Naturaleza y propagación de la luz

Ginés Cervantes Linares
Problemas Tema 1:Naturaleza y propagación de la luz.
ÓPTICA FÍSICA
Problemas
CURSO 05/06
Tema 1: Naturaleza y propagación de la luz (ec. de Maxwell)
1.- Demuestra que una combinación lineal de ondas también es solución de la ecuación de ondas.
∂ 2 f ( x, t ) 1 ∂ 2 f ( x, t ) ⎫ Suponemos 2 ondas f(x,t) y g(x,t) como soluciones de la ecuación de ondas.
= 2
⎪
v
∂x 2
∂t 2 ⎪ Imaginamos h(x,t) como una combinación lineal de f(x,t) y g(x,t), siendo A,B
⎬
∂ 2 g ( x, t ) 1 ∂ 2 g ( x, t ) ⎪ constantes.
= 2
v
∂t 2 ⎪⎭
∂x 2
h(x,t)= A·f(x,t)+B·g(x,t), y derivando parcialmente respecto h(x,t):
∂g ( x, t )
∂h( x, t ) ∂( Af ( x, t ) + Bg ( x, t ) )
∂f ( x, t )
=
=A
+B
∂x
∂x
∂x
∂x
2
2
2
∂ f ( x, t )
∂ g ( x, t )
∂ h( x, t ) ∂ ⎛ ∂h( x, t ) ⎞
+B
= ⎜
⎟= A
2
2
∂x ⎝ ∂x ⎠
∂x
∂x 2
∂x
Como f(x,t) y g(x,t) son soluciones de la ecuación de onda (lo supusimos en el enunciado), se ha de cumplir:
∂ 2 f ( x, t )
∂ 2 g ( x, t )
1 ∂ 2 f ( x, t )
1 ∂ 2 g ( x, t )
+
=
+
=
B
A
B
∂x 2
∂x 2
∂t 2
v2
v 2 ∂t 2
∂ 2 g ( x, t ) ⎤ 1 ∂ 2
1 ⎡ ∂ 2 f ( x, t )
[A· f ( x, t ) + B·g ( x, t )]
+
A
B
⎢
⎥=
∂t 2
∂t 2 ⎦ v 2 ∂t 2
v2 ⎣
A
∂ 2 h ( x, t ) 1 ∂ 2 h ( x, t )
y como f y g
= 2
∂x 2
∂t 2
v
son combinación lineal de h(x,t), entonce f(x,t) y f(x,t) son soluciones de la ecuación de onda.
De aquí se deduce que h(x,t) es solución de la ecuación de ondas porque
2.- ¿Cuáles de las siguientes funciones son solución de la ecuación de ondas?
a) y = exp(-k2(x-at)2);
La solución ha de tener la forma f(vt±x)
2
2
2
2
Y = e − k ( x − at ) = e − k ( − ( at − x ) . Por lo que cumple la condición y es solución. v=a
b) y =
cos(3x + t)
3x + t
;
⎛ ⎛
1 ⎞⎞
cos⎜⎜ 3⎜ x + t ⎟ ⎟⎟
3 ⎠⎠
cos(3 x + t )
⎝ ⎝
. También cumple la condición y v=1/3
y=
=
1 ⎞
3x + t
⎛
3⎜ x + t ⎟
3 ⎠
⎝
c) y =
cos(3x + t)
3x − t
;
⎛ ⎛1
⎞⎞
cos⎜⎜ 3⎜ t + x ⎟ ⎟⎟
cos(3 x + t )
⎠⎠
⎝ ⎝3
. Este caso es combinación lineal y hay que hacer derivadas.
y=
=
3x + t
⎞
⎛ 1
3⎜ − t + x ⎟
⎠
⎝ 3
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∂y − 3sen(3 x + t )(3 x − t ) − 3 cos(3 x + t ) − 3sen(3 x + t ) 3 cos(3 x + t )
=
=
−
∂x
(3 x − t )
(3 x − t ) 2
(3 x + t ) 2
∂ 2 y − 9 cos(3 x + t )·(3 x + t ) + 9 sen(3 x + t ) − 9en(3 x + t )·(3 x + t ) 2 − 18(3 x − t ) cos(3 x + t )
=
−
=
(3 x − t ) 2
(3 x − t ) 4
∂x 2
− 9 cos(3 x + t ) 18sen(3 x + t ) 18 cos(3 x + t )
=
+
+
; simplificando
(3 x − t )
(3 x − t ) 2
(3 x − t ) 3
∂ 2 y cos(3 x + t ) 2 sen(3 x + t ) 2 cos(3 x + t )
=
−
+
∂x 2
(3 x − t )
(3 x − t ) 2
(3 x − t ) 3
No es combinación Lineal, no hay solución.
