Dilemma del prigioniero e strategie dominanti La teoria dei giochi - ---■-- IVIL..11... L.IL..I ....... ----..... -■-- 1v1n. I 1:.1v1n. I IL-L..1 © 2010,Jordi Deulofeu per il testo © 2010, RBA Coleccionables, S.A. © 2011 RBA Italia S.r.l. per la presente edizione Direttore responsabile: Giorgio Rivieccio Registrazione presso il Tribunale di Milano in corso Iscrizione al ROC n. 16647 in data 1/03/2008 ISSN 2039-1153 Stampato nel 2011 presso Graficas Estella, S.L. Realizzazione: Animabit S.r.l. Traduzione: Lucia Lisei Impaginazione: Marcella Paladino Copertina: Llorenç Marti Illustrazioni: Babel, disseny i maquetaci6, S.L. Crediti fotografici: age fotostock,Aisa,Album,Corbis, Getty Images,iStockphoto Tutti i diritti sono riservati. Nessuna parte di questa • pubblicazione può essere riprodotta o diffusa senza l'autorizzazione dell'editore. Sommario Prefazione ................................................................................................................................................. 11 Capitolo 1. Breve storia delle relazioni tra matematica e giochi ....................................................................................................... Matematica seria e ludica, matematica pura e applicata ............................................... Matematica e giochi fino al secolo XVII .............................................................................. Giochi e matematica nell'antichità .................................................................................... Giochi e matematica nel Medioevo .................................................................................. Matematica e giochi nel Rinascimento .......................................................................... I giochi matematici dal secolo XVII ad oggi ...................................................................... L'apogeo degli svaghi matematici: i secoli XVII e XVIII ................................... Matematica ricreativa e giochi nei secoli XIX e XX .............................. ............. L'apparizione della teoria dei giochi ... . 16 16 20 24 27 28 32 38 Capitolo 2. Giochi di strategia e soluzioni di problemi ...................................... Il concetto di strategia vincente .............................................................. ................................... Trarre vantaggi, definire strategie. I giochi tipo NIM ..................... ............................. Verso la determinazione di una strategia ........ ................................ .................... Gioco 1 (due giocatori): Il 20 vince ..................................................... ................... Gioco 2 (due giocatori): Il 100 perde ...... .................................... . ..... . . . . . . ... Gioco 3 (due giocatori): Generalizzazione totale ......................................... Una strategia complessa: il gioco del NIM .................................................................. Gioco 4 (due giocatori): NIM prima versione .................................................. Gioco 5 (due giocatori): Marienbad ................................................... ..................... Obiettivi e regole di un gioco: giochi equivalenti e giochi distinti ............. Gioco 6 (due giocatori):Avanzata esagonale ....................................................... Gioco 7 (due giocatori): Collocare l'ultima ............................................... .. ...... Gioco 8 (due giocatori): Il Tsyanshidzi ................................................ ......... . ..... Gioco 9 (due giocatori): Salvare la regina ............................................................. Gioco 10 (due giocatori): La Margherita ................................................. ......... ,.. Giochi e pseudo-giochi .......................................................................................................... . Gioco 11 (du!e giocatori): Solo dispari .................................................................... Gioco 12 (due giocatori): Cerchi e quadrati ....................................................... 41 42 45 48 48 49 50 51 51 53 56 57 57 58 58 59 60 61 61 5 13 14 SOMMARIO Capitolo 3. Azzardo e gioco ........................................................................... Il cavaliere che non voleva perdere. Giochi d'azzardo e la nascita della probabilità ................... ........................................................................................................... L'azzardo domato. Lo studio matematico delle probabilità ........................................ Questioni di calcolo: l'ordine è importante? ....................................................................... Situazione 1 . Situazione 2 ............................................................ Situazione 3 ....................................................................................................................................... Situazione 4 ....................................................................................................................................... I numeri della lotteria ed altre false intuizioni riguardo all'azzardo .................... I capricci della probabilità ........................................................................................................ Giocare a bocce ...................................................................................................................... Un dado normale .................................................................................................................. Qual è la probabilità di vincere? .................................................................................. Un sorteggio controverso ................................................................................................ Una scommessa poco interessante .............................................................................. Anniversari coincidenti ...................................................................................................... L'azzardo non ha memoria ...................................................................................................... Lanciare una moneta ................................................................................................:........... Concorso televisivo .............................................................................................................. Matematica e speranza ....................................................................................................................... Un gioco di scommesse con tre dadi ............................................................................... Un pagamento anticipato ......................................................................................................... È possibile vincere contro il banco? Probabilità di successi ripetuti .................... Capitolo 4. La teoria matematica dei giochi .............................................................. . I principi della teoria dei giochi ... .................. ........................................................................... Quando si raggiunge l'equilibrio? .............................................................................................. Un gioco astratto con strategie pure ...................................................... Elezioni e ristoranti: applicazioni di giochi di strategia pura ............................................................................................................... Programmi elettorali ............................................................................................................ Situazione di un ristorante ......................................... .................................................... Quando non esiste equilibrio: le strategie miste ............................................................... Determinazione di una strategia mista ottima ....... .................................................... Applicazioni della strategia mista ........................................................................................ 6 65 65 68 72 72 73 74 75 76 76 77 77 77 78 79 80 81 81 82 85 86 87 88 91 91 96 98 100 100 102 103 103 106 SOMMARIO La crescita di un'impresa............. .......... .......................................................................... Il lancio di un rigore ................................................ .......................................... ............... Vantaggi e limitazioni del metodo del minimax ............................................................... 107 108 110 Capitolo 5. La vita è gioco: applicazioni della teoria nel mondo reale ........................................................................................................................... . 115 La matematica della cooperazione: i giochi a somma non zero ............................. 117 Un'idea ragionevole: l'equilibrio di Nash............................................................................. 120 Prigionieri con dilemmi e altri problemi classici della teoria dei giochi ......... 123 Il dilemma del prigioniero ...................................................................................................... 124 Il gioco della gallina..................................................................................................................... 128 Cooperare o morire. Il caso dei falchi e delle colombe ....................................... 130 A proposito di giochi con più di due persone.................................................. ,................ 132 Giochi di n persone ................................................................................................................... .. 133 Giochi di cooperazione, alleanze e distribuzioni ...................................................... 135 Esempio 1 ..... .. . ......... . . .. ..................................................................................................... 135 Esempio 2 ................................................................................................................................... 135 136 Esempio 3 ............ Bibliografia .............................................................................................................................................. 139 Indice analitico 141 7 . Non c'è nessuna branca della matematica, per quanto astratta sia, che non si possa applicare ogni giorno ai fenomeni del mondo reale. N. Lobachevsky Se la gente non crede che la matematica sia semplice, è solo perché non si rende conto di quanto è complicata la vita. John von Neumann Prefazione Qual è la relazione tra i giochi e la matematica? I giochi matematici sono solo un divertimento o possono servire a modellizzare situazioni della realtà? Quando si analizza un gioco dalla prospettiva della matematica, di quali con­ tenuti si ha bisogno e quali si possono apprendere? Può servire la matematica ad analizzare aspetti del comportamento umano o a prendere decisioni? Il libro che il lettore tiene in mano si propone di approcciare alcune di tali questioni. Si tratta di un libro di matematica e di giochi che, a differenza di altri libri dal tema simile, non propone una serie di giochi più o meno interessanti, ma basa la sua struttura su un insieme di concetti, teorie e processi matematici che si possono sviluppare partendo dall'analisi di diversi giochi. Il modo di affrontare il tema del libro dimostra che le dicotomie come ma­ tematica seria o ludica, matematica pura o applicata, possono essere in realtà le due facce della stessa medaglia, o forse meglio, le quattro facce di un tetraedro; infatti lo studio matematico dei giochi, cosa che inizialmente appartiene al terre­ no ludico e la cui analisi genera matematica per puro piacere intellettuale, si può trasformare attraverso la teoria dei giochi in una delle branche matematiche più direttamente applicate. In relazione alla struttura del libro, dopo un primo capitolo di carattere storico, destinato a scoprire le relazioni che nelle varie epoche sono esistite tra giochi e matematica, i due capitoli seguenti si occupano dei giochi nei quali non interviene l'azzardo - giochi di completa informazione - e dei giochi d'azzardo propriamen­ te detti. Così, nel capitolo 2 si mostra, mediante esempi di piccoli giochi di strate­ gia, come si può analizzare un gioco per determinare il modo di vincere sempre - strategia vincente - e quale matematica interviene in questa analisi. Nel terzo capitolo si espone la matematica elementare dell'azzardo, a partire dai giochi di scommesse che richiedono calcoli delle possibilità, la cui corretta deter­ minazione si incontra all'origine della teoria delle probabilità. Gli ultimi due capitoli costituiscono una introduzione alla teoria dei giochi, la branca della matematica iniziata da Von N eumann verso la metà del secolo XX, che studia aspetti del comportamento umano per ottimizzare il modo di prendere decisioni in campi tanto diversi come, tra gli altri, l'economia, la politica, le orga­ nizzazioni militari o l'evoluzione biologica. La teoria utilizza i giochi come modelli matematici che simulano situazioni reali negli ambiti menzionati. 11 PREFAZIONE Una parte rilevante della teoria dei giochi è costituita dalla formulazione e dall'analisi di certi dilemmi, come il gioco della gallina - fino a dove rischiare per vincere? - o il dilemma del prigioniero - tacere o denunciare? - che propongono situazioni limite, presenti in molti eventi del nostro mondo, dove la tensione tra confronto e cooperazione rende difficile prendere le decisioni migliori. La matematica, se anche non dà soluzioni conclusive a questi dilemmi, mostra, attraverso la quantificazione delle diverse possibilità, quali sono i rischi del con­ fronto cieco e quali i vantaggi della cooperazione. Capitolo 1 Breve storia delle relazioni tra matematica e giochi I.A vita merita di essere vissuta per giocare ai più bei giochi [... ] e vincerli. Platone La matematica è una disciplina seria o ludica? Pura o applicata? Senza dubbio si può rispondere a queste due domande dicendo che sono entrambe le cose in en­ trambi i casi: questa risposta potrebbe sembrare un voler evitare di prendere posi­ zione nella questione, per cui si cercherà di spiegare il significato della medesima. La discussione se la matematica si sviluppi per se stessa, cercando di risolvere i propri problemi, ovvero se si sviluppi a partire dai problemi proposti in altre disci­ pline o ambiti è molto antica; pertanto uno sguardo alla storia di questa disciplina può aiutare a chiarire la questione. La matematica degli antichi Egizi e dei Babi­ lonesi era essenzialmente applicata e pratica, come testimoniano i documenti che conosciamo; invece la matematica dei Greci, momento nel quale sorge l'essenza di questa scienza - la necessità di dimostrare la verità dei propri risultati - è in maggior parte una scienza pura riferita ad enti astratti, come i numeri e le formè; senza dubbio incontra applicazioni molte volte inaspettate in diverse situazioni,' sia nell'ambito quotidiano, sia in quello di altre scienze. Il carattere ludico di molti giochi non esclude la realizzazione di molti calcoli: al contrario, nella maggior parte dei casi, chi li realizza meglio otterrà la vittoria. 13 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI Si potrebbe dire che la matematica si sviluppa perché cerca di risolvere pro­ blemi o di rispondere a domande sul nostro mondo, nel significato più ampio del termine. Però, dato che è una attività umana, essa è condizionata dalla cultura nella quale si sviluppa ed è in suddetta cultura che si pongono le questioni rilevanti che in ogni momento i suoi membri cercano di risolvere. Matematica seria e ludica, matematica pura e applicata John von Neumann, uno dei protagonisti di questo libro, nella sua conferenza The role oJ Mathematics in Science and Society affermò che molte delle grandi idee mate­ matiche sono state elaborate senza pensare alla loro utilità e neppure alle possibilità che avrebbero avuto; invece, trascorso del tempo, le teorie, i modelli ed i metodi sviluppati dai matematici si sono rivelati utili per risolvere problemi o rispondere a domande nei più diversi ambiti della conoscenza. Allo stesso tempo, molte idee matematiche hanno impregnato il mondo nel quale viviamo, perché questa scien­ za, apparentemente lontana dalla realtà, è presente in essa in forme diverse. Von Neumann non si può assolutamente inquadrare nel gruppo di matematici che non valutano o persino disprezzano le applicazioni di questa disciplina; non per nulla egli è uno dei creatori della teoria dei giochi, una branca della matemati­ ca essenzialmente applicata, ed afferma che nella scienza molti risultati si sono ot­ tenuti quando i ricercatori hanno smesso di cercare ciò che avrebbe potuto essere utile e si sono lasciati guidare da criteri di eleganza intellettuale. Di fatto, sottolinea Neumann alla fine della sua conferenza, il progresso della scienza è stato superiore alla ricerca strettamente utile dell'uomo, e questo laissez faire ha ottenuto risultati straordinari nel campo della matematica. Facendo un parallelo con la questione dell'utilità della matematica si potrebbe parlare del carattere ludico di questa disciplina. Può una scienza spesso così astratta essere allo stesso tempo tanto divertente? Ancora una volta la storia della mate­ matica ci illumina sulla questione. In questo capitolo si vedrà come la matematica ricreativa, i giochi e, in generale, un certo aspetto ludico si sono manifestati pra­ ticamente in ogni momento della storia e sono stati anche presenti all'inizio della creazione di nuove teorie, come la probabilità e, ovviamente, la teoria dei giochi. Un indovinello, un gioco ed un problema matematico hanno qualcosa in co­ mune. Pongono una sfida intellettuale, la cui accettazione porta chi lo risolverà, o il giocatore, a realizzare uno sforzo per risolverlo, o per vincere contro l'avversario. Questo sforzo, che è visto dall'esterno come fastidioso e persino noioso, è per co14 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI loro che amano la matematica e le sfide intellettuali o i giochi in cui c'è da pensare, una fonte di soddisfazione. Perché, come disse Miguel de Guzman, la matematica è sempre un gioco, anche se è molte altre cose. Molti giochi convenzionali sono analizzabili dalla prospettiva della teoria dei giochi. Ugualmente, il carattere ludico dei giochi da scacchiera - e forse ancor di più, la sfida intellettuale alla loro base - ha una grande similitudine con la matematica, dato che fare matematica si può trasformare in una attività veramente ludica e so­ prattutto intellettualmente stimolante. Un breve percorso nella storia della matematica e dei giochi, dalla sua appari­ zione ai giorni nostri, ci mostrerà che l'elemento ludico è stato sempre presente nelle varie epoche, dagli antichi Egizi al secolo XX. Benché la parola gioco si rife­ risca a qualsivoglia attività individuale o collettiva di carattere ludico, d'ora in poi si distinguerà tra ricreazioni matematiche - che si denomineranno anche indovinello . . o rompicapo - e gioco. Mentre le ricreazioni sono problemi di carattere ludico da cercare di risolvere, un gioco è una attività alla quale partecipano per lo meno due persone, dato che il primo obiettivo dei giocatori è vincere contro gli avversari. In secondo luo­ go, quando si passa all'analisi del gioco, lo scopo sarà determinare le strategie per vincere, qualora queste esistano - ciò che succede nei giochi finiti nei quali non interviene l'azzardo - o, nel caso di giochi d'azzardo, le strategie che aumentano le probabilità di vincere. 15 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI Matematica e giochi fino al secolo XVII Fin dalle sue origini, la storia della matematica è piena di riferimenti ai giochi e agli aspetti ludici di detta disciplina. In realtà, da quando l'umanità ha iniziato a praticare giochi e, parallelamente a sviluppare la matematica, e fino al XVII secolo, non è possibile separare quella che si può chiamare propriamente matematica seria da quella ludica o ricreativa, dato che in molte opere entrambi gli aspetti paiono intrecciati. Nel 1612 apparve in Francia il primo libro dedicato esclusivamente alla mate­ matica ricreativa, Problèmes plaisants et délectables qui se font par le nombres di Claude­ Gaspar Bachet de Méziriac. A partire da quel momento, i due ambiti della ma­ tematica iniziarono a separarsi, poco a poco, anche se i contatti continueranno a essere numerosi: per esempio, all'origine della probabilità, grazie a Fermat o a Pascal, negli interessi per i problemi ricreativi di grandi matematici - come New­ ton, Euler o Gauss - o nei lavori sui numeri di Edouard Lucas, fino ad arrivare alla creazione della teoria dei giochi, verso la metà del XX secolo. Giochi e matematica nell'antichità Presso le due grandi civiltà dell'antichità, quella babilonese e quella egizia, quando la matematica era essenzialmente di carattere pratico, si incontravano sia giochi da scacchiera sia problemi di tipo ricreativo. In riferimento ai primi, il Senet in Egitto ed il Gioco Reale di Ur in Babilonia sono le prime due testimonianze di giochi da scacchiera giunte fino ai nostri gior­ ni. D'altra parte, in uno dei documenti più antichi di matematica egizia conosciuti, il Papiro Rhind, datato circa 1650 a.C., scoperto nel tempio funerario di Ramsete II verso il 1850 ed acquisito a Luxor da Henry Rhind nel 1856, oggi conservato al British Museum di Londra, si trovano problemi pratici di calcolo, di distribuzione e di misure, accanto a problemi matematici senza contesto che ricordano questioni ricreative. Per esempio, il problema 24 del papiro dice così: "Ah, il totale e la settima parte fanno 19", enunciato la cui interpretazione attuale sarebbe: "Trova un numero tale che sommato alla sua settima parte dia 19". Questo problema, la cui soluzione è elementare utilizzando una equazione di primo grado, tecnica evidentemente sco­ nosciuta agli Egizi, è risolto dallo scriba Ahmes, autore del papiro, utilizzando un interessante processo chiamato Metodo della falsa posizione che gli antichi utilizzava16 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI La regina Nefertari, sposa di Ramses Il, rappresentata mentre gioca una partita di Senet. La scena decora una delle pareti dell'anticamera della sua tomba. no spesso per risolvere molti problemi di aritmetica e che in questo caso si applica così: Ahmes immagina che 7 sia la soluzione e fa la seguente operazione: 7 + 7 1/7 = 8. Dato che il risultato non è 19, egli cerca per quanto deve moltiplicare 8 per arrivare a 19; come dire che divide 19 per 8, cosa che nello stile egizio diventa: 17 BREVE HISTORIA DE LA RELACIÒN ENTRE MATEMATICAS Y JUEGOS (8 x) 2 ------------------- 16 (8 x) 114 ------ 2 (8 x) 1/8 ---------------- 1 Da cui si deduce che: 19:8 = 2 + 1/4 + 1/8. Dunque moltiplica 7 per: 2 + 1/4 + 1/8, e ottiene 14 + (1 + 1/2 + 1/4) + (1/2 + 1/4 + 1/8) = 16 + 1/2 + 1/8, risultato che oggi si esprimerebbe 16 + 5/8, ossia 16,625. SENET, UN GIOCO MILLENARIO Uno dei giochi da scacchiera più antichi che si conoscano si chiama Senet. Sappiamo che era pra­ ticato dagli antichi Egizi per i molti resti archeologici trovati sia in tombe reali sia popolari, dove ci sono pitture e mosaici che mostrano giocatori di Senet. Senza dubbio non conosciamo con precisione le regole, anche se disponiamo di una ricostruzione realizzata nel 1991 da T. Kendall e R. May, i quali sottolineano che il Senet ebbe una grande importanza nei riti funebri, fino al punto che il defunto doveva giocare una partita col destino in presenza del dio Osiris. Persino nel Libro dei Morti si suggerisce che la vita nell'aldilà dipenda dal risultato di questa partita. Il gioco, tra due competitori, consiste in una gara per prendere dalla scacchiera le 7 pedine di ciascun giocatore. Al posto dei dadi si utilizzano 4 bastoncini, piatti da un lato e convessi dall'altro, che si lanciano simultaneamente, ottenendo 5 risultati possibili, secondo il numero dei bastoncini che mostrano il lato piatto. Scacchiera di Senet, con il primo movimento delle pedine. Di lato, i 4 bastoncini che si utilizzano al posto dei dadi. 18 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI IL GIOCO REALE DI UR, PIÙ DI 4000 ANNI DI STORIA Col Senet egizio, questo gioco da scacchiera è uno dei più antichi conosciuti. Una preziosa scac­ chiera trovata nella città sumera di Ur, scoperta dall'archeologo britannico sir Leonard Wooley verso il 1920, risale a più di 4000 anni fa. Oggi è conservata al British Museum di Londra. Si presume che fosse un gioco praticato dai re e dalla nobiltà, ed il fatto che si sia trovata in tombe fa pensare che accompagnasse il defunto perché questi potesse giocare nell'aldilà. Come nel caso del Senet, non conosciamo neppure le sue regole, anche se grazie ai resti trovati °(oltre alla scacchiera, una serie di pedine in madreperla e ardesia, 7 bianche e 7 nere, e sei dadi a forma di piramide triangolare regolare) si presume che fosse un gioco da gara. La forma curiosa della scacchiera, 20 caselle che formano due rettangoli di 3 x 2 e 3 x 4, uniti da un altro di 1 x 2, ha suggerito il percorso che dovevano seguire le pedine. Scacchiera del Gioco reale di Ur, con indicato il primo movimento per ciascun giocatore. Il lettore osserverà due caratteristiche della matematica egizia, il modo di ope­ rare e l'uso delle frazioni. Per fare la divisione, lo scriba Ahmes cerca tre potenze di 2 che ammontino a 19, le quali sono: 16, 2, 1; trova l'ottava parte di ciascuna, 2, 1/4, 1/8, e somma questi valori. 19 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI Per il calcolo con frazioni, lo scriba ha utilizzato solo frazioni unitarie, chiamate anche "egizie", che hanno per numeratore l'unità. Questa curiosa aritmetica creata dagli Egizi per il calcolo con frazioni è stata oggetto di studio in epoche diverse da parte di insigni matematici, tra i quali Leonardo da Pisa, chiamato Fibonacci (1175-1250) uno dei grandi matematici medievali e il primo che abbia dimostrato la praticabilità del metodo egizio; l'inglese James Joseph Sylvester (1814 - 1897) che trovò nuovi metodi per esprimere una frazione somma di frazioni unitarie e l'ungherese Paul Erdos (1913-1996), uno dei matematici più prolifici del secolo XX, interessato soprattutto alla teoria dei numeri, che formulò numerosi problemi aperti in relazione con le frazioni egizie e ne risolse alcuni. Giochi e matematica nel Medioevo In questo rapido percorso nelle relazioni tra matematica e giochi, nel quale si di­ stinguono solo alcuni momenti più interessanti, facciamo un gran salto per arrivare al XIII secolo, nel quale visse Leonardo da Pisa, detto Fibonacci, (1175-1250) au­ tore del Liber Abaci (1202), opera che introdusse in Occidente il sistema di nume­ razione posizionale decimale. In questo testo si trova il famoso problema della ri­ produzione dei conigli, che genera l'interessante successione: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.... conosciuta come "successione di Fibonacci". La sua legge è molto semplice (dopo i primi due termini che sono 1, ciascun termine è la somma dei due pre­ cedenti), ma propone proprietà affascinanti, come la sua relazione con il numero aureo (cf.>=(1+ )/2), che risulta essere il limite della successione an I a n-t' quando n tende ad infinito, dove a è il termine generale della successione di Fibonacci. In una delle sue opere principali, Liber quadratorurm (Il libro dei quadrati), pubbli­ cato nel 1225, Fibonacci commenta il torneo matematico che ebbe luogo alla cor­ te di Federico II di Sicilia, nel quale affrontò Giovanni da Palermo e lo sconfisse. Queste sfide, autentici tornei intellettuali di stile medievale, consistevano nel proporre una serie di problemi all'avversario e nel vedere chi era capace di risol­ verne il maggior numero in meno tempo, con l'unica condizione che il parteci­ pante che proponeva un problema all'avversario doveva saperlo risolvere. Uno dei problemi spiegati da Fibonacci è il seguente: trovare un numero tale che se sommiamo o sottraiamo 5 al suo quadrato otteniamo in entrambi i casi numeri quadrati. Curiosamente, 1225, l'anno della pubblicazione del libro, è un quadrato perfetto (il precedente sarebbe 1156 ed il successivo 1296), l'unico anno con tale caratteristica vissuto da Fibonacci. ✓5 20 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI Ali'epoca di Fibonacci, l'erudito arabo Ibn Kallikan fu il primo a spiegare la nota leggenda sull'inventore della scacchiera: La storia di Sissa ben Dahir e del re indiano Shirham (1256). Secondo la leggenda, Sissa, l'inventore della scacchiera, ot­ tenne di intrattenere il re Shirham che gli concesse in dono ciò che desiderava. Sissa chiese al re un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, 2 per la seconda, 4 per la terza, 8 per la quarta, e così, raddoppiando ogni volta, fino alla casella 64. Il re considerò la richiesta di Sissa molto piccola fino a che non si rese conto che non avrebbe mai potuto esaudirla. In effetti 2° + 2 1 + ... + 262 + 263 + 264 - 1 = 18.446.744.073.709.551.615, più di 18 trilioni, quantità di grano che supera di gran lunga la produzione annuale mondiale di grano. �i" Pm" "" ;'.J� li!.r:1 ei!ir •i· �I ,;-,pi, tr _,,., ., 'l''I' ftr.,nn� tff Pagina del Liber Abaci di Fibonacci. 21 •• i 1• q ;: BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI Sempre nel secolo XIII, esattamente nel 1283, apparve il Libro dei giochi, com­ nissionato dal re Alfonso X il Saggio. Anche se nel libro ci si occupa più di giochi che di aspetti matematici, è in­ eressante l'analisi che si intraprende per avere un'idea del tipo di giochi (tanto l'azzardo quanto di strategia) che si praticavano a quell'epoca, ed il livello di co­ Loscenza raggiunto sulle strategie per vincere. Oltre agli scacchi ed a vari giochi li strategia, il libro commenta I'Alquerque, uno dei giochi di strategia, cioè senza zzardo, più antichi conosciuti. IL LIBRO DEI GIOCHI DI ALFONSO X IL SAGGIO Nel 1283 il re Alfonso X il .Saggio commissionò un testo conosciuto come Il Libro dei Giochi e anche come Giochi diversi da scacchiera, dadi e pedine. li libro è costituito da 98 pagine con 150 illustrazioni a colori e si occupa dei principali giochi da tavolo conosciuti alla sua epoca, come gli scacchi, l'alquerque, i giochi di dadi e pedine, una famiglia di giochi che include anche il backgammon. L'unico originale conservato si trova nella Biblioteca del Monastero dell'Escorial. Il valore di questo libro, che è il più antico sui giochi in Occidente, è enorme, sia per il suo contenuto, che ci permette di conoscere i giochi praticati nella Penisola Iberica da circa 800 anni, sia per le magnifiche illustrazioni. Illustrazione del Libro dei Giochi di Alfonso X il Saggio che mostra il gioco dell'alquerque. 22 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI L'ALQUERQUE, ANTICO GIOCO DI STRATEGIA Con questo nome si conosce un gioco per due giocatori, descritto nel Libro dei Giochi di Alfonso X, che si pratica con una scacchiera quadrata di 5 x 5 con 12 pedine per ciascun giocatore, che si collocano lasciando la casella centrale vuota. Per l'obiettivo del gioco - eliminare le pedine dell'avversario - e soprattutto per il modo di farlo, è chiaramente un predecessore del gioco della Dama. Il riferimento scritto più antico si trova in un manoscritto arabo del secolo X, il Kitab al-Aghani, dove è citato con il nome di AI-Quirkat, cosa che ci fa dedurre che arrivò nella Penisola Iberica tramite gli Arabi. Senza dubbio, ci sono elementi che fanno pensare che il gioco possa essere più antico: da un lato, si sono trovate scacchie­ re più antiche, incise nel suolo in siti archeologici, che sicuramente sono servite per praticare il gioco; d'altra parte, esistono molteplici varianti con lo stesso tipo di scacchiera in Marocco ed in India, e con scac­ chiere diverse in India ed in Sri Lanka, oltre ad altri giochi, fra cui la Dama, come il Fanorona del Madagascar o l'Awithla­ knanriaì degli lndios Zuni dell'America del Nord. Da/l'alto, le posizioni iniziali nel gioco de/l'Alquerque, del Fanorona e dell'Awithlaknannai. 23 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI Matematica e giochi nel Rinascimento La matematica rinascimentale è rappresentata da un gruppo di matematici cono­ sciuti come gli algebristi italiani, tra i quali si incontrano Tartaglia, Cardano, Bom­ belli, Ferrari e Del Ferro, i cui principali apporti riguardano il campo dell'algebra, e in particolare la soluzione di equazioni. Nell'ambito della matematica e dei gio­ chi bisogna citare soprattutto Tartaglia e Cardano. Nicolò Fontana (1499-1557), detto Tartaglia, autodidatta e professore di matematica, è noto per avere trovato un metodo generale per risolvere le equazioni di terzo grado. Fu anche il primo traduttore in italiano delle opere di Euclide e Archimede. La sua sfida matematica contro Scipione Del Ferro, con lo stile dei tornei medievali - che vinse risolvendo tutti i problemi che questi gli aveva proposto, la maggior parte dei quali richiedevano la soluzione di equazioni di terzo grado - fece sì che Cardano gli chiedesse la formula per risolvere queste equazioni: Tartaglia si ac­ cordò con Cardano e questi non esitò a pubblicarla, cosa che provocò una grande rabbia al suo inventore. Q__V E ·s· I T . ET INVENTIONI 1,- DIVERSE D E N I C O LO:_ T ART A G L I A; Di oouo �fiampatt con vu.a G1ona.al fofio libro. nel!