tema-10-regimen-transitorio

Tema 10: RÉGIMEN TRANSITORIO
10.0
10.1
10.2
10.3
10.4
OBJETIVOS
INTRODUCCIÓN. CIRCUITOS LINEALES DE PRIMER ORDEN.
DESCARGA DE ELEMENTOS CARGADOS SOBRE UNA RESISTENCIA.
RESPUESTA DE UN CIRCUITO A ENTRADA CERO.
RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR
FUENTES.
10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE C.C. Y CONDICIONES INICIALES NULAS.
10.3.2 FUENTES DE CORRIENTE ALTERNA Y CONDICIONES INICIALES NULAS.
10.3.3 CIRCUITOS CON CONDICIONES INICIALES NULAS ALIMENTADOS CON
FUENTES QUE NO SON NI C.C. NI C.A.
BIBLIOGRAFIA
10.0 OBJETIVOS
•
•
•
•
•
•
•
Saber que es el orden de un circuito lineal y de que factores depende.
Comprender la importancia de la constante de tiempo en los circuitos
lineales de primer orden.
Aprender a calcular la constante de tiempo.
Indicar casos reales de circuitos de primer orden.
Diferencias en un circuito de primer orden las respuestas a entrada 0 y
estado 0.
Diferenciar entre respuesta natural y forzada de un circuito.
Conocer la respuesta completa de un circuito de primer orden.
2
10.1 INTRODUCCIÓN. CIRCUITOS LINEALES DE PRIMER ORDEN. (1)
Régimen Transitorio: Cuando se produce un cambio en las
magnitudes de un circuito, tensión o corriente, decimos que el
circuito está en régimen transitorio. Al cambiar las condiciones de
un elemento de un circuito se pierde el régimen permanente, y tras
sucederse los cambios de tensión/ corriente se vuelve de nuevo al
equilibrio en otro régimen permanente. Al intervalo entre los dos
regimenes permanentes se le denomina régimen transitorio.
Circuitos de primer orden: Los cambios en las magnitudes que se
dan durante el régimen transitorio se pueden representar mediante
una ecuación diferencial. Cuando en el circuito solo existen
elementos almacenadores de una sola naturaleza, la ecuación será
de primer orden, y decimos que el circuito es de primer orden.
d f (t ) 1
+ ⋅ f (t ) = g (t )
dt
τ
3
10.1 INTRODUCCIÓN. CIRCUITOS LINEALES DE PRIMER ORDEN. (2)
d f (t ) 1
+ ⋅ f (t ) = g (t )
dt
τ
i(t)
Circuitos RC: τ
Circuitos RL
i2(t)
L
du(t )
u (t )
+C
⇒
R
dt
1
du(t )
1
⋅ i (t ) =
+
⋅ u (t )
C
dt
R ⋅C
du(t )
1
g ' (t ) =
+
⋅ u (t )
dt
R ⋅C
i (t ) = iR (t ) + iC (t ) =
τ =
L
R
u (t ) 1
+ ∫ u(t )dt ⇒
R
L
di (t ) 1 du ( t ) 1
d i (t ) d u ( t ) R
=
+ ⋅ u (t ) ⇒ R
=
+ ⋅ u (t )
dt
R dt
L
dt
dt
L
du(t ) R
g (t ) =
+ ⋅ u (t )
dt
L
i (t ) = i R (t ) + i L ( t ) =
i1(t)
R/G
= R ⋅C
i(t)
i2(t)
i1(t)
C
R
Estos son ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden por tener dos
variables
4
