Teoria de Errores v5

METODOLOGÍA DE LOS TRABAJOS PRÁCTICOS
INTRODUCCIÓN
La Física es una ciencia típicamente experimental. Como en cualquier otra ciencia experimental,
las teorías existentes se basan en unas hipótesis, que se confirman mediante resultados experimentales o
medidas. Todas las experiencias tienen algo en común: cada medida está sujeta a una incertidumbre
experimental. Esto significa que si realizamos varias medidas de una determinada magnitud,
encontraremos con toda seguridad una variación en los valores obtenidos. Ello es debido a que ni los
instrumentos de medida son perfectos ni nuestros sentidos son absolutamente perspicaces.
Por otro lado, en muchos casos intervienen en las fórmulas números irracionales (π, e, g, etc.) o
bien operaciones (log, funciones trigonométricas, etc.) cuyos resultados no pueden tomarse con todas sus
cifras, sino que hay que tomarlos con un número limitado de cifras decimales. Podemos asegurar, por
tanto, que toda medida que efectuamos, cualquiera que sea la bondad del instrumento utilizado y la
pericia del experimentador, es inexacta, pues aún suponiendo que casualmente alguna fuera exacta, no
tenemos medio de comprobarlo y por ello de saberlo.
El problema radica en encontrar los límites dentro de los cuales estará el valor exacto de la
magnitud que se ha medido con una alta probabilidad, es decir, establecer los límites de la incertidumbre,
ya que consideramos que ésta cuantifica de una forma clara la variación que se ha encontrado en un valor
medido. En consecuencia, el resultado de una medida debe ir siempre acompañado de esa incertidumbre
que nos indica la calidad de la medida realizada.
Es importante aclarar que en el leguaje experimental nos encontraremos también con la expresión
error, cuyo significado es el mismo que el de incertidumbre, y por lo tanto no debe dársele el sentido
habitual de fallo o confusión. Nosotros utilizaremos indistintamente una u otra expresión a lo largo del
texto.
CAUSAS DEL ERROR EN LAS MEDIDAS
Las causas se deben a la propia naturaleza de la medida, que es algo muy complejo, ya que son
diversos los factores que en ella intervienen:
1º) El propio objeto a través del cual se materializa la magnitud a medir. Por ejemplo las
variaciones en el grosor de una lámina cuando determinamos sus dimensiones, o la falta de
homogeneidad cuando medimos la temperatura de una habitación. El sentido común nos indica que
debemos realizar varias medidas en diferentes puntos y "promediar" los valores hallados.
2º) El instrumento de medida, indispensable intermediario en toda determinación. Todo
instrumento de medida es causa de error, bien por imperfecciones en su construcción o por el uso
continuado. Estas causas tienden a permanecer durante largos períodos de tiempo, por lo que los errores
introducidos serán constantes en cuantía y signo. A estos errores se les llama sistemáticos ya que tienden
a permanecer con el instrumento.
Este mismo carácter les hace en gran parte controlables, pudiendo por ello ser corregidos en
mayor o menor grado. Uno de éstos es el denominado error del cero del instrumento. Por ejemplo: cuando
al introducir un termómetro en hielo fundente no marca cero, o bien, cuando en un calibre se ponen las
patillas a tope (la distancia que los separa es nula) y la lectura en la escala no es cero.
1
Si en estas circunstancias el aparato marca menos de cero, el error será por defecto y deberemos
sumarlo a las medidas realizadas con este instrumento. Si, por el contrario, marca más de cero, el error
será por exceso y deberemos restarlo.
Aún suponiendo que el aparato fuera perfecto, necesariamente nos conduce a error siempre que la
aguja o señal de medida se encuentre entre dos divisiones de la escala, ya que la lectura a realizar es
imprecisa. Como el máximo error que podemos cometer por esta causa, es inferior al valor de la menor
división de la escala del instrumento, tomaremos como límite de error o precisión del instrumento el valor
de la menor división de la escala. La precisión, pues, da cuenta del límite de error introducido por el
instrumento, aparte de haber ajustado el cero y corregido la lectura correspondiente.
