Introducción a la Probabilidad

Introducción a la probabilidad
Definición. Frecuencia Relativa de un evento. Suponga que se realiza un
experimento n veces y que de estas n ocurre r veces un evento A.
Donde al número r se le denomina frecuencia absoluta y el cociente r/n
se denomina frecuencia relativa de un evento A.
Ejemplo: consideremos el experimento de lanzar un dado y observar la
cara superior cuando este cae. Los posibles resultados de este
experimento son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Si se desea saber la posibilidad de
obtener un número par, no es más que calcular la frecuencia relativa
3/6=0.5.
Introducción a la probabilidad
Ejemplo: Consideremos el experimento de observar el número de
clientes que entran a un banco de lunes a viernes en el horario de
10:00 am a 11:00 am.
Frecuencia
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Absoluta
20
33
28
36
40
Relativa
(Probabilidad)
20/157
(0.127)
33/157
(0.210)
28/157
(0.178)
36/157
(0.229)
40/157
(0.255)
Experimento estadístico
Un experimento estadístico es un proceso o serie de procesos que
genera algunas observaciones o datos que pueden ser numéricos o
categóricos. Uno de los ejemplos más comunes en estadística es el de
lanzar una moneda al aire o lanzar un dado común y anotar la cara
superior observada cuando cae.
Para cuantificar la ocurrencia de cierto evento de un experimento
estadístico, la teoría de la probabilidad se fundamenta en la teoría de
conjunto.
Espacio muestral
Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento
estadístico se le denomina espacio muestral y se denota con el símbolo
Ω. A cada resultado de un espacio muestral se le denomina elemento
del espacio muestral o simplemente punto muestral.
El número de elementos de un espacio muestral puede ser finito y se
pueden listar. En algunas ocasiones es útil listar los elemento del
espacio muestral en diagramas de árbol. En otras ocasiones los
elementos del espacio muestral se describen mediante enunciados.
Ejmeplo de espacio muestral
Ejemplo: Del experimento de lanzar una moneda dos veces, el espacio
muestral es Ω = 𝑐𝑐, 𝑐𝑠, 𝑠𝑐, 𝑠𝑠 .
Un diagrama de árbol es el siguiente para el experimento anterior es
C
S
C
S
CC
CS
C
S
SC
SS
Ejemplos de espacio muestral
1. El experimento de registrar el tiempo que tarda un cajero en
atender un cliente en un banco. El espacio muestral es Ω =
𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 0 .
2. Considere el experimento del número de fallas que puede presentar
una máquina después de un periodo de funcionamiento de de 10
horas. El espacio muestral es Ω = 0,1,2, … .
3. Del experimento de lanzar un dado corriente y anotar la cara
superior observada, El espacio muestral es Ω = 1,2,3,4,5,6 .
Eventos
Un evento es un subconjunto del espacio muestral.
Es posible concebir que un evento puede ser un subconjunto que
incluye todo el espacio muestral Ω el cual se conoce como evento
seguro, o un subconjunto de Ω que se denomina conjunto vacío y se
denota con el símbolo φ.
Ejemplos de eventos
1. Del experimento de lanzar una moneda dos veces, el espacio muestral
es Ω = 𝑐𝑐, 𝑐𝑠, 𝑠𝑐, 𝑠𝑠 y un evento posible es obtener cara en el primer
lanzamiento, esto es 𝐴 = 𝑐𝑐, 𝑐𝑠 .
2. El experimento de registrar el tiempo que tarda un cajero en atender un
cliente en un banco. El espacio muestral es Ω = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 0 y un
evento posible es no tardar más de 15 minutos, esto es 𝐴 = 0; 15 .
3. Considere el experimento del número de fallas que puede presentar una
máquina después de un periodo de funcionamiento de de 10 horas. El
espacio muestral es Ω = 0,1,2, … . El evento de Registrar máximo dos
fallas después de las 10 horas de funcionamiento, esto es 𝐴 = 0,1,2 .
