1-grupos

CUADERNOS DE ÁLGEBRA No. 1 Grupos Oswaldo Lezama Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogotá 30 de mayo de 2017 ii Cuaderno dedicado a Justo Pastor, mi padre. Contenido Prólogo vi 1. Grupos y subgrupos 1.1. Operaciones binarias y estructuras algebraicas elementales 1.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Generación de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 9 12 15 17 . . . . . . 24 24 26 28 29 30 32 2. Grupos cı́clicos 2.1. Definición . . . . . . . . . . . . 2.2. Orden y periodo de un elemento 2.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . 2.4. Propiedades . . . . . . . . . . . 2.5. Generadores . . . . . . . . . . . 2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Subgrupos normales y homomorfismos 3.1. Subgrupos normales . . . . . . . . . . 3.2. Grupo cociente . . . . . . . . . . . . . 3.3. Homomorfismo de grupos . . . . . . . . 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 34 35 38 40 4. Teoremas de estructura 4.1. Teorema fundamental de homomorfismo 4.2. Teorema de factorización . . . . . . . . . 4.3. Teorema de correspondencia . . . . . . . 4.4. Teoremas de isomorfismo . . . . . . . . . 4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 42 44 46 47 52 iii iv CONTENIDO 5. Automorfismos 5.1. Automorfismos interiores 5.2. Teorema de Cayley . . . 5.3. Ejemplos . . . . . . . . . 5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Grupos de permutaciones 6.1. Ciclos . . . . . . . . . . . . . 6.2. El grupo alternante An . . . . 6.3. Sistemas de generadores . . . 6.4. El grupo diédrico Dn , n ≥ 3 . 6.5. Subgrupos normales del grupo 6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dn , n ≥ 3 . . . . . . 7. Productos y sumas directas 7.1. Definición . . . . . . . . . . . . . 7.2. Producto cartesiano: caso infinito 7.3. Suma directa externa . . . . . . . 7.4. Suma directa interna . . . . . . . 7.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 53 54 55 60 . . . . . . 61 61 65 67 70 73 74 . . . . . 75 75 77 78 80 85 8. G-conjuntos 8.1. Acción de grupos sobre conjuntos 8.2. Órbitas y subgrupos estacionarios 8.3. Grupos transitivos . . . . . . . . 8.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 87 89 93 96 9. Teoremas de Sylow 9.1. p-grupos . . . . . 9.2. Preliminares . . . 9.3. Teoremas . . . . 9.4. Aplicaciones . . . 9.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 97 100 103 106 110 . . . . . 111 . 111 . 114 . 116 . 118 . 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.Grupos abelianos finitos 10.1. p-grupos abelianos finitos . 10.2. Sistemas de invariantes . . 10.3. Grupos abelianos finitos . 10.4. Grupos de orden ≤ 15 . . 10.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v CONTENIDO 11.Grupos solubles 11.1. Centro de un grupo . . . 11.2. Conmutante de un grupo 11.3. Cadenas normales . . . . 11.4. Grupos solubles . . . . . 11.5. Ejercicios . . . . . . . . Bibliografı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 . 120 . 121 . 126 . 132 . 133 134 Prólogo La colección Cuadernos de álgebra consta de 10 publicaciones sobre los principales temas de esta rama de las matemáticas, y pretende servir de material para preparar los exámenes de admisión y de candidatura de los programas colombianos de doctorado en matemáticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material básico de los cursos de estructuras algebraicas y álgebra lineal de los programas de maestrı́a; los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los exámenes de candidatura, a saber: anillos y módulos; categorı́as; álgebra homológica; álgebra no conmutativa; álgebra conmutativa y geometrı́a algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los últimos 25 años, y están basados en las fuentes bibliográficas consignadas en cada uno de ellos, como también en el libro Anillos, Módulos y Categorı́as, publicado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edición está totalmente agotada (véase [8]). Un material similar, pero mucho más completo que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge Lang, Algebra, cuya tercera edición revisada ha sido publicada por Springer en el 2004 (véase [7]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de álgebra sea su presentación ordenada y didáctica, ası́ como la inclusión de muchas pruebas omitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teorı́a. Los cuadernos son: 1. 2. 3. 4. 5. Grupos Anillos Módulos Álgebra lineal Cuerpos 6. Anillos y módulos 7. Categorı́as 8. Álgebra homológica 9. Álgebra no conmutativa 10. Geometrı́a algebraica Los cuadernos están divididos en capı́tulos, los cuales a su vez se dividen en secciones. Para cada capı́tulo se añade al final una lista de ejercicios que deberı́a ser complementada por los lectores con las amplias listas de problemas que incluyen las principales monografı́as relacionadas con el respectivo tema. Cuaderno de grupos. La teorı́a de grupos, como todas las ramas del álgebra contemporánea, estudia ciertos objetos matemáticos llamados grupos, ası́ como las relaciones entre estos objetos, llamadas homomorfismos. Podrı́amos justificar el esvi PRÓLOGO vii tudio de la teorı́a de los grupos diciendo que los conjuntos son para la matemática como los grupos son para el álgebra. En el primer capı́tulo daremos la definición axiomática de la estructura abstracta de grupo y veremos algunos conjuntos estructurados como grupos. Se estudiará la noción de subgrupo y se demostrará un teorema de gran imortancia dentro de la teorı́a de grupos finitos como es el teorema de Lagrange. Quizá los grupos abelianos más importantes son los llamados grupos cı́clicos, ya que los grupos abelianos finitamente generados son expresables a través de sumas directas de grupos cı́clicos. En el segundo capı́tulo mostraremos las propiedades básicas de los grupos cı́clicos. El objetivo central del capı́tulo 3 es mostrar la estrecha relación que guardan los conceptos de subgrupo normal y homomorfismo de grupos. Será demostrado que, salvo isomorfismo, hay tantos subgrupos normales en un grupo G como imágenes homomorfas tiene este último. Los conceptos de homomorfismo e isomorfismo, ası́ como los teoremas correspondientes, son el objeto del capı́tulo 4. Por medio de estos teoremas es posible caracterizar las imágenes homomorfas de un grupo, y ellos son herramienta clave para la clasificación de grupos, en particular, para la clasificación de grupos finitos. Los homomorfismos biyectivos de un grupo G en sı́ mismo se conocen como los automorfismos de G. Estas funciones conforman un grupo que tiene información importante relativa sobre grupo G y serán estudiados en el quinto capı́tulo. En el capı́tulo 6 estudiaremos con algún detalle al grupo simétrico Sn . Destacaremos en Sn el subgrupo alternante An y describiremos el grupo diédrico de grado n, Dn , por medio de permutaciones. El objetivo del capı́tulo 7 es presentar la construcción del grupo producto cartesiano y la suma directa externa para una familia dada de grupos. Como fundamento teórico para la demostración de los teoremas de Sylow, en el capı́tulo 8 serán tratadas las acciones de grupos sobre conjuntos. Para los grupos cı́clicos finitos es válido el recı́proco del teorema de Lagrange (véase el segundo capı́tulo), es decir, si G un grupo cı́clico finito de orden n y m divide a n entonces G contiene exactamente un subgrupo de orden m. En el noveno capı́tulo se mostrará que la afirmación anterior es válida para cuando m es potencia de un primo. Este resultado es uno de los famosos teoremas de Sylow. El objetivo del capı́tulo 10 es describir para un entero positivo n dado todos los grupos abelianos de orden n (salvo isomorfismo). Se incluirá tambien en este capı́tulo una tabla con la lista de todos los grupos de orden ≤ 15. Por último, una de las más importantes generalizaciones de la noción de conmutatividad es la solubilidad, de la cual nos ocupamos en el capı́tulo 11. El material presentado está complementado con una gran variedad de ejemplos que ilustran las definiciones y propiedades estudiadas a lo largo del texto. Estos ejemplos constituyen parte muy importante de la teorı́a básica de grupos introducida en el presente cuaderno. viii PRÓLOGO El autor desea expresar su agradecimiento a Milton Armando Reyes Villamil, discı́pulo, colega y amigo, por la digitalización del material, y a Fabio Alejandro Calderón Mateus por la lectura cuidadosa y las correcciones finales introducidas al presente cuaderno. Oswaldo Lezama Departamento de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia Bogotá, Colombia jolezamas@unal.edu.co Capı́tulo 1 Grupos y subgrupos La teorı́a de grupos estudia ciertos objetos matemáticos llamados grupos, ası́ como las relaciones entre ellos, los homomorfismos. Podrı́amos justificar el estudio de la teorı́a de los grupos diciendo que los conjuntos son para la matemática como los grupos son para el álgebra. En este primer capı́tulo presentamos la definición axiomática de la estructura abstracta de grupo y veremos algunos ejemplos notables. Se estudiará la noción de subgrupo y se demostrará un teorema de gran importancia dentro de la teorı́a de grupos finitos como es el teorema de Lagrange sobre clases laterales. 1.1. Operaciones binarias y estructuras algebraicas elementales En esta sección definimos el concepto de operación entre elementos de un conjunto, noción que hemos utilizado tácitamente en todas nuestras matemáticas elementales. Se dará además una definición precisa de las propiedades más comunes de las que gozan estas operaciones. Esto permitirá introducir posteriormente la estructura de grupo. Definición 1.1.1. Sea G un conjunto no vacı́o. Una operación binaria interna (ley de composición interna) en G es una función 4 : G × G → G del producto cartesiano de G con G en G. Ası́ pues, a cada par ordenado (x, y) de elementos de G se le asigna un único elemento de G. La imagen del par (x, y) mediante la función 4 se denota por x 4 y. Se dice también que x 4 y es el resultado de operar x con y (en ese orden). 1 2 CAPÍTULO 1. GRUPOS Y SUBGRUPOS Ejemplo 1.1.2. La adición de números naturales es una ley de composición: +:N×N→N (a, b) 7→ a + b. Ejemplo 1.1.3. En N podemos definir una función 4 por 4:N×N→N (a, b) 7→ mı́n(a, b). 4 es una operación binaria interna en N. Por ejemplo, 344=3, 542=2, y 343=3. Ejemplo 1.1.4. Sea X un conjunto no vacı́o y sea P (X) el conjunto de todos los subconjuntos de X. La intersección de conjuntos define una operación binaria interna en P (X): ∩ : P (X) × P (X) → P (X) (A, B) 7→ A ∩ B. Ejemplo 1.1.5. En el conjunto de los números naturales N definimos la función: ∗:N×N→N a ∗ b 7→ (a 4 b) + 2, donde la operación 4 es como en el ejemplo 1.1.3. Ası́ pues, 5 ∗ 3 = (543) + 2 = 3 + 2 =5, 4 ∗ 4 = (444) + 2 = 4 + 2 = 6. Ejemplo 1.1.6. La función ∇ : Z × Z → Z, definida por a∇b = (ab) ÷ 2 , no define en Z una operación binaria interna. Dado un conjunto G con una operación binaria interna ∆ y dados 3 elementos a,b y c del conjunto G, podemos preguntarnos las maneras de operar estos tres elementos en ese orden e investigar si los resultados de estas formas de operar coinciden. Ası́ pues, en el ejemplo 1.1.2 sean 2,5, 7 ∈ N, entonces 2 + 5 = 7, 7 + 7 = 14, 5 + 7 = 12, 2 + 12 = 14. Es decir, (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7), donde los paréntesis indican la secuencia en que se han efectuado las operaciones. Es bien conocido que para la adición de números naturales esta propiedad es válida, es decir, cualesquiera que sean a, b, c ∈ N, se cumple (a + b) + c = a + (b + c). Nótese sin embargo que en el ejemplo 1.1.5 sobre N se definió la operación ∗ la cual no cumple esta propiedad: 1.1. OPERACIONES BINARIAS Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ELEMENTALES 3 (3 ∗ 5) ∗ 7 = 5 ∗ 7 = 7, 3 ∗ (5 ∗ 7) = 3 ∗ 7 = 5. Esto permite clasificar las operaciones binarias de acuerdo con esta condición. Definición 1.1.7. Sea ∗ una operación binaria definida sobre un conjunto G. Se dice que la operación ∗ tiene la propiedad asociativa, o que * es una operación asociativa, si para cualesquiera elementos a,b,c de G se cumple la igualdad a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c. De esta definición surge una pregunta inmediata: en el caso que sean dados 4, 5, ó n elementos (en un orden determinado), ¿la secuencia en que se efectuen las operaciones influye en el resultado? Se puede probar por inducción sobre n que si la operación es asociativa, es decir, si para el caso de 3 elementos se tiene la propiedad exigida, entonces la misma propiedad tendrá lugar para cualesquiera n elementos dados. Ası́ pues, si se dan n elementos a1 , . . . , an del conjunto G y suponiendo que la operación ∗ de G es asociativa, los paréntesis que indican la secuencia de como se realizan las operaciones en la expresión a1 ∗ · · · ∗ an pueden ser colocados donde se quiera y el resultado no varı́a. Proposición 1.1.8. Sea G un conjunto donde se ha definido una operación binaria asociativa ∗. Para a ∈ G, sea a1 := a, an := an−1 ∗ a, n ≥ 2. Entonces, para cualesquiera naturales m y n se tienen las identidades an ∗ am = an+m , (an )m = anm . Demostración. La prueba se realiza por inducción y se deja como ejercicio al lector. Definición 1.1.9. Un semigrupo es un conjunto G dotado de una operación binaria interna asociativa ∗, y se denota por (G, ∗). Se dice también que sobre G se tiene una estructura de semigrupo. Ejemplo 1.1.10. (N, +) es un semigrupo. Ejemplo 1.1.11. Sea X un conjunto no vacı́o cualquiera y sea Aplc(X) el conjunto de aplicaciones (funciones) de X en sı́ mismo. Por teorı́a elemental de conjuntos sabemos que la operación composición de funciones ◦ es una operación binaria interna en Aplc(X), y además es asociativa. Ası́ pues, (Aplc(X), ◦) es un semigrupo. El ejemplo anterior ilustra que no toda operación binaria ∗ definida sobre un conjunto G satisface a ∗ b = b ∗ a para todos los elementos a y b de G. 4 CAPÍTULO 1. GRUPOS Y SUBGRUPOS Definición 1.1.12. Sea ∗ una operación binaria definida sobre un conjunto G. Se dice que la operación ∗ es conmutativa si para cualesquiera elementos a y b de G se tiene que: a ∗ b = b ∗ a. Mediante inducción es fácil probar la siguiente propiedad. Proposición 1.1.13. Sea (G, ∗) un semigrupo conmutativo, es decir, la operación ∗ es asociativa y conmutativa. Entonces, para cualesquiera a, b ∈ G y cualquier natural n se tiene que: (a ∗ b)n = an ∗ bn . Demostración. Ejercicio para el lector. Existen conjuntos con operaciones binarias internas donde se destacan elementos especiales. Definición 1.1.14. Sea G un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria ∗. Se dice que el elemento e de G es una identidad de G con respecto a la operación ∗ si para cualquier elemento de G se tiene que: e ∗ a = a = a ∗ e. Ejemplo 1.1.15. En el semigrupo (Z, +), donde Z es el conjunto de números enteros y + es la adición habitual, 0 es una identidad. Surge la siguiente pregunta: ¿en un conjunto G con una operación binaria ∗ pueden existir varias identidades? Proposición 1.1.16. En un conjunto G con una operación binaria ∗ solo puede existir un elemento identidad respecto de ∗. Demostración. Sean e, e0 dos identidades, entonces e ∗ e0 = e = e0 . Nótese que para diferentes operaciones, las identidades no necesariamente coinciden, como tampoco cada operación debe tener un elemento identidad. Por ejemplo, 0 es la identidad del semigrupo (Z, +), 1 es la identidad de (Z, ·) y (N, +) no tiene identidad. Definición 1.1.17. Un monoide es un semigrupo que posee elemento identidad. Definición 1.1.18. Sea G un conjunto dotado de una operación binaria interna ∗ la cual posee un elemento identidad e, se dice que u ∈ G es invertible si existe u0 ∈ G tal que u0 ∗ u = e = u ∗ u0 . El elemento u0 se denomina el inverso de u respecto de la operación ∗. 1.2. GRUPOS 5 En la definición anterior no se exige que cada elemento de G sea invertible. Sin embargo, de esta definición se desprende lo siguiente. Proposición 1.1.19. Sea G un monoide. (i) Si u ∈ G es invertible entonces su inverso u0 es único. (ii) Sean x0 , u0 los inversos de x y u respectivamente. Entonces, x ∗ u es invertible y además (x ∗ u)0 = u0 ∗ x0 , (x0 )0 = x. Demostración. Notemos que (u0 ∗ x0 ) ∗ (x ∗ u) = 1 = (x ∗ u) ∗ (u0 ∗ x0 ). De igual manera, puesto que x0 ∗ x = 1 = x ∗ x0 , entonces (x0 )0 = x. 1.2. Grupos En la sección anterior fueron estudiadas algunas propiedades que pueda tener una operación binaria definida en un conjunto. Ası́ pues, se dijo que cuando la operación binaria ∗ definida sobre el conjunto G es asociativa se obtiene sobre el conjunto G una estructura de semigrupo. Al poseer la operación ∗ más propiedades, la estructura se hace más rica y las posibilidades de operar en G se hacen mayores. Un ejemplo de tal situación lo constituyen los llamados grupos, los cuales pasamos a definir. Definición 1.2.1. Sea G un conjunto no vacı́o y ∗ una operación binaria definida en G. Se dice que G es un grupo respecto de ∗, o también que ∗ da a G una estructura de grupo, si ∗ cumple las siguientes propiedades: (i) ∗ es asociativa. (ii) En G existe un elemento identidad e respecto de ∗. (iii) Cada elemento de G es invertible. Denotaremos un grupo por (G, ∗), pero cuando no haya ambiguedad sobre la operación ∗, escribiremos simplemente G. Definición 1.2.2. Un grupo (G, ∗) es conmutativo, también denominado abeliano, si la operación ∗ es conmutativa. Ejemplo 1.2.3. Los siguientes conjuntos numéricos, donde las operaciones indicadas son las habituales, constituyen grupos conmutativos: (Z, +, 0), (Q, +, 0), (R, +, 0), (C, +, 0). Z, Q, R y C denotan los conjuntos de números enteros, racionales, reales y complejos, respectivamente. 6 CAPÍTULO 1. GRUPOS Y SUBGRUPOS Ejemplo 1.2.4. Los siguientes ejemplos no conforman grupos: (Z, ·, 1): sólo hay dos elementos invertibles: 1 y −1, (Q, ·, 1): el cero no es invertible, (R, ·, 1): el cero no es invertible, (C, ·, 1): el cero no es invertible. Ejemplo 1.2.5. El grupo de elementos invertibles de un monoide: sea (G, ·, 1) un monoide con identidad 1. Entonces, el conjunto de elementos de G que son invertibles no es vacı́o y, respecto de la misma operación, constituye un grupo, el cual se acostumbra a denotar por G∗ : G∗ 6= ∅ ya que 1 ∈ G∗ ; sean x, y ∈ G∗ , entonces xy ∈ G∗ ya que xyy 0 x0 = 1, y 0 x0 xy = 1. Puesto que la operación que actúa sobre los elementos de G∗ es la misma que la de G, entonces la propiedad asociativa también se cumple para G∗ . 1 ∈ G∗ es la identidad. Por último, de acuerdo con la definición de G∗ , cada uno de sus elementos es invertible y su inverso está en G∗ . Notemos por ejemplo que (Z, ·, 1) es un semigrupo conmutativo con elemento identidad 1 y Z∗ = {1,- 1}. De igual manera, (Q∗ , ·, 1); (R∗ , ·, 1); (C∗ , ·, 1) son grupos conmutativos, con Q∗ = Q\ {0} , R∗ = R\ {0} , C∗ = C\ {0} . De la proposición 1.1.19 y de la definición de grupo se obtienen de manera inmediata las siguientes conclusiones. Proposición 1.2.6. Sea (G, ·, 1) un grupo. Entonces, (i) El elemento identidad 1 del grupo G es único. (ii) Cada elemento x de G tiene un único inverso, el cual se denota por x−1 . (iii) Se cumple la ley cancelativa, es decir, para cualesquiera elementos x, y, z ∈ G se tiene que x·z =y·z ⇔ x=y z · x = z · y ⇔ x = y. (iv) Sean a, b elementos cualesquiera de G, entonces las ecuaciones lineales a·x = b y z · a = b tienen solución única en G. 1.2. GRUPOS 7 Demostración. Ejercicio para el lector. La proposición que demostraremos a continuación indica que los axiomas que definen un grupo pueden ser debilitados. Proposición 1.2.7. Sea (G, ∗) un semigrupo. Entonces, G es un grupo si, y sólo si, ∗ tiene las siguientes propiedades: (i) Existe un elemento identidad a la izquierda e ∈ G tal que e ∗ x = x, para cada x ∈ G. (ii) Para cada x ∈ G existe x0 ∈ G tal que x0 ∗ x = e. Demostración. ⇒): Las condiciones (i) y (ii) se cumplen trivialmente ya que G es un grupo. ⇐): Sea (G, ∗) un semigrupo en el cual se cumplen las condiciones (i) y (ii). Demostremos que el inverso x0 de x a la izquierda es también a la derecha, es decir, x ∗ x0 = e. Sea x ∗ x0 = y ∈ G, entonces y ∗ y = x ∗ x0 ∗ x ∗ x0 = x ∗ (x0 ∗ x) ∗ x0 = x ∗ (e ∗ x0 ) = x ∗ x0 = y. Ahora, por (ii), existe y 0 ∈ G tal que y 0 ∗ y = e. Ası́ pues, de y ∗ y = y se deduce que (y 0 ∗ y) ∗ y = y 0 ∗ y, luego e ∗ y = e, es decir, y = e, de donde, x ∗ x0 = e. Finalmente, probemos que x ∗ e = x: x ∗ e = x ∗ (x0 ∗ x) = (x ∗ x0 ) ∗ x = e ∗ x = x. Observación 1.2.8. (i) Según la proposición anterior, si se da un semigrupo G, es suficiente encontrar en G un elemento identidad a la izquierda e y encontrar para cada x ∈ G un inverso a la izquierda x0 para concluir que G es un grupo. (ii) La proposición anterior es válida también por el lado derecho. (iii) No es siempre cierto que si en un semigrupo (G, ∗) tiene lugar la propiedad (i) por la derecha y la propiedad (ii) por la izquierda el sistema sea un grupo. Por ejemplo, sea G un conjunto no vacı́o cualquiera y sea ∗ definida por a ∗ b = a. ∗ es claramente asociativa. Además, cualquier elemento x0 de G es identidad a la derecha: a ∗ x0 = a. También, dado a ∈ G, a tiene inverso a la izquierda respecto del elemento x0 : x0 ∗ a = x0 . Sin embargo, (G, ∗) no es un grupo en el caso que G tenga al menos tres elementos distintos a, b, c. En efecto, si G fuera un grupo se tendrı́a la ley cancelativa: 8 CAPÍTULO 1. GRUPOS Y SUBGRUPOS a ∗ b = a, a ∗ c = a, a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c. Análogamente, si tiene lugar la propiedad (i) a la izquierda y la propiedad (ii) a la derecha, el sistema (G, ∗) no es necesariamente un grupo. Presentamos a continuación algunos ejemplos notables de grupos. Ejemplo 1.2.9. El grupo de elementos invertibles del semigrupo Aplc(X), denotado por S(X), está constituido por las funciones f : X → X tales que existe g : X → X para la cual f ◦ g = iX = g ◦ f . En otras palabras, f ∈ S(X) si, y sólo si, f es una función biyectiva. S(X) es pues el grupo de todas las funciones biyectivas definidas de X en X. En el caso en que X sea un conjunto finito de n ≥ 1 elementos, S(X) se denota por Sn . Este grupo será estudiado en detalle en el capı́tulo 6. Para el caso n = 3, los elementos de S3 son:       x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3  ↓ ↓ ↓ , ↓ ↓ ↓ , ↓ ↓ ↓  x3 x2 x1 x1 x2 x3 x1 x3 x2       x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3  ↓ ↓ ↓  ,  ↓ ↓ ↓  ,  ↓ ↓ ↓ . x2 x1 x3 x2 x3 x1 x3 x1 x2 Notemos que este grupo no es conmutativo. Ejemplo 1.2.10. Sea X un conjunto no vacı́o y sea (G, .) un grupo con elemento identidad 1. Sea Aplc(X, G) el conjunto de funciones de X en G. Se define en este conjunto la siguiente operación: fg : X → G x 7→ (f g)(x) = f (x) · g(x), donde f, g son elementos de Aplc(X, G) y x ∈ X. Esta operación convierte a Aplc(X, G) en un grupo. Nótese que el elemento identidad es la función i que asigna a cada elemento x de X el elemento identidad 1 de G. El inverso de la función f es una función f −1 tal que f −1 (x) = f (x)−1 , para cada x ∈ X. Un caso particular de esta construcción es cuando X = N y G = (R, +), en este caso Aplc(N, R) es el grupo de sucesiones reales. Ejemplo 1.2.11. Del álgebra lineal tenemos el siguiente ejemplo: sea Mn×m (R) el conjunto de matrices rectangulares de n filas y m columnas con la operación habitual de adición definida sobre las entradas de las matrices. Esta operación convierte a Mn×m (R) en un grupo conmutativo, en el cual el elemento identidad es la matriz 1.3. SUBGRUPOS 9 nula y el inverso aditivo de una matriz F := [fij ] es la matriz cuyas entradas son los elementos opuestos a las entradas de la matriz F , es decir, −F := [−fij ]. El grupo de matrices cuadradas de tamaño n × n se denota por Mn (R). Ejemplo 1.2.12. En álgebra elemental se consideran los polinomios a0 + a1 x + · · · + an xn con coeficientes reales; la colección de todos estos polinomios (n no es fijo) se denota por R[x], y constituye un grupo respecto de la adición mediante reducción de términos semejantes. El polinomio nulo es el elemento identidad y el inverso aditivo de un polinomio se obtiene cambiándole el signo a cada uno de sus coeficientes. 1.3. Subgrupos Dado un grupo (G, ·, 1) y un subconjunto no vacı́o S de G, es interesante conocer si bajo la misma operación binaria S tiene también estructura de grupo. Lo primero que deberá cumplirse es que el producto x · y de dos elementos del conjunto S debe permanecer también en S. Definición 1.3.1. Sean (G, ·, 1) un grupo y S 6= ∅ un subconjunto G. Se dice que S es un subgrupo de G si S bajo la operación · tiene estructura de grupo. En tal caso se escribe S ≤ G. De acuerdo con esta definición tendrı́amos que verificar cuatro condiciones para garantizar que un subconjunto ∅ = 6 S ⊆ G constituye un subgrupo: (i) Si x, y ∈ S, entonces x · y ∈ S. (ii) La operación · es asociativa en S. (iii) En S hay elemento identidad con respecto a la operación · (iv) Cada elemento x de S tiene un inverso x−1 en S respecto de la operación · y del elemento identidad encontrado en (iii). Sin embargo, como lo muestra la siguiente proposición, sólo hay que comprobar el cumplimiento de dos condiciones. Proposición 1.3.2. Sea (G, ·, 1) un grupo y ∅ 6= S ⊆ G. S es un subgrupo de G respecto de la operación · si, y sólo si, se cumplen las siguientes condiciones: (i) Si a, b ∈ S entonces a · b ∈ S. (ii) Si a ∈ S entonces a−1 ∈ S. 10 CAPÍTULO 1. GRUPOS Y SUBGRUPOS Demostración. ⇒): Si S es un subgrupo de G, entonces S bajo la operación · es un grupo. Por tanto, · es una operación binaria en S, con lo cual se garantiza la condición (i). Puesto que S 6= ∅, sea a ∈ S; sabemos entonces que las ecuaciones a · x = a y x · a = a tienen soluciones únicas en el grupo S, pero estas condiciones pueden ser consideradas en el grupo G, por tanto, 1, que es la solución de ellas en G, debe ser también la solución en S, es decir, 1 ∈ S. Ahora, las ecuaciones a · x = 1 y x · a = 1 también tienen soluciones únicas tanto en S como en G. Esto indica que a−1 ∈ S y la condición (ii) está demostrada. ⇐): La condición (i) indica que · define en S una operación binaria interna. La asociatividad de · en S es evidente ya que se cumple para todos los elementos de G, en particular, para los elementos de S. Sea a ∈ S (S 6= ∅). Entonces, según (ii), a−1 ∈ S, y según (i), a · a−1 = 1 = a−1 · a ∈ S. Ejemplo 1.3.3. Subgrupos triviales. Todo grupo (G, ·, 1) tiene al menos dos subgrupos, llamados sus subgrupos triviales: 1 := {1}, G := (G, ·, 1). Ejemplo 1.3.4. (Z, +, 0) ≤ (Q, +, 0) ≤ (R, +, 0) ≤ (C, +, 0). Esta cadena de subgrupos induce la siguiente propiedad evidente. Proposición 1.3.5. Sean (G, ·, 1) un grupo, (H, ·, 1) un subgrupo de G y (K, ·, 1) un subgrupo de H, entonces (K, ·, 1) es un subgrupo de (G, ·, 1). Demostración. Evidente a partir de la proposición 1.3.2. Ejemplo 1.3.6. (Z∗ , ·, 1) ≤ (Q∗ , ·, 1) ≤ (R∗ , ·, 1) ≤ (C∗ , ·, 1). Ejemplo 1.3.7. Sea X un conjunto no vacı́o y sea S(X) el grupo de permutaciones de X respecto de la operación de composición de funciones. Sea x0 un elemento fijo de X. Sea C := {f ∈ S(X) | f (x0 ) = x0 } el conjunto de funciones que dejan fijo el punto x0 . Entonces, C ≤ S(X) : C 6= ∅ ya que iX ∈ C. Sean f, g ∈ C, entonces (f ◦ g)(x0 ) = f [g(x0 )] = f (x0 ) = x0 , ası́ pues f ◦ g ∈ C. Ahora, sea f ∈ C; f −1 (x0 ) = f −1 [f (x0 )] = (f −1 ◦ f )(x0 ) = iX (x0 ) = x0 , por tanto f −1 ∈ C. Como caso particular, sea S(X) = S3 y sea C el conjunto de permutaciones que dejan fijo el punto 3, entonces     1 2 3   1 2 3 C =  ↓ ↓ ↓ , ↓ ↓ ↓  .   1 2 3 2 1 3 Ejemplo 1.3.8. Para un semigrupo con notación multiplicativa fueron definidas las potencias enteras positivas (véase la proposición 1.1.8). Pretendemos ahora extender estas potencias a todos los enteros y presentar la correspondiente notación para el caso de los grupos aditivos. Sea G un grupo, entonces 1.3. SUBGRUPOS Notación multiplicativa (G, ·, 1) a1 := a an := an−1 · a, n ∈ Z+ a0 := 1 −n a := (a−1 )n , n ∈ Z+ 11 Notación aditiva (G, +, 0) 1 · a := a n · a := (n − 1) · a + a, n ∈ Z+ 0 · a := 0 (−n) · a := n · (−a), n ∈ Z+ . Teniendo en cuenta esta definición, es posible demostrar por inducción matemática las siguientes relaciones en cualquier grupo: Notación multiplicativa Notación aditiva (an )m = anm an · am = an+m (an )−1 = a−n m · (n · a) = (mn) · a (n · a) + (m · a) = (n + m) · a −(n · a) = (−n) · a para cualesquiera m, n ∈ Z. Sea (G, ·, 1) un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. Simbolizamos por hai el conjunto de todos los elementos de G que son potencias enteras de a : hai = {. . . , a−3 , a−2 , a−1 , 1, a, a2 , a3 , . . . } = {an | n ∈ Z}. Nótese que hai es un subgrupo de G: claramente hai es no vacı́o ya que a ∈ hai, y además Si x = an ∈ hai , y = am ∈ hai, entonces xy = an+m ∈ hai . Si x = an ∈ hai entonces x−1 = (an )−1 = (a−n ) ∈ hai. hai se denomina el subgrupo cı́clico de G generado por el elemento a. En notación aditiva tenemos que el subgrupo cı́clico generado por a es: hai = {. . . , −3a, −2a, −a, 0, a, 2a, 3a, . . . } = {n · a | n ∈ Z}. Definición 1.3.9. Sea G un grupo, se dice que G es cı́clico si existe un elemento a ∈ G tal que el subgrupo cı́clico generado por a coincide con todo el grupo G, es decir, G = hai. Ejemplo 1.3.10. El grupo Z. (Z, +, 0) es un grupo cı́clico y todos sus subgrupos son cı́clicos. Sea H ≤ Z, si H = {0} es el subgrupo trivial nulo, entonces claramente h0i = {0} y H es cı́clico. Supongamos que H 6= {0}. Entonces existe k 6= 0, k entero, k ∈ H. Si k ∈ Z− , entonces −k ∈ Z+ y −k ∈ H. Ası́ pues, el conjunto H + := {x ∈ H | x ∈ Z+ } = 6 ∅. 