Marcial Fernández Castro Momento dipolar magnético de los átomos bajo campos externos Física Cuántica III 23 de diciembre de 2013 1. EL EFECTO LAMB 1.1. ¿Qué es el Efecto Lamb? A partir de la ecuación de Schrödinger para el hidrógeno se obtiene que los niveles de energía del electrón del átomo de hidrógeno debería depender únicamente del número cuántico principal ‘n’. En 1951, Willis Lamb descubrió que no era así sino que el estado 2p(1/2) era ligeramente inferior al estado 2s(1/2) lo que producía un ligero desplazamiento de la línea espectral correspondiente: se denominó efecto Lamb. Podría parecer que un efecto tan pequeño podría considerarse insignificante, pero en este caso dicho desplazamiento puso en jaque a la teoría electromagnética. La responsable de este proceso es la fuerza de intercambio, por la cual las cargas interactúan mediante el intercambio de fotones. Puede haber una interacción propia del electrón por intercambio de un fotón como se ilustra en el diagrama de Feynman a continuación. Esto "borra" la posición del electrón en un intervalo de aproximadamente 0,1 fermi. Esto provoca que el factor g del espín del electrón sea ligeramente diferente de 2. También hay un ligero debilitamiento de la fuerza sobre el electrón cuando está muy próximo al núcleo, haciendo que el electrón 2s (que tiene una penetración total hasta el núcleo) sea ligeramente más alto en energía que el electrón 2p(1/2). La penetración del electrón 2s más cerca del núcleo significa que ha penetrado en el interior del electrón 1s, y por lo tanto siente una atracción más fuerte hacia el núcleo positivo, lo que lleva a un nivel de energía inferior (se necesita más energía para eliminar del átomo el electrón 2s, que el 2p). Sin embargo, en el caso del átomo de hidrógeno sólo hay un electrón, por lo que cuando están en los estados excitados 2s ó 2p no hay ningún apantallamiento de electrones internos. El efecto sobre los niveles de energía tiene un origen completamente diferente, regido por la electrodinámica cuántica. En ausencia de este efecto, los electrones 2s y 2p tendrían energías idénticas, ya que no hay apantallamiento por la presencia de otros electrones. La "auto-interacción" del electrón cuando está cerca del protón, origina el efecto de "borrado" de la carga del electrón, de manera que su atracción hacia el protón es un poco más débil de lo que debería haber sido. Esto significa que ha encontrado una interacción que hace que esté ligeramente menos unido que un electrón 2p y, por lo tanto, tenga mayor energía. 1.2. Experimento de Lamb-Retherford El efecto Lamb queda resuelto experimentalmente en 1947 por W. E. Lamb y R.C. Retherford quienes idean un experimento que minimiza el ensanchamiento Doppler de las líneas. Se hicieron las mediciones del efecto en la región de microondas. Se formó un haz de átomos de hidrógeno en el estado 2s(1/2). Estos átomos no podrían realizar directamente la transición a los estados 1s (1/2) debido a la regla de selección, que exige que en una transición el momento angular orbital cambie en 1 unidad. Exponiendo los átomos a un campo magnético para dividir los niveles energéticos por el efecto Zeeman, se exponen los mismo a radiación de microondas de 2395 MHz. Luego variaron el campo magnético hasta que esa frecuencia produjo transiciones desde los niveles 2p(1/2) a 2p(3/2). A continuación, se medió la transición permitida del estado 2p(3/2) al estado 1s(1/2). Se pudo así determinar que el desdoblamiento del campo magnético-cero de estos niveles correspondían a 1057 MHz. Por la fórmula de Planck, esto indicó que la separación energética era de 4,372x10-6 eV. 1.3. El efecto Lamb por espectroscopia de saturación Cuando se intenta obtener una resolución muy alta para examinar pequeños desdoblamientos de las líneas espectrales, como en el caso de la estructura fina del hidrógeno y en el efecto Lamb, esos pequeños detalles se ven oscurecidos por las fuentes de ensanchamiento de líneas. En un gas a baja presión, la principal fuente de ensanchamiento es el ensanchamiento Doppler por el movimiento térmico