PIA Matematicas Finacieras 1

I+
1
Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Agronomía
Producto Integrador de Aprendizaje
Carrera: Ing. Agronegocios
Matemáticas Financieras
Profesor: Humberto Martínez Martínez
Alumnos: Zafiro Esquivel Estrada 1684673
Escobedo Nuevo León, a 04 de Junio del 2020.
Matemáticas Financieras
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2
Índice
Introducción..................................................................................................... 3
Concepto de Interés Simple............................................................................. 5
Ecuaciones de Valor .........................................................................................9
Descuento Simple ............................................................................................11
Descuento Bancario........................................................................................ 12
Descuento Racional ......................................................................................... 13
Interés Compuesto ........................................................................................... 15
Valor Presente ................................................................................................. 17
Ecuaciones de Valor ........................................................................................ 18
Tasa de Interés Efectiva, Nominal y Equivalente ............................................ 23
Rentas o Anualidades Ordinarias ..................................................................... 34
Bibliografías…………………………………………………………………... 42
Matemáticas Financieras
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3
Introducción
En la economía moderna, el dinero constituye el medio a través del cual se materializan las transacciones
comerciales y de crédito. Como bienes del tipo transable, el dinero y el crédito tienen asociados curvas de
oferta y demanda, y por ende, un precio, que comúnmente se denomina TASA DE INTERES.
El mercado conformado por estos bienes, conforman uno de los pilares sobre los cuales se sustenta la
ECONOMÍA DE LIBRE MERCADO.
Con relación a ese mercado llamado financiero o de capitales, se han creado y desarrollado instrumentos
matemáticos que permiten el cálculo de costos, evaluación de inversiones y financiamiento, determinación
de beneficios reales y nominales, etc.
El conjunto de estos instrumentos y conceptos conforman la disciplina conocida como "Matemáticas
Financiera" o "Calculo Financiero" que no es otra cosa que una instancia de economía y matemáticas
"aplicadas".
Finalmente, una reflexión, en orden a señalar la importancia que profesionales de diversas áreas de la
empresa desarrollen habilidades en esta materia ya que en definitiva todo aquello relativo a una
organización y sus negocios se traduce en flujos cuya razonabilidad y conveniencia debe ser medido a
través del cálculo financiero.

Mercado financiero y de capitales
Subsidios
Subsidios
Impuestos
Impuestos
GOBIERNO
(Gobierno y BC)
Obtención
MERCADO
DE
CAPITALES
Personas
Prestar
DECISIONES DE:
Consumo
Ahorro
Inversión
Matemáticas Financieras
Aplicación
Firmas
Financiar
DECISIONES DE:
Inversión
Financiamiento
Estructura de Capital
Política de Dividendo
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4
Interés.
Interés: Es la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en préstamo o la cantidad producida por
una inversión financiera (costo o gasto en el primer caso e ingreso en el segundo).
I=M-C
Ejemplo 1) Usted deposita $ 150 y al cabo de cierto tiempo recibe $ 157,5. El interés ganado es
de $ 7,5.
Sea "C" una cantidad de dinero en una fecha dada y cuyo valor aumenta a "M" en una fecha
posterior. Se define Interés "I" como:
En nuestro ejemplo 1, I = 157,5 - 150 = 7,5
Tasa de Interés (i): Es la "razón" o cociente del interés devengado al capital, en la unidad de tiempo (en
tanto por uno).
i = I/C
Ejemplo 2) Calcule la tasa de interés en tanto por uno del Ej. 1).
En el ejemplo 1) i = I/M = 7,5/150 = 0,05
i se puede expresar en tanto por uno o en porcentaje. En este último caso la expresión en tanto por
uno se multiplica por 100% con lo cual se llega a la expresión habitual de tasa.
i% = i x 100% = 0,05 x 100% = 5%
Convención: La tasa de interés i se entenderá siempre anual a menos que expresamente se
establezca en una unidad de tiempo diferente.
Matemáticas Financieras
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5
Interés Simple
Interés Simple: Ocurre cuando sólo el capital inicial genera intereses por todo el tiempo que dura la
transacción. Al interés vencido al final del plazo se le llama INTERÉS SIMPLE.
Ejemplo 3) Suponga que el depósito del Ej. 1) se mantuvo durante 3 años. Determine
el interés simple ganado.
A
ñ
o
1
2
3
Expre
sión
Cxix
1
Cxix
1
Cxix
1
Capital
Tasa
"n"
"I"
=
150
0.05
1
=
7,5
=
150
0.05
1
=
7,5
=
150
0.05
1
=
7,5
INTERES SIMPLE
22,5
Generalizando el ejemplo 3) se tiene:
I = Ci + Ci + Ci + ...............................= nCi
I=Cxixn
Ejemplo 4) Calcule el interés simple del ejemplo 3 aplicando fórmula (2).
R: I = 150 x 0,05 x 3 = 22,5
Ejemplo 5) Se depositan $ 150 al 5% por 3 meses. Determine el interés ganado.
R:
a)
I = 150 x (0,05/12) x 3 = 1,875 b)
= 150 x 0,05 x (3/12) = 1,875
I
Observación: En la respuesta a) la tasa i se "mensualizó" para poder ser asociada a los "meses"
implícitos en la operación. En la respuesta b) el período se "anualizó" para poder ser asociado a
la tasa anual implícita en la operación.
Generalización: "i" y "n" deben estar siempre expresados en la misma unidad de tiempo.
Monto: O Valor Futuro es el capital inicial más los intereses simples ganados durante cierto tiempo.
De fórmula (1):
Matemáticas Financieras
M=C+I
I+
6
Reemplazando I : M = C + Cin
Factorizando:
M = C (1 + in)
Esta es la fórmula básica del interés simple.
Como se puede apreciar la expresión anterior representa una ecuación lineal fruto de una
progresión aritmética cuya diferencia constante es Ci, es decir, el interés del período.
M
M=
C+
C+
C
0
1
2
3
4 ...................... n
Ejemplo 6) Ud. deposita $ 150 al 5% durante 3 años. Determine la suma a retirar.
R:
M = 150 (1 + (0,05x3)) = 172,5
= C + I = 150 + 22,5 = 172,5
o alternativamente M
De la fórmula I = C x i x n, se pueden deducir las siguientes:
i = I / (Cn)
En el ejemplo 6) i = 22,5 /(150x3) = 0,05
n = I / (Ci)
En el ejemplo 6) n = 22,5 /(150x0,05) = 3 años
En el ejemplo
6)IC/=(in)
22,5 /(0,05x3) = 150
C=
En forma análoga de la fórmula M = C (1 + in) se deducen las que se indican:
Matemáticas Financieras
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7
i = ((M/C) - 1)/n
n = ((M/C) - 1)/i
C = M/(1+in)
Valor actual. O Valor Presente es el valor de una cantidad de dinero en una fecha anterior, este es, el
valor futuro o monto menos los intereses (que aquel incluye desde la fecha de cálculo del valor
actual hasta la fecha del monto).
Ejemplo 7) Determinar el valor presente al 5% de interés simple de $ 172,5 que se recibirán al
cabo de 3 años.
C = M/(1+in)
C = 172,5/(1+(0,05x3))
C = 150
Supuestos fundamentales de las matemáticas financieras.
En el ejemplo 7), los $ 150 al día de hoy son equivalentes a los $ 172,5 al cabo de 3 años al 5%.
Es decir, da lo mismo recibir $ 150 hoy que $ 172,5 en 3 años más. Obviamente que esto es válido
en condiciones de certeza absoluta y omitiendo el fenómeno inflacionario. Con este ejemplo
podemos enunciar el supuesto básico de las Matemáticas Financieras, cual es "EL DINERO ES
SIEMPRE PRODUCTIVO, ES DECIR, SIEMPRE GENERA INTERESES".
Este supuesto queda más claro si planteamos el siguiente problema. ¿Que prefiere usted.: $ 100
hoy o $ 100 en un mes más, suponiendo certeza absoluta?
R: Naturalmente que es mejor recibir los $ 100 hoy porque al cabo de un mes se
transformará en una suma mayor, lo que dependerá de la tasa de interés.
De la idea anterior se desprende otra, que algunos identifican como un segundo supuesto. Este se
puede enunciar de la siguiente forma:
"EL DINERO TIENE DISTINTO VALOR EN EL TIEMPO, INDEPENDIENTE DE SI EXISTE
O NO INFLACIÓN".
En el problema enunciado, los $ 100 de hoy VALEN MAS que $ 100 en un mes más.
En general dos o más valores en distinto momento del tiempo no son directamente comparables.
Para que lo sean, deben estar expresados en el mismo momento en el eje de tiempo.
Matemáticas Financieras
I+
8
Ejemplo 8) ¿Que prefiere Ud.: $ 183 hoy día o $ 194 en dos meses más, si la tasa de interés simple
es 3% mensual?
