MATEMÁTICAS
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Secundaria
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Aprendizajes Clave para la Educación Integral
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L I B RO PA R A E L P RO F E S O R
MATEMÁTICAS
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Aprendizajes Clave para la Educación Integral
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MATEMÁTICAS
1
Este libro fue elaborado en Editorial
Santillana por el equipo de la Dirección
General de Contenidos
La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1. Libro para el profesor de la serie Fortaleza Académica son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la
reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.
Ilustración
Autores del libro del alumno: María Trigueros Gaisman, María Dolores Lozano Suárez, Ivonne Twiggy
Sandoval Cáceres, Mercedes Cortés Lascurain, Emanuel Jinich Charney, Mónica Inés Schulmaister
Autor del libro para el profesor: Vianey Calderón Ramírez
José Enrique Márquez Flores
Fotografía
Shutterstock
Gettyimages
Fotografía de portada
Shutterstock
D. R. © 2018 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V.
Avenida Río Mixcoac 274, piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240,
delegación Benito Juárez, Ciudad de México.
ISBN: 978-607-01-3893-5
Primera edición: mayo de 2018
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.
Reg. núm. 802
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Impreso en México/Printed in Mexico
Presentación
Estimado profesor:
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Bienvenido a Matemáticas 1. Libro para el profesor, obra creada con base en los principios pedagógicos del Modelo Educativo 2017 y cuyo objetivo es apoyarlo en su trabajo
con el libro del alumno de la serie Fortaleza Académica. Para ello, este material le ofrece
los siguientes recursos:
•• Modelo Educativo. Se describen el planteamiento curricular, los principios pedagógicos y
el mapa curricular.
•• Dosificación trimestral. Se incluyen propuestas de dosificación trimestral para los dos
calendarios escolares (200 y 185 días) y un formato para la planeación didáctica.
•• Evaluación diagnóstica. Se proporciona un
instrumento para identificar las áreas de oportunidad de los alumnos y para planear estrategias didácticas oportunas.
•• Evaluaciones trimestrales. Se proponen reactivos adicionales a los del libro del alumno
que se pueden emplear en la evaluación del
trimestre.
•• Formato de planeación didáctica. Para organizar el trabajo de las secuencias didácticas en
el aula.
hi
Para facilitarle la tarea de calificación, esta obra
cuenta con los siguientes apartados:
La figura del profesor es fundamental para gestionar la clase,
proporcionar información, validar respuestas y para orientar a
los alumnos en todo momento, en particular cuando, con base
en lo observado en las evaluaciones, identifica que los alumnos
requieren apoyo.
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•• Respuestas de las evaluaciones. Contiene las respuestas a los reactivos de la evaluación diagnóstica y de las evaluaciones trimestrales.
P
•• Solucionario del libro. Contiene las respuestas extensas de algunas de las actividades
del libro del alumno.
•• Reproducción del libro del alumno. Se muestra un reproducción fiel de cada una de
las páginas del libro del alumno con las respuestas de las actividades.
Deseamos que este libro represente una experiencia satisfactoria y sea un complemento
valioso para el primer curso de Matemáticas.
III
Modelo Educativo
La educación básica es el pilar social de nuestro país y esta debe beneficiar a los mexicanos desde muchas áreas y con un mismo fin: educación equitativa y de calidad.
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Con este objetivo, la Secretaría de Educación Pública elaboró el Modelo Educativo para
la educación obligatoria, en el que se proyecta el desarrollo potencial de los niños, las niñas y los jóvenes con el fin de formar ciudadanos libres, responsables e informados. No
es una tarea fácil; sin embargo, se pretende alcanzar la meta gracias a una reorganización
del sistema educativo en cinco ejes indispensables, que se describen a continuación.
•• Planteamiento curricular. Este eje, de enfoque humanista, ensambla todos los niveles
de la educación básica, desde preescolar hasta bachillerato, para un desarrollo integral de los aprendizajes clave. Con esto se espera que los estudiantes aprendan herramientas para adquirir conocimientos a lo largo de la vida; es decir, que aprendan a
aprender.
Además de lo anterior, este eje hace un énfasis especial en el desarrollo de las habilidades socioemocionales, importantes también en el crecimiento y desarrollo personal, no
solo de la vida académica, sino de la vida familiar, social y laboral.
Aunado a lo anterior, y con conocimiento de que nuestro país es rico en diversidad, también se deja un margen de autonomía curricular, así cada comunidad escolar pondrá
énfasis en las áreas de oportunidad que deben abordarse y concretar con éxito el desarrollo de los aprendizajes clave en los alumnos.
•• La escuela al centro del sistema educativo. La escuela, como unidad básica de organización del sistema educativo, es primordial en este eje, pues esta debe enfocarse en alcanzar el máximo desarrollo de todos los estudiantes. Se plantea también una escuela
que deja de lado la organización vertical para convertirse en un centro de desarrollo
horizontal en el que toda la comunidad escolar tiene cabida.
hi
•• Formación y desarrollo profesional docente. El Modelo Educativo describe al docente como un profesional centrado en el aprendizaje de los alumnos, capaz de generar y
mantener ambientes de aprendizaje incluyentes, comprometido a la mejora constante
de su práctica y preparado para adaptar el currículo a las necesidades de su contexto.
P
ro
•• Inclusión y equidad. Estos principios son básicos para eliminar del sistema educativo
las barreras para el acceso, la participación, la permanencia, el egreso y el aprendizaje
de todos los estudiantes, y para que estos cuenten con oportunidades efectivas para el
aprendizaje sin importar su contexto social y cultural.
Estos principios deben verse reflejados en la adaptación del espacio físico para facilitar la
movilidad de todos los miembros de la comunidad educativa; en la adecuación curricular
que los profesores deben realizar para atender las necesidades educativas de todos sus
alumnos y en la transformación del aula en un espacio de convivencia armónica que abone a la cultura de la diversidad.
IV
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•• La gobernanza del sistema educativo. En este último eje se definen los mecanismos
institucionales para una gobernanza efectiva y la participación de los actores y los sectores de la sociedad que intervienen en el proceso educativo, así como la coordinación
que existe entre ellos: el gobierno federal, las autoridades educativas locales, el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE), el sindicato, las escuelas, los
docentes, los padres de familia, la sociedad civil y el Poder Legislativo.
Los fines de la educación que se persiguen con los ejes anteriores dejan ver la meta clara
de que todos los alumnos reciban una educación flexible a sus necesidades, de calidad,
integral e inclusiva que los prepare para vivir en la sociedad del siglo XXI.
Principios pedagógicos
En el Modelo Educativo 2017 se reconoce que los docentes tienen una función esencial
en el aprendizaje de los niños y los adolescentes, y que su papel en el aula es la de un mediador que contribuye a la construcción de ambientes que favorezcan que sus alumnos
convivan de manera armónica y alcancen los aprendizajes esperados para cada asignatura, área o ámbito.
Con el propósito de que los profesores puedan cumplir plenamente con su papel en las
aulas al implementar los nuevos programas, en el documento Aprendizajes clave para la
educación integral. Plan y programas de estudio para la educación básica se proponen catorce principios pedagógicos que se enumeran a continuación:
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1. Poner al estudiante y su aprendizaje en
el centro del proceso educativo
2. Tener en cuenta los saberes previos del
estudiante
3. Ofrecer acompañamiento al aprendizaje
4. Conocer los intereses de los estudiantes
5. Estimular la motivación intrínseca del
alumno
6. Reconocer la naturaleza social del
conocimiento
7. Propiciar el aprendizaje situado
8. Entender la evaluación como un proceso relacionado con la planeación del El salón de clases debe convertirse en un ambiente en el
que se propicie el aprendizaje de los estudiantes, y se fomente
aprendizaje
la convivencia armónica entre todos los miembros de la
9. Modelar el aprendizaje
comunidad escolar.
10. Valorar el aprendizaje informal
11. Promover la interdisciplinariedad
12. Favorecer la cultura del aprendizaje
13. Apreciar la diversidad como fuente de riqueza para
el aprendizaje
14. Usar la disciplina como apoyo al aprendizaje
V
Mapa curricular
Aprendizajes clave para el desarrollo integral
Los aprendizajes clave planteados en este Modelo Educativo son los pilares para el desarrollo integral de los estudiantes pues, en conjunto, serán las herramientas para un pleno desarrollo de vida.
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En el plan de estudios se sugiere la organización de los contenidos programáticos en
tres componentes curriculares de la educación básica: campos de Formación académica, áreas de Desarrollo personal y social, y ámbitos de la Autonomía curricular. Los tres
componentes tienen la misma importancia en el plan de estudios.
1. Campos de Formación académica. Lenguaje y Comunicación, Pensamiento Matemático y Exploración y Comprensión del Mundo Natural y Social.
2. Áreas de Desarrollo personal y social. Que incluyen específicamente Artes, Educación Socioemocional y Educación Física.
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3. Ámbitos de Autonomía curricular. Estos ámbitos buscan ampliar la formación académica, potenciar el desarrollo personal y social, desarrollar nuevos contenidos relevantes y conocimientos regionales, y generar proyectos de impacto social.
“Componentes curriculares de la educación
básica”, tomado del documento Modelo
educativo para la educación obligatoria,
Secretaría de Educación Pública, México, 2017.
VI
educación básica
Modelo Educativo
Lo anterior propiciará que los alumnos conozcan, valoren y respeten su identidad, y que
sean aptos para identificar sus debilidades y fortalezas, confíen en sus capacidades, sean
determinados y perseverantes, y reconozcan como iguales en dignidad y en derechos a
todos los seres humanos.
A continuación se muestra la organización curricular para la educación secundaria.
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Nivel educativo
Secundaria
Componente
curricular
Grado escolar
1º
2º
3º
Formación
académica
Campos y asignaturas
Lengua Materna (Español)
Lengua Extranjera (Inglés)
Matemáticas
Ciencias y Tecnología:
Biología
Física
Química
Historia
Geografía
Formación Cívica y Ética
Áreas
Artes
P
Ámbitos
ro
Autonomía
curricular
Tutoría y Educación Socioemocional
Educación Física
hi
Desarrollo
personal y
social
Ampliar la formación académica
Potenciar el desarrollo personal y social
Nuevos contenidos relevantes
Conocimientos regionales
Proyectos de impacto social
La asignatura de Matemáticas se encuentra en el campo de formación Pensamiento Matemático y pertenece al componente Formación académica.
VII
Dosificación
200 días de clase
Trimestre 1
Aprendizajes
esperados
2
Convierte fracciones
decimales a
notación decimal
y viceversa.
Aproxima algunas
fracciones no
decimales usando la
notación decimal.
Ordena fracciones y
números decimales.
4
1. Compara y ordena números
fraccionarios y decimales, y
los ubica en la recta numérica.
Distingue entre fracciones
decimales y no decimales.
ro
VIII
Calcula valores
faltantes en problemas
de proporcionalidad
directa, con constante
natural, fracción o
decimal (incluyendo
tablas de variación).
1. La recta numérica
18
2. Ubicación de números
decimales
20
3. De fracción a decimal
22
24
Resuelvo con tecnología
30
3. Explora la noción de densidad.
Aproxima fracciones no
decimales usando la
notación decimal y analiza
la pertinencia del uso de
fracciones en lugar de decimales.
5. Resuelve problemas que
implican la multiplicación de
números decimales.
hi
Resuelve problemas
de multiplicación con
fracciones y decimales
y de división con
decimales.
P
6
Páginas
del libro
del alumno
2. Expresa con notación decimal
1. Fracciones y el tiempo
fracciones decimales
y no decimales. Convierte
2. Conversión a fracciones
fracciones decimales a notación
decimal y viceversa. Clasifica
números decimales en
3. De número decimal a fracción
exactos y periódicos.
4. Resuelve problemas que
impliquen multiplicar fracciones.
5
Lecciones
Evaluación diagnóstica
1
3
Contenidos/
Secuencias didácticas
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Semana
28
1. Fracciones de tiempo
32
2. Aplicando la propiedad
de densidad
34
3. ¿Fracciones o decimales?
36
1. Fracciones y áreas
38
2. Producto de fracciones mixtas
40
1. Natural por decimal
42
2. Decimal por decimal
44
Reviso mi trayecto
6. Resuelve problemas que
implican divisiones con
números decimales.
26
47
1. Reparto equitativo
48
2. Decimales en el divisor
y el dividendo
50
7. Identifica situaciones
1. Relaciones de
proporcionales
proporcionalidad
y no proporcionales. Usa
constantes de proporcionalidad
2. Valor unitario
fraccionarias o decimales
(con fracciones o decimales
3. Proporcionalidad y
mayores, menores e iguales
multiplicación de fracciones
a uno).
52
54
56
8. Resuelve problemas de
proporcionalidad en los que
se calcula el valor unitario
y del tipo valor faltante, a
través de las propiedades
de la proporcionalidad
(razones externas e internas).
Usa tablas y gráficas de
proporcionalidad directa.
9. Comprende y usa la regla de
tres en problemas diversos.
10. Identifica el porcentaje como
un caso particular de la
proporcionalidad.
8
12. Deduce, compara y aplica
fórmulas para calcular
perímetros de polígonos
(triángulos y cuadriláteros)
usando literales.
Calcula el perímetro de
polígonos y del círculo,
y áreas de triángulos y
cuadriláteros
desarrollando y
aplicando fórmulas.
ro
hi
10
Recolecta, registra
y lee datos en
gráficas circulares.
P
12
13
2. Uso del valor unitario para
resolver problemas
60
3. Tablas y gráficas
de proporcionalidad
62
1. Proporcionalidad
y valor unitario
64
2. La regla de tres y el
valor unitario
66
1. Significado de porcentaje
68
2. Propiedades de
proporcionalidad y porcentaje
Resuelve problemas de
cálculo de porcentajes,
1. Distintas representaciones de
del tanto por ciento y de 11. Resuelve problemas que
un porcentaje
la cantidad base.
implican calcular el porcentaje,
2. Cantidad base
el tanto por ciento o la
cantidad base.
3. Cálculo de cantidad base
9
11
58
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7
1. Propiedades de la
proporcionalidad
70
72
74
76
1. ¿Cuántos lados tiene
una figura?
78
2. Perímetros y literales
80
Resuelvo con tecnología
83
Reviso mi trayecto
85
13. Deduce, compara y aplica
fórmulas para calcular el
perímetro del círculo.
1. Círculo y circunferencia
86
2. Diámetro del círculo
88
14. Deduce, compara y aplica
fórmulas para calcular
el área de triángulos y
cuadriláteros, usando literales.
Calcula cualesquiera de las
dimensiones involucradas en
la fórmula.
1. Área de rectángulos
y cuadrados
90
2. El romboide
92
3. El área del trapecio
94
4. Obtención de datos faltantes
96
1. Hacer un pastel diferente
98
2. Guía para construir una
gráfica circular
100
3. Construcción de gráficas
102
15. Lee e interpreta datos
en gráficas circulares.
Construye gráficas circulares.
Punto de encuentro
104
Reviso mi trayecto
106
Valoro mis fortalezas
107 a 109
Evaluación del trimestre 1
IX
Trimestre 2
Semana
Aprendizajes
esperados
16. Compara y ordena
números enteros.
Resuelve problemas
de suma y resta con
números enteros,
fracciones y decimales
positivos y negativos.
Formula expresiones
algebraicas de primer
grado a partir de
sucesiones y las
utiliza para analizar
propiedades de
las sucesiones
que representan.
P
20
X
112
2. Comparación de
números enteros
114
1. El juego de los dados
116
2. Sumas en la recta numérica
118
3. Resta de enteros con fichas
120
1. Temperaturas sobre cero y
bajo cero
122
2. Suma y resta de fracciones
124
3. Valor absoluto y puntaje
126
128
130
132
135
20. Usa distintas representaciones: 1. Descripción de patrones
verbal, en dibujos, tabular y
2. Sucesiones y expresiones
algebraica para representar
algebraicas
problemas y sucesiones.
Formula expresiones
algebraicas.
3. Sucesiones numéricas
138
1. Ubicación de puntos en el
plano cartesiano
142
2. Utilidad del plano cartesiano
144
1. Interpretación de la variación
146
2. Variación directa
148
3. Diferentes tipos de variación
150
21. Resuelve situaciones que
impliquen la ubicación de
puntos en el plano cartesiano.
Analiza y compara
situaciones de variación
lineal a partir de sus
22. Interpreta situaciones de
representaciones
variación a partir de su
tabular, gráfica y
representación tabular, gráfica
algebraica. Interpreta y
y verbal. Compara diversos
resuelve problemas que
tipos de variación usando
se modelan con estos
diferentes representaciones.
tipos de variación.
ro
19
Páginas
del libro
del alumno
1. Profundidad
Determina y usa la
1. Orden de las operaciones
jerarquía de operaciones
19. Determina y utiliza la jerarquía
y los paréntesis en
de operaciones y los paréntesis
operaciones con
2. El uso de paréntesis
en operaciones con números
números naturales,
naturales, enteros y decimales.
enteros y decimales
(para multiplicación
3. Resolución de operaciones
y división, solo
números positivos).
Reviso mi trayecto
hi
18
17. Resuelve problemas que
implican la suma y resta de
números enteros.
18. Resuelve problemas que
impliquen suma y resta
de fracciones y decimales
positivos y negativos.
16
17
Lecciones
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14
15
Contenidos/
Secuencias didácticas
136
140
Resuelvo con tecnología
153
Reviso mi trayecto
155
Dosificación 200 días de clase
23. Deduce y utiliza las
propiedades de los ángulos
formados por dos rectas
paralelas cortadas por
una transversal.
21
156
2. Ángulos entre rectas
158
3. Otros ángulos entre rectas II
160
1. ¿Cuánto suman los ángulos de
cualquier triángulo?
162
2. Triángulos y propiedades de
rectas paralelas
164
1. Cuadriláteros en la Naturaleza
166
2. Problemas con
otros cuadriláteros
168
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22
Analiza la existencia
y unicidad en
la construcción
de triángulos y
24. Deduce las propiedades de
cuadriláteros,
los ángulos interiores
y determina los
de triángulos.
criterios de congruencia
de triángulos.
1. Posiciones relativas
entre rectas
25. Deduce las propiedades de
los ángulos interiores de
cuadriláteros y las utiliza en
diversos contextos.
23
Resuelvo con tecnología
Recolecta, registra
y lee datos en
gráficas circulares.
24
172
2. Planeación de un
proyecto estadístico
174
3. Construcción de la gráfica y
presentación de resultados
176
1. De las frecuencias
a la probabilidad
178
2. De la probabilidad frecuencial
a la certeza
180
Utiliza e interpreta las
medidas de tendencia
central (moda, media
aritmética y mediana) y
el rango de un conjunto
de datos, y decide
cuál de ellas conviene
más en el análisis de los
datos en cuestión.
28. Usa e interpreta las medidas
de tendencia central (moda,
media aritmética y mediana),
el rango y la dispersión de un
conjunto de datos. Decide
cuál de ellas conviene más en
el análisis de los datos
en cuestión.
1. Media aritmética
182
2. ¿Cómo se agrupan los datos?
184
3. ¿Hacia el centro o hacia
los costados?
186
hi
27. Realiza experimentos
aleatorios y registra los
resultados como una
introducción a la
probabilidad frecuencial.
ro
26
1. ¿Cómo son mis compañeros?
Realiza experimentos
aleatorios y registra
los resultados para
un acercamiento
a la probabilidad
frecuencial.
P
25
26. Usa las gráficas circulares en
proyectos estadísticos.
170
Punto de encuentro
188
Reviso mi trayecto
190
Valoro mis fortalezas
191
Evaluación del trimestre 2
XI
Trimestre 3
Semana
28
Formula expresiones
algebraicas de primer
grado a partir de
sucesiones y las
utiliza para analizar
propiedades de
las sucesiones
que representan.
Contenidos/
Secuencias didácticas
29. Analiza sucesiones simples
y a partir de ellas formula
expresiones algebraicas.
Lecciones
1. Descripción de sucesiones
196
2. Análisis de sucesiones
de figuras
198
30. Usa diferentes expresiones
1. Expresiones algebraicas
algebraicas para analizar
y sucesiones
propiedades de las sucesiones.
Analiza la equivalencia de
2. Equivalencia de
expresiones aplicando reglas
expresiones algebraicas
de transformación.
1. Expresiones algebraicas
y ecuaciones
29
30
31. Analiza, modela y resuelve
ecuaciones lineales del tipo
Resuelve problemas
Ax 1 B 5 C y Ax 1 B 5 Cx 5 D. 2. El juego de la balanza
mediante la formulación
Aplica el significado de
y solución algebraica de
igualdad para encontrar
3. El juego de la balanza II
ecuaciones lineales.
equivalencia entre expresiones
algebraicas o numéricas.
4. Las ecuaciones y su solución
Analiza y compara
32. Distingue entre funciones
situaciones de variación
lineales y no lineales utilizando 1. Comparación de funciones
lineal a partir de sus
distintas representaciones.
representaciones
Analiza en qué intervalos las
tabular, gráfica y
funciones son negativas o
algebraica. Interpreta y
2. Función lineal
positivas, crecientes
resuelve problemas que
o decrecientes.
se modelan con estos
Reviso mi trayecto
tipos de variación.
Resuelve problemas
mediante la formulación
y solución algebraica de
ecuaciones lineales.
33. Resuelve ecuaciones lineales
que involucren el uso de
paréntesis. Soluciona
problemas que requieren
varios pasos utilizando
ecuaciones lineales.
hi
31
33
XII
ro
200
202
204
206
208
210
212
214
217
1. Más ecuaciones lineales
218
2. Comparación de métodos
de solución
220
3. Ecuaciones lineales
equivalentes
222
1. Situaciones de cambio
34. Analiza la razón de cambio de
Analiza y compara
un proceso o fenómeno que se
2. Variación lineal y no lineal
situaciones de variación
modela con una función lineal.
lineal a partir de sus
3. Razón de cambio en la
representaciones
variación lineal
tabular, gráfica y
algebraica. Interpreta y 35. Deduce la expresión algebraica
resuelve problemas que
de una función a partir de
se modelan con estos
1. Tablas, gráficas y
su tabla o gráfica y soluciona
tipos de variación.
expresiones algebraicas
problemas que se describen
por medio de funciones
lineales.
P
32
Páginas
del libro
del alumno
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27
Aprendizajes
esperados
224
226
228
230
Dosificación 200 días de clase
2. Resolución de problemas
con ecuaciones de la
forma y 5 mx 1 b
Resuelvo con tecnología
1. Construcción de triángulos
236
2. Otras construcciones
238
1. Datos para construir un
triángulo congruente
240
2. Datos para reproducir
un triángulo
242
3. Criterio de congruencia
de triángulos
244
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Analiza la existencia
37. Construye triángulos
y unicidad en la
congruentes y desarrolla los
construcción de
criterios de congruencia.
triángulos y cuadriláteros,
y determina los criterios
de congruencia de
triángulos.
Resuelvo con tecnología
247
Reviso mi trayecto
249
1. ¿Cuáles cuadriláteros
38. Usa los criterios de congruencia
son paralelogramos?
de triángulos para justificar
algunas propiedades de
2. Ángulos opuestos de
los paralelogramos.
los paralelogramos
Calcula el volumen de
prismas rectos cuya
base sea un triángulo
o un cuadrilátero,
desarrollando y
aplicando fórmulas.
ro
hi
36
P
37
38
234
36. Construye triángulos
y cuadriláteros.
34
35
232
39. Deduce y aplica fórmulas
para calcular el volumen de
prismas rectos cuya base
sea un cuadrilátero o un
triángulo. Resuelve problemas
que impliquen el cálculo
del volumen.
40. Explora la relación entre el
decímetro cúbico y el litro,
y de la relación de capacidad y
volumen. Resuelve problemas
que implican calcular volumen
y capacidad.
250
252
1. Volumen de
prismas rectangulares
254
2. Volumen de un
prisma cuadrangular
256
3. El volumen de los prismas y
datos faltantes
258
1. Envases de un litro
260
2. El volumen de una cisterna
262
Punto de encuentro
264
Reviso mi trayecto
266
Valoro mis fortalezas
267
Evaluación del trimestre 3
Evaluación final
XIII
Dosificación
185 días de clase
Trimestre 1
Aprendizajes
esperados
2
Convierte fracciones
decimales a
notación decimal
y viceversa.
Aproxima algunas
fracciones no
decimales usando la
notación decimal.
Ordena fracciones y
números decimales.
4
1. Compara y ordena números
fraccionarios y decimales, y
los ubica en la recta numérica.
Distingue entre fracciones
decimales y no decimales.
ro
XIV
Calcula valores
faltantes en problemas
de proporcionalidad
directa, con constante
natural, fracción o
decimal (incluyendo
tablas de variación).
18
2. Ubicación de números
decimales
20
3. De fracción a decimal
22
Resuelvo con tecnología
3. Explora la noción de densidad.
Aproxima fracciones no
decimales usando la
notación decimal y analiza
la pertinencia del uso de
fracciones en lugar de decimales.
5. Resuelve problemas que
implican la multiplicación
de números decimales.
hi
Resuelve problemas
de multiplicación con
fracciones y decimales
y de división
con decimales.
P
6
Páginas
del libro
del alumno
1. La recta numérica
2. Expresa con notación decimal
1. Fracciones y el tiempo
fracciones decimales
y no decimales. Convierte
fracciones decimales a notación 2. Conversión a fracciones
decimal y viceversa. Clasifica
números decimales en
3. De número decimal a fracción
exactos y periódicos.
4. Resuelve problemas que
impliquen multiplicar fracciones.
5
Lecciones
Evaluación diagnóstica
1
3
Contenidos/
Secuencias didácticas
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Semana
26
28
30
1. Fracciones de tiempo
32
2. Aplicando la propiedad
de densidad
34
3. ¿Fracciones o decimales?
36
1. Fracciones y áreas
38
2. Producto de fracciones mixtas
40
1. Natural por decimal
42
2. Decimal por decimal
44
Reviso mi trayecto
6. Resuelve problemas que
implican divisiones con
números decimales.
24
47
1. Reparto equitativo
48
2. Decimales en el divisor
y el dividendo
50
7. Identifica situaciones
1. Relaciones de
proporcionales
proporcionalidad
y no proporcionales. Usa
constantes de proporcionalidad
2. Valor unitario
fraccionarias o decimales
(con fracciones o decimales
3. Proporcionalidad y
mayores, menores e iguales
multiplicación de fracciones
a uno).
52
54
56
8. Resuelve problemas de
proporcionalidad en los que
se calcula el valor unitario
y del tipo valor faltante, a
través de las propiedades
de la proporcionalidad
(razones externas e internas).
Usa tablas y gráficas de
proporcionalidad directa.
9. Comprende y usa la regla de
tres en problemas diversos.
10. Identifica el porcentaje
como un caso particular
de la proporcionalidad.
8
58
2. Uso del valor unitario para
resolver problemas
60
3. Tablas y gráficas
de proporcionalidad
62
1. Proporcionalidad
y valor unitario
64
2. La regla de tres y el
valor unitario
66
1. Significado de porcentaje
68
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
7
1. Propiedades de
la proporcionalidad
2. Propiedades de
proporcionalidad y porcentaje
Resuelve problemas de
cálculo de porcentajes,
1. Distintas representaciones de
del tanto por ciento y de 11. Resuelve problemas que
un porcentaje
la cantidad base.
implican calcular el porcentaje,
2. Cantidad base
el tanto por ciento o la
cantidad base.
3. Cálculo de cantidad base
12. Deduce, compara y aplica
fórmulas para calcular
perímetros de polígonos
(triángulos y cuadriláteros)
usando literales.
9
hi
ro
P
11
12
15. Lee e interpreta datos en
gráficas circulares.
Construye gráficas circulares.
74
76
78
2. Perímetros y literales
80
Calcula el perímetro de
Reviso mi trayecto
polígonos y del círculo, y
13. Deduce, compara y aplica
áreas de triángulos y
1. Círculo y circunferencia
fórmulas para calcular el
cuadriláteros
2. Diámetro del círculo
perímetro del círculo.
desarrollando y
aplicando fórmulas.
1. Área de rectángulos
14. Deduce, compara y aplica
y cuadrados
fórmulas para calcular
el área de triángulos y
cuadriláteros, usando literales. 2. El romboide
Calcula cualesquiera de las
3. El área del trapecio
dimensiones involucradas en
la fórmula.
4. Obtención de datos faltantes
Recolecta, registra
y lee datos en
gráficas circulares.
72
1. ¿Cuántos lados tiene
una figura?
Resuelvo con tecnología
10
70
83
85
86
88
90
92
94
96
1. Hacer un pastel diferente
98
2. Guía para construir una
gráfica circular
100
3. Construcción de gráficas
102
Punto de encuentro
104
Reviso mi trayecto
106
Valoro mis fortalezas
107 a 109
Evaluación del trimestre 1
XV
Trimestre 2
Semana
Aprendizajes
esperados
16. Compara y ordena
números enteros.
Resuelve problemas
de suma y resta con
números enteros,
fracciones y decimales
positivos y negativos.
Formula expresiones
algebraicas de primer
grado a partir de
sucesiones y las
utiliza para analizar
propiedades de
las sucesiones
que representan.
XVI
2. Comparación de
números enteros
114
1. El juego de los dados
116
2. Sumas en la recta numérica
118
3. Resta de enteros con fichas
120
1. Temperaturas sobre cero y
bajo cero
122
2. Suma y resta de fracciones
124
3. Valor absoluto y puntaje
126
128
130
132
135
138
1. Ubicación de puntos en el
plano cartesiano
142
2. Utilidad del plano cartesiano
144
1. Interpretación de la variación
146
2. Variación directa
148
3. Diferentes tipos de variación
150
Analiza y compara
situaciones de variación
lineal a partir de sus
22. Interpreta situaciones de
representaciones
variación a partir de su
tabular, gráfica y
representación tabular, gráfica
algebraica. Interpreta y
y verbal. Compara diversos
resuelve problemas que
tipos de variación usando
se modelan con estos
diferentes representaciones.
tipos de variación.
P
19
112
20. Usa distintas representaciones: 1. Descripción de patrones
verbal, en dibujos, tabular y
2. Sucesiones y expresiones
algebraica para representar
algebraicas
problemas y sucesiones.
Formula expresiones
algebraicas.
3. Sucesiones numéricas
21. Resuelve situaciones que
impliquen la ubicación de
puntos en el plano cartesiano.
ro
18
Páginas
del libro
del alumno
1. Profundidad
Determina y usa la
1. Orden de las operaciones
jerarquía de operaciones
19.
Determina
y
utiliza
la
jerarquía
y los paréntesis en
de operaciones y los paréntesis
operaciones con
2. El uso de paréntesis
en operaciones con números
números naturales,
naturales, enteros y decimales.
enteros y decimales
3. Resolución de operaciones
(para multiplicación
y división, solo
Reviso mi trayecto
números positivos).
hi
17
17. Resuelve problemas que
implican la suma y resta de
números enteros.
18. Resuelve problemas que
impliquen suma y resta
de fracciones y decimales
positivos y negativos.
15
16
Lecciones
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
13
14
Contenidos/
Secuencias didácticas
136
140
Resuelvo con tecnología
153
Reviso mi trayecto
155
Dosificación 185 días de clase
23. Deduce y utiliza las
propiedades de los ángulos
formados por dos rectas
paralelas cortadas por
una transversal.
20
156
2. Ángulos entre rectas
158
3. Otros ángulos entre rectas II
160
1. ¿Cuánto suman los ángulos de
cualquier triángulo?
162
2. Triángulos y propiedades de
rectas paralelas
164
1. Cuadriláteros en la Naturaleza
166
2. Problemas con
otros cuadriláteros
168
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Analiza la existencia
y unicidad en
la construcción
24. Deduce las propiedades de
de triángulos y
los ángulos interiores
cuadriláteros,
de triángulos.
y determina los
criterios de congruencia
de triángulos.
1. Posiciones relativas
entre rectas
21
25. Deduce las propiedades de
los ángulos interiores de
cuadriláteros y las utiliza en
diversos contextos.
Resuelvo con tecnología
Recolecta, registra
y lee datos en
gráficas circulares.
22
Realiza experimentos
aleatorios y registra
los resultados para
un acercamiento
a la probabilidad
frecuencial.
ro
hi
Utiliza e interpreta las
medidas de tendencia
central (moda, media
aritmética y mediana) y
el rango de un conjunto
de datos, y decide
cuál de ellas conviene
más en el análisis de los
datos en cuestión.
P
23
24
170
1. ¿Cómo son mis compañeros?
172
2. Planeación de un
proyecto estadístico
174
3. Construcción de la gráfica y
presentación de resultados
176
27. Realiza experimentos
aleatorios y registra los
resultados como una
introducción a la
probabilidad frecuencial.
1. De las frecuencias
a la probabilidad
178
2. De la probabilidad frecuencial
a la certeza
180
28. Usa e interpreta las medidas
de tendencia central (moda,
media aritmética y mediana),
el rango y la dispersión de un
conjunto de datos. Decide
cuál de ellas conviene más
en el análisis de los datos
en cuestión.
1. Media aritmética
182
2. ¿Cómo se agrupan los datos?
184
3. ¿Hacia el centro o hacia
los costados?
186
26. Usa las gráficas circulares en
proyectos estadísticos.
Punto de encuentro
188
Reviso mi trayecto
190
Valoro mis fortalezas
191
Evaluación del trimestre 2
XVII
Trimestre 3
Semana
26
Formula expresiones
algebraicas de primer
grado a partir de
sucesiones y las
utiliza para analizar
propiedades de
las sucesiones
que representan.
Contenidos/
Secuencias didácticas
29. Analiza sucesiones simples
y a partir de ellas formula
expresiones algebraicas.
Lecciones
1. Descripción de sucesiones
196
2. Análisis de sucesiones
de figuras
198
30. Usa diferentes expresiones
1. Expresiones algebraicas
algebraicas para analizar
y sucesiones
propiedades de las sucesiones.
Analiza la equivalencia de
2. Equivalencia de
expresiones aplicando reglas
expresiones algebraicas
de transformación.
1. Expresiones algebraicas
y ecuaciones
27
28
31. Analiza, modela y resuelve
ecuaciones lineales del tipo
Resuelve problemas
Ax 1 B 5 C y Ax 1 B 5 Cx 5 D. 2. El juego de la balanza
mediante la formulación
Aplica el significado de
y solución algebraica de
igualdad para encontrar
3. El juego de la balanza II
ecuaciones lineales.
equivalencia entre expresiones
algebraicas o numéricas.
4. Las ecuaciones y su solución
Analiza y compara
32. Distingue entre funciones
situaciones de variación
lineales y no lineales utilizando 1. Comparación de funciones
lineal a partir de sus
distintas representaciones.
representaciones
Analiza en qué intervalos
tabular, gráfica y
las funciones son negativas
algebraica. Interpreta y
2. Función lineal
o positivas, crecientes
resuelve problemas que
o decrecientes.
se modelan con estos
Reviso mi trayecto
tipos de variación.
Resuelve problemas
mediante la formulación
y solución algebraica de
ecuaciones lineales.
33. Resuelve ecuaciones lineales
que involucren el uso de
paréntesis. Soluciona
problemas que requieren
varios pasos utilizando
ecuaciones lineales.
hi
29
31
XVIII
ro
200
202
204
206
208
210
212
214
217
1. Más ecuaciones lineales
218
2. Comparación de métodos
de solución
220
3. Ecuaciones lineales
equivalentes
222
1. Situaciones de cambio
34. Analiza la razón de cambio de
Analiza y compara
un proceso o fenómeno que se
2. Variación lineal y no lineal
situaciones de variación
modela con una función lineal.
lineal a partir de sus
3. Razón de cambio en la
representaciones
variación lineal
tabular, gráfica y
algebraica. Interpreta y 35. Deduce la expresión algebraica
resuelve problemas que
de una función a partir de su
se modelan con estos
1. Tablas, gráficas y
tabla o gráfica y soluciona
tipos de variación.
expresiones algebraicas
problemas que se
describen por medio de
funciones lineales.
P
30
Páginas
del libro
del alumno
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
25
Aprendizajes
esperados
224
226
228
230
Dosificación 185 días de clase
2. Resolución de problemas
con ecuaciones de la
forma y 5 mx 1 b
Resuelvo con tecnología
1. Construcción de triángulos
236
2. Otras construcciones
238
1. Datos para construir un
triángulo congruente
240
2. Datos para reproducir
un triángulo
242
3. Criterio de congruencia
de triángulos
244
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Analiza la existencia
37. Construye triángulos
y unicidad en la
congruentes y desarrolla los
construcción de
criterios de congruencia.
triángulos y cuadriláteros,
y determina los criterios
de congruencia de
triángulos.
Resuelvo con tecnología
247
Reviso mi trayecto
249
1. ¿Cuáles cuadriláteros
38. Usa los criterios de congruencia
son paralelogramos?
de triángulos para justificar
algunas propiedades de
2. Ángulos opuestos de
los paralelogramos.
los paralelogramos
hi
Calcula el volumen de
prismas rectos cuya
base sea un triángulo
o un cuadrilátero,
desarrollando y
aplicando fórmulas.
P
ro
34
35
234
36. Construye triángulos y
cuadriláteros.
32
33
232
39. Deduce y aplica fórmulas
para calcular el volumen de
prismas rectos cuya base
sea un cuadrilátero o un
triángulo. Resuelve problemas
que impliquen el cálculo
del volumen.
40. Explora la relación entre el
decímetro cúbico y el litro,
y de la relación de capacidad y
volumen. Resuelve problemas
que implican calcular volumen
y capacidad.
250
252
1. Volumen de
prismas rectangulares
254
2. Volumen de un
prisma cuadrangular
256
3. El volumen de los prismas
y datos faltantes
258
1. Envases de un litro
260
2. El volumen de una cisterna
262
Punto de encuentro
264
Reviso mi trayecto
266
Valoro mis fortalezas
267
Evaluación del trimestre 3
Evaluación final
XIX
Evaluación diagnóstica
Nombre
Grupo:
Número de lista:
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Resuelve los problemas y revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados
que obtengas, retoma los contenidos que se te dificultaron.
1. Ubica los números en las rectas y ordénalos de mayor a menor.
3 , 5 , 7 , 15 , 5 , 1
5 4 11 11 3 4
a.
0
b. 1 2 , 13 , 4 , 7 , 7 , 4
3 11 5 4 11 3
0
hi
2. La cisterna de una purificadora de agua inició el día con 700 litros. Después del primer corte de
venta se han utilizado 245.7 litros. Si una pipa abastece 500 litros y la capacidad de la cisterna
es de 1 100 litros, ¿cuántos litros faltan o sobran para llenar la cisterna a toda su capacidad?
3
de litro de agua para cada sabor. Si se prepara4
1
ron 5 sabores y al verterlos en el molde quedó un espacio vacío de
de litro, ¿cuál es la capa4
cidad del molde?
P
ro
3. Para hacer una gelatina arcoíris, se utilizan
XX
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
4. En un recipiente se vierten 5.750 litros de agua y 0.300 litros de esencia floral. Después de extraer 3.250 litros de la mezcla, ¿cuántos litros quedan en el recipiente?
3 2 1
3
,
y
,
de kilogramo de
5. En una hora, en una carnicería se despacharon pedidos de
4 3 2
2
carne. ¿Cuál fue la cantidad total de carne que se vendió?
6. Dibuja en los círculos, debajo de cada operación, una
trado es el correcto o un si no lo es.
si el procedimiento de solución mos600.001
499.999
100.002
487.120
487.120
b.e.
32
32
974240
974240
1461360
1461360
2435.600
15587.840
3140
.3 9420
04
12
0
314
.3 942
04
12
0
P
ro
hi
12.020
12.02
600.001
a.d.
4.830
4.830
499.999
110.102
16.850
6.032
3 5 3 5 15
7 4 7 4 28
c.f.
5
35
75
8
4
8 4 12
3 5 3 10 13
8
4
8
8
8
7 4 7 4 28
5
5
5
XXI
7. Martín y dos de sus amigos fueron a comer tacos. Las tablas muestran la lista de precios de tacos y refrescos.
Tacos
Precio ($)
Refrescos
Precio ($)
5
10
60
1
15
30
180
240
300
360
3
4
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
20
6
35
75
90
105
a. Completa las tablas de precios.
b. ¿Cuál es el precio de un taco?
c.
Martín comió 6 tacos. ¿Cuánto pagó?
d. Entre sus dos amigos comieron 14 tacos. ¿Cuánto pagaron si también tomó un refresco cada
quien?
e. En una mesa contigua, una familia pagó $810 incluyendo 6 refrescos. ¿Cuántos tacos comieron en total?
f.
Si la familia era de seis integrantes y cada uno comió el mismo número de tacos, ¿cuántos se
comió cada uno?
8. Relaciona las columnas correctamente.
(
) 12
b. En un grupo de 50 personas, 10% escuchan música pop.
¿Cuántas personas del grupo oyen ese género musical?
(
) 160
c.
Eloísa compró un pantalón cuyo precio original era de $200 y
tenía descuento de 20%. ¿Cuánto pagó?
(
) 450
d. Un envase de crema para manos tiene capacidad de 120 mL.
Si se ha utilizado 50%, ¿cuántos mL quedan?
(
) 60
e. Para hacer un pan, se utiliza 1% de cremor tártaro. Si el peso
del pan es 1 200 gramos, ¿cuántos gramos se utlizaron de ese
ingrediente?
(
) 300
f.
(
)5
P
ro
hi
a. De 1 800 piezas de pan que preparan en una panificadora,
25% llevan fruta. ¿Cuántos panes llevan fruta?
XXII
En un invernadero se vendieron 48 rosas, que equivalen a
16% del total de las plantas que se tenían. ¿Cuántas plantas
había originalmente?
Evaluación diagnóstica
9. Completa las sucesiones y responde.
, 11, 15,
, 23… d. 1, 2, 4,
,
a. 3,
b. 2, 6,
, 54, 162,
… e. 2.54, 5.08,
c. 1, 3, 5,
,
, 11 … f. 0.03,
,
, 32 …
,
, 12.7 …
,
, 7.63, 9.53…
•• ¿Cómo encontraste los valores faltantes para la sucesión del inciso a?
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
•• ¿Y los del inciso e?
•• ¿50 es un valor de las secuencias d y c? ¿Por qué?
10. Dibuja las figuras faltantes de cada sucesión y responde.
a.
Figura 1
b.
Figura 2
Figura 1
hi
c.
Figura 2
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 3
Figura 4
Figura 5
Figura 5
Figura 4
Figura 6
Figura 5
Figura 7
Figura 8
ro
Figura 1
Figura 3
•• ¿Cuántos círculos rojos tendrá la figura 8 de la sucesión del inciso a? Justifica tu respuesta.
P
•• Qué figura estará en el lugar 15 si se sigue la sucesión del inciso c? Justifica tu respuesta.
XXIII
11. Completa la tabla con la ubicación de cada punto.
6
A
y
5
4
B
3
A
2
B
6 5
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
1
4 3 2
D
1 0
1
2
3
4
5
6
x
D
2
3
E
4
5
E
C
1
C
6
12. Construye con regla y compás los triángulos que se indican. Traza con rojo una altura de cada uno.
b. Triángulo 2: 4 cm, 4 cm y 2 cm
hi
a. Triángulo 1: 3 cm, 5 cm, 4 cm
2.5 cm
P
ro
13. Calcula el área de las figuras.
2.5 cm
5 cm
5 cm
Área:
XXIV
Área:
2.7 cm
Evaluación diagnóstica
14. La tabla muestra las ventas que se registraron en una concesionaria automotriz durante un
trimestre.
Tipo de automóvil
Descripción
Automóvil rojo
Automóvil negro
Automóvil azul
Automóvil amarillo
Camioneta familiar blanca
Camioneta familiar azul
Camioneta familiar roja
Camioneta familiar negra
Camioneta de carga roja
Camioneta de carga negra
Camioneta de carga azul
Camioneta de carga verde
4
3
3
2
1
1
2
1
1
1
3
3
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Frecuencia
a. ¿Cuántas unidades se vendieron en total en el trimestre?
b. ¿Qué unidades se vendieron más en el trimestre: automóviles, camionetas de carga o camionetas familiares?
c.
¿Cuál es el color que menos se vende?
d. Selecciona la gráfica que describe la información de la tabla.
Ventas del trimestre
6
Ventas del trimestre
Gráfica 2
y
y
6
5
5
4
Frecuencia
4
Frecuencia
Gráfica 1
3
2
hi
2
ro
1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
Tipo de automóvil
3
1
9
10
11
12
x
0 1
2
3
4
5
6
7
8
Tipo de automóvil
9
10
11
12
x
P
15. Escribe todos los eventos posibles en cada experimento.
a. Lanzar un dado y una moneda: b. Lanzar un dado y extraer una bola de una urna con una bola blanca y una negra: XXV
Evaluación del trimestre
1
Nombre
Grupo:
Número de lista:
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Resuelve los problemas y revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados
que obtengas, retoma los contenidos que se te dificultaron.
1. Coloca una E si el número decimal es exacto, M si es periódico mixto o P si es periódico puro.
a. 3.8356
b. 8. 45
c.
2.388
d. 4.005
e. 0. 01
2. Marca con una
a. Entre
f.
3 5
y
5 7
2 1
Entre y
9 3
d. Entre 2.001 y 2.100
e. Entre
f.
g. 73.345
l.
h. 384.64
m. 527.256
i.
89.001
n. 2674. 13
j.
845.7
o. 87.121
48.9103
los números que se encuentren entre el par de números dado en cada inciso.
b. Entre 2.84 y 2.92
c.
k. 890.309
1.324
2 8
y
11 9
Entre 4.031 y 4.0100
20
35
285
( )
10
7
( )
27
22
35
287
( )
100
9
( )
27
23
35
289
( )
1000
11
( )
27
25
35
291
( )
100
13
( )
27
( )
( )
( )
( )
( ) 2.01
( ) 2.17
( ) 2.011
( ) 2.104
( )
8
99
( ) 4.0315
( )
18
99
( ) 4.0205
( )
53
99
( ) 4.030
( )
87
99
( ) 4.01
ro
hi
3. Analiza las situaciones. Escribe proporcional o no proporcional según corresponda en cada caso.
Situación
P
Colocar 42 nochebuenas de dos en dos en cada maceta.
El recorrido de un automóvil que viaja a 5 km/h, después se detiene 30
min y sigue su recorrido a la misma velocidad.
Para una ensalada, Karen usa medio pepino. Al preparar 6 ensaladas
usó tres pepinos.
En una tienda, Sandra vio una oferta de 35% de descuento en todos los
vestidos. Compró uno que originalmente costaba $700 y pagó $455.
XXVI
Proporcional o no
proporcional
4. Calcula el área de las figuras. Anota tus operaciones en los recuadros.
3 u
4
5 u
7
12 u
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
6
1.2 u
4.5 u
5.2 u
0.6 u
5. Alejandra comprará cierres para vestidos. El precio de mayoreo por pieza es de $1.98.
a. ¿Cuántos cierres puede comprar con $400? Explica tu respuesta. b. Después de varias compras, Alejandro cuenta con $689.50. ¿Cuántos cierres para vestido puede comprar con esa cantidad? 6. Al inicio del día, los trabajadores de una confitería llenaron diferentes recipientes plásticos con
1 kg de cada producto. Al final del día sobraron las siguientes cantidades: 0.160 kg de chocolates, 0.250 kg de gomitas, 0.200 kg de pepitas. También sobró la quinta parte del recipiente de
cacahuates enchilados y la tercera parte del recipiente de cacahuates salados.
Completa la tabla con base en la información dada.
hi
Producto
Cantidad de producto que sobró
En fracción
P
ro
Cacahuates enchilados
Chocolates
Gomitas
Cacahuates salados
Pepitas
En número decimal
1
5
1
3
0.160
0.250
0.2
a. ¿De qué producto quedó menos? b. ¿De qué producto quedó más? c.
¿De qué productos quedó la misma cantidad? XXVII
7. Joaquín, Heriberto, Efraín y Marcos corren diariamente. Cada uno recorre la misma distancia
cada día y anota el total de kilómetros que ha recorrido hasta el momento. La tabla muestra el
registro de la semana 6 de cada uno.
Domingo
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Días recorridos
36
37
38
39
40
41
42
Distancia recorrida (km)
Joaquín
Heriberto
Efraín
Marcos
107.28
110.26
108.72
111.74
106.56
109.52
108
111
©
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lla
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ri
bu
ci
ón
Día
a. Explica cómo puedes determinar la cantidad de kilómetros que cada uno corre diariamente y
completa la tabla. b. Determina la cantidad de kilómetros que cada uno habrá corrido el cuarto día de la novena
semana. Grafica la relación entre los kilómetros recorridos y los días transcurridos para cada corredor.
hi
c.
P
ro
8. Para hacer 40 camisas se utilizaron 480 botones. ¿Qué porcentaje del total de botones se utilizó
si la bolsa contiene 1 152?
XXVIII
Evaluación del trimestre 1
9. Una mercería ofrece un descuento en la compra de 100 o más botones metálicos.
a. Si se pagaron $1 344 por 480 botones metálicos y el precio por unidad era de $3.20, ¿qué des-
©
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da a
n
su ti
lla
di n
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ci
ón
cuento se aplicó? b. ¿Cuánto se debe pagar por 600 botones? 10. Carla hará una ventana redonda con el marco de madera, como se ve en la figura de la derecha.
Si cada eje de la ventana mide 45 cm, ¿cuál es la longitud del marco?
45 cm
11. El encargado de una librería presentó la relación de ventas del mes mediante una gráfica circular.
Libros
Absoluta
ro
Ficción
9%
Relativa
10%
29%
12%
Clásicos
Texto
13%
hi
Ficción
Clásicos
Texto
Romance
Terror
Infantiles
Total
Frecuencia
Romance
27%
100%
Terror
Infantiles
P
a. Completa la tabla. Considera que en el mes se vendieron 2 000 libros.
b. ¿Cuál es la diferencia entre el número de los libros de ficción vendidos y los de romance? c.
¿Cuál es la diferencia entre el número de los libros clásicos vendidos y los de terror? XXIX
Evaluación del trimestre
2
Nombre
Grupo:
Número de lista:
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ón
Resuelve los problemas y revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados
que obtengas, retoma los contenidos que se te dificultaron.
1. Elige, de cada lista, la opción donde los números se encuentran ordenados de mayor a menor.
•• 69, 73, 84, 96, 74
a) 96, 84, 74, 73, 69
b)
84, 73, 69, 74, 96
b)
112, 91, 57, 47, 35
b)
999, 891, 457, 333, 321
•• 112, 35, 47, 57, 91
a) 112, 57, 47, 35, 91
•• 321, 333, 457, 999, 891
a) 891, 457, 321, 333, 999
2. Relaciona cada operación con su resultado.
a. 8 7 6 5 4 3
(
) 45
b. 65 43 23 87 90
(
) 3
c.
16 89 40 87 15
(
) 50
d. 34 67 80 90 87
(
) 4
e. 187 91 57 98 274
(
) 105
1 5 6
( ) 2
3
4
9
7
g. 4.7 2.9 3.2
( ) 2 1
12
( ) 5.4
h. 8 1 5
16
2
7
i. 6.3 4.8 7.6
( ) 3 15
88
ro
hi
f.
j.
(
l.
14.7 22.1 − 31.4
(
) 9.3
m.
3 13 5
9
4
6
(
) 6.1
(
) 5.4
P
9.8 8.8 − 9.3
k. 5 1 14 32
2
16
22
XXX
(
) 1.4
) 11
12
3. Escribe el resultado de cada operación.
a. 3 (5.3 2 1) 3 b.
c.
2 1 6 7
5
3 1 9
8 2
[4 (6 9 3) 2] 5.8 ©
bi S
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n
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ri
bu
ci
ón
d. 6.7 10.9 (23 8) 2 4 e. 12 [9 1 7 5 2 1 1 3 2] 6
4
2
4
4. Analiza cada sucesión y responde.
•• Sucesión 1
Lugar del término n
1
2
3
4
Término
1.5
2.25
3
3.75
5
6
7
8
a. Completa la tabla.
b. ¿Cuál término ocupa el lugar 8? c.
¿Cuál término ocupa el lugar 100? d. Escribe la expresión algebraica que representa a la sucesión. ro
hi
•• Sucesión 2
Figura 2
Figura 3
Figura 4
P
Figura 1
a. Dibuja la figura 4.
b. Describe la sucesión. c.
¿Cuántos cerillos tiene la figura 4? d. ¿Cuántos cerillos tiene la figura 97? e. Escribe la expresión algebraica que describe la sucesión. XXXI
5. Varios insectos cayeron en una telaraña y se encuentran en la posición que se indica en la tabla.
Considera el origen del plano cartesiano como el centro de la telaraña y ubica a los insectos.
Posición
Mosca
Avispa
Mosquito
Mariquita
Mariposa
Libélula
(7, 9)
(5, 2)
(2, 3)
(4, 3)
(8,5)
(8, 8)
10
y
9
8
7
6
5
©
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n
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ri
bu
ci
ón
Insectos
a. Si la avispa hubiera quedado atrapada 5
hilos más arriba, ¿cuáles serían sus coordenadas? 4
3
2
1
109 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1
3 4
5 6
7 8
x
9 10
2
3
b. Escribe las coordenadas del mosquito si
se hubiera atorado 3 hilos hacia la derecha. 4
c.
8
¿En qué coordenadas estaría colocada
la araña si estuviera 8 hilos a la izquierda de la mosca y 4 hilos arriba de la mariquita? 1 2
5
6
7
9
10
6. En una oficina se usan dos marcas de tintas para imprimir. En la tabla se muestra la cantidad
de hojas y tinta usada con cada marca.
Marca A
Marca B
90
180
270
360
450
540
630
120
240
360
480
600
720
840
P
ro
4
8
12
16
20
24
28
Hojas impresas
hi
Tinta (mL)
a. Traza la gráfica que muestra el rendimiento de cada marca de tinta.
b. ¿Qué forma tiene cada gráfica? c.
¿Cuál es la constante de proporcionalidad para cada marca de tinta? d. ¿Cuántos mililitros de tinta, aproximadamente, se utilizarían de cada marca para imprimir 1
732 hojas? XXXII
Evaluación del trimestre 2
7. Encuentra el valor de cada ángulo. Considera que (CD) y (FG) son rectas paralelas.
J
JHC
AEF
BEG
KIG 50º
KHC
AEG
KHB
A
C
H
45°
D
F
E
I
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
AHJ
CHB
FEB
FIK
GIJ
DHA 46º FIJ
B
G
50°
K
8. La cantidad de helados por sabor que se vendieron en una nevería en un día es la que se indica:
chocolate, chicle, nuez, pistache, galleta, coco, fresa, chocolate, guanábana, vainilla, vainilla,
chocolate, pistache, nuez, moca, coco, galleta, moca, fresa, vainilla, pistache, chicle, fresa, moca,
coco, vainilla, fresa, pistache, moca, guanábana, chicle, nuez, chocolate, fresa, coco, moca, fresa,
fresa, pistache, vainilla.
a. Completa la tabla y realiza la gráfica que la representa.
Sabor
Fresa
Cantidad
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Chocolate
Vainilla
Pistache
Coco
Nuez
Guanábana
hi
Chicle
Moca
Total
P
ro
Galleta
b. ¿Con qué medida de tendencia central se puede saber cuál sabor se prefiere más? c.
¿Cuál es el sabor preferido? d. ¿Qué sabores tienen 7.5% de preferencia? e. ¿Qué sabor se encuentra en la mediana? XXXIII
Evaluación del trimestre
3
Nombre
Grupo:
Número de lista:
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bi S
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Resuelve los problemas y revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados
que obtengas, retoma los contenidos que se te dificultaron.
1. Escribe los primeros 5 términos de la sucesión, o bien, la expresión algebraica que permite encontrar el término n en cada caso.
d. 3, –3, –9, –15, –21…
9n
7
an = 5n + 3
2n
an =
3
an =
e. –1, 6, 13, 20, 27…
an =
a.
an =
b.
c.
2. Observa las expresiones y haz lo que se pide.
•• 3x 2
• 5x 3
• 4 2x
• 3.5 x
a. Escribe la suma de todas las expresiones. b. Escribe dos expresiones equivalentes a la suma de las expresiones. 3. Subraya la solución de cada ecuación que se presenta.
B) x
b. 117 25x 26x - 30
A) x 87
B) x
P
4. Indica con una
C) x
51
87
22
88
D) x 4
51
87
C) x 147
D) x
C) x 2.69
D) x 2.48
las tablas que describen funciones lineales.
(
)
Boletos
Costo
(
)
Lado del cuadrado
Área
XXXIV
22
88
0.68 1.8x 7.3x 2.13
A) x 8.31
B) x 0.5109
ro
c.
hi
a. 21x 77 43x 11
A) x 4
2
4
6
8
150 300 450 600
4
16
5
25
6
36
7
49
(
)
Aseo personal
Agua consumida
1
45
2
88
3
4
129 168
(
)
Paquetes de papel
Monto por pagar
3
45
6
90
9
12
135 180
5. Resuelve las ecuaciones y anota tus procedimientos en los recuadros.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
a. 4(x 2.5) 7(12.2 0.5x)
b. 0.2(8.3 0.7x) 4.1(1.2x + 1.6) 3.2
6. En una granja se recogen 13 huevos cada 24 horas. ¿Cuántos huevos se habrán recolectado en
15 días?
a. Completa la tabla.
Días
Huevos recolectados
1
13
2
3
4
5
6
7
8
9
10
b. De los 13 huevos, la familia de la granja consume 8 cada tercer día y pone a la venta los demás. ¿Cuántos huevos tendrán para la venta en el día 8? Completa la tabla.
Días
Huevos para la venta
2
3
31
4
5
6
7
8
9
10
Traza las gráficas de cada situación con los datos de las tablas.
y
y
P
Días
x
Número de huevos
Huevos para la venta
hi
Huevos recolectados
ro
Número de huevos
c.
1
13
Días
x
d. ¿En cuál gráfica se muestra una variación lineal? e. ¿Cuál es la razón de cambio en dicha gráfica? f.
¿Cuántos huevos se habrán recolectado en 15 días? XXXV
7. Grafica las rectas que representan las ecuaciones.
1
y x2
4
y 1.3x 2.1
y
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
y
x
x
8. En cada caso, construye en el recuadro de la derecha un triángulo congruente.
P
ro
b.
hi
a.
XXXVI
Evaluación del trimestre 3
G
9. Elige la opción que relaciona correctamente las columnas.
a. Dos triángulos son
congruentes si tienen dos
lados iguales y el ángulo
entre ellos mide lo mismo.
1. ALA
I.
C
F
A
E
G
B
2. LLL
II.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
b. Dos triángulos son
congruentes si tienen dos
ángulos que miden lo mismo
y el lado entre ellos es igual.
C
A
B
c.
Dos triángulos son
congruentes si sus tres
lados son iguales.
3. LAL
III.
F
C
A
A) a. 3. III.
b. 2. II.
c. 1. I.
B) a. 3. II.
b. 1. I.
c. 2. III.
C) a. 3. II.
b. 1. III.
c. 2. I.
F
E
E
G
B
D) a. 3. III.
b. 2. II.
c. 1. I.
10. En un centro comercial hay dos tipos de macetas. El grosor del material con el que están hechas
es de 10 cm. Calcula:
hi
80 cm
75 cm
75 cm
80 cm
75 cm
120 cm
ro
a. El área de la base exterior de la maceta chica. P
b. El área de la base interior de la maceta grande. c.
El volumen exterior de la maceta chica. d. El volumen exterior de la maceta grande. e. La capacidad de la maceta chica. f.
La capacidad de la maceta grande. XXXVII
Respuestas
de las evaluaciones
Evaluación diagnóstica
e. 60 tacos
f . 10 tacos cada uno.
0
5
3
1
4
15
11
b.
0
12
3
1
3 7
5 11
5
4
7
11
7
4
1
4
5
5 15
4 11
4
3
7
11
7
11
4
3
13
11
2
5
3
3
5
2
7
12
3 4
4
5
1
4
7
11
2. Faltan 145.7 litros para llenar la cisterna.
3. De 4 litros.
4
8. (
(
(
(
(
(
e
c
a
d
f
b
) 12
) 160
) 450
) 60
) 300
)5
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
1. a.
Quedan 2.8 litros en el recipiente.
17
5. 2 12 kg de carne.
6. a.d.
b.e.
9. a. 7, 19
b. 1 8, 486
c. 5, 7
d. 4, 16
e. 7.62, 10.16
f. 1.93, 3.83, 5.73
•• R. M. Restando del 15 el 11 y verificando
que cumpla para los demás términos de la
sucesión.
•• R. M. Encontrando el factor que genera todos
los términos de la sucesión, en esta es el 2.
•• No pertenece, en la secuencia d, el doble
de 32 es 64 y en la secuencia c los números
más cercanos son 49 y 51.
10. a.
c.f.
7. a.
hi
Figura 2
Precio ($)
Refrescos
Precio ($)
5
10
15
20
25
30
35
b. $12
c. $72
d. $183
60
120
180
240
300
360
420
1
2
3
4
5
6
7
15
30
45
60
75
90
105
P
ro
Tacos
XXXVIII
Figura 3
b.
...
Figura 1
Figura 2
Figura 5
c.
...
Figura 4
Figura 5
Figura 8
•• 17 círculos. R. M. Se observó la diferencia entre la cantidad de círculos de una figura y otra.
•• R. M. Se obtuvo siguiendo la secuencia de
las figuras.
A
B
C
D
E
(4,5)
(3,3)
(4,5)
(3,1)
(4,5)
3.
) 2.17
(
) 2.011
e. (
)
53
99
(
)
f. (
) 4.0315
87
99
Proporcional o no proporcional
Proporcional
No proporcional
Proporcional
Proporcional
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
11.
d. (
12. a. b.
5
4
4
4
4.
2
3
13. Área: 6.25 cm
2
25 u2
49
11.7 u2
Área: 12.5 cm
2
1 u2
0.36 u2
14. a. 25 unidades
b. Automóviles
c. Blanco
d. Gráfica 1
5. a. 202 cierres. R. M. Se dividió 400 entre 1.98
para obtener el número de cierres que se
pueden comprar.
b. 3 48 cierres
15. a. 1 , águila; 1, sol; 2, águila; 2, sol; 3, águila;
3, sol; 4, águila; 4, sol; 5, águila; 5, sol; 6,
águila; 6, sol.
b. 1, blanca; 1, negra; 2, blanca; 2, negra; 3,
blanca; 3, negra; 4, blanca; 4, negra; 5,
blanca; 5, negra; 6, blanca; 6, negra.
6.
1. a. E
b. P
c. M
d. M
e. P
hi
Evaluación. Trimestre 1
2. a. (
)
P
ro
f. E
g. M
h. E
i. P
j. P
b. (
c. (
22
35
287
)
100
) 7
27
k. E
l. M
m. E
n. P
o. M
(
(
23
35
291
)
100
)
En fracción
1/5
4/25
1/4
1/3
1/5
En número decimal
0.2
0.160
0.250
0.33
0.2
a. Chocolates
b. Cacahuates salados
c. Cacahuate enchilado y pepitas
7.
Joaquín Heriberto
107.28
110.26
113.24
116.22
119.2
122.18
125.16
108.72
111.74
114.76
117.78
120.80
123.82
126.84
Efraín
Marcos
106.56
109.52
112.48
115.44
118.4
121.36
124.32
108
111
114
117
120
123
126
XXXIX
a. R. M. Tomando dos valores consecutivos
y restándolos o bien tomando la cantidad
que se muestra y dividiéndola entre los
días transcurridos hasta ese día.
b. Para Joaquín es 2.98, para Heriberto es
3.02, para Efraín es 2.96 y para Marcos es 3.
c. 2. ( e ) 45
y
( a ) 3
( k ) 3 15
88
( d ) 50
( g ) 1.4
( b ) 4
( f ) 11
12
( c ) 105 ( j ) 9.3
130
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Kilómetros recorridos
140
( l ) 5.4
( i ) 6.1
( h ) 2 7
( m ) 2 1 ( --- ) 5.4
12
120
110
100
35
36
37
38
39
Día
40
41
42
x
3. a. 6.2
d. 87.8
b. 13 20
e. 3 11
24
8. 41.6% de la bolsa
c. 19.8
9. a. El porcentaje de descuento que se aplicó
es 12.5%, en pesos es 192.
e pagó $1 680.
b. S
10. 141.37 cm
11. a.
Libros
Absoluta
580
540
180
200
260
240
2 000
Relativa
29
27
9
10
13
12
100%
•• Sucesión 1
a. 1
2
3
1.5 2.25 3
4
5
6
3.75 4.5 5.25
7
6
8
6.75
b. 6.75
c. 75.75
d. an 0.75n 0.75
•• Sucesión 2
a.
ro
hi
Ficción
Clásicos
Texto
Romance
Terror
Infantiles
Total
Frecuencia
4.
P
b. 380 libros
c. 280 libros
Evaluación. Trimestre 2
1.
XL
•• b. 84, 73, 69, 74, 96
•• a. 112, 57, 47, 35, 91
•• a. 891, 457, 321, 333, 999
b. R. M. En cada figura aumentan dos cerillos.
c. 8 cerillos
d. 184 cerillos
e. an 2n
Respuestas de las evaluaciones
5.
8. a.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Avispa
Mosca
Mariquitas
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mosquito
3
4
5
6
7
8
9
10
Mariposa
a. (5, 7)
b. (1, 3)
c. (1, 7)
6. a.
Fresa
Chocolate
Vainilla
Pistache
Coco
Nuez
Guanábana
Chicle
Moca
Galleta
||||| ||
||||
|||||
|||||
||||
|||
||
|||
|||||
||
Total
Mosca
900
700
600
500
400
300
200
100
0
Moca
Chicle
7/40
4/40
5/40
5/40
4/40
3/40
2/40
3/40
5/40
2/40
1
Chocolate
Vainilla
Nuez
36
37
38
39
40
41
42
4
8
12
16
20
24
28
x
ro
hi
a. L ínea recta
b. Para la marca A la constante de proporcionalidad es 0.04 y para la marca B es 0.03.
c. De la marca A se utilizarían 76.97 mililitros
y de la marca B 57.73 mililitros.
7. AHJ 84°
CHB 46°
FEB 46°
FIK 130°
GIJ 130°
DHA 46°
FIJ 50°
JHC 50°
AEF 134°
BEG 134°
KIG 50°
KHC 50°
AEG 46°
KHB 84°
Fresa
Guanábana
Tinta utilizada
P
7
4
5
5
4
3
2
3
5
2
40
Galleta
Coco
800
Frecuencia Frecuencia
absoluta
relativa
Preferencia de helados
Rendimiento de tinta impresora
y
Hojas impresas
Cantidad
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
109 87 6543 210
1
2
Sabor
Pistache
b. La moda
c. Fresa
d. Nuez y chicle
e. Puede elegir entre pistache, vainilla y moca
porque tienen la misma frecuencia absoluta.
Evaluación. Trimestre 3
1. a. 9/7, 18/7, 23/7, 36/7, 45/7…
b. 8 , 13, 18, 23, 28…
c. 2/3, 4/3, 2, 8/3, 10/3…
d. 6n 9
e. an7n 8
2. a. 5x 8.5
b. 5 (x 1.7) y (6x 5) ( 3.5 x)
3. a. A)
b. C)
c. B)
XLI
) ) (
(
y
)
)
7. y
1
x2
4
6
4
5. a. 4x 10 85.4 3.5x
4x 3.5x 85.4 10
0.5x 95.4
x 95.4/0.5
x 190.8
2
4 2 0
2
2
4
6
8
10
x
12
4
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
4. (
(
6
y
b. 6. a.
b.
1.66 0.14x 4.92x 6.56 3.2
1.66 6.56 3.2 4.92x 0.14x
1.7 5.06x
1.7/5.06 x
0.335 x
Número de huevos
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
13 18 31 36 49 54 67 72 85 90
4 2 0
2
2
4
6
8
10
4
6
8. a.
Huevos recolectados
y
120
100
80
60
40
20
0
6
4
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10
13 26 39 52 65 78 91 104 117 130
c.
140
y 1.3x 2.1
1
2
3
4
5
Días
6
7
8
9
10
x
b.
100
80
60
ro
120
Huevos recolectados
y
P
Número de huevos
140
hi
d. En la gráfica de los huevos recolectados
40
0
1
e. 13
f. 195
XLII
9. B)
20
2
3
4
5
Días
6
7
8
9
10
x
10. a. 5 625 cm2 e. 211 750 cm3
b. 5 500 cm2 f. 385 000 cm3
c. 450 000 cm3
d. 720 000 cm3
x
12
Solucionario del libro
Solucionario del libro
Trimestre 1
b. Del total, el equipo de Luis recogió 1/3; es decir 15 kg. El de Esther recogió 8/45; es decir 8
kg. El de Sebastián recogió 9/45; es decir 9 kg
y el de Regina recogió 13/45; es decir 13 kg.
Secuencia didáctica 1
Practicar para avanzar
Página 20
1.
6
8
2.
0.15
6
3
14
6
3.05
0.35
2.8
9
4
0.15
0
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
0
3.
Secuencia didáctica 4
Página 41
9
4
0.35
6
8
6
3
14
6
2.8 3.05
•• R. M. Es con números decimales.
•• Sí, porque los convertí a números decimales.
•• 3.05, 2.8, 14/6,9/4,6/3,6/8, 0.35 y 0.15
Punto de llegada
Página 23
17
8
1.
2. c. 4 1/2 7/459/2 7/4563/857 7/8;
1 5/6 11/5511/6 11/55121/3054 1/30;
2 4/7 7 8/13518/7 99/1351782/915
19 53/91; 1 13/16 2 15/165
29/16 47/1651363/25655 83/256
3. a. 5/4 de orden: mantequilla 5/8, azúcar 5/4,
huevos 5/2, vainilla 15/8, cocoa 5/12, harina
15/16, polvo para hornear 5/16.
2 1/4 de orden: mantequilla 9/8, azúcar 9/4,
huevos 9/2, vainilla 27/8, cocoa 3/4, harina
27/16, polvo para hornear 9/16.
Secuencia didáctica 5
Practicar para avanzar
Página 43
1 10
11
1.85
1
1.75
9
1 10
2
Secuencia didáctica 2
Página 29
3. a.
4
4
24 5
3222
2
2
15 5
53
15
15
50 5
552
ro
hi
16
16
50 5
552
14
14
18 5
332
3
3
9 5
33
P
Punto de llegada
1. a. Luis
Esther
Sebastián
Regina
Fracción
Decimal
15/45
8/45
9/45
13/45
0.3
0.17
0.2
0.28
1. a. Pablo gastó $625 porque no obtiene descuento; Alejandra gastó $1 350 porque
cada boleto le cuesta $112.50 y Mónica
gastó $2 593.75 porque cada boleto
le cuesta $103.75.
b. A
mbos pagarán lo mismo porque por 9
boletos se pagarán $1 125, y por 10 boletos también, al aplicarse el descuento.
c. Es más conveniente comprar 20 boletos
pues se pagarán $2 075 por el descuento y
por 19 boletos se pagarán $2 137.50.
Secuencia didáctica 8
Página 59
1. b. En relaciones de proporcionalidad, cuando una cantidad aumenta, la otra también
lo hace. Si el número de tazas de pintura
amarilla es 12 entonces aumentó el triple
de lo inicial que eran 4; por lo que el número de tazas de pintura roja será 9, que es el
XLIII
Punto de encuentro
Página 105
Ganso asiático
P
XLIV
1
Tiburones
2
0
0
1
8 am
3 pm
5 am
4 3 2 1
2
3
4
5
6
7
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
hi
ro
Tortugas marinas
Cachalotes
Secuencia didáctica 16
Practicar para avanzar
Página 113
1.
1.
Secuencia didáctica 21
Página 143
Página 145
3. Baja California, Sonora, Chihuahua, Sinaloa,
Durango, Zacatecas, Nayarit, Coahuila, Tamaulipas, San Luis Potosí, Aguascalientes,
Guanajuato, Querétaro, Hidalgo, Tlaxcala,
Morelos, Guerrero, Oaxaca, Tabasco, Yucatán
y Quintana Roo.
e. Campeche. 1182956/100% 5 283025/x ⇒
x 5 23.93%
CDMX. 29035495/100% 5 2011684/x ⇒
x 5 69.28%
México. 18033724/100% 5 1846116/x ⇒
x 5 10.24%
Sonora. 884273/x 100% 5 884273/x ⇒
x 5 23.68%
Oaxaca. 4232140/100% 5 264251/x ⇒
x 5 6.24%
En la Ciudad de México por cada 100 habitantes, aproximadamente 69 viven en la ciudad. Es decir, la población se concentra en
ese punto. En Campeche y Sonora aproximadamente una cuarta parte de la población se
concentra en la ciudad. En México, por cada
100 habitantes aproximadamente 10 viven
en la ciudad, en Oaxaca, por cada 100 habitantes solo 6 viven en la ciudad.
Trimestre 2
Punto de llegada
Página 115
6 pm
triple de la cantidad inicial que es 3.
c. A 3 tazas de pintura roja le corresponden 4
tazas de pintura amarilla, a 1 taza de pintura
roja le corresponden 4/3 de taza de pintura
amarilla. Por tanto, a 2 tazas de pintura roja
le corresponden 8/3 tazas de pintura roja.
1
2
3
4
5
6
7
1. b.
(8, 2)
(5, 2)
y
2.
2.5
2
1.5
1
0.5
9 8 76 5 4 3 2 10
0.5
1
(2,1)1.5
(9,1)
y
6
5
4
3
2
1
(4, 6)
(4, 1.25)
x
0 1 2 3 4 5
1
(4,0.25)
2
3
4
5
6
7
(4,8)
8
Página 148
1. a.
y
20
18
(8, 16)
16
14
(6, 12)
12
10
(4, 8) 8
6
(2, 4)
4
2 (0, 0)
109876543210
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(2,4)
(4,8)
(6,12)
(8,16)
(10,20)
Solucionario del libro
Secuencia didáctica 23
Punto de llegada
Página 161
Practicar para avanzar
Página 149
1. a.
y
10
6
4
2
0
Página 151
2. c.
A
B
C
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
P (atm)
8
149
D E
245
T (K)
F
4
G
x
405
341
I
J
10
E
F
D
20 10 0 G 10 20
C
10
20
B
40
2
201816141210 8 6 4 2 0
2
4
6
H
I
50
8 10 12 14 16 18 20
2
50
A60
J
Secuencia didáctica 24
Practicar para avanzar
Página 163
70
Punto de llegada
Página 152
Precio por litro ($)
1. d.
60
40
0
2. R. M. Se necesita conocer la medida de dos
ángulos que no sean congruentes entre si.
Por ejemplo, si el ángulo TAO 53° y el ángulo ROM 32°, las medidas de los demás
ángulos serán TOA 32°, ATO 95°,
RMO 95° y ORM 53º.
Venta de café
y
1
2
3
4
5
6
7
8
hi
Litros comprados (L)
y
(2, 4)4
ro
P
2.
2. a. Ángulos alternos internos. Son aquellos
que se encuentran dentro de las paralelas
y además en distinto lado de la transversal.
Ángulos alternos externos. Son aquellos
que se encuentran fuera de las paralelas
y además en distinto lado de la
transversal.
Opuestos por el vértice. Son aquellos que
se oponen y comparten vértice.
Ángulos adyacentes o suplementarios.
Son aquellos que se encuentran uno a
lado del otro y además su suma es de 180º.
Ángulos correspondientes. Son aquellos
que están del mismo lado de la transversal y además uno dentro y el otro fuera de
las paralelas.
b. Sí, por ejemplo, 110º y 70º son ángulos adyacentes y a la vez suplementarios.
3
2
1
2 1 0
1
1
2
3
4
x
9
x
10
Secuencia didáctica 26
Página 173
3. Encuesta. Son cuestionamientos que se hacen a varias personas para obtener información sobre un determinado asunto.
Entrevista. Conversación entre dos personas
o más, la cual está basada en una serie de
preguntas.
Observación. Nota escrita que explica o aclara un dato o información.
2
3
4
(3,4)
XLV
Trimestre 3
Secuencia didáctica 30
Página 201
3. a. p
/622.8; p /6222.82; p/64 .8;
6(p/6)6(4.8); p28.8
b. 3x2/154/5; 3x2/152/154/52/15;
3x14/15; 3x/3(14/15)/3; x14/45
c. 2n/31.213; 2n/31.21.2131.2;
2n/314.2; 3(2n/3)3(14.2); 2n42.6;
2n/242.6/2; n21.3
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
1. i. 5 (n 3) es una suma abreviada que es
equivalente a (n 3) (n 3) (n 3)
(n 3) (n 3).
