
0.01
*1:200
2.00 m real
0.005 m
m
1278 m a Dm = 1278/10
1278 m a Hm = 1278/100
1278 m a km = 1278/1000
1278 m a dm = 1278 x 10
1278 m a cm = 1278 x 100
1278 m a mm = 1278 x 1000
= 127.8 Dm
= 12.78 Hm
=1.278 km
=12 780 dm
= 127 800 cm
= 1 278 000 mm
Normas NYRCO para escalas.
Como la técnica moderna exige la normalización y
estandarización en muchas de sus actividades, en lo relativo a las escalas se han desechado las que empleaba el
sistema inglés con magnitudes como pulgadas, pies, millas (por ejemplo, 1 = 1 milla). En la actualidad se emplean las unidades del sistema métrico decimal, en el que
las operaciones matemáticas son mucho menos complejas (1:10 000, 1:100, 1:50).
No se recomienda, entre otras, escalas donde las magnitudes sean poco convenientes para trabajar, como son:
1:30, 1:33, 1:80, 1:13.
Tampoco se emplean las relaciones antiguas denominadas escalas arquitectónicas o escalas de ingeniería. Estas relaciones eran 02, 03, 05, por ejemplo, y no eran sino
los cocientes resultantes de la división del numerador entre el denominador de las fracciones representativas de
las escalas absolutas.
Sistema Internacional
de Medidas (si)
Es el sistema que unifica el empleo de unidades científicas
y técnicas que se emplea en todas las ramas de la ciencia.
Múltiplos
Nombre
1 miriámetro
1m
1 kilómetro
=1 Mm = 10 km = 100 Hm = 1000 Dm = 10 000 m
1
Mm = 0.0001 Mm
10 000
= 1 km = 10 Hm = 100 Dm = 1000 m =
1
m
= 0.001 m
1 hectómetro = 1 Hm = 10 Dm = 100 m; 1 m =
1
Hm = 0.01 Hm
100
1 decámetro = 1 Dm = 10 m; 1 m =
Dm = 0.1 Dm
10
Unidades del Sistema Métrico
Decimal
Las unidades para medir longitudes usadas en México son
las del Sistema Métrico Decimal, cuya unidad es el metro
(m) y que forma parte del Sistema Internacional de Medidas (si).
Una de las grandes ventajas que tiene este sistema de
medida es que aumentan y disminuyen de diez en diez,
Unidades equivalentes
1000
1 km
Manejar el Sistema
Internacional en
mediciones lineales
Símbolo
Submúltiplos
1 centímetro = 1 cm =
1
m = 0.01 m, 1 m = 100 cm
100
1 milímetro = 1 mm =
1
m = 0.001 m, 1 m = 1000 mm
1000
Tabla 6.2 Múltiplos y submúltiplos en el Sistema Métrico Decimal.
DIBUJÓ TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Esta definición del Sistema Internacional de Medidas
(si) es lo suficientemente exacta como para ser utilizada
en los primeros pasos del estudio de la física, química,
biología o cualquier actividad técnica.
Los múltiplos y submúltiplos según el si
En el si se utilizan una serie de prefijos antepuestos a la
unidad para indicar los distintos múltiplos y submúltiplos;
cada uno de ellos tiene un símbolo determinado.
y molestas; solamente se procede a aumentar o disminuir los ceros y a recorrer el punto decimal a la derecha
o a la izquierda. Ello no es posible en el Sistema Inglés,
ya que sus unidades son independientes y carecen de
una relación decimal o notación científica que facilite y
haga prácticas sus conversiones entre sus diferentes unidades.
Ésa es una de las razones por que muchos países de
habla inglesa han adoptado el empleo del Sistema Métrico Decimal en el campo científico.
Razones de uso del Sistema Inglés
NOTA: No confundir con el Sistema Inglés.
Si tomamos en cuenta la dependencia científica y tecnológica de México respecto de Estados Unidos y otros países de habla inglesa, nos vemos en la necesidad de conocer y dominar las unidades del Sistema Inglés, así como
su aplicación y conversiones entre sus unidades y con las
del Sistema Métrico Decimal.
dam
Unidades de longitud
metrc
decímetro
centímetro
milímetro
Tabla 6.3
Múltiplos y submúltiplos en el Sistema Internacional.
Por ejemplo, el prefijo deca significa diez y su símbolo
es Dm. Si la unidad con la que trabajamos es el metro, el
múltiplo es el decámetro, su símbolo es Dm y su valor es
de diez metros. En cambio, si la unidad es el litro el múltiplo
es el decalitro, su símbolo es DI y su valor es de diez litros.
Equivalencias y
conversiones entre
unidades del Sistema
Métrico Decimal
y el Sistema Inglés
Los sistemas de medidas de mayor uso en casi todo el
mundo son el Sistema Métrico Decimal (SMD) y el Sistema
Inglés. Por su aplicación y fácil manejo podemos comprobar que el SMD es un sistema de medida de los más prácticos a causa de que tiene como base el número diez, lo
cual facilita todo tipo de conversiones, tanto entre los
múltiplos y submúltiplos de esas unidades, como en las
unidades que se derivan de las de longitud.
Por la notación decimal de todas estas unidades, su
conversión se facilita, pues se evitan operaciones largas
Sistema Métrico Decimal
1 km = 0.621 mi = 4.97 Fg
1 m = 1.094 yd = 3.281 ft = 39.37 in (39.37")
1 cm = 0.394 in (0.394")
Instrumento de medición simple.
Sistema Inglés
1 milla marina = 1853 m = 2026 yd = 6080 ft
1 milla terrestre = 1 mi = 1609 m = 1760 yd = 5280 ft
1 Furlong = 1 Fg = 201.1 m = 220 yd = 660 ft
1 yarda = 1 yd = 0.9144 m = 3 ft = 36 in
1 pie = 1 ft = 0.3048 m = 12 in
1 pulgada = 1 in = 0.0254 m = 2.54 cm
1 yarda = 1 yd = 3 ft = 36 in
1 pie = 1 ft = 12 in
NOTA: Formas de indicar algunas unidades inglesas:
1 pie = 1 ft = T
1 pulgada = 1 in = 1"
1 libra = 1 Ib = 1#
Pasos a seguir para convertir unidades de medida de
un sistema a otro.
Del sistema inglés al sistema métrico decimal: Se
multiplica la unidad inglesa que se quiere convertir
por lo que equivale en el sistema métrico decimal.
Del sistema métrico decimal al sistema inglés: Se divi­
de el valor dado del sistema métrico decimal enire la
unidad inglesa a que se quiere convertir.
LA ESCALA Y SUS APLICACIONES. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Y SISTEMA INGLÉS; CONVERSIONES
Efectúa las siguientes conversiones de unidades in­
glesas a métricas.
30 in a cm: 30" = 30 x 2.54 = 76.20 cm
100 ft a m: 100' = 100 x 0.3048 = 30.48 m
10 mi a m: 10 mi = 10 x 1609 m = 16 090 m
Del sistema métrico decimal al sistema inglés:
500 m a yd: 500 m = 500 ÷ 0.9144 = 546.806 yd
1275 cm a in: 1275 cm = 1275 ÷ 2.54 = 501.968 in
800 m a ft: 800 m = 800 ÷ 0.3048 = 2624.671 ft
ACTIVIDADES Y PRÁCTICAS PARA EL TALLER
6.1
Cuaderno de trabajo
Lee cuidadosamente cada una de las preguntas, reflexiona y contesta correctamente. Si por alguna razón hay algo que no recuerdas, la información técnica y científica se encuentra en tu libro.
1. ¿Qué entiendes por escala?
2. ¿Cómo es el instrumento que llamamos escala?
3. ¿Cuál es el nombre de la relación matemática
de dos magnitudes?
4. ¿Qué quiere decir escala de 1/10?
5. ¿Cómo identificamos una escala de ampliación?
6. ¿Cuántos tipos de escala hay?
7. ¿Qué indica la escala de 1:500?
8. ¿Cómo aumentan y disminuyen las unidades
de longitud?
9. Dibuja un modelo de escala gráfica en la escala
1/1000.
10. Explica cómo usar el compás para medir una
escala gráfica.
1 1 . Explica el significado de las escalas de uso en
el dibujo técnico.
E = 1/9
E = 1/20 000
E= 1/100
12. ¿Qué tipo de escalas se emplean en el dibujo
mecánico? Menciona tres ejemplos.