� qn:1.Ie ii moftra duoj modi di rcdurvna Cirtà iacfpugn2bilc. � i!'!i/W,n!, � t�ntintntia "!, tuttttfopranel fegsmtefog!io fi _trouara nctat,c..,. Frontespizio di Quesiti et inventioni diverse (1546) di Nicolò Tartaglia. 24 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI GEROLAMO CARDANO (1501-1576) Medico, matematico, astronomo, astrologo e, tra le altre cose, giocatore, Cardano, con Tartaglia, Del Ferro, Ferrari e Bombelli, è uno dei matematici che contribuì allo sviluppo dell'algebra in Italia nel secolo XVI. La sua vita è ben nota grazie alla sua stessa autobiografia De vita propria, nella quale ci racconta vari episodi dettagliati. A differenza di molti suoi contemporanei, Cardano raggiunse una certa fama, specialmente come medico. Come un vero rinascimentale, si interessò delle più varie scienze, utilizzando la ragione per progredire in ogni sapere della sua epoca, anche se in alcuni momenti non riuscì a liberarsi di un certo grado di ingenuità, irrazionalità e persino superstizione, cosa che rende la sua figura altamente contraddittoria. Tra le sue opere matematiche si distingue l'Ars Magna, pubblicata nel 1545, una delle opere chiave dell'algebra rinascimentale. In precedenza, nel 1539, aveva scritto un altro libro intitolato Practica Arithmetica. Inoltre è l'autore di uno dei primi libri sui giochi e la matematica, il Liber de ludo aleae (!I libro dei giochi d'azzardo), nel quale avvicina per la prima volta problemi sulla probabilità in relazione ai giochi di dadi, con soluzioni a volte ingegnose, però spesso scorrette. Quest'opera fu scritta da Cardano verso il 1564; però non fu pubblicata che nel secolo succes­ sivo, con l'occasione dell'apparizione della sua opera completa. L:opera, che si dovrebbe considerare come la prima nella quale si parla di probabilità, non ebbe la risonanza dei lavori di Pascal e Fermat, la cui corrispondenza si consi­ dera come l'inizio dello studio matema­ HIERONYMI CAR DANI, PR.IESTANTISSIMI MATHE )I A T l C r,- P R 1 L O I O P Jl 1,, A C J4 B J> I C •• AR TIS MAGNfE, SIVE DE REGVLIS ALGEBRAICIS, Lib.unus. Qui & cotius operi• d< Arithmcàa, quod OPVS PERFECTVM infaiplìr,dl:ìn ordiuc Dcdm111. tico del caso attraverso la teoria della probabilità. H Frontespizio del trattato Ars magna di Gerolamo Cardano. Abeslnbodlbro,fh1diofé Ld!or,Rcgufas Afg,!,,.iiras rftali, dcfa Cof fa uocant) nouit adinumrionibus ,acaemonfirarlonibus ah Authorc ita Iontpletatils,ut pro pa.uadis amea uutgd tritis,(am feptuagintaara!érim.Ne­ 'J folum , uhi 1mus numerus almi,am duo unt,umim ttiarn,ubiduo duobus. aut tm: nni fqlllles fottint,nodumc-xplicant. Huncail, librumideo fe:or� fim «krr pJacuir,ut hoc abftrufiisimo, & plani! imxhaufio rotius Arithmcd e.e thefauro in lucan tnno, & qnafi in chcatro quodam omnibus ad fpcd:an du:m expofit0, Ltdotu indr.nétur,ut rdiquos Operis Ptrfcdi!tbros, qui pct Tomos«kruur,1anco auid.iusampkdantur,ac minotchtlidio padifom.t, 25 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI Anche se Tartaglia non analizzò specificatamente i giochi d'azzardo nel senso in cui lo fece Cardano, pubblicò un libro Quesiti et inventioni diverse (1546), nel quale propose enigmi e problemi, alcuni dei quali molto conosciuti e spesso riproposti persino ai giorni nostri, come i seguenti: Un uomo ha 17 cavalli e li vuole lasciare in eredità ai suoi tre figli nella pro­ porzione di 1/2, 1/3 e 1/9; come si divideranno i cavalli? Un uomo ha tre fagiani e vuole dividerli tra i due genitori e i due figli in modo che ciascuno abbia un fagiano; come ci riuscirà? Senza dubbio, uno dei primi matematici che analizzò con una certa correttezza i giochi d'azzardo fu Cardano, forse il più brillante e versatile tra tutti i matematici della sua epoca, anche se la sua opera riguardo ai giochi non vide la luce fino al se­ colo successivo alla sua elaborazione: per questo motivo non ebbe la risonanza che meritava. Fu il primo a proporre il cosiddetto "problema dei punti", dandone una soluzione sbagliata, centrata sul punteggio di ciascun giocatore e non sulle pro­ babilità di vincita di ciascuno di questi. Questo problema è uno di quelli studiati nella corrispondenza tra Pascal e Fermat, del quale si parlerà nel capitolo 3. Accanto agli algebristi italiani bisogna menzionare Nicolas Chuquet, matema­ tico francese che nella sua opera Triparty en la science des nombres (1484) introdusse problemi ricreativi, essendo l'iniziatore dei cosiddetti "problemi dei travasi", uno dei quali dice così: Abbiamo due brocche, una di capacità di 3 pinte e l'altra di 5. Come possia­ mo lasciare esattamente 4 pinte nella più grande, facendo i travasi necessari, sapendo che nessuna delle brocche ha dei segni che ci permettano di cono­ scere il volume, se non quello indicato quando le brocche sono piene? Infine bisogna citare Robert Recorde (1510-1588), matematico gallese che, come Cardano, ebbe una vita burrascosa e come tutti gli uomini di scienza del Rinascimento avvicinò varie materie, come l'astronomia o la medicina. Recorde è noto perché nella sua opera The Whetstone cifWitte (1557) utilizzò per la prima volta il segno"=", commentando, a proposito dello stesso, che non c'è nulla di più uguale che due rette parallele. Anche se ai nostri giorni sarebbe diffici­ le immaginare l'algebra senza l'uso di questo simbolo, è certo che fu necessario far 26 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI passare parecchio tempo perché diventasse usuale, coesistendo fino al secolo XVIII con altri come "ae" (inizio della parola aequo). In quest'opera ci sono problemi ri­ creativi che nella maggior parte dei casi si risolvono utilizzando l'algebra. I giochi matematici dal secolo XVII ad oggi Benché, come si è visto, la matematica seria e quella ludica siano coesistite fin dall'inizio di questa scienza, il punto di partenza della matematica ricreativa come area indipendente, includendo l'analisi dei giochi, si pone al principio del secolo XVII. Come si è detto al principio del paragrafo precedente, nel 1612 apparve il primo grande libro dedicato esclusivamente alla matematica ricreativa, Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres di Claude-Gaspar Bachet de Mézi­ riac (1581-1638). Questo matematico, poeta e traduttore, uno dei primi membri dell'Accademia Francese, è noto, oltre che per il suo libro di ricreazioni, per esse- DIOYHANTI ALEXAND'itINI .ARITHMETICORVM L 11} RJ s E'X, ·, . . E� DE NVMER.IS .llfVL'l".4Nq'fTLIS L t)j E i( V N vs.. :J\(f!.11, primùm CrM¾ 'ey L.i1inè tJìij � 11tq11_t db[drttij?imì.s Commmw·ii6 ìll11jlr;1tì. AVCTOIU CLAVDIO M.E.2.J!t.lACO GASPAllE B,ACHETO S&JVSIA.NO,V.C. ! LVTETIAE PARISIORVM. �umptibus S FB A sTI ANI C R. A M O I S Y, lac;obifa, fub Cicolliir. M. via òc. xxi: C/'M 'PRJ'fT/LEGJ() REC/J. Frontespizio della versione latina del/'Arithmetica di Diofanto commentata da Bachet de Méziriac. 27 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI re l'autore di una versione latina commentata dell'Arithmetica di Diofanto (1621), scritta originariamente in greco; su uno dei vari esemplari, Fermat annotò su un margine la sua celebre congettura (parleremo approfonditamente di Fermat nel capitolo 3). L'apogeo degli svaghi matematici: i secoli XVII e XVIII L'opera di Bachet de Méziriac è un compendio della matematica ricreativa del suo tempo; vi si trovano ricreazioni note, come "il lupo, la capra ed il cavolo", quadrati magici, questioni sui numeri interi o problemi sui pesi, come il seguente: trovare il numero minimo di pesate, ed i rispettivi pesi, per determinare il peso di un oggetto il cui valore sia un numero intero tra 1 e 40, con una bilancia a due piatti. A partire da questo momento, nello stesso secolo XVII apparvero diverse opere dello stesso genere. Nel 1624 Henry van Etten, pseudonimo del gesuita francese Jean Leurechon, pubblicò Récréations mathématiques, opera simile a quella di Bachet che però ottenne maggior fortuna e fu da modello per opere successive, tra le quali quella di Claude Maydorge, pubblicata nel 1630 in Francia e che già nel 1633 era tradotta in inglese, o quella di Daniel Schwenter pubblicata nel 1636 in Germania. Ritratto del matematico e linguista Daniel Schwenter. 28 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI L'opera che ebbe maggiore influenza nei secoli XVIII e XIX fu quella di Jacques Ozanam, Récréations mathématiques et physiques, revisionata e ampliata dal matemati­ co e storico della scienza Jean E. Montucla nel 1725. Nel secolo XVIII si deve citare l'opera di William Hooper Rational Recreations (1774), nella quale apparve il primo dei Vanishing Paradoxes, un buon esempio di come un rompicapo apparentemente semplice può portare all'applicazione di inte­ ressanti proprietà matematiche. Sebbene siano stati citati principalmente quei matematici che dedicarono opere specifiche al mondo dei giochi e delle ricreazioni matematiche, non possiamo di­ menticare che molti dei grandi matematici dal secolo XVII al XIX posero e risol­ sero problemi ricreativi che si sarebbero trasformati in classici del genere; tra questi, forse i tre migliori sono Isaac Newton (1642-1727) Leonhard Euler (1707-1783) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Newton, nella sua Arithmetica Universalis, scritta in latino nel 1707, introdusse problemi ricreativi elementari accanto a contributi rilevanti per la matematica.An­ che se il più noto è il "problema delle mucche", di seguito citiamo come esempio un problema di probabilità riferito al gioco d'azzardo. Si lanciano simultaneamente un certo numero di dadi non truccati; quale delle tre seguenti possibilità ha mag­ giore probabilità di successo? a) Si ottiene, almeno, un 6 lanciando 6 dadi. b) Si ottengono, almeno, due 6 lanciando 12 dadi. c) Si ottengono, almeno, tre 6 lanciando 18 dadi. Il lettore non avrà alcuna difficoltà a risolvere il problema dopo averne risolti altri simili proposti nel capitolo 3. Euler, forse il matematico più prolifico, è autore di numerosi studi di carattere ricreativo, come quello dedicato ai quadrati greco latini, anche chiamati "euleria­ ni", nell'ambito dell'analisi combinatoria. Si tratta di un tipo di quadrati magici nei quali n simboli si devono disporre in un quadrato di n X n caselle, in modo che in ciascuna fila ed in ciascuna colonna appaiano tutti i simboli; si può dire che siano i veri precursori degli attuali sudoku. Senza dubbio, la sua ricreazione più nota è il "problema dei ponti di Konigsberg", che Euler pubblicò in latino nel 1759 nelle memorie dell'Accademia delle Scienze di Berlino e che sta all'origine della teoria dei grafi. Un grafo è una rappresentazione grafica che rappresenta una relazione tra elementi di un insieme formato da punti (elementi dell'insieme) e archi che uni29 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI scono i punti (elementi collegati); la teoria dei grafi si utilizza soprattutto per porre e risolvere problemi di ottimizzazione. Il problema dei ponti di Konigsberg chiede se sia possibile realizzare un percorso a piedi che inizi in una qualsiasi delle quattro parti di terraferma e incroci tutti i ponti una sola volta. Euler dimostrò che tale percorso non esiste e stabilì le condizioni che permettono di conoscere a priori se un percorso sarà possibile o no. Infine, Gauss, oltre ai suoi grandi contributi per la matematica, dedicò una pic­ cola parte del suo tempo allo studio di problemi ricreativi, tra i quali quello chia­ mato "problema delle otto regine": situare in una scacchiera otto regine in modo che nessuna possa minacciare l'altra, trovare il numero di soluzioni e generalizzare il problema per n regine in una scacchiera di n X n caselle. Utilizzando inizial­ mente un metodo intuitivo che poi sistematizzò convertendolo in un problema di permutazioni, Gauss verificò che il problema delle otto regine aveva 92 soluzioni. a b e d e f h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 a b e d e f g h In questa scacchiera di 8x8 si mostra una delle numerose soluzioni al problema delle 8 regine. 30 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI IL PARADOSSO DI HOOPER In questo puzzle si parte da un quadrato di lato 8 unità, diviso in due triangoli e due trapezi e con questi quattro pezzi si forma un triangolo di 5 unità di larghezza e 13 unità di lunghezza. Se questo fosse possibile, risulterebbe che l'area del quadrato (64 u') sarebbe uguale a quella del rettangolo (65 u'), cosa che "dimostrerebbe" che 64 è uguale a 65: il lettore troverà l'im­ possibilità di "coprire" il rettangolo e dove si nasconde il "buco" di area 1 u'. Se si considera che con ciò il paradosso è già risolto, questo non smetterà di essere una semplice curiosità matematica. È possibile analizzare il problema con più attenzione, e vedere che questo va molto al di là. In effetti, se si osservano le lunghezze delle diverse figure e si ordinano, si otter­ ranno i numeri 3, 5, 8, 13, che sono termini della successione di Fibonacci. Una delle proprietà di questa successione dice che il quadrato di un termine è uguale al prodotto del precedente per il successivo più (o meno) 1, come dire: a; =an_, -an+1 +(-1)n+1. Questo spiega che, prendendo un quadrato che abbia per lato un termine della successione di Fibonacci e un rettangolo i cui lati siano i termini precedente e successivo, si può costruire questo puzzle paradosso. Il paradosso è risolto e il puzzle costruito correttamente, se si ricorre al numero aureo (<I>), spesso in relazione alla successione di Fibonacci: se si prende un quadrato di lato <I> con i quattro pezzi, come prima, si forma un rettangolo di lato 1 e <I>+ 1. Ora è possibile e l'area del quadrato (<1>2 ) è uguale a quella del rettan­ golo che è 1 ·(<I>+ 1). Il paradosso di Hooper propone che con i due triangoli ed i due trapezi contenuti nel quadrato si formi un rettangolo. 31 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI Matematica ricreativa e giochi nei secoli XIX e XX I giochi e la matematica ricreativa continuarono a svilupparsi durante il secolo XIX e all'inizio del secolo XX, aumentando enormemente i propri contenuti. Tra gli autori del secolo XIX bisogna citareJamesJoseph Sylvester (1814-1897),Lewis Carroll (1832-1898), Édouard Lucas (1842-1891) e WalterW Rouse Ball (18501925). Dato che non è possibile citare le opere di tutti questi, menzioniamo solo le più rilevanti, trattando in dettaglio i lavori di Carroll e di Lucas. Il reverendo Charles Ludwig Dogson, noto come Lewis Carroll, l'autore del racconto di Alice, fu matematico e professore a Oxford. La sua grande passione per la matematica ludica lo portò a progettare una collezione di libri che non com­ pletò, con il titolo di Curiosa Mathematica. Nel secondo di questi, chiamato Pillow Problems, mostra il suo ingegno nel risolvere problemi, anche se il livello di difficol- Il famoso autore di Alice nel Paese delle Meraviglie, Lewis Carro//, ideò anche molti giochi matematici. 32 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI tà di questi va dal semplice scherzo (ho due orologi, uno fermo e uno che ritarda di un minuto; quale dei due segna meglio l'ora?), fino a difficoltà notevoli (dati tre punti a caso su un piano infinito, qual è la probabilità che formino un triangolo ottusangolo?). Carroll, oltre che ingegnoso inventore di giochi matematici e logici, fu un grande conoscitore della lingua, come dimostra nelle sue pagine dedicate ad Alice, con i numerosi giochi di parole che inventò. Uno di questi, chiamato Word Ladder, consiste nel passare da una parola all'altra cambiando ogni volta solo una lettera, in modo che tutte le parole intermedie abbiano un significato; per esempio, per pas­ sare da COSA a NIDO una possibile soluzione poterebbe essere: COSA - COSO - CONO - NONO - NODO - NIDO. Sicuramente il più importante analista di giochi e di ricreazioni matematiche di quest'epoca fu Édouard Lucas, matematico francese, specialista della teoria dei nu­ meri, che lavorò soprattutto sulla successione di Fibonacci e che fu l'autore di un eccellente compendio, Récréations mathématiques. L'opera contiene 35 lavori, alcuni dedicati ali'analisi matematica dei giochi e altri temi ricreativi. Tra i giochi origina­ li inventati da Lucas si distingue quello noto come "le torri di Hanoi", che l'autore, per seminare dubbi sulla sua origine, attribuì nella sua presentazione del 1883 ad un antico professore cinese chiamato Mr. Claus della scuola di Li-Sou-Stain; si può notare che Claus è un anagramma di Lucas e Li-Sou-Stain lo è di Saint Louis, il liceo dove Lucas era professore di matematica. Una delle ultime opere di matematica ludica del XIX secolo è intitolata Mathe­ matical Recreations and Essays (1892) di Walter W Rouse Ball; durante il XX secolo è stato uno dei libri che ha più influenzato la matematica ricreativa, con più di 12 edizioni, una delle quali revisionata e aggiornata nel 1938 dal matematico speciali­ sta in geometria Harol Scott Coxeter. La posizione iniziale nel gioco delle torri di Hanoi. 33 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI IL "JEUX MILITA/RE" Uno dei giochi analizzati da Édouard Lucas nel terzo volume delle sue ricreazioni matematiche appartiene al gruppo di giochi di assedio o di accerchiamento, come il medievale "cercare la lepre" (dal libro di Alfonso X), "la volpe e le oche" (molto popolare nell'Inghilterra vittoriana e già conosciuto nel secolo X0/), o di assalto, di origine francese. Il "jeux militaire" è un gioco per due giocatori, senza azzardo, che ebbe grande successo nei circoli militari francesi nel secolo XIX. Un giocatore ha tre pedine bianche e l'altro, che inizia il gioco, ha solo una pedina nera; le pedine si dispongono su una scacchiera di 11 caselle (vedere il disegno con la posizione iniziale). l'obiettivo delle pedine bianche è di immobilizzare la nera, che cerca di scappare; però, mentre la nera può muoversi in qualsiasi direzione, le bianche non possono retrocedere. il gioco, apparentemente semplice, è molto sottile e, sebbene all'inizio si possa pensare che la nera sia in grado di scappare, l'analisi esaustiva realizzata da Lucas mostra che esiste una strategia vincente per le pedine bianche, che dispongono sempre per lo meno di una mano che impedisce alla nera di scappare. l'analisi del gioco mostra che sono necessarie al massimo 12 mani: il gioco st riduce essenzialmente a 16 partite distinte. Sembra impossibile che un gioco tanto ridotto possa esigere tanta precisione da parte del giocatore che muove le pedine bianche, dato che senza dubbio può sempre vincere, se scopre come farlo. La posizione iniziale del "jeux militaire". Il passaggio tra i secoli XIX e XX è segnato dalle opere dei due autori forse più prolifici di tutti i tempi nel campo della matematica ludica: l'inglese Henry E. Dudeney (1857-1930) e lo statunitense Sam Loyd (1841-1911). Molte delle ricre­ azioni note oggigiorno e che godono del gradimento del pubblico attuale sono riunite nell'immensa opera di questi due grandi autori. 34 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI Henry E. Dudeney è l'autore, tra gli altri, dei libri The Canterbury Puzzles (1907) e Amusements in Mathematics (1917); quest'ultimo contiene una delle mi­ gliori e più varie collezioni di ricreazioni matematiche di tutta la storia. Il "problema del merciaio" di Henry E. Dudeney, che risolve la questione di come tagliare un triangolo equilatero in quattro pezzi per formare un quadrato. Nella grande collezione di rompicapo creati da Dudeney si distinguono i crit­ togrammi, operazioni nelle quali i numeri sono indicati da lettere e nelle quali bisogna sostituire ciascuna lettera con una cifra, in modo che a lettera uguale cor­ risponda cifra uguale. Il crittogramma più noto è quello che si trova in una lettera che un ragazzo mandò a suo padre chiedendogli denaro con la seguente scritta: SEND +MORE= MONEY Il lettore deve sostituire ciascuna lettera con una ci­ fra in modo che la somma indicata sia corretta (l'unica soluzione del crittogramma è: 9.567 + 1.085 = 10.652). Sam Loyd pubblicò gran parte dei suoi problemi in periodici e riviste del suo tempo e fu suo figlio, Sam Loyd Junior, che compendiò gran parte della sua opera nel 1914, poco dopo la sua morte, con il curioso titolo Sam Loyd 's Cyclopaedia oJ 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums. Tra i rompicapo di Loyd si trova la nota ri­ creazione che consiste nell'unire 9 punti formando una trama quadrata di 3 X 3 con 4 segmenti retti tracciati senza sollevare la matita (lo stesso con 16 punti, 4 X 4, e 6 segmenti) o le numerose strutture nelle quali bisogna collocare certi numeri perché si verifichino certe condizioni. Per esempio, collocare i numeri da 1 a 8 ai vertici di un cubo in modo che la somma dei 4 vertici che formano ciascuna faccia sia la stessa. 35 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI 'fd��t-t_ è.; t .;; AV64 .,,. �J:�"-'fr �t;l1,wr::� ��Jì. � iw , � �'h..'l-mt:: ,-,., ...... ftif:,. , \1 .,,.ftth� �itl':1..f r\fMf� �., • 9 Pagina della 5am Loyd's Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums. La tradizione creata da Dudeney e Loyd continuò durante il secolo XX e tra gli autori principali della prima metà del secolo si distinse Maurice Kraitchik (18821957), autore di vari libri di giochi ed editore della rivista belga Sphynx. Dopo la Seconda Guerra Mondiale e per molti anni ancora, il panorama è stato dominato da un altro grande creatore e redattore, Martin Gardner (1914-2010), autore di un gran numero di libri e articoli pubblicati in più di 25 anni nella rivista di divulga­ zione scientifica Scientific American. Poco prima della sua morte, Gardner pubblicò revisioni delle sue opere, in to­ tale più di 70 libri, tra i quali Origami, Eleusis and the Soma Cube, che presentò nel 2008. Oltre alle sue creazioni fece conoscere i giochi e le ricreazioni più interes­ santi e nuove, come il "gioco della vita" di John Conway (1970) o Eleusis di Ro­ bert Abbott (1956). Altri autori importanti del XX secolo sono Yakov Perelman, il principale espo­ nente della scuola russa; il francese Pierre Berloquin e gli inglesi Ian Stewart, Brian Bolt e David Wells. Tutti questi sono autori di numerosi libri e collaboratori di diverse riviste periodiche. Meritano attenzione anche alcuni autori spagnoli, che come i precedenti han­ no provato ad avvicinare la matematica al grande pubblico, attraverso libri e articoli 36 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI ELEUSIS, UN GRANDE GIOCO DI ROBERT ABBOTT Se un gioco si definisce con un obiettivo e alcune regole, Eleusis non assomiglia a nessuno, dato che il suo obiettivo, indovinare la regola proposta da uno dei giocatori, è differente in ciascuna partita. Possono giocare da 4 a 8 giocatori, e bastano 3 mazzi di carte e alcuni gettoni. Una partita consta di tante mani quanti sono i giocatori. In ciascuna mano un giocatore distinto fa da mazziere (si trasforma in "dio", il creatore della regola) dà 14 carte agli altri giocatori e mette una carta sulla tavola; in precedenza, ha scritto su un foglio una regola segreta che permette di formare una sequenza di carte. Esempi di regole molto semplici sono rosso-nero o pari-dispari, anche se esiste un'infinità di regole: dopo il rosso, pari e dopo il nero, dispari; o anche quattro carte pari di semi diversi o quatto dispari dello stesso seme. Al creatore della regola, in accordo col punteggio del gioco, interessa che la regola non sia evidente, però neppure troppo difficile, dato che se nessuno la scopre otterrà pochi punti. I restanti giocatori devono scoprire la regola (senza mai dirla); a turno collocano una carta per formare una fila di carte "buone"; il dio dice se la carta è buona e la pone di seguito o se è cattiva e la pone sotto l'ultima buona e dà due carte di penalità. A partire dalla carta 40, giocare una carta cattiva implica l'eliminazione dal gioco; questo termina quando un giocatore finisce le sue carte o quando tutti sono eliminati. Nel libro Diez juegos que no se parecen a nada, di Robert Abbott, è inclusa una spiegazione completa di questo magnifico gioco. 37 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI su giochi e ricreazioni matematiche. Tra i più prolifici incontriamo Mariano Ma­ taix, Miguel de Guzman e Fernando Corbalan. Tutti questi sono autori e redattori di un'opera enorme che nel suo insieme, e unita a quella dei nostri antenati, costituisce una fonte inesauribile di problemi, giochi e ricreazioni matematiche. ••• ••• •• :1 • ••• • • • ••• • • • • 1· • • • Un problema con le pedine del domino di Yakov Pere/man: si collocano 4 pedine formando un quadrato nel quale ogni lato ha la stessa somma; la sfida è formare con tutte le pedine del domino quattro quadrati di questo tipo. L'apparizione della teoria dei giochi Una parte molto importante di questo libro, in concreto i capitoli 4 e 5, è dedicata alla teoria dei giochi. In questa si rende reale un principio della matematica secon­ do il quale, prima o poi, i concetti o i modelli di questa scienza hanno applicazione nelle situazioni del mondo reale, includendo quelle che nascono lontane da tali situazioni, come il caso dell'analisi dei giochi. Un buon giocatore è quello che, praticando un gioco, prende le decisioni più opportune quando realizza le sue giocate. L'analisi dei giochi pretende di trovare precisamente le migliori giocate e, quando è possibile, di determinare il modo di giocare per vincere sempre. Questo è teoricamente possibile coi giochi definiti senza azzardo, anche se la grandezza del gioco può impedire di trovare una strate­ gia definitiva che permetta di trovare una soluzione. La teoria dei giochi, iniziata con le opere di John von Neumann e di fatto con il libro pubblicato nel 1944 da questo matematico insieme all'economista Oskar Morgenstern, Theory ef Games and Economie Behaviour, parte da un tipo di giochi astratti per due o più giocatori, nei quali si determina anticipatamente quali sono i guadagni e quali le perdite di ciascun giocatore, quando l'insieme dei giocatori realizza una giocata determinata. Generalmente i giocatori effettuano la loro gio­ cata simultaneamente e non conoscono la strategia degli avversari. Questi giochi, 38 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI che agiscono come modelli matematici, servirono inizialmente per analizzare si­ tuazioni competitive riferite ali'economia, e gli autori mostrarono un metodo per determinare strategie ottime per ciascun giocatore. Il successo che ottenne, per la teoria, il metodo di soluzione proposto da von Neumann, conosciuto come "stra­ tegia minimax", ed il suo ampliamento a strategie che includono forme di gioco d'azzardo, chiamate "strategie miste", portò i primi matematici ed economisti che si occuparono di teoria dei giochi allo studio di situazioni più complesse. Senza dubbio, ciò che cominciò come un insieme di applicazioni al mondo dell'economia, inizialmente con modelli abbastanza semplici, si sviluppò nella se­ conda metà del secolo XX, con l'evoluzione dei giochi nei quali la vincita di un giocatore non necessariamente implica la perdita degli altri; si introdusse l'idea della cooperazione o, per meglio dire, della tensione tra conflitto e cooperazione; si generarono modelli di giochi ogni volta più vicini alla realtà, non solo nel campo dell'economia ma anche in altri campi, come quello militare o politico, o come nell'evoluzione biologica e persino nella filosofia. Tutte queste discipline apparentemente diverse hanno in comune l'importanza di prendere decisioni nelle situazioni che si possono presentare come se si trattasse di un gioco, anche se ora la parola gioco perde il carattere ludico e si focalizza di più sull'idea di rischio. A mano a mano che la formulazione di detti giochi si avvicina alla realtà, questi diventano più complessi e ammettono pertanto soluzioni più aperte nelle quali la matematica può apportare le sue conoscenze insieme ad altre idee di ordine John Van Neumann in una delle sue conferenze presso l'American Philosophica/ Society, istituzione di cui era membro. 39 BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI morale, etico e filosofico ed in generale pertinenti allo studio del comportamento umano. Uno degli aspetti che rendono più interessante la teoria dei giochi, oltre ai risultati, in alcuni casi sorprendenti, è precisamente la possibilità di intervenire in ambiti di scienze sociali dove una certa componente d'azzardo è inerente alle stesse e nelle quali le variabili che intervengono hanno relazione col comportamento umano, sia individuale, sia di gruppo. Così, lo sviluppo della teoria dei giochi por­ tò a proporre diversi dilemmi, generalmente incentrati sulla tensione tra conflitto, rischio e cooperazione che, per la loro applicazione a situazioni molto diverse, costituiscono una parte significativa di detta teoria. Tra i più noti, e che saranno discussi nell'ultimo capitolo di questo libro, si trovano "il dilemma del prigionie­ ro", "il gioco della gallina" o la sua versione nei termini di evoluzione della specie, conosciuto come "il dilemma dei falchi e delle colombe". Questi dilemmi mostra­ no, in qualche modo, la difficoltà ed al tempo stesso la possibilità di studiare, ed in certi casi di determinare, le conseguenze del comportamento umano, specialmente quando queste dipendono dalle strategie usate dai diversi partecipanti. 40 Capitolo 2 Giochi di strategia e soluzioni di problemi Anche se ci sono poche cose più divertenti dei passatempi, dato che rappresentano la sfida all'ingegno e la capacità di ragionare, la funzione di questi giochi non è solo ricreativa; come notò]. E. Littlewood, un buon passatempo matematico può dare un apporto maggiore alla matematica di una dozzina di articoli mediocri. Martin Gardner I giochi si possono classificare in modi diversi, a seconda del criterio che utilizzia­ mo: luogo dove si praticano, numero dei partecipanti, durata della partita, livello di difficoltà, etc. In relazione alla matematica, un elemento che ci permette di distin­ guere due grandi gruppi di giochi è l'intervento o meno dell'azzardo, che appare in maniere diverse: nelle condizioni iniziali del gioco o anche nella realizzazione delle possibili giocate. Per esempio, nella maggior parte dei giochi di carte, queste si distribuiscono tra i vari giocatori a caso; anche nel gioco del domino le pedine si distribuiscono a caso. Invece, la situazione iniziale di una partita a scacchi è de­ terminata ed è sempre la stessa, come in una partita di parchis, di backgammon o di reversi. In relazione alle possibi­ li giocate, ci sono molti giochi in cui non interviene il caso, giacché � .· " ogni giocatore decide liberamente la sua giocata di ciascun turno, fra -····· ...•....•••• ..... • · ••••••• -_•·. . :.r_·- ·-· . �·. ?:·:,�;,,�·:-:-,.:_ /1�-....: .i .:.: .; ,, Pedine del domino del secolo XIX. Il domino è un gioco in cui il caso interviene al momento di scegliere le pedine; il resto dipende dall'abilità del giocatore. ' •. • •• 41 ,•......· . -· < . GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI tutte le possibili; in altri giochi c'è un intervento del caso che si manifesta con il lancio di uno o più dadi e, solo dopo aver fatto ciò, il giocatore decide quale gio­ cata farà, in base al risultato ottenuto con i dadi. Chiameremo giochi di strategia l'insieme dei giochi nei quali non interviene l'azzardo, in nessun momento; in questi intervengono solo le decisioni dei giocato­ ri al momento delle giocate. Questa assenza di azzardo fa sì che questa tipologia di giochi venga analizzata per trovare il modo di vincere. In alcuni casi sarà possibile determinare completamente una strategia vincente, mentre in altri, a causa della complessità del gioco, questo non sarà possibile. Nonostante l'apparente differenza tra questo tipo di giochi e le relative soluzioni, le tecniche ed i concetti matematici utilizzati sono ridotti e sono in relazione principalmente all'ambito dell'aritmetica (sistemi di numerazione e divisibilità) e della geometria (situazioni di equilibrio, particolarmente la simmetria). Il concetto di strategia vincente Anche se nell'ambito della matematica la parola gioco si riferisce tanto ai giochi propriamente detti (quelli con più di un giocatore, con regole determinate e con un obiettivo che permette di definire il vincitore della partita) quanto alle ricre­ azioni matematiche, agli indovinelli ed ai rompicapo, lasceremo da parte questi ultimi per porre la nostra attenzione ai giochi con almeno due giocatori. Possiamo classificare questi giochi in modi diversi; però dal punto di vista ma­ tematico esiste una prima classificazione che stabilisce due grandi gruppi: giochi ad informazione completa e giochi d'azzardo. In questo capitolo chiamiamo i primi giochi di strategia ed i secondi giochi d'azzardo. Quando si gioca e si conosce bene la meccanica del gioco, ciascuno si chiede come può giocare per ottenere la vittoria in una determinata partita. Nei giochi di puro azzardo (il gioco dell'oca è un esempio paradigmatico) la domanda preceden­ te risulta assurda, dato che i giocatori si limitano a muovere le pedine in accordo col risultato del dado e ad applicare le regole secondo la casella in cui si trova la pedina; come dire, non c'è possibilità di prendere decisioni, per cui non ci sono giocate migliori o peggiori. Il risultato di una partita di questo tipo dipende totalmente dal caso e, pertanto, l'analisi del gioco - dal punto di vista della determinazione di una strategia vin­ cente - è inesistente. In questo senso si può dire che l'interesse del gioco, dal punto di vista matematico, è nullo. 