Agrupar los términos con la variable n y por
otra parte las constantes: es decir, n n
n n n 3 3 3 3 3; así la suma
de los términos con la variable n es 5n y la
suma de los términos constantes es 15. La
regla es equivalente a 5 (n 3) es 5n 15.
•• R. M. Para la regla n 3 es:
iii. 40/40 a 2480/40, entonces se tiene a
62. No cambia la solución ya que en ambos lados de la igualdad se dividió por 40.
iv. La igualdad es verdadera en todos los
casos, por ende las tres ecuaciones son
equivalentes.
Página 213
2. a.
Tabla 1. Diferencia de datos
Variable independiente Variable dependiente
2000 1 995 5
2005 2 000 5
2010 2 005 5
Una representación que describe la sucesión al multiplicar por 5 cada sumando es:
128 149 21
107 128 21
86 107 21
Tabla 2. Diferencia de datos
Variable independiente Variable dependiente
ro
hi
•• R. M. Para la regla 5n 15 es:
P
Secuencia didáctica 31
Página 205
2. i. La incógnita será a de acierto, la ecuación
que modela el problema es 40a 80 2560.
ii. 40a 80 80 256080, entonces se
tiene 40a 2480. No cambia la solución
ya que en ambos lados de la igualdad se
resta la misma cantidad.
XLVI
2000 1 995 5
2005 2 000 5
2010 2 005 5
668 790 122
656 668 12
648 656 8
Punto de llegada
Página 216
x
y
1. a.c.
0
3
1
2.5
2
2
4.5 0.75
b.
x
y
5
3
5
2.5
d.
5
1.5
0
5
1
5
2
5
4.5
5
x
y
3
2.5
1.5
0
1
2
4.5
6.9
4.55
0.15
7.2
11.9
16.6
28.35
x
0
1
2
4.5
y
10
5
0
12.5
Solucionario del libro
y
2.
La función
y 1/2 x 3
es lineal.
Secuencia didáctica 34
Practicar para avanzar
y
Página 228
1
x
10.50 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
(4.5,0.75)
1
2
30
25
20
15
10
5
1. a.
(2,2)
(1,2.5)
3
(0,3)
5
4.6
4.4
4.2
4
3 2.5 21.51 0.5 0
3.8
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
1. a.
x
3.6
y
(4.5, 28.35)
30
9
8
7
6
5
4
3
2
1
20
(2, 16.6)
15
10
5
(1, 11.9)
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x
10
y
12
10
8
6
4
2
(4.5,12.5)
(2,0)
x
0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5.5
2
4
(1,5)
6
8
10 (0,10)
hi
c. •• a, c y d, son lineales. b es no lineal.
•• a no es positivo en los valores dados. b es
positiva en todos los valores dados; de 3
a 4.5. c, de 1.53 a 4.5 y d, de 2 a 4.5.
•• a, es negativa para todos los valores de x.
Para b no existe intervalo en el que la variable dependiente sea negativa. En c, de 3
a 1.53 y en d, de 3 a 2.
•• En todos los casos, 3 y 4.5 ya que se consideraron valores específicos de x.
•• En el intervalo dado: a. Eje x: No interseca, Eje y: (0, 3). b. No existe intersección,
Eje y: (0, 5). c. Eje x: (1.53, 0), Eje y: (0, 7.2). d.
Eje x: (2, 0), Eje y: (0, 10)
ro
b.
(0, 7.2)
3 2.5 21.51 0.5 0
(2.5,4.55)5
(3,6.9)
1, 7.5)
(0.8, 6)
0
25
(1.5, 0.15)
P
x
Punto de llegada
Página 229 10 y
4.8
La función
y 5 x 10
es lineal.
(7,0)
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
y
La función
y 4.7 x 7.2
es constante.
(6,20)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
5
(0,10) (1,10)
10
(2,20)
15
(3,20)
20
4
La función
y 5 es
constante.
(5,30)
(4,30)
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
(0, 0)
0.2 0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
y
0
(1, 121)
0.1 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
Secuencia didáctica 35
Punto de llegada
Página 233
2. c.
Edad de Alejandra (x)
Edad de mamá (y)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
XLVII
Formato de planeación
Secuencia didáctica
Trimestre:
Eje temático:
Aprendizaje esperado:
©
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Tema:
Duración:
Número de sesiones:
Periodo: del
al
de
Desarrollo de la secuencia didáctica
Actividades
P
ro
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Sesión
XXX
Páginas del libro
del alumno
©
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MATEMÁTICAS
P
ro
Aprendizajes Clave para la Educación Integral
María Trigueros Gaisman ■ María Dolores Lozano Suárez
Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres ■ Mercedes Cortés Lascurain
Emanuel Jinich Charney ■ Mónica Inés Schulmaister
1
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MATEMÁTICAS
1
Este libro fue elaborado en Editorial
Santillana por el equipo de la Dirección
General de Contenidos.
Ilustración
José Enrique Márquez Flores
Fotografía de interiores
Shutterstock
Gettyimages
Fotografía de portada
Shutterstock
ro
hi
La presentación y disposición en conjunto y de cada página
de Matemáticas 1 de la serie Fortaleza Académica
son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la
reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema
o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita
del editor.
© 2018 por María Trigueros Gaisman, María Dolores Lozano Suárez,
Mónica Inés Schulmaister, Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres,
Emanuel Jinich Charney, Mercedes Cortés Lascurain
P
D. R. © 2018 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V.
Avenida Río Mixcoac 274 piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240,
delegación Benito Juárez, Ciudad de México
ISBN: 978-607-01-3893-5
Primera edición: abril de 2018
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.
Reg. núm. 802
Impreso en México/Printed in Mexico
Presentación
Querido alumno:
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Con este libro queremos darte la bienvenida a tu primer curso de Matemáticas de secundaria. Durante su elaboración cuidamos cada detalle para que continúes aprendiendo a
razonar y resolver problemas con las herramientas que la asignatura te proporcionará.
Decidimos enriquecer este libro con una gran diversidad de contextos pensando en que
tu proceso de aprendizaje sea no solo completo y lleno de significado, sino también interesante y entretenido.
A lo largo del libro encontrarás problemas y situaciones que te
llevarán a construir ideas matemáticas. Algunas de ellas te ayudarán a comunicar mejor tus argumentos para justificar tus procedimientos y a comprender las nuevas técnicas con las que te
irás familiarizando paulatinamente. Encontrarás también muchas oportunidades de reflexionar de manera individual y en
grupo. Te invitamos a compartir tus ideas para resolver los problemas, y a escuchar y tomar en cuenta las de tus compañeros
de clase. Esto te ayudará a construir conceptos y a desarrollar el
pensamiento analítico, que es propio de las matemáticas.
Cuando trabajas en equipo intercambias ideas y
estrategias, lo que enriquece tu aprendizaje.
Cuando estudias matemáticas pones en juego todo lo que has aprendido. Por ello, cada
vez que te encuentres ante un nuevo reto, decide cuáles conceptos y procedimientos
pueden serte útiles y cuáles debes descartar. Algunas decisiones pueden llevarte a no
encontrar la solución, así que prueba con otras e inténtalo las veces que sea necesario.
Imaginar nuevas formas de trabajar los problemas te conducirá a desarrollar nuevas habilidades y a adquirir nuevos conocimientos matemáticos. Una idea puede ser enriquecida escuchando a los demás, recuerda que juntos, como grupo, podrán establecer las
relaciones entre lo que sabían y lo que están aprendiendo.
ro
hi
Por medio de secuencias didácticas, divididas en lecciones, el texto te guiará para alcanzar diferentes acercamientos a cada concepto. La diversidad de problemas y retos
te permitirá profundizar en los conocimientos matemáticos y lograr un aprendizaje más
sólido. Con empeño, reflexión constante y valiéndote de argumentos, propios y compartidos, podrás desarrollar diversas estrategias para resolver cada problema y comprender
la relevancia de las matemáticas en la sociedad que te rodea.
P
Nuestro principal objetivo al escribir este libro es que construyas de manera significativa
los aprendizajes esperados y te familiarices con la forma de pensar en matemáticas. Así podrás hacer de las matemáticas una herramienta útil para identificar y resolver problemas
en otros contextos y en tu vida personal. Estamos seguros de que el esfuerzo que hemos
puesto al escribirlo se verá reflejado en tu aprendizaje. Disfrútalo mucho.
Los autores
3
¿Cómo trabajarás
en este curso?
¿Para qué sirven las matemáticas?
©
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Mediante el trabajo con este libro aprenderás que las matemáticas son la herramienta
que te permitirá enfrentar y resolver muchos problemas que pueden presentarse a lo largo de la vida. Desarrollarás diversas formas de analizar problemas, aprenderás técnicas
y procedimientos que se han construido a lo largo de muchos años, los cuales te permitirán no solo resolverlos, sino también aportar argumentos que justifiquen tus resultados
y te ayuden a validar tus conclusiones.
Lo anterior se resume en el siguiente esquema:
ar
lid
va
am
pl
i
ar
Resultados y
conclusiones
Nuevas
técnicas y
procedimientos
Matemáticas
Conocimientos
rro
lla
r
olv
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er
Problemas
sa
de
¿Qué encontrarás en el libro?
hi
Los problemas con los que se inicia cada secuencia didáctica están planteados en diversos contextos que te resultarán interesantes. Las actividades que los acompañan tienen
como finalidad que utilices lo que has aprendido previamente y des significado a nuevos
aprendizajes. Asimismo, buscamos que reflexiones sobre aspectos de los problemas que
te permitirán trabajarlos con diferentes estrategias y que desarrolles la capacidad de razonar en distintos ámbitos y con herramientas diversas.
P
ro
Entre los propósitos de este libro, también están que desarrolles tu imaginación y tu capacidad de organizar y analizar información para encontrar patrones y hacer nuevos
cuestionamientos. Además, queremos que aprendas mediante la reflexión y la comprensión técnicas aritméticas, geométricas, algebraicas o estadísticas que te resulten útiles y
significativas.
Desarrollar estas capacidades no es fácil. Para ello, es importante que te comprometas
con tu propio aprendizaje y con el de tus compañeros por medio del trabajo colaborativo que estará presente en cada una de las secuencias didácticas que conforman este libro. Es importante que consideres que, en un equipo, cada uno de los integrantes debe
trabajar conjuntamente con los demás y escuchar varios puntos de vista con una actitud
abierta y respetuosa hacia las opiniones de los demás.
4
¿Cómo trabajarás en el libro?
©
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Las secuencias se dividen en lecciones. Cada una empieza con un “Punto de partida”, que
es un problema, para que retomes y apliques tus conocimientos previos. Después, en el
“Trayecto formativo”, encontrarás actividades individuales y colectivas que promueven la
reflexión sobre tus acciones y tu aprender a aprender. Además, en esta sección se incluyen
también conceptos y procedimientos que sintetizan los contenidos que trabajaste.
El aprendizaje, en general, y el de las matemáticas en particular, requieren de oportunidades para practicar lo que se ha estudiado. Por ello incluimos a lo largo del libro la sección
con ejercicios y problemas de aplicación llamada “Practicar para avanzar”, que te permitirán hacer un seguimiento personal de tu progreso. Por último, cada secuencia se cierra con
una serie de preguntas en la sección “Punto de llegada”, para que tengas la oportunidad de
valorar si comprendiste los temas y conceptos que estudiaste. Si tienes dudas es importante que tengas la confianza de comentarlas con tu profesor y compañeros de grupo.
Secciones para saber más
Para complementar el trabajo de las secuencias didácticas, incluimos secciones que tienen objetivos específicos y que te ayudarán a mejorar tus capacidades de solucionar
problemas, de argumentación y de reflexión.
“Resuelvo con tecnología”. La tecnología está presente en la vida cotidiana, pero también es un recurso importante en el aprendizaje de las matemáticas. Por una parte, permite agilizar los cálculos y, más importante aún, proporciona herramientas dinámicas
que te permiten simular, imaginar, predecir y reflexionar sobre situaciones matemáticas
y analizar problemas en distintos contextos.
¿Cómo reviso mi avance?
ro
hi
“Punto de encuentro”. Presenta problemas en contextos diversos que te permitirán adentrarte en la relación de las matemáticas con otras disciplinas como la geografía y ciencias de la salud, entre otras. Con la intención de que integres tu conocimiento general y
reconozcas cómo las matemáticas permiten resolver problemas que aparentemente son
muy distintos, pero que, vistos desde su estructura, son similares.
P
“Reviso mi trayecto”. El desarrollo de tu capacidad de autoevaluación es un objetivo importante de este libro. Para ello, cada mes te enfrentarás a problemas en los que deberás
aplicar e integrar lo que has aprendido. Nuestra intención es que hagas una pausa, revises y reflexiones sobre lo aprendido y aquello que se te dificulta. Esto es necesario para
que tu profesor te ayude a superar las dificultades antes de continuar con el estudio de
otros temas y conceptos matemáticos, ya que todos se relacionan de alguna manera.
“Valoro mis fortalezas”. Al final de cada trimestre encontrarás nuevos problemas con los
cuales podrás tener un panorama más amplio de tus avances y áreas de oportunidad.
5
Índice
Presentación
4
¿Cómo trabajarás
en este curso?
Secuencia didáctica 2
24
Fracciones y decimales
• Expresas con notación decimal fracciones decimales
y no decimales. Conviertes fracciones decimales a
notación decimal y viceversa. Clasificas números
decimales en exactos y periódicos.
©
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3
12
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
Así es tu libro
TRIMESTRE 1
Fracciones y el tiempo
Conversión de fracciones
De decimal a fracción
Resuelvo con tecnología
16
30
Conversión de fracciones no decimales en
notación decimal usando una hoja de cálculo
32
Secuencia didáctica 3
Uso de fracciones y decimales
• Exploras la noción de densidad. Aproximas fracciones
no decimales usando la notación decimal y analizas
la pertinencia del uso de fracciones en lugar de
decimales.
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
Fracciones de tiempo
Aplicando la propiedad de densidad
¿Fracciones o decimales?
Secuencia didáctica 4
Multiplicación de fracciones
• Resuelves problemas que impliquen multiplicar
38
fracciones.
ro
hi
Lección 1.
Lección 2.
P
Secuencia didáctica 1
Fracciones y decimales en la recta
• Comparas y ordenas números fraccionarios y
18
decimales, y los ubicas en la recta numérica.
Distingues entre fracciones decimales y no decimales.
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
6
La recta numérica
Ubicación de números decimales
De fracción a decimal
Fracciones y áreas
Producto de fracciones mixtas
Secuencia didáctica 5
42
Multiplicación de decimales
• Resuelves problemas que implican la multiplicación
de números decimales.
Lección 1.
Lección 2.
Natural por decimal
Decimal por decimal
Reviso mi trayecto
47
Secuencia didáctica 6
48
División con decimales
• Resuelves problemas que implican divisiones con
números decimales.
Reparto equitativo
Decimales en el divisor y el dividendo
Secuencia didáctica 7
Proporcionales y no proporcionales
• Identificas situaciones proporcionales y no
52
Relaciones de proporcionalidad
Valor unitario
Proporcionalidad y multiplicación
de fracciones
Secuencia didáctica 8
58
Valor faltante y proporcionalidad
• Resuelves problemas de proporcionalidad en los que
se calcula el valor unitario y del tipo valor faltante,
a través de las propiedades de la proporcionalidad
(razones externas e internas). Usas tablas y gráficas
de proporcionalidad directa.
Propiedades de la proporcionalidad
Uso del valor unitario para resolver
problemas
Lección 3. Tablas y gráficas de proporcionalidad
Lección 1.
Lección 2.
Proporcionalidad y valor unitario
La regla de tres y el valor unitario
ro
Lección 1.
Lección 2.
hi
Secuencia didáctica 9
64
Regla de tres
• Comprendes y usas la regla de tres en problemas
diversos.
P
Secuencia didáctica 10
68
Porcentaje como proporcionalidad
• Identificas el porcentaje como un caso particular de la
proporcionalidad.
Lección 1.
Secuencia didáctica 11
Problemas de porcentaje
• Resuelves problemas que implican calcular el
72
porcentaje, el tanto por ciento o la cantidad base.
proporcionales. Usas constantes de proporcionalidad
fraccionarias o decimales (con fracciones o decimales
mayores, menores e iguales a uno).
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
Propiedades de la proporcionalidad
y porcentaje
©
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lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Lección 1.
Lección 2.
Lección 2.
Significado de porcentaje
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
Distintas representaciones de un porcentaje
Cantidad base
Cálculo de la cantidad base
Secuencia didáctica 12
78
Perímetro
• Deduces, comparas y aplicas fórmulas para calcular
perímetros de polígonos (triángulos y cuadriláteros)
usando literales.
Lección 1.
Lección 2.
¿Cuántos lados tiene una figura?
Perímetros y literales
Resuelvo con tecnología
83
Construcción y perímetro de cuadriláteros
Reviso mi trayecto
85
Secuencia didáctica 13
86
Perímetro del círculo
• Deduces, comparas y aplicas fórmulas para calcular el
perímetro del círculo.
Lección 1.
Lección 2.
Círculo y circunferencia
Diámetro del círculo
Secuencia didáctica 14
90
Áreas de triángulos y cuadriláteros
• Deduces, comparas y aplicas fórmulas para calcular
el área de triángulos y cuadriláteros, usando
literales. Calculas cualesquiera de las dimensiones
involucradas en la fórmula.
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
Lección 4.
Área de rectángulos y cuadrados
El romboide
El área del trapecio
Obtención de datos faltantes
7
98
Secuencia didáctica 15
Gráficas circulares
• Lees e interpretas datos en gráficas circulares.
Construyes gráficas circulares.
Hacer un pastel diferente
Guía para construir una gráfica circular
Construcción de gráficas
Profundidad
Comparación de números enteros
Secuencia didáctica 17
116
Sumas con números enteros
• Resuelves problemas que implican suma y resta de
números enteros.
©
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n
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st a
ri
bu
ci
ón
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
Lección 1.
Lección 2.
Punto de encuentro
104
Reviso mi trayecto
106
Valoro mis fortalezas
107
TRIMESTRE 2
110
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
El juego de los dados
Sumas en la recta numérica
Resta de enteros con fichas
Secuencia didáctica 18
122
Fracciones y decimales positivos y negativos
• Resuelves problemas que impliquen suma y resta de
fracciones y decimales positivos y negativos.
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
Temperaturas sobre cero y bajo cero
Suma y resta de fracciones
Valor absoluto y puntaje
Secuencia didáctica 19
128
Jerarquía de operaciones
• Determinas y utilizas la jerarquía de operaciones y los
paréntesis en operaciones con números naturales,
enteros y decimales.
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
Orden de las operaciones
El uso de paréntesis
Resolución de operaciones
Reviso mi trayecto
hi
Secuencia didáctica 20
136
Sucesiones
• Usas distintas representaciones: verbal, en dibujos,
ro
tabular y algebraica para representar problemas y
sucesiones. Formulas expresiones algebraicas.
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
P
Secuencia didáctica 16
Números enteros
• Comparas y ordenas números enteros.
8
135
112
Descripción de patrones
Sucesiones y expresiones algebraicas
Sucesiones numéricas
Secuencia didáctica 21
142
El plano cartesiano
• Resuelves situaciones que impliquen la ubicación de
puntos en el plano cartesiano.
Índice
Lección 1.
Lección 2.
Ubicación de puntos en el plano cartesiano
Utilidad del plano cartesiano
Secuencia didáctica 22
146
Situaciones de variación
• Interpretas situaciones de variación a partir de su
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
Interpretación de la variación
Variación directa
Diferentes tipos de variación
Resuelvo con tecnología
Ángulos entre dos rectas paralelas cortadas
por una transversal
Suma de los ángulos interiores de triángulos
y cuadriláteros
Secuencia didáctica 26
Gráficas y proyecto estadístico
Reviso mi trayecto
153
155
Secuencia didáctica 23
156
Ángulos y rectas
• Deduces y utilizas las propiedades de los ángulos
formados por dos rectas paralelas cortadas por una
transversal.
Posiciones relativas entre rectas
Ángulos entre rectas
Otros ángulos entre rectas II
Secuencia didáctica 24
162
Ángulos interiores de triángulos
• Deduces las propiedades de los ángulos interiores de
triángulos.
ro
Lección 2.
¿Cuánto suman los ángulos de cualquier
triángulo?
Triángulos y propiedades de rectas
paralelas
hi
Lección 1.
P
Secuencia didáctica 25
166
Ángulos interiores de cuadriláteros
• Deduces las propiedades de los ángulos interiores de
cuadriláteros y las utilizas en diversos contextos.
Lección 1.
Lección 2.
172
• Usas las gráficas circulares en proyectos estadísticos.
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
Situaciones de variación lineal y no lineal
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
170
©
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ón
representación tabular, gráfica y verbal. Comparas
diversos tipos de variación usando diferentes
representaciones.
Resuelvo con tecnología
Cuadriláteros en la Naturaleza
Problemas con otros cuadriláteros
¿Cómo son mis compañeros?
Planeación de un proyecto estadístico
Construcción de la gráfica y presentación
de resultados
Secuencia didáctica 27
178
Probabilidad frecuencial
• Realizas experimentos aleatorios y registras los
resultados como una introducción a la probabilidad
frecuencial.
Lección 1.
Lección 2.
De las frecuencias a la probabilidad
De la probabilidad frecuencial a la certeza
Secuencia didáctica 28
182
Medidas de tendencia central
• Usas e interpretas las medidas de tendencia central
(moda, media aritmética y mediana), el rango
y la dispersión de un conjunto de datos. Decides cuál
de ellas conviene más en el análisis de los datos
en cuestión.
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
Media aritmética
¿Cómo se agrupan los datos?
¿Hacia el centro o hacia los costados?
Punto de encuentro
188
Reviso mi trayecto
190
Valoro mis fortalezas
191
9
TRIMESTRE 3
194
Lección 1. Expresiones algebraicas y ecuaciones
Lección 2. El juego de la balanza
Lección 3. El juego de la balanza II
Lección 4. Las ecuaciones y su solución
©
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bu
ci
ón
Secuencia didáctica 32
212
Funciones lineales y no lineales
• Distingues entre funciones lineales y no lineales
utilizando distintas representaciones. Analizas en qué
intervalos las funciones son negativas o positivas,
crecientes o decrecientes.
Lección 1.
Lección 2.
Comparación de funciones
Función lineal
Reviso mi trayecto
217
Secuencia didáctica 33
218
Ecuaciones lineales con paréntesis
• Resuelves ecuaciones lineales que involucren el uso
de paréntesis. Solucionas problemas que requieren
varios pasos utilizando ecuaciones lineales.
Secuencia didáctica 29
Análisis de sucesiones
• Analizas sucesiones simples y a partir de ellas
196
Descripción de sucesiones
Análisis de sucesiones de figuras
Secuencia didáctica 30
Expresiones algebraicas
• Usas diferentes expresiones algebraicas para
200
hi
analizar las propiedades de las sucesiones. Analizas
la equivalencia de expresiones aplicando reglas de
transformación.
Expresiones algebraicas y sucesiones
Equivalencia de expresiones algebraicas
ro
Lección 1.
Lección 2.
P
Secuencia didáctica 31
204
Ecuaciones lineales
• Analizas, modelas y resuelves ecuaciones lineales
del tipo Ax B 5 C y de la forma Ax B 5 Cx D.
Aplicas el significado de igualdad para encontrar
equivalencia entre expresiones algebraicas
o numéricas.
10
Más ecuaciones lineales
Comparación de métodos de solución
Ecuaciones lineales equivalentes
Secuencia didáctica 34
Variación lineal y el cambio
• Analizas la razón de cambio de un proceso o
formulas expresiones algebraicas.
Lección 1.
Lección 2.
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
224
fenómeno que se modela con una función lineal.
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
Situaciones de cambio
Variación lineal y no lineal
Razón de cambio en la variación lineal
Secuencia didáctica 35
230
Variación conjunta entre variables
• Deduces la expresión algebraica de una función a
partir de su tabla o gráfica y solucionas problemas
que se describen por medio de funciones lineales.
Lección 1.
Lección 2.
Tablas, gráficas y expresiones algebraicas
Resolución de problemas con ecuaciones
de la forma y 5 mx b
Resuelvo con tecnología
Gráficas de funciones lineales
234
Índice
Secuencia didáctica 36
236
Construcción de triángulos y cuadriláteros
• Construyes triángulos y cuadriláteros.
Lección 1.
Lección 2.
Construcción de triángulos
Otras construcciones
criterios de congruencia.
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
el litro y la relación entre capacidad y volumen.
Resuelves problemas que implican calcular volumen
y capacidad.
Lección 1.
Lección 2.
Envases de un litro
El volumen de una cisterna
Punto de encuentro
264
Reviso mi trayecto
266
Valoro mis fortalezas
267
©
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bu
ci
ón
Secuencia didáctica 37
240
Réplicas de triángulos
• Construyes triángulos congruentes y desarrollas los
• Exploras la relación entre el decímetro cúbico y
Datos para construir un triángulo congruente
Datos para reproducir un triángulo
Criterios de congruencia de triángulos
Resuelvo con tecnología
247
Construcción de triángulos
270
Fuentes de información
Construcción de un triángulo rectángulo y
un triángulo isósceles
Reviso mi trayecto
249
Secuencia didáctica 38
250
Propiedades de paralelogramos
• Usas los criterios de congruencia de triángulos para
justificar algunas propiedades de los paralelogramos.
Lección 1.
Lección 2.
¿Cuáles cuadriláteros son paralelogramos?
Ángulos opuestos de los paralelogramos
hi
Secuencia didáctica 39
254
Volumen de prismas
• Deduces y aplicas fórmulas para calcular el volumen
ro
de prismas rectos cuya base sea un cuadrilátero o
un triángulo. Resuelves problemas que impliquen el
cálculo del volumen.
Volumen de prismas rectangulares
Volumen de un prisma cuadrangular
El volumen de los prismas y datos faltantes
P
Lección 1.
Lección 2.
Lección 3.
Secuencia didáctica 40
El decímetro cúbico y el litro
260
11
Así es tu libro
¿Cómo trabajarás
¿Cómo trabajarás
en este curso?
en este curso?
¿Cómo trabajarás en el libro?
¿Para qué sirven las matemáticas?
Las secuencias se dividen en lecciones. Cada una empieza con un “Punto de partida”, que
es un problema, para que retomes y apliques tus conocimientos previos. Después, en el
“Trayecto formativo”, encontrarás actividades individuales y colectivas que promueven la
reflexión sobre tus acciones y tu aprender a aprender. Además, en esta sección se incluyen
también conceptos y procedimientos que sintetizan los contenidos que trabajaste.
El aprendizaje, en general, y el de las matemáticas en particular, requieren de oportunidades para practicar lo que se ha estudiado. Por ello incluimos a lo largo del libro la sección
con ejercicios y problemas de aplicación llamada “Practicar para avanzar”, que te permitirán hacer un seguimiento personal de tu progreso. Por último, cada secuencia se cierra con
una serie de preguntas en la sección “Punto de llegada”, para que tengas la oportunidad de
valorar si comprendiste los temas y conceptos que estudiaste. Si tienes dudas es importante que tengas la confianza de comentarlas con tu profesor y compañeros de grupo.
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Mediante el trabajo con este libro aprenderás que las matemáticas son la herramienta
que te permitirá enfrentar y resolver muchos problemas que pueden presentarse a lo largo de la vida. Desarrollarás diversas formas de analizar problemas, aprenderás técnicas
y procedimientos que se han construido a lo largo de muchos años, los cuales te permitirán no solo resolverlos, sino también aportar argumentos que justifiquen tus resultados
y te ayuden a validar tus conclusiones.
Lo anterior se resume en el siguiente esquema:
En estas páginas te explicamos cómo,
a través de resolver problemas,
construyes estrategias y conocimientos
matemáticos, que te llevarán a resolver,
cada vez, problemas más complejos.
ar
lid
va
am
pl
i
ar
Resultados y
conclusiones
Secciones para saber más
Nuevas
técnicas y
procedimientos
Matemáticas
Conocimientos
Para complementar el trabajo de las secuencias didácticas, incluimos secciones que tienen objetivos específicos y que te ayudarán a mejorar tus capacidades de solucionar
problemas, de argumentación y de reflexión.
rro
lla
r
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res
er
Problemas
sa
de
¿Qué encontrarás en el libro?
Los problemas con los que se inicia cada secuencia didáctica están planteados en diversos contextos que te resultarán interesantes. Las actividades que los acompañan tienen
como finalidad que utilices lo que has aprendido previamente y des significado a nuevos
aprendizajes. Asimismo, buscamos que reflexiones sobre aspectos de los problemas que
te permitirán trabajarlos con diferentes estrategias y que desarrolles la capacidad de razonar en distintos ámbitos y con herramientas diversas.
Entre los propósitos de este libro, también están que desarrolles tu imaginación y tu capacidad de organizar y analizar información para encontrar patrones y hacer nuevos
cuestionamientos. Además, queremos que aprendas mediante la reflexión y la comprensión técnicas aritméticas, geométricas, algebraicas o estadísticas que te resulten útiles y
significativas.
Desarrollar estas capacidades no es fácil. Para ello, es importante que te comprometas
con tu propio aprendizaje y con el de tus compañeros por medio del trabajo colaborativo que estará presente en cada una de las secuencias didácticas que conforman este libro. Es importante que consideres que, en un equipo, cada uno de los integrantes debe
trabajar conjuntamente con los demás y escuchar varios puntos de vista con una actitud
abierta y respetuosa hacia las opiniones de los demás.
“Resuelvo con tecnología”. La tecnología está presente en la vida cotidiana, pero también es un recurso importante en el aprendizaje de las matemáticas. Por una parte, permite agilizar los cálculos y, más importante aún, proporciona herramientas dinámicas
que te permiten simular, imaginar, predecir y reflexionar sobre situaciones matemáticas
y analizar problemas en distintos contextos.
¿Cómo reviso mi avance?
“Punto de encuentro”. Presenta problemas en contextos diversos que te permitirán adentrarte en la relación de las matemáticas con otras disciplinas como la geografía y ciencias de la salud, entre otras. Con la intención de que integres tu conocimiento general y
reconozcas cómo las matemáticas permiten resolver problemas que aparentemente son
muy distintos, pero que, vistos desde su estructura, son similares.
“Reviso mi trayecto”. El desarrollo de tu capacidad de autoevaluación es un objetivo importante de este libro. Para ello, cada mes te enfrentarás a problemas en los que deberás
aplicar e integrar lo que has aprendido. Nuestra intención es que hagas una pausa, revises y reflexiones sobre lo aprendido y aquello que se te dificulta. Esto es necesario para
que tu profesor te ayude a superar las dificultades antes de continuar con el estudio de
otros temas y conceptos matemáticos, ya que todos se relacionan de alguna manera.
“Valoro mis fortalezas”. Al final de cada trimestre encontrarás nuevos problemas con los
cuales podrás tener un panorama más amplio de tus avances y áreas de oportunidad.
4
Trimestre 2
En este trimestre:
• Resolverás problemas de suma y resta con
números enteros, fracciones y decimales
positivos y negativos.
• Determinarás y usarás la jerarquía de
operaciones y los paréntesis en operaciones
con números naturales, enteros y decimales
(para multiplicación y división, solo números
positivos).
• Analizarás y compararás situaciones
de variación lineal a partir de sus
representaciones tabular, gráfica y
algebraica. Interpretarás y resolverás
problemas que se modelan con estos tipos
de variación.
Entrada
de trimestre
Los filtros de color permiten editar
fotografías. En la imagen se aprecia un ejemplo de la aplicación del
filtro Escala de grises, donde cada
sección tiene un porcentaje diferente de color.
• Analizarás la existencia y unicidad en la
construcción de triángulos y cuadriláteros,
y determinarás y usarás criterios de
congruencia de triángulos.
Tu libro de Matemáticas está
organizado en tres trimestres.
Al iniciar cada uno encontrarás
los aprendizajes esperados que
estudiarás. Además tendrás
la oportunidad de conocer
información interesante que
muestra una aplicación de las
matemáticas.
• Recolectarás, registrarás y leerás datos en
gráficas circulares.
• Usarás e interpretarás las medidas de
tendencia central (moda, media aritmética y
mediana) y el rango de un conjunto de datos,
y decidirás cuál de ellas conviene más en el
análisis de los datos en cuestión.
• Realizarás experimentos aleatorios
y registrarás los resultados para un
acercamiento a la probabilidad frecuencial.
hi
• Formularás expresiones algebraicas de
primer grado a partir de sucesiones y las
utilizarás para analizar propiedades de la
sucesión que representan.
5
ro
Las matemáticas en las redes sociales
Hoy, muchas aplicaciones y redes sociales te permiten editar tus fotografías a través de
filtros y efectos de color. Una de las más populares es Instagram.
¿Sabías que al aplicar un filtro a una imagen estás usando matemáticas? Para que puedas usar un filtro en una imagen, el programa, aplicación o red social requiere un algoritmo matemático que le permite modificar cada pixel.
Un pixel es la menor unidad de color de una imagen digital y se compone de tres valores
numéricos.
P
Existen filtros sencillos como el de Escala de grises, que toma los tres valores del pixel y
calcula la media aritmética para luego sustituir los tres valores que tenía el pixel por el
obtenido en el cálculo.
¿En qué otras actividades crees que usas matemáticas?
110
12
111
Secuencias didácticas
Cada trimestre de tu libro está integrado por secuencias didácticas
con tres etapas de trabajo:
Secuencia
didáctica
Ángulos y rectas
23
Contenido: Deduces y utilizas las propiedades de los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por
una transversal.
Posiciones relativas entre rectas
Lección 1
1. Analiza la información y responde.
En Chichen Itzá, uno de los principales sitios arqueológicos de la península de Yucatán, en México, y una de las siete maravillas modernas del
mundo, se encuentra una estructura conocida
como “El observatorio del caracol”. En esta construcción podemos apreciar los conocimientos
geométricos que poseían los mayas. Por ejemplo, el uso de rectas paralelas, perpendiculares y
oblicuas.
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ón
Te proponemos una situación interesante
que te invita a revisar tus conocimientos
previos, explorar soluciones y encontrar
distintas formas de resolverla.
a. Traza sobre la imagen ejemplos de estas
rectas.
b. Reúnete con un compañero y tracen en la imagen rectas que cumplan las siguientes condiciones.
yyTres rectas paralelas entre sí
yyDos rectas paralelas y una recta perpendicular a estas dos
yyDos rectas paralelas y una tercera recta transversal a esas dos
Recuerda que si tienes dos rectas diferentes, hay dos posibilidades: que tengan un
punto en común o ninguno. En caso de que no tengan puntos en común, se denominan paralelas. Cuando tienen un punto en común se dice que ambas se intersecan.
c.
Reúnete con otro compañero y respondan.
yy¿Por qué es importante la disposición de las columnas en “El observatorio del caracol”?
Glosario
rectas oblicuas.
Dos rectas son
oblicuas si tienen
un punto de
intersección y
forman ángulos
no rectos.
recta transversal.
Recta que interseca
o cruza a dos o
más rectas.
El volumen de los laberintos
1. Lee la información y responde.
156
yy¿Qué soportaban?
yy¿En qué otras estructuras han observado columnas paralelas?
yy¿Para qué se usan?
yyComparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten por
qué solo existen esos dos casos cuando se tienen dos rectas diferentes.
Eje: Forma, espacio y medida
En una hacienda hay un laberinto formado por prismas rectangulares, en un espacio de 5 000 m2. Las paredes que forman el laberinto tienen una altura de 1.50 m y un
ancho de 0.60 m.
a. Si las paredes del laberinto no están en una misma hilera,
¿se puede calcular el volumen total del laberinto?
b. ¿Qué dato hace falta para poderlo calcular?
c.
¿Qué volumen ocupan las paredes del laberinto si la longitud total es de 2 000 m?
2. Reúnete con un compañero y consigan un juego de dominó.
a. ¿Cuál es el volumen de cada ficha de dominó?
b. ¿Cuál es el volumen total de las 28 fichas?
c.
Durante esta etapa realizarás actividades individuales
y colectivas que te permitirán adquirir conocimientos,
desarrollar habilidades, fortalecer tus actitudes y valorar
tu trabajo. En el desarrollo de las secuencias, hallarás
definiciones y procedimientos para que los analices, con
base en tu experiencia en clase, y elabores conclusiones.
Acomoden las fichas para formar un prisma rectangular. Luego respondan.
y ¿Qué dimensiones debe tener una caja para contenerlas?
y Si acomodan las fichas de otra manera, ¿cuáles podrían ser las dimensiones
de otra caja donde quepan todas?
y ¿Cómo son los volúmenes de ambas cajas?
y Calculen la superficie de las cajas y determinen si es posible encontrar otra
con una superficie menor en la que quepan todas las fichas.
y Explica cómo hallar el volumen de un prisma rectangular. Comenta con tus compañeros si el procedimiento equivale a multiplicar el área de su base por su altura.
Practicar para avanzar
Reúnete con un compañero y resuelvan el problema.
1. ¿Qué dimensiones puede tener un prisma rectangular cuyo volumen es de 20 cm3? Elaboren
una tabla como la siguiente con todos los posibles valores. Consideren solo números naturales y que dos prismas son iguales si tienen las mismas dimensiones.
Ancho
Largo
Alto
Superficie total
Volumen
20 cm3
Si dos prismas tienen el mismo volumen, ¿tendrán la misma superficie? ¿Por qué?
255
ro
hi
Tema: Magnitudes y medidas
2. Considera una sucesión en la cual, para generar el siguiente término, se le suma 8
al anterior y realiza lo que se pide.
a. Escribe los primeros 10 términos de la sucesión.
b. Escribe una expresión algebraica que te sirva para encontrar cualquier término
de la sucesión dado el lugar del término y verifica que funcione.
3. Considera la sucesión generada por la expresión 2n + 3 y realiza lo que se solicita.
a. ¿Cuál es el término 100 de esta sucesión?
b. ¿Qué indica el 2 en la expresión 2n 1 3?
c.
¿Qué indica el 3?
yyComenta con tus compañeros el significado de cada elemento de la expresión.
Aplica lo que aprendiste.
1. Observa la sucesión y responde.
P
En esta última etapa de la secuencia
encontrarás una lista de problemas
desafiantes para que apliques lo que
aprendiste. Podrás reflexionar de
manera individual o colectiva acerca
de tu trabajo e identificar tus avances
mediante el análisis de tus resultados y
procedimientos.
Construyendo sucesiones
Figura 1
Figura 2
Figura 3
a. Escribe la expresión algebraica que describe la sucesión del número de puntos
rojos en las figuras.
b. Escribe la expresión algebraica que indica el número de triángulos verdes en
cada una de las figuras.
c.
¿Cuántos puntos rojos y triángulos verdes tendrá la figura 1 000?
2. Completa la tabla y responde.
Lugar del término
1
2
3
4
Término
17
37
57
77
5
6
7
8
9
10
a. ¿Qué número corresponde al término 100 de la sucesión?
b. Escribe la expresión algebraica que describe la sucesión.
yyComenten en grupo cómo se relaciona la expresión algebraica de una sucesión
con la sucesión que representa.
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
141
13
En el desarrollo de las secuencias encontrarás los siguientes apartados:
Practicar para avanzar
Herramientas académicas
Glosario
Te ofrece actividades para
que las resuelvas con ayuda
de la tecnología. También
encontrarás recomendaciones
de páginas electrónicas
impresas e interactivos para
que enriquezcas lo que has
aprendido.
Se definen algunas palabras
que te pueden resultar de
difícil comprensión.
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Te proponemos problemas y
actividades para reforzar lo
que estás aprendiendo
en la secuencia didáctica.
A lo largo del trimestre encontrarás las secciones:
Reviso mi trayecto
Resuelvo con tecnología
Situaciones de variación lineal y no lineal
Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de
los contenidos que tienes que repasar.
¿Qué distancia recorre un avión que viaja a 800 km/h?
1. A continuación se muestran las temperaturas promedio de un mes en algunas ciudades del mundo.
Londres
Madrid
Pekín
Ottawa
Roma
12 ºC
22 ºC
25 ºC
220 ºC
12 ºC
Tokio
Ámsterdam
La distancia que recorre un avión depende de su velocidad. Si viaja a una velocidad promedio de 800
km/h, entonces recorrerá 800 km en una hora y 1 600 km en dos horas.
Ciudad
de México
1. Reúnete con un compañero y abran un archivo en hoja electrónica de cálculo. Anoten un título en
la primera fila. En las celdas A2, B2 y C2, coloquen los encabezados de las columnas “Velocidad
(km/h)”, “Tiempo (h)” y “Distancia (km)”.
24 ºC
2. En la celda A3 escriban la velocidad promedio a la que vuela el avión sin mencionar la unidad, es decir,
800. Para llenar la columna, anoten la fórmula “=A3” en la celda A4, den clic en la esquina inferior derecha y arrastren para copiar la fórmula hasta la celda A9, como lo hicieron en el primer trimestre.
a. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre Londres y Pekín?
b. En un viaje, una persona experimentó un cambio de temperatura de 117 °C.
¿De dónde a dónde viajó?
c.
3. En las celdas B3 y B4, ingresen los valores 1 y
2 respectivamente, para indicar el número de
horas. Luego seleccionen ambas celdas, den
clic en la esquina inferior derecha y arrastren
hasta la celda B9. Observen que al hacer esto
automáticamente se llenan las celdas con los
valores de la sucesión.
¿Cuál es la temperatura promedio de Ciudad de México si al viajar desde
Ámsterdam hay un cambio de 16 °C?
d. Si al viajar a Ottawa desde Tokio se experimenta un cambio de temperatura de
212 °C, ¿cuál era la temperatura en Tokio?
Imagen 1
2. Resuelve los cuadrados mágicos. Recuerda que la suma de cada renglón, columna
y diagonal debe ser la misma en cada cuadrado.
Imagen 1
a. Suma: 0.75
b. Suma: 23
1
21.5
2
20.5
4. Para calcular la distancia, es necesario multiplicar la velocidad del avión por el número de horas
transcurridas. Entonces, en la celda C3 tecleen la fórmula “=A3*B3”. Copien la fórmula hacia abajo,
hasta completar la tabla.
22
5. Para representar los datos de la tabla
mediante una gráfica, seleccionen las columnas B y C, incluyendo sus encabezados.
21
1
22
0
6. Luego, en el menú superior, den clic en insertar y elijan el gráfico Dispersión (X, Y) con el
icono
; den clic en “Dispersión con líneas
suavizadas” para crear la gráfica.
3. Coloca los paréntesis necesarios para que el resultado sea correcto.
a. 4 3 2 1 7 5 36
Imagen 2
b. 10 — 8 ÷ 2 1 2 3 5 5 15
1
4 3212331154
yy¿Cómo aumenta la distancia recorrida por el avión?
yy¿Cómo es la gráfica trazada?
135
153
P
ro
hi
c.
14
Reviso mi trayecto
Resuelvo con tecnología
Al final de cada mes te proponemos
problemas para que apliques lo
que has aprendido, valores tus
avances e identifiques tus áreas de
oportunidad.
A lo largo de cada trimestre
encontrarás dos proyectos
tecnológicos para que practiques lo
que aprendiste en algunas secuencias
y desarrolles tus habilidades digitales.
Así es tu libro
Valoro mis fortalezas
Punto de encuentro
Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obtengas, retoma los contenidos que se te dificultaron.
1. En las vacaciones de invierno, María y su familia visitarán a su abuela, que vive en
La Rosilla, Durango. El pronóstico indica que la temperatura en La Rosilla es 11 °C
más fría que en la ciudad donde vive María.
Lee con atención, realiza las actividades y responde.
Los mapas
Los mapas son representaciones planas a escala de toda la superficie terrestre o
de una parte de esta. Para hacer una interpretación correcta de estos, incluyen elementos como escala, título, simbología, orientación y coordenadas geográficas.
Conocer la escala de los mapas permite, entre otras cosas, calcular distancias, ángulos o superficies.
Ciudad
La Rosilla,
Durango
Monterrey,
Nuevo León
Ciudad de
México
Yácora,
Sonora
Temperatura
216 °C
5 °C
12 °C
25 °C
a. ¿En qué ciudad vive María?
2. La gráfica muestra la temperatura promedio del periodo invernal en la ciudad de
Monterrey desde 1983 hasta 2010.
Además de lo anterior, el análisis de los mapas permite encontrar patrones y relaciones entre diversos fenómenos naturales y sociales.
Población de México por entidad 2015
U N I D O S
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A M É R I C A
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E S T A D O S
Mexicali
Población total
Entidad
Go
30°
Hermosillo
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de
Ca
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Cáncer La Paz
Culiacán
OCÉANO
PACÍFICO
Monterrey
Durango
ia
Trópico de
Saltillo
li fo
25°
Zacatecas
Tepic
Ags.
Cd. Victoria
San Luis
Potosí
Guadalajara
20°
Golfo
de
México
Morelia
Ciudad
Toluca de MéxicoTlaxcala
0
143 km
Oaxaca
100°
95°
179 355
93 757
Población
(millones
de habitantes)
BELIZE
90°
Cuernavaca
1 495
22 351
884 273
264 251
GUATEMALA
HONDURAS
Puebla
57 507
2 850 330
3 967 889
Mérida
Tuxtla
Gutiérrez
Golfo de
Tehuantepec
(km²)
Sonora
Villahermosa
Chilpancingo
15°
105°
1 : 14 375 000
Superficie
Ciudad
Oaxaca
Campeche Chetumal
Xalapa
Colima
Guanajuato
Querétaro
Pachuca
Entidad
Campeche
899 931
283 025
Ciudad de
8 918 653 20 116 842
México
México
16 187 608 1 846 116
Chihuahua
> 8.5
1a4
4 a 8.5
<1
Población en ciudad
capital
(millones de habitantes)
> 20
<1
1a5
Escala 1 : 16 000 000
0
160
a. Calcula la diferencia entre la temperatura más baja y la más alta en todo el registro.
320 km
Proyección cónica conforme de Lambert
Fuente: Inegi, 2017.Encuesta Nacional
de Salud, 2006.
b. Calcula la diferencia entre la temperatura más baja y más alta de 2000 a 2010.
1. Observa el mapa con un compañero y respondan.
3. En una tienda de telas, un empleado vendió 3 partes de una pieza de tela. Horas
5
más tarde, su compañero vendió 2 de lo que quedaba. Solo quedaron 6 metros
3
sin vender. ¿Cuántos metros de tela vendió cada empleado?
a. ¿Cómo se expresan las relaciones entre las distancias en el mapa y las distancias correspondientes de la superficie terrestre?
b. ¿Qué indica la escala dada en el mapa?
c.
¿Qué representan las unidades de medida?
191
Investiguen cómo se utilizan las matemáticas en la elaboración de mapas.
104
Valoro mis fortalezas
Punto de encuentro
Cada trimestre cierra con una serie
de problemas que integran varios
temas trabajados, para que apliques
y analices los conocimientos y las
habilidades que has obtenido a lo
largo del trimestre.
Te proponemos actividades en
las que podrás relacionar lo
aprendido en Matemáticas con
otras asignaturas y campos del
conocimiento.
Fuentes
de información
Fuentes
de información
Para el alumno
hi
Impresas
y Arce, Juan C. El matemático del rey, Planeta, Barcelona, 2006.
Encontrarás sugerencias de
libros y direcciones electrónicas
para que halles información
complementaria y pertinente
sobre temas relacionados con
la asignatura.
y Berlanga, Ricardo y otros. Las matemáticas, perejil de todas las salsas, Fondo de Cultura
Económica, México, 2009 (colección Ciencia para Todos).
y Cerasoli, Anna. La sorpresa de los números, Maeva, Madrid, 2006 (colección Biblioteca
de Aula, serie Astrolabio).
ro
y Charles, Seife. Cero: La biografía de una idea peligrosa, Ellago Ediciones, Madrid, 2006.
y Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números, Siruela, Madrid, 2013.
y Fabretti, Carlos. Malditas matemáticas. Alicia en el país de los números, Alfaguara,
Madrid, 2000.
y Oteyza, Elena de y otros. Fracciones divertidas, Terracota, México, 2014.
P
y Paenza, Adrián. Matemática… ¿Estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades, Siglo XXI, Buenos Aires, 2005 (colección Ciencia que Ladra).
y Perelman, Yakob. Matemáticas recreativas, Rodesa, Barcelona, 2007.
y Prieto, Carlos. Aventuras de un duende en el mundo de las matemáticas, Fondo de
Cultura Económica, México, 2009 (colección Ciencia para Todos).
y Perrero, Mariano. Historia e historias de las matemáticas, editorial Iberoamérica,
México, 1994.
y Ruiz, Concepción. El piropo matemático, Lectorum, Barcelona, 2000.
y Sierra i Fabra, Jordi. El asesinato del profesor de matemáticas, Anaya, Madrid, 2000.
y Smullyan, Raymond M. Satán, Cantor y el infinito, RBA Coleccionables, Barcelona, 2007.
y Snape, C. Sal si puedes. Laberintos y rompecabezas matemáticos, Noriega-Limusa,
México 2005.
270
Electrónicas
y 100 problemas matemáticos que retan al alumno a pensar.
http://www.lavirtu.com/eniusimg/enius4/2002/01/adjuntos_fichero_3543.pdf
(consulta: 23 de noviembre de 2017)
y Archivo PDF de la obra de Adrián Paenza, Matemática … ¿Estás ahí? Episodio 3. Siglo
XXI, Argentina, 2008.
http://mate.dm.uba.ar/~cepaenza/libro/matemati4.pdf
(consulta: 01 de diciembre de 2017)
y Calculadora para que conviertas fracciones a notación científica.
www.aaamatematicas.com/g6_71lx1.htm
(consulta: 8 de noviembre de 2017)
y Ejercicios, problemas e interactivos de aritmética, álgebra y geometría.
http://newton.matem.unam.mx/
(consulta: 23 de noviembre de 2017)
y En esta dirección electrónica encontrarás videos, documentos y actividades de la SEP
sobre temas relacionados con el programa de primero de secundaria.
www.aprende.edu.mx/Repository/recursos/index.html?level%5B%5D=5&grade%5B
%5D=14&subject%5B%5D=matematicas-i
(consulta: 13 de noviembre de 2017)
y Interactivos que te permiten abordar diversos temas propuestos para la secundaria.
http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/Secundaria.html
(consulta: 23 de noviembre de 2017)
y Lecturas de matemáticas que abordan diversos temas propuestos para primer año de
secundaria.
http://www3.gobiernodecanarias.org /medusa/edublogs/proyectonewton
/files/2016/10/Cuentos-y-Matematicas-MATEMaTICAS-SECUNDARIA.pdf
(consulta: 01 de diciembre de 2017)
y Páginas interactivas para que conozcas más situaciones de proporcionalidad.
recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas/2quincena4/index2_4.htm
(consulta: 8 de noviembre de 2017)
y Software de geometría dinámica gratuito que te permite hacer construcciones útiles
para geometría, álgebra, cálculo, entre otros.
www.geogebra.org
(consulta: 23 de noviembre de 2017)
y Tutoriales y ejercicios de diversos temas propuestos para secundaria.
https://es.khanacademy.org/math/eb-1-secundaria
(consulta: 23 de noviembre de 2017)
271
15
Trimestre 1
©
bi S
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su ti
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ón
En este trimestre:
• Convertirás fracciones decimales a notación
decimal y viceversa. Aproximarás algunas
fracciones no decimales usando la
notación decimal. Ordenarás fracciones
y números decimales.
• Resolverás problemas de multiplicación
con fracciones y decimales y de división con
decimales.
• Calcularás valores faltantes en problemas
de proporcionalidad directa con constante
natural, fracción o decimal (incluyendo
tablas de variación).
• Resolverás problemas de cálculo de
porcentajes, del tanto por ciento y de la
cantidad base.
• Calcularás el perímetro de polígonos y del
círculo, y áreas de triángulos y cuadriláteros,
desarrollando y aplicando fórmulas.
• Recolectarás, registrarás y leerás datos en
gráficas circulares.
La geometría de los mandalas
Los mandalas son diagramas o dibujos hechos a base de configuraciones geométricas,
formadas en su mayoría por colores y por polígonos y circunferencias. Se originaron en
la India y su nombre, en sánscrito, significa círculo o rueda.
Cada figura y cada color del mandala tiene un significado particular; por ejemplo, los
cuadrados expresan equilibrio y estabilidad; y el amarillo, alegría. La simetría es una característica muy importante de los mandalas. Si los miras con atención, podrás identificar más de un eje de simetría en ellos.
ro
hi
Actualmente se ha vuelto muy popular colorear mandalas como apoyo para la relajación, sin ser necesario seguir patrones de colores ni que las figuras que se trazan sean
exactas o simétricas.
P
Si bien la coloración del mandala es a gusto de cada persona, ¿sabías que es posible colorear cualquier configuración geométrica con solo cuatro colores sin pintar dos regiones adyacentes del mismo color?
Este problema, conocido como teorema de los cuatro colores, se planteó en 1852 y tardó
más de ciento veinticinco años en ser demostrado.
¿Te has preguntado cuántas matemáticas hay en los objetos que usas?
16
P
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La elaboración de los mandalas de lana
propicia la meditación, pues la persona se
concentra en la combinación de colores y
en el paso de los hilos de lana por los palos
de madera que forman la estructura.
17
Secuencia
didáctica
Fracciones y decimales en la recta
1
Contenido: Comparas y ordenas números fraccionarios y decimales, y los ubicas en la recta numérica. Distingues
entre fracciones decimales y no decimales.
Lección 1
La recta numérica
1. Formen equipos de tres integrantes, lean la situación y hagan lo que se pide.
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ón
En una secundaria se preguntó a cada estudiante el color del que está pintada su
casa. Esta fue la información que se obtuvo:
yy Amarillo: 1 del total de las casas
4
yy Blanco: 0.3 del total de las casas
yy Gris: 1 del total de las casas
5
yy Azul: 0.25 del total de las casas
a. Comenten de qué color hay más casas y cómo pueden verificar esto de manera
exacta. Escriban su procedimiento. Hay más casas blancas. El procedimiento
de verificación es respuesta libre (R. L.).
b. Si tuvieran que ubicar los números anteriores en una recta numérica, ¿qué características debe tener esta última? Justifiquen su respuesta. La recta nu mérica debe estar dividida en 60 partes iguales porque se debe buscar el múl tiplo común de los denominadores 4, 3 y 5.
c.
Ubiquen en la recta numérica los números decimales y las fracciones de la información anterior obtenida en la escuela.
0.25
1 1 0.3
5 4
1
hi
0
d. Escriban en orden los colores usados, siendo el primero el color más utilizado y
P
ro
el último el menos empleado en las casas de los estudiantes. Blanco, amarillo, azul y gris
yy Comparen las rectas numéricas de los distintos equipos y comenten qué procedimiento siguieron para ubicar los números requeridos. Analicen si todas
las rectas resultaron iguales y si todas las representaciones en la recta fueron
correctas. Validen sus respuestas con ayuda de su profesor.
18
Eje: Número, álgebra y variación
Ubicación de fracciones
1. Observa la recta numérica y contesta.
0
1
2
3
4
a. ¿Qué escala se utiliza en la recta numérica anterior? ¿Cómo lo sabes? La escala de números naturales porque se utilizan solo los números enteros.
©
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n
su ti
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di n
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ri
bu
ci
ón
b. ¿Por qué es importante que la distancia entre dos números enteros consecutivos de una recta numérica sea siempre la misma? Porque la medida que se utiliza como unidad no debe variar.
c.
Ubica las fracciones en ambas rectas numéricas.
3 , 5 , 7
4 3 2
0 1
5
0
3
4
1
4
1
3
4
5
3
1
7
2
5
3
yy ¿En cuál recta numérica fue más fácil ubicar las fracciones? ¿Por qué?
Respuesta modelo (R. M.). En la segunda, porque la unidad ya se había dividido en cuartos.
yy Comparen sus respuestas en grupo. Elijan la recta numérica más
conveniente para ubicar las fracciones y expliquen por qué lo es. Al
terminar, analicen la siguiente información.
Glosario
fracciones
equivalentes.
Son aquellas que
representan la
misma cantidad,
es decir, tienen el
mismo valor.
ro
hi
Una recta numérica es útil para representar, comparar y ordenar enteros, números decimales y fracciones. Igual que con los enteros, los números mayores quedan a la derecha, es decir, el más lejano a la derecha del cero es el mayor. La medida que se usa para
la unidad, que corresponde a la distancia entre el 0 y el 1, da la escala de la recta numérica. Para ubicar fracciones en la recta numérica, se debe tomar en cuenta lo siguiente:
P
Entre qué números naturales se ubica cada fracción.
En cuántas partes iguales indica el denominador de la fracción que se debe dividir cada entero.
Si hay distintas fracciones por ubicar, buscar, de ser posible, fracciones equivalentes con el mismo denominador.
Dos fracciones equivalentes se ubican en el mismo punto de la recta numérica.
Tema: Número
19
Lección 2
Ubicación de números decimales
1. Ubica en la recta numérica los números decimales. Después contesta.
0.1, 0.025, 0.01, 0.25
0.01
0
0.025
0.1
0.25
©
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ón
a. Explica cómo elegiste la escala de la recta numérica. R. M. Consideré entre qué
se encontraba uno y otro.
números
b. ¿Qué procedimiento seguiste para ubicar los números decimales? R. M. Dividí
el
0.1 en 10 partes iguales y en 4 partes iguales y luego lo multipliqué por 2.5 y aumenté 1.5 partes iguales.
c. Ordena de menor a mayor los números que ubicaste. 0.01, 0.025, 0.1 y 0.25
yy Comparte tu procedimiento con un compañero y entre ambos escriban en su
cuaderno un método para ubicar números decimales en la recta numérica.
Asegúrense de haber incluido la siguiente información.
Para ubicar números decimales en la recta numérica, se debe tomar en cuenta lo
siguiente:
Entre qué números naturales se ubica cada número decimal.
En cuántas partes iguales se debe dividir cada entero según la posición de las
cifras decimales en el número.
Practicar para avanzar
Resuelve las actividades en tu cuaderno. Justifica tus respuestas. Ver solucionario
6 9 6 14
1. Ubica en la recta numérica las fracciones 3 , 4 , 8 y 6 .
yy Ordena las fracciones de mayor a menor, según tu recta numérica. 14/6, 9/4, 6/3, 6/8
hi
2. Ubica en la recta numérica los números 2.8, 0.35, 3.05 y 0.15.
P
ro
yy Ordena los números decimales de menor a mayor, según tu recta numérica.
0.15, 0.35, 2.8 y 3.05
3. Traza una recta numérica y ubica tanto las fracciones como los decimales anteriores. Después contesta.
yy ¿Cómo es la escala de tu recta numérica?
yy ¿Pudiste ubicar todos los números en la misma recta numérica? ¿Por qué?
yy Escribe de mayor a menor todos los números que ubicaste en la recta numérica.
En grupo comenten cuál es la utilidad de la recta numérica al comparar y ordenar números.
20
Eje: Número, álgebra y variación
Fracciones decimales
2. Lee la situación y contesta.
En los salones de 1.º A y 1.º B de secundaria hay 24 y 25 alumnos respectivamente. La
siguiente tabla representa la cantidad de alumnos que están exentos de hacer examen final en tres asignaturas.
Asignatura
Número de alumnos que exentan
1.º B
6
4
5
15
5
4
10
19
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ci
ón
Matemáticas
Geografía
Historia
Total
1.º A
a. Escribe una fracción que represente la cantidad de alumnos que exenta
Matemáticas en cada salón. 6/24, 5/25
b. Escribe una fracción que represente la cantidad de alumnos que exenta Geografía
en cada salón. 4/24, 4/25
c.
Escribe una fracción que represente la cantidad de alumnos que exenta Historia
en cada salón. 5/24, 10/25
d. Completa la tabla con una fracción equivalente en cada caso, cuyo denominador sea 10 o 100. Si no se puede calcular, deja la fracción original.
Asignatura
Matemáticas
Geografía
Historia
Fracción de alumnos
que exentan en 1.º A
25
100
1
6
5
24
Fracción de alumnos
que exentan en 1.º B
24
100
16
100
4
10
hi
yy ¿En todos los casos fue posible encontrar la fracción requerida? ¿Por qué?
R. M. No, porque los denominadores de algunas fracciones no son múltiplos
ro
de 10 o 100.
P
yy Discutan en grupo qué fracciones se pudieron escribir con denominador 10 o
100 y cómo se podrían identificar más fracciones de este tipo. Después lean y
comenten la siguiente información.
Las fracciones decimales son aquellas cuyo denominador es 10, 100, 1 000, etcétera.
No todas las fracciones se pueden escribir como fracción decimal.
Tema: Número
21
Lección 3
De fracción a decimal
1. Retoma el último problema de la lección anterior y contesta.
a. Divide el numerador entre el denominador de las fracciones de la tabla de fracciones decimales y completa la tabla.
Asignatura
Matemáticas
Geografía
Historia
0.25
0.16666...
0.2083333...
Razón de alumnos que
exentan en 1.0 B
0.24
0.16
0.4
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ci
ón
Razón de alumnos que
exentan en 1.0 A
b. Observa los números decimales que resultan de las fracciones cuyo denominador no es 10 o 100.
yy ¿Qué característica comparten? R. M. La división no tiene fin.
yy ¿En qué se diferencian esos números decimales de los demás? R. M. En que
tienen una cifra decimal que se repite infinitamente.
yy Analicen en grupo las cifras decimales de cada número obtenido y soliciten a
su profesor que escriba sus conclusiones en el pizarrón para retomarlas más
adelante.
2. Observa las fracciones y resuelve.
12 , 1 , 1 , 1 , 2
40 8 9 6 10
a. Clasifica las fracciones en fracciones decimales y no decimales. Decimales: 2/10 No decimales: 12/40, 1/8, 1/9, 1/6
hi
ro
b. Encuentra, de ser posible, una fracción equivalente que sea decimal para las
= 3/10, 1/8 = 125/1000
fracciones no decimales. 12/40
P
c.
Divide el numerador entre el denominador de cada fracción y analiza los números decimales obtenidos. ¿Qué observas? R. M. Que en las fracciones que equivalen a una fracción decimal la división tiene residuo cero y en las otras siempre
tiene residuo distinto de cero.
yy En grupo describan la relación que existe entre una fracción decimal y el cociente que se obtiene al dividir su numerador entre el denominador. Hagan lo mismo
para una fracción no decimal.
22
Eje: Número, álgebra y variación
Los números decimales con una cantidad finita de cifras en la parte decimal es decir,
cuyas cifras tienen límite o concluyen en algún momento, equivalen a fracciones decimales. En el caso de las fracciones no decimales, su parte decimal tiene una cantidad de
cifras infinita, por lo tanto, la cantidad de cifras de estos números no tienen límite.
3. Lee el problema y responde.
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ón
Se decoró el techo del salón con papel picado hecho por los alumnos. Las niñas anotaron qué parte del papel recortó y llevó cada una. Paloma llevó 1 del papel; Isabel, 2 ;
5
10
María, 1 ; Ana, 1 ; y Claudia, 1 . El resto lo llevaron los niños.
7
12
10
a. Ordena de mayor a menor la cantidad de papel que llevaron las niñas. 1/5, 2/10, 1/7, 1/10, 1/12
b. Anota cuáles de las fracciones son decimales y cuáles no. Justifica tu respuesta.
Decimales:
2/10, 1/10, porque tienen denominador igual a 10. No decimales:
1/5, 1/7, 1/12 porque no tienen denominador igual a 10, 100, 1000, etc.
c. Escribe las fracciones de las cuales se obtiene un número decimal con una cantidad finita de cifras decimales. 1/5, 2/10, 1/10.
yy Compara tus respuestas con las de un compañero para validarlas. Analicen las
justificaciones que escribieron y asegúrense de que sean claras y contengan
argumentos matemáticos.
Aplica lo que aprendiste.
1. Lee el problema y responde en tu cuaderno. Ver solucionario
Los integrantes del equipo de basquetbol de una escuela están llenando sus hojas
de datos. Entre la información que les preguntan, se encuentra su estatura. La información reunida es la siguiente:
hi
Antonio 1 17 de m
20
José
1 9 de m
10
Francisco 1 10 de m
11
Rodrigo 1 7 de m
8
Juan 1.875 de m
Mario 1.75 de m
P
ro
a. Utiliza una recta numérica para ubicar a cada jugador según su estatura. ¿Qué
escala utilizaste? R. M. Una escala con números decimales, considerando el valor decimal de cada estatura.
b. Ordena a los jugadores del de menor al de mayor estatura. Mario, Antonio, Juan,
Rodrigo, José y Francisco
c. ¿Qué estaturas están expresadas con fracciones decimales? ¿Cuáles estaturas
pueden expresarse con una fracción decimal? Las de Antonio y José; las de
Juan y Mario
yy Cometen sus respuestas y resuelvan sus dudas con ayuda del maestro. Observen
si algún compañero escribió los números decimales como fracciones decimales.
De ser así, soliciten que explique cómo lo hizo.
Tema: Número
23
Secuencia
didáctica
Fracciones y decimales
2
Contenido: Expresas con notación decimal fracciones decimales y no decimales. Conviertes fracciones decimales a
notación decimal y viceversa. Clasificas números decimales en exactos y periódicos.
Lección 1
Fracciones y el tiempo
1. Utiliza lo aprendido en la secuencia anterior sobre fracciones decimales, no decimales y equivalentes y haz lo que se pide.
©
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ri
bu
ci
ón
¿Te has fijado cómo muchas veces usamos frases como “nos vemos a las cinco y
cuarto”, “son las diez y media”…?
a. Contesta.
yy ¿Qué significan esas frases? R. M. Significan horas y fracciones de hora que
marca el reloj.
yy ¿Por qué las usamos? R. M. Para referirnos a fracciones de hora.
yy ¿Tendría sentido decir “son las tres y siete novenos”? ¿Por qué? R. M. No por que no sabríamos con facilidad los minutos referidos.
b. Escribe como fracción las siguientes medidas de tiempo.
yy media hora = 1 hora
2
yy tres cuartos de hora = 3 hora
4
yy seis minutos = 6 hora
60
c.
Escribe cuáles fracciones del inciso anterior son decimales y cuáles no. Ninguna
de las tres es una fracción decimal, pero equivalen a fracciones decimales.
yy Comenta con tus compañeros y tu profesor qué característica tienen las fracciones decimales.
hi
De fracción a número decimal
P
ro
1. Contesta.
a. ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a 3 con denominador igual a 10?
5
Escríbela con letra. Seis décimos
yy ¿Cómo se escribe esa fracción como número decimal? 6/10
b. ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a 7 con denominador igual a 10?
20
Justifica tu respuesta. No, porque la mitad de 20 es 10 pero la mitad de 7 es
3.5
24
Eje: Número, álgebra y variación
c.
¿Puedes encontrar una fracción equivalente a 7 con denominador igual a 100?
20
Escríbela con letra. Treinta y cinco centésimos
yy ¿Cómo se escribe esa fracción como número decimal? 0.35
d. ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a 3 con denominador igual a 10?
8
¿Por qué? No, porque el 8 no es múltiplo del 10
yy ¿Y con denominador igual a 100? ¿Por qué? No, porque tampoco es múltiplo
del
100
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ón
yy ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a 3 con denominador igual a
8
1 000? Escríbela con letra. Sí, porque si dividimos 1000 entre 8 obtenemos un
número
entero. Trescientos setenta y cinco milésimos
yy Escribe la fracción anterior como número decimal. 0.375
yy Comparte con un compañero tus respuestas para validarlas. Verifiquen que los
números decimales que encontraron sean los mismos.
2. Lee y responde.
En el ejercicio anterior se observa que una misma cantidad puede representarse con
una fracción con denominador 10, 100, 1 000, etcétera, y con un número decimal.
Ahora, retoma las fracciones de la primera actividad de la secuencia.
a. Considera la fracción que representa veinte minutos. ¿Puedes escribir esa fracción como un número decimal? Justifica tu respuesta. La fracción equivale a
1/3 y el 3 no divide a 10, 100, 1000, etc.
b. Ahora considera esa fracción como un cociente y divide. Esto es, divide el numerador entre el denominador.
yy ¿Cuál es el cociente? 0.3333…
hi
yy ¿Cuántas cifras decimales tiene el cociente? Tiene una infinidad de decimales.
yy ¿Cuántas cifras decimales consideraste? R. M. Cuatro
P
ro
yy Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Observen cuántas cifras decimales ocupó cada quien y, considerando esto, cuál resultado es más preciso.
Después analicen la siguiente información.
Las fracciones pueden representar cocientes, en los que el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor. Al resolver la división, no siempre se pueden
considerar todas las cifras decimales del número decimal obtenido, pero mientras
más precisión se requiera, más cifras decimales se deben tomar en cuenta.
Tema: Número
25
Lección 2
Conversión de fracciones
1. Escribe las fracciones como número decimal y haz lo que se pide.
17 5 0.5
34
250 5 5.5555…
45
8 5 0.26666…
30
9 5 0.75
12
317 5 4.226666…
75
4 5
0.4444…
9
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a. Analiza en qué casos, al resolver la división dada por cada fracción, el residuo no
fue cero.
b. Formen equipos y clasifiquen los números decimales obtenidos en distintos grupos, según las características de su parte decimal.
c. Comparen su clasificación con la de los demás equipos y contesten.
yy ¿Existen distintas formas de clasificar las cantidades o hay una clasificación
única correcta? Justifiquen su respuesta. Existen más formas: decimal
exacto y decimal periódico puro o mixto.
yy Comenten sus conclusiones con el resto del grupo y, de haber más de una posible clasificación, elijan la que consideren más apropiada.
hi
Al dividir el numerador de una fracción entre el denominador para convertirla en
número decimal, se tienen los siguientes casos.
Caso 1. El residuo es igual a cero y se obtiene un número decimal exacto.
Por ejemplo: 2 5 0.4
5
Caso 2. El residuo nunca es cero, es decir, se puede seguir dividiendo infinitamente
y se obtiene un decimal periódico.
Por ejemplo: 1 5 0.33333… y 8 5 0.533333…
3
15
Los decimales periódicos a su vez se clasifican en dos grupos.
ro
Los periódicos puros son aquellos en los que una cifra o un grupo de cifras de la
parte decimal se repite de modo infinito comenzando inmediatamente después del
punto decimal.
P
Por ejemplo: 0.333333… y 0.267267267…
En los periódicos mixtos, la cifra o el grupo de cifras que se repite en la parte decimal no se ubica inmediatamente después del punto.
Por ejemplo: 0.53333…
En un número decimal periódico, se indica con una línea superior el periodo, es decir, la cifra o las cifras que se repiten, por ejemplo: 0.3 o 0.267.
26
Eje: Número, álgebra y variación
Herramientas académicas
En los sitios de internet www.esant.mx/fasema1-001, www.esant.mx/fasema1-002 y
www.esant.mx/fasema1-003 encontrarás ejercicios para practicar la conversión de
fracciones propias, impropias y mixtas en números decimales exactos. Resuelve algunos de
los ejercicios y comparte tu experiencia con tus compañeros.
Practicar para avanzar
©
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ón
Observa y contesta.
a. Representa con fracciones la razón de globos que hay de cada color.
9
11
9
Azul: 45
Morado: 45
Anaranjado: 45
2
7
7
Rojo: 45
Verde: 45
Amarillo: 45
b. Convierte las fracciones anteriores a números decimales.
Anaranjado: 0.24
Amarillo: 0.15
Rojo: 0.04
Verde: 0.15
hi
Morado: 0.2
Clasifica los números decimales obtenidos.
ro
c.
Azul: 0.2
Decimales exactos: 0.2, 0.2
P
Decimales periódicos puros: No hay
Decimales periódicos mixtos: 0.15, 0.04, 0.24, 0.15
Comenten en grupo sus respuestas. Verifiquen si todos obtuvieron los mismos números decimales y justifiquen su clasificación.
Tema: Número
27
Lección 3
De decimal a fracción
1. Analiza los números que se proporcionan y haz lo que se pide.
a. ¿Qué tipo de números decimales son 0.45 y 3.2? Decimales exactos
b. Escribe como fracción cada número.
45
0.45 = 100
3.20 =
3 2
10
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Para convertir un decimal periódico puro como 1.14, se realizan los siguientes pasos.
i. El denominador será un número formado por tantos nueves como cifras tiene el
periodo. En este caso, el periodo tiene dos cifras, por lo cual el denominador es 99.
ii. El numerador se obtiene restando al número formado por la parte entera y el periodo, sin el punto decimal, es decir, a 114; la parte entera del número original,
en este caso 1. Por tanto, el numerador se obtiene con la operación 114 — 1 .
iii. Así la fracción obtenida es:
113
114 — 1
5
99
99
Para convertir un número periódico mixto como 3.178, se realizan los siguientes
pasos.
i. El denominador será el número formado por tantos nueves como cifras tiene el
periodo seguido por tantos ceros como cifras decimales que no sean parte del
periodo. En este caso, el periodo está formado por dos cifras y hay un decimal
que no forma parte de este. Por tanto, el denominador es 990.
ii. Para calcular el numerador, se toma el número como en el caso anterior y se le
resta el número formado por la parte entera y las cifras decimales que no forman
parte del periodo. Es decir, 3178 — 31 .
ro
hi
iii. Así la fracción obtenida es:
3 147
990
P
2. Considera los números 2.15 y 2. 46 y responde las preguntas en tu cuaderno.
28
a. ¿Qué tipo de número decimal es cada uno? El 2.15 es decimal periódico puro y el
2.46 es decimal periódico mixto.
b. ¿A qué fracción equivale cada número?
213/99 71/33 2.15 y 222/90 37/15 2.46
yy Comparen en grupo sus respuestas y comenten las dudas que hayan surgido.
Al terminar, escriban en su cuaderno un resumen del procedimiento que se
debe seguir para calcular y escribir un número decimal como fracción, según su
clasificación.
Eje: Número, álgebra y variación
Análisis del denominador
Glosario
3. Simplifica las fracciones hasta encontrar una fracción irreducible. Después haz lo que se pide.
4 5 1
24
6
2
2 5
15
15
3
15 5 10
50
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16 5 8
50
25
14 5 7
9
18
1
3 5 3
9
fracción
irreducible. Es
aquella en la que
el numerador y el
denominador no
tienen un divisor
común y, por
tanto, no se puede
simplificar.
a. Descompón en factores el denominador de las fracciones anteriores.
Por ejemplo:
5 5
5
63
(3 3 3 3 7)
Ver solucionario
b. Convierte las fracciones anteriores a números decimales y clasifica estos últimos según su parte decimal.
0.32
es decimal exacto.
0.16 es decimal periódico mixto.
0.7
es decimal periódico puro.
0.3 es decimal periódico puro.
0.13 es decimal periódico mixto.
0.3 es decimal exacto.
yy Lean en grupo la información y demuestren que es cierta con los números decimales obtenidos.
Cuando el denominador de una fracción irreducible tiene como divisores al 2 y/o al
5 únicamente, la fracción generará un número decimal exacto.
Cuando el denominador de una fracción irreducible no tiene como divisores ni al 2
ni al 5, la fracción generará un número decimal periódico puro.
Cuando el denominador de una fracción irreducible tiene como divisores al 2 y/o al
5, entre otros, la fracción generará un número decimal periódico mixto.
Aplica lo que aprendiste.
hi
1. Lee y resuelve en tu cuaderno. Ver solucionario
ro
En una escuela se hizo una colecta de periódico por equipos. En total se recolectaron
45 kg de periódico. El equipo de Luis reunió 0.3 del total; el de Esther, 0.17; el de Sebastián, 9 kg; y el de Regina, 13 kg.
P
a. Escribe la cantidad de periódico recolectada por cada equipo como una fracción
y número decimal.
b. Interpreta el significado de cada cantidad en términos del problema.
yy Comenten en grupo qué forma es la más adecuada para presentar las cantidades de periódico recolectadas por cada equipo, la decimal o la fraccionaria.
Justifiquen sus respuestas y escriban en su cuaderno sus conclusiones.
Tema: Número
29
Resuelvo con tecnología
Conversión de fracciones no decimales en notación decimal
usando una hoja de cálculo
Reúnete con un compañero, sigan las instrucciones y hagan la conversión.
©
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¿Cómo puedes convertir la fracción 1 a notación decimal?
7
Hacer la división 1 4 7 a mano es un proceso laborioso que nunca termina porque el residuo nunca es
cero y al realizar la división con la calculadora se obtiene como resultado 0.142857143. La calculadora
tiene un número limitado de dígitos y redondea la última cifra, introduciendo un pequeño error en el
resultado. Este problema se puede resolver usando una hoja de cálculo electrónica.
Imagen 1
1. Abran una hoja de cálculo en la computadora.
Escriban el título de la actividad y las palabras
“Numerador” y “Denominador” en las celdas
A1, A3 y A4, respectivamente. Coloquen los números 1 y 7 en las celdas B3 y B4 (ver imagen 1).
