EJERCICIO 1 Antes de convenir en la compra de un pedido grande de hojas de polietileno para un tipo particular de cables eléctricos de alta presión llenos de aceite para submarino, una compañía desea ver evidencia concluyente de que la verdadera desviación del grosor del forro es menor de 0.05 mm. Cuales hipótesis debe probarse y porque? EJERCICIO 2 Denotemos por p la proporción de todos los votantes registrados en cierta región que están a favor del candidato A sobre el B en la carrera por elegir supervisor del condado. Considere probar Ho : p = 0.5 Versus Ha p≠0.5 con base a una muestra aleatoria de 25 votantes registrados. Denotemos por X el número de la muestra que están a favor de A y representemos por x el valor observado de X. A. Cuál de las siguientes regiones de rechazo es más adecuada y porque? R1 = {X: x<=7 o x>=18}, R2= {x: x<= 8}, R3= {x: x=> 17}, B. En el contexto de esta situación de este problema describa cuales son los errores tipo I y tipo II. C. Cuál es la distribución de probabilidad del estadístico de prueba X cuando Ho es verdadera? Utilícela para calcular la probabilidad del error tipo I rta 0.044 D. Calcule la probabilidad del error tipo II para la región seleccionada cuando p = .3 otra vez cuando p = 0.4 y también para p= .6 y p = .7 rta 0.845 E. Mediante el uso de la región seleccionada que se concluye si 6 de los 25 entrevistados favorecieron a A. Rechazo de Ho, y favorece Ha EJERCICIO 3 Una mezcla de ceniza pulverizada de combustible y cemento Portland para usarse como lechada debe tener una resistencia a la comprensión de más de 1300 KN/m2. La mezcla no se utilizara a menos que una evidencia experimental indique de manera concluyente que se ha satisfecho la especificación de resistencia. Supongamos que la resistencia a la comprensión para especímenes de esta mezcla está distribuida normalmente con σ=60. Denotese por µ= el verdadero promedio de resistencia a la compresión. A. Cuáles son las hipótesis nula y alternativas adecuadas? B. Denotemos por el promedio de resistencia muestral compresiva para n= 20 especímenes seleccionados al azar. Considere el procedimiento de prueba con estadístico de prueba ¿Cuál es la distribución de probabilidad del estadístico de prueba cuando Ho. Es verdadera? Cuál es la probabilidad de que un error tipo I para el procedimiento de prueba? C. Cuál es la distribución de probabilidad del estadístico de prueba usando µ= 1350? Mediante el uso del procedimiento de prueba en la parte B. Cuál es la probabilidad de que en la mezcla se considere no satisfactoria cuando de hecho µ = 1350 (Un error tipo II)? D. Como cambiaría el lector el procedimiento de prueba en la parte B. para obtener una prueba con nivel de significación de 0.05 ¿Qué impacto tendría este cambio en la probabilidad de error en la parte C. E. Considere el estadístico de prueba 1300/13.42. Cuales son los valores de Z correspondientes a la región de rechazo de la parte B. EJERCICIO 4. Un fabricante de aparatos de tv. Afirma que se necesitan a lo sumo 250 microamperes (µA) de corriente para alcanzar cierto grado de brillantez con un tipo de televisor en particular. Una muestra de 20 aparatos produce un promedio de corriente de = 257.3. Denotemos por µ el verdadero promedio de corriente necesaria para alcanzar la brillantez deseada con aparatos de este tipo, y supongamos que µ es la media de la población normal con σ= 15 A. Pruebe al nivel 0.05 la hipótesis nula de que µ es a la sumo 250 contra la alternativa apropiada. B si µ= 260 Cuál es la probabilidad del error tipo II. EJERCICIO 5. Denotases por µ el verdadero promedio de duración (superficie de rodamiento) de un neumático. Consideremos probar Ho: µ= 20000 Versus Ha: µ>20000 con base en una muestra de tamaño n = 16 de una población con distribución normal con σ= 1500. Una prueba con α= 0.01 requiere zα= z0.01= -2.33. A. La probabilidad de hacer un error tipo II cuando µ= 21000 es decir β(21000)., y B determínese su tamaño. , teniendo en cuenta que Zβ =1.28 = Z0.1 