42 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI Esistono poi i giochi ad informazione completa: in qualunque momento della partita è possibile conoscere tutte le giocate possibili e le loro conseguenze (al­ meno teoricamente) e non c'è spazio per l'azzardo. Nella nostra cultura, il gioco che meglio simboleggia questa idea è il gioco degli scacchi, anche se il numero di giochi di strategia conosciuti, sia tradizionali (go, mancala, dama, tris, etc.) sia di creazione moderna (hex, NIM, reversi, abalone, etc.) è molto elevato. Tre giocatori di go sono i protagonisti di questa pittura cinese della dinastia Yuan (secoli Xlii - XIV). 43 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI Quando si intraprende l'analisi di uno di questi giochi, nasce il concetto di "strategia vincente", ossia un insieme di condizioni che permettono a uno dei giocatori (generalmente sono giochi per due soli giocatori) di decidere in qual­ siasi momento come deve giocare, tenendo conto della giocata dell'avversario, col fine di vincere qualsiasi sia la giocata del concorrente. L'esistenza di una strategia vincente presuppone che il gioco finisca con la vittoria di uno dei giocatori, cosa che non sempre avviene nei giochi che possono terminare in stallo, come gli scac­ chi. In questo caso si dovrebbe dire che esiste una strategia per vincere sempre, o meglio per non perdere. Quando un gioco di strategia non può determinarsi in LA BIBBIA DELLE STRATEGIE VINCENTI Probabilmente l'opera più estesa e rilevante sui giochi di strategia è la Winning Ways tor your Mathematica/ Plays, in quattro volumi pubblicati nel 1982, i cui autori sono tre eminenti matematici del XX secolo: Elwyn Berlekamp (1940), professore di Scienza del Calcolo all'Uni­ versità di Berkeley, California, dal 1971; John Conway (1937), autore di lavori rilevanti sulla teoria dei gruppi finiti, professore all'Università di Cambridge e all'Università di Princeton, e creatore del noto "Gioco della vita", che simula su un computer la vita cellulare; Richard Guy (1916), professore emerito dell'Università di Calgary. Le caratteristiche dei giochi contemplati in quest'opera sono: 1. Giochi per due giocatori che realizzano la loro giocata alternativamente. 2. Giochi con una posizione (o situazione) iniziale e con un numero finito di giocate. 'IOlUM!1 l!(ONO fDIIIO� WINNING WAYS FOR YOUR MATffEMATIUl PUYS -��- ' y ;( 3. Giochi ad informazione completa: i giocatori conoscono in qualsiasi momento tutte le possibili giocate che possono realizzare. 4. Non c'è alcun intervento del caso né all'inizio né durante le giocate. 5. Lo sviluppo della partita non ammette la ri­ petizione di giocate ed i giochi sono definiti in modo tale che il giocatore che non può realizzare una giocata perda. Copertina del primo volume di Winning Ways for your Mathematical Plays, opera di Berlekamp, Conway e Guy 44 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI schemi, si può dire che esiste una strategia vincente per il primo giocatore o per il secondo, a seconda delle caratteristiche del gioco, anche se ciò non significa che sia possibile trovarla, dato che ciò dipende dalla complessità del gioco. Supponiamo che un gioco per due giocatori abbia le seguenti caratteristiche: 1. È un gioco "scoperto", vale a dire che ciascun giocatore in ogni momento ha tutte le informazioni per decidere la giocata che vuole fare. 2. I due giocatori fanno la loro giocata alternativamente, ciascuno al suo .turno. 3. Nessun elemento d'azzardo interviene nel gioco. 4. La partita termina dopo un numero finito di giocate con la vittoria di uno dei due giocatori. Nelle condizioni precedenti è possibile dimostrare che esiste éertamente una strategia vincente per uno dei due giocatori, il primo (giocatore A) o il secondo (giocatore B). In effetti supponiamo che A non possegga una strategia vincente, vale a dire che esisterà sempre una giocata di B per la quale A non avrà una risposta adeguata: dunque A perderà. Questo significa che B vincerà, per cui si può affer­ mare che esiste una strategia vincente per B. Anche se questo tipo di argomenta­ zione porta ad affermare che in questo tipo di giochi esiste sempre una strategia vincente, ciò non significa che sia facile determinarla, ma solo che è possibile. Per un gioco le cui partite non abbiano necessariamente un numero finito di giocate, l'estensione di questo risultato dipende dall'accettazione del cosiddetto "assioma della scelta". Questo assioma della matematica, noto e controverso, dice che in tutti i gruppi (finiti o infiniti) di insiemi non vuoti, che non abbiano alcun elemento comune, è possibile formare un nuovo insieme scegliendo un elemento determinato da ciascuno degli insiemi del gruppo. Utilizzando questo assioma, nel 1930 Banach, Mazur e Ulam definirono un gioco finito e dimostrarono che non esiste una strategia vincente né per A, né per B. Trarre vantaggi, definire strategie. I giochi tipo NIM Se torniamo ad occuparci della classificazione dei giochi e ci concentriamo su quelli che abbiamo chiamato di strategia, possiamo distinguerne due tipi: quelli caratterizzati da regole semplici, breve durata della partita e quantità di informa­ zioni limitata o relativamente piccola, denominati piccoli giochi di strategia; quelli 45 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI come gli scacchi ed il go il cui controllo assoluto è praticamente impossibile per la durata della partita, la complessità delle regole e soprattutto per l'elevato numero di possibili giocate per una determinata situazione. Lo studio di alcuni piccoli giochi di strategia ci permetterà di vedere come la matematica intervenga nell'analisi dei giochi per trovare quale giocatore sia avvantaggiato e come si determini una stra­ tegia vincente. Il gioco degli scacchi, tela realizzata nel 1555 dalla pittrice rinascimentale Sofonisba Anguissola. Si tratta di un gioco nel quale non interviene l'azzardo, ma il cui numero di possibili giocate sfugge al controllo matematico. La relazione tra giochi e matematica si può riferire a diversi aspetti del gioco, come abbiamo visto nel primo capitolo, e la matematica è utile in particolare nei giochi di strategia per determinare la strategia vincente. Un gioco di strategia è molto simile ad un problema di matematica e la sua soluzione - che non consiste nel vincere una partita perché si è giocato meglio dell'avversario, ma nel sapere come bisogna giocare per vincere sempre - equivale a risolvere un problema. Per questo, la determinazione di strategie vincenti esige l'uso dell'euristica (per esempio, procedere a ritroso, supporre che il gioco sia risolto, applicare la simme­ tria, stabilire analogie con altri giochi già risolti, etc.); ciò è simile a risolvere pro­ blemi matematici. Per questa ragione, quando si conosce la strategia vincente di un gioco, questo smette di essere qualcosa di ludico per trasformarsi in un problema risolto. Chiaramente, questo succede solo per alcuni giochi determinati: quelli la cui pratica trascende rapidamente il ludico per addentrarsi nel campo delle teorie matematiche, in occasioni sofisticate ed al cui studio ci avvicineremo in seguito. 46 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI Un gruppo di piccoli giochi di strategia per due giocatori, conosciuto come giochi del NIM (o giochi tipo NIM) consiste nel collocare sul tavolo uno o più mucchi di gettoni e nello stabilire le regole che determinano come bisogna ritirare questi gettoni. L'obiettivo del gioco è prendere l'ultimo gettone o anche il contra­ rio, ossia ottenere che l'avversario ritiri l'ultimo gettone. Non si conosce l'origine di questo tipo di giochi, che alcuni situano in Oriente; oscuro è anche il significato del nome, per il quale si considerano varie possibilità, tra le quali il fatto che la pa­ rola nim nell'inglese antico significhi "togliere" o "rubare"; alcuni, certamente in­ gegnosi, notano che se si applica una simmetria centrale alla parola NIM, risulta la parola WIN, che in inglese significa "vincere". In ogni caso, il NIM ha più di cento anni, dato che l'analisi che permette di trovare una strategia vincente per questo tipo di giochi fu pubblicata la prima volta nel 1902 da L.C. Boston, matematico all'Università di Harvard. Il gioco raggiunse una certa popolarità in Europa verso gli anni sessanta del secolo XX, grazie alla pellicola del regista francese Alain Resnais L'anno scorso a Marienbad (1961), nella quale i protagonisti giocano a una delle versioni di questo gioco: perciò, questa versione - di cui daremo dettagli più avanti (è il Gioco 5) - è spesso nota con il nome di Marienbad, nome di una piccola città balneare della Repubblica Ceca, dove si svolge il film. I IIl Il II I llll lll lf Marienbad è una delle varianti del gioco del NIM. 47 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI La determinazione di una strategia vincente di tipo generale, che permetta di risolvere qualsiasi gioco NIM, è una delle migliori dimostrazioni dell'intervento della matematica nell'analisi dei giochi ed in particolare dell'efficacia rappresentata dai numeri nel sistema binario. Verso la determinazione di una strategia Di seguito si analizzano, in primo luogo, giochi con un unico mucchio di getto­ ni, nei quali è possibile ritirarne un numero variabile in ciascuna giocata, come minimo 1 e come massimo n. Si pongono due casi concreti e poi si propone una generalizzazione. Il più semplice è il seguente. Gioco 1 (due giocatori): Il 20 vince Si pongono 20 gettoni dello stesso colore sul tavolo e ad ogni turno i due giocato­ ri possono ritirare uno o due gettoni. Il giocatore che ritira l'ultimo gettone vince. Quale dei due giocatori, il primo o il secondo, è avvantaggiato? Come si deve giocare per vincere sempre? Cosa succede se si varia il numero di gettoni? E se si varia l'obiettivo, in modo che chi ritira l'ultimo gettone perde? Questo è un gioco sufficientemente semplice per essere analizzato completamente, per determinare la strategia vincente e per generalizzarla per qualsiasi numero di gettoni. Se il lettore non conosce il gioco, prima di continuare a leggere, dovrebbe formare una coppia e praticarlo, così che potrà rispondere da solo alle domande formulate. La pratica del gioco farà scoprire rapidamente che il giocatore che lascia tre gettoni sul tavolo vincerà nella successiva giocata. Questa è una buona idea, però non permette di vincere, dato che bisogna sapere come fare per lasciare tre gettoni. Senza dubbio, ora sappiamo che se si ritira il gettone 17 si vincerà, per cui abbia­ mo ottenuto di ridurre il numero dei gettoni. Continuando a ritroso, osserviamo che anche se si lasciano 6 gettoni si vince ed, in generale, se si lascia sul tavolo un numero di gettoni multiplo di 3 si vince sempre. Ciò permette di formulare la strategia vincente: se nella posizione iniziale ci sono 20 gettoni, il primo giocatore potrà vincere sempre togliendo 2 gettoni con la prima giocata e poi lasciando sulla tavola un multiplo di 3 (se il secondo toglie un gettone, il primo ne toglierà 2 e viceversa). Così, in questo gioco il primo giocatore è avvantaggiato dato che esiste una strategia vincente per lui. La variazione del numero iniziale di gettoni può cambiare in parte la strategia ed anche il giocatore avvantaggiato. In effetti, dato che la strategia vincente consi48 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI ste nel lasciare sul tavolo un multiplo di 3, per sapere che succede basta dividere il numero iniziale di gettoni per 3 e fare attenzione al resto della divisione: se questo è 2 (come nel caso proposto inizialmente), il primo giocatore vince togliendo 2 gettoni nella prima giocata e poi completando gruppi di 3 (se l'avversario prende 1, il primo giocatore prende 2 e viceversa); se il resto della divisione è 1 (se parte, per esempio, da 19, 25, 100 o 2011 gettoni) vince sempre il primo giocatore, ora togliendo un gettone nella prima giocata. Infine, se il resto è O (il numero di get­ toni è divisibile per 3) allora vince il secondo giocatore togliendo due gettoni, se il primo ne ha tolto uno o viceversa. In questo caso, il primo giocatore non potrà mai lasciare un numero di gettoni multiplo di 3 sul tavolo. In questo modo, abbiamo generalizzato il gioco per qualunque numero di get­ toni iniziali. Si può generalizzare ancora di più, se si varia il numero di gettoni che si possono ritirare in ciascuna giocata. Gioco 2 (due giocatori): Il 100 perde Il primo giocatore scrive un numero da 1 a 1O su un foglio. Il secondo pensa un numero da 1 a 1O e scrive il risultato della somma col numero scritto dal primo giocatore. Il gioco continua in maniera che, a turno, ciascun giocatore somma all'ultimo risultato un numero da 1 a 10. Il giocatore che avendo fatto la somma ottiene come risultato un numero di 3 cifre (100 o superiore) perde. Come biso­ gna giocare per vincere? Quale dei due giocatori, il primo o il secondo, è avvan­ taggiato? Che succede se si varia l'obiettivo o la regola del gioco? Come abbiamo suggerito in precedenza, sarebbe conveniente realizzare alcu­ ne partite per scoprire la strategia che permette ad uno dei giocatori di vincere sempre e anche per pensare alle relazioni tra questo gioco ed il precedente. Per un'analisi del gioco che ci permetta di arrivare ad una strategia vincente si può procedere nel seguente modo: se perde colui che giunge a 100, vince chi riesce a scrivere il numero 99. Che numero bisognerà scrivere prima per essere sicuri di arrivare a 99? 88, dato che questo obbligherà l'avversario a scrivere un numero tra 89 e 98, e nella seguente giocata si potrà arrivare a 99. Come prima, se si procede a ritroso (escono i numeri 88, 77, 66 fino a 11) si vedrà che è necessario fare gruppi di 11. Pertanto, già possiamo enunciare la strategia vincente: il giocatore che scrive 11 e poi i successivi multipli di questo numero (se l'avversario aggiunge n, il vinci­ tore dovrà aggiungere 11 - n) arriverà a 99 e vincerà la partita. Dato che il primo giocatore non può arrivare a 11 nella prima giocata ed il secondo sì, esiste una strategia vincente per il secondo giocatore. Come nel gioco precedente, se si varia 49 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI il numero finale, vincerà il primo, sempre che questo numero non sia multiplo di 11 e il secondo, nel caso contrario. Gioco 3 (due giocatori): Generalizzazione totale Supponiamo che ci siano m gettoni sul tavolo e che in ciascuna giocata si possano ritirare da 1 a n (n < m); vince la partita il giocatore che ritira l'ultimo gettone. Per quale dei due giocatori, il primo o il secondo, esiste una strategia vincente? Qual è? Se si cambia l'obiettivo ed il giocatore che ritira l'ultimo gettone perde, come cambia la strategia? In realtà, non si tratta di un unico gioco, ma di un gruppo di giochi astratti, dove due casi particolari corrispondono ai due giochi precedenti; perciò, la strategia vincente di questo gioco è una generalizzazione che risolve un'infinità di giochi dello stesso tipo. La formulazione di suddetta strategia è la seguente: si divide m per n + 1 e si determina il resto della divisione, che sarà un numero tra O e n. Dunque consideriamo 2 casi: a) Il resto della divisione è O. In questo caso esisterà una strategia vincen­ te per il secondo giocatore, che dovrà lasciare un multiplo di n + 1 sul tavolo; per lui, in ciascuna giocata, se il primo giocatore ritira p gettoni (O < p < n + 1) il secondo dovrà ritirare n + 1 - p gettoni, che è una quantità possibile, dato che sta sempre tra 1 e n. b) Il resto della divisione è r (O < r < n + 1). In questo caso esisterà una stra­ tegia vincente per il primo giocatore, che nella prima giocata ritirerà r gettoni, lasciando sul tavolo un multiplo di n + 1, in modo che ora potrà giocare come se fosse il secondo giocatore ed applicare la strategia vin­ cente del caso A; come dire che in ciascuna giocata, se il secondo giocato­ re ritira p gettoni (O < p < n + 1) il primo dovrà ritirare n + 1 - p gettoni. Con questa soluzione generale abbiamo risolto un'infinità di giochi concreti. Per esempio, il lettore potrà applicarla al seguente gioco: ci sono 2010 gettoni sul tavolo e ogni giocatore può ritirarne da 1 a 49. Per quale giocatore esiste una strategia vincente? Qual è? Se si definisce il gioco in modo tale che il giocatore che ritira l'ultimo gettone perde invece di vincere, basterà tener presente che per vincere è necessario ritirare il penultimo gettone, lasciandone solo uno sul tavolo. In questo caso, la strategia sarà la stessa, però ora bisogna considerare che il numero di gettoni è m - 1, invece che m. 50 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI Tutti questi giochi, che iniziano con un unico gruppo di gettoni, si possono considerare una esemplificazione del gioco del NIM, che si analizzerà di seguito. Una strategia complessa: il gioco del NIM I giochi precedenti si possono generalizzare ancor di più considerando che il nu­ mero dei gruppi di gettoni non sia unico, ma che sia un numero finito qualsiasi. Il gioco del NIM consiste nel partire da vari gruppi di gettoni, ciascuno con una quantità di gettoni non necessariamente uguale. Le regole del gioco permettono a ciascun giocatore, a turno, di ritirare il numero di gettoni desiderato, come minimo uno e come massimo tutti, però dallo stesso gruppo. Il vincitore della partita è il giocatore che riesce a ritirare l'ultimo gettone; anche se è possibile stabilire che chi ritira l'ultimo gettone perde. Gioco 4 ( due giocatori): NIM prima versione Si parte da tre gruppi di gettoni, con 1, 3 e 5 gettoni in ciascun gruppo. A turno ciascun giocatore toglie i gettoni che vuole da un unico gruppo (minimo 1, rnassi­ mo tutti).Vince la partita chi ritira l'ultimo gettone. Per quale giocatore esiste una strategia vincente? L'analisi del gioco mostra che, per questo caso, esiste una strategia vincente per il primo giocatore, anche se, fra tutte le possibili giocate iniziali, solo una garantisce la vittoria. In effetti, se il lettore praticasse il gioco scoprirebbe che a nessuno dei due giocatori conviene realizzare una delle giocate seguenti: a) Lasciare due gruppi con lo stesso numero di gettoni. b) Eliminare tutti i gettoni di un gruppo. In effetti, se il giocatore A realizza la giocata a), il giocatore B elimina i get­ toni del terzo gruppo e vince la partita facendo una giocata simmetrica a quella dell'avversario (se A prende n gettoni da uno dei gruppi, B prende la stessa quantità dall'altro gruppo, in modo che quando A termina i gettoni di un gruppo, B finirà quelli dell'altro e vincerà). Ugualmente, se A realizza la giocata b), allora B prende­ rà i gettoni dal gruppo che ne ha di più, lasciando due gruppi con uguale quantità di gettoni e vincerà la partita, giocando come nel caso precedente. Pertanto, vin­ cerà quel giocatore che riuscirà a forzare l'avversario a realizzare una delle giocate "proibite". Nel caso che stiamo analizzando, se il primo giocatore ritira 3 gettoni 51 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI dal gruppo che ne ha 5, lasciando tre gruppi da 1, 2 e 3 gettoni rispettivamente, vincerà la partita, dato che obbligherà l'avversario o a eliminare un gruppo o ad uguagliare due gruppi (con 1 o 2 gettoni). Risulta evidente che la strategia precedente sia troppo concreta e difficilmente generalizzabile per un numero qualsiasi di gruppi, e anche per tre gruppi con un numero di gettoni diverso ed elevato. Senza dubbio, la matematica ci può aiutare a determinare una strategia ge­ nerale che serva per qualsiasi numero di gruppi e di gettoni in ciascun gruppo. Per questo è necessario osservare - così come mostreremo nei casi seguenti che se si esprime la quantità di gettoni in base due (sistema binario), e si pon­ gono questi numeri in modo che risultino incolonnate le unità corrispondenti a ciascun numero, in ciascuna giocata si cambierà per lo meno la parità di una delle 2 colonne (dato che una giocata obbliga a cambiare uno solo dei nume­ ri di una o più colonne e, per lo meno, una delle due cifre passerà da 1 a O). Dunque, se nella posizione iniziale la somma di tutte le cifre di ciascuna colonna è pari, esisterà una strategia vincente per il secondo giocatore (che consisterà nel lasciare, dopo la sua giocata, tutte le colonne con somma pari, cosa che il primo giocatore non può fare), mentre, se almeno una colonna ha una somma dispari, la strategia vincente sarà per il primo giocatore, dato che nella sua prima giocata po­ trà lasciare tutte le colonne con somma pari. Per comprendere meglio il funzionamento di questa strategia, vediamo un paio di esempi di come si può applicare in casi concreti. Dapprima con tre gruppi di 1, 3 e 5 gettoni rispettivamente (che è il gioco 4 risolto in precedenza) e poi con la versione più nota del gioco del NIM, chiamata Marienbad, quella che inizia con quattro gruppi con 1, 3, 5 e 7 gettoni ciascuno. Nel primo caso, come si è già detto, abbiamo tre gruppi con 1, 3 e 5 gettoni 1 3 5 in base due: in base due: in base due: 1 1 1 1 O1 Se si sommano le unità di ciascuna colonna si prova che tutte hanno somma dispari (da destra a sinistra: 3, 3 e 1 rispettivamente). In questo caso, esisterà una strategia vincente per il primo giocatore. Perciò egli deve giocare in modo da la­ sciare tutte le colonne con somma pari; l'unica possibilità consiste nel modificare il 5 (101) e lasciarlo come 2 (10), ossia eliminare 3 gettoni dal gruppo che ne ha 5. 52 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI Allora si avrà: 1 3 2 in base due: in base due: in base due: 1 1 1 1O Tutte le colonne ora hanno somma pari, per cui qualsiasi giocata farà il secondo giocatore lo porterà a lasciare alcune colonne con somma dispari; il primo gioca­ tore potrà tornare a lasciare tutte le colonne con somma pari, fino alla posizione finale (tutti i numeri saranno O, ossia tutte le colonne avranno somma pari). Gioco 5 (due giocatori): Marienbad Si pongono sul tavolo quattro gruppi di pedine con 1, 3, 5 e 7 gettoni in ciascun gruppo. A turno ciascun giocatore toglie i gettoni che vuole da un unico gruppo (minimo 1, massimo tutti).Vince la partita il giocatore che ritira l'ultima pedina. Per quale giocatore esiste una strategia vincente? Procedendo come nel caso precedente ora abbiamo: 1 3 5 7 in base due: in base due: in base due: in base due: 1 11 1O1 111 Dato che nella posizione iniziale la somma di tutte le colonne dei numeri espressi in sistema binario è pari, il primo giocatore non potrà vincere ed esiste una strategia vincente per il secondo. In effetti, qualsiasi giocata faccia il primo gioca- IL NIMROD All'inizio degli anni cinquanta del XX secolo, gli ingegneri della ditta inglese Ferranti disegnarono il primo computer pensato esclusivamente per giocare. il nome di questo era NIMROD e le tre lettere iniziali corrispondevano al gioco del NIM, dato che proprio questo gioco era program­ mato dagli ingegneri. Il pannello del computer aveva alcune lampade accese ed altre spente che rappresentavano le posizioni del gioco. il prototipo fu presentato al Festival of Britain nel 1951 e si considera come l'inizio dell'era dei giochi elettronici. 53 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI tore lo porterà a lasciare per lo meno una colonna con somma dispari; supponiamo che elimini un gettone dal gruppo dove ce ne sono tre, si avrà: 1 2 5 7 in base due: in base due: in base due: in base due: 1 1O 1O1 111 A questo punto il secondo giocatore dovrà modificare un numero in modo che la colonna di destra abbia somma pari ( e le restanti rimangano uguali, dato che la somma è già pari); come dire che dovrà togliere un solo gettone da qualunque gruppo eccetto dal secondo, il che equivale, nel sistema binario, a cambiare 1 per O nella colonna di destra. Anche se la strategia del NIM è veramente molto più difficile da scoprire rispetto a quella dei giochi precedenti, esiste un'idea generale valida per la determinazione della strategia vincente di tutti questi giochi: trovare una situazione di equilibrio che coincida con la situazione finale del gioco, che uno dei due giocatori possa mantenere sempre e che l'altro non possa mai avvi­ cinare. Così, nel primo dei giochi di questo articolo (il 20 vince) la situazione di equilibrio consiste nel lasciare sul tavolo un numero di gettoni multiplo di 3; nel secondo (il 100 perde) scrivere un numero multiplo di 11 e, nell'ultimo (il NIM) lasciare una quantità di gettoni in ciascun gruppo in modo che, esprimendola nel sistema binario, la somma di numeri per colonna sia sempre pari. In molte occasioni, il gioco del NIM si presenta nella sua versione contraria, come dire che il giocatore che ritira l'ultimo gettone perde invece che vincere. In questo caso, vince lo stesso giocatore che vincerebbe nel gioco normale e, la stra­ tegia inizialmente è la stessa; cambia solo nel momento il cui la giocata "normale" (che porterebbe alla vittoria nella versione iniziale) lascia tutti i gruppi con meno di 2 gettoni. Adesso la giocata vincente consisterà nel lasciare un numero dispari di gruppi con un solo gettone, al posto di un numero pari che sarebbe la giocata corretta in un gioco normale. Una volta conosciuta la strategia per vincere sempre in qualsiasi gioco del NIM, nasce la domanda se sia possibile creare un gioco dello stesso tipo per il quale non esista una strategia vincente. La risposta è affermativa e ci porta ai "giochi Nimbus". Partendo dal gioco del NIM, si pone la seguente condizione: se in una giocata si vuole prendere più di un gettone di una detenni­ nata fila, ciò si può fare solo se i gettoni sono connessi, ossia se non ci sono buchi (provocati da una giocata precedente) tra i gettoni ritirati: con ciò si introduce una 54 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI IL SISTEMA DI NUMERAZIONE BINARIO Si tratta di un sistema di numerazione posizionale che permette di esprimere qualsiasi numero utilizzando due cifre: O e 1. Per trasformare un numero binario in decimale basta cambiare ciascuna cifra 1 per una potenza di due il cui esponente dipende dalla sua posizione: la cifra a destra corrisponde a 2°, la seguente a 21, l'altra ancora a 22 e così via. Per esempio, il numero in base due 110101 nel sistema binario sarà: 1• 25 + 1 • 24 +O• 23 + 1 · 22 +O• 2 1 + 1 • 2 ° = = 32 + 16 + 4 + 1 = 53. Allo stesso modo, per scrivere un numero decimale nel sistema binario, bisogna dividere il nume­ ro per 2, il quoziente nuovamente per 2 e così fino a che il quoziente sia 1. L'ultimo quoziente è la prima cifra a sinistra e i resti delle divisioni, dall'ultimo al primo, sono le cifre seguenti (il resto di una divisione per 2 può essere solo O o 1). Per esempio, 39 in base due è: 100111, dato che 39:2 dà quoziente 19 (e resto 1); 19:2 dà 9 (e resto 1); 9:2 dà 4 (e resto 1); 4:2 dà 2 (e resto O); 2:2 dà 1 (e resto O). Quello che facciamo è esprimere il numero come somma di diverse potenze di 2: così 39 = 32 +4 + 2 + 1 = 1 · 25 +O · • 2 4 +O • 23 +1• 2 2 + 1 • 2 1 +1 · 2° = 100111 in base due. Anche se l'annotazione binaria è relativamente recente, le proprie- tà su cui si fonda ("ogni numero si può esprimere come somma di distinte potenze di due") è nota ed applicata sin da tempi remoti. Per esempio, il sistema utilizzato dagli antichi Egizi per moltiplicare, consiste nel duplicare uno dei due termini e nel dividere per 2 l'altro (se il numero è dispari si divide per 2 il precedente), e funziona sem­ pre grazie a questa proprietà. 0 __!I� 8 .. 0 0 1 ""1° ·0 0 " � 0 0 o" ( • �IOI1 I I OC U 1 1 o 1 1J ,.: - 1 r I e r4 ol e l 1 I l J 5 "·I O()Qç 1t6 Ìr o o o 1 117 0!1 o o I e !18 O O I I \19 o,I O I OC :?.0 ci:I O l O I LI :] ; � � : � :; I 1_00 O 1.4 "I I I o o 1 1.5 " I! I I o 1 e z6 •· r I o I 1 z7 r 1 1 o e ?.8 • 1 , 1 1 o 1 ?.9 o i 1 1 1 e 30 !r I 111 )I 0 c1 o olJQ O I O l 0 10 li o� ., è •+ 0 0 Pagina delle Mémoires de l'Académie Royale des Sciences dedicata al sistema binario sviluppato da Leibniz nel 1703. 1 "I'· TABLE 86 Mt1101RES nE L'AcADEMIE RoYALli brcs emi<.:rs au� de(E.ltlS. dn d?uble du -1oo1j4 � Il s No,vin1trs. plus haut dcgre. C.tr 1cy, ccfl: com- 101 , ·�i·•1C• -:> ·me li on di(oit, par cxcmple, quc 1u 1 1 0 , � .,/e 1 . 1 ou 7 efi fo. fommc dc qu:1.rre, dc dcux �?- & d'un. J1-t-11:. Etque uor ou q e�1 J,� �immc dc huit, quatre ,ooo;.. & :m, Cl•trc- propri ere /(..'r� ,mx Ell'a)CUrs P?ur 1 00 · 1 1 3 0 .,_ 0 �I· --· peler toutc:s fortes dc m:1.lli!s avec pcu de po1<.h, 1 1 i 1 ; ° r cc, � & pourroit fen-ir dans les monnoyes pour don� 1;;;;'i-:z; 1_01 � ncr plulìclli's valeUrs avec pcu de pieccs. __.__, r1e , Ccctc cxprcmon dcs · Nombres écanr érablie , fert à �...!.!..: 7 faire rres.fadlemenr coutcs forrcs d'operations. 0 1000 ':l 0 0 &c. /� 55 Pour l'Addition J> par cxcmplc. Pour la S<Ju. jl,-afli,m. Pour la Mt1/liplitaticm. 1011 Il •0•11 s no,,,, J ,0000 •6 u111'i\" 11 10001 17 I 10 (; �,.:!_ IO! .:!..j �12. "I/ l Ill0\ 1; ro•II S .�..!.!;,;1.,_1.. illllIl_ li Il Pour la Div1jion, ;��00 ÌG 0 101 ,0,11 i �1011·.1 ICI _!!_ lj •,ijj', � ,'',('.o i !1Js •' ,o II 1-j Et toures ccs operations font fi aifées, qu'on n)a jam.:tis befoin dr: rien elfayer ni deviner, comme il faur faire dan� Ja divifion ordinaìre. On n'a point bcfoio non-plus de nen apprcndrc par cu:ur icy, commc il fuut faire dans le calcuI ordinai re 0\1 il fout fçavoir, par ex.empie, que 6 & 7 pris enfcmble font 13 ; & que 5 multiplié p:ir ) donne1y,fuiv.antla.Tabled'uncfoiJ11nejlun, qu'onap­ P. pelle Pyrhagorique. Mais icy tOLlt cela fe tr01we & fo p_rouve �e fource, rnmmc J'on voit dam lescxen1p!e.s pré�c. cedens fous ]es Jigne� :J) & 0. 1 7 • GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI ALCUNI GIOCHI PER FARE PRATICA Girare il dado. Gioco di strategia per 2 giocatori. Il primo giocatore pone il dado sul tavolo, scegliendo il numero che vuole, che lascia nella parte superiore. L'altro giocatore gira il dado per un quarto di giro, lasciando un altro numero nella parte superiore e somma questo numero a quello precedente. Di seguito, ciascun giocatore gira il dado di un quarto di giro (può ottenere qualsiasi numero, tranne quelli che stanno sulle facce superiori e inferiori del dado) e somma il numero della faccia superiore alla quantità precedente. Il giocatore che riesce a sommare 31 vince. Quale giocatore è awantaggiato? Come deve fare per vincere sempre? Tagliare il rettangolo. Gioco di strategia per 2 giocatori. Su un foglio di carta a quadretti si disegna un rettangolo di 17 x 15 (seguendo le linee dei quadretti; l'unità è la lunghezza ·di ciascun quadretto). Si segna il quadretto situato al vertice inferiore destro. A turno, ciascun gio­ catore taglia il rettangolo in due parti, tracciando una linea verticale o orizzontale (seguendo le linee dei quadretti) ed elimina la parte che non contiene il quadretto marcato. Il giocatore che non può più dividere il rettangolo (ossia quello che rimane col quadrato marcato) perde. Quale giocatore è avvantaggiato? Come deve fare per vincere sempre? Incrociare il cerchio. Gioco di strategia per 2 giocatori. Su un foglio di carta si disegna una circonferenza e si segnano otto punti a caso su di essa. A turno, ciascun giocatore unisce due punti tracciando un segmento. Può unire i punti che vuole, sempre che non siano già uniti, ma tracciando il segmento non può tagliarne nessuno già disegnato. li giocatore che non può più tracciare alcun segmento perde. Quale giocatore è awantaggiatoì Se si cambia il numero iniziale dei punti, cosa succede? ondizione legata alla posizione dei gettoni all'interno di ciascuna fila, cosa di cui .on si è tenuto conto finora. Questo equivale a dire che ogni volta che si prendo­ .o gettoni da una fila, si può rompere detta fila in due (cosa che succederà sempre � non si prendono gettoni all'estremo della fila); così si generano nuovi gruppi ed gioco varia in maniera tale che non è più possibile applicare la strategia del NIM. )biettivi e regole di un gioco: giochi equivalenti e giochi distinti '.analisi degli obiettivi e delle regole di un gioco ci permette di scoprire che, in 1olte occasioni, giochi di strategia apparentemente diversi sono in realtà equiva­ :nti e, al contrario, giochi che differiscono di poco o molto poco sono totalmente iversi e hanno strategie diverse. 