d) y = sen (x-t) + cos (2x+t);
y = sen( x − t ) + cos( 2 x + t )
⎫
⎪
⎬
1
y = sen(−(t − x)) + cos( 2( t + x)⎪
2
⎭
En la de arriba (v=1 y v=1) y en la de abajo (v=1 y v=1/2).
No hay combinación lineal. Hay que hacer derivadas y no dan solución ninguna.
e) y = sen (x-t) + cos (2x+2t);
y = sen( x − t ) + cos(2 x + 2t ) ⎫ y = sen( x − t ) + cos(2 x + 2t ) ⎫
⎬
⎬
y = sen(−t + x)) + cos(2(t + x)⎭ y = sen(−(t − x)) + cos(2(t + x)⎭
En todas v=1, Es combinación lineal. Es solución.
f) y = sen (x-t) + cos (2x-2t);
y = sen( x − t ) + cos(2 x − 2t )
⎫
⎬
y = sen(−(t − x)) + cos(−2(t − x)⎭
En todas v=1, Es combinación lineal. Es solución.
3.- Determina dirección, sentido y velocidad de propagación de las siguientes ondas:
a) →ψ( rr ,t) = A (y-t)2;
ψ ( r , t ) = A( y − t ) 2 ⇒ A(t − y ) 2
- Dirección del eje y.
- Sentido positivo
- Velocidad v=1
b) ψ( rr ,t) = A (Bx+Ct+D)2;
2
⎛ ⎛ Ct + Bx + D ⎞ ⎞
D⎞
2 ⎛ Ct
ψ ( r , t ) = A( Bx + Ct + D ) = A(Ct + Bx + D ) = A⎜⎜ B⎜
⎟ ⎟⎟ = AB ⎜ + x + ⎟
B
B⎠
⎠⎠
⎝ B
⎝ ⎝
→
2
2
2
- Dirección del eje x.
- Sentido negativo
- Velocidad v=C/B
ψ( rr ,t) = A exp[B(z-ct)];
c) →
ψ ( r , t ) = Ae β ( z −ct ) = Ae − β ( ct − z )
- Dirección del eje z.
- Sentido positivo
- Velocidad v=C
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4.- Demuestra que la fase de una onda se puede expresar de todas estas formas:
x
v
ωt - kx = ω (t - ) =
x
1) (wt − kx ) =ω (t - ) ;
ω
c
(ct – nx) = k (vt – x) = 2π (νt -
x
λ
t
T
x
λ
) = 2π ( - ).
