1. objetivos, caracteristicas, aplicaciones de la Investigacion de Operaciones

INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES
Ing. María Emilia Recinos
Primer periodo del 2021
mrecinos@unah.edu.hn
OBJETIVOS DEL CURSO
• Identificar y
formular modelos de
investigación operativa a partir de la
descripción verbal de una situación real.
• Seleccionar y generar la información
necesaria para formular y resolver un
problema de investigación operativa.
• formular, modelar y resolver los distintos
problemas de sus actividades profesionales
usando técnicas de investigación de
operaciones, en la solución de problemas
relacionados con optimización de los recursos
disponibles.
• Interpretar resultados cuantitativos y
proponer decisiones a partir de ellos.
CONTENIDO DEL CURSO
UNIDAD
1
UNIDAD
2
Historia
de la
investig
ación
de
operaci
ones
Introducción a
la
Programación
lineal
UNIDAD
3
Método
grafico
método
simplex,
análisis
de
sensibili
dad
UNIDAD
4
UNIDAD
5
Modelo
de
transpo
rte y
asignaci
ón
Model
o de
redes
BIBLIOGRAFÍA
OBLIGATORIAS
• Taha,
H.
A.
(2012).
Investigación
de
operaciones
(9a.
ed.).
https://recursosbibliovirtual.unah.edu.hn:2072/es/lc/bibliounah/titulos/108502
Pearson
Educación.
• Hillier, F. S. (2010). Introducción a la investigación de operaciones (9a. ed.). McGraw-Hill Interamericana.
https://recursosbibliovirtual.unah.edu.hn:2072/es/lc/bibliounah/titulos/101895
SUPLEMENTARIAS
• Chediak Pinzón, F. A. (2013). Investigación de operaciones. Volumen I (3a. ed.). Universidad de Ibagué.
https://recursosbibliovirtual.unah.edu.hn:2072/es/lc/bibliounah/titulos/70155
• Martínez Salazar, I. A. y Vértiz Camarón, G. (2015). Investigaciones de operaciones. Grupo Editorial Patria.
https://recursosbibliovirtual.unah.edu.hn:2072/es/lc/bibliounah/titulos/39452.
• Roberto, V. N. (2018). Investigación Operativa. Ecuador: CONSEJO EDITORIAL UNIVERSITARIO.
https://revistas.uta.edu.ec/Books/libros%202019/investoperativadig.pdf
INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
I UNIDAD
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY
OBJETIVOS DE LA UNIDAD
Comprender el concepto, origen y
naturaleza de la IO, así como su
importancia en la formación de los
estudiantes de la carrera de ingeniería
industrial debido a su amplia aplicación en
la industria y en los negocios para optimizar
recursos y simular procesos.
Comprender la importancia de la
investigación de operaciones en la toma de
decisiones.
Conocer las fases de un estudio en la
investigación de operaciones
CONTENIDO DE LA PRIMERA UNIDAD







Historia de la Investigación de Operaciones.
Características esenciales de la investigación de operaciones.
Definición de Investigación de Operaciones.
Metodología de la investigación de operaciones.
Estructura de los modelos empleados en la investigación de operaciones.
Concepto de Optimización.
Áreas de aplicación de la Investigación de Operaciones
HISTORIA
De
DE
acuerdo
LA
INVESTIGACION
OPERACIONES
a
Hillier
y
DE
Libierman
El inicio de la actividad llamada investigación
de operaciones es atribuible a ciertos servicios
militares que se prestaron al inicio de la
Segunda Guerra Mundial; misma que tuvo sus
inicios en el año de 1939. Debido a los
esfuerzos bélicos, existía la urgente necesidad
de asignar recursos escasos a las distintas
maniobras militares y a las actividades que
componían cada operación de la manera más
eficaz.
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA-NC
HISTORIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
Por ello, las administraciones militares estadounidense y británica llamaron a un
gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a
otros problemas estratégicos y tácticos. En realidad, les solicitaron que hicieran
investigación sobre operaciones (militares).