3º) El observador o experimentador. Algunos defectos en los sentidos o factores psicológicos
pueden introducir por parte del observador errores imprevisibles o de carácter anárquico. La forma de
reducirlos, ya que no es posible anularlos, consiste en realizar un gran número de observaciones, aspecto
que trataremos más adelante.
CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES
En una primera clasificación, podemos dividir los errores en sistemáticos y accidentales.
Los primeros, como ya hemos dicho anteriormente, son debidos a defecto del instrumento de
medida o por una tendencia errónea del observador y por tanto se manifiestan siempre en el mismo
sentido. Sólo pueden ser puestos de manifiesto cambiando de observador o de instrumento de medida.
Los errores accidentales se deben a causas imponderables e imposibles de controlar, que alteran
bien en un sentido u otro los valores hallados, de manera que este tipo de error conduce a resultados
dispersos al azar alrededor del valor verdadero. Debido a su aleatoriedad, responden a distribuciones
probabilísticas de forma que pueden analizarse por métodos estadísticos. La teoría de errores no es otra
cosa que la aplicación de la estadística matemática a la estimación de estos errores. Sin embargo, no es
nuestra intención entrar en consideraciones teóricas, ya que ello nos alejaría de nuestro interés primordial,
tendente a la determinación práctica de los errores en las situaciones experimentales más usuales. Por lo
tanto vamos a utilizar algunas de las aplicaciones del análisis estadístico con el fin de hallar, tanto el valor
de la medida experimental como el límite superior de su error.
La repetición de las medidas es el arma para luchar contra los errores accidentales. Por su mismo
carácter es de esperar que, con igual probabilidad, unas veces el resultado de la medida será superior al
verdadero valor de la magnitud que se mide y otras veces será inferior, por lo que un valor medio será
una buena aproximación del número que se busca.
En la mayoría de los casos es aconsejable expresar la incertidumbre en las mismas unidades que la
cantidad medida, en este caso hablaremos de error absoluto ( ε a ).
El error absoluto no sirve para juzgar la calidad de una medida, para esto es necesario recurrir al
error relativo ( ε r ), que se define como el resultado de dividir el error absoluto entre el valor exacto.
ε
εr = a
(1)
M
En ocasiones este error se da en %.
2
En general el error absoluto es un índice de la sensibilidad del método de medida utilizado
mientras que el error relativo da idea de la precisión de aquélla.
DETERMINACIÓN DEL ERROR ABSOLUTO DE UNA MAGNITUD MEDIDA DIRECTAMENTE
Veamos a continuación cómo estimar el error absoluto de una magnitud que se mide directamente
a) Error absoluto de una sola medida. La cota de error que asignaremos a una sola medida
coincide con la sensibilidad del aparato utilizado, o sea el valor de la menor división que se pueda
apreciar en los aparatos calibrados. Por ejemplo, con una regla cuya división más pequeña sea de un
milímetro, habremos de asignar a la medida un error absoluto (también llamado error de escala) de 1mm.
b) Error absoluto de una magnitud de la cual se han realizado varias medidas. En este caso
debemos realizar al menos tres medidas de la magnitud y asignamos como valor de la magnitud el valor
medio, obtenido mediante la expresión:
n
∑ Mi
M = i =1
n
donde n representa el número de medidas realizadas.
Puesto que las medidas aparecerán dispersas entre sí, asignaremos como error de la magnitud (o
error accidental) el resultado de la expresión:
n
σ n −1 =
∑( M
i =1
i
− M )2
n −1
(2)
Donde σ n−1 representa en estadística la desviación típica (también desviación estándar). Su
significado estadístico muy simple: suponiendo que las desviaciones son debidas al azar, la desviación
típica nos dice que aproximadamente los dos tercios de todas las medidas caen dentro de σ n−1 . Un
estudio más detallado de los aspectos estadísticos nos llevan a afirmar que la forma de reducir el error
accidental es aumentar el número de medidas
Dependiendo de la precisión del aparato y de las condiciones de medida puede suceder que, en
ocasiones, el error accidental sea menor que el de escala del aparato y viceversa, en conclusión,
tomaremos como criterio general, que el error absoluto en el caso de medidas directas de una
magnitud será la suma del error debido a la escala del aparato y del error accidental.
