Competencia específica: Aplica las propiedades de los números reales, desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita, así como desigualdades con valor absoluto para representar las soluciones en forma gráfica y analítica. 1.1 Los números reales. 1.2 Axiomas de los números reales. 1.3 Intervalos y su representación gráfica. 1.4 Valor absoluto y sus propiedades. 1.5 Propiedades de las desigualdades. 1.6 Resolución de desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita 1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto Cálculo Diferencial ACF - 0901 UNIDAD 1: NÚMEROS REALES Página 1 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 1.1 Los números reales. Los conocimientos de las Matemáticas han tenido una influencia determinante en las Ciencias Naturales, Exactas, Sociales, Económico Administrativas y en los avances científicos y Tecnológicos; cuando el ser humano se hizo sedentario, surgió la necesidad de contar sus bienes; para esto pudo utilizar “Piedritas” o “Rayitas”, para simbolizar alguna cosa u objeto de su propiedad. Definición: Un número natural, es aquel que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, se denota por la letra “N”, los integrantes de este conjunto son: N 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,... Este conjunto de números se divide en conjuntos más pequeños como los siguientes: 1. Conjunto de números perfectos; son los números naturales que son iguales a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse el mismo. Ejemplos de estos son: 2. Conjunto de números triangulares; que son de la forma n2 n , donde n 2 es un numero natural. Ejemplo de estos números son: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … 3. Conjunto de números primos; que son los números naturales mayores que 1 y que tienen únicamente dos divisores, él mismo número y el 1. Ejemplos de estos números son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79… 4. Conjunto de números pitagóricos; que son números primos de la forma 4n + 1. El conjunto de los números primos pitagóricos es exactamente el conjunto de los números primos que pueden ser la longitud de la hipotenusa Página 2 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 de un triángulo rectángulo de lados enteros. Algunos números pitagóricos son: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, … Definición: El conjunto de los números enteros, está formado por todos los números naturales agregándoles los números negativos y el cero, se denotan por la letra Z, algunos representantes de los números enteros son: Z ..., 5, 4, 3, 2, 1,0,1, 2,3, 4,5,... Algunos subconjuntos importantes de los números enteros son: 1. Conjunto de números pares: es un numero entero que se puede escribir de la forma: 2k, donde k es un numero entero (los números pares son los múltiplos del número 2). Ejemplos de estos números son: -100, -50, -20, -10, -2, 0, 2, 4, 8, 200 2. Conjunto de números impares: son los números enteros que se pueden escribir de la forma: 2k + 1, donde k es un entero. Ejemplos de estos números son: -137, -33, -19, -11, -3, -1, 1, 2, 23, 201 Definición: El conjunto de los números racionales, denotados por Q, incluyen todos los números que pueden expresarse en forma de cociente (fracción de quebrado), a/b en donde a y b son números enteros y en donde b deberá ser diferente de cero (b 0) . Cabe hacer notar que el conjunto de los números racionales incluyen al conjunto de los números enteros; también pueden ser positivos y negativos. Q ..., 1 , 3 , 8 , 1 , 2 , 3 ,... 4 5 10 20 30 50 En un número real con una cantidad infinita de decimales, decimos que contiene un periodo de repetición o simplemente periodos, si a partir de cierta posición el (los) número(s) se repiten(n) indefinidamente, este periodo es igual a la cantidad de números que se repiten, por ejemplo: Página 3 de 43 Página 4 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 F ..., , 5, 2, 3, 7, 10,... Cálculo Diferencial ACF - 0901 Definición. Números irracionales, son los números que no se pueden expresar como cociente de los números enteros; pueden ser positivos o negativos, se denotan por: Página 5 de 43 ACF - 0901 Cálculo Diferencial Definición: Números reales, el conjunto de los números reales están constituido por la unión de los conjuntos de números racionales con los números irracionales, es decir: R ..., , 6,12 , 3, 3 , 4 ,1, 1 , 1 , 2, 7 ,... 