Complemento
Para un espacio muestral Ω, el complemento de un evento A es el
subconjunto de todos los elementos de Ω que no están en A. El
complemento de A se denota con el símbolo A’.
𝐴′ = 𝑥 ∈ Ω: 𝑥 ∉ 𝐴
Ω
A′
A
Ejemplos del complemento
1. Del experimento de lanzar un dado corriente y anotar la cara
superior observada, El espacio muestral es Ω = 1,2,3,4,5,6 , El evento
de obtener un número
par es 𝐴 = 2,4,6 , el complemento es obtener
′
un número impar 𝐴 = 1,3,5 .
2. Del experimento de lanzar una moneda dos veces, el espacio
muestral es Ω = 𝑐𝑐, 𝑐𝑠, 𝑠𝑐, 𝑠𝑠 . El evento de obtener cara en el primer
lanzamiento, esto es 𝐴 = 𝑐𝑐,
𝑐𝑠 y su complemento es no obtener cara
′
en el primer lanzamiento, 𝐴 = 𝑠𝑐, 𝑠𝑠 .
3. El experimento de registrar el tiempo que tarda un cajero en atender
un cliente en un banco. El espacio muestral es Ω = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 0 y un
evento posible es no tardar más de 15 minutos,′ esto es 𝐴 = 0; 15 y
su complemento es tardar más de 15 minutos, 𝐴 = 15; ∞ .
Intersección
Sean A y B dos eventos del espacio muestral Ω, la intersección de los
eventos A y B, denotado 𝐴 ∩ 𝐵, es el evento que contiene todos los
elementos que son comunes a A y a B.
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 ∈ Ω: 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 𝑥 ∈ 𝐵
Ω
A∩𝐵
𝐴
B
Ejemplos de intersección
1. Del experimento de lanzar un dado una vez, es espacio muestral es Ω =
1,2,3,4,5,6 . Sean los evento de obtener un número par, 𝐴 = 2,4,6 y el
evento de obtener un número un número primo, 𝐵 = 2,3,5 . La
intersección es 𝐴 ∩ 𝐵 = 2 .
2. Del experimento de lanzar la moneda dos veces, el espacio muestal es
Ω = 𝑐𝑐, 𝑐𝑠, 𝑠𝑐, 𝑠𝑠 . Sean los eventos obtener cara en el primer lanzamiento
𝐴 = 𝑐𝑐, 𝑐𝑠 y obtener un sello 𝐵 = 𝑐𝑠, 𝑠𝑐 . La intersección es 𝐴 ∩ 𝐵 =
𝑐𝑠 .
3. Del experimento del número de fallas presentes en una máquina después
de 10 horas funcionamiento, el espacio muestral es Ω = 0,1,2, … . Sean los
eventos registrar más de 4 fallas, 𝐴 = 5,6,7, … y registrar menos de 7 pero
mas 3 fallas, 𝐵 = 4,5,6 . La intersección es 𝐴 ∩ 𝐵 = 5,6 .
Disjuntos o mutuamente excluyentes
Dos eventos A y B del espacio muestral Ω, son mutuamnte excluyentes
o disjuntos si 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙, es decir, si A y B no tienen elementos en
común.
Ω
𝐴
𝐵
Unión
La unión de dos eventos A y B del espacio muestral Ω, dnotado 𝐴 ∪ 𝐵,
es el evento que contiene todos los elementos que corresponden a A o
a B, o ambos.
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 ∈ Ω: 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜 𝑥 ∈ 𝐵
Ω
A∪𝐵
𝐴
𝐵
Ejemplos de unión
1. Del experimento de lanzar un dado una vez, es espacio muestral es Ω =
1,2,3,4,5,6 . Sean los evento de obtener un número par, 𝐴 = 2,4,6 y el
evento de obtener un númer primo, 𝐵 = 2,3,5 . La intersección es 𝐴 ∪ 𝐵 =
2,3,4,5,6 .
