ELC-30524
Sistemas de Potencia II
Capítulo 2
Criterio de Áreas Iguales
Prof. Francisco M. González-Longatt
fglongatt@ieee.org
http://www.giaelec.org/fglongatt/SP2.htm
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
Francisco M. González-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2007
Sistemas de Potencia II
Análisis de Estabilidad
Introducción a los Métodos de
Análisis
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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Métodos para el Análisis de Estabilidad
• El análisis de
emprendido por:
estabilidad
transitoria
puede
– Métodos Clásicos.
– Métodos Directos.
– Métodos Híbridos
• El primer método directo, fue el Criterio de Áreas
Iguales, (Equal Area Criteria) para una maquina
conectada a una barra de potencia infinita (OMIB One
Machine Infinite Bus).
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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Métodos Directos
• Métodos directos más refinados, Liapunov, se asocia
con el principio de invarianza de LaSelle, el cual es
empleado para estimar la región de estabilidad del
sistema de potencia (función de Liapunov).
Fault-on
Trajectory x f (t)
A(x s )
xs xo
ΩL
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
Instant at which
x f (t) leaves the attraction
area estimate
E
{
A( x S ) := x o ∈ ℜ n : lim Φ (t , x o ) → x s
t →∞
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}
Métodos Directos
• En 1966, El Abiad y Nagapan, calcularon todos los
Puntos de Equilibrio Inestables (UEP Unestable
Equilibrium Point) alrededor de los Puntos de
Equilibrio Estable (SEP Stable Equilibrium Point)
bajo investigación.
• En 1979 se implementa el Control de los Puntos de
Equilibrio Inestable (Control UEP) por el uso del
criterio de aceleración
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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Métodos Directos
• En 1978, Kakimoto presenta el Método PEBS
Potencial Energy Boundary Surface o Método de
superficies de contorno de energía potencial, posee la
ventaja que una estimación de CCT es obtenido sin el
calculo de los puntos inestables de equilibrio pero
como desventaja en algunos casos provee
estimaciones no conservativas.
PEBS
PEBS
potential energy
level curve
fault-on
trajectory
exit point (δ* )
level curve
VCR = V(δ* )
controlling UEP
found by the BCU method
post-fault trajectory
situation 2 (unstable)
post-fault
stable equilibrium point
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
post-fault trajectory
situation 1 (stable)
clearing time
VTotal = VCR
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Métodos Directos
• En 1994, (BPU: Boundary Control UEP) Control de
Borde de Puntos de Equilibrio Inestables (Chiang), el
cual esta basado en el concepto de controlar los UEP.
PEBS
PEBS
potential energy
level curve
fault-on
trajectory
exit point (δ* )
level curve
VCR = V(δ* )
controlling UEP
found by the BCU method
post-fault trajectory
situation 2 (unstable)
post-fault
stable equilibrium point
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
post-fault trajectory
situation 1 (stable)
clearing time
VTotal = VCR
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Sistemas de Potencia II
Análisis de Estabilidad
Criterio de Áreas Iguales
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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Criterio de Áreas Iguales
Generalidades:
• Los estudios de estabilidad involucran el tratamiento
con la ecuación de oscilación de la máquina, la cual
en si forma más simple es una ecuación no lineal
H b d δ (t )
=
P
acel
2
πf dt
2
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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Criterio de Áreas Iguales
Generalidades:
H b d 2δ (t )
= Pacel
2
πf dt
• La soluciones formales, no se pueden encontrar
explícitamente; bajo las mayores simplificaciones
apunta hacia integrales elípticas.
• El problema de estabilidad generalizado ha sido
enfocado a los métodos clásicos, que se basan en la
resolución por métodos numéricos.
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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Criterio de Áreas Iguales
Generalidades:
• En el caso más simple, una máquina contra una barra
de potencia infinita (One Machine Infinite Bus), o
dos máquinas, el estudio de estabilidad puede ser
efectuado con métodos que no requieren resolver la
ecuación de oscilación, siendo los denominados
métodos directos.