56 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI Gioco 6 (due giocatori): Avanzata esagonale Su una scacchiera come quella sotto (Disegno 1), ogni giocatore, a turno, prende l'unica pedina del gioco che inizialmente è collocata nella posizione S e la pone in una casella vicina, sempre avanzando verso destra, sia orizzontalmente, sia in diagonale. Il giocatore che riesce a collocare la pedina nell'ultima casella (posizione M) vince. Disegno 1. Se il lettore cerca di risolvere il gioco, troverà facilmente in quale casella deve porre la pedina per vincere. Procedendo a ritroso arriverà alla conclusione che il primo giocatore ha una strategia vincente se pone la pedina nelle caselle segnate. Non è ovvio che questo gioco sia equivalente al gioco 1 (il 20 vince), a meno che non si osservi che le possibili giocate si possono interpretare come avanzare di 2 (se seguiamo la stessa fila) o avanzare di uno, se si cambia fila. Dunque una numerazione adeguata delle caselle mostra chiaramente l'equiva­ lenza (disegno 2). Disegno 2. Gioco 7 (due giocatori): Collocare l'ultima In una scacchiera con una sola fila di sei caselle, si pongono tre pedine: a turno, ciascun giocatore sceglie una pedina e la sposta verso destra di quante caselle vuole (come minimo una, e come massimo fino alla fine della scacchiera). L'obiettivo del gioco è collocare tutte le pedine nell'ultima casella; il giocatore che posiziona l'ultima è il vincitore. 57 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI È possibile che in una casella ci siano più pedine. Si osservi che, in questo caso, il gioco è equivalente alla prima versione del NIM (gioco 4): ciascuna pedina rappresenta un gruppo e muoverla verso destra significa togliere pedine da questo gruppo, in modo che quando una pedina giunge alla fine equivale a considerare che il gruppo corrispondente sia vuoto. Esaminiamo ora altri due giochi per analizzare la loro equivalenza. Gioco 8 (due giocatori): Il Tsyanshidzi Si pongono due gruppi di pedine sul tavolo, per esempio, di 7 e 5 pedine rispetti­ vamente. A turno, ciascun giocatore può ritirare il numero di pedine che vuole da uno dei due gruppi (come minimo una) e può anche ritirare pedine da entrambi i gruppi, ma in questo caso la quantità di pedine ritirate da ciascun gruppo deve essere la stessa. Gioco 9 (due giocatori): Salvare la regina Su una scacchiera per scacchi si colloca una regina in una delle caselle, per esempio in h-8. A turno, ciascun giocatore può muovere la regina di quante caselle vuole verso sinistra, verso il basso o in diagonale (verso la sinistra e in basso). Il giocatore che riesce a porre la regina nella casella a-1, ossia nell'intersezione tra la prima fila e la prima colonna, vince. Il primo di questi due giochi, chiamato Tsyanshidzi, è un gioco di tipo NIM che include la possibilità di ritirare pedine da più di un gruppo, cosa mai considerata fi­ nora e che complica considerevolmente la determinazione di una strategia vincente di tipo generale. Un'analisi dei movimenti permessi nell'altro gioco, salvare la regina, mostra rapidamente la sua equivalenza col precedente, trasformando i movimenti della regina in eliminazione di pedine: movimento su una fila - togliere pedine dal primo gruppo; movimento su una colonna - togliere pedine dal secondo gruppo; movimento in diagonale - togliere la stessa quantità di pedine dai due gruppi. Con gli esempi precedenti si è potuto vedere che a volte giochi che sembrano diversi sono totalmente equivalenti: proprio per questo siamo capaci di trasformare gli obiettivi e le regole di un gioco in un altro. Senza dubbio, in altre occasioni succede il contrario, ossia giochi che sembrano praticamente uguali sono in realtà molto diversi, specialmente se ci concentriamo sulle strategie vincenti degli stessi. Vediamo il gioco seguente, la cui somiglianza con il primo dei giochi proposti (il 20 vince) è, a prima vista, quasi totale. 58 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI Gioco 1 O ( due giocatori): La Margherita Si disegni una margherita con 11 petali ed in ciascuno si ponga una pedina. A tur­ no ciascun giocatore può ritirare una pedina o due; nel caso ne voglia ritirare due, può farlo solo se le pedine sono unite, ossia in petali vicini. La posizione iniziale del gioco La Margherita. Questo gioco è molto simile al primo analizzato in questo capitolo (il 20 vin­ ce), però è con 11 pedine invece che con 20. Come nell'altro, il primo giocatore potrà vincere prendendo 2 pedine nella prima giocata e continuando con gruppi di 3. Senza dubbio, la restrizione imposta (si possono prendere 2 pedine solo se sono vicine) invalida totalmente quella strategia: ora ciò che realmente importa è la posizione delle pedine e non è rilevante il loro numero. Di fatto, la quantità iniziale di pedine non importa, dato che se questa è maggiore di 3, la strategia vincente si può formulare nella stessa maniera per qualsiasi quantità. Questo gioco non è propriamente un gioco NIM, ma appartiene a quelli chia­ mati Nimbus, di cui non si conosce la strategia generale. In realtà, si tratta del caso più semplice di questi giochi. In questo caso concreto si può vedere che il secondo giocatore può vincere sempre, con qualsiasi numero di pedine, utilizzando una strategia di tipo simmetrico. In effetti, praticando il gioco si può osservare che se un giocatore riesce a separare le pedine in due gruppi con la stessa configura­ zione (se in un gruppo sono tutte unite così anche nell'altro e, analogamente, se sono separate) vincerà facilmente la partita giocando in maniera simmetrica, ossia prendendo nell'altro gruppo le stesse pedine (in posizione simmetrica) di quelle 59 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI BABYLON, UN GIOCO DI BRUNO FAIDUTTI Il mondo attuale dei giochi astratti di strategia tende a generare giochi che, nonostante l'appa­ rente semplicità, sono enormemente difficili da analizzare, fino al punto che risulta quasi impos­ sibile determinare una strategia vincente, anche se è possibile stabilirne l'esistenza. Il seguente, noto come Babylon, gioco di strategia del francese Bruno Faidutti, è un esempio di tale tipo di giochi. Su un tavolo si pongono dodici gettoni, di quattro colori diversi, tre per ciascun colore. A turno, ciascuno dei due giocatori prende una pila (inizialmente tutte le pile hanno altezza 1) e la colloca su un'altra pila, con le seguenti condizioni: è possibile collocare una pila sull'altra se hanno la stessa altezza o anche se il gettone superiore di entrambe le pile ha lo stesso colore. Il giocatore che non riesce a porre una pila sull'altra perde. Anche se a prima vista si tro­ vano possibili soluzioni, per esempio studiando casi par­ ticolari e provando a genera­ lizzarli, un'analisi esaustiva del gioco utilizzando un computer mostra che non è possibile tro­ vare una strategia memorizza­ bile da mente umana. Baby/on, gioco creato da Bruno Faidutti. iminate dall'avversario. Dato che il primo giocatore, nella sua prima giocata, non llÒ separare le pedine in due gruppi, (perché dovrebbe togliere due pedine non .cine) e inevitabilmente lascerà un buco, il secondo giocatore potrà lasciare un tro buco che separi le pedine in due gruppi. fochi e pseudo-giochi lcuni giochi sono in apparenza simili a quelli analizzati finora, però in realtà )n si possono chiamare giochi di strategia, perché nessuno dei giocatori può in­ rvenire per cambiare la sorte di una partita. In altre parole, la strategia vincente 60 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI è contenuta nelle regole del gioco, in modo che le decisioni dei giocatori siano irrilevanti, dato che non possono cambiare il risultato di una partita. Questo tipo di giochi, frequenti tra i giochi matematici, sono detti "pseudogiochi". Invece di trovare una strategia vincente che non esiste, quello che si può fare è dimostrare che effettivamente il risultato del gioco è indipendente dalle decisioni dei gioca­ tori e che, date le regole e l'obiettivo del gioco, è già determinato quale dei due giocatori vincerà la partita. Vediamo tre esempi di pseudogiochi. Gioco 11 (due giocatori): Solo dispari Si pongono 20 gettoni sul tavolo e a turno, ciascun giocatore può ritirarne 1, 3 o 5. Il giocatore che ritira l'ultimo gettone vince. Quale dei due giocatori è av­ vantaggiato? Che succede se si varia il numero di gettoni? Si tratta di un gioco di strategia come i precedenti o è qualcosa di diverso? La pratica del gioco dimostra rapidamente che il secondo giocatore vince tutte le partite e che il primo non può fare nulla per vincere. Si potrebbe dire che anche se il secondo giocatore non volesse vincere, lo farà forzatamente. A differenza dei giochi precedenti, in questo la parità (tanto del numero iniziale di gettoni, quanto di quelli che si possono ritirare) è determinante. Per questo non si può parlare in questo caso di strategia vincente, dato che la soluzione del gioco è determinata dalle sue stesse regole. In effetti, se inizialmente ci sono 20 gettoni (o qualsiasi altra quantità pari) ed il primo giocatore ne toglie 1, 3 o 5 (o qualsiasi altra quantità dispari), il numero di gettoni che rimarranno sul tavolo sarà dispari (pari meno dispari dà dispari). Poi giocherà il secondo, che dovrà ritirare una quantità di gettoni dispari, lasciando sul tavolo una quantità di gettoni pari (dispari meno dispari dà pari). Pertanto, dopo aver giocato, il primo giocatore lascerà sempre un numero dispari di gettoni men­ tre il secondo giocatore ne lascerà sempre un numero pari. Dato che O è pari, la vittoria sarà sempre del secondo giocatore, indipendentemente dalle giocate che i due avversari realizzeranno. Allo stesso modo, se il numero di gettoni iniziali è dispari, il primo giocatore vincerà inevitabilmente tutte le partite. Gioco 12 (due giocatori): Cerchi e quadrati Si disegni una serie di cerchi e di quadrati disposti in fila. A turno, ciascun gio­ catore può ritirare due figure uguali (due cerchi o due quadrati) e sostituirli con un cerchio, o ritirare due figure diverse e sostituirle con un quadrato. Dato che il numero delle figure diminuisce, alla fine rimarrà una sola figura. Se è un quadrato 61 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI 1incerà il primo giocatore, se è un cerchio vincerà il secondo. C'è una strategia )er vincere sempre? Cosa succede quando si varia la quantità iniziale di cerchi e 1uadrati? Si tratta veramente di un gioco di strategia? Si parte, per esempio, dalla :onfi gu razione iniziale mostrata nel disegno qui di seguito. □ o □□ o □ o :;iocando varie partite con questa confi gu razione si scoprirà che il secondo gioca­ ore sembra vincere sempre (l'ultima fi gu ra è un cerchio). Se si varia il numero dei :erchi il risultato non sembra cambiare, mentre se si varia quello dei quadrati, sì. ALTRI GIOCHI PER FARE PRATICA Chiudere un triangolo. Gioco di strategia per due giocatori. Si disegna una circonferenza e si segnano 6 punti qualsiasi su di essa. A turno, ciascun giocatore unisce due punti tracciando un segmento. Uno dei due giocatori ha una matita nera, l'altro rossa. Ciascun giocatore può unire i punti che vuole, sempre che non siano già uniti. Il giocatore che riesce a disegnare un triangolo con i tre lati dello stesso colore vince. Quale giocatore è awantaggiato? Come deve fare per vincere sempre? Se si varia il numero iniziale di punti che succede? Si può giocare con l'obiettivo contrario, ossia che il giocatore che termina disegnando un triangolo del suo colore perde? Cosa succede allora? La tavoletta di cioccolato (I). Una tavoletta di cioccolato è formata da 28 quadretti disposti in 4 file di 7 quadretti ciascuna. Il primo giocatore divide la tavoletta in due parti senza rompere nessun quadretto. Il secondo giocatore prende una delle due parti (elimina l'altra) e la divide. A turno, ciascun giocatore prende una delle due parti e la divide, seguendo le linee che separano i quadretti. Il giocatore che non può più dividere la tavoletta perde. Come fare per vincere? Cosa succede se la tavoletta è formata da 27 quadretti disposti in tre file da 9 quadretti ciascuna? La tavoletta di cioccolato (11). Come nel gioco precedente, si parte da una tavoletta di cioc­ colato, però questa volta formata da 50 quadretti disposti in 5 file da 1 O ciascuna. A turno, ciascun giocatore divide la tavoletta (o una delle sue parti) seguendo le linee verticali o orizzontali (senza tagliare alcun quadretto). Ora non si elimina nessuna parte e tutte rimangono in gioco. Il primo giocatore che, facendo la divisione, lascia un quadretto totalmente separato perde. Come bisogna giocare per vincere? Cosa succede se il primo giocatore che riesce a lasciare un quadretto isolato vince invece che perdere? 62 GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI Per rendersi conto che questo in realtà non è un gioco, dato che il vincitore è determinato dalla configurazione iniziale e dalle regole, bisogna analizzare come varia il numero di quadrati durante una partita. In ciascuna giocata, può succedere che il numero dei quadrati rimanga invariato (se si cambiano due cerchi per un cerchio o un quadrato ed un cerchio per un quadrato) o anche che diminuisca di due (se si cambiano due quadrati per un cerchio). Questo comporta che, se la quantità iniziale di quadrati è pari, durante tutta la partita sarà pari e non è pos­ sibile che alla fine rimanga un quadrato, mentre se è dispari alla fine rimarrà solo un quadrato. Questo capitolo ha trattato giochi di strategia, in particolare quelli totalmente analizzabili, col fine di vedere come la matematica intervenga nella determinazione di una strategia vincente per uno dei due giocatori, quando questa esista. L'euri­ stica, lo studiare casi particolari, il supporre il gioco risolto e il procedere a ritroso, l'utilizzare la simmetria o il concentrarsi sulla parità (tutti elementi propri della soluzione di problemi matematici) sono utili per analizzare questo tipo di giochi, che una volta risolti, ossia una volta trovata la strategia vincente, smettono di essere giochi per passare nella categoria di problemi risolti. A grandi linee, i giochi analizzati corrispondono a giochi tipo NIM, dove ciò che importa è la quantità di gettoni e a giochi tipo Nimbus; in questi ultimi, oltre alla quantità, inter vengono fattori di posizione che impediscono l'utilizzazione di strategie di soluzione applicate ai primi e che fanno sì che la determinazione di una strategia sia, in generale, più complessa. 63 Capitolo 3 Azzardo e gioco Dove finisce il gioco e dove inizia la matematica seria? [ ... ] Per molti, la matematica, mortalmente noiosa, non ha nulla a che fare col gioco. Al contrario, per la maggioranza dei matematici, essa non smette mai di essere un gioco, sebbene possa essere anche molte altre cose. Miguel de Guzman Questo capitolo tratta della relazione tra giochi e probabilità; tale relazione apparve fin dai primi momenti in cui l'umanità ha tentato di modellizzare qualcosa di ap­ parentemente tanto caotico quanto l'azzardo. Fin da quando si è iniziato a conside­ rare ciò, la matematica era concentrata sul determinato, sul regolare e su quello che è possibile assicurare. Si può dire che, con la determinazione dei metodi per cal­ colare l'azzardo, inizi una nuova era per la matematica che, a poco a poco, ha preso maggiore rilevanza scoprendo l'importanza delle sue applicazioni, fino ad arrivare al XX secolo; a questo punto non solo l'azzardo, ma anche altri aspetti come il caos o l'irregolarità dei frattali, sono diventati oggetto di studio e di mod�llizzazione attraverso la matematica. Il cavaliere che non voleva perdere. Giochi d'azzardo e la nascita della probabilità Anche se nel mondo attuale le complesse teorie sulla probabilità hanno applica­ zioni nei più diversi ambiti, dato che nel nostro mondo c'è più incertezza che certezza, la verità è che l'origine della probabilità è strettamente vincolata ai giochi d'azzardo. Di fatto, si può affermare che l'inizio della formulazione matematica di una teoria sull'azzardo, basata sul concetto di probabilità, si ebbe in Francia nel pieno secolo XVII: in concreto, nella corrispondenza del 1654 tra Blaise Pascal e Pierre de Fermat a proposito delle questioni proposte da Chevalier de Méré. Que­ sti, un esperto di giochi d'azzardo e scommesse, chiese a Pascal che gli desse una spiegazione sul risultato di certi giochi d'azzardo basati sul lancio di dadi. Antoine 65 AZZARDO E GIOCO Gombauld, noto come Chevalier de Méré (Poitou, 1607-1685), dedicò gran parte della sua vita alla pratica ed all'analisi dei giochi d'azzardo (con argomentazio­ ni di carattere intuitivo, molte volte scorrette). A quanto pare, vinse una somma di denaro rispettabile scommettendo in diversi giochi apparentemente equilibra­ ti (stessa possibilità di vincere o di perdere) come, per esempio, ottenere almeno un 6 lanciando 4 dadi, gioco che a quell'epoca si considerava "equilibrato" e che Méré sapeva essere vantaggioso. Incautamente, propose un nuovo gioco consisten­ te nell'ottenere almeno un doppio 6 lanciando 24 volte una coppia di dadi, con l'idea che fosse ugualmente vantaggioso come il precedente. In poco tempo prese atto che il supposto vantaggio non era tale, ma tutto il contrario; ciò lo portò a chiedere a Pascal, verso il 1654, che gli spiegasse perché il suo ragionamento non era corretto e perché il nuovo gioco, a differenza del primo, non fosse vantaggioso. Illustrazione tratta dal Libro dei Giochi di Alfonso X il Saggio dedicata al gioco dei dadi. 66 AZZARDO E GIOCO BLAISE PASCAL (1623-1662) Nonostante la sua breve vita, que­ sto filosofo, matematico e scienzia­ to francese fornì contributi rilevanti nei diversi campi della scienza e del pensiero. Fu un bambino prodigio che a 11 anni già partecipava alle riunioni scien.tifiche organizzate da Marin Mersenne. Nel 1640 pub­ blicò Essai pour !es coniques e nel 1649 verificò i risultati di Torricelli sulla pressione atmosferica. Nel 1642, aveva già disegnato una calcolatrice per aiutare il padre, esattore delle tasse in Normandia. Questa calcolatrice, detta "pascali­ na", fu una delle prime calcolatrici meccaniche a funzionare davvero. Alcuni esemplari sono conservati ancor oggi in vari musei tecnico­ scientifici. La calcolatrice, destinata all'aritmetica commerciale, inte­ ressò diversi personaggi, come la regina Cristina di Svezia e il filosofo G. W. Leibniz, che la perfezionò. Partendo dai problemi sull'azzardo proposti da Chevalier de Méré, Pascal mantenne una corri­ spondenza con Pierre de Fermat, nella quale si trova l'inizio della formulazione teorica del calcolo della probabilità, che Pascal chiamò "geometria dell'azzardo". In concreto, si conoscono 5 lettere del 1654, nelle quali si analizzano giochi d'azzardo che avevano già interessato Cardano. In un altro lavoro in questo campo, Traité du triang!e arithmétique (1654) egli analizzò e dimo­ strò le proprietà del triangolo aritmetico, noto come il "triangolo di Pascal", i cui termini corri­ spondono ai numeri combinatori, utilizzati anni dopo da Newton per determinare i coefficienti di sviluppo di un binomio. L'opera matematica e scientifica di Pascal terminò nel 1655, quando si ritirò in convento per dedicarsi alla sua opera filosofica e religiosa. 67 AZZARDO E GIOCO PIERRE DE FERMAT (1601-1665} Si tratta di uno dei grandi matematici della storia, anche se si è dedicato a questa scienza come amateur e durante la sua vita non pubblicò i suoi lavori che si sono conosciuti grazie alla cor­ rispondenza che mantenne con grandi matematici della sua epoca come Descartes, Mersenne e Pascal. Studiò legge e lavorò per gran parte della sua vita a Tolosa, dove ottenne una posizione di riguardo come awocato del Parlamento della città, cosa che gli permise di avere del tempo libero per dedicarsi alla matematica, sua vera passione. Il suo principale interesse nella matematica ed i suoi principali apporti riguardano la teoria dei numeri; una delle sue congetture (l'equazione x" + Y' = z" non ha soluzioni in­ tere per n > 2) fu dimostrata solo alla fine del XX seco­ lo. Inoltre diede contributi importanti nel campo della geometria e nella determinazione degli estremi di una funzione per risolvere problemi di ottimizzazione prima della nascita del calcolo differenziale. La sua corrispon­ denza con Pascal del 1654 costituisce il primo tentativo rilevante per stabilire il concetto di probabilità. L'azzardo domato. Lo studio matematico delle probabilità Per introdurre il concetto di probabilità e delle sue proprietà basiche inizieremo col risolvere i due giochi proposti da Chevalier de Mèré, Una formulazione con­ creta del primo dice così: qual è la probabilità di ottenere almeno un 6 in quattro lanci di un dado? Per risolvere il problema si utilizza un elemento proprio della probabilità, secondo cui la probabilità che succeda un evento o anche il suo con­ trario deve essere 1. Pertanto, si calcola in primo luogo la probabilità di non otte­ nere alcun 6 con quattro lanci di un dado. È evidente che in un lancio di un dado p (no 6) = 5/6. Dato che lanciando 4 dadi ciascun lancio è indipendente dagli altri, è possibile determinare la probabilità dell'insieme moltiplicando le probabilità di ciascun successo; risulterà che questa probabilità sarà: (5/6) · (5/6) · (5/6) · (5/6) = (5/6) 4 = 625 / 68 1296 = 0,482 < 1/2. AZZARDO E GIOCO Da questo segue che la probabilità che esca almeno un 6 sarà: 1 - (625 I 1296) = 671 I 1296 = 0,518 > 112. Pertanto, si può affermare che è vantaggioso scommettere di ottenere un 6 in quattro lanci, così come supponeva Chevalier de Méré. In modo simile, si può analizzare e risolvere il secondo problema: qual è la probabilità di ottenere un doppio 6 lanciando un paio di dadi per 24 volte? Come prima, si calcola la probabilità di non ottenere alcun doppio 6 con 24 lanci. In un lancio di due dadi p (no doppio 6) = 35/36. Pertanto, in 24 lanci si avrà: p (no doppio 6) = (35/36) 24 = 0,5086. Da questo risultato si deduce che la probabilità di ottenere per l o meno un doppio 6 sarà: 1 - 0,5086 = 0,4914 < 1/2. Per risolvere i giochi che abbiamo analizzato e che si possono considerare i primi problemi di probabilità risolti come tali nella storia, abbiamo utilizzato un insieme di definizioni e proprietà che costituiscono la base ed il punto di partenza della teoria della probabilità. Achille ed Aiace che giocano ai dadi, una delle più celebri anfore ateniesi a figure nere. Realizzata nel VI sec. a.e, è un'ulteriore prova de/l'antichità di questo gioco. 69 AZZARDO E GIOCO PIERRE SIMON LAPLACE (1749-1827) Laplace è uno dei grandi matematici del XVIII secolo. Studiò teologia e matematica e fu professo­ re nella Scuola Reale Militare di Parigi e nella Scuola Normale Superiore. Fu membro dell'Istituto Francese e della Royal Society di Londra. Durante la rivoluzione francese collaborò per stabilire il sistema metrico decimale. Sotto il mandato di Napoleone fu membro del Senato e Cancelliere e nel 1805 ricevette la Legione d'Onore. Con la Restaurazione borbonica, Laplace si trasformò in un fermo difensore di Luigi XVIII, che lo nominò marchese nel 1817. La sua principale opera fisico-matematica, forse il suo maggior contributo alla scienza, è il Traité de mécanique céleste, in 5 volumi, pubblicato tra il 1799 e il 1825, nei quali completa i lavori precedenti (di Newton, Halley ed Euler) sulla gravitazione universale e prova la stabilità del sistema solare. Dal 1780 lavorò sulla probabilità, pubbli� cando nel 1812 la sua opera principale, Théorie analytique des probabilités, con­ siderata il più importante lavoro in questa disciplina. Il risultato di quest'opera complessa lo portò a scrivere, nel 1814, l'Essai phi/o­ sophique sur /es probabilités, che si può considerare una versione divulgativa della teoria analitica delle probabilità. Quest'opera contiene l'argomentazione più completa e consistente sulla concezio­ ne deterministica dell'universo. A questo proposito, proprio Laplace affermò: "si vede in questo saggio che la teoria delle probabilità non è altro che il buon senso applicato al calcolo(. .. ). Non c'è scienza più degna delle nostre riflessioni ed i cui risultati siano più utili". Di seguito si enunciano - e si esemplificano con un gioco di dadi - dette pro­ ietà, molte delle quali sono state trattate nella menzionata corrispondenza tra scal e Fermat e successivamente stabilite nei lavori sulla probabilità di Laplace. 70 AZZARDO E GIOCO Evento Probabilità 1 Per qualsiasi evento 5, si ha sempre che: O 5. p (5) s. 1 Lanciando un dado, la probabilità di ottenere un numero determinato tra 1 e 6, per esempio 5, è 1/6, dato che gli eventi possibili sono 6 e c'è solo un evento favorevole (che esca 5). 2 Se S è un evento sicuro p (5)= 1 e se S è un evento impossibile p (5)= O Lanciando un dado, l'evento che esca un 7 ha probabilità O (è un evento impossibile), mentre l'evento che esca un numero intero maggiore di O e minore di 7 ha probabilità 1 (è un evento sicuro). 3 p (no 5) = 1 - p (5) Lanciando un dado p (ottenere 6)= 1 - p (non ottenere 6). Se si lancia il dado 4 volte , si otterrà: p (ottenere per lo meno un 6) = 1 - p (non ottenere nessun 6). 4 Se A e B sono eventi disgiunti, p (A o 8) = p (A) + p (8) Lanciando un dado, p (ottenere un numero pari o ottenere 5)= p (numero pari) + + p (5) = 1/2 + 1/6 = 2/3. 5 Se A e 8 sono eventi indipendenti p (A e 8) = p (A) · p (8) Lanciando due dadi non ottenere 6: p (nessun 6 in 2 lanci)= p (no 6) · p (no 6)= 5/6 · 5/6= 25/36. IL PROBLEMA DEI PUNTI Vediamo un esempio di uno dei primi problemi sulla probabilità: Ruggero e Paolo stanno facendo un gioco di scommesse il cui vincitore è il primo che ottiene 1 O punti. In ciascun giro entrambi i giocatori hanno la stessa possibilità di vincere ed il vincitore ottiene un punto. Al termine del 17 ° giro Paolo sta vincendo per 9 a 8; dunque il gioco si interrompe e, dato che nessun gioca­ tore ha raggiunto i 1O punti, decidono di dividersi il denaro delle scommesse realizzate. Come dovranno fare la divisione? La soluzione "corretta" del problema può dipendere da aspetti non strettamente matematici, il che fa sì che esista più di una soluzione "accettabile". Senza dubbio, l'analisi delle possibilità che ciascun giocatore ha di vincere permette di realizzare una distribu­ zione adattata alla probabilità. In effetti, per terminare la partita, si dovrebbero giocare ancora 2 giri, come massimo. Vi sono 4 risultati possibili e ugualmente probabili, per questi due 'giri: (P, P), (P, R), (R, P), (R, R) dove P indica la vittoria di Paolo e R quella di Ruggero. In tre risultati, la vittoria sarà per Paolo, che ha bisogno di un solo punto per vincere; solo in un caso (l'ultimo) la vittoria sarà per Ruggero. Pertanto, il denaro delle scommesse va ripartito in ragione di 3: 1, ossia 3/4 per Paolo e 1 /4 per Ruggero. 71 AZZARDO E GIOCO Un altro problema trattato nella corrispondenza tra Pascal e Fermat ha rela­ zione con un gioco di scommesse: si tratta di decidere come bisogna dividere le vincite tra i partecipanti ad un gioco di scommesse che rimanga interrotto in un determinato momento. Questo problema, noto come il problema dei punti, era già stato avvicinato da Cardano che aveva dato una soluzione in funzione dei punti di ciascun giocatore e non in accordo con le probabilità di vincere di ciascuno nel caso in cui il gioco fosse continuato fino alla fine. Questioni di calcolo: l'ordine è importante? Bisogna ricordare che la probabilità che un evento succeda si ottiene applicando la seguente regola: P (evento) = casi favorevoli / casi possibili, ossia si determina quante volte si ha un evento e si divide per il numero totale dei casi possibili. In alcuni casi questo calcolo è molto semplice. Per esempio, qual è la probabilità di ottenere un numero pari lanciando un dado? Abbiamo tre casi favorevoli (ottenere 2, 4 o 6) su un totale di 6 casi possibili: pertanto p (pari) = 3/6 = 0,5. Dato che il numero totale dei casi è molto ridotto, il conteggio si può fare numerando tutti i casi. Senza dubbio, in altre occasioni, il conteggio dei casi favorevoli e/o possibili può essere piuttosto complicato, per cui è necessario identificare bene la situazione e disporre dei metodi di calcolo per effettuare detto conteggio. Una parte molto importante del lavoro di analisi di un gioco d'azzardo, o di una situazione aleatoria in generale, quando questa sia piuttosto complessa, consiste nella numerazione di tutti i casi per il suo conteggio. Analizziamo di seguito alcune situazioni che permettono di vedere diversi modi di fare conteggi. Situazione 1 In una gara di atletica nella quale partecipano 12 corridori, quanti podi distinti con le 3 prime posizioni - si possono avere? Chiunque dei 12 partecipanti può arrivare primo. Per ciascuno di loro, ci sono 11 atleti che possono arrivare secondi, e per ciascuna coppia rimangono 1O atleti che possono arrivare terzi. Pertanto, il numero distinto dei podi sarà: 12 · 11 · 10 = 1320. Ciò che abbiamo fatto è determinare il numero di gruppi di 3 atleti che è pos­ sibile avere con un totale di 12, tenendo presente che l'ordine di arrivo è rilevante. In effetti, la terna 1, 2, 3 non è la stessa che 2, 3, 1; anche se gli atleti che arrivano al 72 AZZARDO E GIOCO podio sono gli stessi in entrambe, la prima indica che la gara è stata vinta dall'atleta 1 (il 2 è arrivato secondo ed il 3 terzo), mentre la seconda indica che il vincitore è l'atleta 2 (il 3 è arrivato secondo e 1'1 terzo). La situazione precedente è nota con il nome di variazioni di 12 elementi presi di 3 in 3, che si scrive V 12 3 e, come si è visto, si calcola con il prodotto 12 · 11 · 10. In generale, per calcolare le variazioni di m elementi presi di n in n (è inteso che n < m) si deve fare il seguente prodotto: V12,3 = m · (m - 1) · (m - 2) · ... · (m - n + 1). Situazione 2 Quando un giocatore di bridge ha ricevuto le sue 13 carte, in quanti modi diversi può ordinarle? Se si hanno 13 carte e si vogliono ordinare in tutti i modi possibili, ci sono 13 possibilità per la prima carta, 12 per la seconda, 11 per la terza e così via fino all'ul­ tima carta, per la quale ci sarà solo una possibilità. Pertanto, il numero totale delle disposizioni sarà: 13 · 12 · 11 · ... · 3 · 2 · 1 = 13! = 6.227.020.800. L'operazione precedente è nota col nome di permutazione di 13 elementi ed il risultato si può scrivere anche con la cosiddetta notazione fattoriale, che utilizza il punto esclamativo dopo il numero, nel nostro caso 13!. In generale, n! corrisponde al risultato della moltiplicazione di n per tutti i suoi precedenti fino a 1. Una tavola come la seguente, con i primi 12 fattoriali, dà un'idea della crescita di questi numeri. 1! 1 7! 1·2·3·4· 5·6· 7 = 5.040 2! 1·2 = 2 8! 1·2·3·4· 5· 6 · 7·8=40.320 3! 1·2·3=6 9! 1·2·3·4· 5· 6· 7 · 8·9 = 362.880 4! 1·2·3·4=24 10! 1·2·3·4· 5· 6· 7 ·8·9·1 O = 3.628.800 5! 1·2·3·4· 5 = 120 11! 1·2·3·4· 5 · 6· 7·8·9·1 O·11 = 39.916.800 6! 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6=720 12! 1·2 · 3 ·4 · 5 · 6 · 7 · 8·9· 1 O· 11 · 12=479.001.600 73 AZZARDO E GIOCO Il conteggio è basilare in numerosi giochi di carte. Ne/l'illustrazione, I giocatori di carte, tela del 1520 di Lucas van Leyden. Situazione 3 Nel gioco del bridge, tenendo conto che in una mano si hanno 13 carte su un totale di 52, quante mani distinte si possono distribuire? In questo caso si deve calcolare il numero di gruppi distinti di 13 carte che si possono formare da un totale di 52, tenendo conto che, una volta selezionate 13 carte, l'ordine in cui sono è irrilevante. Un modo possibile di calcolare le distinte mani è considerare che se l'ordine fosse rilevante la quantità totale sarebbe: 52 · 51 · 50 · ... · 42 · 41 · 40 = 3,95424 · 1021 • Senza dubbio, dato che l'ordine non è importante, ciascun gruppo di 13 carte è stato contato 13! volte (che sono le permutazioni di 13), per cui il numero di mani distinte del bridge sarà: (52 · 51 · ... · 41 · 40) /13! = 52! / (39! · 13!) = 635.013.559.600. 74 AZZARDO E GIOCO Si osservi che i numeri ottenuti sono enormi; nel primo caso, quando si tiene conto dell'ordine, risulta un numero di 22 cifre; nel secondo caso (senza tener con­ to dell'ordine), un numero di 12 cifre. Si potrebbe confrontare con l'età dell'universo: 1,5 · 10 10 anni, che espresso in secondi sarebbe circa 4,7 · 10 17• Come dire che il primo dei numeri (3,9 · 10 21) equivale a più di 8000 volte la quantità di secondi trascorsi dal Big Bang, mentre il secondo numero (6,3 · 10 11) equivale a 42 volte la quantità di anni trascorsi dall'inizio dell'universo. La situazione precedente è nota col nome di combinazione di 52 elementi presi di 13 in 13, che si scrive C52 , 1 3 e, come si è visto, si calcola con l'operazione: 52! / (39! · 13!). In generale, per calcolare le combinazioni di m elementi presi di n in n (si intende che n < m), bisogna fare la seguente operazione: C,,,," = m! I (m - n)! · n! Situazione 4 Quando la finale di un torneo di calcio termina pari, si ricorre ai rigori, gene­ ralmente in serie di 5, ciascuno dei quali deve essere calciato da un giocatore diverso. Quante liste di 5 giocatori si possono realizzare tra gli 11 che hanno giocato la partita, per determinare chi calcerà i rigori? In certi casi non è evidente se l'ordine è rilevante o meno, e si possono accet­ tare entrambe le interpretazioni. Il problema precedente si può interpretare in 2 modi: a) Fare gruppi di 5 giocatori, in modo che 2 gruppi distinti differiscano alme­ no per un giocatore. In questo caso, si dovrebbero calcolare le combinazioni di 11 elementi presi di 5 in 5, che sono: 11! / (5! · 6!) = 462. b) Senza dubbio, quelli che conoscono la situazione sanno che ciascuna squa­ dra deve consegnare all'arbitro una lista ordinata che dichiari quale giocato­ re deve calciare ciascuno dei 5 rigori. Pertanto, due liste con gli stessi giocatori, però in ordine diverso, saranno differenti. Con questa interpretazione si dovranno calcolare le variazioni di 11 elementi presi di 5 in 5 che sono: 11 ! / 6! = 55.440. 