R: La comparación puede efectuarse con ambos valores expresados a hoy día (implica
"actualizar" los 194), o con ambos expresados a 2 meses más (implica capitalizar los 183).
a)
Actualizando
0
183
3%
1
3%
2 meses
194
C = 194 / (1 + (0,03x2)) C =
183,02
Es mejor recibir $ 194 en dos meses más, porque equivalen a $ 183,02 a hoy día.
b)
Capitalización
0
183
1
3%
2 meses
3%
194
M = 183(1 + (0,03x2)) M =
193,98
La conclusión es la misma cualquiera sea el camino escogido.
Es evidente que la comparación podría efectuarse en cualquier otro punto (f.f. o fecha focal) del
eje del tiempo. Lo importante es llevar "ambos" valores a ese punto, ya sea actualizando o
capitalizando, según corresponda.De lo explicado en esta sección, se desprende que valores en
distinto momento del tiempo no son susceptibles de ser sumados ni restados.
Ejemplo 9) ¿A cuanto equivalen hoy día 3 pagos mensuales sucesivos de $ 200 a contar del
próximo mes?. La tasa de interés mensual es de 10%.
R:
0
200/(1+(0,1x1))
200/(1+(0,1x2))
200/(1+(0,1x3))
 502,33
Matemáticas Financieras
1
200
2
200
3 meses
200
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9
Ecuaciones de Valor.
Un conjunto de pagos puede cambiarse por otro equivalente. A esta situación podemos
denominarla renegociación, repactación o reprogramación.
Para producir la equivalencia, deudor y acreedor deben estar de acuerdo en una tasa de interés y
en una fecha focal para efectuar los cálculos.
Fecha focal (f.f.) es el punto del eje de tiempo al cual se llevarán todos los valores para producir
la equivalencia de ambos conjuntos.
Ejemplo 10) Ud. debió pagar $ 200 hace 4 meses y $ 300 hace un mes. Hoy decide renegociar la
deuda y acuerda efectuar un pago de inmediato ascendente a $ 100 y el resto en 3 meses más.
Determine el valor de éste último si la tasa de interés acordada para la operación es de 5% y la f.f.
es hoy.
R: La situación se puede representar en el eje de tiempo que sigue:
Hoy
0
200
1
2
3
4
5
6
7 meses
300
100
X
Los pagos no efectuados deben llevarse (capitalizarse) a hoy y sumarse. La expresión
aritmética que representa la deuda impaga al día de hoy es la siguiente;
200 (1+(0,05x4)) + 300 (1+(0,05x1))
Los pagos propuestos deben también llevarse a la fecha de hoy y sumarse. La expresión
aritmética es;
100 + X/ (1+(0,05x3))
Como ambos conjuntos de pagos deben ser equivalentes, se plantea la igualdad o ecuación
de valor que sigue;
200 (1+(0,05x4)) + 300 (1+(0,05x1)) = 100 + X/ (1+(0,05x3))
240 + 315 = 100 + X/1,15
455 = X/1,15
X
Matemáticas Financieras
= 523,25
I+
10
Un lego en estas materias habría determinado la deuda impaga en 200+300=500 y el pago a
efectuar en tres meses más en 400, es decir 500-100. Este es, no habría considerado los supuestos
fundamentales del cálculo financiero.
Ejemplo 11) Un cliente le adeuda por una renegociación $ 900.000 que solicitó a un año y medio
a la tasa del 5% y que vence en 6 meses más. Además adeuda una factura por $ 350.000 pagadera
en 60 días más.
El cliente le propone pagar $ 1.000.000.- de inmediato y liquidar el resto mediante un pago único
al término de 12 meses.
Suponiendo un interés del 4% determine el monto del pago único a la fecha de vencimiento de
éste (f.f.), es decir con fecha focal en 12 meses más.
R:
C = 900.000.n = 1,5 años i
= 0,05
M´= 900.000 (1 + (0,05x1,5))
M´= 967.500
f.f.
Hoy
350.000
0
1
1Mill.
967.500
2
967.500
(1+
(1+(0,04x1)) + X
3
4
5
6
(0,04x0,5))
+
350.000
1.348.517
X
=
=
7
8
(1+
9
10
(0,04x0,8333))
11
12
X
=1.000.000
1.040.000 + X
308.517
Con relación a este ejemplo es conveniente efectuar algunas observaciones:
a)
La tasa de interés considerada en un préstamo específico como el del ejemplo (5%), no
tiene nada que ver con la tasa de interés pactada para la reprogramación (4%). La primera
es relevante sólo para determinar el valor a pagar a la fecha de vencimiento del crédito y
la segunda es la tasa que se utiliza para llevar los valores de distintas fechas a la f.f.. Lo
señalado se da en virtud de la dinámica que presentan las tasas en tiempo.
b)
Si se cambia la f.f., por ejemplo a "hoy" es de esperar un ligero cambio en el resultado.
En nuestro caso el valor del pago único dentro de 12 meses se ajusta a
X = 308.059.
Matemáticas Financieras
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11
El efecto diferencial anterior se debe a que la mecánica de cálculo de intereses simples
sólo se hace sobre el capital inicial. Como se puede apreciar, la situación descrita en el
caso tienen implícito la existencia de "más de un capital inicial" por lo que su efecto en
el devengamiento de intereses sufra una alteración de tipo marginal.
Consideraciones relativas al interés simple.
A estas alturas vale la pena reflexionar acerca de porque hemos revisado la mecánica del interés
simple, si en realidad lo que generalmente se aplica para todas las operaciones de crédito es el
interés compuesto.
Sobre el particular es pertinente considerar lo siguiente:
a)
Existen operaciones de inversión como los pactos, depósitos a plazo, PDBC y algunos
IRF (Bonos-2) en que la valoración del instrumento y/o el devengamiento de intereses se
hace sobre la base de interés simple.
b)
Toda vez que haya una sentencia mediante la cual una de las partes debe responder por
una deuda (liquidación), los intereses calculados entre la fecha del dictamen y el pago
efectivo se hace sobre la base de interés simple.
c)
Toda vez que una empresa envía al Banco, documentos para su "descuento" (Pagares,
Letras) en estos casos se aplica una modalidad denominada "descuento simple".
Descuento Simple.
Definiciones
PAGARE: Es una promesa de pago de una determinada suma de dinero en el futuro (fecha
conocida). Son instrumentos u obligaciones financieras de corto plazo.
DESCONTAR: un pagaré, es la acción de recibir o pagar cierta cantidad de dinero a cambio de
una suma mayor comprometida para fecha futura, bajo las condiciones convenidas en el pagaré.
Un pagaré puede ser descontado una o más veces antes de la fecha de vencimiento. Cuando la
operación se efectúa entre bancos se denomina REDESCUENTO.
VALOR NOMINAL DE UN PAGARE: es el que está inscrito en la obligación. Para el comercio
es el capital. Para los efectos de este apunte consideraremos que le valor inscrito, es la suma a
pagar en una fecha futura determinada, incluido los intereses (por ejemplo una letra).
DESCUENTO: es la diferencia entre el valor nominal y el valor que se recibe al momento de
descontar el pagaré.
Matemáticas Financieras
I+
12
VALOR EFECTIVO, PRESENTE O LIQUIDO de un pagaré, es el valor nominal menos
el descuento.
Descuento bancario, descuento a una tasa de descuento o descuento comercial.
Se caracteriza porque se aplica una tasa de descuento sobre el valor nominal (o futuro del
pagaré). Es el que se usa en la práctica.
Aritméticamente, el descuento bancario se expresa de la siguiente forma:
Db = M x d x n
donde:
Db = Descuento bancario.
M = Valor nominal o futuro del pagaré.
n = Tiempo que falta para el vencimiento del pagaré. d =
Tasa de descuento aplicada a "M".
Ejemplo 12) Una letra por $ 100.000 se descuenta dos meses antes del vencimiento a una
tasa de descuento de 5% mensual. Determine el descuento.
10.000 =
Db
R: Db = M x d x n = 100.000 x 0,05 x 2 =
El valor líquido, presente o efectivo del pagaré con descuento bancario (Cb) será:
Cb = M - Db
R: Cb = M - Db = 100.000 - 10.000 =
90.000 = Cb
Si en esta expresión reemplazamos la consignada para los efectos de determinar el monto del
descuento, se tiene;
Cb = M - (M x d x n)
Cb = M (1 - dn)
R: Cb = M (1 - dn) = 100.000 ( 1 - (0,05 x 2)) =
90.000 = Cb
Ejemplo 13) Un pagaré por $ 5.500.000 se descuenta 45 días antes del vencimiento. Determine
(a) el monto del descuento y (b) el valor efectivo o líquido si la tasa de descuento es 9%.
R:
M = 5.500.000
n = 45 días
d = 9% anual
Matemáticas Financieras
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13
(a) Db = 5.500.000 x 0,09 x (45/360) = 61.875 (b) Cb =
5.500.000 - 61.875 = 5.438.125
Opción directa Cb = 5.500.000 (1 - (0,09x(45/360))) = 5.438.125
Descuento racional o matemático o descuento a una tasa de interés.