EJERCICIO 6 El porcentaje deseado de SiO2 en cierto tipo de cemento aluminoso es de 5.5 . Para probar si el verdadero promedio de porcentaje es de 5.5 para una planta de producción en particular, se analizaron 16 muestras obtenidas de manera independiente. Supongamos que el porcentaje de SiO2 en una muestra esta normalmente distribuido con σ= 0.3 y que = 5.25 a. Indica esto de manera concluyente que el verdadero promedio de porcentaje difiere de 5.5? Realice el análisis empleando la secuencia de pasos sugerida en clase? B. Si el verdadero promedio de porcentaje es de µ= 5.6 y se utiliza una prueba a nivel α= 0.01 con base e n= 16, Cual es la probabilidad de detectar esta desviación desde H0?(Calculo de la Potencia de la prueba de hipótesis ) c. Que valor de n se requiere para satisfacer α=0.01 y β(5.6)= 0.01 EJERCICIO 7 Para obtener información sobre las propiedades de resistencia a la corrosión de cierto tipo de tubo de acero, se enterraron 35 especímenes en el suelo durante un periodo de 2 años. La penetración máxima (en milésimas de pulgada) para cada espécimen se midió entonces, y se obtuvo un promedio de penetración muestral de = 52.7 y una desviación estándar muestral de s = 4.8. Los tubos fueron fabricados con la especificación de que el verdadero promedio de penetración fuera a lo sumo de 50 milésimas de pulgada. Para ver si la información experimental indica que las especificaciones no se satisfacen pruebe H1: µ> 50 usando una prueba de muestras grandes con α= 0.05 EJERCICIO 8 La prueba impacto Charpy de muesca en V es la base para estudiar muchos criterios de resistencia de materiales. Se le aplico esta prueba a 32 muestras de una aleación especial a 1100F. Se calculó que el promedio de la cantidad muestral de expansión lateral transversal fue de 73.1 milésimas de pulgada, y la desviación estándar muestral fue de s = 5.9 milésimas de pulgada. Para ser adecuada para una aplicación en particular, el verdadero promedio de cantidad de expansión debe ser menor de 75 milésimas de pulgada. La aleación no se utilizara a menos que la muestra proporcione fuerte evidencia de que este criterio se ha satisfecho. Pruebe las hipótesis pertinentes empleando α= 0.01 para determinar si la aleación es adecuada. EJERCICIO 9 La cirugía menor en caballos en condiciones de campo requiere una anestesia confiable de corta duración que produzcan buena relajación muscular, mínimos cambios cardiovasculares y respiratorios, así como una recuperación rápida y homogénea con mínimos efectos secundarios, de modo que los caballos puedan recuperarse sin más atención.. El articulo X, reporta que una muestra de n = 73 caballos a los que se les administró ketamina bajo ciertas condiciones, el promedio muestral de tiempo de recumbencia lateral ( caballo echado) fue de 18.6 min y la desviación estándar fue de 8.6 min ¿Sugiere esta información que el verdadero promedio de tiempo de recumbencia lateral bajo estas condiciones es menor de 20 minutos? Pruebe las hipótesis pertinentes al nivel de significación 0.10 EJERCICIO 10 La ingestión recomendada de dieta diaria de cine entre hombres mayores de 50 años es de 15 mg/dia. El Articulo X reporta la siguiente información resumida sobre ingestión para una muestra de hombres entre 65 y 74 años de edad n= 115 = 11.3 y s = 6.43 ¿Indica esta información que el promedio diario de ingestión de zinc en la población de todos los hombres entre 65 y 74 años cae debajo de la recomendada? Utilice un alfa = 0.05 EJERCICIO 11 Se determinó que cierto tipo de suelo tiene un valor natural medio de pH de 8.75 . Los autores del artículo X trataron muestras de suelos con varias diluciones de aguas residuales acidas. Se trataron cinco muestras de suelo con una solución de 25% de aguas residuales. La media y desviación estándar de las 5 mediciones de pH fueron 8.00 y 0.05 respectivamente. ¿Indica esta información que a esta concentración las aguas residuales resultan en una media de pH que difiere del pH natural del suelo? Utilice una