de los átomos o moléculas del gas. Esto es particularmente grave en el hidrógeno, ya que tiene una baja masa y por lo tanto, una alta velocidad térmica. Los láseres de colorante sintonizables, se utilizan con excelentes ventajas en la "espectroscopia de saturación Doppler-libre" para minimizar los efectos del ensanchamiento Doppler. La luz del láser se divide en dos haces, un haz de saturación y un haz de sonda, dispuestos de modo que se cruzan en una región de una celda de gas, que contiene gas hidrógeno. Cuando se ajusta el láser a una frecuencia de transición electrónica, el haz de saturación es lo suficientemente intenso como para agotar el nivel inferior de la transición. El haz de saturación se "entremezclada" o modulada de modo que la saturación de la transición se enciende y se apaga. El haz de sonda es absorbido o no dependiendo de si el haz de saturación está encendido. El haz de sonda incide sobre un detector sensible, ajustado a la frecuencia de modulación, que luego puede detectar una señal a esa frecuencia, correspondiente a la activación y desactivación de la absorción del haz de sonda. La enorme ventaja de esta técnica para eliminar los efectos del ensanchamiento Doppler viene de dirigir los haces de saturación y de sonda a través del gas en direcciones opuestas. Los átomos de hidrógeno que sólo están en resonancia con ambos haces son aquellos que no tienen una componente de velocidad en la dirección de los haces y, por lo tanto, absorben a la frecuencia asociada con el sistema en reposo del átomo. 1.4. Importancia del Efecto Lamb Cuando se determinó experimentalmente el efecto Lamb, se consiguió una verificación del mismo con alta precisión sobre los cálculos teóricos realizados con la teoría cuántica de la electrodinámica. Estos cálculos predijeron que los electrones intercambiarían continuamente fotones, siendo este el mecanismo por el que actuaba la fuerza electromagnética. Se podía calcular el efecto de la emisión continua y la absorción de fotones sobre el factor g del electrón con gran precisión. Se midió con gran precisión el minúsculo efecto Lamb con muchos decimales, de acuerdo con el resultado calculado a partir de la electrodinámica cuántica. La precisión de la medida nos da un factor g del espín del electrón de g=2,002319304386. 2. ACOPLAMIENTO RUSSELL-SAUNDERS 2.1. Pequeña reseña: acoplamiento del momento angular En la mecánica cuántica, el proceso de construcción de estados propios del momento angular total a partir estados propios de momentos angulares separados se llama acoplamiento de momento angular. Por ejemplo, la órbita y el espín de una sola partícula pueden interactuar a través de la interacción espín-órbita, en cuyo caso el cuadro físico completo debe incluir acoplamiento espín-órbita. Otro ejemplo son dos partículas cargadas, cada una con un momento angular bien definido, que pueden interactuar por fuerzas de Coulomb, el caso de un acoplamiento de los dos a una sola partícula de momento angular total es un paso muy útil en la solución de la ecuación de Schrödinger de dos partículas. En ambos casos, los momentos angulares separados ya no son constantes de movimiento, pero la suma de los dos momentos angulares generalmente sigue siéndolo. El momento angular acoplado en los átomos es de suma importancia en la espectroscopia atómica. El acoplamiento de momento angular del espín del electrón es de importancia en la mecánica cuántica. 2.2. Pequeña reseña: acoplamiento espín-órbita El comportamiento de los átomos y las partículas más pequeñas está bien descrita por la teoría de la mecánica cuántica, en el que cada partícula tiene un momento angular intrínseco llamado espín y configuraciones específicas descritas por un conjunto de números cuánticos. Las colecciones de partículas también tienen momentos angulares y números cuánticos correspondientes y, bajo diferentes circunstancias, el momento angular de la forma un momento angular del conjunto. En física atómica, el acoplamiento espín-órbita describe una interacción débil magnética, es decir, un acoplamiento entre el espín de la partícula y el movimiento orbital de la misma. Por ejemplo, el espín del electrón y su movimiento alrededor de un núcleo atómico. Uno de sus efectos es que separa la energía de los estados internos del átomo, por ejemplo, espín-alineados y espin-antialineados que de otro modo tendrían idéntica energía. Esta interacción es responsable de muchos de los detalles de la estructura atómica. 