12 CAPÍTULO 1. GRUPOS Y SUBGRUPOS Ya que (Z+ , ≤) es bien ordenado, existe un entero positivo mı́nimo n en H. Queremos probar que H coincide con el subgrupo cı́clico generado por n, es decir, H = hni . En efecto, sea p ∈ H. Existen enteros q, r tales que p = q · n + r, 0 ≤ r < n, luego r = p + [− (q · n)]. Si q ∈ Z+ , entonces r = p + q · (−n). Como −n y p ∈ H se tiene que r ∈ H. Por la escogencia de n, r = 0 y ası́ p = q · n ∈ hni. Si q ∈ Z− , entonces −q ∈ Z+ y r = p + [(−q) · n]. Como p, n ∈ H, entonces r ∈ H y nuevamente r = 0, con lo cual p = q · n ∈ hni. Si q = 0 entonces p = r ∈ H, luego r = 0 y ası́ p = 0 ∈ hni. En los tres casos hemos probado que H ≤ hni. Puesto que n ∈ H, la otra inclusión es obvia. Se ha demostrado que cada subgrupo H de Z es cı́clico y generado por el menor entero positivo n contenido en H. Además, hni = h−ni . Ası́ pues, los subgrupos de Z son: hni , n ≥ 0. Observación 1.3.11. En adelante omitiremos en la teorı́a general de grupos con notación mutltiplicativa el punto para representar la operación correspondiente, ası́ pues, escribiremos xy en lugar de x · y para denotar el producto de los elementos x, y. 1.4. Generación de subgrupos Dado un subconjunto X de un grupo G se desea establecer si existe un subgrupo H en G, distinto de G, que contenga a X. En caso de que podamos determinar una colección de tales subgrupos, conviene preguntar cuál es el subgrupo más pequeño de G que contiene X. Antes de responder a estas preguntas aclaremos primero la expresión “subgrupo más pequeño”. Proposición 1.4.1. Sea G un grupo. En el conjunto de todos los subgrupos de G la relación “ser subgrupo de” determina un orden parcial. Demostración. Evidente. Como en cualquier conjunto parcialmente ordenado, podemos hablar de subgrupo maximal y subgrupo minimal. Definición 1.4.2. Sean (G, ·, 1) un grupo y H 6= G un subgrupo de G. (i) Se dice que que H es un subgrupo maximal de G, si para cada subgrupo K de G se tiene H ≤ K ⇔ (K = H ó K = G). (ii) Se dice que H 6= {1} es un subgrupo minimal de G, si para cada subgrupo K de G se tiene 1.4. GENERACIÓN DE SUBGRUPOS 13 K ≤ H ⇔ (K = H ó K = {1}). Ejemplo 1.4.3. Los subgrupos maximales del grupo (Z, +, 0) son de la forma hpi, donde p es primo. Además, (Z, +, 0) no posee subgrupos minimales. Queremos responder ahora las preguntas planteadas al principio de la sección. Proposición 1.4.4. Sean G un grupo, {Hi }i∈I una familia de subgrupos de G y X un subconjunto cualquiera de G. Entonces, T (i) La intersección i∈I Hi es un subgrupo de G. (ii) Existe en G un subgrupo, denotado por hXi, que contiene a X y es el más pequeño subgrupo de G con dicha propiedad. (iii) hXi coincide con la intersección de la familia de todos los subgrupos de G que contienen a X. (iv) h∅i = 1. Demostración. Evidente. La proposición anterior no permite de una manera concreta determinar los elementos del subgrupo hXi, ya que serı́a necesario determinar todos los subgrupos de G que contienen X y luego efectuar la intersección. Se tiene en cambio el siguiente resultado. Proposición 1.4.5. Sean (G, ·, 1) un grupo y X 6= ∅ un subconjunto de G. Entonces, hXi = {xε11 · · · xεnn | xi ∈ X, εi = ±1, n ≥ 1}. Demostración. Sea S el conjunto de la derecha de la igualdad anterior. Entonces, θm S es un subgrupo de G: sean x = xε11 · · · xεnn , y = y1θ1 · · · ym dos elementos de S, θm entonces xy = xε11 · · · xεnn y1θ1 · · · ym tiene la forma de los elementos del conjunto S. Es claro que el inverso de un elemento de S tiene la forma de los elementos de S. Además, S contiene al conjunto X: en efecto, para cada elemento x de X se tiene que x = x1 ∈ S. De lo anterior se obtiene que hXi ≤ S. De otra parte, \ hXi = H X⊆H≤G entonces, cada H que contiene a X contiene a todos los productos de elementos de X e inversos de elementos de X, ası́ pues, cada H que contiene a X contiene también a S, luego S ≤ hXi. Corolario 1.4.6. Sean (G, ·, 1) un grupo abeliano y ∅ = 6 X ⊆ G. Entonces, 14 CAPÍTULO 1. GRUPOS Y SUBGRUPOS hXi = xk11 · · · xknn | ki ∈ Z, xi ∈ X, n ≥ 1 . En notación aditiva, hXi = {k1 · x1 + · · · + kn · xn | ki ∈ Z, xi ∈ X, n ≥ 1}. Demostración. Como G es abeliano, para cada elemento x = xε11 · · · xεnn ∈ hXi podemos agrupar las potencias de elementos iguales. Definición 1.4.7. Sea G un grupo y sea X un subconjunto de G. hXi se denomina el subgrupo generado por X y a X se le llama un conjunto de generadores de hXi. Si X es finito y hXi = G se dice que G es un grupo finitamente generado. Ejemplo 1.4.8. Todo grupo cı́clico G con generador a es un grupo finitamente generado con conjunto generador {a}: G = h{a}i = hai = ak | k ∈ Z . Nótese por ejemplo que Z = h{1}i = h1i = {k · 1 | k ∈ Z}. Ejemplo 1.4.9. Sea (Q, +, 0) el grupo aditivo de los números racionales, entonces Q= 1 n |n∈N . En efecto, sea r un racional. Si r es positivo entonces podemos considerar que r es p 1 de la forma r = q , con p, q ∈ N, luego r = p · q . Si r = 0 entonces r = 01 = 0 · 11 . Si r es negativo entonces podemos suponer que r es de la forma r = luego r = (−p) · 1q . −p , q con p, q ∈ N Ejemplo 1.4.10. Sea (Q∗ , ·, 1) el grupo multiplicativo de los números racionales no nulos, entonces Q∗ = h−1, 2, 3, 5, 7, . . . i = hx ∈ Q | x = −1 ó x es primo positivoi. En efecto, sea r un racional no nulo. Si r es positivo entonces r es de la forma p, q ∈ N. p y q se pueden descomponer en factores primos, p q con p = pα1 1 · · · pαr r , q = q1β1 · · · qsβs , con α1 ,. . . , αr , β1 , . .. , βs ∈ N ∪ {0}, p = pq −1 = (pα1 1 · · · pαr r ) q1−β1 · · · qs−βs . q Si r es negativo podemos suponer que r es de la forma − pq con p, q ∈ N, entonces r = − pq = (−1) pq = (−1)pq −1 = (−1)pα1 1 · · · pαr r q1−β1 · · · qs−βs . Proposición 1.4.11. Sea G un grupo y H un subconjunto no vacı́o de G. Entonces 1.5. TEOREMA DE LAGRANGE 15 (i) H ≤ G ⇔ hHi = H. (ii) X ⊆ Y ⊆ G ⇒ hXi ≤ hY i. (iii) hXi ∪ hY i ⊆ hX ∪ Y i. Demostración. (i) es evidente. (ii) hY i es un subgrupo de G que contiene a Y ⊇ X, por tanto, hXi ≤ hY i. (iii) hX ∪ Y i ⊇ X ∪ Y ⊇ X, luego hX ∪ Y i ≥ hXi. Análogamente, hX ∪ Y i ≥ hY i, de donde hXi ∪ hY i ⊆ hX ∪ Y i (en general, la unión de subgrupos no es un subgrupo). Proposición 1.4.12. Sea G un grupo finitamente generado y sea H un subgrupo propio de G. Entonces, existe un subgrupo maximal de G que contiene a H. Demostración. Sea {x1 , . . . , xn } un sistema finito de generadores de G. Sea Φ := {K | H ≤ K G}. Observemos que Φ 6= ∅ ya que H ∈ Φ. (Φ, S ≤) es un conjunto 0 parcialmente ordenado. Sea Φ0 una cadena de Φ. Sea H := K, la unión de los subgrupos K de esta cadena. Nótese que H ≤ H 0 ≤ G. En efecto, Sean x, y ∈ H 0 , entonces existen Kx ,Ky ∈ Φ0 tales que x ∈ Kx , y ∈ Ky . Como Φ0 es totalmente ordenado podemos suponer que Kx ≤ Ky y entonces x, y ∈ Ky , luego xy ∈ Ky , con lo cual xy ∈ H 0 . Además, x−1 ∈ Kx ⊆ H 0 . Ahora, como H ≤ K para cada K ∈ Φ0 , entonces H ≤ H 0 . Observemos que H 0 6= G. En efecto, si H 0 = G = hx1 , . . . , xn i, entonces x1 ∈ Kx1 , . . . , xn ∈ Kxn , con Kxi ∈ Φ0 . Existe Kxj tal que x1 , . . . , xn ∈ Kxj , luego G ≤ Kxj , es decir, Kxj = G, lo cual es contradictorio. Ası́ pues, H 0 6= G. H 0 es cota superior para Φ0 en Φ. De acuerdo con el Lema de Zorn, Φ tiene elemento maximal H0 el cual es obviamente subgrupo maximal de G. 1.5. Teorema de Lagrange Sea G un grupo con un número finito de elementos y sea H un subgrupo de G. Resulta interesante preguntar qué relación guardan la cantidad de elementos de H y la cantidad de elementos de G. En esta sección mostraremos que el número de elementos de H divide al número de elementos del grupo dado G. Proposición 1.5.1. Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. La relación en G definida por a ≡ b ⇔ ab−1 ∈ H, a, b ∈ G (1.5.1) es de equivalencia. 16 CAPÍTULO 1. GRUPOS Y SUBGRUPOS Demostración. Si dos elementos a y b de G están relacionados mediante (1.5.1) se dice que a es congruente con b módulo H. Reflexiva: sea a ∈ G entonces a ≡ a ya que aa−1 = 1 ∈ H. Simétrica: sean a, b ∈ G tales que a ≡ b . Entonces, ab−1 ∈ H, pero como H ≤ G tenemos que (ab−1 )−1 = ba−1 ∈ H, o sea que b ≡ a. Transitiva: sean a, b, c elementos de G tales que a ≡ b y b ≡ c. Entonces ab−1 ∈ H y bc−1 ∈ H . De ahı́ que resulta que (ab−1 )(bc−1 ) ∈ H, es decir, ac−1 ∈ H, y por tanto, a ≡ c. Esto completa la demostración de la proposición. Observación 1.5.2. Si el grupo G tiene notación aditiva entonces la relacion ≡ se define como a ≡ b ⇔ a − b ∈ H. Es conocido que cualquier relación de equivalencia ≡ definida sobre un conjunto G determina una partición de dicho conjunto en clases de equivalencia disyuntas entre si, y la reunión de las cuales da G. Ası́ pues, para el caso que estamos tratando, sea a un elemento cualquiera del grupo G, la clase de eqivalencia a la cual pertenece el elemento a será denotada por [a] y está constituı́da por todos los elementos x de G con los cuales a está relacionado mediante la relación ≡, es decir, [a] = {x ∈ G | a ≡ x} = {x ∈ G | ax−1 ∈ H}. Como dijimos S arriba, la reunión de las clases determinadas por la relación ≡ es todo el grupo G: a∈G [a] = G. Proposición 1.5.3. Sean G un grupo, H ≤ G y ≡ la relación de equivalencia definida en (1.5.1). Sea a un elemento cualquiera de G. Entonces, [a] = Ha := {xa | x ∈ H}. En particular, [1] = H. Demostración. Sea z ∈ [a], entonces a ≡ z. Por ser ≡ una relacion simétrica tenemos que z ≡ a, y por eso, za−1 = x, con x ∈ H, luego z = xa ∈ Ha. Hemos probado que [a] ⊆ Ha. Sea z = xa un elemento de Ha, con x ∈ H, entonces za−1 = x ∈ H, o sea z ≡ a, de donde a ≡ z, es decir, z ∈ [a]. Definición 1.5.4. Sean G un grupo, H ≤ G y a ∈ G. El conjunto Ha se llama la clase lateral derecha del elemento a módulo H . La proposición anterior muestra que la clase del elemento identidad 1 del grupo G coincide con el subgrupo H. Luego [1] y H tienen la misma cantidad de elementos. A continuación probaremos que todas las clases tienen la cardinalidad de H, y por ende, todas las clases de equivalencia tienen la misma cantidad de elementos. Proposición 1.5.5. Sean G un grupo, H un subgrupo de G y ≡ la relación de equivalencia definida en (1.5.1). Entonces, todas las clases de equivalencia determinadas por ≡ tienen el mismo cardinal que el subgrupo H. 1.6. EJERCICIOS 17 Demostración. Sea a un elemento cualquiera de G. Entonces [a] = Ha y la función f : Ha → H, f (xa) = x , x ∈ H, es biyectiva. En efecto, claramente f es sobreyectiva. Supóngase que f (xa) = f (ya), entonces x = y y ası́ xa = xy , con lo cual f es inyectiva. Estamos ya en condiciones de demostrar el teorema de Lagrange para grupos finitos. Si G es un grupo, |G| denota el cardinal de G. Teorema 1.5.6 (Teorema de Lagrange). Sea G un grupo finito y sea H un subgrupo cualquiera de G. Entonces, |H| | |G|. Demostración. Puesto que G es finito entonces H determina un número finito de clases de equivalencia en G . Sea k el número de clases de equivalencia definidas; como estas clases son disyuntas, y además todas tienen |H| elementos, entonces |H| + · · · + |H| = |G| , es decir, k|H| = |G|, ası́ |H| | |G|. Definición 1.5.7. Sean G un grupo y H un subgrupo de G. El cardinal del conjunto de clases de equivalencia determinado por H mediante la relación definida en (1.5.1) se llama el ı́ndice del subgrupo H en el grupo G, y se simboliza por |G : H|. Cuando G es finito se tiene que |G : H| = |G| . |H| (1.5.2) Ejemplo 1.5.8. (i) Sea G = S3 y sea H = {1, f }, donde 1 2 3 f= . 1 3 2 Calculemos | G : H | y además determinemos el conjunto de clases laterales de |G| H. Por el Teorema de Lagrange, | G : H |= |H| = 26 = 3, H1 = H = {1, f }, Hh = {h, f h} = {h, k}, Hf = {f, f 2 } = {1, f }, Hk = {k, f k} = {k, h}, Hg = {g, f g} = {g, m}, Hm = {m, f m} = {m, g}. Nótese que H1 = Hf = H, Hg = Hm y Hh = Hk, es decir, se tienen 3 clases de equivalencia tal como lo habı́a pronosticado el teorema de Lagrange. Obsérvese que una clase de equivalencia, o en otras palabras, una clase lateral derecha no es general un subgrupo del grupo dado. (ii) | Z : hni |= n, para n ≥ 1 y | Z : h0i |= ℵ0 . 1.6. Ejercicios 1. Demuestre por inducción las proposiciones 1.1.8 y 1.1.13. 18 CAPÍTULO 1. GRUPOS Y SUBGRUPOS 2. Sea G un conjunto dotado de una operación binaria interna ∗, se dice que un elemento e ∈ G es: (i) Identidad a la izquierda de ∗ si e ∗ a = a, cualquiera que sea a ∈ G. (ii) Identidad a la derecha de ∗ si a ∗ e = a, cualquiera que sea a ∈ G. Sean e1 y e2 elementos de G tales que e1 es identidad a la izquierda de ∗ y e2 es identidad a la derecha de ∗, pruebe que e1 = e2 . 3. Compruebe que en (i) (N, ∗), donde a ∗ b := a, todo elemento de N es identidad a la derecha, pero no existe identidad a la izquierda. (ii) (N, ∗), donde x ∗ y := máximo común divisor de x e y, no hay elementos identidad. (iii) (N, ∗), donde a ∗ b := mı́nimo común múltiplo de a y b, 1 es el elemento identidad. (iv) (Z, ∗) donde a ∗ b := a − b, 0 es identidad a la derecha pero no posee identidad a la izquierda. 4. Sea G un conjunto dotado de una operación binaria interna ∗ asociativa, la cual posee elemento identidad e. Sea a ∈ G, se dice que (i) a posee un inverso a la izquierda (respecto de e) si existe b ∈ G tal que b ∗ a = e. (ii) a posee un inverso a la derecha (respecto de e) si existe c ∈ G tal que a ∗ c = e. Demuestre que si a posee un inverso a la izquierda b y un inverso a la derecha c, entonces b = c. 5. Demuestre la proposición 1.2.6. 6. Sean (A, ∗) y (B, ∆) conjuntos con operaciones binarias internas. Una función f : A → B se denomina un homomorfismo si f respeta las operaciones de los conjuntos A y B, es decir, f (a1 ∗ a2 ) = f (a1 )∆f (a2 ) para cualesquiera elementos a1 , a2 de A. Además, si A y B poseen elementos identidad e y k respectivamente, entonces f debe cumplir la propiedad adicional f (e) = k. Sea f un homomorfismo de A en B. Pruebe por inducción que f (an ) = f (a)n para todo a ∈ A y todo n ∈ N . Pruebe además que si a es invertible en A, entones f (a) es invertible en B, y f (a−1 ) = f (a)−1 . 19 1.6. EJERCICIOS 7. Sea f : (A, ∗, e) → (B, ∆, k) un homomorfismo de A en B, donde e y k son los respectivos elementos identidad. Se definen los siguientes objetos: (i) El conjunto de imágenes de la función f se llama imagen del homomorfismo f y se simboliza por Im(f ), ası́ pues, Im(f ) := {f (x) | x ∈ A}. (ii) El conjunto de elementos de A cuya imagen es el elemento identidad k se llama el núcleo del homomorfismo f y se denota por ker(f ) (de la palabra alemana kernel ). Ası́ pues, ker(f ) := {x ∈ A|f (x) = k}. (iii) Se dice que f es un sobreyectivo si la función f es sobreyectiva, es decir, Im(f ) = B. (iv) Se dice que el homomorfismo f es inyectivo si la función f es inyectiva, es decir, para cualesquiera elementos x, y en A, la igualdad f (x) = f (y) implica x = y. (v) Se dice que f es un isomorfismo si f es sobreyectivo e inyectivo. (vi) Si los conjuntos A y B coinciden y las operaciones ∗, y, ∆ también, entonces un isomorfismo f en este caso se denomina automorfismo de A. Sea X un conjunto y sea P (X) su conjunto de partes. Sea f : (P (X), ∪) → (P (X), ∩) la función que a cada subconjunto V de X le asigna su complemento: f (V ) = X − V . Determine las identidades en (P (X), ∪) y (P (X), ∩) y demuestre que f es un isomorfismo (∪ representa la unión de conjuntos y ∩ la intersección). 8. Sea A un conjunto dotado de una operación binaria interna ∗. Supóngase que en A ha sido definida una relación de equivalencia ≡ . Se dice que la relación ≡ es compatible con la operación ∗ si para cualesquiera a1 , b1 , a2 , b2 ∈ A, a1 ≡ b1 y a2 ≡ b2 , implica a1 ∗ a2 ≡ b1 ∗ b2 . Denotemos para A el conjunto A/ ≡ de clases de equivalencia [a], a ∈ A. Se desea definir en A una operación binaria inducida por ∗ y ≡: sean [a] y [b] elementos de A entonces definimos [a]∗[b] = [a ∗ b]. (1.6.1) (i) Demuestre que (1.6.1) está bien definida, es decir, demuestre que para otros representantes a1 y b1 de las clases [a] y [b], respectivamente, se cumple que [a1 ]∗[b1 ] = [a]∗[b]. (ii) La función j : (A, ∗) → (A, ∗) que asigna a cada elemento a de A su clase [a] es un homomorfismo sobreyectivo. 9. Sea f : (A, ∗) → (B, ∆) un homomorfismo sobreyectivo. Definimos en A la relación ≡ como sigue: 20 CAPÍTULO 1. GRUPOS Y SUBGRUPOS a1 ≡ a2 ⇔ f (a1 ) = f (a2 ), para cualesquiera a1 , a2 en A. (i) Demuestre que ≡ es una relación de equivalencia. (ii) Demuestre que ≡ es compatible con ∗, es decir, si a1 ≡ a2 y b1 ≡ b2 , entonces a1 ∗ b1 ≡ a2 ∗ b2 . (iii) Sean A, ∗ definidos como en el ejercicio anterior. Entonces, demuestre que f : (A, ∗) → (B, ∆) definido por f ([a]) := f (a) es un isomorfismo (como toda función definida sobre un conjunto cociente, es importante probar como primer paso que f está bien definida, es decir que si a1 ≡ a2 , entonces f ([a1 ]) = f ([a2 ])). 10. Sea (G, ·) un semigrupo finito en el cual se cumplen las leyes cancelativas, es decir, para cualesquiera elementos a, b, c ∈ G se tiene que ac = bc ⇔ a = b, ca = cb ⇔ a = b. Demuestre que (G, ·) es un grupo. 11. Demuestre que si (G, ·) es un semigrupo en el cual las ecuaciones ax = b, xa = b son solubles para cualesquiera elementos a, b ∈ G, entonces (G, ·) es un grupo. 12. Demuestre que el conjunto G := {(a, b) | a, b ∈ R, a 6= 0} con la operación (a, b) (c, d) := (ac, ad + b) es un grupo. ¿G es conmutativo? 13. Sea G un grupo tal que (ab)2 = a2 b2 para cualesquiera elementos a, b ∈ G. Pruebe que G es conmutativo. 14. Pruebe que todo grupo finito de tamaño n ≤ 5 es conmutativo. 15. Sea R \{0} el conjunto de reales no nulos con la operación ◦ definida por a ◦ b := |a| b. Pruebe que ◦ es asociativa, que existe elemento identidad al lado izquierdo y que cada elemento tiene inverso al lado derecho respecto de la identidad de la izquierda. ¿Es G un grupo? 16. Cada una de las siguientes tablas definen operaciones binarias internas de las cuales se saben que son asociativas. Compruebe que ellas definen grupos: 21 1.6. EJERCICIOS Z4 = {0, 1, 2, 3} + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 V = {e, a, b, c} . e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e ¿Es Z4 un grupo conmutativo? ¿Es V un grupo conmutativo? Es {0, 2} un subgrupo de Z4 ? ¿Es {e, c} ≤ V ? ¿Es {0, 3} un subgrupo de Z4 ? ¿Es {e, a, b} ≤ V? 17. Sea H un subconjunto finito no vacı́o de un grupo (G, ·, 1) y sea H cerrado respecto a la operación, es decir, a, b ∈ H implica ab ∈ H. Demuestre que H es un subgrupo de G. 18. Sea G un grupo y a un elemento de G. Se define NG (a) := {x ∈ G | xa = ax}. NG (a) se llama el normalizador de a en G. Demuestre que NG (a) ≤ G. 19. Sea (G, ·, 1) un grupo abeliano. Pruebe que el conjunto H := {x ∈ G | x2 = 1} es un subgrupo de G. 20. Sea Mn (R) el grupo de matrices reales de tamaño n × n, n ≥ 1, con respecto a la adición, y sea D el conjunto de matrices de Mn (R) que son diagonales, es decir,       d 0 1     . .. D := diag(d1 , . . . , dn ) :=   | d1 , . . . , dn ∈ R .     0 dn Demuestre que D ≤ Mn (R). 21. Sea GLn (R) el grupo lineal general de orden n sobre los números reales, es decir, GLn (R) := Mn (R)∗ es el grupo de elementos invertibles del semigrupo multiplicativo (Mn (R), ·). Entonces, 22 CAPÍTULO 1. GRUPOS Y SUBGRUPOS (i) Sea SLn (R) el subconjunto de GLn (R) constituido por las matrices de determinante 1, es decir, SLn (R) := {F ∈ GLn (R) | det(F ) = 1}. Demuestre que SLn (R) ≤ GLn (R). SLn (R) se denomina el grupo especial de orden n sobre R. (ii) Sea Dn (R) := {diag(d1 , . . . , dn ) ∈ Mn (R) | d1 · · · dn 6= 0}. Demuestre que Dn (R) ≤ GLn (R). Dn (R) se conoce como el grupo de matrices diagonales de orden n sobre R. (iii) Sea        f11 · · · f1n   . . . . Tn (R) :=  . .  ∈ Mn (R) | f11 · · · fnn 6= 0, fij = 0 si i > j .   0  fnn Demuestre que Tn (R) ≤ GLn (R). Tn (R) se denomina el grupo de matrices triangulares superiores de orden n sobre R. (iv) Sea U Tn (R) := {F ∈ Tn (R) | fii = 1, 1 ≤ i ≤ n}. Demuestre que U Tn (R) ≤ Tn (R)∩SLn (R). U Tn (R) se denomina el grupo de matrices unitriangulares superiores de orden n sobre R. (iv) Para 1 ≤ m ≤ n sea U Tnm (R) el conjunto de matrices unitriangulares F = [fij ] ∈ U Tn (R) tales que fij = 0 para i < j < i + m, es decir, las primeras m − 1 diagonales consecutivas por encima de la diagonal principal de F son nulas. Demuestre que U Tnm (R) ≤ U Tn (R), y además U Tn (R) = U Tn1 (R) ⊇ U Tn2 (R) ⊇ · · · ⊇ U Tnn (R) = {E}. 22. En el grupo GLn (R) se tienen tres tipos de matrices elementales: (i) Matrices propiamente elementales o transvecciones: Tij (a) := E + aEij , i 6= j, a ∈ R, donde E es la matriz idéntica y Eij ∈ Mn (R) es la matriz canónica que tiene todas sus entradas nulas, salvo la entrada (i, j) que es 1. Nótese que Tij (a) ∈ SLn (R). (ii) Matrices diagonales: Di (d) := diag(1, . . . , d, . . . , 1) ∈ Dn (R), 0 6= d ∈ R, 1 ≤ i ≤ n. (iii) Permutaciones: Pij = E − Eii − Ejj + Eij + Eji . 1.6. EJERCICIOS 23 Demuestre que: (i) GLn (R) se puede generar por matrices elementales. Mejor aún, demuestre que GLn (R) = hTij (a), Dn (d)|1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j, a ∈ R, 0 6= d ∈ Ri. (ii) SLn (R) = hTij (a)|1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j, a ∈ Ri. (iii) Dn (R) = hDi (di )|0 6= di ∈ R, 1 ≤ i ≤ ni. (iv) Tn (R) = hTij (a), Di (di )|j > i, a ∈ R, 0 6= di , 1 ≤ i, j ≤ ni. (iv) U Tn (R) = hTij (a)|j > i, a ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ ni. (v) U Tnm (R) = hTij (a)|j − i ≥ m, a ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ ni. Capı́tulo 2 Grupos cı́clicos Una rama destacada dentro de la teorı́a de grupos la constituyen los llamados grupos abelianos. Quizá los grupos abelianos más importantes son los llamados grupos cı́clicos, ya que los grupos abelianos finitamente generados son expresables a través de sumas directas de grupos cı́clicos. En este capı́tulo vamos a mostrar las propiedades básicas de los grupos cı́clicos finitos. Se establecerá la relación que guardan los conceptos de periodo de un elemento y orden. Para grupos cı́clicos finitos son demostradas algunas proposiciones relacionadas con el orden de sus subgrupos y el número de generadores de dichos grupos. Al final del capı́tulo hemos incluido una serie de ejercicios donde se estudian algunas aplicaciones de los grupos cı́clicos a teorı́a elemental de números. 2.1. Definición Sea G un grupo cualquiera y sea a un elemento arbitrario de G. El conjunto de todas las potencias enteras an , n ∈ Z, del elemento a constituye un subgrupo de G llamado el subgrupo cı́clico de G generado por el elemento a. Como vimos en el capı́tulo anterior, cuando el grupo G sea aditivo, na, n ∈ Z, representa los múltiplos enteros del elemento a. Recordemos la nociones de subgrupo y grupo cı́clico introducidas en el capı́tulo anterior. Definición 2.1.1. Sea G un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. El conjunto hai = {an | n ∈ Z} = {. . . , a−3 , a−2 , a−1 , 1, a, a2 , a3 , . . . } es un subgrupo del grupo G, llamado el subgrupo cı́clico de G generado por el elemento a. Si G es un grupo con notación aditiva escribiremos hai = {n · a | n ∈ Z} = {. . . , −3 · a, −2 · a, −a, 0, a, 2 · a, 3 · a, . . . }. 24 2.1. DEFINICIÓN 25 Es posible que el subgrupo generado por algún elemento a del grupo G coincida con todo el grupo: hai = G; esta situación se presenta por ejemplo con el entero 1 en el grupo aditivo de los números enteros. Los grupos para los cuales se tiene este tipo de situación reciben un nombre especial. Definición 2.1.2. Sea G un grupo cualquiera. Se dice que G es cı́clico si G coincide con uno de sus subgrupos cı́clicos; es decir, si existe un elemento a en G tal que hai = G. En este caso se dice que a es un generador del grupo cı́clico G. Ejemplo 2.1.3. (i) Z es un grupo cı́clico y todos sus subgrupos son cı́clicos. (ii) El grupo de raı́ces complejas de grado n de la unidad, n ≥ 1, es cı́clico: denotemos por Un las soluciones complejas de la ecuación xn = 1, es decir, Un := {z ∈ C | z n = 1}; afirmamos que Un es un subgrupo de hC∗, ·, 1i: en efecto, Un 6= ∅ ya que 1n = 1 y por lo tanto 1 ∈ Un . Sean z1 y z2 elementos de Un , entonces (z1 z2 )n = z1n z2n por ser hC∗ , ·, 1i un grupo abeliano, luego (z1 z2 )n = 1 y ası́ z1 z2 ∈ Un . Sea ahora n z ∈ Un , entonces (z −1 ) = z −n = (z n )−1 = 1−1 = 1, es decir, z −1 ∈ Un y nuestra afirmación está probada. Sea z un elemento de Un . Al escribir z en la forma polar z = r (cos θ + i sin θ) , donde r = | z| es la norma de z, y teniendo en cuenta que la norma de un producto de complejos es el producto de las normas, concluimos que | z n | = | z|n = rn = |1| = 1. Puesto que la norma es un real no negativo entonces r = 1 y z tiene la forma polar z = cos θ + i sin θ. Podemos utilizar el teorema de D’Moivre para determinar la cantidad de elementos de Un y para demostrar que este subgrupo es cı́clico: z n = cos nθ + i sin nθ = 1 = 1 + i0, entonces cos nθ = 1 y sin nθ = 0, ası́ nθ = 2kπ, k = 0, 1, 2, . . . . Despejando θ obtenemos que θ = 2kπ , k = 0, 1, 2, . . . . Sin embargo, n por la periodicidad de las funciones cos y sin es suficiente considerar los valores de k hasta n − 1: θ = 2kπ , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. De tal manera que si z ∈ Un n entonces z es de la forma z = cos 2kπ + i sin 2kπ , con k = 0, 1, . . . , n − 1. Utilizando n n la forma exponencial de z podemos demostrar que los complejos cos 2kπ + i sin 2kπ , n n 0 2kπ 2k π 2k0 π 2kπ con k = 0, 1, . . . , n − 1 son diferentes: si cos n + i sin n = cos n + i sin n 2kπ n 2k0 π n 0 ası́, i 2kπ i 2kn π y por tanto k = k 0 . nn = o 2kπ 2kπ i 2kπ n De tal manera que Un = e = cos n + i sin n | k = 0, 1, . . . , n − 1 consta de n elementos exactamente (nótese que C∗ es un grupo infinito que posee grupos finitos no triviales: Un , n > 1). Utilizando nuevamente el teorema de D’Moivre 2π comprobemos que Un es cı́clico y generado por z1 = ei n = cos 2π + i sin 2π . Sea n n i 2kπ n un elemento cualquiera de Un , entonces z es la k-ésima potencia de z1 : z =e 2π k 2kπ k (z1 ) = ei n = ei n = z. Ası́ que, Un ≤ h z1 i ⊆ Un entonces Un = hz1 i, |Un | = n. entonces ei = ei 26 2.2. CAPÍTULO 2. GRUPOS CÍCLICOS Orden y periodo de un elemento Consideremos nuevamente un grupo cualquiera G y hai el subgrupo cı́clico generado por el elemento a de G. Vale la pena preguntar sobre la cantidad de elementos del subgrupo hai. Descartemos en primer lugar el caso trivial a = 1; en este caso h1i = {1} y es un subgrupo de un sólo elemento. Sea pues a 6= 1 (en notación aditiva a 6= 0). Caso infinito. Si para cada par de enteros diferentes m y n, m 6= n, am 6= an entonces lógicamente hai contiene una cantidad infinita de elementos y por tanto el subgrupo cı́clico hai es infinito. La condición que am 6= an para cada par de enteros diferentes m 6= n es equivalente a la condición an 6= 1 para todo entero n > 0. En efecto, si existe n > 0 tal que an = 1 entonces an+1 = a = a1 . Recı́procamente, supóngase que hay enteros m 6= n tales que am = an . Supóngase por ejemplo que m > n, entonces am a−n = an a−n entonces am−n = 1, donde m − n > 0. Definición 2.2.1. Sea (G, ·, 1) un grupo y sea a 6= 1 un elemento cualquiera de G. Se dice que a es de periodo infinito si para cada entero positivo n > 0, an 6= 1. En notación aditiva tendremos que 0 6= a ∈ hG, +, 0i es de periodo infinito si na 6= 0 para todo n > 0. Caso finito. Sea G nuevamente un grupo y hai el subgrupo cı́clico generado por a. Supóngase que existen enteros m 6= n tales que am = an . Sea m > n, entonces am−n = 1 con m − n > 0. Considérese entonces el conjunto A := k ∈ Z+ | ak = 1 , entonces por ser h Z+ , ≤ i un conjunto bien ordenado A tiene primer elemento n, es decir, n es el menor entero positivo tal que an = 1. Definición 2.2.2. Sea (G, ·, 1) un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. Se dice que a es de periodo finito si existe k > 0 tal que ak = 1. El menor entero positivo n > 0 tal que an = 1 se llama el periodo del elemento a. En notación aditiva tendremos que a ∈ hG, +, 0i es de periodo finito n si n es el menor entero positivo tal que n · a = 0. Podemos ahora responder a nuestra pregunta sobre el número de elementos del subgrupo cı́clico generado por a. Proposición 2.2.3. Sea G un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. Entonces (i) El subgrupo cı́clico hai generado por a es infinito si, y sólo si, a es un elemento de periodo infinito. (ii) El subgrupo cı́clico hai generado por a es finito si, y sólo si, a es un elemento de periodo finito. Además, si n es el periodo del elemento a entonces el orden |hai| del subgrupo generado por el elemento a es exactamente n, se denomina el orden del elemento a y se simboliza por |a| . Si a es de periodo infinito diremos que a es un elemento de orden infinito y escribiremos |a| = ∞. 2.2. ORDEN Y PERIODO DE UN ELEMENTO 27 Demostración. (i) ⇒): Supongamos que a no es un elemento de periodo infinito. Entonces existe un entero k > 0 tal que ak = 1. Esto quiere decir que a es de periodo finito. Sea n el periodo del elemento a. Afirmamos que entonces hai contiene exactamente n elementos diferentes: hai = {1, a, a2 , a3 , . . . , an−1 }. Probemos inicialmente que los elementos 1, a, a2 , a3 , . . . , an−1 son diferentes. Si ai = aj con i 6= j e 1 ≤ i, j ≤ n − 1, entonces, suponiendo por ejemplo i > j tendremos que ai−j = 1 con 0 < i − j < n, pero esto contradice el hecho de ser n el periodo de a. Sea ahora k ∈ Z y ak un elemento cualquiera de hai . Por el algoritmo de la división tenemos que k = ng + r con 0 ≤ r < n. Entonces ak = ang ar = (an )g ar = 1ar = ar , ası́ pues ak coincide con una de las potencias a0 = 1, a, . . . , an−1 . Esto prueba entonces que hai es finito. Nótese que cuando a es de periodo finito n entonces n = periodo de a = |hai| = orden del subgrupo cı́clico generado por a = |a| = orden del elemento a. ⇐): Si a es de periodo infinito entonces an 6= 1 para todo n > 0. Como vimos antes, esto implica que am 6= an para cada par de enteros diferentes m y n. Entonces lógicamente hai es infinito. (ii) ⇒): Supongamos que a no es de periodo finito. Entonces a es de periodo infinito y, como acabamos de ver en (i), hai es un subgrupo infinito. ⇐): Si a es de periodo finito n entonces como se demostró anteriormente hai contiene n elementos. Corolario 2.2.4. (i) Sea G un grupo grupo finito. Entonces |a| | |G| . (ii) Sea a un elemento de periodo finito n del grupo G ( G no necesariamente finito). Si ak = 1, con k ∈ Z, entonces n | k. Recı́procamente, si k es un entero tal que n | k, entonces ak = 1. (iii) Sea G un grupo finito. Entonces, a|G| = 1. Demostración. (i) Si G es un grupo finito entonces hai es también finito. Como |hai| = |a| entonces por el teorema de Lagrange |a| | |G| . (ii) Por el algoritmo de la división, k = ng + r, con 0 ≤ r < n. Entonces k a = 1 = (an )g ar = ar . Por ser n el periodo de a entonces r = 0, y ası́, n | k. Recı́procamente, si k = ns, entonces ak = (an )s = 1. (iii) Se desprende de (i) y (ii). Definición 2.2.5. Se dice que G es un grupo sin torsión si cada elemento a 6= 1 tiene periodo (orden) infinito. Si cada elemento a de G es de periodo finito, se dice que G es un grupo periódico. Finalmente, se dice que G es un grupo mixto si G contiene elementos a 6= 1 tanto de periodo infinito como de periodo finito. 28 2.3. CAPÍTULO 2. GRUPOS CÍCLICOS Ejemplos Ejemplo 2.3.1. Grupo sin torsión. Notemos en primer lugar que todo grupo sin torsión debe ser infinito. Sea p un número primo. El conjunto de números racionales Qp = n m pn ∈ Q | m, n ∈ Z o bajo la adición es un grupo abeliano sin torsión, y se denomina el grupo de los p-cocientes racionales: por ser Qp ⊂ Q y por ser la operación definida en Qp la inducida por la adición en Q entonces es suficiente probar que Qp ≤ Q y que Qp es un grupo sin torsión: m1 pn1 + m1 .pn2 + m2 .pn1 pn1 + n2 m −m − pn = pn ∈ Qp . m2 pn2 = ∈ Qp , Sea pmn ∈ Qp , supóngase que existe k > 0 tal que k entonces km = 0, ası́ m = 0. Luego, pmn = 0. m pn = 0, es decir, km pn = 0, Ejemplo 2.3.2. Grupo infinito periódico. Observemos en primer lugar que cada grupo finito es necesariamente periódico. Sin embargo, como lo muestra este ejemplo, la recı́proca de la afirmación anterior no es correcta. Sea p un número primo. El conjunto de números complejos n Cp∞ := z ∈ C | z p = 1, para algún n = 0, 1, 2, . . . bajo la multiplicación es un grupo abeliano infinito donde cada elemento diferente de 1 tiene periodo finito. Nótese pues que Cp∞ consta de las raı́ces complejas de n las ecuaciones xp = 1, con n = 0, 1, 2, . . . . El grupo Cp∞ se denomina grupo semicı́clico del tipo p∞ . Para probar que Cp∞ es un grupo es suficiente probar que Cp∞ es un subgrupo n1 n2 de C∗ : sean z1 y z2 ∈ Cp∞n, entoncesnexisten n1 y n2 tales que z1p = 1 y z2p = 1. Si n n := n1 + n2 , entonces z1p = 1 y z2p = 1, luego (z1 z2 )p = 1, es decir, z1 z2 ∈ Cp∞ . n Sea z ∈ Cp∞ , entonces existe n ≥ 1 tal que z p = 1. Esto quiere decir que z ∈ pn Upn y como Upn ≤ C∗ entonces z −1 ∈ Upn , es decir, (z −1 ) = 1 y ası́ z −1 ∈ Cp∞ . Notemos que para cada n ≥ 1, Upn ≤ Cp∞ , y por la misma definición de Cp∞ , cada elemento z de Cp∞ tiene periodo finito. Nótese que para cada n ≥ 1 Upn ≤ Upn+1 . Denotando por Cpn el grupo Upn obtenemos la cadena de subgrupos de Cp∞ : {1} = Cp0 S Cp∞ = k ≥ 0 Cpk ≤ Cp ≤ Cp2 ≤ Cp3 ≤ · · · ≤ Cpn ≤ Cpn+1 ≤ · · · 2.4. PROPIEDADES 29 Veamos que estos son los únicos sugbrupos: sea H un subgrupo propio de Cp∞ . Si para cada k ≥ 0, Cpk ≤ H, entonces H = Cp∞ , pero este caso está descartado. Entonces existe un k ≥ 0 tal que Cpk no está incluido en H. Escojamos el menor k tal que Cpk−1 ≤ H pero Cpk no está incluido en H. k no puede ser 0 ya que Cp0 ≤ H. Por lo tanto k ≥ 1. La idea es entonces demostrar que H = Cpk−1 . Si esto es ası́ entonces el n buscado es n = k − 1. Sabemos que Cpk−1 ≤ H y supongamos que la inclusión es estricta, es decir, existe z ∈ H pero z ∈ / Cpk−1 . Como z ∈ Cp∞ existe un m ≥ 1 mı́nimo tal que z ∈ Cpm pero z ∈ / Cpm−1 . Nótese que m ≥ k porque de lo contario z ∈ Cpk−1 . Se tiene que Cpk ≤ Cpm . Sea Cpm =< z1 >, entonces z = z1a , donde 0 ≤ a ≤ pm − 1, nótese que p no divide al entero a. En efecto, si p|a, entonces a = pb y en consecuencia m−1 m m−1 zp = z1ap = z1bp = 1, pero esto indica que z ∈ Cpm−1 , lo cual es falso. Se tiene entonces que a y pm son primos realtivos, es decir, 1 = ua + vpm , donde u, v son m a u p v enteros. De aquı́ resulta que z1 = (z1 ) (z1 ) = z u . Esto implica que Cpm ≤ hzi ≤ H y de aquı́ se tendrı́a que Cpk ≤ H, lo cual es falso. En conclusión, H = Cpk−1 . Ejemplo 2.3.3. Grupo mixto. El grupo multiplicativo de los números complejos es mixto ya que hay elementos, como por ejemplo los enteros diferentes de 1, que son de periodo infinito y complejos como z1 = cos 2π + i sin 2π , n 6= 1 , que son de n n periodo finito. 