10.1 INTRODUCCIÓN. CIRCUITOS LINEALES DE PRIMER ORDEN. (3)
La respuesta obtenida al resolver la ecuación diferencial tiene 2 componentes:
SOLUCION DE LA HOMOGENEA (fh(t)) Y SOLUCIÓN PARTICULAR(fp(t))
d f (t ) 1
+ ⋅ f (t ) = g (t )
τ
dt
d f (t ) 1
+ ⋅ f (t ) = 0
dt
τ
→
→
f (t ) = k ⋅ e
f (t ) = fh (t ) + fp (t )
fp (t ) = f∞ (t )
1
− ⋅( t −t 0 )
τ
Respuesta en el nuevo
régimen permanente
Respuesta en el periodo transitorio
f (t ) = fh (t ) + fp (t ) = k ⋅ e
1
− ⋅( t −t 0 )
τ
+ f∞ (t )
Para obtener el valor de la constante k, emplearemos las condiciones iniciales:
t = t0
Solución:
→
f (t0 ) = fh (t0 ) + fp (t0 ) = k ⋅ e
f (t ) = (f (t0 ) − f∞ (t0 )) ⋅ e
1
− ⋅0
τ
1
− ⋅( t − t 0 )
τ
+ f∞ (t0 ) = k + f∞ (t0 )
y
k = f (t0 ) − f∞ (t0 )
+ f∞ (t )
Expresión más habitual de la solución:
f (t ) = f∞ (t ) − (f∞ (t0 ) − f (t0 )) ⋅ e
1
− ⋅( t − t 0 )
τ
5
10.1 INTRODUCCIÓN. CIRCUITOS LINEALES DE PRIMER ORDEN. (4)
f (t ) = f∞ (t ) − (f∞ (t0 ) − f (t0 )) ⋅ e
1
− ⋅( t − t 0 )
τ
Para obtener la respuesta transitoria del circuitos de primer orden:
1. Se calcula el valor inicial: f(t0).
2. Se obtiene la respuesta en régimen permanente final: f∞(t).
3. Se determina la respuesta en régimen permanente en el instante inicial: f∞(t0)
4. Se define la constante de tiempo: τ.
Para determinar los valores iniciales de la tensión y la corriente se tendrá en
cuenta las características propias de la bobina y el condensador
-El condensador no permite cambios bruscos de tensión:
uc (t0+ ) = uc (t0− )
-La bobina no permite cambios bruscos de corriente:
iL (t0+ ) = iL (t0− )
6
10.2 DESCARGA DE ELEMENTOS CARGADOS SOBRE UNA RESISTENCIA. RESPUESTA DE UN
CIRCUITO A ENTRADA CERO. (1)
i(t)
RC
+
U0
t=0
+
E
2
2
1
C
U0=E
R
U0=E
∀t ≥ 0
∀t < 0
REGIMEN ESTACIONARIO:
El condensador está cargado,
en sus bornes tiene una
tensión de valor U0=E V
u(t)
C
R
U=0
C
REGIMEN TRANSITORIO: El condensador
comienza a descargarse sobre la
resistencia. Se establece una circulación de
corriente y una tensión en R igual a la
tensión en C.
La corriente en el condensador
La ecuación que define el circuito en
régimen transitorio se obtiene del
circuito para t>0:
1t
u(t ) = R·i (t ) = U0 − ∫ i (t )dt
C0
En el circuito del régimen transitorio se
puede sustituir el condensador cargado
por una fuente de tensión con el valor
de la tensión del condensador en el
instante t=0, en serie con un condensador
descargado para obtener la ecuación que
define el reg. transitorio.
i (t ) = i ∞ (t ) − (i ∞ (0) − i (0)) ⋅ e
ó:0 =
1
⋅( t − 0 )
RC
1
1
d i (t )
1
= 0 − i (t )
dt
C
−
E  − ⋅t