LIMITACIÓN EN EL NUMERO DE CIFRAS
Puesto que el error absoluto es una estimación y por tanto está sujeto a incertidumbre, no tiene
sentido especificarlo con una gran cantidad de cifras. Una sola cifra significativa o a lo sumo dos, suele
ser suficiente para designar el error final del resultado.
3
Se admite por convenio que el error absoluto sólo puede darse con dos cifras significativas si la
primera de ellas, es decir la de mayor orden, es un 1. En todos los demás casos, es decir cuando la cifra de
mayor orden es un 2, 3, ... etc se dará el error con una sola cifra significativa.
Esto nos lleva también a indicar un criterio para eliminar los guarismos sobrantes. Esta operación
se denomina redondeo de números. Por lo tanto, cuando el error tiene varias cifras significativas (más de
una o dos según los casos anteriores), se empieza el redondeo eliminando la cifra de menor orden; si ésta
es menor que 5, se elimina sin más; pero si es mayor o igual a 5 se aumenta en una unidad la cifra
correspondiente al orden inmediato superior es decir la cifra a su izquierda. Este proceso se repite tantas
veces como sea necesario para que finalmente tengamos el error con una o dos cifras significativas como
se indicó anteriormente.
Lógicamente y de acuerdo con este criterio, el valor de la medida de la magnitud que obtengamos
ha de tener las cifras significativas necesarias para que la última de ellas sea del mismo orden decimal que
la última del error absoluto.
Nótese que el redondeo y acotación de cifras se hacen primeramente con el error y luego con la
medida.
A continuación damos unos ejemplos de valores incorrectamente expresados (columna izquierda)
y los valores correctos correspondientes (columna derecha), para poner de manifiesto todo lo dicho.
NÚMEROS INCORRECTOS
3,417
32
45.387
0,01682
+
+
+
+
NÚMEROS CORRECTOS
0,124
0,055
1.784
0,0068
3,42
32,00
45.400
0,017
+
+
+
+
0,12
0,06
1.800 = (4,54 + 0,18)104
0,007 = (1,7 + 0,7)10-2
Como puede verse en estos ejemplos es aconsejable expresar tanto el error como la medida, bien
en forma decimal o bien en potencia de diez.
DETERMINACIÓN DEL ERROR DE UNA MAGNITUD MEDIDA INDIRECTAMENTE
La medida indirecta de una magnitud se alcanza por aplicación de una fórmula física a un
conjunto de magnitudes medidas directamente (variables independientes o datos) que las relaciona con la
magnitud problema. Mediante dicha fórmula se obtiene también el error de la medida como vamos a
explicar.
Supongamos el caso de una magnitud y, la cual es función de varias magnitudes k, x, z, etc.. que
se pueden medir directamente. La relación que las liga puede expresarse brevemente con la expresión
matemática y = f (k, x, z ...), siendo la función f la fórmula que relaciona las magnitudes.
Hallamos a continuación la diferencial total de la expresión, a continuación aplicamos la
consideración de que es posible hacer una asimilación entre la diferencial de una variable con el error
absoluto de la magnitud física que representa. Además todos los términos obtenidos en la diferenciación
se convierten en positivos con el fin de considerar el error final en el caso más desfavorable, es decir
cuando los errores no se compensan (recordemos que los errores absolutos pueden ser por exceso o por
defecto).
4
Así pues:
dy =
∂f
∂f
∂f
dk +
dx +
dz + ...