Los grupos de científicos desarrollaron métodos eficaces para utilizar la nueva
herramienta que representaba el radar, los científicos contribuyeron al triunfo en
la guerra aérea que libró Gran Bretaña. Sus investigaciones para mejorar el
manejo de las operaciones antisubmarinas y de protección también tuvieron un
papel importante en la victoria de la campaña del Atlántico Norte. Esfuerzos
similares fueron de gran ayuda en la campaña del Pacífico.
HISTORIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
Una vez terminada la guerra en 1945, las ideas
utilizadas con fines bélicos fueron adaptadas para
mejorar la eficiencia y la productividad del sector
civil.
Lo anterior se debió a que una vez que la
explosión industrial posterior a la guerra siguió su
curso, los problemas provocados por el aumento
de la complejidad y la especialización de las
organizaciones pasaron de nuevo al primer plano
y los científicos que habían trabajo para fines
bélicos, se dieron cuenta que eran los mismos que
debían de enfrentar los militares pero en un
contexto diferente.
Al inicio de la década de 1950:
Estos visionarios introdujeron el uso de la
investigación de operaciones en una serie de
organizaciones industriales, de negocios y del
gobierno. Desde entonces, se ha desarrollado con
rapidez.
Otro hecho relevante tuvo gran importancia en el
desarrollo de la IO durante la década de los años
cincuenta fue:
HISTORIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
 El progreso sustancial que se logró en el mejoramiento de las técnicas disponibles.
Después de la guerra, muchos de los científicos que habían participado en
equipos
de IO y que tenían información sobre este trabajo, estaban
motivados
para
realizar
investigación relevante en el campo, de lo cual
resultaron avances
importantes;
Un ejemplo sobresaliente es el método símplex para resolver problemas de
programación lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzig.
Muchas de las herramientas características de la IO, como programación
lineal,
programación dinámica, teoría de colas y teoría de inventarios
habían
sido
desarrolladas casi por completo antes del término de la
década de los años
cincuenta.
La revolución de las computadoras.
El manejo eficaz de los complejos problemas inherentes a la
IO
casi
siempre
requiere un gran número de cálculos. Realizarlos de forma manual puede resultar
casi
imposible,
por lo cual el desarrollo de la computadora electrónica digital,
con su
capacidad para hacer cálculos aritméticos, miles o tal vez millones de veces más
rápido que los
seres humanos,
fue una gran ayuda para esta disciplina.
HISTORIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
En la década de 1980 e inicios del siglo 21
Otro avance tuvo lugar en la década de los años
ochenta, con el desarrollo de computadoras
personales cada vez más rápidas y de buenos
paquetes de software para resolver problemas de
IO.
De esta forma, las técnicas más complejas
estuvieron al alcance de un gran número de
personas, y este progreso se aceleró aún más en
la década de 1990 y al inicio del siglo XXI.
HISTORIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
En la década de 1980:
Hoy en día, millones de individuos tienen acceso a
estos paquetes y en forma cotidiana se utiliza
toda una gama de computadoras, desde las
grandes hasta las portátiles, para resolver
problemas de investigación de operaciones,
algunos de ellos muy complejos.
CARACTERISTICAS DE LA
INVESTIGACION DE OPERACIONES
CARACTERÍSTICAS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
1.
Utiliza el método científico para explorar los diversos problemas que deben ser enfrentados.
El proceso comienza por:
 La observación cuidadosa y la formulación del problema, lo cual incluye la recolección de los datos
pertinentes.
 El siguiente paso es la construcción de un modelo científico, generalmente matemático con el cual se
intenta abstraer la esencia del problema real. En esta etapa se propone la hipótesis de que el modelo
será una representación tan precisa de las características esenciales de la situación, que permitirá que
las conclusiones, soluciones, que se obtengan sean válidas también para el problema real.
 Después se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis, para modificarla si
es necesario y para verificarla en determinado momento, paso que se conoce como validación del
modelo.
