FUNCIÓN DERIVADA 𝑑𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = 𝒄 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒙 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒏 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝒏 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = √𝒙 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐭 𝒙 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧 𝒙 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝒙 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 𝒇(𝒙) = 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒆𝒙 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = 𝒆−𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏−𝟏 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔−𝟏 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒕−𝟏 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄−𝟏 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒔𝒄−𝟏 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐭𝐡 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐞𝐜𝐡 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐬𝐜𝐡 𝒙 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 INTEGRAL =0 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐𝑥 =𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = = 𝑛𝑥 𝑛−1 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = = −𝑛𝑥 −𝑛−1 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2√𝑥 𝑐𝑥 2 2 𝑥 𝑛+1 SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA 𝑥 * (𝑎2 − 𝑥 2 )𝑟 → sin 𝜃 = 𝑛+1 𝑥 −𝑛+1 −𝑛+1 2√𝑥 3 * (𝑎2 + 𝑥 2 )𝑟 → tan 𝜃 = 3 * (𝑥 2 − 𝑎2 )𝑟 → sec 𝜃 = = cos 𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − cos 𝑥 = − sin 𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = sin 𝑥 = sec 2 𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| = − csc 2 𝑥 PARTES 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖 LIATE 2 * 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ln|sin 𝑥| ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ln|sec 𝑥 + tan 𝑥| = − csc 𝑥 cot 𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ln|csc 𝑥 − cot 𝑥| = ln | tan 2 | = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 (loga 𝑥 − ln 𝑎) 𝑎𝑥 𝑥 = * * 𝑠𝑒𝑛−1 𝑥 𝑑 𝑥 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑎 𝑑 𝑣(𝑥) 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑥 𝑎 𝑑 𝑣(𝑥) 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑥 𝑢(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑣(𝑥)) = 𝑓(𝑣(𝑥)) + √1 − 𝑥 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 − 𝑓(𝑢(𝑥)) SEGUNDO TEOREMA DEL CÁLCULO 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝐹 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓 1 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 − 2 ln |𝑥 2 + 1| 1 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 𝑐𝑜𝑡 −1 𝑥 + 2 ln |𝑥 2 + 1| 𝑥 2 +1 1 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑐 −1 𝑥 − ln|𝑥 + √𝑥 2 − 1| |𝑥|√𝑥 2 −1 1 SUMAS DE RIEMANN ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 𝑐𝑠𝑐 −1 𝑥 + ln|𝑥 + √𝑥 2 − 1| |𝑥|√𝑥 2 −1 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = cosh 𝑥 = cosh 𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = sinh 𝑥 = sech2 𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ln|cosh 𝑥| = − csch2 𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ln|sinh 𝑥| ∑𝑛𝐼=1 𝑖 𝑏−𝑎 * 2 * ∑𝑛𝐼=1 𝑖 2 = = − csch 𝑥 coth 𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ln|csch 𝑥 − coth 𝑥| = ln | tanh 2 | 𝑥 = 𝑛(𝑛+1) 𝑥 = −sech 𝑥 tanh 𝑥 * ∑𝑛𝐼=1 𝑖 3 = 2 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6 𝑛2 (𝑛+1)2 4 𝑛(𝑛+1)(6𝑛3 +9𝑛2 +𝑛−1) * ∑𝑛𝐼=1 𝑖 4 = 30 ∑𝑛𝑘=𝑚 𝑐 = (𝑛 − 𝑚 + 1)𝑐 INTEGRALES IMPROPIAS TIPO II Discontinuidad en el intervalo [a,b] 𝑏 𝑏 * ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫𝑐 𝑓(𝑥) → 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎 𝑐→𝑎+ * 𝑛→∞ SUMAS ESPECIALES ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 tan−1 (tanh ) ∞ 𝑏 * ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑏→∞ 𝑏 𝑏 * ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑎→−∞ ∞ 𝑐 ∞ ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−∞ 𝑓(𝑥) + ∫𝑐 𝑓(𝑥) = lim ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 * ∆𝑥 = 𝑛 * 𝑥𝑖 = 𝑥0 + ∆𝑥𝑖 = sinh 𝑥 TIPO I * 1−𝑢2 𝑎∈𝑹 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 −1 𝑥 − √1 − 𝑥 2 √1−𝑥 2 1 𝑥 2 +1 1 =− 𝑒𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 √1−𝑥 2 1 =− * ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑒 −𝑥 1 =− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ln 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = = −𝑒 −𝑥 = 𝑑𝑢 PRIMER TEOREMA DEL CÁLCULO (DERIVADA DE UNA INTEGRAL) 1 1 xln 𝑎 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 = 2 𝑢2 +1 2𝑢 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 𝑥 =𝑒 𝑎 * sin 𝑥 = , * cos 𝑥 = 1+𝑢2 1+𝑢2 * 𝑥 = 𝑢𝑘 → 𝑑𝑥 = 𝑘𝑢𝑘−1 𝑑𝑢 𝑘 → 𝑀. 𝐶. 𝑀 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑥 1 𝑎 𝑥 SUSTITUCIONES DIVERSAS 𝑥 * tan = 𝑢 → 𝑥 = 2tan−1 𝑢 = sec 𝑥 tan 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑏 𝑐 * ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫𝑎 𝑓(𝑥) → 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑏 𝑐→𝑏− 𝑏 𝑐 𝑏 * ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥) + ∫𝑐 𝑓(𝑥) → 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑥 = 𝑏 𝑏 𝑐 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥) + ∫𝑐 𝑓(𝑥) → 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑐; 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 TEOREMA DEL VALOR MEDIO 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐)(𝑏 − 𝑎) → 𝑏 1 ← 𝑓(𝑐) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏−𝑎 𝑎 𝑑𝑢 𝑑𝑥 APLICACIONES ÁREA ENTRE CURVAS BAJO LA CURVA 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 VOLUMEN ARANDELAS DISCOS 𝑏 ∫𝑎 [𝑓(𝑥) 𝑏 𝜋 ∫𝑎 [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥 − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) → 𝑀á𝑠 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎/𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑀á𝑠 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜/𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑏 𝜋 ∫𝑎 [[𝑓(𝑥)]2 [𝑔(𝑥)]2 ]𝑑𝑥 − 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) → 𝑀á𝑠 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎/𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑀á𝑠 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜/𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑a LONGITUD DE ARCO SUAVE 𝑏 𝑑𝑥 2 ∫𝑎 √(𝑑𝑥) 𝑆= 𝑑𝑦 2 + ( ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 2 2 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑆 = ∫𝑐 √( ) + ( ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑠𝑖 𝑦 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ÁREA SUPERFICIAL DE REVOLUCIÓN 𝑏 𝑥̅ = 𝑏 ∫𝑎 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 𝑏 2 𝑏 ∫𝑎 [𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 𝐴𝑠 = 2𝜋 ∫𝑎 𝑓(𝑥)√( ) + ( ) 𝑑𝑥 𝑀𝑥 𝑦̅ = 𝑚 2 2 1 ∫𝑎 [[𝑓(𝑥)] −[𝑔(𝑥)] ]𝑑𝑥 𝑦̅ = [ − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) → 𝑀á𝑠 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎/𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑀á𝑠 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜/𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑥 → 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] → 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑥 → 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑦 ̅, 𝒚 ̅) CENTRO DE MASA (𝒙 𝑀𝑦 𝑥̅ = 𝑚 𝑏 ∫𝑎 𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 CASCARONES 𝑏 2𝜋 ∫𝑎 𝑥[𝑓(𝑥) 𝐴𝑠 = ] 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑 2𝜋 ∫𝑐 𝑦√( ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 + ( ) 𝑑𝑦 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑦 𝑏 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝐴𝑠 = 2𝜋 ∫𝑎 𝑥√( ) + ( ) 𝑑𝑥 𝐴𝑠 = 𝑑 𝑑𝑥 2 2𝜋 ∫𝑐 𝑔(𝑦)√( ) 𝑑𝑦 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑦 TEOREMAS DE PAPPUS ÁREA VOLUMEN 𝐴 = 2𝜋𝑦̅𝑆 → 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑥 𝑉 = 2𝜋𝑦̅𝐴 → 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑥 𝐴 = 2𝜋𝑥̅ 𝑆 → 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑦 𝑉 = 2𝜋𝑥̅ 𝐴 → 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑦 𝑆 → 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐴 → á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑦 2 + ( ) 𝑑𝑦 𝑑𝑦