“Año de la universalización de la salud” UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS Y METALURGIA TRABAJO DE INVESTIGACIÓN: TEORÍA DE ELASTICIDAD Y LA RESISTENCIA DE MATERIALES, FUERZAS AXIALES EXTERIORES E INTERIORES. DOCENTE: Dr. Ing. GUTIERREZ FERREYRA, JAVIER ORLANDO CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES CICLO: VI. GRUPO: A ESTUDIANTE: ABAD PALOMINO DIEGO ENRIQUE ICA – 2020 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA INDICE I. INTRODUCCION ..................................................................................................................... 3 II. OBJETIVOS ............................................................................................................................. 3 III. MARCO TEORICO ............................................................................................................... 4 3.1. TEORIA DE LA ELASTICIDAD:.......................................................................................... 4 3.2. LEY DE HOOKE GENERALIZADA ..................................................................................... 9 3.3. DEFINICIÓN DE ESFUERZO........................................................................................... 21 Esfuerzo producido bajo carga normal axial ....................................................................... 21 Deformación lineal en barras. ............................................................................................. 22 IV. EJEMPLOS: ....................................................................................................................... 23 V. CONCLUSIONES ................................................................................................................... 25 VI. BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................. 26 [Fecha] 2 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA I. INTRODUCCION La resistencia de materiales y la teoría de elasticidad, como partes integrantes de la mecánica de solidos deformables, son dos disciplinas con objetivos comunes: Ambas abordan la resistencia y rigidez de cuerpos solidos deformables sometidos a la acción de sistemas de fuerzas en equilibrio estáticos. La resistencia de materiales limita su campo de aplicación a ciertos de elementos estructurales (vigas y columnas), sustentados de ciertas maneras predeterminadas (apoyos simples, articulaciones, empotramientos, etc) y sometidos a ciertos tipos de acciones (fuerzas puntuales y repetidas generalmente, y otras acciones definidas de forma adecuada). Teoría de elasticidad, por su parte, afronta el problema ¨mecánico¨ en su forma más general en cuanto a geometrías, condiciones de contorno y tipos de acciones consideradas. Esto lleva un rigor que precisa en su planeamiento matemático que impide obtener soluciones analíticas, salvo para un limitado número de casos requiriendo el método numérico aproximados (diferencias finitas y elementos finitos). II. OBJETIVOS Conocer la teoría de la elasticidad, resistencia de materiales, fuerzas axiales exteriores e interiores, diagramas, ejemplos. Dar a conocer, a través de un trabajo de investigación sobre la teoría de la elasticidad, resistencia de materiales. [Fecha] 3 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA III. MARCO TEORICO 