2.3. El acoplamiento de Russell-Saunders En los átomos multielectrónicos en donde el acoplamiento espín-órbita es débil, se puede asumir que los momentos angulares orbitales de los electrones individuales se suman para formar un momento angular orbital resultante L. Del mismo modo, los momentos angulares de espín individuales se presume que se acoplan para producir un momento angular de espín total S. Posteriormente, L y S se combinan para formar el momento angular total => J = L + S. Este tipo de combinación se visualiza en términos de un modelo vectorial de momento angular. Este tipo de acoplamiento se denomina acoplamiento LS o acoplamiento de Russell-Saunders y se ha encontrado que da un resultado que está de acuerdo con los detalles espectrales observados en muchos átomos ligeros. En los átomos más pesados, otro esquema de acoplamiento llamado "acoplamiento j-j" proporciona una mejor concordancia con los experimentos, lo explicamos en el siguiente apartado. El modelo vectorial ilustrado arriba se aplicó a un electrón simple, pero se puede aplicar un modelo similar cuando múltiples electrones contribuyen al momento angular neto. Si están involucrados electrones idénticos, entonces se debe tomar el apropiado cuidado para asegurarse de que en el intercambio de estos las combinaciones producen una función de onda antisimétrica. Por ejemplo, si consideramos la configuración electrónica del titanio, (Ar)3d24s2. Los electrones 4s contribuyen a completar una capa, y los electrones 3d2 contribuyen al momento angular neto. Bajo las condiciones de acoplamiento L-S esto da lo siguiente. 2.4. El acoplamiento J-J En los átomos ligeros, las interacciones entre los momentos angulares orbitales de los electrones individuales es más fuerte que el acoplamiento espín-órbita entre los momentos angulares de espín y orbital. Estos casos se describen por el "acoplamiento L-S". Sin embargo, para los elementos más pesados con mayor carga nuclear, las interacciones espín-órbita llegan a ser tan fuertes como las interacciones entre los momentos angulares individuales de espín u orbital. En esos casos, los momentos angulares de espín y orbital de los electrones individuales tienden a acoplarse para formar un momento angular individual del electrón. Esta interacción se describe a partir del “acomplamiento J-J” y viene descrito de la siguiente manera. Otro caso en el que el total L y S se desacoplan, es el caso en que hay aplicado un campo magnético externo muy fuerte. A esto se le llama efecto Paschen-Back, del que hablaremos posteriormente. 3. RESONANCIA PARAMAGNÉTICA DE ESPÍN 3.1. Introducción y definición La resonancia paramagnética de espín (RSE) se trata de una resonancia de electrones desapareados dentro de un campo magnético. El momento dipolar magnético que interacciona con el campo magnético externo lo aporta un electrón en lugar de un núcleo. Para que haya RSE, tiene que haber espines desapareados. El magnetismo es el responsable de las fuerzas atractivas o repulsivas existentes en los materiales. Para la RSE tiene que haber electrones desapareados, por tanto, debe existir paramagnetismo. Las propiedades magnéticas de los materiales aparecen como consecuencia de los momentos magnéticos de los electrones. En un átomo, cada electrón tiene momentos magnéticos de dos fuentes distintas: del movimiento orbital del electrón alrededor de su núcleo. el electrón gira sobre sí mismo alrededor de su eje lo que provoca que aparezca el espín del electrón, del que ya hablamos en uno de los trabajos. Como sabemos, éste puede ser hacia arriba (UP) o hacia abajo (DOWN). La técnica de la RSE se basa en detectar los cambios de configuración de espín de los electrones