• El más simple de los métodos directos es el
denominado criterio de áreas iguales.
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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Criterio de Áreas Iguales
• Para deducir el criterio de áreas iguales se hace para
una máquina y una barra de potencia infinita, aunque
las consideraciones efectuadas, pueden ser elevadas
para el caso de un sistema general de dos máquinas
jX LT
jX 'd
jX T 1
jX LT
∞
jX t 2
X G∞ = X 'd + X T 1 + X T 2 + X LT 1 // X LT 2
SISTEMAS DE POTENCIA II
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Criterio de Áreas Iguales
jX LT
jX 'd
jX T 1
jX LT
∞
jX t 2
X LT 1
X "d
+ XT 2
X T1
+
+
Ei
V∞
X LT 2
X G∞ = X 'd + X T 1 + X T 2 + X LT 1 // X LT 2
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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Criterio de Áreas Iguales
• Esta máquina puede oscilar, respecto a la barra de
potencia infinita, cumpliendo con la ecuación de
oscilación
2 H d δ (t )
= Pacel = P mec − Pelec
2
ωs dt
2
(
)
• Siendo la velocidad angular relativa del rotor a la
velocidad sincrónica, dada por:
ωrel
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
dδ (t )
=
= ω (t ) − ωs
dt
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Criterio de Áreas Iguales
• La potencia eléctrica (Pelec) entregada por la máquina
es:
'
Pelec =
Ei V∞
X G∞
senδ (t )
X LT 1
X "d
+ XT 2
X T1
+
+
Ei
X LT 2
V∞
X G∞ = X 'd + X T 1 + X T 2 + X LT 1 // X LT 2
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Criterio de Áreas Iguales
• La potencia eléctrica (Pelec) entregada por la máquina
es:
Pelec =
'
Ei
V∞
X G∞
senδ (t )
• Considerando lo anterior la ecuación de oscilación de
la máquina conectada a la barra de potencia infinita
es:
2H d
ωs
2
(
)
δ t
d δ (t )
=M
=P
2
dt
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
2
dt
2
acel
= Pmec − Pelec
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Criterio de Áreas Iguales
• Antes de que exista la perturbación en la máquina,
ésta se encuentra operando en estado estable.
• La potencia mecánica (Pmec) inyectada al generador
es igual a la potencia eléctrica de salida (Pelec), por lo
que la potencia total acelerante es cero (Pacel).
• Siempre que se desprecie, las pérdidas por
rozamiento mecánica, por fricción del aire, por
corriente de Facoult, etc.
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Estabilidad
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Criterio de Áreas Iguales
• Siempre que se desprecie, las pérdidas por
rozamiento mecánica, por fricción del aire, por
corriente de Facoult, etc.
Pacel = Pmec − Pelec
Pacel = 0
Pmec = Pelec
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Estabilidad
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Criterio de Áreas Iguales
• En estas condiciones estables de operación, la
velocidad real del rotor ω(t), es igual a la velocidad
sincrónica ωs, de modo que la velocidad relativa del
rotor es cero.