2. Del experimento de lanzar la moneda dos veces, el espacio muestal es
Ω = 𝑐𝑐, 𝑐𝑠, 𝑠𝑐, 𝑠𝑠 . Sean los eventos obtener cara en el primer lanzamiento
𝐴 = 𝑐𝑐, 𝑐𝑠 y obtener un sello 𝐵 = 𝑐𝑠, 𝑠𝑐 . La intersección es 𝐴 ∪ 𝐵 =
𝑐𝑐, 𝑐𝑠, 𝑠𝑐 .
3. Del experimento del número de fallas presentes en una máquina después
de 10 horas funcionamiento, el espacio muestral es Ω = 0,1,2, … . Sean los
eventos registrar más de 4 fallas, 𝐴 = 5,6,7, … y registrar menos de 7 pero
mas 3 fallas, 𝐵 = 4,5,6 . La intersección es 𝐴 ∪ 𝐵 = 4,5,6,7, … .
Reglas básicas de conteo
Uno de los problemas más comunes en estadística es determinar el
número de elementos que se presentes es un espacio muestral o
evento, ya que en muchas ocasiones es complicado enlistar todas y
cada una de las realizaciones del experimento. En este sentido las
reglas básicas de conteo nos brindan una herramienta para cuantificar
el número de elementos disponibles en un espacio muestral o evento
de un experimento aleatorio.
Regla de la multiplicación
Si una operación se puede ejecutar en 𝑛1 formas, y si para cada una de
estas se puede llevar a cabo una segunda operación en 𝑛2 formas, y
para cada una de las primeras dos se puede realizar una tercera
operación en 𝑛3 formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k
operaciones se puede realizar en 𝑛1 × 𝑛2 × 𝑛3 × ⋯ × 𝑛𝑘 formas.
Ejemplo regla de la multiplicación
Un estudiantes puede elegir 3 cursos uno de inglés uno de
matemáticas otro de redacción de textos. Pero en el curso de lenjuage
hay 5 docentes disponibles, en el matemáticas hay 3 docentes
disponibles y en el de redacción de textos hay 2 docentes disponibles.
¿De cuántas maneras diferentes puede elegir un docente para cada
curso?
R/ Tenemos 𝑛1 = 5 docentes disponibles para ingles, 𝑛2 = 3 docentes
disponibles para matemáticas y 𝑛3 = 2 docentes para redacción de
textos. Entonces el estudiante puede elegir de
𝑛1 × 𝑛2 × 𝑛3 = 5 × 3 × 2 = 30 maneras diferentes un docente para
cada curso.
Permutación
Un permutación es un arreglo de todo o parte de un conjunto de
objetos. El número de permutaciones de n objetos distintos tomados
de r a la vez es
𝑃
𝑛,𝑟
=
𝑛!
𝑛−𝑟 !
El número de permutaciones de n objetos es n!, denominado n
factorial y se define como
𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 … 2 1
Ejemplos de permutación
1. ¿De cuántas maneras se pueden organizar 5 personas en una fila?
R/Como existen 𝑛 = 5 personas, entones se pueden organizar en una fila de
𝑛! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 maneras diferentes.
2. ¿Cuántas palabras de 3 letras se pueden formar con las letras A,B,C,D y E?
R/ Como tenemos un conjunto de 𝑛 = 5 letras y se deben formar palabras
con solo 𝑟 = 3 de ellas, entonces se pueden formar en total
5!
5×4×3×2!
𝑃 5,3 =
=
= 60 palabras.
5−3 !
2!
3. Si en la fila de 5 personas hay 3 mujeres y dos hombres y las mujeres
quieren estar juntas ¿De cuantas maneras posible podemos organizar a las 5
personas?
R/ Se pueden organizar de 3! × 2! × 3! = 72 maneras diferentes.