2.4. Propiedades Las siguientes afirmaciones son válidas para grupos cı́clicos cualesquiera. Especialmente importante es la afirmación (iv). Proposición 2.4.1. (i) Todo grupo cı́clico es abeliano. (ii) Cada subgrupo de un grupo cı́clico es cı́clico. (iii) Si hG, ·, 1i es un grupo cı́clico infinito entonces cada subgrupo de G diferente de {1} es también infinito. (iv) Sea G 6= {1} un grupo. Entonces, G es un grupo cı́clico finito de orden primo si, y sólo si, G no tiene subgrupos diferentes de los triviales. Demostración. (i) Esta propiedad se deduce de la regla de exponentes am an = am+n válida en todo grupo. (ii) Sea G = hai un grupo cı́clico generado por el elemento a; sea H un subgrupo de G. Si H = {1} entonces el es claramente cı́clico con generador 1. Sea H 6= {1}, entonces existe un k 6= 0 tal que ak ∈ H. Esto indica que H contiene potencias enteras positivas del elemento a. Por el principio de buena ordenación del conjunto 30 CAPÍTULO 2. GRUPOS CÍCLICOS Z+ escogemos el menor entero positivo s tal que as ∈ H. Afirmamos que H = has i . Claramente has i ⊆ H. Sea x ∈ H ⊆ G, entonces existe m ∈ Z tal que x = am . Utilizando el algoritmo de la división encontramos enteros g, r tales que m = gs + r, con 0 ≤ r < s, de donde am = (as )g ar por lo que ar = am−sg ∈ H. Por la elección de s concluimos que r = 0 y ası́ x = (as )g ∈ has i. (iii) Sea H 6= {1} un subgrupo del grupo cı́clico infinito hai = G. Según (ii) existe s > 0 tal que H = has i. Si H es finito entonces eso quiere decir que el orden de as es finito con lo cual a es de periodo finito y ası́ hai es finito, lo cual contradice la hipótesis. Esto indica que H debe ser infinito. (iv) ⇒): Sea G un grupo finito de orden primo p : |G| = p. Sea H ≤ G, entonces |H| | |G| de modo que |H| = 1 ó |H| = p, por lo tanto H = {1} ó H = G. ⇐): Sea b 6= 1, b ∈ G. El subgrupo cı́clico hbi generado por b es entonces diferente de {1} . Por lo tanto hbi = G, lo cual quiere decir que G es cı́clico. Probemos ahora que G es finito. Consideremos el subgrupo cı́clico generado por b2 . Por la condición de la hipótesis hb2 i = {1} ó hb2 i = G = hbi. En el primer caso tendremos que b2 = 1 con lo cual b es de periodo 1 ó 2. No puede ser de periodo 1 ya que b 6= 1. Por lo tanto b es de periodo 2 y ası́ hbi = {1, b} , de donde se tiene que G es finito y su orden es el primo 2. Supóngase que hb2 i = G = hbi . Existe entonces k ∈ Z tal que k b = (b2 ) , es decir, b2k−1 = 1 con lo cual b es de perı́odo finito y hbi es finito; es decir G es finito. Resta sólo probar que el orden de G es un número primo. Sea p = |G| el orden del grupo G y sea k ∈ Z+ tal que k | p. Consideremos el subgrupo cı́clico generado por bk . Si bk = {1} entonces bk = 1 y k es un múltiplo del periodo p, por lo que k = p. Supóngase ahora que bk = G = hbi entonces existe t ∈ Z tal t que bk = b, ası́ bkt−1 = 1 entonces p | kt − 1, es decir que existe s ∈ Z tal que kt − 1 = ps, pero k | p entonces existe k 0 ∈ Z tal que p = kk 0 ; luego kt − 1 = kk 0 s; ası́ k(t − k 0 s) = 1 entonces k = 1. Esto prueba que los únicos divisores de p son p y 1, y de esta forma se tiene que p es primo. 2.5. Generadores Teorema 2.5.1. (i) Sea G un grupo cı́clico finito de orden n con generador a. Entonces, x ∈ G es generador de G ⇔ x = ar , donde m.c.d.(n, r) = 1. (ii) Sea G un grupo cı́clico con generador a y sea H 6= {1} un subgrupo de G. Entonces H = has i , donde s es el menor entero positivo tal que as ∈ H. Además, si G es de orden finito n entonces |H| = nd , d = m.c.d.(n, s). (iii) Sea G un grupo cı́clico de orden finito n y sea t ∈ Z+ tal que t | n. Entonces G contiene exactamente un subgrupo de orden t. Demostración. (i) ⇒): Sea x un generador de G = hai . Entonces existe un r ∈ Z tal que x = ar y hxi = har i = hai . De aquı́ obtenemos que a ∈ har i , es decir, existe 2.5. GENERADORES 31 k ∈ Z tal que a = (ar )k entonces ark−1 = 1, ası́ n | rk − 1 es decir rk − 1 = sn, con s ∈ Z; de lo cual rk − sn = 1, ası́ r y n son primos relativos y m.c.d.(r, n) = 1. ⇐): Sea r ∈ Z tal que m.c.d.(n, r) = 1. Lógicamente, har i ⊆ G. Sea x ∈ G, entonces existe k ∈ Z tal que x = ak . Como m.c.d.(n, r) = 1 existen t, v ∈ Z tales que 1 = nt + rv, ası́ k = ntk + rvk; luego x = ak = antk arvk = arvk = (ar )vk ∈ har i. (ii) La primera parte de esta afirmación fue demostrada en el punto (ii) de la proposición 2.4.1. Para la segunda parte, el orden de H es el orden de as . Sea m := |as |, entonces s m (a ) = 1, es decir, asm = 1, luego n | sm, por lo tanto nd | m, con d := m.c.d.(n, s). n s De otra parte, (as ) d = (an ) d = 1 entonces m | nd . Por lo tanto, nd | m y m | nd con lo cual m = nd . (iii) Existencia: como t | n entonces n = ts, con s ∈ Z, ası́ |has i| = t. En efecto, s t (a ) = 1, entonces |as | | t. Si |as | := t0 y t0 < t entonces ast0 = 1 y st0 < n, lo cual es una contradicción. Unicidad: sea H un subgrupo de G de orden t. Sea n = ts y sea k el menor entero positivo tal que ak ∈ H. Por (ii) sabemos que H = ak y t = |H| = nd , donde d = m.c.d.(n, k); entonces n = td = ts de modo que s = d, ası́ s | k, es decir, k = sw con w ∈ Z. Luego, ak = (as )w y por tanto H ⊆ has i , pero |H| = |has i| = t entonces H = has i. Ejemplo 2.5.2. Los enteros módulo n. Sea n ≥ 2 un entero, entonces el conjunto Zn conformado por todos los enteros {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1} conforman un grupo cı́clico respecto de la siguiente adición: r + s := t , donde t es el resı́duo de dividir r + s entre t. Nótese que el generador de Zn es 1. El grupo Zn lo consideraremos nuevamente en el capı́tulo 3. Por ahora digamos algo más respecto a su definición. También podrı́amos haberlo definido usando las ideas previas al teorema de Lagrange, es decir, se vió que en Z se puede definir la relación de equivalencia ≡ respecto del subgrupo hni en la forma a ≡ b si, y sólo si, a − b ∈ hni. Esta relación divide a Z en n clases de equivalencia de la forma [a] = {x ∈ Z | a − x ∈ hni} = hni + a. Las clases en este caso se denotan mejor en la forma [a] = a, y la suma de clases se hace como se dijo arriba. Nótese que las clase distintas son exactamente {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}. Queremos ahora calcular todos los subgrupos de Z24 y todos sus generadores. Si H ≤ Z24 entonces |H| | 24de modo que |H| ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Para |H| = 1 tenemos H = 0 y para |H| = 24 tenemos H = Z24 . Para cada r = 2, 3, 4, 6, 8, 12 sabemos que Z24 contiene solamente un subgrupo de orden r. Ahora, cada subgrupo H es cı́clico y de la forma H = s · 1 = h s i , donde |H| = r = 24 , con d = m.c.d.(24, s). d Obtenemos pues: 24 = 2, entonces d = 12 = s; 12 = d 0, 12 24 = 3, entonces d = 8 = s; 8 = d 0, 8, 16 24 = 4, entonces d = 6 = s; 6 = 0, 6, 12, 18 d 24 = 6, entonces d = 4 = s; 4 = 0, 4, 8, 12, 16, 20 d 32 CAPÍTULO 2. GRUPOS CÍCLICOS 24 d 24 d = 8, entonces d = 3 = s; 3 = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 = 12, entonces d = 2 = s; 2 = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 . Los generadores de Z24 son de la forma s, con m.c.d.(s, 24) = 1. Entonces s = 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. 2.6. Ejercicios 1. Sea G un grupo y sean a,b elementos de G tales que: (i) hai ∩ hbi = {1}. (ii) ab=ba. (iii) |a| = m, |b| = n. Demuestre que |ab| = m.c.m. (|a| , |b|). 2. Sea G un grupo y sean a,b elementos de G tales que: (i) ab=ba. (ii) |a| = n, |b| = m. (iii) m.c.d.(n, m) = 1. Demuestre que |ab| = nm. Además, ha, bi = habi. 3. Sea G un grupo y sean a, b elementos de G. Demuestre que: (i) |a| = |a−1 |. (ii) |xax−1 | = |a| , para todo x ∈ G. (iii) |ab| = |ba|. (iv) Sea |a| = n. Pruebe que ai = aj ⇔ n | i − j. 4. Sea Zn = {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1} el conjunto de los enteros módulo n. En Zn definimos la multiplicación mediante la regla r · s := rs. Demuestre que hZn , ·i es un semigrupo conmutativo con elemento identidad 1 (compruebe inicialmente que la operación · en Zm está bien definida). Construya la tabla para n = 8. ¿Es hZ8 , ·i un grupo? 5. Sea Zn el conjunto de los enteros módulo n. Sea Z∗n el grupo multiplicativo del semigrupo hZn , ·i del ejercicio anterior. Demuestre que: [r] ∈ Zn∗ ⇔ m.c.d.(r, n) = 1. 2.6. EJERCICIOS 33 6. La función ϕ : N → N del conjunto de los números naturales que asigna a cada natural m el número de enteros positivos menores que m y que son primos relativos con él. Por ejemplo, ϕ (6) = 2, ϕ (10) = 4. La función ϕ es denominada función de Euler . Según el ejercicio anterior, Z∗m tiene ϕ (m) elementos. Utilice estas observaciones para demostrar los siguientes teoremas: (i) Teorema de Euler : sean a, m enteros, m > 0 y m.c.d.(a, m) = 1. Entonces aϕ(m) ≡ 1 (módulo m), es decir, m | aϕ(m) − 1. (ii) Teorema de Fermat: si p es primo entonces ap ≡ a (módulo p), para todo a ∈ Z. 7. Sea G un grupo cı́clico de orden 60. ¿Cuántos generadores tiene G? 8. Determine el subgrupo cı́clico de hZ42 , +i generado por 30. 9. Demuestre que (1+i) √ 2 es un elemento de periodo finito de C∗ . 10. Sean p y q primos diferentes. Calcule el número de generadores del grupo cı́clico hZpq , +i. 11. Determine todos los subgrupos de Z36 y todos sus generadores. 12. Determine todos los subgrupos de C36 y todos sus generadores. Capı́tulo 3 Subgrupos normales y homomorfismos El objetivo central de este capı́tulo es mostrar la estrecha relación que guardan los conceptos de subgrupo normal y homomorfismo de grupos. Será demostrado que, salvo isomorfismo, hay tantos subgrupos normales en un grupo G como imágenes homomorfas tiene este último. El concepto de grupos isomorfos permite, entre otras cosas, clasificar los grupos cı́clicos: los infintos que son isomorfos a hZ, +i, y los finitos de orden n que son isomorfos a hZn , +i. Dentro de los ejemplos hemos incluido un grupo muy importante como es el grupo óctico correspondiente a las 8 simetrı́as del cuadrado. 3.1. Subgrupos normales En el capı́tulo 1 se construyó el grupo de enteros módulo n, Zn , por medio de 4 objetos, a saber: el grupo Z, el subgrupo hni de múltiplos de n, la relación de equivalencia en Z definida como a ≡ b si, y sólo si, a − b ∈ hni y la operación de adición entre clases de equivalencia determinadas por esta relación: a + b = a + b, a, b ∈ Z. Vale la pena preguntarnos si, dado un grupo G y H un subgrupo cualquiera de G, podemos repetir la construcción mencionada anteriormente con ayuda de la relación de equivalencia en G utilizada para la demostración del teorema de Lagrange: a ≡ b ⇔ ab−1 ∈ H. Puesto que las clases de equivalencia están determinadas por el subgrupo H, será lógico preguntarnos que condición debe satisfacer H para que podamos dar al conjunto de clases de equivalencia una estructura de grupo. Antes de responder a estas preguntas recordemos cierta terminologı́a ya introducida antes por nosotros. Definición 3.1.1. Sea G un grupo y sean A y B subconjuntos no vacı́os de G. 34 3.2. GRUPO COCIENTE 35 Se denomina producto de los conjuntos A y B (en ese orden) al conjunto de productos de la forma ab, donde a ∈ A y b ∈ B, y se denota por AB. En otras palabras, AB := {ab | a ∈ A, b ∈ B}. Proposición 3.1.2. Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (i) ∀x ∈ G, ∀h ∈ H : x−1 hx ∈ H. (ii) ∀x ∈ G : x−1 Hx = H. (iii) ∀x ∈ G : xH = Hx. (iv) ∀x, y ∈ G : xHyH = xyH. Demostración. (i) ⇒ (ii): Evidentemente x−1 Hx ≤ H. Sea ahora h ∈ H. Entonces h = x−1 (xhx−1 )x; según (i), xhx−1 ∈ H; ası́ pues, H ≤ x−1 Hx. (ii) ⇒ (iii): Sea h ∈ H, entonces xhx−1 ∈ H, luego xhx−1 = h0 ∈ H con lo cual xh = h0 x ∈ Hx; resulta, xH ≤ Hx. Análogamente, Hx ≤ xH. (iii) ⇒ (iv): Sean h1 , h2 ∈ H entonces xh1 yh2 = xyh01 h2 , donde h01 ∈ H, luego xHyH ≤ xyH. Ahora, si h ∈ H se obtiene que xyh = x1yh ∈ xHyH, es decir, xyH ≤ xHyH. (iv) ⇒ (i): Sea x ∈ G, h ∈ H entonces x−1 hx ∈ x−1 HxH luego x−1 hx ∈ x−1 xH = H. Esto completa la prueba de la proposición. Definición 3.1.3. Sea G un grupo y H ≤ G. Se dice que H es un subgrupo normal de G, lo cual denotamos por H E G, si H cumple una de las condiciones de la proposición anterior. Definición 3.1.4. Sea G 6= {1} un grupo. Entonces G posee al menos dos subgrupos normales, llamados los subgrupos normales triviales: {1}, G. Si G no posee otros subgrupos normales fuera de los triviales se dice que G es un grupo simple. 3.2. Grupo cociente Sea G un grupo y H E G. En G se tiene la relación a ≡ b ⇔ ab−1 ∈ H. Como ya fue demostrado en el capı́tulo 1, ≡ es una relación de equivalencia la cual determina una partición del grupo G en clases de equivalencia, llamadas también clases laterales derechas: [a] = Ha 36 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES Y HOMOMORFISMOS Nótese que la relación ≡ es igual a la relacion ≡0 definida por a ≡0 b ⇔ a−1 b ∈ H. En tal caso [a] = aH. Pero como H E G entonces las clases laterales derechas e izquierdas de a coinciden. Podemos definir un producto entre clases de equivalencia, ası́ como se hizo en Zn , y dar al conjunto de clases estructura de grupo. Proposición 3.2.1. Sea (G, ·, 1) un grupo y sea H E G. Sea ≡0 la relación de equivalencia de G definida por: a ≡0 b ⇔ a−1 b ∈ H (de forma equivalente, a ≡ b ⇔ ab−1 ∈ H). Sea G/H el conjunto de clases de equivalencia (de clases laterales derechas o izquierdas) determinadas por la relacion ≡. Entonces definiendo el producto de clases de G/H por: aH bH := abH, ∀a, b ∈ G (ā b̄ := ab). G/H adquiere estructura de grupo. G/H se denomina el grupo cociente de G por H. La clase con representante a será denotada simplemente por a o aH en el caso multiplicativo; en notación aditiva ā = a + H. Proposición 3.2.2. Sea G un grupo y H E G. Entonces, (i) Si G es abeliano, entonces G/H es también abeliano. (ii) Si G es cı́clico con generador a, entonces G/H es cı́clico con generador a. (iii) Si G es finito, entonces |G : H| = |G/H| = |G| . |H| (iv) Zn = Z/hni. (v) Sea K ≤ G tal que H ≤ K. Entonces, H E K. (vi) Sea L ≤ G tal que |G : L| = 2, entonces L E G. (vii) La relación de normalidad no es en general transitiva. Demostración. Las cinco primeras afirmaciones son casi evidentes. Veamos Sla prueba de (vi): G queda dividido en sólo dos clases laterales izquierdas: G = L (G − L). Sea x ∈ G, h ∈ L; consideremos las siguientes cuatro posibilidades: a) x−1 h ∈ L, x−1 ∈ L ⇒ x−1 hx ∈ L b) x−1 h ∈ L, x−1 ∈ / L, imposible −1 −1 c) x h ∈ / L, x ∈ L, imposible d) x−1 h ∈ / L, x−1 ∈ / L ⇒ x−1 h ≡ x−1 ⇒ x−1 hx ∈ L ⇒ L E G. (vii) Esto se ilustra en el siguiente ejemplo. 3.2. GRUPO COCIENTE 37 Ejemplo 3.2.3. Consideremos un cuadrado cuyos vértices se numeran sucesivamente en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj con los números 1, 2, 3, 4, comenzando en el extremo inferior izquierdo, y consideremos el conjunto D4 de las 8 simetrı́as de un cuadrado: cuatro rotaciones en sentido antihorario a través de los ángulos 2πk , k = 0, 1, 2, 3; cuatro reflexiones a través de cuatro ejes de 4 simetrı́a X, Y, 13, 24. Este conjunto posee estructura de grupo bajo la operación de composición. Nótese que cada simetrı́a permuta los vértices 1, 2, 3, 4; por lo tanto el grupo D4 puede ser visto como subgrupo de S4 : la rotación a través del ángulo θ = π2 , k = 1, corresponde a la permutación: f= 1 2 3 4 2 3 4 1 = (1 2 3 4). Observe que las otras tres rotaciones corresponden a potencias de f : f 2 , f 3 , f 4 = 1 = rotación de cero grados. La reflexión a través del eje 13 corresponde a la permutación: g= 1 2 3 4 1 4 3 2 = (2 4), g 2 = 1. Las otras tres reflexiones corresponden a productos de f y g : Reflexión a través del eje Y : 1 2 3 4 2 1 4 3 1 2 3 4 4 3 2 1 = f g. Reflexión a través del eje X: = f 3 g. Reflexión a través del eje 24: 1 2 3 4 3 2 1 4 = f 2 g. Como dijimos anteriormente, D4 = {1, f, f 2 , f 3 , f g, f 2 g, f 3 g, g} es un subgrupo de S4 conocido como grupo diédrico de grado 4. Nótese que H = {1, g} ≤ K = {1, g, f 2 , f 2 g}. Además, K E D4 ya que |D4 : K| = 2, H E K ya que |K : H| = 2 −1 pero H no es subgrupo normal de D4 : f 3 g (f 3 ) = f 3 gf = f 2 g ∈ / H. 38 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES Y HOMOMORFISMOS 3.3. Homomorfismo de grupos En esta sección se presenta el concepto de homomorfismo de grupos ası́ como también algunas de las propiedades fundamentales de estas funciones. Al final, con ayuda del concepto de isomorfismo, se hace una clasificación de los grupos cı́clicos. Definición 3.3.1. Sean hG, ·i y hF, ·i dos grupos. Una función ϕ : G → F tal que ϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b), ∀a, b ∈ G se denomina un homomorfismo del grupo G en el grupo F . Si ambos grupos tienen notación aditiva, entonces la condición anterior se escribe como ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b). Veamos algunos ejemplos: (i) Sea G = R el grupo aditivo de los números reales, y sea F = R∗ el grupo multiplicativo de los números reales no nulos. La función f : R → R∗ definida por f (x) =: ex es un homomorfismo de R en R∗ . (ii) Homomorfismo trivial : sea hG, ·, 1i un grupo multiplicativo y sea hF, +, ◦i un grupo con notación aditiva. La función de G en F definida por f : G → F , f (x) = 0 es un homomorfismo, Además la función g : F → G es definida por g (x) = 1 es también un homomorfismo; lo podemos denominar homomorfismo unitario. (iii) Homomorfismo idéntico: sea hG, ·i un grupo. La función ı : G → G de G en sı́ mismo definida por iG (x) := x es un homomorfismo. Definición 3.3.2. Sea ϕ : G → F un homomorfismo de grupos. (i) Sea 1 el elemento identidad del grupo F . El conjunto de elementos de G cuya imagen es el elemento identidad 1 de F se denomina el núcleo de ϕ y se denota por ker(ϕ): ker(ϕ) := {g ∈ G | ϕ (g) = 1}. (i) Sea A ⊆ G. El conjunto de las imágenes de los elementos del conjunto A se denomina imagen del conjunto A mediante ϕ y se denota por ϕ (A): ϕ (A) := {ϕ (a) | a ∈ A}. En particular el conjunto ϕ (G) se denomina la imagen del homomorfismo ϕ y se simboliza también por Im (ϕ). (iii) Sea B ⊆ F . El conjunto de elementos de G cuyas imágenes pertenencen al conjunto B se denomina imagen inversa de B mediante ϕ, 3.3. HOMOMORFISMO DE GRUPOS 39 ϕ−1 (B) := {g ∈ G | ϕ (g) ∈ B}. (iv) Se dice que ϕ es un homomorfismo inyectivo si ϕ es una función inyectiva, es decir, para cualesquiera elementos x, y ∈ G se cumple ϕ (x) = ϕ (y) ⇔ x = y. (v) Se dice que ϕ es un homomorfismo sobreyectivo si Im (ϕ) = F . (vi) Se dice que un grupo F es una imagen homomorfa de un grupo G si existe un homomorfismo sobreyectivo de G en F . (vii) Se dice que ϕ es un isomorfismo o también que G y F son grupos isomorfos, lo cual se denota por G ∼ = F , si ϕ es inyectivo y sobreyectivo. Proposición 3.3.3. Sea ϕ : G → F un homomorfismo, entonces: (i) ϕ (1) = 1. (ii) ϕ (x−1 ) = ϕ (x)−1 , para cada x ∈ G. (iii) ker (ϕ) E G. (iv) La imagen de un subgrupo de G mediante ϕ es un subgrupo de F : H ≤ G ⇒ ϕ (H) ≤ F . (v) La imagen inversa de un subgrupo de F mediante ϕ es un subgrupo de G: K ≤ F ⇒ ϕ−1 (K) ≤ G. (vi) La imagen de un subgrupo normal de G mediante ϕ es un subgrupo normal de la imagen de ϕ: H E G ⇒ ϕ (H) E Im(ϕ). (vii) La imagen inversa de un subgrupo normal de F mediante ϕ es un subgrupo normal de G: K E F ⇒ ϕ−1 (K) E G. (viii) ϕ es inyectivo ⇔ ker (ϕ) = {1}. 40 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES Y HOMOMORFISMOS (ix) Sea H E G. La función j : G → G/H definida por j (x) =: x̄ = xH es un homomorfismo sobreyectivo. j se denomina el homomorfismo canónico. (x) ϕ es un isomorfismo si, y sólo si, existe una función θ : F → G tal que θϕ = iG , ϕ θ = iF . Además, θ es también un homomorfismo. θ se denomina el homomorfismo inverso de ϕ y se denota por ϕ−1 . (xi) Sea α : F → M un homomorfismo. Entonces la función compuesta αϕ : G → M es un homomorfismo. Demostración. Todas las pruebas se reducen a aplicar directamente las definiciones anteriores. Teorema 3.3.4. Sea G un grupo cı́clico. Entonces, (i) Si G es infinito, entonces G ∼ = Z. (ii) Si es finito de orden n, entonces G ∼ = Zn . Demostración. Es un ejercicio sencillo que se deja al lector. 3.4. Ejercicios 1. Demuestre que en un grupo abeliano todos sus subgrupos son normales. 2. Sea G un grupo y A un subconjunto no vacı́o de G. Sea x ∈ G el conjunto: Ax := x−1 Ax = {x−1 ax | a ∈ A}. se denomina el conjugado de A por x. Demuestre que el conjugado de un subgrupo de G mediante cualquier elemento x de G es también un subgrupo de G. Demuestre que si A ⊆ G, entonces ∀x ∈ G, Card(x−1 Ax) = Card (A). 3. Sea G un grupo, H un subgrupo de G y A un subconjunto no vacı́o de G. Demuestre que NH (A) := {x ∈ H | Ax = A} y CH (A) := {x ∈ H | xs = sx, ∀s ∈ A} son subgrupos de H (NH (A) se llama el normalizador de A en H y CH (A) se llama el centralizador de A en H). Compruebe además que CH (A) E NH (A). 3.4. EJERCICIOS 41 4. Sea G un grupo y K ≤ G. Con las definiciones del ejercicio anterior, NG (K) se denomina el normalizador de K en G y CG (K) se denomina el centralizador de K. El centralizador de G se denota por Z (G) y se llama el centro del grupo G. Demuestre que a) K E NG (K) y Z(G) es un grupo abeliano. b) K E G ⇔ G = NG (K). c) Sea H ≤ G tal que K E H. Entonces H ⊆ NG (K). 5. Sea G un grupo, H ≤ G, A 6= ∅, A ⊆ G. Denotemos por F a la familia de subconjuntos de G constituidos por los conjugados de A con elementos de H, es decir F := {Ax | x ∈ H}. Demuestre que Card(F ) = |H : NH (A)|. 6. Sea G un grupo y sea X un conjunto no vacı́o. Demuestre que Z[Apl (X, G)] = Aplc (X, Z (G)). 7. Demuestre que la intersección de dos subgrupos normales es un subgrupo normal. Generalice este resultado a una familia no vacı́a cualquiera de subgrupos normales. 8. Sea G un grupo y H E G. Demuestre que las relaciones de equivalencia ≡1 y ≡2 definidas por a ≡1 b ⇔ ab−1 ∈ H y a ≡2 b ⇔ a−1 b ∈ H son iguales, es decir, ∀a, b ∈ G, a ≡1 b ⇔ a ≡2 b. Capı́tulo 4 Teoremas de estructura El concepto de homomorfismo e isomorfismo, ası́ como los teoremas correspondientes, son el objeto del presente capı́tulo. Por medios de estos teoremas se pueden caracterizar las imágenes homomorfas de un grupo, y son herramienta clave para la clasificación de grupos, en particular, para la clasificación de grupos finitos. 4.1. Teorema fundamental de homomorfismo Se mostrará en esta sección que un grupo G tiene tantas imágenes homomorfas como grupos cocientes por subgrupos normales, éste es precisamente el contenido del teorema fundamental de homomorfismo. Teorema 4.1.1 (Teorema fundamental de homomorfismo). Sea G un grupo cualquiera. Entonces hay tantas imágenes homomorfas de G como subgrupos normales tiene G (o lo que es lo mismo, como grupos cocientes de G). Más exactamente, si G0 es una imagen homomorfa de G entonces existe un subgrupo normal H de G tal que G0 ∼ = G/H. H es precisamente el núcleo del homomorfismo G → G0 . Recı́procamente, dado un subgrupo normal H de G, G/H es una imagen homomorfa de G. El homomorfismo sobreyectivo requerido es el homomorfismo canónico j : G → G/H. Demostración. Sea G0 una imagen homomorfa de G con homomorfismo sobreyectivo h : G → G0 ; sea ker(h) el núcleo de h y sea j : G → G/ ker(h) el homomorfismo canónico de G sobre el grupo cociente G/ ker(h). Se define la función h : G/ ker(h) → G0 mediante h̄(x̄) := h(x), donde x̄ = x ker(h) es la clase de equivalencia (clase lateral izquierda) determinada por el elemento x. h̄ está bien definida, h̄ es sobre y h̄ es inyectiva. Además, h̄ es un homomorfismo de grupos. Finalmente, ya se ha visto que la función canónica j es un homomorfismo sobre de G en G/H. 42 4.1. TEOREMA FUNDAMENTAL DE HOMOMORFISMO 43 Corolario 4.1.2. Sea h : G → G0 un homomorfismo de grupos. Entonces Im(h) ∼ = G/ ker(h). Ejemplo 4.1.3. (i) Determinemos todas las imágenes homomorfas del grupo aditivo de los números enteros hZ, +i: según el teorema fundamental de homomorfismo las imágenes homomorfas de hZ, +i son los subgrupos cociente de Z por sus subgrupos normales. De esta manera debemos determinar todos los subgrupos normales H de Z y construir los grupos cociente G/H. Como hZ, +i es un grupo abeliano entonces cada uno de sus subgrupos es normal. Ası́ pues, las imágenes homomorfas de Z son de la forma Z/hni con n ≥ 0, es decir las imágenes de hZ, +i son Zn con n ≥ 0 . (ii) Sea (R, +, 0) el grupo de los números reales bajo la adición y sea (U, ·, 1) el grupo multiplicativo de los complejos de módulo 1: U = {z ∈ C | |z| = 1}. Nótese que U = {cos θ + i sin θ | θ ∈ R} = {eiθ | θ ∈ R}. La función ϕ : R → U definida por ϕ(θ) = eiθ es un homomorfismo: en efecto, ϕ(θ1 + θ2 ) = ei(θ1 +θ2 ) = eiθ1 · eiθ2 . ϕ es obviamente un homomorfismo sobreyectivo ya que cada complejo tiene determinado al menos un argumento θ. Según el teorema fundamental de homomorfismo U ∼ = R/ ker(ϕ) ; ker(ϕ) = {θ ∈ R | cos θ +i sin θ = 1 }; si θ ∈ ker(ϕ) entonces sin θ = 0, luego θ = 2kπ, k ∈ Z. Recı́procamente, cada real de forma θ = 2kπ, k ∈ Z es un elemento de ker(ϕ) por lo tanto N (ϕ) = h2πi, grupo generado por 2π; ası́ pues U∼ = R/h2πi. (iii) Imágenes homomorfas de S3 : determinamos en primer lugar los subgrupos de S3 . Puesto que |S3 | = 6 entonces S3 sólo puede tener subgrupos de orden 1, 2, 3 y 6: 1 2 3 1 2 3 f= = 1 2 3 , g= = 2 3 , 2 3 1 1 3 2 2 2 2 S3 = {1, f, f , g, f g, f g} ; f = 1 3 2 , f g = 1 2 , f 2 g = 1 3 , 1 = {1} es el único subgrupo de orden 1. Los subgrupos de orden 2 son cı́clicos y por lo tanto generados por los elementos de orden 2: hgi, hf gi, hf 2 gi son los subgrupos de orden 2. Los subgrupos de orden 3 son necesariamente cı́clicos y son generados por elementos de orden 3 : hf i es el único subgrupo de orden 3, S3 es el único subgrupo de orden 6. 1 y S3 son normales. Puesto que |S3 : hf i| = 2 entonces hf i E S3 . Para la determinación de subgrupos normales de orden 2 no sobra construir la tabla del grupo S3 : 44 CAPÍTULO 4. TEOREMAS DE ESTRUCTURA ◦ 1 f f2 g f g f 2g 2 1 1 f f g f g f 2g f f f2 1 f g f 2g g f2 f2 1 f f 2g g fg 2 2 g g f g fg 1 f f fg fg g f 2g f 1 f2 f 2g f 2g f g g f2 f 1 hgi no es subgrupo normal de S3 ya que f gf −1 = f gf 2 = f 2 g ∈ / hgi; hf gi no es 2 2 −1 2 2 subgrupo normal de S3 ya que f f g (f ) = f f gf = gf = f g ∈ / hf gi; hf 2 gi no 2 −1 2 2 es subgrupo normal de S3 ya que f f gf = gf = f g ∈ / hf gi . S3 no tiene subgrupos normales de orden 2, 1, hf i, S3 son los subgrupos normales de S3 . De aquı́ obtenemos que las imágenes homomorfas de S3 (salvo isomorfismo) son S3 /1 = S3 , S3 / hf i ∼ = Z2 ya que |S3 / hf i| = 63 = 2 ; S3 /S3 ∼ = Z1 (grupo unitario). 4.2. Teorema de factorización Definición 4.2.1. Sea α : G1 → G2 un homomorfismo de grupos. Se dice que el homomorfismo α se puede factorizar a través del homomorfismo j : G1 → G3 (o también, a través del grupo G3 ) si existe un homomorfismo θ : G3 → G2 tal que θj = α. Teorema 4.2.2. Sea α : G → G0 un homomorfismo de grupos y sea H un subgrupo normal de G. Entonces α se puede factorizar de una manera única a través de G/H si, y sólo si, H ⊆ ker(α). Demostración. ⇒): Sea H E G tal que α se puede factorizar a través de G/H. Esto quiere decir que existe un homomorfismo θ : G/H → G0 tal que θj = α. Sea x ∈ H entonces θj(x) = α(x) por lo tanto θ(j(x)) = θ(x̄) = θ(1̄) = 1 = α(x), es decir, x ∈ ker(α) y de esta manera H ⊆ ker(α). ⇐): Supongamos que H E G tal que H ⊆ ker(α). Definimos θ : G/H → G0 , θ(x̄) := α(x), x̄ = xH, x ∈ G . θ está bien definida : x̄ = ȳ entonces x−1 y ∈ H luego x−1 y ∈ ker(α), es decir, α(x−1 y) = 1, con lo cual α(x)−1 α(y) = 1 y ası́ α(x) = α(y); esto indica que θ(x̄) = θ(ȳ). θ es homomorfismo : θ(x̄ · ȳ) = θ(xy) = α(xy) = α(x)α(y) = θ(x̄)θ(ȳ). θj(x) = θ(x̄) = α(x), para todo x ∈ G; ⇒ θj = α. θ es única : sea β : G/H → G0 un homomorfismo tal que βj = α, entonces βj(x) = β(x̄) = α(x) = θ(x̄), luego β = θ. 4.2. TEOREMA DE FACTORIZACIÓN 45 Corolario 4.2.3. (i) El homomorfismo θ del teorema anterior es inyectivo ⇔ H = ker(α). Además, θ es sobreyectivo ⇔ α es sobreyectivo. α (ii) Cada homomorfismo sobreyectivo G − → G0 se puede factorizar de manera única a través del grupo cociente G/ ker(α). Además, en este caso θ es un isomorfismo. Demostración. (i) Supongamos que θ es un homomorfismo inyectivo y sea x ∈ ker(α). Entonces α(x) = 1 = θ(x̄), es decir, x̄ = 1̄, de donde x ∈ H, lo cual prueba que ker(α) ⊆ H y por lo tanto H = ker(α). Recı́procamente, sea x̄ ∈ ker(θ), entonces θ(x̄) = α(x) = 1, es decir, x ∈ ker(α) y de esta manera x̄ = 1̄. Puesto que α = θ ◦ j, entonces como θ sobreyectivo, α lo es ya que j es el homomorfismo canónico. Sea ahora α sobreyectivo, y sea y ∈ G0 . Entonces, existe x ∈ G tal que α(x) = y, luego θ(x̄) = α(x) = y, es decir, θ es sobreyectivo. (ii) Es consecuencia directa del teorema anterior. Las afirmaciones siguientes evidencian la utilidad del teorema de factorización. Corolario 4.2.4. Sea α : G → K un homomorfismo sobreyectivo de grupos y sea H E G. Entonces α induce el homomorfismo sobreyectivo α0 : G/H → K/α(H) definido por α0 (x̄) := α(x), donde x̄ = xH y α(x) := α(x)α(H). Además, α0 es inyectivo (y por lo tanto un isomorfismo) si, y sólo si, ker(α) ⊆ H. Demostración. Ejercicio para el lector. Corolario 4.2.5. Sea α : G → K un homomorfismo de grupos y sea H un subgrupo normal de K. Entonces α induce el homomorfismo inyectivo α0 : G/α−1 (H) → K/H definido por α0 (x̃) := α(x), x̃ = xα−1 (H), α(x) := α(x)H. Además, si α es sobreyectivo, entonces α0 es un isomorfismo. Demostración. Se deja como ejercicio al lector. Corolario 4.2.6. Sea G un grupo y sean H y K subgrupos normales de G tales que H ⊆ K. Entonces se tiene el homomorfismo sobreyectivo θ : G/H → G/K definido por θ(x̄) := x̃ , donde x̄ := xH y x̃ := xK. Demostración. Ejercicio para el lector. 46 4.3. CAPÍTULO 4. TEOREMAS DE ESTRUCTURA Teorema de correspondencia Sea G un grupo y H un subgrupo normal de G. Consideremos el grupo cociente G/H y el homomorfismo canónico j : G → G/H. Sea X un subconjunto de G que contiene H, H ⊆ X ⊆ G. Según vimos, la imagen de X mediante j es j(X) = {j(x) | x ∈ X} = {x̄ | x ∈ X}. Denotamos este conjunto por X/H. Sea ahora K un subgrupo de G que contiene H, H ≤ K ≤ G. Entonces j(K) = {j(x) | x ∈ K} = {x̄ | x ∈ K} = K/H. Además, como H E K podemos construir el grupo cociente de K por H, K/H, y por tanto, la notación K/H para j(K) es adecuada. Podemos ahora demostrar el siguiente teorema. Teorema 4.3.1 (Teorema de correspondencia). Sea G un grupo y sea H un subgrupo normal de G. Sea L(G, H) la familia de subgrupos de G que contienen H L(G, H) := {K ≤ G| H ⊆ K}. Sea L(G/H) la familia de subgrupos de G/H. Entonces existe una correspondencia biyectiva entre L(G, H) y L(G/H) ϕ : L(G, H) → L(G/H) ϕ(K) := j(K) = K/H = {x̄ ∈ G/H | x ∈ K}. Además, si N es un subgrupo normal de G que contiene a H, entonces ϕ(N ) E G/H. Por último, si A y B son elementos de L(G, H) tales que A ≤ B, en otras palabras, si H ≤ A ≤ B ≤ G, entonces ϕ(A) ≤ ϕ(B) y además |B : A| = |ϕ(B) : ϕ(A)|. Demostración. Nótese en primer lugar que ϕ(K) es realmente un subgrupo de G/H ya que j es un homomorfismo. ϕ es una función inyectiva: supongamos que ϕ(K1 ) = ϕ(K2 ), entonces K1 /H = K2 /H. Sea x ∈ K1 , se tiene que x̄ ∈ K1 /H con lo cual x̄ ∈ K2 /H y ası́ x̄ = ȳ para algún y ∈ K2 , es decir, x−1 y ∈ H ⊆ K2 de donde x ∈ K2 . En total K1 ⊆ K2 . Análogamente se prueba que K2 ⊆ K1 y ası́ K1 = K2 , con lo cual ϕ es 1 − 1. ϕ es una función sobreyectiva: sea M un subgrupo de G/H, como hemos visto −1 j (M ) es un subgrupo de G. Veamos en primer lugar que H ≤ j −1 (M ): sea x ∈ H entonces j(x) = x̄ = 0̄ ∈ M . Ası́ pues, j −1 (M ) es un elemento de L(G, H). Finalmente, notemos que j [j −1 (M )] = M por ser j una función sobre. Esto completa la prueba de que ϕ es una función sobre. Si N es un subgrupo normal de G que contiene H, entonces según vimos la imagen de cada subgrupo normal mediante un homomorfismo es nuevamente un subgrupo normal en la imagen. Por tanto, ϕ(N ) = j(N ) E G/H. Sea ρ la relación de equivalencia inducida en B por el subgrupo A: 4.4. TEOREMAS DE ISOMORFISMO 47 x, y ∈ B : xρy ⇔ xy −1 ∈ A. Denotemos por [x] la clase de equivalencia correspondiente al elemento x ∈ B mediante la relación ρ. Sea θ la relación de equivalencia inducida en B/H por el subgrupo A/H: x̄, ȳ ∈ B/H : x̄θȳ ⇔ x̄ ȳ −1 ∈ A/H. (x̄ = Hx, x ∈ B). Denotemos por [x̄] la clase de equivalencia determinada por el elemento x̄ de B/H mediante la relación θ. Sean C1 = B/ρ y C2 = (B/H)/θ los respectivos conjuntos cocientes. Se quiere probar que Card(C1 ) = Card(C2 ) : Definimos F : C1 → C2 F ([x]) := [x]. F está bien definida: [x] = [y] implica xy −1 ∈ A luego xy −1 ∈ A/H, es decir, x y −1 ∈ A/H, con lo cual [x] = [y] y ası́ F ([x]) = F ([y]). F es inyectiva: F ([x]) = F ([y]) implica [x] = [y], de donde x y −1 ∈ A/H por lo tanto xy −1 ∈ A y de esta manera [x] = [y]. F es obviamente sobreyectiva. 