Imagen 1
2. En la celda A6 escriban “Parte entera” y en la
A8, “Parte decimal” para señalar dónde se colocarán las partes de la expresión decimal de
la fracción. En la celda B7 coloquen un punto, alineado a la derecha, para separar ambas
partes como se ve en la imagen 2.
hi
Imagen 2
P
ro
Imagen 3
3. En la celda B6 escriban la fórmula que se
muestra en la imagen 3, la cual sirve para obtener únicamente la parte entera de la división. En la celda C6 se realiza la resta, con la
fórmula “=B3−B6*B4”, de este modo se obtiene el residuo de la división. Para continuar la
división se debe agregar un cero al residuo,
con la expresión “=C6*10”.
4. Repitan el procedimiento antes realizado. Esta vez escriban en las celdas
B8, C8 y D8 las fórmulas que se muestran en la imagen 4. Observen que en
lugar de usar el numerador B3, se
opera el residuo D6.
30
Imagen 4
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5. En la fila 9 ingresen las fórmulas
que se muestran en la imagen 5
en las celdas correspondientes.
En esta ocasión se agregaron signos de $ en las fórmulas.
Imagen 5
6. Seleccionen las celdas B9, C9 y D9; al hacer
esto en la esquina inferior derecha de las celdas seleccionadas, aparecerá un cuadrito
como el que se señala en la imagen 6.
Imagen 6
7. Arrástrenlo ampliando la selección la cantidad de filas que ustedes quieran. Al hacer esto
se copiarán las fórmulas de la fila 9 en las demás filas. Observen que algunos números en
las fórmulas han cambiado.
P
ro
Imagen 7
hi
Imagen 7
8. De esta manera han obtenido los decimales
de la fracción 1 . Si cambian los valores del
7
numerador y del denominador, automáticamente se obtendrán los decimales de la nueva fracción. Prueben usando las fracciones
1 , 1 , 7 , 5 , 17 , 8 y propongan otras. Iden2 3 8 7 19 30
tifiquen si la expresión decimal es exacta, periódica o mixta.
Imagen 8
Comenten con sus compañeros cuál es la lógica del procedimiento y, a partir de lo trabajado, deduzcan para qué sirve el signo $. También comenten las ventajas que ofrece hacer la conversión en
la computadora respecto del uso de la calculadora.
31
Secuencia
didáctica
Uso de fracciones y decimales
3
Contenido: Exploras la noción de densidad. Aproximas fracciones no decimales usando la notación decimal y analizas
la pertinencia del uso de fracciones en lugar de decimales.
Lección 1
Fracciones de tiempo
1. Lee la situación y contesta.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Carlos preguntó a algunos de sus amigos qué parte de su tiempo libre dedican a hacer ejercicio. Juan Pablo dedica 1 de su tiempo libre y Gonzalo, 1 . Carlos perdió
2
3
el dato exacto que le dio su amigo Felipe, pero recuerda que le dijo que destina una
parte mayor de su tiempo libre a la que emplea Gonzalo y menor que la que dedica
Juan Pablo.
a. Escribe una fracción que pueda representar la parte de tiempo libre que dedica
Felipe al ejercicio. yy ¿Cómo encontraste la fracción anterior? R. M. Utilizando comparación de
fracciones.
yy ¿Es la única respuesta correcta? ¿Por qué? R. M. No, porque cuanto más
grande sea el denominador, más aumentan las posibles respuestas.
b. Formen equipos de al menos cuatro integrantes y comparen las fracciones que
escribieron. Verifiquen que las respuestas de todos sean correctas y respondan.
yy ¿Todos escribieron distintas fracciones? Sí
yy ¿Qué fracciones escribieron? R. L.
yy ¿Cómo utilizarían la recta numérica para encontrar la fracción que se pide? R. M. Con ubicación de fracciones
hi
yy ¿Cómo pueden utilizar lo que aprendieron sobre fracciones y decimales en la
secuencia anterior para resolver el problema? Conociendo el valor deci-
ro
mal de cada fracción y viceversa.
P
yy Comenten las estrategias que utilizaron para encontrar la fracción requerida.
Escriban la que consideren más adecuada y expliquen por qué. R. L.
yy Discutan si es importante que Carlos pregunte de nuevo a Felipe cuál es la fracción de su tiempo libre que dedica a hacer ejercicio y si hubiera sido más práctico utilizar números decimales.
32
Eje: Número, álgebra y variación
Densidad
1. Analiza las parejas de números y contesta.
a. Considera las fracciones 2 y 3 .
5
4
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
yyEscribe una fracción mayor que 2 y menor que 3 . R. M. 1/2
5
4
yyAhora anota una fracción que se encuentre entre 2 y la que escribiste. 5
R.
M. 9/20
yyAhora escribe una que esté entre 2 y la anterior. R. M. 17/40
5
yyAnaliza los denominadores de todas las fracciones. ¿Qué observas? Los
denominadores
aumentan
yy¿Puedes encontrar más fracciones intermedias? ¿Por qué? Sí, porque los
denominadores
pueden aumentar más
b. Considera los números decimales 1.2 y 1.3.
yyEscribe un número decimal mayor que 1.2 y menor que 1.3. R. M. 1.25
yyAhora anota un número decimal que se encuentre entre 1.2 y el que escribiste.
R. M. 1.225
yyAhora escribe uno que esté entre 1.2 y el anterior. R. M. 1.2225
yy¿Qué características tienen los números que anotaste? El valor de las cifras
decimales disminuye.
yy¿Cuántos números puedes encontrar si continúas este procedimiento? ¿Por qué?
Infinidad porque se pueden seguir dividiendo.
c.
Considera los números enteros 4 y 7.
yyEscribe un número entero que esté entre 4 y 7. R. M. 6
yy¿Puedes escribir un número entero que esté entre 4 y el número anterior?
¿Por qué? R.
M. Sí, el 5 porque es el único entero que queda entre ambos.
hi
yy¿Cuántos números enteros puedes encontrar si continúas este procedimiento?
M. Ninguno, porque no hay más enteros.
¿Por qué? R.
P
ro
yyComparen sus respuestas en grupo y comenten qué diferencia encuentran en
los tres ejercicios. Para encontrar un número entre dos dados, ¿influye si son
fraccionarios, decimales o enteros? ¿Por qué? Escriban sus conclusiones y analicen el siguiente texto.
Entre dos números cualesquiera fraccionarios o decimales, se puede encontrar una
infinidad de fracciones y decimales. A esto se le conoce como propiedad de densidad. Esta propiedad no la tienen los números enteros.
Tema: Número
33
Lección 2
Aplicando la propiedad de densidad
1. Haz lo que se pide para cada recta numérica.
a. Ubica en la ampliación de la recta numérica dos fracciones entre 1 y 4 .
2 6
1
2
4
6
1
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
0
13
24
1
2
7
12
4
6
b. Ubica sobre la ampliación de la recta una fracción que esté entre 1 y 2 .
3 3
1
3
0
2
3
1
2
1
3
1
2
3
7
12
Ahora ubica una fracción entre la que encontraste y 2 .
3
c.
Glosario
Ubica 0.2 en la recta numérica y traza una ampliación de un segmento
para hallar el número 0.02.
hi
segmento.
Fragmento de recta
entre dos puntos.
0
0
0.2
0.02
1
2
3
4
0.2
P
ro
yyCompara tus respuestas con las de un compañero y comenten el procedimiento
que siguieron para encontrar los números que se piden.
34
Para encontrar un nuevo número entre dos números dados, se pueden seguir distintas estrategias. Si se trata de fracciones, se pueden buscar fracciones equivalentes a las dadas con el mismo denominador y después encontrar una fracción entre
ellas. Si las fracciones son consecutivas, se pueden encontrar sus equivalentes con
un denominador mayor. Otra forma de encontrar un número entre dos dados, sean
fracciones o números decimales, es sumar los números y dividir la suma entre dos.
Eje: Número, álgebra y variación
2. Responde según se pide.
a. Convierte la fracción 7 a número decimal. 0.7
9
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
yy¿Qué características tiene el número que obtuviste? No tiene parte entera y
su parte decimal es periódica pura.
b. Escribe dos números decimales con solo dos cifras decimales y sean cercanos
0.7 y 0.8
a 7 , y dos con una sola cifra decimal. 0.76 y 0.78,
9
yy¿Qué diferencia hay entre los números que encontraste cercanos a 7 ? 9
R.L.
yyElijan el número decimal que consideren es más cercano a la fracción dada y justifiquen su elección. Después escriban una definición de aproximación.
Al utilizar fracciones para hacer cálculos, puede ser conveniente convertirlas a números decimales. Si al convertirlas no se obtiene un número decimal exacto, se
puede buscar una aproximación o un número cercano que lo represente.
Para aproximar un número decimal se pueden truncar las cifras decimales, es decir,
se elige el número de cifras decimales que se va a considerar y el resto se omite. Por
ejemplo, 0.66 es una aproximación de 2 = 0.6666…
3
Otra manera de aproximar un número decimal es redondear las cifras decimales.
Para ello se observa el número en la posición decimal que sigue a la que será la última cifra decimal; si este es mayor o igual a 5, se sumará 1 a la última cifra; si es me-
nor a 5, la última cifra permanecerá igual. Por ejemplo, 0.67 es una aproximación de
2 con dos cifras decimales, porque 2 = 0.6666…
3
3
El signo ≈ se usa para indicar que un número es aproximado a otro.
3. Indica si en las aproximaciones se truncaron (T) o redondearon (R) los números.
b. 0.33333 ≈ 0.3 (T/R)
c. 17.7777 ≈ 17.78 ( R )
hi
a. 0.42424242 ≈ 0.424 (T/R)
Practicar para avanzar
P
ro
yyComenten si las aproximaciones numéricas truncando y redondeando los decimales dan o no lo mismo para cada número y por qué.
Resuelve en tu cuaderno. Justifica tus respuestas. Ver solucionario
1. Encuentra tres distintas aproximaciones del número 1 . R. M. 0.330, 0.333, 0.34
3
a. Analiza si puedes aproximar 1 con 3 y si eso significa que son equivalentes. Sí se puede
3 sin10
aproximar a través de la fracción,
embargo, dichas fracciones no son equivalentes.
35
Tema: Número
Lección 3
¿Fracciones o decimales?
1. Lee el problema y responde.
Un profesor aplicó un examen a sus alumnos con 24 preguntas, todas con el mismo
valor. Una vez revisadas las respuestas, cuenta las que son correctas y anota en la
esquina superior derecha del examen la calificación como una fracción. Al momento
de repartir las calificaciones a los alumnos, les presentó la lista de la izquierda.
Alumno
17
24
19
24
6
24
13
24
8
24
22
24
24
24
19
24
15
24
10
24
Alumno
Calificación
Palacios
1
Ortiz
.9
Cárdenas
.8
Portilla
.8
Álvarez
.7
Topete
.6
Gutiérrez
.5
Vera
.4
Gómez
.3
Martínez
.3
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Álvarez
Calificación
Cárdenas
Gómez
Gutiérrez
Martínez
Ortiz
Palacios
Portilla
Topete
Vera
a. ¿Con qué criterio están ordenados los datos de la lista? Alfabéticamente
apellido
por
b. ¿De qué otras formas se pueden ordenar? R. M. Por el número de reactivos
obtenidos
¿Es común entregar calificaciones expresadas como una fracción? ¿De qué otras
maneras se pueden escribir? R. M. No es común. Por el valor decimal de las
hi
c.
P
ro
fracciones.
d. Utiliza la información de la página anterior sobre aproximación y completa la
segunda tabla ordenando las calificaciones de mayor a menor y expresándolas
como números decimales con una cifra decimal.
yy¿Qué método utilizaste para aproximar las calificaciones? ¿Por qué? R. M. Redondeo porque no afectaba la calificación si se toma una sola cifra.
yy¿Tu lista de calificaciones será igual que las de tus compañeros? Justifica tu
respuesta. R. M. No porque algunos de mis compañeros utilizaron más cifras
decimales y también el truncamiento.
36
Eje: Número, álgebra y variación
e. El profesor encontró los exámenes de Rodríguez y Sánchez, que no había puesto en la lista.
yy¿Qué calificación obtuvo Rodríguez, si sabes que quedaría entre las de Martínez
y Vera? 9/24
yy¿Qué calificación sacó Sánchez, si sabes que quedaría entre las de Martínez
y Rodríguez? R. M. 19/48
¿Cómo las encontraste? Aproximando
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
yy¿Tiene sentido la calificación que obtuviste en el contexto del problema?
¿Por qué? R. M. No, porque el número de reactivos es 24 y no 48.
yyComenten en grupo sus respuestas para validarlas. ¿En qué ocasiones les parece más adecuado expresar cantidades como número decimal y en cuáles como
fracción? Proporcionen ejemplos para justificar su elección.
Aplica lo que aprendiste y responde.
1. En el departamento de ventas de una empresa de teléfonos celulares, cada emplea-
do tiene una meta mensual y recibe un bono según la razón de la meta que logró. El
mes pasado Rodrigo cumplió 7 de su meta; Fernanda, 0.45; Alfonso, 3 ; Guillermo,
8
4
0.3333…; y Marcela, 0.75.
a. Ordena la información anterior con respecto a los datos, de mayor a menor.
Empleado
Rodrigo
Marcela
Alfonso
Fernanda
Guillermo
7
8
0.75
3
4
0.45
0.3333…
Parte de la
meta cumplida
b. ¿Cómo comparaste los números? Obteniendo su valor decimal.
c.
¿Existen dos o más empleados que lograron la misma razón de su meta en el
mes? Justifica tu respuesta. Si, Marcela y Alfonso porque 3/4 0.75
hi
d. Encuentra una aproximación para el dato de Guillermo. R. M. 0.3
P
ro
e. ¿Podría existir un empleado que hubiera cubierto una mayor parte de su meta que
Guillermo y menor que Fernanda? ¿Cuánto podía haber logrado? R. M. Sí, podría
haber logrado 3/8 de meta.
f. ¿Qué tipo de números es más conveniente utilizar para mostrar esta información? ¿Por qué? R. M. Números decimales, en este caso es más complicado
trabajar
con fracciones.
yyEn grupo comenten de cuántas maneras distintas se puede hacer la comparación de los datos y elijan la que consideren mejor.
Tema: Número
37
Secuencia
didáctica
Multiplicación de fracciones
4
Contenido: Resuelves problemas que impliquen multiplicar fracciones.
Lección 1
Fracciones y áreas
1. Observa las figuras y responde.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Los tres cuadrados miden de lado 1 u.
1u
1u
Cuadrado 1
Cuadrado 2
Cuadrado 3
2
a. ¿Cuánto mide el área del cuadrado 1? 1 u
b. Observa el cuadrado 2. ¿Cuánto mide el área sombreada? 1/4 u
2
c. ¿Cuánto mide el área sombreada del cuadrado 3? 1/16 u
2
yyComenta con tus compañeros y tu profesor el procedimiento o razonamiento
que usaste para calcular el área solicitada de cada figura.
Algoritmo de la multiplicación
1. Retoma la actividad inicial y completa la tabla utilizando fracciones.
Base del área
sombreada (u)
Altura del área
sombreada (u)
Área sombreada (u2)
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
4
3
1
4
1
4
1
16
P
ro
hi
Cuadrado
a. Escribe las multiplicaciones necesarias para llegar al resultado del área.
1 3 1 1, 1/2 3 1/2 1/4, 1/4 3 1/4 1/16
yyObserva cómo es el producto de la multiplicación (área) con respecto a los factores (base y altura). Coméntalo con tus compañeros y escriban sus conclusiones en su cuaderno.
38
Eje: Número, álgebra y variación
2. Lee el problema y responde. Escribe tus operaciones.
1
1
El recreo del colegio dura 2 hora. De ese tiempo, Laura usa 2 de su recreo para co1
mer y Fernando, 3 . ¿Qué fracción de hora utiliza cada uno para comer?
1
a. ¿Piensas que el resultado sea mayor o menor que 2 , que representa la fracción de hora total del recreo? ¿Por qué? Menor que 1/2 porque están tomando
porciones
de esta fracción.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
b. Cuando multiplicas números enteros entre sí, ¿el resultado es siempre mayor
que los factores? Explica. No siempre, en algunos casos el resultado es igual a
alguno
de los factores.
c.
Analiza la siguiente información antes de continuar.
Para multiplicar una fracción por otra cuyo numerador es 1, se divide la primera entre el denominador de la segunda.
1
1
1
Por ejemplo, 2 3 4 equivale a 2 ÷ 4
1
1
1
1
3 4 5 8.
Como cada parte es 8 del entero, entonces
2
Para multiplicar una fracción por otra cuyo numerador es distinto de uno, se sigue
el procedimiento anterior y se multiplica el resultado por el numerador de la segun3
1
da fracción. Por ejemplo,
3 4.
2
1
1
3
1
1
3 4 5 8 , entonces 8 3 3 5 8 .
Como
2
d. Utiliza el procedimiento anterior para resolver las operaciones y responde.
hi
Fracción de tiempo, en horas, de recreo que destina Laura a comer: Laura destina 1/4 de hora para comer; es decir, 15 minutos.
ro
Fracción de tiempo, en horas, de recreo que destina Fernando a comer: Fernando destina 1/6 de hora para comer; es decir, 10 minutos.
P
yyValiden sus respuestas con el profesor y resuelvan las dudas que hayan surgido
acerca del algoritmo estudiado.
3. Aplica el procedimiento anterior para resolver multiplicaciones.
a.
2
5 10
3
3
7 5 21
b.
6
6
1
3
5
3
3
9
c.
4
7 28
3
7
8 5 56
d.
9
5 45
3
5
9 5 45
yyComparen sus respuestas y valídenlas con ayuda de su profesor.
Tema: Multiplicación y división
39
Lección 2
Producto de fracciones mixtas
1. Lee el enunciado y completa la tabla con la cantidad que se necesita de cada ingrediente para elaborar el número de órdenes correspondientes.
Para elaborar una orden de brownies, Alicia utiliza los ingredientes de la receta.
Ingredientes
Ingredientes para una orden de
Brownies
taza
1 de azúcar
2 huevos
1
de orden
2
3
de orden
4
1
8
1
4
1
2
3
8
1
12
3
16
1
16
1
4
1
2
3
8
3
4
3
2
9
8
3
12
9
16
3
16
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
1 taza de
2 mantequilla
Mantequilla
1
de orden
4
Azúcar
Huevos
cucharadita
1 1 de extracto de
2
vainilla
Vainilla
1 de taza de cocoa
3 natural en polvo
Cocoa
3 de taza de
4 harina de trigo
Harina
1 de cucharadita de
4 polvo para hornear
Polvo para
hornear
1
3
4
1
6
3
8
1
8
a. Explica el método que utilizaste para completar la tabla. Multiplicar fracciones
b. ¿Qué otro procedimiento podrías utilizar? R. L.
yyCompara tu procedimiento con el que usaron otros compañeros. Elige el más
sencillo y escribe en tu cuaderno tus conclusiones.
2. Analiza las multiplicaciones y contesta.
hi
1
7
4 2 3 4
5
11
1 6 3 5
4
8
2 7 3 7 13
13
15
1 16 3 2 26
ro
a. ¿Puedes aplicar la regla presentada en la formalización para resolver las operaciones? ¿Por qué? No, porque son fracciones mixtas.
P
b. ¿Qué necesitas hacer para resolver cada operación? Se necesita convertir el
número entero en una fracción que tenga el mismo denominador de la fracción
que lo acompaña.
40
Eje: Número, álgebra y variación
c.
En tu cuaderno, sigue los pasos necesarios para resolver las multiplicaciones.
Escribe tu procedimiento completo y tus resultados. Ver solucionario
yyCompara tus resultados con los de tus compañeros y, si es necesario, corrige tus
operaciones con ayuda del profesor.
Para multiplicar una fracción mixta por otra fracción, se convierte la fracción mixta
a fracción impropia y se siguen los procedimientos estudiados. Por ejemplo:
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
1
3
7
3
21
3 2 3 4 5 2 3 4 5 8
3. Retoma el problema de los brownies y contesta.
5
a. Calcula la cantidad de ingredientes que se necesita para preparar 4 de orden y para
1
2 4 de orden. Haz en tu cuaderno una tabla similar a la de la página anterior. Ver solucionario
b. ¿Qué diferencia hay entre las fracciones que indican el número de órdenes de la
tabla de ingredientes y las fracciones de las nuevas órdenes? Las fracciones de
la tabla de ingredientes son menores que la unidad mientras que las de las
nuevas órdenes son mayores.
c. ¿Qué ocurre con las cantidades de los ingredientes de la tabla con respecto de
las cantidades de las nuevas órdenes? ¿A qué se debe esto? En la tabla, las cantidades de los ingredientes no son mayores que la unidad y en las nuevas órdenes algunas sí. Se debe a la cantidad de las nuevas órdenes.
d. ¿Qué sucede con las cantidades de ingredientes en esta tabla con respecto de
las que aparecen en la receta? ¿Por qué? Aumentan porque las nuevas órdenes
son mayores que la receta original.
yyComenten en grupo sus respuestas y justifíquenlas.
Aplica lo que aprendiste.
1. Analiza los resultados de las operaciones que has hecho en esta secuencia y contesta en tu cuaderno.
ro
hi
a. ¿Cómo son con respecto a los factores? Son mayores y menores, depende de los factores.
b. Al multiplicar fracciones, ¿el resultado es siempre mayor que los factores? ¿En
qué casos no lo es? No siempre, cuando multiplicamos por factores menores
que la unidad no lo son.
2. Resuelve el problema en tu cuaderno.
P
1
En un deportivo hay una cancha de futbol que mide 50 1 de m de largo y 31 3 de m
4
1
de ancho. El director quiere agrandar la longitud de la cancha 2 3 de veces. ¿Cuánto
mediría la nueva cancha? Los 2 1/3 de 50 1/4 son 117 1/4, 2 1/3 de 31 1/3 son 73 1/9. Las nuevas medidas
de la cancha son: largo, 50 1/4 117 1/4 5 167 1/2 de metro y ancho, 31 1/3 73 1/9 5 104 4/9 de metro.
yyComparen sus resultados y comenten en qué otras situaciones es necesario multiplicar fracciones.
Tema: Multiplicación y división
41
Secuencia
didáctica
Multiplicación de decimales
5
Contenido: Resuelves problemas que implican la multiplicación de números decimales.
Lección 1
Natural por decimal
1. Lee la siguiente información y contesta.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Alberto necesita comprar mecate para una obra en la que está trabajando. Como
quiere probar cuál le funciona mejor, compró 10 m de cada modelo que se vende en
una ferretería.
Mecate sencillo
Mecate reforzado
Mecate especial
$0.85 el metro
$1.25 el metro
$2.60 el metro
a. ¿Cómo puedes calcular cuánto dinero gastó Alberto para cada tipo de mecate?
Multiplicando el número de metros que compró por el precio de cada tipo de
mecate.
125
b. Analiza esta manera de escribir el precio del mecate reforzado: 100 .
yyEscribe el precio de los otros dos tipos de mecate como fracción.
Mecate sencillo:
c.
85
Mecate especial:
100
260
100
Calcula, con las fracciones, el costo de los 10 m de cada tipo de mecate.
Mecate sencillo:
125
25
310
100
2
Mecate reforzado:
85
17
310
100
2
Mecate especial:
260
310 26
100
hi
yyCompara tus operaciones con las de tus compañeros para validarlas. Discutan
qué otro procedimiento se puede seguir para calcular lo que pagó Alberto.
ro
Multiplicación por 10, 100 y 1 000
P
1. Retoma el problema anterior. Analiza lo que ocurre con el punto decimal al multiplicar por 10 y contesta.
a. ¿Puedes calcular el producto de un número decimal por 100 o por 1 000 sin realizar las operaciones? Explica cómo. Sí, se recorre el punto dos lugares si es por
100 y tres, si es por 1000. Se agregan los ceros en dichos lugares.
b. ¿Cómo se puede calcular cuánto cuestan 5 m de cada tipo de mecate? R. M. Recorriendo primero el punto decimal un lugar a la derecha en cada precio y luego
dividiendo cada resultado entre dos.
42
Eje: Número, álgebra y variación
yy¿Y 8 m? Multiplicando cada precio por 8.
yy¿Cómo puedes calcular el precio de 2 m de cada tipo de mecate? Multiplicando
por 2 cada precio.
yyCompara tus operaciones y tus resultados con los de tus compañeros. Observen
si todos concluyeron lo mismo o en qué difieren sus respuestas.
2. Haz lo que se indica en cada caso.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
a. Subraya el resultado o factor correcto para cada multiplicación.
2.4 3 1 000 =
2 400
A. 240
B. 2 400
C. 2 004
3.05 3
10
= 30.5
A. 10
B. 1 000
C. 100
12 3 3.04 =
36.48
A. 0.3648
B. 3 648
C. 36.48
b. Calcula cuánto gastará Alberto en 25 m de cada tipo de mecate. Mecate sencillo:
$21.25, Mecate reforzado: $31.25 y Mecate especial: $65
c. Junto con un compañero, analicen sus respuestas a los incisos anteriores y
contesten.
yy¿En qué son distintos el precio total del mecate sencillo y el precio de los otros
tipos de mecate? El mecate sencillo cuesta menos que $1.
yy¿El producto de una multiplicación siempre es mayor que sus factores? ¿Por
qué ocurre esto? No, cuando uno de los factores está entre cero y uno, el resultado
es menor que uno de sus factores; por ejemplo: 0.86310 = 8.6.
yy¿Cómo influye en el producto que uno o los dos factores sean decimales menores que 1? El resultado es menor que uno de los factores.
yyCompara tus respuestas con las de dos compañeros. Discutan sus diferencias y,
si tienen dudas, coméntenlas con su profesor.
hi
Practicar para avanzar
ro
Resuelve en tu cuaderno. Ver solucionario
P
1. Una promoción en la venta de boletos de un espectáculo funciona así: cada boleto cuesta
$125. Si se compran entre 10 y 19 boletos, se hace un descuento de $12.50 por boleto. Si se
compran 20 boletos o más, se descuentan $8.75 adicionales por boleto.
a. Pablo compró 5 boletos; Alejandra, 12 boletos y Mónica, 25 boletos. ¿Cuánto gastó cada
uno? Justifica tu respuesta.
b. Luisa quiere comprar 9 boletos y Javier, 10. ¿Quién gastará más? ¿Por qué?
c. ¿Qué conviene más: comprar 19 boletos o 20? ¿Por qué?
Tema: Multiplicación y división
43
Lección 2
Decimal por decimal
1. Lee la siguiente situación y responde.
Un equipo de nadadores de aguas abiertas cruza el mar de Cortés haciendo relevos.
En promedio nadan 3.6 km por hora y tardan 8 días en cruzarlo. El tiempo acumulado de nado de cada día se describe en la tabla.
Tiempo en el agua (h)
Distancia recorrida (km)
1
9.55
34.38
2
10.20
36.72
3
9.75
35.1
4
9.80
35.28
5
7.50
27
6
6.65
23.94
7
9.37
33.732
8
10.10
36.36
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Día
a. Explica cómo calcular cuántos kilómetros recorrieron los nadadores cada día y
cómo calcular cuántos kilómetros recorrieron en total.
Multiplicando el tiempo en el agua por el promedio de nado.
yyComenten en grupo su explicación y elijan la más adecuada.
2. Analiza la multiplicación 9.55 h 3 3.6 km/h y contesta.
a. Escribe los factores y la multiplicación con fracciones decimales. 955/100 3 36/10
b. ¿Cuál es el producto de la multiplicación obtenida? 34380/1000
yyEscribe el producto como número decimal. 34.38
Repite el procedimiento anterior para encontrar el resultado de 6.65 h 3 3.6 km/h. 563/100 3 478/100 269114/10000
hi
c.
ro
d. Escribe los factores de 6.65 h 3 3.6 km/h como enteros, es decir, sin el punto decimal.
563 3 478
P
yy¿Cuál es el producto de los números anteriores? 269 114
yy¿Cuántas cifras decimales tienen en total los factores originales? 4 cifras
yyUsa el número anterior para contar cifras de derecha a izquierda en el producto y colocar el punto decimal. 26.9114
yyEn grupo y con ayuda del profesor, comparen ambos métodos para multiplicar
números decimales y expliquen por qué se obtiene el mismo producto.
44
Eje: Número, álgebra y variación
Para multiplicar dos números decimales, primero se multiplican los factores
sin considerar el punto decimal. Una vez
obtenido el producto, se coloca el punto decimal de manera que el número
de cifras decimales sea igual a la suma
del número de cifras decimales de los
factores.
Por ejemplo: 4.56 3 13.1
456
3 131
456
1368
1 456
59736
©
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su ti
lla
di n
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ri
bu
ci
ón
Se coloca el punto decimal:
4.56 3 13.1 5 59.736
3. Utiliza la información anterior para resolver las actividades.
a. Calcula las multiplicaciones.
10.2 3 3.6 5 36.72
9.75 3 3.6 5 35.1
9.37 3 3.6 5 33.732
0.5 3 3.6 5 1.8
0.65 3 0.6 5 0.39
10.1 3 3.6 5 36.36
b. Retoma el problema de los nadadores y calcula cuántos kilómetros recorrieron
nadando cada día. Agrega una columna a la tabla con tus resultados.
yy¿Cuántos kilómetros recorrieron los nadadores en total? 262.512 km en total
yyCompara tus respuestas con un compañero y discutan sus diferencias.
Aplica lo que aprendiste.
1. Lee la situación y responde.
Elena, durante un viaje al extranjero, compró chocolates. A continuación se muestran los precios de los productos en euros (€) y el recibo de lo que compró.
A granel
Chocolatería “A granel”
21 de julio de 2017
hi
1 kilogramo de chocolate
con leche
P
ro
€2.20
amargo
€2.60
con nuez
€2.80
Chocolate con leche....... 1.9 kg
mixto
€3.25
Chocolate amargo.......... 1.2 kg
Chocolate con nuez.........1.1 kg
Chocolate mixto.............. 0.8 kg
Total .....€12.98
¡Gracias por su compra!
a. ¿Cuánto gastó Elena en cada tipo de chocolate? Con leche: €4.18, amargo:
€3.12, con nuez: €3.08 y mixto: €2.6
yy¿Cómo calculaste las cantidades anteriores? Multiplicando el precio por la
cantidad de chocolate que se compró.
b. Si el euro está a $20.32, ¿cuánto gastó en pesos? Gastó $263.75
Tema: Multiplicación y división
45
yy¿Cuánto gastó en cada tipo de chocolate en pesos? Con leche: $84.93; amargo:
$63.39; con nuez: $62.58 y mixto: $52.83.
2. Resuelve los problemas. Escribe tus procedimientos en los recuadros.
a. Si en una tienda un kilogramo de frijol cuesta $31.55, ¿cuánto se debe pagar
por 0.75 kg, 1.50 kg y por 0.5 kg respectivamente? $23.66, $47.32 y $15.77
respectivamente.
©
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ri
bu
ci
ón
31.55 3 0.75 23.6625
31.55 3 1.50 47.325
31.55 3 0.5 15.775
b. Se van a hacer carteles de papel estraza para decorar una fiesta. Cada rollo de
papel mide 0.90 m de ancho y cada cartel debe medir 1.5 m de largo. ¿Cuál será
2
el área de cada cartel? 1.35 m
0.9 3 1.5 1.35
c.
Una enfermera debe suministrar un medicamento a sus pacientes. La dosis
es de 0.04 mg por kilogramo de peso. ¿Qué dosis debe dar a Ana, Alejandro y
Karina, si pesan 32.4 kg, 43.5 kg y 50 kg respectivamente? Debe suministrar a Ana 1.296 mg; a Alejandro, 1.74 mg y a Karina, 2 mg de medicamento
respectivamente.
0.04 3 32.4 1.296
0.04 3 43.5 1.74
hi
0.04 3 50 2
P
ro
3. Escribe en tu cuaderno un problema que se resuelva con multiplicación de números decimales y que incluya lo siguiente. R. L.
yyUna multiplicación cuyos factores sean, ambos, números decimales
yyUna multiplicación en la que un factor sea decimal y uno entero
yyUna multiplicación en la que haya al menos un factor decimal menor que 1
yyDiscute con tres compañeros los problemas del apartado “Punto de llegada” y los
que escribiste. Comenten qué características tienen en común, en qué difieren y
cómo fue el resultado con respecto a sus factores.
46
Eje: Número, álgebra y variación
Reviso mi trayecto
Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de
los contenidos que tienes que repasar.
1. En la recta se muestra la posición actual de un grupo de corredores.
L
PB
D
1
E
©
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ri
bu
ci
ón
0
a. Mide la recta y escribe la fracción del recorrido que ha realizado cada uno.
Corredores
Lorenzo
(L)
Paulina
(P)
Bernardo
(B)
Emilia
(E)
Diego
(D)
Fracción del
recorrido
2/3
2/5
3/7
2/3
1/2
b. Rodrigo ha avanzado más que Diego y menos que Lorenzo. Expresa con fracción el recorrido que ha realizado Rodrigo. R. M. 3/5
2. Jimena vende mangos y un cliente le pidió 12 3 de kg. Como su báscula es digital,
4
solo marca números decimales. ¿Qué número debe marcar la báscula para que Jimena pese su pedido adecuadamente? 12.750 kg
3. Paula tiene $50 para comprar aguacates, por lo que comparó el precio del kilogramo en
varios puestos. En el de Jorge le alcanza para comprar 3 de kg; en el de Laura le
4
alcanza para comprar 0.8 kg; en el de Nuria puede comprar 0.750 kg, y en el de Alejandro, 5 de kg.
6
a. ¿En qué puesto le conviene a Paula comprar los aguacates? Argumenta tu res-
hi
puesta. En el de Alejandro, pues le darán 0.83 kg
ro
4. Convierte cada fracción en su notación decimal. Escribe, en cada caso, si el número es decimal finito, periódico mixto o periódico puro según corresponda.
Notación decimal
Tipo de número
4
5
13
2
8
3
7
15
0.8
Decimal finito
6.5
Decimal finito
2.6
Decimal periódico puro
0.46
Decimal periódico mixto
P
Fracción
47
Secuencia
didáctica
División con decimales
6
Contenido: Resuelves problemas que implican divisiones con números decimales.
Lección 1
Reparto equitativo
1. Lee las situaciones y contesta.
©
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ri
bu
ci
ón
Para llenar cajas con despensas básicas, unos voluntarios consiguieron 75 kg de frijol en paquetes de 0.250 kg y 150 litros de aceite en envases de 0.5 L.
a. ¿Cómo puedes saber para cuántas despensas les alcanza el frijol? Dividiendo el
total de frijol entre lo que cabe por paquete.
b. ¿Cómo puedes saber para cuántas despensas les alcanza el aceite? Dividiendo
el total de aceite entre la capacidad del envase de la despensa.
c.
¿Cuántas despensas se pueden completar con frijol y aceite? 300 despensas
d. Si cada despensa llevara 0.250 kg de frijol, ¿cuántas despensas se pueden armar con 1 kg de frijol? ¿Y con 75 kg? Con 1 kg se arman 4 despensas, con 75 kg
se arman 300 despensas.
yy¿Usaste un argumento como el anterior para contestar los incisos a y c? ¿En
qué difiere este procedimiento del tuyo? Sí. R. L.
e. Ahora los voluntarios van a repartir atún enlatado. Tienen 40 kg de atún en latas de 0.125 kg. Escribe en tu cuaderno las operaciones necesarias para calcular para cuántas despensas alcanza el atún. 400.125320. Se podrán armar
320 despensas.
f. ¿Para cuántas despensas alcanzan el frijol, el aceite y el atún respectivamente?
El frijol para 300, el aceite para 300 y el atún para 320.
yyComparte tus respuestas con tus compañeros y comenten en grupo cómo las obtuvieron y si coincidieron en el procedimiento.
hi
División con decimales
1. Haz lo que se indica para resolver el problema.
P
ro
En una tienda de mascotas hay peceras de 3.75 L de capacidad. Para llenarlas, los
empleados usan un contenedor de 15 L de agua. Para calcular cuántas peceras pueden llenar con un solo contenedor, Eduardo, el encargado, dividió 15 ÷ 3.75 y obtuvo
4 como resultado.
a. Multiplica 15 y 3.75 por 100 y después divide la capacidad del contenedor entre
la de las peceras. ¿Cuál es el resultado? 4
b. Compara tu resultado con el de Eduardo. ¿Qué observas? Es el mismo.
Al multiplicar ambas cantidades por
yy¿Por qué crees que ocurre lo anterior? 100 se conservó la igualdad.
48
Eje: Número, álgebra y variación
c.
¿Para qué sirve multiplicar el divisor y el dividendo por un mismo número
cuando la división involucra un número decimal? Para que se opere con números enteros.
yyComparen sus operaciones para validarlas y comenten sus conclusiones.
Después analicen la siguiente información.
©
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bu
ci
ón
Cuando el divisor es un número decimal, es necesario convertirlo en número entero y después hacer la división. Para ello, se agregan en el dividendo tantos ceros
como cifras decimales tiene el divisor. El punto se recorre hacia la derecha y se divide como si ambos números fueran enteros.
15
150
16
160
1600
6
6.4
2.5 5 25
2.5 5 25 5 250
2.5|150
2.5|1600
2150
2 1 5 0
0
100
2100
0
Si es necesario, se agregan ceros en el dividendo para seguir operando hasta que el
residuo sea cero o se tenga una aproximación satisfactoria.
2. Analiza la siguiente situación y contesta en tu cuaderno.
Las calificaciones de Carla en Historia son: trabajo en clase 7.5, examen 8.8 y proyectos 8.2. Carla las sumó y dividió el resultado para calcular su promedio.
a. ¿Qué división hizo Carla para conocer su promedio? 24.5 3
b. ¿Qué diferencia hay entre la división que debe resolver Carla y la que resolvió
Eduardo en la actividad anterior? La diferencia es que en la división de Eduardo el divisor es un
número decimal, mientras que en la de Carla es un número entero, lo que facilita la operación.
yyDefinan en grupo un procedimiento para resolver la división de Carla. Después
compárenlo con el de la siguiente información.
Cuando el divisor es entero y el dividiendo es un número decimal, se divide como
si ambos fueran números enteros y se coloca el punto decimal en el cociente en la
misma posición que el punto decimal del dividendo.
P
ro
hi
4.2
4.63
3 | 12.6
3 | 13.90
2 12
2 12
06
19
26
218
0
10
2 9
1
En este caso también se pueden agregar más ceros para seguir operando.
yyCalculen el promedio de Carla utilizando la información del recuadro. 8.16
Tema: Multiplicación y división
49
Lección 2
Decimales en el divisor y el dividendo
1. Analiza la situación y contesta.
Ernesto va a correr un maratón, es decir, 42.195 km. Sus familiares se quieren distribuir a lo largo de la ruta para animarlo y decidieron que cada uno se colocará cada
1.609 km.
a. Anota la operación que necesitas hacer para saber cuántos miembros de la familia de Ernesto van a apoyarlo a lo largo de la carrera. 42.195 1.609
©
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ón
b. Observa las divisiones que resolviste en la lección anterior y compáralas con las
de este problema.
yy¿Qué tienen en común? Contienen números decimales
yy¿En qué se diferencian? En la división de este problema tanto el divisor como
el
dividendo son números decimales, en las anteriores era solo uno de los dos.
yy¿Qué procedimiento propones para resolver el problema? R. M. Recorrer el
punto
decimal en ambas cantidades y si es necesario agregar ceros en la que
haga
falta.
c. Analiza la siguiente información con un compañero y responde.
Cuando tanto el divisor como el dividendo son números decimales, se recorre el
punto decimal de ambos a la derecha tantos lugares como cifras decimales tenga el
divisor. Si es necesario, en el dividendo se agregan ceros. Después se resuelve la división como si ambos números fueran enteros.
hi
6
5.8
2.55 | 15.30
2.5 | 14.5 0
2 15 30
2 12 5
0
200
2200
0
P
ro
Si es necesario, también en este caso se agregan ceros al dividendo para seguir operando hasta que el residuo sea cero o se tenga la aproximación que se busca.
yyResuelvan la división del inciso a. ¿Cuántos familiares estarán apoyando a
Ernesto? 26 familiares
yyComparen sus resultados en grupo y comenten los tres casos de división con números decimales que han estudiado en la secuencia. Resuelvan las dudas que
hayan surgido.
50
Eje: Número, álgebra y variación
2. Resuelve los problemas de división.
a. Iván hará un viaje y necesita cambiar $4 125.95 a dólares. En el banco le informaron que el tipo de cambio está en $17.90 por dólar. ¿Cuántos dólares tendrá
para su viaje? 230.5 dólares
b. Un galón de agua equivale aproximadamente a 3.785 L. Si a cada vaso le caben
0.25 L, ¿cuántos vasos se pueden llenar con un galón? Justifica tu respuesta. 15.14 vasos, se obtiene de dividir 3.785 0.25
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ón
galones
yy¿Cuántos galones se pueden llenar con 20 L? Explica tu respuesta. 5.28
yyValida con un compañero las divisiones que resolviste para contestar los
problemas.
Aplica lo que aprendiste.
1. Analiza la situación y responde. Anota todas las operaciones en tu cuaderno.
En el rancho San Miguel se destina una parcela de 75 m 3 52.5 m para cajones de
lombricultura. Cada cajón mide 3.5 m 3 3.75 m.
a. ¿De cuántas maneras pueden acomodar los cajones? ¿Cómo lo sabes? De catorce
maneras diferentes, dividiendo el ancho de la parcela entre el ancho del cajón.
yy¿Cuál es la más eficiente? Justifica tu respuesta. En la que caben más cajones
de
lombricultura porque se aprovecha todo el espacio disponible.
b. ¿Cuántos cajones caben? 300 cajones
yy¿Sobra espacio? ¿Por qué? No sobra espacio porque caben justos si se acomodan del lado que miden 3.75 sobre el lado de la parcela que mide 75 m.
Otra parcela que mide 102 m 3 127.5 m se asignará para plantar viñedos. Cada viñedo necesita un espacio cuadrado de 0.85 m de largo.
¿Cuántos viñedos podrán plantarse? ¿Sobra espacio? 18 000 viñedos y no sobra
espacio
hi
c.
ro
d. Compara la solución del problema de los cajones de lombricultura con la de los
viñedos. ¿En qué caso el resultado es mayor que el dividendo? En el caso de
los viñedos
P
yy¿Por qué sucede esto? Porque el divisor es menor que la unidad.
yyValiden sus respuestas en grupo. Compartan su reflexión del inciso d y concluyan en grupo. Con ayuda de su profesor, resuelvan las dudas que aún tengan sobre la división con números decimales.
Tema: Multiplicación y división
51
Secuencia
didáctica
Proporcionales y no proporcionales
7
Contenido: Identificas situaciones proporcionales y no proporcionales. Usas constantes de proporcionalidad fraccionarias o decimales (con fracciones o decimales mayores, menores e iguales a uno).
Lección 1
Relaciones de proporcionalidad
1. Analiza la información y responde.
En una feria se ofrecen los siguientes pases de entrada.
©
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ón
yyPase individual: incluye pases a todos los juegos. Precio: $145.50
yyPase por automóvil: incluye estacionamiento y pases para todos los juegos para
todas las personas que quepan en el automóvil. Precio: $700
yyPase por juego: incluye una entrada por $35 y boletos de $15.50 para cada juego.
a. Si 4 personas quieren comprar el pase individual, ¿cuánto deben pagar?
$582
¿Y si son 8 personas? $1 164
b. Si el número de personas que quieren comprar el pase individual aumenta al triple, ¿qué sucede con la cantidad por pagar? Aumenta el triple también.
Glosario
relación de
proporcionalidad.
Cuando dos
conjuntos de
cantidades están
relacionados
de manera que,
al cambiar las
cantidades en un
conjunto, las del
otro conjunto lo
hacen de la misma
manera.
c.
Si 4 personas que compartirán automóvil quieren comprar el pase para
automóvil, ¿cuánto deben pagar en total? $700
¿Y si fueran
8 personas en un solo automóvil? $700
d. ¿Qué sucedería en el caso del pase para automóvil si el número de personas aumentara al triple? Seguiría siendo el mismo precio.
e. ¿Es proporcional la relación entre el número de personas y la cantidad
por pagar en los diferentes pases? Justifica tu respuesta. No, solo en el
primer caso, pues la condición del pase de automóvil establece que incluye a todos cuantos quepan.
hi
ro
yyComenten en grupo los procedimientos que siguieron para responder la actividad.
Verifiquen qué recuerdan de lo estudiado anteriormente sobre proporcionalidad.
P
Análisis de situaciones de proporcionalidad
1. Lee la situación y haz lo que se pide.
Jimena quiere hornear galletas para ponerlas en mesas de dulces en eventos. Después de mucho buscar, encontró una receta para hacer 20 galletas, pero la cantidad
de galletas que le pidan variará en cada evento.
52
Eje: Número, álgebra y variación
a. Completa la tabla según los datos de la receta que encontró Jimena.
Galletas
de avena
2 tazas de harina
1
cucharadita de bicarbonato
2
1 de cucharadita de sal
4
20 galletas
Tiempo de horneado:
20 min
Temperatura:
350 ºC
2 huevos
1 tazas de avena
1
2
Número de galletas
10
20
30
40
60
©
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ci
ón
Ingredientes
3 de taza de mantequilla sin sal
4
1 taza de azúcar morena
Harina (tazas)
12
3
4
6
Sal (cucharaditas)
1
3
1 4
8
8
1
2
3
4
Mantequilla (tazas)
3
9
3 4
8
8
3
2
9
4
Azúcar (tazas)
1 1
2
1 1
2
2
3
Huevo (piezas)
12
3
4
6
Avena (tazas)
3
4
1
12
9
4
3
9
2
b. Contesta.
yy¿El número de galletas es proporcional a la cantidad que se necesita de cada
ingrediente? ¿Cómo lo sabes? Sí, porque aumenta la cantidad de ingredientes
dependiendo de la cantidad de galletas que se harán.
yySi Jimena quiere hacer 40 galletas, ¿debe hornearlas durante 20 min o necesita
más tiempo? 20 minutos
hi
yy¿El número de galletas es proporcional al tiempo de horneado? Justifica tu
respuesta. R. M. No es proporcional, la temperatura del horno es constante,
P
ro
no depende de la cantidad de galletas.
yyRevisen sus respuestas y comenten cómo se debe identificar que la relación entre dos conjuntos de cantidades sea proporcional.
Si en un conjunto que tiene una relación de proporcionalidad directa con otro las
cantidades aumentan al doble o al triple, en el otro conjunto también aumentarán
al doble o al triple. Si disminuye la cantidad a la mitad en el primer conjunto, también va a disminuir a la mitad en el segundo.
Tema: Proporcionalidad
53
Lección 2
Valor unitario
1. Contesta según la información proporcionada.
En las etiquetas de las bolsas de comida para perro viene una sugerencia de porciones, según el peso del animal. La etiqueta de una bolsa sugiere que para perros que
pesan 40 kg, se administren 4 tazas de 160 g cada una.
a. ¿Cuánto debe comer al día en tazas y en gramos un perro de 20 kg?
Debe comer 2 tazas que son 320 g.
©
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ón
b. Y si el perro pesa 5 kg, ¿cuánto se le debe dar de comer? Debe comer 1/2 taza
que son 80 g.
c.
¿Cuántos gramos de alimento debe comer un perro de 42 kg? ¿A cuántas tazas
corresponden? Debe comer 672 g que equivalen a 4.2 tazas.
d. ¿Cómo calculaste las respuestas anteriores? R. M. Calculando primero la equivalencia de 1 taza y luego del peso del perro.
e. ¿Son proporcionales el peso y la cantidad de alimento? Justifica tu respuesta.
Sí, si el peso del perro disminuye el alimento también y viceversa.
yyCompara tu procedimiento con el de algunos compañeros e identifica diferencias y similitudes. Después, lean la siguiente información y comenten qué procedimiento les puede servir para calcular la cantidad de alimento que debe
consumir cualquier perro.
En una situación de proporcionalidad, el valor en un conjunto que corresponde a
una unidad del otro conjunto se llama valor unitario.
¿Cuánto alimento debe consumir un perro por kilogramo de peso? 1/10 de taza
que
equivale a 16 g.
hi
f.
ro
g. ¿La cantidad anterior te sirve para encontrar el alimento que debe consumir
cualquier perro? ¿Por qué? Sí, porque solo multiplicaría el número de taza y el
gramaje
por el peso del perro.
P
h. Utiliza el valor unitario para calcular la cantidad de alimento, en tazas y gramos,
que deben consumir un perro de 18 kg, uno de 36 kg y uno de 45 kg.
18
kg → 1.8 tazas → 288 g, 36 kg → 3.6 tazas → 576 g, 45 kg → 4.5 tazas → 720 g
i.
54
¿Qué operaciones realizaste para encontrar las cantidades de alimento? Multiplicar
el peso de cada perro por los valores del inciso f.
Eje: Número, álgebra y variación
En una relación de proporcionalidad, el número por el cual multiplicamos las cantidades de un conjunto para obtener las del otro se llama constante de proporcionalidad. Este número es igual al valor unitario.
Practicar para avanzar
Lee los problemas y contesta.
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ci
ón
1. En un salón de secundaria hay 2 mujeres por cada 3 hombres. Si en total hay 18 hombres,
¿cuántas mujeres hay en el salón? 12 mujeres
a. Resuelve el problema. Escribe tu procedimiento.
2/3 0.666 0.666 18 12
b. ¿El número de mujeres es proporcional al número de hombres que hay en el salón?
¿Cómo lo sabes? Sí, porque por cada dos mujeres hay tres hombres.
ro
hi
2. Un jugo combinado se prepara con 3 partes de jugo de naranja y 1 parte de jugo de be4
4
tabel. Si se quiere preparar 2 1 L de jugo combinado y se sabe que 4 tazas equivalen a 1 L,
2
¿cuántas tazas de jugo de naranja y cuántas de jugo de betabel se necesitan?
7 1/2 de tazas de jugo de naranja y 2 1/2 de taza de jugo de betabel.
a. Resuelve el problema. Escribe tu procedimiento.
P
b. ¿Qué propiedades de la proporcionalidad utilizaste para resolver este problema? R. M. Primero utilicé el valor unitario para determinar la cantidad en litros de cada jugo,
posteriormente utilicé la relación de proporcionalidad directa para determinar el número de tazas.
¿Utilizaste fracciones en tus operaciones al resolver los problemas? Si no lo hiciste, encuentra nuevamente las respuestas utilizando fracciones. No olvides simplificar.
Tema: Proporcionalidad
55
Lección 3
Proporcionalidad y multiplicación de fracciones
1. En secuencias anteriores resolviste multiplicaciones de fracciones. Comenta con
tus compañeros y tu profesor los procedimientos que seguiste y escríbelos en tu
cuaderno.
2. Resuelve las multiplicaciones y contesta.
33 1
4
3
25 3 3 5
9
1
93 8 5 8
3
1
1
1 2 3 4 5 8
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
1
83 2 5 4
3
5 75
50 3
2
1
1
1
8
3
5
2
4
a. ¿Cómo se multiplica un entero por una fracción? Se multiplica el entero por el
numerador y el resultado se escribe en su mínima expresión.
b. ¿Por qué crees que se hace de esa manera? R. M. Porque es el equivalente a
expresar el entero dividido entre la unidad y a aplicar el algoritmo de la multic.
plicación de fracciones.
¿Qué sucede con una cantidad entera cuando se multiplica por una fracción? Se convierte en una fracción.
d. ¿Cuándo aumenta o disminuye una cantidad entera al multiplicarse por una
fracción? Aumenta cuando la fracción es impropia y disminuye cuando la
fracción es propia.
e. ¿En algún caso se queda igual el entero al multiplicarse por una fracción? ¿En
cuál? Sí, en el caso en el que la unidad es expresada como fracción, por ejemplo:
4(3/3) 4.
¿Cómo se multiplica una fracción por otra? Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.
hi
f.
P
ro
g. ¿En qué casos, al resolver un problema de proporcionalidad, es necesario multiplicar fracciones? Escribe dos ejemplos. R. M. En recetas de cocina y en escalas.
yyCompara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten qué relación
hay entre la multiplicación de fracciones y los problemas de proporcionalidad.
Revisen con su profesor que los ejemplos que escribieron sean correctos.
56
Eje: Número, álgebra y variación
3. Considera lo que acabas de repasar sobre la multiplicación de un entero por una
fracción para resolver el siguiente problema.
Juan utiliza 1 1 tazas de harina cuando quiere preparar hot cakes para 4 personas.
4
a. ¿Cuántas tazas de harina debe utilizar si quiere preparar hot cakes para 8 personas? 2 1 tazas
2
©
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ci
ón
b. ¿Cuántas tazas de harina necesita si quiere preparar hot cakes para 10 personas? 3 1 tazas
8
yyValida tus respuestas con un compañero y, si tienen dudas, consulten a su profesor.
Aplica lo que aprendiste.
1. Resuelve el problema.
Francisco quiere construir torres con cubos, como las que se muestran. Primero
construye una torre y después le agrega cubos para obtener la segunda.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 1
Paso 2
a. ¿Cuántos cubos agrega a cada torre en cada paso?
6, 4 y 5
Torre verde:
Torre azul:
Paso 3
3, 3 y 3
b. ¿El número de cubos de cada torre es proporcional al número de pasos de
construcción? Justifica tu respuesta. Torre verde, el número de cubos no es
hi
proporcional. Torre azul, el número de cubos es proporcional, en cada paso se
van aumentando 3 cubos.
2. Reúnanse en parejas y hagan lo que se indica. R. L.
P
ro
a. Inventen o investiguen una situación en la que dos conjuntos de cantidades se
relacionen de manera proporcional y otra en la que no lo hagan.
b. Elaboren en su cuaderno una tabla que muestre al menos cuatro valores de
cada conjunto y sus correspondientes del otro conjunto.
c. Escriban la constante de proporcionalidad de la situación que eligieron.
Mencionen para qué se puede utilizar.
d. Expliquen cómo se puede saber, a partir de las tablas, cuál es una relación de
proporcionalidad y cuál no.
yyCon ayuda del profesor, elaboren conclusiones.
Tema: Proporcionalidad
57
Secuencia
didáctica
Valor faltante y proporcionalidad
8
Contenido: Resuelves problemas de proporcionalidad en los que se calcula el valor unitario y del tipo valor faltante,
a través de las propiedades de la proporcionalidad (razones externas e internas). Usas tablas y gráficas de proporcionalidad directa.
Lección 1
Propiedades de la proporcionalidad
1. Lee la situación y contesta.
©
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bu
ci
ón
Para hacer pintura anaranjada, Cecilia y José mezclaron 3 tazas de pintura roja por
cada 4 tazas de pintura amarilla.
a. ¿Están relacionadas de manera proporcional la cantidad de tazas de pintura
roja y la cantidad de tazas de pintura amarilla al hacer cualquier cantidad de
pintura anaranjada? Justifica tu respuesta. Sí, porque si reduce la cantidad de
pintura roja disminuye la amarilla.
b. ¿Cuánta pintura amarilla se necesita si se usan 1 1 tazas de pintura roja? 2
¿Cómo lo supiste? 2 tazas, porque se disminuye en la misma proporción.
yyComenten en grupo sus respuestas y valídenlas. Analicen la justificación que expusieron y resuelvan sus dudas.
Procedimientos para encontrar un valor faltante
1. Analiza los procedimientos que siguieron Cecilia y José para responder las preguntas de la sección anterior y contesta.
Cecilia
José
Sé que en relaciones de proporcionali- Si sé que a 3 tazas de pintura roja le co-
dad, cuando una cantidad disminuye a rresponden 4 tazas de pintura amarilla,
P
ro
hi
la mitad, la otra también lo hace. Si 1 1 a 1 taza de pintura roja le corresponden
2
es la mitad de 3, puedo saber que a 1 1 4 de taza de pintura amarilla.
2 3
le corresponden la mitad de tazas ama- Esto quiere decir que a 1 1 tazas de pin2
rillas que a 3.
tura amarilla le corresponden
Esto quiere decir que a 1 1 tazas de pintu- 1 1 3 4 tazas de pintura roja.
2
2
3
ra roja le corresponden 2 tazas de pintura
amarilla, porque 2 es la mitad de 4.
a. ¿Cuál de los dos procedimientos te parece mejor? ¿Por qué? R. L.
58
Eje: Número, álgebra y variación
b. Utiliza el procedimiento de Cecilia para obtener el número de tazas de pintura
roja que corresponden a 12 tazas de pintura amarilla. Justifica tu respuesta.
Ver solucionario
c.
Utiliza el procedimiento de José para obtener el número de tazas de pintura
amarilla que corresponden a dos tazas de pintura roja. Ver solucionario
©
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ri
bu
ci
ón
yyComenten las estrategias que utilizaron para encontrar el número de tazas de
pintura faltantes. Elijan la que consideren más eficiente.
Practicar para avanzar
1. Resuelve las siguientes multiplicaciones.
1
1
1
3 3 2 5
6
1
1
3
1 2 3 2 5
4
1
4
2
2 3 3 5
3
1
1
3
3 32 4 5
4
5
1
5
7 3 1 5
7
1
1
3
2 4 31 2 5 3
8
a. Analicen en grupo si las cantidades originales se vuelven mayores o menores al multiplicar y comenten por qué creen que ocurre esto.
2. Utilicen los procedimientos de Cecilia y José para resolver los siguientes problemas de dos
maneras distintas. Escribe tus operaciones.
a. Tus vecinos te contrataron para que cuides a su bebé por unas horas al día. El primer
día lo cuidaste 4 h y te pagaron $300. ¿Cuánto te pagarán al día siguiente si lo cuidas
1
de Cecilia: 300 5/8 187.5. Estrategia de José: A 1 hora le corres2 2 h? Estrategia
ponden $75. A 2 ½ horas le corresponden $75 2 1/2 $187.50
yySi cuidas al bebé otro día de las 11:00 a las 17:15 horas, ¿cuánto deberán pagarte? $468.75
hi
Estrategia de Cecilia: El tiempo a considerar es de las 11:00 a las 17:15 horas, el tiempo
aumentó 25/16 respecto de lo que lo cuidaste el primer día. Así que el pago es:
$300 25/16 $468.75. Estrategia de José: A 1 hora le corresponden $75. A 6 1/4 horas
le corresponden $75 6 1/4 $468.75
P
ro
b. Enviar tres paquetes de menos de 1 kg de la Ciudad de México a Puebla cuesta $200.
¿Cuánto costará enviar cuatro paquetes, suponiendo que el costo es proporcional al
número de paquetes? $266.66
Estrategia de Cecilia: El número de paquetes aumentó 4/3 de la cantidad inicial de paquetes,
por tanto, el costo que se debe pagar por enviar 4 paquetes es $200 4/3 266.66. Estrategia de José: Por cada paquete cobran $66.66. Por 4 paquetes cobran $266.66.
Tema: Proporcionalidad
59
Lección 2
Uso del valor unitario para resolver problemas
1. Completa la tabla según la combinación que usan Cecilia y José para hacer pintura
anaranjada. Después responde.
Tazas de pintura amarlilla
1
4
3
1 1
2
2
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Tazas de pintura roja
2
8
3
2 3
4
10
3
3
4
3 1
2
5
4
16
3
4 1
2
6
a. ¿Qué estrategias usaste? R. L.
b. ¿Cuál es el valor unitario en este problema? El valor unitario es 4/3
¿Y la constante de proporcionalidad? La constante de proporcionalidad es de 4/3.
c.
¿Qué sucede con las cantidades de pintura roja al multiplicarlas por el valor
unitario? ¿Por qué? Aumenta porque la constante es mayor a la unidad.
hi
d. Si el valor unitario hubiera sido 1 , ¿qué habría sucedido con la cantidad de ta2
zas de pintura roja? ¿Habría aumentado o disminuido? ¿Por qué? Disminuiría porque la constante sería menor a la unidad.
P
ro
Al multiplicar un número por una fracción menor a 1, el producto será un número
menor al original.
Si se multiplica un número por una fracción mayor a 1, el producto será un número mayor al original.
yyMultiplica los valores de la primera columna de la tabla por una fracción menor
que 1 y por otra mayor que 1. Comprueba que los valores disminuyen y aumentan, como indica la información anterior.
60
Eje: Número, álgebra y variación
La escala como un caso de proporcionalidad
2. Analiza la situación y la imagen correspondiente y haz lo que se pide.
Roberto tiene una fábrica de portarretratos y produce todos sus diseños en distintos
tamaños. Diseñó el siguiente portarretratos, pero ahora quiere hacerlo más chico,
con 6 cm de altura en lugar de 9 cm. Para tener claras todas las medidas de ambos
tamaños del portarretratos, Roberto hizo la siguiente tabla.
Medidas del
portarretratos
pequeño
(cm)
1
2
3
1 1
2
1
1 3
4
1 1
6
2 1
2
1 2
3
3
2
4
2 2
3
5
3 1
3
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ón
Medidas del
portarretratos
original
(cm)
9
6
ro
hi
a. Para calcular la longitud de la altura del rectángulo azul, en el portarretratos
pequeño, Roberto piensa que se debe multiplicar 4 por 2 . Explica por qué tie3
ne razón. Porque 2/3 es la constante de proporcionalidad
b. Completa la tabla con las medidas del portarretratos pequeño.
¿Qué estrategia seguiste para completar la tabla? R. M. Multipliqué la constante
de
proporcionalidad por cada medida original del portarretratos.
P
c.
yyComenta tus procedimientos con tus compañeros y tu profesor. Analicen si usaron el valor unitario o las propiedades de la proporcionalidad, como que cuando
una cantidad aumenta al doble, la otra también lo hace, etcétera.
Tema: Proporcionalidad
61
Lección 3
Tablas y gráficas de proporcionalidad
1. Analiza la información y haz lo que se pide.
En una tienda de videojuegos tienen diferentes ofertas. Completa la tabla con lo que
habría que pagar por los videojuegos de acuerdo con cada promoción.
VIDEO
JUEGOS
OFERTA
Precio
oferta 3
($)
140.00
140.00
280.00
200.00
140.00
280.00
280.00
340.00
420.00
4
5
420.00
400.00
560.00
540.00
560.00
700.00
6
560.00
600.00
840.00
7
700.00
740.00
980.00
8
840.00
800.00
1 120.00
9
840.00
940.00
1 260.00
1
Precio
oferta 1
($)
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1
Precio
oferta 2
($)
Número de
videojuegos
2
3
3 VIDEOJUEGOS
POR EL PRECIO DE 2
1 VIDEOJUEGO POR $140.00 Y
2 VIDEOJUEGOS POR $200.00
OFERTA
2
OFERTA
3
1 VIDEOJUEGO
POR $140.00
a. ¿Son proporcionales el número de videojuegos comprados y el precio en las diferentes opciones? Justifica tu respuesta. Solo en la oferta 3 porque aumenta
constantemente de acuerdo con el número de videojuegos.
b. En el siguiente plano cartesiano se graficaron las diferentes opciones que ofrece la tienda. Escribe la oferta correspondiente junto a cada gráfica.
Precio de videojuegos
1400
1200
Oferta 3
P
Precio ($)
ro
hi
1000
800
Oferta 1
600
400
200
0
Oferta 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Número de videojuegos
yy¿Cómo es la gráfica de la opción que corresponde a una relación de proporcionalidad? Es una línea recta.
62
Eje: Número, álgebra y variación
La gráfica que representa una relación de proporcionalidad entre los elementos de
dos conjuntos es una recta que pasa por el origen, es decir, que pasa por el punto (0, 0).
yyObserva de nuevo las gráficas de la página anterior. Comenten si alguna representa una relación de proporcionalidad y justifíquenlo matemáticamente.
1. Para que le convenga el
plan 1 deberá consumir menos de 138 minutos, para
1. Resuelve el problema.
que le convenga el plan 3
deberá consumir menos
Una compañía de teléfono celular ofrece tres planes. de 118 minutos y para que
le convenga el plan 2 debe
Plan 1: Pagar $2.50 el minuto
consumir más minutos que
Plan 2: Pagar $345 mensuales
en los otros dos planes.
Plan 3: Pagar $50 mensuales y $2.15 el minuto
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Aplica lo que aprendiste.
a. ¿Cuál plan conviene más? 1.
b. ¿Son proporcionales el número de minutos y la cantidad a pagar? Justifica tu
respuesta. El plan 1 sí es proporcional.
c.
Completa la tabla y grafica la relación entre minutos y costo de cada plan.
Minutos
Costo por
plan 1 ($)
Costo por
plan 2 ($)
Costo por
plan 3 ($)
30
0
75
345
345
50
114.5
60
150
345
179
90
225
345
243.5
120
300
345
308
150
375
345
372.5
0
P
ro
hi
Plan 2
Plan 3
Plan 1
Tiempo (min)
yyComenten qué procedimientos se pueden utilizar para encontrar cantidades faltantes en una relación de proporcionalidad, cuál les parece mejor y por qué.
Tema: Proporcionalidad
63
Secuencia
didáctica
Regla de tres
9
Contenido: Comprendes y usas la regla de tres en problemas diversos.
Lección 1
Proporcionalidad y valor unitario
1. Analiza la información y responde.
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ón
Pedro está trabajando en el negocio de su familia en las vacaciones de verano. Espera comprar unos tenis de $1 580 al final del verano. Hasta el momento lleva trabajando 12 días y le han pagado $654.
Platicando con sus hermanas, Rosa y Teresa, Pedro comenta que no está seguro si va
a poder comprar los tenis después de los 28 días que trabajará en total.
a. ¿Cómo puede saber Pedro si le alcanzará para los tenis? R. M. Dividiendo 654
entre 12 y multiplicando por 28.
b. Rosa le dice que por 24 días le pagarán el doble de lo que lleva. ¿Es cierto? Justifica tu respuesta. Sí, porque será el doble de tiempo laborado
c.
¿Esta información puede ayudar a Pedro? Explica por qué. R. M. Sí, porque de esta manera tendrá un cálculo más aproximado a lo que
juntará en total.
d. ¿Es suficiente conocer lo que le pagarán a Pedro en 24 días para saber si le alcanzará para los tenis? Justifica tu respuesta. No, debe saber cuánto le pagarán por día para saber si con los cuatro días faltantes juntará el dinero.
Pedro dice que prefiere utilizar el valor unitario y encontrar cuánto le van a pagar por
día.
hi
e. Encuentra el valor unitario y utilízalo para saber cuánto le pagarán a Pedro en
28 días. El valor unitario es $54.5, por los 28 días le pagarán $1 526.
¿Le alcanzará el dinero a Pedro para comprar los tenis? Explica cómo lo calcu-
ro
f.
P
laste. No le alcanzará. Se puede comprobar mediante una comparación del
precio de los tenis y el monto total de pago.
g. ¿Cuánto le sobrará o le faltará? Justifica tu respuesta. Le faltarán $54.
yyComenta tus respuestas con tus compañeros y con tu maestro.
64
Eje: Número, álgebra y variación
¿Cómo aplico la regla de tres?
1. Lee la situación y haz lo que se pide.
Teresa, que ya va en secundaria, dice que conoce otro método para encontrar lo que
le van a pagar a Pedro. Dice que para llevarlo a cabo se debe hacer lo siguiente:
yyPrimero hay que escribir las cantidades ordenadas de la siguiente manera:
Pesos
12
654
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Días
28
yyLuego se multiplica cruzando las cantidades conocidas: 28 3 654. El resultado se
divide entre el número conocido que queda, es decir, 12.
28 3 654 5
12
a. Entonces, a Pedro le pagarán $1 526
por trabajar 28 días.
b. Analiza el procedimiento que Teresa llevó a cabo para saber cuánto le van a pagar a Pedro.
yy¿Se parece a los procedimientos que has utilizado anteriormente para resolver
problemas de proporcionalidad? ¿En qué es diferente? R. M. No, es diferente porque no está encontrando el valor unitario.
Al procedimiento que utilizó Teresa se le conoce como regla de tres y sirve para encontrar valores que faltan en relaciones de proporcionalidad.
c.
Compara el procedimiento de Teresa con el de Pedro.
ro
hi
yy¿Se obtuvo el mismo resultado? Justifica tu respuesta. R. M. Sí, fue el mismo resultado porque el pago es proporcional con el dinero que obtendrá.
P
yy¿Son equivalentes la regla de tres que utilizó Teresa y el procedimiento que
usa el valor unitario? Explica por qué. R. M. Sí, son equivalentes porque en
ambas
relaciones hay proporcionalidad directa.
yy¿Para qué sirve la regla de tres? Escribe en tu cuaderno un párrafo describiendo
este procedimiento. Después compártelo con tus compañeros. Si lo consideras
necesario corrije o amplía tu explicación.
Tema: Proporcionalidad
65
Lección 2
La regla de tres y el valor unitario
1. Lee la situación y haz lo que se pide.
Laura fue con tres de sus amigas al cine y pagaron $520 por las entradas. ¿Cuánto
tendrán que pagar la siguiente vez si las acompañan otras dos amigas?
a. Utiliza la regla de tres para encontrar cuánto tendrán que pagar Laura y sus amigas.
4
6 520 3 6 780
520
4
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b. Resuelve el problema de nuevo, esta vez utiliza el valor unitario. 520
4 130, 130 3 6 780
yy¿Obtuviste el mismo resultado con ambos procedimientos? ¿Cuál prefieres
utilizar? Explica tu respuesta. R. L.
yyComparte tu respuesta con tus compañeros y, con ayuda del profesor, validen
sus procedimientos.
Practicar para avanzar
Resuelve los problemas en tu cuaderno.
1. Por cada 5 páginas que Joaquín puede leer, su hija Tania puede leer 3.
hi
yy¿Cuántas páginas leerá Tania en el tiempo que Joaquín lee un libro de 112 páginas? 67.2 páginas
yy¿Cuántas páginas puede leer Joaquín en el tiempo que Tania lee un cuento de 54 páginas?
90 páginas.
2. En la escuela de Mónica mandaron a hacer camisetas con el nombre del equipo de basquetbol. Tuvieron que pagar $2 348 por 50 camisetas. Si necesitan otras 15 camisetas, ¿cuánto
más tendrán que pagar? $704.4
3. Julio y su abuelo construyen casas para pájaros. En 5 h pueden armar 7 casas.
ro
yy¿Cuánto se tardarán en construir 10 casas? 7.14 horas
yy¿Y 15 casas? 10.71 horas
P
4. En el salón de Mario organizaron un viaje al zoológico y pagaron $1 260 por los boletos de entrada para 35 alumnos. ¿Cuánto tendrán que pagar por los boletos en el salón de Jimena, si
son 38 alumnos? $1 368
Comenta con tus compañeros los procedimientos que seguiste para resolver los problemas.
Valida tus respuestas.
66
Eje: Número, álgebra y variación
La regla de tres cuando no hay proporcionalidad
2. Lee la situación y responde.
En una papelería se venden cajas de 30 lápices a $39.99 cada una. Si se compran
5 cajas, la quinta es gratis. ¿Cuánto hay que pagar si se quiere comprar 180 lápices?
a. Intenta resolver el problema anterior utilizando la regla de tres.
yy¿Qué resultado obtuviste? $239.94
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yy¿Se tomó en cuenta la caja que dan gratis? R. M. Para la operación sí se consideró.
yy¿Son proporcionales el número de lápices y el costo? Explica tu respuesta.
No lo son, pues el número total de lápices no aumenta proporcionalmente.
yy¿Puedes utilizar el valor unitario para resolver el problema? Justifica tu respuesta. No, porque no cobrarán los 180, solo 150 lápices.
Observa que la regla de tres y el uso del valor unitario son procedimientos que puedes
utilizar solamente en situaciones en las que las cantidades se relacionan de manera
proporcional.
yyComenta tus respuestas con tus compañeros y con tu maestro. Elaboren una
conclusión grupal.
Aplica lo que aprendiste.
Resuelve los problemas en tu cuaderno.
hi
1. Susana descarga canciones por internet. En promedio, descarga 15 cada mes y el
mes pasado pagó $217.50.
P
ro
a. Si este mes pagó $261, ¿cuántas canciones descargó? 18 canciones
b. En otra compañía le ofrecen descargar 12 canciones por $168 al mes. Si hubiera
cambiado de compañía, ¿cuánto pagaría por las canciones que descargó este mes? $252
c. ¿Cuál compañía le conviene más? Justifica tu respuesta. a. La segunda pues le
cobran $0.5 menos por canción.
2. En la central de abastos se vende la caja de fresas de 9 kg en $165 y la caja de 25 kg
en $450. Si un supermercado quiere 65 kg de fresas, ¿cuántas cajas de cada tipo le
conviene comprar? Expón cómo aplicaste la regla de tres. El supermercado deberá comprar 7.2 cajas de 9 kg cada una, por las que pagará $1 188, mientras que si compra 2.6 cajas de 25 kg cada una pagará $1 170. Por lo cual le conviene más comprar 2.6 cajas de 25 kg ya que se ahorra $18 por cada pedido.
yyExplica qué procedimientos utilizaste para resolver los problemas y pregúntale
a un compañero cómo lo hizo.
Tema: Proporcionalidad
67
Secuencia
didáctica
Porcentaje como proporcionalidad
10
Lección 1
Contenido: Identificas el porcentaje como un caso particular de la proporcionalidad.
Significado de porcentaje
1. Analiza la información y responde.
©
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Felipe leyó un estudio en el que se indica que en las zonas urbanas de México 54%
de los niños y las niñas usa el transporte público para llegar a la escuela, mientras
que 5% utiliza la bicicleta, 20% llega caminando y el resto lo hace en automóvil
particular.
En la escuela de Felipe hay 540 alumnos inscritos y se localiza en una zona urbana.
Felipe cree que más de 300 alumnos llegan a la escuela en transporte público.
a. ¿Tiene razón Felipe? ¿Por qué? No, porque el número de alumnos que llegan
en transporte público debe ser más apegado a la mitad.
b. ¿Es cierto que más de la mitad de alumnos llega a la escuela en transporte público? Justifica tu respuesta. Sí, es cierto porque la mitad es el 50% y se plantea
que lo hace un 54%.
c.
Con base en la información del estudio, explica cómo obtienes el número de
alumnos que llega a la escuela en transporte público. Se puede obtener me-
diante el planteamiento de una relación de proporcionalidad.
d. ¿Es cierto que la cuarta parte de los alumnos llega caminando a la escuela? Justifica tu respuesta. No, porque solo llegan caminando 108 alumnos y si
fuera el 25% serían 135.
hi
e. ¿Qué porcentaje de estudiantes en las zonas urbanas llega en automóvil particular? ¿Cómo obtuviste la respuesta? El 21%, lo obtuve sumando 50% 5%
ro
20% y el resultado lo resté a 100% que son todos los alumnos.
P
f.
¿Qué quiere decir que 54% de los niños utiliza el transporte público? R. M.
Quiere decir que el 46% del alumnado utilizan un medio de transporte diferen te al público.
yyComenta tus respuestas con tus compañeros y con tu profesor. ¿Tus compañeros
usaron procedimientos similares?
68
Eje: Número, álgebra y variación
Una relación de proporcionalidad
1. Lee la situación y haz lo que se pide.
Tere compró un vestido que tenía 40% de descuento. Le dijeron que el descuento fue de $350 y para verificar que le cobraron la cantidad correcta, Tere
hizo una tabla.
a. Completa la tabla como lo hizo Tere. Considera que el porcentaje es una relación de proporcionalidad.
Equivalencia en pesos
40
350
60
525
100
875
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Porcentaje
yy¿Qué procedimiento utilizaste para completar la tabla? Coméntalo y valídalo
con tus compañeros. R. M. La regla de tres
yy¿Qué representa el 100% en este problema? El costo inicial del vestido.
yy¿Y el 60%? Lo que pagó por el vestido.
yy¿Cuánto pagó Tere por su vestido? $525
El porcentaje representa una razón entre dos cantidades, en la que una de ellas siempre
es 100. Por ejemplo, si se dice que 65% de los niños de una escuela tiene un perro como
mascota, esto quiere decir que, por cada 100 niños en la escuela, 65 tienen un perro.
En otra tienda, Tere vio unos zapatos que tenían 25% de descuento. Si los zapatos
costaban $580, ¿cuánto pagaría Tere por ellos?
b. Elabora una tabla como la de Tere para responder la pregunta.
Equivalencia en pesos
25
145
75
435
100
580
P
ro
hi
Porcentaje
yyTere habría pagado
$435
por los zapatos.
yy¿Qué representa el 100% en este caso? El costo de los zapatos sin descuento.
yyExpliquen en grupo a su profesor por qué se dice que el porcentaje es una razón.
Proporcionen ejemplos.
Tema: Proporcionalidad
69
Lección 2
Propiedades de la proporcionalidad y porcentaje
1. Lee las situaciones y haz lo que se pide.
Si 40% de una cantidad es 1 250...
a. ¿Cómo puedes encontrar el 20%? Estableciendo una relación de proporcionalidad.
b. Con estos datos, ¿es posible encontrar el 38.5%? Sí es posible.