Permutación con objetos repetidos
El número de permutaciones distintas de n objetos, en el que 𝑛1 son de
una clase, 𝑛2 de una segunda clase,…, 𝑛𝑘 de una k-ésima clase es
𝑛!
.
𝑛1 !×𝑛2 !×⋯×𝑛𝑘 !
Ejemplo de permutaciones con objetos
repetidos
¿De cuántas maneras diferentes podemos organizar en un estante 3
libros de matemáticas 4 de filosofía y 3 de biología de tal manera que
los de las misma área queden juntos?
R/ Tenemos 𝑛 = 10 libros de los cuales 𝑛1 = 3 son de matemáticas,
𝑛2 = 4 de filosofía y 𝑛3 = 3 son de biología. Luego podemos
organizarlos de
𝑛!
𝑛1 !×𝑛2 !×𝑛3 !
=
10!
3!×4!×3!
= 4200 formas diferentes los 10 libros en el
estante.
Combinación
El número de combinaciones de n objetos distintos tomados de r a la
vez es
𝐶
𝑛,𝑟
=
𝑛!
.
𝑟! 𝑛−𝑟 !
En la combinación el número de formas en que se seleccionan r objetos
de n no importa el orden.
Ejemplo de combinación
1. En una urna hay 10 balotas y se eligen 3 al azar, ¿cuántas elecciones posibles se
pueden realizar?
R/ En la urna hay 𝑛 = 10 balotas y se eligen 𝑟 = 3, entonces se podrán realizar
𝐶(10,3) =
10!
3! 10−3 !
=
10!
3! 7!
= 120 elecciones posibles.
2. Se desea formar un comité con 5 personas de un grupo de 10, de las cuales hay 5
mujeres, ¿de cuántas maneras diferentes se puede elegir 3 mujeres para el comité?
R/ 𝐶(5,3) × 𝐶(5,2) =
5!
3!×2!
×
5!
2!×3!
= 10 × 10 = 100 maneras diferentes.
3. De ejemplo anterior si una de las 5 mujeres del grupo no quiere participar en la
elección, ¿de cuantas maneras podemos elegir el comité con 2 hombres?
R/ 𝐶(4,3) × 𝐶(5,2) =
4!
3!×1!
×
5!
2!×3!
= 4 × 10 = 40 maneras diferentes.
Combinación por partes
El numero de formar de dividir un conjunto de n objetos en r partes
con 𝑛1 elementos en la primera parte, 𝑛2 elementos en la segunda
parte, y así sucesivamente, es
𝑛
𝑛!
𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 = 𝑛1 !×𝑛2 !×⋯×𝑛𝑘 !.
Ejemplo de combinación por partes
Un profesor debe elegir de 10 ejercicios para la realización de un taller
en el aula de clase y decide dividir el salón en tres grupos, un grupo
grande para el cual debe elegir 5 ejercicios, un grupo mediano para el
cual debe elegir 3 ejercicios de los restantes y un grupo pequeño el cual
le corresponden los 2 restantes ¿De cuantas maneras diferentes puede
elegir los 10 ejercicios para asignarlos a los grupos?
R/El profesor puede repartir los ejercicios a los tres grupos de
10
5,3,2
=
10!
5!3!2!
= 2520 formas diferentes.
Modelo clásico de probabilidad
Si un experimento puede dar como resultado cualquiera de n
diferentes resultados que tienen la misma probabilidad de ocurrir, y si
exactamente r de estos resultados corresponden al evento A, entonces
la probabilidad del evento A es
𝑃 𝐴 =
𝑟
.
𝑛
Ejemplos de probabilidad clásica
1. Si se lanza un par de dados perfectos, cuyo espacio es Ω =
1,1 , 1,2 , … , (6,6) con 36 posibles resultados. ¿cuál es la probabilidad de
obtener un 7?
R/ Sea el evento 𝐴 = 6 1,61 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2 , (6,1) con 6 posibles
resultados, luego 𝑃 𝐴 = = = 0.167.