13. ¿Cuál es la posición de la vista y el bisel o cara
de la escala en una lectura?
14. ¿Cuál es la escala absoluta?
15. ¿Qué operación matemática se expresa en una
escala?
16. ¿Cuál es la unidad de longitud?
17. ¿Cómo se representa en palabras la operación
de la escala?
18. Escribe los valores de las unidades de longitud
del Sistema Inglés.
19. ¿A cuánto equivale una yarda en otros valores
del si?
1 yarda
1 pie
20. Escriba todas las equivalencias del metro respecto a sus:
♦ Múltiplos
♦ Submúltiplos
2 1 . Usa la escala 5 cm:300 m y convierte las siguientes longitudes:
♦ 800 m
♦ 6480 m
♦ 12 940 m
2 2 . Realiza las siguientes conversiones:
a) Convierte 2872 m a
♦
♦
♦
♦
dm
mm
km
Dm
b) Convierte 1546 m a
♦
♦
♦
♦
millas
yardas
pies
pulgadas
c) Convierte 5320 yardas a
♦
♦
♦
♦
m
km
pies
millas
2 3 . Relaciona correctamente las operaciones de
conversión con la escala que les corresponde:
a)375mxl
4.50 m x 1
3.75 cm Escala 1:33 1/3 ( )
4.50 cm
b) 3.75 mx 1.5 5.62 cm
4.50 m x 1.5 6.75 cm
Escala 1:25
( )
c) 3.75 m x 2
4.50 m x 2
Escala 1:20
( )
7.50 cm
9.00 cm
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
a) 1:25
(
)
b) 1:75
(
)
c) 1:50
(
)
d)
1:100
(
)
Figura 6-17.
d)3.75mx3 11.25 cm Escala 1:100 ( )
4.50 m x 3 13.50 cm
e)3.75mx4 15.00 cm
4.50 m x 4 18.00 cm
Escala: 1:75 ( )
f) 3.75mx5 18.75 cm
4.50 m x 5 22.50 cm
Escala: 1:50 ( )
25. Completa las proporciones que se presentan a
continuación anotando el dato que hace falta:
a) 21.75 metros equivalen a:
43.50 cm
cm
11.40 cm
escala 1:75
cm
escala 1:50
cm
escala 1:20
36.00 cm
escala 1:25
cm
escala 1:75
cm
e) 14.62 metros equivalen a:
escala 1:75
21.93 cm
escala 1:50
cm
escala 1:100
cm
cm
6.2 Usa tu imaginación y creatividad.
b) 8.35 metros equivalen a
escala 1:25
escala 1:33
d) 7.20 metros equivalen a:
24. En las diferentes escalas relaciona las divisiones de la regla que le corresponden. Apóyate
en tu escalímetro comparando sus divisiones
con las del dibujo (figura 6-17).
escala 1:50
escala 1:75
escala 1:33
c) 3.80 metros equivalen a:
33.40 cm
escala 1:100
cm
escala 1:75
. cm
Con tu escalímetro y empleando la escala de
1:100 obtén las diferentes dimensiones que tiene el plano siguiente de una casa habitación y
acótalas en el lugar que les corresponde.
LA ESCALA Y SUS APLICACIONES. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Y SISTEMA INGLÉS; CONVERSIONES
Jardín
Patio
de
servicio
Clóset
Clóset
Comedor
Cocina
Vestíbulo
Medio baño
Recama ra
Recámara
Baño
Baño
Clóset
Cochera
Estancia
Recámara
Jardín
Planta baja
Escala 1:100
Figura 6-18
Planta alta
Escala 1:100
Dibujo a mano libre
y a mano alzada
Objetivos
particulares
Al concluir la presente unidad el alumno será capaz de:
Conocer y aplicar la técnica básica del dibujo a mano libre a través del trazo suave y preciso de la
línea y la forma.
Conocer y aplicar el dibujo a mano alzada, manejando eficientemente las diferentes técnicas del
dibujo en el trazo rápido y preciso para dibujos requeridos por un mecánico, un albañil, un herrero,
un campesino, un ingeniero, un arquitecto, un topógrafo o cualquier persona.
Objetivos
específicos
Conocer el campo de acción del dibujo artístico y su clasificación.
Adquirir las bases técnicas del dibujo a mano libre.
Usar técnicamente la observación artística.
Dominar el trazo de la línea y la forma.
Practicar el trazo suave de líneas rectas y curvas en diferentes posiciones.
Aplicar la habilidad del trazo en la escritura de número y letras a mano libre.
Dominar la técnica del dibujo a mano alzada.
Practicar el trazo de las diferentes formas o figuras geométricas que propone el método.
Aplicar la técnica del dibujo a mano alzada en trabajos de piezas mecánicas, planos de construcción,
etcétera.
Introducción
El propósito de esta unidad es ofrecer a los alumnos
poseedores o no de talento artístico una base que les
permita dibujar tan fácilmente como escribirían núme­
ros o palabras.
Todos nos damos cuenta de que dibujar más que
un arte es una necesidad: todos podemos dibujar, aun­
que muy pocos elaborar una obra artística. Ésa es la
razón por la que se propone que para una formación
integral en el dibujo técnico son importantes las bases
del dibujo a mano libre y alzada.
Dibujar es una necesidad social, ya que es un
medio de comunicación que permite plasmar una idea,
un objeto, un símbolo, una gráfica o un diagrama.
Desde el niño hasta el adulto, tanto el obrero como
el científico, el ama de casa, el maestro y el alumno
necesitan continuamente dibujar objetos de su entor­
no dependiendo de su actividad o trabajo.
Dibujar es sencillo: cuando tomamos un lápiz y
bosquejamos toscamente un objeto, al realizar trazos
sin un sentido definido en un papel o cuando requeri­
mos dibujar alguna pieza mecánica. En todos esos
casos se requiere dibujar.
En resumen, el dibujo es necesario para un técni­
co, un ingeniero, un arquitecto o un trabajador. Por
ello deben conocer y aplicar la técnica del dibujo a
mano libre y alzada.
El dibujo a mano libre, geométrico y a mano alza­
da ofrece una formación integral para los estudiantes
de dibujo técnico.
DIBUJO A MANO LIBRE Y A MANO ALZADA
Bases técnicas del dibujo
a mano libre
Cualquier individuo que observa un dibujo o un símbolo
estará comprendiendo su significado. Por ejemplo, en las
olimpiadas, competencias deportivas donde se concentran cientos de países con diferentes idiomas, observamos que para establecer la comunicación se emplean una
serie de indicadores llamados símbolos, consistentes en
sencillos dibujos que denotan el deporte que se va a desarrollar. De esta manera todos comprenden el mensaje
plasmado en el dibujo-símbolo, a pesar de la diversidad
de idiomas: los organizadores aprovechan el dibujo para
la comunicación entre los competidores.
Dibujo a mano alzada
En el campo de la ingeniería y otras áreas técnicas se ocupa continuamente el dibujo de trazos rápidos con procesos que no están dentro del rubro del dibujo artístico, pero
sí dentro del dibujo técnico. Mientras el primero tiene un
carácter estético; el segundo requiere precisión y mucha
calidad, lo cual significa que el dibujo a mano alzada es
una combinación de dibujo a mano libre y dibujo técnico,
pero que se caracteriza en que sus trazos son rápidos, precisos y captan todas las características de un objeto.
Su técnica es sencilla y práctica, se parte del trazo
rápido de un croquis del objeto a dibujar y del uso de ejes
auxiliares.
¿Para qué sirve el recurso
de trazado llamado croquis?
Figura 7.1
Composición de líneas rectas y curvas.
Desde hace muchos años el dibujo dejó de tener un
uso exclusivamente decorativo o artístico. El avance de la
ciencia y la tecnología ha tenido siempre un gran aliado
llamado dibujo, disciplina que siempre ofrece apoyo para
el trazo de gran número de objetos.
Por ello, el campo de acción del dibujo es tan amplio
como lo es el avance científico y tecnológico. El dibujo se
clasifica en dos grandes campos:
♦
♦
Figura 7.2
El croquis es transmisor de ideas y de imágenes. Es muy
difícil y a veces imposible transmitir la imagen de un objeto (silla, herramienta, pieza, mecanismo, etcétera) empleando solamente las palabras.
Por ello el hombre emplea un recurso consistente en
trazos sencillos, pero precisos, del objeto que se quiere
transmitir por medio de un dibujo llamado croquis.