3.1. TEORIA DE LA ELASTICIDAD: La “Teoría de la Elasticidad” nos centraremos en la mecánica de los sólidos deformables. La mecánica de sólidos deformables estudia el comportamiento de los cuerpos sólidos deformables ante diferentes tipos de situaciones como la aplicación de cargas o efectos térmicos. Estos comportamientos, más complejos que el de los sólidos rígidos, se estudian en mecánica de sólidos deformables introduciendo los conceptos de deformación y de tensión mediante sus aplicaciones de deformación. Una aplicación típica de la mecánica de sólidos deformables es determinar a partir de una cierta geometría original de sólido y unas fuerzas aplicadas sobre el mismo, si el cuerpo cumple ciertos requisitos de resistencia y rigidez. Para resolver ese problema, en general es necesario determinar el campo de tensiones y el campo de deformaciones del sólido. Las ecuaciones necesarias para ello son: ecuaciones de equilibrio, que relacionan tensiones internas del sólido con las cargas aplicadas. Cuerpo elástico. - Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o momentos exteriores recuperan su forma o tamaño original. Cuerpo inelástico. - Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o momentos no retorna perfectamente a su estado inicial. Las fuerzas de masa están asociadas con el cuerpo considerado (afectan a todas las partes del mismo) y no son consecuencia de un contacto directo con otros cuerpos y entre ellas podemos citar las fuerzas gravitacionales, las de inercia, las magnéticas.etc. Se especifican en términos de fuerzas por unidad de volumen . Las componentes de la intensidad de estas fuerzas según los ejes coordenados, son Fx , Fy y Fz . Las fuerzas de superficie son debidas al contacto físico entre dos cuerpos. Si ampliamos el concepto podríamos incluir en dicho concepto las fuerzas que una superficie imaginaria dentro de un cuerpo ejerce [Fecha] 4 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA sobre la superficie adyacente, lo que resulta muy práctico para establecer ecuaciones de equilibrio y otras. Cuerpos frágiles: Los que se rompen al superar el límite elástico. Cuerpos dúctiles: Los que se siguen deformando al superar el límite elástico, siguiendo un comportamiento plástico. Fatiga elástica: Alteración de las características elásticas tras muchas deformaciones Cuerpo isótropo: Tiene las mismas características físicas en todas las direcciones. Anisótropo, cuando depende de la dirección. Cuerpo homogéneo: Tiene igual densidad . Inhomogéneo: Diferente densidad. Los cuerpos homogéneos e isótropos tienen definidas sus característica elásticas con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson. ELASTICIDAD En esta existe una relación lineal entre las deformaciones de los sólidos y los esfuerzos externos aplicados a ellos. Esto que acabo de decir conforma prácticamente la ley de Hooke cuya ecuación dice: Є*E=σ, es decir que los esfuerzos (σ) son directamente proporcionales a las deformaciones (Є), o decir también que los esfuerzos son iguales a las deformaciones por el módulo de elasticidad del material. Para esto hay que tener en cuenta que la deformación producida por un esfuerzo se manifiesta en el mismo sentido de este. Para la elasticidad existe un límite al cual se le llama límite elástico. Si un material sobrepasa este límite, su