4.4. Teoremas de isomorfismo El primer teorema fundamental de isomorfismo combinado con el teorema de correspondencia permite determinar las imágenes homomorfas de Zn , n ≥ 2. Teorema 4.4.1 (Primer teorema fundamental de isomorfismo). Sea G un grupo y sean H y K subgrupos normales de G tales que H ≤ K. Entonces K/H E G/H y se tiene el isomorfismo (G/H)/(K/H) ∼ = G/K. Demostración. Podemos aplicar el teorema de factorización y el teorema fundamental de homomorfismo para demostrar este importante teorema: en efecto el homomorfismo canónico j : G → G/K se puede factorizar a través del homomorfismo j1 : G → G/H debido a que H ⊆ K = ker(j) Denotamos los elementos de G/H mediante x̄ := xH y los de G/K por x̃ := xK, entonces θ : G/H → G/K está definido por θ(x̄) := x̃; puesto que j es sobreyectivo, entonces θ también lo es, y según el teorema fundamental de homomorfismo (G/K) ∼ = (G/H)/ ker(θ) pero ker(θ) = {x̄ ∈ G/H | x̃ = 0̃} = {x̄ ∈ G/H | x ∈ K} = K/H. Ası́ pues, (G/H)/(K/H) ∼ = G/K. Teorema 4.4.2 (Segundo teorema fundamental de isomorfismo). Sean G un grupo, H ≤ G y K E G. Entonces, 48 CAPÍTULO 4. TEOREMAS DE ESTRUCTURA HK/K ∼ = H/H ∩ K. Demostración. En primer lugar HK = KH: sea hk∈ HK, ya que K E G se tiene que hk = (hkh−1 )h ∈ KH; ası́ pues, HK ⊆ KH. Sea ahora kh ∈ KH; entonces kh = h(h−1 kh) ∈ HK ⇒ KH ⊆ HK y en consecuencia HK = KH. Esto garantiza que HK es un subgrupo de G. Como K E G entonces K E HK y tiene sentido el grupo factor HK/K. Definimos la función f : H → HK/K h 7→ hK. Probemos que f es un homomorfismo sobreyectivo con núcleo ker(f ) = H ∩ K : f (h1 h2 ) = (h1 h2 )K = h1 Kh2 K = f (h1 )f (h2 ). Sea x ∈ HK/K. Entonces x es de la forma x = hkK = hK = f (h). Esto prueba que f es sobre. Sea x ∈ ker(f ) entonces f (x) = xK = 1K, es decir, x ∈ K con lo cual x ∈ H ∩ K. Esto establece que ker(f ) = H ∩ K y el teorema está demostrado. Ejemplo 4.4.3. (i) Calculemos las imágenes homomorfas de Zn , n ≥ 0. Para n = 0, Z0 = Z, según vimos, en este caso las imágenes homomorfas son de la forma Zn , n ≥ 0. Sea n = 1, Z1 = 0, grupo con un solo elemento. Por tanto, las únicas imágenes homomorfas de Z1 son los grupos unitarios. Sea n ≥ 2, Zn = Z/ hni. Las imágenes homomorfas de Zn según el teorema fundamental de homomorfismo son de la forma Zn /H donde H es subgrupo normal de Zn . Como Zn es un grupo abeliano entonces todos sus subgrupos son normales. Según el teorema de correspondencia los subgrupos de Zn = Z/ hni son de la forma K/ hni donde K es un subgrupo de Z que contiene al subgrupo hni. Los subgrupos de Z son de la forma hmi. Ası́ pues, los subgrupos de Zn = Z/ hni son de la forma hmi / hni donde hmi ⊇ hni. Nótese que si hni ⊆ hmi entonces n = km, k ∈ Z, ⇒ m|n. Recı́procamente, si m|n ⇒ hni ⊆ hmi. En conclusión los subgrupos de Zn = Z/ hni son de la forma hmi / hni con m|n. Por tanto las imágenes homomorfas de Zn = Z/ hni son de la forma Z/ hni / hmi / hni ∼ = Z/ hmi = Zm . Ası́ pues, las imágenes homomorfas de Zn son los subgrupos Zm con m|n. Por ejemplo, las imágenes homomorfas de Z12 son: Z1 = 0, Z2 , Z3 , Z4 , Z6 , Z12 . (ii) Sea G un grupo no unitario y sea H E G. Se dice que H es un subgrupo normal maximal de G si se cumple que H ≤ K y K E G ⇔ K = H o K = G, en otras palabras, los únicos subgrupos normales de G que contienen H son G y H. Sea hG, ·, 1i un grupo simple, es decir, G es no trivial y los únicos subgrupos normales de G son los triviales: {1} y G. Probemos que H E G es maximal si, y sólo si, G/H es simple: sea W un subgrupo normal de G/H, según el teorema de correspondencia existe en G un subgrupo normal K que contiene H. Por ser H normal maximal K = H o K = G, es decir W = K/H = H/H o W = G/H, es decir, los únicos subgrupos normales de G/H son los triviales. Sea ahora K ≤ G, 4.4. TEOREMAS DE ISOMORFISMO 49 K E G, H ≤ K. Entonces según el teorema de correspondencia K/H E G/H; como este último es simple entonces K/H = {1} o K/H = G/H luego K/H = H/H o K/H = G/H por lo tanto K = H o K = G, con lo cual H es maximal normal. (iii) Calculemos las imágenes homomorfas del grupo de Klein V = {1, a, b, ab}, a2 = 1, b2 = 1, ab = ba. V es un grupo de orden 4. Por tanto, sus subgrupos son de órdenes 1,2,4. Subgrupo de orden 1 : H1 = {1}. Los subgrupos de orden 2 son necesariamente cı́clicos: H2 = hai = {1, a}, K2 = hbi = {1, b}, L2 = habi = {1, ab}. Ası́ pues, los subgrupos de orden 2 son H2 = hai, K2 = hbi, L2 = habi. Hay un único subgrupo de orden 4: V . De lo anterior obtenemos que todos los subgrupos de V son normales. Ası́, las imágenes homomorfas de V son: V /H1 ∼ = V , V /H2 ∼ = V /K2 ∼ = V /L2 ∼ = Z2 , V /V = 1. (iv) Notemos que V es un grupo abeliano de orden 4 al igual que Z4 . Sin embargo, V no es isomorfo a Z4 ya que este último es cı́clico. Tenemos pues dos grupos distintos de orden 4. Nos preguntamos si existen otros grupos de orden 4 diferentes (no isomorfos) a Z4 y V . La respuesta es no: como V es de orden 4, V es necesariamente abeliano. En efecto, probemos que si G es un grupo de orden ≤ 5 entonces G es abeliano: |G| = 1 ⇒ G es un grupo unitario y por ende abeliano. |G| = 2 ⇒ G es un grupo cı́clico ⇒ G ∼ = Z2 ⇒ G es abeliano. ∼ |G| = 3 ⇒ G es un grupo cı́clico ⇒ G = Z3 ⇒ G es abeliano. |G| = 4, si G es cı́clico ⇒ G ∼ = Z4 ⇒ G es abeliano. |G| = 5 ⇒ G es un grupo cı́clico ⇒ G ∼ = Z5 ⇒ G es abeliano. Volvemos al caso |G| = 4 y G no es cı́clico. Entonces cada elemento de G es de orden 1 o 2 (no hay elementos de orden 4 ya que de lo contrario G serı́a cı́clico). De esto concluimos que G = {1, a, b, ab}, a2 = 1, b2 = 1, ab = ba, es decir, G es el grupo de Klein. (v) Determinemos la imágenes homomorfas de D4 : recordemos que D4 = {1, f, f 2 f 3 , g, f g, f 2 g, f 3 g}. La tabla de D4 ayuda a determinar los subgrupos de D4 (véase el capı́tulo 3). 1 es el único subgrupo de orden 1. Los subgrupos de orden 2 son los determinados por las permutaciones de orden 2: hgi , hf 2 i , hf gi , hf 2 gi , hf 3 gi son los subgrupos de orden 2. Los subgrupos de orden 4 son de dos tipos: unos isomorfos a Z4 y otros isomorfos al grupo de Klein, V : elementos de orden 4: f , f 3 . Pero hf i = hf 3 i ∼ = Z4 . Sub2 2 grupos isomorfos a V = {1, a, b, ab}, a = 1, b = 1, ab = ba. a puede tomar los valores f 2 , g, f g, f 2 g, f 3 g; lo mismo ocurre para b. Se presentan entonces 5·4 = 10 2 combinaciones posibles: 1) a = f 2 , b = g ⇒ K4 = {1, f 2 , g, f 2 g}; 2) a = f 2 , b = f g ⇒ H4 = {1, f 2 , f g, f 3 g}; 3) a = f 2 , b = f 2 g ⇒ K4 ; 50 CAPÍTULO 4. TEOREMAS DE ESTRUCTURA 4) a = f 2 , b = f 3 g ⇒ H4 ; 5) a = g, b = f g, descartado ya que g(f g) 6= (f g)g; 6) a = g, b = f 2 g ⇒ K4 ; 7) a = g, b = f 3 g, descartado ya que g(f 3 g) 6= (f 3 g)g; 8) a = f g, b = f 2 g, descartado ya que (f g)(f 2 g) 6= (f 2 g)(f g); 9) a = f g, b = f 3 g ⇒ H4 ; 10) a = f 2 g, b = f 3 g, descartado ya que (f 2 g)(f 3 g) 6= (f 3 g)(f 2 g). Subgrupos de orden 4: Isomorfos a Z4 : hf i ; isomorfos a V: K4 , H4 . Único subgrupo de orden 8: D4 . En resumen se obtiene lo siguiente: hf i ∼ = Z4 ; ∼ ∼ K4 = H 4 = V ; hgi ∼ = hf 2 gi ∼ = hf 2 i ∼ = hf 3 gi ∼ = hf gi ∼ = Z2 . De otra parte, 1 y D4 son automáticamente subgrupos normales de D4 . Además, K4 , H4 y hf i son también normales ya que su ı́ndice en D4 es 2. hgi no es subgrupo normal de D4 ya que f −1 gf = f 3 gf = f 2 g ∈ / hgi; −1 3 hf gi no es subgrupo normal de D4 ya que g (f g)g = f g ∈ / hf gi; 2 −1 2 hf gi no es subgrupo normal de D4 ya que f (f g)f = g ∈ / hf 2 gi; hf 3 gi no es subgrupo normal de D4 ya que f −1 (f 3 g)f = f g ∈ / hf 3 gi; hf 2 i E D4 ya que f −1 f 2 f = f 2 ; (f 2 )−1 f 2 f 2 = f 2 ; (f 3 )−1 f 2 f 3 = f 2 ; g −1 f 2 g = f 2 ; (f g)−1 f 2 (f g) = f 2 ; (f 2 g)−1 f 2 (f 2 g) = f 2 ; (f 3 g)−1 f 2 (f 3 g) = f 2 . Subgrupos normales de D4 : 1, D4 , hf 2 i, hf i, K4 , H4 . Las imágenes homomorfas de D4 (salvo isomorfismo) son: D4 /1 = D4 ; D4 / hf i = Z2 ; D4 /K4 ∼ = Z2 ; D4 /D4 = 1. = D4 /H4 ∼ 2 2 ∼ Para hf i se tiene que D4 / hf i = Z4 o D4 / hf 2 i ∼ = V . La primera posibilidad 2 es descartada ya que en D4 / hf i no hay elementos de orden 4: en efecto, en D4 todos los elementos salvo 1, f 2 , f 3 son de orden 2. Además, para estos últimos se tiene que |1̄| = 1, f¯ = 2, f 3 = 2. Por tanto, D4 / hf 2 i ∼ = V , esta es la otra imagen homomorfa de D4 . (vi) Calculemos las imágenes homomorfas del grupo de los cuaterniones de Hamilton Q8 : el grupo Q8 es de orden 8 y puede ser definido por las siguientes relaciones: Q8 = ha, b | a4 = 1, b2 = a2 , bab−1 = a−1 i, Q8 = {1, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b}. La tabla para Q8 viene dada por 51 4.4. TEOREMAS DE ISOMORFISMO ◦ 1 a a2 a3 b ab a2 b a3 b 1 1 a a2 a3 b ab a2 b a3 b a a a2 a3 1 a3 b b ab a2 b a2 a2 a3 1 a a2 b a3 b b ab a3 a3 1 a a2 ab a2 b a3 b b b b ab a2 b a3 b a2 a3 1 a ab ab a2 b a3 b b a a2 a3 1 a2 b a2 b a3 b b ab 1 a a2 a3 a3 b a3 b b ab a2 b a3 1 a a2 ba = a−1 b = a3 b; ba2 = (ba)a = (a3 b)a = a3 (ba) = a3 (a3 b) = a2 b; etc Subgrupos de Q8 : los subgrupos de Q8 tienen orden 1, 2, 4, 8: Subgrupo de orden 1: 1; Subgrupo de orden 8: Q8 ; Subgrupos de orden 2: cı́clicos y están generados por los elementos de orden 2: ha2 i es el único subgrupo de orden 2. Subgrupos de orden 4: cı́clicos : hai = ha3 i; hbi = ha2 bi, habi = ha3 bi; no cı́clicos : son de la forma V = {1, x, y, xy}, donde x2 = y 2 = 1, xy = yx. Pero en Q8 sólo hay un elemento de orden 2. Por tanto, Q8 no tiene subgrupos de orden 4 no cı́clicos. Subgrupos normales: Los subgrupos normales 1 y Q8 son normales. Los subgrupos de orden 4 hai, hbi , habi son también normales por ser de ı́ndice 2. ha2 i = {a2 , 1} : 1a2 1−1 = a2 ; aa2 a−1 = aa2 a3 = a2 ; a2 a2 a2 = a2 ; a3 a2 (a3 )−1 = 3 2 a a a = a2 ; ba2 b−1 = a2 ; aba2 (ab)−1 = a2 ; a2 ba2 (a2 b)−1 ) = a2 ; a3 ba2 (a3 b)−1 = a2 , luego ha2 i E Q8 . Ası́ pues, en Q8 todos sus subgrupos son normales. Imágenes homomorfas: Q8 /1 ∼ = Q8 ; Q8 / hai ∼ = Q8 / hbi ∼ = Q8 / habi ∼ = Z2 ; Q8 /Q8 ∼ = Z1 ; Q8 / ha2 i ∼ =V 2 ya que en Q8 /ha i no hay elementos de orden 4: |1̄| = 1, |a| = 2 : a 2 = a2 = 1̄. a2 = 1, a3 = 2: (a3 ) 2 = a6 = a2 = 1̄, b = 2 : b 2 = b2 = a2 = 1̄, ab = 2 : ab 2 = (ab)2 = a2 = 1̄; a2 b = 2 : (a2 b) 2 = (a2 b)2 = 1̄; a3 b = 2 : (a3 b) 2 = (a3 b)2 = a2 = 1̄. Matricialmente Q8 se puede interpretar como Q8 = hA, Bi, i 0 0 i A= , B= , 0 −i i 0 i ∈ C, i2 = −1, A4 = E, B 2 = A2 , BAB −1 = A−1 . 52 CAPÍTULO 4. TEOREMAS DE ESTRUCTURA Nótese que Q8 y D4 no son isomorfos, ya que en Q8 hay 6 elementos diferentes de orden 4: a, a3 , b, a2 b, ab, a3 b, en cambio en D4 sólo hay 2: f, f 3 . Otra forma de explicar esto es que en Q8 todos sus sugrupos son normales, en cambio en D4 el subgrupo hgi no es normal. Centro de Q8 : a ∈ / Z(Q8 ) ya que ab 6= ba luego hai 6= Z(Q8 ); b ∈ / Z(Q8 ) con lo cual Z(Q8 ) 6= hbi ; ab ∈ / Z(Q8 ) ya que (ab)a 6= a(ab) y entonces Z(Q8 ) 6= habi. Según lo anterior Z(Q8 ) 6= Q8 . Nótese que, Z(Q8 ) = ha2 i ∼ = Z2 . 4.5. Ejercicios 1. Calcule las imágenes homomorfas del grupo GL2 (R). 2. ¿Cuántos homomorfismos no triviales hay de D4 en Zp ?, donde p es primo. 3. ¿Cuántos homomorfismos no triviales hay de Q8 en Zp ?, donde p es primo. 4. Demuestre el corolario 4.2.4. 5. Demuestre el corolario 4.2.5. 6. Demuestre el corolario 4.2.6. Capı́tulo 5 Automorfismos Los homomorfismos biyectivos de un grupo G en sı́ mismo se conocen como los automorfismos de G. Estas funciones conforman un grupo que tiene información importante relativa al grupo G. 5.1. Automorfismos interiores Estudiamos en esta sección la relación entre los automorfismos de un grupo, sus automorfismos interiores y su centro. Recordemos que si G es un grupo, su centro simbolizado por Z(G) es un subgrupo normal de G el cual está definido por Z(G) := {x ∈ G | xa = ax para cada a ∈ G}. Notemos que G es abeliano si, y sólo si, G = Z(G). Antes de demostrar el primer resultado importante de esta lección definamos los automorfismos, y en particular, los automorfismos interiores de un grupo. Definición 5.1.1. Sea (G, ·, 1) un grupo, un automorfismo de G es un homomorfismo biyectivo de G en sı́ mismo. Sea x ∈ G; la función definida por fx : G : → G a 7→ x−1 ax es un automorfismo de G y se denomina automorfismo interior de G determinado por x. Teorema 5.1.2. Sea (G, ·, 1) un grupo, Aut(G) su colección de automorfismos y sea Int (G) el conjunto de automorfismos interiores de G. Entonces, (i) Aut(G) es un subgrupo del grupo S(G) de funciones biyectivas de G en G. (ii) Int (G) E Aut (G). 53 54 CAPÍTULO 5. AUTOMORFISMOS Demostración. (i) La primera afirmación es evidente. (ii) Int (G) ≤ Aut (G): Int (G) 6= ∅ ya que iG = f1 ∈ Int (G) . Sean x, y ∈ G. Entonces fx ◦ fy = fyx , fx−1 = fx−1 . Int (G) E Aut (G): sea x ∈ G, h : G → G un automorfismo cualquiera de G. Entonces para cada a ∈ G, h−1 fx h(a) = h−1 (fx (h(a))) = h−1 (x−1 h(a)x) = h−1 (x−1 )ah−1 (x) = (h−1 (x))−1 ah−1 (x) = fh−1 (x) (a), es decir, h−1 fx h = fh−1 (x) ∈ Int (G). Teorema 5.1.3. Sea G un grupo cualquiera. Entonces G/Z (G) ∼ = Int (G). Demostración. Consideremos la función ϕ : G → Int (G) x 7→ fx−1 . ϕ es un homomorfismo: ϕ(xy) = f(xy)−1 = fy−1 x−1 = fx−1 ◦ fy−1 = ϕ(x) ◦ ϕ(y). ϕ es evidentemente sobre. Por último, veamos que ker (ϕ) = Z (G) : sea x ∈ ker (ϕ), entonces fx−1 = iG luego xax−1 = a para cada a ∈ G, de donde x ∈ Z (G). Recı́procamente, si x ∈ Z (G) entonces x ∈ ker (ϕ). Por el teorema fundamental de homomorfismo se tiene que G/Z (G) ∼ = Int (G). Corolario 5.1.4. G es abeliano ⇔ Int (G) = {iG }. 5.2. Teorema de Cayley La importancia del teorema de Cayley radica en parte en que determina la cota n! superior n para el número de grupos finitos no isomorfos de orden n. Teorema 5.2.1. Sea G un grupo y sea S (G) el grupo de permutaciones del conjunto G. Entonces G es isomorfo a un subgrupo de S (G). Demostración. Considérese la función Ψ : G → S(G) definida por Ψ(x) := %x , %x : G → G, %x (a) := xa. %x ∈ S(G) para cada x ∈ G: %x (a) = %x (b) por lo tanto xa = xb, es decir, %x es 1 − 1; sea y ∈ G entonces y = %x (x−1 y). Ψ es un homomorfismo: Ψ(xy) = %xy , %xy (a) = xya = %x (%y (a)) luego %xy = %x · %y = Ψ(x)Ψ(y). Ψ es inyectiva: Ψ(x) = Ψ(y), entonces, x1 = y1, es decir, x = y. 55 5.3. EJEMPLOS Corolario 5.2.2. Sea n ≥ 1. Existen a lo sumo n. n! n grupos no isomórficos de orden Demostración. Sea G un grupo finito de orden n. Entonces G es isomorfo a un subgrupo de Sn . Pero Sn tiene un número finito de subgrupos de orden n, este número es menor que n! . Nótese que el problema de determinar todos los grupos n no isomorfos de orden n se reducirı́a a determinar todos los subgrupos no isomorfos de Sn con n elementos. 5.3. Ejemplos Ejemplo 5.3.1. Automorfismos de grupos cı́clicos: (i) Grupo cı́clico infinito Z: sea f ∈ Aut(Z). Como f es un automorfismo, la imagen de cada generador de Z es nuevamente un generador de Z, más generalmente, si G es un grupo cı́clico con generador a y f ∈ Aut (G) entonces f (a) es un generador de G. En efecto, dado x ∈ G existe y ∈ G tal que x = f (y) ⇒ x = f (at ) = f (a)t . Puesto que Z tiene sólo dos generadores entonces se presentan dos posibilidades para f , f (1) = 1 ó f (1) = −1, en el primer caso f (k) = k y en el segundo f (k) = −k, para cada k, por lo tanto Aut(Z) ∼ = Z2 . (ii) Grupo cı́clico finito de orden n, Zn : recordemos que el grupo Zn se obtuvo a partir de Z por medio de una relación de equivalencia a ≡ b ⇔ n|(a − b), a, b ∈ Z. En otras palabras Zn es el grupo cociente Z/ hni. En Zn se puede definir un producto y convertirlo ası́ en un semigrupo multiplicativo: r s = rs, para 0 ≤ r, s < n. Es sencillo verificar que el producto está correctamente definido. Además, este producto es asociativo con elemento neutro 1, luego se tiene el monoide Zn , ·, 1 . Asociado a todo monoide se tiene su grupo de elementos invertibles Z∗n . Nótese que Z∗n = {r| (r, n) = 1, 1 ≤ r < n}. En efecto, r ∈ Z∗n ⇔ ∃s ∈ Zn tal que r s = 1 ⇔ rs = 1 ⇔ n| (rs − 1) ⇔ rs − 1 = nk con k ∈ Z ⇔ (r, n) = 1. Con la observación anterior queremos probar que Aut(Zn ) ∼ = Z∗n . Sea h : Zn → Zn un automorfismo de Zn . Como 1 genera a Zn entonces h(1) es un generador de Zn . Ası́ pues, tenemos tantos automorfismos como generadores tiene Zn . Pero nótese que r genera Zn si, y sólo si, m.c.d.(r, n) = 1. Podemos entonces definir 56 CAPÍTULO 5. AUTOMORFISMOS θ : Aut (Zn ) −→ h 7−→ Z∗n θ (h) = r donde r = h 1 . θ es un homomorfismo: sean f y h automorfismos de Zn tales quef 1 = r, h 1 = s. Nótese que θ (h ◦ f ) = (h ◦ f ) 1 = h f 1 = h (r) = h r1 = rh 1 = rs = rs1 = rs = sr = sr = θ (h) ◦ θ (f ). θ es inyectiva: sea h ∈ Aut (Zn ) con θ (h) = 1 entonces h 1 = 1 y h (r) = r para cada 0 ≤ r < n por lo tanto h = iZn . θ es sobre: sea r ∈ Z∗n y sea h definido por h (s) := sr. Nótese que h 1 = r y además h ∈ Aut (Zn ), con lo cual θ (h) = r. Ejemplo 5.3.2. El grupo de automorfismos de un grupo finito es finito: Sea G un grupo de orden n. Nótese que Aut (G) ≤ S (G) ∼ = Sn luego |Aut (G)| | |Sn | = n!. Más exactamente, |Aut (G)| | (n − 1)! ya que para cada f ∈ Aut (G) , f (1) = 1. Ejemplo 5.3.3. El grupo de automorfismos de un grupo conmutativo puede ser no conmutativo: Consideremos el grupo de Klein: V = {1, a, b, ab} , a2 = 1, b2 = 1, ab = ba. Según el ejemplo anterior |Aut (V )| = 1, 2, 3, 6. Fácilmente se comprueba que las siguientes funciones son automorfismos de V y además diferentes: b ab iG : 11 aa bb ab , f = 11 ab ab ab a g : 11 aa bab abb , f 2 = 11 aab ba abb f g = 11 ab ab ab , f 2 g = 11 aab bb aba . ab Entonces, Aut (V ) ∼ = S3 . Ejemplo 5.3.4. Dos grupos no isomorfos pueden tener grupos de automorfismos isomorfos: Aut (Z3 ) ∼ = Z2 ∼ = Aut (Z). Ejemplo 5.3.5. Aut (D4 ): en el capı́tulo 6 estudiaremos los automorfismos del grupo diédrico Dn . Según se verá allá |D4 | = 4ϕ (4) = 8; Int (D4 ) ∼ = V y además ∼ Aut (D4 ) = D4 . Explı́citamente los automorfismos de D4 son: T1,0 : → D4 7 → f α (f 0 g)β = f α g β T1,0 = iD4 D4 → D4 α β f g 7→ f α (f g)β 2 3 f f g f g f 2g f 3g D4 f αgβ T1,1 : T1,1 = 11 T1,2 : f f f2 D4 f αgβ f3 → 7 → fg f 2g f 3g D4 f α (f 2 g)β g 57 5.3. EJEMPLOS T1,2 = 11 T1,3 : f2 f2 f f D4 f αgβ 2 T1,3 = 11 ff ff 2 T3,0 : D4 f αgβ 2 T3,0 = 11 ff 3 ff 2 T3,1 : D4 f αgβ 2 T3,1 = 11 ff 3 ff 2 T3,2 : D4 f αgβ 2 T3,2 = 11 ff 3 ff 2 T3,3 : D4 f αgβ 2 T3,3 = 11 ff 3 ff 2 f3 f3 g f g f 2g f 3g f 2g f 3g g f g → 7→ D4 f α (f 3 g)β f3 f3 g f g f 2g f 3y g f g → 7 → D4 α (f 3 ) (f 0 g)β f3 f g g → 7 → f 3g f 2g f g f 2g f 3g f 3g f 2g f g D4 α (f 3 ) (f g)β f3 f g fg fg g → 7 → D4 α (f 3 ) (f 2 g)β f3 f g f g f 2g f 2g f g g → 7 → D4 α (f 3 ) (f 3 g)β f3 f f 2g f 3g f 3g f 2g f 3g f 3g g f g f 2g f 3g f 3g f 2g f g g . po = f (1) , (po , qo ) = 1. Entonces qo p f (p/q) = pf (1/q) ⇒ qf (p/q) = pf (1) luego f (p/q) = f (1). Lo anterior permite q establecer la función Ejemplo 5.3.6. Aut (Q): sea f ∈ Aut (Q) y sea τ : Aut(Q) → f 7→ Q∗ f (1). f (1) 6= 0 ya que f es 1 − 1. τ es un homomorfismo de grupos: p1 p1 po τ (f ◦ g) = (f ◦ g) (1) = f [g(1)] = f , donde g(1) = . Sea f (1) = , q1 q1 qo p1 p1 entonces f = f (1) luego τ (f ◦ g) = τ (f )τ (g). q1 q1 p p p τ es 1 − 1: f (1) = g(1) ⇒ f (p/q) = f (1) = g(1) = g entonces f = g. q q q p0 τ es sobre: sea 6= 0 un racional. Definimos q0 f: Nótese que f (1) = Q → p 7→ q Q p p0 . q q0 p0 p0 , es decir, τ (f ) = . Veamos que f ∈ Aut(Q): q0 q0 58 CAPÍTULO 5. AUTOMORFISMOS f ps + qr ps + qr p0 p r + =f = q s qs qs q0 p p p0 r p0 r = + =f +f ; q q0 s q0 q s p p p0 p si f = 0 entonces = 0, entonces p = 0 luego = 0. q q q q 0 r q0 r r Sea ∈ Q; entonces f = , es decir, f es sobre, luego Aut (Q) ∼ = Q∗ . s s p0 s Ejemplo 5.3.7. Calculamos en este ejemplo Aut (Q8 ). Sea F : Q8 → Q8 un automorfismo de Q8 . Puesto que en Q8 = ha, b | a4 = 1, b2 = a2 , ba = a−1 bi el único elemento de orden 2 es a2 , entonces F (a2 ) = a2 , además, F (1) = 1, luego F realmente permuta los 6 elementos restantes, a saber: a, a3 , b, ab, a2 b, a3 b. Esto parece mostrar una relación de Aut(Q8 ) con el grupo de permutaciones S4 . En realidad se verá que Aut (Q8 ) ∼ = S4 . Cada F viene determinado por su acción sobre los generadores a, b. Puesto que tanto a como b son de orden 4, entonces F (a) = a, a3 , b, ab, a2 b, a3 b y F (b) = a, a3 , b, ab, a2 b, a3 b. Esto genera 36 posibilidades, de las cuales sólo 24 corresponden a funciones biyectivas: F (a) = a F (a) = a F1 (a) = a F2 (a) = a F3 (a) = a F4 (a) = a F (a) = a3 F (a) = a3 F5 (a) = a3 F6 (a) = a3 F7 (a) = a3 F8 (a) = a3 F9 (a) = b F10 (a) = b F (a) = b F11 (a) = b F (a) = b F12 (a) = b F13 (a) = ab F14 (a) = ab F15 (a) = ab F (a) = ab F16 (a) = ab F (a) = ab F17 (a) = a2 b F18 (a) = a2 b F (a) = a2 b F19 (a) = a2 b F (a) = a2 b F20 (a) = a2 b F21 (a) = a3 b F22 (a) = a3 b F23 (a) = a3 b F (a) = a3 b F24 (a) = a3 b F (a) = a3 b F (b) = a F (b) = a3 F1 (b) = b F2 (b) = ab F3 (b) = a2 b F4 (b) = a3 b F (b) = a F (b) = a3 F5 (b) = b F6 (b) = ab F7 (b) = a2 b F8 (b) = a3 b F9 (b) = a F10 (b) = a3 F (b) = b F11 (b) = ab F (b) = a2 b F12 (b) = a3 b F13 (b) = a F14 (b) = a3 F15 (b) = b F (b) = ab F16 (b) = a2 b F (b) = a3 b F17 (b) = a F18 (b) = a3 F (b) = b F19 (b) = ab F (b) = a2 b F20 (b) = a3 b F21 (b) = a F22 (b) = a3 F23 (b) = b F (b) = ab F24 (b) = a2 b F (b) = a3 b Descartada ya que F debe ser biyectiva Descartada ya que entonces F (a3 ) = a3 ⇒ F1 (a3 ) = a3 , F1 (ab) = ab, F1 (a2 b) = a2 b, F1 (a3 b) = a3 b ⇒ F2 (a3 ) = a3 , F2 (ab) = a2 b, F2 (a2 b) = a3 b, F2 (a3 b) = b ⇒ F3 (a3 ) = a3 , F3 (ab) = a3 b, F3 (a2 b) = b, F3 (a3 b) = ab ⇒ F4 (a3 ) = a3 , F4 (ab) = b, F4 (a2 b) = ab, F4 (a3 b) = a2 b Descartada ya que F (a3 ) = a Descartada ya que F debe ser biyectiva ⇒ F (a3 ) = a, F5 (ab) = a3 b, F5 (a2 b) = a2 b, F5 (a3 b) = ab ⇒ F6 (a3 ) = a, F6 (ab) = b, F6 (a2 b) = a3 b, F6 (a3 b) = a2 b ⇒ F7 (a3 ) = a, F7 (ab) = ab, F7 (a2 b) = b, F7 (a3 b) = a3 b ⇒ F8 (a3 ) = a, F8 (ab) = a2 b, F8 (a2 b) = ab, F8 (a3 b) = b ⇒ F9 (a3 ) = a2 b, F9 (ab) = a3 b, F9 (a2 b) = a3 , F9 (a3 b) = ab ⇒ F10 (a3 ) = a2 b, F10 (ab) = ab, F10 (a2 b) = a, F10 (a3 b) = a3 b Descartada ya que F debe ser biyectiva ⇒ F11 (a3 ) = a2 b, F11 (ab) = a, F11 (a2 b) = a3 b, F11 (a3 b) = a3 Descartada ya que F (ba) = 1 = F (a3 b) = F (1) ⇒ F12 (a3 ) = a2 b, F12 (ab) = a3 , F12 (a2 b) = ab, F12 (a3 b) = a ⇒ F13 (a3 ) = a3 b, F13 (ab) = b, F13 (a2 b) = a3 , F13 (a3 b) = a2 b ⇒ F14 (a3 ) = a3 b, F14 (ab) = a2 b, F14 (a2 b) = a, F14 (a3 b) = b ⇒ F15 (a3 ) = a3 b, F15 (ab) = a3 , F15 (a2 b) = a2 b, F15 (a3 b) = a Descartada ya que F es biyectiva ⇒ F16 (a3 ) = a3 b, F16 (ab) = a, F16 (a2 b) = b, F16 (a3 b) = a3 Descartada ya que F (ba) = 1 = F (a3 b) = F (1) ⇒ F17 (a3 ) = b, F17 (ab) = ab, F17 (a2 b) = a3 , F17 (a3 b) = a3 b ⇒ F18 (a3 ) = b, F18 (ab) = a3 b, F18 (a2 b) = a, F18 (a3 b) = ab Descartada ya que F (ab) = 1 = F (1) ⇒ F19 (a3 ) = b, F19 (ab) = a3 , F19 (a2 b) = a3 b, F19 (a3 b) = a Descartada ya que F es biyectiva ⇒ F20 (a3 ) = b, F20 (ab) = a, F20 (a2 b) = ab, F20 (a3 b) = a3 ⇒ F21 (a3 ) = ab, F21 (ab) = a2 b, F21 (a2 b) = a3 , F21 (a3 b) = b ⇒ F22 (a3 ) = ab, F22 (ab) = b, F22 (a2 b) = a, F22 (a3 b) = a2 b ⇒ F23 (a3 ) = ab, F23 (ab) = a, F23 (a2 b) = a2 b, F23 (a3 b) = a3 Descartada ya que F (ba) = 1 = F (a3 b) = F (1) ⇒ F24 (a3 ) = ab, F24 (ab) = a3 , F24 (a2 b) = b, F24 (a3 b) = a Descartada ya que F es biyectiva. Ahora sólo falta demostrar que estas 24 funciones biyectivas son homomorfismos, es decir, son los únicos automorfismos en Aut(Q8 ). Tendrı́amos pues que las 24 permutaciones de los 6 elementos a, a3 , b, ab, a2 b, a3 b corresponden a los automorfismos de Q8 , quedando probado de esta manera que Aut (Q8 ) ∼ = S4 . 5.3. EJEMPLOS 59 Sólo revisamos la función F24 , las otras 22 se revisan de manera similar (nótese que la función F1 corresponde a la idéntica). Cada elemento de Q8 es de la forma ar bs , donde 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ s ≤ 1. Se debe entonces demostrar que F24 (ar bs ap bq ) = F24 (ar bs )F24 (ap bq ). Consideremos dos casos: (i) s = 0. Entonces, F24 (ar bs ap bq ) = F24 (ar ap bq ) = F24 (ar+p bq ). Si q = 0, entonces F24 (ar bs ap bq ) = F24 (ar+p ). Debemos entonces considerar 16 posibilidades, pero en vista de la simetrı́a de la situación, basta tener en cuenta sólo los siguientes 10 casos: r = 0, p = 0 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = 1, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = 1; r = 0, p = 1 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a3 b, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a3 b; r = 0, p = 2 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a2 , F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a2 ; r = 0, p = 3 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = ab, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = ab; r = 1, p = 1 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a2 , F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = aa = a2 ; r = 1, p = 2 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = ab, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a3 ba2 = ab; r = 1, p = 3 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = 1, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a3 bab = 1; r = 2, p = 2 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = 1, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a2 a2 = 1; r = 2, p = 3 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a3 b, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a2 ab = a3 b; r = 3, p = 3 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a2 , F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = abab = a2 . Para q = 1 entonces F24 (ar bs ap bq ) = F24 (ar+p b), se presentan entonces 16 posibilidades: r = 0, p = 0 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a2 b, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a2 b; r = 0, p = 1 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a3 , F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a3 ; r = 0, p = 2 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = b, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = b; r = 0, p = 3 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a; r = 1, p = 0 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a3 , F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a3 ba2 b = a3 ; r = 1, p = 1 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = b, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a3 ba3 = b; r = 1, p = 2 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a3 bb = a; r = 1, p = 3 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a2 b, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a3 ba = a2 b; r = 2, p = 0 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = b, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a2 a2 b = b; r = 2, p = 1 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a2 a3 = a; r = 2, p = 2 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a2 b, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a2 b; r = 2, p = 3 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a3 , F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = a2 a = a3 ; r = 3, p = 0 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = aba2 b = a; r = 3, p = 1 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a2 b, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = aba3 = a2 b; r = 3, p = 2 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = a3 , F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = abb = a3 ; r = 3, p = 3 ⇒ F24 (ar bs ap bq ) = b, F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = aba = b. (ii) s = 1. Entonces, F24 (ar bs ap bq ) = F24 (ar+3p bq+1 ). Al igual que en el caso (i) se debe considerar por separado cuando q = 0 y cuando q = 1. Revisemos en calidad de ilustración el caso r = 3, p = 3, q = 1: F24 (ar bs ap bq ) = F24 (a12 b2 ) = F24 (a2 ) = a2 , F24 (ar bs )F24 (ap bq ) = aa = a2 . 60 5.4. CAPÍTULO 5. AUTOMORFISMOS Ejercicios 1. Calcule Aut (S3 ). 2. Calcule Int(S3 ). 3. Calcule Int(V ). 4. Calcule Int(D4 ). 5. Calcule Int(Q8 ). Capı́tulo 6 Grupos de permutaciones En el capı́tulo anterior se probó que cada grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo de permutaciones S(G). Cuando G = {x1 , . . . , xn } es finito, el grupo de permutaciones se acostumbra a denotar Sn . En este caso los elementos x1 , . . . , xn pueden ser reemplazados por los naturales 1, . . . , n. Ası́ pues, Sn es el grupo de todas las funciones biyectivas del conjunto In := {1, 2, . . . , n}. En este capı́tulo estudiaremos con algún detalle al grupo Sn , denominado grupo simétrico de grado n. Destacamos en Sn algunos subgrupos importantes: el grupo alternante An y el grupo diédrico de grado n, Dn . 6.1. Ciclos Definición 6.1.1. Sea f un elemento de Sn . Se dice que f es un ciclo de longitud m, (1 ≤ m ≤ n), si existen a1 , a2 , . . . , am elementos diferentes de In tales que 1. f (a1 ) = a2 , f (a2 ) = a3 , . . . , f (am−1 ) = am , f (am ) = a1 , 2. f (x) = x para x ∈ / {a1 , . . . , am }. Se denota a f por f = (a1 a2 · · · am ) = (a2 a3 · · · am a1 ) = (a3 a4 · · · am a1 a2 ) = · · · = (am a1 a2 · · · am−1 ). Nótese que un ciclo de longitud 1 es la idéntica de In . Sean f = (a1 . . . am ) y g = (b1 . . . br ) dos ciclos de Sn . Se dice que f y g son dos ciclos disyuntos si {a1 , a2 , . . . , am }∩{b1 , b2 , . . . , br} = ∅. Nótese que las siguientes permutaciones f y g de S7 son ciclos disyuntos: 1 2 3 4 5 6 7 f= = (123), 2 3 1 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 g= = (4576). 1 2 3 5 7 4 6 61 62 CAPÍTULO 6. GRUPOS DE PERMUTACIONES Proposición 6.1.2. En Sn el producto de ciclos disjuntos conmuta. Demostración. Sean f = (a1 · · · am ) y g = (b1 · · · br ) dos ciclos disyuntos de Sn . Sean A := {a1 , . . . , am } y B := {b1 , . . . , br }. Sean A1 := In − A y B1 := In − B. Dado x ∈ In existen tres posibilidades: (i) x ∈ A: entonces f (x) ∈ A, f (x) ∈ / B luego g(f (x)) = f (x); g(x) = x implica f (g(x)) = f (x) y f g(x) = gf (x). (ii) x ∈ B: es análogo al anterior. (iii) x ∈ /Ayx∈ / B entonces f (x) = x, g(x) = x de donde f g(x) = x = gf (x). De (i), (ii) y (iii) se desprende que f g = gf . La importancia de la anterior proposición se pone de manifiesto en el siguiente teorema. Teorema 6.1.3. (i) Sea f = (a1 · · · am ) un ciclo de longitud m de Sn . Entonces |f | = m. (ii) Sea f = f1 · · · ft una permutación de Sn , donde f1 , . . . , ft son ciclos disyuntos de longitudes m1 , . . . , mt , respectivamente. Entonces |f | = m.c.m.(m1 , . . . , mt ). Demostración. (i) Probemos en primer lugar que f m = 1: si x ∈ / {a1 , . . . , am } enm tonces f (x) = x luego f (x) = x. Sea aj ∈ {a1 , . . . , am }, 1 ≤ j ≤ m, f se puede expresar también como f = (aj aj+1 · · · am a1 a2 · · · aj−1 ) entonces f (aj ) = aj+1 ; f 2 (aj ) = aj+2 ; · · · ; f m−1 (aj ) = aj−1 ; f m (aj ) = aj ;, es decir, f m actúa también como la idéntica sobre los elementos de {a1 , . . . , am }. El orden de f es el menor entero positivo k tal que f k = 1. Supóngase que existe 1 ≤ k < m tal que f k = 1. Por lo tanto, f (a1 ) = a2 , f 2 (a1 ) = a3 , . . . , f k−1 (a1 ) = ak , f k (a1 ) = a1 = f (ak ) = ak+1 , pero esto es una contradicción ya que los elementos del ciclo f son diferentes. Lo anterior prueba que |f | = m. (ii) La demostración se efectua por inducción sobre t. t = 1: la afirmación es consecuencia de (i). t = 2: f = f1 f2 , donde f1 y f2 son ciclos disyuntos de longitudes m1 y m2 respectivamente. Según la proposición 6.1.2, f1 f2 = f2 f1 . Además, hf1 i ∩ hf2 i = 1. En efecto, sea g 6= 1 tal que g = f1s = f2r con 1≤ s < m1 y 1≤ r < m2 . Sea f1 = (a1 · · · am ). Puesto que g 6= 1 existe x ∈ In tal que g(x) 6= x. Necesariamente x ∈ {a1 , . . . , am }. Sea pues x = aj ⇒ f1s (aj ) 6= aj pero f2r (aj ) = aj , contradicción. Ası́ pues, hf1 i ∩ hf2 i = 1, f1 f2 = f2 f1 ⇒ |f1 f2 | = m.c.m.(m1 , m2 ). 6.1. CICLOS 63 Supongamos que la afirmación es cierta para t: sea f = f1 f2 · · · ft ft+1 , donde f1 , f2 , . . . , ft , ft+1 son ciclos disyuntos dos a dos y de longitudes m1 , m2 , . . . , mt+1 , respectivamente. Sea f 0 := f1 f2 · · · ft . Entonces, f = f 0 ft+1 . Nótese que hf 0 i ∩ hft+1 i = 1. Además, f 0 ft+1 = ft+1 f 0 ; entonces |f | = m.c.m.(|f 0 |, mt+1 ) = m.c.m.(m.c.m.(m1 , . . . , mt ), mt+1 ) = m.c.m.(m1 , . . . , mt+1 ). Teorema 6.1.4. Cada permutación f de Sn es representable como producto de ciclos disyuntos dos a dos. Tal representación es única salvo el orden y la inclusión de ciclos de longitud 1. Demostración. La existencia se realiza por inducción sobre n. n = 1: S1 sólo posee un elemento, el cual es un ciclo de longitud 1. Supóngase que la afirmación es válida para toda permutación de un conjunto de m elementos con m < n. Sea f ∈ Sn . Si f es un ciclo entonces no hay nada que probar. Sea f una permutación que no es un ciclo. Esto en particular implica que f 6= 1. Existe entonces a1 ∈ In tal que f (a1 ) 6= a1 . Cosideremos la sucesión f (a1 ), f 2 (a1 ), f 3 (a1 ), . . . . En esta sucesión se tiene un número finito de elementos diferentes de In debido a que para cada k ≥ 1, f k (a1 ) ∈ In y In es finito. Por lo tanto existen r y p enteros positivos diferentes (por ejemplo r > p) tales que f p (a1 ) = f r (a1 ), luego f r−p (a1 ) = a1 . Sea A := {r ∈ N | f r (a1 ) = a1 }. Según lo dicho anteriormente, A 6= ∅. Como A ⊂ N y N es bien ordenado A posee entonces primer elemento k, es decir, k es el menor entero positivo tal que f k (a1 ) = a1 . Los elementos f (a1 ), f 2 (a1 ), . . . , f k−1 (a1 ), f k (a1 ) = a1 son diferentes, ya que en caso contrario existirı́a un s < k tal que f s (a1 ) = a1 . La permutación f determina ası́ el k-ciclo g = (a1 a2 · · · ak ), donde a2 = f (a1 ), a3 = f (a2 ) = f 2 (a1 ), . . . , ak = f (ak−1 ) = f k−1 (a1 ), a1 = f (ak ) = f k (a1 ). Consideremos la permutación f1 ∈ Sn definida por f1 (ai ) = ai , 1 ≤ i ≤ k , f1 (x) = f (x), x ∈ In − {a1 , . . . , ak }. Nótese que f = f1 g. En efecto, si x ∈ {a1 , . . . , ak } entonces sea x = aj para algún 1 ≤ j ≤ k. Si j < k entonces g(x) = g(aj ) = aj+1 ⇒ f1 g(x) = f1 (aj+1 ) = aj+1 = f (aj ) = f (x). Si j = k entonces g(x) = g(ak ) = a1 ⇒ f1 g(x) = f1 (a1 ) = a1 = f (ak ) = f (x). 