CARACTERÍSTICAS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
2.
Adopta una visión organizacional. De esta manera intenta resolver los conflictos de
intereses entre los componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor
para ésta en su conjunto.
3.
Intenta encontrar una mejor solución llamada solución óptima para el problema en
cuestión. En lugar de conformarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es
identificar el mejor curso de acción posible.
4.
Emplea el enfoque de equipo, este equipo debe de incluir individuos con antecedentes
sólidos en matemáticas, estadística y teoría de probabilidades, al igual que en economía,
administración de empresas, ciencias de la computación, ingeniería, ciencias físicas,
ciencias del comportamiento y, por supuesto, en las técnicas especiales de IO. También
experiencias y habilidades para permitir la consideración adecuada de todas las
ramificaciones del problema.
DEFINICIÓN DE LA INVESTIGACION
DE OPERACIONES
DEFINICIÓNES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
1. Según Hillier, Frederick S. / Lieberman, Gerarld J.
En un sentido general, la Investigación de operaciones puede considerarse como la
aplicación de métodos científicos, técnicas e instrumentos, a los problemas
relacionados con la operación de los sistemas, a fin de proporcionar a los que
controlan las operaciones las soluciones óptimas para los problemas.
2. Según HAMDY A. TAHA
Es una herramienta dominante e indispensable para la toma de decisiones, siendo su
principal elemento el modelamiento matemático, tomando en cuenta factores
intangibles o no cuantificables. Siendo una ciencia por las técnicas matemáticas q se
presenta, y es arte porque el éxito de todas las fases que anteceden y siguen a la
resolución del modelo matemático depende mucho de la creatividad y la
experiencia del equipo de la investigación de operaciones.
TOMA DE DECISIONES
El proceso de toma de decisiones, dentro de distintos tipos
de organizaciones es posible de definir como el “proceso de
definición de problemas, recopilación de datos, generación
de alternativas y selección de un curso de acción”.
(Hellriegel, Slocum, Woodman, 2011).
TOMA DE DECISIONES A NIVEL OPERATIVO
Desarrolla tareas rutinarias y en donde el tipo de
decisiones por lo general son del tipo programada, es
decir, poseen cierto tipo de desencadenantes que
determinan un cierto tipo de respuesta (por ejemplo, la
caída de un inventario por debajo de un determinado
número implica la restitución de cierta cantidad de
producto o en otro ejemplo, dado encontrarse en un
mes en particular y dadas ciertas condiciones de
humedad o estado de salud se determina la aplicación
de un agroquímico en particular para el desarrollo de
un cultivo, etc.).. (Hellriegel, Slocum, Woodman, 2011).
23
Toma de Decisiones a nivel estratégico
La toma de decisiones estratégicas para la vida de una empresa, es la principal responsabilidad indelegable de un gerente.
El inicio de la toma de una decisión, generalmente empieza cuando se detecta un problema.
Para tomar la decisión correcta, se debe:
a)
Definir el problema en forma clara
b)
Formular el o los objetivos
c)
Identificar las restricciones
d)
Identificar las alternativas de solución
e)
Evaluar las alternativas y elegir la mejor
24
25
DEFINICIONES
El proceso para la toma de decisión correcta.
¿Como se elige la mejor alternativa?
Métodos Cualitativos
En base a la experiencia y al juicio profesional de la
persona que toma la decisión
Métodos Cuantitativos
En base a la utilización de herramientas matemáticas
que permitan maximizar la efectividad en la toma de
decisiones.
26
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y LA TOMA DE DECISIONES
La IO nos ofrece una serie de herramientas cuantitativas para la toma de decisiones.
• La dificultad de tomar decisiones ha hecho que el
hombre se aboque en la búsqueda de una
herramienta o método que le permita tomar las
mejores decisiones de acuerdo a los recursos
disponibles y a los objetivos que persigue.
• Este conjunto de herramientas o métodos es lo que
llamaremos Investigación de Operaciones.