comportamiento dejará de ser elástico. Debido a esto se establece un rango elástico del material [Fecha] 5 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA PLASTICIDAD Cuando se somete un material a esfuerzos que los llevan a sobrepasar su límite elástico, ocurre que sus deformaciones se vuelven irreversibles o permanentes. Cuando esto ocurre las deformaciones dejan de ser proporcionales a los esfuerzos y por tanto la ley de Hooke no cumple como modelo explicativo para estos casos, por tanto se han desarrollado muchos otros modelos para explicar el comportamiento plástico de los materiales, los cuales son algo más complejo y no pretendo cubrirlos en este artículo. Dicho esto entraremos de lleno en el tema, la elasticidad, es una propiedad mecánica de los sistemas, decimos que un material es elástico cuando al aplicarle una fuerza, se deforma, y, al dejar de aplicar la fuerza, vuelve a su forma original. Los materiales que al ser deformados y dejar de aplicar la fuerza, no vuelven a su forma original, se llaman inelásticos o plásticos. Son materiales elásticos, un resorte, una gomita elástica, la piel, los músculos, entre otros. Materiales plásticos, son por ejemplo un chicle, plasticina, cemento... Todos los materiales elásticos tienen un límite de elasticidad, lo cual significa que si aplicamos una fuerza mayor al límite de elasticidad, el material queda deformado o se rompe. [Fecha] 6 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA Las partículas se mantienen unidas por fuerzas de atracción entre ellas, las que hacen que al separarlas vuelvan a su lugar, pero si las separamos demasiado, éstas fuerzas no son suficientes para volver a unirlas. El límite elasticidad depende de cada material. Esfuerzo Normal El esfuerzo es una medida de la fuerza por unidad de área (en la que se aplica) que causa la deformación. Si la fuerza aplicada no es normal ni paralela a la superficie, siempre puede descomponerse en la suma vectorial de otras dos tal que siempre una sea normal y la otra paralela a la superficie considerada. Los esfuerzos con dirección normal a la sección, se denotan normalmente como σ (sigma) y se denominan como esfuerzo de tracción o tensión cuando apunta hacia afuera de la sección, tratando de estirar al elemento analizado, y como esfuerzo de compresión cuando apunta hacia la sección, tratando de aplastar al elemento analizado. El esfuerzo con dirección paralela al área en la que se aplica se denota como τ (tau) y representa un esfuerzo de corte ya que este esfuerzo trata de cortar el elemento analizado, tal como una tijera cuando corta papel. Las unidades de los esfuerzos son las de fuerza dividida por área (las mismas que para la presión), pero el esfuerzo no es un vector sino un tensor. [Fecha] 7 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA Las unidades que más se utilizan son: Pascal (Pa) = N/ m2 , (S.I.); din/ cm2 (c.g.s.); Kp/m2 , (s. Técnico); atmósfera técnica (Kp/cm2 ); atmósfera (atm); bar. DEFORMACIÓN UNITARIA LONGITUDINAL Si a una barra de longitud l le aplicamos una fuerza de tracción F y la barra sufre un alargamiento ∆l , se define alargamiento o deformación longitudinal como: La deformación longitudinal es la variación relativa de longitud. La relación entre la fuerza F y el alargamiento ∆l viene dada por el coeficiente