64 CAPÍTULO 6. GRUPOS DE PERMUTACIONES Ahora, si x ∈ / {a1 , . . . , ak } entonces g(x) = x, luego f1 g(x) = f1 (x) = f (x). Puesto que f1 fija los elementos a1 , . . . , ak entonces f1 puede considerarse como una permutación del conjunto In − {a1 , . . . , ak }. Por la hipótesis de inducción f1 es producto de ciclos disyuntos conformados por los elementos de In − {a1 , . . . , ak }. En total f es producto de ciclos disyuntos conformados por los elementos de In . Esto completa la prueba de la primera afirmación del teorema. Probemos ahora la unicidad de la descomposición: sean f = (a11 a12 · · · a1k1 )(a21 a22 · · · a2k2 ) · · · (ar1 ar2 · · · arkr ) = (b11 b12 · · · b1m1 )(b21 b22 · · · b2m2 ) · · · (bs1 bs2 · · · bsms ) dos descomposiciones de f en producto de ciclos disyuntos. Nótese que 1 ≤ r ≤ n, 1 ≤ s ≤ n. Estamos considerando que los elementos de In que permanezcan fijos bajo f conforman ciclos de longitud 1, es decir, 1 ≤ ki ≤ n, 1 ≤ i ≤ r; 1 ≤ mj ≤ n, 1 ≤ i ≤ s. En otras palabras, estamos considerando que In = {a11 , a12 , . . . , a1k1 ; . . . ; ar1 , ar2 , . . . , arkr } = {b11 , b12 , . . . , b1m1 ; . . . ; bs1 , bs2 , . . . , bsms }. El elemento a11 debe aparecer en alguno de los ciclos de la segunda descomposición. Por la conmutatividad de los factores podemos asumir que a11 ∈ {b11 , b12 , . . . , b1m1 }. Reordenando el ciclo (b11 b12 · · · b1m1 ) podemos considerar sin pérdida de generalidad que a11 = b11 . Según el teorema 6.1.3, k1 es el menor entero positivo tal que f k1 (a11 ) = a11 . Se obtiene pues que k1 = m1 y además f (b11 ) = b12 = f (a11 ) = a12 ; f (b12 ) = b13 = f (a12 ) = a13 ; . . . ; f (b1m1 −1 ) = b1m1 = f (a1k1 −1 ) = a1k1 ; f (b1m1 ) = b11 = f (a1k1 ) = a11 , es decir, (a11 a12 · · · a1k1 ) = (b11 b12 · · · b1m1 ). El mismo análisis podemos aplicar a a21 , a31 , . . . , ar1 demostrando que r ≤ s y la igualdad de ciclos. En forma similar s ≤ r, lo cual concluye la prueba del teorema. Ejemplo 6.1.5. f= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 5 3 1 7 6 9 8 4 ⇒ f = (125794)(3)(6) = (125794); 1 2 3 4 5 6 7 8 9 g= ⇒ 3 6 4 1 2 5 8 7 9 g = (134)(265)(78)(9) = (265)(134)(78) = (78)(134)(265) = (134)(78)(265) = (78)(265)(134) = (265)(78)(134). 6.2. EL GRUPO ALTERNANTE AN 6.2. 65 El grupo alternante An Definición 6.2.1. Para n ≥ 2, los ciclos de longitud 2 de Sn se conocen como transposiciones. Teorema 6.2.2. Cada permutación de Sn es representable como un producto finito de transposiciones. Demostración. Puesto que cada permutacion es representable como un producto de ciclos disyuntos entonces es suficiente demostrar el teorema para cada ciclo. Sea f = (a1 a2 · · · am ) un m-ciclo. Si m = 1 entonces f = 1 y f = (a1 a2 )(a1 a2 ). Sea pues m 6= 1. Nótese que (a1 a2 · · · am ) = (am a1 )(am−1 a1 ) · · · (a2 a1 ). Observación 6.2.3. (i) A diferencia del teorema 6.1.4, la representación de una permutación en producto de transposiciones no es única: 1 2 3 4 5 = (12435) = (51)(31)(41)(21) = (12)(52)(32)(42). 2 4 5 3 1 (ii) Según el teorema anterior, cada permutación f de Sn es representable como un número finito r de transposiciones; además se vió que dicha representación no es única. De tal manera que podrı́a presentarse la posibilidad de que en una descomposición r sea par y en otra r sea impar. Sin embargo, la siguiente proposición muestra que tal situación es imposible. Proposición 6.2.4. Sea f una permutación de Sn la cual tiene dos descomposiciones en producto de r y s transposiciones. Entonces, r es par si, y sólo si, s es par. Demostración. Sea f una permutación de Sn la cual tiene dos descomposiciones en producto de transposiciones f = f1 · · · fr = f10 · · · fs0 r ≥ 1, s ≥ 1. Consideremos el natural p = Πj>i (j − i), i, j ∈ In (por ejemplo para n = 4 se tiene que p = (4 − 3)(4 − 2)(4 − 1)(3 − 2)(3 − 1)(2 − 1) = 12). Sea f una permutación cualquiera de Sn . Definamos la acción de f sobre p como pf = Πj>i (f (j) − f (i)). Nótese que pf es un entero (no necesariamente positivo como p); los factores (f (j)−f (i)) que conforman pf son diferencias de elementos de In y además |pf | = p. En efecto, demostraremos que si f = f1 · · · fr , donde cada fi , 1 ≤ i ≤ r, es una transposición, entonces pf = (−1)r p. (a) Sea f = (ab) una transposición con a > b. Los factores (j − i) de p en los cuales no intervienen ni a ni b no cambian al aplicar f . Consideremos pues aquellos factores donde aparezcan a o b o ambos. Se presentan entonces las siguientes posibilidades. (i) Factores donde aparece a pero no b: 66 CAPÍTULO 6. GRUPOS DE PERMUTACIONES (n − a), ((n − 1) − a), ((n − 2) − a) · · · ((a + 1) − a), (a − (a − 1)), (a − (a − 2)) · · · (a − (b + 1)), (a − (b − 1)) · · · (a − 1). Al aplicar f a los factores de la primera fila obtenemos (n − b), ((n − 1) − b) · · · ((a + 1) − b) y no hay cambios de signo. Al aplicar f a los factores de la segunda fila obtenemos (b − (a − 1)), (b − (a − 2)) · · · (b − (b + 1))(b − (b − 1)) · · · (b − 1) y hay a − b − 1 cambios de signo. (ii) Los factores donde aparece b pero no a: (n − b), ((n − 1) − b) · · · ((a + 1) − b) ((a − 1) − b), ((a − 2) − b) · · · ((b + 1) − b) (b − (b − 1)) · · · (b − 1). Aplicando f a los factores anteriores obtenemos (n − a), ((n − 1) − a) · · · ((a + 1) − a) ((a − 1) − a), ((a − 2) − a) · · · ((b + 1) − a) (a − (b − 1)) · · · (a − 1). Se presentan en este caso a − b − 1 cambios de signo. (iii) Factor donde aparece a y b, (a − b); al aplicar f obtenemos (b − a) y hay un cambio de signo. En total al aplicar f a p se efectuan 2(a − b − 1) + 1 cambios de signos y ası́ pf tiene signo menos. Nótese que los factores de (i) mediante f se convierten en los factores de (ii) con algunos signos cambiados, y a su vez los de (ii) en los de (i) con algunos signos cambiados. De lo anterior se desprende que pf = −p, f = (ab), a > b. (b) Si f = f1 · · · fr es un producto de r transposiciones, entonces pf = (pf1 )f2 · · · fr = (−1)r p. (c) pf = (−1)r p = (−1)s p, entonces (−1)r = (−1)s si, y sólo si, r y s son pares o r y s son impares. Según la proposición anterior se pueden distinguir aquellas permutaciones que son producto de un número par de transposiciones. 6.3. SISTEMAS DE GENERADORES 67 Teorema 6.2.5. Sea n ≥ 2 y An := {f ∈ Sn | f es producto de un número par de transposiciones}. Entonces, An E Sn y se denomina el grupo alternante o grupo de permutaciones pares. Además, |An | = n!2 . Demostración. Claramente An 6= ∅. Además, según la proposición anterior el producto de dos permutaciones pares es par y la inversa de una permutación par es también par, con lo cual An ≤ Sn . Probemos ahora que An es normal en Sn . Consideremos la función signo sgn : Sn → Z∗ 1, si f es par sgn(f ) := −1, si f es impar. sgn es un homomorfismo: sean f, g ∈ Sn . Entonces se presentan las siguientes posibilidades: f y g pares: entonces f g es par y ası́ sgn(f g) = 1 = sgn(f )sgn(g) = (1)(1). f es par y g es impar: entonces f g es impar y ası́ sgn(f g) = −1 = sgn(f )sgn(g) = 1(−1). f es impar y g es par: análogo al anterior. f y g impares: entonces f g es par y ası́ sgn(f g) = 1 = sgn(f )sgn(g) = (−1)(−1). sgn es una función sobre: sgn(1) = 1, sgn(ab) = −1; a, b ∈ In , a 6= b. Según el teorema fundamental de homomorfismo Z∗ ∼ = Sn / ker(sgn), pero ker(sgn) = An , ası́ pues, Z∗ ∼ = Sn /An ; ⇒ |Sn : An | = 2 ⇒ An E Sn . Nótese además que |An | = n!2 . 6.3. Sistemas de generadores Ya hemos visto que el subconjunto de todos los ciclos y también el conjunto de todas las transposiciones constituyen sistemas de generadores para Sn . Queremos ahora mostrar otros sistemas más reducidos de generadores. 68 CAPÍTULO 6. GRUPOS DE PERMUTACIONES Proposición 6.3.1. (i) Sn = h(12), (123 · · · n)i. (ii) Sn = h(12), (13), . . . , (1n)i. Demostración. Es suficiente demostrar la primera afirmación, ya que (123 · · · n) = (1n) · · · (13)(12). Sea f una permutación de Sn . Entonces f es producto de ciclos disyuntos; basta pues probar que cada ciclo está en el generado por (12) y (123 · · · n). Sea (a1 a2 · · · am ) un m-ciclo de Sn . Entonces (a1 a2 · · · am ) = (a1 am ) · · · (a1 a2 ). Nótese que cada transposición (ab) se puede escribir como (ab) = (1a)(1b)(1a). Probemos entonces que para cada a, (1a) ∈ h(12), (123 · · · n)i: a = 1 : (1a) = 1 = (12)(12); a = 2 : (1a) = (12); a = 3 : (13) = (21345 · · · n)(12)(21345 · · · n)−1 . Pero nótese que (21345 · · · n) = (12)(123 · · · n)(12); por tanto (13) = (21345 · · · n)(12)(12)(123 · · · n)−1 (12), (13) = (12)(123 · · · n)(12)(123 · · · n)−1 (12). En general, (1a), con a ≥ 3, se puede expresar como (1a) = (2, 3, . . . , a − 2, a − 1, 1, a, a + 1, a + 2, . . . , n)(1, a − 1)(2, 3, . . . , a − 2, a − 1, 1, a, a + 1, a + 2, . . . , n)−1 . Por inducción suponemos que (1b) ∈ h(12), (123 · · · n)i, con b < a; entonces resta probar que (2, 3 . . . , a−2, a−1, 1, a, a+1, a+2 . . . n) está en el mencionado subgrupo. (2, 3, . . . , a − 2, a − 1, 1, a, a + 1, a + 2, . . . , n) = (1, a − 1)(1, a − 2) · · · (13)(12)(123 · · · n)(12)(13) · · · (1, a − 2)(1, a − 1). Según la hipótesis inductiva (1, a − 1), (1, a − 2), . . . , (13), (12) ∈ h(12), (123 · · · n)i. Esto completa la demostración de la proposición. Proposición 6.3.2. Para n ≥ 3, An coincide con con el subgrupo generado por los 3-ciclos. 6.3. SISTEMAS DE GENERADORES 69 Demostración. Sea f una permutación par. Podemos agrupar las transposiciones de f de dos en dos y probar que cada pareja ası́ constituida es producto de 3-ciclos. Sean pues (a1 a2 ) y (b1 b2 ) dos transposiciones cualesquiera. Consideremos dos casos posibles: (i) {a1 , a2 } ∩ {b1 , b2 } = ∅ : (a1 a2 )(b1 b2 ) = (b1 b2 )(a1 b1 )(a1 b1 )(a1 a2 ) = (b1 b2 )(b1 a1 )(a1 a2 b1 ) = (b1 a1 b2 )(a1 a2 b1 ) ya que (a1 b1 ) = (b1 a1 ). (ii) {a1 , a2 } ∩ {b1 , b2 } 6= ∅: si {a1 , a2 } = {b1 , b2 }, entonces (a1 a2 ) = (b1 b2 ) y (a1 a2 )(b1 b2 ) = 1 = (abc)(abc)(abc); hemos utilizado el hecho de que n ≥ 3. (iii) Si a1 = b1 pero a2 6= b2 entonces (a1 a2 )(b1 b2 ) = (a1 a2 )(a1 b2 ) = (a1 b2 a2 ). Si a1 = b2 pero a2 6= b1 entonces se obtiene un 3-ciclo como en el caso anterior. Proposición 6.3.3 (Teorema de Jordan). Sea f una permutación cualquiera de Sn . Entonces para cada ciclo (a1 a2 · · · am ) se tiene que f −1 (a1 a2 · · · am )f = (f (a1 )f (a2 ) · · · f (am )). Demostración. Puesto que cada permutación es producto de transposiciones, es suficiente suponer que f es una pernutación (αβ). Consideremos dos casos posibles: (i) {α, β} ∩ {a1 , a2 , . . . , am } = ∅: (αβ)(a1 a2 · · · am )(αβ) = (a1 a2 · · · am )(αβ)(αβ) = (a1 a2 · · · am ) = (f (a1 )f (a2 ) · · · f (am )) ya que f (ai ) = ai para 1 ≤ i ≤ m. (ii) {α, β} ∩ {a1 , a2 , . . . , am } = 6 ∅: se presentan entonces dos situaciones: (a) α ∈ {a1 , a2 , . . . , am }, β ∈ / {a1 , a2 , . . . , am } : sea α = aj , 1 ≤ j ≤ m. Entonces (αβ)(a1 · · · aj−1 aj aj+1 · · · am )(αβ) = (a1 · · · aj−1 βaj+1 · · · am ) = (f (a1 ) · · · f (aj−1 )f (aj )f (aj+1 ) · · · f (am )) (b) α, β ∈ {a1 , a2 , . . . , am }: sea α = aj , β = as , s 6= j, s < m, j < m. Entonces 70 CAPÍTULO 6. GRUPOS DE PERMUTACIONES (αβ)(a1 · · · aj · · · as · · · am )(αβ) = (a1 · · · aj−1 as · · · as−1 aj · · · am ) = (f (a1 ) · · · f (aj−1 )f (aj ) · · · f (as−1 )f (as ) · · · f (am )). Por último, si por ejemplo j = m entonces α = am y (αβ)(a1 · · · as−1 as · · · am )(αβ) = (a1 · · · as−1 am as+1 · · · as ) = (f (a1 )f (a2 ) · · · f (as ) · · · f (am )). Ejemplo 6.3.4. Calculemos Z (Sn ) y Z (An ). Para n = 2, S2 ∼ = Z2 luego Z (S2 ) = S2 ; Z (A2 ) = A2 . n ≥ 3 : si n = 3 entonces A3 ∼ = Z3 y Z (A3 ) = A3 . Sea π un elemento cualquiera de Sn , π 6= 1. Entonces π es producto de ciclos disjuntos: π = (ij · · · ) (· · · ) · · · , donde i 6= j. Como n ≥ 3 existe k 6= i, k 6= j; consideremos la trasposición (jk). Nótese que π (jk) 6= (jk) π. En efecto, π (jk) i = j; (jk) πi = k. Por lo tanto, para cada π 6= 1 en Sn , n ≥ 3, existe un elemento con el cual π no conmuta, luego Z (Sn ) = 1, n ≥ 3. Sea ahora n ≥ 4 y sea π = (ij · · · ) (· · · ) · · · un elemento de An diferente de 1. Sea ` 6= i, ` 6= j, ` 6= k y k escogido como antes. Entonces (jk`) ∈ An y además π (jk`) 6= (jkl) π. En efecto, π (jkl) i = j 6= k = (jk`) πi; entonces para cada π 6= 1 en An , n ≥ 4, existe un elemento con el cual π no conmuta, por lo tanto Z (An ) = 1, n ≥ 4. 6.4. El grupo diédrico Dn, n ≥ 3 Consideremos un polı́gono regular de n ≥ 3 lados. Como ilustración consideremos un pentágono y un hexágono: por simetrı́as de un polı́gono regular de n lados se entienden el siguiente conjunto de movimientos de dicho polı́gono. (i) n rotaciones en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj a través de los ángulos 2πk , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. n (ii) n reflexiones correspondientes a los n ejes de simetrı́a. Para el caso en que n sea par los ejes de simetrı́a son: (a) n2 lı́neas obtenidas uniendo el centro O del polı́gono con cada uno de sus vértices 1, 2, . . . , n. (b) n2 lı́neas obtenidas uniendo el centro O con los puntos medios de los n lados del polı́gono. Para el caso en que n es impar las n reflexiones corresponden a los n ejes de simetrı́a obtenidos uniendo el centro O del polı́gono con sus vértices. 6.4. EL GRUPO DIÉDRICO DN , N ≥ 3 71 Este conjunto de 2n movimientos constituye un grupo bajo la operación de composición de movimientos, y se denomina el grupo diédrico de grado n el cual se denota por Dn . El grupo diédrico Dn como subgrupo de Sn : sea R1 la rotación a través del ángulo . Esta rotación corresponde a la permutación de los vértices dada por θ := 2π n f= 1 2 3 ··· n 2 3 4 ··· 1 = (123 · · · n). Si denotamos la rotación a través del ángulo 2πk por Rk , k = 0, 1, 2, . . . , n, entonces n k a Rk corresponde f . Nótese que R1 es un elemento de Dn de orden n: R1n = R0 , f n = 1. Sea R10 es la reflexión a través del eje de simetrı́a que pasa por el vértice 1. Esta reflexión corresponde a la permutación de los vértices dada por 1 2 3 ··· k ··· n − 1 n g= . 1 n n − 1 ··· n − k + 2 ··· 3 2 Nótese que R10 tiene orden 2: (R10 )2 = R0 , g 2 = 1. Por último, nótese que f g es de orden 2, de donde (f g)2 = 1, luego gf g = f −1 . Generadores y relaciones del grupo diédrico: consideremos la rotación y reflexión anteriores las cuales podemos identificar con las permutaciones f y g, respectivamente. Desde luego que hf, gi ≤ Dn . Si probamos que |hf, gi| = 2n entonces tendrı́amos que Dn = hf, gi, con f n = 1, g 2 = 1, gf g = f −1 . (6.4.1) Sea x ∈ hf, gi, entonces x tiene la forma x = f k1 g l1 f k2 g l2 · · · f km g lm , ki , li ∈ Z, 1 ≤ i ≤ m. Puesto que f es un elemento de orden n y g un elemento de orden 2 podemos considerar que x = f k1 g l1 f k2 g l2 · · · f km g lm , con 0 ≤ ki ≤ n − 1, 0 ≤ li ≤ 1, 1 ≤ i ≤ m. Como gf = f −1 g, entonces cada elemento x ∈ hf, gi tiene la forma x = f k g l , con 0 ≤ k ≤ n − 1, 0 ≤ l ≤ 1. Resultan 2n elementos. Comprobemos que ellos son diferentes. Sean 0 ≤ k, r ≤ n − 1 y 0 ≤ l, s ≤ 1 tales que f k g l = f r g s entonces f r−k = g s−l ∈ hf i ∩ hgi = 1 (de lo contrario g = f k , con 1 ≤ k ≤ n − 1, luego gf = f k+1 = f −1 g, y de esta forma f k+2 = g = f k , es decir, f 2 = 1, lo cual es 72 CAPÍTULO 6. GRUPOS DE PERMUTACIONES falso). En consecuencia, n|(r − k). Siendo r y k con las condiciones dadas sólo puede tenerse que r = k, y de esto resulta también que l = s. De lo anterior obtenemos que Dn = {1, f, f 2 , . . . , f n−1 , g, f g, . . . , f n−1 g}. (6.4.2) De otra parte, sea G un grupo generado por los elementos a y b tales que an = 1 es decir, a es de orden n, b2 = 1 es decir, b es de orden 2, bab = a−1 . Entonces es posible repetir la prueba realizada anteriormente para comprobar que G tiene 2n elementos diferentes a saber G = {1, a, a2 , . . . , an−1 , b, ab, . . . , an−1 b}. La función ϕ : G → Dn , definida por ϕ(ak bl ) = f k g l , 0 ≤ k ≤ n − 1, 0 ≤ l ≤ 1 es un isomorfismo de grupos. Representación matricial del grupo diédrico: consideremos en GL2 (R) las matrices cos θ − sin θ A := , sin θ cos θ 1 0 B := , 0 −1 con θ := 2π . n Nótese que A es de orden n y B es de orden 2. Además, 1 0 cos θ − sin θ 1 0 cos θ sin θ = , 0 −1 sin θ cos θ 0 −1 − sin θ cos θ es decir BAB = A−1 . Esto indica que hA, Bi es isomorfo al grupo diédrico. La matriz A representa la rotación del sistema de coordenadas xy a través de de un ángulo ; la matriz B representa una reflexión de dicho sistema. θ = 2π n Regla de multiplicación en el grupo diédrico: nótese que en Dn se tiene la siguiente regla de multiplicación: k+k0 m+m0 f g , si m = 0 k m k0 m0 (f g )(f g ) = 0 0 f k−k g m+m , si m = 1. Ejemplo 6.4.1. Algunos subgrupos de Dn . A partir de los generadores y las relaciones que definen Dn podemos presentar inmediatamente los siguientes subgrupos: de orden 1 el trivial 1 := {1}; de orde 2n el trivial Dn ; de orden n tenemos al menos 73 6.5. SUBGRUPOS NORMALES DEL GRUPO DN , N ≥ 3 a hf i (como se observó, en D4 , este no es el único subgrupo de orden 4). Puesto que hf i es cı́clico entonces por cada divisor de n tendremos al menos un subgrupo de orden k. Los subgrupos de orden 2 son: n hf 2 i si n es par; hgi, hf gi, hf 2 gi, . . . , hf n−1 gi. Ejemplo 6.4.2. Centro de Dn . Para todo 0 ≤ k ≤ n − 1, f k g ∈ / Z(Dn ) : en efecto, k k−1 k k+1 k−1 k+1 ( f g)f = f g, f ( f g) = f g. Si fuese f g = f g entonces f 2 = 1; pero n ≥ 3 y f n = 1. De lo anterior obtenemos que Z(Dn ) contiene solamente rotaciones: Sea f k ∈ Z(Dn ) con 0 ≤ k ≤ n − 1. Entonces f k g = gf k luego f k g = f −k g y f 2k = 1 de donde n|2k. Cuando n es impar, k = 0 y Z(Dn ) = 1. Sea n = 2m par. Como 2m|2k entonces existe λ ≥ 1 tal que 2k = 2mλ ⇒ k = mλ. Si fuese λ ≥ 2 entonces mλ ≥ 2m = n luego k ≥ n, contradicción; por lo tanto, λ = 1 y k = n/2. De lo n anterior obtenemos que si x ∈ Z(Dn ) entonces x es de la forma x = f 2 . Veamos n que realmente en este caso par f 2 ∈ Z(Dn ): n n f f 2 = f 2 f, n n n gf 2 = f − 2 g = f 2 g. n n Obtenemos que f 2 conmuta con cada elemento de hf, gi = Dn , es decir, f 2 ∈ Z(Dn ). De lo dicho obtenemos que 1, si n es impar n n Z(Dn ) = {1, f 2 } = hf 2 i, si n es par. 6.5. Subgrupos normales del grupo Dn, n ≥ 3 Sea N E Dn . Consideremos los siguientes casos posibles: (i) n es impar y N no contiene reflexiones: en este caso N ≤ hf i y existe entonces un divisor positivo k de n tal que N = hf k i. Veamos que cada subgrupo de este tipo es efectivamente normal en Dn : −kj f , si β = 1 α β −1 k j α β (f g ) (f ) (f g ) = f kj , si β = 0. (ii) n es impar y en N hay al menos una reflexión: sea f k g en N , donde k es fijo y cumple 0 ≤ k ≤ n − 1. Sea 0 ≤ r ≤ n − 1, entonces (f r )−1 (f k g)(f r ) ∈ N , luego f k−2r g ∈ N . Tomando r = k se tiene que f −k g ∈ N y entonces f −2k ∈ N . Tomemos ahora r = k + 1, entonces f k−2(k+1) g = f −k−2 g ∈ N y entonces f k gf −k−2 g = f 2k+2 ∈ N . De aquı́ resulta entonces que f 2 ∈ N . Como n es impar, hf i = hf 2 i ⊆ N , es decir, f ∈ N . Finalmente, f −k ∈ N y entonces g ∈ N . Esto garantiza que N = Dn . 74 CAPÍTULO 6. GRUPOS DE PERMUTACIONES (iii) n es par y N no contiene reflexiones: razonando como en el caso impar se obtiene que existe entonces un divisor positivo k de n tal que N = hf k i. (iv) n es par y en N hay al menos una reflexión: sea n = 2t y sea f k g en N , donde k es fijo y cumple 0 ≤ k ≤ n − 1. Al igual que en el caso impar podemos concluir que f 2 ∈ N . Consideremos dos casos posibles: (a) g ∈ N : entonces el siguiente conjunto de n elementos distintos está incluido en N : {f 2r g l | 0 ≤ r ≤ n2 − 1, 0 ≤ l ≤ 1}. Si N posee al menos un elemento adicional, entonces |N | ≥ n + 1 y esto implica que |N | = 2n. En efecto, |N | divide a 2n y entonces 2n = |N |a; si a ≥ 2 entonces |N |a ≥ 2|N |, luego 2n ≥ 2n + 2 , lo cual es falso. Ası́ pues, si N no posee al menos un elemento adicional, entonces N es exactamente el subgrupo N = {f 2r g l | 0 ≤ r ≤ n − 1, 0 ≤ l ≤ 1} =< f 2 , g >∼ = D n2 . 2 En caso contrario, N coincide con Dn . (b) g ∈ / N : veamos que entonces necesariamente f g ∈ N . En efecto, k debe ser impar, ya que de lo contrario k = 2u y entonces (f 2 )−u = f −k ∈ N , con lo cual f −k f k g = g ∈ N , lo cual es falso. Ası́ pues, k = 2w + 1 y esto implica que f −2w f k g = f g ∈ N . Nótese que entonces N contiene al conjunto {f 2k | 0 ≤ k ≤ n2 −1} y también al conjunto {f 2k+1 g | 0 ≤ k ≤ n2 −1}, la reunión de los cuales tiene n elementos. Como se vio anteriormente, si N posee al menos un elemento adicional, entonces N = Dn , en caso contrario N es exactamente la reunión de estos dos conjuntos. Pero notemos que la reunión de estos dos conjuntos es hf 2 , f gi. En conclusión, los subgrupos normales de Dn se caracterizan de la siguiente manera: sea N E Dn , si n es impar, entonces N = Dn ó N = hf k i con k|n; si n es par, entonces N = Dn ó N = hf k i con k|n ó N = hf 2 , gi ∼ = D n2 . = D n2 ó N = hf 2 , f gi ∼ 6.6. Ejercicios 1. Demuestre que Int(Dn ) = Dn , D n2 , si n es impar si n es par. 2. Calcule Int(Sn ) para n ≥ 2. 3. Calcule Int(An ) para n ≥ 2. 4. ¿Cuántos subgrupos normales tiene D21 ? 5. ¿Cuántos subgrupos normales tiene D12 ? Capı́tulo 7 Productos y sumas directas El objetivo de este capı́tulo es presentar la construcción del grupo producto cartesiano y su suma directa externa para una familia dada de grupos. Mostraremos cómo se definen el producto y la suma directa externa en el caso de una familia infinita. Se da además la definición de suma directa interna de una familia finita de subgrupos de un grupo dado, mostrando la relación que ésta guarda con el producto cartesiano. Las construcciones presentadas aquı́ servirán como base teórica para iniciar en el capı́tulo 10 el estudio de los grupos abelianos finitos. 7.1. Definición Sea {G1 , . . . , Gn } una colección finita de grupos (tomados con notación multiplicativa) y sea Qn i=1 Gi := Gi × · · · × Gn := {(xi , . . . , xn ) | xi ∈ Gi , 1 ≤ i ≤ n} Qn el producto cartesiano conjuntista de la familia dada. Se pretende definir en i=1 Gi Q una operación binaria bajo la cual ni=1 Gi tenga estructura de grupo. Q Proposición 7.1.1. Sea {G1 , . . . , Gn } una familia finita de grupos y sea ni=1 Gi el producto cartesiano de los conjuntos Gi , 1 ≤ i ≤ n. El producto definido por (x1 , . . . , xn ) (x01 , . . . , x0n ) := (x1 x01 , . . . , xn x0n ) Q Q da a ni=1 Gi una estructura de grupo. La pareja ( ni=1 Gi , ·) ası́ constituida se denomina producto cartesiano de la familia {G1 , . . . , Gn } . Demostración. En efecto, la asociatividad del producto se desprende de las respectivas propiedades asociativas de los productos definidos en los grupos Gi , 1 ≤ i ≤ n. Denotando por 1 el elemento neutro del grupo Gi , entonces 1 := (1, . . . , 1) es el elemento neutro del producto cartesiano. Además, si x−1 denota el inverso de xi en i −1 −1 Gi entonces el inverso de x = (x1 , . . . , xn ) es x = (x1 , . . . , x−1 n ). 75 76 CAPÍTULO 7. PRODUCTOS Y SUMAS DIRECTAS Observación 7.1.2. Si los grupos Gi , 1 ≤ i ≤ n, presentan notación aditiva, entonces la operación se denota por (x1 , . . . , xn ) + (x01 , . . . , x0n ) = (x1 + x01 , . . . , xn + x0n ). En este caso el neutro y los opuestos toman la forma 0 := (0, . . . , 0), − (x1 , . . . , xn ) = (−x1 , . . . , −xn ) = −x. Ejemplo 7.1.3. (i) Sean G1 = Z2 y G2 = Z3 . Entonces los elementos de Z2 × Z3 son Z2 × Z3 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}. Nótese que |Z2 × Z3 | = 6 = 2 · 3 = |Z2 | . |Z3 |. Más aún, Z6 ∼ = Z2 × Z3 : Z2 × Z3 es un grupo cı́clico con generador (1, 1): 1 (1, 1) = (1, 1) ; 2 (1, 1) = (0, 2); 3 (1, 1) = (1, 0) ; 4 (1, 1) = (0, 1); 5 (1, 1) = (1, 2) ; 6 (1, 1) = (0, 0). (ii) Sean G1 = G2 = Z2 . Entonces los elementos de Z2 × Z2 son Z2 × Z2 = {(0, 0) , (0, 1) , (1, 0) , (1, 1)}. Observemos que |Z2 × Z2 | = 4 pero Z2 × Z2 no es isomorfo a Z4 : |(0, 0)| = 1, |(0, 1)| = |(1, 0)| = |(1, 1)| = 2, luego Z2 × Z2 no es cı́clico, por lo tanto, Z2 × Z2 no es isomorfo a Z4 , y entonces Z2 × Z2 ∼ = V. Algunas propiedades del producto cartesiano se presentan a continuación. Proposición 7.1.4. Sea {Gi }ni=1 una familia de grupos arbitrarios. Entonces: (i) G1 × G2 ∼ = G2 × G1 . (ii) G1 × · · · × Gn ∼ = Gπ(1) × · · · × Gπ(n) , para cada π ∈ Sn . (iii) G1 × G2 × G3 ∼ = G1 × (G2 × G3 ) ∼ = (G1 × G2 ) × G3 . (iv) El producto cartesiano tiene la propiedad asociativa generalizada. (v) G1 × · · · × Gn es abeliano ⇔ para cada i, 1 ≤ i ≤ n, Gi es abeliano. Demostración. Todas las afirmaciones se obtienen en forma inmediata de la definición de producto cartesiano. Proposición 7.1.5. Sea {Gi }ni=1 una familia de grupos finitos. Entonces: |G1 × · · · × Gn | = |G1 | · · · |Gn |. Además, 7.2. PRODUCTO CARTESIANO: CASO INFINITO 77 n (i) Sea Qn {Gi }i=1 una familia finita de grupos arbitrarios y sea x = (x1 , . . . , xn ) ∈ i=1 Gi tal que xi es de orden finito para cada 1 ≤ i ≤ n, entonces |x| = m.c.m. {|xi |}ni=1 . (ii) Si m y n son enteros positivos primos relativos, entonces Zm × Zn ∼ = Zmn . (iii) Sean m1 , . . . , mk enteros positivos tales que m.c.d.(mi , mj ) = 1 para i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n. Entonces Zm1 × · · · × Zmk ∼ = Zm1 ···mk . mk 1 (iv) Sea n = pm la descomposición del entero n en factores primos. En1 · · · pk tonces ∼ Zpm 1 × · · · × Z mk = Zn . pk 1 Demostración. Basta encontrar dos elementos a, b en Zm × Zn tales que su órdenes |a| = m y |b| = n sean primos entre si, porque entonces ab es de orden mn y Zm × Zn resulta cı́clico de orden mn, es decir, Zm × Zn ∼ = Zmn . Nótese que a = (1, 0) y b = (0, 1) son los elementos buscados. La parte (iii) de esta proposición se prueba usando lo que acabamos de ver en forma recurrente, y la parte (iv) es un caso particular de (iii). Notemos que para cada 1 ≤ i ≤ n, Gi se sumerge de manera natural en el producto G1 × · · · × Gn , y por lo tanto puede ser considerado como un subgrupo de éste. Proposición 7.1.6. Sea {Gi }ni=1 una familia finita de grupos. Entonces: (i) Gi E G1 × · · · × Gn , para cada 1 ≤ i ≤ n. (ii) (G1 × · · · × Gn ) / Gi ∼ = G1 × · · · × Gi−1 × Gi+1 × · · · × Gn . Demostración. Esto es un sencillo ejercicio para el lector. 7.2. Producto cartesiano: caso infinito Q Sea {Gi }i∈I una familia cualquiera de grupos. Sea i∈I Gi el producto cartesiano de los conjuntos de la familia dada, es decir, Q S i∈I Gi := {x : I → i∈I Gi | x(i) ∈ Gi }. Q Definimos en i∈I Gi el producto de manera análoga a como se hizo en el caso finito. Sea xi := x(i), luego x = (xi )i∈I y entonces 78 CAPÍTULO 7. PRODUCTOS Y SUMAS DIRECTAS xy = (xi )(yi ) := (xi yi ). Q Nótese que este producto da a i∈I Gi una estructura de grupo, cuyo elemento neutro es 1 := (ei ), donde ei = 1 ∈ Gi , para cada i ∈ I. El inverso de x = (xi ) −1 es entonces xQ = (x−1 i ). Cuando I = In = {1, 2 . . . n} entonces esta definición de producto i∈I Gi coincide con la definición de producto cartesiano dada en la sección anterior. Las proyecciones canónicas del producto se definen por πj : Q Gi → Gj , πj [(xi )] := xj . El producto cartesiano junto con sus proyecciones está caracterizado por la siguiente propiedad universal. Q Teorema 7.2.1. Sean {G } una familia de grupos, i i∈I i∈I Gi su producto cartesiano Q y {πj : i∈I Gi → Gj }j∈I las proyecciones canónicas. Entonces, (i) Para cada grupo G con homomorfismos {pj : G → Gj }j∈I existe un único Q homomorfismo α de G en i∈I Gi tal que para cada j ∈ I se tiene que πj α = pj . πj0 (ii) Cualquier otro grupo H con homomorfismos {H −→ Gj }j∈I que tenga la propiedad (i) es isomorfo al producto cartesiano. Demostración. (i) α se define por α(y) := (pj (y)) con y ∈ G; claramente α es un homomorfismo de grupos y satisface πj α = pj para cada j ∈ I. Sea θ otro homomorfismo de G en el producto que cumple estas mismas igualdades; sea θ(y) := (xi )i∈I . Entonces, πj θ(y) = xj = pj (y), para cada j ∈ I, luego θ(y) = (xj ) = α(y). (ii) Puesto que tanto H como el producto tienen la propiedad (i), entonces para cada j ∈ I resulta πj (αβ) = πj , πj0 (βα) = πj0 , con β : ΠGi → H un homomorfismo. En vista de la unicidad, iH = βα y αβ = iΠGi . Esto muestra que H y ΠGi son isomorfos. 7.3. Suma directa externa Q Sea {Gi }i∈I una familia de grupos y sea i∈I Gi su grupo producto. Se denomina soporte de x = (xi ) al subconjunto Ix de I de elementos i tales que xi 6= 1. Definimos el conjunto L i∈I Gi := {x = (xi ) ∈ Q Gi | x es de soporte finito}. 7.3. SUMA DIRECTA EXTERNA L 79 Gi es un subgrupo del producto L y se denomina suma directa externa de la familia dada. En efecto, i∈I Gi , con lo cual la suma directa externa no L 1 ∈ es vacı́a. Sean x, z ∈ G con soportes Ix , Iz . Entonces, xi zi = 1 para cada i i∈I i ∈ I − (Ix ∪ Iz ). Esto indica que sólo para los elementos de un cierto subconjunto finito Iy ⊆ Ix ∪ IzL se tiene que xi zi 6= 1. Por lo L tanto, si y = (yi ) es el producto de x L −1 y z entonces y ∈ i∈I Gi . Es claro que si x ∈ i∈I Gi entonces x ∈ i∈I Gi . Asociadas a la suma directa externa de una familia de grupos están las siguientes inyecciones canónicas: L µj : Gj → i∈I Gi , a, si i = j µj (a) := x := (xi ), donde xj := 1, si i 6= j. i∈I Evidentemente estas funciones son homomorfismos inyectivos. Para la clase de los grupos abelianos, la suma directa externa con sus inyecciones canónicas está caracterizada por la siguiente propiedad universal. L Teorema 7.3.1. Sea {Gi }i∈I una familia de grupos abelianos, y sea i∈I Gi su suma L directa externa y sean {µj : Gj → i∈I Gi } sus inyecciones canónicas. Entonces, (i) Para cada grupo abelianoLG con homomorfismos {tj : Gj → G} existe un único homomorfismo α : i∈I Gi → G tal que para cada j ∈ I se tiene que αµj = tj . (ii) Cualquier otro grupo abeliano H con homomorfismos {µ0j : Gj → H}j∈I que tenga la propiedad (i) es isomorfo a la suma directa externa. Demostración. (i) Definimos α por Q si x 6= 1 j∈Ix tj (xj ), α(x) := 1 , si x = 1. α es un homomorfismo: si x = 1 o y = 1 entonces evidentemente α(xy) = α(x)α(y). Supongamos pues que x 6= 1 y y 6= 1. Sea z = (zi ) = xy. Si z = 1, entonces y = x−1 Q Q y ası́ yi = x−1 para cada i ∈ I, con lo cual α(z) = 1 = j∈Ix tj (xj ) j∈Iy tj (yj ) = i α(x)α(y). Sea entonces z 6= 1. Ya que Iz ⊆ Ix ∪ Iy se tiene que Q Q Q α(z) = j∈Iz tj (zj ) = j∈Ix ∪Iy tj (zj ) = j∈Ix ∪Iy tj (xj yj ) = Q Q Q Q j∈Ix ∪Iy tj (xj ) j∈Ix ∪Iy tj (yj ) = j∈Ix tj (xj ) j∈Iy tj (yj ) = α(x)α(y). L Probemos ahora la unicidad de α: sea θ otro homomorfismo de Li∈I Gi en G tal que θ ◦ µj = tj para cada j ∈ I. Sea x un elemento cualquiera de i∈I Gi . Si x = 1 entonces necesariamente α(1) = θ(1) = 1. Considérese pues que hQ i x 6= 1. Entonces Q Q α(x) = j∈Ix tj (xj ) = j∈Ix θµj (xj ) = θ j∈Ix µj (xj ) = θ(x), ya que x = Q j∈Ix µj (xj ). (ii) La prueba es como en el caso del producto y la dejamos al lector. 80 CAPÍTULO 7. PRODUCTOS Y SUMAS DIRECTAS Observación 7.3.2. Nótese que cuando I = In := {1, 2, . . . , n} es un conjunto finito, Ln entonces el producto cartesiano G1 × · · · × Gn y la suma directa externa i=1 Gi de grupos abelianos coinciden y entonces se usa también la siguiente notación: G1 × · · · × Gn = G1 ⊕ · · · ⊕ Gn . 7.4. Suma directa interna Sea G un grupo y sean H, K subgrupos de G. Se ha visto que el conjunto HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K} es un subgrupo de G si, y sólo si, HK = KH. Es posible que para dos subgrupos H y K de G el producto HK coincida con G. En efecto, considérese el grupo D4 = {1, f, f 2 , f 3 , g, f g, f 2 g, f 3 g}, f 4 = 1, g 2 = 1, y gf g = f −1 . Sean K = {1, f 2 , g, f 2 g} y H = {1, f 2 , f g, f 3 g}. Nótese que KH = HK = D4 . De aquı́ en particular se desprende que cada elemento de D4 puede escribirse como producto de un elemento de K y otro de H. Por ejemplo: f = g(f 3 g), g ∈ K, f 3 g ∈ H. Sin embargo esta representación de f no es única: f = (f 2 g)(f g), f 2 g ∈ K, f g ∈ H. Esta no unicidad se debe al hecho que H ∩ K 6= 1. La suma directa interna de subgrupos de un grupo puede ser definida para el caso infinito. Nosotros consideramos sólo el caso de una colección finita de subgrupos. Proposición 7.4.1. Sean H1 , . . . , Hn subgrupos normales de G. Entonces S h ni=1 Hi i = H1 · · · Hn := {h1 · · · hn | hi ∈ Hi , 1 ≤ i ≤ n}. Además, H1 · · · Hn E G y para cada π ∈ Sn , H1 · · · Hn = Hπ(1) · · · Hπ(n) . Demostración. Inducción sobre n : n = 1 : hH1 i = H1 . n = 2: evidentemente H1 H2 ⊆ hH1 ∪ H2 i . Sea x ∈ hH1 ∪ H2 i; entonces x = 1 x1 · · · xεt t , donde xi ∈ H1 ∪ H2 , εi = ±1, 1 ≤ i ≤ t. Se desea ahora reordenar los elementos x11 . . . xt t , de tal manera que aparezcan a la izquierda sólo elementos de H1 y a la derecha sólo elementos de H2 . Sea i el menor ı́ndice (1 ≤ i ≤ t) tal que i+1 xεi i ∈ H2 y xi+1 ∈ H1 . Si i = t entonces x ∈ H1 H2 . Sea pues i 6= t, entonces ε i+1 i+1 i+2 x = x11 · · · xi i xi+1 · · · xt t = x11 · · · xi i xi+1 (xi i )−1 xi i xi+2 · · · xt t . i+1 i+2 Como H1 E G entonces xi i xi+1 (xi i )−1 ∈ H1 . Si xi+2 . . . xt t están todos en H2 , i i+1 1 0 0 0 entonces tendremos que x = x1 x2 , con x1 := x1 · · · xi xi+1 (xi i )−1 ∈ H1 y x02 := i+2 xi i xi+2 · · · xt t ∈ H2 . En caso contrario repetimos lo anterior máximo hasta t. De esto obtenemos que hH1 ∪ H2 i ⊆ H1 H2 . Supóngase que hH1 ∪ · · · ∪ Hn−1 i = H1 · · · Hn−1 . Nótese que hH1 ∪ · · · ∪ Hn i = hK ∪ Hn i , con K = H1 ∪ · · · ∪ Hn−1 , además, K E G ya que gH1 · · · Hn−1 g −1 = gH1 g −1 gH2 g −1 g · · · gHn−1 g −1 = H1 · · · Hn−1 . De acuerdo con el paso n = 2 y con la hipótesis de inducción, hH1 ∪ · · · ∪ Hn i = KHn = H1 · · · Hn−1 Hn . 