i (t ) = 0 −  0 − e RC
R

E − ⋅t
i (t ) = e RC
R
derivando :
R
R
u(t)
1
d i (t )
i (t ) +
RC
dt
Exponencial
decreciente
i(t)
E/R
f (t ) = f∞ (t ) − (f∞ (t0 ) − f (t0 )) ⋅ e
1
− ⋅( t −t 0 )
τ
La ecuación se resuelve según la respuesta tipo.
ζ
5ζ
t
7
10.2 DESCARGA DE ELEMENTOS CARGADOS SOBRE UNA RESISTENCIA. RESPUESTA DE UN
CIRCUITO A ENTRADA CERO. (2)
RC
La Tensión en el condensador
2
La ecuación que define el circuito en régimen
transitorio donde aparece como variable la
tensión es la siguiente, obtenida a partir del
circuito en régimen transitorio:
u (t )

 u(t )
d u (t )
R
= −C
;

d u (t )  R
dt
i (t ) = −C
dt 
i (t ) =
du ( t )
u(t ) + RC
=0
dt
u(t)
U0=E
R
C
u(t ) = u∞ (t ) − (u∞ (0) − u(0)) ⋅ e
u(t ) = 0 − (0 − E )e
u(t ) = Ee
−
−
−
1
⋅( t − 0 )
RC
1
⋅t
RC
1
⋅t
RC
u(t)
E
f (t ) = f∞ (t ) − (f∞ (t0 ) − f (t0 )) ⋅ e
1
− ⋅( t −t 0 )
τ
ζ
5ζ
t
8
10.2 DESCARGA DE ELEMENTOS CARGADOS SOBRE UNA RESISTENCIA. RESPUESTA DE UN
CIRCUITO A ENTRADA CERO. (3)
RL
2
t=0
1
+
2
R
u(t)
1
1
i(t)
I0=E/R
E
R
L
I0=E/R
∀t ≥ 0
∀t < 0
REGIMEN
PERMANENTE:
La bobina está cargada, la
corriente que circula por ella
en el instante t=0 vale:
I0=E/R. La tensión es nula en
bornes de la bobina.
u(t)
L
u(t)
L
REGIMEN TRANSITORIO: La bobina
comienza a descargarse sobre la
resistencia. Aparece tensión en bornes de
la bobina.
La Tensión en bornes de la bobina
R
I0
En el circuito del régimen transitorio se
puede sustituir la bobina cargada por una
fuente de corriente con el valor de la
corriente de la bobina en el instante t=0,
en paralelo con una bobina descargada a
fin de obtener la ecuación que define el
reg. transitorio.
u(t)
Ri0
La ecuación que define el circuito en
régimen transitorio se obtiene del
circuito para t>0:
i (t ) = −
t
1
u (t )
= i 0 + ∫ u(t )dt
R
L0
derivando :
1 d u (t )
1
−
= 0 + u (t )
R dt
L
R
d u (t )
ó : 0 = u (t ) +
L
dt
ζ
5ζ
u(t ) = u∞ (t ) − (u∞ (0) − u(0)) ⋅ e
u(t ) = 0 − (0 − R ⋅ I0 )e
u ( t ) = R ⋅ I 0e
−
−
−
t
R
⋅( t − 0 )
L
R
⋅t
L
R
⋅t
L
9
10.2 DESCARGA DE ELEMENTOS CARGADOS SOBRE UNA RESISTENCIA. RESPUESTA DE UN
CIRCUITO A ENTRADA CERO. (4)
RL
La corriente por la bobina
La ecuación que define el circuito en
régimen transitorio se obtiene del
circuito para t>0:
u(t ) = −R·i (t )
d i (t )

;
d i (t )  − R·i (t ) = L
d
t
u(t ) = L
dt 
R
d i (t )
i (t ) +
=0
L
dt
i (t ) = i ∞ (t ) − (i ∞ (0) − i (0)) ⋅ e
i (t ) = 0 − (0 − I0 )e
i (t ) = I0e
f (t ) = f∞ (t ) − (f∞ (t0 ) − f (t0 )) ⋅ e
−
1
− ⋅( t −t 0 )
τ
−
−
R
⋅( t −0 )
L
R
⋅t
L
R
⋅t
L
i(t)
I0
ζ
5ζ
t
10
10.2 DESCARGA DE ELEMENTOS CARGADOS SOBRE UNA RESISTENCIA. RESPUESTA DE UN
CIRCUITO A ENTRADA CERO. (5)
f (t ) = A e
1
− ⋅t
τ
Todas las funciones que se han obtenido en las descargas del condensador y
de la bobina tanto para tensiones como para corrientes son funciones
exponenciales decrecientes. Veamos como es su representación gráfica.
f(t)
A
τ
5τ
t
f(t)
t
A
0
A·e-1=0,36A
τ
A·e-5=0,006A
5τ
Para valores mayores de
5τ se supone alcanzado
régimen permanente pues
el valor que toma la función
es insignificante.
11
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (1)
El estado inicial cero significa que los elementos almacenadores no tienen energía
almacenada en el instante inicial.
circuito
R-C
iR(t)
iC(t)
t=0
i(t)
R
u(t)
C
0=
Homogénea:
u (0 ) = 0
u (t )
d u (t )
i (t ) =
+C
→ u (t ) = uh (t ) + u p (t )
R
dt
u (t )
d u (t )
1
d u (t )
+C
=
u (t ) +
R
dt
RC
dt
donde la solución de la homogénea : uh (t ) = k1e
=
Respuesta
−
1
t
RC
+
Solución particular: up(t) la solución permanente
dependerá de la naturaleza de la fuente de alimentación.
d f (t ) 1
+ ⋅ f (t ) = g (t ) → f (t ) = fh (t ) + fp (t )
dt
τ
12
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (2)
Circuito R-L
i(t)
t=0
+
R
uR(t)
u(t ) = R·i (t ) + L
u(t)
L
uL(t)
Homogénea:
Respuesta
i (0) = 0
+
0 = R·i (t ) + L
d i (t )
→ i (t ) = i h (t ) + i p (t )
dt
d i (t )
L d i (t )
= i (t ) +
dt
R dt
donde la solución de la homogénea : i h (t ) =
R
− t
k1e L
Solución particular: ip(t) la solución permanente
dependerá de la naturaleza de la fuente de
alimentación.
13
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (3)
10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE C.C. Y CONDICIONES INICIALES NULAS.(1)
Circuito R-C
t=0
iR(t)
i(t)=I
R
1