desapareados. Se registra la inversión del espín de los electrones desapareados por la aplicación de un campo magnético. La energía de inversión de se encuentra en la región del espectro del espín, que es de unos 10 J/mol de microondas. La absorción de energía asociada con la inversión de espín viene dada por la condición de resonancia: ∆𝐸 = ℎ𝑣 = 𝑔𝑠 𝜇𝐵 𝑩𝟎 Donde 𝑔𝑠 =cte. giromagnética, 𝜇𝐵 =Magnetón de Bohr, 𝑩𝟎 =Campo magnético El espectro RSE no registra las líneas de absorción de resonancia sino su primera derivada por dos razones: lograr una mayor resolución de las líneas individuales de los espectros complejos y que existe una conveniencia técnica para registrar la primera derivada. La RSE aporta datos sobre: El estado de oxidación, el número de coordinación y la configuración electrónica del ion paramagnético. El nivel fundamental de la configuración “d” del ion paramagnético y, además, las distorsiones en el mismo debidas a la estructura reticular. En su caso, la extensión del carácter covalente de los enlaces entre el ion paramagnético y los aniones o ligandos de su poliedro de coordinación. 3.2. Parámetros importantes Intensidad de las líneas espectrales: En RSE la intensidad de una línea de absorción es proporcional a la concentración de libre o material paramagnético. Puede medirse la cantidad de electrones desapareados en la muestra, comparando los picos con los de un patrón del que se conozca el número de electrones desapareados. Las medidas de RSE tienen una sensibilidad alta que es debida al momento magnético del electrón; este momento magnético origina una gran energía de separación entre los estados de en un campo magnético determinado: µ𝐻 𝛥𝐸 = ℎ𝜈 = 𝐼 Anchura de las líneas espectrales: La anchura de las líneas de RSE depende del tiempo de relajación del estado de spin electrónico. Puede utilizarse el principio de incertidumbre de Heisenberg para estimar las anchuras de línea a partir de los tiempos de relajación: ℎ 𝛥𝐸 ∙ 𝛥𝑡 = 2𝜋 Posición de las líneas espectrales: En ausencia de campo magnético un conjunto de electrones que poseen spin se alinean al azar, pero si se aplica un campo externo se establece una dirección preferente. Las restricciones de la mecánica cuántica permiten solamente dos interacciones de spin. La energía para estar en el nivel superior y la relación de electrones en ambos estados vendrá dada por la distribución de Maxwell-Boltzmann. −𝛥𝐸 𝑛𝑖 = 𝑒 𝑘𝑇 𝑛𝑗 Estructura de multiplete de los espectros RSE: Hay dos clases diferentes de estructura de multiplete: la estructura fina y la estructura hiperfina, de las que ya hemos hablado en otros trabajos. 3.3. Ejercicio Calcular la intensidad B0 del campo magnético que produce resonancia paramagnética entre los niveles p del sodio en el campo de microondas de 50GHz. Como vimos al aplica un campo sinusoidal en la dirección perpendicular a B0 se inducen transiciones entre los dos estados del electrón siempre que la frecuencia cumpla la siguiente condición: ∆𝐸 = ℎ𝑣 = 𝑔𝑠 𝜇𝐵 𝑩𝟎 Sabemos que: 𝑣 = 2′803 ∙ 1010 𝑩𝟎 𝐻𝑧. 𝑇 −1 si S≠0 y J=0. Pero en el caso de que S≠0 y J≠0 se aplicará la siguiente relación: 𝜔𝑅 = 𝑔𝐽 𝜇𝐵 ћ 𝐵0 Sustituyendo en gJ=3/2 (valor más alto) obtenemos el valor del campo: 𝑩𝟎 ≅ 𝟐′𝟒𝑻 4. EFECTO ZEEMAN 4.1. ¿Qué es el efecto Zeeman? El efecto Zeeman, descubierto por el físico holandés Pieter Zeeman, se describe como la división de una línea espectral en varios componentes cuando el elemento se coloca en la presencia de un campo magnético. Resulta curioso que al efecto mencionado se lo conozca como efecto Zeeman normal ya que después se descubrió uno similar en el cual los desdoblamientos de los niveles de energía eran algo más complicados y se le denominó efecto Zeeman anómalo; sin embargo Goudsmit y Uhlenbeck en el año 1925 enunciaron la hipótesis de un espín electrón donde el llamado efecto Zeeman normal es el que no cumple las reglas, aunque haya sido observado primero. El efecto Zeeman normal fue explicado posteriormente por Bohr de manera semiclásica al desarrollar su modelo del átomo de hidrógeno y luego también explicado a partir de la mecánica cuántica. Que se observen varias líneas en una transición de un nivel atómico a otro implica que cada una de esas líneas corresponde a la emisión de una onda electromagnética formada por fotones con un determinado valor de energía; es decir, lo que se busca probar es que, al someter al átomo a un campo magnético, sus niveles energéticos se desdoblan, permitiendo así que haya más de una transición entre un nivel y otro. Éste es el motivo por el cual no solo se observará una sola línea en el espectro emitido. A continuación se comentará la explicación semiclásica y la cuántica de dicho efecto. 