• Esta máquina puede oscilar, respecto a la barra de
potencia infinita, cumpliendo con la ecuación de
oscilación:
2 H d 2δ (t )
=
P
=
P
−
P
acel
mec
elec
2
ω s dt
(
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Estabilidad
)
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Criterio de Áreas Iguales
• Siendo la velocidad angular relativa del rotor a la
velocidad sincrónica, dada por:
ωrel
dδ (t )
=
= ω (t ) − ω s
dt
• La potencia eléctrica (Pelec) entregada por la máquina
puede ser obtenida de la relación potencia ángulo:
Pelec =
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Estabilidad
'
Ei
V∞
X G∞
senδ (t )
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Criterio de Áreas Iguales
• Considerando lo anterior la ecuación de oscilación de
la máquina conectada a la barra de potencia infinita
es:
2 H d 2δ (t )
ωs
dt 2
=M
d 2δ (t )
dt 2
= Pacel = Pmec − Pelec
d δ (t )
(
)
M
=
P
=
P
−
sen
δ
t
acel
mec
dt 2
X G∞
2
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Estabilidad
Ei' V∞
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P
Pmax =
Ei V∞
Pelec =
X G∞
Ei V∞
X G∞
senδ (t )
0
Pmec
0
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Estabilidad
δ0
π
2
π
δ
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Criterio de Áreas Iguales
• Supóngase que ésta posición de equilibrio entre las
potencias mecánica y eléctrica (despreciando las
pérdidas) ocurre para un cierto ángulo de potencia
inicial δ0. P
Pmax =
Ei V∞
Pelec =
X G∞
X G∞
senδ (t )
0
Pmec = Pmec
0
Pmec
0
Ei V∞
δ0
π
δ max
π
δ
2
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Criterio de Áreas Iguales
P
Pmax =
Ei V∞
Pelec =
X G∞
mec
elec
X G∞
senδ (t )
0
Pmec = Pmec
0
Pmec
Punto
Puntoestable
establede
de
operación
operación
PPmec ==PPelec
Ei V∞
Punto
Puntoestable
establede
de
operación
operación
PPmec ==PPelec
mec
0
δ0
π
δ max π
elec
δ
2
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Criterio de Áreas Iguales
• Multiplíquese en ambos miembros de la ecuación de
oscilación de la máquina por la primera derivada del
ángulo de potencia respecto al tiempo, resulta:
dδ (t ) d δ (t )
dδ (t )
M
= (Pmec − Pelec )
2
dt
dt
dt
2
• Ahora, se conoce por teoría de calculo diferencial:
(
)
d [ f (t )]
df (t )
= 2 f (t )
dt
dt
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Estabilidad
2
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Criterio de Áreas Iguales
• Ahora, se conoce por teoría de calculo diferencial:
(
)
d [ f (t )]
df (t )
= 2 f (t )
dt
dt
2
• Si se considera:
dδ (t )
f (t ) =
dt
2
⎛ ⎡ dδ (t ) ⎤ ⎞
⎟
d⎜ ⎢
⎜ ⎣ dt ⎥⎦ ⎟
2
⎝
⎠ = 2 dδ (t ) d δ (t )
dt
dt
dt 2
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Criterio de Áreas Iguales
⎛ ⎡ dδ (t ) ⎤ 2 ⎞
⎟
d⎜ ⎢
⎥
⎜
⎟
2
dt
⎦
⎣
1 ⎝
⎠ = dδ (t ) d δ (t )
2
2
dt
dt
dt
• El primer térmico de la ecuación anterior, puede ser
reescrito, de una manera más simple como:
⎛ ⎡ dδ (t ) ⎤ 2 ⎞
⎟
d⎜ ⎢
⎥
⎟
⎜
2
dt
⎣
⎦
dδ (t ) d δ (t ) M ⎝
dδ (t )
⎠
= (Pmec − Pelec )
M
=
2
dt
dt
2
dt
dt
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Criterio de Áreas Iguales
• Multiplicando en ambos miembros de la ecuación por
diferencial de tiempo se tiene:
⎛ ⎡ dδ (t ) ⎤ 2 ⎞
(
Pmec − Pelec )
⎜
⎟
d ⎢
dδ (t )
=2
⎥
⎜ ⎣ dt ⎦ ⎟
M
⎝
⎠
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Criterio de Áreas Iguales
⎛ ⎡ dδ (t ) ⎤ 2 ⎞
(
Pmec − Pelec )
⎟
⎜
=2
d ⎢
dδ (t )
⎥
⎜ ⎣ dt ⎦ ⎟
M
⎠
⎝
• Si se integra con respecto al tiempo:
δ 1 (P
⎡ dδ (t ) ⎤
mec − Pelec )
(
)
=
2
d
δ
t
∫
⎢⎣ dt ⎥⎦
δ0
M
2
⎡ dδ (t ) ⎤
=
⎢⎣ dt ⎥⎦
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
δ1
∫δ
0
(
Pmec − Pelec )
2
dδ (t )
M
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Criterio de Áreas Iguales
• La integral plantada dentro del radical, se una integral
definida evaluada entre el ángulo δ0, el cual
corresponde al ángulo de potencia de la máquina
cuando ésta funciona sincrónicamente antes que se
produzca la perturbación, es decir dδ(t)/dt = 0.