de rigidez Ks: El coeficiente de rigidez depende de la geometría del cuerpo, de su temperatura y presión y, en algunos casos, de la dirección en la que se deforma (anisotropía). [Fecha] 8 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA 3.2. LEY DE HOOKE GENERALIZADA Un medio se dice que es elástico si posee un estado natural, en el cual esfuerzos y deformaciones son cero, y al cual se puede “volver” luego de que las fuerzas aplicadas son removidas. Bajo cargas aplicadas, los esfuerzos y las deformaciones “cambian” juntos, y las relaciones entre estos, denominadas relaciones constitutivas, son una importante característica de los medios. Estas relaciones constitutivas iniciaron su desarrollo hace más de 300 años atrás, con las determinaciones experimentales desarrolladas por Robert Hooke sobre “cuerpos elásticos”. Hooke concluyó que el esfuerzo es proporcional a la deformación. Ejemplo: Ensayo barra a tracción. Un caso ilustrativo de este concepto, corresponde al análisis unidimensional de un ensayo de tracción de una barra de acero. En este caso, la tensión por unidad de área transversal de la barra, es proporcional al alargamiento unitario de ésta, tal como se esquematiza en la figura adjunta. Se aprecia que, en cierta zona la relación entre el alargamiento unitario y la tensión, se puede considerar “lineal”, pudiendo identificarse el valor de la pendiente de esta recta, como la constante que relaciona esta variable. [Fecha] 9 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA Supóngase que se considera sólo la acción de 𝜎1 : entonces el cubo se alargará en la dirección principal I y al mismo tiempo, por efecto Poisson, se acortará en las otras dos direcciones principales, II y III. El alargamiento en la dirección I se expresa como: 𝜀𝐼 (𝜎𝐼 ) = 𝜎𝐼 𝐸 y el decremento en las direcciones II y III debido a 𝜎1 se expresa como 𝜀𝐼𝐼 (𝜎𝐼 ) = −𝜈 𝜎𝐼 𝐸 ; 𝜀𝐼𝐼𝐼 (𝜎𝐼 ) = −𝜈 𝜎𝐼 𝐸 Donde 𝜈 es el Módulo de Poisson del material considerado, ya que recordando su definición: 𝜈= 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝐴𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑥𝑖𝑙 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 → Aplicando al caso en cuestión: Contracción lateral unitaria (𝜀𝐼𝐼 ) = 𝜈 . Alargamiento axil unitario = −𝜈. (𝜀𝐼 ) De igual forma si se considera sólo el efecto de 𝜎𝐼𝐼 se tiene: [Fecha] 10 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA El alargamiento en la dirección II debido a 𝜎𝐼𝐼 es: 𝜀𝐼𝐼 (𝜎𝐼𝐼 ) = 𝜎𝐼𝐼 𝐸 y el decremento en las direcciones I y III debido a 𝜎𝐼𝐼 es: 𝜀𝐼 (𝜎𝐼𝐼 ) = −𝜈 𝜎𝐼 𝐸 𝜀𝐼𝐼𝐼 (𝜎𝐼𝐼 ) = −𝜈 ; 𝜎𝐼𝐼 𝐸 De igual forma debido a la acción de 𝜎𝐼𝐼𝐼 el alargamiento en la dirección III es: 𝜀𝐼𝐼𝐼 (𝜎𝐼𝐼𝐼 ) = 𝜎𝐼𝐼𝐼 𝐸 y el decremento en las direcciones I y II debido a 𝜎𝐼𝐼𝐼 es: 𝜀𝐼 (𝜎𝐼𝐼𝐼 ) = −𝜈 𝜎𝐼𝐼𝐼 𝐸 ; 𝜀𝐼𝐼 (𝜎𝐼𝐼𝐼 ) = −𝜈 𝜎𝐼𝐼𝐼 𝐸 Sumando las contribuciones aisladas de 𝝈𝑰 , 𝝈𝑰𝑰 𝒚 𝝈𝑰𝑰𝑰 se produce el caso original objeto de este estudio, resultando: 𝜀𝐼 = 1 [𝜎 − 𝜈(𝜎𝐼𝐼 + 𝜎𝐼𝐼𝐼 )] 𝐸 𝐼 𝜀𝐼𝐼 = 1 [𝜎 − 𝜈(𝜎𝐼 + 𝜎𝐼𝐼𝐼 )] 𝐸 𝐼𝐼 𝜀𝐼𝐼𝐼 = 1 [𝜎 − 𝜈(𝜎𝐼𝐼 + 𝜎𝐼 )] 𝐸 𝐼𝐼𝐼 Las ecuaciones 𝜀𝐼 𝜀𝐼𝐼 𝜀𝐼𝐼𝐼 constituyen la ley de Hooke generalizada en ejes principales para materiales isótropos y homogéneos. Isótropo porque se supone que tanto el Módulo de Elasticidad como el de Poisson no varían con la dirección. Homogéneo porque las propiedades en un punto determinado son