Herramienta de trabajo de un técnico: croquis.
Desde el mecánico, el carpintero o el albañil hasta el
ingeniero, el arquitecto o el agrónomo requieren como herramienta de trabajo la habilidad en el trazo del croquis.
La forma como se ha podido dar origen a miles y
miles de objetos caseros, industriales o hasta espaciales es
mediante trazo rápido de ideas que paulatinamente va
logrando tener una expresión gráfica: su croquis.
Dibujo artístico
Dibujo técnico
Formas circulares.
El dibujo artístico comprende gran número de actividades que el hombre moderno necesita. En este campo
además de habilidades y sensibilidad artística se requiere
de bases técnicas, constancia y práctica continua.
Figura 7.3
Croquis de piezas mecánicas.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
¿Quién emplea un croquis? Los técnicos preparan sus
diseños con base en un croquis que después entregan a
los dibujantes, con los cuales efectúan un trazado mecánico.
El croquis es de gran ayuda para el diseñador en la
organización de sus pensamientos e ideas.
Mientras que la efectividad de una línea mecánica se
debe a su uniformidad, la calidad de una línea a mano
alzada recae en su libertad de ejecución.
Las líneas convencionales trazadas mecánicamente
-que veremos a continuación- se muestran en la figura
7.32 trazadas a mano alzada. La línea es débil y en ella
algunos trazos se superponen o no se llegan a tocar.
No se usan las escalas
Los croquis no se realizan. Los objetos se deben dibujar
en sus proporciones mejor posible a ojo. Como habíamos
señalado conviene usar papel cuadriculado, ya que sus
divisiones brindan la oportunidad de establecer escalas
con las cuales se podrá trazar proporcionalmente distintas
partes del objeto.
Un técnico pierde mucho tiempo si comienza su hoja
de estudio a escala o si no hace un estudio preliminar mediante un croquis.
El grado de precisión que se requiere en un croquis
depende del empleo que se le dé a los croquis que se elaboran rápidamente para suplir una descripción oral, pueden ser bastos e incompletos; pero cuando se quiere transmitir una información de gran importancia a otros técnicos
o trabajadores, debemos procurar la mayor precisión.
Materiales para la elaboración
de un croquis
Una de las ventajas principales del croquis es que para su
confección sólo se requieren papel, lápiz y goma para
borrar, es decir, artículos que están al alcance de cualquiera.
Los lápices que se tienen que utilizar son de minas
blandas, como B, HB. La goma tiene que ser blanda, como
por ejemplo la profesional. El papel es blanco preferentemente cuadriculado, lo que rápidamente permite establecer proporciones y además sirve de guía para las líneas.
Figura 7.4 Diferentes tipos de líneas para el dibujo a mano alzada.
Es necesario trazar todas las líneas oscuras, a excepción de las de construcción, las cuales no llegan a borrarse por ser trazadas.
El resto de las líneas son limpias y oscuras. Hay que
acentuar las líneas de trazos cortos y debe existir un claro
contraste entre los tres grosores de líneas. Las líneas de
contorno deben ser gruesas para que se destaquen; las
líneas de acotado y eje, bien finas.
El croquis a mano alzada no se debe considerar como
un dibujo hecho sin cuidado en el cual no se ha puesto el
debido interés. Hay que hacerlo con el mayor cuidado
posible.
Afilado del lápiz
Se debe utilizar un lápiz de mina blanda, como por ejemplo B o HB y afilarlo hasta que se obtenga una punta
cónica, como se muestra en la figura 7.5. Para las líneas
de construcción de ejes y acotado se emplea la punta afilada; para trazar los contornos con el grueso de línea deseado, la punta debe gastarse un poco.
Tipo de croquis
La mayoría de los croquis corresponden a objetos de tres
dimensiones y, por lo tanto, deben servir para representados; sin embargo, comenzar con figuras planas típicas nos
ayudará en otras representaciones.
Figura 7.5
Afilado del lápiz.
Técnica para el trazado
de líneas a mano alzada
Trazado de líneas rectas
La principal diferencia entre un trazado mecánico y un
trazado a mano alzada recae en el carácter de la línea.
Una buena línea a mano alzada no tiene motivo para ser
estrictamente recta o uniformemente exacta como una línea mecánica.
Como la mayoría de las líneas en un dibujo son rectas, es
necesario aprender a trazarlas correctamente. Por ello se
sugiere practicar hasta lograr el dominio de las mismas.
Para elaborar el croquis se emplean puntas afiladas o
redondas, según el tipo de línea que se va a trazar.
DIBUJO A MANO LIBRE Y A MANO ALZADA
Por lo anterior, se sostiene el lápiz de modo natural a
una distancia de 40 mm desde la punta y aproximadamente en ángulo recto con la línea que se va a trazar. Las
líneas horizontales se trazan de izquierda a derecha, mediante un movimiento libre de muñeca y dedos; las líneas
verticales, hacia abajo, con el mismo movimiento de muñeca y dedos.
Las líneas inclinadas se trazan como horizontales o
verticales, mediante el movimiento de la hoja de papel.
El trazado de cuadriláteros a mano alzada es más
complejo. Los paralelogramos tienen especial dificultad a
causa del paralelismo de sus lados opuestos.
En el caso de cuadrados y rectángulos, la perpendicularidad entre sus lados adyacentes se mejora y se logra
después de mucha práctica.
Figura 7.8 Trazo de cuadriláteros.
Figura 7.6 Trazo de líneas rectas.
Para trazar líneas muy largas se marcan los puntos extremos y después se mueve el lápiz hacia adelante y hacia
atrás entre los puntos, en largos recorridos, marcando siempre el punto hacia donde se dirige el lápiz en movimiento. La
punta del lápiz debe tocar ligeramente el papel, y en cada
nuevo trazo hay que corregir los defectos. Cuando se hayan
establecidas las líneas suficientes se aplica una presión mayor, reemplazando la línea de construcción con líneas precisas y nítidas, realizadas con lápiz blando; entonces se borra
ligeramente y se traza por último la línea necesitada, manteniendo ahora la vista sobre la punta del lápiz.
Un método fácil de trazar líneas horizontales o verticales muy largas se muestra en la figura 7.7 el cual consiste en sostener el lápiz firmemente y deslizar la mano por
la punta de los dedos a lo largo del borde del bloc de
papel o tablero de dibujo.
En los paralelogramos se debe prestar interés en el
trazado de las líneas inclinadas, sobre todo con el paralelismo entre éstas, pues generalmente ocurre que es más
fácil que éstos se consigan en las líneas horizontales que
en las verticales o inclinadas; también hay que tener presente que en estos dos casos las líneas son paralelas dos a
dos, es decir, los lados opuestos tienen que ser perfectamente paralelos.
En los trapecios se tiene mayor libertad de ejecución,
pero no se debe olvidar el paralelismo de sus lados en
algunos casos.
Figura 7.9
Trazo de trapecios.
Trazado de polígonos regulares
de tres, cuatro y más lados
Para el trazado a mano alzada de triángulos y cuadriláteros es importante recordar los métodos de trazado de líneas rectas.
NOTA: También se pone marca a distancia y posteriormente se traza la línea por estos puntos.
Figura 7.7 Trazo de líneas rectas a lo largo del tablero de dibujo o
bloc de papel.
En los triángulos rectángulos lo fundamental es tratar
de que los dos catetos sean perfectamente perpendicu-
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
lares entre sí, para lograr el ángulo recto que les da nombre y prestar atención a los otros dos ángulos del triángulo, ya sean de 45° y 45° o de 30° y 60°.
las líneas inclinadas y conservar "a ojo" la proporción y la
equidistancia de sus lados, sobre todo en las figuras que
más se nos presentan: pentágonos, hexágonos y octágonos.
Para los pentágonos el mejor método es trazar el esquema de una estrella de cinco puntos y unir los extremos
de éstas.
Figura 7.10 Trazo de triángulos rectángulos.
En los triángulos equiláteros lo más difícil de lograr a
mano alzada es que sean equiláteros en realidad, es decir,
que tengan sus tres lados iguales; esto se puede realizar
perfectamente si no olvidamos las proporciones, ya que a
veces la vista engaña y un triángulo en apariencia "equilátero" es en realidad isósceles, pues la vista se fija, por lo
general, en la base. Para comprobar que los triángulos
dibujados son en realidad equiláteros, lo mejor es girar el
papel y mirar la figura desde varios puntos.