¿Cómo puedes encontrar la cantidad original? Se puede encontrar estableciendo
la relación de proporcionalidad y aplicando la regla de tres.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
c.
Cuando se quiere calcular un porcentaje sobre alguna cantidad se tienen dos razones iguales y por tanto se establece una relación de proporcionalidad. Esto nos indica que se pueden utilizar las propiedades de la proporcionalidad para encontrar
porcentajes. Entonces, tenemos que si el porcentaje aumenta al doble, la cantidad
correspondiente también aumenta al doble. Por ejemplo, si el 30% de una cantidad
es 1 200, entonces el 60% será 2 400.
En el salón de Cristina quisieron investigar cuáles son los postres preferidos de los
alumnos. En el reporte final se obtuvo lo siguiente: a 10% le gusta el arroz con leche;
12 alumnos prefieren el flan napolitano; a 24 les gusta el helado, que corresponde a
40% de los alumnos; por último, 25% prefiere el pastel de tres leches.
a. Utiliza las propiedades de la proporcionalidad para responder lo siguiente.
yy¿A cuántos alumnos les gusta el arroz con leche? 6 alumnos
yy¿Qué porcentaje de alumnos prefiere el flan napolitano? 20%
yy¿A cuántos estudiantes les gusta el pastel de tres leches? 15 estudiantes
yy¿Cuántos alumnos hay en el salón? 57 alumnos
yyCompara tus respuestas y procedimientos con los de tus compañeros.
hi
Practicar para avanzar
Utiliza lo que sabes acerca de proporcionalidad para resolver los problemas en tu cuaderno.
P
ro
1. Unos pantalones tienen 30% de descuento en una tienda y 20% en otra. ¿Cuánto habrá que
pagar por ellos en cada tienda si su precio en ambas es de $685? En la que tiene el 30% de
descuento se debe pagar $479.5 y en la que tiene 20% de descuento se pagaría $548.
2. El 70% de los alumnos en el salón de Mario practica algún deporte; 35% realiza un deporte de equipo. Si 28 entrenan algún deporte, ¿cuántos participan en un deporte de equipo?
¿Cuántos estudiantes hay en el salón? 14 alumnos participan en un deporte. Hay 40 alumnos en el salón.
Comparte tus resultados y procedimientos con tus compañeros. Con ayuda del profesor valida tus respuestas.
70
Eje: Número, álgebra y variación
La regla de tres y porcentaje
2. Lee la situación y responde.
a. Si en un bosque la población de lobos disminuyó 20% en 5 años y ahora solo
quedan 1 268 lobos, ¿cuántos lobos había al principio? Había 1 585 lobos.
b. Mizar dice que el número de lobos que hay ahora corresponde a 80% de la cantidad inicial, ¿estás de acuerdo? Explica tu respuesta. R. M. Sí, porque si al
100% le quitamos el 20% nos queda 80% y es el dato que se conoce actualmente.
©
bi S
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su ti
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di n
st a
ri
bu
ci
ón
c.
Utiliza la regla de tres para completar la tabla.
Porcentaje
Número de lobos
20
317
80
1 268
100
1 585
d. ¿La población inicial de lobos menos el 20% da la población actual? ¿Por qué?
Sí, porque el 20% de la población inicial de lobos es 317 y entonces
1 585 317 1 268.
yyComprueba tus respuestas comparándolas con las de tus compañeros.
Aplica lo que aprendiste.
hi
1. Resuelve los problemas en tu cuaderno. Luego compara tus procedimientos y resultados con los de tus compañeros y valídenlos con su profesor.
P
ro
a. Si ahorraste $35 al comprar un producto que costaba menos de $60, ¿podrías
haber ahorrado el 50%? Justifica tu respuesta. No, porque si el producto costara los $60
el 50% serían $30 y si ahorré $35 es más del 50%.
b. La población de conejos en un lugar de Australia aumentó 200% en 2 años. Si la
población inicial era de 135 conejos, ¿cuál es la población de conejos ahora?
405 conejos.
c. Si conoces el 20% de una cantidad, ¿cómo calculas el 10% de la misma cantidad? ¿Y el 15%? Cualquier porcentaje se puede calcular estableciendo una relación de
proporcionalidad entre los porcentajes y la cantidad y aplicando regla de tres.
yyEn grupo, discutan qué es un porcentaje y expongan distintos procedimientos para
calcularlo. Con apoyo de su profesor, determinen cuáles son los más eficientes.
Tema: Proporcionalidad
71
Secuencia
didáctica
Problemas de porcentaje
11
Lección 1
Contenido: Resuelves problemas que implican calcular el porcentaje, el tanto por ciento o la cantidad base.
Distintas representaciones de un porcentaje
1. Analiza la información y responde.
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bu
ci
ón
Enrique dice que, de acuerdo con una encuesta que realizó, una cuarta parte de
los alumnos de su escuela lee más de diez libros al año, mientras que 50% lee
menos de cinco libros al año.
a. Si en la escuela hay 372 alumnos, ¿cuántos leen más de diez libros y cuántos menos de cinco? 93 alumnos
b. Cada una de las siguientes figuras representa el total de alumnos que hay en la
escuela de Enrique. Sombrea en una figura la parte correspondiente a los estudiantes que leen menos de cinco libros al año y, en la otra, la parte que representa a los que leen más de diez libros al año.
yy¿A qué porcentaje corresponde la cuarta parte de los alumnos? Explica cómo
lo calculaste. Corresponde al 25% y lo calculé mediante equivalencia de
P
ro
hi
fracciones
y números decimales.
yy¿A qué parte del entero corresponde el 50% de alumnos? Justifica tu respuesta.
Corresponde
a la mitad, pues al tomar 50 partes de un total de 100 de una
cantidad
es equivalente a 50/100 que también es 1/2.
yyCompara tus respuestas con las de tus compañeros.
72
Eje: Número, álgebra y variación
El porcentaje como fracción y como decimal
1. Lee la situación y haz lo que se pide.
Ana hizo en su escuela una encuesta similar a la de Enrique y notó que 20% de los estudiantes lee más de 10 libros al año.
una quinta parte del total.
a. ¿Qué parte representa del total? Representa
b. ¿En cuál de las dos escuelas hay mayor proporción de estudiantes que leen más
de 10 libros al año? En la escuela de Enrique
Si en la escuela de Ana hay 280 alumnos, ¿en cuál de las dos escuelas hay más
alumnos que leen más de 10 libros al año? Explica tu respuesta. En
la de Enrique
©
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da a
n
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bu
ci
ón
c.
porque
el 25% de 372 es 93 mientras que el 20% de 280 es 56.
d. Comenta las respuestas con tus compañeros y completa la tabla.
Porcentaje de
alumnos que leen
más de 10 libros
Fracción de alumnos Número de alumnos
que leen más de
que leen más de
10 libros
10 libros
Escuela de
Enrique
25%
1
4
93
Escuela de
Ana
20%
1
5
56
yyRevisen sus resultados con ayuda del profesor.
Un porcentaje representa una fracción de un entero dividido en 100 partes iguales. Esto
quiere decir que los porcentajes son fracciones con denominador igual a 100, aunque a
veces se simplifican en fracciones equivalentes con otros denominadores. Por ejemplo,
50% representa la fracción 50 , que se puede simplificar en 1 . Dado que los porcen100
2
tajes representan fracciones con denominador igual a 100, pueden también expresarse
como decimal: 50% 5 50 5 0.5
100
hi
2. Escribe en la tabla los valores que faltan.
ro
Porcentaje Fracción con denominador 100
20
100
25
25%
100
P
20%
80%
Decimal
0.2
Fracción equivalente
1
5
1
4
4
80 0.8
100
5
0.25
yyCon ayuda de su profesor, comenten cómo se relaciona el porcentaje con las
fracciones y con los decimales.
Tema: Proporcionalidad
73
Lección 2
Cantidad base
1. Lee la información y responde.
Supón que en el supermercado de tu colonia promueven las siguientes ofertas en
esta semana:
yyOferta 1: 10% de descuento en el total de cada compra.
yyOferta 2: Un descuento único de $150.
yyOferta 3: 20% de descuento en la siguiente compra.
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a. ¿Qué oferta te conviene escoger? Justifica tu respuesta. Depende del monto
de la compra.
b. Si tu primera compra es de $400 y la segunda es de $500, ¿qué oferta te conviene más? Justifica tu respuesta. Me conviene la oferta 2 porque en la oferta 1
pagaría en total $810, en la oferta 2: $750 y en la oferta 3: $800.
2. Completa la tabla para decidir qué oferta conviene más. Si lo necesitas, agrega
renglones a la tabla en tu cuaderno.
Compra 1
Compra 2
Descuento
oferta 1
Descuento
oferta 2
500
0
50
150
500
Descuento
oferta 3
0
500
100
150
1 000
150
150
200
100
150
0
1 000
500
150
150
100
1 000
1 000
200
150
200
1 500
0
150
150
0
500
1 000
0
100
a. Después de completar la tabla, ¿qué oferta elegirías? Justifica tu respuesta.
P
ro
hi
Si
el monto total de las compras es igual o menor a $1 500, elegiría la oferta 2 y
si
es mayor a $1 500 y la segunda compra es mayor, elegiría la oferta 3.
Observa que el cálculo de porcentajes siempre depende de la cantidad base, es decir,
de la cantidad con respecto a la cual obtendrás el porcentaje. Si la cantidad base cambia,
la cantidad que representa el porcentaje también cambiará.
yyComenta con tus compañeros qué oferta eligieron y por qué. Discutan qué sucedería con el porcentaje correspondiente si la cantidad base aumentara, por
ejemplo, al doble.
74
Eje: Número, álgebra y variación
Cálculo de porcentajes sobre distintas bases
3. Lee la situación y haz lo que se pide para resolver el problema.
En una tienda de cocinas, la mamá de Karla ve que una estufa tiene 50% de descuento y que el precio original es de $4 000. Algunos días después, la misma estufa
tiene un letrero que dice “Descuento sobre descuento: 20% de descuento adicional”. Tres días después ve que hay una oferta con 10% adicional en toda la tienda sobre lo ya rebajado. ¿Cuánto tendría que pagar la mamá de Karla si decidiera comprar
la estufa?
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a. ¿Cuánto se descontará por el 50% que se hará sobre el precio original?
$2 000
b. ¿En cuánto queda el precio de la estufa después de este descuento?
$2 000
¿Cuál sería el precio después del 20% adicional? $1
600
d. ¿Y después del 10% sobre lo rebajado? $1 440
c.
e. ¿En cuánto quedaría el precio de la estufa si se le aplicara 80% de descuento al
precio original? $800
f.
¿Son iguales las cantidades? Justifica tu respuesta. No porque la cantidad
base cambia en cada situación.
Practicar para avanzar
Resuelve los problemas.
1. En una librería hay una oferta que dice “30% de descuento y 15% adicional sobre lo ya rebajado”.
a. ¿Cuánto hay que pagar por un libro cuyo precio original es de $240? $142.8
b. ¿Se rebajará 45%? No
hi
2. En una ciudad, 40% de las personas habla al menos dos idiomas. De ellas, 25% habla español y alemán.
P
ro
a. Si en la ciudad hay 10 500 personas, ¿cuántas personas hablan español y alemán?
1 050 persob. ¿Son 65% del total de habitantes de la ciudad?
nas hablan
No
3. La quinta parte de los alumnos en el salón de Samuel faltó a clases por varicela. español y
alemán.
a. Si hay 35 alumnos en el salón, ¿cuántos se austentaron? 7 alumnos
Comenta tus resultados y procedimientos con tus compañeros. Con apoyo del profesor determinen cuáles son los más eficientes.
Tema: Proporcionalidad
75
Lección 3
Cálculo de la cantidad base
1. Lee la situación y responde.
Una tienda tiene 20% de descuento en sus televisiones durante una semana. Al finalizar la semana, el encargado quiere regresar los precios a los originales, pero no encuentra la lista de precios.
a. ¿Cómo puede el encargado encontrar el precio original de las televisiones?
Multiplicando el precio de cada televisor por 100 y dividiéndolo entre 80.
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b. ¿Sería correcto añadir 20% a los precios con descuento? Explica.
No, porque ese porcentaje no corresponde al 20% del precio original, sino al
precio con descuento.
c.
Supón que la siguiente figura representa el precio original de una televisión.
yy¿Cómo se representa el 20% de descuento?
Tachando
5 cuadritos del total.
yy¿Se obtiene una cantidad mayor o menor que la original?
Explica. Una cantidad menor, pues es una parte de la cantidad
original.
d. Para saber cómo encontrar el precio original, supón que el precio con descuento, que conoce el empleado, es de $4 000. Completa la tabla para encontrar el
precio original. Puedes utilizar la regla de tres.
Precio ($)
Porcentaje
100%
4 000
80%
hi
5 000
P
ro
yyComenta con tus compañeros el procedimiento que se puede seguir para encontrar la cantidad base cuando se conoce la cantidad a la cual se le ha aumentado
o disminuido un porcentaje.
76
Herramientas académicas
Utiliza una hoja de cálculo para obtener el 13% de 10 cantidades diferentes que tú
propongas. Para esto, multiplica las cantidades por 0.13, por ejemplo si la cantidad base
está en la celda D4 ingresa en la celda E4 la fórmula "=D4*0.13". Después calcula el 13%
sobre las cantidades que obtuviste como resultado. Comenta con tus compañeros cómo
se utiliza la hoja de cálculo para calcular porcentajes.
Eje: Número, álgebra y variación
Cálculo del tanto por ciento
2. Lee y responde.
Carlos compró por $5 000 un refrigerador cuyo precio original era de $7 500.
a. ¿Qué porcentaje le rebajaron? 33.3%
b. ¿Cuánto ahorró Carlos? $2 500
Utiliza la regla de tres para encontrar el porcentaje que le descontaron. Completa
la tabla.
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c.
Costo ($)
Porcentaje (%)
7 500
100
7 500 5 000
2 500
33.3
yy¿Cuál fue el porcentaje de rebaja? 33.3%
d. Un producto que costaba $2 800 fue rebajado 40% y después 20%. Completa las
tablas para encontrar el porcentaje total de la rebaja.
Costo ($)
Porcentaje (%)
Costo ($)
Porcentaje (%)
100
2 800
1 120
100
1 120
40
224
20
yy¿Cuál fue el porcentaje total de rebaja? 48%
yy¿Cuál es el precio final del artículo? $1 344
yy¿De cuánto fue el descuento total? $1 456
hi
yyComenten en grupo qué procedimientos pueden utilizar para calcular la cantidad base cuando se conoce el porcentaje que se aplicó y el resultado de haberlo
aplicado. Discutan cómo se obtiene el porcentaje que se aplicó, dadas la cantidad base y la cantidad que resultó al aplicar el porcentaje.
Aplica lo que aprendiste.
1. a.
No, porque
suponiendo
que $85
fueran
el 25%,
el costo
total del
producto
sería de
$340.
ro
1. Resuelve los problemas en tu cuaderno.
P
a. Un producto aumentó $85. El aumento fue menor al 25% ¿El producto pudo haber costado $200? Explica tu respuesta.
b. ¿Cuál es el porcentaje de cambio si el precio de un artículo aumenta 50% y posteriormente disminuye 50%? Se reduciría en 25%.
yyAplica lo que aprendiste en tu clase de Español y haz un resumen de los procedimientos que utilizaste en la secuencia para calcular porcentajes. Luego compártelo con tus compañeros.
Tema: Proporcionalidad
77
Secuencia
didáctica
Perímetro
12
Lección 1
Contenido: Deduces, comparas y aplicas fórmulas para calcular perímetros de polígonos (triángulos y cuadriláteros)
usando literales.
¿Cuántos lados tiene una figura?
1. Lee y resuelve.
©
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ci
ón
Un fabricante de letras de acrílico cobra $12.00 por cada lado que estas tienen. Escogió
esta estrategia porque entre mayor número de lados, es mayor la dificultad al cortar
cada letra.
a. Observa las letras y calcula el costo de cada una. Con base en el ejemplo, completa
la tabla. Considera que puede haber varias letras con el mismo número de lados.
Número de lados
Costo ($)
M, W
13
13 3 12 5 156
E, H, K, X
12
12 3 12 5 144
F, N, Z
10
10 3 12 5 120
Y
9
9 3 12 5 108
T
8
8 3 12 5 96
V
7
7 3 12 5 84
L
6
6 3 12 5 72
I
4
4 3 12 5 48
ro
hi
Letras
P
b. ¿Cuál es la letra más barata?
c.
La I
¿Y cuál es la letra más cara? La M y la W
¿De qué otra manera se puede calcular el costo de cada letra? Justifica tu respuesta. R.
M. Conociendo la medida de sus lados y cobrando por centímetro.
yyComenta con tus compañeros las ventajas y las desventajas de las distintas maneras de calcular el costo de cada letra. Considera la cantidad de material y la
dificultad de los cortes.
78
Eje: Forma, espacio y medida
Lados y perímetro
1. Resuelve el problema y responde.
Para determinar el precio de venta, otro fabricante decide multiplicar el perímetro
de cada letra, dado en centímetros, por $1.50.
a. Mide los lados de las siguientes letras, calcula su perímetro y precio de venta. Completa la tabla con tus resultados.
Glosario
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ri
bu
ci
ón
perímetro. El
perímetro de una
figura geométrica
es la medida de su
contorno.
Letras
Perímetro
Costo ($)
E
10.8 cm
16.20
A
12.4 cm
18.60
b. ¿Las letras que tienen más lados tienen mayor perímetro? Argumenta.
No, depende qué tan alta o ancha se trace.
c.
¿Una figura geométrica con más lados que otra tendrá mayor perímetro? Explica por qué. No, depende de la longitud de cada uno de sus lados.
d. Dibuja dos figuras geométricas que te permitan ilustrar tu respuesta.
hi
yyComenta tus respuestas con tus compañeros y elaboren una conclusión grupal.
ro
2. Traza segmentos para dividir la letra E en rectángulos y la letra A en triángulos, trapecios, romboides, rombos y rectángulos.
P
a. Describe las figuras en que quedaron divididas las letras. Considera las características esenciales que las diferencian de las otras figuras que conoces.
yyLetra E: R. M. Se dividió en 4 rectángulos, dos del mismo tamaño, uno más chico y otro más grande.
yyLetra A: R. M. Se dividió en un triángulo isósceles y 3 trapecios isósceles, dos
del mismo tamaño y uno más pequeño.
yyComenta con tus compañeros las descripciones de las figuras y, con base en estas, definan cada una de ellas. Lleguen a acuerdos con ayuda de su profesor.
Tema: Magnitudes y medidas
79
Lección 2
Perímetros y literales
1. Observa las figuras y las letras escritas en cada uno de los lados.
f
b
a
f
f
©
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ri
bu
ci
ón
a
b
f
a. Explica por qué en el rectángulo se usan dos letras diferentes y en el cuadrado
solo una. En el rectángulo se usan dos letras diferentes porque una representa
el largo y la otra el ancho y no miden lo mismo, en el cuadrado se utiliza solo una
letra porque la longitud de la altura y la base son iguales.
b. ¿Qué representa cada una de las letras? Representa cada una de las longitudes.
c.
Si conocieras los valores que corresponden a las letras a, b y f, ¿cómo calcularías
el perímetro del rectángulo y del cuadrado? Sumando el valor de los cuatro lados
de cada uno.
d. Si no conocieras los valores de las letras a, b y f, ¿cómo expresarías el perímetro
de estas figuras usando esas letras?
yyPerímetro del rectángulo: a 1 a 1 b 1 b
yyPerímetro del cuadrado: f 1 f 1 f 1 f
yyCompara tus respuestas con las de tus compañeros y observa si coinciden.
P
ro
hi
Para representar valores indeterminados, es decir, que no se conocen, se utilizan letras
o literales. Para representar cantidades iguales con literales se usa la misma letra. Para
representar cantidades diferentes se emplean literales diferentes. En geometría, con frecuencia, se utiliza como literal la letra inicial de lo que se quiere representar, por ejemplo,
base (b), radio (r); sin embargo, se puede usar cualquier letra del alfabeto.
e. Retoma el caso del rectángulo y responde. ¿Se obtendrá el mismo resultado si
sumamos a + a + b + b que a + b + a + b? Explica por qué.
Sí, se obtiene el mismo resultado porque solo se cambia el orden de las letras,
f.
no el valor que pueda tener.
¿Por qué el perímetro del cuadrado se puede representar como 4f?
R. M. Porque el sumar cuatro veces el valor de f es igual a multiplicar el valor
de f por 4.
80
Eje: Forma, espacio y medida
La expresión 4f es equivalente a 4 3 f ; es decir, si no se escribe un signo de suma, resta,
multiplicación o división entre una literal y un número, entonces representa una multiplicación. La expresión 4(f ) también representa una multiplicación.
g. Explica por qué el perímetro del rectángulo se puede representar como 2a 1 2b.
Porque
a 1 a 5 2a y b 1 b 5 2b, entonces a 1 a 1 b 1 b 5 2a 1 2b
i.
©
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bu
ci
ón
h. Explica por qué el perímetro del rectángulo también se puede representar como
2(a 1 b). Porque la suma a 1 b 1 a 1 b equivale a sumar dos veces a 1 b, es decir 2(a 1 b).
¿Qué símbolo matemático se podría escribir entre el 2 y el paréntesis en la expresión 2(a 1 b)? El signo 3
yyComprueben si sus explicaciones son correctas con ayuda del profesor.
Practicar para avanzar
Resuelve y justifica tus respuestas.
1. Escribe una literal en cada uno de los lados de cada figura. Con esas letras propón la fórmula
que representa su perímetro.
e
i
b
c
c
a
d
f
h
h
a
c
c
g
j
b
2a 1 2b
4c
d1 e1 f1 g
2h 1 i 1 j
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si usaron literales diferentes, ¿son equivalentes sus fórmulas?, ¿cómo lo pueden comprobar?
2. Haz lo que se pide y completa la tabla.
P
ro
hi
a. Indica, en cada caso, si el triángulo es equilátero, isósceles o escaleno. Anota una
literal junto a cada lado de los triángulos y escribe la fórmula que represente su
perímetro.
a
b
c
c
c
d
Triángulo
b
Isósceles
Equilátero
f
Escaleno
Perímetro
a 1 2b
3c
d1e1f
e
yyCompara tus resultados con los de tus compañeros.
Tema: Magntudes y medidas
81
Aplica lo que aprendiste.
1. Anota las literales que hacen falta en cada uno de los lados de las letras y responde.
t
2 m 1p
r
m
m
k
h 1 d
h
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
e
d
p
t1e
a. ¿Cuál es la fórmula que representa el perímetro de la letra T? 4m 1 2p 1 2r 1 2k
b. ¿Cuál es la fórmula que representa el perímetro de la letra L? 2h 1 2d 1 2t 1 2e
c.
Asigna valores a las literales en las figuras anteriores y calcula su perímetro.
R. L.
2. Resuelve.
a. Si el perímetro de un romboide está dado por la fórmula 2(a + b), ¿cuánto mide
su perímetro si a = 5 cm y b = 8 cm? 26 cm
b. Si el perímetro de un rombo está dado por la fórmula 4k, ¿cuánto mide su perímetro si k = 8.5 cm? 34 cm
Explica por qué la fórmula para calcular el perímetro de un romboide es la misma que para calcular el perímetro de un rectángulo. Porque como en el rectán-
hi
c.
gulo, en el romboide son iguales sus lados opuestos y desiguales los contiguos.
ro
P
d. Explica por qué la fórmula para calcular el perímetro de un rombo es la misma
que para calcular el perímetro de un cuadrado. Porque como en el cuadrado, en el rombo son iguales todos sus lados.
yyComenta con el grupo tus explicaciones. Con apoyo de su profesor, elaboren una
conclusión grupal.
82
Eje: Forma, espacio y medida
Resuelvo con tecnología
Construcción y perímetro de cuadriláteros
Sigue las instrucciones y traza un rectángulo.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
1. Visita la página www.geogebra.org/?lang=es y selecciona la opción Geometría.
Imagen 1
2. Para construir un rectángulo haz lo siguiente:
yyPosiciónate en la herramienta Recta y traza un segmento.
yyAhora selecciona la herramienta Perpendicular y da clic en el segmento y en uno de sus puntos extremos. Haz lo mismo para el otro punto (ver imagen 2).
yyUsa la herramienta Punto y coloca un punto en una de las rectas verticales.
yySelecciona la herramienta “Perpendicular”. Da clic en el
punto que acabas de crear y en la recta vertical.
P
ro
hi
Imagen 2
yyMarca el punto donde se interseca la nueva recta horizontal con la recta vertical. Elige la herramienta Punto y,
con la manita que aparece, marca el punto por donde pasará la recta paralela a la base. Se debe formar un rectángulo como el de la imagen 3.
3. Oculta las rectas verticales y la horizontal, en su lugar traza segmentos. Para ello, con la flecha señala una de las
rectas, oprime el botón derecho del ratón y da clic en Objeto Visible. Repite el procedimiento para las otras dos
rectas. Traza los segmentos que faltan para construir
el rectángulo.
Imagen 3
83
4. Usa la flecha para mover cualquier vértice, modificar el tamaño y el ángulo de inclinación del rectángulo, como se muestra en la imagen 4.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Imagen 4
5. Para saber la longitud de cada lado del rectángulo, haz lo siguiente:
y luego en Vista Algebraica.
yyDel lado derecho de la pantalla, da clic en el símbolo
yyEn el lado izquierdo de la pantalla aparecerá una lista con las coordenadas de todos los vértices
del rectángulo y la longitud de sus lados. Calcula el perímetro del rectángulo (imagen 5).
yyPara etiquetar los vértices, da clic en uno de ellos, oprime el botón derecho del ratón y elige
Etiqueta Visible. Repite el proceso para los otros vértices (imagen 6).
Imagen 5
Imagen 6
Analiza la figura, los datos que obtuviste y escribe cuánto mide el perímetro del rectángulo.
hi
6. A partir de la exploración que realizaste, contesta. Argumenta cada caso.
ro
a. ¿Qué procedimientos usarías para trazar un rombo? R. M. Trazaría dos segmentos de igual
longitud unidos por el vértice y sobre cada uno trazaría una recta paralela al otro.
P
b. ¿Qué procedimiento usarías para trazar un cuadrado? R. M. Utilizaría el procedimiento para
c.
el trazado del rectángulo, pero le daría la misma longitud a cada segmento.
¿Qué procedimiento usarías para trazar un trapecio? R. M. Trazaría dos segmentos paralelos
de diferente tamaño y uniría los extremos para formar el trapecio.
Reúnete con un compañero, comenten los procedimientos propuestos y lleguen a una conclusión
sobre el método que se debe aplicar para trazar los cuadriláteros. Luego constrúyanlos.
84
Reviso mi trayecto
Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de
los contenidos que tienes que repasar.
1. El sitio de taxis A cobra $25 el banderazo y $1.50 por cada minuto. El sitio de taxis
B cobra $3.50 por cada minuto, sin banderazo inicial.
©
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ci
ón
a. Completa la tabla y construye las gráficas que describan cada caso.
Tiempo
(minutos)
Taxis A
Tarifa en pesos
5
32.5
17.5
10
40
35
15
47.5
52.5
20
55
70
Taxis
A
Tiempo (minutos)
Taxis B
Tarifa en pesos
Taxis
B
Tiempo (minutos)
b. ¿Cuál sitio de taxis conviene usar? Argumenta.
Hasta el minuto 13 conviene el sitio de taxis B y a partir del minuto 14 conviene
hi
el sitio de taxis A.
P
ro
2. En la primera semana de un curso de verano se usaron 3 de kg de cuentas ver4
des, 2 1 de kg de cuentas azules y 1 2 de kg de cuentas rojas. La segunda semana
5
3
asistirán el triple de niños. Si las cuentas se reparten proporcionalmente, ¿cuántas se necesitarán de cada color? Se necesitarán 2 1/4 de kg de cuentas verdes, 6
3/5 de kg de cuentas azules y 5 kg de cuentas rojas.
3. Jaime pagó $396.75 por su consumo en un restaurante, incluyendo 15% de propina.
¿Cuánto fue el total de su consumo sin considerar la propina? $345.00
85
Secuencia
didáctica
Perímetro del círculo
13
Lección 1
Contenido: Deduces, comparas y aplicas fórmulas para calcular el perímetro del círculo.
Círculo y circunferencia
1. Lee el texto y completa la tabla.
©
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ri
bu
ci
ón
Iván e Isaac planean abrir un restaurante y mandarán a hacer mesas redondas para
atender a 4, 5, 6, 7, 8 o 9 personas. Para solicitar las mesas, necesitan indicar al carpintero el diámetro y el perímetro de cada una.
Considera que se requiere de
75 cm para la colocación del
servicio (platos, vasos y cubiertos, entre otros) por persona y estima las medidas.
75 cm
Número de personas
Perímetro
4
300 cm
5
375 cm
6
450 cm
yyComenta con tus compañeros el procedimiento que utilizaste para obtener los perímetros de las mesas. Analicen cómo podrían encontrar la medida del diámetro.
El número p (pi)
1. Reúnete con dos compañeros y consigan regla, compás, hojas de reúso, tijeras, listón o cuerda y calculadora. Luego realicen la actividad.
Glosario
a. Recorten 4 círculos diferentes con diámetro mayor a 10 cm.
b. Coloquen el listón o la cuerda sobre la circunferencia, extiéndanlo y
midan su longitud.
c. Con los resultados de sus mediciones, completen la tabla. R. M.
Longitud de la
circunferencia
Longitud del
diámetro
1
34.54
11
3.14
2
37.68
12
3.14
3
40.82
13
3.14
4
43.96
14
3.14
ro
P
Longitud de la circunferencia
Círculo
hi
circunferencia.
Se le llama así
al contorno del
círculo, por tanto,
el perímetro del
círculo es igual a
la longitud de la
circunferencia.
Longitud del diámetro
yy¿Cómo cambia la medida de la circunferencia conforme aumenta el diámetro?
Aumenta de manera proporcional al diámetro.
yy¿Qué relación encuentran entre la longitud de la circunferencia y su diámetro?
Que si se divide la longitud de la circunferencia entre el diámetro, el resultado
es 3.14.
yyComparen sus resultados con los de otros compañeros y comenten sus respuestas. ¿Encontraron la misma relación? ¿A qué creen que se debe esto?
86
Eje: Forma, espacio y medida
2. Observen los resultados de la cuarta columna y contesten.
a. ¿Los datos varían dependiendo del tamaño del círculo que midieron? ¿A qué se
debe? R. M. Varían muy poco y se debe a que existe una relación entre el
diámetro y la medida de la circunferencia.
b. ¿Qué tanto varían los datos anotados en la cuarta columna? ¿Qué deben hacer
para que sean más precisos sus resultados? R. M. Varían por centésimos, se
tendría que tener más precisión al realizar la medición.
©
bi S
da a
n
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lla
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ón
yyComenten sus conclusiones con su profesor.
Al dividir el valor de la longitud de una circunferencia de cualquier círculo entre la longitud de su diámetro se obtiene un mismo valor. Este número se conoce como pi y se representa con la letra griega .
5 Longitud de la circuferencia
Longitud del diámetro
El valor de no se puede representar con un número natural ni con una fracción, ya que
tiene una cantidad infinita de decimales y no tiene periodo. Para realizar operaciones y
calcular la longitud de la circunferencia, es suficiente redondear a 4 cifras decimales,
o sea 3.1416.
a. Una multiplicación por
3.14
3. Con base en lo anterior, responde en tu cuaderno.
hi
a. Si conoces cuánto mide el diámetro de un círculo, ¿qué operación
debes hacer para calcular la longitud de la circunferencia?
b. Si d = diámetro y c = longitud de la circunferencia, escribe una fórmula para calcular el perímetro del círculo. c 5 d 3.14
c. ¿Cómo puedes calcular la longitud de una circunferencia si solo se
tiene el valor de su radio? Multiplicando dos veces el radio por 3.14
d. Si conoces cuánto mide la longitud de la circunferencia, ¿qué operación debes hacer para calcular el diámetro?
Una división entre 3.14
yyCompara la respuesta del inciso d con la idea que plantearon en la
actividad inicial. ¿Se mantuvo o varió? ¿A qué se debe esto?
Herramientas
académicas
Ingresa a la
siguiente página
y consulta los
primeros 1 500
decimales de p.
www.esant.mx/
fasema1-004
Practicar para avanzar
ro
Resuelve los problemas.
P
1. Si sobre el ecuador se colocara un cable de fibra óptica (o un hilo que no se estire) y luego se
añadiera un metro, ¿podría pasar un ratón entre el cable y la Tierra?
Una pista. Compara el radio de la Tierra con el radio de la circunferencia de fibra óptica. Considera que el radio de la Tierra mide 6 371 km. Si pasaría, pues se añaden aproximadamente 10 cm al radio.
2. ¿Cuánto aumentaría la longitud de un cable si se colocara a un metro de altura sobre la circunferencia de la Tierra, en relación con la longitud de la circunferencia terrestre?
Aumentaría 0.0000020412 km
Tema: Magnitudes y medidas
87
Lección 2
Diámetro del círculo
1. Retoma el problema inicial de la secuencia y responde.
a. Iván e Isaac quieren que cada persona ocupe 75 cm del perímetro de la mesa.
¿Cómo pueden calcular Iván e Isaac el diámetro de las mesas que necesitan?
A partir del número de clientes que se sentarán por mesa se obtiene la longitud
de la circunferencia y se divide entre 3.1416 para conocer el diámetro.
©
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ci
ón
b. Considera que se compran mesas para 4 personas. Calcula cuánto deben medir
el perímetro y el diámetro de cada mesa.
Perímetro: 4 3 75 cm 5 300 cm, Diámetro 5 300 cm < 95 cm 5 .95 m
3.1416
c.
Iván planea mandar fabricar las mesas que necesitan considerando 4, 5 o 6 personas por mesa. Completa la siguiente tabla para conocer el diámetro de las
mesas que pedirá al fabricante.
Clientes en cada mesa
Perímetro
Diámetro
4
300
.95 m
5
375
1.19 m
6
450
1.43 m
Perímetro (cm)
hi
d. Isaac sabe que algunas mesas redondas se producen con diámetros de 100,
120, 150, 160 y 180 cm. Completa la tabla para saber cuántas personas podrían
sentarse alrededor de cada mesa, si se consideran para cada persona 60 y 75
cm del perímetro.
Número de personas
(60 cm por persona)
Número de personas
(75 cm por persona)
100
314.16
5
4
120
376.992
6
5
150
471.24
8
6
160
502.656
8
7
180
565.488
9
8
P
ro
Diámetro (cm)
yyCompara tus resultados y tus procedimientos con tus compañeros. Juntos decidan cómo interpretar los resultados que contienen números decimales. Con
ayuda del profesor, concluyan cuántas sillas pondrían alrededor de cada mesa
tomando en cuenta los diferentes diámetros.
88
Eje: Forma, espacio y medida
Aplica lo que aprendiste.
1. Resuelve los problemas.
a. En 2013 fue inaugurada la Estrella de Puebla, una rueda de la fortuna que tiene
74 metros de diámetro. Si cuenta con 54 cabinas, ¿cuál es la distancia aproximada entre dos cabinas?
©
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ri
bu
ci
ón
4.3 metros aproximadamente
b. Un atleta correrá alrededor de una
pista circular que mide 400 m de longitud. Calcula el radio de la pista.
Otro atleta correrá en otra pista circular cuyo radio mide 1.22 m más que
el radio de la pista en la que corre el
primer atleta. ¿Qué distancia recorre
el segundo atleta al dar una vuelta
completa a la pista?
El radio de la primera pista es de 63.66 metros. El segundo atleta recorre
407.66 metros.
c.
Desde la Antigüedad, diferentes culturas han tratado de encontrar las cifras de
p. En la vieja Babilonia, p era igual a 3. En el viejo Egipto, p era igual a 3.1605.
Aproxima el valor de p resolviendo las siguientes operaciones, las cuales forman parte de una serie, encontrada por el matemático y astrónomo indio
Kelallur Nilakantha Somayaji (1444-1544).
4
4
4
4
4
1
2
1
2
23334
43536
63738
8 3 9 3 10
10 3 11 3 12
hi
p31
2
4
12 3 13 3 14
P
ro
d. Plantea un problema que se te haya presentado en que tuviste que calcular la longitud de una circunferencia. Intercámbialo con un compañero para que lo resuelva.
R. L.
yyComenta con el grupo qué relación tienen el diámetro de cualquier circunferencia y la longitud de esta. ¿Será siempre la misma en todos los círculos?
Argumenta tu respuesta.
Tema: Magnitudes y medidas
89
Secuencia
didáctica
Áreas de triángulos y cuadriláteros
14
Lección 1
Contenido: Deduces, comparas y aplicas fórmulas para calcular el área de triángulos y cuadriláteros, usando literales.
Calculas cualesquiera de las dimensiones involucradas en la fórmula.
Área de rectángulos y cuadrados
1. Lee el problema y responde.
©
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ri
bu
ci
ón
En el diseño de un parque se usarán palabras hechas con flores, como las que se muestran en la
imagen de la izquierda. Para calcular el costo y la
cantidad de plantas que se sembrará, es necesario conocer el área que ocupará cada letra.
Las matemáticas
también se aplican en el diseño
de jardines.
El encargado del proyecto determinó que en
cada metro cuadrado se deben sembrar 16 plantas. Por tanto, cada planta requiere 625 cm2.
a. Calcula cuántas plantas se requieren para cubrir la superficie de la letra E. Para
ello, sepárala en varios rectángulos y calcula su área tomando en cuenta las medidas dadas.
yy¿Cuál es el área total de la letra E en cm2? 77 cm
5 304 cm2
48 cm
14 cm
20 cm
yy¿Cuántas plantas se deben colocar para formar la letra E? 8 plantas
43 cm
18 cm
18 cm
yyExplica cómo obtuviste el área total de la letra.
R.
M. Obteniendo el área de los rectángulos
48 cm
20 cm
que
la forman.
yyExplica cómo separaste la letra en rectángulos y cómo obtuviste los valores necesarios para calcular sus áreas.
hi
b. El encargado del proyecto dividió algunas letras en rectángulos. Completa la tabla con las medidas que se muestran.
Altura (cm)
Área (cm2)
77
20
1 540
2
34
18
612
0
29
70
2 030
b
a
b3a
3
(b 3 a)/625
x
x
x2
x2/625
P
ro
Base (cm)
Número de plantas
yyComenta con tus compañeros qué hiciste para obtener el número de plantas y
qué significa que la base y la altura del último rectángulo midan x cm.
90
Eje: Forma, espacio y medida
Área del triángulo
1. Realiza lo que se pide. Observa las figuras y contesta.
a. Observa el rectángulo que se muestra, ¿qué relación existe entre el
área del rectángulo y el área de uno de los triángulos formados?
El
área del rectángulo es el doble del área de cada triángulo formado.
c.
©
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ri
bu
ci
ón
b. El área del rectángulo se obtiene con la expresión b 3 a. Escribe
una fórmula para calcular el área del triángulo verde.
1 b3a
Área del triángulo verde: 2
¿Se puede usar la misma fórmula para calcular el área de un triángulo que no contenga un ángulo recto? Argumenta tu respuesta.
R.
M. Sí, porque realizando los trazos necesarios podemos colocar
el
triángulo dentro de un cuadrilátero.
d. El segmento BD es la altura del triángulo ABC, tomando como base
el lado AC. Observa la figura y completa la tabla indicando qué relación existe entre las áreas de las figuras.
Figuras
Relación entre las áreas
Triángulo AEB y triángulo BDA
Son iguales
Triángulo BFC y triángulo CDB
Son iguales
Triángulo BDA y rectángulo BDAE
El área del triángulo es la mitad.
Triángulo CDB y rectángulo CDBF
El área del triángulo es la mitad.
Triángulo ABC y rectángulo AEFC
El área del triángulo es la mitad.
Glosario
yy¿Aplica la misma fórmula para encontrar el área de este triángulo
que el del caso anterior? ¿Por qué? Sí, porque el área del triángulo es la mitad del área del rectángulo.
e. Observa el triángulo morado y responde.
altura del
triángulo. Es
un segmento
perpendicular que
va de una de las
bases al vértice
opuesto.
hi
yy¿Cuál es la literal que corresponde a la altura del triángulo ABC? m
ro
yyExplica cómo puedes encontrar el área del triángulo ABC a partir
de las áreas de los triángulos ACD y ABD. Calculando el área de
ambos triángulos y luego restándolas entre sí.
P
yyConsidera los valores m = 12 cm, j = 6 cm y n = 5 cm y verifica si el
área del triángulo ABC concuerda con la que se obtiene aplicando la fórmula que utilizaste en los ejemplos anteriores.
Sí concuerda, el área es 36 cm2.
yyCon ayuda del profesor analicen la información obtenida. Comenten si se puede aplicar la fórmula sin importar qué lado se tome como base y si existe algún
caso que no se haya contemplado.
Tema: Magnitudes y medidas
91
Lección 2
El romboide
1. Analiza las imágenes y resuelve.
A
B
C
D
x
z
y
b. Explica cómo podrías calcular el área del romboide
BIGJ a partir del área del rectángulo BCGF y de los
triángulos BCI y GFJ.
Restando
al área del rectángulo BCGF el área de los
J
I
z
a. ¿Qué figuras geométricas componen la letra N?
Rectángulos,
triángulos y un romboide.
©
bi S
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n
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lla
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st a
ri
bu
ci
ón
y
x
E
F
G
H
triángulos
BCI y GFJ.
Algunas literales representan puntos de la figura y otras literales, las longitudes de segmentos. Por ejemplo, la longitud del segmento FJ es z. Generalmente se usan mayúsculas
para representar vértices y minúsculas para representar longitudes.
c.
Propón diferentes valores para las longitudes x, y, z, y con base en tu respuesta
anterior encuentra el área del romboide BIGJ.
R. L.
d. ¿Obtienes el mismo resultado multiplicando la base del romboide (y) por su altura (x)? Sí
e. ¿Siempre se puede obtener el área del romboide haciendo esta operación?
Sí
Si se traza la altura del romboide que se muestra y se hace un corte en ese segmento, se puede trasladar el triángulo y formar un rectángulo.
P
ro
hi
f.
yyExplica qué relación encuentras entre el área del romboide y el área del
rectángulo. Son iguales ambas áreas.
yyEscribe una fórmula para calcular el área del romboide. Considera que subase mide b cm y su altura mide a cm. b 3 a
yyCompara tus respuestas con las de tus compañeros y, a partir de lo visto, comenten la pregunta hecha en el inciso e.
92
Eje: Forma, espacio y medida
Practicar para avanzar
Realiza las actividades.
1. Identifica las figuras geométricas que encuentras en el trazo de la letra A.
Triángulos isósceles, romboides, triángulos rectángulos y un rectángulo.
2. En una hoja de reúso, traza una letra A parecida de mayor tamaño,
toma las medidas necesarias y calcula su área. R. L.
©
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ri
bu
ci
ón
Intercambia tu dibujo con un compañero para revisar sus cálculos. Si es necesario, corrijan.
El área del rombo
2. Se separó la letra X hecha con flores en cuatro trapecios y un rombo. Para calcular
su área primero se calculará el área del rombo.
a. Traza un rombo con uno de sus lados como base. Observa que el
rombo es un caso particular de romboide, ¿qué fórmula usarías
para encontrar su área? R. M. b 3 h
b. ¿Qué datos necesitas para poder calcular su área? Las medidas de
sus bases y su altura
yySi no conoces las longitudes de la base ni de la altura, discute con
tus compañeros si hay otra forma de calcular el área del rombo.
3. Observa el rombo de la derecha y contesta.
a. ¿Qué distancias están indicadas? Las de sus diagonales
b. ¿Obtendrás el mismo resultado si divides el rombo en dos o en
cuatro triángulos? Explica por qué. R. M. Sí porque se dividirían
por mitad las longitudes y se formarían rectángulos o cuadrados.
Escribe una fórmula que pueda ser usada para calcular el área del rom-
hi
c.
ro
bo cuando se conozcan los valores de las literales, dividiendo el rombo
en dos triángulos. (Dd/2)/2(Dd/2)/2 o (D/2d)/2(D/2d)/2
P
d. Ahora escribe una fórmula considerando que el rombo esté dividido en cuatro triángulos. (D/2d/2)/2(D/2d/2)/2(D/2d/2)/2(D/2d/2)/2
e. Asigna valores a las literales y calcula el área del rombo usando ambas fórmulas. R. L.
yyCon ayuda del profesor dibujen el rombo dentro de un rectángulo y a partir de
esto obtengan el área del rombo. Verifiquen si logran el mismo resultado y escriban una nueva fórmula.
Tema: Magnitudes y medidas
93
Lección 3
El área del trapecio
1. Observa la figura y responde.
b
h
©
bi S
da a
n
su ti
lla
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st a
ri
bu
ci
ón
c
a
b
a. ¿Cómo podrías calcular el área del trapecio si no recuerdas la fórmula?
Calculando y sumando el área de los dos triángulos y el rectángulo que lo forman.
b. Indica con literales las longitudes de los segmentos marcados en el trapecio.
c.
Escribe una fórmula que te permita calcular el área del trapecio cuando conozcas los valores de las literales.
a 3 h 1b 3 h 1 c 3 h
2
Área del trapecio: R. M. 2
d. Asigna valores a las literales y calcula el área. R. M. h 3, a 2, b 4, c 3; el
área es 19.5 cm2.
yyCompara tu fórmula y el resultado con los de algún compañero y verifica si obtuvieron lo mismo.
2. Analiza los procedimientos y realiza lo que se solicita.
a. Se coloca el trapecio dentro de un rectángulo.
b
a
c
h
B
Escribe una fórmula para calcular el área del trapecio, considerando que al área
del rectángulo le puedes restar el área de los dos triángulos blancos.
a3h c3h
Área del trapecio: R. M. B 3 h 2 2 2 2
P
ro
hi
b. El trapecio se corta por la mitad con una línea horizontal.
Se rota 180° a la derecha la parte superior del trapecio y se coloca a un lado de
la parte inferior, como se muestra en la siguiente figura:
h
2
B
yy¿Qué figura geométrica se forma? Un romboide
94
Eje: Forma, espacio y medida
b
yyAsigna literales a la figura y escribe una nueva fórmula para calcular el área del
trapecio; considera que la altura del romboide es la mitad de la altura del trapecio.
R. M. (B 1 b) h
2
Área del trapecio: c.
Observa que se hacen coincidir un par de los lados no paralelos de dos trapecios con las mismas medidas.
©
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da a
n
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ri
bu
ci
ón
h
B
b
yy ¿Qué figura geométrica se forma al juntar los dos trapecios? Un romboide
yyAsigna literales a los trapecios y escribe una nueva fórmula para calcular el
área de uno de ellos a partir del área de la figura formada.
R. M. (B 3 b) h
2
Área del trapecio: d. Junto a cada una de las figuras, anota la fórmula que obtuviste para encontrar
el área. Asigna valores a las literales y verifica si obtienes el mismo resultado en
todos los casos.
R. M. a 3 h 1 (b 3 h) 1 c 3 h
2
2
B 3 h 2 a 3 h 2c 3 h
2
2
(B 1 b) h
2
(B 1 b) h
2
Practicar para avanzar
P
ro
hi
yyEl área del trapecio se obtiene con la expresión “base mayor más base menor
por altura sobre dos”. ¿Cuáles de las fórmulas que anotaste representan esta expresión? Comenta con tus compañeros y tu profesor.
Realiza la siguiente actividad.
1. Dibuja una letra X como la de la lección 2 y, a partir de la separación hecha, calcula su área.
R. L.
Intercambia tu dibujo con el de otro compañero y verifiquen que sus cálculos son correctos.
Tema: Magnitudes y medidas
95
Lección 4
Obtención de datos faltantes
1. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas paso a paso.
Problema 1. Se sabe que el área de un triángulo es 20 cm2 y su base (b) mide 8 cm. ¿Cuánto mide la altura (a) del triángulo?
a. Rodeen la expresión que relaciona correctamente los valores del área, la base y
la altura del triángulo.
8 3 a = 20
2
8 3 2 = 20
a
20 3 8 = a
2
©
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ri
bu
ci
ón
2 3 a = 20
8
b. Si saben que al multiplicar base por altura y dividir el resultado entre 2 obtendrán
como resultado 20 cm2, ¿cuál es el resultado de multiplicar base por altura?
40
c.
Si saben que al multiplicar 8 por el valor de la altura obtendrán el resultado del
inciso anterior, ¿cuánto mide la altura? 5
d. Observen los pasos que realizaron y escriban una fórmula que les permita calcular el valor de la altura (a). Consideren las literales A para el valor del área y b
para el valor de la base. a 5 (2 3 A)/b
Problema 2. Se sabe que el área de un triángulo es de 10 cm2 y su altura (a) mide 5
cm. ¿Cuánto mide la base (b) del triángulo?
a. Rodeen la expresión que relaciona correctamente los valores del área, la base y
la altura del triángulo.
10 3 5
=b
2
b 3 10
=5
2
b35
= 10
2
10 3 b
=2
5
hi
b. Si saben que al multiplicar base por altura y dividir el resultado entre 2 obtendrán como resultado 10 cm2, ¿cuál es el resultado de multiplicar base por altura?
2
20 cm
Si saben que al multiplicar 5 por el valor de la base obtendrán el resultado del
inciso anterior, ¿cuánto mide la base? 4 cm
P
ro
c.
d. Observen los pasos que realizaron y escriban una fórmula que les permita calcular el valor de la base (b). Consideren las literales A para el valor del área y a
para el valor de la altura. b 2A/a
yyCompartan sus respuestas con sus compañeros y analicen el procedimiento que
siguieron para llegar al resultado. Concluyan si pueden aplicarlo a otras figuras.
Argumenten sus respuestas.
96
Eje: Forma, espacio y medida
56
cm
2. Se quiere construir un papalote utilizando dos varas de madera y papel de China, de tal forma que tenga una superficie de 2 016 cm2. Observa la imagen y calcula el valor faltante.
2016 = D 3 56 → D 5 2016 3 2 572. El valor faltante es 72 cm.
2
56
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
yyComenta con la clase el procedimiento que seguiste y las dificultades que tuviste.
Aplica lo que aprendiste.
1. En esta secuencia has deducido fórmulas para calcular las áreas de diferentes figuras. Elige tres letras, asigna valores y calcula sus áreas. R. L.
2. Con una regla obtén las medidas necesarias y calcula el área de cada una de las figuras.
Comprueba que al sumarlas, obtienes el mismo resultado que al calcular el área del
rectángulo que las contiene. Considera que cada centímetro equivale a 20 metros.
Sí, se obtiene el mismo resultado.
1200 m2
1500 m2
1200 m2
900 m2
1200 m
2
1200 m2
hi
300 m2
300 m2
3. Si el área del trapecio es de 99 cm2, ¿cuál es el valor de la medida faltante? B = 26 cm
ro
4. ¿Qué ventaja tiene poder deducir una fórmula para calcular el área de una figura
geométrica? R. M. La ventaja es que si se nos olvida la formula de todas maneras
se
puede calcular el área.
P
5. Explica cómo comprobaste que dos fórmulas son equivalentes. R. L.
yyComparte tus resultados con tus compañeros y comenten las respuestas de las
preguntas 4 y 5. Argumenten.
Tema: Magnitudes y medidas
97
Secuencia
didáctica
Gráficas circulares
15
Lección 1
Contenido: Lees e interpretas datos en gráficas circulares. Construyes gráficas circulares.
Hacer un pastel diferente
1. Lee la información y responde.
©
bi S
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n
su ti
lla
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ri
bu
ci
ón
Para conocer la penetración que ha tenido el internet y las redes sociales en los jóvenes mexicanos, se han realizado diversos estudios. La gráfica muestra los resultados
de una encuesta aplicada a 62.4 millones de personas.
a. ¿Quién realizó el estudio? El Inegi
b. ¿Qué información se representa en la gráfica?
El porcentaje de usuarios de internet por
frecuencia de uso en el año 2 015.
c.
¿De dónde provienen los datos que se muestran en la gráfica? De la Encuesta Nacional sobre Disponibilidad y Uso de Tecnologías de la
Información en los Hogares (ENDUTIH)
d. ¿Qué porcentaje de la población que usa in-
Fuente: Encuesta Nacional sobre Disponibilidad y Uso de Tecnologías de la
Información en los Hogares (ENDUTIH) 2015, en inegi.org.mx/saladeprensa/
aproposito/2016/internet2016_0.pdf (consulta: 5 de junio de 2017).
ternet lo hace con más frecuencia?, ¿con qué
frecuencia lo utiliza? 91.1% y la frecuencia es
de uno a siete días por semana.
yy Comenta con tus compañeros cómo obtuviste tus respuestas.
Análisis de gráficas
1. Retoma los datos de la gráfica y haz lo que se pide.
a. Registra la frecuencia relativa y calcula la frecuencia absoluta.
hi
Glosario
P
ro
frecuencia
absoluta. Es el
número de veces
que se repite un
dato o un valor.
frecuencia
relativa. Es el
cociente de la
frecuencia absoluta
entre el número
de datos.
98
Eje: Análisis de datos
Frecuencia de empleo en internet
por parte de los usuarios
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
De uno a siete días por semana
56.84 millones
91.1%
Una vez al mes
4.5552 millones
7.3%
Con una menor frecuencia
0.9984 millones
1.6%
62.4 millones
100%
Total
b. Marca con una ✔ las afirmaciones que sean verdaderas.
✔
La mayoría de los usuarios de internet lo usa de 1 a 7 días
por semana.
La menor frecuencia de empleo es de una vez por mes.
✔
Comparen sus respuestas. Lean la siguiente información e identifiquen
en la gráfica de la página anterior los elementos que se mencionan.
población. Es el
total de personas,
animales u objetos
por estudiar.
muestra. Es
una parte de la
población por
estudiar, cuyas
características
sirven para
representar a
la población en
estudio.
©
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n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
c.
El 1.6% de los usuarios de internet lo usa menos de una vez
por mes.
Glosario
Las gráficas circulares o de pastel permiten comparar cómo se distribuyen las características o atributos de cierta población o muestra. Los datos
se expresan con valores o frecuencias absolutas o valores o frecuencias
relativas. Como toda gráfica, tienen un título, que refleja la información
que se presenta en la gráfica, y una fuente, que indica de dónde fueron tomados los datos.
Practicar para avanzar
Une, por medio de flechas, cada gráfica con la información que se obtiene de ella.
yyLa mayoría de las personas que lee el
periódico lo hace en formato impreso.
yyUn poco más de 70% de las personas
lee periódicos de paga.
P
ro
hi
yyLa mayoría de las personas lee temas
particulares en el periódico.
yySolo 3.9% de la población lee el periódico en formato digital.
yyMás de 80% de las personas lee temas
generales en el periódico.
yyCerca de 19% de las personas lee periódicos gratuitos.
Fuente: Consejo Nacional para la Cultura y las Artes. Encuesta Nacional de Lectura
2015, en observatorio.librosmexico.mx/files/encuesta_nacional_2015 pdf (consulta:
23 de mayo de 2017).
Tema: Estadística
99
Lección 2
Guía para construir una gráfica circular
1. Los datos en la tabla se obtuvieron en una encuesta aplicada a los alumnos de un
grupo de 1.º de secundaria sobre la asignatura que más les gusta. Calcula las frecuencias de la tabla y responde.
Asignatura
Matemáticas
Absoluta
Relativa
Cálculos
Ángulo
12
33.33%
7
19.44%
120º
70º
©
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n
su ti
lla
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st a
ri
bu
ci
ón
Español
Frecuencia
Biología
5
13.89%
50º
Inglés
4
11.11%
40º
Historia
22.22%
8
80º
36
Total
100%
a. ¿Cuánto mide el ángulo del círculo en el
que se trazará la gráfica? 360º
b. El ángulo del círculo y la suma de las
frecuencias absolutas corresponden al
100%. Calcula el ángulo correspondiente a cada asignatura Matemáticas: 120º,
Español: 70º, Biol.:50º, Inglés: 40º e Hist.: 80º
c.
¿Cuánto debe medir la suma de todos
los ángulos? 360º
d. A partir del radio, marca el ángulo correspondiente a Matemáticas. Después,
el correspondiente a Español y así sucesivamente. Ver la gráfica del lado derecho
360º
Asignatura
Español
20%
70º
Matemáticas
33%
120º
Biología 50º
14%
40º 80º
Inglés
11%
Historia
22%
2. Lee la información y lleva a cabo lo que se pide.
P
ro
hi
Entre el 7 y 10 de junio de 2013 se aplicó una encuesta a 1 000 personas para conocer la afición de la población mexicana a distintos tipos de música. Se consultó sobre
27 géneros musicales que se obtuvieron de las listas de reproducción pública.
100
Con respecto a la pregunta sobre la afición al género musical balada romántica, se
obtuvieron los siguientes datos:
Afición al género musical balada romántica
Cantidad de personas
Le gusta
458
Lo acepta
319
No le gusta
223
Eje: Análisis de datos
b.
Para exponer los datos obtenidos en una gráfica de pastel se necesita representar
cada uno como proporción de 360, porque el ángulo completo del círculo mide 360°.
Esta proporción puede ser un número decimal. En ese caso, se utiliza una aproximación, la cual se denota con el símbolo <.
1.
a. Analiza los siguientes procedimientos para calcular el ángulo del sector circular
que corresponde a las personas que les gusta la balada romántica.
i. Cálculo de los grados por persona
1 000 p
1p
360°
x 5 1 3 360° 5
1000
x°
360°
1000
450 p
0.36°
x 5 450 3 0.36° 5 164.88° 5 164.88° ø165°
1
1
x°
Procedimiento 2
i. Se obtiene la frecuencia relativa de cada dato.
ii. A partir de la frecuencia relativa, se obtiene la medida del ángulo de cada sector.
i. Cálculo de la frecuencia relativa
1 000 p
458 p
100%
x 5 458 3 100 5 45.8%
1000
x%
45.8 %
360°
x°
5.
x 5 360⁰
1000
5 0.36⁰
6.
x 5 0.36⁰ 3 223
5 80.28⁰
< 80⁰
7.
x 5 223 3 100
1000
5 22.3
ii. Cálculo del ángulo del sector circular según la información
100 %
3.
x 5 319 3 100
1000
5 31.9
4.
31.9% de 360⁰
5 114.84⁰ < 115⁰
5 0.36°
ii. Cálculo del ángulo del sector circular según la información
1p
2.
x 5 0.36⁰ 3 319
5 114.84⁰
< 115⁰
©
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n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Procedimiento 1
i. Se calcula cuántos grados le corresponden a cada persona de los 360°.
ii. Se calculan los grados que le tocan a cada dato y frecuencia correspondiente.
x 5 360⁰
1000
5 0.36⁰
8.
x 5 45.8 3 360° 5 164.88° ø165°
100
22.3% de 360⁰
5 80.28⁰ < 80⁰
ro
hi
b. Reúnete con un compañero y completen la tabla con los datos correspondientes a la afición al género musical balada romántica.
P
Respuesta Frecuencia
Le gusta
Lo acepta
No le gusta
Total
458
319
223
1 000
Procedimiento 1
Grados por
persona
Cálculo del
sector circular
Procedimiento 2
Frecuencia
relativa
Cálculo del
sector circular
458 3 100
x 5 0.36° 3 458
x5
45.8% de 360
x 5 360° 5 0.36° 5 164.88°
1000
1000
5
164.88 ø 165
5 45.8
ø 165°
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
360°
100%
360°
Tema: Estadística
101
Lección 3
Construcción de gráficas
1. Construye una gráfica circular con los datos obtenidos en la tabla de la página anterior. Sigue los pasos que se indican a continuación.
Dibuja una circunferencia con el compás y marca el centro con una cruz.
Traza el radio de la circunferencia con el apoyo de una regla.
Coloca el transportador en el radio y marca cada uno de los ángulos.
Marca las líneas de los ángulos centrales de cada sector con la regla.
Colorea cada parte o sector.
Anota el porcentaje correspondiente a cada sector.
Escribe el título y la fuente.
Afición al género musical balada romántica
©
bi S
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n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
No le
gusta
22%
Lo
acepta
32%
Le
gusta
46%
Fuente: León Felipe Maldonado. “México: ¿Qué música nos gusta?”, en blog.amai.org/index.
php/mexico-que-musica-nos-gusta (consulta: 5 de junio de 2017).
yyRetoma el problema 1 de la lección 2. Revisa tu gráfica con los procedimientos
que has aprendido. Si lo consideras necesario, corrige. Comenta con el grupo las
dificultades que enfrentaste al elaborar la gráfica.
Aplica lo que aprendiste.
1. Construye una gráfica circular con la información que se presenta, recuerda poner
todos los datos. Después responde.
La información en la siguiente tabla corresponde al “Estudio de hábitos y percepciones sobre internet y diversas tecnologías asociadas” en México. La encuesta se aplicó a 1 420 personas.
hi
Nivel de confianza de los usuarios de internet
Todo es de fiar
8%
Una gran parte es de fiar
34%
Más o menos la mitad
43%
Una mínima parte
12%
Nada es de fiar
2%
No sabe / Se negó
1%
ro
P
Porcentaje
Fuente: WIP México. “Estudio 2013 de hábitos y percepciones de los mexicanos sobre internet y diversas tecnologías asociadas”, en amiti.org.mx/wp-content/
uploads/2014/05/Estudio2013_h%C3%A1bitos_percepciones_mexicanos-_Internet-WIP.pdf (consulta: 22 de mayo de 2017).
102
Eje: Análisis de datos
a. ¿Cuántas personas confían en una gran parte de la información que hay en internet?
4 828 personas
b. ¿Cuántos no confían en la información
Nada de
fiar
2%
Una
mínima
parte
12%
No se
sabe/Se
negó
1%
Todo es
de fiar
8%
.
©
bi S
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n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
que se encuentra en internet? 284 personas
c.
Nivel de confianza de
los usuarios de internet
¿Cuántos confían en toda la información
que se divulga en internet? 1 136 personas
Una gran
parte es
de fiar
34%
Más o
menos la
mitad
43%
Fuente: WIP México. “Estudio 2013 de hábitos y percepciones de los mexicanos sobre internet y diversas tecnologías
asociadas”, en amiti.org.mx/wp-content/uploads/2014/05/
Estudio2013_h%C3%A1bitos_percepciones_mexicanos-_InternetWIP.pdf (consulta: 22 de mayo de 2017).
2. A partir de los datos de la gráfica anterior, marca con una V las afirmaciones verdaderas y con una F las que son falsas. Justifica cada caso.
Afirmación
VoF
Justificación
F
Es solo el 34%.
Menos de la mitad de la población
mexicana confía en casi toda la
información que se difunde en
internet.
V
34% es menos de la mitad.
ro
hi
La mayoría de la población mexicana
confía en casi toda la información
que aparece en internet.
P
La mayoría de los usuarios
V
mexicanos de internet confía en más
o menos la mitad de la información que se publica en la red.
A pesar de que es 43% ,
57% restante se divide
en opiniones.
yyMuestra la gráfica que elaboraste a tus compañeros y explica el procedimiento
que utilizaste para obtener los ángulos de cada sección. Por último, menciona
por qué elegiste ese procedimiento.
Tema: Estadística
103
Punto de encuentro
Lee con atención, realiza las actividades y responde.
Los mapas
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Los mapas son representaciones planas a escala de toda la superficie terrestre o
de una parte de esta. Para hacer una interpretación correcta de estos, incluyen elementos como escala, título, simbología, orientación y coordenadas geográficas.
Conocer la escala de los mapas permite, entre otras cosas, calcular distancias, ángulos o superficies.
Además de lo anterior, el análisis de los mapas permite encontrar patrones y relaciones entre diversos fenómenos naturales y sociales.
Población de México por entidad 2015
E S T A D O S
U N I D O S
D E
L E Y E N D A
A M É R I C A
Mexicali
Población total
Entidad
Go
30°
Hermosillo
de
Ca
lif
Saltillo
or
Culiacán
a
Cáncer La Paz
ni
Trópico de
Monterrey
Durango
Zacatecas
OCÉANO
PACÍFICO
Tepic
Ags.
Cd. Victoria
San Luis
Potosí
Guadalajara
20°
Golfo
de
México
105°
Morelia
1 : 14 375 000
143 km
Oaxaca
3 967 889
264 251
93 757
95°
GUATEMALA
HONDURAS
90°
Cuernavaca
hi
0
100°
22 351
179 355
Población
(millones
de habitantes)
BELIZE
Puebla
1 495
884 273
Mérida
Tuxtla
Gutiérrez
Golfo de
Tehuantepec
15°
Ciudad
Toluca de MéxicoTlaxcala
Oaxaca
57 507
2 850 330
Villahermosa
Chilpancingo
(km²)
Sonora
Campeche Chetumal
Xalapa
Colima
Guanajuato
Querétaro
Pachuca
Superficie
Ciudad
Campeche
899 931
283 025
Ciudad de
20
116
842
8
918
653
México
México
16 187 608 1 846 116
Chihuahua
lfo
25°
Entidad
> 8.5
1a4
4 a 8.5
<1
Población en ciudad
capital
(millones de habitantes)
> 20
<1
1a5
Escala 1 : 16 000 000
0
160
320 km
Proyección cónica conforme de Lambert
Fuente: Inegi, 2017.Encuesta Nacional
de Salud, 2006.
P
ro
1. Observa el mapa con un compañero y respondan.
a. ¿Cómo se expresan las relaciones entre las distancias en el mapa y las distancias correspondientes de la superficie terrestre? Por medio de la escala
1:16
000 000.
b. ¿Qué indica la escala dada en el mapa? Que por cada unidad trazada en el
mapa hay 16 000 000 en realidad.
c. ¿Qué representan las unidades de medida? Que las cantidades dadas son en millones.
Investiguen cómo se utilizan las matemáticas en la elaboración de mapas.
104
2. Con una regla midan en el mapa la distancia que hay entre la ciudad de Chihuahua
y Xalapa. También pueden hacerlo desde la página www.esant.mx/fasema1-005.
a. ¿Cuál es la escala del mapa? 1:16 000 000
b. ¿Pueden escribir la escala en términos de fracciones? ¿Cómo? 1/16 000 000
c.
¿Cuál es la distancia real entre esas dos ciudades? R. M. 1 375.05 km
©
bi S
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n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
d. ¿Qué relación existe entre las escalas en los mapas y la proporcionalidad? Es una relación de proporcionalidad directa.
Repitan el procedimiento y encuentren la distancia entre otras ciudades.
3. En el mapa de la página anterior, consulten la población de cada entidad y completen la tabla. Luego respondan.
Población
(millones de habitantes)
Entidad
Más de 8.5
Estado de México, Ciudad de México
De 4 a 8.5
Nuevo León, Jalisco, Michoacán, Puebla, Veracruz, Chiapas
Ver solucionario
De 1 a 4
Menos de 1
Baja California Sur, Campeche
a. ¿Los estados con mayor área son los que tienen mayor población? No
b. ¿A qué factores puede deberse? Argumenten. R. M. A la concentración de
población en la capital del país.
c.
¿Qué información pueden obtener con solo observar el mapa? R. M. En qué
estados de la República hay más y en cuáles hay menos habitantes.
d. Calculen la densidad de población de la Ciudad de México y de Sonora; es decir,
hi
el número de habitantes por unidad de área. ¿Qué información les da la densi2
dad de población? En la Ciudad de México es 5 965 habitantes por km y en
2
la Ciudad de Sonora es de 15.89 habitantes por km .
ro
P
e. En el mapa se muestra la población total de algunas ciudades. Calculen el porcentaje de habitantes de cada ciudad con respecto al total de habitantes del
estado. ¿Qué encuentran? Argumenten por qué sucede lo que observan. Ver solucionario
f. Escriban en su cuaderno una conclusión en la que expliquen cinco factores tanto físicos como sociales que pueden influir en la forma en la que se distribuye la
población en el país y en los estados. R. L.
Comenten sus resultados con sus compañeros de grupo. Expongan qué herramientas
matemáticas aplicaron para analizar los mapas y resolver las actividades.
105
Reviso mi trayecto
Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de
los contenidos que tienes que repasar.
©
bi S
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st a
ri
bu
ci
ón
1. Una empresa renta carpas y cortinas para eventos. El costo de las carpas es de $115
por m2 e incluye la instalación; y el precio de las cortinas es de $38.35 por metro.
a. Cristina organizará una fiesta y necesita una carpa rectangular de 4 m de lado
por 3.5 m de ancho.
2
yy¿Cuál es el área de la carpa que debe seleccionar? 140 m
yy¿Cuánto debe pagar por la renta de la carpa? $16 100
b.
Rodrigo organizará un evento y necesita una carpa circular de 6 m de diámetro.
Debido a la lluvia, también necesita una cortina para cerrarla.
m
yy¿Cuántos metros de cortina necesitará? 18.85
yy¿Cuánto debe pagar en total por la renta de la cortina? $722.88
2. Karla decorará un pastel con forma de rombo cuyos lados miden 17 cm y sus diagonales miden 16 cm y 30 cm. Sobre toda la parte superior del pastel pondrá betún y colocará flores de azúcar a su alrededor.
a. ¿Cuánto mide el área sobre la cuál colocará betún? 240 cm
2
b. Si las flores son circulares y miden 1.4 cm de diámetro, ¿cuántas flores debe colocar? 171 flores
3. Para festejar el aniversario de una escuela, los directivos consideraron la opinión
de los alumnos mediante una encuesta. La tabla muestra los resultados.
Actividad
140
Organizar una kermés
200
Tener competencias deportivas
300
Ver una película y organizar juegos recreativos
190
Ver la obra del club de teatro y receso el resto del día
170
hi
Tener el día libre
Tener el día
libre
50.4, 14%
P
ro
Ver la obra del
club de teatro y
receso el resto
del día
61.2, 17%
Ver una
película y
organizar
juegos
recreativos,
68.4, 19%
106
Número de alumnos
Tener
competencias
deportivas,
108, 30%
a. Representa los datos de la tabla en una gráfica circular para presentar la decisión tomada ante todos los
alumnos. Ver gráfica del lado izquierdo
b. Interpreta las preferencias de los alumnos a partir de la
gráfica. ¿Cuál fue la decisión tomada? ¿Por qué se decidió
Organizar una
kermés,
72, 20%
mostrar los resultados a los alumnos con esta gráfica?
Tener
competencias deportivas. Porque la comparación
es
más visible.
Valoro mis fortalezas
Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obtengas, retoma los contenidos que se te dificultaron.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
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st a
ri
bu
ci
ón
1. Jimena tiene un videojuego cuyo objetivo es acumular un punto en cada etapa. En
la primera etapa acumuló 14 de punto; en la segunda, 0.56 de punto; en la tercera,
32
0.45 y en la cuarta, 9 de punto.
16
a. ¿En qué etapa obtuvo más puntos? En la cuarta etapa
b. En la quinta etapa obtuvo menor puntaje que en la segunda y mayor que
en la tercera. Elige la opción que menciona los puntos obtenidos. Explica tu
respuesta.
c.
12
3
5
A) 25 de punto
B) 5 de punto C) 0.35 de punto D) 8 de punto
Porque el valor decimal de la fracción es 0.625.
¿Es el único resultado posible? Argumenta tu respuesta. R. M. No, puede ha-
ber más resultados posibles, pues no es el único valor decimal que hay entre
0.45 y 0.56.
2. Rosario pidió a sus alumnos que utilizaran diferentes unidades para medir el alto
de un vaso. El equipo de Marcos reportó una medida de 6 gomas; el equipo de Rebeca reportó una medida de 12 botones cuadrados.
a. ¿Cuántas gomas medirá el largo de una hoja de papel que, según el equipo de
Rebeca, mide 18 botones? 9 gomas
b. ¿Cuántos botones medirá el largo de una mesa que el equipo de Marcos reportó que mide 42 gomas? 84 botones
c.
La goma que usó el equipo de Marcos mide 3 cm de largo. ¿Cuánto mide el largo del botón del equipo de Rebeca? 1.5 cm
hi
3. El parque de la colonia tiene las dimensiones que se muestran en la imagen.
ro
a. ¿Cuál es el área que ocupa el parque? 2
2 268 m
P
b. Los vecinos de la colonia pidieron una zona para dejar sueltos a sus perros. ¿Cuál
2
es el área que se les destinó? 864 m
c.
Alrededor de la zona destinada a los perros se colocará una cerca. ¿Cuál será su
longitud? 160.46 m
107
4. En una escuela se construirá una pista de patinaje como la que se muestra en la figura. La parte recta mide 10 m y el diámetro de cada semicircunferencia, 6 m.
10 m
6m
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
6m
a. ¿Cuál será la longitud del recorrido de una vuelta en la pista de patinaje?
Considera el valor de p como 3.1416.
38.8496 m
19
b. La longitud del recorrido de la pista del parque de la colonia es 38 25 de m.
¿Cuál de las dos pistas es más larga?
Es más larga la pista de la escuela.
5. La gráfica muestra la distribución del apoyo económico que se brinda a los habitantes de una comunidad con base en el tipo de actividad que desempeñan.
a. ¿A qué sector de la población se le destina mayor cantidad? A los asalariados
b. Si se repartirán $1 135 310, ¿cuánto se destinará a la población de
comerciantes?
$90 824.80
hi
P
ro
6. Considera que el precio de litro de gasolina Magna es de $16.71 y el de Prémium,
$18.42. ¿Cuánto se tiene que pagar por llenar cada uno de los tanques de gasolina?
Completa la tabla.
108
Tipo de gasolina
Tanque (Capacidad en litros)
45.8
50.5
58
Magna
765.318
843.855
969.18
Prémium
843.636
930.21
1 068.36
Valoro mis fortalezas
7. En una tienda se ofrecen las siguientes ofertas.
D e s c u e n t o s
Televisores
1
4
Lavadoras
10%
1
3
de su
precio
Cafeteras
eléctricas
12%
Hornos de
microondas
1
5
de su
precio
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
de su
precio
Secadoras
a. Carlos desea comprar un televisor de 42 pulgadas cuyo precio está marcado en
$5 499.
yy¿Cuánto debe pagar? $4 124.25
yy¿Qué porcentaje representa el descuento? 25%
b. Laura comprará una lavadora cuyo precio es de $11 090.50 y una secadora de
$5 840.
yy¿Cuánto debe pagar por la lavadora? $9 981.45
yy¿Cuánto debe pagar por la secadora? $3 893.33
yy¿Cuánto pagará en total? $13 874.78
yy¿A qué porcentaje del total corresponde el descuento? 18.04%
c.
Daniela quiere comprar un televisor de $5 499, una lavadora de $11 090.50,
una secadora de $5 840, un horno de microondas de $1 287.75 y una cafetera
eléctrica de $4 345.60. Para saber si puede comprar todos los productos, calculó los precios con el descuento.
yy¿Qué porcentaje de descuento tiene el horno de microondas? 20%
yy¿Cuánto pagará por el horno de microondas? $1 030.20
hi
yy¿Cuánto debe pagar por la cafetera eléctrica? $3 824.12
ro
yySi dispone de $25 000, ¿le alcanzará para comprar todos los productos? ¿Por
qué? Sí le alcanza, porque con los descuentos aplicados en total pagaría
P
$22 853.36
yySi en la tienda no hubiera descuento, ¿cuánto le faltaría para comprar todos
los productos? Le faltarían $3 062.85.
yyConsidera el total de la compra sin y con descuentos. ¿A qué porcentaje de
descuento corresponde? 18.56%
109
Trimestre 2
En este trimestre:
• Analizarás la existencia y unicidad en la
construcción de triángulos y cuadriláteros,
y determinarás y usarás criterios de
congruencia de triángulos.
©
bi S
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n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
• Resolverás problemas de suma y resta con
números enteros, fracciones y decimales
positivos y negativos.
• Determinarás y usarás la jerarquía de
operaciones y los paréntesis en operaciones
con números naturales, enteros y decimales
(para multiplicación y división, solo números
positivos).
• Analizarás y compararás situaciones
de variación lineal a partir de sus
representaciones tabular, gráfica y
algebraica. Interpretarás y resolverás
problemas que se modelan con estos tipos
de variación.
• Formularás expresiones algebraicas de
primer grado a partir de sucesiones y las
utilizarás para analizar propiedades de la
sucesión que representan.
• Recolectarás, registrarás y leerás datos en
gráficas circulares.
• Usarás e interpretarás las medidas de
tendencia central (moda, media aritmética y
mediana) y el rango de un conjunto de datos,
y decidirás cuál de ellas conviene más en el
análisis de los datos en cuestión.
• Realizarás experimentos aleatorios
y registrarás los resultados para un
acercamiento a la probabilidad frecuencial.