75 AZZARDO E GIOCO I numeri della lotteria ed altre false intuizioni riguardo ali' azzardo Un dialogo inventato: - Mi dia un numero per la lotteria. -Tenga lo 00010. - Non mi piace, è molto basso e non esce mai. - Se lo prende,le do anche lo 00001, due al prezzo di uno. - Non lo voglio lo stesso,questo esce ancor meno. -Va bene,ho anche il 74283. - Questo sì che mi piace! Me lo dia e grazie per il cambio. Tutti abbiamo una determinata idea di cosa sia l'azzardo e di quali siano le regole del gioco. Ciò nonostante, di fronte ai problemi della probabilità, anche se apparentemente semplici, sorge spesso il dubbio, più accentuato che di fronte ad altri tipi di problemi o giochi matematici; pertanto,cercando di modellizzare ma­ tematicamente l'azzardo attraverso la probabilità, dobbiamo analizzare in dettaglio ogni situazione. Il dialogo iniziale è forse un po' esagerato, però vuole mostrare fino a che punto le regole più elementari della probabilità siano lontane da molte situazioni quotidiane,in particolare dal gioco d'azzardo. D'altra parte,la passione di molta gente per le scommesse prova ulteriormente quanto poco intervenga il cal­ colo delle probabilità nel ragionamento popolare. Per quanto la probabilità indichi che si ha una altissima possibilità di perdere la scommessa e che, se anche si gioca ogni settimana, è probabile che non ci tocchi mai nulla, si continua a giocare con la nota argomentazione che a qualcuno toccherà. Al contrario, questa argomen­ tazione non si utilizza quando si esce in macchina per il weekend, pensando alla possibilità di avere un incidente. I capricci della probabilità Presentiamo di seguito alcuni esempi curiosi a proposito della possibilità di vincere un gioco o di realizzare un sorteggio equo; metteremo in dubbio,in più di un caso, le nostre intuizioni. Tutti questi giochi e problemi mostrano che, in generale, le nostre conoscenze sull'azzardo non sono sufficientemente assimilate,fino al punto che ci portano ad intuire il contrario di ciò che succede nella realtà. 76 AZZARDO E GIOCO Giocare a bocce Due amici, Giovanni e Carlo, appassionati di petanque, si allenano col seguente gioco: Giovanni ha due bocce e Carlo solo una; mettono il boccino in posizione e lanciano le bocce. Se entrambi hanno la stessa abilità, che probabilità esiste che la boccia più vicina sia una di quelle di Giovanni? Il risultato parrebbe essere 2/3, dato che può succedere che la boccia di Carlo rimanga prima, seconda o terza, ed in queste ultime situazioni la più vicina sarà una di quelle di Giovanni. Però possiamo ragionare diversamente, pensando che ci sono 4 casi possibili: le due bocce di Giovanni possono restare davanti a quella di Carlo, o restare dietro, oppure la prima davanti e la seconda dietro o al contrario. In questo caso, Carlo vincerà solo in un'occasione e, pertanto, la probabilità che Giovanni si avvicini di più sarà di 3/4. Quale ragionamento è sbagliato? Perché? Il primo ragionamento è quello corretto. In realtà, se non si segnano le bocce esistono 3 casi possibili, mentre se lo si fa, il numero dei casi diventa 6 ed in quattro di essi Giovanni avrà una delle sue bocce più vicina al boccino. Il secondo ragio­ namento è fallace: mentre si sdoppia uno dei due casi (quando la boccia di Carlo è la intermedia), considerando le bocce di Giovanni marcate, non si fa lo stesso negli altri due casi, ciascuno dei quali si dovrebbe sdoppiare. Un dado normale Bruna e Ruggero prendono un dado normale, vale a dire con le facce segnate con i numeri da 1 a 6; Bruna lancia per prima, poi segue Ruggero. Che probabilità ha Bruna di ottenere un numero più alto di Ruggero? È evidente che la probabilità che i numeri siano uguali è 1/6 (Ruggero ha una possibilità su sei di ottenere lo stesso numero di Bruna); pertanto, la probabilità che siano diversi sarà 5/6; la probabilità che il numero di Bruna sia maggiore sarà la metà, ossia 5/12. Qual è la probabilità di vincere? Abbiamo tre dadi di colori diversi: il rosso ha sulle facce i n_umeri 2, 4 e 9, tutti e tre duplicati; il blu i numeri 3, 5 e 7 anch'essi duplicati ed il bianco i numeri 1, 6 e 8 ripetuti come negli altri dadi. Il gioco, per due giocatori, consiste nello scegliere un dado ciascuno e tirarlo; vince chi ottiene maggior punteggio. Risulta che se si lascia scegliere per primo l'avversario, questi potrà sempre scegliere un dado che gli darà maggior probabilità di vincere. Che dado dovrà scegliere? 77 AZZARDO E GIOCO Affresco di Pompei dedicato ai giocatori di dadi (I secolo). Nonostante il fatto che i numeri di tutti i dadi abbiano la stessa somma, si trat­ ta di una situazione sorprendente, dato che il blu vince sul rosso, il bianco vince sul blu ed il rosso vince sul bianco. In tutti questi accoppiamenti, su una media di nove lanci, in cinque vince il primo ed in quattro il secondo; ossia, la probabilità di vincere con uno dei dadi è 5/9 e con l'altro di 4/9; tale probabilità si può calcolare facilmente se si analizzano tutti i casi possibili per ciascuna coppia di dadi. Così dunque, scegliendo per secondi, se lo si fa adeguatamente, si ha sempre la possibi­ lità di vincere. Un sorteggio controverso Un professore decise di sorteggiare un regalo tra i suoi 30 alunni; uno di questi propose di prendere 30 foglietti, segnarne uno e dopo averli piegati e mescolati, distribuirli uno per alunno; il professore propose un metodo più semplice e veloce: disse che avrebbe pensato un numero, tra 1 e 30 (che avrebbe scritto su un foglio) e, seguendo l'ordine in cui erano seduti, ciascun alunno avrebbe detto un numero fino a che uno avesse indovinato quello pensato dal professore. 78 AZZARDO E GIOCO Un alunno, seduto in fondo alla classe, disse che non era d'accordo con questo metodo, sostenendo che egli avrebbe avuto poche possibilità di indovinare, meno dei primi e che, addirittura, non avrebbe avuto possibilità di dire un numero, per­ ché qualcun altro prima di lui lo avrebbe indovinato. Aveva ragione questo alunno o, al contrario, il professore aveva proposto un sorteggio giusto? Il ragionamento del professore è assolutamente equilibrato, dato che tutti gli alunni hanno la stessa probabilità di indovinare, che sarà 1/30 per ciascuno. In effetti, per il primo è evidente che la probabilità è 1/30, perché ha trenta nume­ ri tra cui scegliere; la probabilità per il secondo sarà 29/30 · 1/29 = 1/30, ossia probabilità che il primo non indovini (29/30) ed egli sì (1/29); per il terzo sarà 29/30 · 28/29 · 1/28 = 1/30, e così di seguito fino all'ultimo. D'altra parte, si os­ servi che essendo la probabilità del primo 1/30, se detta probabilità diminuisse per gli altri, la somma delle probabilità non sarebbe 1; ciò è impossibile, poiché nomi­ nando tutti i numeri possibili, ci sarà sempre chi indovina. Una scommessa poco interessante Un giocatore punta sempre pari o dispari alla roulette (se indovina vince una som­ ma uguale alla scommessa e se perde rimane senza nulla) e decide di giocare così: inizierà con una certa quantità e scommetterà ogni volta 1/10 della quantità che avrà in quel momento; se inizia con 100 € e scommette dieci volte di seguito in modo che vince in cinque e perde nelle altre cinque, avrà più, meno o uguale de­ naro di quando ha iniziato? Possiamo generalizzare il problema supponendo che inizi il gioco con una quantità qualsiasi, per esempio m euro, e che ogni volta scommetta 1/ n della quan­ tità che ha al momento di scommettere. Anche se pare che dopo aver giocato dieci volte, vincendo in cinque e per­ dendo nelle altre cinque, avrà lo stesso denaro che aveva all'inizio, per certo ne avrà di meno; in effetti, quando vince incrementa di 1/10 ciò che aveva, il che equivale a moltiplicare la quantità per 1,1, mentre quando non indovina perde 1/10, il che equivale a moltiplicare la quantità per 0,9. In questo modo, con cinque successi e cinque fallimenti (a margine dell'ordine in cui si saranno verificati) avrà: 100 · (1,1)5 • (0,9)5 = 100 · 1,61051 · 0,59049 = 100 · 0,95099 '.:::'. 95,099 € e avrà perso circa 5 €. Il ragionamento si può generalizzare ed il fatto che il risultato finale sarà sem­ pre inferiore all'iniziale si basa su (1 + 1/n) · (1 - 1/n) = 1 - 1/n2 , che è minore 79 AZZARDO E GIOCO Illustrazione del secolo XVIII con una caricatura di giocatori di "even - odd" (pari - dispari), gioco antenato della roulette. di 1, per cui la quantità iniziale, moltiplicata per un numero minore di 1, diminuirà sempre. Anniversari coincidenti Uno dei problemi elementari della probabilità, il cui risultato è davvero sorpren­ dente, è il seguente: qual è la probabilità che in un gruppo di 25 persone ce ne siano per lo meno due che celebrino il compleanno lo stesso giorno? Tenendo presente che l'anno ha 365 giorni (non consideriamo gli anni bisestili) e che ci sono solo 25 persone nel gruppo, l'intuizione ci porta a pensare che la probabilità sarà piuttosto bassa, in ogni caso, minore di 0,5; con un calcolo delle probabilità scopriamo che la suddetta è maggiore di 1/2. In effetti, dato che ci possono essere due o più persone nate nello stesso giorno, calcoliamo la probabilità che tutte le 80 AZZARDO E GIOCO persone del gruppo siano nate in un giorno diverso. Per cui consideriamo le 25 persone nell'ordine: la prima persona può essere nata in uno qualsiasi dei 365 gior­ ni; la seconda in uno qualsiasi dei 364 restanti; la terza in uno degli altri 363 e così via. Pertanto, la probabilità che le 25 persone siano nate in un giorno diverso sarà: p (giorno diverso)= 365/365 · 364/365 · 363/365 · ...... · 341/365 = = 365! / (340! · 36525) ""0,4313. Da ciò si ottiene che la probabilità che per almeno due persone la data di na­ scita coincida è: 1 - 0,4313 = 0,5687 > 1/2. In realtà, è sufficiente un gruppo di 23 persone perché questa probabilità sia maggiore di un 1/2. L'azzardo non ha memoria Uno degli aspetti in cui solitamente l'intuizione è fallace è nella determinazione di successi indipendenti. In effetti, supponiamo di osservare un gioco alla roulette e che siano apparsi 1O numeri pari di seguito. Decidiamo di scommettere pari o dispari nella giocata seguente; cosa sarà me­ glio? Senza dubbio, una piccola conoscenza della probabilità ci fa affermare che è indifferente, dato che ci sono le stesse possibilità che il numero sia pari o dispari. Senza dubbio, quest'idea, che sintetizziamo dicendo che "l'azzardo non ha memo­ ria", non è sempre facile da identificare, come si vedrà analizzando le situazioni seguenti. Lanciare una moneta Un professore di matematica propose ai suoi alunni di lanciare una moneta molte volte, per esempio 150, e di scrivere i risultati, annotando 1 ogni volta che veniva testa e O ogni volta che veniva croce. Questi sono i risultati ottenuti da due alunni: Ruggero: 01011001100101011011010001110001101101010110010001 01010011100110101100101100101100100101110110011011 01010010110010101100010011010110011101110101100011. Bruna: 10011101111010011100100111001000111011111101010101 11100001010001010010000010001100010100000000011001 00001001111100001101010010010011111101001100011010. 81 AZZARDO E GIOCO Il professore osservò i risultati e scoprì che qualcosa non funzionava. Certa­ mente, mentre uno degli alunni aveva realizzato correttamente l'esperimento, l'al­ tro aveva pensato che non era necessario lanciare la moneta, ma che bastava anno­ tare gli uno e gli zero d'azzardo. Peccato che la sua idea di azzardo non fosse molto precisa e che il professore scoprisse subito che uno dei due aveva ingannato. Quale dei due alunni non lanciò la moneta? La tendenza a distribuire in maniera regolare gli uno e gli zero di Ruggero portò il professore a sospettare di lui. In effetti, se confrontiamo le distribuzioni di Ruggero e di Bruna vediamo, da un lato, che il numero di uno e zero di ciascuno è simile e "ragionevole" (78 e 72 per il primo, 70 e 80 per il secondo); però nel caso di Ruggero le sequenze di uno e zero sono tutte molto corte (al massimo 3) mentre nelle distribuzioni di Bruna appaiono serie di quattro, di cinque e una di nove risultati uguali. Qui abbiamo il principale sospetto. Analizzando il fatto precedente in termini di probabilità condizionata e tenen­ do presente che ogni lancio è indipendente dai precedenti, si vede che dopo un 1 appaiono numeri uno e zero distribuiti "razionalmente"; risulta che nella distri­ buzione di Ruggero dopo un 1 appaiono 47 uno e 30 zero, dopo 2 uno appaiono solo 5 uno e 18 zero, e dopo 5 sequenze di 3 uno appare sempre uno zero. Si può provare che questa chiara deviazione si ha ugualmente prendendo le sequenze di zero nella distribuzione di Ruggero, cosa che non si ha nei risultati di Bruna (per esempio, dopo 2 uno appaiono 18 uno e 14 zero e dopo 3 uno ci sono 9 uno e 9 zero). Pertanto, l'idea di azzardo di Ruggero, secondo la quale le irregolarità non devono comparire, fece sì che il professore scoprisse l'inganno. Di sicuro, nella situazione seguente, la discussione sull'influenza dell'informa­ zione nella modifica (o meno) della probabilità raggiunge livelli più interessanti. Il gioco successivo, un adattamento di un classico problema di "prigionieri", mostra la difficoltà a comprendere in che modo una particolare informazione al­ teri la probabilità. Concorso televisivo Una delle prove di un gioco televisivo consiste nel trovare un premio nascosto dietro una porta: ci sono tre porte ed il concorrente deve sceglierne una (senza aprirla); di seguito, il presentatore del gioco (che sa dietro quale porta si trova il premio) apre una delle porte non scelte dal concorrente, dove non c'è il premio, e propone la possibilità di cambiare la porta scelta inizialmente con l'altra chiusa. Si dovrà accettare il cambio per avere più possibilità di vincere il premio? 82 AZZARDO E GIOCO UN DOPPIO PREMIO NOBEL MOLTO MODESTO Quando il chimico Linus Pauling (1901-1994) ricevette il suo secondo Premio Nobel (il primo per la Chimica nel 1954, per i suoi lavori di chimica quantistica ed il secondo per la Pace nel 1962, per le sue campagne contro le prove nucleari), commentò, evidentemente scherzando, che mentre ricevere il primo premio era stato molto difficile, dato che la probabilità era di uno tra seimila milioni, ossia la popolazione mondiale, nel secondo caso aveva meriti minori dato che la probabilità era di una su poche centinaia (il numero di persone allora vive che già avevano ricevuto un Premio Nobel). Dove sta il problema in questo ragionamento divertente, ma sicuramente fallace? Per considerare che la probabilità di ricevere un secondo premio Nobel dipenda solo dal numero di quelli che lo hanno già ricevuto, è necessario sapere che il comitato abbia deciso di premiare chi ha già un premio Nobel; però, se non si dispone di questa informazione, ottenere il secondo premio, in termini di proba­ bilità, è ugualmente difficile che ottenere il primo, dato che ci tocca supporre che il comitato non tenga conto, nella sua selezione, se i can­ didati abbiano già ricevuto altri premi in precedenza. È chiaro che in questo caso, considerare il fatto di ot­ tenere un premio Nobel in termini di probabilità è per se stesso uno scherzo, dato che, evidentemente, non è solo un problema di sorteg­ gio, ma anzi, principalmen­ te, di meriti. Linus Pàuling (a destra) mentre riceve il Premio Nobel per la Pace. 83 AZZARDO E GIOCO Si tratta di una nuova forma di un noto e controverso problema delle probabi­ lità, nel quale si deve trovare come cambia la probabilità di ciascuna porta. Quan­ do il concorrente sceglie una delle tre porte, la probabilità di ottenere il premio è 1/3. Questa probabilità non cambia quando il presentatore sceglie una delle altre porte (che non contiene il premio) e la apre; già si sapeva che una delle due non conteneva il premio, però si modifica la probabilità dell'altra porta chiusa, che passa da probabilità 1/3 a probabilità 2/3 (le probabilità delle porte chiuse devono avere somma 1). Dunque, il concorrente deve accettare il cambio di porta ed avrà , una probabilità di 2/3. La controversia di questo problema sta nel fatto che, così come si è proposto, la probabilità della porta scelta inizialmente dal concorrente non cambia; sarebbe diverso se, avendo scelto il presentatore una porta dove non c'è il premio ed il concorrente segnalato una delle due porte rimaste, quest'ultimo chiedesse al pre­ sentatore se c'è il premio e questi gli rispondesse di no; in questo caso la probabi­ lità della porta scelta inizialmente passerebbe da 1/3 a 1/2. Il gioco precedente ammette una generalizzazione interessante: ci sono n por­ te e dietro una di queste c'è un premio; il concorrente sceglie una porta (senza aprirla), il presentatore apre una delle altre, dove non c'è il premio e poi per­ mette al concorrente di cambiare porta se lo desidera. Di seguito, il presentatore apre un'altra porta (tra le altre chiuse, eccetto quella scelta dal concorrente), dove neppure si trova il premio, e continua a permettere al concorrente di cambiare la porta scelta; il gioco continua fino a che rimangono solo 2 porte chiuse ed il gio­ catore sceglie per l'ultima volta. Come dovrà giocare il concorrente per ottenere la più alta probabilità di vincere il premio? Quale sarà in questo caso la probabilità di vincere? Partendo dal fatto che quando il presentatore apre una porta si cambiano le probabilità di tutte le porte chiuse eccetto di quella segnalata dal concorrente, risulta che la strategia che permette di ottenere una probabilità maggiore consiste nel non cambiare porta fino a che non ne rimangano solo due chiuse; a questo punto, il concorrente cambierà porta e avrà una probabilità uguale a (n - 1) In. In effetti, quando sceglie per la prima volta, la probabilità di vincere il premio è 1/n (si ricordi che ci sono n porte); se non cambia fino a che rimangono 2 porte chiuse, la porta scelta inizialmente continua ad avere probabilità 1/ n, perché l'altra porta chiusa avrà probabilità (n - 1)/n, che è la maggiore possibile. Se, al contrario, durante il gioco il concorrente cambia porta, anche se a que­ sto punto la determinazione delle probabilità diventa più complessa (dipende dal 84 AZZARDO E GIOCO numero di cambi e da quando si realizzano), si può essere sicuri che tutte supe­ rino 1/n (tutte hanno aumentato almeno una volta la probabilità iniziale), per cui quando rimarranno due porte nessuna delle due raggiungerà la probabilità (n-1)/n. Se si vuole approfondire questo gioco, si può vedere come si modificano le probabilità in funzione delle diverse strategie; i risultati sono assai complessi, ma molto interessanti. Matematica e speranza Uno dei concetti più importanti quando si prendono decisioni in un gioco d'az­ zardo viene chiamato speranza matematica. Vediamo alcuni esempi, prima di dare una definizione di tale espressione; sup­ poniamo che ci propongano il seguente gioco d'azzardo: si lanciano 2 monete (non truccate) e se il risultato sono 2 teste si guadagnano 4€, se sono due croci si guadagna 1€, se esce una testa ed una croce si perdono 3€. Ci interessa giocare? Quanto speriamo di vincere (o di perdere)? Ci sono 4 possibili risultati lanciando 2 monete: 2 teste (p = 114), 2 croci (p = 1 I 4), testa e croce (p = 1I 4), croce e testa (p = 1 I4). Dunque ogni quattro lanci usciranno, in media, una volta due teste, una volta due croci e due volte una ed una, per cui i nostri guadagni saranno: 1 · 4€ + 1 · 1€ + 2 · (-3) € = -1€. Questo ci suggerisce di non giocare; se lo facessimo avremmo, in media, una perdita di 1 € ogni 4 giocate, ossia 25 centesimi a giocata. Questo stesso risultato si può ottenere moltiplicando le probabilità che succeda ciascuno dei casi possibili per la vittoria che otterremmo in detto caso (o perdite, che si indicano in negativo) e sommando i risultati. In questo caso si avrà: 1/4 · 4€ + 1/4 · 1€ + 1/2 · (-3) € = 0,25€. Vediamo un secondo esempio. In un gioco di scommesse che consiste nel lan­ ciare un dado, il banco paga sei gettoni se esce un 6, quattro gettoni se esce un numero pari e niente negli altri casi. Quanto dobbiamo scommettere in ciascuna giocata per avere un gioco equilibrato? Tenendo presente che p (6) = 1/6 e p (dispari) = 1/2, in ogni giocata si spera di guadagnare: 1/6 · 6 + 1/2 · 4 + 1/3 · O= 3 gettoni. Pertanto, il gioco sarà equi85 AZZARDO E GIOCO librato (non è avvantaggiato il banco, né il giocatore) se ciascuna scommessa costa 3 gettoni. Questi esempi ci introducono all'idea di speranza matematica e di giochi di scommesse equilibrati, che ora possiamo definire in maniera generale. Siano S 1, S2, S3, ••• , S11 gli eventi, disgiunti due a due (nessuno può verificarsi simultaneamente), che si possono avere in un gioco d'azzardo, ciascuno con la probabilità di accadere dip 1 ,A,A, . . . ,p 11 (con la condizione che p 1 +p2 +A+ ...+ p 11 = 1), e con i paga­ menti rispettivi r1, r2, r3 ' ... , r,,; il guadagno sperato o la speranza matematica (X) di un gioco nel quale i risultati devono essere uno degli eventi S 1, S2, S3 , definisce come: .••, S si 11 A partire da questa definizione, si dirà che un gioco di scommesse è giusto (o equilibrato) se la speranza matematica (il guadagno medio per giocata) coincide con la scommessa che si deve pagare. Si dice anche che la speranza matematica glo­ bale (ciò che si spera di guadagnare meno ciò che si deve pagare per giocare) sia O. Vediamo una nuova applicazione di speranza matematica per determinare se un gioco d'azzardo sia equilibrato o no. Un gioco di scommesse con tre dadi Un gioco d'azzardo consiste in questo: un giocatore scommette 1 € su un numero da 1 a 6, per esempio 3. Si lanciano tre dadi normali; se esce un 3 guadagna 1 €, se escono 2 tre guadagna 2€ se ne escono tre, guadagna 3€; in tutti questi casi gua­ dagna più dell'euro giocato. Se con nessuno dei tre dadi esce un tre, perde l'euro giocato. È un gioco equilibrato, favorevole al banco o al giocatore? Anche se a prima vista può sembrare favorevole allo scommettitore, in realtà non lo è. Pare interessante scommettere se si ragiona così: dato che ci sono 3 dadi e la probabilità di ottenere il numero scommesso è 1/6 in ciascun dado, ci sarà almeno 1/2 di probabilità di vincere; però esiste anche la possibilità di ottenere 2 o anche 3 numeri uguali a quello scommesso, per cui il gioco sarà favorevole allo scommettitore. Il ragionamento precedente è però scorretto. In effetti ci sono 216 possibilità (6 · 6 · 6). In un solo caso (p = 1/216) si ottiene il triplo; in 15 casi si ottiene il 86 AZZARDO E GIOCO doppio (p = 15/216) ed in 75 casi si guadagna la quantità uguale a quella scom­ messa (p = 75/216). Pertanto, in 125 casi (216 - 1 - 15 - 75) si perde la quantità scommessa. Osserviamo che già in questo momento si vede che ci sono più casi in cui si perde (125) di quelli in cui si guadagna (91): se si calcola la speranza matematica associata ad una scommessa di 1€, si avrà: 3 · 1/216 + 2 · 15/216 + 1 · 75/216 - 1 · 125/216 = 108/216 - 125/216 = - 171216 = - 0,0787 ... = Pertanto, il gioco è favorevole al banco, che spera di guadagnare quasi 8 cente. . . s1nu per ogm euro scommesso. Anche se abbiamo esemplificato l'idea di speranza matematica nei giochi d'az­ zardo, questo concetto si può applicare a situazioni aleatorie diverse che, in molti casi, hanno poco o niente a che vedere col gioco d'azzardo, come nel seguente esempio. Un pagamento anticipato Il prossimo luglio ci sarà un congresso al quale siamo interessati, però non siamo sicuri di poter partecipare per problemi di lavoro e di agenda. Se paghiamo l'iscrizione entro 1'1 di marzo, questa costa 150€ (senza rimborso in caso di rinuncia), mentre se si paga più tardi il costo è di 200€ (si può anche pagare all'arrivo al congresso). Il 28 febbraio facciamo una stima delle probabilità di partecipare al congresso (diamo a questa probabilità il nome p). Che bisogna fare, in accordo con p, pagare in anticipo o aspettare l'arrivo al congresso? Se si paga in anticipo la speranza è -150 (tanto si dà andando o no, dato che non c'è rimborso). Se si paga al momento di arrivare la speranza è -200 · p + (1 - p) · O= -200 · p (si paga solo se si va al congresso). Le due speranze sono uguali se p = 150/200 = 0,75. Pertanto, se p > 0,75 è meglio fare la prenotazione anticipata e se p < 0,75 è meglio non pagare fino all'arrivo al congresso. Nel caso in cui p = 0,75 allora è indifferente. 87 AZZARDO E GIOCO È possibile vmcere contro il banco? Probabilità di successi ripetuti Come si è visto nel paragrafo precedente, la speranza matematica dà un'idea se un gioco di scommesse sia equilibrato o meno. Nel primo caso, in un numero elevato di giocate, si spera di non ottenere né vincite né perdite, mentre se il gioco non è equilibrato si può determinare la quantità che, in media, si spera di guadagnare (o perdere). Senza dubbio, sono esistiti ed esistono giocatori che, dopo aver scommesso di seguito in un gioco equilibrato o con una speranza leggermente negativa, han­ no ottenuto alcuni benefici. Occupiamoci ora della matematica che ci permet­ ta di analizzare meglio la realizzazione di giocate (o prove) ripetute in un gioco di scommesse (esperimento) col fine di determinare la probabilità di "superare le aspettative". Inizieremo analizzando un questione del gioco della roulette (con 37 numeri, da 1 a 36 più lo O). Qual è la probabilità di ottenere 3 zero in 10 giocate? La probabilità di ottenere 3 zero in una posizione determinata sarà (1/37)3 · (36/37)7 = 0,00016. La probabilità totale sarà la precedente per il numero di posi­ zioni che possono occupare i tre zero: C rn 3 = 120 ossia: p (3 zero in 10 giocate )= 120 · 0,00016= 0,0192, il che significa approssimativamente 1 possibilità su 50. L'esempio precedente si può generalizzare, ottenendo un risultato importante per l'analisi dei giochi, nella seguente maniera: se in un gioco d'azzardo (esperi­ mento aleatorio) si realizzano n giocate (n prove indipendenti), già sappiamo che la probabilità che si ottenga un certo evento, in relazione alla giocata che si ripete è p, dunque p (r risultati in n prove)= e,,,, · p' · q(t1-,), dove p= 1 - p, r::; n. La distribuzione delle probabilità, prendendo r distinti valori da 1 a n, si chiama distribuzione binomiale. Per poterla applicare è necessario che le prove siano indi­ pendenti e che la probabilità di un evento sia costante nelle successive prove. 88 AZZARDO E GIOCO Utilizziamo detta distribuzione della probabilità per trovare la probabilità di ottenere r teste lanciando una moneta n volte, con r = 1, 2, ..., n. In questo caso,p (una testa)= 1/2, e pertanto q = 112, da cui si ottiene sempre che p' · qs-, = (1/2)' · (1/2)8-,= (1/2)8 = 1/256. Moltiplicando questo valore per le successive combinazioni (C 8 ) per i valori distinti di r, avremo: Numero di teste Possibilità di realizzare il numero di teste Probabilità di ottenere il numero di teste o es.o = 1 1 · 1/256 = 1/256 1 CB,1 = 8 8 · 1/256 = 8/256 2 C8,2 = 28 28 · 1/256 = 28/256 3 C8,3 = 56 56 · 1/256 = 56/256 4 CB,4 = 70 70 · 1/256 = 70/256 5 CB,S = 56 56 · 1/256 = 56/256 6 C8,6 = 28 28 · 1/256 = 28/256 7 CB,7 = 8 8 · 1/256 = 8/256 8 ca.a = 1 1 · 1/256 = 1/256 La simmetria della distribuzione delle probabilità che si osserva nella tabella è la conseguenza che la probabilità di ottenere una testa in un lancio sia 1/2. Sicu­ ramente il lettore avrà osservato che i numeri successivi (1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1) della tabella precedente corrispondono ai numeri del triangolo aritmetico (o di Pascal). In effetti, la distribuzione binomiale è in relazione ai coefficienti di svilup­ po del binomio e, in questo caso concreto, corrispondono ai coefficienti (a+ b)8 . 89 Capitolo 4 La teoria matematica dei giochi I nove decimi della matematica, con l'eccezione di quelli che hanno origine nelle necessità di ordine pratico, consistono nella soluzione di indovinelli. Jean Dieudonné La teoria dei giochi è una branca della matematica che si occupa principalmente di prendere decisioni. Grazie alle sue caratteristiche, si applica a tutti i tipi di situazioni in cui si propone uno scontro, nel quale i contendenti devono prendere le decisioni più favorevoli ai loro interessi, senza conoscere quelle che prenderanno gli avver­ sari. La formulazione della teoria si basa su giochi astratti, da ciò il suo nome. Però questa non si interessa propriamente di giochi, ma di applicazioni a tutte quelle situazioni le cui caratteristiche fanno sì che l'analisi e le soluzioni si realizzino attra­ verso una modellizzazione di una situazione come se fosse un gioco astratto. Questo capitolo tratta di giochi competitivi a somma zero per due persone. Per "somma zero" si intende che i benefici di un giocatore equivalgano in qualsiasi momento alle perdite dell'altro, ossia che ci sia solo un vincitore assoluto. Suppo­ niamo che ciascun giocatore cerchi sempre di realizzare la giocata a lui più favore­ vole, ossia quella che produce maggiori benefici. In altre parole, i giocatori non si accontentano di niente di meno che della totalità dei benefici. I principi della teoria dei giochi Per introdurre la teoria dei giochi, si presentano di seguito tre giochi che serviran­ no a distinguere diversi livelli di difficoltà, così come alcuni concetti chiave che si utilizzeranno in questo capitolo e nel seguente. Il lettore deve intendere che anche se questa teoria utilizza la terminologia dei giochi, (per questo si parla di gioco, giocatori, partite, strategie, gioco equilibrato, valore di un gioco, etc.), ciascuna situazione presentata non ha nulla di corrispondente in realtà ad un gioco, nel si­ gnificato utilizzato per questo termine nei capitoli precedenti. 91 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI I PRECURSORI DELLA TEORIA DEI GIOCHI Già nel XVII secolo, scienziati come Ch. Huygens (1629-1695) e G. W. Leibniz (1646-1716) proposero la creazione di una disciplina che utilizzasse il metodo scientifico per studiare i conflitti e le interazioni umane, anche se non raggiunsero risultati rilevanti. Durante il XVIII secolo si conoscono pochi la­ vori in relazione all'analisi dei giochi con que­ sta finalità; merita una citazione una lettera di James Waldegrave, del 1713, nella quale egli dà una soluzione per un gioco di carte per due giocatori (Le Her), al quale applica un metodo simile a quello che conosciamo come stratégia mista, dando una soluzione del tipo minimax. Purtroppo, non c'è alcun tipo di teorizzazione né generalizzazione per applicare il metodo ad altri casi. Nel XIX secolo vari economisti hanno svi­ luppato modelli matematici semplici per Ritratto di G. W Leibniz, filosofo tedesco che diede un significativo contributo allo sviluppo della matematica. analizzare situazioni competitive elementari. Tra i tanti si distingue il lavoro di Antoine Au­ gustin Cournot Recherches sur /es principes mathématiques de la théorie des richesses (1838), nel quale si affronta un duopolio e si dà una soluzione che si può considerare come un caso particolare dell'equilibrio di Nash. Senza dubbio, la teoria dei giochi come teoria matematica basata su fondamenti è opera della prima metà del XX secolo. È meglio immaginare una situazione (confronto), inizialmente tra due persone o gruppi), nella quale ci sono alcune regole che determinano le giocate possibili : nelle quali, prendendo decisioni da parte di uno dei due giocatori in maniera imultanea (e non alternativa come nei giochi del capitolo 2) - cosa che non ci ,ermette di conoscere la giocata dell'avversario -, si ottengono alcuni guadagni ,er l'uno o l'altro giocatore. 