36
6
2. Una caja contiene 10 bombillos de los cuales 3 están defectuosos, ¿Cuál es la
probabilidad de elegir uno y que esté defectuoso?
3
R/ Sea B el evento de elegir un bombillo defectuoso. Entonces 𝑃 𝐵 = = 0.3.
10
3. Del ejemplo anterior, si ahora selecciono tres bombillos. ¿Cuál es la probabilidad
de elegir 2 sin defecto?
R/ Sea C el evento de elegir dos bombillos defectuosos.
𝐶(7,2) ×𝐶(3,1)
21×3
63
Luego 𝑃 𝐶 =
=
=
= 0.525.
𝐶(10,3)
120
120
Axiomas de la probabilidad
Sean Ω un espacio muestral de un experimento aleatorio y 𝒜 la colección de
todos los eventos asociados a Ω. La probabilidad 𝑃 𝐴 de un evento A
contenido en 𝒜 se define como un número real que satisface los siguientes
axiomas:
1. 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1, ∀𝐴 ∈ 𝒜,
2. 𝑃 Ω = 1 y 𝑃 Φ = 0,
3. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes contenidos en 𝒜,
entonces 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 ,
4. Si 𝐴1 , 𝐴2 , … , es una sucesión de eventos mutuamente excluyentes
contenidos en 𝒜, entonces
∞
𝑃 ∞
𝐴
=
𝑖=1 𝑖
𝑖=1 𝑃 𝐴𝑖
Reglas aditivas
En algunas ocasiones cuando se requiere por ejemplo calcular la
probabilidad de la unión de eventos o la probabilidad de algún
complemento de evento, a partir de la probabilidades conocidas de
otros eventos, hacemos uso de las reglas aditivas, que se describirán a
continuación.
Regla de la adición para eventos arbitrarios
Sean A y B dos eventos arbitrarios del espacio muestral Ω, entonces
𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵 .
Prueba: Notemos que
𝐴∪𝐵 = 𝐴−𝐵 ∪ 𝐴∩𝐵 ∪ 𝐵−𝐴 , 𝐴 = 𝐴−𝐵 ∪ 𝐴∩𝐵 , 𝐵 =
𝐴∩𝐵 ∪ 𝐵−𝐴 .
De esta manera,
𝑃 𝐴∪𝐵 =
𝑃 𝐴−𝐵 +𝑃 𝐴∩𝐵 +𝑃 𝐵−𝐴
𝑃 𝐴∪𝐵 = 𝑃 𝐴 −𝑃 𝐴∩𝐵 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵 +𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐴∪𝐵 =
𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵
Ejemplos regla de la adición para eventos
arbitrarios
Dos personas lanzan un dado, ¿cuál es la probabilidad de que al meno
uno de los dos obtenga un 4?
R/ La cantidad de elementos del espacio muestral Ω es 6. Sean 𝐴𝑖 los
eventos en que el jugador 𝑖 = 1,2 obtiene un 4. Luego la probabilidad
de que al menos uno de ellos obtenga un 4 es
𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2
= 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 − 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2
1 1
1
=
+ −
6 6 6×6
11
=
= 0.306
36
Regla de la adición para eventos mutuamente
excluyentes
Sean A y B dos eventos arbitrarios del espacio muestral Ω, entonces
𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 .
Prueba: El resultado es inmediato aplicado la regla para eventos
arbitrarios y el hecho de que A y B son eventos mutuamente
excluyentes, es decir 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝜙 = 0.
Ejemplo regla de la adición para eventos
mutuamente excluyentes
Una urna contiene 10 balotas enumeradas del 0 al 9. Si se elige una
balota al azar ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4 o un 6?