∂x
∂k
∂z
(3)
∂f
∂f
∂f
ε( k ) +
ε( x ) +
ε( z) + ...
∂k
∂x
∂z
(4)
o bien:
ε( y) =
con lo cual obtenemos la expresión fundamental del cálculo de errores en las medidas indirectas.
Debemos hacer notar que los valores de las magnitudes conocidas que se introducirán en los términos de
la expresión anterior serán los valores medios hallados anteriormente.
Aunque k es una constante, puede venir afectada de error como en el caso de un número irracional
o transcendente (π, e, cos, log, etc...). En este caso se tomará un número adecuado de cifras, tal que el
error cometido sea como máximo diez veces menor que el obtenido al sumar los de las magnitudes
medidas directamente. En general este problema se solventa hoy día si se trabaja con todos los dígitos que
aparecen en la pantalla de la calculadora, de esta manera el error es despreciable y podemos prescindir
tanto de su error absoluto como relativo.
Veamos a continuación algunas situaciones de interés:
A=B+C;
A=B-C;
A = B2 ;
A = B.C ;
A = B/C ;
ε(A) = ε(B) + ε(C)
ε(A) = ε(B) + ε(C)
ε(A) = 2B.ε(B)
ε(A) = C.ε(B) + B.ε(C)
ε(A) = ε(B)/C + B.ε(C)/C2
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Analizaremos a continuación un ejemplo que nos permita aplicar los criterios antes citados.
Supongamos que queremos determinar el valor de la aceleración de la gravedad g, utilizando para ello un
péndulo simple. La expresión del período viene dada por:
T = 2π
l
g
(10)
de manera que si se mide directamente la longitud del hilo l y el valor del período T, es posible hallar g,
ya que:
4π 2 l
g= 2
(11)
T
Sea l = 1,470 + 0,001 m la cual hemos medido una sola vez puesto que la longitud del hilo no
variará de una medida a otra habida cuenta de la regla utilizada. El período T se ha medido con una célula
fotoeléctrica que aprecia milésimas de segundo y los resultados han sido:
T1 = 2,431 +
T2 = 2,435 +
T3 = 2,430 +
T4 = 2,433 +
T5 = 2,432 +
5
0,001 s
0,001 s
0,001 s
0,001 s
0,001 s
5
T=
∑T
i
i =1
n
= 2,4322
ε(T) = εescala + εaccidental = εescala + σ n−1 = 0,001 + 0,001924 = 0,003
por lo tanto:
T = (2,432 + 0,003) s
y el valor de g será:
g=
4π 2 l
= 9 ,8118 m/s2
T2
Para determinar el valor del error de g, utilizamos la expresión (4), con lo que nos resulta:
ε(g ) =
∂g
∂g
8π 2 l
4π 2
ε (T ) +
ε ( l) =
ε(T ) +
ε(l) = 8,0689 . 0,003 + 6,6747 . 0,001 = 0,03
∂T
∂l
T3
T2
nótese que en la expresión no aparecen las derivadas parciales respecto de 2 ni π ; en el primer caso
porque es un valor constante sin error y en el segundo porque empleamos todas las cifras de la
calculadora como ya se dijo anteriormente.
Obtenemos por lo tanto para g:
g = (9,81 + 0,03) m/s2
GRÁFICAS
Cuando los datos obtenidos de una experiencia se representan gráficamente, es posible detectar
ciertos comportamientos que difícilmente encontraríamos si los analizamos directamente a partir de una
tabla de valores. Una representación gráfica puede indicarnos:
a) El rango de medida utilizado.
b) La incertidumbre de cada medida.
c) La existencia o no de una cierta tendencia en los datos obtenidos (p.e. pueden ligarse a una
línea recta, una curva o estar distribuidos al azar).
d) Qué puntos no siguen una determinada tendencia mostrada por la mayoría de los datos.
e) Encontrar el valor de alguna magnitud, generalmente a partir de la pendiente o el punto de
corte con algún eje coordenado de una recta. En este caso emplearemos el método de mínimos
cuadrados que explicaremos más adelante.