92 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI D'ora in poi, si parlerà di giochi per riferirsi a situazioni; di giocatori, per lo meno due, che sono i partecipanti alla situazione; di strategie, nelle quali ogni giocatore prenderà decisioni che coinvolgeranno la giocata; di guadagni, ossia ciò che ogni giocatore vince o perde in conseguenza delle decisioni prese. Per conoscere i contenuti basici della teoria dei giochi iniziamo con il seguente caso (molto semplice e senza alcun interesse come gioco): due persone,A e B, scri­ vono simultaneamente un numero (possono scegliere 1 e 2). Il giocatore B deve pagare ad A la quantità di euro corrispondente alla somma dei due numeri scritti da entrambi. Evidentemente, non è un gioco equitativo (A vince sempre); però ci possiamo chiedere come ciascun giocatore dovrà giocare d'accordo con i propri interessi. Osserviamo pertanto la matrice del gioco, detta matrice dei pagamenti o dei guadagni, con i possibili risultati B scrive 1 B scrive 2 A scrive 1 2 3 A scrive 2 3 4 I numeri della matrice indicano la quantità di euro che B deve pagare ad A, secondo la strategia seguita da ciascun giocatore (le due possibilità per giocatore danno i quattro risultati della matrice). Data la semplicità del gioco, risulta evi­ dente che se ciascun giocatore gioca d'accordo col proprio interesse, A scriverà un 2 mentre B scriverà un 1 ed il guadagno di A sarà di 3€. Analizziamo più in dettaglio queste giocate per vedere come può procedere ciascun giocatore: dato che A non conosce il gioco di B, deve supporre che B giocherà per minimizzare i suoi pagamenti, in modo che se A scrive 1 guadagnerà come minimo 2€, e se scrive un 2 guadagnerà come minimo 3€. Si dice che 3 (il numero della casella inferiore sinistra della matrice) è il maximin (il massimo dei minimi). Ugualmente, B suppone che A giochi per ottenere i maggiori benefici, per cui se B scrive un 1, perderà come massimo 3€ e se scrive un 2 perderà come massimo 4€. Si dice che 3 è il minimax (il minimo di massimi). Quando in un gioco il maximin ed il mini­ max coincidono in una stessa casella, come in questo caso, si dice che la partita è strettamente determinata e che il gioco ha un punto di sella (se si immagina una sella, si possono visualizzare due linee curve perpendicolari, una con un minimo e l'altra con un massimo ed un punto dove coincidono il minimo dell'una ed il massimo dell'altra). 93 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI La quantità corrispondente al punto di sella, nel nostro caso 3€, è il valore del gioco che si ottiene sempre che ciascun giocatore segua la sua strategia ottima. Se uno dei due realizza un'altra giocata (applica un'altra strategia), l'avversario potrà superare il valore del gioco, guadagnando di più o perdendo di meno, a seconda che siaA o B. Si dice anche che questo è un gioco determinato per il quale esiste una strategia pura. Consideriamo ora un altro gioco, con le stesse condizioni del precedente in quanto alle giocate che possono realizzare entrambi i giocatori, però con una matri­ ce di pagamenti diversa, data con le regole della parità: se entrambi i giocatori scri­ vono lo stesso numero,A vince 1€, mentre se scrivono numeri diversi, B vince 1€. B scrive 1 B scrive 2 A scrive 1 1 -1 A scrive 2 -1 1 Ora il maximin di A è -1 (entrambi i minimi sono -1), mentre il minimax di B è 1 (entrambi i massimi sono 1); questa differenza fa sì che il gioco non abbia un punto di sella e, pertanto, non esista una strategia di gioco assoluta. Se A adotta una strategia (per esempio, scrivere sempre 1) che è identificata da B, questi scriverà sistematicamente sempre 2 e guadagnerà 1€.Data la semplicità e la simmetria del gioco, la strategia ottima deve essere quella che contiene una proporzione uguale di uno e due, tale che il giocatore avversario non possa identificare un modello. Perciò la strategia ottima consisterà nel giocare d'azzardo, per esempio lanciando una moneta e associando la testa ad 1 e la croce a 2. In questo caso non si può parlare di strategia pura, dato che l'intervento necessario dell'azzardo fa sì che la maniera di giocare non si possa determinare a priori. Quando la strategia ottima richiede l'azzardo e si deve mantenere segreta si parla di strategie miste. I due esempi esaminati corrispondono a due casi semplici che potremmo chia­ mare estremi: nel primo, il gioco è determinato dalla scelta di una strategia pura, dato che la miglior strategia per ciascun giocatore porta ad un risultato coinciden­ te che si chiama valore del gioco. Nel secondo, invece, nessuna forma di gioco prede­ terminata porta ad ottenere i risultati migliori, per cui l'unica maniera di giocare che ce li possa garantire è una strategia aleatoria, che si chiama strategia mista. Vediamo ora un terzo gioco, simile ai precedenti, la cui analisi per determinare le strategie ottime per ciascun giocatore è, però, maggiormente complessa. 94 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI Come nei giochi precedenti, ciascun giocatore può scrivere due numeri:A può scrivere 1 o 8 e B può scrivere 7 o 2. Se i numeri scritti da entrambi i giocatori hanno la stessa parità (entrambi pari o entrambi dispari) A vince il valore in euro del numero da lui stesso scritto, mentre se sono uno pari e uno dispari, chi vince è B e la quantità è data dal numero scritto da quest'ultimo. Per questo gioco, la matrice dei pagamenti sarà: B scrive 7 B scrive 2 A scrive 1 1 -7 -2 A scrive 8 8 Si ricordi che i numeri della matrice si riferiscono ai guadagni del giocatore A; per cui, quando vince B si scrive un numero negativo che rappresenta una perdita per A. Il gioco sembra equo (A può guadagnare 1 € o 8€, mentre B può guada­ gnare 2€ o 7€) e non esiste un punto di sella: il maximin è -2 (-2 > -7) mentre il minimax è 1 (1 < 8). Di fatto, quando in una matrice 2 X 2 i numeri di una diagonale sono maggiori che gli altri due numeri, non esiste una strategia assoluta che determini il gioco. Però, diversamente che nel gioco precedente, nel quale la strategia migliore per i due giocatori era una forma di gioco aleatoria e con questa i guadagni si equilibravano, in questo caso B ha la possibilità di vincere. Ora la stra­ tegia ottima per ciascun giocatore, per quanto aleatoria, non lo è strettamente, dato che ciascun giocatore deve prendere una decisione in accordo con determinate proporzioni: anche in questo caso la soluzione si trova stabilendo strategie miste da parte di ciascun giocatore. Ci occuperemo più avanti di come stabilire i risultati di questo gioco, ovvero di come determinare la strategia ottima per ciascun giocatore. Il lettore avrà osservato che abbiamo presentato giochi diversi su una matrice dove si evidenziano le diverse strategie del primo giocatore (le righe) e del secon­ do (le colonne). Questa rappresentazione, nota come forma normale del gioco, è la più usuale per quei giochi per 2 persone nei quali le giocate sono simultanee, cosa che non succede nella maggioranza delle situazioni analizzate dalla teoria dei giochi. Esiste anche un'altra rappresentazione, che consiste nel porre tutte le giocate in un diagramma ad albero; questa è adeguata per quei giochi in cui i concorrenti giocano alternativamente, ciascuno a turno. La maggioranza dei giochi del capitolo 2 è di questo tipo. 95 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI LA NASCITA DELLA TEORIA DEI GIOCHI Già nel pieno del XX secolo si iniziò a formulare un ambito teorico che si sarebbe poi trasformato in quella che oggi si cÒnosce come teoria dei giochi. Il logico Ernst Zermelo (18,1-1956) stabilì e dimostrò il primo teorema generale nel 1912. In questo si afferma che qualsiasi gioco finito ad informazione completa (come la dama o gli scacchi) ha una soluzione ottima con strategie pure, ossia senza necessità di introdurre al­ cun elemento aleatorio. È un teorema di esistenza che ci dice poco o niente su come trovare dette strategie. Verso il 1920 il grande matematico Émile Bore! si in­ teressò ad una teoria emergente ed introdusse l'idea di strategia mista (con intervento di elementi aleatori) e molto presto John von Neumann iniziò a lavorare su quel!a, formulando e dimostrando, nel 1928, il teo­ Il matematico francese Émi/e Bore/, che realizzò numerosi studi sulla teoria della probabilità. rema del minimàx, che subito divenne un elemento chiave per lo sviluppo della teoria. Questo teorema dice che in un gioco finito per due giocatori, A e B, esiste un valore medio che rappresenta la quantità che il giocatore A può vincere su B, se i due giocatori giocano in maniera razionale, ossia cercando di ottenere i maggiori benefici (o le minori perdite). Quando si raggiunge l'equilibrio? I giochi analizzati nel paragrafo precedente sono giochi semplici per diversi mo­ tivi: partecipano 2 giocatori e ciascuno di questi ha solo una giocata possibile (la matrice dei pagamenti è sempre 2 X 2). Inoltre sono giochi a somma zero, dato che la somma delle vincite dei due giocatori è sempre zero (una perdita si considera come una vincita negativa). Le strategie possibili sono ridotte, in una partita, a scegliere una delle due giocate possibili. D'accordo con le condizioni del gioco, può succedere che ciascun giocatore scelga una strategia determinata (la strategia ottima per ciascuno), con ciò il gioco è determinato ed il risultato corrisponde al valore del gioco (come nell'esempio 1 del paragrafo precedente). 96 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI JOHN VON NEUMANN (1903-1957) John von Neumann, scienziato assai versatile, è uno dei più illustri matematici del XX secolo. Ini­ ziò a studiare matematica nella sua città natale, Budapest, da lì passò a Berlino per studiare fisica e poi a Zurigo per studiare ingegneria chimica; dal 1939 si stabilì negli Stati Uniti. A Gottinga, sotto la guida di Hilbert, lavorò su questioni teoriche di matematica pura e collaborò anche con Heisenberg nelle prime formulazioni di teoria quantistica. Realizzò contributi sostanziali in campi diversi, tra i quali la teoria degli insiemi, l'analisi fun­ zionale, la logica, la probabilità, la matematica applicata all'economia, la fisica quantistica e la meteorologia. I suoi interessi passarono dalla matematica pura a quella applicata in campi assai diversi come la fisica atomica, il progetto di computer elettronici, la psicologia cognitiva o l'economia. Uno dei suoi maggiori contributi è stato quello alla matematica applicata all'economia con la formulazione della Teoria dei Giochi nell'opera Theory of Games and Economie Behaviour, realizzata con Oskar Morgenstern e pubblicata a Princeton nel 1944. Quest'opera è conside­ rata il più importante contributo in questa branca della matematica e segna il consolidamento di suddetta teoria che, in pochi anni, dagli anni '50, si sarebbe applicata ad un· grande numero di situazioni per l'analisi della realtà. John von Neumann (a destra) con Robert Oppenheimer, direttore scientifico del programma che sviluppò la prima bomba nucleare, posano in questa immagine del 1952 davanti alla calcolatrice più veloce e precisa mai costruita fino ad allora. Abbiamo visto che questa è la soluzione del gioco, sempre che si tratti di un gioco con un punto sella, ossia sempre che i valori della matrice siano allo stesso tempo il maximin (il massimo valore tra i minimi di ciascuna fila) ed il minimax (il minimo valore tra i massimi di ciascuna colonna). Se questo non succede, non si può parlare di strategie pure e bisogna ricorrere alle strategie miste, le quali saranno scelte introducendo l'azzardo e mantenendole segrete. Nei casi in cui la matrice dei pagamenti sia simmetrica, la strategia consisterà nello scegliere total97 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI mente d'azzardo (come nell'esempio 2). Nel caso contrario, pur utilizzando una strategia aleatoria, si dovrà ponderare la scelta di ciascuna giocata possibile (come nell'esempio 3). Un gioco astratto con strategie pure Analizziamo più in dettaglio i giochi del primo tipo e vediamo cosa succede quan­ do si amplia la matrice del gioco, ossia quando le possibili giocate per ciascun gio­ catore sono più di due. Supponiamo il seguente gioco per due giocatori:A sceglie una fila (Fl, F2, F3) ed il suo avversario una colonna (Cl, C2, C3) della seguente matrice (la matrice dei pagamenti del gioco), senza che nessuno dei due sappia cosa fa l'altro. Le due scelte determinano un numero della matrice (intersezione della fila e della colon­ na scelte) che indica la quantità in euro che il secondo giocatore dovrà pagare al primo. Come deve giocare ciascun giocatore per ottenere il maggior guadagno o la minore perdita? Giocatore B <( (1 (2 (3 F1 5 -2 1 F2 6 4 2 F3 o 7 -1 Il giocatore A analizza quali sono i suoi guadagni minimi in accordo con le sue possibili giocate (-2 se gioca Fl, 2 se gioca F2 e -1 se gioca F3); il maggiore dei guadagni minimi (maximin) è 2. Se il gioco è determinato, dovrà scegliere F2. Analogamente, B analizza quali sono le sue perdite maggiori, secondo le possibili giocate (6 se gioca C1, 7 se gioca C2 e 2 se gioca C3); la minore delle perdite mas­ sime (minimax) è 2. Se il gioco è determinato, dovrà scegliere C3. Dato che in questo gioco il maximin ed il minimax coincidono ed entrambi corrispondono ad un pagamento di 2€, si dice che il gioco è determinato, che il suo valore è 2 e che si risolve mediante una strategia pura. A giocherà F2 e B gio­ cherà C3. Si dice anche che 2 è il punto sella (il massimo dei minimi coincide col minimo dei massimi) o punto di equilibrio. 98 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI Questo esempio si può generalizzare mantenendo il numero dei giocatori, però facendo in modo che ciascuno possa realizzare n giocate, invece che 3, per cui la matrice dei pagamenti sarà n X n. Sempre che esista un punto di sella, si dirà che il gioco ha un punto di equilibrio associato ad un paio di strategie pure (l'ottima per ciascun giocatore). Il gioco ha un risultato stabile perché la modifica unilaterale della strategia da parte di uno dei due giocatori proporzionerà un risultato peggiore per colui che realizza questa azione e, conseguentemente, migliore per l'avversario. SONO GIOCHI STABILI? Proponiamo al lettore di analizzare le seguenti matrici di giochi per due persone a _somma zero e di determinare se si tratta di giochi stabili, trovando i punti sella o di equilibrio. Giocatore B (1 (2 (3 <l'. F1 2 -5 -2 o ro F2 3 -1 -1 0 F3 -3 4 -4 � o Giocatore B (1 (2 (3 <l'. F1 -2 1 1 ro F2 -3 o 2 0 F3 -4 -6 4 o Giocatore B <l'. � o ro (1 (2 (3 (4 F1 -3 17 -5 21 F2 7 9 5 7 F3 3 -7 1 13 F4 1 19 3 11 99 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI Elezioni e ristoranti: applicazioni di giochi di strategia pura Il metodo di soluzione dei giochi astratti del paragrafo precedente si può applica­ re per analizzare e risolvere situazioni di tipo molto diverso. Vediamo due esempi concreti. Programmi elettorali Supponiamo la seguente situazione: uno dei temi del dibattito politico in un certo paese è la realizzazione di una strada che debba circondare la capitale. Esistono 2 possibilità: la strada a nord (N) o a sud (S). I due principali partiti politici del paese, A e B, nel momento di redigere il programma elettorale, devono decidere se sono a favore della variante N o S; possono anche decidere di eludere il problema e di non inserirlo nei loro programmi. Entrambi i partiti sanno che i loro militanti li appoggeranno, qualunque sia la loro decisione, però il resto della popolazione si inclinerà verso una o l'altra opzione e nel caso che i due scelgano la stessa, la po­ polazione si asterrà. In questa situazione, si è calcolato, mediante sondaggi, che entrambi i partiti conoscono, che i risultati per il partito A saranno dati dalla seguente matrice: Programma di B N s Elude N 40% 45% 35% E E s 55% 50% 45% c.. Elude 40% 50% 35% <( ro ro Così, per esempio, se il partito A propone nel suo programma la variante N e B la S, A otterrà il 45% dei voti, mentre se entrambi eludono il tema, A otterrà circa il 35% dei voti. A queste condizioni, quali saranno le scelte prese da ciascun partito politico? Se i dati sono quelli della matrice precedente, il caso è molto semplice: il par­ tito A osserva che otterrà sempre i suoi risultati migliori prendendo la decisione S. 100 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI Dunque, questa sarà la sua scelta. Analogamente, il partito B osserva che i risultati peggiori per A (che a B convengono) li otterrà se B elude il tema. Questa sarà la sua scelta. Pertanto, la situazione ha un punto di equilibrio (A sceglie S e B elude il tema) ed il valore è il 45% dei voti per A. Supponiamo ora che la matrice sia la seguente: Programma di B N s Elude <( N 60% 55% 45% E E s 40% 20% 40% c.. Elude 45% 20% 35% 'o La decisione di A continua ad essere chiara: la sua migliore scelta è N, in tutti i casi; però ora B non può più decidere senza tener conto di cosa farà A; la tentazio­ ne di scegliere S, pensando di lasciare A con solo il 20% non ha senso, dato che se A sceglie bene otterrà il 55% invece che il 20%; per cui, la scelta di B dovrà essere eludere il tema ed il risultato sarà il 45% dei voti per A. Infine, supponiamo che la matrice sia la seguente: Programma di B N s Elude N 35% 10% 60% E E s 45% 55% 50% c.. Elude 40% 10% 65% <( "C <lJ <lJ Ora nessuno dei due partiti ha una decisione immediata, dato che entrambi di­ pendono da ciò che fa l'avversario. Per cui bisogna pensare a quale sia la propria op101 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI zione migliore per qualsiasi scelta dell'avversario, ossia quale sia la meno peggio tra le negative. Così, A ottiene come minimo il 10% se sceglie N, il 45% se sceglie S ed il 10% se elude la questione, per cui dovrà scegliere S. Analogamente, se B sceglie N, A otterrà come massimo il 45%; se sceglie S, A potrà ottenere fino ad un 55% e se B elude la questione, A potrà ottenere fino ad un 65%. Pertanto, B dovrà scegliere N. Anche in questo caso, la migliore opzione per ciascun partito dà lo stesso ri­ sultato, il 45% dei voti perA, che è il punto sella (o di equilibrio) della situazione. Situazione di un ristorante Due soci, Maria e Giorgio, vogliono aprire un ristorante e decidono di farlo presso un incrocio di strade, nei dintorni di una grande città circondata da una catena montuosa. Sono d'accordo su tutto tranne che su una cosa: Maria preferisce situar­ lo nel luogo più basso possibile, mentre Giorgio vuole il luogo più alto possibile: per questo aspetto i loro interessi sono totalmente opposti. Per poter prendere una decisione organizzano un gioco competitivo: selezionano tre autostrade parallele A1,A2 ed A3 che vanno da ovest ad est e tre statali, anch'esse parallele tra loro, Cl, C2 e C3 che vanno da nord a sud. Gli incroci delle autostrade con le statali danno loro 9 possibili posizioni, le cui altitudini in metri sono date dalla seguente matrice: Programma di B <i: "C A1 A2 A3 C1 470 1.050 600 C2 540 600 930 C3 320 280 710 (0 E E (0 Per determinare la posizione del ristorante decidono che Maria selezionerà un'autostrada (A1,A2 eA3 sono le sue strategie) e Giorgio una statale (Cl, C2 e C3 sono le sue strategie) e l'intersezione di entrambe sarà il luogo scelto. Come dovrà scegliere ciascuno per ottenere la posizione più vantaggiosa ai suoi interessi? Giorgio è pessimista e sceglie l'altitudine minore tra le tre statali (470, 540, 280), il minimo di ciascuna fila e decide di scegliere la statale C2, che gli garantisce un'altitudine di 540 metri. Similmente, Maria fa una valutazione delle maggiori 102 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI altitudini di ciascuna autostrada (540, 1050, 930) e sceglie l'autostrada Al, che le garantisce la minore altitudine, 540 metri. Così, entrambi fanno la loro scelta ed il risultato, 540 metri, è il migliore per ciascuno; in altre parole, se uno dei due cambia la sua scelta, il risultato sarà peggiore per i suoi interessi. Questi esempi mostrano, da un lato, la varietà di situazioni nelle quali si possono trovare soluzioni ottime per gli interessi di due persone (o gruppi) quando queste sono totalmente contrarie; d'altro lato, se la matrice del gioco ha un punto sella, il risultato è total­ mente determinato dalle ottime scelte dei contendenti. Quando non esiste equilibrio: le strategie miste Molti dei giochi competitivi e delle situazioni in cui è applicabile un modello di gioco non si possono risolvere con strategie pure, perché non hanno un punto di equilibrio. Abitualmente non esiste una strategia pura dominante per ciascun gio­ catore, ossia una strategia che sia la migliore ogni volta che gioca. Al contrario, i giocatori non possono rivelare la loro strategia e cercano di nasconderla, ricorren­ do anche all'inganno. Questo è il caso, per esempio, del poker, nel quale i giocatori cercano di ingannare gli avversari e non mostrano le carte a meno che non sia strettamente necessario. Determinazione di una strategia mista ottima Ricordiamo il terzo ed ultimo gioco proposto nel primo paragrafo di questo capi­ tolo. Ciascuno dei due giocatori può scrivere due numeri: A può scrivere 1 o 8 e B può scrivere 7 o 2. Se i numeri scritti da entrambi i giocatori hanno la stessa parità (entrambi pari o entrambi dispari) A vince il valore in euro del numero scritto da se stesso, mentre se sono uno pari ed uno dispari chi vince è B e la quantità viene data dal numero scritto da questi. La matrice del gioco è: 8 scrive 7 B scrive 2 A scrive 1 1 -2 A scrive 8 -7 8 Si è visto che il gioco sembra equo (A può guadagnare 1 € o 8€, mentre B può guadagnare 2€ o 7€) e non esiste un punto sella: il maximin è -2 , mentre il 103 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI minimax è 1. Pertanto, non esiste una strategia pura per ciascun giocatore.Vediamo come in questo caso è possibile stabilire una strategia mista che sia ottima e che permetta di determinare il valore del gioco. Una strategia mista è una determinata "aleatorizzazione" di un insieme di stra­ tegie pure. Per costruirla bisogna assegnare a ciascuna strategia pura una probabilità che indichi la frequenza con cui ciascuna strategia pura sarà giocata. Per esempio, nel nostro caso,A ha 2 strategie pure (scrivere 1 o scrivere 8) e B altre 2. Si tratta di trovare le probabilità p (scrivere 1), p (scrivere 8) per A e p (scrivere 7), p (scrivere 2) per B, di modo che entrambi ottimizzino le loro possibilità. Note le probabilità ed i pagamenti assegnati a ciascun caso, questo permetterà di determinare il valore sperato del gioco. Per prima cosa, bisogna determinare le probabilità che A deve assegnare alle sue due strategie pure: chiamiamo p la probabilità di scrivere 8, di modo che 1 - p sarà la probabilità di scrivere 1. Dunque, se B sceglie la strategia di scrivere 7, il valore sperato per A sarà: V= 1 (1 - p) + (-7) p; questo dà un'equazione lineare V= 1 - 8p. Se, al contrario, B sceglie la strategia di scrivere 2, allora il valore sperato da A sarà: V= (-2) (1 - p) + 8p, che dà un'equazione V= 10 p- 2. Il giocatore A vuole determinare p per ottenere un valore sperato che sia il maggiore possibile, per qualsiasi strategia scelta da B. La soluzione del sistema dà il valore di p e di V per il giocatore A. In questo caso p = 1/6 e V= -1/3. Analogamente, si può calcolare la strategia mista per il giocatore B. Chiamiamo p la probabilità di scrivere 2, per cui la probabilità di scrivere 7 sarà (1 - p). Se A ha scelto la strategia di scrivere 1, il valore sperato da B sarà: V= 2p + (-1) (1 - p) che dà l'equazione V= 3p -1. Analogamente, se A ha scelto l'altra strategia, scrivere 8, allora il valore sperato da B sarà: V= (-8p) + 7 (1- p), ossia V= 7-15p. 104 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI Il giocatore B vuole determinare p per ottenere un valore sperato che sia il maggiore possibile, con qualsiasi strategia scelta da A. La soluzione del sistema darà il valore di p e di V per il giocatore B. In questo caso, risolvendo il sistema di equa­ zioni proposto si ottiene:p = 4/9 e V= 1/3. Il metodo applicato è generalizzabile ad una matrice 2 X 2 e risolve quei giochi che non hanno punto sella con l'uso di strategie miste. Analizziamo in dettaglio il significato dei risultati ottenuti: in primo luogo, si osserva che il valore sperato da A e B è coincidente (V= 1/3), con la differenza del segno, che nel caso di A è negativo: ciò significa che A spera di perdere; mentre per B è positivo e B spera di guadagnare ciò che è perso per A. In generale,il valore del gioco è dato dall'espressione:(ad- be) / ( a+ d- b - e), dove a, b,e, d sono i valori della matrice dei pagamenti (da sinistra a destra e dall'al­ to in basso). Così, nel nostro caso, il valore sarà:(8- 14)/18 = - 6/18 = -1/3; ciò indica che, in media,A perderà 1€ ogni tre giocate, sempre che A e B realizzino, ciascuno, la propria giocata ottima. In relazione alle strategie miste che abbiamo determinato sia per A sia per B, anche queste si possono trovare direttamente. In effetti, la proporzione con cui A deve scegliere l'una o l'altra strategia pura si ottiene tenendo conto di quanto guadagna o perde su ogni fùa: in concreto, realiz­ zando i calcoli: 1 - (-2) = 3 (prima fila) e -7 - 8 = -15 (seconda fila). Dunque ri­ sulta che la sua strategia ottima deve essere giocare aleatoriamente, però in ragione di 15 su 3, ovvero 5 su 1 a favore di scrivere 1 (per esempio, lanciando un dado con 5 facce segnate con 1 e una con 8). Si osservi che questo risultato coincide con quello ottenuto risolvendo il siste­ ma e scoprendo che la probabilità di scrivere 8 deve essere 1/6 e, pertanto, quella di scrivere 1 deve essere 5/6. Analogamente,il giocatore B,operando sulle colonne(prima colonna: 1-(-7) = 8, seconda colonna:-2 - 8 = -1O) deve giocare aleatoriamente con una proporzione di 1O su 8, ovvero di 5 su 4, a favore di scrivere 7 al posto di 2; questo risultato coincide con il sistema di equazioni risolto precedentemente, il quale dava una probabilità di scrivere 2 di 4/9 e, pertanto, di scrivere 7 di 5/9. Ora possiamo formulare la strategia mista ottima per ciascun giocatore. A de­ ciderà aleatoriamente se scrivere 1, con una probabilità di 5/6, o di scrivere 8, con una probabilità di 1/6.Analogamente, B deciderà aleatoriamente se scrivere 7, con una probabilità di 5/9, o se scrivere 2, con una probabilità di 4/9. 105 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI IL TEOREMA DEL MINIMAX Per tutti i giochi finiti per due persone a somma zero esiste un valore V che rappresenta la quan­ tità media che il giocatore A spera di vincere o perdere sul giocatore B, se entrambi agiscono razionalmente, ossia giocando per ottimizzare le proprie vincite. Von Neumann, che congetturò e dimostrò questo teorema, considerato il più rilevante della teoria dei giochi (che abbiamo applicato in varie forme in questo capitolo), intuì che questo risultato era plausibile per 3 motivi fondamentali. 1. L'esistenza di una strategia per il primo giocatore che sia la migliore per i suoi interessi, che gli permetta di ottenere guadagni determinati (il valore medio del gioco) e contro cui il secondo giocatore. non possa fare nulla. 2. L'esistenza di una strategia per il secondo giocatore che sia la migliore per i suoi interessi, ossia che gli garantisca che non perderà, in media, più di un valore determinato (il valore medio del gioco) e contro cui il primo giocatore non possa fare nulla. 3. Il fatto che il gioco è a somma zero, ossia quello che il primo giocatore vince deve perderlo il secondo; ciò implica che, se esiste un valore medio del gioco, sia il primo, sia il secondo giocatore devono accettare rispettivamente questa vincita o questa perdita, dato che qual­ siasi altra strategia che li allontani da questo valore sarebbe un danno dei loro interessi. Infine, anche se non esiste un punto sella, possiamo essere certi che, se ciascun giocatore sceglie la sua strategia mista ottima, B guadagnerà, in media, 1 /3 di euro per partita. Se B sceglie qualsiasi altra strategia ed A mantiene la sua, le sue vincite si ridurranno; però se mantiene la sua strategia mista ottima ed A varia la sua, allora aumenteranno le perdite di A. Applicazioni della strategia mista Nel paragrafo precedente abbiamo sviluppato in dettaglio un esempio per vedere come si risolve un gioco, determinando strategie miste ottime per ciascun giocato­ re in quei casi in cui l'analisi della matrice di gioco mostra che non esiste un punto sella, ossia quando il minimax ed il maximin non coincidono. Per non distrarre l'attenzione del lettore, l'esempio consisteva in un gioco astratto che permetteva di concentrarsi sul valore della tavola dei pagamenti, senza tenere conto di altre que­ stioni sul loro significato. Sviluppiamo ora altri esempi per vedere possibili applicazioni del metodo delle strategie miste. 106 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI La crescita di un'impresa Un'impresa ha messo a punto un nuovo prodotto e sta valutando il suo lancio sul mercato per il prossimo anno. Può decidere tra una produzione ridotta, pen­ sando ad una situazione economica negativa, o grande, supponendo un recupero dell'economia e sperando in vendite buone. I benefici sperati, in migliaia di euro, sono dati dalla seguente tabella: Situazione economica QJ ·;::; Negativa Positiva Ridotta 500 300 Grande 100 900 I responsabili dell'impresa, per poter decidere, considerano che l'economia ha un comportamento equivalente ad una strategia mista ottima. Quale sarà la loro strategia mista ottima e quale il beneficio sperato? I valori della matrice mostrano che non esiste una strategia pura ottima, dato che non c'è un punto sella: (maximin = 300, minimax = 500); pertanto, si dovrà determinare una strategia mista ottima. Chiamiamo p la probabilità di fare una grande produzione, (1 - p) sarà la pro­ babilità di una produzione piccola e V il valore sperato. Dunque, se l'economia è andata male, il valore sperato sarà: V= 500 (1 - p) + 100p che si può esprimere come:V = 500 - 400p. Diversamente, se l'economia è andata bene, si avrà: V = 300 (1 - p) + 900p, ossia:V= 300 + 600p. La soluzione del sistema dà: p = 1/5 e V = 420. Questo risultato significa che la strategia mista ottima, se la situazione si potesse ripetere un numero elevato di volte, sarebbe utilizzare una produzione grande, una ogni 5 volte, in forma aleatoria, e pertanto una produzione piccola 4 volte su 5, con un beneficio medio sperato di 420.000€. 107 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI Potremmo calcolare il beneficio medio direttamente partendo dall'espres­ sione:V = (ad - bc)/(a + d - b - e) , dove a, b, e, d sono i valori della matri­ ce dei pagamenti (da sinistra a destra e dall'alto in basso). In questo caso si avrà: (500 · 900 - 300 · 100 )/( 500 + 900 - 300 - 100) = 420.000/1000 = 420, che coincide evidentemente col risultato determinato a partire dal sistema di equazioni risolto. D'altra parte, d'accordo con l'enunciato, abbiamo risolto la situazione consi­ derando che anche l'andamento dell'economia segua una strategia mista ottima. Il calcolo della medesima indica che la probabilità che l'economia abbia un buon andamento è di 2/5 e, pertanto, un cattivo andamento darà una probabilità di 1 2/5 = 3/5. Il lancio di un rigore Possiamo interpretare il tirare un rigore in una partita di calcio come un gioco competitivo tra il calciatore ed il portiere, gioco in cui i contendenti hanno, ov­ viamente, interessi opposti. Supponiamo che il calciatore possa tirare verso destra, verso sinistra o al centro (queste sono le sue tre strategie pure) e che il portiere possa lanciarsi alla sua destra, alla sua sinistra o che possa stare al centro (anche lui ha tre strategie pure). Combinando le statistiche di successo o di errore, sia per il calciatore, sia per il portiere, abbiamo realizzato la seguente tabella: Portiere (B) 5 <O <O u D e s D 0.9 0.9 0.6 e 0.8 0.1 0.7 s 0.5 0.8 0.8 Ciascuna casella dà la probabilità di fare gol (vincita del calciatore) in accordo con le strategie adottate da entrambi i contendenti. Per esempio, se il calciatore calcia verso destra ed il portiere si lancia alla sua destra (senso contrario), la pro­ babilità di fare gol sarà 0,9; invece, se il calciatore calcia al centro ed il portiere si ferma al centro, la probabilità di segnare sarà solo O, 1. A queste condizioni, quale strategia deve adottare il calciatore e quale il portiere? 108 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI LA RAND CORPORATION La RAND Corporation (Reseach and Development) è un think tank (una riserva di esperti), degli Stati Uniti, nata alla fine della Seconda Guerra Mondiale e creata, inizialmente, per realizzare investigazioni di tipo strategico per le forze aeree statunitensi. Nonostante la segretezza dei suoi progetti e la discutibile finalità di molti di essi, è certo che in essa lavorarono alcuni dei migliori scienziati che si erano dedicati alla teoria dei giochi. Grazie a questa impresa (verso il 1948 acquisì lo stato di impresa privata che lavorava in esclusiva per le forze aeree, che la sovvenzionavano) si poté sviluppare la ricerca di base fondamentale per lo sviluppo di detta teoria. La sua organizzazione interna era più simile a quella di un istituto di ricerca universitario che a quella di una struttura militare. Negli anni '50 e '60 del secolo scorso, oltre a ricerche applicate, alcune delle quali in relazione agli armamenti nucleari e all'inizio della guerra fredda, sì fecero ricerche di base da parte dei più insigni matematici ed economisti dediti alla teoria dei giochi: tra questi, lo stesso Von Neumann, John Nash, Merrìl Flood, Kenneth Arrow e molti altri che convissero nella stessa epoca, un breve periodo di tempo che coincise col primo grande sviluppo della teoria dei giochi. La nuova sede della RAND Corporation a Santa Monica, California. 