v
v=λ·ν= λ·
ν=
w
=w·k
2π
w
λ
; k=
2π
2π
2) ωt - kx =
n=
c
;
v
ω
c
(ct – nx)
1 n
=
v c
3) ωt - kx = k (vt – x)
w=k·v
4) ωt - kx = 2π (νt -
x
λ
)
w=2π·ν
2π
k=
λ
t
T
x
λ
5) ωt - kx =2π ( - )
ν=
1
T
5.- Sea un haz de luz monocromático de longitud de onda en el vacio λ0 = 500 nm. Calcula la velocidad y la
longitud de onda en los siguientes medios:
Vidrio
Medio
Agua Alcohol etílico Cuarzo (SiO2) Fluorita (F2Ca) Sal (ClNa) Diamante
n (λ=589nm) 1.333
1.361
1.544
1.434
1.5
2.419 1.46 – 1.96
a) Agua n(λ=589nm)=1,33
b) Alcohol etílico n(λ=589nm)=1,361
c) Cuarzo n(λ=589nm)=1,544
d) Fluorita n(λ=589nm)=1,434
e) Sal n(λ=589nm)=1,5
f) Diamante n(λ=589nm)=2.419
g) Vidrio n(λ=589nm)=1.46-1.96
3·10 8
500nm
= 2.25·10 8 m / s ⎯
⎯→ λ =
= 375.9nm v
1.33
1.33
3·10 8
500nm
v=
= 2.20·10 8 m / s ⎯
⎯→ λ =
= 367.3nm
1.361
1.361
3·10 8
500nm
v=
= 1.94·10 8 m / s ⎯
⎯→ λ =
= 323.8nm
1.544
1.544
3·10 8
500nm
v=
= 2.09·10 8 m / s ⎯
⎯→ λ =
= 348.6nm
1.434
1.434
3·10 8
500nm
v=
= 2·10 8 m / s ⎯
⎯→ λ =
= 333.3nm
1.5
1.5
3·10 8
500nm
v=
= 1.24·10 8 m / s ⎯
⎯→ λ =
= 206.6nm
2.419
2.419
3·10 8
500nm
v=
= 2.05·10 8 m / s ⎯
⎯→ λ =
= 342.4nm
1.46
1.46
3·10 8
500nm
v=
= 1.53·10 8 m / s ⎯
⎯→ λ =
= 255.1nm
1.96
1.96
v=
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6.- Determina la velocidad, la frecuencia, la longitud de onda, el periodo y la amplitud del campo eléctrico de la
siguientes ondas (en unidades S.I.):
r
a) E = (102 sen [π(3 106 z – 9 1014 t)], 0, 0).
[
]
[
]
E = (10 2 ·sen π (3·10 6 z − 9·1014 t ),0,0 = (10 2 ,0,0 )·sen 3·10 6 πz − 9·1014 t lo cambiamos a coseno metiendo π/2
(10 2 ,0,0)·cos ⎡⎢ π2 − (3·10 6 πz − 9·1014 t )⎤⎥ = (10 2 ,0,0)·cos ⎡⎢9·1014 πt − 3·10 6 πz + π2 ⎤⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
w
2
π
w = 9·1014 rad / s → υ =
= 4.5·1014 Hz → T =
= 2.22·10 −15 s
2π
w
2
π
k = 3·10 6 π (rad / m) → λ =
= 6.67·10 −7 m = 667 nm(luz.roja )
k
c
w
⎯→ n = = 1
v = = λ ·υ = 3·10 8 m / s ⎯
k
v
→
(
→
)
→
A = 10 2 ,0,0 → A = A =
(10 )
2 2
= 10 2 V / m
r
b) E = (103 cos [4 1015 t – 4 106 (3y-4z)], 0, 0).
[
E = (10 3 ·cos (4·1015 t − 4·10 6 (3 y − 4 z )),0,0
→
]
→
E = (10 3 ,0,0) → E 0 = 10 3
w
2π 1
w = 4·1015 rad / s → υ =
= 6.37·1014 Hz → T =
= = 1.59·10 −15 s
2π
w υ
c
w
v = = λ ·υ = 2·10 8 m / s ⎯
⎯→ n = = 1.5 ⎯
⎯→ λ0 = n·λ = 471nm(luz.azul )
v
k
∧
→
∧
∧
→
→
k
= (0,0.6,−0.8)vector.unitario . Si hacemos el producto escalar con E 0 da cero, así
k
comprobamos que son perpendiculares.
s? ⎯
⎯→ k = k ·s → s =
r
7.- Dado el campo eléctrico E = (0, 0, A cos (kx + ωt)), ¿cuál puede ser el campo magnético asociado?
r
a) B = (A sen (kx + ωt), 0, 0);
No puede ser porque no tiene componente z
r
b) B = (0, 0,
A
c
sen (kx + ωt));
No puede ser porque no tiene componente z
r
c) B = (0, -
A
cos
c
(kx + ωt), 0, 0);
∧ → →
Tampoco cumple porque no guarda la relación entre s, E , B
r
d) B = (0, -
A
c
sen (kx + ωt - π/2), 0);
Si pasamo el seno a coseno:
→
π⎞
⎛
⎛π
⎞
⎛ A
⎞
⎯→ B = ⎜ 0, cos( kx + wt ),0 ⎟ Es la solución.