Para la elaboración de gráficas existe una serie de normas o convenios que faciliten su trazado y
comprensión. Habitualmente los datos se representan por parejas de números en un sistema cartesiano
XY, de manera que la magnitud elegida por el experimentador como variable independiente, se pone a lo
largo del eje horizontal, mientras que la variable dependiente se traza a lo largo del eje vertical. Por
ejemplo, si estudiamos el alargamiento de un muelle sometido a diferentes fuerzas, asignaremos como
variable independiente a la fuerza, la cual se representará en el eje de las X, mientras que el alargamiento
será la variable dependiente, representada en el eje Y. En relación con lo anterior diremos que es habitual
6
encontrar en el lenguaje científico la expresión “representar la magnitud A frente a la magnitud B”. Con
ello se quiere significar que la magnitud A es la variable dependiente y la B será la variable
independiente. En el caso anterior, se diría entonces: “representar el alargamiento de un muelle frente a la
fuerza aplicada”.
Los ejes deben nombrarse claramente con las magnitudes en estudio, así como las unidades de
medida que se pondrán entre paréntesis, por ejemplo: longitud l (m), tiempo t(s) o fuerza F(N).
El papel de las gráficas puede obtenerse en una variedad de rayados, según las necesidades. Los
más comunes son los lineales o milimetrados (Fig.1) y los logarítmicos.
Fig.1
La elección de la escala debe hacerse con las siguientes consideraciones:
a) Las escalas sobre los ejes han de ser claras y a intervalos regulares, de manera que los puntos
experimentales no aparezcan apretados unos con otros, para ello debemos escoger el rango de la escala de
forma que los puntos cubran la hoja de forma razonable, aunque para ello en el origen de coordenadas
no se ponga, a veces, el cero de la escala correspondiente (Fig.2).
Fig.2
b) La escala debe ser simple. Lo más sencillo es que el número de centímetros o milímetros que ha
de abarcar la unidad de escala, ha de ser uno de los siguientes números: 1, 2, 5, 10, 20, 50, ... unidades de
la cantidad medida. Cualquier otro tipo de escala debe evitarse pues dificulta tanto el trazado como su
lectura (Fig.3).
7
Fig.3
c) Sobre los ejes sólo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala,
jamás los valores obtenidos en las medidas realizadas.
d) Los valores experimentales se representan sobre papel milimetrado por el punto
correspondiente a sus dos coordenadas y rodeados por el llamado rectángulo de error cuya base abarca
desde x-ε(x) hasta x+ε(x) y cuya altura se extiende desde y-ε(y) hasta y+ε(y). En el caso en que ε(x), ε(y),
o ambos a la vez sean despreciables en comparación con la escala correspondiente utilizada, el rectángulo
de error se reduce a un simple segmento vertical, horizontal o simplemente al punto correspondiente
respectivamente (Fig.4).
Fig.4
e) Las gráficas han de ser líneas finas y continuas, nunca quebradas, que han de pasar por dentro
de todos los rectángulos de error, aunque para ello dejen muchas veces de cruzar por los puntos
experimentales, que pueden quedar a la derecha o izquierda de la gráfica. Si al hacer esta operación,
alguno de los rectángulos de error queda excesivamente alejado de la forma continua de la gráfica, es
prueba de que esa medida es errónea por alguna causa accidental y debe repetirse (Fig.5).
8
Fig.5
f) Cuando en una misma gráfica se van a representar
puntos experimentales que se refieren a condiciones diferentes,
se pueden utilizar distintos símbolos como *, ∆ , +, o colores
diferentes. Si la gráfica resulta demasiado complicada, es mejor
dibujar cada conjunto de gráficas separadas (Fig.6).
Fig.6
AJUSTE DE UNA RECTA POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
Una vez representados nuestros resultados gráficamente, en ocasiones tendremos que deducir de
los puntos obtenidos (al menos cinco) una función analítica que nos permita determinar los parámetros
desconocidos; dicho de otra forma, encontrar las incógnitas de la ley física que se estudia.