Si existe una promesa de pago futuro (pagaré), es porque ha habido un préstamo (capital) en una
fecha anterior por el cual se ha cobrado una cierta tasa de interés "i". La aplicación de esta tasa al
capital inicial, por el período estipulado en el pagaré, da el valor a pagar en el futuro que hemos
denominado valor nominal.
Aritméticamente:
Dr = M - Cr
Dr = Descuento Racional.
M = Valor nominal o futuro del pagaré. Cr =
Valor líquido con descuento racional.
Suponiendo una tasa de interés "i", entonces, el valor actual o líquido con descuento racional es:
Cr = M / (1 + in)
Este tipo de descuento se emplea en la valorización de ciertos instrumentos de inversión de corto
plazo (Money Market) cuyo carácter se asemeja al cupón cero, es decir instrumentos con un sólo
vencimiento, como los DPF, los Pactos y otros de similar característica.
Ejemplo 14) Un DPF por UF 398,60 se descuenta a una tasa de interés de 0,3% mensual 2,5 meses
antes de su vencimiento. Determine el Valor Actual y b) el monto del Descuento.
R: M = UF 398,60
i = 0,3% (0,003)
n = 2,5 meses
a) Cr = 398,60 / (1 + (0,003x2,5)) =
b)
Dr = 398,60- 395,63275 =
395,63275 = Cr
2,96725 = Dr
Ejemplo 15) Cuatro meses antes de su vencimiento, se envía a descuento una letra por UF 850 al
3,53%. El banco cobra UF 0,8 por gastos y 0,16% por impuesto. Determine el valor efectivo
recibido.
Matemáticas Financieras
I+
14
R:
M = UF 850 n
= 120/360
d = 3,53% (0,0353) Cb =
M (1 - dn)
Cb´ = 850 (1 - (0,0353 x (120/360)))
Cb´ = 839,99833
Cb = Cb´- (UF 0,8) - (850 x 0,0016) = 839,99833 - 0,8 - 1,36
Cb = 837,83833
Ejemplo 16) Un corredor de bolsa toma un depósito a plazo por $ 250.000.000 con vencimiento
en 30 días, a una tasa de interés de 0,24% mensual. Habiendo transcurrido 5 días de hecha la
inversión el intermediario le ofrece el instrumento en $ 250.110.000.-. En la fecha de la propuesta
usted tiene la posibilidad de tomar un depósito a una tasa de 0,3% mensual por el mismo plazo.
¿Usted tomaría la primera o la segunda propuesta?
R: Monto de la Inversión Inicial = $ 250.000.000.- Tasa Mensual
de colocación = 0,24% mensual.- Plazo = 30 días.M = C (1 + in) = 250.000.000 (1 + 0,0024 x 1) =
0
250.600.000 = M
5
30
M = 250.600.000
C = 250.600.000 / (1+((0,003/30)x25))
C = 249.975.062
En este caso usted debería ofrecer como máximo $ 249.975.062.Ejemplo 17) (PACTO) El 3 de Octubre una empresa poseía excedentes por $ 162.183.523.- los
que desea invertir durante 7 días para luego ocuparlo en cumplir sus compromisos con
proveedores.
Contactó a la mesa de dinero de un banco comercial para efectuar una operación de pacto de
compra con compromiso de retro-venta con instrumentos libres de riesgo.
Se acordó con el banco un interés de 1,63% (Base 30 días) para un plazo de 7 días.
El banco tenía 20 PRBC de UF 500 c/u y estaban valorados al 6% restando 84 días para su
vencimiento.
Se pide calcular la rentabilidad de esta inversión.
R:
a)
Expresar monto disponible en UF´s.
Inversión en UF´s =
$ 162.183.523 / $ 16.433,15
Inversión en UF´s =
UF 9.869,29
Matemáticas Financieras
I+
15
b)
Valorizar el corte de cada PRBC.
Valor Nominal de cada PRBC
UF 500
Valor del Corte
=
UF 500 /
1 +(0,06 * 84/360)
Valor del Corte
=
493,0966
c)
Determinar el Nº de cortes para satisfacer la Inversión. Nº de
Cortes
=
UF 9.869,29 / 493,0966
Nº de Cortes
=
20,015
"Se rebaja a 20 app."
Cálculo de la Inversión efectiva en pesos de la empresa en el Pacto. Nº de Cortes
* Valor del Corte * UF al 20 de Septiembre de 2002 20 x 493,0966 x $ 16.433,15
= $ 162.062.608.Monto de la Inversión
= $ 162.062.608.-
d)
e)
Cálculo del Monto a percibir en de los próximos 7 días. Valor a
Percibir = 162.062.608 x (1 + (0,0163 * 7/30)) Valor a Percibir =
162.678.986.-
f)
Utilidad Nominal= 616.378.-
Interés Compuesto.
Definición.
En la capitalización a interés compuesto los intereses de los intervalos de tiempo son distintos
pues se obtienen siempre en función de los intereses del período anterior (intereses sobre
intereses). Lo intereses del primer período se suman al capital para determinar los intereses del
segundo período y así sucesivamente.
Ejemplo 18) Una deuda de UF 500 a 5 años plazo es convenida al 10% con "capitalización" anual
de intereses. Determine el monto a pagar.
R:
Período
o
1
2
3
4
5
Capital al
Inicio
500,00
550,00
605,00
665,50
732,05
Interés del
Período
50,00
55,00
60,50
66,55
73,21
Capital más
Interés
550,00
605,00
665,50
732,05
805,26
Monto o Valor Futuro a Interés Compuesto.
La fórmula básica del interés compuesto se obtendrá en forma deductiva generalizando el
ejemplo anterio
Matemáticas Financieras
I+
16
Perío do
Interés del
Período
Ci
C(1+i) i
C(1+i)2 i
...
...
...
C(1+i)n-1 i
Capital Inicial
1
2
3
...
...
...
n
C
C(1+i)
C(1+i)2
...
...
...
C(1+i)n-1
Capital + Intereses
C + Ci = C(1+i)
C(1+i)+C(1+i) i=C(1+i)2
C(1+i)2+C(1+i)2 i=C(1+i)3
...
...
...
C(1+i)n-1 + C(1+i)n-1 i =
C(1+i)n
Luego el monto o capital final al término del período "n" será:
M = C (1 + i)n
Esta fórmula básica del interés compuesto y con ella se encuentra el valor futuro o monto de un
capital "C" colocado a la tasa de interés "i" por período durante "n" períodos.
Aplicando esta fórmula al ejemplo 18, se tiene:
M = 500 (1 + 0,1)5 =
805,26
Como se observa, la sucesión de "M" a través del tiempo conforma una progresión geométrica
(P.G.) cuyo primer término es el capital inicial "C", la razón constante (1+i) y el término general
"M".
La expresión M = C (1+i)n es una función exponencial creciente cuya base es mayor que 1. Es
una función discreta porque la variable independiente "n", toma sólo valores enteros. La
representación gráfica es la siguiente:
M
M = C (1 + i)n
C
0
Matemáticas Financieras
1
2
3
4
5
..............
Tiempo
I+
17
Interés, tiempo y tasa.
De las fórmulas anteriores se derivan las siguientes
I = M - C = C(1 + i)n - C = C ((1+i)n
I = C ((1+i)n - 1)
- 1)
M = C(1 + i)n
M/C = (1 + i)n , aplicando
logaritmo log. M/C = log. (1 +
i)n
log. M - log. C = n log. (1 + i)
n = log. M - log.
C log. (1 + i)
M = C(1 + i)n
M/C = (1 + i)n
(M/C)1/n = (1+
i)
i = (M/C)1/n - 1
Ejemplo 19) Se depositan $ 4.000.000 a una tasa de interés del 0,3% mensual durante 10 meses.
Determinar; a) El monto o valor futuro, b) el tiempo en que se obtiene un monto de $ 4.298.158,
c) la tasa que genera $ 4.298.158 en 20 meses.
R: a) M = 4.000.000 (1 + 0,003)10 = 4.121.633
ms.
b)
n = log 4.298.158 - log. 4.000.000 = 6,63328 - 6,60206 = 24
log. 1,003
c)
0,0013
i = (4.298.158/4.000.000)1/20 - 1 = 0,0036 = 0,36 %
Valor Actual o Presente.
Es el valor de una cantidad de dinero en una fecha anterior, este es, el valor futuro o monto menos
los intereses compuestos (que incluye desde la fecha de cálculo del valor actual hasta la fecha del
monto).
La fórmula del valor actual se deriva despejando "C", de la fórmula básica del interés compuesto.
C=
M
(1 + i)n
Ejemplo 20) Por un crédito contraído tiempo atrás al 1,5% mensual, se debe pagar
$ 1.601.051.- en 5 meses más. Si se quiere liquidar la deuda hoy día ¿Cuanto se debería cancelar?.
R:
M = 1.601.051.n = 5 meses
i = 1,5% mensual (0,015)
Matemáticas Financieras
I+
18
Comentario del ejemplo:
a) Los $ 1.486.192 son "equivalentes" a $ 1.601.051.- en 5 meses más a la tasa del 1,5% mensual.