⎡ dδ (t )⎤
⎢⎣ dt ⎥⎦ =
δ1
∫δ
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
0
δ1
∫δ
(
Pmec − Pelec )
2
dδ (t )
0
M
(
Pmec − Pelec )
2
dδ (t ) = 0
M
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Criterio de Áreas Iguales
• En general el ángulo de potencia δ(t) dejará de
oscilar y la máquina volverá a funcionar
sincrónicamente después de la perturbación cuando
dδ(t)/dt = 0, o mejor escrito:
⎡ dδ (t ) ⎤
=
⎢⎣ dt ⎥⎦
2
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
δ1
∫δ
0
(
Pmec − Pelec )
2
dδ (t )
M
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Criterio de Áreas Iguales
• Se puede justificar que la máquina no permanecerá
estática, respecto a la barra de potencia infinita, la
primera vez que dδ(t)/dt se anule.
• El hecho de que por un instante el ángulo de potencia
deje de oscilar, puede ser interpretado como una
indicación de estabilidad.
• La interpretación geométrica de la derivada; el hecho
de que dδ(t)/dt se anule, corresponde al punto en que
la curva de oscilación de la máquina cuando el ángulo
δ(t) alcanza el máximo y empieza a disminuir.
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Sistemas de Potencia II
Análisis de Estabilidad
Criterio de Áreas Iguales
- Aplicación Ilustrativa SISTEMAS DE POTENCIA II
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CAI Aplicación Ilustrativa
• Considérese una máquina sincrónica operando como
generador conectada a una barra de potencia infinita.
∞
1
2
∞
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CAI Aplicación Ilustrativa
∞
1
2
∞
X G∞
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CAI Aplicación Ilustrativa
• Considérese una máquina sincrónica operando como
generador conectada a una barra de potencia infinita
∞
X G∞
0
Pmec
E 'i ∠δ 0
0
Pelec
V∞ ∠0°
• Funciona en sincronismo con un ángulo de potencia
inicial δ0 para la cual entrega una cierta potencia
eléctrica Pelec
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• Funciona en sincronismo con un ángulo de potencia
inicial δ0 para la cual entrega una cierta potencia
eléctrica que puede ser escrita en forma general
como:
'
Pmec = Pelec =
G
X G∞
Ei V∞
X G∞
senδ (t )
∞
0
Pmec
E 'i ∠δ 0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
0
Pelec
V∞ ∠0°
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CAI Aplicación Ilustrativa
• Si se consideran despreciables las pérdidas de la
máquina, tales como fricción mecánica y roce del
aire, además de las corrientes de Facoult, la potencia
mecánica (Pmec0) y la eléctrica (Pelec0) en la máquina
son iguales, para un estado de operación normal.
'
Pmec = Pelec =
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Estabilidad
Ei V∞
X G∞
senδ (t )
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CAI Aplicación Ilustrativa
P
Pmax
Pelec = Pmec
Punto
PuntoINICIAL
INICIAL
de
deoperación
operación
0
Pmec
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
a
δ0
π /2
π
δ
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CAI Aplicación Ilustrativa
• Supóngase que la potencia mecánica a la entrada del
generador es aumenta bruscamente, pasando
instantáneamente de Pmec0 a Pmec1.
Pmec (t )
1
Pmec
X G∞
Pmec (t )
0
Pmec
t0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
t
E 'i ∠δ 0
0
Pelec
∞
V∞ ∠0°
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• Supóngase que la potencia mecánica a la entrada del
generador es aumenta bruscamente, pasando
instantáneamente de Pmec0 a Pmec1.