independientes de la posición del mismo en el sólido. Las deformaciones en función de las tensiones o bien la ley de Hooke generalizada a ejes cualesquiera es la siguiente: [Fecha] 11 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA 𝜀12 = 𝜎12 2𝐺 ; 𝜀11 = 1 [𝜎 − 𝜈(𝜎22 + 𝜎33 )] 𝐸 11 𝜀22 = 1 [𝜎 − 𝜈(𝜎11 + 𝜎33 ) 𝐸 22 𝜀33 = 1 [𝜎 − 𝜈(𝜎22 + 𝜎11 )] 𝐸 33 𝜀13 = 𝜎13 2𝐺 ; 𝜀23 = 𝜎23 2𝐺 Las ecuaciones 𝜀11 ; 𝜀22 ; 𝜀33 y 𝜀12 ; 𝜀13 ; 𝜀23 en notación de índices se expresarían: 𝜀𝑖𝑗 = 1+𝜈 𝜈 𝜎𝑖𝑗 − 𝜎𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 𝐸 𝐸 En este punto es necesario hacer unas consideraciones: a. Aunque se ha trabajado con un único ensayo, el de tracción, se ha visto teóricamente que cuando la solicitación es cualquiera, o bien la orientación es cualquiera, aparecen las deformaciones tangenciales y las tensiones tangenciales asociadas. Sin embargo, el ensayo no puede contemplarlas por lo que se plantea la duda sobre si el desarrollo teórico realizado se corresponde con la realidad experimental. b. Para comprobar la veracidad cabría pensar en realizar un ensayo en el que sólo aparecieran tensiones tangenciales y comprobar el cumplimiento de las ecuaciones 𝜀12 ; 𝜀13 ; 𝜀23. Tal tipo de ensayo es el de torsión que se realiza con tubos de pared delgada y (aunque el tema será estudiado posteriormente con profundidad, de momento es suficiente para el alumno que sepa que un cuerpo sometido a un estado de torsión pura trabaja exclusivamente a esfuerzo cortante) los resultados corroboran la veracidad de las ecuaciones 𝜀12 ; 𝜀13 ; 𝜀23 . c. La constatación experimental de la demostración teórica realizada consiste en aplicar superposición de los resultados de los dos ensayos: axil puro (ensayo de tracción) y cortante puro (ensayo de torsión). Del ensayo de tracción se obtiene la ley empírica dada por las ecuaciones 𝜀11 ; 𝜀22 ; 𝜀33, es decir: [Fecha] 12 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA 𝜀𝐼 = 𝜀𝐼𝐼 = 1 [𝜎 − 𝜈(𝜎𝐼𝐼 + 𝜎𝐼𝐼𝐼 ) 𝐸 𝐼 1 [𝜎 − 𝜈(𝜎𝐼 + 𝜎𝐼𝐼𝐼 )] 𝐸 𝐼𝐼 𝜀𝐼𝐼𝐼 = 𝜀12 = 𝜀13 = 𝜀23 = 1 [𝜎 − 𝜈(𝜎𝐼𝐼 + 𝜎𝐼 ) 𝐸 𝐼𝐼𝐼 y del ensayo de torsión se obtiene 𝛾12 = 𝜎12 𝐺 ; 𝛾13 = 𝜎13 𝐺 ; 𝛾23 = 𝜎23 𝐺 𝜀11 = 𝜀22 = 𝜀33 = 0 Está claro que la superposición de efectos reproduce las ecuaciones 𝜀𝑖𝑗 = 1+𝜈 𝐸 𝜈 𝜎𝑖𝑗 − 𝐸 𝜎𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 . Así pues, tanto por el camino teórico como por el experimental se demuestra la verificación de la ley de Hooke generalizada a ejes cualesquiera. Si se invierten las ecuaciones de Hooke generalizadas, se obtienen las denominadas ecuaciones de Lamé para materiales isótropos: 𝜎11 = 2𝐺𝜀11 + 𝜆(𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33 ) 𝜎22 = 2𝐺𝜀22 + 𝜆(𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33 ) 𝜎33 = 2𝐺𝜀33 + 𝜆(𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33 ) 𝜎12 = 𝜀12 2𝐺 𝜎13 = 𝜀13 2𝐺 𝜎23 = 𝜀23 2𝐺 Las ecuaciones de Lamé expresadas en notación son: 𝜎𝑖𝑗 = 2𝐺𝜀𝑖𝑗 + 𝜆(𝜀𝑘𝑘 )𝛿𝑖𝑗 donde 𝜆 (constante de Lamé) es: 𝜆= 𝐸𝜈 (1 + 𝜈)(1 − 2𝜈) [Fecha] 13 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA Constantes Elásticas: Según se vio, en la deducción de la ley de Hooke en ejes principales fue necesario hacer uso de dos constantes: 𝐸 y 𝜈 o bien Modulo de Elasticidad y Módulo de Poissón respectivamente. Posteriormente, en la deducción de la ley de Hooke generalizada a ejes cualesquiera se usó el Módulo de