109 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI Una prima analisi del problema mostra che non c'è una strategia pura domi­ nante e che non è possibile risolvere la situazione con strategie pure, dato che il maximin è 0,6 ed il minimax è 0,8, ossia il calciatore ha una speranza di segnare di 6 su 10, mentre il portiere spera di incassare un gol 8 volte su 10 rigori. Entrambi vogliono (e possono) migliorare i loro risultati (vincite): il calciatore ottenendo una probabilità superiore a 0,6 ed il portiere abbassando la probabilità di 0,8. Calcoliamo la strategia mista ottima per il calciatore e per il portiere, così come il valore medio del gioco, che in questo caso sarà un valore tra 0,6 e 0,8; questo indicherà le volte che, in media, il calciatore segnerà un rigore. La strategia mista ottima del calciatore si otterrà calcolando le probabilità di scegliere una delle tre strategie pure che si chiameranno p(a),p(c),p(s). Dato che p(a) + p(c) + p(s) = 1, si possono ridurre a due le probabilità, che sa­ ranno: p(a), p(c), 1 - p(a) - p(c). Come sempre, chiameremo V il valore sperato del gioco. Se il portiere si lancia alla sua destra, il valore sperato dal calciatore sarà: V= 0,9 p(a) + 0,8 p(c) + 0,5 (1 - p(a) - p(c)). Se il portiere si ferma al centro sarà: V= 0,9 p(a) + 0,1 p(c) + 0,8 (1 - p(a) - p(c)). Se il portiere si lancia alla sua sinistra sarà: V= 0,6 p(a) + 0,7 p(c) + 0,8 (1 - p(a) - p(c)). Abbiamo un sistema di 3 equazioni lineari, la cui soluzione dà il seguente risul­ tato: p(a) = 0,37;p(c) = 0,19;p(s) = 1 - p(a) - p(c) = 0,44 ed il valore del gioco per il calciatore è V= 0,71. Analogamente, si potrebbero calcolare le probabilità di scegliere ciascuna delle tre strategie pure da parte del portiere, calcolo che lasciamo al lettore. Vantaggi e limitazioni del metodo del minimax Senza dubbio, il teorema del minimax ed in generale il metodo esposto nei para­ grafi precedenti, tanto nel caso di strategie pure quanto in quello di strategie miste che utilizzano l'azzardo, è un potente strumento per risolvere giochi di matrici 110 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI ed ottenere i migliori risultati possibili. Il teorema si può applicare a campi molto diversi come l'economia, la politica, lo sport o gli scontri militari, come si è visto. Non solo si sono risolte situazioni che presentavano strategie dominanti e che ave­ vano un punto sella, ma anche casi in cui, senza trovare un punto di equilibrio, era possibile trovare un valore medio del gioco che ottimizzasse i guadagni di entram­ bi i contendenti per mezzo di strategie miste. Senza dubbio, in tutti casi abbiamo supposto una condizione che potremmo chiamare "comportamento ragionevole" dei due giocatori. Questo comportamen­ to consiste nel considerare che ciascuno dei giocatori supponga che l'avversario giocherà sempre a proprio favore e applicherà la strategia più ragionevole perché questo succeda. Però, cosa succede se ciò non avviene, ovvero se uno dei due gio­ catori cerca di ingannare l'avversario? Nell'introduzione alla teoria dei giochi di Morton Davis, si spiega il caso di diversi ricercatori che realizzarono vari esperimenti, tra il 1950 ed il 1970, per osservare il comportamento di diversi giocatori quando realizzavano un gioco di matrici. In concreto, nel 1964, Richard Brayer propose un gioco risolvibile at­ traverso strategie pure, ossia con un punto di equilibrio facilmente calcolabile. Si informavano i giocatori che alcune volte avrebbero giocato contro un giocatore esperto e altre contro un giocatore che sceglieva le sue strategie d'azzardo; in realtà, giocavano sempre contro uno sperimentatore che cambiava le sue strategie: alcune volte giocava la strategia B, che era la ottima, altre volte giocava d'azzardo. Il gioco aveva la seguente matrice di pagamenti: Sperimentatore Q) .Q A B e a 11 -7 b 1 1 2 e -10 -7 21 L'applicazione del teorema del minimax risolve rapidamente il gioco, dato che il punto di equilibrio è 1, casella (b, B) della matrice, per cui il giocatore deve giocare b e lo sperimentatore B, con un guadagno di 1 per il giocatore in ciascuna partita. La prova dimostrò che i giocatori giocavano effettivamente la loro strategia b, quando vedevano che lo sperimentatore giocava reiteratamente B; al contrario, quando questo giocava d'azzardo, cambiavano giocando abitualmente la strategia 111 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI a, per cercare di ottenere �uadagni maggiori, assumendosi il rischio di perdere. Le interviste successive dimostrarono che più della metà dei giocatori consideravano "stupido" che lo sperimentatore giocasse la strategia B, dato che era come accettare una perdita di 1 quando, giocando altre strategie, avrebbe potuto migliorare i suoi risultati; non si rendevano conto che se il giocatore manteneva la strategia b, la per­ dita di almeno 1 da parte dello sperimentatore era garantita. Questa ricerca sul comportamento dei giocatori, così come altre, mostra che giocare in maniera ragionevole per ottimizzare i guadagni non è un'attitudine abi­ tuale: la gente preferisce strategie che diano apparentemente un maggior beneficio e solo dopo aver provato ripetutamente che non è così, si fermano alla strategia ottima. Ancor più caotico è il comportamento dei giocatori quando il gioco non ha un punto di equilibrio e bisogna applicare strategie miste. In questo caso, pur conoscendo il metodo, la maggioranza non si pone la necessità di realizzare i cal­ coli e gioca in accordo con le proprie intuizioni, che in generale discordano dalla strategia mista ottima. Tutte queste esperienze mostrano che quando ci confrontiamo con la realtà, dobbiamo mettere in dubbio supposizioni "ragionevoli", come quella che l'av­ versario giochi nella maniera più intelligente e in accordo con i suoi interessi. La spiegazione a questo fenomeno sta forse nel fatto che la strategia minimax è difen­ siva: garantisce alcuni risultati, i migliori possibili se l'avversario gioca in maniera intelligente. Però, messa da parte questa supposizione, perché un giocatore non gioca cercando di superare i risultati che ha garantiti? In questo capitolo abbiamo analizzato i cosiddetti giochi competitivi a somma zero per due persone, arrivando alla conclusione che in questo tipo di giochi esiste una strategia ottima per ciascun giocatore ed un valore del gioco che ci permette di determinare i guadagni medi per ciascuno di essi. I dati di questo tipo di giochi si possono sempre presentare mediante la cosiddetta matrice dei pagamenti del gioco; in questa, ciascuna riga indica una strategia per il primo giocatore e ciascuna colonna una strategia per il secondo. Il processo da seguire per risolvere un gioco per due persone a somma zero è, in maniera sintetica, il seguente: calcolare il ma­ ximin (massimo dei minimi) per il primo giocatore ed il minimax (minimo dei massimi) per il secondo. Se entrambi sono uguali significa che le strategie ottime per ciascun giocatore danno lo stesso valore (valore del gioco) e che il gioco è risolto. Le strategie di ciascun giocatore si chiamano, in questo caso, strategie pure. Se il maximin ed il minimax sono diversi, si prescinde dalla strategia selezionata per la loro determinazione (strategie pure) e si considerano tutte le strategie per 112 LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI ciascun giocatore, assegnando a ciascuna una probabilità. Il valore di dette proba­ bilità (la cui somma sarà 1) determinerà una strategia mista ottima e darà il valore medio del gioco per ciascun giocatore. La determinazione delle probabilità e del valore medio, per ciascun giocatore, si realizza con un sistema di equazioni lineari (il numero di equazioni dipende dal numero di strategie), le cui incognite sono le probabilità cercate per determinare una strategia ottima che, a causa dell'aleatorietà, sarà una strategia mista. Nel caso che, calcolando il valore medio del gioco per ciascun giocatore, i va­ lori non coincidessero o anche se calcolando le probabilità alcune fossero negative, il gioco non sarà risolto. In questo caso bisogna analizzare di nuovo il gioco per ve­ dere se è possibile trovare qualche strategia dominante; se non è così, l'applicazione del metodo non sarà fattibile. 113 Capitolo 5 La vita è gioco: applicazioni della teoria nel mondo reale La competenza è la madre della scienza ... e della vita. [ ...] Competenza e cooperazione ci rendono quello che siamo. Erwin Neher, Premio Nobel per la Medicina Tutte le situazioni presentate nel capitolo precedente corrispondono a giochi competitivi: le vincite di un partecipante equivalgono sempre alle perdite dell'altro e per questo motivo si chiamano giochi a somma zero. Sono situazioni di conflitto totale, con obiettivi completamente opposti, nelle quali ciascun giocatore vuole ottenere i massimi guadagni, che implicano le massi­ me perdite per l'avversario. In questo capitolo ci occuperemo di qualcosa di diverso: anche se l'obiettivo dei giocatori continuerà ad essere la vittoria e ci sarà una situazione di conflitto, questa non sarà totale. Da un lato, le vittorie di uno non devono corrispondere alle perdite dell'altro e, anche se con certe strategie un giocatore può vincere, può farlo anche l'altro. D'altro lato, ci sono situazioni in cui la cooperazione può portare benefici a tutte le parti. Questo implica necessariamente l'introduzione di elementi legati alla comunicazione ed alla mutua fiducia, ma anche alla minaccia, per fare sì che si compia ciò per cui ci si era accordati. In questi casi si parlerà di conflitto parziale e si distingueranno strategie cooperative e non cooperative: utilizzeremo spesso il termine disertare per riferirci a una strategia contraria alla cooperazione. Ricordiamoci che la teoria dei giochi si centra sul prendere decisioni; ora que­ sto aspetto diventa più importante che mai, dato che in molte situazioni che incon­ treremo in questo capitolo si presenterà una tensione tra competere e collaborare. Quali possono essere, in queste circostanze, le decisioni di ciascun giocatore? Si propone qui quello che viene chiamato un dilemma: entrambi i giocatori possono collaborare o competere e non è chiaro quale decisione porterà maggiori benefici, 115 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE dato che tutto dipende dalla decisione dell'avversario. In generale, la cooperazione di entrambi gioverà a tutti e due ed è il miglior risultato, mentre il confronto por­ terà al disastro. Se ci fossero solo queste due possibilità, non esisterebbe dilemma; però se uno dei giocatori cerca di cooperare e l'altro vuole il confronto, i benefici saranno per quest'ultimo e saranno maggiori di quelli ottenuti con la collaborazio­ ne: allora il dilemma sarà evidente. La complessità dei giochi suggeriti fa sì che si debbano mescolare aspetti ma­ tematici con altri di carattere psicologico ed anche morale (si potrebbe dire del comportamento umano), per cui le soluzioni non saranno spesso tali, nel significa­ to matematico che si dà alla soluzione di un problema: tali soluzioni saranno solo delle possibilità che dipenderanno dalle decisioni dei contendenti. Senza dubbio, l'interesse di questi giochi è maggiore di quello di giochi di conflitto puro del capitolo precedente, dato che si presentano più frequentemente nella realtà del nostro mondo, dove raramente le situazioni conflittuali non mescolano confronto e cooperazione. Possiamo considerare che l'insieme delle situazioni per due persone, analizzate e risolte dalla teoria dei giochi, si possano ordinare in due gruppi estremi: in uno ci sono i giochi a somma zero, totalmente competitivi e nell'altro quelli total­ mente cooperativi. Tanto gli uni, quanto gli altri, almeno in teoria, sono facili da risolvere. Lo abbiamo visto nel caso di giochi competitivi nel capitolo precedente e possiamo pensare allo stesso modo in situazioni di cooperazione pura: il pilota di un'auto da rally ed il copilota, una coppia di ballerini, il pilota di un aereo ed il controllore dell'aeroporto sono esempi di situazioni in cui i giocatori hanno lo stesso obiettivo e il modo di raggiungerlo consisterà nell'unire gli sforzi (coordi­ nare efficientemente le giocate). Il resto dei giochi per due persone, di cui tratta questo capitolo, si trova nei suddetti estremi: sono giochi più complessi perché i partecipanti hanno alcuni interessi opposti ed altri condivisi, anche se a volte non sembra. Si pensi, per esem­ pio, al venditore di un appartamento e al possibile compratore: entrambi sono interessati a chiudere la trattativa (cooperazione), però discordano sul prezzo (con­ flitto); altri esempi possono essere la fusione di due imprese o anche due Paesi che sono in guerra: in queste situazioni la maggioranza delle strategie è di conflitto, ma si può arrivare ad una cooperazione o ad un patto, anche se molto parziale: entrambi i contendenti possono raggiungere una tregua o accordarsi sul non uti­ lizzare armi nucleari. 116 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE LO SVILUPPO DELLA TEORIA DEI GIOCHI Dopo il lavoro di Von Neumann e Morgenstern del 1944, autentico punto di partenza della teoria dei giochi, che espone un metodo per trovare soluzioni ottime per giochi a somma zero per due giocatori, gli studi di suddetta teoria si concentrarono su giochi di tipo cooperativo, con analisi di strategie ottime in situazioni in cui i contendenti possano accordarsi sulle strategie più adeguate. Negli anni '50 del XX secolo si ebbe un gran­ de sviluppo della teoria dei giochi. Apparve­ ro i primi apporti al dilemma del prigioniero e John Nash stabilì il concetto di strategia ottima per giochi con più giocatori, quando l'ottimo non si può stabilire preventivamen­ te: questo concetto è noto come equilibrio di Nash ed è valido per giochi non cooperativi, ma è estensibile a quelli cooperativi. Sempre in quest'epoca sorsero le prime ap­ plicazioni della teoria dei giochi ad altri cam­ pi; oltre all'economia, alla filosofia ed alla scienza politica. Più avanti, già negli anni '70, le applicazioni si estesero alla biologia, soprattutto grazie ai lavori di John Maynard Smith, che introdusse l'idea di strategia stabile evolutiva. Foto di Oskar Morgenstern creatore, con von Neumann, della teoria dei giochi. La matematica della cooperazione: i giochi a somma non zero Per dimostrare la differenza tra i giochi a somma zero e quelli a somma non zero, proponiamo una situazione legata all'emissione di pubblicità: due imprese dello stesso tipo, A e B, vogliono promuovere i loro prodotti ed entrambe rice­ vono un'offerta da un canale televisivo: possono fare l'annuncio di pomeriggio (un 40% dei telespettatori ,si connette in questa fascia oraria) o di notte (con un 60% dei telespettatori); non possono scegliere entrambe le fasce orarie e sanno che non ci sono sovrapposizioni di spettatori tra le due fasce. Se le due imprese mettono l'annuncio nella stessa fascia oraria, ciascuna otterrà di vendere i propri 117 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE prodotti al 30% degli spettatori della stessa fascia ed a nessuno dell'altra, mentre se mettono l'annuncio in fasce distinte ciascuna catturerà il 50% dell'audience della sua fascia. Che cosa è meglio per ciascuna impresa? Sarebbe positivo consultarsi con l'altra impresa per prendere decisioni o è meglio nasconderle? Possiamo esprimere il gioco con una matrice di pagamenti nella quale ciascun valore indica la percentuale che catturerà ciascuna impresa; senza dubbio, ora non è possibile porre un unico valore in ciascuna casella, dato che il guadagno di un'im­ presa non è la perdita dell'altra, ma ogni impresa avrà le sue vincite. Perciò porre­ mo un paio di valori, il primo dei quali rappresenterà i benefici di A ed il secondo quelli di B, in accordo con le strategie adottate da entrambi. Impresa B <( <O V, QJ c.. E Pubblicità di pomeriggio Pubblicità di notte Pubblicità di pomeriggio Pubblicità di notte (12,12) (20,30) (30,20) (18,18) Se A e B coincidono con la pubblicità di pomeriggio, ciascuna impresa cattu­ rerà il 12% dell'audience totale (il 30% del 40%), mentre se non coincideranno, i loro risultati saranno simmetrici: così, se A farà la pubblicità di pomeriggio e B di notte,A otterrà il 20% (la metà di 40%) e B il 30% (la metà di 60%) dell'audience totale e se entrambe invertiranno le loro strategie, si invertiranno anche i risultati corrispondenti. MATRICE PER IL GIOCATORE A Impresa B Pubblicità di Pubblicità pomeriggio di notte <( <O Pubblicità di pomeriggio 12 20 .§ Pubblicità di notte 30 18 V, QJ c.. 118 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE MATRICE PER IL GIOCATORE B Impresa B <( Pubblicità di pomeriggio Pubblicità di notte Pubblicità di pomeriggio 12 30 Pubblicità di notte 20 18 Data la simmetria delle due matrici e tenendo conto che le strategie di A corri­ spondono alle file e quelle di Balle colonne, l'analisi di entrambe è simile. Potrem­ mo fare lo stesso che abbiamo fatto con i giochi a somma zero: non c'è punto sella (maximin 18, minimax 20), per cui cerchiamo una strategia mista che dia un valore del gioco per il giocatore A. Questa strategia consiste nel giocare la strategia 1 (pubblicità di pomeriggio) con una probabilità di 3/5 e la strategia 2 (pubblicità di notte) con una probabilità di 2/5 con cui otteniamo un valore di 19 ,2 (guadagno medio per partita). Analogamente, data la simmetria, il giocatore B farà qualcosa di simile: su 5 "partite", giocherà aleatoriamente 2 volte la strategia 1 e 3 volte la 2 ed otterrà un guadagno medio uguale ad A. Fino a qui tutto sembra funzionare come prima e si potrebbe pensare che questa sia la strategia ottima per ciascun giocatore e con ciò il gioco sarebbe risolto. · Un'analisi più dettagliata del gioco mostra che, in questo caso, ciascuno dei due giocatori può aspirare a guadagnare di più, senza che l'altro alteri i suoi guadagni; per cui la soluzione precedente non è ottima ed il valore del gioco ottenuto con le strategie miste ottime utilizzate per i giochi a somma zero non è sempre il più elevato possibile. Ciò che avveniva in precedenza accadeva perché la strategia ottima dei giochi a somma zero si basa sull'idea di limitare (o ridurre) al massimo i guadagni dell'av­ versario, cosa che equivale ad incrementare al massimo i propri guadagni: ciò ora non è certo. Supponiamo che l'impresa A, invece che giocare una strategia mista, decida di giocare sempre la strategia pura 2 (pubblicità di notte), mentre l'impresa B giochi la strategia mista ottima; dunque A guadagnerebbe, in media, 30 · 2/5 + 18 · 3/5 = 22,8 mentre B continuerebbe a guadagnare 19 ,2. Si osservi che mentre B continua a guadagnare lo stesso, A ha incrementato i suoi guadagni, cosa che non poteva succedere mai in un gioco a somma zero. Evidentemente, B potrebbe 119 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE desiderare di fare lo stesso, giocare la strategia pura 2, sperando che A giochi una strategia mista; così adesso sarebbe B a migliorare i suoi risultati, senza che A climi. . . nmsca 1 suoi. Ma cosa succede se entrambe le imprese giocano la strategia pura 2? Allora le due imprese otterrebbero solo un 18% e ridurrebbero i loro guadagni alla stessa quantità. Sembra, dunque, una strada senza uscita, dato che ciascuna impresa può guadagnare di più senza pregiudicare l'altra, però se entrambe vogliono guadagnare di più, allora non solo non ci riescono, ma entrambe guadagnano meno del valore medio sperato. Senza dubbio, esiste un'altra possibilità. Supponiamo che entrambi i giocatori si accordino per non coincidere nelle caselle che rendono meno benefici, nel nostro caso fare la pubblicità entrambe nella stessa fascia; se si desse questo caso, le due im­ prese potrebbero guadagnare molto di più e potrebbero anche farlo in modo che i loro benefici fossero uguali: se l'impresa A gioca alternativamente le strategie 2 e 1, il guadagno medio per entrambe le imprese sarà del 25% per partita (A alterna guadagni di 20 e 30 e B alterna guadagni di 30 e 20). Questa sembra essere la solu­ zione migliore ed è anche una situazione di equilibrio. Un'idea ragionevole: l'equilibrio di Nash Von Neumann e Morgenstern, oltre ad aver studiato i giochi a somma zero per due persone, ampliarono i loro studi ai casi di giochi per più persone, tenendo conto di possibili alleanze (raggruppamenti di due o più giocatori per agire in maniera coordinata), ossia si allontanarono dai giochi strettamente competitivi. Fu John Nash che, negli anni '50 del XX secolo, estese la teoria dei giochi con n per­ sone senza cooperazione, nei quali le alleanze erano proibite, occupandosi soprat­ tutto di giochi competitivi a somma zero sia per due, sia per più persone, arrivando a stabilire l'idea di equilibrio, nota come equilibrio di Nash. Il metodo di Nash è apparentemente semplice, per lo meno nella sua idea prin­ cipale. In effetti, supponiamo che diversi giocatori abbiano appena terminato un gioco e che ciascuno abbia scelto una strategia determinata. Una volta conosciuto il risultato del gioco, chiediamo a ciascun giocatore se pensa che il suo modo di giocare sia stato soddisfacente o, per dirlo in altra maniera, se avesse preferito agire diversamente. Se la risposta è positiva, ossia se tutti i partecipanti considerano di aver scelto una buona strategia, il risultato del gioco è un punto di equilibrio, se­ condo Nash. 120 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE Vediamo l'applicazione di questa idea ad un caso concreto. La seguente matrice dà i risultati di un gioco a somma non zero: Strategia 1 Strategia 2 Strategia 1 (1,100) (O,1) Strategia 2 (2,0) (5,2) Due giocatori hanno scelto la strategia 2. Una volta conosciuto il risultato, entrambi rimangono concordi alla loro giocata e la considerano la migliore che potessero fare. Il primo giocatore (strategie per file) considera di aver guadagnato 5, che è il massimo che poteva ottenere, mentre il secondo, una volta saputo che il primo aveva scelto la strategia 2, è rimasto anch'egli d'accordo con la propria scel­ ta, dunque ha guadagnato 2 invece che niente. Si potrebbe discutere sulla soluzione precedente argomentando che, se anche la scelta del primo giocatore è "buona" perché la strategia scelta (2) è dominante, il secondo giocatore potrà sempre pensare che aver scelto la prima strategia gli avrebbe dato un guadagno di 100. Ma in un gioco competitivo, nel quale ciascun giocatore pensa a massimizzare i propri guadagni, non si avrebbe questo risultato se si considerasse che il giocatore 1 sceglie in maniera razionale. Pertanto, dei quattro risultati possibili, l'unico del quale nessuno dei due gio­ catori si pentirà è il (5, 2); questo risultato è un punto di equilibrio di Nash. In qua­ lunque partita con un risultato diverso, uno dei giocatori porrebbe obiezioni alla propria maniera di giocare, per cui, con le parole di Nash, sarebbe un risultato instabile. Il metodo applicato per ottenere la soluzione precedente pare interessante e dà una soluzione razionale. In questo contesto, Nash dimostrò che qualsiasi gioco finito per due persone ha almeno un punto di equilibrio, estendendo così il teo­ rema del minimax diVon Neuniann. Nei giochi a somma zero il punto di equili­ brio coincide con quello che si ottiene col teorema del minimax, però l'interesse del risultato di Nash è che ci sono punti di equilibrio nei giochi a somma non zero, come abbiamo visto nell'esempio precedente e anche che le soluzioni sono razionali. Senza dubbio, non avviene sempre lo stesso e, a volte, la soluzione data dal punto di equilibrio è sorprendente ed ha proprietà strane nonostante, in apparenza, abbastanza razionali. 121 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE JOHN FORBES NASH (1928) Dopo i lavori di Von Neumann, i contributi di John Nash - in particolare i suoi primi lavori - sono forse i più rilevanti nella corta ma intensa vita della teoria di giochi. Già da bambino Nash mostrò le sue grandi capacità intellettuali, ma anche le sue difficoltà di relazione con gli altri. Anche se iniziò i suoi studi in ingegneria chimica, presto si rivolse alla matematica per la quale era partico­ larmente dotato. Nel 1948 ricevette una borsa di studio dell'Università di Princeton, dove allora lavoravano Einstein e Von Neumann, per realizzare il dottorato in teoria dei giochi, sotto la guida di Albert W. Tucker. Nel 1950 presentò la sua tesi di dottorato, un lavoro breve e molto originale sui giochi non cooperativi, che ottenne subito un grande riconoscimento da parte degli esperti in teoria dei giochi. Creò un gioco di connessioni, attualmente commercializzato col nome di Hex, su una scacchiera con caselle esagonali, senza sapere, a quanto pare, che il danese Piet Hein aveva fatto lo stesso pochi anni prima e dimostrò che doveva esistere una strategia vincente per il primo giocatore, anche se detta strategia è sconosciuta. A partire dagli anni '50 lavorò al Mas­ sachusetts lnstitute of Technology (MIT) e alla RAND Corporation, una famosa organizzazione delle forze aeree statunitensi che lavorava su temi di strategia. Poco dopo il suo matrimonio, nel 1959, fu internato a causa della schizofrenia che forse si stava sviluppando da tempo e che lo ha accompagnato in diverse fasi della sua vita. Ciò nonostante continuò a lavorare sulla teoria dei giochi fino a che, nel 1994, ricevette il Premio No­ bel per l'Economia. Nel 2001 il regista Ron Howard rea­ lizzò il film A beautiful mind, premia­ to con quattro Oscar, la cui trama è basata sulla biografia di John Nash ed in particolare sulla sua infermità mentale. 122 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE Prigionieri con dilemmi e altri prohlemi classici della teoria dei giochi Gli esempi del paragrafo precedente hanno mostrato che quando si affronta un gioco a somma non zero, a volte è possibile utilizzare strategie di cooperazione che facciano migliorare i risultati; il problema nasce quando questi miglioramenti non si distribuiscono in maniera equa tra i giocatori. In altre parole, il problema è come ripartire "le eccedenze" e se una maniera razionale di farlo è quella che conviene di più ai partecipanti. Merril Flood, che lavorava alla RAND, analizzò varie situazioni della vita quo­ tidiana, specialmente quelle in cui i giocatori dovevano ripartirsi un guadagno ad­ dizionale. Una di queste è la vendita di un'auto usata: una persona vuole comprare un'auto usata, che un suo amico è disposto a vendere. Per fissare il prezzo, entrambi vanno a farsi valutare il veicolo in un negozio di compra-vendita di auto usate; lì viene loro detto che sarebbero disposti a comprarla per 1000€ e a venderla per 1300€, guadagnando 300€ per la transazione. Se facessero la vendita diretta, senza passare per il negozio, è evidente che risparmierebbero 300€ e potrebbero decidere di ripartirsi il risparmio tra di loro; in questo caso, sarebbe razionale una divisione in parti uguali, di modo che la vendita sarebbe di 1150€, guadagnando così ciascuno 150€. La precedente sembra la soluzione più razionale, ma non è l'unica. Uno dei due, per esempio il compratore, potrebbe decidere di non essere disposto a pa­ gare più di 1100€; in questo modo, se il venditore accetta, guadagnerà comun­ que 100€ rispetto al prezzo valutato. Al contrario, potrebbe essere il venditore a fissare un prezzo minimo di 1250€, sostenendo che comunque il compratore risparmierebbe 50€. Osserviamo che se uno dei due rifiuta l'offerta dell'altro, con l'argomentazione razionale che la ripartizione dei benefici non è "giusta", si starà pregiudicando da solo, dato che il prezzo continua ad essere inferiore a quello che dovrebbe pagare al negozio. L'idea della distribuzione "giusta" dei benefici non è sempre così evidente e, a volte, può esistere più di una soluzione considerata totalmente razionale. Supponia­ mo che Giovanni debba andare da Barcellona a Madrid in auto (600 km) per una riunione di lavoro e tornare il giorno seguente.Viene a sapere che anche Pietro, un suo amico che vive a Saragozza, deve andare a Madrid lo stesso giorno e decidono di condividere l'auto sia all'andata, sia al ritorno. Sapendo che Saragozza si trova a metà strada tra Barcellona e Madrid, come dovranno ripartirsi le spese di viaggio? 123 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE Ragionamento 1: dato che il tragitto realizzato da Giovanni è il doppio di quello realizzato da Pietro, divideranno le spese per 3: Pietro pagherà una parte e Giovanni le 2 rimanenti. Ragionamento 2: dato che per metà del viaggio Giovanni viaggia d a solo, mentre nell'altra i due viaggiano insieme, Giovanni pagherà tutta la parte corri­ spondente alla metà, ma solo la metà dell'altra parte; pertanto, Pietro pagherà solo la metà della metà, ossia la quarta parte. Così, divideranno le spese per 4 e Pietro pagherà una parte e Giovanni le tre rimanenti. In termini di distribuzione di benefici si possono quantificare i costi supponen­ do che da Barcellona a Madrid il viaggio costerà a Giovanni 600€ se viaggia da solo e a Pietro il viaggio da Saragozza a Madrid costerà 300€. Se vanno insieme, risparmiano tra i due 300€. Nel primo ragionamento Giovanni paga 400€ (ne risparmia 200) e Pietro paga 200€ (ne risparmia 100). Nel secondo ragionamento, invece, Giovanni paga 450€ (ne risparmia 150) e Pietro paga 150€ (ne risparmia anch'egli 150). Così, questo secondo argomento corrisponde ad una distribuzione di benefici in parti uguali, mentre il primo corrisponde ad una distribuzione di benefici proporzionale alle spese previste per ciascuno. Nella razionalità, ci può essere più di una soluzione razionale. Il dilemma del prigioniero Il gioco noto come il dilemma del prigioniero, nome assegnato ad un tipo di gio­ chi a somma non zero proposti da Albert W Tucker nel 1950, è uno dei problemi più famosi della teoria dei giochi. È un semplice esempio di quello che succede in molte situazioni dove si verifica un confronto tra due forze che possono optare per contrastarsi o cooperare, come nelle guerre dei prezzi, nelle campagne pubblicita­ rie o nella corsa agli armamenti. Anche se il nome del dilemma fa riferimento ad un prigioniero e si può for­ mulare come un gioco tra due delinquenti che non sanno se dichiararsi innocenti, ammettere le proprie colpe o incolpare l'avversario, lo esponiamo in una delle sue più interessanti applicazioni: uno scontro militare che ha avuto luogo e, disgraziata­ mente, continua ad esistere nel nostro mondo attuale con troppa frequenza. La sua formulazione è la seguente: Due potenze Pl e P2 si affrontano e devono decidere la loro politica sugli armamenti. Ciascuna può scegliere tra due strategie in maniera indipendente: 124 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE ALBERT WILLIAM TUCKER (1905-1995) Tucker realizzò importanti contributi in topologia, programmazione non lineare e teoria dei giochi. Si laureò in matematica all'Università di Toronto e terminò il suo dottorato all'Università di Princeton nel 1932. Dopo diverse permanenze presso le Università di Harvard, Cambridge e Chicago, tornò a Princeton dove insegnò fino al 1970, dirigendo il Dipartimento di Matematica per più di 20 anni. Nel 1950 diede il nome e la prima interpretazione al più noto ed interessante paradosso della teoria dei giochi, il dilemma del prigioniero, che fu un contributo fondamen­ tale al modello di conflitto e cooperazione che M. Flood e M. Dresher stavano sviluppando a Princeton. Oltre che un ricercatore notevole, fu un grande professore, interessato all'educazione mate­ matica; collaborò al progetto per l'educazione secondaria, per il quale divenne presidente della Mathematics Association of America (MAA). Tra i suoi numerosi studenti figura il Premio Nobel John Nash. A: negare ogni cooperazione, ossia armarsi come per prepararsi ad una possibile guerra. B: cooperare, ossia disarmarsi o, quanto meno, mettersi d'accordo nel proibire determinate armi. I quattro risultati possibili (A,A), (A, B), (B,A) e (B, B), nei quali la prima coor­ dinata è la strategia di Pl e la seconda quella di P2, si possono esprimere con una tabella: Potenza P2 Opzione A Opzione B a: Opzione A (A,A) Corsa agli armamenti (A,B) Si arma solo P1 o Opzione B (B,A) Si arma solo P2 (B,B) Controllo delle armi o disarmo c.. Si potrebbero assegnare valori (pagamenti numerici) al risultato dell'incrocio delle diverse strategie, tenendo presente che in questo caso i pagamenti saranno diversi per ciascun giocatore, dato che in ciascuna casella si avrà un paio di nume125 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE ri, il primo corrispondente a quello che guadagna P1, ed il secondo a quello che guadagna P2. In questo modo si avrà una matrice di pagamento come la seguente: Potenza P2 � Opzione A Opzione B o. Opzione A (2,2) (5,0) o. Opzione B (0,5) (4,4) Se si interpretano i numeri come guadagni, il dilemma risulta evidente. Per qualsiasi delle due opzioni di P2, P1 risulta favorito se si arma. In effetti, se P2 sce­ glie A, P1 guadagnerà 2 se si arma e O se non lo fa; mentre se P2 sceglie B, P1 gua­ dagnerà 5 se si arma e 4 se non lo fa. Simmetricamente, succede lo stesso con P2, dato che per le due possibili strategie di P1, armarsi dà maggiori guadagni. Così, si dice che la soluzione (A,A), entrambe le potenze si armano, con un pagamento di 2 per ciascuna di esse, è la soluzione di equilibrio non cooperativo verso la quale il gioco pare indirizzato. Senza dubbio, per ciascuna potenza è meglio che l'altra si disarmi (i guadagni sono maggiori) e, inoltre, il massimo beneficio globale si ottiene quando entrambe le potenze si disarmano. Dunque, se le potenze non cooperano, il maggiore risulta­ to globale (4, 4) non si può realizzare, ma se una potenza coopera, dato che non sa cosa farà l'altra, si assume un rischio grande (otterrà il minore pagamento se l'altra non coopera); pertanto, la fiducia diventa un elemento essenziale del gioco e, senza di essa, il maggior risultato è totalmente instabile, perché ciascuna potenza cercherà di proteggersi da una possibile non cooperazione dell'avversario. In molte altre situazioni della vita reale, in genere meno estreme di quella che abbiamo esposto, è possibile avvicinarsi a situazioni in cui la cooperazione, per quanto difficile, sia fattibile. Abitualmente il gioco si realizza varie volte e dunque elementi importanti, come la reputazione e la fiducia, possono intervenire in ma­ niera significativa, per cui i giocatori si possono rendere conto dei mutui vantaggi. Nel nostro esempio, il disarmo ha evidentemente molti vantaggi in confronto ad una corsa sfrenata agli armamenti che, oltre agli alti costi, può portare, alla fine, al disastro totale; senza dubbio, la cooperazione è complessa e ci si può avvicinare ad essa a lungo termine. 