4.2. Explicación semiclásica del efecto Zeeman ordinario El momento magnético asociado al momento angular orbital de un electrón está dado por: Cuando se lo somete a un campo magnético que forma un ángulo α con la normal al plano en el cual gira el electrón, este experimentará un momento angular τ=μL×B, 𝑒ħ además si llamamos a µ𝐵 = 2𝑚 y se toma en cuenta que L=ℏ 𝑒 magnitud de ese momento angular es: , entonces la Luego, la energía empleada, EB, para pasar de una posición angular α0=π2 (veremos más adelante que esto es para que EB=ΔEB) a otra posición arbitraria α en presencia del campo magnético externo BB (dirigido a lo largo del eje Z arbitrario) es entonces: 𝐿 Pero se sabe que cosα=𝐿 = 𝑧 𝑚ℓ ħ √ℓ(ℓ+1)ħ entonces la ecuación anterior se puede reescribir como: Esto significa que a la energía En de un estado n del electrón en el átomo de hidrógeno hay que añadirle una energía ΔEB, lo cual produce un desdoblamiento de los niveles degenerados. 4.3. Teoría cuántica del Efecto Zeeman El efecto Zeeman normal aparece sólo en transiciones entre estados atómicos con espín total S=0. El impulso angular total J=L+S de un estado es, entonces, un impulso angular orbital puro (J = L). Ahora si calculamos el Hamiltoniano, se tendría que: donde el primer término es el Hamiltoniano en ausencia de campo magnético y el segundo es el que produce un campo magnético orientado en la dirección Z. Luego la ecuación de Schödinger viene dada por Los posibles valores de la energía son los valores propios del hamiltoniano. De hecho, las funciones propias Ĥ0 y z por separado. Resolviendo la ecuación se obtiene que la energía está dada por La ecuación anterior, muestra que un estado con determinados números cuánticos n y ℓ se separa en 2ℓ+1 niveles de energía debido a la presencia de un campo magnético externo. µB es el magnetón de Bohr. 5. EFECTO PASCHEN-BACK 5.1. Descripción En presencia de un campo magnético externo, los niveles de energía de los átomos se desdoblan. Si el desdoblamiento es pequeño en comparación con la diferencia de energía entre los niveles sin perturbar, es decir, con campos magnéticos suficientemente débiles, este desdoblamiento está bien descrito por el efecto Zeeman. Esto puede visualizarse con la ayuda de un modelo vectorial sobre momento angular total. Si el campo magnético es suficientemente grande, interrumpe el acoplamiento entre los momentos angular orbital y el de espín, resultando en un patrón de desdoblamiento diferente. Este efecto se conoce como efecto Paschen-Back. En el caso de campo débil, el modelo de vector de la figura a la izquierda, implica que el acoplamiento entre el momento angular orbital L y el momento angular de espín S, es más fuerte que su acoplamiento al campo externo. En este caso donde el acoplamiento espín-órbita es dominante, se pueden visualizar como combinación para formar un momento angular total J, que luego precede alrededor de la dirección del campo magnético. En el caso de campo fuerte, S y L, como vemos a la derecha, se acoplan más fuertemente al campo magnético externo que entre sí, y se pueden visualizar como precesiones independientes a la dirección del campo externo. 