Rigidez 𝐺 que era simplemente una combinación de las dos anteriores, es decir: 𝐺= 𝐸 2(1 + 𝜈) Luego al invertir la ley de Hooke para obtener las ecuaciones de Lamé se obtuvo la constante de Lamé como combinación de 𝐸 y 𝜈. En definitiva, se han empleado las siguientes constantes: 𝐸 ; 𝜈 ; 𝐺 ; 𝜆 Aún se puede definir una quinta constante conocida como Módulo de Compresibilidad K (Bulk Moduli en la nomenclatura anglosajona), que nace de la realización del ensayo de compresión hidrostático (ensayo triaxial), consistente en someter a una probeta a una presión uniforme en todas sus caras. [Fecha] 14 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA Si se parte de las ecuaciones 𝜎11 ; 𝜎22 ; 𝜎33 ; 𝜎12 ; 𝜎13 ; 𝜎23 y se suman las tres primeras (las tres últimas no existen en este tipo de ensayo) se obtiene: (𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎33 ) = 𝜎𝑘𝑘 = (3𝜆 + 2𝐺)(𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33 ) = (3𝜆 + 2𝐺)𝜀𝑘𝑘 Recordando que 𝜀𝑘𝑘 = Δ𝑉 𝑉 y sustituyendo: 𝜎𝑘𝑘 = (3𝜆 + 2𝐺) Δ𝑉 𝑉 Sustituyendo valores: 𝜎11 = 𝜎22 = 𝜎33 = −𝑝, y teniendo en cuenta que Δ𝑉 𝑉 también es negativa, resulta: 𝑃= 3𝜆 + 2𝐺 𝐸 = 3 3(1 − 2𝜈) Lógicamente todas las constantes están relacionadas y a continuación se expresan algunas de las posibles combinaciones: 𝜆= 𝐺= 2𝐺𝜈 𝐺(𝐸 − 2𝐺) 2 = =𝐾− 𝐺 1 − 2𝜈 3𝐺 − 𝐸 3 𝐸 𝜆(1 − 2𝜈) 3 = = (𝐾 − 𝜆) 2(1 + 𝜈) 2𝜈 2 𝜈= 𝐸= 𝜆 𝜆 𝐸 = = −1 2(𝜆 + 𝐺) 3𝐾 − 𝜆 2𝐺 𝐺(3𝜆 + 2𝐺) 𝜆(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈) 9𝐾(𝐾 − 𝜆) = = 𝜆+𝐺 𝜈 3𝐾 − 𝜆 [Fecha] 15 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA 2 𝜆(1 + 𝜈) 2𝐺(1 + 𝜈) 𝐸 𝐾=𝜆+ 𝐺 = = = 3 3𝜈 3(1 − 2𝜈) 3(1 − 2𝜈) Aparte es interesante reseñar las siguientes dos relaciones que suelen aparecer en ciertos casos de resolución de problemas de Elasticidad: 𝐺 = 1 − 2𝜈 𝜆+𝐺 𝜆 𝜈 = 𝜆 + 2𝐺 1 − 𝜈 ; A la vista de lo expuesto y sabiendo que todas las constantes son reales y positivas es fácil ver que necesariamente existen límites en sus valores. Así (1 − 2𝜈) ≥ 0 ⇒ 𝜈 ≤ 1 2 y 𝜈≥0 Así, 𝜈 = 1⁄2 implica que 𝐾 = ∞ o lo que es lo mismo: un material que cuando se le somete a un estado de compresión no cambia de volumen (material incompresible ya que 𝐾 = 𝑃 ∆𝑉 𝑉 ). El otro límite 𝜈 = 0 significaría un material que cuando se le somete a un estado de tracción no se acorta en las direcciones perpendiculares a las de aplicación de la fuerza. [Fecha] 16 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA DEFORMACIÓN POR TRACCIÓN O COMPRESIÓN. MÓDULO DE YOUNG. Si aplicamos una fuerza F a una barra de longitud l0 el material se deforma longitudinalmente y se alarga l - l0. La razón de proporcionalidad entre el esfuerzo (fuerza por unidad de área) y deformación unitaria (deformación por unidad de longitud) está dada por la constante E, denominada módulo de Young , que es característico de cada material. [Fecha] 17 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA Y Donde: Y es el módulo de elasticidad (módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young). es la tensión ejercida sobre el área de la sección transversal del elemento (tensión = fuerza/área). es la deformación unitaria entendida como la relación entre el cambio de longitud con respecto a la longitud inicial. Y La Ley de Hooke relaciona la deformación x ε de una barra sometida a esfuerzo axial, con la tensión normal generada por dicho