sen ⎜ kx + wt − ⎟ = − sen⎜ − kx + wt ⎟ = − cos(kx + wt ) ⎯
2⎠
⎝
⎝2
⎠
⎝ C
⎠
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8.- Determina completamente el vector campo eléctrico de una onda electromagnética que viaja por un medio
de índice de refracción n = 1.6, y de la que se tienen los siguientes datos:
• Frecuencia: ν = 6 1014 Hz;
• Amplitud del campo eléctrico: E0 = 4.5 V/m;
• Campo magnético paralelo al eje Z;
• sˆ forma un ángulo de 30º con el eje X.
→
→
→∧
E = E 0 cos(wt − k r s)
υ = 6·1014 Hz; ⎯
⎯→ w = 2π ·υ = 1.2·1015 rad / s ⎯
⎯→ K = n·k 0 = n·
→
w
= 6.4·10 6 πrad / m
c
∧ →
Como B es paralelo al eje z, s, E están en el plano x-y.
∧
s forma 30º con el eje x.
⎛ 3 1 ⎞
s = (cos 30º , sen30º ,0) = ⎜⎜
, ,0 ⎟⎟
⎝ 2 2 ⎠
∧
→
E 0 = E 0 ( − sen30º , cos 30º ,0) = E 0 ( −1 / 2,
3
,0 )
2
Si hacemos el producto escalar:
→ ∧
⎛ 3 1
⎞
r = ( x, y, z ) → r ·s = x sx + y sy + z sz = ⎜⎜
x, y,0 z ⎟⎟
2
⎝ 2
⎠
→
Dato: E 0 = 4.5V / m
Agrupando Datos:
→
E = 4.5(−1 / 2,
⎛
⎛ 3 1
⎞⎞
3
,0) cos⎜1.2·1015 πt − 6.4·10 6 π ⎜⎜
x, y,0 z ⎟⎟ ⎟V / m
⎜
⎟
2
2
⎝ 2
⎠⎠
⎝
9.- Supongamos que la energía del Sol nos llega en forma de una onda plana monocromática. Si la Tierra,
supuesta plana, recibe 1000 W/m2 (es decir, unidades del S.I.) cuando el Sol se encuentra a 60º sobre el
horizonte, determina las amplitudes de los campos eléctrico y magnético para la luz solar.
1
2I
ncε 0 E02 ⎯
⎯→ E02 =
ncε 0
2
Así calculamos el campo eléctrico a partir de la intensidad.
Eª
La intensidad de una onda es I =
A
La luz llega con inclinación: A=As·cosα; As=A/cosα
100 A
100
W
Eª
100
Dato: 100 2 =
W / m2 =
→ Eª =
→I=
= 115.472W / m 2
cos α
cos α
As
cos 30º
m
El sol está a 60º sobre la horizontal, con lo que está a 30º respecto de la vertical, entonces:
α = 30º , n = 1, c = 3·10 8 m / s, ε n = 8.85·10 −12 F / m
E
E 0 = 932.65V / m → B0 = 0 = 3.109·10 −6 T
c
Sabemos que I =
10.- Despreciando las pérdidas y la divergencia del haz, calcula la intensidad emitida por un láser de 1 µW cuyo
haz tiene 1.5 mm de diámetro.
P
1·10 −6
I= =
= 0.566W / m 2
A π (0.75·10 −3 ) 2
⎛φ ⎞
Área del círculo= π ·r 2 = π ⎜ ⎟
⎝2⎠
2
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11.- Una fuente puntual cuasimonocromática isotrópica radia 100 W. ¿Cuál es la intensidad a 1 m? ¿Cuáles son las amplitudes de los
r
r
campos E y B ?
P 100
=
= 23.9W / m 2
A 4.19
4
área = π = 4.19m 2
3
I=
⎛E
1
I = ncε 0 ⎜⎜ 0
2
⎝ r
B0 =
2
⎞
E
⎟⎟ → 0 =
r
⎠
E
I ·2
23.9w / m 2 ·2
→ 0 =
= 134.1V / m
ncε 0
r
1·3·10 8 ·8.85·10 −12 F / m
E0
= 4.47·10 −7 T
c
6/6