R/ Sean los eventos A de obtener un 4 y B obtener un 6, como solo se
retira una balota, entonces 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0 y de obtener un 4 o un 6 es
𝑃 𝐴∪𝐵
=
𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵
=
1
10
+
1
10
= 0.2
Generalización de la regla de la adición para
eventos mutuamente excluyentes
Si 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 es una sucesión finita de eventos mutuamente
excluyentes del espacio muestral Ω, entonces
𝑛
𝑃
𝑖=1
𝑛
𝐴𝑖 =
𝑃 𝐴𝑖
𝑖=1
Prueba: Por Inducción y aplicando el axioma 4.
Generalización de la regla de la adición para
eventos arbitrarios
Si 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 es una sucesión finita de eventos arbitrarios del
espacio muestral Ω, entonces
𝑛
𝑃
𝑛𝑖=1
=
𝑖=1
𝐴𝑖
𝑛−1
𝑃 𝐴𝑖 −
− ⋯ + −1
𝑛−1
𝑗>𝑖=1
𝑛
𝑛−2
𝑃 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 +
𝑛
𝑃
𝑖=1
𝑖=1
𝑘>𝑗>𝑖=1
𝑃 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 ∩ 𝐴𝑘
𝐴𝑖
Prueba: Por inducción, la regla de la adición para eventos arbitrarios y
la propiedad asociativa de la unión de eventos.
Regla del complemento
Si A y A’ son eventos del espacio muestral Ω, entonces la probabilidad
del complemento de A’ es
𝑃 𝐴′ = 1 − 𝑃 𝐴
Prueba: Los eventos A y A’ son mutuamente excluyentes y 𝐴 ∪ 𝐴′ = Ω
por tanto
𝑃 𝐴 ∪ 𝐴′
=
𝑃 Ω
𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴′ =
1
𝑃 𝐴
= 1 − 𝑃 𝐴′
Probabilidad condicional
La probabilidad condicional de B, dado A, que se denota con 𝑃 𝐵|𝐴 ,
se define como
𝑃 𝐵|𝐴 =
𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐴
, siempre que 𝑃 𝐴 > 0.
Ejemplos probabilidad condicional
Una empresa consta de 200 empleados divididos de la siguiente manera
Jefes de zona
Supervisores
Otros
Mujeres
15
22
78
Hombres
10
20
55
1. ¿Cuál es la probabilidad de elegir un empleado jefe se zona, si este es mujer?
R/ Sea M el evento de ser mujer y J el evento de se jefe de zona. La probabilidad deseada es
𝑃 𝑀∩𝐽
15/200
15
𝑃 𝐽|𝑀 =
=
=
= 0.13
𝑃 𝑀
115/200 115
2. Si se selecciona un Supervisor, ¿cuál es la probabilidad de que sea Hombre?
R/ Sea H el evento de ser Hombre y S el evento de ser supervisor. La probabilidad deseada es
𝑃 𝐻|𝑆 =
𝑃 𝐻∩𝑆
𝑃 𝑆
22/200
22
= 42/200 = 42 = 0.524
Eventos independientes
Dos eventos A y B son independientes si y sólo si
𝑃 𝐵|𝐴 = 𝑃 𝐵 o 𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃 𝐴 ,
Si se asume la existencia de probabilidad condicional. De otra forma A y
B son dependientes.
Regla multiplicativa
Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵|𝐴 , siempre que 𝑃 𝐴 > 0.
Si los eventos A y B son independientes, entonces
𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 .
Ejemplos eventos independientes y
dependientes
1. Una caja con 20 cubos de igual tamaño y peso, pero 10 son rojos, 10
azules y 10 son verdes. Si se seleccionan al azar dos cubo de la caja uno
después del otro y sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos
sean verdes?
R/ Sean 𝑉𝑖 los eventos de seleccionar el cubo 𝑖 = 1,2 verde. Los eventos son
dependientes, luego la probabilidad es
10
9
𝑃 𝑉1 ∩ 𝑉2 = 𝑃 𝑉1 𝑃 𝑉2 |𝑉1 = × = 0.103
30
29
2. Del ejemplo anterior, si la selección se da con sustitución o reemplazo,
¿cuál es la probabilidad de que ambos sean verdes?