−
·t
uh (t ) = k1·e RC

u(t ) = uh (t ) + u p (t )
u (t ) ≡ En función del régimen permanante .
 p

iC(t)
U(t)
C
En régimen permanente y c.c. el condensador es un interruptor abierto, así: up(t)=R·I
u(t ) = k1·e
−
1
·t
RC
+ R·I
Sabemos que u(0)=0, lo utilizamos para determinar k1 el condensador no permite cambios
bruscos de tensión.
u(0) = 0 = k1·e
−
k1 = R·I
1
·0
RC
+ R·I
u(t)
RI
Así la expresión de la tensión:
1 

−
·t
u(t ) = R·I 1 − e RC 




ζ
5ζ
t
14
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (4)
10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE C.C. Y CONDICIONES INICIALES NULAS.(2)
Circuito R-C
u(t)
RI
1 

−
·t

u(t ) = R·I 1 − e RC 




ζ
5ζ
t
A partir de la expresión de la tensión se pueden obtener las corrientes:
t=0
1
iR(t)
i(t)=I
R
iC(t)
U(t)
C
−
t
d u (t )
iC (t ) = C·
= I·e RC
d (t )
i(t)
I
iR(t)
1 

−
·t
u (t )
i R (t ) =
= I·1 − e RC 


R


iC(t)
ζ
5ζ
t
iR (t ) + iC (t ) = I
15
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (5)
10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE C.C. Y CONDICIONES INICIALES NULAS.(3)
Circuito R-L
R

− ·t
i h (t ) = k1·e L

i (t ) = i h (t ) + i p (t )
i (t ) ≡ Según régimen permanente .
p

i(t)
t=0
+
R
uR(t)
L
uL(t)
u(t)
En c.c. y régimen permanente la bobina es un interruptor cerrado:ip(t)=U/R
i (t ) =
R
− ·t
k1·e L
+
U
R
i(0)=0 con esta condición obtendremos k1 (la bobina no admite cambios bruscos de i )
i (0 ) = 0 =
R
− ·0
k1·e L
+
U
R
i(t)
i(t)
U/R
U
k1 = −
R
Así la expresión de la corriente:
− ·t 
U
i (t ) =  1 − e L 

R


R
ζ
5ζ
t
16
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (6)
10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE C.C. Y CONDICIONES INICIALES NULAS.(4)
Circuito R-L
i(t)
i(t)
U/R
U
i (t ) =
R
R

− ·t 
1 − e L 




ζ
t
5ζ
A partir de la expresión de la corriente se pueden lograr las de las tensiones:
u(t)
i(t)
i(t)
t=0
+
R
uR(t)
R

− ·t 

uR (t ) = R·i (t ) = U 1 − e L 




u(t)
L
uL(t)
uL (t ) = L·
di ( t )
d(t )
R
− t
= U ·e L
U
uR(t)
uL(t)
ζ
5ζ
t
uR ( t ) + uL ( t ) = U
17
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (7)
10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE C.C. Y CONDICIONES INICIALES NULAS.(5)
f (t ) = f∞ (t ) − (f∞ (t0 ) − f (t0 )) ⋅ e
1
− ⋅( t − t 0 )
τ
A partir de la ecuación de la solución se puede simplemente lograr las respuestas a los circuitos
tratados. Trabajando para ello con la tensión en el caso de circuito RC ya que el valor de la tensión
no experimenta cambios bruscos en el condensador y trabajando con la corriente en circuitos RL
donde la bobina no experimenta cambios bruscos de corriente. De esta forma serán conocidos
uc(0) e iL(0) respectivamente.
(
)
uC (t ) = uC ∞ (t ) − uC ∞ (t0 ) − uC (t0 ) ⋅ e
con t0 = 0
1
− ⋅( t − t 0 )
τ
(
)
i L (t ) = i L ∞ ( t ) − i L ∞ ( t 0 ) − i L ( t 0 ) ⋅ e
con t0 = 0
t=0
iR(t)
R
iC(t)
U(t)
τ
i(t)
i(t)
t=0
+
i(t)=I
1
− ⋅( t − t 0 )
R
uR(t)
L
uL(t)
u(t)
C
U
R