7.4. SUMA DIRECTA INTERNA 81 La normalidad Sn se acabaSnde probar; la última afirmación de la proposición es evidente ya que i=1 Hi = i=1 Hπ(i) . Teorema 7.4.2. Sean G un grupo y H1 , . . . , Hn subgrupos normales de G. Las siguientes condiciones son equivalentes: (i) Para cada 1 ≤ j ≤ n, Hj ∩ (H1 · · · Hj−1 Hj+1 · · · Hn ) = 1. (ii) Cada elemento x de H1 · · · Hn tiene una representación única en la forma: x = h1 · · · hn , hi ∈ Hi , 1 ≤ i ≤ n. Demostración. (i) ⇒ (ii): Sea x ∈ H1 · · · Hn . Por hipótesis x tiene una representación en la forma x = h1 · · · hn , hi ∈ Hi , 1 ≤ i ≤ n. Sean h0i ∈ Hi , 1 ≤ i ≤ n, tales que 0 0 x = h1 · · · hn = h01 · · · h0n ⇒ (h0−1 1 h1 )h2 · · · hn = h2 · · · hn 0−1 0 0 −1 ⇒ h1 h1 = (h2 · · · hn )(h2 · · · hn ) ∈ H2 · · · Hn ⇒ 0 0 0 0 h0−1 1 h1 = 1 ⇒ h1 = h1 ⇒ h2 h3 · · · hn = h2 h3 · · · hn . Procediendo de manera análoga encontramos que hi = h0i para cada 1 ≤ i ≤ n. (ii) ⇒ (i): Sea x ∈ Hj , j fijo. Supóngase que x ∈ H1 · · · Hj−1 Hj+1 · · · Hn , entonces existen x1 ∈ H1 , . . . , xj−1 ∈ Hj−1 , xj+1 ∈ Hj+1 , . . . , xn ∈ Hn tales que x = x1 · · · xj−1 1xj+1 · · · xn . El elemento x se puede representar también como x = 1 · · · 1x1 · · · 1, luego x1 = 1, . . . , xj−1 = 1, x = 1, . . . , xn = 1, de donde Hj ∩ (H1 · · · Hj−1 Hj+1 . . . Hn ) = 1. Definición 7.4.3. Se dice que el grupo G es suma directa interna de los subgrupos normales H1 , . . . , Hn si: (i) G = H1 · · · Hn . (ii) Se cumple una cualquiera de las condiciones del teorema anterior. P Dicha relación entre G y los subgrupos H1 , . . . , Hn se denota por G = ni=1 ⊕Hi = H1 ⊕ · · · ⊕ Hn . Proposición 7.4.4. Sea {Gi }ni=1 una colección finita de grupos, y sea G = G1 × · · · × Gn su producto cartesiano. Sea G0i := µi (Gi ) = {(1, . . . , x, . . . , 1) | x ∈ Gi } la imagen de Gi mediante la inyección canónica µi . Entonces, G es suma directa interna de los subgrupos G0i , 82 CAPÍTULO 7. PRODUCTOS Y SUMAS DIRECTAS G = G01 ⊕ · · · ⊕ G0n . Además G0i ∼ = Gi , 1 ≤ i ≤ n. Demostración. Claramente G0i E G para cada 1 ≤ i ≤ n. Además, cada elemento x = (x1 , . . . , xn ) de G tiene la representación única x = (x1 , 1, . . . , 1) · · · (1, . . . , 1, xn ). Por ser µi inyectivo se tiene que G0i ∼ = Gi . Ejemplo 7.4.5. (i) Sea M2 (R) el grupo aditivo de las matrices cuadradas reales de orden 2. Sean R 0 M11 := = {A = [aij ] | aij = 0 para i 6= 1 y j 6= 1}, 0 0 0 R 0 0 0 0 M12 := , M21 := , M22 := . 0 0 R 0 0 R Entonces, M2 (R) =M11 ⊕ M12 ⊕ M21 ⊕ M22 . (ii) Sea C el grupo aditivo de los números complejos, y sean R y iR los subgrupos de números reales e imaginarios, respectivamente. Entonces C = R ⊕ iR. (iii) Sea V = {1, a, b, ab}, a2 = 1 = b2 , ab = ba el grupo de Klein; V es suma directa de los subgrupos hai y hbi ya que ambos son normales en V y además hai ∩ hbi = 1; luego, V = hai ⊕ hbi. (iv) Cada grupo G se puede descomponer trivialmente en suma directa interna: G = G ⊕ 1. Hay grupos para los cuales esta es la única descomposición posible. Consideremos el grupo diédrico de grado 4, D4 : Los subgrupos normales de D4 son 1, D4 , hf i , hf 2 i , K4 = {1, f 2 , g, f 2 g}, H4 = {1, f 2 , f g, f 3 g}. Si D4 es suma directa de dos de sus subgrupos normales entonces se presentan las siguientes posibilidades: G = 1 ⊕ D4 , hf i ⊕ hf 2 i , hf 2 i ⊕ K4 , hf 2 i ⊕ H4 . Sólo la primera posibilidad tiene lugar ya que hf i ∩ hf 2 i = 6 1, hf 2 i ∩ K4 6= 1, 2 hf i ∩ H4 6= 1. (v) Nótese que si un grupo G no se puede descomponer en suma directa de dos subgrupos no triviales entonces no se puede descomponer en suma directa de 3 o más subgrupos no triviales. (vi) Sea G = G1 × G2 × · · · × Gn y sea Ai E Gi , 1 ≤ i ≤ n. Entonces A := A1 × · · · × An E G : sea x = (x1 . . . xn ) ∈ G y sea a = (a1 . . . an ) ∈ A. Entonces −1 x−1 ax = (x−1 1 a1 x1 , · · · ., xn an xn ) ∈ A. Q El resultado anterior podemos generalizarlo: sea G = i∈I Gi , y sea Ai E Gi , Q i ∈ I. Si A := i∈I Ai , entonces A E G. 7.4. SUMA DIRECTA INTERNA 83 Ejemplo 7.4.6. Calculemos Aut(Dn ) y probemos que |Aut(Dn )| = φ(n)n, para n ≥ 3, φ denota la función de Euler que calcula los enteros positivos menores que n y primos relativos con él. Dn = {1, f, f 2 , . . . , f n−1 , g, f g, f 2 g, . . . , f n−1 g}, y además f n = 1, g 2 = 1, gf = −1 f g = f n−1 g. Sean A := hf i, B := {g, f g, f 2 g, . . . , f n−1 g}, F := {µ ∈ Aut(Dn ) | µ(f ) = f } y G := {µ ∈ Aut(Dn ) | µ(g) = g}. La solución implica realizar varios pasos. 1. En primer lugar nótese que F y G son subgrupos de Aut(Dn ). 2. Si µ ∈ Aut(Dn ), entonces, µ(A) = A y µ(B) = B: puesto que todo elemento de B es de orden 2 y el orden de µ(f ) es n, entonces µ(f ) es un generador de A, es decir, µ(A) = A. Como µ es inyectivo, entonces µ(B) = B. 3. F es un subgrupo normal de Aut(Dn ): sea µ ∈ Aut(Dn ) y φ ∈ F . Entonces, µ(A) = A y φ|A = iA . Para f se tiene que µ ◦ φ ◦ µ−1 (f ) = µ ◦ φ(µ−1 (f )) = µ(µ−1 (f )) = f , es decir, µ ◦ φ ◦ µ−1 ∈ F . 4. Es claro que F ∩ G = {iDn }. 5. Como F E Aut Dn , entonces F G ≤ Aut Dn . Además, |F G| = |F | |G|. En efecto, ya que F ∩ G = {iDn }, cada elemento de F G se puede representar en forma única en la forma xy, con x ∈ F y y ∈ G. El número de tales elementos es claramente |F | |G|. 6. |G| = ϕ(n): sea J el conjunto de generadores de A, sabemos entonces que |J| = ϕ(n). Vamos a probar que |J| = |G|. Sea µ ∈ G, entonces µ(f ) debe ser un generador de A, es decir, µ(f ) ∈ J. Ası́ pues, definimos G→J µ 7→ µ(f ). Si µ1 (f ) = µ2 (f ) entonces µ1 = µ2 ya que µ1 (g) = g = µ2 (g). Veamos finalmente que la asignación que estamos haciendo es sobre: sea k primo relativo con n y menor que n, de tal forma que f k ∈ J. Definimos la función µ por µ(f r g s ) := f kr g s , con 0 ≤ r ≤ n − 1, s = 0, 1. Veamos que µ es un automorfismo. En efecto, primero veamos que µ es un homomorfismo: µ(f r g s f p g q ) = µ(f r+p g q ) si s = 0, y en este caso µ(f r+p g q ) = f kr+kp g q = f kr g s f kp g q es decir, µ(f r g s f p g q ) = µ(f r g s )µ(f p g q ). Para s = 1 se tiene que 84 CAPÍTULO 7. PRODUCTOS Y SUMAS DIRECTAS µ(f r g s f p g q ) = µ(f r−p g s+q ) = f kr f −kp g s g q = f kr g s f kp g q , es decir, µ(f r g s f p g q ) = µ(f r g s )µ(f p g q ). Teniendo en cuenta que hf i ∩ hgi = 1, entonces µ es claramente inyectiva y por lo tanto biyectiva. Entonces µ es la preimagen buscada ya que µ(f ) = f k y µ ∈ G por ser µ(g) = g. 7. |F | = n. Sea µ ∈ F , según la parte b) µ(g) debe ser un elemento de B, digamos, µ(g) = f k g, con 0 ≤ k ≤ n − 1. Ası́ pues cada elemento µ ∈ F determina un único elemento f k g ∈ B, es decir, definimos F →B µ 7→ µ(g). Si µ1 (g) = µ2 (g) entonces µ1 = µ2 ya que µ1 (f ) = f = µ2 (f ). Veamos finalmente que la asiganción que estamos haciendo es sobre: sea f k g ∈ B, con 0 ≤ k ≤ n − 1, definimos la función µ por µ(f r g s ) := f r+ks g s , con 0 ≤ r ≤ n − 1, s = 0, 1. µ es un automorfismo: primero veamos que µ es un homomorfismo, µ(f r g s f p g q ) = µ(f r+p g q ) si s = 0, y en este caso µ(f r+p g q ) = f r+p+kq g q = f r+ks g s f p+kq g q , es decir, µ(f r g s f p g q ) = µ(f r g s )µ(f p g q ). Cuando s = 1, se tiene que µ(f r g s f p g q ) = µ(f r−p g s+q ). Consideremos los dos casos posibles, q = 0: entonces µ(f r g s f p g q ) = f r−p+ks g s = f r+ks f −p g s = =f g f = f r+ks g s f p+kq g q = µ(f r g s )µ(f p g q ). r+ks s p Si q = 1, entonces se tiene que µ(f r g s f p g q ) = µ(f r−p ) = f r−p , por el otro lado, µ(f r g s )µ(f p g q ) = f r+k gf p+k g = f r+k−p−k = f r−p . Al igual que el punto f), hf i ∩ hgi = 1, luego µ es claramente inyectiva y por lo tanto biyectiva. Entonces µ es la preimagen buscada ya que µ(g) = f k g y µ ∈ F debido a que µ(f r ) = f r , para cada 0 ≤ r ≤ n − 1. 8. Se tiene que |F G| = |F | |G| = nϕ(n). De otra parte, si µ ∈ Aut(Dn ), entonces por b) µ(f ) debe ser un generador de A y µ(g) ∈ B, esto hace que |Aut(Dn )| ≤ ϕ(n)n. Como se probó en e), F G es un sugrupo de Aut(Dn ) y en consecuencia F G = Aut(Dn ) y |Aut(Dn )| = ϕ(n)n. Si G fuera subgrupo normal de Aut(Dn ) entonces Aut(Dn ) serı́a suma directa interna de F y G. Pero G no es un subgrupo normal de Aut(Dn ): en efecto, según f) y g) las siguientes funciones son elementos de G y F , respectivamente: φ(f ) = f k , φ(g) = g, θ(f ) = f , θ(g) = f g, donde k es primo relativo con n y distinto de 1. Esta última condición se da ya que n ≥ 3. Entonces, θφθ−1 (g) = θφ(f n−1 g) = θ(f −k g) = f −k+1 g. Es decir, θφθ−1 ∈ / G, con lo cual G no es un subgrupo normal de Aut(Dn ). Entonces, ¿qué es Aut(Dn ) respecto de F y G? 7.5. EJERCICIOS 85 9. Sean G1 y G2 grupos y µ un homomorfismo de G2 en Aut(G1 ); en el conjunto G1 × G2 definimos la operación ×µ , ası́: (a, b) ×µ (c, d) = (aµ(b)(c), bd). Entonces, G1 × G2 con esta operación es un grupo y recibe el nombre de producto semidirecto de G1 y G2 con respecto a µ. Para el producto corriente de grupos en calidad de µ se toma el homomorfismo trivial que asigna a cada elemento de G2 el automorfismo idéntico. 10. Sea G un grupo con M y N subgrupos de G tal que M es normal en G. Si M ∩ N = {1} y M N = G, G es isomorfo al producto semidirecto de M y N mediante el homomorfismo µ : N → Aut(M ) dado por: µ(n)(m) = nmn−1 . En efecto, como G = M N , entonces todo elemento g ∈ G se puede escribir en la forma g = mn, m ∈ M , n ∈ N y de manera única ya que M ∩ N = {1}. Definimos f : G → M ×µ N , de la siguiente manera: f (g) := f (mn) = (m, n); f está bien definida y es obviamente biyectiva. Veamos que f es un homomorfismo: sea g1 = m1 n1 , g2 = m2 n2 elementos de G, entonces g1 g2 = (m1 n1 )(m2 n2 ) = m1 (n1 m2 n−1 1 )n1 n2 = m1 µ(n1 )(m2 )n1 n2 , donde m1 µ(n1 )m2 ∈ M y n1 n2 ∈ N . Ası́ pues, f (g1 g2 ) = f (m1 µ(n1 )(m2 )n1 n2 ) = (m1 µ(n1 )(m2 ), n1 n2 ) = (m1 , n1 ) ×µ (m2 , n2 ) = f (g1 ) ×µ f (g2 ). 11. De los puntos anteriores tenemos que Aut(Dn ) ∼ = F ×µ G, mediante el homomorfismo µ : G → Aut(F ) dado por µ(y)(x) = y ◦ x ◦ y −1 . 12. Una última observación. De manera más sencilla se define la suma semidirecta interna de dos subgrupos de un grupo de la siguiente forma: sea G un grupo y M, N subgrupos de G. Se dice que G es suma semidirecta interna de M y N (en ese orden) si: M es normal en G, M ∩ N = {1} y G = M N . Uno podrı́a entonces obviar los pasos i), j) y k) y decir simplemente que Aut(Dn ) es la suma semidirecta interna de F y G. 7.5. Ejercicios 1. Pruebe que S3 sólo tiene la descomposición trivial S3 = 1 ⊕ S3 . 2. Sea G := G1 × · · · × Gn . Demuestre que Z (G) = Z (G1 ) × · · · × Z (Gn ). Extienda a una familia cualquiera de grupos, es decir, pruebe Q este resultado Q que Z ( i∈I Gi ) = i∈I Z(Gi ). 3. Sea G := G1 × · · · × Gn y sean Hi ≤ Gi , 1 ≤ i ≤ n. Sea H := H1 × · · · × Hn . Demuestre que NG (H) = NG1 (H1 ) × · · · × NGn (Hn ). Extienda este resultado a una familia cualquiera de grupos. 86 CAPÍTULO 7. PRODUCTOS Y SUMAS DIRECTAS 4. Sean G y H grupos finitos cuyos órdenes son primos relativos. Pruebe que Aut (G × H) ∼ = Aut (G) × Aut (H). 5. ¿Es cierto que la única descomposición de Q8 es la trivial: Q8 = 1 ⊕ Q8 ? Capı́tulo 8 G-conjuntos Como fundamento teórico para la demostración de los teoremas de Sylow aparece el concepto de acción de un grupo sobre un conjunto. Esta noción tiene bastante analogı́a con el de operación binaria externa y será tratada en el presente capı́tulo. Se estudiará en particular la acción de conjugación. Además, serán definidos los grupos transitivos del grupo simétrico Sn . De vital importancia para la demostración de los teoremas de Sylow es la ecuación de clases, la cual estableceremos en este capı́tulo. Un tratamiento completo de los G-conjuntos nos llevará a la teorı́a de los espacios vectoriales y módulos sobre anillos (véase [9]). Nosotros nos limitaremos a utilizar los G-conjuntos como lenguaje y herramienta para comprender mejor la teorı́a de Sylow. 8.1. Acción de grupos sobre conjuntos En esta sección se establece la equivalencia entre los conceptos de representación de un grupo en un grupo de permutaciones y el concepto de acción de un grupo sobre un conjunto. Definición 8.1.1. Sean X un conjunto y (G, ·, 1) un grupo. Se dice que el grupo G actúa sobre el conjunto X, si existe una función φ : G × X → X , φ(g, x) := gx tal que (i) φ(gh, x) = (gh)x = g(hx) = φ(g, φ(h, x)), (ii) φ(1, x) = 1x = x, para cualesquiera elementos g, h de G y cualquier elemento x de X. 87 88 CAPÍTULO 8. G-CONJUNTOS Se dice también que X es un G-conjunto o que X tiene a G como grupo de operadores. Estrechamente relacionado con el concepto de G-conjunto aparece el concepto de representación de un grupo. Definición 8.1.2. Sea X un conjunto no vacı́o, S(X) el grupo de permutaciones de X y sea (G, ·, 1) un grupo. Por representación de G en S(X) se entiende cualquier homomorfismo Φ : G → S(X). Proposición 8.1.3. Sea (G, ·, 1) un grupo y sea X un conjunto no vacı́o arbitrario. Entonces, cada representación de G en S(X) determina una acción de G sobre X, es decir, convierte a X en un G−conjunto. Recı́procamente, cada estructura de G−conjunto sobre X determina una representación de G en S(X). Demostración. Sea Φ : G → S(X) una representación de G en S(X). Definamos la función φ:G×X →X (g, x) 7−→ φ(gx) =: Φg (x), donde Φg denota la imagen de g mediante el homomorfismo Φ. Se debe probar que para cualesquiera elementos g, h ∈ G y cualquier elemento x ∈ X, (gh)x = g(hx) y 1x = x, donde 1 es el elemento identidad del grupo G. (gh)x = Φgh (x) = Φ(gh)(x) = (Φ(g) ◦ Φ(h))(x) = (Φg ◦ Φh )(x) = Φg [Φh (x)] = Φg (hx) = g(hx). 1x = Φ1 (x) = iX (x) = x. Sea ahora φ : G × X → X una función que define una estructura de G−conjunto sobre X. Denotemos la imagen de la pareja (g, x) mediante φ por gx. La función Φ : G → S(X) definida por Φ(g) = Φg , donde Φg (x) := gx, ∀x ∈ X, es un homomorfismo. En efecto, Φ(gh) = Φgh , Φgh (x) = (gh)x = g(hx) = g(Φh (x)) = Φg [Φh (x)] = (Φg ◦ Φh )(x); ⇒ Φgh = Φg ◦ Φh , es decir, Φ(gh) = Φ(g) ◦ Φ(h). 8.2. ÓRBITAS Y SUBGRUPOS ESTACIONARIOS 89 Definición 8.1.4. Sea φ : G × X → X, φ(g, x) = gx, una acción del grupo G sobre el conjunto X y sea Φ : G → S(X), Φ(g) = Φg , Φg (x) = gx, la representación de G en S(X) asociada a φ. Se denomina núcleo de la acción φ y se denota por ker(φ) al núcleo del homomorfismo Φ: ker(φ) := ker(Φ) = {g ∈ G | gx = x, ∀x ∈ X}. Se dice que G actúa efectivamente sobre X si ker(φ) = 1, es decir, gx = x, ∀x ∈ X si, y sólo si, g = 1. Directamente de la definición de acción de un grupo sobre un conjunto se desprenden las siguientes propiedades. Proposición 8.1.5. Sea X un G−conjunto. Entonces, (i) X k = X × · · · × X es un G−conjunto. (ii) 2X es un G−conjunto, donde 2X denota el conjunto de partes del conjunto X. (iii) Sea Y ⊆ X y sea C(Y ) := {Z ⊆ X | Card(Z) = Card(Y )}. Entonces C(Y ) es un G−conjunto. Demostración. Ejercicio para el lector. 8.2. Órbitas y subgrupos estacionarios Proposición 8.2.1. Si el grupo G actúa sobre el conjunto X, entonces en X se define la relacion ∼ por x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G : gx = y; ∼ es de equivalencia en X. La clase de equivalencia del elemento x se denota por G(x) y se llama la G−órbita determinada por x. Para cada x ∈ X G(x) = {gx|g ∈ G}. Al Card(G(x)) se le denomina la longitud de la G−órbita determinada por x. Demostración. Ejercicio para el lector. Proposición 8.2.2. Sea X un G−conjunto y sea x un elemento de X. Se denomina subgrupo estacionario del punto x en G y se denota por Gx al subgrupo de elementos de G que dejan fijo x Gx := {g ∈ G : gx = x}. Además, Card(G(x)) = |G : Gx |. 90 CAPÍTULO 8. G-CONJUNTOS Demostración. Sean g, h ∈ Gx . Entonces gx = x, hx = x, luego hgx = hx = x, es decir, hg ∈ Gx ; g −1 x = g −1 (gx) = x, con lo cual g −1 ∈ Gx . Denotemos por A el conjunto de clases laterales izquierdas determinadas por el subgrupo estacionario Gx en G. La correspondencia Φ : G(x) → A, definida por Φ(gx) = gGx es una biyección. En efecto, Φ(gx) = Φ(hx) luego gGx = hGx de donde g −1 h ∈ Gx y ası́ g −1 hx = x, es decir, gx = hx; Φ es evidentemente sobre. Corolario 8.2.3. Sea X un G−conjunto, con G un grupo finito. Entonces, la longitud de cualquier G−órbita divide al orden de G, |G(x)| | |G|. Demostración. Consecuencia directa de la proposición anterior y del teorema de Lagrange. Proposición 8.2.4. Sea G un grupo que actúa sobre el conjunto X. (i) Si x, y están en la misma órbita entonces sus grupos estacionarios son conjugados: y = gx ⇒ Gy = gGx g −1 . (ii) Si G es un grupo finito y X = X1 ∪ · · · ∪ Xr es la partición de X en un número finito de r órbitas con representantes x1 , . . . , xr , entonces |X| = r X |G : Gxi | (Ecuación de clases). i=1 Demostración. (i) h ∈ Gy ⇔ hy = y ⇔ hgx = gx ⇔ g −1 hgx = x ⇔ g −1 hg ∈ Gx ⇔ h ∈ gGx g −1 . (ii) La segunda afirmación de la proposición es debido a que G es finito. En efecto, si G es finito entonces para cada x ∈ X, Gx es también finito, con lo cual |G : Gx | es finito y ası́ cada G(xi ) = Xi es finito. Como X1 ∪· · ·∪Xr es una partición de X entonces la ecuación de clases se cumple. Algunos de los conceptos estudiados anteriormente como centro, centralizador, normalizador, etc., pueden ser vistos como consecuencia de acciones de grupos sobre conjuntos. Ejemplo 8.2.5. Acción de conjugación. Sea G un grupo cualquiera y consideremos la acción de G sobre sı́ mismo, es decir, con X = G, definida por: φ:G×G→G (g, x) 7−→ gxg −1 . 8.2. ÓRBITAS Y SUBGRUPOS ESTACIONARIOS 91 Notemos que el núcleo de φ es el centro del grupo G: ker(φ) = {g ∈ G | gxg −1 = x, ∀x ∈ G} = {g ∈ G | gx = xg, ∀x ∈ G} = Z(G). Sea x un elemento cualquiera de G. La órbita G(x) del elemento x, en este caso denotada por xG , se denomina la clase de elementos conjugados con x: xG = {gxg −1 | g ∈ G}. Nótese que G ha sido particionado en clases conjugadas. Decir que dos elementos x, y ∈ G son conjugados significa que están en una misma clase (de equivalencia) conjugada, es decir, existe g ∈ G tal que y = gxg −1 . Sea x un elemento cualquiera de G. El subgrupo estacionario de x se denomina en este caso el centralizador de x en G: CG (x) = {g ∈ G : gxg −1 = x} = {g ∈ G : gx = xg}. Según la proposición 8.1.5, la acción de conjugación puede ser extendida a los subconjuntos del grupo G. Sean A, B subconjuntos de G. Decimos que A y B son conjugados si existe g ∈ G tal que B = gAg −1 . Notemos que cuando A es un subgrupo de G entonces gAg −1 es también un subgrupo de G, es decir, la acción de conjugación a subconjuntos de G puede ser restringida a subgrupos de G. En este caso, dado un subgrupo H de G la órbita de H, H G , está constituida por los subgrupos de G que son conjugados con H: H G = {gHg −1 : g ∈ G}. Además, el subgrupo estacionario en este caso coincide con el normalizador de H en G: NG (H) = {g ∈ G : gHg −1 = H}. Nótese que Card(H G ) = |G : NG (H)|, es decir, el número de subgrupos conjugados de un subgrupo H de G es igual al ı́ndice de su normalizador en G. Ejemplo 8.2.6. Generalización del Teorema de Cayley . Sea G un grupo y H un subgrupo cualquiera de G. Denotemos por G/H el conjunto de clases laterales izquierdas determinadas por H en G. La aplicación definida por φ : G × G/H → G/H (x, gH) 7−→ xgH, determina una acción de G en G/H. Notemos en primer lugar que φ es una función: sean gH = hH, entonces g −1 h ∈ H, luego g −1 x−1 xh ∈ H, es decir, xgH = xhH. Además, (1, gh) 7→ 1gH = gH, y también, (xy) · (gH) = (xy)gH = x(yg)H = x · (y · (gH)). 92 CAPÍTULO 8. G-CONJUNTOS Determinemos el núcleo de φ: ker(φ) = {x ∈ G | xgH = gH, ∀g ∈ G} = {x ∈ G | g −1 xgH = H, ∀g ∈ G}; de aquı́ obtenemos que x ∈ ker(φ) ⇔ g −1 xg ∈ H, ∀g ∈ G ⇔ x ∈ gHg −1 , ∀g ∈ G, es decir, ker(φ) = \ gHg −1 = Intersección de los subgrupos de G conjugados con H. g∈G Demostremos que \ gHg −1 es el subgrupo normal más grande de G que está contenido en H. g∈G En efecto, sea x∈ \ gHg −1 . g∈G Se desea probar que para cada elemento w ∈ G \ wxw−1 ∈ gHg −1 , g∈G es decir, que ∀g ∈ G, wxw−1 ∈ gHg −1 . Sea g un elemento cualquiera de G, entonces: x ∈ w−1 gHg −1 w = (w−1 g)H(w−1 g)−1 , luego x = w−1 ghg −1 w, con h ∈ H, por lo tanto, wxw−1 = ghg −1 y ası́ wxw−1 ∈ gHg −1 . Claramente, \ gHg −1 ⊆ 1H1−1 = H. g∈G Sea KTE G, K ≤ H, entonces para cada g ∈ G, K = gKg −1 ⊆ gHg −1 , por lo tanto K ⊆ g∈G gHg −1 . La acción φ determina desde luego una representación del grupo G en S(G/H) : Φ : G → S(G/H) Φ(x) 7−→ Φx Φx : G/H → G/H gH 7−→ xgH. Tomando H = {1} la función Φ es precisamente el isomorfismo del teorema de Cayley. Nótese que cuando H 6= {1} y ker(φ) = ker(Φ) = {1}, G no es tan “pequeño” con respecto a S(G/H) como en el teorema de Cayley. 8.3. GRUPOS TRANSITIVOS 93 De este segundo ejemplo se obtiene el siguiente resultado: Proposición 8.2.7. Sea G un grupo finito y sea H ≤ G un subgrupo de G tal que |G| no divide a |G : H|!. Entonces, H contiene un subgrupo normal no trivial de G. En consecuencia, G no es simple. Demostración. Supongamos que el único subgrupo normal de G contenido en H es {1}. Esto indica que \ ker(φ) = gHg −1 = ker(Φ) = {1}. g∈G Por lo tanto Φ es 1 − 1 y ası́ G es isomorfo a un subgrupo de S(G/H). De aquı́ se obtiene que |G| divide a |G : H|!. 8.3. Grupos transitivos Se dice que el grupo G actúa transitivamente sobre X si G determina en X solamente una órbita, es decir, para cada par de elementos i, j ∈ X existe g ∈ G tal que gi = j. Más generalmente, se dice que G actúa k− transitivamente sobre X o también que G es un grupo k−transitivo sobre X, si para cualesquiera subconjuntos ordenados de k elementos de X {x1 , . . . , xk }, {y1 , . . . , yk } existe g ∈ G tal que gxi = yi , i = 1, 2, . . . , k. Esto equivale a decir que G actúa transitivamente sobre el conjunto X [k] de subconjuntos ordenados de X de k elementos. Proposición 8.3.1. Si G actúa k−transitivamente sobre X, donde k ≤ |X|, entonces G actúa s−transitivamente sobre X para cada s ≤ k. Demostración. Si s = k entonces no hay nada que probar. Sea s < k y {x1 , . . . , xs } y {y1 , . . . , ys } subconjuntos ordenados de X de s elementos. Sean {xs+1 , . . . , xk } ⊆ X\{x1 , . . . , xs } y {ys+1 , . . . , yk } ⊆ X\{y1 , . . . , ys }. Consideremos los conjuntos ordenados {x1 , . . . , xs , xs+1 , . . . , xk } y {y1 , . . . , ys , ys+1 , . . . , yk }. Como G es k−transitivo entonces existe g ∈ G tal que gxi = yi , i = 1, . . . , s, s + 1, . . . , k; es decir, G es s−transitivo. Proposición 8.3.2. (i) Sn actúa n−transitivamente sobre In = {1, 2, · · · , n}. (ii) An actúa (n − 2)−transitivamente sobre In . Demostración. (i) Sean {x1 , . . . , xn } y {y1 , . . . , yn } dos ordenaciones de In . Sean σ, ρ ∈ Sn definidas por σ(i) = xi y ρ(i) = yi . Entonces ρ(σ −1 (xi )) = yi ∀i = 1, . . . , n. (ii) Sean {x1 , . . . , xn−2 } y {y1 , . . . , yn−2 } subconjuntos ordenados de In . Como Sn es n−transitivo, entonces Sn es (n − 2)−transitivo, es decir, existe σ ∈ Sn tal que σ(xi ) = yi ∀i = 1, . . . , n − 2. 94 CAPÍTULO 8. G-CONJUNTOS Si σ es par, entonces no hay nada que probar. Supóngase que σ es impar. Sean z1 , z2 ∈ In − {y1 , . . . , yn−2 }. Entonces Θ = (z1 z2 )σ es par y además Θ(xi ) = yi ∀i = 1, . . . , n − 2. Proposición 8.3.3. Sea G ≤ Sn e In = {1, 2, . . . , n}. Si G actúa transitivamente sobre In sea N (g) el conjunto de puntos de In que quedan fijos bajo g, g ∈ G. Entonces, (i) X |N (g)| = |G|. g∈G (ii) Si G es 2−transitivo sobre In entonces X |N (g)|2 = 2|G|. g∈G Demostración. (i) Simbolicemos por G1 el subgrupo estacionario del punto 1 ∈ In . Sea i un elemento cualquiera de In , como G actúa transitivamente, entonces existe gi ∈ G tal que gi (1) = i. Se determinan ası́ n elementos (los cuales no podemos asegurar por ahora que sean diferentes) g1 = iIn , . . . , gn de Sn . Considérese el conjunto cociente G/G1 de clases laterales izquierdas determinadas por G1 (recordemos que las clases se definen por medio de la relacion de equivalencia g ≡ h (mód G1 ) ⇔ g −1 h ∈ G1 ). Demostremos que G= n [ gi G1 (8.3.1) i=1 (siendo ası́, podemos afirmar que los n elementos g1 , . . . , gn son diferentes). Sea g un elemento cualquiera de G. Sea i ∈ In la imagen de 1 mediante g: g(1) = i. Entonces g(1) = i = gi (1) ⇒ gi−1 g(1) = 1 ⇒ gi−1 g(1) ∈ G1 ⇒ g ∈ gi G1 n n [ [ ⇒G⊆ gi G1 . Obviamente gi G1 ⊆ G. i=1 i=1 Supongamos que para dos elementos i, j ∈ In se tiene gi G1 ∩ gj G1 6= ∅ ⇒ gi h = gj g con h, g ∈ G1 ⇒ h(1) = 1 = g(1) ⇒ gi h(1) = gi (1) = i, gj g(1) = gj (1) = j ⇒ i = j ⇒ gi G1 = gj G1 . Esto completa la prueba de la igualdad (8.3.1). 95 8.3. GRUPOS TRANSITIVOS Sea N (g) el conjunto de puntos de In que permanecen fijos bajo g; sea {g}×N (g) el producto cartesiano del conjunto unitario {g} y el conjunto N (g). Nótese que para g 6= h, {g} × N (g) ∩ {h} × N (h) = ∅. Es posible además que N (g) = ∅. Sea Gj el subgrupo estacionario del punto j ∈ In . Considérese el producto cartesiano Gj × {j}; como antes, para i 6= j se tiene que Gj × {j} ∩ Gi × {i} = ∅. Evidentemente " # " n # [ [ Card ( )∅ {g} × N (g) = Card ( )∅ Gj × {j} ; i=1 g∈G " Card ( n [ # )∅ {g} × N (g) = i=1 X |N (g)| = X g∈G n X Card({g} × N (g)) = Card(Gj × {j}) = j=1 g∈G n X |Gj |. j=1 Teniendo en cuenta que gj (1) = j se tiene que gj−1 Gj gj = G1 (proposición 8.2.4) entonces, para cada j ∈ In , |Gj | = |G1 |. Ya que todas las clases laterales G1 , g2 G1 , . . . , gn G1 tienen el mismo cardinal, y además utilizando (8.3.1) resulta X g∈G |N (g)| = n X |Gj | = j=1 n X n|G1 | = |G1 | + · · · + |G1 | = |G1 | + |g2 G1 | + · · · + |gn G1 | = |G|, j=1 (ii) Supongamos que el grupo G es 2−transitivo sobre In . Esto implica que G1 es un grupo transitivo sobre Iˆn = In \{1}. En efecto, sean x, y ∈ Iˆn . Entonces existe σ ∈ G tal que σ{x, 1} = {y, 1}, es decir, σ(x) = y y σ(1) = 1; esto indica que σ ∈ G1 (observemos que G1 determina en In solo dos órbitas {1} y Iˆn ). Sea N̂ (g) el conjunto de puntos de Iˆn que quedan fijos bajo g ∈ G1 . Según la parte (i) obtenemos que X |N̂ (g)| = |G1 | ⇒ g∈G1 X |N (g)| = g∈G1 X (1 + |N̂ (g)|), g∈G1 la última igualdad se debe a que cada g ∈ G1 , deja fijo un punto más en In , el 1. De esto obtenemos que X g∈G1 |N (g)| = X g∈G1 1+ X |N̂ (g)| = |G1 | + |G1 | = 2|G1 |. g∈G1 Análogamente, para cada j ∈ In obtenemos que X g∈Gj |N (g)| = 2|Gj | = 2|G1 |, 96 CAPÍTULO 8. G-CONJUNTOS Por lo tanto n X X |N (g)| = 2n|G1 | = 2|G|. j=1 g∈Gj Pero n X X |N (g)| = j=1 g∈Gj 8.4. X |N (g)|2 . g∈G Ejercicios 1. Calcule todas las acciones del grupo Z3 sobre el conjunto Z2 . 2. Calcule todas las acciones del grupo Z2 sobre el conjunto Z3 . 3. Sea n ≥ 2; calcule todas las acciones del grupo Zn sobre el conjunto Z2 . 4. Sea n ≥ 2; calcule todas las acciones del grupo Z2 sobre el conjunto Zn . 5. Demuestre la proposición 8.1.5. 6. Demuestre la proposición 8.2.1. Capı́tulo 9 Teoremas de Sylow De fundamental importancia para el estudio de los grupos finitos son los teoremas probados por el matemático noruego Ludwig Sylow. Es conocido que para los grupos cı́clicos finitos es válido el recı́proco del teorema de Lagrange, es decir, si G un grupo cı́clico finito de orden n y m divide a n entonces G contiene exactamente un subgrupo de orden m. En este capı́tulo se mostrará que la afirmación anterior es válida para grupos finitos cualesquiera pero con m una potencia de un primo. Además, la unicidad se da salvo conjugación. Los resultados de este capı́tulo ayudarán a describir en el próximo los grupos abelianos finitos. 9.1. p-grupos En el capı́tulo 2 se definieron los principales conceptos relacionados con la parte finita de un grupo. Además, se tienen las siguientes nociones. (i) Periodo (exponente) de un grupo periódico: supongamos que el conjunto de los periodos de los elementos de un grupo periódico es acotado superiormente. Entonces el mı́nimo comun múltiplo de estos perı́odos se denomina periodo del grupo periódico G. (ii) Parte periódica de un grupo abeliano: sea G un grupo abeliano. El conjunto de elementos de G de periodo finito constituyen un subgrupo de G llamado subgrupo de torsión de G o parte periódica de G. (iii) p-grupos: sea G un grupo (finito o infinito). Si cada elemento de G tiene periodo potencia del primo p, se dice que G es un p − grupo. (iv) p-subgrupo: se dice que H ≤ G es un p − subgrupo de G , si H es un p − grupo. (v) Grupos primarios: un grupo G se dice que es primario, si G es un p−grupo para algún primo p. En otras palabras, la colección de los grupos primarios es la reunión de los p − grupos, donde p recorre los primos positivos. 97 98 CAPÍTULO 9. TEOREMAS DE SYLOW (vi) Subgrupo de Sylow : sea G un grupo. Supongamos que G contiene p − subgrupos. Un p − subgrupo H se denomina p − subgrupo de Sylow de G si H es maximal entre los p − subgrupos de G. Ejemplo 9.1.1. Sea (G, ·, 1) un grupo abeliano y sea P el conjunto de elementos de G de periodo finito. P 6= ∅ ya que 1 ∈ P ; sean x, y ∈ P , entonces existen n, m ∈ Z + tales que xn = 1, y m = 1. Sea k = m.c.m. {n, m}, se tiene que (xy)k = xk y k = 1, luego xy ∈ P ; si x ∈ P entonces claramente x−1 ∈ P luego P ≤ G. Ejemplo 9.1.2. (Zpn , +, 0), con n ≥ 1, es un p-grupo finito, Cp∞ es un p-grupo infinito. Ejemplo 9.1.3. Ejemplos de p-subgrupos en un grupo no abeliano: sea GLn (R) el grupo multiplicativo formado por las matrices reales invertibles. Podemos definir conjuntos de matrices sobre otros grupos que tienen, al igual que sobre R, un producto. Sea M3 (Zn ) = {A = [aij ] | aij ∈ Zn } se definen en M3 (Zn ) dos operaciones: Adición: A = [aij ], B = [bij ] ∈ M3 (Zn ) tal quePA + B = [aij + bij ]. Multiplicación: AB = C = [cij ], donde cij := 3k=1 aik bkj . Se puede comprobar fácilmente que (M3 (Zn ), +, 0), donde 0 es la matriz nula, es un grupo abeliano, y que (M3 (Zn ), ·, E), con E la matriz idéntica, es un monoide. Tomemos en particular n = p primo y sea GL3 (Zp ) un grupo multiplicativo del monoide M3 (Zn ). Destacamos en GL3 (Zp ) el subconjunto U T3 (Zp ) definido por:     1 a b    0 1 c | a, b, c ∈ Zp ; U T3 (Zp ) :=   0 0 1 U T3 (Zp ) ≤ GL3 (Zp ): U T3 (Zp ) 6= ∅ ya que E ∈ U T3 (Zp );  −1   1 a b 1 −a ac − b 0 1 c  = 0 1 −c , 0 0 1 0 0 1 por último, el producto de dos matrices de U T3 (Zp ) es nuevamente una matriz de este conjunto. Nótese que |U T3 (Zp )| = p3 con lo cual U T3 (Zp ) es un p-subgrupo de GL3 (Zp ), el cual no es abeliano:       1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 6= 0 1 1 0 1 0. 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Ejemplo 9.1.4. Algunos ejemplos de grupos primarios son Cp∞ , Zpn , U T (3, Zp ). Ejemplo 9.1.5. Subgrupos de Sylow de Z72 : 2-subgrupos: Z1 , Z2 , Z4 , Z8 ; 2-subgrupo de Sylow: Z8 ; 3-subgrupos: Z1 , Z3 , Z9 ; 3-subgrupo de Sylow: Z9 . 9.1. P -GRUPOS 99 Proposición 9.1.6. Sea G un grupo de orden pn , con p primo y n ≥ 1. Entonces, Z (G) 6= 1. G Demostración. Sea G un grupo finito cualquiera y sean xG 1 , . . . , xr , las clases de equivalencia determinadas por la acción de conjugación: G = ∪ri=1 xG i , xi ∈ G. Se tienen clases de un solo elemento (por ejemplo 1G ). Podemos reordenar los ı́ndices y suponer que las primeras q clases constan de un sólo elemento. Se afirma que Z(G) ={x1 , . . . , xq } . En efecto, si x ∈ Z(G), entonces gxg −1 = x para cada g ∈ G, luego xG = {x} y por lo tanto x ∈ {x1 , . . . , xq }. El recı́proco es evidente. La ecuación numérica de clases toma la forma P |G| = | Z(G)| + ri=q+1 | G : CG (xi )|. Si q = r entonces G es abeliano y ası́ Z(G) = G 6= 1. Sea pues q < r. Nótese que |G : CG (xi )| |pn por lo tanto pni = |G : CG (xi )| con 1 ≤ ni < n, q + 1 ≤ i ≤ r, de donde p||Z(G)|, luego Z(G) 6= 1. Corolario 9.1.7. Todo grupo de orden p2 es abeliano. Demostración. El Z(G) es de orden 1, p, p2 . Según la proposición anterior Z(G) 6= 1. Supongamos que |Z(G)| = p. Entonces, |G/Z(G)| = p y G/Z(G) = hai, a ∈ G. Lógicamente a ∈ / Z(G), además, Z(G) ⊂ CG (a). Ya que a 6∈ Z(G) se tiene que |CG (a)| > p luego |CG (a)| = p2 y entonces CG (a) = G, es decir, a ∈ Z(G), lo cual es contradictorio. Por lo tanto, |Z(G)| = p2 , es decir, G es abeliano. Proposición 9.1.8. Sean G un grupo y P, Q ≤ G tales que: (i) P es un p-subgrupo de G. (ii) P y Q son conjugados, es decir, existe x ∈ G tal que Q = xP x−1 . (iii) P normaliza Q, es decir, para cada p ∈ P , pQp−1 = Q. Entonces P Q es un p-subgrupo de G. Demostración. P Q ≤ G : sea pq ∈ P Q, entonces pqp−1 ∈ Q luego pq ∈ QP con lo cual P Q ⊆ QP . Análogamente, QP ⊆ P Q y ası́ P Q = QP . Q E P Q: sean q ∈ Q, pq0 ∈ P Q, entonces pq0 q(pq0 )−1 = pq0 qq0−1 p−1 ∈ Q. Por el teorema fundamental de isomorfismo P Q/Q ∼ = P/(P ∩ Q). Nótese que P/(P ∩ Q) es un p-grupo ( más generalmente, si G es un p-grupo y N E G entonces α G/N es un p-grupo: x ∈ G implica |x| = pα , α ≥ 0; (x)p = xpα = 1 luego |x| | pα ). Q es un p-grupo ya que los elementos de Q tienen el mismo orden que los elementos de P . 