Es decir al acreedor le daría lo mismo recibir los $ 1.486.192 hoy, si su tasa de interés relevante
es de 1,5% mensual, pues podría colocarlos a esa tasa durante 5 meses y obtendría al final de
éstos, los $1.601.051.b) De lo descrito en a), es evidente que el interés incluido en el préstamo para los últimos 5 meses
de vigencia es de $ 114.859.Ejemplo 21) Si usted tiene la posibilidad de invertir al 0,3% mensual compuesto durante un año.
¿Cual de las dos siguientes alternativas prefiere: a) recibir
$1.000.000.- de inmediato o b) recibir $ 1.037.000.- en un año más, suponiendo certeza absoluta.
R: Los $ 1.000.000 recibidos hoy e invertidos al 0,3% mensual durante un año se
transforman en un monto de $ 1.036.600 (M=M$1.000(1+0,003)12). Por lo tanto es preferible
esperar un año y recibir $ 1.037.000.Ecuaciones de Valor.
Este tema fue abordado para el interés simple. La única diferencia que tiene lo señalado en aquella
oportunidad en relación al interés compuesto, es que en este caso al cambiar la fecha focal el
resultado no sufre ninguna variación.
Ejemplo 22) Un cliente mantiene las siguientes deudas impagas:



$ 50.000 hace tres meses
$ 70.000 hace 2 meses
$ 60.000 hace 1 mes
Los mencionados montos se repactan con dos pagarés de monto similar (firmados ante notario),
el primero en dos meses mas y el segundo en 4 meses más. La tasa de interés es del 3,00%
mensual. Determine el monto de dichas cuotas tomando como fecha focal a) hoy y b) en 4 meses
más a contar de hoy.
R: a) Fecha Focal HOY.
M$50
M$70
M$60 Hoy
0
1
2
3
4
5
X
6
7
X
El total de las deudas originales llevadas (capitalizadas) a la f.f. son: M$50(1+0,03)3
Matemáticas Financieras
I+
19
La suma de los pagos a realizar, llevados (actualizados) a la f.f. son: (X/(1+0,03)2) +
(X/(1+0,03)4)
Como ambos conjuntos de pagos deben ser equivalentes producimos la igualdad o ecuación
siguiente:
M$50(1,03)3 + M$70(1,03)2 + M$ 60(1,03)1 = X(1+0,03)-2 + X(1+0,03)-4 M$ 190,70 =
X0,94260 + X0,88849
M$ 190,70 = 1,83109X
X = 104.145,62
R: b) Fecha Focal 4 meses más a contar de HOY.
M$50
M$70
M$60
0
1
2
3
Hoy
4
5
X
6
7
X
La ecuación de valor es la siguiente:
M$50(1,03)7 + M$70(1,03)6 + M$ 60(1,03)5 = X(1+0,03)2 + X M$214,63380 = 2,06090X
X = 104.145,62
6.-
Relación entre Interés Simple y Compuesto.
6.1.- Relación entre Tasa
Sea
is = tasa de interés simple.
ic = tasa de interés compuesta.
M = C(1+ isn)
M = C(1+ ic)n , Igualando los montos, se tiene:
C(1+ isn) = C(1+ ic)n
(1+ isn) = (1+ ic)n
isn = (1+ ic)n - 1
is = (1+ ic)n - 1
ic = (1+ isn) 1/n - 1 n
Ejemplo 23) En virtud de una sentencia judicial, un cliente se compromete a pagar su deuda mediante la
firma de un pagaré, el que devengará un 3% de interés. Simple mensual. Se pide; a) Determine la tasa de
interés compuesta implícita en la operación. b) Verifique la solución.
Matemáticas Financieras
I+
20
ic = (1+ 0,03 x 3) 1/3 - 1 = 2,91425%
Ms = 100 (1 + 0,03 x 3) = 109
Mc = 100 (1+0,0291425)3 = 109
En este caso uno reconoce estas tasa como "equivalente" ya que en virtud de las restricciones del
caso generan el mismo efecto respecto de "M".
Relación entre Montos.
MS = C(1+in) y Mc = C(1+i)n
Existen tres escenarios posibles; n>1, n=1 y n<1
M = C(1+i)n
M
M=
C
0



1
n
Cuando n>1 el monto a interés compuesto es mayor que monto a interés simple.
Cuando n=1 el monto a interés compuesto es igual a l monto de interés simple.
Si n<1, como las condiciones anteriores son excluyente, el monto a interés compuesto es
menor al monto de interés simple.
Ejemplo 24) Se colocan UF 100 al 10% de interés simple y compuesto durante dos años.
Determinar a) El monto a interés simple y b) El Monto a Interés Compuesto.
R:
a)
b)
C = 100 i
= 10%
n=2
M = 100(1+0,1x2) = 120
M = 100(1+0,1)2 = 121
Ejemplo 25) Idem al ejemplo 24 pero la colocación es por sólo un año.
a)
M = 100(1+0,1x1) = 110
Matemáticas Financieras
I+
21
b)
M = 100(1+0,1)1 = 110
Ejemplo 26) Idem al ejemplo 24 pero la colocación dura 4 meses.
a)
b)
M = 100(1+0,1x(4/12)) = 103,3
M = 100(1+0,1)(4/12) = 103,23
Ejemplo 27) Un cliente se compromete mediante un documento a fecha a pagar
$600.000 en 8 meses y 15 días. Considerando una tasa del 2% mensual determine el monto a
pagar; a) Considerando primero interés compuesto para todo el período y b) considerando la
fracción de mes a interés simple.
R: C = 600.000
i = 2% mensual n
= 8,5 meses
a)
b)
M = 600.000 (1+0,02)8,5 = 709.991.-
M´= 600.000 (1+0,02 (15/30) = 606.000
M = 606.000 (1+0,02)8 = 710.026
Esta última metodología se aplica para los efectos de calcular valores con períodos irregulares de
pago.
Ejemplo 28) El directorio de la empresa señaló que el porcentaje de participación de la empresa
se duplicará en los próximo 5 años. ¿A que tasa de crecimiento promedio anual se calculó este
objetivo?
R: C = Porcentaje de participación actual.
2C= Porcentaje de participación en 5 años. n = 5
años.
M = C(1+i)n 2C
= C(1+i)5
2 = (1+i)5
21/5 = 1 + i
1,1487 - 1 = i
0,1487 = i
14,87% = i%
Ejemplo 29) Un deudor acuerda con usted reliquidar, a contar de hoy, el pago de las facturas que
se señalan a continuación, con dos cheques a fecha de similar monto; el primero a 60 días y el
segundo a 120 días respectivamente.
Vencida Hace......
Monto
Nro.
de
Factura
400
8 meses
44.000
630
6 meses
36.000
700
4 meses
41.000
Matemáticas Financieras
I+
22
Determine el valor de los cheques si la tasa de interés convenida es 4% "bimensual".
R:
44 (1,04)4 + 36 (1,04)3 + 41 (1,04)2 = X(1,04)-1 + X(1,04)-2
136,31 = 1,88608X
X = 72.271
Ejemplo 30) Uno de sus clientes afronta serios problemas financieros y desea liquidar una deuda
pendiente desde hace 30 días atrás por un valor de US$500.000.
Existen dos opciones que esta evaluando:
Aceptar una letra a 90 días a contar de hoy por US$ 200.000.-, Aceptar una 2ª
letra a 120 días a contar de hoy por US$ 200.000.-, y Aceptar una 3ª letra a 150
días a contar de hoy por el saldo.
a)
Su empresa considera para este tipo de negociación una tasa de interés compuesta mensual
del 6%.
b)
Solicitar un crédito bancario para cancelar la deuda más los intereses acumulados, por el
cual firmará un pagaré con vencimiento en 120 días por un valor de US$ 644.218.-.
El gerente de finanzas de la empresa deudora optó por la primera opción argumentando que según
cálculos financieros era la mejor.
Se pide:
i.¿Cual es el valor de la letra a 150 días de la primera alternativa? ii.¿Cual es el valor del préstamo que se habría solicitado al banco?
iii.Si a contar de hoy se hubiera querido reemplazar las tres letras de la alternativa a) por
una sola a 120 días, ¿Cual hubiera sido el valor de ésta?
iv.¿Que opinión tiene respecto de la decisión tomada por el Ejecutivo de Finanzas?
R:
a)
X
200
Hoy
-1
0
200
1
2
3
4
5
6
500
500(1+0,06) = 200(1+0,06)-3 + 200(1+0,06)-4 + X(1+0,06)-5
530 = 167,92386 + 158,41873 + 0,74726X
X = 272.538,89
Matemáticas Financieras
7
8
I+
23
b)
Monto Adeudado = 500.000 (1+0,06) = 530.000.-
c)
272.538,89
200.000
Hoy
0
1
2
200.000
3
4
5
X
X = 200.000(1,06) + 200.000 + 272.538,89(1,06)-1
X = 669.112,16
d)
La decisión no fue la adecuada, ya que:
Incurrió en un mayor costo financiero dado que negoció con nosotros al 6%,
siendo que el banco le otorgaba un crédito al 5%, a saber;
i = (M/C)1/n - 1
i = (644.218/530.000)1/4 - 1 i = 0,05,
o 5%


Lo anterior se confirma al comparar el monto a pagar al banco (US$ 644.218)
v/s el monto del pagaré de reemplazo (US$669.112,16). Por lo señalado el deudor
pagó US$24.894,16 en exceso.