Las matemáticas en las redes sociales
Hoy, muchas aplicaciones y redes sociales te permiten editar tus fotografías a través de
filtros y efectos de color. Una de las más populares es Instagram.
hi
¿Sabías que al aplicar un filtro a una imagen estás usando matemáticas? Para que puedas usar un filtro en una imagen, el programa, aplicación o red social requiere un algoritmo matemático que le permite modificar cada pixel.
ro
Un pixel es la menor unidad de color de una imagen digital y se compone de tres valores
numéricos.
P
Existen filtros sencillos como el de Escala de grises, que toma los tres valores del pixel y
calcula la media aritmética para luego sustituir los tres valores que tenía el pixel por el
obtenido en el cálculo.
¿En qué otras actividades crees que usas matemáticas?
110
P
ro
hi
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Los filtros de color permiten editar
fotografías. En la imagen se aprecia un ejemplo de la aplicación del
filtro Escala de grises, donde cada
sección tiene un porcentaje diferente de color.
111
Secuencia
didáctica
Números enteros
16
Lección 1
Contenido: Comparas y ordenas números enteros.
Profundidad
1. Observa la imagen y responde.
©
bi S
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n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
En la imagen se muestra la profundidad a la que viven algunos animales, según tres
de las zonas de profundidad del océano.
0
100
200
Zona
Epipelágica
Profundidad
en metros
Nivel deldel
marmar
Nivel
400
500
600
700
Zona Mesopelágica
300
800
a. ¿A qué profundidad se encuentra el calamar?
A 700 m
b. ¿En qué zona hay mayor cantidad de animales? En la zona epipelágica
c.
A mayor profundidad, ¿qué sucede con la variedad de
animales? Disminuye
d. ¿Qué representa el 0 en la imagen? El nivel del mar
e. ¿Qué animales están a una profundidad de 1 500 m? Camarones
900
1 000
1 200
1 300
1 400
Zona Batial
1 100
yyComenten sus respuestas y analicen cómo pueden mostrar distancias bajo y sobre el nivel del mar con una recta
numérica.
1 500
Positivos y negativos
1. Completa la tabla y ubica en la recta numérica los animales que se señalan en la imagen.
1 400
1 200
1 000
Para diferenciar elevaciones con relación al nivel del mar se utilizan las
expresiones sobre el nivel del mar o bajo el nivel del mar. En matemáticas, las elevaciones sobre el nivel del mar suelen medirse usando números mayores que 0, o positivos, y las elevaciones que están por debajo del
nivel del mar pueden medirse con números menores que 0, o negativos.
800
600
hi
400
200
ro
0
2200
Atún
P
2400
2600
2800
21 000
Pulpo
Animal
Posición (m)
Atún
2200
Pulpo
21 000
Camarones
21 400
21 200
21 400
Camarones
112
yyRevisen en equipos sus rectas numéricas y escriban el procedimiento que siguieron para ubicar los números en ellas.
Eje: Número, álgebra y variación
2. Utiliza la recta numérica para completar la tabla y contesta.
212 211210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Opuestos
Número
Opuesto
21
27
7
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
1
25
5
29
9
6
26
212
12
a. ¿Cómo es la distancia al cero de cada número y su opuesto? Es igual.
b. ¿Qué observas en los resultados obtenidos? Que es el mismo número pero con
distinto signo.
yyComenten sus respuestas y compárenlas con la siguiente información.
Si n es un número natural, su opuesto será –n y se lee “menos n”.
El conjunto de los números enteros se simboliza con Z y está formado por los números naturales (N) o enteros positivos, el cero y los enteros negativos.
Z = {…25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5…}
Practicar para avanzar
ro
hi
A la distancia entre un número x y el cero se le llama valor absoluto. El valor absoluto se representa |x| y se lee “valor absoluto de x”. Por ejemplo, el valor absoluto de
27 es 7 y se representa: |27| = 7. Observa que el valor absoluto de 7 también es 7.
P
1. Traza en tu cuaderno una recta numérica y ubica a los animales según los datos.
Ver solucionario
a. El ganso asiático vuela a una altura de 6 437 m en su migración.
b. Los tiburones llegan a descender hasta 900 m en busca de alimento.
c. Los cachalotes llegan a descender hasta 2 km en busca de calamares, su alimento favorito.
d. Las tortugas marinas pueden descender hasta 1 km.
Analicen las escalas que utilizaron para las rectas numéricas y expliquen cómo las eligieron.
Tema: Adición y sustracción
113
Lección 2
Comparación de números enteros
1. Formen equipos, analicen la información y respondan.
En México, al igual que en otros países, se experimentan cambios de temperatura según las estaciones del año. Zyanya y Flavio investigaron las temperaturas presentadas en los estados de la República. Ellos encontraron el siguiente mapa que muestra
las temperaturas mínimas promedio en enero de 2016.
©
bi S
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n
su ti
lla
di n
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ri
bu
ci
ón
Temperatura mínima promedio mensual (˚C) enero 2016
E S T A D O S
BAJA
CALIFORNIA
30°
U N I D O S
D E
A M É R I C A
SONORA
CHIHUAHUA
COAHUILA
Go
lfo
BAJA
CALIFORNIA
SUR
de
lif
or
Cáncer
ni
Trópico de
NUEVO
LEÓN
SINALOA
Ca
25°
a
Los Cabos
DURANGO
TAMAULIPAS
ZACATECAS
SAN LUIS
POTOSÍ
1
NAYARIT
3
20°
JALISCO
OCÉANO
PACÍFICO
2
4
Golfo
de
México
MICHOACÁN 6 7
8
QUINTANA
ROO
9
PUEBLA
GUERRERO
VERACRUZ TABASCO
115°
110°
Escala 1 : 16 000 000
0
160
320
105°
Golfo de
Tehuantepec
100°
Mar
Caribe
CAMPECHE
BELIZE
CHIAPAS
OAXACA
15°
YUCATÁN
5
GUATEMALA
HONDURAS
95°
L E Y E N D A
480 km
Límite
Artificial
Proyección cónica conforme de Lambert
Fuente: Inegi, 2017.
Encuesta Nacional de Salud, 2006.
‒10
‒5
Natural
0
1. AGUASCALIENTES
2. COLIMA
Longitud
5
10
15
3. GUANAJUATO
4. QUERÉTARO
5. HIDALGO
Estaciones:876
20
25
30
35
40
Fuente: http://smn.cna.gob.mx/es/climatologia/temperaturas-y-lluvias/resumenes-mensuales-de-temperaturas-y-lluvias
a. ¿En qué estados hizo más frío? Sonora, Chihuahua, Durango y Zacatecas
hi
b. ¿En qué estados hizo menos frío? Yucatán, Quintana Roo, Campeche, Chiapas,
Tabasco, Veracruz, Guerrero, Colima y Jalisco
c.
y Durango
¿En qué estados se registró la menor temperatura? Chihuahua
P
ro
yyComenten con su profesor y sus compañeros qué procedimientos utilizaron
para comparar las temperaturas.
Así como con los enteros positivos, la recta numérica puede utilizarse para ordenar
y comparar enteros negativos. Los números negativos menores serán los más alejados del cero. El signo de un número indica su sentido a partir del 0.
114
Eje: Número, álgebra y variación
2. Analiza la recta numérica que muestra las temperaturas mínimas promedio de algunos estados y responde.
Chihuahua
Zacatecas
215214213212211210292827 26 25 24 23 22 21 0 1
2
Durango
Tamaulipas
3
4
5
6
7
8
9
Guanajuato
Guerrero
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Ciudad de México
a. ¿Cuál estado tuvo la temperatura menor? Chihuahua
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
b. Ordena los estados del de menor al de mayor temperatura: Chihuahua, Durango,
Ciudad de México, Zacatecas. Chihuahua, Durango, Zacatecas y Ciudad de México
c.
¿En cuál estado hizo más frío: Zacatecas, Guanajuato o Guerrero? Zacatecas
d. De acuerdo con la recta, ¿cuántos grados de diferencia hubo entre la temperatura mínima más alta y la más baja? 30º
yyComenten sus respuestas y expliquen cómo encontraron la diferencia entre las
temperaturas indicadas.
3. Ubica los números en la recta numérica.
–10, 8, 0, –7, 5, 2, –23, 23, 3, –5
•
•
•
•
•
224 222220218216 2142122102826 24 22 0
••
2
•
4
•
6
8
•
10 12 14 16 18 20 21 22 24
a. Ordena los números del mayor al menor.
23, 8, 5, 3, 2, 0, 25, 27, 210, 223
hi
yyComenten las similitudes y las diferencias de ubicar en la recta numérica y comparar enteros negativos y enteros positivos.
Aplica lo que aprendiste.
ro
1. Traza en tu cuaderno una recta numérica y resuelve el problema. Ver solucionario
P
Lupita y Julián quieren saber cuál es la temperatura menor del día. Lupita midió la
temperatura a las 5 a. m. y el termómetro marcó −3 °C. A las 8 a. m. la temperatura ya había aumentado 10 grados según su medición. Por otro lado, Julián registró
1 °C a las 3 p. m. y un descenso de 5 grados en la temperatura a las 6 p. m. ¿A qué hora
hizo más frío?
yyComenten en grupo situaciones cotidianas en las que se usen números enteros.
Justifiquen sus respuestas y elaboren una ficha de estudio con sus conclusiones.
Tema: Adición y sustracción
115
Secuencia
didáctica
Sumas con números enteros
17
Lección 1
Contenido: Resuelves problemas que implican suma y resta de números enteros.
El juego de los dados
1. Formen equipos de tres integrantes, lean la situación y hagan lo que se indica.
©
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n
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lla
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st a
ri
bu
ci
ón
Rocío, Daniel y Angélica competían en un juego en el que, por turnos, tiraba 7 dados cada uno. Cada jugador sumaba los números que indicaban las
caras de los dados y, si el resultado era positivo, recibía de cada contrincante ese número de fichas. Si la suma daba un resultado negativo, entregaba
a cada compañero ese número de fichas. El proceso se repetía por turnos,
hasta que uno de los tres se quedaba con todas las fichas.
1
a. Consigan 7 dados y 90 fichas. Repartan 30 fichas a cada integrante del equipo y
peguen etiquetas en las caras de los dados de acuerdo con lo siguiente.
Dado 1
Dado 2
Dado 3
Dado 4
Dado 5
Dado 6
Dado 7
11
21
11
21
11
21
11
12
22
12
22
22
12
12
13
23
23
13
23
13
23
14
24
14
24
14
24
14
25
15
15
25
15
25
15
26
16
26
16
26
16
26
b. Comenten si es posible sumar cantidades positivas con cantidades negativas y,
de ser posible, cómo lo harían. Escriban sus conclusiones. R. L.
yyIntenten llevar a cabo el juego. Expliquen al grupo su estrategia y compárenla
con las de otros equipos.
hi
Sumas de enteros con fichas
P
ro
1. Analiza la información y utiliza el modelo de fichas para operar con números positivos y negativos.
Considera que podemos representar el número 1 con una ficha blanca:
y el número –1 con una ficha negra:
Entonces, el número 4 se representaría con 4 fichas blancas:
y el número –3 se representaría con 3 fichas negras:
116
Eje: Número, álgebra y variación
Una ficha blanca con una negra
se eliminan, es decir 1 1 (21) = 0. Esto ocurre
porque los números positivos pueden representar una ganancia y los negativos una
pérdida. Así, si se tiene 1 y se pierde 1 no queda nada.
a. Resuelve las sumas.
213=
1
1
25
5
5
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
(22) 1 (23) 5
5 5
5
2. b.
R. M. Renglón 1.
Luisa tiene $1
y su mamá le
dio otro. Ahora
tiene $2. Renglón 2. Joaquín
le debe $1 a su
hermano y otro
a su papá. En
total debe $2.
Renglón 3. Carlos tenía dos
videojuegos y
le regaló uno
a su hermano. Carlos tiene
ahora un videojuego. Renglón
4. Christian le
debe $2 a un
amigo. Le pagó
$1 y ahora le
debe $1.
3 1 (22) 5
1
5
5 1
1
(25) 1 3 5
5
522
yyPropongan otras operaciones en las que se eliminen fichas blancas y negras.
Expliquen qué son los números opuestos y cuánto suman dos números opuestos.
2. Reúnete con un compañero y analicen el diagrama. Después contesten.
a. ¿Cuál renglón del diagrama representa la situación: si puedo pagar
una parte de una deuda, termino con una deuda más pequeña que
la deuda original? Justifiquen su respuesta. El tercer renglón del diagrama
1 1 1 5 1
2 1 2 5 2
b. Redacten una situación que pueda ser representada con cada
renglón del diagrama. 1
yyEvaluen si las situaciones y los contextos propuestos por otros
compañeros son válidos y cómo estos ayudan a resolver sumas de
números enteros.
1 1
1 2 5 1
2
5 2
ro
hi
Cuando se tiene una suma de dos números enteros con el mismo signo, se suman los valores absolutos de los números y se conserva el signo en el resultado. Por ejemplo:
(22) 1 (23) 5 25
8 1 4 5 12
P
Cuando se tiene una suma de dos números enteros con signo diferente, se restan
los valores absolutos de los números y se agrega al resultado el signo del sumando
con mayor valor absoluto. Por ejemplo:
25 1 3 = 2(5 2 3) = 22, ya que se conserva el signo del 5, que es mayor a 3.
23 1 7 = (7 2 3) = 4, ya que se conserva el signo del 7, que es mayor a 3.
2 1 (25) = 2(5 2 2) = 23, ya que se conserva el signo del 5, que es mayor a 2.
Tema: Adición y sustracción
117
Lección 2
Sumas en la recta numérica
1. Haz lo que se indica para cada recta numérica.
a. Escribe la operación que se representa en cada recta numérica.
26
25
24
23
22
21
0
1
2
3
4
5
6
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
311
Operación: 26
25
24
23
22
21
0
1
2
3
4
5
6
5 1 ( 22)
Operación: b. Representa 5 1 (22) y (22) 1 5 en la recta numérica.
26
25
24
23
22
21
0
1
2
3
4
5
6
yy¿Qué resultado se obtiene en cada caso? 3
yy¿Cómo pondrías en contexto la operación (−2) + 5 usando las palabras tengo y
debo? Debo $2 y tengo $5.
Observa que sumar el número positivo 5 al número negativo (–2) da el mismo
resultado que restar 5 2 2.
Escribe una situación que dé contexto a la siguiente operación.
hi
c.
25
24
23
22
21
0
1
2
3
4
5
6
ro
26
R. M. Un caracol descendió 4 metros en un pozo y luego subió 1 m.
P
yyObserva que (24) 1 1 es lo mismo que 1 1 (24). ¿Cómo representarías esta
operación en la recta numérica? Verifica que obtienes el mismo resultado.
26
118
25
24
Eje: Número, álgebra y variación
23
22
21
0
1
2
3
4
5
6
d. Escribe una situación que dé contexto a la siguiente operación.
26
25
24
23
22
21
0
1
2
3
4
5
6
R. M. Un buzo, en el mar, descendió 4 metros y luego descendió 2 metros más.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
yyEscribe en tu cuaderno un resumen en el que expliques cuál es el resultado de
sumar un número positivo con un número negativo y el resultado de sumar dos
números negativos.
2. Reúnete con dos compañeros y hagan lo que se indica.
a. Comenten la información de la sección anterior y cómo pueden utilizarla para
el juego de los dados descrito en la lección 1.
b. Tomen dos de los dados que hicieron y haga un tiro cada uno. Resuelvan individualmente las sumas de los números obtenidos. Comenten sus resultados y
sus procedimientos y hagan lo mismo para cinco tiros más. Si lo consideran necesario, tracen rectas numéricas o usen el contexto tengo y debo.
c. Repartan las 90 fichas y lleven a cabo el juego con los siete dados. Escriban las
operaciones obtenidas y resuélvanlas.
R.
L.
yyComenten cómo les ayudó el juego a practicar la suma de números enteros y
platiquen de los retos a los que se enfrentaron.
Practicar para avanzar
hi
Resuelve los cuadrados mágicos. La suma de cada renglón, cada columna y cada diagonal
debe ser la misma en cada cuadrado.
P
ro
1.
2.
0
27
22
25
23
21
222 210
24
1
26
216
8
234 24
14
2
228
Comparen sus resultados en grupo y expliquen paso a paso el procedimiento que siguieron
para completar cada cuadrado.
Tema: Adición y sustracción
119
Lección 3
Resta de enteros con fichas
1. Representa las restas con fichas blancas y negras y obtén el resultado.
2
a. 5 2 2 5
2
1
b. (26) 2 (22) 5
c.
5 3
5 24
5
(26) 1 2 5
5
d. (24) 2 (23) 5
2
5
5 24
5 21
e. (24) 1 3 5
1
5
5 21
5
©
bi S
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n
su ti
lla
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st a
ri
bu
ci
ón
yy¿Cómo son los resultados del inciso b y del inciso c? ¿Y los del inciso d y e? Son iguales.
yyComenten en grupo si es cierto que restar un número negativo equivale a sumar
su opuesto y por qué. Proporcionen ejemplos.
2. Analiza el procedimiento y haz lo que se pide.
2255
5 ?
2
Como no hay suficientes fichas blancas en el minuendo para restar cinco fichas blancas, entonces se agregan ceros, recuerda que un cero se forma por una ficha blanca
y una negra.
2521010105
1
Ahora se restan las 5 fichas blancas.
2255
2
5
5 23
a. Repite el procedimiento anterior para la siguiente resta.
2
2
5
5 8
hi
5 2 (23) 5
ro
yyCompara los resultados de 5 2 (23) y 5 1 3. ¿Qué observas? Los resultados
son iguales.
P
b. Representa con fichas blancas y negras las restas. Agrega ceros si es necesario.
(22) 2 (25) 5
2
2
(24) 2 2 5
2 2 (24) 5
5
2
5
5
2
2
2
5 3
5 26
5 6
yyComparen sus respuestas y proporcionen un contexto a cada operación. Comenten
qué contextos son los más adecuados y por qué.
120
Eje: Número, álgebra y variación
3. Resuelve las operaciones y escribe la frase correspondiente con el contexto de
debo y tengo. Observa los ejemplos.
190 2 70 5 120
Tengo $190 y debo $70. Pago la deuda y me quedan $120.
(215) 2 (221) 5 6
Debo $15 y pago $21. Tengo $6 a mi favor.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
a. 7 2 19 5 212
Pago $7 y debo $19. Todavía debo $12.
b. (211) 2 (27) 5 24
Debo $11 y pago $7. Todavía debo $4.
c. (290) 2 50 5 2140
Debo $90 y pido $50 adicionales. Debo en total $140.
d. 91 2 (281) 5 172
Tengo $91 y me dan $81. Tengo a favor $172.
e. 23 2 (22) 1 (25) 2 4 1 (21) 2 (27) 1 3 5 21
Debo $3, pago $2, pido $5, pido $4, pido $1, pago $7 y pago $3. Debo $1.
yyCompara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten los enunciados
que escribieron para validarlas y qué otros contextos pueden utilizar. Después
analicen la siguiente información.
Cuando se tiene una resta de números enteros, se suma al minuendo el opuesto
del sustraendo. Por ejemplo:
2 2 3 = 2 1 (−3) 5 −1
3 2 (−5) = 3 1 (5) = 8
−3 2 2 = −3 1 (−2) = −5
Aplica lo que aprendiste.
1. Resuelve los problemas.
hi
a. Tengo $310 y debo $520. ¿Cuánto debo o cuánto tengo? Debo $210.
P
ro
b. ¿Cuántos grados hay que aumentar a 225 °C para alcanzar –18 °C? 7 ºC
c. La cima del monte Éverest está a 8 848 m sobre el nivel del mar, y el mar Muerto
está a —430 m con respecto al nivel del mar. ¿Qué diferencia hay entre ambas
alturas? 9 278 m
d. Un submarino desciende 150 metros desde una altura de 86 metros bajo el nivel
del mar. ¿A cuántos metros bajo el nivel del mar se encuentra? 236 m bajo el
nivel del mar
yyComenten la importancia de la suma y la resta de números enteros en la vida cotidiana y las estrategias más útiles para resolver estas operaciones.
Tema: Adición y sustracción
121
Secuencia
didáctica
Fracciones y decimales positivos
y negativos
18
Lección 1
Contenido: Resuelves problemas que impliquen suma y resta de fracciones y decimales positivos y negativos.
Temperaturas sobre cero y bajo cero
1. Resuelve el problema.
6
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
El servicio meteorológico de una localidad en las montañas registró la temperatura
promedio de los 6 meses más recientes, la cual varió de la siguiente manera:
yyEl primer mes la temperatura promedio fue de 5.5 °C.
yyEl segundo mes la temperatura descendió en promedio 0.75 °C y continuó disminuyendo de la misma manera durante el tercer y el cuarto mes.
yyEl quinto mes la temperatura promedio aumentó 1.2 °C.
yyY finalmente en el sexto mes disminuyó 3.06 °C.
ºC
5
a. Calcula la temperatura promedio del sexto mes. Escribe tus operaciones en el
recuadro.
4
3
5.5 2 3(0.75) 1 1.2 2 3.06 = 5.5 2 2.25 1 1.2 2 3.06 5 1.39
2
1
0
21
22
b. Escribe las temperaturas máxima y mínima que se registraron en la localidad
en esos meses. Temperatura mínima 0.75 ºC, temperatura máxima 5.5 ºC
23
d. ¿De qué otra forma podrías obtener el resultado anterior? R. M. Restando
el valor absoluto de las temperaturas máxima y mínima.
P
26
hi
25
27
Determina la diferencia que hay entre ambas temperaturas. Apóyate con el termómetro de la izquierda. 4.75
ro
24
c.
e. En el mismo sexto mes de un año anterior, la temperatura fue 8 °C más baja.
¿Qué temperatura promedio se registró? 3.55 ºC bajo cero
f.
El año pasado la temperatura mínima promedio fue de 28.3 °C. ¿Qué diferencia
hay respecto de la temperatura mínima de este año? Hay una diferencia de
7.55 ºC menos.
yyComparte tus respuestas y procedimientos con tus compañeros. Comenten
cómo resolvieron la última pregunta.
122
Eje: Número, álgebra y variación
Suma y resta de números decimales
1. A partir de la información, contesta las preguntas.
En la tabla se muestran los saldos mensuales de una empresa obtenidos durante el
primer semestre del año.
Mes
Enero
Febrero
Resultado ($) 2 235.00 22 845.45
Marzo
Abril
Mayo
Junio
650.75
21 800.00
21 200.00
675.30
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
a. ¿Qué significa que el resultado en los meses de febrero, abril y mayo sea negativo? Significa que hubo pérdidas.
b. ¿Cuál es el saldo de la empresa al final del semestre? Escribe tus operaciones y
obtén el resultado.
2235.00 2 2845.45 1 650.75 2 1800 2 1200 1 675.30 5 22284.40
c.
¿Cómo interpretas el resultado obtenido? Como una pérdida
d. ¿Cuál debe ser la ganancia mínima del segundo semestre para que la empresa
no registre pérdidas? $2 284.40
e. Se espera que, en enero del próximo año, la empresa obtenga ganancias de
$3 000. ¿Cuál es la diferencia esperada entre los resultados del mismo mes de
este año y el próximo? $765
hi
Si en febrero del próximo año también se esperan ganancias de $3 000, ¿qué diferencia habrá entre los resultados de ese mes de un año a otro? $5 845.45
ro
f.
P
g. Si la diferencia del saldo de marzo de este año con el del siguiente fuera de
2$7 350.60, ¿cuál sería el resultado? ¿Sería favorable para la empresa?
Argumenta por qué. La diferencia es de $ 6 699.85 y sería desfavorable para la
empresa porque representaría pérdidas.
yyComparen los procedimientos que utilizaron para responder las últimas tres
preguntas. Valídenlos con ayuda del profesor.
Tema: Adición y sustracción
123
Lección 2
Suma y resta de fracciones
Juego “obtén más puntos”
1. Analiza las condiciones del juego y haz lo que se solicita.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
El profesor de 1.º C propuso a los alumnos el juego “obtén más puntos” que a continuación se describe:
Instrucciones
yyEl juego se puede llevar a cabo en pareja o en equipo.
yyPara jugar es necesario conseguir dos dados: uno rojo y uno azul, y una moneda.
Cada jugador debe preparar previamente diez preguntas sobre algún contenido
tratado en clase. Las respuestas se validan con apoyo del profesor.
yyPor turnos, cada alumno contestará una pregunta; después lanzará los dados y la
moneda al aire.
yySi cae águila, los puntos serán positivos; si cae sol, serán negativos.
yyLos puntos se escribirán en forma de fracción; el dado rojo indicará el valor del numerador y el azul, el del denominador.
yySi el jugador respondió de manera correcta la pregunta, obtiene los puntos. En
caso contrario, se le restan.
yyEl jugador con mayor puntuación, luego de cinco partidas, será el ganador.
Observa el ejemplo de una jugada en la que el jugador contestó correctamente.
Es decir: +(2
3
).
5
2. La tabla muestra los resultados obtenidos en tres turnos del juego por los jugadores A y B. Escribe los puntos que obtuvieron en cada jugada.
Turno
1
Respuesta
Dado
rojo
Dado
azul
Moneda
Puntos obtenidos
A
B
A
B
A
B
Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
Correcta
1
5
2
3
5
2
2
5
5
2
6
3
Águila
Sol
Sol
Águila
Sol
Águila
111/22
2125/52
2122/52
hi
2
Jugador
ro
3
213/22
1125/62
112/32
P
a. Usa la recta y calcula la puntuación acumulada por cada jugador.
21
0
b. ¿Quién lleva la delantera? El jugador B A
c.
124
B
1
¿Va ganando quien responde correctamente? Explica. No, influye el resultado
del lanzamiento de la moneda.
Eje: Número, álgebra y variación
3. Observa los puntos que obtuvieron los mismos jugadores en los siguientes dos
turnos y completa la tabla.
Turno
Jugador
Respuesta
Dado
rojo
Dado
azul
Moneda
A
Incorrecta
6
4
Sol
212
6
4
2
B
Incorrecta
6
6
Sol
212
6
6
2
Puntos obtenidos
4
Incorrecta
1
6
Sol
212
1
6
2
B
Correcta
6
3
Águila
111
6
3
2
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
A
4.
c. Sí, pero dependerá si cae
águila o sol, del
valor en los dados y si responden correcta o
incorrectamente las preguntas.
d. No necesariamente. Los
resultados dependen del valor de los dados
y de las respuestas que se den.
e. No necesariamente. Ambos
equipos pueden
obtener puntuaciones negativas.
f. Sí. Si el numerador es mayor
que el denominador se pueden
obtener puntajes
entre uno y seis;
en caso contrario, puntajes mayores que cero,
pero menores
que uno. Además, también dependerá de si las
respuestas son
correctas o no.
5
a. ¿Cuál es el total de puntos obtenidos por cada uno de los jugadores? Jugador A:
5/3 de puntos, Jugador B: 3 puntos
b. ¿Qué jugador ganó? El jugador B
4. Con ayuda del profesor, planteen preguntas y formen equipos para jugar. Resuelvan las operaciones en su cuaderno para determinar al ganador. Antes de jugar,
respondan en su cuaderno.
a. Si dos jugadores obtuvieron el siguiente resultado:
Depende si responden correcta o incorrectamente a la pregunta.
hi
¿Acumulan la misma puntuación? Expliquen.
b. Si uno contesta correctamente y el otro no, ¿cuál sería la diferencia entre sus
puntuaciones? La diferencia será 6/5.
c. ¿Es posible que dos equipos obtengan la misma puntuación? ¿Por qué?
d. ¿El equipo con más respuestas correctas es el que gana? ¿Por qué?
e. ¿El equipo ganador es el que obtiene una puntuación positiva? Expliquen.
f. ¿El que obtiene números más altos en los dados siempre gana? ¿Por qué?
Practicar para avanzar
P
ro
yyComenten con sus compañeros cómo realizaron las operaciones. Luego de jugar
revisen sus respuestas. Corrijan si fuera necesario.
Resuelve las operaciones.
1.
(211.2) 23.04 1 (20.75) 2 10 5 224.99
3. 0.1 2 (20.01) 5 0.11
2.
9
1
1
5
22
4 1 5 2 20
4. 2
9
7
3
1
1 2 5 2 16
16
8
2
Tema: Adición y sustracción
125
Lección 3
Valor absoluto y puntaje
El juego continúa
Retomen el juego anterior. Consideren en esta ocasión que gana el equipo con el puntaje
más alejado del cero; es decir, el puntaje con mayor valor absoluto.
1. A continuación se muestran los puntos obtenidos en un juego entre tres equipos.
Completa la tabla y responde.
Turno 1
Turno 2
Turno 3
Turno 4
Turno 5
Total
Valor
absoluto
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Equipo
A
111
3
5
2
111
1
5
2
212
5
3
2
111
1
3
2
212
4
5
2
B
211
3
5
2
112
1
5
2
211
5
3
2
211
1
3
2
112
4
5
2
C
112
3
2
2
112
1
2
2
111
6
6
2
211
3
1
2
212
5
6
2
18
5
18
2
5
19
2
6
18
5
18
5
19
6
a. ¿Qué equipo ganó? Hubo empate entre los equipos A y B.
b. ¿Se obtiene el mismo resultado si se aplica el valor absoluto a cada uno de los
puntos obtenidos en cada turno? Expliquen. No, porque al obtener el valor absoluto, se descartan los resultados negativos, es decir, ya no influiría ni la respuesta ni el lanzamiento de la moneda.
c. A partir de los resultados de la tabla anterior, completa la siguiente y contesta.
Equipo A
Equipo B
Equipo C
Valor
absoluto
Puntaje
Valor
absoluto
Puntaje
Valor
absoluto
Turno 1
13/5
3/5
23/5
3/5
23/2
3/2
Turno 2
11/5
1/5
21/5
1/5
21/2
1/2
Turno 3
15/3
5/3
25/3
5/3
16/6
6/6
Turno 4
11/3
1/3
21/3
1/3
23/1
3/1
Turno 5
14/5
4/5
24/5
4/5
15/6
5/6
Total
118/5
18/5
218/5
18/5
219/6
19/6
hi
Puntaje
P
ro
yy¿Coincidieron los totales del puntaje y del valor absoluto en algún equipo? ¿Por
qué? Sí, en el equipo A el puntaje siempre fue positivo, lo que es igual al valor
absoluto.
yy¿A qué se debe que no coincidan en algunos casos? A que el puntaje siempre
es
positivo.
yy¿Quién habría ganado si se hubiera aplicado el valor absoluto en cada turno? Hubiera
habido un empate entre los equipos A y B.
yyComparte tus respuestas con tus compañeros y concluyan lo que observan sobre el comportamiento del valor absoluto y cómo afecta el juego.
126
Eje: Número, álgebra y variación
Herramientas académicas
Con una calculadora científica verifica los resultados que obtuviste en
las actividades de la secuencia.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Para sumar y restar fracciones en la calculadora, utiliza el botón “<a b/c>”.
Para ingresar números negativos, en algunas calculadoras, se puede usar
la tecla +/- para indicar el signo.
1
presiona las teclas 1 <a b/c> 2; para
Por ejemplo, para escribir
2
1
fracciones mixtas utilízalo dos veces , para ingresar la fracción 1
2
presiona las teclas 1 "<a b/c>" 1 "<a b/c>" 2.
Si obtuviste resultados diferentes, analiza el origen del error y
corrige. Coméntalo con tus compañeros.
Aplica lo que aprendiste.
1. La punta más alta de un árbol se encuentra a 2.75 m. La parte más baja de su raíz
se encuentra a –0.80 m con respecto del suelo. ¿Cuál es la distancia que hay desde
la parte más baja de la raíz hasta la punta del árbol?
2.75 2 (20.80) 5 3.55
2. Un edificio tiene 51.6 m de altura. Su longitud total, incluyendo los niveles subterráneos, es de 68.8 m. ¿A qué altura se encuentra el nivel inferior?
51 2 68.8 5 217.2
hi
3. Reúnete con tres compañeros y planteen un problema para presentar al grupo, el
cual se resolverá con ayuda del profesor. R. L.
ro
El problema debe incluir suma y resta de fracciones y decimales con signo, números
simétricos y valor absoluto.
Luego analicen cada uno de los problemas, respondiendo en su cuaderno.
P
a. ¿El problema cumple los requisitos solicitados?
b. ¿Es útil para practicar operaciones de fracciones y decimales con signo?
c. ¿La situación que se describe en el problema es real?
yyAnalicen las diferencias y las semejanzas en el proceso de sumar o restar fracciones
y decimales, en comparación con la suma y resta de números enteros. Concluyan
con ayuda del profesor. Escriban un texto en el que expliquen estos procesos.
Tema: Adición y sustracción
127
Secuencia
didáctica
Jerarquía de operaciones
19
Lección 1
Contenido: Determinas y utilizas la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales,
enteros y decimales.
Orden de las operaciones
1. Analiza la situación y responde.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Julio tomó un trabajo de 5 h. Le pagan $12 por hora por empacar cajas, pero le ofrecen
un bono de $4 por cada hora si empaca más cajas que la meta esperada. Julio trabajó
5 h ayer y ganó el bono de cada hora. Al terminar su jornada, fue a una cafetería y gastó $4. Cuando su mamá le preguntó cuánto dinero tiene Julio hizo el siguiente cálculo:
12 1 4 3 5 2 4 y le respondió a su mamá que le quedarían $28. Su hermana Laura calculó, en cambio, 12 1 4 3 (5 2 4) y opinó que solo le quedarían $16. Su hermano Manuel
opinó que ambos estaban equivocados y que le quedarían $76.
a. ¿Cuántas respuestas correctas puede haber del problema anterior? ¿Por qué?
Una, porque ya está establecido el pago que recibirá por las horas trabajadas.
b. ¿Por qué obtuvieron diferentes los resultados? Porque
plantearon las operaciones de distintas formas.
¿En qué radica la diferencia entre los resultados obtenidos? En el orden en que
se hacen las operaciones.
c.
yy¿Qué significado tiene el uso de paréntesis en el cálculo de Laura? Separar
dos
cantidades.
d. ¿Cuál crees que fue el cálculo que hizo Manuel? [(12 1 4) 3 5] 2 4
yy¿Cómo calcularías tú el dinero que le queda a Julio? Sumar el pago por horas
trabajadas
con el bono que recibió. El resultado multiplicarlo por las horas
trabajadas
y al final, restarle lo que gastó en la cafetería.
hi
e. ¿El orden en el que se escriben las operaciones afecta el resultado? ¿Por qué?
Sí, porque depende de cómo se hayan escrito las operaciones, esto influirá en
el resultado.
P
ro
yyComenten en grupo los procedimientos planteados y sus respuestas. Discutan
en qué creen que consiste la jerarquía de las operaciones. Si ya la conocen, explíquenla. Escriban sus conclusiones.
R. L.
128
Eje: Número, álgebra y variación
Expresiones aritméticas
1. Formen parejas y retomen el problema anterior para responder.
a. Escriban en su cuaderno los cálculos que hicieron Julio y Laura y compárenlos.
b. Resuelvan las operaciones utilizando una calculadora científica. ¿Da el mismo
resultado? ¿Por qué creen que ocurre esto? No, porque la calculadora va resolviendo la operación como se va introduciendo los datos.
c.
¿En qué orden debieron haber realizado las operaciones Julio y Laura para que
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
su resultado coincida con el que obtuviste en la calculadora científica? Primero
la suma y teclear el signo igual, luego multiplicar y teclear el signo igual y por
último la resta y el signo igual.
d. Analicen y comenten con el resto del grupo la siguiente información.
Una expresión aritmética es un enunciado escrito en lenguaje matemático formado por números y operadores aritméticos como 1, 2, 3 y 4. Las operaciones que
aparecen combinadas en la expresión aritmética se resuelven en el siguiente orden,
de izquierda a derecha:
1) multiplicaciones y divisiones
2) sumas y restas
A este orden se le conoce como jerarquía de operaciones.
Cuando se quiere que el orden en el que se opera sea distinto al que indica la jerarquía,
se usan
Diseño
2 los paréntesis. Si en una expresión aritmética hay operaciones dentro de un paréntesis, estas se resuelven antes que las multiplicaciones y divisiones,
considerando también la jerarquía de operaciones.
hi
e. Retomen el problema de las ganancias de Julio y coloquen los paréntesis que
faltan en sus cálculos para que represente la situación.
(5 12) (5 4) 4
yyComenten cómo utilizaron la jerarquía de operaciones para identificar dónde
colocar los paréntesis y cuánto dinero tiene Julio.
Practicar para avanzar
ro
1. Resuelve las operaciones.
b. 35 2 21 4 7 5 32
24 4 5 2 4 3 3 5 27.2
3
5 25.5
e. 21 4 4 3 5 2
4
d. 32 4 4 3 2 5 16
P
a. 25 1 5 3 15 5 100
c.
f.
1.74 2 3.45 3 6.12 1 34.09 5 14.71
Compara tus resultados con tus compañeros y explica paso por paso cómo los obtuviste.
Tema: Multiplicación y división
129
Lección 2
El uso de paréntesis
1. Lean la situación y contesten en parejas.
Carla y sus amigos fueron a comprar videojuegos para aprovechar los descuentos
de una tienda. Al entrar vieron en la lista de precios los juegos que les interesaban.
©
bi S
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n
su ti
lla
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st a
ri
bu
ci
ón
Escape $325.00 sin descuento
Los piratas acechan $189.00 sin descuento
Guerra espacial $155.00 con 20% de descuento
Encuentra al culpable $155.00 con 15% de descuento
Andrés compró 2 juegos de Guerra espacial y uno de Los piratas. Beatriz compró
2 juegos de Escape, 2 juegos de Encuentra al culpable y 2 de Guerra espacial. Carla
compró 2 juegos de Guerra espacial, 3 de los Piratas y 1 de Encuentra al culpable.
a. Escriban una expresión aritmética para encontrar cuánto debe pagar por su
compra cada amigo y resuélvanla. R. M.
yyAndrés: [(155 3 0.8) 3 2] 1 189 [124 3 2] 1 189 248 1 189 = 437
yyBeatriz: (325 3 2) 1 [(155 3 0.85) 3 2] 1 [(155 3 0.8) 3 2] 650 1
yyCarla: [131.75 3 2] 1 248 650 1 263.5 1 248 1 161.5
[(155 3 0.8) 3 2] 1 (3 3 189) 1 (155 3 0.85) 248 1 567 1 131.75 946.75
b. Beatriz escribió la operación 2 3 155 3 0.8 1 2 3 155 3 0.85 1 2 3 325 para
calcular cuánto debe pagar. Carla le dijo que es más fácil calcular cuánto debe
pagar si escribe la expresión que propuso como 2 3 [155 3 (0.8 1 0.85) 1 325].
yy¿Cuál es la diferencia entre el procedimiento que siguió Beatriz en su cálculo y
el que propone Carla? El procedimiento que propone Beatriz no es correcto. En
el procedimiento que propone Carla, las operaciones se encuentran ordenadas.
yy¿En qué orden debe resolverse la expresión aritmética? Primero se deben resolver las multiplicaciones y después las sumas.
P
ro
hi
yy¿Es correcto lo que dice Carla? ¿Por qué? Sí, porque primero deben calcularse
los descuentos y después, la suma del número de juegos que están adquiriendo.
yy¿Hay otra forma de escribir el cálculo para encontrar cuánto pagó Beatriz?
Justifica tu respuesta o escribe el cálculo, según corresponda. Sí. (325 3 2) 1
[(155 3 0.85) 3 2] 1 [(155 3 0.8) 3 2] 650 1 [131.75 3 2] 1 248 650 1
263.5 1 248 1161.5
yyCompartan sus respuestas y observen cuántas formas distintas hay de escribir
el cálculo que se debe resolver para saber cuánto pagará cada niño. Elijan los
que consideren más adecuados.
130
Eje: Número, álgebra y variación
Expresiones equivalentes
2. Resuelve las operaciones y contesta.
32 4 (4 3 2) 5 4
27 3 3 2 15 3 3 5
(32 4 4) 3 2 5 16
36
(27 2 15) 3 3 5 36
a. ¿Qué observas en las expresiones algebraicas anteriores? Los números y operaciones en las expresiones de la primera fila son los mismos, pero agrupados de
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
distinta forma, al igual que los de la segunda fila.
Si dos expresiones aritméticas distintas tienen el mismo resultado, decimos que
son expresiones equivalentes.
b. Considera la información anterior y escribe la pareja de expresiones equivalentes. (27 3 3) 2 15 3 3 (27 2 15) 3 3
c.
Reúnete con dos compañeros y escriban dos ejemplos de expresiones equivalentes. R. M. (27 3 4) 1 6 3 4 (27 1 6) 3 4
(81 9) 1 27 9 = (81 1 27) 9
yy¿Por qué es importante el uso de paréntesis al escribir expresiones equivalentes?
Porque es un indicador que nos permite agrupar el orden en que se deben
realizar las operaciones.
yyCompartan sus expresiones equivalentes con otro equipo para validarlas.
Verifiquen que el resultado que se obtiene en ambas sea el mismo.
3. Resuelve las operaciones y contesta.
63312345
26
15 3 2 1 15 4 3 5 35
10 3 (25 2 5) 1 5 3 3 2 16 5 199
hi
a. ¿Cómo se resolvería la segunda expresión si no tuviera paréntesis? ¿Por qué?
En el orden en que aparecen las operaciones. Primero la multiplicación des-
ro
pués la división y al final, sumar ambos resultados.
P
b. ¿Por qué es necesario utilizar los paréntesis en la última expresión? Justifica tu
respuesta. Porque si no se cuenta con ella, el resultado de la operación será otro.
yyCompartan en grupo sus resultados para validarlos. Discutan la importancia del
uso de paréntesis en las expresiones resueltas.
Tema: Multiplicación y división
131
Lección 3
Resolución de operaciones
1. Lee las reglas del juego y haz lo que se indica.
¿Qué número pensé?
Uno de los jugadores pensará un número sin decirlo. Después, en voz alta enunciará operaciones y el resultado final. Los demás participantes deberán calcular mentalmente el
número pensado, que permite obtener el resultado final con las operaciones propuestas.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Por ejemplo:
El primer jugador piensa un número n y luego da las instrucciones: Sumen 5 al número y
multipliquen el resultado por 2. El resultado final es 28. ¿Cuál número pensé?
a. Escribe una expresión con la información dada en el ejemplo. Recuerda que n representa un número. (n 1 5) 3 2 28
b. Resuelve la expresión anterior y escribe el número que pensó el primer jugador.
n 9
c.
Forma equipo con tres compañeros. Elijan 2 números y escriban las expresiones
que van a presentar al resto del grupo. R. L.
Expresión 1: Expresión 2: d. Presenten las operaciones que eligieron para que el resto del grupo adivine los números que pensaron. Cuando les toque adivinar, no olviden escribir en su cuaderno
la expresión que presentan los otros equipos.
yyAnalicen en qué casos fue necesario el uso de paréntesis al escribir las expresiones y
por qué. Verifiquen que hayan seguido la jerarquía de operaciones.
2. Lee la situación y responde.
Jorge resolvió la siguiente operación para una tarea.
hi
44 2 60 1 (12 2 5 3 4) 1 9 5 29 1 (12 2 20) 1 9 5 29 2 8 1 9 5 1
4
P
ro
a. Describe los pasos que siguió Jorge y verifica que el resultado que obtuvo sea
correcto.
A 44 le restó 60/4 y a esa cantidad le sumó el resultado de la operación que se
encuentra entre paréntesis: 12 menos 5 por 4 y a todo ello le sumó 9. El resultado que obtuvo no es correcto porque debe ser 30.
yyComenten en grupo el procedimiento de Jorge, si siguió correctamente la jerarquía de operaciones y cómo lo saben.
132
Eje: Número, álgebra y variación
3. Lee el problema y contesta.
Luisa, Nadia y Marisa encontraron en la papelería paquetes de tres cuadernos a $48 con
15% de descuento. Cada una compró un paquete. Si pagaron los tres paquetes con un billete de $500, ¿cuánto cambio les devolvieron?
Analiza la cuenta que cada una realizó.
15
3500 2 13 3 4824 2 13 3 48 3 100
2
Luisa
3500 2 144 4 2
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
356 21.6 334.4
15
500 4 13 3 482 2 13 3 48 3
2
100
3.47 21.6 18.12
Nadia
Marisa
108
5
500 144 2
108
5
15
500 2 313 3 482 2 13 3 48 3
24 500 2 3144 2 108
100
5
612
500 2 122.4 377.6
500 2
5
4
a. ¿Qué resultado obtuvo cada una? Escribe las operaciones en el recuadro
correspondiente.
b. ¿Obtuvieron el mismo resultado? ¿Por qué? No,
porque cada una de ellas agrupó de forma diferente las operaciones a realizar.
c.
¿Qué uso les dieron Luisa y Marisa a los corchetes de su cuenta? Luisa: los usó
erróneamente. Marisa los usó correctamente.
d. Analiza la siguiente información
ro
hi
Igual que los paréntesis, los corchetes se usan para dar prioridad a las operaciones encerradas en ellos e indican que las expresiones de su interior deben tratarse
como una unidad. Cuando encuentres operaciones aritméticas o algebraicas con
corchetes, debes operar en el siguiente orden:
P
1) Corchetes y paréntesis
2) Multiplicaciones y divisiones
3) Sumas y restas
e. ¿Quién realizó la cuenta correctamente? ¿Hay otra forma de representar la situación? Escribe una expresión equivalente. Marisa. Sí, 500 2 (3 48)(1 2 0.15).
Tema: Multiplicación y división
133
f.
¿Cuánto cambio les devolvieron? $377.6
yyValiden en grupo los resultados de todas las expresiones aritméticas.
Aplica lo aprendido y responde.
1. Resuelve los problemas y compara tus respuestas y procedimientos con tus
compañeros.
a. Coloca los paréntesis y corchetes necesarios para que el resultado sea correcto.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
( 1 (4 3 3 ))5 18
yy16
y[(
y16 1 8)4 4] ( )
—23350
y[(y2.5 3 1.2)—( )] [ ( ) ]
0.3 3 2 1 1 3 4.1 — 3 3 5 5 7.9
3
1
yy1 1 23 5 5 25
4
2
4
b. El boleto de una feria cuesta $32 y los refrescos, $12 cada uno. ¿Cuánto tendrían que pagar Ana y tres amigos más si Ana y uno de sus amigos compran 2
refrescos cada uno y los otros dos amigos compran uno cada uno?
yyEscribe una expresión que represente el problema y resuélvela.
(32 3 4) 1 (12 3 6) 128 1 72 200
hi
yyEncuentra una expresión equivalente a la anterior. [2 3 (32 1(2 3 12))] 1 [2 3 (32 1 12)]
Marta venderá cajas de galletas con la finalidad de juntar dinero para una obra
social. Tiene dos tipos de caja: una de 54 galletas y otra de 30. ¿Cuántas galletas debe hacer para llenar las cajas si tiene 14 del primer tipo y 25 del segundo?
Escribe la respuesta y la expresión aritmética correspondiente.
Debe hacer 1 506 galletas que se obtienen de la expresión: (14 3 54) 1 (25 3 30).
yyEscribe dos expresiones equivalentes a la expresión con la que encontraste el
resultado. 2 3 [(14 3 27) 1 (25 3 15)] o 3 3 [(14 3 18) 1 (25 3 10)]
P
ro
c.
yyExplica qué es la jerarquía de operaciones y cuál es su importancia. Escribe tus
conclusiones en el cuaderno.
134
Eje: Número, álgebra y variación
Reviso mi trayecto
Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de
los contenidos que tienes que repasar.
1. A continuación se muestran las temperaturas promedio de un mes en algunas ciudades del mundo.
12 ºC
Madrid
Pekín
Ottawa
Roma
Tokio
Ámsterdam
Ciudad
de México
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Londres
22 ºC
25 ºC
220 ºC
28 ºC
12 ºC
24 ºC
12 ºC
a. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre Londres y Pekín? 17 ºC
b. En un viaje, una persona experimentó un cambio de temperatura de 117 °C.
¿De dónde a dónde viajó? Viajó de Pekín a Roma.
c.
¿Cuál es la temperatura promedio de Ciudad de México si al viajar desde
Ámsterdam hay un cambio de 16 °C? 12 ºC
d. Si al viajar a Ottawa desde Tokio se experimenta un cambio de temperatura de
212 °C, ¿cuál era la temperatura en Tokio? 28 ºC
2. Resuelve los cuadrados mágicos. Recuerda que la suma de cada renglón, columna
y diagonal debe ser la misma en cada cuadrado.
a. Suma: 0.75
21.5
22
1
2
21.5
2.75
2 1
2
21
21.5
hi
b. Suma: 23
1
22
22.5
0
1
1.25
22.25 0.25
0.75
20.5
ro
2
P
3. Coloca los paréntesis necesarios para que el resultado sea correcto.
a. 4 3(2 1 7)5 36
b. [((10 — 8 )÷ 2 ) 2]3 5 5 15
1
( )] ( )
c. [ 4 3212331154
135
Secuencia
didáctica
Sucesiones
20
Lección 1
Contenido: Usas distintas representaciones: verbal, en dibujos, tabular y algebraica para representar problemas y sucesiones. Formulas expresiones algebraicas.
Descripción de patrones
1. Lee el problema y responde.
Brenda hace cojines de distintos tamaños con diseños como el siguiente:
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Diseño 1
Figura 1
Figura 2
Figura 3
a. Dibuja las figuras 4 y 5 de este diseño.
Figura 4
Figura 5
cuadrados
b. ¿Cuántos cuadrados tendría la figura 20? 60
hi
yyEscribe el procedimiento que utilizaste para obtener el resultado. R. M. Se
multiplica 3, el número inicial de cuadritos, por el número de la figura.
¿Qué número de figura se formaría con 69 cuadrados? Justifica tu respuesta.
La figura número 23 porque 69/3 23
P
ro
c.
d. ¿Puedes formar este tipo de patrón con 100 cuadrados? ¿Por qué? No, porque
100 no es múltiplo de 3.
e. ¿Es posible hallar el número de cuadrados que tiene el diseño 1 a partir del número de la figura? Sí, es posible con el conteo de los cuadros que forman las fi-
guras o multiplicando 3 por el número de figura.
yyComenta tus respuestas con tus compañeros y explica tus procedimientos.
136
Eje: Número, álgebra y variación
Sucesiones de figuras
1. En los cojines de Brenda también hay diseños como este:
Diseño 2
Figura 1
Figura 2
Figura 3
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
a. Dibuja las siguientes dos figuras de acuerdo con el patrón en el recuadro.
Figura 4
Figura 5
b. Describe cómo crecen las figuras. Crecen hacia la derecha e incrementan tres
cuadros
cada vez.
2. Completa la tabla con el número de cuadrados que tiene cada figura.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
4
7
10
13
16
a. ¿Qué patrón observas en los números de la tabla? Los
números aumentan de 3 en 3.
hi
b. ¿Es posible formar una figura como las de arriba con 100 cuadrados? ¿Por qué? c. ¿Y con 101 cuadrados? ¿Por qué? No,
porque 101 no se puede escribir como la
suma de un múltiplo de 3, más 1.
d. Si tuvieras que dibujar la figura número 150, ¿cuántos cuadrados necesitarías? ¿Cómo lo sabes? Necesitaría 451 cuadritos. R. M. Se tendría que multiplicar
3 150 y sumarle 1.
P
ro
Los conjuntos de figuras que forman los diseños de Brenda se llaman sucesiones de
figuras.
2.b. Sí, porque
se observa
que la figura
se construye
con un múltiplo de 3, más
un cuadrado
más, y
100 3 (33)
1.
Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos que sigue una regla, regularidad o patrón. A cada uno de estos elementos se le llama término.
yyComenta tus respuestas con tus compañeros. Juntos discutan la manera de encontrar cualquier término de una sucesión.
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
137
Lección 2
Sucesiones y expresiones algebraicas
1. Observa nuevamente los diseños de Brenda y completa la tabla con el número de
cuadrados de cada patrón.
Diseño 1
Figura 2
Figura 3
Figura 1
Figura 2
Figura 3
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Figura 1
Diseño 2
Figura
1
2
3
4
5
6
Diseño 1
3
6
9
12
15
18
Diseño 2
4
7
10
13
16
19
a. Compara los diseños y describe sus semejanzas y diferencias.
R.M. El diseño 1 tiene un cuadrado menos que el diseño 2 por cada figura.
b. Los números en la sucesión que corresponde al diseño 1, ¿se parecen a alguna
tabla de multiplicar? ¿A cuál? Sí, a la tabla de multiplicar del número 3.
c.
¿Cuál de las siguientes reglas permite encontrar el total de cuadrados utiliza-
dos por Brenda en el diseño 1 para cualquier número de figura? Considera que
n es el número de la figura en la sucesión.
n13
3n
yyJustifica tu respuesta. El número de cuadritos de cada término del diseño se
obtiene multiplicando el número de figura por 3.
Para describir la regla de una sucesión se utilizan expresiones algebraicas.
Por ejemplo:
an 5 3n
hi
donde an es el enésimo término de la sucesión; es decir, es el elemento que ocupa
la posición n, y 3n es la regla por medio de la cual se obtiene.
P
ro
d. Formula una regla para encontrar el número de cuadrados en las figuras del diseño 2. Primero describe la regla y después escribe una expresión algebraica
que la represente.
A 1 le sumamos el producto 3n, donde n será el
yyRegla para el diseño 2: número de figura.
yyExpresión algebraica: an 113n
138
yyVerifica que la expresión que utilizaste te dé el número de cuadrados para cada figura. Por ejemplo, si n 5 4, ¿qué valor tiene tu expresión? ¿Coincide con el número
de cuadrados de la figura 4? En caso de que no concuerde, modifica tu expresión.
Para n 4, la expresión tiene un valor de 13, que es el número de cuadros necesarios para la construcción de la figura 4.
Eje: Número, álgebra y variación
2. Observa la sucesión, dibuja los siguientes dos términos y haz lo que se pide.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
a. Describe la sucesión. La sucesión va aumentando un punto azul en cada brazo
de cada figura.
b. Completa la tabla.
1
2
3
4
5
Círculos amarillos
1
1
1
1
1
Círculos azules
4
8
12
16
20
Total de círculos
5
9
13
17
21
Figura
c.
¿Cuántos círculos amarillos y azules tendría la figura 100? Un círculo amarillo y 400 azules
d. ¿Podrías formar una figura como las de este diseño con 40 círculos azules?
¿Qué número de figura sería? Sí, es la figura número 10.
e. Escribe una expresión algebraica que te permita encontrar el número de círculos de cada color y el total.
yyAmarillos: an 1
Azules: an 4n
Total de círculos: an 114n
yyVerifica que la expresión hallada sea correcta. Con ayuda de su profesor, analicen la relación entre las tres expresiones e identifiquen los elementos que conforman a cada una de ellas.
Practicar para avanzar
P
ro
hi
1. Observa las figuras y responde en tu cuaderno.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
a. ¿Cuántas barras tendrá la figura 50? 101 barras
b. Escribe una expresión algebraica que sirva para encontrar el número de barras necesarias para formar la figura n. an 2n11
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comparte tu procedimiento.
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
139
Lección 3
Sucesiones numéricas
Las sucesiones pueden estar formadas también por números, sin figuras.
1. Analiza las sucesiones y responde.
Sucesión 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Término
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Lugar del término n
a. ¿Qué relación guarda cada término con el lugar que ocupa? Es el producto del lugar que ocupa y 5.
b. ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 15? 75
c. ¿Y el que está en el lugar 100? 500
d. Explica cómo encontraste las respuestas. Realizando la multiplicación de 5 por
el
lugar de cada término.
e. Escribe una expresión algebraica que te permita encontrar el término para
cualquier lugar en la sucesión. an 5n
f.
Verifica que tu expresión funcione.
yyPara el quinto lugar de la sucesión, ¿tu expresión te da 25? Sí, a5 535 25
yyPara el noveno lugar de la sucesión, ¿obtienes 45? Sí, a9 539 45
Sucesión 2
Lugar del término n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Término
6
11
16
21
26
31
36
41
46
51
a. Escribe cuáles son las diferencias y las similitudes entre las sucesiones 1 y 2.
Compara las tablas. Similitudes: ambas sucesiones van de 5 en 5. Diferencias:
en la sucesión 1 el primer término es 5 y en la sucesión 2 el primer término es 6.
hi
b. ¿Cómo puedes encontrar el centésimo término de esta sucesión? Multiplicando
100 por 5 y al resultado sumarle 1.
¿Usaste lo que ya sabías de la sucesión anterior? Si es así, ¿cómo? R. M. Sí, se
utiliza la generalización y se suma 1.
P
ro
c.
d. Escribe una expresión algebraica que te sirva para encontrar cualquier término
de la sucesión dado el lugar del término. an 5n11
yyCompara con tus compañeros las expresiones obtenidas y verifiquen que funcionen. Luego contrasten el procedimiento hecho con lo que trabajaron en las
lecciones previas.
140
Eje: Número, álgebra y variación
Construyendo sucesiones
2. Considera una sucesión en la cual, para generar el siguiente término, se le suma 8
al anterior y realiza lo que se pide.
a. Escribe los primeros 10 términos de la sucesión. R. M. 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57,
65,
73
b. Escribe una expresión algebraica que te sirva para encontrar cualquier término
de la sucesión dado el lugar del término y verifica que funcione. R. M. an 118n
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
3. Considera la sucesión generada por la expresión 2n + 3 y realiza lo que se solicita.
a. ¿Cuál es el término 100 de esta sucesión? 203
b. ¿Qué indica el 2 en la expresión 2n 1 3? Que el número del término será multiplicado por 2.
c.
¿Qué indica el 3? Indica que al producto 2n se le deben sumar 3.
yyComenta con tus compañeros el significado de cada elemento de la expresión.
Aplica lo que aprendiste.
1. Observa la sucesión y responde.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
a. Escribe la expresión algebraica que describe la sucesión del número de puntos
rojos en las figuras. an 6n13
b. Escribe la expresión algebraica que indica el número de triángulos verdes en
cada una de las figuras. an 3n11
¿Cuántos puntos rojos y triángulos verdes tendrá la figura 1 000? 6 003 puntos
rojos
y 3 001 triángulos verdes
hi
c.
ro
2. Completa la tabla y responde.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Término
17
37
57
77
97
117
137
157
177
197
P
Lugar del término
a. ¿Qué número corresponde al término 100 de la sucesión? 1997
b. Escribe la expresión algebraica que describe la sucesión. an 20n23
yyComenten en grupo cómo se relaciona la expresión algebraica de una sucesión
con la sucesión que representa.
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
141
Secuencia
didáctica
El plano cartesiano
21
Lección 1
Contenido: Resuelves situaciones que impliquen la ubicación de puntos en el plano cartesiano.
Ubicación de puntos en el plano cartesiano
1. Analiza la situación junto con un compañero. Luego respondan las preguntas.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Inés pasará varias semanas en casa de su prima Claudia. Para ubicarse, Inés le pidió
a Claudia que le explicara dónde quedan la escuela, el supermercado, el parque, el
cine y la clase de danza.
Claudia pensó decirle que la escuela, por ejemplo, está a ocho cuadras de su casa y
el supermercado a nueve, pero para ir a cada uno de estos lugares tendría que caminar en distintas direcciones. Claudia decidió usar un plano con coordenadas e
incluir números positivos y negativos para hacer una retícula que representara las
calles, en la que podría situar los puntos de interés de su prima y usar su casa como
referencia. El plano que le envió Claudia a Inés es el siguiente.
hi
a. ¿Cómo describirían la ubicación de los puntos que representan los siguientes
lugares en el plano cartesiano?
ro
yyEscuela: Dos cuadras al este y seis cuadras hacia el norte de la casa de Claudia.
yyClase de danza: Cinco cuadras al oeste y seis cuadras al norte de la casa de Claudia.
P
yyParque: Dos cuadras al oeste y cuatro cuadras hacia el sur de la casa de Claudia.
b. ¿Qué lugar se representa con el punto (4, 25)? El supermercado
c. ¿Qué lugar se representa con el punto (4, 0)? El cine
d. ¿Qué ventajas tiene la idea de Claudia? R. M. Que su prima va a ubicar los lugares
con facilidad con respecto a su casa.
yyComparen sus respuestas con las de otros equipos y valídenlas con su profesor.
142
Eje: Número, álgebra y variación
El plano cartesiano, ejes, cuadrantes y puntos
1. Reúnete con dos compañeros y realicen lo que se pide.
a. Construyan un plano cartesiano en una hoja cuadriculada.
b. Localicen los puntos (28, 2), (25, 2), (22, 21) y (29, 21), y únanlos. Ver solucionario
yy¿Qué figura se forma? Un trapezoide
yy¿Las coordenadas (3.25, 210.3) y (210.3, 3.25) representan el mismo punto?
¿Por qué? No, porque son dos puntos que se ubican en distintas posiciones en el plano cartesiano.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
En la primera pareja ordenada el valor de x 3.25 y en la segunda pareja, x 210.3.
yyCorroboren su respuesta ubicando las dos coordenadas en su plano.
Los puntos que se ubican en el plano cartesiano se representan por medio de pares ordenados (x, y).
La primera coordenada representa la posición del punto con respecto al eje x o eje
de las abscisas y la segunda, la posición respecto al eje y o eje de las ordenadas. Al
punto de intersección entre ambos ejes se le conoce como origen.
El signo de la coordenada indica la dirección en la que se
encuentra con relación al origen. Si la x es positiva, el punto se localiza a la derecha del origen, si es negativa se localiza a la izquierda del origen. De igual manera si la y es
positiva el punto se localiza arriba del origen y si es negativa, debajo del origen.
Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones
que se conocen como cuadrantes. Estos se numeran en
sentido contrario a las manecillas del reloj.
2. Retoma el problema de inicio y responde.
hi
a. ¿Cuál es la distancia entre la clase de danza y la escuela? 7 calles
b. ¿Cuál es la distancia entre el supermercado y el cine? 5 calles
P
ro
yyComenten en grupo cómo se puede calcular la distancia entre dos puntos marcados en el plano cartesiano.
Practicar para avanzar
Traza un plano cartesiano en tu cuaderno, localiza los puntos (21, 21), (2, 22) y (21, 3) y responde.
1. ¿Qué coordenadas debe tener el cuarto punto para formar un trapezoide? (2, 5)
2. ¿En qué cuadrante se localizan los puntos (25, 2), (28.5, 23), (5.6, 24.5)? (25, 2) en el
cuadrante II, (28.5, 23) en el cuadrante III y (5.6, 24.5) en el cuadrante IV.
Tema: Funciones
143
Lección 2
Utilidad del plano cartesiano
1. Lee el planteamiento y realiza lo que se solicita.
Carlos hizo una caminata en línea recta por el campo alrededor de su casa y anotó
los datos de los puntos del trayecto en los cuales cambió de dirección, tomando su
casa como punto de referencia.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Los datos que anotó, utilizando la posición
respecto a su casa (el origen), como primera
componente y la altura del terreno como segunda componente son los siguientes:
(23.5, 21.2), (22, 3), (21.5, 0), (21, 23.2),
(20.5, 22), (0.9, 0), (2, 1), (4, 0.5), (4.7, 1.3)
a. Completa el plano cartesiano y ubica los
puntos anotados por Carlos.
b. Une con líneas rectas los puntos en la gráfica para describir el trayecto.
c.
Reúnete con dos compañeros y completen la tabla a partir del recorrido hecho
por Carlos. Luego respondan.
Posición
Altura
22
21
20.5
1.5
4
4.7
3
23.2
22
0
0.5
1.3
yyExpliquen el procedimiento que siguieron para obtener los valores que faltaban en la tabla. Se ubicó la posición en el eje x y la altura en el eje y, por lo
que se buscó la coordenada que representa cada punto.
yySi Carlos no cambiara de dirección en el último punto y siguiera caminando,
¿a qué altura estaría cuando llegara a la posición 5.2? 1.87
hi
P
ro
yy¿Si siguiera andando en las mismas condiciones que antes, podrían ubicar la
altura a la que estaría Carlos cuando se encontrara en la posición 7? 3.92
yy¿Qué tan confiables son sus respuestas? ¿Por qué? R. M. Es un valor
aproximado al real.
yyComenten con otros compañeros cuál fue el método que emplearon para conocer las coordenadas fuera de la gráfica y qué otras aplicaciones tiene.
144
Eje: Número, álgebra y variación
2. Reúnete con un compañero. Dibujen un plano cartesiano y localicen los puntos
1
5
14, 282, 14, 2 2, 14, 2 y 14, 62. Luego respondan. Ver solucionario
4
4
a. ¿Qué tienen en común las coordenadas de los puntos? El valor de los puntos
en el eje x es el mismo.
b. Unan los puntos con una línea, ¿cómo es la línea que resulta en esta gráfica? Es una línea recta paralela al eje de las ordenadas (y).
c.
Ubiquen tres puntos más que estén sobre la línea. ¿Cuáles son las coordenadas
de esos puntos? R. M. (4, 25), (4, 22), (4, 3) y (4, 9)
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
d. ¿Cómo interpretan la expresión x 5 4 con relación a esos puntos? Que todos los
puntos estarán ubicados sobre la línea que pasa por el punto 4 en el eje x.
e. ¿Podríamos representar esa línea mediante la expresión anterior? ¿Por qué? Sí, porque no importa el valor que tome la ordenada, la recta pasará por ese punto.
Escriban cuatro puntos que tengan todos la misma coordenada y. R. M.
(27,
25), (24, 25), (4, 25) y (8, 25)
g. ¿Se puede trazar una línea recta sobre esos puntos? Sí se puede.
h. ¿Cuál es la expresión que representa esa recta? y 25
f.
Aplica lo que aprendiste.
1. Lee el texto y contesta.
Eduardo y Laura decidieron hacer pastelitos para vender. Para ver si el negocio les conviene calcularon la ganancia de vender determinado número de pastelitos, ellos consideraron que la ganancia es la diferencia entre el dinero obtenido de la venta menos
el costo por elaborarlos.
b. ¿Cuántos pastelitos vendieron cuando
ganaron $360? 22 pastelitos
Ganancia por la venta de pastelitos
1 000.00
(40,900)
800.00
Ganancias ($)
a. ¿Cuál es la ganancia por vender 40 pastelitos? $900
600.00
(22,360)
se
400.00
¿Qué significa el punto (10, 0)? Que
200.00
vendieron 10 pastelitos, pero no hubo
(10,0)
ganancia.
0
d. ¿Por qué la ganancia total es negativa si
5 10 15 20 25 30 35
el costo
(5,}150)
}200.00
venden 5 pastelitos? Porque
de elaborar cinco pastelitos es maPastelitos vendidos
yor a la ganancia que se obtiene de
venderlos.
2. Dibuja cinco puntos en el plano cartesiano, en el cual el eje x represente el número
de camisas producidas y el eje y, la ganancia total de la venta de camisas. Incluye
puntos con coordenadas y positiva y negativa. Interpreta la información que dan
los cinco puntos en términos de la ganancia de la venta de camisas. R. L.
40
45
P
ro
hi
c.
yyComenten en grupo la utilidad del plano cartesiano, tomando en cuenta lo estudiado durante la secuencia.
Tema: Funciones
145
Secuencia
didáctica
Situaciones de variación
22
Lección 1
Contenido: Interpretas situaciones de variación a partir de su representación tabular, gráfica y verbal.
Comparas diversos tipos de variación usando diferentes representaciones.
Interpretación de la variación
1. En equipos de tres integrantes, lean la situación y respondan.
©
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ci
ón
Luis y Mauricio decidieron caminar 30 min diariamente en el parque para entrenarse.
Mientras caminaban, registraron cuántos metros recorrían cada 5 min. En la tabla se
muestran el tiempo y el recorrido de cada uno.
Tiempo (min)
Recorrido de Luis (m)
Recorrido de Mauricio (m)
0
0
0
5
250
300
10
500
450
15
750
450
20
1 000
450
25
1 250
650
30
1 500
900
a. ¿Qué puedes decir acerca de los movimientos de Luis y Mauricio a partir de la
tabla?R. M. Que Luis caminó 250 m cada 5 minutos sin interrupción, mientras
que Mauricio permaneció en el mismo lugar durante 15 minutos.
yyComenten con otros equipos sus resultados y verifíquenlos con la guía del
profesor.
Gráficas de movimiento
1. Retoma la situación anterior y contesta de manera individual.
Relación tiempo–recorrido
1500
1350
1200
Recorrido de Luis
Recorrido de Mauricio
1050
Recorrido (m)
P
ro
hi
a. Traza los puntos de la tabla que representan los movimientos de los dos amigos para ello elige la escala que consideres conveniente. Después une los
puntos.
900
750
600
450
300
150
0
146
Eje: Número, álgebra y variación
5
10
15
20
25
30
Tiempo (min)
35
40
45
50
b. ¿Qué forma tiene cada una de las gráficas? La gráfica del recorrido de Luis es
una línea recta y la de Mauricio es una gráfica formada por una línea quebrada.
c.
Describe los movimientos de Luis y Mauricio a partir de las gráficas. R. M. Luis
tuvo movimiento constante; ya que por cada cinco minutos recorría 250 m.
Mauricio recorrió 300 m, luego recorrió 150 m más, se detuvo 15 minutos, después recorrió otros 200 m y por último 250 m.
©
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n
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lla
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st a
ri
bu
ci
ón
yy¿Cuáles variables se relacionan entre sí en las gráficas? Dos, el tiempo y la
distancia recorrida.
yy¿Cómo podrías saber qué tan rápido caminó Luis ese día? Dividiendo 250 m
entre 5 minutos.
yy¿Se detuvo Mauricio en algún momento? ¿Cuánto tiempo? Sí, se detuvo
durante 15 minutos.
d. ¿Cuántos metros ha caminado Luis cuando han pasado 8 min, 12 min, 22 min y
28 min? 400 m, 600 m, 1 100 m y 1 400 m.
e. ¿Cuántos metros caminó Mauricio en los mismos tiempos? ¿La información de
la tabla te ayuda a calcular la distancia recorrida por Mauricio en esos tiempos?
Justifica tu respuesta. 390 m, 450 m, 530 m y 800 m.
¿La distancia recorrida por cada niño es proporcional al tiempo de la
caminata? ¿Por qué? En el caso de Luis sí porque el recorrido es
constante con respecto al tiempo. En el caso de Mauricio no, porque no tiene un recorrido constante.
g. ¿En qué intervalos de tiempo aumenta la distancia recorrida por
Luis y en cuáles aumenta la distancia recorrida por Mauricio? La
f.
distancia recorrida por Luis aumenta en cualquier intervalo de
tiempo entre 0 y 30, mientras que para Mauricio la distancia
hi
aumenta en el intervalo de 0 a 10 y de 20 a 30.
h. ¿Qué sucede con el movimiento de Mauricio en el intervalo entre
10 y 20 min? No hay movimiento.
intervalo. Es un
subconjunto de la
recta numérica que
identifica todos los
números que están
comprendidos
entre dos números
dados.
ro
¿Cuál de los amigos camina más rápido del inicio hasta los 10 min?
Luis.
Glosario
P
i.
j.
Haz una tabla en tu cuaderno donde muestres los valores de las variables relacionadas en diez puntos diferentes a los que ya se analizaron. R. L.
yyComparte tus gráficas y descripciones con tus compañeros de grupo. Expongan
cómo identificaron los intervalos requeridos.
Tema: Funciones
147
Lección 2
Variación directa
1. En parejas, analicen la información y respondan.
En la tabla se muestran los valores de dos variables en relación.
Tabla 1
—8
—6
—4
—2
0
2
4
6
8
10
y
16
12
8
4
0
—4
—8
— 12
— 16
— 20
©
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ón
x
a. Construyan en su cuaderno una gráfica con los datos de la tabla. Ver solucionario
b. ¿Los datos proporcionan información sobre todos los puntos cuando x varía en
el intervalo de −8 a 10? ¿Por qué? Sí, porque la variación es constante.
yy ¿Entre qué números varía y? Entre 16 y 20
yy ¿Cuánto valdría y para x 5 7 y x 5 15? Si x7⇒y14 y si x15⇒y30
yy ¿Cuánto valdría x para y 5 6 y y 5 −10? Si y6⇒x3 y si y10⇒x5
c.
Analicen la siguiente información.
En una gráfica y en una tabla se pueden mostrar valores de dos variables relacionadas entre sí. Esa relación quiere decir que cuando una de ellas cambia (variable
independiente), la otra también lo hace (variable dependiente), aunque no necesariamente de la misma manera.
Por ejemplo, en proporcionalidad, se analizan las variables x y y cuando se relacionan de la forma y 5 kx, la cual es una variación directa o proporcional. Donde y es
la variable dependiente y x la independiente..
hi
d. Retomen la actividad de la lección 1.
P
ro
yy¿Qué tipo de variación tienen las gráficas de los recorridos de Luis y Mauricio?
Justifiquen su respuesta. La gráfica del recorrido de Luis muestra variación
proporcional pues se relaciona de la forma y kx, mientras
directamente
que
la de Mauricio no representa una variación proporcional, ya que está a
trozos.
yy¿Cuánto vale la constante de proporcionalidad en el caso que encontraron
que la variación era proporcional? 50
yyValiden sus respuestas con sus compañeros. Expongan sus dudas en clase y resuélvanlas con ayuda de sus compañeros y del profesor.
148
Eje: Número, álgebra y variación
Practicar para avanzar
Analiza cada situación y responde.
1. Los datos que se muestran en la tabla representan la variación en
presión de un gas en atmósferas (atm) cuando cambia la temperatura medida en grados Kelvin (K).
P (atm)
149
181
245
277
341
373
405
2.38
2.92
4
4.54
5.62
6.16
6.7
atm. Símbolo de
la atmósfera de
presión, que es la
atmósfera terrestre
a nivel del mar.
grados Kelvin (K).
Unidad de medida
de la temperatura
del Sistema
Internacional de
Unidades.
©
bi S
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ón
T (K)
Glosario
a. Dibuja en tu cuaderno la gráfica que representa estos
puntos. Ver solucionario
b. ¿Cuál es la variable independiente? La temperatura, T
¿Cuál es la variable dependiente? La presión, P
d. ¿Qué forma tiene la gráfica? Es una gráfica de una línea quebrada.
c.
e. Completa la afirmación.
yyCuando la temperatura del gas aumenta, la
pero no proporcionalmente
f.
Presión
del gas aumenta
¿Entre qué números varía la presión? Entre 2.38 y 6.7
g. ¿Cuánto vale la presión cuando la temperatura es 277 K? 4.54 atm
h. ¿Cuánto vale la temperatura cuando la presión es 2.92 atm?181 K
ro
hi
2. Laura salió de su casa y caminó hacia la tienda que está a
y
300 m. Llegó a la tienda después de 4 min y se detuvo a platicar durante 5 min. Como vio que se le hacía tarde para recoger un pastel en casa de su tía, que vive a 450 m de su casa,
corrió y se tardó 2 min en llegar.
450
P
a. Tracen una gráfica en los ejes dados, que describa la 300
situación.
b. ¿Cuál variable debe ir en el eje horizontal de la gráfica? 150
La variable independiente: el tiempo.
c. ¿Cuál variable debe ir en el eje vertical de la gráfica? 0
La variable dependiente: la distancia recorrida.
x
3
6
9
12
Tema: Funciones
149
Lección 3
Diferentes tipos de variación
1. Lee con un compañero la situación, analicen la gráfica y respondan.
Una fábrica de dulces pidió realizar un estudio de mercado para saber la respuesta
que se obtendría si aumentara el precio de uno de sus productos. La empresa que
hizo el estudio envió al dueño de la fábrica la siguiente gráfica. En el eje horizontal se
muestra el aumento en el precio del dulce sobre el precio actual por unidad y en el
eje vertical, la cantidad que vendería.
©
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ón
Cantidad de dulces que venderían
Venta de dulces esperada
Aumento del precio
y Cantidad de dulces
a. ¿Cuáles son las variables relacionadas en este problema? que venderían.
b. ¿Cuántos dulces se venden sin aumento de precio? 800 dulces
Aumento del precio
yy¿Cuántos dulces se venderían si el precio aumentara $3? 1 200 dulces
yy¿Cuántos se venderían si el precio aumentara $18? 447
yy¿La gráfica es una línea recta? No, es una línea curva
c.
Si el dueño aumenta $4 el precio, ¿aumentará la cantidad de dulces que vende?
¿Cómo lo sabes? Sí. R. M. Por el análisis de la gráfica.
hi
d. ¿Cuánto debe aumentar el precio el dueño para vender la mayor cantidad de
1. d. Debe
aumentar a $8.
dulces según el estudio? ¿Cuántos dulces vendería? Explica. Se venderían
e. ¿Aumentaría o disminuiría el número de dulces que el dueño vende si aumen1 458 dulces.
tara el precio en $15? ¿Cómo lo sabes? Disminuiría, en la gráfica se observa que
venderían aproximadamente 965 dulces.