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC-ND
26
27
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y LA TOMA DE DECISIONES
La Investigación de Operaciones (IO) es una rama de las matemáticas que emplea modelos matemáticos y
algoritmos con el objetivo de sustentar el proceso de toma de decisión, cuyas mayores aplicaciones
se encuentran dentro de la industria y los negocios a través de la Ingeniería Industrial.
¿Que nos permite?
La IO permite de manera sistemática obtener soluciones más eficientes, ya sea para lograr mayores
beneficios, ahorros en la utilización del tiempo y/o recursos, u obtener menores costos, que los que se
obtendrían si las decisiones se toman por intuición o basados simplemente en consideraciones particulares sin
previo análisis.
27
METODOLOGÍA DE LA
INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Para la aplicación de la IO se siguen los siguientes pasos:
1.
Definición del problema de interés y recolección de datos relevantes.
2.
Formulación de un modelo matemático que represente el problema.
3.
Desarrollo de un procedimiento basado en computadora para derivar una solución para el
problema a partir del modelo.
4.
Prueba del modelo y mejoramiento de acuerdo con las necesidades.
5.
Preparación para la aplicación del modelo prescrito por la administración.
6.
Implementación.
29
FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES
Definición del problema y recolección de datos
1.
2.
3.
4.
5.
Definir el objetivo del estudio
Reconocimiento de las restricciones sobre lo que es posible hacer
Interrelaciones del área en estudio con otras áreas de la organización
Diferentes cursos de acción posible
Limites de tiempo para tomar decisiones
Construcción del modelo
1. Modelo matemático
• Representa la esencia del problema. Los modelos matemáticos son representaciones idealizadas, pero están
expresados en términos de símbolos y expresiones matemáticas.
• En forma parecida, el modelo matemático de un problema industrial está conformado por el sistema de
ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que describen la esencia del problema.
30
FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES
Obtención de soluciones a partir del modelo
1. Si el modelo es matemático se usará alguna técnica de optimización bien definida, produciendo el
modelo una solución óptima.
2. Si el modelo es de simulación se buscarán alternativas para mejorar el desempeño del sistema.
Se deberá realizar un análisis de sensibilidad cambiando ciertos parámetros del sistema.
31
FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES
 Preparación para aplicar o validar el modelo
Si el modelo va a usarse varias veces, el siguiente paso es instalar un sistema bien documentado
para aplicarlo según lo establecido por la administración. Este sistema debe incorporar el modelo y
el procedimiento de solución, que incluye el análisis posóptimo y los procedimientos operativos para
su implementación. Para probar la validez de un modelo se comparan los resultados del modelo con
datos históricos del sistema real
Implantación de resultados finales
Lo realiza el equipo de I.O. junto con las personas que operan el sistema real. Es apropiado que el
equipo de investigación de operaciones documente su metodología con suficiente claridad y detalle
para que el trabajo pueda reproducirse. La posibilidad de obtener una réplica debe ser parte del
código ético profesional del investigador de operaciones.
32
ESTRUCTURA DE LOS MODELOS
EMPLEADOS EN LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES.
ESTRUCTURA DE LOS MODELOS EMPLEADOS EN LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.
De acuerdo a Hamdy Taha
El enfoque de la Investigación de Operaciones es el
modelaje.
Un modelo es una representación ideal de un sistema
y la forma en que este opera.
El objetivo es analizar el comportamiento del sistema
o bien predecir su comportamiento futuro.
La ventaja que tiene el sacar un modelo que
represente una situación real, es que nos permite
analizar tal situación sin interferir en la operación que
se realiza, ya que el modelo es como si fuera “un
espejo” de lo que ocurre.
34
ESTRUCTURA DE LOS MODELOS EMPLEADOS EN LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES.
De acuerdo a Taibo (2002)
Los modelos representan, con mayor o menor fidelidad, la relación que existe entre las diferentes
variables de un sistema real, y se utilizan para predecir lo que sucede o puede suceder cuando
alguna de estas variables cambia de valor. Estas predicciones se logran dando diferentes valores a
las variables del modelo y observando lo que acontece en dicho modelo con estos cambios.