1.05
1
mec
P
P
Potencia Mecanica [p.u]
0
mec
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
0.5
t0
1
1.5
Tiempo [seg]
2
2.5
3
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CAI Aplicación Ilustrativa
• Evidentemente la barra de potencia infinita no puede
absorber cualquier cambio de potencia eléctrica
mientras el voltaje y la frecuencia permanezcan
constantes.
• La diferencia que existe entre la potencia mecánica y
la potencia eléctrica, se traduce en una potencia de
aceleración (Pacel), que almacena en el rotor en forma
de energía cinética; ocasionando un aumento de la
velocidad del rotor, con lo que el ángulo de potencia
aumenta desde δ0 hasta un nuevo valor.
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Estabilidad
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P
Pmax
Punto
PuntoFINAL
FINALde
de
operación
operación
1
Pmec
b
Se
Sedebe
debepasar
pasarde
de
un
unestado
estadoalalotro
otro
0
Pmec
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
Punto
PuntoINICIAL
INICIAL
de
deoperación
operación
a
δ0
δ1
π /2
π
δ
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Se
Sedebe
debepasar
pasarde
de
un
unestado
estadoalalotro
otro
P
Pmax
1
Pmec
1.05
1
Pmec
Potencia Mecanica [p.u]
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0
0.5
1
1.5
Tiempo [seg]
2
2.5
0
Pmec
3
a
0
Pmec
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
δ0
δ1
π /2
π
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δ
CAI Aplicación Ilustrativa
P
Pmax
Punto
PuntoFINAL
FINALde
de
operación
operación
1
Pmec
b
0
Pmec
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
Pelec = Pmec
Punto
PuntoINICIAL
INICIAL
de
deoperación
operación
a
δ0
δ1
π /2
π
δ
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P
Reaceleración
Reaceleración
Pmax
Pelec > Pmec
1
Pmec
b
0
Pmec
Pelec < Pmec
a
Aceleración
Aceleración
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
δ0
δ1
π /2
π
δ
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P
Pmax
1
Pmec
0
a
δ0
π /2
δ1
π
δ
-16
-18
-20
-22
-24
-26
-28
-30
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
b
0
Pmec
Angulo de otencia [grados]
• El sistema giratorio rotórico,
continuará en aceleración
siempre que la potencia
mecánica inyectada en el eje
del rotor sea mayor que la
potencia eléctrica entregada
en el generador, es decir
desde el punto "a", hasta el
punto "b"; con lo que se
aumenta el ángulo de
potencia desde δ0 hasta δ1.
0.5
1
1.5
Tiempo [seg]
2
2.5
3
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CAI Aplicación Ilustrativa
1.05
P
1
1
Pmec
Potencia Mecanica [p.u]
Pmax
b
0
Pmec
a
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0
0.5
-16
δ0
δ1
π /2
δ
π
δ1
δ0
Angulo de otencia [grados]
0
-18
-20
1.5
Tiempo [seg]
2
2.5
3
δ (t )
-22
-24
-26
-28
-30
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
1
0.5
1
1.5
Tiempo [seg]
2
2.5
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3
CAI Aplicación Ilustrativa
δ critic
Máxima
Máxima
Exclusión
Exclusióndel
del
ángulo
ángulo
Punto
PuntoFINAL
FINALde
de
operación
operación
δ1
δ0
Punto
PuntoINICIAL
INICIAL
de
deoperación
operación
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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P
Pmax
1.05
Potencia Mecanica [p.u]
Pmec (t )
c
1
1
Pmec
0.95
0.9
0.85
0
Pmec
0.8
0.75
0.7
0
0.5
1
1.5
Tiempo [seg]
2
2.5
3
0
δ0
π /2
δ1
π
δ
Angulo de potencia [grados]
δ1 δ critic
δ0
-30
0
-28
-26
-24
-22
-20
-18
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
1.8
2
δ (t )
Francisco M. González-Longatt, fglongatt@ieee.org
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Angulo de potencia [grados]
δ1 δ critic
δ0
P
-30
0
Pmax
-28
-26
-24
-22
-20
0.2
1
Pmec
0.4
0
Pmec
0.6
0.8
0
δ0
δ1
π /2
π
δ
1
1.05
1.2
Potencia Mecanica [p.u]
1
0.95
1.4
0.9
1.6
0.85
0.8
1.8
0.75
0.7
SISTEMAS
DE POTENCIA
II
0
0.5
Estabilidad
1
1.5
Tiempo [seg]
2
2.5
2 M. González-Longatt, fglongatt@ieee.org
3 Francisco
Copyright © 2007
-18
CAI Aplicación Ilustrativa
• Evidentemente la barra de potencia infinita no puede
absorber cualquier cambio de potencia eléctrica
mientras el voltaje y la frecuencia permanezcan
constantes.