5.2. Caso particular de Na Se reproduce a continuación el efecto Zeeman del sodio, para mostrar la naturaleza de la interacción magnética con los campos magnéticos externos débiles. Lo siguiente es un modelo de los cambios en el patrón, si el campo magnético fuera lo suficientemente fuerte como para desacoplar L y S. El espectro resultante sería un triplete, con la línea central dos veces la intensidad de las líneas exteriores. Para crear este patrón, las proyecciones de L y S en la dirección z se han tratado de forma independiente, y el ms se ha multiplicado por el factor g del espín. El desplazamiento de energía está expresado como un múltiplo del magnetón de Bohr mB. Las reglas de selección explican por qué están permitidas las transiciones mostradas y otras no. 5.3. Ejercicio Calcular la intensidad del campo magnético necesaria para resolver el desdoblamiento Zeeman de las líneas de 589’6 nm y 588’9 nm del Na si nuestro monocromador resuelve 0’1 nm Como sabemos la diferencia de energías entre los estados 2p(3/2) y 2p(1/2) viene dada ℎ𝑐 ℎ𝑐 1 2 por: ∆𝐸 = 𝜆 − 𝜆 La energía extra en presencia de un campo magnético se calcula de la siguiente manera: 2p(1/2): ℓ =1, j=1/2, gj=2/3 => 𝑉(1⁄2 , 1; 𝑚𝑗 ) = 2⁄3 𝜇𝐵 𝐵0 𝑚𝑗 2p(3/2): ℓ =1, j=3/2, gj=4/3 => 𝑉(3⁄2 , 1; 𝑚𝑗 ) = 4⁄3 𝜇𝐵 𝐵0 𝑚𝑗 Condición: 𝑉(1⁄2 , 1; 𝑚𝑗 = 1⁄2) − 𝑉(3⁄2 , 1; 𝑚𝑗 = 3⁄2) = ∆𝐸 Por tanto nos queda que: 𝑩𝟎 = 𝟑⁄𝟕 ∙ 𝒉𝒄 𝝁𝑩 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 (𝝀 − 𝝀 ) = 𝟏𝟓, 𝟕𝟕𝑻 6. Dos campos magnéticos 6.1. Introducción Kastler y Brossel llevaron a cabo un método para investigar los estados excitados del átomo capaz de proporcionar información sobre el núcleo. Se trata de una experiencia de resonancia paramagnética sobre electrones en estados excitados y, al igual que sucede en la resonancia paramagnética ordinaria, se pueden observar cientos de efectos hiperfinos. Por ejemplo, podemos hacer referencia al átomo de Na, que ya vimos que produce una línea óptica cuya longitud de onda es de 589nm, debido a las transiciones entre los niveles 2p(3/2) y 2s(1/2). Si el átomo se coloca en presencia de un campo débil obtenemos las líneas espectrales. Si si se utiliza radiación polarizada en un plano, con un vector eléctrico paralelo al campo magnético, la regla de selección ∆𝑚𝑗 permite tan sólo la formación de estados con 𝑚𝑗 = ± 1⁄2. Este hecho se muestra en la siguiente figura, que representa dos estados Zeeman. Además, se muestra también que dichos estados se desintegran por emisión de una mezcla de radiación polarizada plana (π) y radiación polarizada circularmente (σ), correspondiente a transiciones con ∆𝑚𝑗 = 0 y ±1, respectivamente. Si la radiación difundida se observa en la dirección de las líneas de fuerza del campo B0, sólo se ponen de manifiesto las componentes polarizadas circularmente. Supongamos ahora que se aplica un campo de radiofrecuencias B1 en el plano XY. En tal caso, para una frecuencia v dada aproximadamente por: ℎ𝑣 = 𝑔𝐽 𝜇𝐵 𝐵0 donde gJ es el factor g electrónico para el estado 2P(3/2), pueden tener lugar aquellas transiciones para las que ∆𝑚𝑗 = ±1, produciéndose el paso de átomos excitados con 𝑚𝑗 = ± 1⁄2 a los estados con 𝑚𝑗 = ± 3⁄2. 6.2. Ejercicio Calcular la frecuencia de oscilación del momento dipolar magnético de una muestra de un átomo cuyo estado fundamental es 2S(1/2), estando sometido a un campo magnético constante de intensidad 2T y a un campo transversal con el que está en resonancia magnética y cuyo valor es de BT=10-4T. Hemos de comparar la frecuencia de precesión de un campo de 2 T con la frecuencia de oscilación que produce un campo transversal BT. A continuación se calculan las dos frecuencias. La frecuencia transversal, por una parte, vendrá dada por: 𝜔𝑇 = 2 𝜇𝐵 𝐵 = 180𝑘𝐻𝑧 ћ 0 Por otro lado, la frecuencia de larmor es asociada al otro campo: 𝜔𝐿 = 𝑔𝐽 𝜇𝐵 9′27 ∙ 10−27 𝐵0 = 2𝑥 𝑥2 = 0′35𝐺𝐻𝑧 ћ 1′05 ∙ 10−34 Como vemos la frecuencia de oscilación producida por el campo magnético transversal está muy por debajo en magnitud que la de precesión. Como sabemos el espín tiene asociado un momento angular que varía si lo hace el espín. En este caso los espines varían a 180kHz debido a que habrá una variación de los rotores elementales del espín, transmitiéndose una vibración. Por otro lado, se produciría un campo magnético resonante si colocamos una varilla en un campo magnético constante y posteriormente la hiciésemos vibrar a la frecuencia de resonancia.