Las distancias de los lados deben acotarse "a ojo".
Figura 7.13
Trazo de pentágonos.
En los hexágonos se pueden emplear varios métodos, de los cuales quizás el más sencillo sea el siguiente:
se traza primero una línea horizontal, después dos líneas
inclinadas que corten a la primera, de tal forma que entre
cada línea trazada exista un ángulo aproximado de 30°.
Luego se marca en cada recta una misma distancia desde
el centro. Por último se unen todos esos puntos.
Figura 7.11 Trazo de triángulos equiláteros; para apreciar el tamaño de los lados debe girarse el papel a diferentes posiciones.
Figura 7.14 Trazo de hexágonos.
Los triángulos isósceles y obtusángulos son relativamente fáciles de dibujar. Los primeros porque al tener una
base cualquiera y una perpendicular, se pueden trazar los
lados restantes. De la misma forma sucede con los obtusángulos: si se da el ángulo mayor a 90° opuesto a la
hipotenusa, se traza con rapidez.
En los octágonos un método sencillo consiste en trazar
dos rectas perpendiculares entre sí, que formarán entre ellas
cuatro ángulos rectos o de 90°. Se toma uno de esos ángulos y se traza una recta inclinada que lo divida en dos partes iguales, cada una de ellas con un valor de 45°. Esta
recta se traza rápidamente, lo cual se continúa para que
ocurra lo mismo en el ángulo de 90° opuesto al primero, y
luego con los restantes ángulos opuestos de 90°.
Figura 7.12 Trazo de triángulos isósceles y obtusángulos.
Figura 7.15
En otras figuras geométricas, como en los polígonos
regulares, la atención principal debe estar en el trazado de
Trazo de octágonos.
Por lo tanto, quedará una figura con ocho ángulos
iguales. La marca "a ojo" una distancia igual en cada una
DIBUJO A MANO LIBRE Y A MANO ALZADA
de las rectas y luego se unen esos puntos. Así se forma el
octágono.
Trazado de círculos y arcos
Los círculos y los arcos pequeños pueden dibujarse con
facilidad en uno o dos trazos, como se hace un trazo de
letras.
Figura 7.16
Trazo de círculos pequeños.
Un método para dibujar los círculos grandes es el siguiente: primero, se traza un cuadrado que lo circunscriba;
después, se marcan los puntos medios de los lados del
cuadrado y se trazan arcos ligeramente tangentes a los
mismos; posteriormente se refuerza el círculo como se
aprecia en la figura 7.17.
En ambos métodos se borran ligeramente todas las
líneas de construcción antes de trazar el círculo final.
Trazado de elipses
Al igual que los círculos y los arcos, las elipses pequeñas
se pueden trazar mediante un movimiento de muñeca,
el cual se debe practicar de la siguiente forma: se sostiene el lápiz de modo natural, descansando el peso de la
parte superior en el antebrazo y se mueve con rapidez el
lápiz sobre el papel en la trayectoria elíptica deseada, se
repite la operación dibujando arcos de elipses, y por último se borra ligeramente la elipse y se refuerza (remarca).
Otro método consiste en dibujar el rectángulo que circunscribe la elipse, para lo cual se marcan los puntos medios de los lados y se trazan los arcos tangentes, de la
forma que se indica en la siguiente figura, entonces se
completa la elipse con suavidad, se borran ligeramente
líneas y se refuerza el trazo de la elipse.
Figura 7.19
Figura 7.17
Trazo de círculos grandes.
Otro método consiste en dibujar los dos ejes del círculo
y trazar líneas radiadas a 30°; después, se trazan marcas
sobre cada línea con la distancia del radio estimado, a
partir del centro trazar arcos de circunferencias de un punto
a otro y por último reforzar el círculo.
Figura 7.18 Otra opción para el trazo de círculos grandes.
Trazo de una elipse.
También se usa el método de la tira de papel, el cual
es preferible cuando se trazan elipses grandes; consiste en
lo siguiente: se prepara una tira de papel y se marcan sobre ella los dos semiejes BC y AO; después, haciendo coincidir las marcas B y O sobre los ejes de la elipse, se
obtendrán los puntos de la elipse pedida, como se indica
en la figura 7.20.
Figura 7.20 Otro método para el trazo de una elipse.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
ACTIVIDADES Y PRÁCTICAS PARA EL TALLER
7.1
Cuaderno de trabajo
Lee detenidamente cada una de las preguntas, re­
flexiona y contesta lo que se te pide, si no recuerdas
algo puedes investigar en el libro de dibujo o en otros
libros.
1. ¿A qué se le llama dibujo a mano libre?
2. Para poder dibujar ¿es necesario que la perso­
na deba tener talento artístico?
3. ¿Consideras que una persona puede dibujar
con sólo aprender una técnica básica?
4. ¿Consideras que el dibujo es necesario para una
ama de casa, un albañil, un obrero?
5. ¿Qué es recomendable para abordar el dibujo
geométrico y técnico?
6. ¿Crees que es necesario el dibujo para elabo­
rar objetos, símbolos, gráficos, diagramas, pla­
nos, etcétera?
7. ¿Por qué decimos que dibujar es una necesi­
dad social?
8. Antes de elaborar una casa, un pantalón, un
lápiz, un barco, ¿qué se ocupa?
9. Si una persona sabe escribir puede
.
10. ¿Cómo clasificamos el dibujo artístico?
1 1 . ¿Qué entiendes por dibujo al natural?
12. ¿Por qué es importante la observación en el
dibujo?
13. ¿Cuál es la diferencia entre observar y mirar?
14. ¿Qué entiendes por forma?
15. ¿En el dibujo qué papel desempeña la línea?
16. Explica tres recomendaciones para el trazo de
líneas a mano libre.
17. ¿Cuál es el papel que juega la línea en el dibujo?
18. ¿Qué transmiten las líneas curvas?
19. Si se sabe escribir, se puede dibujar, pero para
ello se requieren tres habilidades:
a)
.
b)
.
c)
.
2 0 . ¿En qué consiste escribir-dibujar un objeto?
2 1 . ¿Qué entiendes por dibujo a mano alzada?
2 2 . ¿Cuál es el campo de acción del dibujo a mane
alzada?
2 3 . Cuando un topógrafo o ingeniero realiza un cro­
quis del lugar donde se llevará a cabo una obra,
¿qué tipo de dibujo ocupa?
2 4 . Un electricista, un fontanero, un herrero, un al­
bañil o un ingeniero al tomar datos de un tra­
bajo ¿con qué tipo de dibujo toma el borradoi
inicial?
25. ¿Qué entiendes por croquis?
26. ¿Quiénes emplean los croquis?
27. ¿Qué tipo de materiales se emplean para elaborar un croquis?
28. ¿Cómo es la calidad de una línea mecánica?¿Y
la de la línea a mano alzada?
29. ¿Cómo son las siguientes líneas? Dibújalas y
explica sus características.
♦ Contorno
♦ Acotado
♦ Eje
30. ¿Cómo debes sostener el lápiz para el trazo de
líneas rectas?
3 1 . ¿Cómo se puede elaborar un triángulo rectángulo?
32. ¿Qué procedimiento se debe emplear para trazar un círculo?
3 3 . ¿Qué entiendes por trazo mecánico?
34. ¿Cómo empleas la escala en un croquis?
35. ¿Cómo se traza el croquis para las siguientes
figuras?
♦
♦
♦
♦
♦
♦
♦
Triángulo
Paralelogramo
Pentágono
Hexágono
Octágono
Círculo
Elipse
7.2 Usa tu imaginación y creatividad
Observa cinco objetos para que identifiques en ellos
la composición de sus formas geométricas; por ejemplo, un foco puedes dibujarlo auxiliándote en un trapecio, un rectángulo y un círculo.
Elabora el croquis de diversos edificios, una catedral, un trailer, un avión, un engrane y un tren empleando el dibujo a mano alzada.
7.3 Investigación
1. Menciona varios pueblos de la antigüedad que
se conozcan por sus obras con valor artístico.
2. Escribe cinco actividades en las que se emplee
el dibujo.
3. Explica de qué niveles académicos forma parte
el dibujo.