100 CAPÍTULO 9. TEOREMAS DE SYLOW P Q es un p-grupo: más generalmente, si G/N es un p-grupo y N es un psubgrupo de G, entonces G es un p-grupo. En efecto, si x ∈ G entonces |x| = α α α β pα , con α ≥ 0, por lo tanto (x)p = 1, es decir, xp ∈ N luego (xp )p = 1 con α+β β ≥ 0 se tiene entonces que xp = 1 lo cual implica que |x| | pα+β , esto completa la prueba de la afirmación. Proposición 9.1.9. Sean G un grupo y H un p-subgrupo de G. Entonces, xHx−1 es un p-subgrupo de G para cada x ∈ G. Demostración. Fue probada en la demostración anterior. 9.2. Preliminares El siguiente ejemplo ilustra que el recı́proco del teorema de Lagrange no es en general válido. Ejemplo 9.2.1. En A5 no hay subgrupos de orden 30, aunque 30 | |A5 | = 60. Si existiera H ≤ A5 tal que | H| = 30 entonces H E A5 . Pero probaremos que para cada n ≥ 5, An es simple. Proposición 9.2.2. Para cada n ≥ 5, An es simple. Demostración. Sea H E An y H 6= 1. Sea τ 6= 1, τ ∈ H. Puesto que cada permutación es producto de ciclos disyuntos entonces τ tiene alguna de las siguientes formas: (a) En la descomposición de τ hay al menos un ciclo de longitud ≥ 4, τ = (α1 α2 α3 α4 · · · ) · · · (b) Si en τ todos los ciclos son de longitud ≤ 3 entonces se presentan dos posibilidades: (b1) τ es exactamente un ciclo de longitud 3, τ = (α1 α2 α3 ). (b2) En τ hay un ciclo de longitud 3 y otros ciclos de longitud ≤ 3, τ = (α1 α2 α3 )(α4 , α5 · · · ) · · · (c) En τ todas los ciclos son de longitud ≤ 2, es decir, τ es producto de transposiciones (al menos 2 ya que H ≤ An ), τ = · · · ( α3 α4 )( α1 α2 ) (si para cada τ ∈ H no se presenta ninguna de estas 4 formas entonces H = 1). Demostraremos que la existencia en H de un elemento τ 6= 1 implica la existencia en H de al menos un ciclo de longitud 3. Estudiaremos las 4 formas posibles. (a) τ = (α1 α2 α3 α4 · · · ) · · · ∈ H; sea θ = (α1 α2 α3 ). Como θ = (α1 α2 )(α1 α3 ) · · · ∈ An y H E An entonces (θτ θ−1 )τ −1 ∈ H, es decir, (α1 α2 α3 )(α1 α2 α3 α4 · · · ) · · · (α3 α2 α1 ) · · · (· · · α4 α3 α2 α1 ) = (α1 α2 α4 ) ∈ H (b1) No hay nada que probar. (b2) τ = · · · (α4 α5 · · · )(α1 α2 α3 ) ∈ H. Sea θ = (α1 α2 α4 ) ∈ An , entonces θτ θ−1 τ −1 = (α1 α2 α5 α3 α4 ) ∈ H. Esto implica, según (a), que H tiene un ciclo de longitud 3. 9.2. PRELIMINARES 101 (c) τ = · · · ( α3 α4 )( α1 α2 ) ∈ H; θ = (α1 α2 α3 ) ∈ An , luego θτ θ−1 τ −1 = (α2 α4 )(α1 α3 ) ∈ H. Puesto que n ≥ 5 entonces se tiene que (α1 α2 α5 α3 α4 ) = (α1 α4 )(α1 α3 )(α1 α5 )(α1 α2 ) ∈ An, de aquı́ resulta (α1 α2 α5 α3 α4 )(α2 α4 )(α1 α3 )(α1 α2 α5 α3 α4 )−1 = (α1 α5 )(α2 α4 ) ∈ H. Hagamos ahora el producto de estas permutaciones (α1 α5 )(α4 α2 )(α2 α4 )(α1 α3 ) = (α1 α3 α5 ) ∈ H. Queremos mostrar ahora que la contenencia en H de un ciclo de longitud 3 implica la inclusión en H de todos los 3-ciclos, con lo cual H = An . Sea pues (α1 α2 α3 ) un ciclo de H. Sea (β1 β2 β3 ) un 3-ciclo cualquiera de An . Puesto que n ≥ 5 entonces An es 3-transitivo; existe entonces σ ∈ An tal que σ(βi ) = αi , i = 1, 2, 3. Entonces σ −1 (α1 α2 α3 )σ = (β1 β2 β3 ) ∈ H. Antes de probar los tres teoremas de Sylow consideremos algunos hechos elementales de la teorı́a de números. Proposición 9.2.3. Sea X un conjunto de n elementos. Entonces el número de subconjuntos diferentes de k elementos de X , 0 ≤ k ≤ n, es n k = n! . (n − k)!k! Demostración. Por inducción sobre n. 1 1 n = 1: valores de k; k = 0, = 1; k = 1 = 1. 0 1 Supongamos que la afirmación es cierta para conjuntos de n elementos: X = {x1 ,x2 , . . . , xn } . Agregamos a X un nuevo elemento xn+1 y vemos cuántos subconjuntos de k elementos, 0 ≤ k ≤ n , tiene X 0 := X ∪ {xn+1 }. Podemos considerar que la colección de subconjuntos de X 0 de k elementos está conformada por aquellos subconjuntos donde xn+1 no aparece y aquellos que contienen a xn+1 . Del primer tipo de subconjuntos tenemos de acuerdo a la hipótesis inductiva nk . Los subconjuntos del segundo tipo podemos obtenerlos de la siguiente manera. n En cada uno de los k subconjuntos de k elementos donde no aparece xn +1 podemos suprimir un elemento y en su lugar colocar xn +1 . Puesto que cada conjunto tiene k elementos podemos hacer con cada uno k sustituciones; en total obtenemos k nk conjuntos donde aparece xn +1 . Sin embargo, en este proceso cada conjunto aparece n + 1 − k veces repetido (en efecto consideremos el conjunto de k elementos { xi1 , . . . , xik } ⊂ X, quitamos por ejemplo xi1 y obtenemos { xn +1 , xi2 , . . . , xik } . El número de conjuntos iguales en este es n − 1 + k obteniendo al cambiar xi1 por los n − k + 1 elementos restantes de X − { xi1 , . . . , xik }). 102 CAPÍTULO 9. TEOREMAS DE SYLOW Por lo tanto el número de conjuntos diferentes de k elementos donde figura xn +1 k(n) es n − kk +1 . Como conclusión obtenemos que el número de conjuntos de k elementos de X 0 es : ! k nk n k n +1 n + = 1+ = . n − k +1 k n − k +1 k k Hemos probado que el número de subconjuntos de k elementos con 0 ≤ k ≤ n, de un conjunto de n + 1 elementos es n k+1 . El caso k = n + 1 es evidentemente pues nn +1 = 1. +1 La siguiente afirmación es clave en la demostración de los teoremas de Sylow. Proposición 9.2.4. Sean p primo, m ∈ Z+ , m.c.d.(p, 1, r ≥ 0, 0 ≤ k ≤ n. m)r = pr m −k Entonces, la mayor potencia de p que divide a pk es p . Demostración. Nótese en primer lugar que r pm pr −k m( pr m − 1) · · · ( pr m − ( pk − 1)) . = 12 · · · (pk − 1) pk rm Consideremos el racional p de p que divide a i, entonces i −i , con 1 ≤ i ≤ pk − 1 < pk . Si pj es una potencia i = pj λ < pk ⇒ j < k ≤ r ⇒ pr m−i = pr− j+j m−pj λ = pj (pr−j m−λ) ⇒ pj |pr m−i, es decir, pj es también una potencia que divide a pr m − i. Sea ahora pj una potencia de p que divide a pr m−i, entonces pr m−i = pj λ luego r p m−pj λ = i y j ≤ r, de lo contrario, pr m−pj−r+r λ = i y entonces pr (m−pj−r λ) = i luego i ≥ pr ≥ pk , lo cual es falso. Por lo tanto, pr+ j− j mpj λ = i ⇒ pj (pr−j m − λ) = i ⇒ pj |i. r r k m−(p −1)) En conclusión, como m.c.d. (m, p) = 1, entonces el racional m(p m−1)···(p 1,2···(pk −1) es libre de potencias de p. r r m−pk+1 ) r r Resta ver que pr−k | ppkm . Sea c = ppkm y m(p m−1)···(p = ab , donde esta 1,2···(pk −1) última fracción ya está libre de factores p en su numerador y denominador. Entonces r c = pr−k ab , luego cb = pr−k a, es decir, pr−k | c. Nótese que pr−k+1 no divide a ppkm , ya que de lo contario ab pr−k = pr−k+1 λ y entonces ab = pλ, lo cual ya probamos no se tiene. 9.3. TEOREMAS 9.3. 103 Teoremas Teorema 9.3.1 (Teoremas de Sylow). Sea G un grupo finito y sea p un número primo que divide al orden de G. Entonces: (i) Existencia: para cada potencia pα que divide al orden de G, existe en G un subgrupo de orden pα . Además, si pα+1 divide también a | G| entonces cada subgrupo de orden pα está incluido en un subgrupo de orden pα+1 . En particular, los p-subgrupos de Sylow de G existen y son los subgrupos de G de orden pr , donde pr es la máxima potencia de p que divide al orden de G. (ii) Conjugación: todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados en G. (iii) Cantidad: la cantidad de los p-subgrupos de Sylow de G es congruente con 1 módulo p y divide al orden del grupo G. Demostración. (i) Existencia: sea n el orden del grupo G y sea pr la máxima potencia de p que divide a n. Sea pues n := pr m, donde m.c.d.(p, m) = 1. Consideremos el conjunto M de todos los subconjuntos de G que contiene pα elementos. Puesto que G actúa sobre sı́ mismo de la manera trivial G × G → G, (g, x) 7→ gx, se induce entonces una acción de G sobre M. Demostraremos en primer lugar que la acción de G sobre M determina una órbita de s elementos {M1 , . . . , Ms } tal que pr m r−α+1 p no divide a s: sabemos que card(M ) = pα ; si la longitud de cada una de las órbitas determinadas en M por el grupo G es divisible por pr − α + 1 , entonces pr − α + 1 divide a card(M ) debido a la ecuación de clases, pero esto no es posible según la proposición 9.2.4. Sea G1 el sugrupo estacionario de M1 . Queremos demostrar que G1 es de orden α p . Sea |G1 | = t. Entonces de acuerdo con el teorema de Lagrange |G : G1 | |G1 | = |G|, es decir, st = pr m. Sea pw la mayor potencia de p que divide a s y pv la mayor potencia de p que divide a t, es decir, s = pw a, t = pv b. Entonces la mayor potencia de p que divide a st, es decir a n , es pw+v . Por lo tanto w +v = r. Pero como pr −α +1 no divide a s, entonces w < r − α + 1, es decir, w ≤ r − α, de aquı́ obtenemos que v = r − w ≥ α y por lo tanto pα | pv | t. Ası́ pues, pα | t y con esto t ≥ pα . Sea ahora x ∈ M1 . Nótese que G1 x ⊆ M1 . En efecto, sea g ∈ G1. Entonces gx ∈ gM1 = M1 , es decir gx ∈ M1 y ası́ obtenemos la inclusión mencionada. De esta inclusión obtenemos que |G1 | = |G1 x| ≤ |M1 | = pα , es decir, t ≤ pα . De t ≥ pα y t ≤ pα obtenemos que |G1 | = t = pα . Hemos probado pues que el grupo G contiene necesariamente un subgrupo de orden pα ; el subgrupo G1 . Pasamos ahora a demostrar la segunda afirmación del primer teorema de Sylow. 104 CAPÍTULO 9. TEOREMAS DE SYLOW Supóngase que pα +1 divide a n = |G| y sea P un subgrupo de G de orden pα . Consideremos la acción de conjugación sobre el conjunto S de subgrupos del G. Sea C la órbita del subgrupo P , es decir, C = {gP g −1 | g ∈ G} = P G . Recordemos que |C| = |G : NG (P )|, con NG (P ) el normalizador de P en G (= grupo estacionario de P mediante la acción de conjugación). Nótese que |C| = |G| ⇒ |G| = |C||NG (P )|. |NG (P )| Consideremos 2 posibilidades: si p no divide a |C| entonces como pα+1 | |G| entonces necesariamente pα+1 | |NG (P )|. Nótese que entonces p divide al orden del grupo cociente NG (P )/P . Según lo demostrado en la primera parte, NG (P )/P debe contener un subgrupo de orden p. Según el teorema de correspondencia ∗ dicho ∗subgrupo es de la forma P ∗ /P , donde P ∗ ≤ G. Por lo tanto, |P ∗ /P | = |P|P || = |PP α| = p luego |P ∗ | = pα+1 y entonces P ∗ es el subgrupo buscado. Analicemos ahora la segunda posibilidad: p | |C|. Consideremos nuevamente el conjunto C de los subgrupos de G conjugados con P . El subgrupo P actúa sobre C mediante la conjugación, es decir, si gP g −1 ∈ C con g ∈ G, entonces x( gP g −1 )x−1 ∈ C para cada x ∈ P . Como es sabido la longitud de las órbitas determinadas mediante esta acción dividen al orden del grupo P , es decir, dichas longitudes son de la forma pαi , con 0 ≤ αi ≤ α. Nótese que uno de los elementos de C es el subgrupo P , por lo tanto, la órbita por él determinada consta de un sólo elemento; el mismo subgrupo P . Sean O1 = {P }, O2 , . . . , Os las órbitas que determina la acción de P sobre C. Entonces según la ecuación de clases |C| = 1 + |O2 | + · · · + |Os |. Puesto que p | |C| y las longitudes de las orbitas O2 , . . . , Os son potencias de p entonces debe existir al menos otra órbita con un sólo elemento Q; de lo contrario p|1, lo cual es falso. Q es por lo tanto un subgrupo conjugado con P tal que xQx−1 = Q para cada x ∈ p; es decir, P normaliza Q. Tenemos pues en G, P y Q subgrupos conjugados tales que P normaliza Q y P es un p-subgrupo de G. Según la proposición 9.1.8, P Q es un p-subgrupo de G. Como Q es conjugado con P existe g ∈ G tal que P = gQg −1 . En la prueba de la proposición 9.1.8 se vió que Q es subgrupo normal de P Q, nótese que en realidad la contenencia es propia: si Q = P Q entonces P ≤ P Q = Q luego P ≤ Q, pero |P | = |Q| luego P = Q, lo cual es falso. P Q/Q es un p-subgrupo no trivial, entonces p | |P Q/Q| por lo tanto en P Q/Q hay un subgrupo Q∗ /Q de orden p luego |Q∗ | = p |Q| = pα+1 y entonces Q ≤ Q∗ 9.3. TEOREMAS 105 donde |Q∗ | = pα+1 se tiene pues que g −1 P g = Q ≤ Q∗ luego P ≤ gQ∗ g −1 y |gQ∗ g −1 | = pα+1 . Para terminar la demostración del primer teorema de Sylow mostremos que los p-subgrupos de Sylow de G son los subgrupos de G de orden pr , donde pr es la máxima potencia de p que divide al orden de G. Demostramos en primer lugar la siguiente afirmación consecuencia directa del primer teorema de Sylow. Afirmación. Sea G un grupo finito y sea H ≤ G, un p-subgrupo de G. Entonces |H| = pn , n ≥ 0. En efecto, sea H 6= {1}, y sea q | |H| donde q es un primo diferente de p. Entonces, H contiene un subgrupo de orden q, el cual es cı́clico, es decir, H contiene un elemento de orden q. Pero esto contradice que H es un p-grupo. Por lo tanto, el único primo que divide el orden de H es p, por lo tanto |H| = pn , n ≥ 0. Regresamos sobre los p-subgrupos de Sylow de G. Sea H un p-subgrupo de Sylow de G. Entonces, según la afirmación anterior |H| = pα , 0 ≤ α ≤ r. Si α 6= r entonces H está incluido en un grupo de orden pα+1 . Pero esto contradice la condición de ser H maximal. Por lo tanto, |H| = pr . Sea ahora K un p-subgrupo de G de orden pr donde pr es la máxima potencia de p que divide al orden de G. Sea H un p-subgrupo de G que contiene a K; como vimos, |H| = pα , pero como pr es la máxima potencia de p que divide a |G| entonces α = r y ası́ H = K, es decir, K es maximal y por lo tanto K es un p-subgrupo de Sylow de G. Hemos concluido la demostracion del primer teorema de Sylow. (ii) Conjugación: sean nuevamente G a un grupo de orden n y sea pr la máxima potencia de p que divide a n, n = pr m, donde m.c.d.(p, m) = 1. Sea P un psubgrupo de Sylow de G, es decir, |P | = pr . Consideremos nuevamente la acción de conjugación sobre el conjunto S de los subgrupos de G. Sea C la órbita del subgrupo P , es decir C = {gP g −1 | g ∈ G} = P G , en otras palabras, C es el conjunto de todos los subgrupos de G conjugados con P . Sea Q otro p-subgrupo de Sylow de G. Se desea probar que Q ∈ C. El subgrupo Q actúa nuevamente con la acción de conjugación sobre C, dividiendo a C en órbitas. La longitud de cada órbita divide al orden de Q, |Q| = pr . Por lo tanto la longitud de cada órbita es de la forma pα con 0 ≤ α ≤ r. Nótese que |C| = |NG|G|(P )| o también |C| |NG (P )| = |G| = pr m, como P ≤ NG (P ) entonces |P | = pr | |NG (P )|. Puesto que pr es la máxima potencia de p que divide a n = |G| entonces p no divide a |C|. Por lo dicho anteriormente, debe existir al menos una órbita de un sólo elemento P 0 . Esto implica que para cada x ∈ Q se tiene que xP 0 x−1 = P 0 , es decir, Q normaliza P 0 . Además, como P 0 es conjugado con P , entonces P 0 es un p-subgrupo de Sylow. Tenemos pues que Q/P 0 ∩ Q es un p-grupo. Se tiene el isomorfismo P 0 Q/P 0 ∼ = Q/P 0 ∩ Q. Puesto que P 0 es un p-grupo y P 0 Q/P 0 también lo es, entonces P 0 Q es un p-subgrupo 106 CAPÍTULO 9. TEOREMAS DE SYLOW de G. Nótese que P 0 ≤ P 0 Q, Q ≤ P 0 Q; como P 0 y Q son p-subgrupos de Sylow, entonces P 0 = P 0 Q = Q. (iii) Cantidad : como P un p-subgrupo de Sylow de G todos los p-subgrupos de Sylow de G están en P G , además cada subgrupo gP g −1 de P G es un p-subgrupo de Sylow. La primera afirmación fue demostrada en 2) y la segunda se desprende de que |gP g −1 | = |P |. Por lo tanto el número de p-subgrupos de Sylow de G es igual al cardinal de P G . Puesto que P G |NG (P )| = |G| entonces el número de p-subgrupos de Sylow de G divide el orden de G. P actúa sobre P G mediante la acción de conjugación determinado al menos una órbita de un solo elemento: {P }. Supóngase que P determina otra órbita de un solo elemento Q, Q 6= P . Entonces se tiene que P y Q con conjugados, P normaliza Q, P es un p-subgrupo. De aquı́ obtenemos que P Q es un p-subgrupo y además P es subgrupo propio de P Q. Esto contradice el hecho de que P es maximal. Por lo tanto, P determina sobre P G sólo una órbita unitaria. Ya que las longitudes de las órbitas dividen a pr = |P | entonces P G ≡ 1 (mód p). 9.4. Aplicaciones Proposición 9.4.1. Sea G un grupo finito y sea H un p-subgrupo de Sylow de G. Entonces, H E G ⇔ H es único. Demostración. ⇒): Sea K un p-subgrupo de Sylow, entonces K = xHx−1 = H luego H es único. ⇐): Sea x ∈ G entonces |xHx−1 | = |H| luego xHx−1 es p-subgrupo de Sylow, de donde xHx−1 = H, y por lo tanto H E G. Corolario 9.4.2. Sea G un grupo finito y sea H el p-subgrupo de Sylow de G tal que H E G. Entonces H = {x ∈ G | |x| es una potencia de p}. Demostración. Sea x ∈ H, como H por definición es p-subgrupo entonces |x| es una potencia de p. De otra parte, sea x ∈ G tal que |x| = pα entonces hxi es un p-subgrupo de G por lo tanto hxi está contenido en el único p-subgrupo de Sylow de G. La proposición anterior sirve para caracterizar todos los subgrupos de orden pq con p > q y p, q primos Proposición 9.4.3. Sea G un grupo de orden pq con p y q primos y con p > q. Entonces: (i) G ∼ = Zpq ó (ii) G es no abeliano y se tiene que G = Gpq := ha, b | ap = 1, bq = 1, bab−1 = ak con k 6≡ 1 (mód p) y k q ≡ 1 (mód p), p ≡ 1 (mód q) i. 107 9.4. APLICACIONES Demostración. G contiene al menos un subgrupo de Sylow H = hai de orden p y un subgrupo de Sylow K = hbi de orden q. Sean np y nq el número de tales subgrupos de Sylow, como p > q entonces np = 1. De aquı́ se afirma que H E G. Para nq se tienen entonces dos posibilidades, nq = 1 ó nq = p. Caso 1. En G sólo hay un subgrupo de Sylow de orden q. Entonces K E G y −1 −1 aba b ∈ H ∩ K = 1, luego ab = ba y entonces G ∼ = Zpq . Caso 2. En G hay p subgrupos de Sylow de orden q. Esto implica que p ≡ 1 (mód q). Veamos que esta situación es descrita por b). G no es abeliano, en caso contrario nq = 1, como H E G existe 1 < k < p tal que bab−1 = ak y k 6≡ 1(p). Si fuese k ≡ 1(p) entonces: p|(k − 1) luego ak−1 = 1 con lo cual ak = a de donde ab = ba es decir, G ∼ = Zpq y G serı́a abeliano. 2 Nótese que escogiendo k entre 1 y p tal k es único. Obsérvese que b2 ab−2 = ak . 2 En efecto,(ak )k = ak = (bab−1 )k = bak b−1 = b(bab−1 )b−1 = b2 ab−2 . Podemos generalizar esta relación por inducción y probar que n bn ab−n = ak , n ≥ 0. (9.4.1) q Tomando en particular n = q obtenemos que a = ak luego p|(k q − 1) y de esta forma k q ≡ 1(p). Sea W = ha, bi ≤ G; y sea x ∈ W . Entonces x = ar1 bl1 · · · arm blm , 0 ≤ ri ≤ p−1, 0 ≤ li ≤ q − 1 , 0 ≤ i ≤ m. Consideremos el producto bl ar con 0 ≤ l ≤ q − 1 , n 0 ≤ r ≤ p − 1. De (9.4.1) se desprende que bn ar b−n = ark , n ≥ 0, r ≥ 0. De n aquı́ obtenemos que bn ar = ark bn de esta relación se obtiene que cada elemento x ∈ G toma la forma x = ar bl con 0 ≤ r ≤ p − 1, 0 ≤ l ≤ q − 1. Tales x tenemos máximo pq. Veamos que son exactamente pq. Sean 0 ≤ r, s ≤ p − 1 y 0 ≤ l, m ≤ q − 1 tales que ar bl = as bm entonces bm−l = ar−s ∈ hai ∩ hbi por lo tanto bm−l | p, bm−l | q luego bm−l = 1. Por la condición de m y l se tiene que m = l. Análogamente r = s. Ası́ pues, |W | = pq con lo cual G = W . Hemos probado pues que G cumple todas las condiciones de b), por último notemos la regla de multiplicación en Gpq y escribamos sus elementos: Gpq = 1, a, a2 , . . . , ap−1 ; b, b2 , . . . , bq−1 ; ab, ab2 , . . . , abq−1 ; . . . , ap−1 b, . . . , ap−1 bq−1 , l ar bl as bm = ar+sk bl+m , r, l, s, m ≥ 0. Proposición 9.4.4. Sea p primo impar y G un grupo de orden 2p. Entonces, G ∼ = Z2p ó G ∼ = Dp . Demostración. Si G es abeliano entonces G ∼ = Z2p . En caso contrario existen a, b ∈ G −1 k tales que |a| = p, |b| = 2, bab = a con k 6≡ 1(p), k 2 ≡ 1(p), p ≡ 1(2), 2 ≤ k ≤ p−1. 108 CAPÍTULO 9. TEOREMAS DE SYLOW Supóngase que k ≤ p − 2. Como p|(k 2 − 1) ⇒ p|k + 1 ó p|k − 1. Por la condición de k obtenemos una contradicción. Ası́, k = p − 1 y bab = ap−1 = a−1 . Entonces, G∼ = Dp . Corolario 9.4.5. Los grupos de orden 6 son Z6 y D3 ∼ = S3 . Demostración. Consecuencia directa de la proposición anterior. Proposición 9.4.6. Los grupos no abelianos de orden 8 son D4 y Q8 . Demostración. Sea G un grupo no abeliano de orden 8. Entonces en G debe existir al menos un elemento a de orden 4. En efecto, si todos los elementos 6= 1 tienen orden 2 entonces G es abeliano. G tampoco posee elementos de orden 8, ya que en caso contrario serı́a cı́clico y por lo tanto abeliano. Puesto que |G : hai| = 2 entonces hai E G. Evidentemente existe al menos un elemento b en G tal que b ∈ / hai . Nótese que los elementos 1, a, a2 , a3 , b, ba, ba2 , ba3 son diferentes, con lo cual G = ha, bi. Puesto que |G : hai| = 2 entonces b2 ∈ hai. En efecto, como en G/ hai sólo hay dos clases entonces b2 6= b (de lo contrario, b = 1 y ası́ b ∈ hai ). Se presentan entonces las siguientes posibilidades: b2 = 1, a, a2 , a3 ; b2 = a ⇒ b8 = a4 = 1 ⇒ |b| = 8, falso. b2 = a3 ⇒ b8 = a12 = 1 ⇒ |b| = 8 falso. Se tiene entonces que b2 = 1 ó b2 = a2 . De otra parte como hai E G entonces bab−1 = 1, a, a2 , a3 . bab−1 = 1 ⇒ a = 1, falso. bab−1 = a ⇒ ab = ba ⇒ G es abeliano, falso. bab−1 = a2 ⇒ |bab−1 | = |a| = |a2 | = 4 = 2, imposible. En total, bab−1 = a3 = a−1 . Se tiene pues que G es un grupo generado por dos elementos a y b para los cuales a4 = 1, b2 = 1, bab−1 = a−1 ó a4 = 1, b2 = a2 , bab−1 = a−1 . En el primer caso G∼ = D4 y en el segundo G ∼ = Q8 . Proposición 9.4.7. Los grupos no abelianos de orden 12 son: A4 , D6 y T := ha, b | a6 = 1, b2 = a3 , bab−1 = a−1 i. Demostración. Sea H un subgrupo de Sylow de G de orden 3: H = hci. Mediante el refinamiento del teorema de Cayley (véase el ejemplo 8.2.6) podemos definir un homomorfismo Φ : G → S (G/H) ∼ = S4 Nótese que ker(Φ) ⊆ H (ker(Φ) es el subgrupo normal más grande de G contenido en H) luego ker(Φ) = 1 ó ker(Φ) = H. Si ker(Φ) = 1 entonces G es isomorfo a un subgrupo de S4 de orden 12. Pero se puede probar que si n ≥ 2, G ≤ Sn y |G| = n!2 entonces G = An (véase el ejecicio 6 del presente capı́tulo). 9.4. APLICACIONES 109 Supongamos ahora que ker(Φ) = H, entonces H es normal en G y por lo tanto H es el único 3-subgrupo de Sylow. Entonces, en G sólo hay dos elementos de orden 3: c y c2 . Puesto que dos elementos conjugados tienen el mismo orden entonces cG = 1 ó 2 luego |CG (c)| = 12 ó 6. En cualquiera de los dos casos CG (c) contiene un elemento d de orden 2. Como cd = dc, sea pues a := cd entonces |a| = 6 con lo cual hai E G y |G/ hai| = 2. Sea b ∈ G con b ∈ / hai, entonces b2 ∈ hai (véase la prueba de la proposición 9.4.6), 2 2 3 4 5 luego b = 1, a, a , a , a , a ; también, bab−1 ∈ hai ⇒ bab−1 = 1, a, a2 , a3 , a4 , a5 . bab−1 = 1 ⇒ a = 1, falso. bab−1 = a ⇒ ab = ba ⇒ ha, bi es abeliano, pero este subgrupo tiene 12 elementos y coincide entonces con G, falso. 3 bab−1 = a2 ⇒ (bab−1 ) = 1 ⇒ ba3 b−1 = 1 ⇒ a3 = 1, falso. 2 bab−1 = a3 ⇒ (bab−1 ) = 1 ⇒ a2 = 1, falso. 3 bab−1 = a4 ⇒ (bab−1 ) = 1 ⇒ a3 = 1, falso. bab−1 = a5 = a−1 ⇒ bab−1 = a−1 , esta es una entonces una condición necesaria en G. b2 = 1, esta es una posibilidad. 6 b2 = a ⇒ (b2 ) = 1 ⇒ b12 = 1 ⇒ |b| | 12, luego |b| = 1 ⇒ b = 1, falso. |b| = 2 ⇒ b2 = 1 = a, falso. |b| = 3 ⇒ b2 b = 1 ⇒ ab = 1 ⇒ b ∈ hai, falso. |b| = 4 ⇒ b4 = a2 = 1, falso. |b| = 6 ⇒ b6 = a3 = 1, falso. ⇒ |b| = 12 ⇒ G es abeliano, falso. 2 b2 = a2 : puesto que bab−1 = a−1 ⇒ (bab−1 ) = a−2 ⇒ ba2 b−1 = a−2 ⇒ bb2 b−1 = −2 a ⇒ b2 = a−2 = a2 ⇒ a4 = 1, falso. b2 = a3 , esta es una posibilidad. 4 b2 = a4 : (bab−1 ) = a−4 ⇒ ba4 b−1 = a−4 ⇒ bb2 b−1 = a−4 ⇒ b2 = a−4 = a4 ⇒ a8 = 1 ⇒ 6|8, imposible. 6 6 b2 = a5 ⇒ (b2 ) = (a5 ) = 1 ⇒ b12 = 1 ⇒ |b| | 12, luego |b| = 1 ⇒ b = 1, falso. |b| = 2 ⇒ a5 = 1, falso |b| = 3 ⇒ a15 = 1 ⇒ 6|15, falso. |b| = 4 ⇒ a10 = 1, falso. |b| = 6 ⇒ a15 = 1, falso. |b| = 12 ⇒ G es abeliano, falso. Resumiendo los resultados anteriores obtenemos que si G es un grupo no abeliano de orden 12 entonces: G es A4 o en G se tienen dos elementos a y b tales que 110 CAPÍTULO 9. TEOREMAS DE SYLOW a6 = 1, b2 = 1, bab−1 = a−1 , o en G hay dos elementos a , b tales que a6 = 1, b2 = a3 , bab−1 = a−1 . Veamos que en los dos últimos casos G = ha, bi. En ambas situaciones consideremos el conjunto C := ak bm | 0 ≤ k ≤ 5, 0 ≤ m ≤ 1 y sean 0 ≤ k1 , k2 ≤ 5, 0 ≤ m1 , m2 ≤ 1 tales que ak1 bm1 = ak2 bm2 ⇒ ak1 −k2 = bm2 −m1 . Supongamos que m2 6= m1 y por ejemplo m2 > m1 entonces ak1 −k2 = b ∈ hai, falso, luego m2 = m1 y k1 = k2 . Ası́ pues, en A hay 12 elementos y en consecuencia G = ha, bi. En total obtenemos que si G es un grupo no abeliano de orden 12, entonces G es alguno de los siguientes grupos: A4 , D6 = a, b | a6 = 1, b2 = 1, bab−1 = a−1 , T = a, b | a6 = 1, b2 = a3 , bab−1 = a−1 . 9.5. Ejercicios 1. Sea G un grupo formado por dos elementos x, y tales que (i) xp = 1 (es decir x es de orden p); (ii) y q = 1 (es decir y es de orden q < p); (iii) Existe 1 < k0 < p, k0 6≡ 1(p) tal que yxy −1 = xk0 ; (iv) k0q ≡ 1 (p); (v) p ≡ 1 (q). Entonces, G ∼ = Gpq . 2. Demuestre que ningún grupo de orden pq es simple, donde p, q son primos. 3. Demuestre que todo grupo de orden 15 es cı́clico. 4. Demuestre que todo grupo de orden 35 es cı́clico. 5. Demuestre que todo grupo de orden 77 es cı́clico. 6. Demuestre que si n ≥ 2, H ≤ Sn , |H| = de la proposición 9.2.2). n! 2 ⇒ H = An (véase la demostración 7. Calcule todos los 3-subgrupos de Sylow del grupo T . 8. Calcule el grupo Aut(T ). 9. Calcule el grupo Aut(Gpq ). Capı́tulo 10 Grupos abelianos finitos El objetivo central de este capı́tulo es describir para un entero positivo dado n todos los grupos abelianos de orden n (salvo isomorfismo). La descripción se hará en términos de p-grupos cı́clicos, los cuales, como veremos, son indescomponibles. Se establecerá además un criterio para la unicidad de dicha descomposición. 10.1. p-grupos abelianos finitos Comenzamos probando que todo grupo finito G de orden n = pr11 · · · prkk es suma directa de sus subgrupos de Sylow si, y sólo si, estos son normales. En el caso de ser G abeliano esta condición se da automáticamente y podemos enunciar el siguiente teorema. Teorema 10.1.1. Sea G un grupo finito de orden n, |G| = n = pr11 · · · prkk ; p1 , . . . , pk primos diferentes y r1 , . . . , rk ≥ 1. Entonces, G es suma directa de sus subgrupos de Sylow si, y sólo si, estos son normales en G: G = P1 ⊕ · · · ⊕ Pk , (10.1.1) donde Pi es el pi -subgrupo de Sylow de G, 1 ≤ i ≤ k. En particular, si G es abeliano, entonces G es suma directa interna de sus subgrupos de Sylow. Demostración. ⇒): Si G es suma directa de sus subgrupos de Sylow, entonces por la definición de suma directa, cada sumando es necesariamente subgrupo normal de G. ⇐): Para 1 ≤ i ≤ k, sea Pi un pi -subgrupo de Sylow de G tal que Pi es un subgrupo normal de G. Entonces Pi es único. Probaremos entonces que (10.1.1) se cumple. Veremos que cada elemento x ∈ G tiene una representación única en la forma x = x1 · · · xk , donde xi ∈ Pi , 1 ≤ i ≤ k. 111 112 CAPÍTULO 10. GRUPOS ABELIANOS FINITOS (a) Por razones de orden de sus elementos, para i 6= j se tiene que Pi ∩ Pj = 1. (b) A partir de (a) se obtiene que para i 6= j los elementos de Pi conmutan con los de Pj . (c) El neutro 1 de G tiene representación única: sean xi ∈ Pi , 1 ≤ i ≤ k tales que 1 = x1 · · · xk . Sea si = |xi |, entonces si = pαi i , 0 ≤ αi ≤ ri . Sea s = αi−1 αi+1 s1 · · · si−1 si+1 · · · sk , entonces 1s = xsi , luego si |s y pαi i |pα1 1 c · · · pi−1 pi+1 · · · pαk k . Esto implica que αi = 0, luego si = 1, es decir, xi = 1, para cada 1 ≥ i ≥ k. (d) Cada elemento x ∈ G se puede representar en la forma única anunciada: sea x ∈ G de orden r de tal forma que r|n y r = ps11 . . . pskk , donde 0 ≤ si ≤ ri con 1 ≤ i ≤ k. Sea ui = prsi , entonces m.c.d.(u1 , . . . , uk ) = 1. Existen entonces enteros i t1 ,s. . . , tk tales que 1 = t1 u1 + · · · + tk uk , sea xi = xti ui , 1 ≥ i ≥ k. Nótese que si si p i xi i = (xti ui )pi = xti ui pi = xti r = 1; luego xi ∈ Pi . Nótese ahora que x1 · · · xk = xt1 u1 · · · xtk uk = xt1 u1 +···+tk uk = x1 = x. A partir de (b) y (c) se obtiene que esta representación es única. Corolario 10.1.2. Sea n = pr11 · · · prkk . Entonces, Zn ∼ = Zpr11 × · · · × Zprkk . Demostración. Consecuencia inmediata del teorema anterior. El objetivo central en la descripción de los grupos abelianos finitos consiste en expresar G como suma directa de subgrupos de estructura simple y conocida, como por ejemplo a tráves de subgrupos cı́clicos. Desde luego que sobre estos subgrupos habrá que colocar alguna restricción ya que de lo contrario la descomposición no serı́a única. Nótese por ejemplo que Z6 ∼ = Z2 × Z3 . Nuestro objetivo inmediato es estudiar los p-grupos abelianos finitos, es decir, los grupos abelianos cuyo orden es de la forma pn , n ≥ 0. Proposición 10.1.3. Si G es un grupo cı́clico de orden pn , entonces G no se puede descomponer en suma directa de subgrupos cı́clicos de orden menor, es decir, G es irreducible. Demostración. Sabemos que G ∼ = Zpn ∼ = Cpn . Probemos inicialmente que los únicos subgrupos de Cpn son los subgrupos de la cadena {1} = Cp0 ⊂ Cp1 ⊂ Cp2 ⊂ · · · ⊂ Cpn−1 ⊂C pn . Sea K ≤ Cpn , entonces |K| | pn , luego |K| = pα , 0 ≤ α ≤ n; sea x K, entonces α xp = 1 de donde K ≤ Cpα y K = Cpα . Ahora si existieran H, K en Cpn tales que Cpn = H ⊕ K entonces H = Cpα , K = Cpβ , H ∩ K = {1}. Para α y β dados se tiene que α ≤ β o β ≤ α. En el primer caso H ≤ K y H ∩ K = H = {1} luego α = 0 y β = n. En el segundo caso K ≤ H, H ∩ K = K = {1} y entonces α = n, β = 0. En total, la única descomposición de Cpn es la trivial: Cpn = {1} ⊕ Cpn . 10.1. P -GRUPOS ABELIANOS FINITOS 113 Ejemplo 10.1.4. Z4 y Z2 ⊕ Z2 no son isomorfos; Z9 y Z3 ⊕ Z3 no son isomorfos. Teorema 10.1.5. Cada p-grupo abeliano finito G es suma directa de subgrupos cı́clicos. Demostración. Sea G un p-grupo abeliano finito, entonces |G| = pn , con n ≥ 0. La prueba se realiza por inducción sobre n. Si n = 0 ó n = 1, entonces G es cı́clico y no hay nada más que demostrar. Sea n ≥ 2. Suponemos que el teorema ya ha sido probado para grupos de orden pα con 0 ≤ α < n. Sea G de orden pn . Si G es cı́clico entonces según la proposición anterior la única descomposición de G es la trivial: G = {1} ⊕ G. Supóngase que G no es cı́clico. Cada elemento a de G, a 6= 1, tiene orden de la forma |a| = pβ , 0 < β < n. Escojamos un a 6= 1 que tenga orden maximal pm (esto quiere decir que no existe y en G tal que |y| = pm+1 ). n Consideremos el grupo cociente Ḡ = G/hai. Puesto que |Ḡ| = ppm = pn−m y 0 < n − m < n entonces según la hipótesis inductiva Ḡ = Ḡ1 ⊕ · · · ⊕ Ḡr , donde cada Ḡi es un subgrupo cı́clico de Ḡ de orden |Gi | = pmi , 1 ≤ mi ≤ n−m, 1 ≤ i ≤ r; además m1 + m2 + · · · + mr = n − m. Sea Ḡi = hδ̄i i, δ̄i = δi hai, δi G, 1 ≤ i ≤ r. Serı́a lógico pensar que G = hδ1 i ⊕ · · · ⊕ hδr i⊕iai. Sin embargo no es este el caso, pero con ayuda de los elementos δ1 , . . . , δr construiremos otros a1 , . . . , ar y para ello probaremos que G = ha1 i ⊕ ha2 i ⊕ · · · ⊕ har i ⊕ hai. pmi pmi pmi Nótese que para cada 1 ≤ i ≤ r, ( δ̄ = (δ ) = 1̄ por lo tanto δ hai y i) i i pmi si m αi entonces δi = a con 0 ≤ si < p . Sea |bi | = p con 1 ≤ αi ≤ m, entonces α α pmi pαi (bi ) = (asi )p i , luego 1 = asi p i , con lo cual pm |si pαi y existe entonces ti tal que si = ti pm−αi . Definimos ai =: δi a−ti , 1 ≤ i ≤ r. Nótese que para cada 1 ≤ i ≤ r āi = δ̄i : en efecto, āi = ai hai = δi hai = δ̄i ya que ai δi−1 = a−ti hai. De aquı́ obtenemos que hāi i = hδ̄i i = Ḡi , 1 ≤ i ≤ r. Por lo tanto, Ḡ = hāi i ⊕ · · · ⊕ hār i. Sea x un elemento cualquiera de G. Entonces x̄ = x̄1 · · · x̄r , donde x̄i hai i, 1 ≤ i ≤ r, resulta x̄i = āi ki , 0 ≤ ki < pmi , luego x̄i = aki i y entonces x̄ = ak11 · · · akr r , es decir, x(ak11 · · · akr r )−1 = ak ∈ hai, con lo cual x = ak11 · · · akr r ak . Se ha probado que cada elemento x de G se expresa como producto de elementos de ha1 i · · · har i y hai. Queda por demostrar que la representación es única. Para esto es suficiente demostrar la unicidad de la representación del elemento identidad 1. Sea 114 CAPÍTULO 10. GRUPOS ABELIANOS FINITOS 1 = ak11 · · · akr r ak con 0 ≤ ki < pmi , 0 ≤ k < pm . Mediante el homomorfismo G → G /hai obtenemos 1̄ = ak11 · · · akr r , luego ak11 = 1̄ · · · akr r = 1̄ ya que G = G1 ⊕ · · · ⊕ Gr y aki i Gi , 1 ≤ i ≤ r, por lo tanto, aki i hai, 1 ≤ i ≤ r, y entonces aki i = az , con 0 ≤ z < pm . Se tiene que δiki a−ti ki = az , luego δiki = az+ti ki , es decir, δiki = az+ti ki = 1 y entonces (δi )ki = 1̄. Como |δi | = pmi y 0 ≤ ki < pmi , entonces ki = 0, 1 ≤ i ≤ r, y de esta forma 1 = ak . Como 0 ≤ k < pm y |a| = pm , luego k = 0. El teorema anterior ha probado que cada grupo abeliano finito de orden pn se descompone en suma directa de subgrupos cı́clicos G = G1 ⊕ · · · ⊕ Gr , donde |Gi | = pmi , 1 ≤ mi ≤ n, 1 ≤ i ≤ r, m1 + · · · + mr = n, 1 ≤ r ≤ n (Nótese que aquı́ se ha incluido el caso trivial en el que G es cı́clico y r = 1). Vale la pena entonces preguntar sobre la unicidad de la descomposición anterior. Teorema 10.1.6. Si el grupo abeliano finito G se descompone en dos formas en producto de subgrupos cı́clicos G = G1 ⊕ · · · ⊕ G r = H1 ⊕ · · · ⊕ Hs , entonces r = s y los órdenes |Gi | coinciden con los órdenes |Hj | después de una reordenación de ı́ndices. Demostración. Este resultado se puede enunciar y probar de una manera más general usando teorı́a de módulos, omitimos sun demostración e invitamos al lector a consultar [9]. 10.2. Sistemas de invariantes Según el teorema 10.1.5 cada p-grupo abeliano finito G, |G| = pn , determina un arreglo ordenado (pm1 , . . . , pmr ) conformada por los órdenes de los subgrupos cı́clicos de su descomposición: G = G1 ⊕ · · · ⊕ Gr , |Gi | = pmi , La suma directa se puede reordenar de tal forma que m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr ≥ 1, 1 ≤ r ≤ n (se ha incluido el caso trivial cuando G es cı́clico y r = 1). Según el teorema 10.1.6, la longuitud r del arreglo ası́ como sus componentes pm1 , . . . , pmr , están determinadas unı́vocamente por el grupo G. Esta primera observación permite dar la siguiente definición. 