prueba de nivel 0.01 EJERCICIO 12 Se seleccionó una muestra de 12 detectores de radón de cierto tipo, y cada una se expuso a 100 pCi/L de radón. Las lecturas resultantes fueron como sigue: 105,6 90,9 91,2 96,9 96,5 91,3 100,1 105 99,6 107,7 103,3 92,4 a. Sugiere esta información que la lectura media de población bajo estas condiciones difiere de 100?. Establezca y pruebe las hipótesis pertinentes mediante α= 0.05 b. Suponga que antes del experimento se supuso un valor de σ= 7.5 ¿Cuantas determinaciones hubieran sido apropiadas para obtener β= 0.10 para la alternativa µ= 95? EJERCICIO 13 Los registros de Dirección de vehículos de Motor indican que todos los vehículos que se sometieron a prueba de verificación de emisiones durante el año anterior, 70% pasaron al primer intento. Una prueba aleatoria de 200 automóviles probada en un condado en particular durante el año actual indica que 156 pasaron en la prueba inicial. ¿Sugiere esto que la verdadera proporción de este condado durante el año actual difiere de la proporción anterior en el ámbito estatal? Pruebe las hipótesis pertinentes usando α= 0.05 EJERCICIO 14 Una Compañía telefónica está tratando de determinar si algunas líneas en una gran comunidad deben instalarse subterráneas. Debido a que se hará un pequeño cargo adicional en las cuentas telefónicas para pagar los costos extra de la instalación, la compañía ha determinado hacer un estudio entre los clientes y continuar si el estudio fuertemente indica que más de del 60% de todos los clientes están a favor de la instalación subterránea. Si 118 de 160 clientes entrevistados están a favor de esta instalación a pesar del cargo adicional ¿Qué debe hacer la compañía? Pruebe la hipótesis pertinentes usando α= 0.05 EJERCICIO 15 El articulo X e el que se dijo que había discriminación contra los negros en la selección del gran jurado. Los datos de un censo sugirieron que 25% de los elegibles para prestar servicio como gran jurado eran negros, pero una muestra aleatoria de 1050 llamadas para presentarse a un posible servicio dio solo 177 negros. Mediante el uso de una prueba de nivel de 0.01 ¿Indican fuertemente estos datos que se concluye que hay mas discriminación? VALORES P. EJERCICIO 16 ¿Para cuál de los valores P dados sería rechazada la hipótesis nula se realice una prueba a nivel 0.05? a. 0.001 b. 0.021 c. 0.078 d. 0.047 e. 0.148 EJERCICIO 17 Denotemos por µ el tiempo de reacción a cierto estimulo. Para una prueba z de muestras grandes de Ho: µ= 5 Vs Ha: µ>5, encuentre el valor P asociado con cada uno de los valores dados del estadístico de prueba. z a. b. c. d. e. 1,42 0,9 1,96 2,48 -1,1 EJERCICIO 18 Se supone que los neumáticos para automóvil de cierto tipo recién comprados deben llenarse a una presión de 30 lb /pulg2. Denotemos por µ el verdadero promedio de presión. Encuentre el valor P asociado con cada valor estadístico z dado para probar H0:µ=30 Vs Ha: µ <> 30 z 2,1 -1,75 -0,55 1,41 -5,3 EJERCICIO 19 Denote por µ el verdadero promedio de concentración de receptores de suero para todas las mujeres embarazadas. Se sabe que el promedio para todas las mujeres es 5.63. El articulo X reporta que el valor P > 0.10 para una prueba de H0 :µ=5.63 versus Ha: µ<>5.63 con base en n= 176 mujeres embarazadas. Mediante el uso de un nivel de significancia de 0.01 ¿Qué se concluirá? EJERCICIO 20 Un fabricante de aspirinas llena botellas por peSo en lugar de número de tabletas. Como cada botella debe contener 100 tabletas, el peso promedio por tableta debe ser 5 granos (medida igual 0.25 quilates). Se pesan cada 100 tabletas tomadas de un lote muy grande , resultando en un peso promedio muestral por tableta de 4.87 granos y una desviación estándar muestral de 0.35 granos. Proporciona esta información fuerte evidencia para concluir que la compañía no esta llenando sus botellas que se anuncia?. Pruebe las hipótesis pertinentes mediante el uso de α= 0.01 calculando primero el valor P y luego comparándolo al nivel de significancia especificado..