esfuerzoσ x , mediante la constante Y que se denomina módulo de elasticidad lineal o módulo de Young. [Fecha] 18 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA La rigidez de un material queda caracterizada por la relación entre el esfuerzo σ x y deformación x ε , o sea por el módulo de Young. Y El módulo de Young tiene las mismas unidades que el esfuerzo. Cizalladura. Módulo de rigidez. Hasta hora solo hemos tenido en cuenta fuerzas normales a las superficies que dan lugar a esfuerzos normales y a deformaciones de volumen. Supongamos ahora que las fuerzas F que se aplican son tangenciales a una superficie A, el cambio que se produce en el cuerpo es solo un cambio de forma ya que el volumen permanece constante. El esfuerzo cortante o tangencial τ, es la fuerza de corte o tangencial por unidad de área: Esfuerzo cortante = fuerza de corte / área de corte [Fecha] 19 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA El esfuerzo cortante tiene las mismas dimensiones que la presión pero tiene la dirección de la fuerza tangencial . Las unidades del esfuerzo cortante son las mismas que la de la presión N / m´2 en el S.I.. La deformación por cizalladura se produce sólo en los sólidos, por eso se dice que estos presentan rigidez. Los sólidos pueden tener deformaciones volumétricas y de forma, mientras que los fluidos solo tienen deformación volumétrica. donde G se denomina módulo de elasticidad Tangencial o más habitualmente módulo de rigidez (o también módulo de cortante o de cizalladura). [Fecha] 20 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA 3.3. DEFINICIÓN DE ESFUERZO Es la resistencia interna que ofrece un área (sección) del material del que está hecho, al haberle aplicado una fuerza externa. Si la estructura soporta sin tener deformación excesiva o sin romperse, decimos que es una estructura resistente al esfuerzo. En general, un esfuerzo es el resultado de la división entre la fuerza aplicada y el área en donde se aplica dicha fuerza. Se expresa de la siguiente manera: 𝜎= F A Donde F es la fuerza (N) y A es el área (m2). Sus unidades están dadas por una unidad de fuerza dividida por una unidad de área (igual que para presión). En el SI se utiliza el pascal (Pa), igual a un Newton sobre metro cuadrado: 1MPa=1N/m2 Esfuerzo producido bajo carga normal axial Cuando un elemento recto de sección constante, se somete a un par de fuerzas axiales, F, aplicadas en el centroide de la sección transversal, se producen esfuerzos normales en todo el elemento. Bajo algunas condiciones adicionales se dice que este elemento está sometido a carga axial, soportando un esfuerzo uniforme dado por: 𝜎=± F A Donde A es el área de la sección transversal. El signo es positivo si el esfuerzo es de tracción, es decir, cuando la carga es de tracción, se toma el signo negativo para esfuerzos de compresión, producidos al aplicar una carga de compresión. Un ejemplo real de elementos estructurales bajo carga axial es dado por los elementos de la armadura del puente. [Fecha] 21 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA Esta armadura de puente se compone de elementos de dos fuerzas que pueden estar en tensión o en compresión. Deformación lineal en barras. Deformación (δ) se refiere a los cambios en las dimensiones de un miembro estructural cuando este se encuentra sometido