1
U
U U − RC t
i L ∞ (0) =  i L (t ) = − ·e
R
R R
i L (0) = 0 


i L ∞ (t ) =
uC ∞ (t ) = RI 
1
−
t

uC ∞ (0) = RI  uC (t ) = RI − RI·e RC

uC (0) = 0 
18
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (8)
10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE C.C. Y CONDICIONES INICIALES NULAS.(6)
1

− ⋅t 
f (t ) = A  1 - e τ 




Todas las funciones que se han obtenido en las cargas del condensador y de
la bobina con fuentes de c.c. tanto para tensiones como para corrientes son
funciones exponenciales crecientes. Veamos como es su representación
gráfica.
f(t)
τ
5τ
A
t
f(t)
t
0
0
0,64A
τ
0,994A
5τ
Para valores mayores de
5τ se supone alcanzado
régimen permanente pues
el valor que toma la función
es prácticamente A.
19
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (9)
10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE CORRIENTE ALTERNA Y CONDICIONES INICIALES NULAS.(1)
Circuito R-L
Respuesta: homg+part.
f (t ) = f ∞ (t ) − ( f ∞ (t0 ) − f (t0 ))⋅ e
Es preferible trabajar con la corriente por no
permitir la bobina saltos bruscos de corriente
así sabemos que: iL (0 − ) = iL ( 0 + ) = 0
(
)
iL (t ) = iL ∞ (t ) − iL ∞ (t0 ) − iL (t0 ) ⋅ e
1
− ⋅(t −t 0 )
τ
1
− ⋅( t − t 0 )
τ
i(t)
i(t)
t=0
+
u (t ) = U 2 cos ωt = U∠0 º V
~
L
donde t0 = 0, iL (0) = 0 y τ =
R
R
uR(t)
L
uL(t)
En régimen permanente se trata de un circuito de c.a. por tanto:
I=
U
U
= ∠0 º = I∠ −ϕ º A
R + jωL Z∠ϕ º
Respuesta: función coseno + función
exponencial decreciente.
i ∞ (t ) = I 2 cos(ωt − ϕ )
y
i ∞ (0) = I 2 cos(− ϕ )
i (t ) = I 2 cos (ωt − ϕ ) − I 2 cos (− ϕ ) ⋅ e
−
R
t
L
20
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (10)
10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE CORRIENTE ALTERNA Y CONDICIONES INICIALES NULAS.(2)
i (t ) = I 2 cos(ωt − ϕ ) − I 2 cos(− ϕ )
R
− t
⋅e L
sinusoidal
exponencial
resultante
Para obtener las tensiones del circuito podemos emplear la expresión de la
corriente:
uR (t ) = R·iL (t )
uL (t ) = eg (t ) − uR (t ) = L
d iL
dt
21
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (11)
10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE CORRIENTE ALTERNA Y CONDICIONES INICIALES NULAS.(3)
Circuito R-C
Respuesta: homg+part. f (t ) = f (t ) − ( f (t ) − f (t ) )⋅ e
∞
∞ 0
0
1
− ⋅( t − t 0 )
τ
i(t)
i(t)
R
t=0
C
eg (t ) = E 2 cos ωt = E∠0 º V
~
(
uC(t)
)
−
1
uC ( t ) = u C ∞ ( t ) − uC ( t 0 ) − uC ( t 0 ) ⋅ e τ
∞
con : t 0 = 0, uC ( t 0 = 0 ) = 0 y τ = RC
⋅( t − t 0 )
Es preferible trabajar con la tensión por no
permitir el condensador saltos bruscos de
tensión así sabemos que: uc (0− ) = uc (0 + ) = 0
En régimen permanente se trata de un circuito de c.a. por tanto: :
I=
E
=
E∠0 º
= I ∠ϕ º A
Z∠−ϕ º
1
R−j
ωC
 1 
 I 
Uc= 
I
=
·
∠
º
ϕ
 ωC 
 ωC  ∠−90 º
∠ϕ −90 º
I
2 cos(ωt + ϕ − 90º )
ωC
I
uc∞ (0) =
2 cos(ϕ − 90º )
ωC
uc∞ (t ) =
Respuesta: función coseno + función
exponencial decreciente.
1
I
 I
 − t
uc (t ) =
2 cos(ωt + ϕ − 90º ) − 
2 cos(ϕ − 90º ) ⋅ e RC
ωC
 ωC