Posteriormente se relaciona el comportamiento del modelo con lo que le sucedería al sistema real en
el caso de que aquellos cambios ocurrieran.
36
ESTRUCTURA DE LOS MODELOS EMPLEADOS EN LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES.
En muchos casos podemos utilizar modelos matemáticos que, mediante letras, números y
operaciones, representan variables, magnitudes y sus relaciones.
Para aumentar la abstracción del mundo real, los modelos se clasifican como :
1. Icónicos: son la representación física, a escala reducida o aumentada de un sistema
real.
2. Análogos: esencialmente requieren la sustitución de una propiedad por otra con el fin
de permitir la manipulación del modelo. Después de resolver el problema, la solución se
reinterpreta de acuerdo al sistema original.
37
ESTRUCTURA DE LOS MODELOS EMPLEADOS EN LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES.
3. Simbólicos o matemáticos: son los mas importantes en la IO, emplean un conjunto
de símbolos y funciones para representar las variables de decisión y sus
relaciones para describir el comportamiento del sistema. El uso de las
matemáticas para representar el modelo, el cual es una representación
aproximada de la realidad, nos permite aprovechar las computadoras de alta
velocidad y técnicas de solución con matemáticas avanzadas.
38
TIPOS DE MODELOS EN LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES
Tipos
Características
Ejemplos
Icónicos





Tangible
Fácil de comprender
Difícil de duplicar y compartir
Difícil de manipular
baja amplitud de uso
Modelos a escala de aeroplanos,
casas, ciudades
Analógicos




Intangible
Díficil de comprender
Fácil de duplicar y compartir
Alta amplitud de uso
Mapas de carreteras, Velocímetros,
Gráficas
Simbólicos o Matemáticos





Intangible
Difícil de comprender
Fácil de duplicar y compartir
Fácil de manipular
Muy Alta amplitud de uso
Modelos de simulación
Modelo algebriaco
Modelo de programación lineal.
39
ESTRUCTURA DE LOS MODELOS EMPLEADOS EN LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.
Modelo matemático o simbólicos
De acuerdo a Sánchez, C.(2004).
Un modelo matemático comprende
principalmente tres conjuntos básicos
de elementos. Estos son:
1.
Variables y parámetros de
decisión
2.
Restricciones
3.
Función Objetivo
Puede expresarse como el problema de
elegir los valores de las variables de
decisión de manera que se optimice la
función objetivo, sujeta a las
restricciones dadas.
40
ESTRUCTURA DE LOS MODELOS EMPLEADOS EN LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.
Modelo matemático o simbólicos
De acuerdo a Sánchez, C.(2004).
Una ventaja obvia es que el modelo matemático describe un problema
en forma mucho más concisa. También facilita el manejo del problema
en su totalidad y el estudio de todas sus interrelaciones
simultáneamente.
Un modelo matemático forma un puente para poder emplear técnicas
matemáticas poderosas, además de las computadoras, en el análisis
del problema. Sin duda, muchos de los componentes de un modelo
pueden quedar vinculados al uso de paquetes de computación.
CONCEPTO DE OPTIMIZACIÓN
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC
42
CONCEPTO DE OPTIMIZACIÓN
La Optimización puede considerarse como la búsqueda de la mejor
solución (solución óptima) de un problema. El término mejor aquí
depende del contexto en el que se trabaje. Por ejemplo, en un
contexto operativo atinente a las utilidades la optimización del sistema
constituye la maximización de los resultados, todo lo contrario a los
costos o las distancias, casos en los cuales la optimización dependerá
de la minimización de los resultados.
Una de las áreas principales de la Investigación de Operaciones es la
Optimización o Programación Matemática. La Optimización se relaciona
con problemas de minimizar o maximizar una función (objetivo) de una
o varias variables, cuyos valores usualmente están restringidos por
ecuaciones y/o desigualdades.