¿Con qué aumento de precio el dueño vendería la misma cantidad de dulces
que antes de hacer el aumento? ¿Cómo lo sabes? Con un aumento de $16 ven-
P
ro
f.
dería aproximadamente 800 dulces, como antes del aumento.
g. ¿Qué sucede si el dueño aumenta $20 al precio? Justifica tu respuesta. No venderá ningún dulce, la variable dependiente disminuye a cero mientras la independiente aumenta a 20.
yyComparen sus respuestas y sus justificaciones. Después pregunten sus dudas al
profesor y resuélvanlas.
150
Eje: Número, álgebra y variación
Funciones continuas
2. Analiza las tablas con un compañero. Después respondan.
w
— 20
— 12
—8
— 2.5
0
5.8
10.2
13
16.5
20
z
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
P
—8
— 5.5
— 3.5
—2
1
2.5
5
6
8
— 61 — 27.25 — 9.25
—1
0
3
2 — 3.25 — 22 — 33 — 61
Que los valores de w van cambiando, mientras
a. ¿Qué observan en la primera tabla? que los de z permanecen constantes.
yy¿Entre qué valores varía w en los datos de la tabla? Entre 20 a 20
©
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ón
V
yy¿Entre qué valores varía z? No varía, permanece constante en 4.
b. ¿Qué observan en la segunda tabla? Que tanto los valores p como de v van cambiando.
yy¿Entre qué valores varía P en los datos de la tabla? Entre 8 y 8
yy¿Entre qué valores varía V? Entre 61 y 3
c.
Dibujen en su cuaderno una gráfica para cada tabla. Ver solucionario
d. ¿Qué observan en la primera gráfica? Es una línea paralela al eje x y corta en 4 al eje y.
yy¿La gráfica que representa a la función es una línea recta? Si
Que se forma una curva que abre hacia
e. ¿Qué observan en la segunda gráfica? abajo y es simétrica respecto al eje y.
yy¿Aumenta o disminuye el valor de V cuando P pasa del valor P 5 —9.25 al valor
P 5 —1? ¿Cómo lo sabes? Aumenta porque los valores de la variable dependiente son
los cuadrados de los valores de la variable independiente por menos 1 y se les sumó 3.
yyValiden sus respuestas con otro equipo y con la siguiente información.
ro
hi
Cuando en una relación entre dos variables la variable dependiente permanece en
el mismo valor mientras que la variable independiente cambia, decimos que la variable independiente es constante. La primera tabla de la actividad anterior representa esta situación.
Practicar para avanzar
Analiza la gráfica y responde en el cuaderno.
P
a. ¿Entre qué valores varía x en la gráfica?
¿Y entre cuáles varía y? x varía entre 4 y 10.
y varía entre 5 y 2.
b. ¿Cuánto vale y cuando x = 2? 2
y
0
0
x
Tema: Funciones
151
Aplica lo aprendido y responde.
1. Lee la situación y responde en tu cuaderno. Argumenta tus respuestas.
En la cafetería La Paz se vende café por litro para reuniones familiares y empresariales. Con la finalidad de promover las compras, se ofrece el plan de precios que se
muestra en la siguiente tabla.
Litros
comprados (L)
1
Precio por
litro ($)
2
3
51
5
6
7
8
50.25 49.5 48.75
9
48
10
47.25 46.5
©
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53.25 52.5 51.75
4
a. ¿Cuánto cuestan 6 litros de café? $297
b. Si Mercedes pagó $48.75 por litro, ¿cuántos litros de café compró? 7 litros
c. Analiza los datos de la tabla. ¿Qué sucede con el precio por litro cuando se
compran más litros de café? El precio por litro disminuye.
d. Dibuja una gráfica con los datos de la tabla. Ver solucionario
e. Analiza la gráfica.
yy¿Cuánto cuestan 3.5 litros de café? $51.37 cada litro, $179.81 en total
yySi Édgar pagó $50.10 por litro, ¿cuántos litros de café compró
aproximadamente? 5.125 litros aproximadamente
2. Dibuja en tu cuaderno una gráfica representada por una línea recta que una los
puntos (−2, 4) y (3, −4), y contesta. Ver solucionario
a. Describe el intervalo de x para el cual la variable y toma valores positivos. De 2 a 0.5
Describe el intervalo de x para el cual la variable y toma valores negativos. De 0.5 a 3
b. ¿Cuántas gráficas diferentes se pueden hacer? Dos, una recta para x 0.5 y
otra para cuando x 0.
3. Analiza las gráficas y para cada una responde las preguntas en tu cuaderno.
I.
20
II.
y
5
y
4
10
3
x
–4
–3
–2
–1
hi
–5
0
1
2
3
4
2
5
1
P
ro
–10
152
a.
b.
c.
d.
e.
f.
–5
–4
–3
–2
–1
0
x
1
2
3
4
5
¿Entre qué valores varía x en la gráfica? En ambas gráficas, entre 5 y 5.
¿Entre qué valores varía y en la gráfica? En I, varía entre 15 y 25; en II, varía entre 0 y 5.
¿Cuánto vale y cuando x = 0? En I, y 5 y en II, y 1.
¿Cuánto vale x cuando y = 0? En I, x 5/4 y en II, x ≈ 5.
En I, de 5/4 a 5 y
¿En qué intervalo de valores de x los valores de y son positivos? en II, de 5 a 5.
¿En qué intervalo de valores de x los valores de y son negativos?
En I, de 5 a 5/4 y en II, no hay intervalo.
yyComparen y comenten sus respuestas en grupo. Discutan cómo ayudan las gráficas y las tablas en el análisis de situaciones de variación.
Eje: Número, álgebra y variación
Resuelvo con tecnología
Situaciones de variación lineal y no lineal
¿Qué distancia recorre un avión que viaja a 800 km/h?
La distancia que recorre un avión depende de su velocidad. Si viaja a una velocidad promedio de 800
km/h, entonces recorrerá 800 km en una hora y 1 600 km en dos horas.
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1. Reúnete con un compañero y abran un archivo en hoja electrónica de cálculo. Anoten un título en
la primera fila. En las celdas A2, B2 y C2, coloquen los encabezados de las columnas “Velocidad
(km/h)”, “Tiempo (h)” y “Distancia (km)”.
2. En la celda A3 escriban la velocidad promedio a la que vuela el avión sin mencionar la unidad, es decir,
800. Para llenar la columna, anoten la fórmula “=A3” en la celda A4, den clic en la esquina inferior derecha y arrastren para copiar la fórmula hasta la celda A9, como lo hicieron en el primer trimestre.
3. En las celdas B3 y B4, ingresen los valores 1 y
2 respectivamente, para indicar el número de
horas. Luego seleccionen ambas celdas, den
clic en la esquina inferior derecha y arrastren
hasta la celda B9. Observen que al hacer esto
automáticamente se llenan las celdas con los
valores de la sucesión.
Imagen 1
Imagen 1
4. Para calcular la distancia, es necesario multiplicar la velocidad del avión por el número de horas
transcurridas. Entonces, en la celda C3 tecleen la fórmula “=A3*B3”. Copien la fórmula hacia abajo,
hasta completar la tabla.
hi
5. Para representar los datos de la tabla
mediante una gráfica, seleccionen las columnas B y C, incluyendo sus encabezados.
P
ro
6. Luego, en el menú superior, den clic en insertar y elijan el gráfico Dispersión (X, Y) con el
icono
; den clic en “Dispersión con líneas
suavizadas” para crear la gráfica.
Imagen 2
yy¿Cómo aumenta la distancia recorrida por el avión? Aumenta de manera proporcional.
yy¿Cómo es la gráfica trazada? Es una línea recta.
153
¿Cómo está aumentando la población de los dos países más poblados del planeta?
A principio del año 2017, China tenía una población aproximada de 1 379 302 771 habitantes e India tenía 1
281 935 911. Cada año, China incrementa aproximadamente su población un 0.41% e India 1.17%
Con base en estos datos, ¿cómo variará la población de India y China en los próximos años? Si la tasa
de crecimiento de la población de India es mayor que el doble de la tasa de crecimiento de China,
¿qué se espera que ocurra en los próximos años?
©
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ón
1. Abran una nueva hoja electrónica de cálculo. En el primer renglón anoten los encabezados: “Año”,
“Población en China”, “Incremento de la población en China” y “Total al final del año”.
2. Para calcular el “Incremento de la población en China”, multipliquen la población por la tasa de
crecimiento. En la celda C2 ingresen “=B2*0.41%”. Para calcular el “Total al final del año”, escriban
la fórmula “=B2+C2” en la celda D2.
3. En la celda B3, tomen como “Población en China” el “Total al final del año” del 2017. Para esto, tecleen “=D2”.
4. Una vez que hayan anotado todas las fórmulas del renglón, cópienlas hacia abajo hasta completar
el año 2040. Repitan el procedimiento en las columnas E, F y G con los datos de India.
Imagen 3
5. Seleccionen las columnas A y B y, oprimiendo la tecla CTRL, seleccionen la columna E. Luego inserten la gráfica.
hi
yy¿En qué año tendrá India más población que China? Revisen la tabla y la gráfica que trazaron
para obtener la respuesta. En el año 2026
ro
yy¿Cómo es el incremento de la población en China e India cada año? Es no lineal.
yy¿Para qué sirve este tipo de información? Para hacer proyecciones poblacionales
P
yy¿Qué diferencia observan entre las gráficas del incremento de la población y la gráfica de la velocidad del avión? ¿Por qué? La velocidad del avión es una línea recta, mientras que la del
incremento
en la población tiende a ser curva.
Construyan una gráfica para mostrar cómo aumenta la población de México cada año. Consideren
que la población de México en 2017 era de 124 574 795 habitantes aproximadamente y crece a una
tasa de 1.12% anual.
154
Reviso mi trayecto
Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de
los contenidos que tienes que repasar.
1. Considera una sucesión la cual inicia en -5, y que, para generar el siguiente término, se le suman 3 al anterior y realiza lo que se pide.
4
©
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ón
a. Escribe los primeros 10 términos de la sucesión. 5, 4 ¼, 3 ½, 2 ¾, 2, 1 ¼, ½, ¼, 1 y 1 ¼
b. Escribe una expresión algebraica que te sirva para encontrar cualquier término
de la sucesión.an=(3n23)/4
2. Analiza la sucesión y completa la tabla.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Número de figuras
Círculos azules
Círculos amarillos
Total
1
2
4
6
2
3
8
11
3
4
12
16
n
n11
4n
5n 1 1
yy¿Cuántos círculos en total tendrá la figura 1 000? 5 001
P
a. ¿Qué sucede con la gasolina del tanque
a medida que el automóvil recorre mayor distancia? Disminuye.
b. ¿Cuántos litros de gasolina tiene el tanque luego de recorrer 104 km? 10.33 litros
Consumo de gasolina de un automóvil
45
40
Gasolina en el tanque (L)
ro
hi
3. La gráfica muestra el consumo de gasolina
en litros de un automóvil de acuerdo con la
distancia recorrida en km.
35
30
25
20
15
10
5
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Distancia recorrida (km)
155
Secuencia
didáctica
Ángulos y rectas
23
Lección 1
Contenido: Deduces y utilizas las propiedades de los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por
una transversal.
Posiciones relativas entre rectas
1. Analiza la información y responde.
©
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su ti
lla
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st a
ri
bu
ci
ón
En Chichen Itzá, uno de los principales sitios arqueológicos de la península de Yucatán, en México, y una de las siete maravillas modernas del
mundo, se encuentra una estructura conocida
como “El observatorio del caracol”. En esta construcción podemos apreciar los conocimientos
geométricos que poseían los mayas. Por ejemplo, el uso de rectas paralelas, perpendiculares y
oblicuas.
a. Traza sobre la imagen ejemplos de estas
rectas. R. M. Ver imagen
b. Reúnete con un compañero y tracen en la imagen rectas que cumplan las siguientes condiciones. R. M. Ver imagen
yyTres rectas paralelas entre sí
yyDos rectas paralelas y una recta perpendicular a estas dos
yyDos rectas paralelas y una tercera recta transversal a esas dos
Recuerda que si tienes dos rectas diferentes, hay dos posibilidades: que tengan un
punto en común o ninguno. En caso de que no tengan puntos en común, se denominan paralelas. Cuando tienen un punto en común se dice que ambas se intersecan.
c.
Reúnete con otro compañero y respondan.
yy¿Por qué es importante la disposición de las columnas en “El observatorio del caracol”? R.
M. Porque son la base del observatorio.
Glosario
P
ro
hi
rectas oblicuas.
Dos rectas son
oblicuas si tienen
un punto de
intersección y
forman ángulos
no rectos.
recta transversal.
Recta que interseca
o cruza a dos o
más rectas.
156
yy¿Qué soportaban? La cúpula de observación
yy¿En qué otras estructuras han observado columnas paralelas? R. L.
M. Para soportar el peso de las estructuras.
yy¿Para qué se usan? R.
yyComparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten por
qué solo existen esos dos casos cuando se tienen dos rectas diferentes.
Eje: Forma, espacio y medida
Rectas paralelas
1. Reúnanse en parejas, consigan el material y hagan la actividad.
Necesitan 8 palillos, una hoja de papel o un pedazo de cartulina tamaño carta, tijeras, transportador, regla y cinta adhesiva. Sigan las instrucciones.
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yyRecorten dos tiras de papel que midan de ancho 5 cm y de largo, el de la hoja.
yyTomen una de las tiras de papel, fijen los 8 palillos distribuidos en dos filas a lo largo de toda la tira.
yyAhora, coloquen la otra tira, fijando el otro extremo de los palillos sobre ellos.
a. Cuando mueves la estructura, ¿qué sucede con las dos tiras de papel?
R. M. Permanecen paralelas.
b. Coloquen la construcción sobre una mesa, muevan una de las tiras hacia la derecha. Discutan en equipo y respondan.
yy¿Qué pasa con la estructura? Se deforma y los rectángulos se van haciendo
paralelogramos.
yy¿Cómo es la distancia entre las tiras? Expliquen su respuesta. Va disminuyendo a
medida que vamos empujando hacia el lado contrario, hasta llegar a cero.
c.
En su cuaderno, dibujen la construcción. Para representar las tiras de papel y
los palillos, usen segmentos. Identifiquen los ángulos que se forman; usen el
transportador y mídanlos todos. Después respondan.
yy¿Qué observan en los resultados de la medición? Los ángulos tienen la misma medida.
yy¿Hay ángulos que midan lo mismo? ¿Cuáles? Sí, todos los ángulos miden 90º.
hi
yy¿Hay ángulos que al sumarlos den 180º? Si, los ángulos contiguos.
P
ro
Una manera de representar modelos como el que hiciste
es usando segmentos o rectas. Las dos tiras de papel se representan con dos rectas que son paralelas. Cada palillo se
representa también con otra recta y la nombramos como
transversal. Esta es una transversal especial porque es perpendicular a las dos rectas paralelas.
yyComenten sus respuestas con sus compañeros. Argumenten cómo son los ángulos que se formaron.
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
157
Lección 2
Ángulos entre rectas
1. Con un transportador, mide todos los ángulos numerados del 1 al 8 y coloca los resultados junto a cada uno.
120º
60º
60º
120º
120º
60º
117º
63º
63º
117º
63º
117º
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60º
120º
117º
63º
Caso 1
70º
100º
70º
110º
Glosario
110º
70º
Caso 3
110º
70º
Caso 2
congruente. En
matemáticas dos
figuras geométricas
son congruentes si
sus lados y ángulos
correspondientes
tienen el mismo
tamaño o medida.
Al superponerlas,
no sobra ni falta
nada. En particular,
dos ángulos son
congruentes si
miden lo mismo.
a. ¿Cómo es la medida del ángulo 1 (]1) en los tres casos? Caso 1: 120º,
Caso 2: 110º y Caso 3: 63º
b. ¿Cuáles ángulos son congruentes al ángulo 1(/1)? Los ángulos 3, 5 y 7
c.
¿Este resultado se repite en los tres casos? Sí, se repite.
d. ¿Cuáles ángulos, al sumarlos, dan como resultado 180º? 1 y 2, 2 y 3, 3 y
4, 4 y 1, 5 y 6, 6 y 7, 7 y 8, 8 y 5
e. ¿Esto sucede en los tres casos? Explica. Sí, porque en los tres casos
las rectas cortadas por la transversal son paralelas y la relación entre
los ocho ángulos será la misma.
yyEscribe en tu cuaderno una descripción de cada tipo de ángulos para
que puedas recordarlo. Luego lee la siguiente información y complementa tu trabajo.
ro
hi
Cuando dos paralelas son intersecadas por una transversal, se forman ocho ángulos.
Estos ángulos tienen relaciones entre ellos y se nombran de acuerdo con su
ubicación.
P
Los ángulos /1, / 2, / 7 y / 8 se llaman ángulos exteriores.
Los ángulos interiores son: /3, / 4, /5 y /6.
Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos cuyos lados de uno son la prolongación de los lados de otro.
Los ángulos adyacentes son dos ángulos que comparten el vértice y uno de sus
lados.
158
Eje: Forma, espacio y medida
Otros ángulos entre rectas
A partir de las actividades anteriores puedes identificar que entre dos rectas y una transversal se forman ocho ángulos diferentes. Ahora analizaremos pares de ángulos y sus relaciones cuando las rectas son paralelas y cuando no lo son.
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Cuando hay dos rectas y una transversal, estas rectas pueden ser o no paralelas, por
ejemplo:
Figura 1
Figura 2
2. Con base en la información realiza las actividades que se solicitan.
Los ángulos correspondientes están en el mismo lado de las paralelas y de la transversal. Por ejemplo /2 y /6 y /3 y /7.
Los ángulos alternos internos están entre las paralelas, pero en diferente lado de
la transversal. Por ejemplo, el par formado por /3 y /5 y el formado por /4 y /6.
a. En las figuras 1 y 2, une con líneas de colores los pares de ángulos que se indican.
hi
yyUne con una línea verde los pares de ángulos opuestos por el vértice.
yyUne con una línea roja los pares de ángulos correspondientes.
yyUne con una línea azul los pares de ángulos alternos internos.
Solución. Ver figuras 1 y 2.
yyComenta tus respuestas con tus compañeros y en grupo valídenlas con ayuda del
profesor. Comenten si en ambas figuras hay todos los tipos de ángulos y por qué.
Practicar para avanzar
ro
1. Identifica en la figura las rectas paralelas y los tipos de ángulos.
Las rectas paralelas son A y B, D y E.
Los /d y /e son correspondientes.
Los /b y /g son alternos internos.
vértice.
Los /f y /h son alternos externos.
P
Los /a y /c son opuestos por el
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
159
Lección 3
Otros ángulos entre rectas II
1. Reúnete con un compañero, retomen los datos que obtuvieron en la actividad anterior y completen la tabla.
Tipos de ángulos
Ángulos opuestos por el vértice
Ángulos correspondientes
1 y 3, 2 y 4, 5
y 7, 6 y 8
2 y 6, 3 y 7, 1
y 5, 4 y 8
3 y 5, 4 y 6
¿Son congruentes?
Figura 1
Figura 2
Sí
Sí
No
Sí
No
Sí
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Ángulos alternos internos
Parejas de
ángulos
Herramientas académicas
Utiliza el programa GeoGebra y traza dos rectas cualesquiera y una transversal a estas.
Mide los ocho ángulos que se forman y responde las preguntas en tu cuaderno. R. L.
1. Mueve las dos rectas de manera que los ángulos alternos internos sean congruentes.
¿Cómo son esas rectas? Paralelas
2. Mueve las rectas de manera que uno de los ángulos opuestos por el vértice mida 90º.
a. ¿Qué pasa con los otros pares de ángulos opuestos por el vértice? Medirán 90º
b. ¿Qué relación tiene una de las rectas con su transversal? Serán perpendiculares entre sí.
c. ¿Qué tendrías que hacer para que todos los ángulos opuestos por el vértice
midieran 90º? Que la transversal fuera perpendicular a las rectas paralelas.
2. Discutan las relaciones que identificaron entre los ángulos que se forman de dos
rectas paralelas cortadas por una transversal; después elaboren tres conclusiones
y anótenlas. R. M.
a. Se forman ocho ángulos.
ro
hi
b. Los ángulos correspondientes tienen la misma medida, es decir, son
congruentes.
P
ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida, es decir, son
c. Los
congruentes.
yyComenten sus respuestas con sus compañeros y con el profesor.
160
Eje: Forma, espacio y medida
Aplica lo que aprendiste.
1. Haz los trazos y responde.
a. Cuando dos rectas están cortadas por una transversal y forman ángulos alternos
internos congruentes, ¿qué relación tienen las dos rectas?
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Ambas rectas son paralelas.
b. Si dos rectas L1 y L2 se cortan con una transversal L3 y los cuatro pares de ángulos
opuestos por el vértice son congruentes, ¿qué se puede afirmar de las rectas L1
y L2?
Ambas rectas son paralelas.
L3
L1
L2
2. Encuentren los valores de los ángulos que faltan y respondan en el cuaderno. Considera que las rectas L1 y L2 son paralelas. No utilices el transportador.
L1 y L2 son paralelas, ya que los ángulos alternos internos son congruentes a pares.
110º
Glosario
ángulos
suplementarios.
Dos ángulos son
suplementarios si
suman 180º.
110º
70º
110º
70º
70º
110º
P
ro
hi
Ambas rectas son paralelas.
a. ¿Cómo se relacionan los nombres de los ángulos formados entre dos rectas y
una transversal con su ubicación? Ver solucionario
b. ¿Es posible encontrar una pareja de ángulos adyacentes y suplementarios en
dos rectas cortadas por una transversal? Ilústralo con dos ejemplos. Ver solucionario
yyComenta tus respuestas con tus compañeros y con el profesor.
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
161
Secuencia
didáctica
Ángulos interiores de triángulos
24
Lección 1
Contenido: Deduces las propiedades de los ángulos interiores de triángulos.
¿Cuánto suman los ángulos de cualquier triángulo?
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1. En parejas, observen los triángulos y respondan.
a. ¿En qué son diferentes los triángulos anteriores? Son diferentes en su forma,
medida y color.
b. ¿Cómo puedes calcular la suma de los tres ángulos interiores de cada triángulo,
sin usar el transportador? R. M. Calcando, para cada caso, cada uno de los
ángulos y colocándolos de manera adyacente haciendo coincidir sus vértices en un mismo punto.
c. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo? ¿Será lo mismo para los
tres triángulos? 180º. Sí es lo mismo para los tres triángulos.
Suma de los ángulos interiores de triángulos
1. En parejas, consigan el material que se solicita y, por separado, realicen cada una
de las exploraciones. Luego reúnanse y respondan.
hi
Primera exploración
Materiales: una hoja de reúso, regla, compás y tijeras
P
ro
yyElige uno de los triángulos anteriores y traza en media hoja un triángulo similar de mayor tamaño.
yyEn el triángulo, escribe una letra o número para indicar cada ángulo interior.
yyAbre el compás de manera que la abertura sea menor que la mitad del lado
más pequeño del triángulo y, en cada vértice, traza un arco que pase por los
lados que coinciden en ese vértice para formar secciones circulares.
yyRecorta el triángulo.
yyRecorta las secciones circulares y ubícalas sobre una regla de manera que todos queden juntos, sin huecos y sin encimarse.
162
Eje: Forma, espacio y medida
a. ¿Lograron que, en ambos casos, quedaran alineados los tres ángulos? Si
b. ¿Qué figura geométrica formaron? Un semicírculo
c. ¿Cuál es la suma de los tres ángulos? 180º
Segunda exploración
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Materiales: una hoja de reúso, regla, compás, tijeras y tres lápices
yyTraza un círculo cuyo radio sea 5 cm.
yyRecorta tres ángulos cuya suma sea mayor que 180º.
yyUsa los lápices como se muestra en la
imagen e intenta formar un triángulo.
a. ¿Pudieron formar el triángulo? ¿Por qué? No, porque los lápices que
formaron el ángulo con mayor medida no cerraron el triángulo.
b. Repitan el procedimiento, ahora con tres ángulos que sumen menos de
180º. ¿Fue posible construirlo? ¿Por qué? No, porque los lápices que
formaron el ángulo con menor medida quedaron encimados.
yyComenten con todo el grupo cuánto suman la medida de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo.
Practicar para avanzar
Resuelve la actividad.
P
ro
hi
1. En la figura, el lado AT es paralelo al lado RM. Identifica con colores los ángulos que miden lo mismo y
explica cómo llegaste a esas conclusiones.
TM y AR son las rectas transversales que cortan a
las rectas paralelas AT y RM. Entonces, se forman
ángulos opuestos por el vértice, alternos internos
y correspondientes.
2. ¿De qué ángulos necesitarías conocer las medidas para poder calcular las demás? De acuerdo con tu respuesta, asigna valores a los ángulos necesarios y obtén el valor de los otros.
Ver solucionario
Comparte con tus compañeros el procedimiento que utilizaste y respondan cuántos procedimientos diferentes hay. ¿En qué casos no es posible obtener los valores de los ángulos faltantes? Explica.
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
163
Lección 2
Triángulos y propiedades de rectas paralelas
1. Realiza la tercera exploración.
Tercera exploración
Materiales: una hoja de reúso, una hoja cuadriculada, regla, compás y tijeras.
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yyTraza un triángulo y recórtalo,
nombra cada uno de sus ángulos y
dibuja los segmentos circulares.
yyElige dos de sus vértices y recorta
los segmentos circulares que los
rodean.
yyColoca sobre la hoja cuadriculada el triángulo, de manera que el
0cm1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
lado opuesto al vértice sin recortar coincida con una de las líneas
de la hoja.
yyRemarca esa línea con un color, como se muestra en la imagen.
yyUbica los dos ángulos que recortaste junto al tercero, sin dejar espacio ni sobreponerlos. Coloca una regla para alinear los tres segmentos circulares.
yyMarca la recta que se forma con otro color y llámala l.
a. ¿Qué figura forman los tres ángulos? Un semicírculo
b. ¿Cuánto miden los tres ángulos interiores de ese triángulo? 180º
c.
¿Qué relación tiene la recta l que pasa por uno de los vértices con el lado del
triángulo opuesto a este vértice? Es paralela a este.
yyComparte lo realizado con tus compañeros y comenten si los triángulos utilizados son iguales y si llegaron a las mismas conclusiones.
2. Lee el enunciado y escribe una propiedad que justifique cada afirmación.
ro
hi
Sea un triángulo ABC cualquiera y sea l la recta
paralela al lado BC que pasa por el punto A.
P
Afirmaciones.
yy] 5 ] porque Son alternos internos.
yy] 5 ] porque Son alternos internos.
yy] + ] + ] 5 180° porque Forman un semicírculo y su medida es 180º.
yy] + ] + ] 5 180° porque b = s y a = g y como también forman un
semicírculo entonces la suma es de 180º.
yyComenta en grupo si las afirmaciones son ciertas para cualquier triángulo.
164
Eje: Forma, espacio y medida
Herramientas académicas
Usando un software de geometría como GeoGebra, traza un triángulo cualquiera y una
recta paralela a uno de los lados que pase por el vértice opuesto a dicho lado.
Mide todos los ángulos interiores del triángulo.
Mide los dos ángulos que tienen uno de sus lados sobre la recta paralela.
Mueve los vértices y observa la relación entre la medida de los ángulos.
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Aplica lo que aprendiste.
1. En cada caso, encuentra el valor de los ángulos que hacen falta. Toma en cuenta
que las rectas l1 y l2 son paralelas.
61.69º
118.31º
58.13º
60.35º
105.49º
61.69º
78.07º
2. En el triángulo TRI la medida del ángulo T es la mitad del ángulo R. ¿Cuáles son las
medidas de los ángulos I y T?
T = 20º, I = 120º
P
ro
hi
3. Si ]b = 61°, analiza las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y decide si son correctas o no.
Para el triángulo verde no es correcto, para los triángulos azul y anaranjado sí es
correcto.
yyA partir de lo que aprendiste a lo largo de la secuencia, cuánto debería valer el
ángulo b en cada caso.
Triángulo verde, b = 60º; triángulo azul, b = 61º y triángulo anaranjado, b = 61º
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
165
Secuencia
didáctica
Ángulos interiores de cuadriláteros
25
Lección 1
Contenido: Deduces las propiedades de los ángulos interiores de cuadriláteros y las utilizas en diversos contextos.
Cuadriláteros en la Naturaleza
1. Observa la imagen y responde.
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a. ¿Qué cuadriláteros identificas
en la telaraña? Trapezoides
yyCompara tu respuesta con la de un compañero y verifiquen que las figuras que
encontraron sean cuadriláteros. Con ayuda del profesor describan las características de los cuadriláteros.
b. Analiza los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros, luego responde.
c.
¿Cuánto crees que suman los ángulos interiores de cada cuadrilátero? 360º
hi
d. ¿Por qué consideras que esas son las medidas? Porque están formados por
dos triángulos, y los ángulos internos de un triángulo suman 180º.
ro
2. Reúnete con dos compañeros, analicen las características de los rectángulos y los
triángulos. Luego respondan lo siguiente:
P
a. ¿Qué es un rectángulo? Es un polígono formado por dos pares de lados
paralelos entre sí.
b. ¿Cuántos ángulos internos tiene un cuadrado?
c.
¿Y un rectángulo? 4
¿Qué características tienen los ángulos internos de los cuadrados y de los rectángulos? Son ángulos de 90º.
yyComenten sus respuestas con sus compañeros.
166
4
Eje: Forma, espacio y medida
Ángulos interiores de cuadriláteros
1. Traza una diagonal y divide los rectángulos en dos triángulos. Después contesta
las preguntas.
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a. ¿Cómo son los triángulos en que quedó dividida cada figura? En cada caso son
iguales entre sí.
b. Recuerda lo que aprendiste en la secuencia anterior. ¿Cuánto suma la medida de
los ángulos interiores de cada uno de los triángulos que obtuviste al separar los
rectángulos? 180º
c.
Considera el resultado anterior y calcula cuánto suman los ángulos interiores de
cualquier rectángulo. 360º
yyReúnete con un compañero y, con base en lo trabajado respondan: ¿cuánto suma la medida de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero? ¿Cómo
usarían la diagonal para mostrar lo anterior? Expliquen cada caso y anoten sus
conclusiones.
Suman 360º
R. M. Se puede usar como referencia para realizar un círculo y mostrar que la
suma de los ángulos es de 360º.
Practicar para avanzar
ro
hi
1. Usa el procedimiento empleado en la lección y valida si funciona para este tipo de
cuadriláteros. Sí, funciona para los tres casos.
P
a. ¿Cuánto suma la medida de los ángulos interiores de cada uno de los triángulos que obtuviste al separar los cuadriláteros? 180º
b. ¿Cuánto suma la medida de los ángulos interiores de cada cuadrilátero? 360º
Comenten en grupo lo siguiente: ¿cuánto suman la medida de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero? ¿Para qué se utilizó lo visto sobre la suma de los ángulos interiores de todos los triángulos?
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
167
Lección 2
Problemas con otros cuadriláteros
1. Encuentra el valor del ángulo interior que hace falta. Escribe tu procedimiento.
R. M. Se suman los tres ángulos dados y el
resultado se resta a 360º.
246.8º
Glosario
2. Analiza el cuadrilátero cóncavo y responde.
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cóncavo. En
geometría se dice
que un polígono es
cóncavo si al menos
uno de sus ángulos
interiores mide más
de 180º.
a. ¿Es posible encontrar el valor de las medidas
de los ángulos interiores de cada triángulo?
Argumenta tu respuesta. Sí,
sumando los tres
242.24º
ángulos dados y restando el resultado a 360º.
b. ¿Qué resultado matemático usaste para encontrar los valores anteriores? La suma de
los tres ángulos dados.
hi
3. Observa la imagen.
P
ro
a. ¿Cuántas y qué figuras la componen? Tres figuras: dos triángulos y un
trapezoide
168
b. ¿Son suficientes los datos que se muestran para calcular el valor de todos los ángulos interiores? Argumenta tu respuesta. Sí, el ángulo ERO mide 39.7º porque
los ángulos internos de un triángulo suman 180º. Usando el ángulo anterior, se
deduce que TRE mide 79.72º y RET mide 39.7º. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º, por lo que ATE mide 65.85º.
yyEncuentra los valores de los ángulos que hacen falta. Explica a tus compañeros cómo lo resolviste. Finalmente, comenten y validen con el profesor sus
procedimientos.
Eje: Forma, espacio y medida
Otro problema
4. Analiza el cuadro y responde.
a. ¿Qué figuras conforman este cuadro?
Rombos, romboides y cuadrados
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b. ¿Por qué es útil saber la medida de los
ángulos interiores de las figuras? Porque se requiere saber si quedarán
huecos entre ellas.
c.
¿Cuánto suman los ángulos en cada uno de los vértices? Observa el lugar donde
concurren dos lados de los polígonos. 360º
d. Cambia el cuadrado verde por otra figura. Traza el nuevo diseño, cuida que
las figuras que lo componen no formen huecos al juntarse, como en el cuadro
muestra.
yyMuestra tu diseño a tus compañeros. Comenta cómo elegiste la figura que sustituiría al cuadrado verde y cómo lo aprendido en esta secuencia te sirvió para
construir tu cuadro.
Aplica lo que aprendiste.
hi
1. Responde las preguntas.
ro
a. Para encontrar la medida de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero,
¿qué usaste? R. M. La suma de los ángulos interiores de cada triángulo que lo conforma.
P
b. ¿Existe diferencia entre la suma de los ángulos interiores de un trapecio y un
romboide? Argumenta tu respuesta usando lo aprendido en esta secuencia.
No, la suma siempre es de 360º para cualquier cuadrilátero, como se vio
en la secuencia.
yyComparte tus respuestas y procedimientos con tus compañeros. Comenta cuál
problema de la secuencia se te hizo más difícil y cómo lo resolviste.
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
169
Resuelvo con tecnología
Ángulos entre dos rectas paralelas cortadas
por una transversal
Reúnete con un compañero y sigan los pasos de cada exploración.
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1. Entren a la página de GeoGebra y den clic en GeoGebra Geometría.
2. Con las herramientas básicas de GeoGebra, tracen un segmento AB y un punto C que no esté sobre
el segmento que trazaron.
Imagen 1
3. Con la herramienta Paralela, seleccionen el
segmento AB y el punto C para trazar una recta paralela al segmento que pase por ese punto. Observen que, si mueven los puntos A, B o
C, la recta trazada seguirá siendo paralela al
segmento.
Imagen 1
4. Tracen el segmento DE de tal forma que sea
transversal a la recta y el segmento AB. Coloquen los puntos F y G donde se intersectan las
rectas paralelas con el nuevo segmento y un
punto H sobre la recta paralela al segmento
AB, tal como se muestra en la imagen 3.
P
ro
hi
Imagen 2
5. Con la herramienta Ángulo, seleccionen los puntos C, F y D para trazar el ángulo entre estos, observen que el segundo punto seleccionado
corresponde al vértice del ángulo y que se seleccionan los puntos en sentido contrario a las manecillas del reloj. Hagan lo mismo con el resto de
los puntos para trazar todos los ángulos. Con la
herramienta Elige y mueve, pueden mover las
medidas de los ángulos.
Imagen 3
6. Muevan los puntos A, B, D y E y observen que las medidas de los ángulos cambian. Identifiquen
aquellos ángulos que tienen el mismo valor y aquellos que suman 180°.
Comenten con el grupo las relaciones que observan.
170
Suma de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros
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1. En GeoGebra, coloquen tres puntos y únanlos
con segmentos para formar un triángulo. Con
la herramienta Ángulo tracen los ángulos interiores del triángulo que dibujaron de la misma
forma que lo hicieron en la página anterior.
Imagen 4
2. Den clic en el icono Pasos, que se localiza en
la parte superior del lado izquierdo de la pantalla. Al hacer esto, aparecerán los elementos
trazados en el orden en que fueron realizados.
Observen que los ángulos se llaman a (alfa), b
(beta) y (gamma).
Imagen 5
3. En la parte inferior, aparece el texto “Entrada…”. Den clic en el signo + de la izquierda y elijan la opción Expresión. Ingresen la expresión “Suma = (a + b + )” y den clic en la tecla Enter. Para ingresar
las letras griegas alfa, beta y gamma utilicen el teclado de GeoGebra, den clic en el icono
que
se localiza en la esquina inferior izquierda de la pantalla.
Imagen 6
P
ro
hi
4. Con el cursor, arrastren al centro del triángulo el renglón que escribieron y suéltenlo para
que aparezca el texto como en la imagen de la
derecha.
5. Con la herramienta Elige y mueve, arrastren los vértices del triángulo para cambiarlos de lugar. Observen que la suma de los ángulos interiores no cambia sin importar qué tipo de triángulo sea.
En una nueva hoja de GeoGebra, tracen cuatro puntos y únanlos para construir un cuadrilátero. Repitan los pasos anteriores para demostrar que la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360°.
171
Secuencia
didáctica
Gráficas y proyecto estadístico
26
Lección 1
Contenido: Usas las gráficas circulares en proyectos estadísticos.
¿Cómo son mis compañeros?
1. Reúnete con tres compañeros. Analicen las preguntas y clasifíquenlas como abiertas, cerradas y mixtas.
P1. ¿Te gusta ir a la escuela? ( ) No
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
( ) Sí
P2. ¿Qué opinas de que los jóvenes usen las redes sociales?
P3. ¿Qué tipos de programas de televisión ves frecuentemente?
A) Documentales B) Películas C) Deportivos
Glosario
pregunta abierta.
Es aquella cuya
respuesta es libre.
pregunta cerrada.
Es aquella con
opciones de
respuesta. La
respuesta correcta
puede ser única
o puede tener
varias respuestas
correctas.
Pregunta mixta.
Es aquella que
combina opciones y
respuesta libre.
D) Otros: P4. ¿Cuántos días de la semana consumes leche, yogur o queso?
A) Ningún día
B) Un día
C) Dos o tres días
D) Más de tres días
a. Con la información obtenida, completen la tabla.
Tipo de pregunta
Pregunta
Abierta
P3
Respuesta única
Varias respuestas
Mixta
X
P1
P2
Cerrada
X
X
P4
X
ro
hi
b. ¿Las preguntas están dirigidas a una persona o proporcionan información de
varias personas al mismo tiempo? Proporcionan información de varias
personas al mismo tiempo.
yyComenten en grupo sus respuestas y proporcionen más ejemplos de preguntas
abiertas, cerradas y mixtas.
P
2. Comenten qué les gustaría saber de sus compañeros . Planteen una pregunta para
obtener la información deseada o retomen alguna de las anteriores.
a. ¿Qué condiciones cumple la pregunta que plantearon? R. L.
yyEstá dirigida a una persona en particular.
yyAdmite dos respuestas como máximo.
yyEstá dirigida a un grupo de personas y admite varias respuestas posibles.
yyLa respuesta se obtiene mediante la observación de un hecho.
172
Eje: Análisis de datos
3. Investiguen la diferencia que existe entre la encuesta, la entrevista y la observación como instrumentos para obtener datos. Ver solucionario
yyAnalicen las respuestas que pueden obtener y la forma de conseguirlas. Comenten
cómo podrían organizar y representar los datos recabados.
Planteamiento de preguntas
1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se indica. R. L.
©
bi S
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n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Durante una investigación, se debe tener especial cuidado al formular las preguntas
para que las respuestas proporcionen información objetiva.
a. Respondan las preguntas en su cuaderno y analicen las respuestas. Comenten
qué preguntas les parece que inducen la respuesta deseada; cuáles se pueden
interpretar de distinta manera y cuáles requieren dos respuestas.
yy¿Consideras que las médicas son más atentas que los médicos?
yy¿Consideras que el género de los médicos influye en la atención que brindan
al paciente?
yy¿Prefieres ser atendido por un médico y una enfermera?
yy¿Prefieres ser atendido por una médica que por un médico?
yy¿Prefieres que los servicios de enfermería sean proporcionados por una mujer?
yy¿Te gusta la música de banda y la música norteña?
yy¿Por qué hombres y mujeres deben tener los mismos derechos?
Cuando las preguntas están mal planteadas e inducen la respuesta, se dice que están sesgadas. Cuando pueden interpretarse de distintas maneras, se dice que son
ambiguas.
b. Lean la siguiente información y comenten si las preguntas anteriores cumplen
con estas características.
ro
hi
Las preguntas de investigación deben ser:
• Concisas. Enunciados cortos y directos, sin términos rebuscados.
• Resueltas. Deben existir datos para poder responderlas.
• Relevantes. La información que se obtiene de estas influye en la comunidad
que se estudia.
Lean nuevamente las preguntas de la actividad inicial y comenten si están
planteadas correctamente. Analicen si la información que proporcionan es relevante para la comunidad y por qué.
P
c.
yyCompara tus respuestas con las de tus compañeros y juntos reformulen las preguntas de manera que sean concisas, resueltas y relevantes. Apliquen lo que
han aprendido en la clase de Español y revisen la redacción de sus preguntas y
las de sus compañeros.
Tema: Estadística
173
Lección 2
Planeación de un proyecto estadístico
1. Junto con dos compañeros, haz lo que se indica en cada paso.
Paso 1. Definir el problema y plantear preguntas.
Para realizar un proyecto estadístico, primero debe definirse el problema o situación
por investigar.
a. Elijan un tema de investigación estadístico y escríbanlo a continuación.
R. L.
©
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bu
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ón
b. Escriban tres posibles preguntas de investigación, los datos que esperan obtener y la manera de recolectarlos; puede ser mediante una encuesta, una entrevista, un experimento o la observación. R. L.
Posibles preguntas de
investigación
Posibles
respuestas
Manera de recoletar
los datos
yyElijan una de las preguntas anteriores para aplicarla.
yy¿Las posibles respuestas permiten que la pregunta se acompañe con opciones
para facilitar la respuesta? R. L.
Paso 2. Elegir la población y la forma de recolección de los datos.
hi
a. Elijan la población que van a estudiar. Pregúntense quiénes son los estudiantes
de su interés: ¿únicamente los compañeros del salón o también de los otros grados de la secundaria? Tomen en cuenta las posibilidades de recolectar los datos
en poco tiempo.
P
ro
Si eligen todos los grupos de la secundaria, escojan una muestra de la población
que permita obtener información representativa. Por ejemplo, seleccionen a 10%
de los estudiantes de todos los grados en estudio.
b. Decidan el instrumento con el que obtendrán la información y la manera de aplicarlo. Por ejemplo, si eligen hacer una encuesta, decidan si la imprimen en papel
o la aplican en línea; si envían el cuestionario por correo electrónico o lo entregan en persona. Discutan qué les conviene según lo que quieren investigar.
yyAntes de aplicar el cuestionario, intercámbienlo con otro equipo, analicen si
está bien planteado y reelaboren las preguntas que lo requieran.
174
Eje: Análisis de datos
Paso 3. Organizar y analizar los datos en una tabla.
En un grupo se obtuvieron los siguientes datos de la pregunta “¿Qué medio de transporte usas para llegar a la escuela?”.
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa (%)
Autobús
3
10
Transporte escolar
12
40
Automóvil particular
5
16.6
Taxi
3
10
Metro
©
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bu
ci
ón
Medio de transporte
2
6.7
Metrobús
3
Ninguno
2
6.7
Total
30
100%
a.
10
Organicen los datos obtenidos en una tabla como la siguiente. Tomen como referencia la tabla anterior. R. L.
Pregunta
Frecuencia absoluta
Total
Frecuencia relativa (%)
100%
yyAnalicen la información que obtuvieron y determinen qué tipo de gráfica conviene usar para representar los datos.
Herramientas académicas
ro
hi
El Instituto Nacional de Estadística y Geografía (Inegi) capta, procesa y difunde
información acerca del territorio, la población y la economía de México.
En www.esant.mx/fasema1-006 el Inegi presenta información estadística para niños y
jóvenes que están iniciándose en el estudio de la estadística.
Explora la información que se ofrece sobre la población mexicana.
De esos datos, elige uno que pueda representarse en una gráfica circular y constrúyela en tu cuaderno.
Escribe tus conclusiones y contesta.
P
a.
b.
c.
yy¿Cualquier información se puede representar en una gráfica circular?
yy¿En qué casos las gráficas circulares no son la mejor opción para representar datos?
yy ¿Qué características tienen los datos que conviene representar de otra manera?
Tema: Estadística
175
Lección 3
Construcción de la gráfica y presentación de resultados
Paso 4. Construir la gráfica y escribir las conclusiones.
a. Construyan una gráfica circular con los datos obtenidos.
©
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bu
ci
ón
Título: R. L. El título y la gráfica dependen del tema de estudio que se propuso al
inicio de la lección 2.
Fuente: b. Escriban las conclusiones que obtuvieron de su estudio. Analicen y comenten la
importancia de plantear correctamente las preguntas y la forma de representar
los datos.
R. L.
c.
Expongan los resultados de su investigación.
yyLuego de las exposiciones, comenten si es posible representar todos los datos en
gráficas circulares; cuándo estas gráficas son la mejor opción y qué características tienen los datos que conviene representar en ellas. Si decidieron usar otro
tipo de gráfica, expongan qué características tienen los datos que obtuvieron.
hi
Aplica lo aprendido.
1. Lee la información y haz lo que se pide.
P
ro
La siguiente información es el resultado de una encuesta aplicada a 8 822 personas, en diferentes países, sobre feminismo e igualdad de género. Analiza los datos
obtenidos.
176
Eje: Análisis de datos
2. Las mujeres deben ser tratadas en función
de su competencia y no por su género.
Fuente: Ipsos, "Feminismo e igualdad de género alrededor del mundo", en http://ipsosmexicoblog.mx/68-feminiso-igualdad
(consulta: 24 de junio de 2017).
©
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ri
bu
ci
ón
a. Representa en una gráfica circular la información obtenida en cada pregunta.
Pregunta 1
Muy de
acuerdo
6%
De
acuerdo
18%
Muy en
desacuerdo
44%
En
desacuerdo
32%
Muy en
desacuerdo
9%
Pregunta 3
En
desacuerdo
20%
En
desacuerdo
9%
Muy de
acuerdo
28%
De
acuerdo
29%
Muy en
desacuerdo
4%
Muy de
acuerdo
58%
Pregunta 4
Muy de
acuerdo
5%
En
Muy en
desacuerdo
desacuerdo
21%
61%
De
acuerdo
13%
hi
De
acuerdo
43%
Pregunta 2
ro
b. ¿Cuál tipo de gráfica comunica mejor la información recabada en el estudio:
la de barras o la circular? Argumenta tu respuesta.
R.
M. La circular, pues se aprecia mejor el porcentaje de cada respuesta.
P
c.
Escribe en tu cuaderno una conclusión sobre la información que se obtuvo en
el estudio. ¿Qué relevancia tiene conocer esa información?
R. L.
yyComenten en grupo, al realizar la investigación estadística, ¿qué paso se les dificultó más y por qué? Discutan qué trascendencia social tiene llevar a cabo investigaciones estadísticas.
Tema: Estadística
177
Secuencia
didáctica
Probabilidad frecuencial
27
Lección 1
Contenido: Realizas experimentos aleatorios y registras los resultados como una introducción a la probabilidad
frecuencial.
De las frecuencias a la probabilidad
1. Lee la información y responde.
©
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ri
bu
ci
ón
Juan, Pablo y Ana lanzan dos monedas para decidir quién compra las palomitas.
Si salen dos águilas, las compra Juan; si salen dos soles, Pablo, y si salen un sol y un
águila, Ana.
a. Al lanzar dos monedas al aire, ¿cuáles resultados pueden obtenerse? AA, AS, SS, SA
b. ¿Qué fracción del total representa cada resultado? 1/4
c.
Escribe los resultados que corresponden a cada evento. yyEvento A (obtener dos águilas): 1/4
yyEvento B (obtener dos soles): 1/4
yyEvento C (obtener un águila y un sol): 1/2
d. ¿Qué evento crees que es más probable que suceda? El evento C
e. ¿Todos tienen la misma oportunidad de pagar las palomitas? Argumenta. No, al
ser un medio mayor que un cuarto, Ana tendría más probabilidad de pagar las
palomitas que Juan y Pablo.
f. Si el lanzamiento se repitiera 120 veces, ¿aproximadamente cuántas veces crees que ocurriría cada evento?
Evento A: 30 veces
Evento C: 60 veces
Evento B: 30 veces
Glosario
g. En esta cantidad de lanzamientos, ¿qué fracción de los resultados obtenidos crees que representaría cada evento?
Evento A: 30/120
Evento C:
Evento B: 30/120
60/120
h. Si lanzas una moneda al aire varias veces, siempre con las mismas condi-
ciones, ¿puedes saber de antemano cuál será el resultado? Argumenta.
No, porque depende del azar.
hi
experimento
aleatorio. Es
aquel que se
repite varias veces
bajo las mismas
condiciones y no
se obtienen los
mismos resultados.
yyDiscutan en grupo qué evento elegirían si fueran uno de los tres amigos.
ro
¡A hacer el experimento!
P
1. Formen 10 equipos. En cada equipo realicen 12 veces el experimento aleatorio de
la actividad anterior y en el cuaderno anoten sus resultados, para cada evento, en
una tabla como la siguiente. R. L.
Evento
A
Total
178
Eje: Análisis de datos
Conteo
Frecuencia absoluta (fa)
2. Reúnan los resultados de los 10 equipos y llenen una tabla como la siguiente.
R. L.
Frecuencia absoluta (fa)
Equipo
Lanzamiento
1
12
...
12
Evento
A
Evento
B
Evento
C
Frecuencia relativa (fr)
Evento
A
Evento
B
Evento
C
Total
©
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ci
ón
a. ¿Cuántas veces se repitió el experimento en todo el grupo? 120
b. ¿Las frecuencias absolutas se parecen a la cantidad de veces que pensaron que
ocurría cada evento? R. M. Sí
c.
¿Las frecuencias relativas se parecen a las fracciones de resultado que pensaron
que representaría cada evento? R. M. Sí
Cuando un experimento aleatorio se repite un gran número de veces, la frecuencia relativa de un evento se aproxima a la probabilidad del evento. Es decir, la probabilidad de obtener un evento es aproximadamente el cociente entre la cantidad
de veces que ocurre el evento y el número de veces que se realiza el experimento.
A este cociente se le llama probabilidad frecuencial.
Practicar para avanzar
En parejas, consigan una moneda y dos frijoles. Sigan las instrucciones, jueguen 10 veces y
anoten los resultados en una tabla.
hi
ro
L
SO
G
ILA
1. Antes de realizar el experimento, respondan en su
cuaderno.
Salida
U
ÁG
Instrucciones
yyDecidan quién inicia el juego y coloquen sus frijoles en la
casilla de salida del tablero de la derecha.
yyLancen la moneda. Si sale sol (evento A), avanzan un lugar a la izquierda; si sale águila (evento B), avanzan un lugar a la derecha. Gana el juego quien llegue primero a la
casilla G.
P
G
P
P
a. ¿Ambos jugadores tienen la misma oportunidad de ganar? Sí
b. Si lanzan la moneda 100 veces, ¿cuántas veces creen que saldrá sol? ¿Cuántas veces saldrá águila? ¿Qué frecuencia relativa esperan obtener para cada evento? R. M. 50 veces
saldrá sol, 50 veces saldrá águila. La frecuencia relativa esperada para cada evento es 50/100.
Reúnan los resultados de todo el grupo y calculen las frecuencias absoluta y relativa. Luego
coméntenlos en grupo y, con ayuda de su profesor, validen sus respuestas.
Tema: Probabilidad
179
Lección 2
De la probabilidad frecuencial a la certeza
1. En parejas, consigan dos dados y 24 fichas o frijoles. Luego lean las instrucciones
del juego y hagan lo que se indica.
Instrucciones para jugar cruzar el río:
©
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ón
yyEn este juego participan dos jugadores. Cada jugador selecciona un lado del río y
coloca una ficha en cada casilla.
yyPor turnos, cada jugador lanzará dos dados, sumará los puntos y pasará al otro
lado del río la ficha que se ubique en la casilla con el número que obtenga al realizar la suma.
yyEl juego termina cuando uno de los jugadores logre pasar todas sus fichas al otro
lado del río.
a. Observen el tablero y, antes de jugar, respondan. ¿Es posible que alguno de los
jugadores pase todas las fichas al otro lado del río? No es posible.
2. Jueguen una partida y respondan.
a. ¿Alguno de los dos logró pasar todas las fichas al otro lado? No
b. ¿Qué ficha les quedó sin pasar al otro lado? La 1. ¿Por qué sucede esto? Porque la suma mínima de puntos en el par de dados es 2.
3. Coloquen 11 de sus fichas en las casillas 2 a 12. Luego respondan.
hi
a. ¿Qué número creen que tiene mayor probabilidad de obtenerse al lanzar los
dados al aire? El 7 ¿Cuáles son menos probables? El 2 y el 12
P
ro
b. Registren los resultados de sus lanzamientos. Calculen las frecuencias absolutas de cada número.
Núm. de
casillas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Frecuencia
absoluta
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
c. Jueguen 5 veces el mismo juego y registren los resultados en una tabla como la
anterior. R. L.
180
Eje: Análisis de datos
3. e.
Frecuencia relativa
10
360
20
360
30
360
40
360
50
360
60
360
50
360
40
360
30
360
20
360
10
360
d. Reúnan en una tabla los resultados obtenidos por otras parejas y calculen las
frecuencias absolutas de cada casilla. R. L.
Pareja
Núm. de
casillas
...
fa
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
total
e. Calculen la frecuencia relativa de cada casilla con la totalidad de los datos.
casilla 7
f. ¿Qué número de casilla obtuvo mayor frecuencia relativa? La
©
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ri
bu
ci
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g. Si se jugara solo con tres fichas por jugador, ¿qué casillas elegirías para colocarlas?
6, 7 y 8
yy¿Elegir esas casillas te asegura que seas el primero en cruzar el río? Argumenta
tu respuesta. Sí, porque la probabilidad de que salgan los números es más
grande que en los demás casos.
yyDiscutan cuáles casillas no elegirían para colocar sus fichas. Expliquen su decisión
a partir de lo que aprendieron sobre probabilidad frecuencial.
Aplica lo que aprendiste.
1. Realiza el experimento y responde.
a. Coloca en una bolsa no transparente dos frijoles negros y uno bayo. ¿Qué crees
que es más probable: que salga un frijol negro o uno bayo? frijol negro
b. Extrae un frijol de la bolsa y registra el resultado. Regresa a la bolsa el frijol, revuélvelos, extrae nuevamente un frijol. Repite el experimento 10 veces y registra
los resultados en una tabla como la siguiente. R. L.
Frijol
Conteo
fa
Negro
Bayo
yy¿Qué color de frijol salió con más frecuencia? El de color negro
Repite el experimento 120 veces y llena una tabla como la siguiente. R. L.
hi
c.
Frijol
Conteo
fa
fr
ro
Negro
P
Bayo
yy¿Qué tipo de frijol parece ser el más probable de obtener? El negro
yyCompara tus resultados con los de tus compañeros. ¿Todos coinciden en cuál
es el color de frijol más probable de obtener? Sí
yyComenta con tus compañeros por qué es importante la probabilidad frecuencial.
Tema: Probabilidad
181
Secuencia
didáctica
Medidas de tendencia central
28
Lección 1
Contenido: Usas e interpretas las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana), el rango y la dispersión de un conjunto de datos. Decides cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.
Media aritmética
1. Lee el problema y resuélvelo.
©
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ón
Los alumnos de 1.º A recolectaron las siguientes cantidades de dulces para regalar
a otros niños: 12, 10, 18, 20, 14, 16, 18, 19, 20, 13, 12, 16, 21, 21, 13, 15, 19, 12, 17, 14. a. Si cada alumno entregará una bolsa, ¿cuántas bolsas harán? 20
b. ¿Qué deben hacer los alumnos de 1.º A para que los dulces se repartan en partes
iguales? Colocar la misma cantidad de dulces en cada bolsa.
c.
¿Cuántos dulces tendrá cada bolsa? 16 dulces
yyCompara tu procedimiento con el de tus compañeros.
Otros significados
1. En equipo, lean y resuelvan los problemas.
a. Diez estudiantes pesaron un objeto con el mismo instrumento y obtuvieron los
siguientes valores en gramos: 5.2, 5.0, 5.0, 5.72, 5.34, 5.3, 5.1, 5.23, 5.15, 5.2.
yy¿Cuál sería la mejor estimación del peso del objeto? 5.224
yy¿Cómo obtuviste esta respuesta? Sumando todos los valores y dividiendo el
resultado entre el número de datos.
b. La calificación promedio de un estudiante, en Matemáticas, es 7.50 y sus cali-
ficaciones de los dos trimestres más recientes son 8.20 y 7. ¿La calificación del
primer trimestre es mayor o menor que el promedio? Argumenta. Es menor.
yy¿Cuál es la calificación del primer trimestre? 7.3
P
ro
hi
yyCompara tus respuestas y tus procedimientos con los de tus compañeros. ¿Todos
usaron el mismo? Si hay diferencias, discutan qué procedimiento es más conveniente. Luego lean la información y revisen si usaron el mismo procedimiento.
Las medidas de tendencia central son medidas estadísticas en un conjunto de datos. Se llaman de tendencia central porque los datos se agrupan alrededor de estas.
La más utilizada es la media aritmética o promedio y se calcula mediante la suma
de los valores de los datos dividida entre la cantidad de estos.
yyAnalicen qué características tiene cada uno de los problemas y comenten cómo
se interpreta a la media o promedio.
182
Eje: Análisis de datos
La moda y la mediana
2. Lee y responde.
Se les preguntó a 10 personas acerca del salario mensual que perciben y se obtuvieron los siguientes datos: $10 000, $3 000, $3 000, $4 000, $5 000, $6 000, $50 000,
$3 000, $2 000, $5 000.
a. Se llama valor atípico o extremo a aquel dato que se distancia de los otros.
¿Cuál de estos salarios es un dato atípico o extremo? $50 000
c.
©
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ri
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ón
b. Calcula el salario promedio mensual de estas 10 personas. $9 100
¿Cuántas personas perciben un sueldo mensual por debajo de la media?
8 personas
d. ¿Es la media representativa de los datos? Argumenta por qué. No, porque el dato
de
$50 000 altera de manera considerable el promedio de los datos completos.
e. Ordena los sueldos de estas 10 personas de menor a mayor: $2 000, $3 000,
$3 000, $3 000, $4 000, $5 000, $5 000, $6 000, $10 000, $50 000.
f.
Subraya los dos datos centrales y calcula el promedio de estos. El valor obtenido
se denomina mediana. $2 000, $3 000, $3 000, $3 000, $4 000, $5 000, $5 000,
$6 000, $10 000, $50 000 el promedio es $4 500
La mediana es una medida de tendencia central. Para calcular la mediana de un
conjunto de datos se hace lo siguiente:
1. Si el número de datos es impar…
• se ordenan los datos de menor a mayor o viceversa.
• la mediana es el dato que se ubica a la mitad o en medio.
2. Si el número de datos es par…
• se ordenan los datos de menor a mayor o viceversa.
• se señalan los dos valores intermedios y se obtiene el promedio de estos.
hi
g. ¿Cuál es el salario que tiene la mayor cantidad de personas encuestadas?
$3 000
ro
El valor obtenido se llama moda. La moda también es una medida de tendencia
central y corresponde al dato con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite.
P
h. ¿Cuál medida de tendencia central consideras que representa, de manera realista, el salario de las 10 personas encuestadas? Explica tu respuesta.
La mediana, porque es el dato que más se aproxima pues no interfiere el
dato atípico.
yyDiscute con un compañero, de acuerdo con el procedimiento que se usa para
calcular cada medida de tendencia central, cuál se ve afectada por los datos extremos o atípicos: la moda, la media o la mediana.
Tema: Estadística
183
Lección 2
¿Cómo se agrupan los datos?
1. Lee la información y realiza lo que se solicita.
Las gráficas muestran el salario quincenal que perciben los
empleados de tres restaurantes en la ciudad de Veracruz.
©
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da a
n
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lla
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st a
ri
bu
ci
ón
a. ¿Cuántos empleados tiene en total cada restaurante? Los
restaurantes A y B tienen 15 empleados, el C,
9 empleados.
b. En cada caso, identifica el valor máximo (VM) y el mínimo
(vm). Calcula la diferencia para cada empresa.
yyVM – vm (A): 1 000
yyVM – vm (B): 1 000
yyVM – vm (C): 1 000
yy¿Cómo son los resultados? Iguales
c.
¿Consideras que los datos están próximos entre sí o están
separados o dispersos? Explica por qué. Están próximos
si porque la variación entre ellos es mínima.
entre
Se llama rango de un conjunto de datos a la diferencia entre el valor máximo y el
valor mínimo.
d. Con los datos que proporciona cada gráfica, completa la tabla.
Media
Mediana
Moda
A
2 340
2 300
2 000
B
2 660
2 700
3 000
C
2 500
2 500
2 500
ro
hi
Restaurante
e. Ordena de menor a mayor las estadísticas de cada restaurante.
P
yyRestaurante A: Moda: 2 000, Mediana: 2 300, Media: 2 340
yyRestaurante B: Media: 2 660, Mediana: 2 700, Moda: 3 000
yyRestaurante C: Media: 2 500, Mediana: 2 500, Moda: 2 500
f.
184
¿Qué medida de tendencia central queda entre las otras dos al ordenarlas?
La mediana
Eje: Análisis de datos
g. Si tuvieras que usar una de las medidas de tendencia central para describir los
datos de cada empresa, ¿cuál usarías? Argumenta tu elección. La mediana, es
la que representa mejor los datos dados.
yyCompara las respuestas y los procedimientos que aplicaste en cada cálculo con
los de tus compañeros.
Practicar para avanzar
©
bi S
da a
n
su ti
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st a
ri
bu
ci
ón
Haz lo que se te pide.
1. La tabla muestra el salario mensual de 100 trabajadores de una empresa, incluyendo
al dueño.
Número de empleados
Salarios mensuales ($)
45
9 000
35
11 000
15
14 000
4
25 000
1
200 000
a. Calcula...
yyel salario promedio mensual. $13 000
yyla mediana de los salarios mensuales. $11 000
yyla moda de los salarios. $9 000
yyel rango de los salarios. $191 000
hi
b. ¿Cuál de las tres medidas de tendencia central representa la tendencia del conjunto de
los salarios de estas 100 personas? Explica tu respuesta. La mediana, pues la
ro
dispersión es mínima.
P
2. Plantea una situación en la que se tenga que calcular alguna de las medidas de tendencia
central. Coméntala con tus compañeros y argumenta por qué la medida que elegiste es la
que realmente representa los datos.
R.
L.
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si es necesario, corrige.
Tema: Estadística
185
Lección 3
¿Hacia el centro o hacia los costados?
1. Retoma el problema anterior. Luego lee la información que se proporciona y revisa si tu argumentación fue válida.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Si la mediana es menor que la media, la distribución de los datos es asimétrica con la
cola hacia la derecha. Si la media es menor que la mediana, la distribución es asimétrica con la cola hacia la izquierda. En estos casos, la mediana o la moda son las medidas que se pueden utilizar, ya que apenas se ven afectadas con los datos extremos.
Si la media, la mediana y la moda son iguales, la distribución es simétrica. En este
último caso, se usa la media o promedio para representar al conjunto de datos.
yyAnaliza cómo es la distribución de los datos en cada restaurante.
2. Resuelve el problema.
El gasto de luz mensual, en pesos, de 30 familias elegidas al azar es 220, 540, 320,
760, 870, 940, 450, 320, 520, 420, 110, 320, 320, 530, 420, 430, 430, 650, 840, 420, 320,
220, 790, 950, 340, 540, 1 100, 350, 820, 120.
a. Calcula la media, la mediana, la moda y el rango de dispersión de los datos. Media:
512.66, Mediana: 430, Moda: 320, Rango: 990
b. ¿Los datos están poco o bastante dispersos? Poco dispersos
c.
¿Cuántos datos hay antes y después de la media aritmética o promedio?
Antes de la media aritmética hay 17 datos y después de ella hay 13 datos.
hi
d. Si tuvieras que elegir un valor que represente al conjunto de los datos, ¿elegirías
a la media aritmética o promedio? ¿Por qué? Media aritmética, porque no
ro
tiene una dispersión marcada.
P
e. Lee la siguiente información y revisa tu respuesta a la pregunta del inciso d.
186
Cuando los datos se encuentran bastante alejados de la media aritmética o promedio, esta se ve afectada y su valor no representa al conjunto de datos. En esos casos
pueden utilizarse la mediana o la moda, que no se ven afectadas por la dispersión
de los datos. Cuando la media o promedio no representa a los datos, se menciona
su valor y se dice que los valores oscilan entre el valor mínimo y el valor máximo.
Eje: Análisis de datos
Aplica lo que aprendiste.
1. Resuelve los problemas y compara tus respuestas y tus razonamientos con los de
tus compañeros.
a. En un elevador hay seis personas, dos mujeres y cuatro hombres. El peso medio
de las mujeres es de 60 kg y el de los hombres, de 80 kg.
¿Cuál es el peso medio de las seis personas del elevador? 73.33 kg
©
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ri
bu
ci
ón
2. Haz lo que se solicita.
a. Elabora una lista del peso y de la cantidad posible de naranjas grandes que caben en una caja, si en promedio cada una pesa 350 gramos. R. L.
b. ¿Consideras que es justo calificar de igual manera a un estudiante que obtuvo
10 en un examen y 0 en tareas, que a otro que sacó 6 en el examen y 4 en tareas?
Justifica tu respuesta. Si
la calificación se obtiene promediando los criterios
de evaluación entonces sí es justo.
3. Reúnete con un compañero y escriban un problema que cumpla con cada conjunto de condiciones: R. L.
yyCondiciones A: la media aritmética no representa al conjunto de datos. La mediana sí los representa. Los datos no están dispersos.
yyCondiciones B: la media aritmética no representa al conjunto de datos. La mediana sí los representa. Los datos están bastante dispersos.
yyCondiciones C: la media aritmética representa al conjunto de datos. La media
coincide con la mediana. Los datos no están dispersos.
hi
a. Resuelvan el problema que escribieron y, si es necesario, hagan ajustes.
b. Intercambien el enunciado del problema y resuelvan el que reciben.
P
ro
yyRevisen los razonamientos y resultados con los equipos que intercambiaron los
enunciados. Validen sus resultados con ayuda del profesor.
Herramientas académicas
Entra en la página www.esant.mx/fasema1-007, lee la información y responde las
preguntas que aparecen al final.
Comenta con tus compañeros por qué es importante conocer este tipo de información.
Tema: Estadística
187
Punto de encuentro
Lee y responde.
El costo de la salud
©
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n
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lla
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ri
bu
ci
ón
Además de considerar muchos factores, como la seguridad, efectividad, entre otros;
los servicios de salud necesitan optimizar el uso de distintos tratamientos médicos
para que la mayoría de los pacientes que atienden sobrevivan. Para lograrlo, se requiere calcular la media de sobrevivencia de cada tratamiento y sus costos para tomar la decisión más adecuada cuando los recursos disponibles sean limitados.
Aplicar las matemáticas en problemas, como el de conocer cómo lograr que el mayor número de pacientes sobrevivan usando un presupuesto, te permitirá desarrollar estrategias para tomar decisiones en situaciones difíciles de diversa índole.
1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.
Cuando se utiliza un tratamiento, es importante conocer el potencial que tiene para
favorecer la sobrevivencia de las personas que se someten a él.
La tabla muestra el número de pacientes tratados en 7 años que sobrevivieron a un
nuevo tratamiento (tratamiento B), el cual se probó en 10 000 personas anualmente.
1
2
3
4
5
6
7
Sobrevivientes
7 992
8 432
8 189
8 375
8 143
8 415
8 276
Porcentaje de
sobrevivientes
79.92
84.32
81.89
83.75
81.43
84.15
82.76
Año
a. ¿Con cuántos datos se cuenta y cuál es su rango? Se cuenta con siete
datos y su rango es de 440.
Glosario
b. ¿Cuál es la media de estos datos? 8 260.28
P
ro
hi
eficaz. Que logra el
efecto que se desea
o se espera.
c. ¿Qué porcentaje de sobrevivencia ofrece el tratamiento? 82.6%
d. ¿Qué tan eficaz es este nuevo tratamiento? ¿Por qué? En promedio es
82.6% eficaz porque elevó el porcentaje de sobrevivencia con respecto
al primer año de aplicación del tratamiento.
e. Si el porcentaje de sobrevivencia que se logra con el tratamiento existente (tratamiento A) es de 65.8, ¿cuál de los dos es más eficaz? El tratamiento B
Comparte con tus compañeros el procedimiento que utilizaste para calcular el porcentaje de sobrevivencia con el nuevo tratamiento. ¿Todos usaron el mismo método? ¿Obtuvieron el mismo resultado? ¿Por qué?
188
2. Lee la siguiente información con un compañero y respondan.
Si se tuviera un presupuesto ilimitado, convendría tratar a todos los pacientes con el
más eficaz. Pero, si se cuenta con un presupuesto limitado, este se debe utilizar de la
mejor manera para lograr el mayor número de sobrevivientes. Por ello es importante considerar el costo de cada tratamiento.
©
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ri
bu
ci
ón
a. Completen la tabla con el número de sobrevivientes y el costo de cada tratamiento
de acuerdo con el número de pacientes que se atienden en un año. Consideren que
el costo del tratamiento A es de $1 130.00 y el del tratamiento B es de $3 370.00.
Tratamiento A
Pacientes atendidos
Sobrevivientes
Costo
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
7
13
20
26
33
39
46
53
59
66
$11
300
$22
600
$33
900
$45
200
$56
500
$67
800
$79
100
$90
400
$101
700
$113
000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
8
17
25
33
41
50
58
66
74
83
$33
700
$67
400
$101
100
$134
800
$168
500
$202
200
$235
900
$269
600
$303
300
$337
000
Tratamiento B
Pacientes atendidos
Sobrevivientes
Costo
Nota: Los datos de sobrevivencia se redondearon por cuestiones de contexto.
b. ¿Cuántos pacientes sobrevivirían si el presupuesto anual fuera de $250 000.00 y
solo utilizaran el tratamiento A? 145
¿Y si usaran el tratamiento B? 70 pacientes
d. ¿Alcanzaría para tratar a 100 personas? Alcanzaría siempre y cuando a algunas
personas se les aplicara el tratamiento A y a otras el tratamiento B.
e. Para aumentar la probabilidad de sobrevivencia con el presupuesto dado, conviene utilizar ambos tratamientos. Suponiendo que se trata a n pacientes con el
tratamiento A y se tratan 100 pacientes al año, ¿cuántos pacientes se tratan con
c.
hi
f.
el tratamiento B? Se pueden hacer varias combinaciones, depende del
presupuesto con el que se cuente.
Escriban una expresión que les permita conocer el costo total de tratar n pacientes con el tratamiento A y al resto con el tratamiento B? 1 130n 3 370m costo total
P
ro
g. Usen la expresión para construir una tabla en su cuaderno en la que se muestre
el costo total y el número de supervivientes cuando se tratan 10, 20, 30, 40, 50,
60, 70, 80, 90, 100 pacientes con el tratamiento A y al resto con el tratamiento B.
h. Con la información de la tabla, tracen una gráfica en la que representen el número de sobrevivientes y el costo total.
i. Usen la gráfica para aproximar el número total de sobrevivientes posibles si se
cuenta con un presupuesto anual de $250 000.00, $270 000.00 y $300 000.00.
Resuelvan el ejercicio nuevamente utilizando el porcentaje de sobrevivientes en lugar
del número de sobrevivientes. ¿Cuál consideran más adecuado? ¿Por qué?
189
Reviso mi trayecto
Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de
los contenidos que tienes que repasar.
A
1. Calcula la medida del ángulo que forma la tabla E con el asiento.
Considera que las tablas A y B, C y D son paralelas y la tabla E es
una transversal que las corta.
C
a
80°
a 5 44º
©
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st a
ri
bu
ci
ón
b
D g
2. El dibujo muestra dos personas suspendidas entre dos anclajes.
E
Soga de apoyo
56°
B
Ángulo
Calcula las medidas de los ángulos interiores que forman las sogas para cada inciso.
a. 67.5º
b. 60º
c. 45º
Soga de apoyo
Soga de apoyo
45º
60º
Soga de apoyo
90º
hi
3. La tabla muestra la cantidad de zapatos de mujer por talla que hay en una
zapatería.
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
Frecuencia
5
6
12
9
5
3
2
2
2
1
P
ro
Talla de zapato
a. Calcula el promedio, la mediana y la moda de la talla de los zapatos que hay en
la tienda. Promedio 3.52, mediana 3.5, moda 3
b. ¿En cuál de las tres medidas de tendencia central tiene que fijarse la tienda
para mejorar sus ventas? Explica tu respuesta. En la moda, para saber de cuál
talla de zapatos tiene mayor existencia y surtir la tienda de manera diversa.
190
Valoro mis fortalezas
Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obtengas, retoma los contenidos que se te dificultaron.
©
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ri
bu
ci
ón
1. En las vacaciones de invierno, María y su familia visitarán a su abuela, que vive en
La Rosilla, Durango. El pronóstico indica que la temperatura en La Rosilla es 11 °C
más fría que en la ciudad donde vive María.
Ciudad
La Rosilla,
Durango
Monterrey,
Nuevo León
Ciudad de
México
Yácora,
Sonora
Temperatura
216 °C
5 °C
12 °C
25 °C
a. ¿En qué ciudad vive María? En Yácora, Sonora
hi
2. La gráfica muestra la temperatura promedio del periodo invernal en la ciudad de
Monterrey desde 1983 hasta 2010.
ro
a. Calcula la diferencia entre la temperatura más baja y la más alta en todo el registro. 14.4º
P
b. Calcula la diferencia entre la temperatura más baja y más alta de 2000 a 2010. 5.7º
3. En una tienda de telas, un empleado vendió 3 partes de una pieza de tela. Horas
5
2
más tarde, su compañero vendió
de lo que quedaba. Solo quedaron 6 metros
3
sin vender. ¿Cuántos metros de tela vendió cada empleado? 27 m y 12 m respectivamente.
191
4. Completa el rompecabezas. Coloca en los recuadros la letra de las piezas faltantes
de tal forma que los valores en los triángulos que coinciden sean iguales.
©
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n
su ti
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ri
bu
ci
ón
-1 - ( - 6)
A
B
C
D
E
F
G
H
B
H
D
G
C
-15
F
A
ro
hi
E
P
5. En una empresa con 60 empleados, 45 de ellos cobra $15.00 por hora y el resto
$10.00 por hora.
a. ¿Cuánto cobra en promedio cada empleado de esta empresa? $13.75
b. ¿El sueldo promedio por hora representa lo que cobra la mayoría de los empleados? Explica tu respuesta. Sí, porque es más apegado a los $15 que gana la
mayoría.
192
6. La imagen muestra un puente peatonal que atraviesa una avenida, visto desde
arriba. La persona que hizo el croquis se equivocó al poner las medidas de los
ángulos.
a. Se sabe que el ángulo marcado con rojo es correcto. Escribe las medidas de los
ángulos que se marcaron mal, justifica tu respuesta y corrige.
100°
©
bi S
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n
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lla
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ri
bu
ci
ón
100°
70°
95°
110°
80º
100º
80°
100º
80º
Se debe considerar que los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas y una
transversal son suplementarios.
El ángulo marcado como 70º debe medir 80º, el de 95º debe medir 100º por ser opuesto por el vértice con el rojo. El de 80º está bien por ser alterno interno con el de 80º y por
último el de 110º debe medir 100º por ser suplementario y adyacente al de 80º.
7. Una empresa tiene que construir dos puentes peatonales paralelos. Anota el valor
de los ángulos.
A 5 75º
A
B
C
E
D
F
G
75°
B 5 105º
C 5 105º
D 5 75º
E 5 75º
F 5 105º
G 5 105º
P
ro
hi
8. La imagen corresponde al plano de un puente peatonal visto de costado. Si la inclinación de ambos tramos de la escalera es la misma, ¿cuál es el valor de los ángulos marcados con verde?
A 5 150°
B 5 60º
B
A
C 5 60º
D 5 30º
C
D
193
Trimestre 3
En este trimestre:
• Analizarás la existencia y unicidad en la
construcción de triángulos y cuadriláteros,
y determinarás y usarás criterios de
congruencia de triángulos.
©
bi S
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n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
• Resolverás problemas mediante la
formulación y solución algebraica de
ecuaciones lineales.
• Analizarás y compararás situaciones
de variación lineal a partir de sus
representaciones tabular, gráfica y
algebraica. Interpretarás y resolverás
problemas que se modelan con estos tipos
de variación.
• Calcularás el volumen de prismas rectos
cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero
desarrollando y aplicando fórmulas.
• Formularás expresiones algebraicas de
primer grado a partir de sucesiones y las
utilizarás para analizar propiedades de la
sucesión que representan.