Tasa de Interés Efectiva, Nominal y Equivalente.
- Tasa Efectiva
Es la tasa que actúa sobre el capital generando intereses. Si se dice, por ejemplo, a un capital se
le aplica el 3% mensual, esta tasa es efectiva. Hasta el momento siempre se ha trabajado con tasa
efectiva.
Tasa Nominal
En contraposición a efectiva, es una tasa de referencia o "base" y no es la que real y directamente
se aplica al capital. Por ejemplo, si una operación se conviene al 12% capitalizable
semestralmente, el 12% es una tasa nominal porque al haber capitalizaciones dentro del año, la
tasa efectivamente ganada en el año es superior (ya que dentro del año se ganarán intereses sobre
intereses).
Entre la tasa nominal y efectiva existen relaciones que deduciremos más adelante. Sin embargo,
es necesario plantear aquí una primera relación convencional que enunciaremos como REGLA
Nº 1.
"La tasa efectiva para un su período del año se encuentra dividiendo la tasa nominal
(anual) por el número de capitalizaciones dentro del año."
i de un su período = j/m
, tal que j
= Tasa nominal.
m = Nº de capitalizaciones
Matemáticas Financieras
I+
24
Usando los datos sugeridos en el encabezado j = 12% y m= 2
isem = 0,12/2 = 0,06 o 6,0%
Ilustración del concepto señalado mediante un ejemplo.
Ejemplo 31) Se depositan $ 1.000.000 al 12% con capitalización semestral. Determinar a) El
monto acumulado al cabo de un año, b) El interés ganado y c) La tasa de interés efectiva.
R:
C = 1.000.000 j =
0,12
m= 2
isem = 0,12/2 = 0,06 semestral.
a)
Monto Acumulado al cabo de 2 semestres; M =
C(1+i)n
M = 1.000.000(1+0,06)2 = 1.123.600
b)
Interés Ganado al cabo de 2 semestres; I = M-C
I = 1.123.600 - 1.000.000
I = 123.600
Tasa Efectiva "ganada". i =
I/C
i = 123.600/1.000.000
c)
i = 0,12360 o 12,36%
Como se observa, la tasa efectiva ganada (12,36%) es superior a la tasa nominal
(12,00%).
Ejemplo 32) Supongamos que usted dispone de un capital de $ 1.000.000 y le ofrecieran las
siguientes alternativas de inversión: a) 12% con capitalización semestral o, b) 12,36 anual (o
capitalización anual). ¿Cual elegiría y porque?
R:
Sin duda que daría lo mismo, ya que generan el mismo monto final de rescate. En
suma, ambas tasas son equivalentes.
Matemáticas Financieras
I+
25
Tasa Equivalentes.
Son aquellas que en condiciones diferentes producen un mismo efecto o resultado (interés efectivo
o monto acumulado). En los ejemplos 31 y 32 la tasa nominal del 12% capitalizable
semestralmente es "equivalente" a la tasa efectiva anual del 12,36%.
El monto o valor futuro se puede encontrar en función de la tasa nominal a través de la siguiente
fórmula, la cual no requiere mayor explicación.
M = C(1 + (J/m))mxn
m
= Nº de capitalizaciones en el año. n =
Nº de años.
mxn = Nº de períodos de capitalización.
Donde:
Ejemplo 33) Un capital de $ 10.000.000.- se colocó hace tres años en un DPF con vencimiento
mensual y renovación automática. La tasa de rentabilidad promedio durante los últimos 3 años a
sido de un 4,8%. Determine el valor acumulado del monto depositado.
R: M = 10.000.000(1+(0,048/12))(12x3) =
11.545.524 = M
Tasa efectiva y nominal equivalente.
De acuerdo a las definiciones y a las ilustraciones anteriores, es evidente que el monto se puede
determinar indistintamente, en función de la tasa nominal "j" o de la tasa efectiva "i". Esto será el
nexo que nos permitirá encontrar la relación matemática entre ambas tasas.
Los monto respectivos en función de la tasa efectiva y de la tasa nominal, son;
M = C(1+i)n
M = C(1+(j/m))mxn
Como ya vimos, cuando las tasas son equivalentes producen un mismo monto. Por lo tanto,
podemos igualar ambos montos de la siguiente forma:
C(1+i)n =
C(1+(j/m))mxn
Simplificando por "C" y extrayendo raíz enésima, se tiene:
Matemáticas Financieras
I+
26
(1+i)n = (1+(j/m))mxn
(1+i) = (1+(j/m))m
i = (1+(j/m))m - 1
La última fórmula sirve para encontrar la tasa de interés efectiva "i" equivalente a una tasa nominal
"j" con "m" capitalizaciones.
Ejemplo 34) ¿Cual es la tasa de interés efectiva equivalente al 12% con capitalización semestral?
R: isem = (1+(0,12/2))2 - 1 = 0,1236 =
12,36% = isem
A esta altura debería estar claro que cuando se habla de una tasas con capitalización, se trata de
una "tasa nominal".
De la fórmula desarrollada se puede deducir aquella que sirva para determinar la tasa nominal "j"
con "m" capitalizaciones equivalente a una tasa efectiva "i".
(1+(j/m))m
1+i = (1+(j/m))m
i=
-1
/m
(1+i)1/m = (1+(j/m))
(1+i)1/m - 1 =j/m
m((1+i)1/m - 1) =j
jm = m((1+i)1/m - 1)
Ejemplo 35) Encontrar la tasa nominal con capitalización semestral equivalente a la tasa efectiva
del 12,36%.
R: J2 = 2((1+0,1236)1/2 - 1) = 0,12 =
12% = J2
Tasa nominal anual y tasa efectiva para un subperíodo del año.
La relación entre la tasa de interés nominal y la tasas de interés efectiva para un subperíodo del
año descrita al comienzo de esta sección será ilustrada con los siguientes ejemplos:
Ejemplo 36) Dada la tasa nominal j = 0,12, determinar la tasa a) efectiva mensual,
b) efectiva trimestral, y c) efectiva semestral.
Matemáticas Financieras
I+
27
R:
a)
b)
c)
i = 0,12/12 =
i = 0,12/4
i = 0,12/2
=
=
0,01
0,03
0,06
= 1% mensual.
= 3% mensual.
= 6% mensual.
Ejemplo 37) a) Si la tasa efectiva mensual es de 2%, encontrar la tasa nominal, b) Si la tasa
efectiva semestral es 5%, encuentre la tasa nominal.
R:
a)
b)
j12 = 0,02 x 12 = 24%
J2 = 0,05 x 2
= 10%
Tasa efectiva anual y tasa efectiva para un subperíodo del año.
Efectuando un simple cambio aritmético de la fórmula genérica se tiene: jm=m((1+i)1/m- 1)
jm/m=((1+i)1/m- 1)
Como j/m = tasa de interés efectiva de un subperíodo del año, de la expresión anterior se deduce
la siguiente REGLA Nº 2:
Para obtener la tasa efectiva de un subperíodo del año a partir de la tasa efectiva anual sume
1 a ésta, extraiga la raíz enésima y al resultado réstele 1.
Ejemplo 37) Si la tasa efectiva es 12,36% encontrar: a) la tasa efectiva semestral,
b) la tasa efectiva trimestral y c) la tasa efectiva mensual.
R:
a)
b)
c)
isem = (1+0,1236)1/2 - 1 = 0,06 = 6%
itrim = (1+0,1236)1/4 - 1 = 0,0296 = 2,96%
imen = (1+0,1236)1/12 - 1 = 0,00976 = 0,976%
Efectuando el proceso aritmético inverso se tiene la REGLA Nº 3.
Para obtener la tasa efectiva anual a partir de la tasa efectiva de un subperíodo, sume 1 a
ésta, eleve el resultado a "m" y réstele 1.
Ejemplo 38) a) Si la tasa efectiva semestral es 6% determine la tasas efectiva anual, b) Si la tasa
efectiva trimestral es 2,96%, determine la tasa efectiva anual y
c) Si la tasa efectiva mensual es 0,976%, determine la tasa efectiva anual.
R:
a)
b)
c)
Matemáticas Financieras
i =(1+0,06)2 - 1 = 0,1236 = 12,36%
i =(1+0,0296)4 - 1 = 0,1236 = 12,36%
i =(1+0,00976)12 - 1 = 0,1236 = 12,36%
I+
28
Ejemplos adicionales.
