Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) Ley de Newton: k m F=ma 2x d -kx = m 2 dt ω = k/m x k d2x 2x = 0 Ecuación Diferencial + ω dt2 F m Solución de la Ecuación Diferencial d2x 2x = 0 + ω dt2 x(t) = A sen (ωt + δ) A ... Amplitud del movimiento ω ... Frecuencia Angular [rd/s] δ ... Constante de Fase [rd] x A T A t T = 2π / ω [s] f = 1/T [Hz] ω = 2πf [rd/s] d2x 2x = 0 es: x(t) = A sen(ωt+δ) La solución de + ω dt2 Demostración x(t) = A sen(ωt+δ) dx = Aω cos(ωt+δ) v= dt d2x dt2 = -ω2 A sen(ωt+δ) = -ω2 x(t) de donde: d2x 2x = 0 + ω dt2 d2x 2x = 0 + ω Movimiento Armónico Simple: dt2 x t v= v t a x(t) = A sen(ωt+δ) v(t) = Aω cos(ωt+δ) a= T t dx dt dv d2x = 2 dt dt a(t) = -Aω2 sen(ωt+δ) Trigonometría: sen(α + β) = sen α . cos β + sen β . cos α x(t) = A sen(ωt+δ) = a sen(ωt) + b cos(ωt) a = A cosδ b = A senδ Α = a2 + b2 δ = arc tg (b/a) A x(t) = a sen(ωt) + b cos(ωt) δ v(t) = a ω cos(ωt) - b ω sen(ωt) a a(t) = -a ω2 sen(ωt) - b ω2 cos(ωt) b Condiciones Iniciales de un M.A.S. Ejemplo 1: dados x0= x(t=0) y v(t=0) = 0 x(t) = a sen(ωt) + b cos(ωt) ... en t = 0 resulta en: x0 = b v(t) = a ω cos(ωt) - b ω sen(ωt) ... en t = 0 resulta en: 0=aω a=0 luego: x(t) = x0 cos(ω t) = x0 sen(ω t + π/2) de donde se concluye que δ = π/2 note que: δ = arc tg (b/a) = arc tg (∞) = π/2 Condiciones Iniciales de un M.A.S. Ejemplo 2: dados x(t=0) = 0 y v(t=0) = v0 x(t) = a sen(ωt) + b cos(ωt) ... en t = 0 resulta en: 0=b v(t) = a ω cos(ωt) - b ω sen(ωt) ... en t = 0 resulta en: v0 = a ω a = v0 /ω luego: x(t) = (v0 /ω) sen(ω t) de donde se concluye que δ = 0 Análisis Energético Energía Potencial: U(t) = k x2(t) / 2 = 1 k A2 sen2(ωt+δ) 2 Energía Cinética: K(t) = m v2(t) / 1 2= m A2 ω2 cos2(ωt+δ) 2 ... y como ω = k/m 1 K(t) = k A2 cos2(ωt+δ) 2 1 E = U(t) + K(t) = 2 k A2 E K U -A A x Péndulo Simple τ=Iα -mg l sen θ = l 2θ dt2 tg θ ~ sen θ ~ θ < 6° θ 2θ d -mg l θ ~ m.l2. 2 dt g d2θ 0~ θ+ 2 dt l mg ω= g/l T = 2π / ω = 2π d 2 m.l . l/g d2θ 2θ ~ 0 + ω dt2 Representación Fasorial de un M.A.S. A x ω ωt δ t x(t)= A sen(ωt+δ) v a A δ t Suma de M.A.S. de igual Frecuencia + x1(t) = a1 sen(ωt) + b1 cos(ωt) x2(t) = a2 sen(ωt) + b2 cos(ωt) x(t) = x1(t) + x2(t) x(t) = (a1 + a2 )sen(ωt) + (b1 + b2)cos(ωt) ω A Suma de M.A.S. de frecuencias diferentes + ω1 x1(t) = A sen(ω1t) ω2 x2(t) = A sen(ω2t) x(t) = A [sen(ω1t) + sen(ω2t)] pero: senα + senβ = 2sen[(α+β)/2].cos[(α−β)/2] x(t) = 2A. sen(ωpt). cos(Δωt/2)] Δω = ω2 - ω1 x(t) = A(t) sen(ωpt) ωp = (ω2 + ω1)/2 con A(t) = 2A.cos(Δωt/2)] x(t) = A(t) sen(ωpt) ω2 ~ ω1 con A(t) = 2A.cos(Δωt/2)] x A(t) Tp=2π/ωp t T=2π/Δω Sistemas de Modulación Portadora: x(t) = A sen(ωpt + δ) Amplitud Modulada: xAM(t) = A(t) sen(ωpt + δ) Frecuencia Modulada: xFM(t) = A sen(2π f(t).t + δ) Modulación de Fase: xPM(t) = A sen(ωpt + δ(t)) L C ω = 1/LC Oscilación Amortiguada F=ma d2x -kx – αv = m 2 dt dx d2x -kx – α =m 2 dt dt 2c = α / m d2x dx 2x=0 + 2c + ω dt2 dt k m x k m v Fv = – α v Solución de: d2x dx 2x=0 + 2c + ω dt2 dt cuando c < ω x(t) = A(t) sen(ωpt + δ) con ωp= ω2 – c2 A(t) = A e-ct x(t) A(t) Oscilación Forzada F=ma d2x -kx + F0 sen(w0t) = m 2 dt k m x f 0 = F0 / m ω = k/m d2x dt2 + ω2 x = f0 sen(w0t) k m F = F0 sen(w0t) Solución forzada de: d2x 2 x = f sen(w t) + ω (1) 0 0 2 dt x(t) = A sen (w0t) d2x dt2 en (1) = -w02 A sen(w0t) -w02 A sen(w0t) + ω2 A sen(w0t) = f0 sen(w0t) (ω2 - w02) A = f0 A= Resonancia A f0 ω2 - w02 w0 ω