Matemáticas animadas
Seguramente has visto películas de animación por computadora, pero tal vez no sabías
que para hacerlas se usan matemáticas.
hi
El físico DeRose, quien forma parte de uno de los equipos de animación más destacados
del mundo, explica que la técnica de elaboración de estas animaciones consiste en hallar un punto entre cada par de vértices de un prisma, para luego moverlos hasta formar
un cuerpo esférico; esto se aplica también a los bocetos de los personajes y a las escenografías. Este proceso se realiza varias veces hasta darle una textura natural y suave a las
animaciones.
ro
La computadora es capaz de localizar puntos entre vértices gracias a que en la programación se usa la densidad de los números, que estudiaste en el trimestre 1. También existen otros programas que utilizan funciones lineales y no lineales, y otros más simples
que usan puntos y vectores en un sistema de coordenadas parecido al plano cartesiano.
P
¿Crees que para hacer los videojuegos también se usan matemáticas?
194
P
ro
hi
©
bi S
da a
n
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lla
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st a
ri
bu
ci
ón
En la fotografía se muestra el proceso de
elaboración de una imagen en tercera dimensión. Este proceso se utiliza en la producción de las películas de animación.
195
Secuencia
didáctica
Análisis de sucesiones
29
Lección 1
Contenido: Analizas sucesiones simples y a partir de ellas formulas expresiones algebraicas.
Descripción de sucesiones
1. Lee y haz lo que se pide.
©
bi S
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n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Marta está entrenando para una carrera de 5 kilómetros. El primer día corre 2 kilómetros y cada semana aumenta 250 metros a su recorrido.
Completa la tabla en la que se registra la distancia que recorrió Marta en los primeros días de su entrenamiento.
Semana
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Metros recorridos
2 000
2 250
2 500
2 750
3 000
3 250
3 500
3 750
4 000
4 250
a. Describe cómo aumentan las cantidades en la tabla. Las cantidades
aumentan de 250 en 250, empiezan en 2 000
b. ¿En qué semana del entrenamiento Marta empieza a correr 5 kilómetros? En la semana 13
c.
Escribe una expresión que enuncie los metros recorridos por Marta en la semana
enésima de su entrenamiento. an 250n 1 750
d. ¿Funciona tu expresión? Utilízala para las semanas uno y diez del entrenamiento.
a1 250(1) 1 750 250 1 750 2 000, a10 250(10) 1 750 2 500 1 750 4 250
Diferentes sucesiones
1. Lee y responde.
hi
Rubén, el primo de Marta, va a participar en la misma carrera, pero él decide empezar a trotar la primera semana 50 metros, y en adelante cada semana se ejercita el
doble de lo recorrido en los cinco días anteriores.
P
ro
Completa la tabla en la que se registra la distancia que recorrió Rubén en las primeras semanas de su entrenamiento.
Semana
1
2
3
4
5
6
7
Metros recorridos
50
100
200
400
800
1 600
3 200
8
9
10
6 400 12 800 25 600
a. Compara los metros que recorrieron Marta y Rubén en sus entrenamientos.
R. M. Marta recorre más metros que Rubén de la semana 1 hasta la 7; a partir
de la semana 8, Rubén recorre la mayor cantidad de metros.
196
Eje: Número, álgebra y variación
b. ¿Cómo cambian las cantidades en cada sucesión? ¿En qué caso aumentan más
rápido? Escribe lo que observas. R. M. Al principio, Marta incrementa el
recorrido cada semana más que Rubén. Después de la semana 4, Rubén tiene un mayor recorrido.
2. Completa la tabla.
©
bi S
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n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Sandra, la mejor amiga de Marta, también va a participar en la competencia. Ella decidió aumentar 250 metros cada semana a su entrenamiento, como su amiga, pero
ella empezará trotando 3 kilómetros.
Semana
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Metros recorridos
3 000
3 250
3 500
3 750
4 000
4 250
4 500
4 750
5 000
5 250
a. Escribe una expresión que muestre los metros recorridos por Sandra en cada semana de su entrenamiento. Utiliza n para denotar el número de semana y verifica si tu expresión funciona. an 250n 2 750
b. Compara los entrenamientos de Marta, Rubén y Sandra. Escribe en qué se parecen y en qué son diferentes. R. M. Marta y Sandra incrementan la misma
cantidad cada semana, pero Sandra siempre corre un kilómetro más que
Marta. Rubén no incrementa lo mismo cada semana.
Una sucesión aritmética es aquella cuya diferencia entre dos términos consecutivos es una constante k. El término n, del conjunto ordenado, se puede encontrar
mediante la expresión kn 1 a, donde a es el término de la sucesión correspondiente a
n = 0 y k cualquier número entero, fraccionario o decimal.
yyComenta la información anterior con todo el grupo y revisen que las sucesiones
que escribieron representen los metros recorridos por Marta y Sandra. ¿El término an se puede expresar como kn + a?
¿Podría usarse la expresión de una sucesión aritmética para encontrar los metros recorridos por Rubén durante la semana enésima? No ¿Por qué? porque
hi
c.
ro
la diferencia entre dos términos consecutivos no es constante, va cambiando.
P
Las sucesiones aritméticas pueden ser ascendentes, es decir, sus términos van en
aumento. También pueden ser descendentes, cuando sus términos van disminuyendo. Cuando la sucesión es ascendente, k es positivo, mientras que, si es descendente, k es negativo. Cuando la diferencia entre dos términos consecutivos de la
sucesión va cambiando, la sucesión no es aritmética.
yyEscribe una sucesión aritmética ascendente y otra descendente en tu cuaderno.
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
197
Lección 2
Análisis de sucesiones de figuras
1. Analiza junto con un compañero las siguientes sucesiones de figuras.
Sucesión 1
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Sucesión 2
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Sucesión 3
Figura 1
a. ¿Cómo aumenta el número de cuadrados en cada sucesión? R. M. En la primera
sucesión, de la figura 1 a la 2 incrementa 2 cuadrados, de la figura 2 a la 3 incre-
menta 3 cuadrados, de la figura 3 a la 4 incrementa 4 cuadrados. En las sucesiones 2 y 3 siempre aumentan 2 cuadrados.
b. Identifiquen cuáles son sucesiones aritméticas y escriban una expresión algebraica que les permita encontrar el número de cuadrados para la figura número n. Sucesiones 2 y 3: an 2n 1.
hi
Practicar para avanzar
ro
1. Analiza las sucesiones. Para aquellas que son aritméticas encuentra una expresión y escribe
el término n de la sucesión. Determina si son ascendentes o descendentes.
P
Sucesión
Diferencia entre
¿Es aritmética?
términos consecutivos
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...
Enésimo
término
4, 4, 4, 4…
Sí
Aritmética
4n 1 1
7,7,7,7…
Sí
Aritmética
7n 1 39
1, 1, 2, 3, 5, 8 …
No
No aritmética
5, 9, 13, 17, 21...
32, 25, 18, 11, 4, 23...
Tipo de
sucesión
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Corrige si lo consideras necesario.
198
Eje: Número, álgebra y variación
Interpretación de expresiones de sucesiones aritméticas
2. Analiza y resuelve.
Las siguientes expresiones denotan el término enésimo de las sucesiones. Escribe
los primeros tres términos de cada una. Después, dibuja la sucesión de figuras para
cada expresión, incluye las cuatro primeras.
a. Sea 2n 1 3, escribe cuando n = 1, 2 y 3. a1 5, a2 7 y a3 9
Figura 2
Figura 3
Figura 4
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Figura 1
b. Sea 3n 1 2, escribe cuando n = 1, 2 y 3. a1 5, a2 8 y a3 11
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Aplica lo que aprendiste.
1. Analiza las sucesiones y responde.
Sucesión 1
Figura 1
Sucesión 2
Figura 2
Figura 3...
Sucesión 3
Figura 2
Figura 3...
Sucesión 4
3
1
1
2, 2 , 1, 2 , 0, 2 2 ...
ro
hi
1 1 1 1
1, 2 , 4 , 8 , 16 ...
Figura 1
P
Para las sucesiones aritméticas, escribe una expresión algebraica que sirva para encontrar el término enésimo.
Sucesión 1: 5n 1 1
Sucesión 2: 9n
1
5
Sucesión 4: — 2 n 1 2
yyComenten en grupo cómo se puede saber si una sucesión es aritmética y, dado el
caso, cómo determinar una expresión para encontrar el término n en la sucesión.
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
199
Secuencia
didáctica
Expresiones algebraicas
30
Lección 1
Contenido: Usas diferentes expresiones algebraicas para analizar las propiedades de las sucesiones. Analizas la equivalencia de expresiones aplicando reglas de transformación.
Expresiones algebraicas y sucesiones
1. Lee el texto y resuelve la situación.
©
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n
su ti
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ci
ón
Una compañía de ventas por internet distribuye uno de sus productos a distintos
clientes. Para hacer las entregas, los repartidores utilizan cajas en las que caben n
productos y llevan algunos productos por separado. La siguiente lista de pedidos
muestra los requerimientos diarios de cada comprador.
Alcazar 3n 1 1 productos; Bric 4n; Corso 4n 2 2; Dinar 5(n 1 3) y Edsa 1 n 2 2
2
a. ¿Cuántas cajas de n productos y cuántos productos extra deben acomodar en el
33
camión para surtir a todos los clientes? 2 n 1 12
yyComenten en grupo cómo se puede resolver el problema anterior.
La regla de la sucesión
1. Reúnete con dos compañeros y hagan lo que se solicita.
a. Escriban los primeros cinco números de la sucesión representada por la regla
4n. 4, 8, 12, 16, 20
b. ¿Qué significa la variable n en la expresión anterior? R. M. El número del término
c. ¿Los términos de la sucesión crecen o decrecen? Crecen
d. ¿Cuál es el término en la posición 23 de la sucesión? 92
e. Escriban los primeros cinco números de la sucesión representada por la regla
3n + 1. 4, 7, 10, 13, 16
f.
¿Qué valor puede tomar la variable n en estas sucesiones? R. M. Un número natural
g. Si juntan las dos sucesiones, término a término, para formar una nueva, ¿cuál es
hi
la expresión algebraica que representa la nueva sucesión? 7n 1 1
h. Sigan los pasos para simplificar la expresión anterior.
P
ro
yyAgrupen y escriban los sumandos de la expresión algebraica que tienen la variable n y, por otra parte, los que no la tienen, es decir, constantes.
4n 1 3n 1 1
yyEscriban la suma de los términos que tienen la variable. 7n
yySumen los términos constantes. 1
yyLa nueva regla puede escribirse como: 7n 1 1
yy¿Esta nueva expresión equivale a la que se quería simplificar? Argumenten su
respuesta. R. M. Sí, porque se sumaron los términos uno a uno.
200
Eje: Número, álgebra y variación
i.
Expresen de manera equivalente la sucesión que corresponde a la expresión algebraica 5(n 1 3). Sigan las instrucciones. Ver solucionario
yyDibujen en su cuaderno una sucesión que represente la regla n 1 3 y la que se
obtiene al multiplicar cada sumando por 5.
yyDibujen la sucesión representada por la regla 5n 1 15.
j.
¿Las dos sucesiones son equivalentes? ¿Qué operación debe realizarse para obtener, a partir de 5(n 1 3), la regla 5n 1 15? Sí, una multiplicación.
©
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ón
yyVerifiquen sus respuestas con otros equipos.
2. Considera todas las sucesiones que modelan los pedidos de los clientes y encuentra la suma de todas las expresiones algebraicas.
a. Acomoda los sumandos como en el primer punto del inciso h de la actividad an1
terior y escríbelos. 3n 1 1 1 4n 1 4n 2 1 5n 1 15 1 2 n 2
b. Suma las expresiones que contienen la variable n, por un lado, y por otro los tér33
1
minos constantes, para obtener una expresión equivalente. 2 n 1 12 16 2 n 1 12
c.
¿Qué significa la expresión anterior en términos del problema? R. M. Que se necesitan 16 cajas y media y 12 productos sueltos.
d. ¿Qué valor tiene la expresión si n 5 92? 1 530
yyAnalicen la siguiente información y revisen de nuevo sus respuestas.
Una expresión algebraica es la representación escrita que combina números, letras
y signos de operación. Las letras o variables representan un número, es decir, pueden tomar cualquier valor. A los sumandos que se separan por los signos 1 o 2, se
les llama términos de la expresión. Cuando dos términos tienen las mismas variables se les conoce como términos semejantes.
ro
hi
Cuando en una expresión algebraica se combinan la multiplicación y la suma, como
en a(b 1 c), se puede utilizar la propiedad distributiva de los números que afirma
que a(b 1 c) 5 ab 1 ac.
Practicar para avanzar
P
Responde en el cuaderno.
1. Si la regla de una sucesión es 4(x 2 8), ¿la sucesión 4x 2 32 es su equivalente? Sí
2. Si restan las sucesiones 3z 2 4 y 6 2 2z, ¿cuál es la regla de la diferencia?
3z 4 (6 2z) 5z 10 o 6 2z (3z 4) 5z 1 10
a. ¿Qué sucede con los términos de la expresión en el sustraendo? Cambian de signo
b. ¿Qué valor tiene la expresión cuando z 5 4? 5z 10 10 o 5z 1 10 10
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
201
Lección 2
Equivalencia de expresiones algebraicas
1. Discute con un compañero el problema y responde.
La maestra de Matemáticas de Lorena pidió al grupo que encontraran una regla
para la sucesión que anotó en el pizarrón. Analicen las expresiones obtenidas por
los equipos del salón.
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Equipo 1: 2x 1 19
Equipo 2: 4(x 1 5)2 2x 2 1
Equipo 3: (x 1 1) 1 2(x 1 9) 2 x
a. ¿Son equivalentes las tres expresiones anteriores? R. L.
b. Comparen las expresiones de los equipos 3 y 1. ¿Cómo ordenarían la expresión
del equipo 3 para encontrar términos semejantes? x 1 2x x 1 1 1 18
Hagan las operaciones y escriban su resultado. 2x 1 19
d. ¿Equivale esta expresión a la del equipo 1? Sí
c.
e. Comparen las expresiones de los equipos 2 y 1. ¿Cómo se escribe la expresión
del equipo 2, si se aplica la propiedad distributiva? 4x 1 20 2x 1
Ordenen la expresión del equipo 2 en términos semejantes. 4x 2x 1 20 1
g. Realicen las operaciones y escriban su resultado. 2x 1 19
h. ¿Equivale esta expresión a la del equipo 1? Sí
f.
a.
99/10z 94/15
Para mostrar que dos expresiones algebraicas son equivalentes se necesita trans9.9z 6.27
formar estas mediante operaciones, que no modifiquen los valores que toman los
3z 2.6(2z)
términos de la sucesión representada por dicha expresión.
9.3z 2.6 y
9.3z 2.66
2. Resuelve las actividades en tu cuaderno. Justifica tus respuestas.
(3/5z 8/3)
57/10z67/5
5.7z13.4
a. Analiza las expresiones.
7.3z 1 2.6
22z
3
8
5 z1 3
hi
4z 1 1
ro
yyEncuentra la suma de todas las expresiones.
yyEncuentra la diferencia entre la segunda y la tercera expresión. Después resta
al resultado anterior seis veces la cuarta.
P
b.
b. Escribe dos expresiones equivalentes a cada una de las que se muestran.
2y/33/25y7/6y
43/319/6y95/
2y 2 3 25y 1 7 y 2 43
4 k2 7 2 5 — 1 k
6 1/3 (2y43)1/2
3
2
6
3
12
6 12
6
(37/3 y)5y
4/12k7/65/121/6k c. Transforma la expresión 4(n 2 3) 1 3n 2 1 en cuatro expresiones equivalentes.
4(n3)3n14n123n17n133(n4)4n1 6(n2)n1
k11/24(1/3k7/6)
yyComenten los procedimientos que siguieron para simplificar las expresiones y
1/6(5k)
para encontrar equivalencias, y valídenlos con su profesor.
202
Eje: Número, álgebra y variación
3. Resuelve.
Yaneli leyó en un libro lo siguiente: “La suma de dos números consecutivos es siempre un número impar”.
a. Ayuda a Yaneli a mostrar que sí lo es. Para ello, escribe como x un número cualquiera y anota el número que le sigue. x, x 1 1
b. Escribe la suma de x más el número que le sigue. Junta términos semejantes. 2x 1 1
c.
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ón
¿Cómo puedes asegurar que la expresión que encontraste es un número impar?
Porque un número natural x multiplicado por 2 es par y al sumarle 1 se
vuelve impar.
yyCompara tu respuesta con dos compañeros y discutan si es correcta.
Aplica lo que aprendiste.
1. Analiza con un compañero la siguiente situación y respondan.
Roberto, Karla y su papá quieren construir un librero en el que puedan poner la televisión. El librero tiene la siguiente forma y las medidas indicadas, en centímetros.
a—5
a—1
a—5
a
2a 1 20
2a 2 10
hi
a. ¿Son equivalentes la expresión a — 5 a — 1 y la expresión 2a — 6? Justifica tu
respuesta. Sí
son equivalentes: a 5 1 a 1 a 1 a 5 1 2a 6
b. ¿Qué representan las expresiones 2a 20 y 2a — 6 en la imagen? La expresión
2a 1 20 representa la longitud de la base del espacio central del librero y la expresión 2a 6 representa la altura del espacio más grande del librero.
c. ¿Qué representa el producto de las expresiones de los incisos a y b? Representa
el área del espacio más grande en el librero.
d. Roberto dice que para hacer las tablas largas horizontales se necesitan 3(a 2a
20 2a — 10) cm. ¿Tiene razón? Sí, porque se requieren 3 tablas con esa longitud.
ro
e. ¿Cuánta madera se necesita para las tablas horizontales restantes? a 1 2a 10 3a 10 cm
f.
P
¿Cuántos centímetros de madera se necesitan para hacer las tablas verticales? 12a 44 cm
g. ¿Cuál expresión algebraica indica la cantidad madera que se requiere para hacer
el mueble sin que les sobre nada? 20a 24 cm
yyAnalicen de nuevo los problemas que resolvieron en la secuencia, en particular
aquellos en los que les resultó difícil encontrar expresiones equivalentes. Si es necesario corríjanlos.
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
203
Secuencia
didáctica
Ecuaciones lineales
31
Lección 1
Contenido: Analizas, modelas y resuelves ecuaciones lineales del tipo Ax + B = C y de la forma Ax + B = Cx + D.
Aplicas el significado de igualdad para encontrar equivalencia entre expresiones algebraicas o numéricas.
Expresiones algebraicas y ecuaciones
1. Reúnete con un compañero y respondan.
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ón
Valentina quiere rentar una bicicleta en el parque. Rentarla cuesta $17.00 más $4.35 por
cada media hora subsecuente. Si ella pagó $38.75, ¿cuánto tiempo usó la bicicleta?
a. Escriban una expresión algebraica que represente la cantidad que se debe pagar
por usar la bicicleta. Representen cada media hora con la literal x. 4.35x 1 17
b. ¿A qué debe ser igual la expresión anterior? 38.75
c.
Escribe qué significa la igualdad entre la expresión y el número 38.75. 4.35x
1 17 38.75
d. ¿La igualdad anterior cumple con las condiciones para ser una ecuación? ¿Por
qué? R. M. Sí, porque es una igualdad entre expresiones algebraicas.
e. ¿Cómo puedes saber cuántas medias horas usó Valentina la bicicleta? R. M.
Resolviendo la ecuación
yyDiscutan sus respuestas con sus compañeros y con el profesor.
La solución de una ecuación
1. Reúnete con dos compañeros y completen.
a. Escriban un enunciado que pueda ser representado por la expresión algebraica
x 2 18. R. M. Al empezar el día tenía cierta cantidad de dinero y gasté $18 en
hi
la tienda.
b. ¿Qué significaría en el enunciado que la expresión algebraica fuera igual a 13?
R. M. Que después de pagar me quedaron $13.
c.
P
ro
Para que la igualdad se cumpla, ¿x debe ser 27 o 31? ¿Cómo lo saben?
No, porque ninguna de las opciones cumple la igualdad.
5
d. Escriban un enunciado que represente la expresión algebraica 2x 2 7 .
R. L.
2
e. En el enunciado anterior, ¿qué significaría que la expresión fuera igual a 3 ?
R. L.
f.
204
Calcula el valor de x para que se cumpla la igualdad. Comprueba tu respuesta.
R. M. No, porque ninguna de las opciones cumple la igualdad.
Eje: Número, álgebra y variación
g. Retomen el problema inicial de la lección. ¿Qué ecuación representa el costo de
renta de las bicicletas? 4.35x 1 17 38.75
yyComparen sus respuestas con las de otros compañeros. Comenten con el profesor el procedimiento que usaron para identificar las ecuaciones.
i.
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2. Lee el problema y resuélvelo en tu cuaderno siguiendo los pasos que se indican.
Ver solucionario
Salvador necesita reunir 2 560 puntos para participar en la final de un
concurso de Historia. En esta etapa ganó un bono de 80 puntos, y por
Glosario
cada respuesta acertada le otorgarán 40 puntos. ¿Cuántas preguntas
debe responder correctamente para pasar a la etapa final?
Elige una literal para representar la incógnita y expresa el problema
mediante una ecuación.
ii. Resta 80 de cada lado de la igualdad y anota la ecuación resultante.
¿Cambia la solución de la ecuación al hacer esta operación? ¿Por qué?
iii. Divide los dos lados de la ecuación entre 40 y anota la ecuación
que resulta. ¿Cambia la solución de la ecuación al hacer esta operación? ¿Por qué?
incógnita.
Cantidad o valor
que debe hallarse
en una ecuación.
Generalmente se
representa con una
literal.
iv. Al hacer la operación anterior encontraste el valor de la incógnita; esta es la solución de la ecuación. Sustituye este valor en las tres ecuaciones que escribiste al
seguir los pasos anteriores para verificar el resultado. ¿La igualdad es verdadera
en todos los casos? Si es así, decimos que las tres ecuaciones son equivalentes.
Las propiedades para conservar la igualdad se usan con la finalidad de convertir
una ecuación en otra equivalente y son las siguientes.
Propiedad 1. Sea a = b, si se suma o se resta el mismo número c en los dos lados de
la igualdad, la igualdad se conserva:
a 1 c 5 b 1 c; a 2 c 5 b 2 c.
ac 5 ab; ac 5 bc .
ro
hi
Propiedad 2. Sea a = b, si se multiplica o se divide por el mismo número c, con c distinto de cero, de los dos lados de la igualdad esta se conserva:
P
3. Resuelve y justifica cada paso en tu cuaderno. No olvides verificar la solución que
encontraste. Recuerda mantener la igualdad. Ver solucionario
a.
p
6 2 2 5 2.8
2
4
b. 3x 2 15 5 5
2n
c. 3 2 1.2 5 13
yyDiscute con un compañero un procedimiento para resolver ax 1 b 5 c y ax 2 b 5 c.
Comenten qué ventajas tiene el procedimiento anterior en comparación con
buscar por ensayo y error un número que satisfaga la igualdad.
Tema: Ecuaciones
205
Lección 2
El juego de la balanza
1. Lee la situación, analiza las imágenes y contesta.
En la balanza se tienen pesas de 1 g y pesas de x g.
a. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la situación de la balanza de la
figura 1?
B) 5x 7 2x 13
C) 5x 7 2x 13
©
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A) 5x 7 5 2x 13
1g
1g 1g
1g 1g 1g
xg 1g 1g 1g
xg 1g 1g 1g 1g
1g 1g 1g
1g 1g 1g 1g
xg xg xg xg xg
Figura 1
b. Escribe una expresión algebraica que represente la situación de la balanza de
abajo. 5x 2x 1 13
xg
1g
1g 1g
1g 1g 1g
xg 1g 1g 1g
xg 1g 1g 1g 1g
xg
hi
xg xg xg
Figura 2
P
ro
yy¿A qué se debe que la balanza no esté equilibrada? A que los pesos no son
iguales.
yy¿Qué tendrías que hacer para equilibrar la balanza anterior sin quitar pesas del
lado izquierdo? Justifica tu respuesta. Quitar 7 pesas de un gramo del lado
derecho de la balanza.
yyEscribe una expresión que represente tu respuesta anterior. 5x 2x 1 6
206
Eje: Número, álgebra y variación
yyDibuja en la siguiente balanza la expresión equilibrada.
xg 1g 1g
xg xg
xg 1g 1g 1g 1g
xg
©
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ón
xg xg
Figura 3
c.
Observa la balanza de la figura 4 y describe qué se hizo para pasar de la situación que dibujaste en la balanza de la figura 3 a esta.
xg
1g 1g
Figura 4
Se
quitaron
dos
pesas
de
x
gramos
de cada lado, luego se quitó una pesa de x
gramos y para equilibrar se quitaron dos pesas de 1 gramo del lado contrario,
repitió una vez más este último proceso y solo quedó del lado izquierdo
se
una pesa de x gramos y del lado derecho dos pesas de 1 gramo cada una.
yyExplica en términos matemáticos el paso anterior A ambos lados de la balanza se restaron 2x, luego se dividió todo entre 3 y se obtuvo el resultado.
yy¿Qué puedes concluir a partir de la última balanza? Que cada pesa de x gramos pesa 2 gramos.
hi
yyExpresa tu conclusión mediante una expresión algebraica.x 2
ro
d. Escribe el proceso que se siguió en las balanzas, de principio a fin, y representa
cada paso mediante expresiones algebraicas.
5x 2x 6; 5x 2x 6; 3x 6; x 6/3; x 2
P
yyCompara tus respuestas con las de tus compañeros y, con ayuda de tu profesor, generalicen el procedimiento que escribieron. Comenten qué tendrían que hacer si hubiera términos con signo negativo y si sería posible emplear la balanza en ese caso.
Tema: Ecuaciones
207
Lección 3
El juego de la balanza II
1. Lee la situación y realiza lo que se pide.
Para resolver la ecuación 6x 2 5 4x 12, considera nuevamente que tienes
pesas de 1 g y de x g.
Herramientas
académicas
1g
©
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ón
1g 1g
Para reforzar lo
aprendido en la
lección entra a la
página www.esant.
mx/fasema1-008.
1g 1g 1g
1g 1g 1g 1g
1g 1g
xg
xg
xg
xg
xg xg
xg
xg
xg
xg 1g 1g
a. Representa en la balanza la ecuación anterior. Coloca en el lado izquierdo el número de pesas que representa la expresión del lado izquierdo del signo igual y
del lado derecho el número de pesas que indica la expresión correspondiente.
b. ¿Qué sucede si se quitan dos pesas de 1 g del lado izquierdo? Se tiene un
desequilibro en la balanza, ya que se han quitado dos pesas de 1 g.
c.
¿Qué debe hacerse para equilibrar la balanza? Quitar dos pesas de 1 gramo
del lado derecho.
d. Encierra en tu dibujo las pesas correspondientes para representar la situación. Quitar
las dos pesas de la balanza equivale a restar 2 del lado izquierdo de la ecuación.
e. ¿Se conservaría la igualdad entre las dos expresiones al restar solo de un lado?
Argumenta tu respuesta. R. M. No, porque la balanza ya estaba equilibrada; si
hi
se quita solo de un lado no habrá equilibrio.
¿Se conservaría la igualdad al restar 2 en ambos lados? ¿Por qué? R. M. Sí,
porque se quita lo mismo de ambos lados.
ro
f.
P
g. ¿Qué propiedad aplicaste para conservar la igualdad? Si a = b entonces a c b c.
h. Escribe la expresión de la igualdad al restar 2 de cada lado. ¿Estaría la balanza
en equilibrio? 6x 4x 10
i.
¿Cómo se escribirían las ecuaciones si se restara 4x a cada lado? 2x 10
208
Eje: Número, álgebra y variación
j.
¿Estaría la balanza en equilibrio? Representa la ecuación en el dibujo. Sí
k. ¿Cómo encuentras el valor de x? Representa esta situación en la balanza. R. L.
l.
¿Qué significa hacer esta operación en la balanza y qué significa hacer esta operación en la ecuación? Argumenta tu respuesta. R. M. Quitar la mitad de las pesas en cada lado. Dividir entre 2 ambas expresiones.
m. ¿Se conserva la igualdad al hacer esta operación? ¿Por qué? R. M. Sí, porque se
disminuye en la misma proporción.
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ón
n. ¿Qué propiedad utilizaste para conservar la igualdad? La propiedad 2. Si a b
entonces a/c b/c.
o. ¿Cómo queda la ecuación de la igualdad? ¿Cómo lo sabes? x 5
p. Explica cómo se expresa lo anterior en la balanza y escribe el valor que encontraste para x. R. M. Una pesa de x gramos pesa lo mismo que 5 pesas de un
gramo.
yy Compara tus respuestas con las de tus compañeros y valídenlas con ayuda de
su profesor.
2. Reúnete con dos compañeros para analizar el problema. Léanlo y discutan cómo
se puede resolver. Después respondan.
El sábado y el domingo, el tío de Alberto le dio la misma cantidad de dinero para jugar videojuegos. El sábado, Alberto se gastó todo el dinero en la tienda de la esquina.
Ahí le cobraron $30.00 por usar las maquinitas más $4.50 por cada minuto de juego.
El domingo se gastó todo el dinero en la papelería, donde le cobraron $6.00 por usar
las maquinitas y $5.25 por cada minuto de juego. Si Alberto jugó la misma cantidad
de tiempo ambos días, ¿cuánto tiempo jugó el sábado y el domingo?
hi
a. Escriban una expresión algebraica que represente la cantidad de dinero que
Alberto gastó el sábado. Usen t para denotar el tiempo que jugó. 30 1 4.5 t
ro
b. Escriban una expresión algebraica que represente la cantidad de dinero que
Alberto gastó el domingo. Escriban t para denotar el tiempo que jugó. 6 1 5.25 t
Escriban una ecuación para representar que Alberto gastó la misma cantidad de
dinero los dos días. Resuelvan la ecuación. 30 1 4.5 t 6 1 5.25t, t 32 minutos
P
c.
yy Verifiquen que la solución que encontraron es correcta sustituyéndola en la
ecuación original. Comparen sus respuestas con las de otros compañeros.
Tema: Ecuaciones
209
Lección 4
Las ecuaciones y su solución
1. Reúnete con dos compañeros para analizar y resolver el problema.
a. Tere ahorró una cantidad de dinero x al mes y 5 meses después gastó $13. Escriban
una expresión algebraica que represente cuánto dinero le quedó. 5x 213
b. Si Tere ahorrara esa misma cantidad durante 3 meses, y su papá le diera $9 más,
juntaría la misma cantidad de dinero que le quedó. Con esta información y la del
©
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inciso anterior, escriban una ecuación que les permita conocer la cantidad de dinero que Tere ahorró cada mes. 5x 213 3x 1 9, x 11
En la lección 1 resolvieron ecuaciones simples cuya incógnita aparecía únicamente de un lado de la igualdad. En la lección 3 y las actividades anteriores
utilizaron propiedades para mantener la igualdad y encontrar ecuaciones equivalentes, reducirlas lo más posible y encontrar la solución.
Para conservar la igualdad, debes fijarte en los signos de los números y las operaciones. Es importante recordar la diferencia entre una expresión algebraica y
una ecuación. En las ecuaciones se usa el signo igual para representar expresiones
idénticas o equivalentes. El signo de igualdad, en una ecuación, relaciona expresiones algebraicas y verifica qué valores las hacen verdaderas, mientras que en las
expresiones algebraicas no hay un signo de igualdad que permita utilizar las propiedades anteriores.
Practicar para avanzar
1. Verifica si el valor dado es la solución de cada ecuación.
y
3
1
4 1 2 5 2y 1 2
ro
a.
hi
a. 5x 2 4 5 x 1 16, para x 5 5
b. 2q 1 7 5 23 2 2q, para q 5 4
Sí es solución de la ecuación.
Sí es solución de la ecuación.
2. Usa el modelo de la balanza para resolver las siguientes ecuaciones.
17.3 x 2 6.4 5 3.7x 1 4.8 x 0.8235
25
5
10
2
b. 3 2 6 z 5 3 1 6 z z 30/7
d. 7.2a 1 9.9 5 4.6a 1 12.7 a 1.076
P
c.
y 4/7
3. A Beatriz le regalaron una tarjeta de $250 para comprar libros más 30 vales. A Mónica le dieron una tarjeta de $400 y 6 vales para comprar música, en la misma tienda. Si los vales son de
la misma cantidad de dinero. ¿Qué valor tiene cada vale y cuánto dinero recibió cada una?
Compara tus respuestas con tus compañeros y comparte tu procedimiento.
210
3. La ecuación que modela el problema es 30v 250 6v 400. Así, el precio de cada vale es
de $6.25, por lo que a cada una le dieron $437.5.
Eje: Número, álgebra y variación
Transposición de términos
2. Lee y analiza.
Para resolver ecuaciones, se emplean las propiedades de la igualdad, pero también
se puede simplificar el procedimiento con la transposición de términos. Primero se
colocan los términos que no tienen incógnita a un lado de la igualdad y los que tienen incógnita del otro lado. Por ejemplo, para la ecuación 12x 2 5 5 7x 2 2 se puede
transponer a 12x 2 7x 5 5 2 2.
©
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da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
a. ¿Por qué es válida esta forma de acomodar la igualdad? R. M. Porque equivale
a restar 7x y sumar 5 en ambos lados de la ecuación.
b. Explica el proceso para pasar los términos con variable de un lado de la igualdad
y los términos constantes del otro. R. M. El término pasa del otro lado con su
operación inversa.
c.
Resuelve la ecuación y verifica el resultado. x 3/5
d. Resuelve la ecuación 17.45k 2 8.43 5 12.45k 2 2.43. Usa el mismo método.
17.45k 212.45k 2 2.43 1 8.43
5k 6;k 6/5 1.2
e. ¿Qué dimensiones debe tener un rectángulo cuyo perímetro es de 74 cm y su ancho 7 cm menor que su largo? 2 x 1 2 (x27) 74, x 22, el rectángulo debe
medir 15 cm 3 22 cm.
yy Discute con tu profesor las ventajas o desventajas de los métodos para resolver
ecuaciones. Argumenta tu postura.
Aplica que aprendiste.
hi
1. Responde en tu cuaderno. R. L.
P
ro
a. ¿Cómo le explicarías a un compañero que faltó a clase qué relación hay entre la
transposición de términos y las propiedades de la igualdad?
b. Cuando resuelves ecuaciones, ¿por qué conviene identificar la incógnita en primer lugar y escoger un símbolo para representarla?
c. ¿Tuviste alguna dificultad al escribir ecuaciones para modelar un problema?
¿Lograste resolver esas dificultades? Si no lo conseguiste, coméntalo con el profesor para que encuentren una solución.
d. ¿Fue cordial la discusión con tus compañeros de equipo al trabajar las actividades de la secuencia?
yy Comenta en grupo el procedimiento que seguiste para resolver las ecuaciones.
Pide ayuda a tu profesor si aún tienes alguna dificultad.
Tema: Ecuaciones
211
Secuencia
didáctica
Funciones lineales y no lineales
32
Contenido: Distingues entre funciones lineales y no lineales utilizando distintas representaciones. Analizas en qué
intervalos las funciones son negativas o positivas, crecientes o decrecientes.
Comparación de funciones
Lección 1
1. Lee la información, analiza los datos y, con dos compañeros, haz lo que se pide.
©
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El cuidado de los bosques es muy importante. Si no se toman medidas para preservarlos,
se pueden perder recursos naturales que son vitales para el equilibrio en la Naturaleza.
Las tablas muestran el área total, medida en miles de km2, que ocuparon los bosques de árboles de lento crecimiento en Nigeria, un país en África, y en México entre
los años 1995 y 2010.
Tabla I. Área ocupada por bosque en Nigeria
Tiempo (años)
1995
2000
2005
2010
Área (km2)
149
128
107
86
Fuente: https://rainforests.mongabay.com (consulta: 1 de noviembre de 2017)
Tabla II. Área ocupada por bosque en México
Tiempo (años)
1995
2000
2005
2010
Área (km2)
790
668
656
648
Fuente: https://rainforests.mongabay.com (consulta: 1 de noviembre de 2017)
Área (km2)
a.
a. Construyan en su cuaderno la gráfica correspondiente a cada tabla.
b. Unan los puntos de cada gráfica. Analicen las gráficas y luego respondan.
y
150
140
130
120
(1995, 149)
(2000, 128)
(2005, 107)
110
100
80
2000
2005
Tiempo (años)
2010
x
yy ¿Los valores de la variable dependiente en la función de la tabla I son positivos
o negativos? Positivos.
hi
1995
y
yy ¿Y los valores de la variable dependiente de la función de la tabla II? Positivos.
yy ¿Qué área de bosque había en Nigeria en 1995 y en 2010? En 1995 había
ro
(1995, 790)
700
(2000, 668)
680
(2005, 656)
660
640
1995
2000
2005
Tiempo (años)
P
Área (km2)
yy ¿Y los valores de la variable dependiente en la función de la tabla II? Descienden
(2010, 86)
90
800
780
760
740
720
yy ¿Los valores de la variable dependiente en la función de la tabla I aumentan o
descienden? Descienden
(2010, 648)
2010
x
149
000 km2 y en 2010 había 86 000 km2.
yy ¿En qué año era mayor el área ocupada por bosques en cada país? En 1995
en
ambos casos.
yy ¿Cuál de las dos gráficas forma una recta? La función de la tabla 1 forma una
recta.
yy Comparen y discutan sus respuestas con otro equipo. Resuelvan sus dudas con
el profesor.
212
Eje: Número, álgebra y variación
Variables dependientes e independientes
1. Lee la información y luego resuelve.
Las variables área ocupada por el bosque y tiempo de la actividad anterior están relacionadas entre sí. En las tablas y las gráficas que analizaste, el valor del área ocupada por el bosque depende del tiempo que ha transcurrido y por ello la llamamos
variable dependiente, mientras que al tiempo le llamamos variable independiente.
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a. En cada caso, subraya con rojo la variable dependiente y con azul la variable
independiente.
yy La distancia que recorre un autobús cuando viaja a distinta velocidad en un
tiempo fijo.
yy La temperatura a distintas horas del día.
yy El precio a pagar por distinta cantidad de litros de gasolina consumidos por
un automóvil.
yy El ingreso de un carpintero por el número de sillas vendidas.
yy Comenta con tus compañeros por qué es importante identificar el tipo de variables que hay en una función.
2. Reúnete con un compañero y retomen la información de la actividad inicial.
a. Calculen, para las tablas I y II, las diferencias entre cada par de datos consecutivos de la variable dependiente y cada par de datos consecutivos de la variable
independiente. Coloquen las diferencias que obtuvieron en una tabla de dos columnas, una junto a otra, en su cuaderno. Ver solucionario
b. Comparen los datos obtenidos. ¿Qué observan? R. M. En una la diferencia siempre es la misma y en la otra no.
c.
¿Cómo es la diferencia por periodo en el caso de Nigeria? La diferencia siempre
es de 5 años.
hi
d. ¿Cómo es la diferencia del área ocupada por bosque en cada periodo? La diferencia siempre es 221.
ro
e. ¿Cómo es la diferencia por periodo en el caso de México? También la diferencia
siempre es de 5 años.
¿Cómo es la diferencia del área ocupada por bosque en cada periodo? Va cambiando periodo tras periodo.
P
f.
g. ¿Cuál esperarían que sea el área de bosque en Nigeria en 2020? 44 000 km
h. ¿Cuál esperarían que sea el área de bosque en México en ese mismo año? R. L.
2
yy Discutan las respuestas a las preguntas con todo el grupo y con su profesor.
Tema: Funciones
213
c.y
Función lineal
d (km)
Lección 2
(5, 40)
40
35
30
25
(4, 32)
(3, 24)
20
(2, 16)
15
(1, 8)
10
5 (0, 0)
1. Reúnete con un compañero y contesten.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t (h)
3
3.5
4
4.5
5
x
Los datos de la tabla representan la relación entre la distancia recorrida en kilómetros por un ciclista y el tiempo del recorrido en horas.
t (h)
0
1
2
3
4
5
d (km)
0
8
16
24
32
40
©
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a. ¿Cuál es la variable independiente en esta función? El tiempo
b. ¿Cuál es la variable dependiente? La distancia
c.
Elaboren en su cuaderno una gráfica con los datos de la tabla.
d. ¿Podrían unir los datos de la gráfica con una recta? Sí
e. ¿La gráfica de la función es creciente o decreciente? ¿Cómo lo saben? Creciente.
Porque la distancia aumenta conforme aumenta el tiempo.
f.
¿Cuál es el valor más grande de la función en el tiempo que duró el recorrido? 40
yy ¿Cuál es el valor más pequeño en ese intervalo de tiempo? Cero
yy Comenten sus respuestas en grupo. Después lean y analicen la siguiente
información.
Una función lineal es aquella en la que, cuando la variable independiente cambia
en una unidad, el cambio en la variable dependiente es constante. Si esto no sucede, decimos que la función no es lineal o es no lineal.
La gráfica que representa una función lineal es una recta.
2. Responde con base en la información anterior.
a. ¿En la actividad anterior la función es lineal? Sí
hi
b. En el problema del área ocupada por bosque, ¿cuál de las funciones es lineal?
¿Por qué? La
función que describe la deforestación en Nigeria, porque cuando la va-
ro
riable
independiente cambia, la variable dependiente cambia de manera constante.
P
c.
214
En el problema del área ocupada por bosque, ¿cuál de las funciones no es lineal?
Justifica tu respuesta. La función que describe la deforestación en México, porque
la
variable dependiente no varía de forma constante cuando la independiente sí.
d. Si la gráfica de una función es una recta horizontal, ¿la función es lineal? Justifica
tu respuesta. Sí, porque cuando la variable independiente varía 1 unidad la dependiente varía 0 unidades, es decir, varía de manera constante.
yy Comenta la definición de función lineal con tus compañeros y compartan algunas situaciones que se puedan modelar con este tipo de función.
Eje: Número, álgebra y variación
3. a. No, porque
cuando la variable
independiente varía
una unidad, la variable dependiente no
cambia de manera
constante.
3. Analiza con un compañero las gráficas y responde.
Gráfica de la función A
Gráfica de la función B
y
y
4
4
3
3
2
2
1
0
-4 -3 -2 -1
-1
x
1
2
3
1
4
-4 -3 -2 -1
x
0
-1
-3
-2
-4
-3
2
3
4
3. b. La función B
cruza el eje y en el
(0, 1) y al eje x en el
(3, 0).
©
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-2
1
3. c. La función D
cruza a ambos ejes
en el punto (0, 0).
-4
Gráfica de la función C
Gráfica de la función D
y
3. f. En la función A y B no se
puede saber, en la función C el
2
máximo valor que se observa
2
1
1
x es 2 y en la función D el máximo
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
valor que se observa es 3.
-1
-1
Para las funciones A y B no se
-2
-2
-3
puede saber, para la función C
-3
-4
el mínimo es 2 y para la función D el mínimo es 3.
a. ¿Todas las gráficas que se muestan son funciones lineales? ¿Por qué? y
4
4
3
3
b. ¿En qué puntos cruza la función B a los ejes x y y? c.
¿En qué puntos cruza la función D a los ejes? d. Escribe en qué intervalos de la variable independiente son positivos los valores
de la variable dependiente de la función C. ¿En qué intervalos son negativos? La variable dependiente toma valores positivos de 4 a 2 y de 0 a 2.
hi
e. ¿En cuáles funciones se cumple que los valores de la variable dependiente aumentan solo cuando aumentan los valores de la variable independiente? Únicamente en la
función A los valores de la variable dependiente aumentan cuando aumentan los valores de
la variable independiente.
f. ¿Cuál es el valor más grande que toma la variable dependiente de cada función?
ro
¿Cuál es el valor más pequeño en cada función?
P
g. ¿En qué intervalos de x aumentan los valores de la variable dependiente de la
función C? ¿En qué intervalos descienden? Los valores de la variable dependiente aumentan
desde 4 a 3, de 1 a 1 y de 3 a 4, y disminuyen de 3 a 1 y de 1 a 3.
h. ¿Qué semejanzas y diferencias encuentras entre estas cuatro funciones? R. M.
Todas las funciones cruzan los ejes x y y. Las funciones A y B son lineales, y las
funciones C y D no lo son.
yy Compara tus respuestas con dos compañeros y discutan sus diferencias con el
profesor. Escriban, en su cuaderno, sus conclusiones.
Tema: Funciones
215
Aplica lo que aprendiste.
1. Construye en tu cuaderno una tabla para cada expresión. Considera para x los valores 23, 22.5, 21.5, 0, 1, 2, 4.5. Para los incisos a y d utiliza únicamente valores
positivos para x. Ver solucionario
a. y 5 1 x 2 3
2
b. y 5 5
c. y 5 4.7x 1 7.2
d. y 5 5x 2 10
©
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2. En tu cuaderno, traza las gráficas de las funciones anteriores e identifica cuáles de
ellas son funciones lineales. Responde las preguntas y haz lo que se pide.
Ver solucionario
a. ¿Hay alguna función que sea constante? Sí, la función b
2.
b.
*Solo el punto
(3.1, 21.77)
pertenece a la
función c.
b. ¿Pertenecen los puntos (3, 20), (2, 9), (0, 22), (25, 5) (3.1, 21.77) a la gráfica de la
función c? *
¿Y a la de la función b? ■
c.
En cada función identifica: Ver solucionario
yy Si las funciones son lineales o no son lineales.
yy Los intervalos de x donde la variable dependiente es positiva.
yy Los intervalos de x donde la variable dependiente es negativa.
yy El valor más pequeño y más grande de la variable dependiente.
yy Las intersecciones con los ejes.
■ Solo el punto (2 5, 5)
pertenece a
la función b.
3. La tabla representa la temperatura de un plato de sopa conforme pasa el tiempo.
h (min)
1
10
20
30
40
50
60
T (°C)
100
34.2
22.5
20.4
20.1
20
20
a. ¿Representa la tabla una función lineal? ¿Por qué? No, porque el cambio de la
variable dependiente no es constante, conforme cambia la variable independiente.
4. Responde las preguntas.
a. ¿Cómo ayudan las gráficas en la toma de decisiones? R. M. Por la forma en que
representan los datos que se están analizando.
hi
b. ¿Cómo le explicarías a un amigo la diferencia entre una función lineal y una función no lineal? R. L.
c.
P
ro
¿Cómo es más fácil de distinguir una función lineal: con una tabla o con una gráuna gráfica, ya que la representación visual permite
fica? ¿Por qué? Con
distinguir el cambio de los datos.
d. Si el valor de la variable dependiente de una función es el mismo cuando cambia
la variable independiente, ¿la función es lineal? ¿La función es constante? Es
constante.
yy Discute con un compañero las diferencias en sus respuestas. Con ayuda del profesor determinen cuáles son correctas.
216
Eje: Número, álgebra y variación
Reviso mi trayecto
Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de
los contenidos que tienes que repasar.
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1. Observa las imágenes y responde.
Figura 1
Figura 2
a. ¿Cuántas pelotas hay en cada fila de la figura 1? 1, 3, 5, 7 y 9
b. ¿Cuál es la regla de la sucesión de la figura 1? 2n 2 1
¿Cuántas hojas hay en cada rama de la figura 2? 10, 7, 4 y 1
d. ¿Qué regla genera la sucesión de la figura 2? 13 2 3n
c.
e. Explica detalladamente las diferencias entre ambas sucesiones y reglas. R. M.
Una es creciente y otra decreciente.
2. Observa la expresión 2x 2 2 1 4x 2 1.
a. Escribe dos expresiones equivalentes. 6x 2 3, 3(2x 2 1)
b. ¿Cuánto vale la expresión algebraica si x 5 2? 9
hi
3. Para una fiesta, un proveedor de comida calcula que cada persona consume, en
promedio, tres tacos, una quesadilla y media torta. Siempre prepara 30 tacos, 20
quesadillas y 15 tortas extras para que no falte comida. Si a una comida asistirán
p personas:
a. ¿Qué expresión representa cuántos tacos llevará el proveedor? 3p
ro
b. ¿Qué expresión representa cuántas quesadillas llevará el proveedor? p
¿Qué expresión representa cuántas tortas llevará el proveedor? 1/2 p
P
c.
d. Realiza la suma de estas tres expresiones, anótala e interpreta su resultado.
3p p 1/2 p 4.5 p
e. ¿Cuántas piezas de comida llevará para 80 personas? 425 piezas
217
Secuencia
didáctica
Ecuaciones lineales con paréntesis
33
Lección 1
Contenido: Resuelves ecuaciones lineales que involucren el uso de paréntesis. Solucionas problemas que requieren
varios pasos utilizando ecuaciones lineales.
Más ecuaciones lineales
1. Reúnete con dos compañeros, lean el problema y resuelvan.
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La directora de una escuela quiere comprar camisetas para la próxima excursión, a la
que irán 45 alumnos de primero de secundaria. En una distribuidora, le ofrecen 35%
de descuento. Si la directora dispone de $1 600 para comprarlas, ¿cuál es el precio de
las camisetas que debe escoger para que le alcance?
a. Escriban una expresión algebraica que represente el precio de cada camiseta,
considerando el descuento y la restricción del presupuesto. Para determinar el
costo de una camiseta, sería el costo original x menos el descuento de 0.35x, así
costo de una camiseta está dado por x 2 0.35x
el
b. ¿Qué deben hacer con esa expresión para obtener el costo total de las camisetas? ¿Qué expresión representa el costo total? El costo total de las camisetas se
obtiene
al multiplicar por 45, es decir, 45(x 2 0.35x)
yy ¿A cuánto debe ser igual la expresión anterior? ¿Por qué? A 1 600, porque es el
que se tiene para realizar el gasto
presupuesto
c.
Encuentren dos formas distintas de calcular el precio de las camisetas que la directora debe elegir. R. M. Se puede encontrar con la solución de una ecuación o
por
medio de ensayo y error.
d. Comprueben que encontraron la solución correcta con los dos métodos.
yy Comparen sus procedimientos y resultados con los de otro equipo.
Propiedad distributiva
P
ro
hi
1. Resuelve el problema con un compañero.
La señora García decidió hacer un mueble
rectangular con un tablón de madera de
720 cm de largo para colocar discos compactos. Ella quiere que el largo del mueble sea de 4 veces su altura y que el ancho
sea igual que el del tablón madera.
a. Si llamamos a a la altura del mueble, ¿cuántas tablas de esa medida se necesitan?
2
b. ¿Cuánto debe medir el largo? 4a
218
Eje: Número, álgebra y variación
c.
¿Cuántas tablas de ese largo se necesitan? 4
d. A partir de tus respuestas anteriores, escribe una ecuación que te permita calcular cómo debe cortar el tablón la señora García para construir el mueble usando
toda la tabla. 2a 1 4 (4a) 720
e. Resuelve la ecuación para encontrar la altura y el largo del mueble.
2a 1 4 (4a) 720, 18a 720
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a 40, entonces la altura del mueble debe ser de 40 cm y el largo de 160 cm.
yy Analicen en grupo las ecuaciones propuestas y elijan la más adecuada para resolver el problema.
2. Reúnete con dos compañeros y contesten.
a. ¿Son equivalentes las expresiones 4(12 2 3) y 4 3 12 2 4 3 3? ¿Por qué? Sí,
porque las dos llegan al mismo resultado, 36.
b. ¿Y las expresiones a(b 2 c) y ab 2 ac? ¿Por qué? Sí, R. M. Al multiplicar el primer
factor por cada uno de los términos del segundo factor y restarlos, entonces se
obtiene la segunda expresión.
c. Escriban el enunciado de un problema que se pueda resolver con la expresión
4(5x 2 2). R. L.
d. ¿Qué significaría en el enunciado que escribieron que la expresión algebraica
fuera igual a 152? R. L.
e. Escriban los enunciados anteriores como una ecuación. 4(5x 22) 152
f.
A partir de lo que respondiste en las primeras dos preguntas, ¿a cuánto equivale
la expresión 4(5x 2 2)? 4(5x) 2 (4)(2)
g. Sustituyan la expresión anterior en la ecuación del inciso e y resuelvan.
20x 160
20x 2 8 152
x 80
hi
4(5x) 2 (4)(2) 152
ro
20x 2 8 1 8 152 1 8
P
yy Validen con el grupo la solución que obtuvieron. Comenten cuál es la diferencia
entre “resolver una ecuación” y la “solución de una ecuación”.
Dados tres números a, b y c, por la propiedad distributiva, se cumplen las siguientes igualdades.
a(b 1 c) 5 ab 1 ac
a(b 2 c) 5 ab 2 ac
b
c
(b1c)
5 1
a
a
a
Tema: Ecuaciones
219
Lección 2
Comparación de métodos de solución
1.
Lee el problema y completa lo que se pide.
En 1984, en Murmansk, Rusia, se perforó un pozo de aproximadamente 12 km, el
más profundo perforado hasta entonces. Durante las excavaciones, los ingenieros
descubrieron que, dependiendo de la profundidad, la temperatura en el fondo del
pozo cambiaba de acuerdo con la relación:
T 5 30 1 25(x 2 6)
©
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donde T representa la temperatura en grados Celsius y x representa la profundidad
del pozo en kilómetros.
a. ¿La relación expresada es una función lineal? Sí
b. ¿Cómo cambia la temperatura al aumentar la profundidad? Aumenta a mayor
profundidad
c. ¿La función es creciente o decreciente? Creciente
d. ¿A qué profundidad se alcanzaría una temperatura de 280 °C? 16 km
e. Y si la temperatura fuera de 330 °C, ¿cuál sería la profundidad del pozo? 18 km
yy Compara tu solución con dos compañeros.
2. Resuelve en tu cuaderno.
a. Usa la propiedad distributiva y la transposición de términos para resolver las siguientes ecuaciones.
yy 2(x 1 5) 5 14
2x 10 14 ⇒ 2x 4 ⇒ x 2
yy 6(5t 2 9) 5 36
30t 54 36 ⇒ 30t 90 ⇒ t 3
2
3
yy ( 3 2 4 )z 5 9
2 z 3 z 9 ⇒ 1 z 9 ⇒ z 108
3
4
12
hi
yy 18.93 5 2.35(w 2 4.2) 18.93 2.35w 9.87 ⇒ 28.8 2.35w ⇒ w 12.25
P
ro
y
3
1
yy 31 4 1 2 2 5 2
3y 9 1 ⇒ 3y 8 ⇒ y 16
4
2
12
4
2
3
b. Resuelve las siguientes ecuaciones con base en la propiedad distributiva y el
modelo de la balanza.
1
y
yy 4 5 5 1y 1 3 2 2 2y 2 4
yy 3(2f 2 4) 2 13f 5 8
y 22
33
f 20
7
yy Verifica las soluciones y escribe un párrafo en el que compares los dos métodos.
220
Eje: Número, álgebra y variación
Resolución de problemas con ecuaciones
3. Reúnete con un compañero, lean con cuidado el problema y respondan.
El papá de Ángel necesita una solución que contenga 40% de esencia aromática,
pero solamente tiene soluciones con 35% y 50%. ¿Cuántos litros debe usar de la solución con 50% de esencia para que, al mezclarla con 10 L de la solución con 35%, se
obtenga la que necesita?
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a. De los 10 L de la solución con 35% de esencia, ¿cuántos litros son de esencia?
3.5
b. Suponiendo que se deben utilizar x litros de la solución con 50% de esencia, es-
criban una expresión algebraica que represente la cantidad de esencia que hay
en esta solución. 0.50x
¿Qué expresión algebraica se obtiene al sumar las dos anteriores? 0.50x 1 3.5
d. ¿Cómo interpretan la nueva expresión algebraica? El
porcentaje de alcohol de
la nueva solución.
e. Si se mezclan ambas soluciones, ¿cuántos litros habrá de la nueva solución?
10 1 x
c.
f.
Escriban una ecuación con las expresiones anteriores y resuelvan el problema.
0.50x 1 3.5 (10 1 x) 0.4
0.50x 2 0.4x 4 2 3.5
0.50x 1 3.5 4 1 0.4xx 5
Aun cuando las ecuaciones lineales sean complejas y tengan términos de los dos
lados de la igualdad y expresiones en paréntesis, los métodos que has aprendido,
el de la balanza y el de transposición de términos, se aplican de la misma manera
una vez que se han usado las propiedades.
hi
Practicar para avanzar
ro
Reúnete con un compañero y comprueben si la solución dada satisface la ecuación que la
acompaña. En caso contrario, resuélvanla.
x54
Sí es solución.
b. 4(2v 1 3) 5 3(3v 2 2);
v 5 9 No es solución. La solución adecuada es:
8v 12 9v 6 ⇒ v 18
P
a. 5(3x 2 7) 5 4x 1 9;
Comparen sus procedimientos y resultados en grupo. Expliquen cómo se puede comprobar si
una solución satisface una ecuación.
Tema: Ecuaciones
221
Lección 3
Ecuaciones lineales equivalentes
1. Haz lo que se pide y resuelve la ecuación.
317z 2 2 2 2 1 z 5 4z 1 1 15z 2 12
5
6
10
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
a. Utiliza la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis de 3(7z 2 2 ) y sim5
plifica la expresión del lado izquierdo de la ecuación. ¿Qué expresión obtuviste?
125/6 z 2 6/5
b. Elimina el paréntesis de 1 (5z 2 1) y simplifica la expresión del lado derecho.
10
z 21/10
¿Cómo queda la expresión? 9/2
c.
¿Cómo queda la ecuación después de simplificar ambos lados de la igualdad?
125/6 z 2 6/5 9/2 z 2 1/10
d. ¿Por qué sabemos que la ecuación anterior equivale a la primera? R.
M. Porque
únicamente
se
realizaron
las
operaciones
con
la
propiedad
distributiva
y se
simplificaron términos, no se cambió nada de la ecuación.
e. Usa la transposición de términos para escribir la ecuación en una forma equiva-
lente en la que del lado izquierdo queden los términos que contienen la incógnita y del derecho, los términos independientes. 125/6 z 2 9/2 z 6/5 2 1/10
f.
Simplifica las expresiones de la izquierda y de la derecha. Ahora la ecuación
equivalente queda como 49/3 z 11/10
g. La solución de la ecuación es z 33/490
yy Compara tus respuestas con un compañero y verifiquen juntos si la solución que
encontraron es correcta.
2. Reúnete con dos compañeros. Usen la propiedad distributiva y la transposición de
términos para resolver las siguientes ecuaciones.
a. 215x 2 2 2 5 3x 2 1 14x 1 82
3
4
8x 22/3 10x 2 4/3 2x 2 2
x 2 1/12
ro
hi
2(5x 2 2/3) 3x 2 1/4 (4x + 8)
P
b. 4.5(6.5y – 5.2) 2 3.2y 5 2.7y 1 5(3.2y 1 1)
4.5(6.5y 2 5.2) 2 3.2y 2.7y 1 5(3.2y 1 1)
29.25y 2 23.4 2 3.2y 2.7y 1 16y 1 5
26.05y 2 23.4 18.7y 1 5
26.05y 2 18.7y 23.4 1 5
7.35y 28.4
y 28.4/7.35
y 3.864
yy Comenten qué se les dificultó al resolver las ecuaciones. Comparen los pasos de
su proceso de resolución con los de otro equipo.
222
Eje: Número, álgebra y variación
3. Reúnete con dos compañeros e inventen dos ecuaciones lineales con paréntesis.
Luego resuélvanlas en su cuaderno.
R. L.
yy Con apoyo de su profesor, organicen en grupo un concurso en el que cada equipo rete a otro a resolver una ecuación propuesta. Validen juntos los procedimientos y las respuestas de sus compañeros.
©
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n
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lla
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st a
ri
bu
ci
ón
Aplica lo que aprendiste.
1. Resuelve el problema con dos compañeros.
Dos automóviles se encuentran a 500 km de distancia uno del otro y viajarán por la
misma carretera en sentido contrario uno del otro. Uno de los automóviles sale y viaja a una velocidad promedio de 70 km/h; el otro sale 1 h más tarde y viaja a una velocidad promedio de 100 km/h.
¿Cuánto tiempo tardarán en pasar uno al lado del otro? 2.52
2. Resuelve en tu cuaderno las ecuaciones.
a. 0.38(0.2x 2 1) 1 0.35x 5 0.05(3.1x 1 7) 2 1.44
0.271 x 0.71 ⇒ x ≈ 2.619 5 3 w21 1 3 w5 5 4 w17 24w22
2 4
2 1
2
9 1 10
9 1 10
169 w 112 ⇒ w 448 ≈ 2.65
36
9
169
3. Responde.
b.
a. ¿Por qué es importante, al resolver una ecuación con paréntesis,
usar propiedades para quitarlos en primer lugar? R. L.
Herramientas
académicas
Para reforzar
lo trabajado en
la secuencia,
ingresa en la
página y realiza las
actividades.
www.esant.mx/
fasema1-009
b. ¿Qué dificultades encontraste para resolver las ecuaciones que tienen paréntesis? R. L.
ro
hi
4. Si tienes la función y = 3(x 2 7) 2 4 y te interesa conocer el valor de x cuando y = 28,
¿cómo puedes encontrar el valor de x? Encuéntralo.
17.67 x
P
28 3(x 2 7) 2 4
28 3x 2 21 2 4
28 3x 2 25
53 3x
yy Comparte tus respuestas con tu profesor y tus compañeros. Analicen paso a
paso cómo las encontraron y resuelvan las dudas que hayan surgido.
Tema: Ecuaciones
223
Secuencia
didáctica
Variación lineal y el cambio
34
Lección 1
Contenido: Analizas la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal.
Situaciones de cambio
1. Lee los problemas y haz lo que se pide.
©
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n
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lla
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st a
ri
bu
ci
ón
Problema 1: En la casa de Juan compran leche en paquetes de 12 envases. Si comienzan la semana con 30 envases y consumen 3 envases por día, ¿con cuántos envases empezarán la próxima semana?
Problema 2: Un corredor entrena a diario durante una hora, a una velocidad constante de 5 m/s. ¿Cuál es la distancia recorrida después de 5 segundos?
yy Observa las gráficas y contesta.
Problema 1: Consumo por día
Problema 2: Distancia recorrida
Distancia (metros)
30
25
20
15
10
5
0
Tiempo (segundos)
a. ¿Cuáles son las variables que se relacionan en la gráfica del problema 1?
El tiempo transcurrido y los envases de leche consumidos.
b. ¿Cuáles son las variables que se relacionan en la gráfica del problema 2?
Tiempo transcurrido y la distancia recorrida.
¿En qué se parecen ambas gráficas? ¿En qué se diferencian?
Se parecen en que son líneas rectas y se diferencian en que una crece y la otra decrece.
hi
c.
P
ro
d. ¿Cuánto disminuyen los envases por día? Justifica tu respuesta.
Disminuyen 3 envases por día pues es lo que se consume diariamente.
e. ¿Cuántos metros recorre el corredor por segundo? 5 metros.
yy ¿Siempre recorre lo mismo? Sí
¿Qué valor toma la variable envases cuando el tiempo es igual a cero? 30 yy ¿Qué significan dichos valores? Significan que disponen de 30 envases para
su consumo.
g. ¿Qué valor toma la distancia para 0 s? Cero metros
f.
yy Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
224
Eje: Número, álgebra y variación
Variación lineal
1. Completa las tablas a partir de los datos mostrados en las gráficas de la página anterior y contesta.
Problema 1
Tiempo (d)
1
2
3
4
5
6
Envases (e)
27
24
21
18
15
12
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ón
Problema 2
Tiempo (s)
0
1
2
3
4
5
Distancia (m)
0
5
10
15
20
25
a. ¿Cómo escribirías, usando literales, la relación de la variable envases con el
tiempo? e 30 3t
b. ¿Cómo escribirías con literales la relación entre distancia y tiempo de la gráfica
del problema 2? d 5t
Dos variables cualesquiera, y y x, están relacionadas por una variación lineal, si y (variable dependiente) y x (variable independiente) cumplen y = mx + b, donde m es la
constante de la variación lineal y representa la pendiente o inclinación de la recta y b
diferente de cero, es la ordenada al origen, es decir, el valor de la función cuando x = 0.
c.
Con base en los problemas de la página anterior, ¿en cuál situación se representa una variación lineal? Justifica tu respuesta. En ambas se muestra una variación lineal pues el cambio es constante.
Costo ($)
2. Lee los problemas y realiza lo que se pide.
b.
y
250
200
150
100
50
0
Costo del vehículo ($)
4
250 000
6
8
10
Leche consumida (L)
12
x
14
y
200 000
150 000
100 000
50 000
hi
yy Si el litro de leche de cierta marca cuesta $16, calcula cuánto se gasta en la semana si por día se consumen 2 L. $224
yy Es sabido que un automóvil nuevo se deprecia con el paso del tiempo. Si el coche nuevo cuesta $200 000, un año después valdrá $184 000 y así sucesivamente.
¿Cuánto costará el automóvil después de cinco años? $120 000
2
0
1
2
3
4
Tiempo transcurrido (años)
P
ro
a. Identifica las variables para cada problema. Problema uno: las variables son los
litros de leche consumida y el costo. Problema dos: las variables son el tiempo
transcurrido y el costo depreciado del automóvil.
b. Traza en tu cuaderno la gráfica correspondiente a cada problema.
c. En cada caso, explica cómo se relacionan las variables. En el caso de la leche si
aumenta el consumo aumenta el costo, en el caso del automóvil si aumenta el
tiempo el valor disminuye.
yy Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Si son distintas, analicen el
origen de las diferencias.
Tema: Funciones
225
5
x
Lección 2
Variación lineal y no lineal
1. Analiza cada una de las gráficas y contesta.
Gráfica B. Desechos en el mar
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Desechos (toneladas)
16
14.7
14
12
10.8
10
7.5
©
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ón
Longitud (cm)
Gráfica A. Longitud del resorte
100
200
300
400
500
8
6
4.8
4
2 0 0.3
0
2.7
1.2
2
Masa adicional (g)
4
Tiempo (días)
6
8
a. Escribe las variables de cada gráfica.
yy Gráfica A: Masa adicional (g) y Longitud (cm)
yy Gráfica B: Tiempo (días) y Desechos (toneladas)
b. Identifica qué variable depende de la otra y completa.
yy En la gráfica A, la variable Longitud
depende de la variable masa adicional
yy En la gráfica B, la variable Desechos
c.
depende de la variable tiempo
Responde.
Gráfica A
yy ¿Qué longitud tiene el resorte cuando no tiene masa adicional? 5 cm
yy ¿Qué longitud tiene cuando su masa adicional es de 100 g? 8 cm
yy ¿Cuánto aumentó la longitud del resorte cuando se le agregó una masa adicio-
hi
nal de 200 g respecto del resorte con masa de 300 g? 3 cm
Gráfica B
P
ro
yy ¿Cuántas toneladas de desecho cayeron al mar después de un día? 0.3 toneladas
yy ¿Cuántas toneladas cayeron al mar del segundo día al tercero? 1.5 toneladas
yy ¿Cada día se arroja al mar la misma cantidad de toneladas de desechos? Explica. No. Cada día se arrojan más toneladas de desechos que el día anterior.
yy Compara tus respuestas con las de tus compañeros para validarlas.
226
Eje: Número, álgebra y variación
2. Observa las gráficas de la actividad 1 y contesta.
Las gráficas se encuadran en los ejes de coordenadas cartesianas: el eje horizontal,
nombrado eje x, y el eje vertical, llamado eje y. Ubica el punto (0, 0), es decir, x = 0 y
y = 0. A medida que aumentan los valores de x, observamos el aumento o la disminución de los valores de y. Con (x1, y1) se indica un par ordenado de un punto de la gráfica. Para otros puntos se cambia el subíndice.
©
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ri
bu
ci
ón
a. Ubica y marca en la gráfica respectiva los puntos correspondientes a los valores
de x de la tabla.
b. Completa la tabla.
Gráfica A
Aumento en x
x2 2 x1
Valores
en y
Aumento en y
y2 2 y1
Aumento en y
y 2 y1
5 2
Aumento en x
x2 2 x1
100 — 0 5 100
y1 5 5
y2 5 8
8—553
3
100 5 0.03 5 3%
x1 5 200
300 200 100
x2 5 300
y111
y214
1411 3
3 0.03 3%
100
x1 5 300
400 300 100
x2 5 400
y114
y217
1714 3
3 0.03 3%
100
Aumento en x
x2 2 x1
Valores
en y
Aumento en y
y2 2 y1
Aumento en y
y 2 y1
5 2
Aumento en x
x2 2 x1
1—051
y1 5 0
y2 5 0.3
0.3 — 0 5 0.3
0.3
1 5 0.3
321
y11.2
y22.7
2.71.2 1.5
1.5 1.5
1
y14.8
y27.5
7.54.8 2.7
2.7 2.7
1
Valores
en x
x1 5 0
x2 5 100
Gráfica B
Valores
en x
x1 5 0
x2 5 1
541
ro
x1 5 4
x2 5 5
hi
x1 5 2
x2 5 3
¿En cuál gráfica el aumento o la disminución es constante? ¿En cuál no es constante? En la gráfica A el aumento es constante y en la gráfica B no lo es.
P
c.
yy Comenten acerca del comportamiento de la razón de cambio en cada gráfica.
Escribe tus conclusiones en tu cuaderno.
Tema: Funciones
227
Lección 3
Razón de cambio en la variación lineal
1. Analiza las tablas anteriores y contesta. Argumenta tus respuestas.
a. En la gráfica A, ¿cuánto aumenta y por cada aumento de una unidad en x? Aumenta 10
b. En la gráfica B, ¿cada vez que x crece una unidad, los valores de y aumentan
siempre lo mismo? No
¿Qué diferencia encuentras entre cómo se da el cambio entre los valores de y y
de x, entre la gráfica A y la B? Disminuyen de 3 en 3
©
bi S
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n
su ti
lla
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st a
ri
bu
ci
ón
c.
Lo hacen de forma constante.
Se llama razón de cambio a la medida de cambio de una variable por una unidad
de la otra variable. En una variación lineal la razón de cambio es constante, esto no
sucede en las demás variaciones, cuyas razones de cambio no son constantes.
En una variación lineal la razón de cambio representa la pendiente m de la recta
y 2y
y 5 mx, tal que m 5 x2 2 x1 .
2
1
Practicar para avanzar
1. En parejas resuelvan el problema. Luego revisen su procedimiento.
a. Traza la gráfica que representa la posición de un móvil con respecto del tiempo que se
muestra en la siguiente tabla y contesta. Ver solucionario
0
1
2
3
4
5
6
7
Posición (m)
210
210
220
220
30
30
20
0
hi
Tiempo (s)
yy ¿Cuál es el desplazamiento total? 90
ro
yy ¿Cuál es la razón de cambio en el primer segundo? 0
P
yy ¿Cuál es la razón de cambio en el periodo entre 3 y 4 segundos? 50
yy ¿Qué periodo(s) tiene(n) velocidad cero? De 0 a 1, de 2 a 3 y de 4 a 5
yy ¿Qué significado adquiere la razón de cambio entre la variable posición y tiempo? Velocidad
yy ¿En qué unidad de medida se expresa la razón de cambio? m/s
228
Eje: Número, álgebra y variación
Aplica lo que aprendiste.
1. Lee los enunciados y haz lo que se indica.
a. ¿Cómo varía el área de un triángulo isósceles si su base mide 15 cm y la altura
cambia? La variación del área del triángulo respecto a su altura está determinada por A= 15a/2
yy ¿Cuáles son las variables que debemos considerar? El área del triángulo y
su altura
yy Calcula la razón de cambio y en tu cuaderno traza la gráfica que represente dicha variación. 15/2 7.5 Ver gráfica en el solucionario
©
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ri
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ci
ón
b. ¿Cómo varía el volumen de un prisma si la base es un cuadrado de 11 cm de lado
y la altura adquiere diferentes valores? La variación del volumen del prisma de
base cuadrada respecto a su altura está determinada por V 121h
yy Determina las variables y calcula la razón de cambio. Las variables son el volumen del prisma de base cuadrada y su altura, la razón de cambio es 121
yy Escribe la ecuación que representa dicha variación. V 121h
yy Traza la gráfica correspondiente en tu cuaderno. Ver solucionario
2. La gráfica corresponde al desplazamiento (m) en línea recta de un móvil en un
cierto tiempo (s). Obsérvala y haz lo que se solicita.
Respuesta inciso b. La razón de
cambio por segundo es
(520)/(120)(1025)/(221)
(15210)/(322)(20215)/(423)
(25220)/(524)5 y
(20225)/(625)(15220)/(726)
(10215)/(827)(5210)/(928)
(025)/(1029)25,
cambia de signo por lo que
disminuye.
a. Con base en la información de la gráfica, completa la tabla.
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p (m)
0
5
10
15
20
25
20
15
10
5
0
Escribe la ecuación algebraica de la recta para t 5 0 a t 5 5 y t 5 5 a t 5 10. m 5s y m 2 5s
ro
c.
hi
b. Calcula la razón de cambio por segundo. ¿Qué sucede con la razón de tiempo del
segundo 5 al 6? Solución junto a la gráfica
P
d. Escribe la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo del segundo 0
al 5 y del 5 al 10. Explica qué representan dichas razones en el contexto del problema. ¿Cómo se llama la razón obtenida? Los primeros 5 segundos aumenta 5
y después disminuye.
yy Escribe en tu cuaderno tus conclusiones.
Tema: Funciones
229
Secuencia
didáctica
Variación conjunta entre variables
35
Lección 1
Contenido: Deduces la expresión algebraica de una función a partir de su tabla o gráfica y solucionas problemas que
se describen por medio de funciones lineales.
Tablas, gráficas y expresiones algebraicas
1. Lee el problema y contesta.
©
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n
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ci
ón
Juan es vendedor de automóviles en una agencia; percibe un sueldo base de $5 000
mensuales y una comisión de 3% por cada automóvil de $200 000 que venda.
Al menos debe vender tres automóviles al mes. ¿Qué sueldo mínimo percibe al mes?
a. Completa la tabla.
Número de
automóviles (n)
Sueldo ($)
0
5 000
1
11 000
2
17 000
3
23 000
4
29 000
5
35 000
b. Si el número de automóviles vendidos es igual a n, ¿cuál es la fórmula para calcular
el sueldo p cuando se venden n automóviles? R. M. El sueldo de Juan (p) depende del
número de automóviles vendidos (n) por la comisión de cada venta más su sueldo base.
yy Escribe la expresión algebraica que representa la función. p n(6000) 1 5000
¿Y la independiente? n
yy ¿Cuál es la variable dependiente? p
c.
Traza la gráfica correspondiente.
•
•
P
ro
hi
•
•
•
•
yy Compara tus respuestas y tu gráfica con las de tus compañeros. Si encuentran
diferencias analicen a qué se deben.
230
Eje: Número, álgebra y variación
La pendiente y rectas paralelas
1. Retoma el problema de la actividad anterior y haz lo que se indica.
a. Calcula la razón de cambio del sueldo con respecto al número de automóviles
vendidos. 6 000
©
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ci
ón
yy ¿Coincide la razón de cambio con alguno de los valores numéricos de la expresión
Sí
algebraica?
Explica. Coincide con el término que multiplica
al número de automóviles vendidos (n).
b. ¿En qué valor de y la gráfica corta al eje y? 5 000
¿Cuánto vale x
cuando la recta corta al eje y? cero
yy Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Luego lean la siguiente información y analicen la gráfica que trazaron.
Una relación entre dos variables de la forma y 5 mx 1 b se conoce como función lineal, su forma gráfica es una línea recta cuya inclinación está dada por el valor m llamado pendiente o razón de cambio, y donde b, llamada ordenada al origen, indica
el valor en el que la recta corta al eje y en el punto (0, b).
2. Analiza las rectas. Luego responde.
a. ¿Qué tipo de rectas son las que se muestran? Paralelas
b. Para cada recta, calcula la pendiente y la ordenada al origen. Después escribe la expresión algebraica de cada una.
c.
Recta f: m 5 2
Recta g: m 5 2
b 55
b 50
y 5 2x 1 5
y 5 2x
Recta h: m 5 2
b 52 5
y 5 2x 2 5
¿Cómo son las pendientes de las rectas paralelas?
Iguales
d. ¿Y los valores de la ordenada al origen? Diferentes
ro
hi
yy Compara tus respuestas con las de tus compañeros y, con ayuda del profesor,
valídenlas.
Practicar para avanzar
P
1. Encuentra y grafica, en el mismo plano cartesiano, dos rectas paralelas a la recta 2y 5 6x 1 4.
R. M. 3x 1 5 y 3x 2 30
2. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda y corrige las ecuaciones falsas.
c. y 5 3 x 2 2 uu y 5 3 x 2 6 V
a. y 5 2x 2 8 uu y 5 2x V
2
2
1
b. y 5 x uu y 5 2x F, R. M. y x 1 3
d. y 5 3x − 2 uu y 5 x 1 2 F, R. M. y 2 3x 1 2
3
Tema: Funciones
231
Lección 2
Resolución de problemas con ecuaciones de la forma
y 5 mx 1 b
1. Reúnete con un compañero. Lean el problema y discutan cómo resolverlo.
En una pista de juguete se lanza un carrito a 20 cm del punto de salida de la pista.