Cuando entre las variables manejadas hay una relación más o menos fuerte, diremos que ambas
están en correlación. Al representarlas gráficamente nos podemos encontrar con que los puntos se
distribuyen sensiblemente sobre una línea geométrica que va a ser representativa de la relación de
dependencia o relación funcional de Y respecto de X. Tal línea recibe el nombre de línea de regresión de
Y sobre X. La forma de obtener esta línea, cuya característica principal es la de ser la que mejor ajusta a
los puntos obtenidos, se fundamenta en el método de los mínimos cuadrados.
En el caso particular de que los puntos se distribuyan a lo largo de una línea recta, se tiene la
regresión lineal y a la recta la llamaremos recta de regresión de Y sobre X.
Supongamos que realizamos medidas de una pareja de magnitudes xi, yi de un determinado
fenómeno. Entre los n puntos representativos del fenómeno pueden pasar muchas rectas, ahora bien, el
método de los mínimos cuadrados consiste en determinar la ecuación de la recta Y = a + bX tal que si yi
es la ordenada experimental de un cierto punto e Yi la teórica, la suma de los cuadrados de las
desviaciones de cada punto con respecto a la recta sea mínimo, es decir:
n
n
i =1
i =1
M = ∑ ( y i − Yi ) 2 = ∑ ( y i − a − bx i ) 2 = mínimo
9
(12)
Fig.7
Para calcular los valores de a (ordenada en el origen) y b (pendiente), con la condición anterior, es
necesario que las derivadas parciales de M con respecto a ellas sean nulas.
n
∂M
⎫
= −2∑ ( y i − a − bx i ) = 0 ⎪
∂a
⎪
i =1
⎬ o bien
n
∂M
= −2∑ ( y i − a − bx i ) x i = 0⎪
⎪⎭
∂b
i =1
donde se ha tenido en cuenta que
n
n
⎧
na
b
x
yi
+
=
∑
∑
i
⎪
⎪
i =1
i =1
⎨ n
n
n
⎪a x + b x 2 = x y
∑
∑
i
i
i i
⎪⎩ ∑
i =1
i =1
i =1
n
∑ a = na .
i =1
Al resolver el sistema, y definiendo los sumatorios siguientes:
n
n
P = ∑ xi
n
Q = ∑ yi
i =1
R = ∑ x i yi
i =1
n
i =1
n
S = ∑ x i2
W = ∑ y i2
i =1
i =1
obtenemos para los valores de a y b:
a=
b=
QS − PR
nS − P 2
nR − PQ
nS − P 2
10
(13)
(14)
Valores que sustituidos en la ecuación Y = a + bX nos permite obtener la ecuación de la recta de
regresión.
Si la recta a ajustar pasa por el origen de coordenadas, únicamente necesitaremos la pendiente b y
la ecuación será: Y = bX.
El cálculo de las expresiones de los errores de a y b implica un estudio más complejo de la
situación, lo cual cae fuera de nuestro análisis. Sin embargo, dada su necesidad en los casos de aplicación
práctica, daremos sus expresiones finales.
12
⎤
⎡
SM
ε(a ) = ⎢
⎥
2
⎣⎢ (n − 2)(nS − P ) ⎦⎥
(15)
12
⎤
⎡
nM
ε( b) = ⎢
⎥
2
⎣⎢ (n − 2)(nS − P ) ⎦⎥
Fig.8
Fig.9
(16)
En el ajuste de mínimos cuadrados realizado, hemos
supuesto que Y era la variable dependiente, determinando los
coeficientes a y b a partir de la condición expresada en la ecuación
(12).