Ejemplo 39) Con la idea de hacer trading de tasa, un corredor de bolsa le ofrece un Bono que
vence en 60 días más, a una tasa efectiva anual del 4%, cuya valor de vencimiento asciende a
101.000.000.-. La idea es comprar este instrumento y liquidarlo a los 30 días antes de su
vencimiento con el objeto de hacer una utilidad extraordinaria dado que según usted la tasa en ese
plazo se "ajustará" a niveles del 3%. Determinar a) La tasa efectiva mensual, b) Si se materializara
la baja de tasas,
¿cual sería la tasa de rentabilidad efectiva anual?
R:
a)
imen = 12 1 0,04 -1 = (1+0,04)1/12 - 1 = 0,00327 = 0,32737%
b)
C=
M/(1+i)n
=
101.000.000
100.341.938.(Equivale al valor de colocación)
imen = 12
0
/
(1+0,0032737)2
=
-1 = (1+0,03)1/12 - 1 = 0,00247 = 0,24663%
1
2
101.000.000
en 30 días
Venc. C
= 101.000.000/(1+0,0024663)1 = 100.751.520.- I= M-C =
100.751.520 - 100.341.938.- = 409.582.imen = 409.582/100.341.938.- = 0,00408 = 0,40819% i
=(1+0,0040819)12 - 1 = 0,05010 =
5,01%
= irespecto de aquellas
Frente a la perspectiva de que las tasa de mercado
bajen
a las que se encuentra "colocado" un inversionista, la liquidación de uno o
mas instrumentos, una vez que bajen las tasas genera beneficios
extraordinarios.
Tasa efectiva y tasa nominal para períodos base distinto del año.
Hasta el momento el período base ha sido por convención siempre un año. Por esta razón, toda
tasa sin especificación del período, se ha debido entender como anual.
Todos los conceptos explicados, tanto fórmulas como reglas se pueden aplicar a cualquier período
base. Sobre el particular es necesario desarrollar un esfuerzo de adaptabilidad racional.
Para reforzar lo señalado revisaremos el ejemplo siguiente:
Ejemplo 40) Dada la tasa del 18% SEMESTRAL capitalizable trimestralmente. Encontrar; a) La
tasa efectiva trimestral, b) La tasa efectiva mensual., c) La tasa efectiva semestral, y d) La tasa
anual efectiva.
Matemáticas Financieras
I+
29
R:
a)
j = 0,18 (Aplicando reglas previas) m= 2
itrim = 0,18/2 = 0,09 = 9%
b)
imensual
=
c)
La tasa efectiva semestral se puede determinar a partir de la mensual o
trimestral antes calculadas.
d)
3
1  0,09 - 1 = (1+0,09)1/3 - 1 = 0,02914 = 2,91425%
isemestral = (1+0,0291425)6 - 1 = 0,18810 = 18,81%
isemestral = (1+0,09)2 - 1 = 0,18810 = 18,81%
La tasa efectiva anual puede obtenerse indistintamente a partir de la efectiva
mensual, trimestral o semestral antes calculadas.
ianual = (1+0,02914)12 - 1 = 0,4116 = 41,16%
ianual = (1+0,09)4 - 1 = 0,4116 = 41,16%
ianual = (1+0,1881)2 - 1 = 0,4116 = 41,16%
9.- Estructura de tasa de interés
Con el propósito de objetivizar el tema de la composición de la tasa de interés, en esta instancia
del curso asumiremos la posición de una empresa que ofrece crédito por el cual aplica intereses
sobre la base de ventas y/o renegociaciones.
Hasta ahora hemos asumido la tasa de interés como un valor absoluto, sin hacer mayor cuestión
a la forma en que se encuentra estructurada. Sobre el particular es necesario entender que la tasa
de interés es un dato compuesto que se determina a partir de los siguientes elementos, a saber;
i)
Tasa de Interés = Tasa Base + Spread
a) Tasa Base; Es el costo de fondos o costo de oportunidad mas costos directos de
una instancia crediticia.
b) El spread dependerá de las condiciones y categorías específicas de oferentes y requirentes
ii)
de fondos, así como del escenario que rodea una operación de crédito.
Principios Generales;
a) A mayor incertidumbre económica mayor spread.
b) A mayor riesgo y costo de una operación, mayor spread.
c) Si la operación involucra venta de producto; A mayor margen de
comercialización menor spread.
Matemáticas Financieras
I+
30
d) No tiene sentido los spread altos ante riesgos muy altos.
Rentabilidad
del
Crédito
(%)
Tasa Base
iii)
Tasa de Interés Cobrada (%)
Determinación de Tasa Base.
Tasa Base = Costo de Fondos + Costos Directos del Crédito
 Costo de Fondo;
i)
ii)
Costo Promedio o Costo Marginal de Endeudamiento, o
Costo de Oportunidad o Alternativo de Reinversión de Flujos.
Sobre este tema, es necesario distinguir aquellas personas (naturales y/o jurídicas) con
necesidades de financiamiento, respecto de aquellas que no tienen necesidad de éste.
En primer caso la empresa debe "financiar" su inversión en Cuentas por Cobrar por lo
que necesita recurrir al crédito comercial (costo implícito) y/o a crédito bancario en cuyo
caso se debe verificar el costo de dichos fondos (costo explícito). En los dos casos resulta
"pertinente" considerar que, ya sea implícita o explícitamente el financiamiento considera
un costo de financiamiento a tasas de mercado.
Ante la situación en que una empresa no requiere financiamiento, el dato relevante es su
costo de oportunidad. Sobre este punto existen posiciones diversas que es del caso
discutir.


Algunas instituciones asumen como costo de oportunidad el mejor rendimiento
asociado a la "colocación" de fondos "estacionales" de caja. En la medida que estos
fondos asuman el carácter de "permanentes" se esta frente a una decisión de política
que es necesario revisar ya que la inversión de fondos de una empresa en activos
financieros de rendimiento cercano al libre de riesgo, equivale a invertir en un
proyecto con VAN negativo o TIR inferior a la tasa de rendimiento mínimo requerido.
Otras proponen que el costo de oportunidad esta dado por el rendimiento mínimo
requerido por los inversionistas (Rt = Utilidad Neta/Patrimonio),
Matemáticas Financieras
I+
31
lo que eventualmente
convencionales.
podría
"toparse"
con
criterios
máximos
Sobre esta materia se sugiere tomar en cuenta lo siguiente, a saber;



Las empresas deben mantener un mínimo de fondos disponibles en caja, banco y
valores negociables de fácil liquidación. Este mínimo esta dado por las necesidades
de transacción que tenga la empresa.
Dado el escenario descrito, resulta evidente que en la medida que se pretenda ofrecer
crédito, habrá que financiar esta asignación de fondos mediante la obtención de
recursos vía crédito comercial y/o crédito bancario.
Por lo señalado corresponde considerar el costo del financiamiento (implícito o
explícito), fijado por el mercado.
Lo descrito nos permite reconocer que el costo de fondos es un dato de mercado
asociado al precio del dinero.
Sobre el particular resulta interesante revisar el nivel promedio mínimo de la tasa de
colocación nominal a 30 días, al 27 de Noviembre del 2002 (Fuente Diario Financiero),
la que ascendió a 0,8%.
Tasa "Nominal" Mensual = 0,80%(Costo de Fondos)
Respecto de esta tasa es necesario considerar que se trata de una tasa "compuesta" en
términos de "interés real" mas "inflación" proyectada. Sobre el particular la fórmula que
determina la tasa "nominal" de interés es:
(1+inominal) = (1+ireal) x (1+Tasainflación)
Ejemplo 41) Suponiendo una tasa de inflación proyectada es de 0,25% mensual.
Determinar la tasa de interés real:
(1+0,008) = (1+ireal) x (1+0,0025)
(1,0080) = (1+ireal)
(1,0025)
(1+ireal) =1,00549
ireal) =0,00549 = 0,55%
 Costos Directos del Crédito;

Costo de Recaudación, PAC (Opcional). Para graficar esta materia empleamos el caso
de una empresa que comercializa productos intangibles (precio medio $ 545.702,
plazo promedio del crédito 10
Matemáticas Financieras
I+
32
meses, cuota promedio $ 57.000). Dado un costo de Recaudación (PAC) de UF 0,02,
es decir app.$ 320. entonces es necesario un ajuste que permita cubrir dicho costo, a
saber;
Valor Actual del Gasto PAC A
= 320 ( 1-(1+0,008)-10)
0,008
A = 3.064.- (Valor Actual del Gasto PAC)
Valor Actual Ajustado; $ 545.702 + 3.064 = 548.766.Determinación de la tasa con el ajuste del Gasto PAC. R =
548.766/ (1-(1+0,008)-10)
0,008
R = 57.320.-

A continuación se determina la tasa "ajustada" que genera cuotas de
$ 57.320 respecto de una venta al crédito de "$545.702"
R = 545.702/ (1-(1+i)-10) = 57.320
i
i = 0,90398 %
En virtud de lo anterior la TASA BASE asciende a:
(0,80%)+(0,10398%)=0,90398 % Nom. Mensual = Tasa Base
La tasa antes señalada me permite cubrir el costo de fondo así como los gastos de
recaudación por PAC.