4. Investiga qué actividades técnicas o profesionales emplean dibujos a mano alzada.
7.4 Prácticas para el taller de dibujo
A continuación se presentan una serie de ejercicios
lineales para que el profesor seleccione los que más
se adecuen a su curso y con ellos los alumnos pue-
DIBUJO A MANO LIBRE Y A MANO ALZADA
dan realizar sus prácticas de dibujo en el taller o en
casa.
Con el propósito de no repetir información en
esta unidad -la unidad 4 sirve para actividades de
ambas unidades- sugiero que se tomen unas con la
conducción del profesor y se dibujen a mano libre o
alzada y a lápiz.
3. Selecciona diferentes objetos de tu casa y con la
conducción del profesor dibújalos a mano libre
de acuerdo con la técnica indicada, por ejemplo:
1. Ensaya una serie de ejercicios de línea recta y
curvas a mano libre, con trazo suave con base
en ejercicios que se proponen en el libro o los
que el profesor sugiera.
4. Traza a mano alzada lo siguiente:
♦
♦
♦
♦
Lámina 1. Trazo de líneas rectas horizontales.
Lámina 2. Trazo de líneas rectas verticales.
Lámina 3. Trazo de líneas rectas inclinadas.
Lámina 4. Trazo de líneas rectas combinadas
en distinta posición.
♦ Lámina 5. Trazo de líneas rectas curvas.
♦ Lámina 6. Combinación de líneas rectas y curvas.
2. Elabora otra serie de láminas a mano libre y a
lápiz.
♦ Lámina 7. Abecedario de mayúsculas.
♦ Lámina 8. Abecedario de minúsculas.
♦ Lámina 9. Números.
♦
♦
♦
♦
♦
♦
♦
♦
Composición de jarra con vasos
Un frutero
Una maceta
Un automóvil
Circunferencias
Cuadrados
Triángulos
Combinaciones de estas figuras
5. También traza a mano alzada:
♦
♦
♦
♦
♦
♦
Tornillos
Tuercas
Engranes
El plano de una casa
Un plano eléctrico
Un torno
6. Visita un taller o una fábrica y con la técnica de mano
alzada dibuja varias piezas mecánicas, mecanismos,
máquinas, transformadores, lámparas, etcétera.
7. Traza las siguientes figuras decorativas a mano
alzada.
Hexágono
Estrella hexagonal
Entrelazado
Estrella octagonal
Triángulo equilátero
Entrelazado
Figura 7.21
La perspectiva
Objetivos
particulares
Al término de la presente unidad el alumno será capaz de:
♦ Conocer, comprender y aplicar la técnica básica de la perspectiva científica y práctica.
Objetivos
específicos
♦ Conocer las razones del uso de la perspectiva práctica.
♦ Comprender las bases técnicas de la perspectiva cónica en sus presentaciones en los planos de
proyección.
♦ Identificar las bases y aplicación de las perspectivas científica y práctica.
♦ Manejar la perspectiva con uno, dos y tres puntos de fuga.
♦ Aplicar la perspectiva para el trazo de objetos, calles, edificios, etcétera. Hay que apegarse a las
normas de higiene y seguridad del dibujo.
Introducción
¿Para qué nos sirve la perspectiva? Toda persona que
tiene la necesidad de dibujar trata de darle sentido
real a las cosas. Para lograr ese efecto de profundi­
dad existe una técnica sencilla y práctica llamada
perspectiva.
La perspectiva ofrece la posibilidad de presentar
en un plano, ya sea una hoja de papel, un cuadro,
etcétera (que tienen dos dimensiones), objetos de tres
dimensiones: largo, ancho y espesor. Así, se produce
el efecto psicológico de la tercera dimensión, es de­
cir, de profundidad; esto lo podemos realizar al trazar
dos líneas convergentes, como se observa en la figu­
ra 8.1 con los rieles del ferrocarril, que son dos vías
paralelas prolongadas hasta una gran distancia.
Esa técnica la emplea desde el ingeniero, el ar­
quitecto, el dibujante, el técnico, el artista hasta el pin-
Figura 8.1
tor. Sirve para dibujar objetos que van desde piezas
mecánicas, edificios, planos, carreteras, vías de fe­
rrocarril hasta una inmensa variedad de cosas más.
LA PERSPECTIVA
Nociones de geometría
descriptiva
Cuando se tiene la necesidad de representar las figuras y
cuerpos en el espacio, necesitamos apoyarnos en un recurso matemático llamado geometría descriptiva.
Figura 8.3
Distancia 4
Alejamiento 5
Cota 8
Figura 8.2
Para facilitar la localización y mejorar la vista de ubicación se agrega al diedro (dos planos) otro plano para
Para representar los cuerpos o figuras se requieren
emplear los planos de proyección o ángulos diedros.
Planos de proyección
Estos dos planos se cortan perpendicularmente uno en
posición horizontal (PH) y otro vertical (PV) que se cortan
en forma perpendicular.
A la línea donde se intersectan los planos se le llama
línea de tierra (LT).
Cómo localizar puntos
y líneas en el espacio
Se recurre al uso de coordenadas por medio de tres valores:
Punto
P(4, 5, 8)
Figura 8.4
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
formar un triedro de proyección, donde la ubicación del
punto P(4,5,8) de la recta ubicada en la figura 8.5.
La perspectiva en el dibujo técnico
Uno de los recursos que emplea el dibujo técnico para el
estudio de poliedros, cónicas, cilindro, esfera, toro, entre
otros, es con base en las proyecciones de estos objetos
sobre otro(s) más plano(s).
Para ello se emplean los diferentes sistemas de representación que consisten en proyectar en dos dimensiones
los objetos tridimensionales mencionados con anterioridad.
De acuerdo con el tipo de proyección utilizada dependerá el sistema de representación empleada.
Proyecciones oblicuas y cónicas
Los dibujos en perspectiva son recursos del dibujo técnico que sirven para representar proyecciones axonométricas
oblicuas o cónicas, y con ellas hacer dibujos de elementos
constitutivos de herramientas, piezas mecánicas, instrumentos e instalaciones industriales de diferentes tipos.
Figura 8.5
¿Qué efectos produce
la perspectiva?
La perspectiva hace posible presentar los dibujos de los
objetos en un sentido real, tal como lo percibe la vista, es
decir, en forma tridimensional (tres dimensiones: largo,
ancho y espesor). También podemos llamarle dibujo al
natural, porque los objetos que se dibujan con esta técnica adquieren un sentido de profundidad y dimensión.
Figura 8.6
Perspectiva cónica con un punto de fuga.
Proyección cónica
Figura 8.7
Proyección caballera
Proyecciones oblicuas: cónica y caballera.
Tipos de proyecciones
De acuerdo con la forma en que se proyecta sobre un
plano, la recta o el sólido geométrico recibe(n) su nombre: a) proyección cilindrica ortogonal, b) proyección cilindrica oblicua c) proyección cónica.
Lo que comúnmente se proyecta de los sólidos
geométricos son sus caras, aristas o vértices en los planos,
de acuerdo con el número de vistas que se requiera.
Proyecciones axonométricas oblicuas
Es uno de los sistemas de representación que se puede
emplear sobre un plano de proyección y un triedro trirrectángulo, donde la proyección cilindrica es oblicua.
Las proyecciones axonométricas son oblicuas debi­
do a la posición inclinada del modelo con respecto al pla­
no de proyección, y se clasifican en:
♦
♦
♦
Isométrica. Lo forman ejes con ángulos iguales (120°).
Dimétrica. Ejes formados por dos ángulos iguales y
uno diferente.
Trimétrica. Está formada por ejes con los tres ángulos
diferentes.
Los ángulos entre los ejes en las proyecciones dimé­
tricas y trimétricas pueden variar respecto al modelo que
se quiera representar, sin embargo, la suma de estos án­
gulos debe ser siempre de 360°.
Isométrica
Por lo tanto, la perspectiva lineal o cónica es un siste­
ma de representación cuyas proyecciones tienen la forma
de un cono.
Perspectivas de un cubo
Dimótrica
Cuando un cubo tiene dos caras paralelas, el plano del
cuadro, las aristas de dichas caras, se proyecta paralelo a
sí mismo y las otras caras al ser perpendiculares al plano
del cuadro se proyectan como un haz de rectas hasta jun­
tarse en punto P, al cual le llamamos de fuga.
Trimétrica
Figura 8.8
Proyecciones axonometrías oblicuas.
Perspectiva caballera
Esta es una axonometría oblicua que tiene la particulari­
dad de que las proyecciones de los dos ejes forman 90°.