5 2 5 4 20 4 Es necesario aclarar que los números racionales pueden expresarse como fracción decimal que se repite infinitamente (también se le denomina Decimal periódico); o finita. Un número irracional no es una fracción decimal que se repita infinitamente, es decir que su representación decimal no es periódica. Cantidad Tipo 7 1.75 4 Decimal finito 2 0.181818 11 Decimal periódico infinito Numero racional irracional Numero racional o o Numero racional Página 6 de 43 2 0.66666 3 2 1.414213562 infinito o Numero racional infinito no Numero irracional infinito no Numero irracional Tabla comparativa de las diferentes clases de números. Cálculo Diferencial ACF - 0901 3.141592654 Decimal periódico Decimal periódico Decimal periódico Página 7 de 43 Axiomas de los números reales. Cálculo Diferencial ACF - 0901 1.2 Página 8 de 43 Página 9 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 1.3 Intervalos y su representación gráfica. Cálculo Diferencial ACF - 0901 Un intervalo es un segmento de la recta numérica comprendido entre dos valores extremos a y b. Intervalos en los Reales (IR) La Expresión: {x IR / a < x < b} se conoce como Intervalo, representa al conjunto de todos los números reales que están entre otros dos reales “a” y “b” dados. En este caso x no puede ser ni “a” ni “b”. Tipos de Intervalos: Intervalo Abierto: Conjunto de números entre a y b, sin incluirlos, se simboliza por: () Intervalo Cerrado: Conjunto de números entre a y b, incluidos ambos. Se simboliza por: [ ] Intervalo Semiabierto por Derecha: Intervalo de puntos entre a y b, que incluye a “a” pero excluye a “b”. Simboliza: [ ) Intervalo Semiabierto por Izquierda: ( ] Notación de intervalo La siguiente es una lista de varios tipos de intervalos con ejemplos. Intervalo Descripción Cerrado Abierto [a, b] Conjunto números x tales que a ≤ x ≤ b Dibujo Ejemplo de [0, 10] (incluye puntos extremos) (a, b) Conjunto números x tales a<x<b de (-1, 5) que (excluye puntos extremos) Semiabierto (a, b] Conjunto números x tales a<x≤b de que (-3, 1] [a, b) Conjunto números x tales a≤x<b de que [-4, -1) Página 10 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 Infinito [a, +∞) Conjunto números x tales a≤x de que [0, +∞) (a, +∞) Conjunto números x tales a<x de que (-3, +∞) (-∞, b] Conjunto números x tales x≤b de que (-∞, 0] (-∞, b) Conjunto números x tales x<b de que (-∞, 8) (-∞, +∞) Conjunto de todos números reales (-∞, +∞) Los puntos a y b del intervalo cerrado [a, b] se llaman sus puntos extremos. Intervalos abiertos no tienen puntos extremos, y cada intervalo semiabierto tiene un solo punto extremo; por ejemplo (-1, 3] tiene 3 como su punto extremo. Representación GRAFICA de intervalos: [-3,6] -3< x < 6 (4,9) 4<x<9 (1,+ ∞) 1 < x < + ∞ La siguiente tabla contiene la definición, la clasificación, notación y representación gráfica de algunos intervalos acotados: La siguiente tabla contiene la definición, la clasificación, notación y representación gráfica de algunos intervalos no acotados: Página 11 de 43 Página 12 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 Cálculo Diferencial ACF - 0901 1.4 Valor absoluto y sus propiedades. Ejemplos: Propiedades de Valor Absoluto Página 13 de 43 Página 14 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 Página 15 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 Propiedades de las desigualdades. Cálculo Diferencial ACF - 0901 1.5 Página 16 de 43 Página 17 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 Página 18 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 Página 19 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 Cálculo Diferencial ACF - 0901 1.6 Resolución de desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita Desigualdades de primer grado con una incógnita Las desigualdades de primer grado (lineales), se pueden resolver de una manera similar que las ecuaciones lineales. Es decir, se puede despejar la incógnita utilizando operaciones idénticas en ambos lados de la desigualdad. Como veremos en los ejemplos, es necesario tomar en cuenta una diferencia muy importante, pues cuando se multiplica una desigualdad por algún valor negativo, la dirección de la desigualdad se invierte, es decir, de menor que cambia a menor que y viceversa. Desigualdades de segundo grado con una incógnita De acuerdo a las características de la expresión cuadrática, podemos determinar si la resolveremos por fórmula general, por factorización, ó despejando. Además de tener en cuenta el efecto de la multiplicación por números negativos en la dirección de la desigualdad, también tenemos que considerar el efecto de la raíz cuadrada. Este efecto lo explicaremos en los ejemplos. El resultado lo representaremos en notación de intervalos y con representación sobre la recta numérica. Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad. Los signos de desigualdad son: > (mayor que) < (menor que) (mayor o igual que) (menor o igual que) Página 20 de 43 Página 21 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 Página 22 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 ACF - 0901 Cálculo Diferencial Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver las siguientes desigualdades: Problema 1: Resolver: 3 > x - 8. 3>x-8 3+8>x-8+8 11 > x x < 11 El conjunto solución es: (-∞, 11). Problema 2: Resolver: 2x-5 < 7 Solución: 2x-5 < 7 desigualdad original 2x-5+5 < 7+5 sumar 5 a ambos miembros 2x < 12 simplificar ½ (2x) < ½ (12) multiplicar a ambos miembros por ½ Página 23 de 43 ACF - 0901 x<6 simplificar El conjunto solución es: (-∞, 6). Problema 3: Resolver 3x 14 7 x 2 Solución: 3 x 7 x 14 2 4 x 12 12 x 4 x 3 El conjunto solución es: (-∞, -3). Problema 4: Resolver x3 4 x 3 x2 3 Cálculo Diferencial Solución: ( x 3)( x 2) 4(3) x( x 2) x 2 5 x 6 12 x 2 2 x x2 5x x2 2 x 6 3x 6 6 3 x2 El conjunto solución es: (2,∞). x Problema 5: Nota: Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia. Problema 6: Resolver: -3 ≤ 2-5x ≤ 12 Solución: -3 ≤ 2-5x ≤ 12 -3-2 ≤ 2-5x-2 ≤ 12-2 Desigualdad original restar 2 Página 24 de 43 Simplificar Multiplicar a ambos miembros por –(1/5) e . Simplificar Problema 7: Representar gráficamente la solución de las siguientes inecuaciones de primer grado: 4(x +1) > 2 − 3(2x + 6) Solución. 4x + 4 > 2 − 6x −18 4x + 6x > 2 −18 − 4 10x > −20 x > −2 Cálculo Diferencial ACF - 0901 -5 ≤ -5x ≤ 10 - (1/5) (-5) ≥ - (1/5) (-5x) ≥ - (1/5) (10) invertir ambas desigualdades. 1 ≥ x ≥ -2 El conjunto solución es [-2,1]. Página 25 de 43 ACF - 0901 Cálculo Diferencial Observación En los casos en que se pueda identificar rápidamente donde cambia de signo el denominador, podemos dividir la desigualdad en dos casos (dividendo el intervalo Página 26 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 justo donde el denominador cambia de signo), y resolver cada uno de ellos por separado, la solución será la unión de ambas soluciones. Problema 8: Resolver 2x 1 3 x3 Solución: 2x 1 2x 1 2 x 1 3x 9 x 8 x8 3 3 0 0 0 0 x3 x3 x3 x3 x3 Para ver los límites de los intervalos igualamos a cero el numerador y el denominador de la expresión anterior: x 8 0 x 8 x 3 0 x 3 Este valor nunca lo podrá tomar x pues algo partido por 0 no existe Con los datos obtenidos escribimos la siguiente tabla: Página 27 de 43 -8 + no sirve + + + no sirve Cálculo Diferencial ACF - 0901 X+8 X+3 x8 0 x3 S {xe / 8 x 3} (8, 3) -3 + -no sirve 2x 1 3 x 2x 1 2x 1 2 x 1 3x x 1 x 1 3 3 0 0 0 0 x x x x x Para ver los límites de los intervalos igualamos a cero el numerador y denominador de la expresión anterior: x 1 0 x 1 Problema 9: Resolver x0 S {x / x 1 0 x} (, 1) (0, ) Ejercicios propuestos: Instrucción I: Solución de inecuaciones de primer grado con una incógnita Página 28 de 