22
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (12)
10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE CORRIENTE ALTERNA Y CONDICIONES INICIALES NULAS.(4)
1
I
 I
 − t
uc (t ) =
2 cos(ωt + ϕ − 90 º ) − 
2 cos(ϕ − 90 º ) ⋅ e RC
ωC
 ωC

sinusoidal
exponencial
resultante
Para obtener otras variables del circuito podemos emplear la expresión de la tensión
conocida uc(t):
uR (t ) = eg (t ) − uc (t )
ic (t ) = C·
duc
dt
23
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (13)
10.3.3 CIRCUITOS CON CONDICIONES INICIALES NULAS ALIMENTADOS CON FUENTES QUE NO SON NI
C.C. NI C.A.( 1)
La respuesta como en todos los casos anteriores es la suma de la respuesta de
la homogénea y la particular.
i(t)
i(t)
t=0
R=2Ω
Ω
uR(t)
e(t ) = uR (t ) + uL (t ) = R·i (t ) + L
eg(t)=2t
L=0,5H
d i (t )
dt
uL(t)
Solución de la homogénea: i (t ) = k1e
R
− t
L
Solución particular: Para obtener la solución del régimen permanente hay que
tener en cuenta que la respuesta permanente de una ecuación diferencial lineal
esta compuesta por términos proporcionales a la excitación y a sus sucesivas
derivadas.
n
i ∞ (t ) = k0e + k1e'+k2e' '+... + kne + kn +11
Para el ejemplo:
e(t ) = 2t
i ∞ (t ) = k0 2t + k12 + k2 0 = At + B
24
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (14)
10.3.3 CIRCUITOS CON CONDICIONES INICIALES NULAS ALIMENTADOS CON FUENTES QUE NO SON NI
C.C. NI C.A.( 2)
Para el ejemplo:
e(t ) = 2t
i ∞ (t ) = k0 2t + k12 + k2 0 = At + B
Para determinar los valores de A y B, vamos a sustituir esta expresión
obtenida en la ecuación diferencial:
d i (t )
dt
d ( At + B )
2t = 2( At + B) + 0,5·
dt
2t = 2At + 2B + 0,5 A
e(t ) = R·i (t ) + L
Identificando
términos
Respuesta: i (t ) = k1e − 4t + t − 1 
 4 
con i (0) = 0
i (t ) =
2A = 2

1
A = 1 y B = −
2B + 0,5A = 0
4
1 − 4t  1 
e + t − 
4
 4
1
1
1

0 = k1e − 4·0 + 0 −  = k1 − → k1 =
4
4
4

25
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (15)
10.3.3 CIRCUITOS CON CONDICIONES INICIALES NULAS ALIMENTADOS CON FUENTES QUE NO SON NI
C.C. NI C.A.( 3)
i (t ) =
1 − 4t  1 
e + t − 
4
 4
Para determinar las tensiones también en este caso emplearemos la
expresión de la corriente:
d i (t )
uL (t ) = L
dt
uR (t ) = R ⋅ i (t )
i(t)
i(t)
t=0
R=2Ω
Ω
uR(t)
eg(t)=2t
L=0,5H
uL(t)
Para nuestro ejemplo:
1
1
uL (t ) = − e − 4t +
2
2
1
1
uR (t ) = e − 4t + 2t −
2
2
26
10.4 BIBLIOGRAFIA
• V.M. Parra Prieto y otros, Teoría de Circuitos, Universidad Nacional de Educación a
Distancia. Madrid 1990.
• E. Alfaro Segovia, Teoría de Circuitos y Electrometría. El autor, Madrid 1970. Capitulo
XI, lección 29.
• W.H. Hayt. JRy J.E. Kennerly, Análisis de Circuitos en Ingeniería, Ediciones del
Castillo, Madrid 1966. Segunda parte; capítulos 5 y 6.
• Z. Aginako y otros, Zirkuituen Teoriako 100 Ariketa, Elhuyar, Usurbil 2006.
8. atala.
• P. Sánchez Barrios y otros, Teoría de Circuitos, Pearson Educación, Madrid 2007.
Capitulo 4.
• A. Gómez, J.A. Olivera, Problemas resueltos de Teoría de Circuitos, Paraninfo, Madrid
1990
Capitulo 4.
• A. Gómez y otros, Teoría de Circuitos, Ejercicios de autoevaluación, Thomson, Madrid
2005.
Capítulo 6.
• J.A. Edminister, M. Nahvi, Circuitos Eléctricos (Problemas resueltos) McGraw Hill,
Madrid 1997.
Capítulo 7.
27