Con las perspectivas caballeras se pueden pasar los
datos en diédrico simplemente desabatiéndolos.
Figura 8.11
Perspectiva lineal: cubo con dos puntos de fuga.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Si el cubo tienen cuatro caras oblicuas al plano del
cuadrado, las proyecciones de las aristas se juntan en dos
puntos de fuga.
Perspectiva oblicua
o de tres puntos de fuga
Cuando las proyeccioens de las aristas del cubo se juntan
en tres puntos, a esta perspectiva se le llama cónica o de
tres puntos, lo cual se debe a que el cubo tiene todas las
caras oblicuas al plano del cuadro, y oblicuas serán también las tres direcciones de haz de rectas en el espacio.
del artístico. En el primero se emplean diferentes sistemas
de representación de los sólidos geométricos que tienen
tres dimensiones, como por ejemplo: cubo, cilindro, poliedro,
etcétera, y que al proyectarse en los planos lo hace en dos
dimensiones y si la proyección es cónica el haz de rectas
concurre a un punto de fuga. En resumen, los sólidos de
tres dimensiones al proyectarse lo hacen en dos, y si es
cónica concurren en un punto llamado de fuga.
En cambio, en el dibujo arquitectónico o artístico, para
darle un sentido real a los objetos, se emplea la técnica de
la perspectiva cónica, pero con carácter práctico, sin tener
que recurrir tan específicamente a los planos de proyección.
Perspectiva lineal o práctica
La perspectiva es una rama muy importante tanto del dibujo técnico como del dibujo artístico. En ambos campos
del dibujo se aplica esa técnica: en el primer caso se le denomina científica; y en el segundo, se le llama práctica.
Figura 8.12 Perspectiva cónica de un cubo con tres puntos de fuga.
Caracterización de
la perspectiva en el dibujo
técnico y el dibujo artístico
Es importante resaltar las características específicas de la
perspectiva del dibujo técnico y del dibujo arquitectónico o
Figura 8.14
Perspectiva lineal o práctica.
Figura 8.15
Perspectiva con un punto de fuga.
S LH
Perspectiva arquitectónica
Figura 8.13
En esta perspectiva encontramos que todas las líneas siguen tres direcciones: las verticales, la fuga de líneas al
LA PERSPECTIVA
Figura 8.16
Perspectiva con dos puntos de fuga.
punto derecho y la fuga de líneas al punto izquierdo (véase la figura 8.15).
Principios generales
♦
La imagen perspectiva de una línea recta, pero de
menor tamaño, por ejemplo, líneas ab, a'b, á'b", a"'b"".
Principios que rigen la perspectiva
Principios fundamentales
♦
♦
La magnitud o tamaño de los objetos disminuye en
razón de su alejamiento.
De dos objetos (magnitudes) iguales el más distante
parece ser el más pequeño.
Figura 8.17
Perspectiva arquitectónica.
Figura 8.18
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Cuando una recta está de frente a su imagen, es paralela a la recta y en la misma dirección puesto que
todos los puntos están equidistantes del cuadro, por
ejemplo ab, a'b, a"b" o bd, b'd, b"d".
d)
Las líneas paralelas convergen en un punto de fuga:
ab, db' y á'b" convergen en P.F., situado sobre LH.
Procedimiento:
Se dibuja la cara del objeto paralelo al plano del dibujo.
Se ubica el punto de fuga donde más convenga.
La línea del horizonte [LH) es paralela a las líneas horizontales del objeto.
Se trazan líneas auxiliares que parten de los puntos principales de la cara representada hacia el punto de fuga.
♦
♦
♦
♦
Perspectiva de dos puntos de fuga o angular
Figura 8.19
♦
En este caso dos de sus caras son oblicuas al plano horizontal y las líneas paralelas convergen a los lados en dos
puntos de fuga sobre el horizonte.
Cuando una recta se fuga, la dirección de su imagen
se obtiene determinando su punto de origen y su punto de fuga, por ejemplo ac, bc.
P.F.l.
P.F.D.
Figura 8.22
Figura 8.20
Perspectiva cónica
Perspectiva en un punto de fuga o paralela
Perspectiva de tres puntos de fuga oblicua
Tres de sus caras son oblicuas al plano pletórico y las líneas paralelas convergen en dos puntos sobre el horizonte y sobre un punto arriba o abajo de éste (horizonte).
a) Una de sus caras es paralela al plano de fuga [ab paralela LH).
b) Hay un punto de fuga P.F.
c) Hay una línea de horizonte LH.
Figura 8.21
NOTA: LH significa línea horizontal; P.F, punto de fuga; P.F.l., punto
de fuga izquierdo; P.F.D., punto de fuga derecho.
LA PERSPECTIVA
Cómo dibujar
perspectivas
con rapidez
1. La capacidad para dibujar perspectivas con rapidez es
algo que le interesa al dibujante. De hecho, la perspectiva no es más que un medio de alcanzar un fin y así es
como debe tomarse. El método que se expone a continuación es un medio de visualizar espacios que existen en la mente, su puesta en práctica es rápida y sencilla, aunque se aplique a distintas clases de gráficos.
Se elige una escala y se dibuja un marco del cuadro en
la superficie de dibujo, cuyas aristas se dividen y señalan en partes iguales. A continuación se traza la línea
del horizonte a nivel del ojo, altura convencional que
se sitúa a 1.50 m por encima de la línea de tierra.
2. El punto de fuga controla la dirección de la visión,
por lo que su posición en la línea del horizonte y, de
ser ello posible lejos del centro, será aquella que dé
mayor dinamismo al dibujo. Entonces, y desde el punto de fuga, se trazan líneas radiantes que pasen sobre
cada una de las divisiones de la base de "marco de
cuadro".
Figura 8.24
ACTIVIDADES Y PRÁCTICAS PARA EL TALLER
8.1
Cuaderno de trabajo
Lee detenidamente lo siguiente y contesta lo que se
te pide.
1. ¿Para qué nos sirve la perspectiva?
2. ¿Qué estudia la perspectiva?
3. ¿Qué entendemos por tercera dimensión?
4. ¿Qué sentido psicológico provoca la perspectiva?
5. ¿Cómo se clasifica la perspectiva lineal o práctica?
6. ¿A qué le llamamos perspectiva de dos puntos
de fuga?
Figura 8.25
7. Explica los pasos para aplicar la técnica de perspectiva con un punto.
8.2
Prácticas en perspectiva básica con uno y dos puntos de fuga.
Prácticas para el taller de dibujo
Con la asesoría y conducción de tu profesor selecciona algunos de los ejercicios propuestos en tu libro y elabora algunos, primero a mano libre y después, cuando domines el uso de tus instrumentos
geométricos, elabóralos con ellos.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Figura 8.25 (continuación)
Prácticas en perspectiva básica con uno y dos puntos de fuga.
a = altura
o lado
b = base
o lado
Tiene cuatro
lados y cuatro
ángulos rectos
Sus cuatro
ángulos son
iguales a 90°,
o sea, rectos.
Sus ángulos
son rectos o
sea de 90°.
a = a;b=b
Lados
opuestos
son ¡guales
Sus cuatro
lados son
¡guales.
P=2a + 2b
P = 41
Diagonal:
d= 1.414/
P= a + b + c
P = a+b + c
P=31
P=AB + BC + AC
En los ángulos
se mide su
abertura no
sus lados
Perímetro
A=ab
A = l2
A=
A=
A=
A =
Área
perímetro
2A
h
2A
4
p
/ =0.707 d .l
/=
/=
para calcular el valor
de sus lados
c =
b =
a =
Teorema de Pitágoras
3
Altura = 0.866 /
/=1.155ft
h=
b=
Fórmulas deducidas
NOTA: Es importante recordarte a todos los alumnos que en la matemática se acostumbra emplear letras que representan medidas de los lados o ángulos;
ejemplo: P= perímetro; A = área; I, bo c, lado;Ro r= radio; A, So C, ángulo; a = apotema; Do d= diagonal o diámetro; c= longitud de circunferencia, etcétera.
Rectángulo
Cuadrado
Triángulo
rectángulo
/=lado
d= diagonal
La hipotenusa
es más grande
que sus
catetos.
b y c = catetos
a = hipotenusa
h = altura
Tiene 3 lados
y un ángulo
recto.