R/ Sean 𝑉𝑖 los eventos de seleccionar el cubo 𝑖 = 1,2 verde. Los eventos son
independientes, luego la probabilidad es
10
10
𝑃 𝑉1 ∩ 𝑉2 = 𝑃 𝑉1 𝑃 𝑉2 = × = 0.111
30
30
Generalización de la regla multiplicativa
Si en un experimento, pueden ocurrir los eventos 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 ,
entonces
𝑃
𝑛
𝑖=1 𝐴𝑖
= 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 |𝐴1 𝑃 𝐴3 |𝐴1 ∩ 𝐴2 … 𝑃 𝐴𝑛 |𝐴1 ∩ 𝐴2 … ∩ 𝐴𝑛−1
Si los eventos 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 son independientes, entonces
𝑃 𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴3 … 𝑃 𝐴𝑛
Probabilidad total
Si los eventos 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑘 Constituyen una partición del espacio
muestral Ω, tal que 𝑃 𝐵𝑖 ≠ 0 para 𝑖 = 1,2, … , 𝑘, entonces, para
cualquier evento A de Ω,
𝑃 𝐴 =
𝑘
𝑖=1 𝑃
𝐵1
𝐵𝑖 ∩ 𝐴 =
𝑘
𝑖=1 𝑃
𝐵𝑖 𝑃 𝐴|𝐵𝑖
Ω
𝐵2
A…
𝐵𝑘
Regla de Bayes
Si los eventos 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑘 Constituyen una partición del espacio
muestral Ω, tal que 𝑃 𝐵𝑖 ≠ 0 para 𝑖 = 1,2, … , 𝑘, entonces, para
cualquier evento A de Ω, tal que 𝑃 𝐴 ≠ 0,
𝑃 𝐵𝑗 |𝐴 =
𝑃 𝐵𝑗 ∩𝐴
𝑘
𝑖=1 𝑃
𝐵𝑖 ∩𝐴
=
𝑃 𝐵𝑗 𝑃 𝐴|𝐵𝑗
𝑘
𝑖=1 𝑃
𝐵𝑖 𝑃 𝐴|𝐵𝑖
, para 𝑗 = 1, … , 𝑘
Ejemplo de la probabilidad total y teorema de
Bayes
Tres Máquina producen 1000 en una hora, la M1 produce 350 piezas,
de las cuales el 5% son defectuosas. La M2 produce 250 piezas de las
cuales el 8% son defectuosas y la M3 produce 400 piezas, de las cuales
3% son defectuosas. Si se selecciona una pieza de las 1000 producidas,
1. ¿cuáles es la probabilidad de que resulte defectuosa?
2. Si la pieza seleccionada resulta defectuosa, ¿cual es la probabilidad
de que sea de la máquina 2?
Ejemplo probabilidad total
1. R/ Sean Los eventos 𝑀𝑖 piezas producidas por la máquina 𝑖 = 1,2,3 y
A el evento de que la pieza resulte defectuosa. Luego la probabilidad
deseada es
𝑃 𝐴
= 𝑃 𝑀1 𝑃 𝐴|𝑀1 + 𝑃 𝑀2 𝑃 𝐴|𝑀2 + 𝑃 𝑀3 𝑃 𝐴|𝑀3
350
250
400
=
(0.05) +
(0.08) +
(0.03)
1000
1000
1000
=
0.0495
Ejemplo teorema de Bayes
2. R/ Sean Los eventos 𝑀𝑖 piezas producidas por la máquina 𝑖 = 1,2,3 y
A el evento de que la pieza resulte defectuosa. Luego la probabilidad
deseada es
𝑃 𝑀2 |𝐴
=
=
=
𝑃 𝑀2 ∩ 𝐴
𝑃(𝐴)
250
(0.08)
1000
0.0495
0.404