43 l) x x 5 2 3 m) 4 2x 3 4 x2 0 n) x4 x3 2 o) x2 x4 0 p) x2 2 x 0 q) 2x 6 2 x 3 3x 7 x2 r) x 2 2 x 8 0 s) 3x 7 Cálculo Diferencial ACF - 0901 a) 8x – 1 > 6x + 4 b) 5x – 7 < 3x + 2 c) 3x 5 5x 15 1 1 d) x 2 x 1 3 2 e) x + 6 < 4 – 3x f) x 5 7 g) 4 2x 3x 1 h) 4 > 3x + 5 i) 6x + 3 < x – 9 j) x – 5 < 2x – 6 k) ( x 1)2 7 ( x 2)2 Página 29 de 43 ACF - 0901 Cálculo Diferencial Consideremos ahora un ejemplo donde se tienen dos radicales en una misma desigualdad. Página 30 de 43 ACF - 0901 Cálculo Diferencial Observación En la mayoría de los casos y debido a que las raíces tiene restricciones, es fácil y suficiente, realizar un análisis de los valores que cumplen la desigualdad, sin realizar todos los cálculos. Página 31 de 43 Página 32 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 ACF - 0901 Cálculo Diferencial Se pueden despreciar los factores cuadráticos que no cambian de signo, siempre y cuando se considere lo siguiente: Si se despreció un factor cuadrático que es siempre negativo, a los intervalos finales se les debe cambiar de signo. Se debe analizar si existen un valor de la variable que hace cero al factor, y quitarlo de la desigualdad si ésta es estricta. Desigualdades Cuadráticas Problema 1: Resolver: x2 < x+6 Solución: x2 < x + 6 Desigualdad original 2 x -x-6<0 Escribir en forma usual (x – 3)(x + 2) < 0 Factorizar El polinomio x2 - x - 6 tiene los ceros x = -2 y x = 3, por tanto tiene los intervalos prueba (-∞,-2),(-2,3) y (3,∞). La solución de la desigualdad original es (-2, 3). Problema 2: Resolver la siguiente inecuación x2 9 0 Solución: x2 9 x 9 x 3 Los intervalos solución pueden ser (− ∞, −3), (−3, 3) y (3, ∞) Página 33 de 43 Problema 3: resolver la siguiente inecuación x 2 4 0 Solución: x2 4 x 2 ACF - 0901 x 2 Los intervalos solución pueden ser (− ∞, −2), (−2,2) y (2, ∞) Problema 4: Resolver la siguiente inecuación 2 x 2 4 x 30 Solución: 2 x 2 4 x 30 0 2 x 2 4 x 30 0 2 2 2 2 x 2 x 15 0 x 2 2 x 15 0 Cálculo Diferencial ( x 5)( x 3) 0 x 5 0 x 5 x3 0 x 3 Los intervalos solución pueden ser (, 5],[5,3],[3, ) Problema 5: Resolver la siguiente inecuación x 2 3 x 4 x 2 3x 4 0 ( x 1)( x 4) 0 x1 1 x2 4 Ejercicios propuestos: Instrucción I: Solución de inecuaciones de segundo grado con una incógnita a) 4 x 2 x 5 0 b) 5 x 2 9 6 x 2 7 x 1 2 c) 11x x 1 5 Página 34 de 43 Página 35 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 Página 36 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 Cálculo Diferencial ACF - 0901 1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto Página 37 de 43 Página 38 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 Desigualdades que envuelven dos posibles soluciones (valor absoluto) Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra negativa. Cálculo Diferencial ACF - 0901 Problema 1: Resolver 10 x 2 9 Solución: 10 x 2 9 10 x 2 2 9 2 10 x 7 7 x 10 Problema 2: Resolver: x 3 2 Solución: usando la segunda propiedad de las desigualdades y los valores absolutos, puede describirse la desigualdad original como la desigualdad doble. x 3 2 2 x 3 2 2 3 x 3 3 2 3 1 x 5 El conjunto solución de la desigualdad original es [1,5]. Problema 3: Resuelva 2 x 5 9 Solución: 2 x 4 x 2 x 2 Problema 4: Resuelva x 2 3 Solución: x 2 3 x 1 x2 3 x 5 Problema 5: Resuelva 4 7 x 8 Solución. Página 39 de 43 Nunca el valor absoluto es negativo. Por lo tanto esta ecuación no tiene solución. El conjunto solución es cero. Problema 6: Resuelva 2 x 3 x 5 Solución: 2x 3 x 5 o Cálculo Diferencial ACF - 0901 x 3 5 o x 8 o 2 x 3 ( x 5) 2x 3 x 5 x 2 3 Problema 7: Resuelva 3x 2 4 Solución: 4 3 x 2 4 2 x2 3 Problema 8: Resuelva 8 4 x 5 Solución: 5 8 4 x 5 13 4 x 3 13 3 3 13 x x 4 4 4 4 Problema 9: Resuelva 6 x 4 4 Solución: 4 6 x 4 4 0 x 4 3 Problema 10: Resuelva 12 3x 5 Solución: 5 12 3x 5 7 17 x 3 3 Ejercicios propuestos a) x 4 7 d) 6 2x 7 Página 40 de 43 2x 5 3 e) 2x 5 3 c) 3x 4 2 f) 8 4x 5 Cálculo Diferencial ACF - 0901 b) Página 41 de 43 Página 42 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901 Página 43 de 43 Cálculo Diferencial ACF - 0901