Tiene cuatro
lados y cuatro
ángulos ¡guales
Sus tres
lados son
¡guales.
a, b y c = lados
/=lado
h = altura
Tiene 3 lados
y 3 ángulos
¡guales
Triángulo
equilátero
Sus lados
pueden ser
¡guales o
diferentes
b - base
h = altura
p = perímetro
a = área
El tamaño
de sus lados
no tiene
límite.
Lados
Figura plana
cerrada de 3
lados y 3
ángulos
El ángulo es
menor de 90°.
Ángulos
Triángulo
Notación
AB = Lado
AC = Lado
A
Características
Ángulo agudo,
su abertura
es menor
de 90°.
Figura
Ángulo
Nombre
Características, fórmulas y valores de las figuras planas.
Perímetro. Es igual a la suma de la longitud de los lados de una figura plana.
Área. El área de una figura plana es el espacio o superficie limitada por sus lados
Ángulo. Es la abertura de dos semirrectas que concurren a un punto llamado vértice.
Características. Son los elementos que constituyen a una figura geométrica.
Notación. Son los nombres que se le asignan a los diferentes elementos de las figuras geométricas.
Lados. Es la semirrecta limitada por dos letras y forman parte de una figura geométrica.
Fórmulas deducidas. Éstas se obtienen a partir de la fórmula principal (área, volumen, etcétera) en ellas encontramos los valores de los
elementos desconocidos de las figuras geométricas.
Principios y conceptos básicos de geometría bidimensional
Circunferencia,
círculo
Polígonos
regulares
Cuadrilátero
cualquiera
Trapecio
Rombo
Paralelogramo
Nombre
Apotema
Mitad del perímetro
del pentágono
Figura
D = diámetro
Linea que pasa
por el centro y
toca en dos puntos
la circunferencia.
r= radio
Línea que parte
del centro y toca
en un punto ia
circunferencia.
/ = lado
a = apotema
h = número de
lados
1 = pentágono
2 = hexágono
3 = octágono
Figuras planas
cerradas que
tienen todos
sus lados y
ángulos
iguales.
Circunferencia
es ia línea
curva cerrada,
equidistante a
un punto
llamado centro.
Al área Interna
se llama círculo.
Sus ángulos
pueden ser
¡guales o
diferentes.
a, b,c = lados
D = diagonal
mayor
d = diagonal
menor
Figura plana
de 4 lados,
que puede
ser igual o
diferente.
El ángulo
de un
círculo es
de 360°
Los ángulos
internos
de los
polígonos
deben ser
¡guales.
Los ángulos
formados
en cada
base son
¡guales.
a, b, c, d= lados
by d = lados
paralelos
H= altura lado
a = lado c
Carece
de lados.
Sus lados
son iguales.
a, b, c, d= lados
diferentes.
a=c
b≠d
Sus cuatro
lados son
iguales
AB = BC =
CD = AD
Los ángulos
opuestos
son iguales:
Figura plana
de 4 lados, sus
lados opuestos
inclinados son
iguales.
Sus lados
opuestos
son ¡guales:
a = a'
b= b
Lados
Sus ángulos
opuestos
son ¡guales:
Ángulos
/=lado
D = diagonal
mayor
d = diagonal
menor
h =altura
b = base o lado
a = lado
Notación
Sus cuatro
lados son
¡guales.
Sus lados
y ángulos
opuestos
son iguales.
Características
p = c = longitud
de circunferencia.
(Base x altura)
Mitad del perímetro del hexágono -
P=nl
P=a+b+c+d
P=a+b+c+d
P = ΛI
P=2a + 2b
Perímetro
A =
A =
= 0.758d
A = 1.721
A= 2.598
A = 3.634
A = 4.828
A= 6.182
A = 7.694
o bien
(b+d)h
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Eneágono
Decágono
A =
A=bh
Área
=
2A
h
b =
d = 0.318 C
r = 0.159C
d =
2A
b+d
h =
d=
D=
/
h=
b =
Fórmulas deducidas
Elipse
Sector
circular
Segmento
circular
Corona
circular
/= longitud del arco
r= radio
n = número de grados
a = semieje mayor
b = semieje menor
Es la porción del círculo
cuyos lados equivalen a
un radio.
Es la figura plana
cerrada.
Cuadriláteros
La paiabra
cuadrilátero
significa cuatro
lados y se dividen
en tres grandes
grupos.
círculo
Elementos
del
r= radio
h= altura o flecha
n = número de lados
c= cuerda
Se le llama así a una
porción del círculo,
limitado por una recta
llamada cuerda.
Los ejes son
perpendiculares
entre sí.
Dos de sus
lados están
formados
por radios.
Carece de
lados.
Carecen de
lados.
aproximado
P=/+2r
valor
/ = 0.017.45m
P = 0.01745-rn+c
A= 0.00873 r2n
Trapezoide
Trapezoides
Los que no tienen lados paralelos
Lados iguales de 2 en 2, 2 ángulos
agudos iguales y 2 obtusos iguales.
Romboide
Trapecios
Lados iguales de 2 en 2
y los 4 ángulos rectos.
Los 4 lados iguales, 2 ángulos agudos
iguales y 2 obtusos ¡guales.
Los 4 lados iguales y
los 4 ángulos rectos.
Rectángulo
Rombo
Trapecios
Sólo tienen 2 lados paralelos.
Paralelogramos
Son los que tienen sus
lados opuestos paralelos.
Cuadrado
Es la recta que va del centro a cualquier punto de la circunferencia.
Es la recta que pasa por el centro y toca a dos puntos de la circunferencia: 1D = 2r
Es la recta que toca en punto R a la circunferencia.
Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos L y M.
Es la recta que toca en dos puntos a la circunferencia sin pasar por el centro.
Es la recta o altura del segmento circular T.
El ángulo está en
función del tamaño
del arco.
El ángulo "n"
depende del
tamaño de la
cuerda.
Los círculos tienen
un ángulo de 360°.
r, radio.
D, diámetro.
R, tangente.
LM, secante.
SP, cuerda,
f, flecha.
D = diámetro mayor
d= diámetro menor
R - radio mayor
r= radio menor
Es el área formada por
los dos circuios
concéntricos.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Medición de ángulos
La unidad más común para la medición de ángulos es un
pequeño ángulo llamado grado. El instrumento utilizado
para medir ángulos en grados se llama transportador. Tiene 180 grados indicados en ambos lados, de tal manera
que podemos medir fácilmente cualquier ángulo. La medida del ZABC es 30. El tamaño del ZABC es 30 grados,
también se puede escribir así: 30°.
Estudia el transportados e indica el número de grados que
tiene cada ángulo:
M
1. m
2. m
3. m
4. m
5. m
6. m
=α
= b
= c
= d
= e
=f
7.m
8. m
9.m
10. m
11.m
12. m
= 3
= h
= i
= j
= k
=l
APÉNDICES
2. SUGERENCIAS AL PROFESOR
A continuación sugiero una serie de ejercicios que usted estará en posibilidad de seleccionar de acuerdo a alcance y
características específicas de cada grupo, la técnica de su trazo será de su elección; por ejemplo, con lápiz o a tinta, a
mano libre o alzada o con instrumentos geométricos, etcétera.
Cuestionario
1. ¿Consideras necesario el uso de diferentes tipos de
líneas en el dibujo? ¿Por qué?
2. Dibuja los diferentes tipos de líneas empleadas en el
dibujo industrial.
♦
♦
♦
♦
♦
Línea de contorno
Línea de rotura parcial
Línea de dimensión o extensión
Línea de aristas invisibles
Línea de plano de referencia
3. De acuerdo al dibujo arquitectónico y de construcción en su norma se emplean tres gruesos de líneas,
¿cuáles son?
4. Dibuja el siguiente tipo de líneas de construcción:
♦ De extensión
♦ De eje
♦
♦
♦
♦
De trazo
Oculta
Contorno
Límite de terreno
5. ¿Cómo debe usarse la tinta china?
6. ¿Cuáles son las letras transferibles?
7. ¿Cómo se usan las letras transferibles?
8. Explica la técnica para rotular con plantilla.
9. Explica la técnica a emplear cuando entintas
un trabajo a lápiz con tiralíneas.
10. ¿Qué es un leroy?
11. ¿A qué le llamamos reglas paralelas?
12. Explica la forma como se rotula con leroy.
13. ¿Qué es un tecnígrafo?
14. ¿Cómo se dibuja con un tecnígrafo?