Puesto que estamos estudiando la existencia de una
relación lineal entre las variables X e Y, sería también correcto
suponer que X es una función de Y, tratando de encontrar si los
datos se corresponden con una recta de la forma X = a´ + b´Y. Un
proceso análogo al realizado anteriormente nos permite encontrar
los valores de a´ y b´ que serán distintos de los hallados en las
ecuaciones (13) y (14), si bien existirá una relación entre ellos si
existe correlación entre X e Y.
Por lo tanto, si la correlación es completa, es decir, si los
puntos están alineados según una recta, entonces:
a′
⎧
a=−
⎪
a′ 1
⎪
b′
Y = a + bX = − + X ⇒ ⎨
b′ b′
⎪b = 1 o bien b ⋅ b′ = 1
⎪⎩
b′
En el caso de los estudios experimentales, se define un coeficiente de correlación r = bb′ que
cuantifica el grado de relación lineal entre las variables X e Y. En otras palabras, es un índice que nos
mide la bondad del ajuste de los datos experimentales a la recta teórica. El módulo de r varía entre 0 y 1,
incluido ambos extremos. Si r = 1, el ajuste es perfecto y la correlación es máxima, mientras que si r = 0
no hay correlación. En general el coeficiente no será 1 debido al carácter experimental de los puntos
ajustados, sin embargo, cuanto más se aproxime a la unidad, mayor será la posibilidad de que las
variables X e Y dependan funcionalmente entre sí en forma lineal.
La ecuación que nos permite calcular r viene dada por:
11
r=
nR − PQ
[(nS − P )(nW − Q )]
2 12
2
(17)
Desde un punto de vista práctico el cálculo de las expresiones (13) a (17) implica un proceso largo
y tedioso, sin embargo el alumno dispondrá en el laboratorio de un programa informático que hará la
tarea muy sencilla.
Veamos a continuación un caso práctico de aplicación del método de mínimos cuadrados. Para
ello volvemos al ejemplo de la variación del período de un péndulo simple con la longitud, que ya vimos
en el apartado dedicado a la determinación del error de una magnitud medida indirectamente. En
este caso volvemos a aplicar la expresión conocida (10):
l
T = 2π
g
Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación obtendremos:
4π 2
(18)
l
g
donde observamos que T2 varía linealmente con l, de manera que si representamos gráficamente T2 frente
a l obtenemos una recta que pasa por el origen de coordenadas y cuya pendiente resulta ser:
T2 =
b=
T 2 4π 2
=
l
g
(19)
4π 2
b
(20)
expresión que nos permite calcular el valor de g (*):
g=
En esta experiencia utilizamos varios péndulos simples de igual masa pero de diferentes
longitudes, midiendo el período de cada uno de ellos. En la tabla que viene a continuación consignamos
los datos obtenidos, teniendo en cuenta que el período obtenido para cada longitud es el valor medio de
cinco medidas. De esta forma obtenemos:
l (m)
0,588 + 0,001
0,708 + 0,001
0,925 + 0,001
1,010 + 0,001
1,181 + 0,001
T (s) (**)
1,543 + 0,003
1,684 + 0,003
1,932 + 0,003
2,017 + 0,003
2,187 + 0,003
T2 (s2)
2,381 + 0,009
2,836 + 0,010
3,73 + 0,02
4,07 + 0,02
4,78 + 0,02
El ajuste por mínimos cuadrados realizado introduciendo los datos de la tabla en el programa
informático antes mencionado, nos da los siguientes resultados:
pendiente: b = 4,06
ordenada en el origen: a = - 0,02
coeficiente de correlación: r = 0,9999118
(*)
(**)
ε(b) = 0,03
ε(a) = 0,03
Este método que hemos aplicado a la expresión (10) se denomina linealizar una ecuación.
Conviene advertir que en este caso todos los errores absolutos coinciden debido al redondeo, pero no siempre sucederá así.
12
de esta forma, obtenemos mediante la expresión (20):
4π 2
= 9,72
4,06
dg
ε(g) =
ε(b) = 0,07
db
g=
por lo tanto:
g = (9,72 + 0,07) m/s2
13