Nota: Esta materia será reforzada al tratar la materia relativa a renta.
iv)
Determinación del Spread.
MAS
C.Fijos de Oper., Admin. y Control
Adicional por Riesgo y Utilidad
Spread
Costos Fijos de la Operación, administración y control; Sistemas,
Remuneraciones,,Gastos Generales, Folletería, Correspondencia, Gastos Bancarios, etc..
Ejemplo de una empresa de servicios;
Costo de Cob. y Rec. por Cuota
UF 0,1122 (app. $ 1.791)
Determinación de Costos Fijos de la Operación, Administración y Control Valor
Actual del Costo de Cobranza
Matemáticas Financieras
I+
33
A = 1.791 ( 1-(1+0,008)-10)
0,008
A = 17.147.- (Valor Actual del Gasto de Recaudación) Valor
Actual Ajustado; $ 548.766 + 17.147 = 565.913. Determinación de la tasa con el ajuste del Gasto de Recaudación
R = 565.913/ (1-(1+0,008)-10)
0,008
R = 59.111.A continuación se determina la tasa "ajustada" que genera cuotas de
$ 59.111 respecto de una venta al crédito de "$545.702"
R = 545.702/ (1-(1+i)-10) = 59.111.i
i = 1,48%
En virtud de lo anterior la TASA BASE mas los Gastos de Recaudación asciende a:
(0,80%)+(0,10398%)+(0,57602%)=1,48%Nom. Mensual
Adicional por Riesgo y Utilidad; Dependen básicamente del cliente, del momento
económico, de la empresa y de las restricciones legales. En esta materia y tratándose de
una empresa de servicios (no bancaria), la idea sería considerar la tasa de rentabilidad
sobre patrimonio. Si consideramos que la rentabilidad de esta empresa asciende a un 12%
efectivo anual, se tiene que la tasa efectiva mensual ascendería un 0,95%.
Tasa de Interés = 1,48% + 0,95% = 2,43%
Nota: Tasa máxima convencional vigente al 27 de Noviembre:
Operaciones no reajustables moneda nacional a menos de 90 días: Créditos
< o iguales a UF 5.000; 1,325% mensual.
Créditos > a UF 5.000; 0,56% mensual.
 Operac. no reajustables moneda nacional mayor o igual a 90 días:

Créditos < o iguales a UF 200; 3,145% mensual.


v.-
200 < Créditos < o igual a UF 5000; 2,1667% mensual.
Créditos > a UF 5000; 0,8975% mensual.
Operaciones reajustables moneda nacional: Créditos < a
un año; UF + 0,29417% mensual.
Créditos > a un año o más; UF + 0,62917% mensual.
Operaciones moneda extranjera:
Tipo de Cambio + 0,4075% mensual.
Tasa máxima convencional.
Matemáticas Financieras
I+
34
Por disposición del artículo 6º de la ley 18010 la Superintendencia de Bancos e
Instituciones Financieras publica mensualmente, en el Diario Oficial, las tasas de interés
corriente y las tasa de interés máximo convencional que rigen a partir de su fecha de
publicación.
Importante es destacar que las instituciones financieras y otras consignadas en las últimas
modificaciones legales no pueden pactar una tasa de interés superior a la máxima
convencional vigente para el período. El interés máximo convencional equivale al interés
corriente (tasa promedio del sistema bancario) aumentado en un 50%.
VII.- Rentas o Anualidades Ordinarias. 1.Definición y clasificación.
Renta o anualidad es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo. Los
intervalos de tiempo entre cada renta o anualidad se llaman intervalos de pagos y pueden ser
mensuales, trimestrales, anuales, etc. Son anualidades los arriendos, sueldos, dividendos sobre
acciones, pagos a plazo, pagos semestrales de interés sobre bonos, primas anuales en pólizas de
seguros de vida etc.
Las rentas se pueden clasificar según lo señalado en el siguiente cuadro:
Eventuales
Vencidas
A Plazo
Anticipadas
Rentas
No Diferidas
Vencidas
Perpetua
Anticipadas
Ciertas
Vencidas
A Plazo
Anticipadas
Diferidas
Vencidas
Perpetua
Anticipadas
Rentas eventuales son aquellas en las que el primer o último pago, este es, la fecha inicial y/o
fecha final depende de algún acontecimiento previsible, pero cuya fecha de realización exacta no
puede fijarse. Ejemplo; Un contrato hecho con una Compañía de Seguros de Vida, en la que ésta
se obliga a pagar una cierta cantidad de dinero a una persona mientras esté viva en el caso que
fallezca el asegurado.
Matemáticas Financieras
I+
35
Rentas ciertas a diferencia de las eventuales son aquellas cuyas fechas de inicio y término se
conocen por estar estipuladas en forma concreta. Ejemplo; El pago de un préstamo.
Rentas no diferidas son aquellas en las cuales el primer pago ocurre en el primer intervalo de
pago. Ejemplo; El pago de un préstamo sin período de gracia.
Rentas diferidas son aquellas en las cuales el primer pago ocurre en una fecha posterior. Ejemplo;
El pago de un préstamo con período de gracia.
Rentas a plazo son aquellas en las que la duración del pago es limitada. Es decir, la fecha de
término es conocida. Ejemplo: Pago de un préstamo.
Rentas perpetuas a diferencia de las a plazo, son aquellas en las que la duración del pago es
ilimitada. Ejemplo; Premio Nobel, Nacional de Literatura y los dividendos periódicos sobre las
acciones.
Rentas vencidas son aquellas en las que los pagos ocurren al final de cada período o intervalo de
Pago. Ejemplo; Las remuneraciones.
Rentas anticipadas son aquellas en las que los pagos ocurren al principio de cada intervalo de
pago. Ejemplo; Los arriendos de bienes raíces.
Las rentas ciertas, no diferidas, a plazo y vencidas se llaman ORDINARIAS y son las que
constituyen el objeto de esta etapa del curso.
2.-
Monto o valor futuro de una renta ordinaria.
El monto o valor futuro lo ilustramos con un sencillo ejemplo.
Ejemplo 42) Se depositan $ 1.000.000 al final de cada mes a una tasa de interés del 2% mensual.
¿Qué cantidad se tendrá acumulada a los 4 meses?
R: El monto o valor futuro de la renta es la suma de los montos compuestos de los distintos
pagos, cada uno acumulado hasta el término del plazo de la renta.
0
2%
1
1.000
2%
2
1.000
2%
3
1.000
2%
4
1.000
+
1.000(1+0,02)1
+
1.000(1+0,02)2
+
1.000(1+0,02)3
M = 1.000+1.000(1+0,02)1+1.000(1+0,02)2+1.000(1+0,02)3
Matemáticas Financieras
36
Factorizando se tiene:
M = 1.000(1+(1,02)1+(1,02)2+(1,02)3)
M = 1.000.000(4.12161)
M = 4.121.608
Para la deducción de la fórmula general se observa en el ejemplo anterior que el último pago no
alcanza a ganar intereses y el primer pago gana intereses por (n-1) períodos.
Sean; M = Monto o valor futuro.
R = Renta o pago periódico
i = Tasa de interés por período. n =
Número de períodos.
El primer pago acumula intereses durante (n-1) períodos, el segundo durante (n-2) períodos y, así
sucesivamente hasta el último pago que no gana intereses, ya que coincide con la fecha de término.
El monto total "M" de las anualidades, será igual a la suma de los montos producidos por las
distintas rentas "R", es decir;
M = R+R(1+i)1+R(1+i)2 ............... R(1+i)n-2+R(1+i)n-1
Factorizando por R;
M = R(1+(1+i)1+(1+i)2 ............... (1+i)n-2+(1+i)n-1)
Los términos entre paréntesis constituyen una progresión geométrica cuya que al ser deducida
es: (1+i)n-1 (Factor de Capitalización)
i
Por lo anterior la fórmula general es:
M=R
(1+i)n-1
i
La solución del ejemplo 42, aplicando la fórmula es:
M = 1.000.000 (1+0,02)4 -1
0,02
= 1.000.000 (4.121608) = 4.121.608
De la fórmula general se puede despejar "n" en función de M, R e i, y "R" en función de
n=log((M/R) i + 1)
log(1+i)
Matemáticas Financieras
37
R = M/((1+i)n-1)
i
La variable i no se puede despejar, pero su valor se puede obtener mediante el
uso de una calculadora financiera.
Ejemplo 43) ¿En cuanto tiempo, depósitos de US$ 50.000 anuales se transforman en US$
305.255 al 10% anual?
R:
R = 50.000 M
= 305.255
i = 0,10
Aplicando la fórmula se tiene:
n=log((305.255/50.000)x0,10 + 1) =5 años.
log(1+0,10)
Ejemplo 44) ¿Cuánto se debe depositar trimestralmente al 5% trimestral para acumular $
6.305.000 al cabo de 9 meses?
R:
R=?