126 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE Anche se la formulazione del dilemma del prigioniero corrisponde alla teoria dei giochi, la problematica che vi è dietro era già sta considerata in passato. Tho­ mas Hobbes (1588-1679), filosofo e politico inglese autore del Leviathan, nella sua teorizzazione dell'assolutismo politico aveva analizzato una situazione, a proposito dell'evoluzione della società, molto simile al nostro dilemma. Hobbes diceva che originariamente la società viveva in una situazione anarchica in cui solo i più com­ petitivi trovavano posto. Per far sì che la cooperazione fosse possibile considerava necessario imporre restrizioni e farle rispettare. Hobbes vedeva il contrasto sociale come l'imposizione di un risultato cooperativo e considerava che la società do­ vesse sottomettersi all'arbitrio del governo, dato che le decisioni indipendenti che implicassero competizione o cooperazione, non si potevano lasciare in mano agli individui. Anche nel mondo degli affari si possono incontrare diverse situazioni in cui si presentano dilemmi simili a quello del prigioniero. In un'industria competitiva ROBERT AXELROD E LA RIPETIZIONE DEL DILEMMA DEL PRIGIONIERO Robert Axelrod, professore di Politica Pubblica all'Università del Michigan, matematico e dottore in Scienza Politica, è un esperto del problema della cooperazione e specialista in giochi come il dilemma del prigioniero. Tra le sue opere si distingue The Evolution of Cooperation, uno studio evolutivo sulla cooperazione, la cui tesi principale è_che le strategie che le persone utilizzano tendono ad evolversi in qualcosa di sempre più effettivo, in cui la cooperazione è necessaria. A proposito del dilemma del prigioniero, Axelrod commentò che realizzare il gioco una sola volta non permette di conoscere il comportamento dell'altro per ricompensare la sua cooperazione o castigare la sua defezione, per cui bisogna pensare ad obiettivi a corto raggio. Diversamente, quando il gioco si ripete più volte, è possibile basare le strategie sulle interazioni precedenti, po­ nendo come fondamento la reciprocità: se l'avversario ha cooperato spesso, è meglio cooperare con assiduità, però se l'altro non lo fa, non vale la pena provarci. Dato che sembrava che nessuno conoscesse la strategia ottima, Axelrod organizzò un torneo al quale parteciparono diversi esperti di teoria dei giochi, per osservare le maniere di giocare e cercare di trovare le strategie effettive. Alla fine del gioco risultò che, fra tutte le strategie provate, la migliore era la più semplice, detta "occhio per occhio"; si comincia cooperando (non bisogna mai essere il primo a disertare) e dopo bisogna fare ciò che ha fatto l'avversario nella giocata precedente: cosl, se questo ha cooperato, vale la pena continuare la cooperazione, però se non lo ha fatto, bisogna rapidamente mostrare il disaccordo. 127 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE spesso succede che i partecipanti rinuncino ad agire per superare gli altri con il convincimento che, col tempo, ciò tornerà a favore di tutti ed in particolare di se stessi. Così, per esempio, gli accordi dei librai per non fare sconti oltre una certa quantità (supponiamo il 10%) o la decisione di un'associazione di chiudere i ne­ gozi ad una certa ora (supponiamo alle 8 di sera) e di non superarla, sono rinunce deliberate per migliorare le vendite; tutti sanno che quando uno di essi non la ap­ plica, neppure gli altri lo faranno, per cui non si otterrà un nuovo beneficio ed in cambio si avrà un aumento dei costi. Il gioco della gallina Insieme al dilemma del prigioniero, e simile a questo, il cosiddetto gioco della galli­ na è uno degli studi più rappresentativi che la teoria dei giochi realizza con i giochi a somma non zero. Il suo nome si riferisce alla metafora sulla codardia e generalmente si propone come una sfida tra 2 persone davanti ad una situazione di rischio, nella quale biso­ gna provare quale dei due giocatori cederà di fronte all'altro. Una formulazione usuale è la seguente: due autisti guidano uno di fronte all'al­ tro, a gran velocità. Ciascuno deve decidere all'ultimo momento se girare a destra per evitare la collisione o non farlo. Si hanno i seguenti casi: 1. Nessuno dei due gira e si ha la collisione. Questo è il risultato peggiore e si assegna il valore O ad entrambi i giocatori. 2. I due giocatori girano all'ultimo momento evitando la collisione. È un buon risultato, uguale per entrambi, anche se tutti e due perdono "prestigio" e nes­ suno si può considerare vincitore. Si assegna un valore 3 a ciascun giocatore. 3. Uno dei due gira e l'altro no. Il primo perde molto "prestigio" e gli si assegna un valore 1, mentre l'altro è considerato vincitore e gli si assegna un valore 5. Possiamo sintetizzare le diverse strategie ed i pagamenti corrispondenti nella seguente matrice: Autista 2 Gira Autista 1 Non gira Gira (3,3) (1,5) Non gira (5, 1) (0,0) 128 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE IL GIOCO DELLA GALLINA Anche se una situazione così estrema come quella proposta da questo gioco è poco frequen­ te nella vita reale, ci sono conflitti nei quali i due giocatori vogliono essere dominatori della situazione (relazioni di lavoro, conflitti tra potenze); in questi si può arrivare a casi limite come quello del gioco. Situazioni simili si trovano più frequentemente nella fiction, come per esempio nel film di Nicho­ las Ray Gioventù bruciata (1955), nel quale due giocatori guidano la loro auto verso un precipizio ed il primo a saltare perde il gioco (la gallina). Sia il dilemma del prigioniero, sia il gioco della gallina sono giochi di conflitto parziale che mostrano che, in certe occasioni, seguire gli interessi immediati di un giocatore porta a risultati catastrofici per il gruppo; in questo senso sono giochi simili. Senza dubbio, c'è qualcosa che li differenzia: mentre nel dilemma del prigioniero la coincidenza delle strategie porta i risultati migliori, nel gioco della gallina succede il contrario: fare l'opposto di ciò che fa l'awersario porta sempre i risultati migliori, piuttosto che seguirne la stessa strategia, per cui bisogna mostrare velocemente il proprio disaccordo. L'analisi della situazione mostra che se entrambi i contendenti cercano il mas­ simo beneficio, cercare di ottenere 5 non girando, otterranno entrambi il peggior risultato. Girare sembrerebbe la miglior strategia e se lo fanno entrambi otterranno tutti e due un buon risultato; però nessuno dei due vuole girare prima dell'altro, dato che farlo comporta un pagamento di 1 invece che di 5 a favore del rivale. Il gioco si può analizzare dal punto di vista della cooperazione: girare va inter­ pretato come cooperare e non farlo come disertare; se entrambi cooperano si ot­ tiene un buon risultato d'insieme. Forse l'elemento più significativo è che il gioco rappresenta una forma di negoziazione nella quale ciascuno dei partecipanti cerca di ritardare la necessaria concessione per evitare il disastro, fino all'ultimo momen­ to, come mezzo per forzare l'altro a giocare "razionalmente" (in questo caso, girare) ed essere egli stesso colui che evita la collisione. Un altro aspetto di questo gioco è il ruolo della carta con la dichiarazione della strategia che si userà, proposta prima di iniziare il gioco, o il blocco del volante dell'auto per evitare che possa girare; questi sono mezzi per forzare l'altro ad adot­ tare una strategia contraria, ossia obbligarlo a girare per evitare la collisione. Sia questo gioco, sia il dilemma del prigioniero mostrano la difficoltà di trovare una soluzione a questo tipo di situazioni nelle quali tanto lo scontro, quanto la 129 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE cooperazione sono possibili; tali situazioni sono per lo meno inquietanti, dato che mostrano l'antagonismo che a volte si genera tra gli interessi individuali immediati e quelli della collettività. Cooperare o morire. Il caso dei falchi e delle colombe I vari giochi analizzati dalla teoria dei giochi sono applicabili a situazioni molto diverse. Generalmente si esemplificano in situazioni economiche, politiche e mi­ litari, che sono quelle che inizialmente promossero il loro sviluppo; senza dubbio, con il tempo, si sono applicate ad altri campi, che inizialmente sembravano lon­ tani da un'interpretazione in termini di competizione o collaborazione. Questo è il caso della scienza della natura e, concretamente, delle teorie sull'evoluzione e sull'ecologia. Si suppone che prendere decisioni sia esclusivo degli esseri umani e che, per­ tanto, la teoria dei giochi sarà applicabile solo al comportamento umano. Senza dubbio,John Maynard Smith, in un eccellente lavoro del 1978, dimostrò che era applicabile anche al comportamento di certe specie che scelgono strategie collet­ tive per preservare, o migliorare, il proprio sviluppo. Non sono comportamenti individuali, bensì collettivi, che riguardano tutta una specie. La lotta per la soprav­ vivenza di una specie si può interpretare come un processo di competizione nel quale determinati comportamenti di alcuni possono portare addirittura alla spari­ zione di altri. Parallelamente, il comportamento "altruista" di certi individui può essere benefico per la collettività, ma fatale per gli individui stessi. John Maynard Smith propose il dilemma noto come falchi e colombe che, in un certo senso, è un'applicazione del gioco della gallina. In effetti, quando due animali competono per una preda, abitualmente hanno entrambi un'attitudine aggressiva e cercano di sconfiggere l'avversario con la forza. Quando lo scontro diventa una vera e propria lotta ci sono due possibilità: abbandonare e fuggire (colombe), per­ dendo la preda, ma conservando la vita, oppure combattere (falchi), con un risulta­ to imprevedibile che può portare alla morte. Supponiamo che in una comunità di colombe spunti un piccolo gruppo di falchi. Inizialmente questi aumenteranno perché la loro strategia è benefica (ogni volta che si confrontano con una colomba vincono), per cui col tempo la quantità di falchi aumenterà; questo farà sì che aumentino gli scontri tra falchi e quindi au­ menteranno sempre più le perdite di questi. Questa situazione porterà col tempo ad un equilibrio tra colombe e falchi, cosa che, a: quanto pare, succede nella realtà. 130 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE Con queste condizioni, Smith creò un gioco, assegnando pagamenti alle diverse :ioni; possiamo rappresentarlo con la seguente matrice: Falchi Colombe Falchi (-5,-5) (10,0) Colombe (0,10) (2,2) I pagamenti partono dalle seguenti assegnazioni: ottenere l'obiettivo (una presa l'accoppiamento) 10 punti; rimanere feriti -20. In uno scontro tra falchi, suppo­ �ndo che ciascuno vinca una volta e l'altra perda, si ottiene in media -5. Quando 1 falco si scontra con una colomba vince sempre (10) mentre questa si ritira (O). JOHN MAYNARD SMITH (1920-2004) John Maynard Smith fu un biologo evoluzionista e genetista inglese che utilizzò la matematica ed in particolare la teoria dei giochi per i suoi studi sull'evoluzione. Studiò nel famoso Eton College e studiò ingegneria al Trinity College di Cambridge. Fin da giovane si iscrisse al partito comunista, che abbandonò nel 1955 dopo l'invasione dell'Unghe­ ria da parte dell'esercito russo. lmprowisamente cambiò il suo orientamento scientifico e studiò genetica alla University College di Londra. Fu pro­ fessore di zoologia nello stesso centro e, nel 1958, pubblicò un libro divulgativo, The Theory of Evolu­ tion, che ebbe grande popolarità. Dal 1962 lavorò all'Università del Sussex, di cui fu fondatore e, nel 1973, formalizzò il suo principale contributo alla teoria dei giochi, la cosiddetta strategia stabile evolutiva. I suoi studi su questa teoria culminarono con la pubblicazione del libro Evolution and Theory of games, del 1982, nel quale propose un gioco noto come i falchi e le colombe. Nel 1977 fu eletto membro della Royal Society e nel 1986 ricevette, tra i vari altri riconoscimenti, il premio Darwin. In suo onore, la Società Europea per la Biologia dell'Evoluzione ha istituito un premio che porta il suo nome, per giovani ricercatori in questa disciplina. 131 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE Quando due colombe si scontrano non ci sono feriti, però si hanno una grande perdita di tempo e rischi inutili, per cui Smith assegna il valore di -3. In uno scon­ tro fra colombe, la vincente ottiene 10 - 3 = 7 e la perdente -3, per cui, in media ottiene 2. Partendo da questo gioco, si introduce l'idea di strategia evolutiva stabile, che è quella che permane quando appare una mutazione che cerca di eliminarla. Con questa Smith dimostrò che tanto una popolazione di soli falchi, quanto una forma­ ta solo da colombe non sono evolutivamente stabili e mostrò che, in accordo coi pagamenti assegnati, una strategia mista con 8/13 falchi e 5/13 colombe sarebbe una comunità evolutivamente stabile, ossia protetta di fronte all'incremento sia dei falchi, sia delle colombe. Si potrebbe provare che lo è effettivamente, anche se sarebbe difficile spiegare come un determinato gruppo possa metterla in pratica. Si può pensare all'esistenza di un gene "falco" in 8/13 della popolazione ed ad un altro che porti i propri in­ dividui ad agire come colombe, o anche ad uno stesso gene che porti ad un com­ portamento o all'altro nelle stesse proporzioni. Nel modello descritto è evidente che nessuna delle due strategie è soddisfa­ cente: i falchi vincono sulle colombe, ma perdono nei loro scontri e le colombe ottengono un buon rendimento nel confrontarsi tra loro, ma non con i falchi. È necessario un arbitraggio che riduca le lotte tra falchi ed impedisca, allo stesso tempo, che questi approfittino dell'attitudine timorosa delle colòmbe, salvando ciò che si ha e riducendo i confronti violenti: per questo motivo si è denominato que­ sto tipo di arbitraggio strategia borghese. Per dimostrare come le diverse applicazioni si alimentino l'una con l'altra e suggeriscano nuovi trattamenti, l'idea di evoluzione fu applicata da Robert Axel­ rod, nella sua teoria dei giochi, allo studio di strategie cooperative all'interno di una comunità, quando un gioco veniva ripetuto molte volte (si veda il paragrafo dedicato al dilemma del prigioniero). A proposito di giochi con più di due persone Fino a questo momento ci siamo occupati di giochi per due persone ed anche gli esempi mostrati servono a dare forma a quest'idea: potrebbe trattarsi di due persone, due imprese, due eserciti o, in generale, due gruppi; però, in ogni caso, tanto nelle situazioni di cooperazione, quanto in quelle di confronto, ci sono solo due contendenti. Così, la possibilità di stabilire alleanze tra due o più giocatori per 132 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE migliorare i propri risultati a costo di pregiudicare un terzo non era fattibile. Il celebre lavoro di Von N eumann e Morgenstern, The Theory ofgames and Economie Behaviour, già citato più volte, fu il primo ad occuparsi di giochi per n persone e ad introdurre l'idea di soluzione per questo tipo di giochi. Giochi di n persone Per introdurre i termini principali di questa parte del libro di Von Neumann e Morgenstern sui giochi per più di due persone ed avvicinarci all'idea di soluzione di Neumann, ricorriamo ad un esempio economico, con valori molto semplificati. Tre imprese, E1, E2 ed E3, hanno ciascuna il valore di 1€. Ciascuna può allearsi con le altre formando coalizioni e ciascuna coalizione incrementa di 9€ il suo valore. Se si alleano due imprese, il loro valore sarà di 11 € e, se lo fanno tutte e tre, sarà di 12€. Supponiamo che le tre imprese abbiano lo stesso valore in tutti i sensi; come devono allearsi, quale coalizione è preferibile e come devono ripartirsi i benefici? Si dice che il gioco precedente è descritto in forma caratteristica; tanto i giocato­ ri, quanto le coalizioni hanno un valore stabilito e quando si formalizza una coali­ zione questa funzionerà come un nuovo giocatore, per cui sarà possibile applicare i metodi dei giochi per due persone. Con ciò si suppone che la forma di agire della coalizione sia massimizzare i propri benefici e, se il gioco è a somma zero, può riuscirci, come abbiamo visto nel capitolo precedente, minimizzando gli avversari. Supponiamo anche che, una volta realizzata la coalizione, il gioco sia totalmente competitivo. Analizziamo alcuni risultati del problema proposto. Se non ci sono alleanze, ciascuna impresa rimane nelle condizioni iniziali, 1€ per ciascuna. Se si crea un'al­ leanza delle tre imprese (valore totale 12€), data la simmetria della situazione, una distribuzione equilibrata e soddisfacente per tutti sarà che ciascuna impresa riceva 4€; si rappresenta questa possibilità con la terna (4, 4, 4), che designerà i pagamenti per ciascuna impresa e che si denomina imputazione. Ciò nonostante, altre imputa­ zioni sono possibili, sempre che la somma dei pagamenti sia 12€. Se la coalizione è di due imprese, per esempio B e C, allora una di queste (A) riceverà solo 1€ e le altre due 11€ in totale; una possibile imputazione sarà (1; 5,5; 5,5), ma esistono ancora molte altre possibilità. Dato che le due imprese migliorano i loro pagamenti rispetto all'imputazione precedente, questa sembra più possibile (soluzione miglio­ re) della prima. 133 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE Senza dubbio, la soluzione (1; 5,5; 5,5), che sembrava la più fattibile, non è stabile dato che l'impresa A, che non ha realizzato alcuna alleanza, può proporre un'altra coalizione, per esempio con B, con la quale entrambe ottengano un pagamento mi­ gliore, per esempio (5, 6, 1). A questo punto, B potrebbe intervenire nuovamente, forzando un pagamento minore ad A, con la stessa alleanza, o anche C proponen­ done una nuova. Questo processo potrebbe continuare in maniera indefinita e diffi­ cilmente potrebbe portare ad una distribuzione stabile, per poter essere considerato la soluzione del gioco. L'analisi fatta da Von Neumann e Morgenstern sui giochi per n persone li portò presto alla conclusione che non esisteva una soluzione unica che fosse ottima e che non si aveva una soluzione con un'imputazione determinata. Sen­ za dubbio, qualunque analisi mostra che non tutte le imputazioni possono far parte della soluzione;Von Neumann e Morgenstern cercarono di definire le condizioni che l'insieme di imputazioni che costituivano la soluzione del gioco doveva riunire, intendendo per soluzione un insieme di imputazioni (pagamenti per tutti i giocatori). Per capire il significato di queste condizioni, bisogna precisare un altro concet­ to che si denomina dominio di un'imputazione su un'altra. Se si intende che nel nostro gioco a qualsiasi proposta di coalizione e distribuzione ne succeda un'altra, si potrà supporre che la nuova imputazione di pagamenti non sarà qualsiasi, ma sarà razionalmente migliore della precedente. Questo significa che ci deve essere un insieme di giocatori capaci di proporre una nuova coalizione ed un'imputazione di pagamenti associata, per cui questi ricevano un pagamento rigorosamente mag­ giore che con la proposta precedente. Fissati i concetti di imputazione e dominio, possiamo formulare le condizioni per determinare l'insieme di imputazioni che costituiscono la soluzione, che sono essenzialmente due: 1. Ogni imputazione che faccia parte della soluzione non può essere dominata da un'altra che faccia parte anch'essa della soluzione. 2. Ogni imputazione che non faccia parte della soluzione deve essere dominata da una che faccia parte della soluzion_e. Con queste condizioni Von Neumann e Morgenstern considerarono che le so­ luzioni proposte, oltre ad evitare contraddizioni interne, rispondevano ad un com­ portamento socialmente accettabile. Per poter applicare questo metodo esistono varie restrizioni, tra le quali la principale è che i giocatori debbano poter comu­ nicare gli uni con gli altri in qualsiasi momento, liberamente e simultaneamente. 134 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE Giochi di cooperazione, alleanze e distribuzioni Continuando con i giochi per n persone, analizziamo varie situazioni, aumentan­ done progressivamente le difficoltà; supponiamo che i giocatori possano comu­ nicare e stabilire accordi prima di giocare. Come prima, vogliamo studiare quelle coalizioni che sono possibili e che garantiscano una distribuzione di guadagni tale che tutti i membri della coalizione siano soddisfatti e decidano di mantenerla. Esempio 1 Tre imprenditori,Anna (A), Beatrice (B) e Carlo (C), dopo aver concluso un affare, devono ripartirsi € 200.000, che rappresentano il guadagno. Decidono di fare la distribuzione per maggioranza semplice, un voto per persona e non stabiliscono nessun'altra restrizione rigu ardo al modo di fare la divisione. La maggioranza sem­ plice può realizzare 4 possibili coalizioni:ABC,AB,AC, BC; all'interno di ciascuna vi sono diversi modi di distribuire i benefici tra i tre giocatori. Anna propone questa distribuzione:A=€ 68.000,B=€ 66.000 e C=€ 66.000. Beatrice ne propone un'altra: A=€ 60.000, B=€ 70.000 e C= € 70.000, che è migliore tanto per lei quanto per Carlo, il quale però propone una terza distri­ buzione: A=€ 70.000, B= O e C= 130.000 che migliora, oltre alle sue entrate, quelle di Anna. Come nell'esempio del paragrafo precedente, le proposte potranno continuare e sembra che non esista una coalizione che soddisfi tutti e tre i soci: non c'è punto di equilibrio dato che qualsiasi proposta può essere cambiata con un'altra, che migliori i pagamenti ricevuti da ciascun giocatore, con una nuova alleanza. Nei giochi cooperativi di alleanze si denomina soluzione una proposta di alle­ anze e di divisione dei pagamenti che sia stabile, ossia che garantisca un accordo soddisfacente per i membri della coalizione. Esempio 2 Supponiamo che la decisione riguardo alla distribuzione precedente si prenda d'accordo con gli investimenti fatti da ciascun membro, in modo che Anna ottenga 5 voti,Beatrice 3 e Carlo 1. Ora le possibili alleanze per avere la maggioranza sono: ABC,AB,AC,A. Dato che Anna ha la maggioranza, può proporre una distribuzione che le dia tutto il beneficio: A=€ 200.000, B= O e C= O. Anche se questa distribuzione può sembrare ingiusta, sarà stabile. Anna rimarrà a favore e non è possibile forma135 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE re una maggioranza senza di lei; pertanto, questa è una soluzione nei termini che abbiamo definito. In questi giochi, si denomina valore del gioco il pagamento che ciascun gioca­ tore ha garantito se agisce razionalmente e che è indipendente dalle decisioni degli altri giocatori. Nell'esempio 1, nessun giocatore ha garantito di riscuotere alcuna quantità, per cui il valore del gioco è A=O, B =O e C =O.Invece, nel secondo, il valore del gioco è A= 100, B =O e C =O. Esempio 3 Complichiamo un po' la situazione per renderla più reale. Nelle elezioni, cinque partiti si sono distribuiti gli 81 seggi in gioco nella seguente maniera: A = 33, B = 24, C = 15, D = 6 ed E= 3. Dato che nessuno ha la maggioranza assoluta (41 seggi), bisogna fare una coalizione o alleanza per formare il governo. Questa coali­ zione deciderà la distribuzione dei preventivi e le assegnazioni delle responsabilità. Si prescinde dalle affinità ideologiche e si suppone che l'importanza degli incarichi dipenda dal preventivo che gestiscono ed anche dal fatto che non si rompa la de­ cisione del voto. Fra tutte le possibili alleanze (1 con 5 partiti, 5 con 4, 10 con 3, 10 con 2 e 5 con 1 solo partito) ce ne sono 16 fattibili (hanno come minimo 41 seggi). Siccome nes­ sun partito ha la maggioranza, il valore del gioco per ciascun partito è O, dato che nessun partito è imprescindibile per formare una coalizione che possa governare. LLOYD STOWELL SHAPLEY (1923) Questo notevole matematico ed economista statunitense ha realizzato contributi fondamen­ tali alla teoria dei giochi. Studiò matematica ad Harvard, dove si laureò nel 1948, dopo aver partecipato alla Seconda Guerra Mondiale come sergente nella Campagna di Cina. Lavorò un anno alla RAND Corporation e prese il dottorato all'Università di Princeton nel 1953, all'epoca in cui vi lavoravano i principali creatori della teoria dei giochi. In seguito tornò a lavorare per la RAND Corporation fino al 1981, anno in cui divenne professore all'Università della California, a Los Angeles (UCLA). Già nella sua tesi di dottorato introdusse alcuni concetti, come il valore di Shapley, di grande importanza per la teoria dei giochi e, durante la sua lunga carriera, ha continuato a pubblicare i risultati dei suoi studi iniziali. È membro della National Academy of Sciences dal 1979 ed ha ricevuto numerosi premi, tra cui il John von Neumann Theory Prize nel 1981. 136 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE Per situazioni come questa, il matematico ed economista Lloyd Shapley propo­ se un sistema di distribuzioni consistente in una divisione proporzionale al numero delle possibili alleanze vincenti, nelle quali il giocatore che partecipa sia decisivo (senza la sua presenza l'alleanza smette di essere vincente). Il pagamento ricevuto da ciascun giocatore si chiama valore di Shapley. Un giocatore non è decisivo in una coalizione se non è imprescindibile affinché questa coalizione risulti vincente. Nel nostro caso, in una coalizione con tutti i partiti, nessuno è decisivo, mentre per esempio, nella coalizione BCDE, B e C sono decisivi, dato che se si ritirano dalla coalizione il resto non ha la maggioranza (se si ritira B, la coalizione avrà solo 24 seggi e se si ritira C ne avrà 33); D ed E, invece, non sono decisivi, dato che se si ritira uno di essi la coalizione avrà ancora la maggioranza (se si ritira D la coa­ lizione avrà 42 seggi e se si ritira E ne avrà 45). A queste condizioni e facendo il corrispondente conteggio, il numero delle coalizioni in cui ciascun partito risulti imprescindibile si può riassumere nella seguente tabella: Partito Numero di coalizioni in cui il partito è decisivo A 10 B e 6 6 D 2 E 2 A queste condizioni possiamo fare già la distribuzione, d'accordo col modello proposto da Shapley. Se si formasse un'alleanza con tutti i partiti ed il preventivo fosse di 2600 milioni di euro, la distribuzione, in accordo col valore di Shapley, do­ vrebbe essere (in milioni di euro): A= 1.000 B=600 C=600 D=200 E= 200 Con qualsiasi altra alleanza, ciascun partito partecipante riceverà un preventivo distribuito alla stessa maniera, che in nessun caso sarà inferiore a quello ottenuto 137 LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE in questa coalizione. Questa proposta di distribuzione non porta ad una soluzione unica stabile, dato che continuano ad esistere varie possibilità; però, in ogni caso, qualsiasi coalizione si costituisca, se la distribuzione si fa in questa maniera, non ci sarà alcuna possibilità più stabile che offra ai partecipanti un pagamento superiore. Sia il metodo proposto da Von N eumann, sia quello di Shapley mostrano, da un lato, che la soluzione non è espressa da un'unica imputazione, ma da un in­ sieme di queste; d'altro lato, è possibile determinare un insieme di caratteristiche che permettano di decidere se una determinata imputazione faccia parte o meno dell'insieme "soluzione". Il lettore avrà osservato che, negli ultimi due capitoli, a mano a mano che le situazioni analizzate si fanno più complesse, si avvicinano allo stesso tempo a situa­ zioni della realtà e i metodi matematici per cercare di risolvere il problema sono meno incisivi. Questo non significa che non siano ugualmente validi, ma sempli­ cemente che le situazioni della realtà, combinando elementi di confronto e di coo­ perazione, hanno, ciascuna, alcune caratteristiche particolari che le rendono spesso diverse dalle altre, per cui i metodi matematici applicabili per risolverle devono tenere presente che la loro validità dipende da dette caratteristiche. 138 Bibliografia BINMORE, K., Teoria dei giochi. Torino, Codice, 2008. CoMAs, O., El Mundo enjuegos. Barcellona, RBA, 2005. COLOMBO, F., Introduzione alla teoria dei giochi. Roma, Carocci, 2003. DAVIS, M.D., Game Theory:A Nontechnical Introduction. New York Basic Books, 1983. GARDNER,M.,Entertaining Mathemathical Puzzles.Mineola (NY),Dover Publications, 1986. GARFUNKEL, S., Por all practical purposes: introduction to contemporary mathematics. New York, Freeman, 1991. lsRAEL, G., e MILLAN GASCA, A., Il mondo come gioco matematico. La vita e le idee di John von Neumann. forino, Bollati Boringhieri, 2008. 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New York, Doubleday, 1992. 139 Indice analitico Erdos, Paul 20 Etten,Henry van 28 Euler 16, 29, 30, 70 Abbott,Robert 36,37 Alfonso X il saggio 22,23, 24, 66 Arrow,Kennneth 109 A xelrod, Robert 127, 132 fattoriale di un numero 73 Fermat,Pierre de 16, 25, 26, 28, 65, 67,68,70,72 Ferro,Scipione del 24, 25 Fibonacci 20,21, 31, 33 Flood, Merril 109, 123,125 frazioni unitarie (o egizie) 20 Bachet de Méziriac, Claude-Gaspar 16,27,28 Berlekamp,Elwyn 44 Berloquin,Pierre 36 Borel,Emil 96 Brayer,Richard 111 Gardner, Martin 36,41 Gauss, Carl Friedrich 16,29, 30 guadagni 85,86,87,92,93,95,98, 106,111,115, 119-123,126,135 Guy,Richard 44 g10co a somma non zero 117,121,123, 124,128 a somma zero 91, 96,99,106,112, 115,116,117,119,120,121,133 ad informazione completa 42, 43, 44,96 astratto 38, 50,60,91,98,100,106 d'azzardo 11,15,22,25,26,29,39, 42,65,66,67,72,76,85,86,87,88 di strategia 23, 41-63 equitativo 93 per due persone 95,96, 99, 106, 112,116, 120, 121 tipo NIM 45-63 tipo Nimbus 54,59,63 Cardano, Gerolamo 24, 25, 26, 67, 72 Carroll,Lewis 32, 33 Chuquet, Nicolas 26 coefficienti di un binomio 67, 89 combinazioni 75, 89 Conway John 36, 44 Cournot,Antoine Augustin 92 Coxeter, Harol Scott 33 dilemma (o gioco) dei falchi e delle colombe 130,131 (o gioco) del prigioniero 124, 125,127,129 (o gioco) della gallina 128, 129, 130 distribuzione binomiale 88, 89 dominio di un'imputazione 134 Dudeney,Henry E. 34,35, 36 equilibrio di Nash 92,117,120,121 141 INDICE ANALITICO Hobbes,Thomas 127 Hooper,William 29,31 Huygens, Christiaan 92 Neumann,John von 11,14,39,97, 106,133,138 Newton, Isaac 29 imputazione 133,134,138 Ozanam,Jacques 29 Kallikan, Ibn 21 Pascal,Blaise 65,66,67,68,89 Laplace, Pierre Simon 70 Leibniz, Gottfried Wilhelm 55,67,92 Leonardo da Pisa si veda Fibonacci Loyd,San1 34,35,36 Lucas,Édouard 16,32,33,34,74 permutazioni 30,73,74 probabilità 11,14,25,29,65-72, 76-89 condizionata 82 problema dei punti 26,71,72 pseudo gioco 60-61 punto di equilibrio 98,99,101,103,111, 112,120,121,135 sella 93,94,95,97,98,99,102, 103,105,106,111 Pauling, Linus 83 matrice dei pagamenti (o delle vincite) 93, 94,95,96,97,98,99,112,118, 105,108,111 simmetrica di pagamenti 97 maximin,metodo del 93,97,98,103, 106,107,110,112,119 Maydorge,Claude 28 Méré, Chevalier de 65,66,67,68,69 Mersenne,Marin 67,68 metodo della falsa posizione 16 rmmmax metodo del 39,92,93,94,95, 110,111,112,113 teorema del 96,106,110,111, 121 Montucla,Jean E. 29 Morgenstern,Oskar 38,97,117,120, 133,134 RAND,Corporation 109,122,123, 136 Recorde,Robert 26 Rouse Bali,Walter W 32,33 Shapley,Lloyd Stowell 136 sistema di numerazione binario 48, 52,53,54,55 Smith,John Maynard 117,130,131, 132 speranza matematica 85,86,87,88 Stewart, Ian 36 strategia "a ritroso" 47,48,49,57,63 aleatoria 94,98 cooperativa 115, 132 Nash,John 109,117,120,121,122, 125 142 INDICE ANALITICO dominante 103,110,111,113 mista 39,92,94,96,103-113,119 ottima 94,95, 96,105,112,113, 117,119,127 pura 94,98,100,104,119,120 simmetrica 51,59 vincente 42,44-45,46,47, 48,49, 50,51,52,53,54,57-61,63,122 successi disgiunti 71,86 ripetuti 88 ugualmente probabili 71 successo favorevole 71 impossibile 71 possibile 71 sicuro 71 Sylvester,James Joseph 20,32 Tartaglia,Niccolò Fontana 24,25,26 Tucker,AlbertW 122,124,125 valore di Shapley 136,137 di un gioco 91 variazioni 73,75 Zermelo,Ernst 96 143