• La diferencia que existe entre la potencia mecánica y
la potencia eléctrica, se traduce en una potencia de
aceleración (Pacel), que almacena en el rotor en forma
de energía cinética; ocasionando un aumento de la
velocidad del rotor, con lo que el ángulo de potencia
aumenta desde δ0 hasta un nuevo valor.
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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• El sistema giratorio rotorico, continuará en
aceleración siempre que la potencia mecánica
inyectada en el eje del rotor sea mayor que la
potencia eléctrica entregada en el generador, es decir
desde el punto "a", hasta el punto "b"; con lo que se
aumenta el ángulo de potencia desde δ0 hasta δ1.
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P
Pmax
c
A2
1
Pmec
A1
0
Pmec
0
b
a
δ0
δ1
δc
π
π
δ
2
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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P
Área
Áreade
de
desaceleración
desaceleración
Pmax
Pelec > Pmec
A2
1
Pmec
A1
Pelec < Pmec
0
Pmec
Área
Áreade
de
aceleración
aceleración
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
δ0
δ1
δc
π
δ
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CAI Aplicación Ilustrativa
de sincronismo:
ω (t ) ≥ ωs
• Por lo que el ángulo de
potencia
continua
aumentando
P
Pmax
A2
1
Pmec
A1
0
Pmec
0
δ0
δ1
δc
π
δ
725
724
Velocidad [rad/seg]
• En el punto "b" de la grafica
corresponde
donde
la
máquina termina de acelerar
pero su velocidad rotorica es
aun mayor que la velocidad
723
722
721
720
719
718
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo [seg]
1.4
1.6
1.8
2
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Angulo de potencia [grados]
CAI Aplicación Ilustrativa
δ critic
c
δ1
b
a
δ0
725
Velocidad [rad/seg]
724
723
722
721
720
b
a
719
718
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo [seg]
1.4
1.6
1.8
2
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•
•
En el espacio comprendido entre
el punto "b" y "c" la velocidad
rotorica permanece por encima de
la de sincronismo, la potencia
eléctrica es mayor que la potencia
mecánica, por lo que se hace
presenta
una
potencia
desacelerante, que es entregada
por la energía cinética almacenada
en el rotor, perdiendo velocidad el
rotor, pero el ángulo de potencia
continúa aumentando
La zona marcada por "A2", denota
la potencia de desaceleración
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
Pelec > Pmec
P
Pmax
Área
Áreade
de
desaceleración
desaceleración
A2
1
Pmec
A1
0
Pmec
0
δ0
δ1
δc
π
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δ
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• Se predice que en este P
proceso
habrá P
estabilidad alrededor del
punto "b" con el nuevo P
ángulo de potencia δ1 si
el
área
de
P
desaceleración es igual
al área de aceleración
(A1 = A2).
0
max
A2
1
mec
A1
0
mec
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
δ0
δ1
δc
π
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δ
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Velocidad [rad/seg]
• Es importante mencionar que si durante el proceso de
oscilación el rotor no puede entregar toda la energía
cinética almacenada en el, su velocidad rotorica
nunca disminuirá y el ángulo de potencia aumentará
indefinidamente, perdiendo el sincronismo la
2500
máquina.
2000
1500
1000
500
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
0
0.5
1
1.5
Tiempo [seg]
2
2.5
3
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Velocidad [rad/seg]
2500
2000
1500
1000
500
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
0.5
1
1.5
Tiempo [seg]
2
2.5
3
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SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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CAI Aplicación Ilustrativa
• Es necesario que el área de desaceleración debe ser
igual al área de aceleración.