M = 6.305.000
i = 0,05
n = 3 trimestres
R = 6.305.000 / ((1+0,05)3 -1) = 2.000.000
0,05
Ejemplo 45) ¿A que tasa de interés mensual se efectuaron 5 depósitos mensuales de US$ 10.000
que al término del plazo acumula US$ 51.010,05.R:
i =?
n=5
R = 10.000
M = 51.010,05
En este caso la alternativa pasa por el empleo de calculadora financiera la que debe
arrojar un resultado de 1% mensual.
3.-
Valor actual o presente de una renta ordinaria.
En forma análoga a la sección anterior, comenzaremos planteando un ejemplo.
Ejemplo 46) Si usted va a recibir $ 5.000.000 al final de cada mes durante 3 meses. ¿Cuánto
estaría dispuesto a aceptar hoy a cambio de esos pagos si la tasa de interés a la que usted puede
invertir es del 3% mensual?
Matemáticas Financieras
38
R: El valor presente de una renta es la suma de los valores presentes de los distintos pagos,
cada uno descontado al principio del plazo.
0
3%
1
5.000
5.000/(1+0,03)1
+ 5.000/(1+0,02)2
+ 5.000/(1+0,02)3
A = 5.000/(1+0,03)1+
3%
2
3%
3
5.000
5.000
5.000/(1+0,02)2+5.000/(1+0,02)3=
14.143.057
=A
Supongamos una Renta de "n" pagos (n períodos);
El valor actual del primer pago es A1 = R/(1+i)1
El valor actual del segundo pago es A2 = R/(1+i)2
El valor actual del primer pago es An = R/(1+i)n El
valor actual de la renta A, es
A = R/(1+i)1 + R/(1+i)2 + ................................+ R/(1+i)n



Factorizando: A = R ( 1/(1+i)1 + 1/(1+i)2 + ......................................+ 1/(1+i)n)
Los términos entre paréntesis constituyen una progresión geométrica de "n" términos, cuyo primer
término es 1/(1+i) y cuya razón o cuociente constante es 1/(1+i). La suma de esta progresión
deduciendo las fórmulas correspondientes es:
1-(1+i)-n
i
luego
(Factor de Actualización)
A=R
1-(1+i)-n
i
La solución del ejemplo 46, aplicando la fórmula anterior es: A =
5.000.000
1-(1+0,03)-3 = 14.143.057.0,03
Otra definición del valor presente dice que es aquella cantidad de dinero que con sus intereses
compuestos, en el tiempo de la anualidad, dará una suma equivalente al monto de la anualidad.
En el ejemplo 46 si tomamos el valor presente de $
14.143.057 y lo llevamos al final del tercer mes (fecha focal) al 3% mensual, tendremos un monto
igual a:
M = A (1+i)n = 14 143.057(1+0,03)3 = 15.454.500.-
Matemáticas Financieras
39
Por otra parte, el monto final de la renta de $ 5.000.000 mensual al 3% mensual al final del tercer
mes, aplicando la fórmula pertinente es:
M = 5.000.000 (1+0,03)3 -1
0,03
= 5.000.000 (3,0909) = 15.454.500
Respondiendo la pregunta planteada en el ejemplo 46, podemos señalar que se es indiferente entre
percibir $ 14.143.057 hoy, o percibir tres rentas de $ 5.000.000 durante tres meses si la tasa de
interés es 3% mensual. En ambos casos, el monto acumulado al final del tercer mes será de $
15.454.500.De la fórmula de valor actual de una anualidad se puede despejar "n" y "R". La variable
"i" no se puede despejar y su valor se encuentra mediante el uso de la calculadora
financiera.
n=- log(1-(A/R)i)
log(1+i)
Esta fórmula sólo es válida cuando (A/R)i < 1, ya que de lo contrario se tendría el logaritmo de
un número negativo, el cual no existe: Si (A/R)i > 1, el valor de "n" se encuentra con calculadora.
R = A/(1-(1+i)-n)
i
Ejemplo 47) La herencia de una persona asciende a US$ 390.000.- Una Compañía recibe
instrucciones de pagar a los herederos US$ 25.000 por año. Si el capital se invierte al 5% ¿Durante
cuantos años los herederos recibirán los pagos?
R:
A = 390.000 R
= 25.000
i = 0,05
n=?
n =- log(1-(390.000/25.000)0,05) = 31,03 años. log(1+0,05)
Ejemplo 48) Se depositaron US$ 550.000 al 4% trimestral para percibir una determinada
renta trimestral durante 6 años. ¿A cuanto ascienden dichas rentas?
R:
A = US$ 550.000 i =
0,04
n = 6x4=24 trimestres. R =
?
R = 550.000/(1-(1+0,04)-24)= 36.072,76
Matemáticas Financieras
40
Ejemplo 49) Un deudor le adeuda $ 1.800.000 que el propone pagar en 6 cuotas mensuales iguales
de $ 319.722.- ¿Que interés consideró para calcular la cuota?
R:
A = 1.800.000
n=6
R = 319.722
i =?
Con calculadora se determina que la tasa empleada fue de 1,85% mensual.
4.-
Amortización
Es el proceso de cancelar una deuda y sus intereses por medio de pagos, generalmente iguales,
efectuados en intervalos de tiempo iguales.
Aún cuando existen variados sistemas de amortización veremos aquel sistema creado en
EUROPA que es el mas generalizado y de mayor aplicación en el campo financiero. En este
sistema, los pagos son iguales y cada uno de ellos sirve para pagar los intereses y reducir el
importe de la deuda.
Ejemplo 50) Se solicita un préstamo de $ 100.000 pagadero en 5 cuotas mensuales iguales y
sucesivas. El interés cobrado es del 2% mensual. Los pagos son a mes vencido. Determinar el
importe de cada cuota y b) confeccionar la "tabla de amortización".
R: a) A = 100.000
n = 5 meses i =
0,02
R=?
R = 100.000/ (1-(1+0,02)-5)
0,02
R = 21.215,84
b) Cada pago o renta de $ 21.215,84 se aplica en primer lugar para pagar el interés vencido
en la fecha del pago; la diferencia se utiliza para disminuir la deuda (amortizarla).
La parte de la deuda no cancelada en una fecha dada se denomina saldo insoluto o
capital insoluto en la fecha.
Tabla de Amortización
Matemáticas Financieras
41
Fecha
Pago o
Cuota
al inicio
Final mes 1
Final mes 2
Final mes 3
Final mes 4
Final mes 5
TOTALES
0.00
21,215.84
21,215.84
21,215.84
21,215.84
21,215.84
106,079.20
Interes Sobre
Saldo Insoluto
Amortizació
n
0.00
2,000.00
1,615.68
1,223.68
823.84
416.00
6,079.20
0.00
19,215.84
19,600.16
19,992.16
20,392.00
20,799.84
100,000.00
Saldo o
Capital
Insoluto
100,000.00
80,784.16
61,184.00
41,191.84
20,799.84
0.00
Obsérvese que la suma de los pagos mensuales es igual a la suma de los intereses
sobre saldos, más la suma de las amortizaciones.
Ejemplo 51) En ejemplo 50 encontrar el capital insoluto justamente después del tercer pago y
el interés incluido en la cuarta cuota. Compare los resultados con los valores de la tabla
anterior.
R: El capital insoluto A´ justamente después del tercer pago, es el valor presente de
los 5-3=2 pagos que aún faltan por hacer. Luego:
A´= 21.215,84
(1-(1+0,02)-2 ) = 41.191,84 (ver cuadro previo)
0,02
Finalmente el interés incluido en la cuarta cuota es la tasa de interés multiplicada por el
saldo a comienzos del 4º mes, vale decir 41.191,84x0,02=823,84. (ver cuadro previo)
5.-
Fondo de Amortización.
Un fondo de amortización es dinero que va acumulándose mediante pagos o depósitos periódicos
que ganan cierto interés, de manera tal que en un número determinado de períodos se obtiene un
monto prefijado.
En el fondo de amortización, cada suma que se reserva o deposita periódicamente es una renta
que gana intereses que se capitalizan en cada período de capitalización.
Ejemplo 52) Una empresa debe rescatar bonos dentro de 6 años por una suma de $ 500.000.000.El
directorio acuerda efectuar reservas anuales iguales con el objeto de disponer de los fondos
necesarios en la fecha de rescate. El dinero puede invertirse al 10%. a) Encontrar la suma a
depositar o reservar cada año y b) Confeccionar un cuadro que muestre el crecimiento del fondo.
R: a) M = 500.000.000 i
= 0,10
n =6
R =?
R = 500.000.000 / ((1+0,10)6 -1) = 64.803.690.0,10
Matemáticas Financieras
42
Bibliografías
https://www.webyempresas.com/matematicasfinancieras/https://www.webyempresas.com/matematicas-financieras/
https://economipedia.com/definiciones/interes-compuesto.html
https://economipedia.com/definiciones/valor-presente.html
https://eumed.net/libros-gratis/2014/1406/valor-futuro.pdf
https://matematicasfinancierasiiudo.blogspot.com/2016/07/rentas-yanualidades.html
https://eumed.net/libros-gratis/2014/1406/anualidades.pdf
Matemáticas Financieras