15. ¿Qué tipo de plumillas conoces?
16. ¿Cómo clasificamos las plumillas?
Trazo de líneas rectas
Observa detenidamente cada uno de los ejercicios de trazo de líneas rectas: continua, discontinua, cuadriculada, etc.
Prepara los márgenes de tus láminas y recibe las indicaciones de tu profesor para su dibujo.
Ejercicio 1
Línea fina mixta
Línea mediana interrumpida
Línea fina continua
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Ejercicio 2
a) Traza una cuadrícula de 5 mm con línea fina
continua, como la de la muestra.
Traza una retícula de 5 mm inclinada a 60° con línea
ancha continua como la de la muestra.
Ejercicio 3
b) Traza una cuadrícula de 5 mm inclinada a 45° con
línea mediana continua como la de la muestra.
Completa con el compás las líneas cuyas muestras se dan
en el sector del centro C.
APÉNDICES
Trazo de líneas rectas y curvas
A continuación propongo una serie de ejercicios lineales para que el profesor seleccione las que más se adecuen a su
curso y que los alumnos puedan realizar su práctica a lápiz o a tinta.
Universidad de Guadalajara
Centro de Actividades Industriales
Universidad de Guadalajara
Centro de Actividades Industriales
Marqués Silva Apolonio
Ing. Emilio Pérez Ramírez
López Muñiz Javier
Ing. Emilio Pérez Ramírez
Noviembre 24 de 1995
Lámina No. 8
Junio 7 de 1995
Lámina No. 12
Líneas empleadas en dibujo
Línea de contomos
Contorno invisible
Línea de centros
Línea de centros a lápiz
Línea de dimensiones
Línea de extensión
Posición alterna
Línea de movimiento
Corte de un plano
Línea repetida
Material roto
Límite quebrado
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Trazo de líneas rectas que generan líneas curvas
Trazo de líneas rectas a mano libre o con instrumentos geométricos a lápiz o a tinta.
1. Se toma la medida del margen superior y se marca
un punto (A) a la mitad.
2. Se trazan dos líneas inclinadas del punto B y C hacia
el punto A.
3. Se divide en partes iguales las líneas BA y CA.
4. Así mismo las líneas BD y CE se dividen en partes
iguales.
5. Se unen los puntos marcados en las líneas BD y
AB.
6. Se unen los puntos marcados en las líneas CE y AC
APÉNDICES
Diferentes ejercicios de trazo de abecedarios y números
En mayúsculas, minúsculas, en posición vertical e inclinada y a diferentes tamaños.
Indicaciones
Para su elaboración el profesor te dará las instrucciones necesarias: si han de elaborarse a lápiz o a tinta, a mano libre o
con instrumentos geométricos, en el libro o en una lámina específicos para ello.
Lámina 1. Abecedario mayúsculo en posición vertical.
LETRA DERECHA 90°
LÁMINA
Altura h = 6 mm
Lámina 4. Abecedario mayúsculo inclinado a 75°.
Altura h = 6 mm
Lámina 2. Abecedario minúsculo en posición vertical.
LETRA INCLINADA
Lámina 5. Abecedario minúsculo inclinado a 75°.
75° (30° + 45°)
75°
LÁMINA
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Lámina 6. Letras y números inclinados en mayúsculas.
Lámina 7. Letras y números inclinados en minúsculas.
Lámina 8. Letras y números verticales en mayúsculas.
Lámina 9. Letras y números verticales en minúsculas.
APÉNDICES
Se sugiere que el alumno elabore o trace en su libro las prácticas de abecedario en letra derecha a mano libre.
Como segunda etapa haga en lámina prácticas a mano libre y con plantilla.
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Trazo de una estrella a base de líneas rectas
Trazo de letras a mano libre
Traza a mano libre y sobre las letras el abecedario mayúsculo en posición vertical e inclinado a lápiz.
A continuación elabora las siguientes prácticas de letras y números en posición vertical e inclinada, mayúsculas y minúsculas, siguiendo las indicaciones en los movimientos en el trazo.
Espiral envolvente
Observa, analiza y piensa cómo es su elaboración y trázala.
Composición
geométrica
Geometría plana
Estrella octagonal
Hexágono
Triángulo equilátero
Estrella hexagonal
Entrelazado
Entrelazado
DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO
Trazo de circunferencias y líneas rectas finas
Lectura: El dibujo geométrico, cimiento del dibujo técnico
El origen de la geometría está ligada al proceso de desarrollo de la humanidad. Hubo un momento, hace miles
de años, en que las cosas que nos rodean y las que a
diario empleamos recibieron un nombre de acuerdo a sus
características, y con base a ello, a una figura cerrada con
cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos se le llama
cuadrado. A partir de este proceso, se generaron las propiedades de cada figura, y poco a poco se fue construyendo lo que hoy conocemos como geometría clásica o
euclidiana, este último nombre como reconocimiento al
matemático griego Euclides.
En forma paralela a la construcción de esta rama de
las matemáticas, se fue encontrando la metodología para
la construcción de las diferentes figuras o formas
geométricas bidimensionales, razón por la cual también
le llamamos geometría plana.
¿Por qué es importante a lo que ahora le llamamos
dibujo geométrico? La razón es muy sencilla, porque esta
rama del dibujo técnico aporta la metodología para dibujar con perfección cualquiera de las formas geométricas
planas que existen a nuestro alrededor. Esto significa que
en el hogar, el taller, la fábrica, etc., nos ocupamos de
trabajar con objetos o cosas que tienen alguna forma
geométrica, y es el dibujo geométrico el que propone la
técnica para elaborar dichos objetos.
Por lo tanto, ante esta situación, podemos decir que
el dibujo geométrico es el cimiento del dibujo técnico, y si
un estudiante de ingeniería o de una carrera técnica quiere dominar el dibujo técnico, se le facilitará sobremanera
si domina en primer lugar el dibujo geométrico.
Aplicación del dibujo geométrico
Un albañil se ocupa de hacer trazos geométricos en la
cimentación de una casa, un mecánico trabaja a diario
con un gran número de piezas mecánicas que tienen formas geométricas, por ejemplo, tuercas cuadradas,
hexagonales, tornillos de diferente tipo de cabeza o rosca,
etcétera.
El dibujo geométrico como auxiliar
del avance tecnológico
Uno de los avances más significativos en la tecnología es
el invento de la rueda. Su conocimiento fue producto de
varios factores: casualidad, observación, necesidad, etc.
APÉNDICES
No se sabe con precisión la fecha en que el hombre comenzó a utilizar la rueda, sin embargo, es un instrumento
que revoluciona todos los esquemas técnicos que el hombre conocía hasta entonces. El uso de la rueda benefició
de inmediato el trabajo del hombre, pues con ella podía
transportar objetos de un lado a otro con menos trabajo y
con un mayor ahorro de tiempo, por otro lado, la rueda
fue la precursora directa de las máquinas que ahora conocemos, y está presente en las llantas y engranes de los
automóviles, las poleas de una bomba de agua o la hélice
de un avión.
Ahora bien, el dibujo geométrico permite diseñar y
planear todo el conjunto de piezas y elementos mecánicos que integran una máquina como las antes mencionadas, pues cada una está constituida por una o varias formas geométricas integradas. Así, un círculo puede representar ruedas o engranes; dos círculos unidos por un par
de líneas, dos poleas y una banda que las une; una espiral, un resorte, etcétera.
Podemos seguir enunciando un gran número de ejemplos en donde las formas geométricas son el cimiento del
dibujo técnico y de los mecanismos de una máquina.
Los fundamentos del dibujo geométrico se exponen en esta obra didáctica a través
de ejercicios y problemas específicos que debe resolver el estudiante. En los
primeros capítulos se describen con un lenguaje sencillo y claro, las principales
herramientas y los instrumentos de trabajo más comunes, así como algunas
recomendaciones para su uso.
Los capítulos posteriores integran conceptos geométricos básicos, señalando
características y métodos para realizar trazos, dibujar figuras, calcular tangencias e
intersecciones.
Un libro diseñado para todos aquellos que desean tener éxito profesional.
Acerca del autor:
Emilio Pérez Ramírez, posee una amplia preparación académica y profesional en el
área del dibujo técnico y geométrico y ha escrito más de 12 libros relacionados con
temas del área de la tecnología y de las matemáticas. Sus conocimientos y
experiencias le han permitido lograr importantes investigaciones en el medio
superior.