¿A qué distancia del inicio de la pista estará a los 4 s?
©
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ón
a. Escriban las conclusiones a las que llegaron de cómo resolver el problema.
Realicen dibujos o esquemas que les ayuden a comprenderlo.
R. L.
b. ¿Les falta algún dato para resolver el problema? Sí, la distancia que recorre en
un segundo, es decir, la velocidad.
yy Compartan con los demás compañeros las distintas formas de abordar la solución del problema y escriban en su cuaderno las conclusiones a las que llegaron.
2. Lean los problemas y hagan lo que se pide.
a. Una pareja de estudiantes realizó el experimento de lanzar un carrito en la pista
de juguete y obtuvieron que el carrito recorre 1 m en 4.5 s.
yy Si ahora lanzan el carrito a 20 cm del inicio de la pista, ¿a qué distancia del inicio estará a los 4 s? Aproximadamente a 109 cm del inicio
yy ¿Qué diferencia encuentran entre ambos casos? En este caso se da la
distancia que recorre en cierto tiempo.
yy ¿Qué información proporciona ese dato? La
velocidad, es decir, la distancia
que el carrito recorrerá en cualquier cantidad de tiempo.
yy ¿Cuánto tiempo va a tardar en llegar a los 90 cm? 4.05 segundos
hi
b. Un profesor de Matemáticas repartió, por equipos, diferentes problemas.
P
ro
Equipo A: el carrito salió a 45 cm del punto de salida y anduvo 16 s.
Equipo B: el carrito salió a 70 cm de la salida y anduvo 10 s.
Cada equipo aplicó un procedimiento diferente:
Procedimiento equipo A: (5)(16) 1 45
Procedimiento equipo B: (8)(10) 1 70
yy ¿Cuál carrito va más rápido? El del equipo B
8 cm en un segundo.
232
Eje: Número, álgebra y variación
Expliquen. Porque recorre
yy ¿Cuáles son las variables que aparecen en el problema? Distancia total recorrida y tiempo en que el carrito estuvo en movimiento.
yy ¿Cuál es la variable independiente? El tiempo ¿Y la dependiente? La distancia
yy Para los datos de cada equipo, escriban la fórmula que representa la distancia
d en función del tiempo t. Equipo A: d 5t 1 45 Equipo B: d 8t 1 70
c.
Para cada problema expliquen el significado de la pendiente y de la ordenada al
origen. R. M. La pendiente es la distancia que recorre el carrito en un segundo.
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ón
yy Comparen sus resultados y procedimientos con los de sus compañeros.
Aplica lo que aprendiste.
1. Analiza los procedimientos que utilizaron dos equipos para resolver problemas
relacionados con los carritos y la pista de carreras.
Equipo A: presenta los datos a partir del punto de salida en un par de ejes de coordenadas cartesianas.
Equipo B: representa la posición d del carrito a partir del punto de salida en función
del tiempo t con la siguiente fórmula: d 5 6t 1 20.
Posición en función del tiempo
a. ¿Cuál de los dos carritos va a mayor velocidad? El del
equipo B
b. ¿A qué distancia del punto de partida llegó cada
c.
Si ambas pistas están juntas y lanzamos los dos
carritos en el mismo momento, ¿en qué segundo
están a la misma distancia del punto de partida?
Posición (cm)
carrito? Explica cómo obtuviste esta respuesta. Al segundo 15
Tiempo (s)
2. Lee y responde.
1. b. Depende
del tiempo en
que estuvieron en movimiento, pero
el carrito del
equipo A inició
30 cm adelante
que el carrito
del equipo B.
hi
Alejandra nació cuando su mamá tenía 27 años.
a. ¿Qué edad tenía su mamá cuando Alejandra tenía 12 años? 39 años
ro
b. Encuentra una expresión algebraica que muestre la variación entre la edad de
Alejandra y la de su mamá. La edad de la mamá (y) es igual a la edad de Alejan-
P
dra (x) más 27, es decir, y x 1 27
c.
En tu cuaderno, haz una tabla en la que se muestren las edades de Alejandra
desde su nacimiento hasta que cumple 15 años y las de su mamá. Ver solucionario
yy Comenta con tus compañeros los procedimientos que seguiste para resolver
los problemas. Argumenta tus respuestas apoyado en lo que has aprendido en
clase. Si lo consideras necesario, corrige tus resultados.
Tema: Funciones
233
Resuelvo con tecnología
Gráficas de funciones lineales
Reúnete con un compañero y tracen las gráficas.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Las funciones lineales se representan con expresiones de la forma y 5 mx 1 b, donde m y b son números. Al graficar las funciones se obtienen líneas rectas.
Para graficar la función y 5 2x 2 3 en una hoja electrónica de cálculo, sigan las instrucciones.
1. Coloquen en la celda A1 la letra x y en B1 la expresión y 5 2x 2 3 para identificar las columnas de la tabla. En la columna de la variable x,
escriban los valores de 24 a 4 como se muestra en la imagen 1. Para ordenar, seleccionen
las columnas y den clic en el icono
.
2. Para obtener los valores de la segunda columna, multipliquen la celda A2 por 2 y resten 3.
Para esto, ingresen la fórmula “=2*A223” en
la celda B2 y presionen la tecla Enter.
Imagen 1
3. Seleccionen la celda B2, den clic en la esquina inferior derecha de la celda y arrastren para
completar la tabla.
P
ro
hi
4. Seleccionen los datos de ambas columnas y,
en la pestaña Insertar, en la sección Gráficas,
den clic en el icono
X Y (Dispersión) y elijan la opción Dispersión
con líneas rectas y marcadores para crear la
gráfica.
Imagen 3
234
Imagen 2
5. Den clic a los elementos de la gráfica (ejes,
puntos, trazos, etcétera) y modifiquen los colores y las escalas como gusten.
Sigan las instrucciones para graficar la función y 5 mx 1 b modificando los valores de
m y b.
1. En una nueva hoja electrónica de cálculo, ingresen los textos que se muestran en la imagen de la derecha. Coloquen los valores 2 y 23
en las celdas B2 y B3 respectivamente.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
2. Para obtener los valores de la columna de la
variable y, ingresen en la celda B6 la fórmula
“=$B$2*A61$B$3” como en la imagen 2 y den
Enter.
Imagen 1
Imagen 1
3. Completen la tabla y tracen la gráfica.
4. Modifiquen los valores de las celdas B2 y B3,
observen lo que pasa con la gráfica y contesten las preguntas.
Imagen 2
a. ¿Qué sucede con la gráfica si el valor de m 5 0 y el valor de b es cualquier número?
y b. Es decir, se vuelve una función constante no importando qué valor se le dé a la b.
P
ro
hi
b. ¿Qué sucede con la gráfica si el valor de b 5 0 y el valor de m es cualquier número?
La
recta siempre pasa por el origen del plano.
c. ¿Qué diferencia hay entre las gráficas que tienen un valor de m positivo y las que tienen un valor
de m negativo? La dirección de la inclinación, para las m positivas, la recta se encuentra en los
cuadrantes
1 y 3, para la m negativa en los cuadrantes 2 y 4.
d. ¿Cómo cambia la gráfica si se incrementa el valor de m y se mantiene el valor de b?
La escala se modifica y la recta se acerca al eje y.
e. ¿Cómo cambia la gráfica si se incrementa el valor de b y se mantiene el valor de m?
La
recta se mueve a lo largo del eje y.
Comenta tus respuestas con tus compañeros.
235
Secuencia
didáctica
Construcción de triángulos
y cuadriláteros
36
Lección 1
Contenido: Construyes triángulos y cuadriláteros.
Construcción de triángulos
1. Lee y contesta.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
En el salón de Fernanda decoraron las paredes con triángulos de distintos colores,
como se muestra en la imagen.
a. ¿Qué tipo de triángulos decoran la pared del salón? Triángulos equiláteros y
rectángulos
b. ¿Qué elementos conforman los triángulos? Lados, vértices, ángulos
c.
¿Qué datos necesitas para construir un único triángulo? Conocer la medida de
los
tres lados o conocer un lado y los ángulos adyacentes.
d. ¿Con qué datos se podrían construir muchos triángulos? R. M. Un lado y un ángulo,
por ejemplo.
yy Comenta tus respuestas con tus compañeros de grupo. Si es necesario, enriquece las tuyas o corrígelas.
¿Con tres lados siempre se construye un triángulo?
hi
1. Reúnete con tres compañeros y hagan lo que se solicita.
P
ro
Para construir un triángulo se pueden usar los siguientes datos: longitud de lados y
la medida de sus ángulos. ¿Son todos los datos necesarios?
a. ¿Con cualesquiera tres medidas de ángulos se puede construir siempre un
triángulo? Justifica tu respuesta. No, para que se pueda construir un triángulo a partir de sus ángulos, dos de estos deben ser agudos, el tercero puede ser
agudo,
recto u obtuso.
b. Si se tienen las medidas de los tres lados, ¿siempre se puede construir un
triángulo? No necesariamente, la longitud de uno de los lados debe ser menor
que
la suma de la longitud de los otros dos lados.
236
Eje: Forma, espacio y medida
2. Consigan popotes, palillos o tiras de papel y hagan lo que se solicita.
Para construir los triángulos, la maestra de Fernanda les dio 4 paquetes con palillos. Uriel y Margot dicen que con algunos paquetes no se pueden hacer triángulos.
Analicen los datos y respondan si se puede construir o no. Si se construye uno o va-Paquete 1. El
palillo azul tiene
rios triángulos.
el mismo tamaño
el palillo
a. Observen cada paquete. ¿Cómo son las tres longitudes de los palillos y sus rela-que
rojo, y el palillo
verde es menor
ciones? que estos dos.
Paquete 2
Paquete 2. Los
palillos rojo y
azul tienen el
mismo tamaño.
Si se juntan los
palillos rojo y
azul miden lo
mismo que el
palillo verde.
©
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n
su ti
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st a
ri
bu
ci
ón
Paquete 1
Paquete 3
Paquete 4
Paquete 3. El
palillo rojo es
mayor que el
palillo azul y el
palillo verde,
mientras que
b. Cada uno va a elegir un caso para experimentar. Intenten formar un triánguloel palillo verde
es mayor que el
con estos tres lados.
palillo azul.
Paquete 4. El
palillo verde es
mayor que el
palillo azul y que
el palillo rojo;
el palillo rojo es
menor que el
d. Si encontraron algún paquete con el que no se pueda formar un triángulo, haganpalillo azul.
lo siguiente:
c.
¿Tienen razón Uriel y Margot? Argumenten su respuesta.
Sí, con el paquete 4 no se puede construir un triángulo.
yy Elijan dos de los palillos y póngalos uno junto al otro. Después coloquen el tercer palillo abajo de estos dos, como en la imagen.
hi
e. ¿Cómo es la suma de las longitudes de los dos lados más cortos respecto del tercer lado? Respondan sí o no.
ro
yy ¿Son iguales? No
P
yy ¿Es mayor la suma de las longitudes de los dos lados más cortos que el tercer
lado o lado más largo? No
yy ¿Es menor la suma de las longitudes de dos lados más cortos que el tercer
lado? Sí
yy Validen sus respuestas usando los palillos con los que sí se puede formar un
triángulo. Escriban sus conclusiones.
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
237
Lección 2
Otras construcciones
1. Analiza los trazos y responde.
©
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ri
bu
ci
ón
A Giovani y Valentina se les ocurrió usar compás para construir triángulos, pero se les
olvidó indicar cuáles son los tres casos. Debajo de cada construcción escribe cuál es
la relación de la longitud de dos lados con el tercero.
La suma de la
longitud de dos de
los lados es menor
que el tercero.
La suma
de la longitud
de dos de los lados es
mayor que el tercero.
La suma de la longitud de dos de los
lados es menor que el tercero.
yy Compara tus resultados con los de tus compañeros. Usen regla y compás para
construir estos trazos en su cuaderno.
2. Reúnete con un compañero y responde.
a. En un triángulo de lados ABC, ¿cómo debe ser la suma de las longitudes de cualquier par de lados en comparación con la longitud del tercero? Por ejemplo,
A 1 B en comparación con C. Mayor
hi
yy Comenten en grupo lo que han trabajado hasta este momento y escriban, en su
cuaderno, un enunciado que describa la propiedad que debe cumplirse entre las
longitudes de los tres lados de un triángulo.
Practicar para avanzar
ro
Haz lo que se indica. Registra los resultados en tu cuaderno. R. L.
P
1. Escribe seis medidas: tres que permitan construir un triángulo y otras tres con las que no se
pueda. Intercambia tus medidas con otro compañero para que diga con qué medidas no se
puede construir la figura.
2. Construye un triángulo isósceles y uno equilátero. ¿Qué necesitas para trazarlos? Mide los
ángulos interiores de cada triángulo. ¿Qué notas?
Comparte tus resultados con tus compañeros y juntos planteen conclusiones.
238
Eje: Forma, espacio y medida
Construcción de cuadriláteros
3. Formen cuatro equipos y asuman una de las tareas que a continuación se describen.
Equipo 1. Tomen cuatro popotes que cumplan lo que se pide y completen la tabla.
Cantidad de cuadriláteros que se forman
Longitud de los lados
Ninguno
Uno
Muchos
Todos iguales
©
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ri
bu
ci
ón
Iguales dos a dos
Todos diferentes
Dos iguales y dos diferentes
Para construir un cuadrado, además de los lados, ¿qué otras medidas necesitarían?
Equipo 2. Usen una hoja blanca, compás, regla y escuadras. Sigan las instrucciones.
En su cuaderno describan cada paso.
i.
A
B
ii.
A
B
iii.
A
B
cm
cm
cm
C
C
C
Equipo 3. Usen hojas de papel reciclado y regla. Tracen un triángulo y recórtenlo. Recorten otro igual. Júntelos de manera que quede un cuadrilátero. Después construyan un triángulo que les permita formar un rectángulo, un cuadrado, un rombo, un
trapecio isósceles, un cuadrilátero cóncavo y un paralelogramo.
Equipo 4. Usen una hoja blanca, compás y regla. Sigan las instrucciones. Describan
cada paso en su cuaderno.
A
ii.
B
A
hi
i.
C
A
iv.
B
C
B
A
D
C
ro
C
iii.
B
P
yy Analicen qué información fue necesaria para construir los cuadriláteros.
Apliquen lo que aprendieron.
1. Dibujen en su cuaderno un diseño con triángulos y cuadriláteros. Reproduzcan el diseño en otra hoja utilizando únicamente regla, compás, transportador y escuadras.
R. L.
yy Expongan sus trabajos. Comenten qué criterios consideraron al hacer los dibujos.
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
239
Secuencia
didáctica
Réplicas de triángulos
37
Lección 1
Contenido: Construyes triángulos congruentes y desarrollas los criterios de congruencia.
Datos para construir un triángulo congruente
1. Reúnete con tres compañeros. Observen la pintura y respondan.
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bu
ci
ón
El uso de formas geométricas en las artes ha marcado tendencias en distintas épocas.
Algunas de estas expresiones las pueden ver en museos, casas, libros, en vitrales y
muchos otros lugares más.
a. ¿Qué figuras geométricas identifican en la imagen? Triángulos equiláteros
b. Observen los triángulos de una fila. Si quisieran construirlos en su cuaderno,
¿qué datos necesitarían conocer? La medida de sus lados y de sus ángulos
c.
¿Cuáles elementos hacen que un triángulo sea igual o diferente de otro? La medida de sus lados y de sus ángulos
hi
d. A Olivia y Rafael se les ocurrió que podrían usar regla, compás y transportador
para obtener datos que les permitan reproducir la imagen. Comenten la idea de
P
ro
Olivia y Rafael. Elijan un triángulo y, en una hoja, tracen uno igual. ¿Cuántos y
qué datos necesitaron? Es suficiente con conocer tres medidas: la de sus tres
lados, dos ángulos y un lado o dos de sus ángulos y el lado que los une.
yy Reúnanse con otro equipo y revisen si sus construcciones son iguales. Muestren
que los triángulos que trazaron y los de la imagen son congruentes.
240
Eje: Forma, espacio y medida
Construcción de triángulos congruentes
1. Sigue las instrucciones y construye un triángulo.
Una manera de saber si dos triángulos son congruentes es medir sus tres lados. Haz
la siguiente exploración y valida esta afirmación.
a. Construye un triángulo escaleno cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 2.5 cm.
Necesitarás regla y compás.
Paso 2. Abre el compás para trazar
un radio de 2.5 cm. Coloca la punta
metálica en el punto B y traza un círculo o arco de círculo.
©
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bu
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ón
Paso 1. Con la regla, traza un segmento AB de longitud 3 cm.
A
B
0 cm
1
2
3
A
Paso 3. Ajusta el compás para trazar
un radio de 4 cm. Apoya la punta metálica en el punto A y traza un círculo o arco de círculo. Después marca
con c el punto donde se intersecan los
arcos.
B
Paso 4. Une los puntos A, B y C.
A
B
0c
m
1
A
B
2
3
4
C
hi
C
ro
b. Compara tus trazos con los de un compañero y analicen si los dos triángulos
construidos son congruentes.
P
yy En sesión grupal, comenten cómo se puede saber si dos triángulos son congruentes. Después discutan la siguiente información.
Dos triángulos son congruentes si, al superponerlos, todas sus medidas (lados y
ángulos) son iguales. Lo anterior no significa que deben estar en la misma posición.
Hay varias maneras de garantizar la congruencia entre triángulos y con solo tres datos. ¿Cuáles serán?
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
241
Lección 2
Datos para reproducir un triángulo
1. Formen equipos de tres integrantes, tracen lo que se pide y respondan.
a. Exploren qué pasa si trazan en distinto orden los lados de un triángulo. ¿El resultado será el mismo?
yy En una hoja, dibujen un triángulo. Nombren sus lados como lado 1, lado 2 y lado 3.
yy De manera simultánea, cada integrante del equipo trace el triángulo en su cuaderno. Cada uno debe elegir un lado y empezar el trazo por ese lado.
©
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ri
bu
ci
ón
yy Usen compás para medir y trasladar la longitud de cada lado; solo podrán usar
la regla para trazar los segmentos, no para medir las longitudes.
yy Comparen sus resultados. ¿Cómo son los tres triángulos? Iguales
b. Exploren qué pasa si se conoce la medida de los tres ángulos de un triángulo. ¿Esta
información será suficiente para construir un triángulo congruente a uno dado?
yy Cada integrante del equipo, en su cuaderno, dibuje un triángulo cuyos ángulos
midan 60°. Pueden usar regla y transportador.
yy Comparen sus triángulos. ¿Son congruentes? Sí
yy ¿Cuántos triángulos pueden construir si conocen estos datos? Muchos ya que
la
medida de los lados puede variar.
c.
¿Qué sucede cuando se conoce la medida de dos lados y el ángulo que forman?
yy Construyan un triángulo congruente al triángulo MAY. Solo pueden medir dos
lados y el ángulo que forman. Usen compás, regla y transportador.
Copia
P
ro
hi
Original
yy Comparen su triángulo con el de sus compañeros. Cálquenlo en papel de China
blanco y superpóngalo con los otros triángulos. ¿Son congruentes los triángulos? ¿Usaron los mismos lados y el mismo ángulo?
242
Eje: Forma, espacio y medida
d. ¿Qué sucede cuando se conocen las medidas de dos de sus ángulos y el lado que los
une? Construyan un triángulo congruente al triángulo FRA. Solo pueden medir dos
ángulos y el lado adyacente a estos. Usen compás, regla y transportador.
Copia
©
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st a
ri
bu
ci
ón
Original
2. Construyan un triángulo congruente al triángulo FRA tomando en cuenta los siguientes datos.
a. La medida de dos de sus ángulos y la del lado contiguo a uno de los ángulos, que
no es el lado que está entre ellos.
b. Dos lados y un ángulo contiguo, que no es el que está entre ellos.
Solo pueden medir dos ángulos y el lado que los une.
c. En los casos a y b, ¿se traza un triángulo congruente al original?
ro
hi
El orden en que se denotan los
segmentos y los ángulos de
los triángulos determina la correspondencia entre segmentos y entre ángulos. Ángulos y
lados correspondientes entre
los dos triángulos.
P
d. En cada caso en que trazaron triángulos congruentes, identifiquen los ángulos y
los lados correspondientes entre el triángulo dado y el congruente.
yy En sesión grupal comenten qué datos son necesarios y suficientes para construir
un triángulo congruente a uno dado. En cada uno de los casos anteriores, señalen
los lados y los ángulos correspondientes. ¿Cuáles tres datos no permiten obtener un triángulo congruente a uno dado?
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
243
Lección 3
Criterios de congruencia de triángulos
1. Lean y comenten la siguiente información.
©
bi S
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su ti
lla
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st a
ri
bu
ci
ón
Los criterios más usados de congruencia de triángulos son tres. Para verificar que dos
triángulos son iguales, se deben comparar tres datos específicos y saber que estas
medidas son iguales: los tres lados (LLL), dos lados y el ángulo comprendido entre
ellos (LAL), dos ángulos y el lado comprendido entre ellos (ALA). Aunque es menos
usual, otro criterio con el que se garantiza la congruencia entre triángulos consiste
en medir dos ángulos contiguos y el lado opuesto a uno de estos (AAL).
a. ¿Cómo se relaciona esta información con lo que hicieron y reflexionaron en la
lección anterior? Son los mismos criterios, pero ahora se le ha dado un nombre
a cada uno
2. Analiza los triángulos y responde.
a. ¿Cómo son los triángulos COL y MEX? Explícalo. Congruentes por el criterio ALA,
los
ángulos son 90° y 45°, el lado 5.39.
P
ro
hi
b. ¿Cuánto mide el segmento LC? 5.39
c. ¿Cuánto mide el ángulo OLC? 45°
d. ¿Cuánto mide el segmento OL?7.62
e. ¿Por qué podemos concluir que los triángulos COL y MEX son congruentes? Por
que
la medida del ángulo LCO es igual a la de XME, la medida del ángulo COL es
igual a la de MEX y la longitud del segmento CO es igual a la del segmento ME.
Lo anterior se expresa simbólicamente como nCOL ù nMEX.
244
Eje: Forma, espacio y medida
3. Analiza las figuras de la actividad 2 y responde.
a. ¿Qué criterio de congruencia se puede usar para justificar que nCOL ù nMEX?
ALA
b. Escribe en los siguientes cuadros las relaciones que analizaste según los datos.
Ángulos correspondientes
congruentes
©
bi S
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su ti
lla
di n
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ri
bu
ci
ón
Lados correspondientes
congruentes
Ángulo LCO con ángulo XME y
ángulo COL con ángulo MEX
Lado CO con lado ME
Practicar para avanzar
Resuelve la actividad. Justifica tus respuestas.
1. En cada caso, escribe el criterio de congruencia para saber qué triángulos son congruentes.
LAL
ALA
AAL
ro
hi
LAL
AAL
LLL
P
LAL
LAL
LAL
Comparte tus respuestas con tus compañeros de grupo y valídalas con ayuda del profesor.
yy Comenten en grupo cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de
cualquier cuadrilátero. ¿Para qué se utilizó lo visto sobre la suma de los ángulos
interiores de todos los triángulos?
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
245
Aplica lo que aprendiste.
©
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lla
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st a
ri
bu
ci
ón
1. Encuentra pares de triángulos congruentes. En cada caso, señalen los lados y los
ángulos correspondientes que usaron para determinar dicha relación.
a. Dos pares de triángulos tienen tres ángulos correspondientes iguales, pero no son
congruentes. ¿Cuáles son? Explica cómo se pueden encontrar estos triángulos.
Los triángulos azul y el anaranjado y el magenta y el morado.
2. Responde.
a. Para construir un triángulo congruente a otro o para identificar si dos triángulos
son congruentes, ¿al menos cuántos datos necesitas conocer? Tres datos: tres
lados, dos lados y el ángulo que estos forman, dos ángulos y el lado comprendi
do entre ellos o dos ángulos contiguos y el lado opuesto a uno de estos.
b. ¿Cuántos y qué datos garantizan que dos triángulos sean congruentes? Tres datos. Lados y ángulos que cumplen con los criterios de congruencia.
c.
¿Cómo sabes que los criterios de congruencia se cumplen para todos los triángulos? Argumenta. R. M. Por los datos que se requiere para verificar los criterios de congruencia que se vieron en la secuencia.
hi
d. ¿Qué aprendiste sobre los triángulos en esta secuencia? R. L.
ro
P
Herramientas académicas
Entra a la página www.esant.mx/fasema1-010 y realiza las actividades sobre congruencia
de triángulos.
246
Eje: Forma, espacio y medida
Resuelvo con tecnología
Construcción de triángulos
Dadas tres medidas, ¿se puede trazar un triángulo? Reúnete con un compañero y realicen las
exploraciones.
©
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ri
bu
ci
ón
1. Entren a la página de GeoGebra por medio del enlace
www.geogrebra.org y den clic en GeoGebra Geometría.
2. Coloquen un punto. Luego, para trazar una circunferencia a partir de ese punto y un radio
determinado, den clic en él utilizando la herramienta Circunferencia (centro, radio). A continuación, aparecerá un cuadro de diálogo.
Ingresen el valor 5 para el radio y den clic en OK.
Imagen 1
3. Inserten un punto sobre la circunferencia y
tracen una circunferencia de radio 5 con centro en el punto que acaban de colocar.
Imagen 2
4. Coloca un punto en una de las intersecciones y traza los segmentos para formar un triángulo.
yy ¿Qué tipo de triángulo es? Triángulo equilátero
Ahora sigan los pasos para ver si es posible trazar un triángulo con las medidas 2, 2 y 4 unidades.
P
ro
hi
1. Coloquen un punto A y a partir de él, tracen
una circunferencia de radio 4. Luego tracen
un punto B sobre la circunferencia. Tracen dos
circunferencias de radio 2 sobre cada punto.
Imagen 3
2. Coloquen un punto en la intersección de las circunferencias de radio 2 y tracen los segmentos.
Comenta con tus compañeros lo ocurrido y traten de construir un triángulo con las medidas 2, 6 y 3 y
otro con las medidas 3, 6 y 4. Analicen la relación entre las medidas. ¿En qué casos se puede construir un triángulo?
247
Construcción de un triángulo rectángulo
y un triángulo isósceles
Con tu compañero, sigan los pasos para trazar un triángulo rectángulo con sus lados rectos de 4 y
3 unidades.
©
bi S
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n
su ti
lla
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ri
bu
ci
ón
1. Coloquen un punto A y con la herramienta Circunferencia (centro, radio) tracen una circunferencia
con centro en el punto A y radio 4.
2. Marquen un punto B sobre la circunferencia y con la herramienta Segmento unan ambos puntos.
3. Con la herramienta Perpendicular, tracen una
recta perpendicular al segmento que pase por
el punto A.
4. Tracen una nueva circunferencia con centro
en el punto A y radio 3.
Imagen 1
5. Tracen el punto donde se intersectan la recta perpendicular con la nueva circunferencia. Unan los
puntos con segmentos para trazar el triángulo.
Ahora sigan las instrucciones para trazar un triángulo isósceles.
1. Tracen un segmento, seleccionen la herramienta Medio o centro y den clic en el segmento que trazaron para colocar el punto medio
del segmento.
2. Tracen una recta perpendicular al segmento
que pase por el punto medio.
P
ro
hi
Imagen 2
3. Coloquen un punto sobre la perpendicular
y únanlo con los puntos A y B para trazar el
triángulo isósceles.
Imagen 3
Comparen los triángulos que trazaron con los de otros compañeros. ¿Todos obtuvieron los mismos
triángulos? ¿Por qué? Comenten con su profesor qué datos hacen falta para que sus triángulos sean
congruentes.
248
Reviso mi trayecto
Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de
los contenidos que tienes que repasar.
1. Pedro saldrá de viaje. Puede contratar un paquete con una agencia o comprarlo
por su cuenta. La tabla muestra los costos estimados.
Precio con agencia
Precio sin agencia
©
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su ti
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bu
ci
ón
Servicio
Transporte (viaje redondo)
$2 100
$1 670
Hospedaje por noche
$800
$1 200
Comisión sobre el total
10%
0%
a. Si en ambos casos gastará lo mismo, ¿cuántas noches durará el viaje? Establece
una ecuación y responde la pregunta. 2 100 1 800x 1 0.1(2 100 1 800x) 1 670 1 1 200x,
2 noches
2. Analiza las situaciones y responde.
a. Elia va de compras a la tienda Todo a Veinte donde cada producto cuesta $20.
¿De qué depende cuánto pagará? Explica cómo varía el monto total conforme
aumenta la cantidad de productos que compre. Depende de la cantidad de objetos que compre. La variación es proporcional a razón de 20.
b. La tabla muestra el registro que lleva Laura de la estatura de su hija.
Edad (años)
1
2
3
4
Estatura (cm)
74
86
95
99.14
5
6
7
8
105.95 112.22 117.27 122.62
yy ¿La estatura de su hija aumenta cada año? ¿Varía la estatura de manera constante conforme cambia la edad cada año? Sí, su hija aumenta de estatura
cada año. No, la estatura no varía de manera constante.
hi
Observa las gráficas e indica la que corresponde al inciso a o b (estatura y compras). Describe la razón de cambio de cada gráfica.
P
ro
c.
249
Secuencia
didáctica
Propiedades de paralelogramos
38
Contenido: Usas los criterios de congruencia de triángulos para justificar algunas propiedades de los paralelogramos.
¿Cuáles cuadriláteros son paralelogramos?
Lección 1
1. Lee la información, observa la imagen y contesta.
©
bi S
da a
n
su ti
lla
di n
st a
ri
bu
ci
ón
Los encargados de un museo dedicado a la divulgación de la ciencia, decoraron una de las exposiciones con
figuras geométricas.
Glosario
a. ¿Cuáles de las figuras del decorado son paralelogramos? Rectángulos,
rombos
y cuadrados
paralelogramo. Es
un cuadrilátero con
dos pares de lados
paralelos.
b. Explica por qué las figuras que mencionaste son paralelogramos. R. M.
Porque
cada una de esas figuras posee dos pares de lados paralelos.
2. Completa el diagrama. Escribe en las líneas los nombres de las figuras que cumplen con las características dadas.
a. ¿Qué características tienen los cuadrados?
Dos pares de lados opuestos paralelos,
hi
Paralelogramos
Rombos
P
ro
Rectángulos
c.
todos los lados son congruentes y todos sus
ángulos son rectos.
b. ¿Por qué los cuadrados están ubicados entre
el círculo azul y el rojo? R. M. Porque cuenta
con ambas características, tanto la que describe el círculo azul como la del círculo rojo.
¿Qué características no cumplen las figuras que están únicamente en la zona
amarilla respecto de las que están en los círculos azul y rojo?
No tienen todos los ángulos rectos ni los lados congruentes.
yy Comenta tus respuestas con tus compañeros y revisen si los cuadriláteros que
mencionaron en la primera actividad son paralelogramos.
250
Eje: Forma, espacio y medida
¿Cómo son los lados opuestos de los paralelogramos?
1. En tu cuaderno, traza un paralelogramo y una de sus diagonales. Demuestra que
los triángulos que se forman son congruentes. Recuerda lo que aprendiste en la
secuencia anterior.
2. Reúnete con dos compañeros, analicen las propuestas de Nicolás y
Valentina. Luego respondan.
Nicolás usó la relación entre los lados (criterio LLL).
©
bi S
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n
su ti
lla
di n
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bu
ci
ón
Dado un paralelogramo ABCD, se traza la diagonal BD. Por definición
de paralelogramo, los lados AB y CD son paralelos y congruentes; es decir, AB > CD. De la misma manera, los lados AD y CB son paralelos y congruentes (AD > BC). Además la diagonal BD es congruente consigo misma.
Por tanto nDAB > nBCD.
Valentina usó la relación entre dos segmentos paralelos y una diagonal (criterio ALA).
Se traza la diagonal BD en el paralelogramo ABCD. Por ser ABCD un paralelogramo, se sabe que el lado AB es paralelo al lado CD (AB || CD) con BD
transversal a ellos. Por ser ángulos alternos internos, se tiene que /ABD
>/CDB. De la misma manera, los lados AD y CB son paralelos con la diagonal BD transversal a ellos, por lo cual se cumple que /DBC > /BDA.
Finalmente la diagonal de BD es congruente consigo misma. Con lo anterior se cumple el criterio ALA y, por tanto, nDAB > nBCD.
a. Valentina le dice a Nicolás que uno de sus argumentos no puede ser utilizado.
¿Qué argumento de Nicolás no se puede usar para definir el paralelogramo? ¿Por
qué? Congruencia, porque lo que define a un paralelogramo es que tenga dos pares
de lados opuestos paralelos.
b. Usen la justificación que propuso Valentina y expliquen por qué se puede concluir que los lados opuestos de cualquier paralelogramo son congruentes. R.
M.
ro
hi
Porque
usa la congruencia de los dos triángulos en que se divide la figura.
Practicar para avanzar
P
Resuelve los problemas en tu cuaderno.
1. Construye en tu cuaderno dos paralelogramos. En uno señala los pares de ángulos que son
opuestos y en el otro, los pares de ángulos que son consecutivos. R. L.
2. Un cuadrilátero tiene un par de ángulos opuestos congruentes de 90º. Un par de sus lados
son paralelos entre sí y de igual medida. ¿Qué cuadrilátero es? Cuadrado
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
251
Lección 2
Ángulos opuestos de los paralelogramos
1. Reúnete con un compañero y completen el texto para resolver el problema.
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ón
En matemáticas, una vez que se justificó una propiedad, se puede hacer uso de ella. Consideremos que un paralelogramo tiene la propiedad de
que sus lados opuestos son paralelos y congruentes, explica por qué sus diagonales se bisecan; es
decir, que DO es congruente con BO y AO con CO.
Glosario
bisecar. Dividir en
dos partes iguales.
Para justificar por qué el nDOC es congruente con el nBOA; es decir, nDOC
> nBOA. Para esto se hará uso del criterio AAL.
yy El lado DC es paralelo al lado AB porque Los lados DC y AB son pares de
lados
opuestos y paralelos de un paralelogramo.
yy El ángulo CDB es congruente con el ángulo ABD por ser ángulos alternos internos
entre paralelas cortadas por una transversal; donde la transversal es el segmento El ángulo DOC
y el ángulo AOB
son congruentes porque son opuestos
por el vértice. Es decir, DOC
> BOA
El lado DC es congruente con el lado BA. Es decir, DC BA
Porque son lados opuestos de un paralelogramo.
, porque
Por el criterio AAL podemos afirmar que nDOC > nBOA
yy ¿Qué se puede concluir respecto de las diagonales? Establezcan las relaciones
entre los lados correspondientes de los dos triángulos.
2. Analiza lo que hicieron Julián y Rebeca para mostrar que en un paralelogramo los
ángulos opuestos son congruentes, para lo cual usaron el criterio LAL.
P
ro
hi
En el paralelogramo LMON se traza la diagonal LO.
Se sabe que LM es paralelo a ON (LM || ON), por la
definición de paralelogramo. Entonces, /MLO >
/NOL por ser un par de ángulos alternos internos
formados entre las paralelas LM y ON con la transversal LO.
También se sabe que LM es congruente con ON (LM > ON) por la propiedad vista en la
lección anterior. Y la diagonal LO es congruente consigo misma.
Entonces se puede concluir que los triángulos MLO y NOL son congruentes.
252
Eje: Forma, espacio y medida
a. Reúnanse en parejas y, con base en la conclusión anterior, expliquen por qué
/ONL > /LMO.
yy Comenten con sus compañeros la respuesta del ejercicio anterior y expliquen el
procedimiento que usaron para demostrar que el otro par de ángulos opuestos
es congruente.
3. Enuncia las tres propiedades de los paralelogramos vistas en esta secuencia.
Sus lados opuestos son congruentes, sus ángulos internos opuestos son congruen-
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ri
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ón
tes y sus diagonales se bisecan.
yy Comenta tu respuesta con un compañero y verifiquen si todos los cuadriláteros
que clasificaron como paralelogramos en el inicio de la secuencia cumplen con
estas propiedades.
Los paralelogramos tienen varias propiedades, entre las cuales se encuentran:
Tienen sus lados opuestos congruentes.
Sus diagonales se bisecan.
Sus ángulos internos opuestos son congruentes.
Aplica lo que aprendiste.
1. ¿Por qué podemos asegurar que un cuadrilátero es paralelogramo si sabemos que
sus ángulos consecutivos son suplementarios?
2. Si en un paralelogramo ABCD, el segmento DE es perpendicular a AB y el segmento
FB es perpendicular a DC, ¿qué relación tiene DE con FB? Son paralelos e iguales.
P
ro
hi
1.
Si los ángulos internos consecutivos de un
cuadrilátero son suplementarios, los ángulos
no consecutivos son
iguales, esto porque
los lados del cuadrilátero son paralelos, por
tanto, ese cuadrilátero
es un paralelogramo.
3. Haz una ficha temática sobre las propiedades de los paralelogramos que aprendiste en esta secuencia y los argumentos que usaste para justificarlas. Comparte
tu ficha con tus compañeros de otros grupos.
yy Verifica tus respuestas con tu profesor y, en caso necesario, corrige.
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
253
Secuencia
didáctica
Volumen de prismas
39
Lección 1
Contenido: Deduces y aplicas fórmulas para calcular el volumen de prismas rectos cuya base sea un cuadrilátero o un
triángulo. Resuelves problemas que impliquen el cálculo del volumen.
Volumen de prismas rectangulares
1. Lee el texto y responde.
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ón
Las cajas que se muestran en la imagen son prismas rectangulares. Es útil saber cómo calcular el
volumen de estos prismas para poder determinar
su capacidad.
El prisma rectangular que se observa en la imagen de
la izquierda está compuesto por cubos que miden 1
cm de ancho, 1 cm de largo y 1 cm de alto. Cada uno
de esos cubos tiene un volumen de 1 cm3.
a. ¿Cuántos cubos componen este prisma rectangular? 60
b. ¿Cuántos cubos componen los siguientes prismas
rectangulares?
72
56
hi
24
¿Cómo puedes calcular cuántos cubos de 1 cm3 componen cada prisma sin contarlos uno por uno? R. M. Multiplicando el número de cubos en su ancho, largo
ro
c.
P
y alto del prisma.
El número de cubos de 1 cm3 que forma cada uno de los prismas anteriores corresponde a su volumen.
yy Deduce una fórmula para calcular el volumen (V) a partir de sus dimensiones:
ancho (a), largo (b) y alto (c). Comparte tu fórmula con tus compañeros.
V 5 (a)(b)(c)
254
Eje: Forma, espacio y medida
El volumen de los laberintos
1. Lee la información y responde.
En una hacienda hay un laberinto formado por prismas rectangulares, en un espacio de 5 000 m2. Las paredes que forman el laberinto tienen una altura de 1.50 m y un
ancho de 0.60 m.
a. Si las paredes del laberinto no están en una misma hilera,
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¿se puede calcular el volumen total del laberinto?
Sí, sumando los volúmenes de las paredes del laberinto.
b. ¿Qué dato hace falta para poderlo calcular? La longitud
del laberinto
c. ¿Qué volumen ocupan las paredes del laberinto si la longitud total es de 2 000 m?
3
1 800 m
2. Reúnete con un compañero y consigan un juego de dominó. R. L.
a. ¿Cuál es el volumen de cada ficha de dominó? b. ¿Cuál es el volumen total de las 28 fichas? c.
Acomoden las fichas para formar un prisma rectangular. Luego respondan.
yy ¿Qué dimensiones debe tener una caja para contenerlas? yy Si acomodan las fichas de otra manera, ¿cuáles podrían ser las dimensiones
de otra caja donde quepan todas? yy ¿Cómo son los volúmenes de ambas cajas? yy Calculen la superficie de las cajas y determinen si es posible encontrar otra
con una superficie menor en la que quepan todas las fichas.
yy Explica cómo hallar el volumen de un prisma rectangular. Comenta con tus compañeros si el procedimiento equivale a multiplicar el área de su base por su altura.
hi
Practicar para avanzar
Reúnete con un compañero y resuelvan el problema. R. M.
P
ro
1. ¿Qué dimensiones puede tener un prisma rectangular cuyo volumen es de 20 cm3? Elaboren
una tabla como la siguiente con todos los posibles valores. Consideren solo números naturales y que dos prismas son iguales si tienen las mismas dimensiones.
Ancho
Largo
Alto
Superficie total
Volumen
2
2
5
48 m2
20 cm3
Si dos prismas tienen el mismo volumen, ¿tendrán la misma superficie? ¿Por qué?
No, porque si se alteran las dimensiones, cambia la superficie del prisma; por ejemplo, si las
dimensiones son 1, 10 y 2 cuyo volumen sigue siendo 20 cm3 y la superficie es 84 m2.
Tema: Magnitudes y medidas
255
Lección 2
Volumen de un prisma cuadrangular
1. Lee el planteamiento y contesta.
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ón
Las Torres de Hanói es un juego matemático compuesto por piezas de diferentes tamaños que forman verticalmente una torre, con la pieza más
grande en la parte inferior.
Hay tres palitos para colocar las piezas. La torre se inicia siempre en uno de los palitos de
una orilla y el objetivo del juego es mover las piezas, una por una, al otro extremo hasta
formar nuevamente la torre, pero sin colocar una pieza mayor sobre otra menor.
Las piezas de la imagen que se muestra son prismas cuadrangulares, es decir, su
base es cuadrada.
a. Si la base de la pieza más pequeña midiera 2 cm 3 2 cm y la altura fuera de 1.2 cm,
3
¿cuánto mediría su volumen? 4.8 cm
b. Si la siguiente pieza midiera 3 cm 3 3 cm 3 1.2 cm, ¿cuál sería su volumen?
3
10.8 cm
c.
¿Cuál sería el volumen total si fueran 8 piezas y su longitud del lado de la base se
3
aumentara 1 cm en cada pieza? 340.8 cm
d. Si quisieras construir estas piezas cortándolas de una tabla de 1.2 cm de espesor, ¿qué dimensiones debería tener la tabla para que al hacer los cortes se desperdiciara la menor cantidad posible de madera? 16.9 cm 3 16.9 cm
yy Reúnete con un compañero y decidan cómo colocar los 8 cuadrados para minimizar el consumo de madera. Consideren también el número de cortes que se
tienen que hacer. Compartan su solución con sus compañeros.
hi
Volumen de un prisma triangular
P
ro
2. Lee y responde.
Hay diversos rompecabezas en forma de cubos y prismas. El que se muestra en la imagen
tiene forma de un prisma triangular.
La caja en el que viene empaquetado tiene forma de prisma rectangular y tiene las mismas
dimensiones que el rompecabezas.
3
a. ¿Cuánto medirá el volumen de la caja? 1 472.2 cm
256
Eje: Forma, espacio y medida
b. Explica cómo obtendrías el volumen del rompecabezas a partir del volumen de
la caja que lo contiene. R. M. Dividiendo entre 2.
c.
¿Qué relación hay entre el volumen del rompecabezas y su caja? R. M. El volumen
de la caja es el doble del volumen del rompecabezas, esto se debe a que la base
del rompecabezas es triangular.
3
d. ¿Cuál sería el volumen del rompecabezas? 736.1 cm
3. Lee la exploración y contesta.
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ón
Si se voltea el rompecabezas de tal manera que quede sobre el triángulo que mide 10 cm de base y 8.66 cm de altura, la altura del rompecabezas será de 17 cm.
a. ¿Cuánto mide el área de la base triangular? 43.3 cm
2
b. Si multiplicas el área de la base triangular por la altura del prisma,
¿obtienes el mismo volumen que calculaste antes? Sí
yy Comparte tus respuestas con tus compañeros. Propón, si es posible, otra forma
de calcular el volumen del prisma triangular y discútela con tu grupo.
Practicar para avanzar
Resuelve los problemas. Registra los resultados en el cuaderno. Luego
valida tus respuestas con ayuda del profesor.
1. Cada cajón del mueble que se muestra en la imagen mide 20.5 cm de
altura, 48 cm de profundidad y 60 cm de ancho. La puerta del lado izquierdo mide 45 cm de ancho y un metro de altura.
Calcula cuánto mide el volumen de cada cajón. 59 040 cm3
Calcula el volumen del espacio que está detrás de la puerta. 216 000 cm3
Calcula el volumen del hueco que se forma arriba de los cajones. 51 840 cm3
¿Cuál es el volumen de todo el mueble? 50 4000 cm3
hi
a.
b.
c.
d.
56 cm
ro
2. El refrigerador tiene 112 cm de alto, 54 cm de frente y 72 cm de fondo.
El congelador, que está en la parte superior, tiene las mismas medidas de frente y de fondo, y tiene una altura de 56 cm.
54 cm
P
a. ¿Cuánto mide el volumen del refrigerador? 435 456 cm3
b. ¿Cuál es el volumen del congelador? 217 728 cm3
c. Se quieren meter recipientes de 10 cm de ancho, 12 cm de largo
y 5 cm de altura. 600 cm3
112 cm
yy ¿Cuántos de estos recipientes cabrán en el refrigerador? 725 recipientes
yy ¿Cuántos cabrán en el congelador? 362 recipientes
Tema: Magnitudes y medidas
257
Lección 3
El volumen de los prismas y datos faltantes
1. Resuelve el problema y contesta las preguntas.
El volumen disponible para colocar libros en cada estante del librero que se muestra
en la imagen es de 28.8 dm3.
a. ¿Cuánto mide el área rectangular de cada
estante?
2
12 dm
24 cm
b. Si en cada estante vas a colocar libros cuyas
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portadas tienen 20 cm de base, ¿cuánto mide
la longitud de cada estante? 6 dm
c.
Si cada libro tiene un grosor de 1.2 cm, ¿cuántos
libros podrás colocar en cada estante? 50 libros
yy Compara tus respuestas con las de tus compañeros y compartan las estrategias
que usaron para encontrar los datos faltantes.
El volumen de un prisma se obtiene multiplicando el área de su base por la altura.
Es decir, V 5 ABh, donde AB es el área de la base y h es la altura del prisma.
Cuando no se conoce la altura de un prisma, podemos calcularla a partir de su volumen y del área de su base. De la misma manera, podemos calcular el área de la base
de un prisma si conocemos su volumen y la altura de este.
Aplica lo que aprendiste.
1. Un lingote de oro tiene forma de prisma cuya base es un trapecio.
a. Si el volumen del lingote es de 1 350 cm3, ¿cuánto
ro
hi
mide el área del trapecio que está en la base del pris2
ma? 45 cm
b. Si las bases del trapecio miden 8 cm y 10 cm, ¿cuánto mide la altura del trapecio
que es la base del prisma? 5 cm
c. Si cada centímetro cúbico de oro pesa 19.32 g, ¿cuánto pesa el lingote
de oro?
26
082 g
P
Glosario
lingote. Barra
de metal,
principalmente de
hierro, plata, oro o
platino.
258
d. Si 100 g de oro se venden en $79 675, ¿cuál es el precio del lingote de oro?
$20
780 833.5
e. ¿Qué precio tendrá un centímetro cúbico de oro? $15
393.21
Eje: Forma, espacio y medida
2. La pecera de Emilio tiene una fuga de agua. Para mantener vivos a los peces, inclinó la pecera mientras los cambia de lugar.
Emilio sostuvo la pecera de tal manera que esta quedó apoyada en la mesa sobre el lado que mide 60 cm.
Así, logró que el agua cubriera la mitad de la base de
la pecera, como se muestra en la ilustración.
a. ¿Qué figura geométrica forma el agua cuando la
pecera está inclinada? Prisma triangular
c.
©
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bu
ci
ón
b. ¿Qué volumen de agua contiene la pecera?
3
60 000 cm
Si Emilio vuelve a colocar su pecera de manera horizontal, ¿a qué altura de la pecera llegará el agua? 10 cm
3. Una arquitecta está diseñando una casa en una región
que tiene clima adverso. Por tanto, el techo de la casa
debe ser a dos aguas, es decir, tener la forma de un triángulo isósceles.
La casa está formada por un prisma triangular puesto sobre un prisma rectangular.
a. Si la casa tiene un volumen de 1 296 m3, ¿qué dimensiones puede tener la casa considerando que tiene
tres pisos y que las habitaciones del piso superior tienen las paredes inclinadas?
ro
hi
El volumen total de la casa está compuesto por el volumen del prisma
rectangular del primer piso más el volumen del prisma rectangular del segundo piso más el volumen del prisma triangular del tercer piso, sin embargo, el volumen de este último lo podemos expresar de modo que se
tenga el volumen de un prisma rectangular, así se tendría que las medidas
de cada piso, altura, base y ancho, de la casa, deban cumplir la siguiente
condición:
abh = 518.4 m3
P
b. Explica por qué al calcular el volumen del prisma triangular, es necesario tomar el
triángulo como la base del prisma, y no uno de los rectángulos que lo conforman.
Porque la altura y la base del triángulo se pueden escribir en términos de la altura y base del rectángulo del prisma rectangular.
yy Haz un esquema con tu respuesta del inciso b y preséntalo a tus compañeros.
Tema: Magnitudes y medidas
259
Secuencia
didáctica
El decímetro cúbico y el litro
40
Lección 1
Contenido: Exploras la relación entre el decímetro cúbico y el litro y la relación entre capacidad y volumen. Resuelves
problemas que implican calcular volumen y capacidad.
Envases de un litro
1. Reúnete con un compañero y realicen lo que se pide.
©
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ri
bu
ci
ón
Consigan tres envases diferentes
con forma de prisma, como los que
se muestran a la izquierda, con capacidad de un litro cada uno.
Midan las dimensiones de los envases y calculen su volumen.
a. ¿Coincide el volumen de los tres prismas? R. L.
b. Si no fue así, expliquen por qué. R. L.
Glosario
capacidad.
Propiedad de poder
contener cierta
cantidad de alguna
cosa hasta un límite
determinado. Un
metro cúbico tiene
capacidad de 1 000
litros.
c.
Si hubieran medido las dimensiones de cada prisma con absoluta precisión, ¿cuántos cm3 tendría de volumen cada envase? R. L.
d. ¿En cuántos cm3 cabe un litro? 1 000 cm
3
e. Si cada caja tiene capacidad de un litro, que es igual a 1 000 mililitros,
¿qué relación hay entre la cantidad de cm3 que tiene el volumen de la
caja y la cantidad de mililitros que tiene de capacidad? 1 cm3 1 mL
f.
¿Qué relación hay entre la unidad de volumen y la unidad de capacidad
que usaron para resolver el problema? La capacidad es lo que
contiene a un volumen.
hi
2. Con las medidas de la actividad anterior, calculen la superficie total de los tres envases, suponiendo que la cara superior de los prismas es totalmente plana, paralela
a la base y que no tiene taparrosca.
a. ¿Los envases tienen la misma superficie? R. L.
P
ro
b. ¿Qué dimensiones tiene el prisma con mayor superficie? R. L.
c. ¿Y el prisma con menor superficie? R. L.
d. ¿Qué dimensiones podría tener un prisma que contenga exactamente un litro y
cuya superficie total sea menor que la que obtuvieron con los envases que midieron? R. L.
yy En grupo comenten sus respuestas y dialoguen sobre la relación que existe entre el volumen y la superficie de un prisma.
260
Eje: Forma, espacio y medida
El litro, ¿volumen o capacidad?
1. Observa los cubos y contesta.
a. ¿Cuál es el volumen del cubo azul?
1 000 cm3 ¿Y el del cubo rojo? 1 dm3
b. Si el cubo azul tiene una capacidad de 1 litro, ¿cuál será la capacidad del cubo
rojo? Un litro
¿Cuántos centímetros cúbicos caben en un litro? 1 000 cm
d. ¿Cuántos centímetros hay en un decímetro? 10
3
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ón
c.
3
e. Entonces, ¿cuántos decímetros cúbicos caben en un litro? 1 dm
El litro es la capacidad que tiene un decímetro cúbico y se representa con la letra l o
L. Es una unidad de medida que no pertenece oficialmente al Sistema Internacional
de Unidades (SI), pero es aceptada porque su uso es muy común. En el SI, la unidad
que se usa para medir volumen es el metro cúbico (m3).
yy Analiza cuál es la diferencia, si existe, entre capacidad y volumen.
2. Haz las operaciones para completar la tabla.
Unidad
1m5
1 m2 5
1 m3 5
Unidad
1m5
1 m2 5
100
cm
100
cm 3
100
100
cm 3
100
cm 5 10 000
100
cm 3
cm2
cm 5 1 000 000 cm3
Equivalencia en decímetros
10
dm
10
dm 3
10
dm 5
100
dm2
10
dm 3
10
dm 3
10
dm 5
1 000
dm3
hi
1 m3 5
Equivalencia en centímetros
P
ro
yy ¿Cuántos litros se necesitan para llenar un metro cúbico? 1 000 litros
Practicar para avanzar
Resuelve en tu cuaderno.
1. Una alberca vacía que mide 12 m de largo, 5 m de ancho y 1.50 m de profundidad se va a llenar
con agua. Si entran 50 L/min, ¿cuántas horas tardará en llenarse la alberca? 30 horas
Tema: Magnitudes y medidas
261
Lección 2
El volumen de una cisterna
1. Lee el problema y realiza lo que se pide.
Una familia quiere construir una cisterna debajo de su jardín para almacenar suficiente agua para 4 semanas. La familia consta de 5 miembros, y cada uno consume
diariamente 150 litros de agua en promedio.
a. ¿Cuántos litros de agua consume la familia en 4 semanas? 21 000 litros
©
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ón
Considera que la cisterna que construyan debe tener por lo menos ese volumen,
y que conviene dejar 30 cm de altura entre la superficie del agua y el techo de la
cisterna.
b. Reúnete con dos compañeros y determinen las dimensiones que debe tener la
cisterna para almacenar la cantidad de agua necesaria para cuatro semanas.
Tomen en cuenta que el jardín mide 6 m 3 7 m y, para reducir costos, se quiere
cavar lo menos posible. R. L.
c.
También consideren que mientras menos superficie interna tenga la cisterna,
menos costosa será. R. L.
yy Evalúen varias opciones y presenten la mejor de ellas al grupo. Argumenten las
ventajas o desventajas de su decisión.
2. Lee la información y contesta.
El agua con que se va a llenar la cisterna proviene de la lluvia y se recoge y almacena
a través de un sistema de captación.
La precipitación de lluvia se mide en milímetros de agua, o litros caídos por m2, es
decir, la altura del volumen de agua recogida en una superficie plana es medida en
mm o L/m2.
hi
a. Si se vierte un litro de agua sobre una superficie de 1 m2, ¿cuál será la altura de
ese volumen de agua? 1 mm
b. En las localidades con lluvias mayores a 1 500 mm anualmente conviene apli-
P
ro
car sistemas de captación de agua de lluvia. ¿A cuántos metros cúbicos de agua
3
equivale esta cantidad? 1.5 m
c.
Si en promedio se acumularon 42 mm de agua de lluvia cada día, ¿cuántos días
tendría que llover así para llenar una cisterna que mida 3 m de ancho por 7 m de
largo por 1 m de profundidad? 500 días
yy Comparte tus respuestas con tus compañeros.
262
Eje: Forma, espacio y medida
Aplica lo que aprendiste.
1. La alberca olímpica Francisco Márquez, ubicada en la Ciudad de México, mide 50 m
de largo, 21 m de ancho y 1.80 m de profundidad.
3
a. ¿Cuál es su volumen en m3? 1 890 m
b. ¿Cuántos litros de agua contiene la alberca? 1 890 000 L
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ón
2. Para cubrir las necesidades de agua potable en la Ciudad de México, se construyó
el sistema Cutzamala, el cual consiste en un conjunto de presas, canales abiertos,
túneles y acueductos que sirve para transportar agua desde Michoacán hasta la
capital del país. El sistema Cutzamala provee de 19 m3 de agua cada segundo.
Calcula cuánta agua llega a Ciudad de México en...
a. un minuto. 1 140 m
3
b. una hora. 68 400 m
3
un día. 1 641 600 m
3
d. una semana. 11 491 200 m
3
e. un año. 599 184 000 m
3
c.
f.
Si quisiéramos almacenar el agua que llega en un día a la Ciudad de México,
¿cuántas albercas olímpicas como la Francisco Márquez necesitaríamos?
Aproximadamente 869 albercas
3. La manguera de una pipa vierte un litro de agua cada segundo.
a. ¿Cuántos metros cúbicos de agua se acumularán en una hora? 0.06 m
b. ¿Cuántas horas se necesitarán para llenar una alberca olímpica? 31 500 horas
3
hi
4. Una persona que pesa 70 kg tiene en su organismo aproximadamente 4.9 litros de
sangre. Cada vez que da un latido su corazón, fluyen por sus cavidades unos 70 mL
de sangre (1 L 5 1 000 mL).
ro
a. Si su corazón da 60 latidos cada minuto, ¿cuántos mililitros de sangre pasan por su corazón cada minuto? 4 200 mL
P
b. ¿A cuántos litros equivale esa cantidad? 4.2 L
c.
¿Cuántos segundos tardará toda su sangre en recorrer su cuerpo,
pasando por su corazón? 70 segundos
yy Comparte con tus compañeros tus respuestas y analicen diferentes
maneras de reducir el consumo de agua en sus casas y en su escuela.
Herramientas
académicas
Para reforzar lo
que aprendiste
sobre capacidad y
volumen, resuelve
los ejercicios de la
página www.esant.
mx/fasema1-011.
Tema: Magnitudes y medidas
263
Punto de encuentro
Lee con atención y responde.
Cambios de escala
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Cuando se hace un modelo a escala de un automóvil, por ejemplo, en un juguete,
o para mostrar un edificio en una exposición, se hacen más pequeñas todas sus
longitudes por un factor de escala. También es posible hacer más grande un objeto
mediante el mismo procedimiento. Pero, ¿cambian el funcionamiento y las propiedades del objeto cuando se modifica su tamaño? ¿Es posible que existan los gigantes y los enormes monstruos de las historias de fantasía y las películas?
1. Reúnete con un compañero, lean la situación y contesten.
En un deportivo hay una alberca con forma de prisma rectangular que se llena de
agua durante el verano y se cubre con una cubierta de plástico para que no se ensucie cuando no se usa. Las dimensiones de la alberca son:
12.50 m 3 6.00 m 3 1.50 m
a. Calculen cuál es la superficie de la cubierta de plástico que se necesita para tapar
la alberca. Supongan que la cubierta tapa exactamente la superficie del agua.
2
75 m
b. En el deportivo quieren agrandar la alberca y deciden aumentar sus dimensiones por un factor de dos. ¿Qué tanto aumentará la superficie de la cubierta?
Aumentará 4 veces la superficie de la cubierta.
c.
¿Cuánto aumentaría la superficie de la cubierta si en el deportivo decidieran aumentar las dimensiones de la alberca 3 veces, 4 veces, 5 veces o n veces? 9, 16, 25 o
2
n respectivamente
P
ro
hi
d. ¿El cambio de las dimensiones de la alberca es lineal? ¿Y el cambio de la superficie de la cubierta? Sí, el cambio de las dimensiones es lineal, el de la superficie
es un cambio cuadrático.
yy Justifiquen en el cuaderno la respuesta con una tabla o una gráfica.
e. ¿Cuál es el volumen de la alberca y cuánta agua se necesita para llenarla?
3
El volumen es de 112.5 m . Se necesitan 112 500 litros para llenarla.
f.
¿Cuál sería el volumen de la alberca si se decidiera duplicar cada una de sus di3
mensiones? 900 m
yy ¿Cuál sería si el volumen si se multiplicaran sus dimensiones por un factor de
3
3
3
3
3, 5, 10 o n? 3 037.5 m , 14 062.5 m , 112 500 m y n (12.50 3 6.00 3 1.50)
respectivamente.
264
g. ¿El cambio en el volumen es lineal? No
yy ¿Cómo afectarían esos cambios de volumen la cantidad de agua necesaria
para llenar la alberca? Aumenta la cantidad de agua que se necesita para
llenar la alberca.
Comparen sus resultados con los de otro equipo y discutan sus diferencias.
2. Analicen los datos y contesten en el cuaderno.
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Imaginen que los dueños de un edifico que se construirá, y que se ha diseñado como el de la figura, deciden que sus dimensiones sean 3 veces más grandes.
a. ¿Cuál sería el volumen del edificio? ¿Cuántas veces cambió el volumen? El volumen al triplicar las medidas es 66 825 m3, mientras que el de la
construcción original es 2 475 m3. Por lo que el volumen aumentó 27 veces comparado con el original.
b. Si la ventilación y la iluminación del edificio dependen del área de las ventanas
y suponemos que sus cuatro paredes están hechas primordialmente de vidrio,
¿qué tan eficiente sería la ventilación y la iluminación del edificio después del
escalamiento? ¿Conviene hacerlo más grande? Si el área de las ventanas no cambia, a pesar de que
las medidas de la construcción cambiaron, no será eficiente la ventilación e iluminación. No conviene hacerlo más grande.
c.
¿Qué sucede con las columnas que soportan casas y edificios?
Calculen el área de la superficie y el volumen de una columna como
la que se muestra, que mide de ancho 0.3 m y de largo 2.5 m.
El área de la superficie de la columna es de 4.8 m2, su volumen es de 2.25 m3.
yy ¿Cuál es el área de su superficie y el volumen cuando sus dimensiones aumentan por un factor de 5 y por uno de 10?
Por un factor 5: El área de la superficie será de 79.5 m2, el volumen será de 28.12 m3. Por
un factor 10: El área de la superficie será de 318 m2, el volumen será de 225 m3.
d. Si sabemos que la resistencia de la columna, es decir, el peso que puede soportar, depende de la superficie de su sección trasversal, es decir, la que se obtiene
al cortar la columna perpendicularmente a su altura, ¿cuál es la resistencia de la
columna cuando sus dimensiones cambian como en el inciso c?
La resistencia disminuye.
hi
e. Si el peso en kilogramos de la columna depende de su volumen, ¿puede sostenerse una columna, hecha con el mismo material, si sus dimensiones aumentan
por un factor de 10? No
ro
Discutan sus resultados con el grupo y con su profesor.
3. Utilicen lo que han aprendido, resuelvan en su cuaderno y justifiquen sus respuestas.
P
Puede existir un gigante cuya altura sea la de un hombre de 1.80 m multiplicada por
un factor de 20. Consideren que el fémur, el hueso que soporta la mayor parte de
su peso, sería como una columna en forma de prisma de base cuadrada de 0.032 m
de lado y de altura es de 0.46 m. ¿Es correcta la afirmación anterior? No
Respondan esta pregunta en un párrafo breve: ¿podrían existir los gigantes, los simios
enormes o las arañas inmensas que aparecen en los cuentos y en las películas?
265
Reviso mi trayecto
Resuelve los problemas. Revisa los procedimientos y las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que tienes que repasar.
1. Rodrigo construirá una alberca como la que se muestra en la imagen.
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a. ¿Cuántos litros de agua usará para llenarla? 81 285 L
b. ¿Qué tipo de prisma es? No es un prisma.
c.
¿Qué figura se forma si se agrega el pedazo
que falta para que toda la alberca tenga la
misma profundidad? Un prisma rectangular
d. ¿Qué forma tiene el pedazo que falta? Prisma triangular
e. ¿Cómo puedes calcular el volumen de la alberca? Calcular el volumen del prisma rectangular y del prisma triangular y después restar el primero al segundo.
f. ¿En qué unidad de medida se expresa el volumen de la alberca? m3
g. Si se pide la cantidad de litros de agua para llenarla, ¿qué unidad de volumen
3
equivale a un litro? m
2. Usa la congruencia de triángulos para justificar.
Enunciando
Los lados opuestos de un
paralelogramo son iguales.
Dos pares de lados opuestos son
iguales en medida, entonces es un
paralelogramo.
Justificación
A
D
B Si se tienen dos triángulos congruentes por el
C
criterio LLL, como los que se muestran, entonces
AB y CD son iguales, además AC y AD son iguales.
3. Lee el texto y realiza los cálculos.
P
ro
hi
De acuerdo con estimaciones de Conagua, la disponibilidad de agua en promedio
anual es de 1 386 millones de kilómetros cúbicos, de los cuales, 97.5% es agua salada y 2.5% es agua dulce. Del total del agua dulce que hay en el planeta, 69.6% se localiza en los casquetes polares, 30% en el subsuelo y solo 0.4% en ríos y lagos.
266
Fuente: www.gob.mx/conagua/acciones-y-programas/agua-en-el-mundo (consulta: 13 de noviembre de 2017).
a. ¿A cuántos litros equivale el total de agua salada? 1 351 350 000 000 000 000 000 L 1.35135 3 1021 L
b. ¿Cuántos litros de agua dulce hay en el planeta? 34 650 000 000 000 000 000 L 3.465 3 1019 L
c. ¿Cuántos litros de agua se localizan en los casquetes polares? 24 116 400 000 000 000 000 L 2.41164 3 1019 L
d. ¿Cuántos litros de agua dulce se localizan en el subsuelo? 10 398 500 000 000 000 000 L 1.03985 3 1019 L
e. ¿Cuántos litros de agua hay en ríos y lagos en el planeta? 1 38 600 000 000 000 000 L 1.386 3 1017 L
f. ¿A cuántos litros equivale el total de agua que hay en el planeta? 1 386 000 000 000 000 000 000 L 1.386 3 1021 L
Valoro mis fortalezas
Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obtengas, retoma los contenidos que se te dificultaron.
1. En una tienda de ropa se anuncian las siguientes ofertas por fin de temporada.
Precio ($)
Oferta
Camisa
350
Sin descuento
Pantalón
350
10% descuento
Chaleco
225
Sin descuento
Chamarra
335
15% decuento
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Artículo
a. Si se sabe que el precio de la camisa es 2 del pantalón y que ambos artículos
5
juntos cuestan $350, calcula cuánto cuesta cada prenda. Anota las operaciones
que realizaste.
El costo del pantalón: 2/5 x, el costo de la camisa: x
x 12/5 x 350
7/5 x 350
x 250
Así se concluye que el pantalón cuesta 250 pesos y la camisa 100 pesos.
b. Una persona compra dos chalecos y dos chamarras. Escribe en una sola expresión las operaciones aritméticas necesarias para calcular cuánto debe pagar.
hi
2(225) 1 2[335 2 0.15(335)] 450 1 2(284.75) 450 1 569.5 1 019.5
Por lo tanto, deberá pagar 1 019.5 pesos
ro
2. El cubo de madera que se muestra en la imagen está formado por cubos pequeños
de 1 cm de lado.
P
a. Si se pinta el cubo grande de verde, ¿cuántos cubos pequeños habrá con cada
característica?
yy Con ninguna cara pintada Uno
yy Con una cara pintada Seis
yy Con dos caras pintadas Doce
yy Con tres caras pintadas Ocho
267
b. Completa la tabla. Escribe en la columna correspondiente cuántos cubos pequeños tienen cero caras pintadas, cuántos tienen una, cuántos tienen dos y
cuántos tienen tres, en los diferentes cubos de madera.
Dimensión
del cubo de
madera
Cubos pequeños con
caras pintadas
0
1
2
3
23232
0
0
0
8
8
33333
1
6
12
8
27
43434
8
24
24
8
64
53535
27
54
36
8
125
63636
64
96
48
8
216
73737
125
150
60
8
343
n3n3n
(n 2)3
6(n 2)2
12(n 2)
8
n3
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Volumen cm3
3. Mario y Rodolfo quieren comprar un videojuego con sus ahorros, pero no les alcanza, por lo que decidieron vender cajas de galletas. Mario llevó $50 para dar
cambio y vendió 9 cajas, mientras que Rodolfo llevó $25 para dar cambio y vendió
10 cajas. Las vendieron a $25 cada caja de galletas.
Si al final los dos tenían la misma cantidad de dinero, ¿a qué precio vendieron
cada caja de galletas?
a. Escribe una ecuación que represente la situación y resuélvela.
P
ro
hi
9x 50 10x 25
50 25 10x 9x
25 x
b. ¿Cuánto dinero reunieron en total por la venta? $475 por la venta de las 19
cajas de galletas.
c.
268
Si al reunir sus ahorros tienen $300 y el videojuego cuesta $855.5, ¿les alcanza
para comprarlo? ¿Por qué? No les alcanza porque son $300 de ahorro más $475
de la venta son $775.
Valoro mis fortalezas
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4. Analiza la gráfica y haz lo que se pide.
a. ¿La gráfica representa el calentamiento o el enfriamiento del agua? Enfriamiento
b. ¿A qué temperatura se encuentra el agua en el tiempo t 5 0? 120° C
c. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a 0 °C? Aproximadamente 9.5 minutos
d. ¿Es posible que la gráfica pase por el punto (5, 100)? ¿Por qué? Sí es posible,
sucedería si el enfriamiento del agua fuera más lento.
e. ¿Cuántos grados disminuye la temperatura del minuto 2 al minuto 12? Aproximadamente 95° C
f. ¿En cuánto tiempo la temperatura pasa de 100 °C a 0 °C? Aproximadamente 8 minutos
g. Calcula la razón de cambio para cada intervalo.
yy 0 a 2 min
(120295)/(220)≈12.5
10 a 12 min
Aproximadamente 2 2.5 12 a 14 min
yy 5 a 10 min 218
yy 2 a 4 min
0
25.
h. Escribe las ecuaciones de cada sección de recta: De izquierda a derecha;
y 212x 120, y 90, y 222.5x 213.75, y 0, y 25x 60 y y 210.
hi
5. La imagen muestra un esquema de la ubicación de cinco pueblos.
P
ro
La distancia entre los pueblos Frijol Bayo y Piña Dulce es de 20 km; entre Mango y
Piña Dulce hay 10 km, y entre Mango y Frijol Bayo hay 14 km.
Calcula las distancias entre:
a. Maíz Azul y Piña Dulce 10 km
b. Zapote Negro y Maíz Azul 14 km
c.
Zapote Negro y Piña Dulce 20 km
269
Fuentes
de información
Para el alumno
Impresas
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ón
yy Arce, Juan C. El matemático del rey, Planeta, Barcelona, 2006.
yy Berlanga, Ricardo y otros. Las matemáticas, perejil de todas las salsas, Fondo de Cultura
Económica, México, 2009 (colección Ciencia para Todos).
yy Cerasoli, Anna. La sorpresa de los números, Maeva, Madrid, 2006 (colección Biblioteca
de Aula, serie Astrolabio).
yy Charles, Seife. Cero: La biografía de una idea peligrosa, Ellago Ediciones, Madrid, 2006.
yy Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números, Siruela, Madrid, 2013.
yy Fabretti, Carlos. Malditas matemáticas. Alicia en el país de los números, Alfaguara,
Madrid, 2000.
yy Oteyza, Elena de y otros. Fracciones divertidas, Terracota, México, 2014.
yy Paenza, Adrián. Matemática… ¿Estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades, Siglo XXI, Buenos Aires, 2005 (colección Ciencia que Ladra).
yy Perelman, Yakob. Matemáticas recreativas, Rodesa, Barcelona, 2007.
yy Prieto, Carlos. Aventuras de un duende en el mundo de las matemáticas, Fondo de
Cultura Económica, México, 2009 (colección Ciencia para Todos).
hi
yy Perrero, Mariano. Historia e historias de las matemáticas, editorial Iberoamérica,
México, 1994.
ro
yy Ruiz, Concepción. El piropo matemático, Lectorum, Barcelona, 2000.
P
yy Sierra i Fabra, Jordi. El asesinato del profesor de matemáticas, Anaya, Madrid, 2000.
yy Smullyan, Raymond M. Satán, Cantor y el infinito, RBA Coleccionables, Barcelona, 2007.
yy Snape, C. Sal si puedes. Laberintos y rompecabezas matemáticos, Noriega-Limusa,
México 2005.
270
Electrónicas
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yy 100 problemas matemáticos que retan al alumno a pensar.
http://www.lavirtu.com/eniusimg/enius4/2002/01/adjuntos_fichero_3543.pdf
(consulta: 23 de noviembre de 2017)
yy Archivo PDF de la obra de Adrián Paenza, Matemática … ¿Estás ahí? Episodio 3. Siglo
XXI, Argentina, 2008.
http://mate.dm.uba.ar/~cepaenza/libro/matemati4.pdf
(consulta: 01 de diciembre de 2017)
yy Calculadora para que conviertas fracciones a notación científica.
www.aaamatematicas.com/g6_71lx1.htm
(consulta: 8 de noviembre de 2017)
yy Ejercicios, problemas e interactivos de aritmética, álgebra y geometría.
http://newton.matem.unam.mx/
(consulta: 23 de noviembre de 2017)
yy En esta dirección electrónica encontrarás videos, documentos y actividades de la SEP
sobre temas relacionados con el programa de primero de secundaria.
www.aprende.edu.mx/Repository/recursos/index.html?level%5B%5D=5&grade%5B
%5D=14&subject%5B%5D=matematicas-i
(consulta: 13 de noviembre de 2017)
yy Interactivos que te permiten abordar diversos temas propuestos para la secundaria.
http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/Secundaria.html
(consulta: 23 de noviembre de 2017)
yy Lecturas de matemáticas que abordan diversos temas propuestos para primer año de
secundaria.
http://www3.gobiernodecanarias.org /medusa/edublogs/proyectonewton
/files/2016/10/Cuentos-y-Matematicas-MATEMaTICAS-SECUNDARIA.pdf
(consulta: 01 de diciembre de 2017)
yy Páginas interactivas para que conozcas más situaciones de proporcionalidad.
recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas/2quincena4/index2_4.htm
(consulta: 8 de noviembre de 2017)
yy Software de geometría dinámica gratuito que te permite hacer construcciones útiles
para geometría, álgebra, cálculo, entre otros.
www.geogebra.org
(consulta: 23 de noviembre de 2017)
yy Tutoriales y ejercicios de diversos temas propuestos para secundaria.
https://es.khanacademy.org/math/eb-1-secundaria
(consulta: 23 de noviembre de 2017)
271
Fuentes de información
Para la elaboración de este libro
Impresas
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yy Alarcón, Jesús y otros. Libro para el maestro. Matemáticas. Secundaria, 2.ª ed., SEP,
México, 2001.
yy Ávila, Alicia. Entre la costumbre y las presiones de la innovación. La enseñanza de los números en primer grado, Santillana, México, 2004.
yy Batanero, Carmen y otros. Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas escolares. Casos
y perspectivas, SEP, México, 2011.
yy Block, David. Se cambian fichas por estampas. Un estudio didáctico sobre la noción de
razón “múltiplo” y su vinculación con la multiplicación de números naturales, Santillana,
México, 2006.
yy Butto, Cristianne y Teresa Rojano. Introducción temprana al pensamiento algebraico:
abordaje basado en la geometría, Santillana, México, 2004.
yy Chamorro, M. del C. Didáctica de las Matemáticas, Pearson, Madrid, 2003.
yy Cubillo, Carmen y Tomás Ortega. Análisis de un modelo didáctico para la enseñanza y el
aprendizaje del orden de las fracciones, Santillana, México, 2003.
yy Segal, S. y D. Giuliani. Modelización matemática en el aula: posibilidades y necesidades,
Libros del Zorzal, Buenos Aires, 2008.
yy Ursini, Sonia y otros. Enseñanza del álgebra elemental. Una propuesta alternativa,
Trillas, México, 2005.
yy Wenger, E. Comunidades de práctica. Aprendizaje, significado e identidad, Paidós,
Barcelona, 2001.
hi
Electrónicas
ro
yy Aprendizaje significativo en el área de matemáticas: una experiencia pedagógica
www.funes.uniandes.edu.co/2385/ (consulta: 22 de noviembre de 2017)
P
yy Propuestas didácticas que se pueden llevar a cabo en clase
https://aprendiendomatematicas.com/actividades-matematicas-secundaria/
(consulta: 23 de noviembre de 2017)
yy Textos para la formación matemática y didáctica de maestros
www.ugr.es/~jgodino/fprofesores.htm (consulta: 22 de noviembre de 2017)
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MATEMÁTICAS
Aprendizajes Clave para la Educación Integral
Matemáticas 1. Libro para el profesor de la
serie Fortaleza Académica es una obra creada
con el propósito de apoyar a los docentes en
la planeación del curso de la asignatura y se
compone de lo siguiente:
• Descripción del Nuevo Modelo Educativo y del
Mapa curricular
ș /,-2"010!"!,0&Ɯ &Ń+!"),0-/"+!&7'"0
esperados de la asignatura para 200 y 185 días
• Reproducción del libro del alumno con todas
las respuestas
P
ro
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Este material será una útil guía para desarrollar
02 ),/ "!2 1&3Ǿ 6 .2" #2" "),/!, ',
los principios pedagógicos del Nuevo Modelo
Educativo.