a cargas externas. Estas deformaciones serán analizadas en elementos estructurales cargados axialmente, por los que entre las cargas estudiadas estarán las de tensión o compresión. Todo miembro de carga se deforma por la influencia de la carga aplicada. La deformación total de un miembro de carga puede, desde luego,ser medido. Deformación lineal, la cual es perpendicular el eje longitudinal de la viga y se conoce como la flecha de la misma. Se expresa como: δ= (L-Lₒ) Deformación en barras. Al aplicar la carga P, el eje longitudinal se flexiona tomando la forma de una viga curva. Esta forma se conoce como elástica de la viga, así mismo se observa que hay un desplazamiento lineal el cual se conoce como flecha de la viga y un desplazamiento angular conocido como pendiente de la viga. El ángulo que gira a la sección transversal con respecto a su posición original se denomina pendiente de flexión angular. [Fecha] 22 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA La deformación que también se conoce como deformación unitaria, se obtiene dividiendo la deformación total entre la longitud de la barra. Se denota con la letra griega minúscula épsilon. IV. EJEMPLOS: 1. Un perno de acero ( 𝑆 = 8.27 ∗ 1010 𝑃𝑎 ) de 1cm de diámetro, se proyecta 4cm desde la pared. Al extremo se aplica una fuerza cortante de 36.000N. ¿Cuál es la desviación d del perno? Datos Gráfico 𝐒 = 8.27 ∗ 1010 𝑃𝑎 1cm de diámetro Proyección= 4cm F= 36.000N Incógnitas d=? Solución 𝜋𝐷2 𝜋(0.01 𝑚)2 𝐴= = 4 4 Á𝑟𝑒𝑎: 𝐴 = 7.85 ∗ 10−5 𝑚2 𝑆= 𝑑= 𝐹/𝐴 φ = 𝐹/𝐴 𝐹𝑙 = ; 𝑑/𝑙 𝐴𝑑 (36.000 𝑁)(0.04 𝑚) (7.85 ∗ 10−5 𝑚2 )(8.27 ∗ 1010 𝑃𝑎 ) 𝑑= 𝐹𝑙 𝐴𝑆 𝑑 = 0.222𝑚𝑚 [Fecha] 23 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA 2. Un perno de acero tiene una sección transversal de 1.8 ∗ 10−4 𝑚2 y sobresale 3.8 cm de la pared. Si el extremo del perno está sometido a una fuerza cortante de 35kN. ¿Cuál será la flexión hacia abajo del perno? Datos Gráfico −4 2 Sección transversal= 1.8 ∗ 10 𝑚 Sobresale= 3.8 cm F= 35kN Incógnitas d=? Solución 𝐹 𝐹𝑙 𝑆= 𝐴= 𝑑 𝐴𝑑 𝑙 (35.000 𝑁)(0.038 𝑚) 𝐹𝑙 𝑑= = (1.8 ∗ 10−4 𝑚2 )(8.27 ∗ 1010 𝑃𝑎 ) 𝐴𝑆 𝒅 = 8.94 ∗ 10−5 𝑚 [Fecha] 24 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA V. CONCLUSIONES Con esta investigación se analizó la información que se recopilo de distintas LIBROS PAGINAS WEB, para poder entender sobre la TEORIA ELASTICIDAD sirve para describir en diferentes tipos de materiales; si los materiales son elásticos (al se aplicadas fuerzas axiales tienden a recuperar su forma natural), y los materiales plásticos (al ser aplicados fuerzas axiales no recuperan su estado natural). Nos da entender que elasticidad será aplicado en la ingeniería [Fecha] 25 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS Y METALURGIA BIBLIOGRAFÍA VI. http://amoviblesio.blogspot.com/2015/11/compresion-traccion-flexiontorsion.html http://www.construmatica.com/construpedia/Ley_de_Hooke RESISTEN C IA D E M ATERIALES BÁSIC A PARA ESTU D IAN TES D E IN G EN IERÍA, UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES, JORGE EDUARDO SALAZAR TRUJILLO http://blog.360gradosenconcreto.com/que-es-el-modulo-de-elasticidad-en-elconcreto/ https://w3.ual.es/~mnavarro/Tema%206%20%20Elasticidad.pdf Trujillo, J. E. (2007). Ley de la elasticidad de Hooke. Colombia: Centro de publicaciones, Universidad Nacional de Colombia [Fecha] 26