43
CONCEPTO DE OPTIMIZACIÓN
Hoy en día el uso de modelos de optimización es cada vez más
frecuente en la toma de decisiones. Este mayor uso se explica,
principalmente, por un mejor conocimiento de estas metodología en
las diferentes disciplinas, la creciente complejidad de los problemas
que se desea resolver, la mayor disponibilidad de software y el
desarrollo de nuevos y mejores algoritmos de solución.
ÁREAS DE APLICACIÓN
DE I.O
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-ND
45
ÁREAS DE APLICACIÓN DE I.O
La Investigación de Operaciones se aplica a
problemas que se refieren a la coordinación
eficiente de las operaciones o actividades
dentro
de
una
organización.
Las
herramientas
de
IO
se
aplican
generalmente en los negocios, la industria,
la milicia, el gobierno, los hospitales,
etc., alrededor del mundo se visualizan
muchas
organizaciones
que
establecen grupos de Investigación de
Operaciones para mejorar sus desempeños
obteniendo muy buenos resultados y/o
ahorros sustanciales.
This Photo by Unknown Author is licensed under CC BY-NC-ND
46
ÁREAS DE APLICACIÓN DE I.O
Las aplicaciones de la IO se encuentran en las
industrias, que incluye la aérea, automotriz, de
comunicaciones, computación, energía eléctrica,
electrónica, alimenticia, metalúrgica, minera, del
papel, del petróleo y del transporte.
También han encontrado un sin número de
aplicaciones en el sector servicio, como las
instituciones financieras y hospitales, a través de las
evaluaciones del nivel de servicio requerido por
medio de las teorías de colas.
This Photo by Unknown Author is licensed under CC BY-NC-ND
ÁREAS DE APLICACIÓN DE I.O
• PERSONAL
El
reclutamiento
de personal,
clasificación y Asignación de tareas
para estos mismos, son áreas
en las que se aplica la investigación
de operaciones, sin contar el hecho
de que también se aplica a la
automatización y disminución de
costos de estos mismos. En este
campo la IO busca sacar el
máximo provecho del personal por
medio de métodos que disminuyan
costos
pero
que
aumenten
la productividad.
47
This Photo by Unknown Author is licensed under CC BY-SA
Áreas de aplicación de la IO
• PRODUCCIÓN
Un fabricante desea elaborar un
programa de producción y una
política
de
inventarios
que
satisfaga la demanda de ventas en
periodos futuros. De forma ideal,
el programa y la política permitirán
a la compañía satisfacer la
demanda y al mismo tiempo
minimizar los costos totales de
producción e inventarios.
48
This Photo by Unknown Author is licensed under CC BY-SA-NC
ÁREAS DE APLICACIÓN DE I.O
• MANUFACTURA
Las
mezclas
óptimas
de
manufactura,
el
tráfico
de
materiales, el control de calidad y
sobre todo la planeación y el
control de la producción están
dados por modelos matemáticos
basados en los principios de la IO
49
This Photo by Unknown Author is licensed under CC BY-SA-NC
ÁREAS DE APLICACIÓN DE I.O
• FINANZAS Y CONTABILIDAD
Tópicos como lo son el capital
requerido
de
largo
plazo,
inversiones alternas, análisis de
flujo de efectivo, entre otros, se
encuentran muy estrechamente
con la IO, la cual en muchos casos
dicta el rumbo de cómo se
realizaran ciertas actividades
50
This Photo by Unknown Author is licensed under CC BY
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA-NC
ÁREAS DE APLICACIÓN DE I.O
• PLANEACIÓN
Son los métodos de Pert, los cuales se utilizan para controlar el avance de cualquier proyecto
que posea múltiples actividades, ya sea en simultáneo o las cuales tengan que esperar para
51
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA
ÁREAS DE APLICACIÓN DE I.O
• COMPRAS Y MATERIALES
Las cantidades y fuentes de suministros, costos fijos, sustitución de materiales, reemplazo
de equipo, comprar o rentar
52