• El ángulo de potencia que determina la mayor área de
aceleración sin que la máquina pierda el sincronismo,
es el llamado ángulo crítico δcritic.
• El tiempo que corresponde para alcanzar el ángulo
crítico se le denomina tiempo crítico tcritic.
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Estabilidad
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• El tiempo critico se define como el tiempo
máximo entre el inicio y el despeje de una
falla, de manera que el sistema sea
transitoriamente estable.
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Estabilidad
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Angulo de potencia [grados]
• El ángulo de oscilación máxima δmax, se satisface
cuando el ángulo de potencia del rotor alcanza
máximo y dδ(t)/dt = 0
δ critic
Angulo
AnguloMáximo
Máximo
δ1
δ0
SISTEMAS DE POTENCIA II
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• Geométricamente
se
puede estimar el área
acelerante "A1" a través
de la expresión:
δ1
A1 = ∫ (Pmec − Pelec )dδ
δ0
P
Pmax
A2
1
Pmec
A1
0
Pmec
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
δ0
δ1
δc
π
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δ
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• El área de la zona
desacelerante
"A2"
puede ser escrita por:
P
Pmax
A2
A2 = ∫
δ max
δ1
(Pelec − Pmec )dδ
1
Pmec
A1
0
Pmec
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
δ0
δ1
δc
π
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δ
CAI Aplicación Ilustrativa
• Restando ambas zonas "A1 - A2" se obtiene:
δ1
δ max
δ0
δ1
A1 - A 2 = ∫ (Pmec − Pelec )dδ − ∫
A1 - A 2 = ∫
δ max
δ0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
(Pelec − Pmec )dδ
(Pmec − Pelec )dδ
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A1 - A 2 = ∫
δ max
δ0
(Pmec − Pelec )dδ
• La ecuación anterior se satisface que dδ(t)/dt = 0,
cuando las áreas acelerante y desacelerante son
iguales A1 = A2
• Comprender el fenómeno de la máquina, demuestra
que la energía ganada cuando el rotor se acelera y el
ángulo δ(t) crece hasta δ1 se pierde cuando el rotor
se frena cuando alcanza el valor δmax.
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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• La potencia acelerante de la máquina al ser
perturbada se demostró que se puede escribir como:
d 2δ (t )
dt 2
Pacel
=
M
Pacel = M
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
d 2δ (t )
dt 2
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CAI Aplicación Ilustrativa
• Considerando que la velocidad angular del rotor es
cero en el momento de comenzar la perturbación,
pero después de "t" segundos esta velocidad es :
tP
dδ (t )
Pacel
acel
=∫
dt =
t
0 M
dt
M
• Resultando que el desplazamiento angular rotorico en
ese tiempo es:
δ (t ) = δ 0 + ∫
t
0
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
Pacel
Pacel 2
tdt =
t + δ0
2M
M
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CAI Aplicación Ilustrativa
• El ángulo crítico corresponde al tiempo crítico:
Pacel 2
δc = δ0 +
tc
2M
• Se tiene el tiempo critico finalmente:
2M (δ c − δ )
tc =
Pacel
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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Limite de Estabilidad Transitoria
•
•
El límite de estabilidad transitoria se refiere al valor
de potencia que puede ser transmitida con
estabilidad cuando el sistema es sujeto a un
perturbación aperíodica (aperiodic disturbance).
Por perturbación aperiodica significa una que no se
produce con regularidad y solo después de
intervalos tales que el sistema alcanza una condición
de equilibrio entre perturbaciones.
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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Limite de Estabilidad Transitoria
•
Los tres principales tipos de perturbaciones o
disturbios transitorios que reciben consideración en
los estudios de estabilidad, en orden de incremento
de importancia son:
1. Incrementos de Carga
2. Operaciones de maniobra (Switching Operations)
3. Fallas con subsecuentes aislamiento de circuitos
(circuit isolation)
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
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