10.2. SISTEMAS DE INVARIANTES 115 Definición 10.2.1. Sea G un p − grupo abeliano finito, (|G| = pn ). (i) Se dice que G es del tipo (pm1 , . . . , pmr ) si G es suma directa de subgrupos cı́clicos de órdenes pmi , 1 ≤ i ≤ r, m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr , 1 ≤ r ≤ n, m1 + · · · + mr = n; las componentes pm1 , . . . , pmr se denominan divisores elementales del grupo G. (ii) Sean A y B dos p − grupos abelianos finitos con el mismo sistema de divisores elementales (pm1 , . . . , pmr ). Entonces A = A1 × · · · × Ar , B = B1 × · · · × Br con Ai ∼ = Zpmi ∼ = Bi . El sistema de isomorfismos ϕi induce el isomorfismo ϕ:A→B ϕ(a1 , . . . , ar ) := (ϕ1 (a1 ), . . . , ϕr (ar )). Hemos probado entonces la siguiente proposición. Proposición 10.2.2. Con sus divisores elementales cada p-grupo abeliano finito queda determinado unı́vocamente salvo isomorfismo. Veamos en un ejemplo la ilustración de los resultados anteriores. Ejemplo 10.2.3. Sea p un primo cualquiera y n = 4. Determinemos todos los posibles grupos abelianos de orden p4 . Divisores elementales: (p4 ), (p3 , p), (p2 , p2 ), (p2 , p, p), (p, p, p, p). Salvo isomorfismo, únicamente se tienen los siguientes grupos distintos de orden p4 : Zp4 , Zp3 ⊕ Zp , Zp2 ⊕ Zp2 , Zp2 ⊕ Zp ⊕ Zp , Zp ⊕ Zp ⊕ Zp ⊕ Zp . El ejemplo anterior permite la siguiente generalización. Definición 10.2.4. Sea n un entero positivo. Una sucesión de enteros positivos (m1 , . . . , mr ) con m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr ≥ 1 y m1 + · · · + mr = n se denomina una partición de n. Sea p(n) el número de particiones de n. Ejemplo 10.2.5. n = 4: (4), (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1) ⇒ p(4) = 5. Proposición 10.2.6. Sea F la clase de todos los grupos abelianos no isomorfos de orden pn , n ≥ 1, y sea P el conjunto de todas las particiones de n. Existe una correspondencia biunı́voca entre F y P , es decir, el número de grupos abelianos no isomorfos de orden pn es finito e igual a p(n). Demostración. Según hemos visto, cada elemento G de F determina unı́vocamente su tipo (pm1 , . . . , pmr ) con m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr y m1 + · · · + mr = n. Tenemos pues la función 116 CAPÍTULO 10. GRUPOS ABELIANOS FINITOS h: F → P h(G) := (m1 , . . . , mr ). Cada partición (m1 , . . . , mr ) determina un único grupo (salvo isomorfismo) con sistema de divisores elementales (pm1 , . . . , pmr ). Ası́ pues, h es 1 − 1. Ahora, h es mr 1 claramente sobre: (m1 , . . . , mr ) determina (pm ), el cual a su vez determina 1 ,...,p Zpm1 ⊕ · · · ⊕ Zpmr . Ejemplo 10.2.7. (i) Determinemos todos los subgrupos abelianos de orden 4: 4 = 22 entonces en este caso p = 2, n = 2, luego (4), (2, 2) y ası́ los subgrupos son Z4 , Z2 ⊕ Z2 ∼ = V. (ii) Determinemos todos los grupos abelianos de orden 125: p = 5, n = 3 ⇒ (53 ), (52 , 5), (5, 5, 5) ⇒ Z125 , Z25 ⊕ Z5 , Z5 ⊕ Z5 ⊕ Z5 . Definición 10.2.8. Un grupo abeliano de orden pn con sistema de divisores elementales (p, . . . , p) (es decir, isomorfo a Zp ⊕ · · · ⊕ Zp ) se denomina grupo abeliano elemental. 10.3. Grupos abelianos finitos De los resultados de las secciones anteriores obtenemos las siguientes conclusiones. Teorema 10.3.1. Cada grupo abeliano finito es suma directa de p-subgrupos cı́clicos. Dos descomposiciones difieren sólo en el orden de disposición de los sumandos. Demostración. Sea G un grupo abeliano finito de orden n |G| = pn1 1 · · · pnk k , p1 , . . . , pk son primos diferentes. Entonces, según el teorema 10.1.1 G tiene una descomposición única en suma directa de sus subgrupos de Sylow (sus componentes primarias), G = P1 ⊕ · · · ⊕ Pk . Por el teorema 10.1.5 cada componente primaria Pi , 1 ≤ i ≤ k, se descompone en suma directa de subgrupos cı́clicos (componetes primarias cı́clicas). Además, según el teorema 10.1.6 cada componente primaria Pi determina unı́vocamente el número y orden de sus subgrupos cı́clicos: P1 = G11 ⊕ · · · ⊕ G1t1 , P2 = G21 ⊕ · · · ⊕ G2t2 , ... , Pk = Gk1 ⊕ · · · ⊕ Gktk , donde los Gij son pi -subgrupos cı́clicos. Entonces, G = G11 ⊕ · · · ⊕ G1t1 ⊕ G21 ⊕ · · · ⊕ G2t2 ⊕ · · · ⊕ Gk1 ⊕ · · · ⊕ Gktk . 10.3. GRUPOS ABELIANOS FINITOS 117 Si G tiene otra descomposición en suma directa de subgrupos primarios cı́clicos G = H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ H` , entonces podemos ordenar dichos sumandos de tal forma que colocamos todos los p1 -grupos a la izquierda, los p2 -grupos a la derecha a continuación y ası́ sucesivamente. Según el primer teorema de Sylow en esta nueva descomposición de G deben aparecer pi − grupos para cada primo pi , 1 ≤ i ≤ k. Además, según el segundo teorema de Sylow los pi −sumandos conforman el pi −subgrupo de Sylow de G. Luego según el teorema 10.1.6, los pi sumandos de la nueva descomposición deben ser tantos como ti , 1 ≤ i ≤ k, además los órdenes deben coincidir con los órdenes de Gi1 , . . . , Giti . El teorema anterior describe de manera completa los grupos abelianos finitos en términos de grupos primarios cı́clicos. Corolario 10.3.2. El número de grupos abelianos no isomorfos de orden n = pn1 1 · · · pnk k , p1 , . . . , pk primos diferentes es p(n1 )p(n2 ) · · · p(nk ), donde p(ni ) es el número de particiones del entero positivo ni , 1 ≤ i ≤ k. Demostración. Consecuencia directa del teorema anterior y de la proposición 10.2.6. Proposición 10.3.3 (Recı́proco del teorema de Lagrange para grupos abelianos finitos). Sea G un grupo abeliano finito y sea m ∈ Z+ tal que m||G|. Entonces G contiene al menos un subgrupo de orden m. mk 1 Demostración. Sea |G| = n = pn1 1 · · · pnk k y sea m|n, m = pm con 0 ≤ 1 · · · pk i mi ≤ ni , 1 ≤ i ≤ k. Existen en G subgrupos H1 , . . . , Hk de órdenes |Hi | = pm i , 1 ≤ i ≤ k. Como G es abeliano H1 · · · Hk ≤ G. Veamos que |H1 · · · Hk | = m. Para ello probemos que Hj ∩ (H1 · · · Hj−1 Hj+1 · · · Hk ) = 1, para cada 1 ≤ j ≤ k. m mj−1 1 Sea x ∈ Hj ∩ (H1 · · · Hj−1 Hj+1 · · · Hk ), entonces |x| | pj j y |x| | pm 1 · · · pj−1 m mj mj−1 mj+1 mk m1 k pj1j+1 · · · pm k luego |x| | d, donde d = m.c.d. (pj ; p1 · · · pj−1 pj+1 · · · pk ) = 1. Se tiene entonces que |x| = 1, es decir, x = 1. Ejemplo 10.3.4. (i) Determinemos todos los grupos abelianos de orden 1440. 1440 = 25 × 5 × 32 ; p(5): (5),(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1); p(1)=(1); p(2):(2),(1,1); ⇒ Z32 ⊕ Z5 ⊕ Z9 ; Z32 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3 Z16 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9 ; Z16 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3 Z8 ⊕ Z4 ⊕ Z5 ⊕ Z9 ; Z8 ⊕ Z4 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3 Z8 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9 ; Z8 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3 118 CAPÍTULO 10. GRUPOS ABELIANOS FINITOS Z4 ⊕ Z4 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9 ; Z4 ⊕ Z4 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3 Z4 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9 ; Z4 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3 , Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9 ; Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3 (ii)Veamos que Z72 ⊕ Z84 ∼ = Z36 ⊕ Z168 : ∼ ∼ Z ⊕ Z ⊕ Z Z72 ⊕ Z84 ∼ = 8 9 4 ⊕ Z3 ⊕ Z7 = Z9 ⊕ Z4 ⊕ Z8 ⊕ Z3 ⊕ Z7 = Z36 ⊕ Z168 (iii) ¿Son Z72 ⊕ Z12 y Z18 ⊕ Z48 isomorfos? Z72 ⊕ Z12 ∼ = Z8 ⊕ Z9 ⊕ Z4 ⊕ Z3 ∼ = Z8 ⊕ Z4 ⊕ Z9 ⊕ Z3 ⇒ (23 , 22 , 32 , 31 ); ∼ Z18 ⊕ Z48 = Z9 ⊕ Z2 ⊕ Z16 ⊕ Z3 ∼ = Z16 ⊕ Z2 ⊕ Z9 ⊕ Z3 ⇒ (24 , 21 , 32 , 31 ). Puesto que los sistemas de divisores elementales son distintos, entonces los grupos no son isomorfos. 10.4. Grupos de orden ≤ 15 Con la información obtenida en éste y el capı́tulo anterior podemos determinar (salvo isomorfismo) todos los grupos de orden ≤ 15. n Abelianos No abelianos 1 1 2 Z2 3 Z3 4 Z4 , V = ha, b|a2 = 1 = b2 , ab = bai 5 Z5 6 Z6 D3 = S3 7 Z7 8 Z8 , Z4 ⊕ Z2 , Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 D4 , Q8 9 Z9 , Z3 ⊕ Z3 10 Z10 D5 11 Z11 12 Z12 , Z6 ⊕ Z2 A4 , D6 , T = ha, b | a6 = 1, b2 = a3 , bab−1 = a−1 i 13 Z13 14 Z14 D7 15 Z15 10.5. Ejercicios 1. Determine todos los grupos abelianos de orden 81. 2. Determine todos los grupos abelianos de orden 1024. 3. ¿Son Z30 ⊕ Z20 y Z10 ⊕ Z60 isomorfos? 4. Sean G, H grupos abelianos finitos tales que G × G ∼ = H × H. Demuestre que ∼ G = H. 10.5. EJERCICIOS 119 5. Sean G, H grupos abelianos finitos tales que para cada entero positivo m ambos tienen el mismo número de elementos de orden m. Demuestre que G ∼ = H. 6. Sea G un grupo abeliano que tiene 8 elementos de orden 3, 18 elementos de orden 9 y el elemento identidad. Encuentre la descomposición de G como producto de grupos cı́clicos. Capı́tulo 11 Grupos solubles En los capı́tulos anteriores hemos tratado con grupos abelianos y grupos finitos. Un grupo cualquiera no está obligado a pertenecer a alguna de estas clases, sin embargo, siempre se puede relacionar de alguna manera con ellas y estudiar por este camino el grupo. Una de las generalizaciones más importantes de la conmutatividad es la solubilidad, de la cual nos ocupamos en este capı́tulo. Es importante anotar que la solubilidad en grupos está estrechamente ligada con la solubilidad por radicales de las ecuaciones algebraicas (véase [10]). La solubilidad, será estudiada a través de los conmutadores y el conmutante de un grupo. 11.1. Centro de un grupo Uno de los parámetros que indica el grado de conmutatividad de un grupo es la aproximación de él con su centro. A continuación repasaremos algunas nociones y propiedades introducidas en capı́tulos anteriores. Proposición 11.1.1. Sea G un grupo, H un subgrupo de G y A un subconjunto no vacı́o de G. Sean NH (A) := {x ∈ H|Ax := xAx−1 = A}, CH (A) := {x ∈ H|ax := xax−1 = a para cada a ∈ A} el normalizador y centralizador de A en H, respectivamente. Entonces, CH (A) E NH (A) ≤ H. Demostración. Nótese que NH (A) 6= ∅ ya que 1 ∈ NH (A). Sean x, y ∈ NH (A) −1 entonces Axy = (Ax )y = Ay = A luego xy ∈ NH (A); además Ax = A, es decir, x−1 ∈ NH (A). Esto indica que NH (A) ≤ H. De manera análoga se prueba que CH (A) ≤ H. Evidentemente CH (A) ≤ NH (A). Sean a ∈ A, x ∈ NH (A) y sea −1 y ∈ CH (A), entonces xyx−1 a (xyx−1 ) = xyx−1 axy −1 x−1 = xya0 y −1 x−1 , donde a0 := x−1 ax ∈ A; luego xya0 y −1 x−1 = xa0 x−1 = a, es decir, xyx−1 ∈ CH (A). 120 11.2. CONMUTANTE DE UN GRUPO 121 Consideremos ahora el caso particular en el cual H = G y A = K es un subgrupo de G. Proposición 11.1.2. Sea G un grupo y K ≤ G. Entonces (i) K E NG (K) y NG (K) es el subgrupo más grande de G en el cual K es normal. (ii) K E G ⇔ NG (K) = G. Demostración. (i) La primera parte es consecuencia de la definición de normalizador. (ii) Es una consecuencia directa de (i). Recordemos que si G es un grupo su centro se define como el centralizador de G en G y se denota por Z (G), es decir, Z (G) := {x ∈ G|ax = a para cada a ∈ G}. Proposición 11.1.3. Sea G un grupo. Entonces (i) Z (G) es un grupo abeliano. (ii) Z (G) E G. (iii) G es abeliano ⇔ G = Z (G). Demostración. Consecuencia directa de la definición de centro. 11.2. Conmutante de un grupo Además del centro, otro de los parámetros que permite establecer la “distancia”de un grupo a la conmutatividad es su conmutante. Definimos en esta lección el conmutante de dos subconjuntos cualesquiera de un grupo. Definición 11.2.1. Sea G un grupo cualquiera y sean a, b elementos de G. Se denomina conmutador de los elementos a y b al elemento [a, b] de G definido por [a, b] := a−1 b−1 ab. Se denomina conmutante de G o subgrupo derivado de G al subgrupo generado por los conmutadores y se denota por G0 o también por [G, G]: G0 = [G, G] := h[a, b] | a ∈ G, b ∈ Gi. Más generalmente, sean L, M ⊆ G no vacı́os. Se denomina conmutante mutuo, o sencillamente conmutante de L y M , al subgrupo [L, M ] := h[a, b] | a ∈ L, b ∈ M i. 122 CAPÍTULO 11. GRUPOS SOLUBLES Proposición 11.2.2. Sea G un grupo y sean L, M E G. Entonces [L, M ] E G. En particular, G0 E G. Demostración. Cada elemento z de [L, M ] es de la forma z = z1 · · · zk , donde cada zi , 1 ≤ i ≤ k, es de la forma [a, b] o [a, b]−1 con a ∈ L, b ∈ M . Sea x un elemento cualquiera de G. Entonces z x = x−1 zx = z1x · · · zkx . Pero [a, b]x = [ax , bx ] y ax ∈ L, bx ∈ M , x −1 [a, b]−1 = ([a, b]x ) = [ax , bx ]−1 . Se obtiene entonces que z x ∈ [L, M ] , es decir, [L, M ] E G. Proposición 11.2.3. Sea G un grupo. G es abeliano ⇔ G0 = 1. Demostración. Evidente. Proposición 11.2.4. Sea G un grupo. Si G0 ≤ K ≤ G entonces K E G. Además, G/G0 es un grupo abeliano y G0 está contenido en cada subgrupo normal K de G tal que G/K sea abeliano. En particular, el máximo cardinal de G/K, con este último abeliano, es igual a | G : G0 |. Demostración. Sea K tal que G0 ≤ K ≤ G. Sea x ∈ G y a un elemento cualquiera de K. Entonces (x−1 ax) a−1 ∈ G0 ≤ K ⇒ x−1 ax ∈ K, es decir, K E G. Sean x, y ∈ G. Entonces, x −1 y −1 xy = x−1 y −1 xy = 1, es decir, x y = y x y ası́ G/G0 es abeliano. Sea ahora K E G tal que G/K es abeliano. Sea z = z1 · · · zk un elemento cualquiera de G0 . Cada zi es de la forma [a, b] = a−1 b−1 ab o de la forma [a, b]−1 = [b, a] = b−1 a−1 ab, donde a, b ∈ G. Consideremos la clase de a−1 b−1 ab en el cociente −1 G/K: a−1 b−1 ab = a −1 b −1 ab = 1, o sea que (a−1 b−1 ab) ∈ K. De lo anterior se desprende que z ∈ K y en total G0 ≤ K. Además, | G |=| G : K || K |≥| G : K || G0 |, luego | G : G0 || G0 |=| G |≥| G : K || G0 | por lo tanto | G : G0 |≥| G : K |. Consideremos ahora algunas propiedades de los conmutadores y conmutantes. Proposición 11.2.5. Sea G un grupo tal que G/Z (G) es cı́clico. Entonces G es abeliano. Demostración. Sea x un elemento de G. Entonces, x = xZ (G) ∈ G/Z (G). Como este cociente es cı́clico existe a ∈ G tal que x = a k para algún k ∈ Z por lo tanto x−1 ak ∈ Z (G), es decir, existe z ∈ Z(G) tal que x−1 ak = z luego x = ak z −1 , es decir, x es de la forma x = ak ω, donde ω ∈ Z (G). Sean x, y elementos cualesquiera de G. Entonces −1 k −1 k [x, y] = x−1 y −1 xy = ak1 w1 a 2 w2 a 1 w1 ak2 w2 , donde k1 , k2 ∈ Z y w1 w2 ∈ Z (G); −1 −k1 −1 −k2 k1 ⇒ [x, y] = w1 a w2 a a w1 ak2 w2 = a−k1 −k2 +k1 +k2 = 1, 123 11.2. CONMUTANTE DE UN GRUPO es decir, x, y conmutan. Lo anterior implica que G es abeliano. Proposición 11.2.6. Sea G un grupo de orden pq, donde p y q son primos diferentes, tal que Z (G) 6= 1. Entonces G ∼ = Zpq . Demostración. Puesto que Z (G) ≤ G entonces | Z (G) |= p, q, pq. Si | Z (G) |= pq entonces es abeliano e isomorfo a Zpq . Si | Z (G) |= p entonces | G/Z (G) |= q y en consecuencia G/Z (G) es cı́clico. Según vimos G es abeliano y nuevamente G ∼ = Zpq . Análogamente, si | Z (G) |= q. 0 Ejemplo 11.2.7. (i) Z0 = 0, Z0n = 0, n ≥ 1; Q0 = 0, R0 = 0, C0 = 0, Z∗ = 1, 0 0 0 0 0 Q∗ = 1, R∗ = 1, C∗ = 1, Cp∞ = 1, Qp = 0. 0 0 0 (ii) Sn = An : en efecto, para n = 1, S1 = 1 = S1 = A1 . Para n = 2, S2 = 1 = A2 ya que S2 es abeliano. Veamos la prueba para n ≥ 3. 0 Probemos en primer lugar que An ⊆ Sn : puesto que An está generado por los ciclos de longitud 3 basta probar que cada ciclo (abc) de longitud 3 está en Sn0 : Sean a, b, c diferentes, entonces (abc) = [(ab) , (ac)], en efecto [(ab) , (ac)] = (ab)−1 (ac)−1 (ab) (ac) = (ab) (ac) (ab) (ac) = (abc). 0 Sn ⊆ An : sean α, β ∈ Sn . Entonces, [α, β] = α−1 β −1 αβ es una permutacion par. 0 0 0 (iii) Calculemos ahora An . Para n = 1, A1 = 1, para n = 2, A2 = 1, para 0 n = 3, A3 = 1 ya que A3 es abeliano. 0 0 Para n = 4 probemos que A4 = {1, (12) (34) , (13) (24) , (14) (23)}, es decir, A4 ∼ = V . Sea L := {1, (12) (34) , (13) (24) , (14) (23)}, veamos queL E An : denotando por a = (12) (34), b = (13) (24), entonces a2 = 1 = b2 , ab = (14) (23) = ba, esto prueba que el conjunto mencionado es realmente un subgrupo de An y además que es isomorfo al grupo de Klein. Nótese que en L están todos los productos de dos transposiciones disyuntas. Sea π ∈ Sn una permutación cualquiera de Sn y sea (α1 α2 ) (β1 β2 ) uno cualquiera de tales productos. Entonces π −1 (α1 α2 ) (β1 β2 ) π = π −1 (α1 α2 ) ππ −1 (β1 β2 ) π = (π (α1 ) , π (α2 )) (π (β1 ) , π (β2 )) ∈ L; lo anterior prueba que L E Sn , en particular, L E An . 0 A4 ⊆ L: teniendo en cuenta que An está generado por ciclos de longitud 3, L E An y por las fórmulas del ejercicio 4 de este capı́tulo, es suficiente probar que el conmutador de 2 tres-ciclos está en L. Sean i, j, k, l elementos diferentes de In (en particular, si n = 4). Entonces [(ijk) , (ijl)] = (ij) (kl) ∈ L [(ijk) , (ilj)] = (il) (jk) ∈ L. 124 CAPÍTULO 11. GRUPOS SOLUBLES Nótese que el conmutador [(ijk) , (lij)] coincide con el primero, [(ijk) , (jli)] también coincide con el primero. 0 L ⊆ An : las relaciones anteriores demuestran esta inclusión ya que además (ik) (jl) = (il) (jk) (ij) (kl). 0 n ≥ 5: An = An , n ≥ 5. En efecto, sean i, j, k, l, m elementos diferentes de 0 In . Entonces (ijk) = [(ikl) , (ijm)] y esto prueba que An ⊆ An y en consecuencia 0 An = An . Cerramos esta sección con otras propiedades de los conmutantes. Proposición 11.2.8. Sea G un grupo, A, B ≤ G y sea H := hA, Bi. Entonces (i) [A, B] , A [A, B] , B [A, B] E H. (ii) A [A, B] B [A, B] = H. Demostración. (i) [A, B] E H : sea y ∈ [A, B] y sea x ∈ H. Queremos mostrar que x−1 yx ∈ H. Notemos que y es de la forma y = [a1, b1 ]ε1 · · · [an , bn ]εn , (11.2.1) donde ai ∈ A, bi ∈ B, εi = ±1, 1 ≤ i ≤ n, x es de la forma x = xλ1 1 · · · xλmm , xi ∈ A ∪ B, λi = ±1, 1 ≤ i ≤ m. (11.2.2) Basta entonces considerar los productos de la forma x−1 [a, b] x, x−1 [a, b]−1 x, con a ∈ A, b ∈ B y x ∈ A ∪ B. x ∈ A: nótese que x−1 [a, b] x = [ax, b] [x, b]−1 ∈ [A, B] (véase el ejercicio 4). −1 x−1 [a, b]−1 x = (x−1 [a, b] x) ∈ [A, B] −1 x ∈ B: x−1 [a, b] x = x−1 [b, a]−1 x = (x−1 [b, a] x) −1 = [bx, a] [x, a]−1 (véase el ejercicio 4) −1 = [x, a] [bx, a] = [a, x]−1 [a, bx] ∈ [A, B]. −1 Ahora, x−1 [a, b]−1 x = (x−1 [a, b] x) ∈ [A, B]. A [A, B] E H : sean y ∈ [A, B] un elemento como en (11.2.1) y sea x ∈ H un elemento como en (11.2.2); sea además a ∈ A. Es suficiente entonces considerar solamente un producto de la forma x−1 ayx, con x ∈ A ∪ B. Pero x−1 ayx = x−1 axx−1 yx; según lo probado, x−1 yx ∈ [A, B]. Además, si x ∈ A entonces x−1 ax ∈ A y ası́ x−1 ayx ∈ A [A, B]. −1 Si x ∈ B entonces x−1 ax = x−1 axa−1 a = [x, a−1 ] a = [a−1 , x] a ∈ [A, B] A = A [A, B], y ası́ x−1 ayx ∈ A [A, B] (la última igualdad es consecuencia de que A normaliza [A, B]). 11.2. CONMUTANTE DE UN GRUPO 125 B [A, B] E H : análogo al caso anterior pero considerando el producto x−1 byx con b ∈ B, y ∈ [A, B]. (ii) A [A, B] B [A, B] = H : según (i) A [A, B] B [A, B] ≤ H. Puesto que H = hA, Bi sea x ∈ A o x ∈ B. Entonces x = x · 1 · 1 · 1 ∈ A [A, B] B [A, B] o x = 1 · 1 · x · 1 ∈ A [A, B] B [A, B]. Proposición 11.2.9. Sea G = A × B, entonces [G, G] = [A, A] × [B, B]. Este resultado se puede extender a un producto finito de grupos. Demostración. Sean x := [a1 , b1 ], y := [a2 , b2 ] ∈ G. Se tiene entonces la identidad [x, y] = ([a1 , a2 ] , [b1 , b2 ]) la cual inmediatamente da la inclusión de izquierda a derecha. Para la otra inclusión observemos que cada elemento de [A, A] × [B, B] es de la forma [c1 · · · cm , d1 · · · dl ], donde ci son conmutadores de A y dj conmutadores de B. Se puede suponer sin pérdida de generalidad que m = l, y entonces se tiene [c1 , d1 ] · · · [cm , dm ] y resta aplicar otra vez la identidad de arriba. Ejemplo 11.2.10. Recordemos que Q8 = ha, b | a4 = 1, b2 = a2 , bab−1 = a−1 i. Calculemos [Q8 , Q8 ]: b−1 = a2 b, ba = a3 b k i r j a b , a b = (ak bi )−1 (ar bj )−1 ak bi ar bj = b−i a−k b−j a−r ak bi ar bj = b−i a−k b−j ak−r bi ar bj ; (a) i = 0, j = 0: a−k ak−r ar = 1. (b) i = 0, j = 1: a−k b−1 ak−r ar b = a−k a2 bak b = a−k+2 a−k b2 = a2 a2 = 1. (c) i = 1, j = 0: b−1 a−k ak−r bar = a2 ba−r a3r b = a2 ba2r b = a2 a6r b2 = a2 a6r a2 = a6r = (a2 )3r ∈ ha2 i. (d) i = 1, j = 1: b−1 a−k b−1 ak−r bar b = (a2 )9r+3k ∈ ha2 i ⇒ [Q8 , Q8 ] = ha2 i ya que tomando r = 1 en (c) tenemos que a2 ∈ [Q8 , Q8 ] . Ejemplo 11.2.11. Calculemos Z (T ), Z (Gpq ). Comencemos realizando la tabla del grupo T a partir de las relaciones que definen este grupo, a6 = 1, b2 = a3 , ba = a−1 b: 126 CAPÍTULO 11. GRUPOS SOLUBLES · 1 a a2 a3 a4 a5 b ab a2 b a3 b a4 b a5 b 1 1 a a2 a3 a4 a5 b ab a2 b a3 b a4 b a5 b a a a2 a3 a4 a5 1 a5 b b ab a2 b a3 b a4 b a2 a2 a3 a4 a5 1 a a4 b a5 b b ab a2 b a3 b a3 a3 a4 a5 1 a a2 a3 b a4 b a5 b b ab a2 b a4 a4 a5 1 a a2 a3 a2 b a3 b a4 b a5 b b ab a5 a5 1 a a2 a3 a4 ab a2 b a3 b a4 b a5 b b b b ab a2 b a3 b a4 b a5 b a3 a4 a5 1 a a2 ab ab a2 b a3 b a4 b a5 b b a2 a3 a4 a5 1 a a2 b a2 b a3 b a4 b a5 b b ab a a2 a3 a4 a5 1 a3 b a3 b a4 b a5 b b ab a2 b 1 a a2 a3 a4 a5 a4 b a4 b a5 b b ab a2 b a3 b a5 1 a a2 a3 a4 a5 b a5 b b ab a2 b a3 b a4 b a4 a5 1 a a2 a3 De la tabla se observa que el centro de T es {1, a3 } ∼ = Z2 . De otra parte, Gpq es el grupo no abeliano de orden pq donde p, q son primos distintos; esto implica que Gpq /Z(Gpq ) no puede ser cı́clico (véase la proposición 11.2.5). En cosencuencia el único orden posible de Z(Gpq ) es 1, es decir, Z(Gpq ) = 1. Ejemplo 11.2.12. Veamos que los grupos A4 , D6 y T no son isomorfos. En el capı́tulo 6 se demostró que Z(D6 ) = Z2 y también que Z(An ) = 1 para n ≥ 4. Esto ilustra que D6 y A4 no son isomorfos. De igual forma, vimos en el ejemplo anterior que Z(T ) = ha3 i ∼ = Z2 ; de esto se deduce que An y T no son isomorfos. Finalmente, de la tabla de T se concluye que en este grupo b es un elemento de orden 4, en cambio D6 no tiene elementos de este orden. Esto demuestra que T y D6 no son isomorfos. 11.3. Cadenas normales Nuestro objetivo central ahora es probar los teoremas de Jordan-Hölder y Schreier sobre refinamientos isomorfos de cadenas subnormales y normales. Definición 11.3.1. Se denomina cadena de un grupo G a una sucesión finita totalmente ordenada de subgrupos de G comenzando en 1 y terminando en G: 1 = H0 ≤ H1 ≤ · · · ≤ Hn = G. La cadena (11.3.1) se denomina subnormal si Hi E Hi+1 , para cada 0 ≤ i ≤ n − 1. La cadena (11.3.1) se denomina normal si (11.3.1) 11.3. CADENAS NORMALES 127 Hi E G, para 0 ≤ i ≤ n. Se dice que un subgrupo H de un grupo G es subnormal en G, lo cual denotamos por H EE G, si H es miembro de una cadena subnormal de G. Los cocientes Hi+1 /Hi , 0 ≤ i ≤ n − 1, se denominan secciones de la cadena subnormal (11.3.1). Observación 11.3.2. Para los grupos abelianos los conceptos de cadena, cadena subnormal y normal coinciden. Evidentemente en el caso general toda cadena normal es subnormal. Ejemplo 11.3.3. (i) 0 < 6Z < 3Z < Z y 0 < 45Z < 15Z < 3Z < Z son cadenas de Z con secciones 6Z/0∼ = Z, 3Z/6Z ∼ = Z2 , Z/3Z = Z3 ; 45Z/0∼ = Z, ∼ ∼ 15Z/45Z = Z3 , 3Z/15Z = Z5 , Z/3Z = Z3 . (ii) 1 < 2Z < Z < Qp es una cadena de Qp con secciones 2Z/1∼ = Z, Z/2Z ∼ = Z2 , Qp /Z = Cp∞ . (iii) 1 < Cp < Cp2 < · · · < Cpn es una cadena de Cpn con secciones isomorfas a Cp . (iv) 1 < hgi < K = {1, f 2 , g, f 2 g} < D4 es una cadena subnormal no normal de D4 con secciones isomorfas a Z2 . (v) 1 < ha2 i < hbi < Q8 ; 1 < ha2 i < hai < Q8 ; 1 < ha2 i < habi < Q8 son cadenas normales de Q8 con secciones isomorfas a Z2 . Nótese que en Q8 toda cadena es normal ya que todos sus subgrupos son normales. (vi) 1 < {1, (12)(34)} < A04 = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} < A4 es una cadena subnormal no normal de A4 con secciones Z2 , Z2 , Z3 . En efecto, {1, (12)(34)} no es normal en A4 : (123)−1 (12)(34)(123) = (13)(24). Definición 11.3.4. Sean 1 = H0 ≤ H1 ≤ · · · ≤ Hn = G, (11.3.2) 1 = K0 ≤ K1 ≤ · · · ≤ Km = G (11.3.3) cadenas del grupo G. (i) (11.3.3) es un refinamiento de (11.3.2) si {H0 , . . . , Hn } ⊆ {K0, . . . , Km }. (ii) Sean (11.3.2) y (11.3.3) cadenas subnormales (normales) de G. Se dice que ellas son isomorfas si n = m y existe π ∈ Sn tal que Hi+1 /Hi ∼ = Kπ(i)+1 /Kπ(i) , 0 ≤ i ≤ n − 1. 128 CAPÍTULO 11. GRUPOS SOLUBLES Ejemplo 11.3.5. (i) 0 < Z2 < Z6 < Z12 < Z24 < Z48 es un refinamiento de la cadena 0 < Z2 < Z12 < Z48 . (ii) 0 < Z2 < Z6 < Z24 y 0 < Z4 < Z12 < Z24 son cadenas normales isomorfas de Z24 : Z2 /0 ∼ = Z12 /Z4 . = Z4 ∼ = Z4 /0 Z6 /Z2 ∼ = Z3 ∼ = Z2 ∼ = Z24 /Z12 ; Z24 /Z6 ∼ Una última definición para luego probar los principales resultados de esta sección. Definición 11.3.6. Sea (11.3.1) una cadena subnormal del grupo G. Se dice que (11.3.1) es una cadena de composición de G si Hi+1 /Hi es simple para cada 0 ≤ i ≤ n − 1. Si (11.3.1) es normal se dirá entonces que es una cadena principal de G. Proposición 11.3.7. Sea G un grupo con cadena subnormal (normal) 1 = H0 ≤ H1 ≤ · · · ≤ Hn = G. Sea K ≤ G. Entonces (i) 1 = K0 ≤ K1 ≤ · · · ≤ Kn = K, con Ki = Hi ∩ K es una cadena subnormal (normal) de K. Además Ki+1 /Ki ,→ Hi+1 /Hi , 0 ≤ i ≤ n − 1. (ii) Si K E G entonces 1 = H0 ≤ H1 ≤ · · · ≤ Hn = G/K, con Hi = Hi K/K es una cadena subnormal (normal) de G/K,. También, la sección Hi+1 /Hi es una imagen homomorfa de Hi+1 /Hi , 0 ≤ i ≤ n − 1. Demostración. (i) Sea Hi E Hi+1 y sea Ki = Hi ∩ K, con K ≤ G. Entonces Ki E Ki+1 . En efecto, sea x ∈ Ki+1 , a ∈ Ki , entonces x ∈ Hi+1 ∩ K y a ∈ Hi ∩ K, x−1 ax ∈ Hi ∩ K = Ki (caso subnormal). Sea Hi E G y sea x ∈ K, b ∈ Ki = Hi ∩ K. Entonces x−1 bx ∈ Hi ∩ K = Ki (caso normal). Evidentemente K0 = 1 y Kn = K. Ahora, Ki+1 Ki+1 Ki+1 Hi Hi+1 ∼ = ≤ . = Ki Ki+1 ∩ Hi Hi Hi (ii) Nótese que Hi es la imagen de Hi mediante el homomorfismo canónico. j : G → G/K; por lo tanto, como Hi E Hi+1 , entonces j(Hi ) = Hi E j(Hi+1 ) = Hi+1 . Por ser j sobre y Hi E G, entonces j(Hi ) = Hi E G/K. Evidentemente H0 = 1 y Hn = G/K. Ahora, 129 11.3. CADENAS NORMALES Hi+1 Hi = Hi+1 K K Hi K K ∼ = Hi+1 K Hi K ∼ = Hi+1 Hi (Hi+1 ∩K) ∼ = Hi+1 Hi Hi (Hi+1 ∩K) Hi . En la demostración anterior se usó la siguiente forma generalizada del teorema de isomorfismo: A E B ≤ G, H E G; entonces BH AH ∼ = B . A(B∩H) En efecto, BH = HB ya que H E G; AH = HA ya que H E G; evidentemente AH ≤ BH, AH E BH ya que A E B y H E G. Consideremos el homomorfismo natural α : B → BH → BH/AH, b 7→ b 7→ b := bAH. Nótese que α es sobre y que ker(α) = B ∩ AH. En efecto, sean bh ∈ BH/AH. Entonces α(b) = bh ya que b = bh (bhb−1 ∈ H ≤ AH); α(b) = 1 entonces b ∈ AH y b ∈ B ∩ AH. Resta probar que B ∩ AH = A(B ∩ H); sea x ∈ B ∩ AH entonces x = ah, nótese que h = a−1 x ∈ B ya que x ∈ B y a−1 ∈ A ≤ B; por lo tanto, x ∈ A(B ∩ H). Sea ahora z ∈ A(B ∩ H) entonces z = ah, con h ∈ B ∩ H, luego z ∈ AH y z ∈ B. Esto demuestra la afirmación. Lema 11.3.8 (Lema de Zassenhaus). Sean G un grupo, H, K ≤ G y H ∗ E H, K ∗ E K. Entonces (i) H ∗ (H ∩ K ∗ ) E H ∗ (H ∩ K). (ii) K ∗ (H ∗ ∩ K) E K ∗ (H ∩ K). (iii) H ∗ (H ∩ K)/H ∗ (H ∩ K ∗ ) ∼ = K ∗ (H ∩ K)/K ∗ (H ∗ ∩ K) ∼ = (H ∩ K)/[(H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ )]. Demostración. Probemos inicialmente que los productos de subgrupos indicados son realmente grupos. H ∗ (H ∩ K) es un grupo: ya que H ∗ E H, entonces H ∗ (H ∩ K) = (H ∩ K)H ∗ . K ∗ (H ∩ K) es un grupo: ya que K ∗ E K, se obtiene K ∗ (H ∩ K) = (H ∩ K)K ∗ . H ∗ (H ∩ K ∗ ) es un grupo ya que H ∗ E H. K ∗ (H ∗ ∩ K) es un grupo ya que K ∗ E K. (H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ) es un grupo: nótese que H ∗ ∩ K, H ∩ K ∗ E H ∩ K; por tal razón (H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ) E H ∩ K. Podemos ya probar las afirmaciones del lema. (i) H ∗ (H ∩ K ∗ ) E H ∗ (H ∩ K): Consideremos la función θ : H ∗ (H ∩ K) → (H ∩ K)/[(H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ )] θ(hx) := xL, 130 CAPÍTULO 11. GRUPOS SOLUBLES con L := [(H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ )], h ∈ H ∗ , x ∈ H ∩ K. θ está bien definida: h1 , h2 ∈ H ∗ , x1 , x2 ∈ H ∩ K tales que h1 x1 = h2 x2 , entonces ∗ θ(h1 x1 ) = x1 L, θ(h2 x2 ) = x2 L. Por lo tanto, x1 x−1 = h−1 2 1 h2 ∈ H ∩ (H ∩ K) = H ∗ ∩ K ⊆ L luego x1 L = x2 L y θ(h1 x1 ) = θ(h2 x2 ). θ es un homomorfismo: como H ∗ E H entonces x1 H ∗ = Hx∗1 para x1 ∈ H ∩ K, por tal razón θ(h1 x1 h2 x2 ) = θ(h1 h3 x1 x2 ) = x1 x2 L = x1 Lx2 L = θ(h1 x1 )θ(h2 x2 ). θ es evidentemente sobre. θ(hx) = L ⇔ xL = L ⇔ x ∈ L ⇔ hx ∈ H ∗ L ⇔ hx ∈ H ∗ (H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ) = H ∗ (H ∩ K ∗ ) ⇒ ker(θ) = H ∗ (H ∩ K ∗ ). ∗ (H∩K) ∼ Hemos probado que H ∗ (H ∩ K ∗ ) E H ∗ (H ∩ K) y además HH∗ (H∩K ∗) = (ii) Se prueba como (i) y se establece la última parte de (iii). (H∩K) . L Teorema 11.3.9 (Teorema de Schreier). Cualesquiera dos cadenas subnormales (normales) de un grupo tienen refinamientos isomorfos. Demostración. Sea G un grupo y sean 1 = H0 ≤ H1 ≤ H2 ≤ · · · ≤ Hn = G, (11.3.4) 1 = K0 ≤ K1 ≤ K2 ≤ · · · ≤ Km = G, (11.3.5) dos cadenas subnormales de G. Para cada 0 ≤ i ≤ n − 1 insertamos entre Hi y Hi+1 una sucesión ordenada de subgrupos (no necesariamente diferentes) Hi = Hi (Hi+1 ∩ K0 ) ≤ Hi (Hi+1 ∩ K1 ) ≤ · · · . ≤ Hi (Hi+1 ∩ Km ) = Hi+1 . Sea Hi,j = Hi (Hi+1 ∩ Kj ), 0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ j ≤ m. Nótese que Hi,m = Hi+1 = H1+i,0 , 0 ≤ i ≤ n − 1. Según el lema de Zassenhaus se obtiene una nueva cadena subnormal de G que es refinamiento de (11.3.4): 1 = H0,0 ≤ H0,1 ≤ · · · ≤ H0,m−1 ≤ H1,0 ≤ H1,1 ≤ · · · ≤ H1,m−1 ≤ H2,0 ≤ H2,1 ≤ · · · ≤ H2,m−1 ≤ H3,0 ≤ · · · ≤ Hn−1,0 ≤ Hn−1,2 ≤ · · · . ≤ Hn−1,m−1 ≤ Hn = G. (11.3.6) Nótese que esta nueva cadena subnormal tiene nm+1 subgrupos (no necesariamente diferentes). Lo mismo podemos hacer con la cadena (11.3.5) obteniéndose la cadena subnormal (11.3.7) que es refinamiento de (11.3.5) y que contiene también nm + 1 subgrupos (no necesariamente diferentes): 1 = K0,0 ≤ K0,1 ≤ · · · ≤ K0,n−1 ≤ K1,0 ≤ K1,1 ≤ · · · ≤ K1,n−1 ≤ K2,0 ≤ K2,2 ≤ · · · ≤ K2,n−1 ≤ K3,0 ≤ · · · ≤ Km−1,0 ≤ Km−1,2 ≤ · · · ≤ Km−1,n−1 ≤ Km = G, (11.3.7) 11.3. CADENAS NORMALES 131 donde Kj,i = Kj (Kj+1 ∩ Hi ), 0 ≤ j ≤ m − 1, 0 ≤ i ≤ n, Kj+1,0 = Kj,n = Kj+1 , 0 ≤ j ≤ m − 1. Nótese que para cada 0 ≤ i ≤ n − 1 y 0 ≤ j ≤ m − 1 Hi,j+1 ∼ Kj,i+1 . = Hi,j Kj,i H H (H ∩Kj+1 ) ∼ En efecto, Hi,j+1 = Hi i (Hi+1 = i,j i+1 ∩Kj ) lema de Zassenhaus. Sean Kj (Kj+1 ∩Hi+1 ) ; Kj (Kj+1 ∩Hi ) (11.3.8) el último isomorfismo es debido al I = {(i, j) | 0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ j ≤ m − 1} ∪ {(n, 0)}, J = {(r, s) | 0 ≤ r ≤ m − 1, 0 ≤ s ≤ n − 1} ∪ {(m, 0)} los conjuntos que indizan (11.3.6) y (11.3.7), respectivamente. Sea I 0 := {k ∈ Z |0 ≤ k ≤ nm} , nótese que I, J, I 0 son equipotentes |I| = |J| = |I 0 | = nm + 1. Podemos entonces indizar (11.3.6) y (11.3.7) por medio de I 0 : I → I0 (i, j) → im + j (n, 0) → nm 0≤i≤n−1 0≤j ≤m−1 J → I0 (r, s) → rn + s (m, 0) → mn 0≤r ≤m−1 0 ≤ s ≤ n − 1. En la nueva notación: Hi,j = Him+j , Hn,0 = Hnm , 0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ j ≤ m − 1; Kr,s = Krm+s ,Km,0 = Kmn , 0 ≤ r ≤ m − 1, 0 ≤ s ≤ n − 1. Sea ahora Snm el conjunto de permutaciones del conjunto I0 := {0, 1, . . . , nm − 1} . Entonces la función I0 → I0 π : k = im + j → jn + i, 0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ j ≤ m − 1 es tal que π ∈ Snm y además: Hk+1 /Hk = Him+j+1 /Him+j = Hi,j+1 /Hi,j , Kπ(k)+1 /Kπ(k) = Kjn+i+1 /Kjn+i = Kj,i+1 /Kj,i ; según (11.3.8) Hk+1 /Hk ∼ = Kπ(k)+1 /Kπ(k) , k ∈ I0 . Con esto termina la prueba del teorema para el caso subnormal. Para el caso normal basta observar que Hi E G, 0 ≤ i ≤ n y Kj E G, 0 ≤ j ≤ m, y entonces Hi,j E G, Kj,i E G. Teorema 11.3.10 (Teorema de Jordan-Hölder). Cualesquiera dos cadenas de composición (principales) de un grupo son isomorfas. 132 CAPÍTULO 11. GRUPOS SOLUBLES Demostración. Sean {Hi } y {Kj } dos series de composición (principales) del grupo G. Según el teorema 11.3.9 ambos tienen refinamientos isomorfos. Pero como Hi es maximal en Hi+1 0 ≤ i ≤ n − 1 y Kj es maximal en Kj+1 , 0 ≤ j ≤ m − 1, entonces los refinamientos coinciden con las cadenas iniciales. Corolario 11.3.11. Si el grupo G tiene una cadena de composición (principal) y N es un subgrupo normal propio de G, entonces G tiene una cadena de composición (principal) que contiene a N. Demostración. La cadena 1 < N < G es subnormal y normal en G. Consideremos inicialmente el caso subnormal. Sea {Hi } una cadena de composición de G. Según el teorema 11.3.10, 1 < N < G tiene un refinamiento subnormal isomorfo a un refinamiento de {Hi }. Pero como {Hi } es de composición, entonces dicho refinamiento de 1 < N < G es una serie de composición. De manera análoga se argumenta el caso principal. 11.4. Grupos solubles Teorema 11.4.1. Sea G un grupo. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (i) G posee una cadena subnormal con secciones abelianas. (ii) La cadena de conmutantes G ≥ G(1) ≥ G(2) ≥ · · · ≥ G(m) ≥ · · · del grupo G se estabiliza en 1 después de un número finito de pasos, donde G(k) := [G(k−1) , G(k−1) ], k ≥ 1; G(0) := G. (iii) G posee una cadena normal con secciones abelianas. Demostración. (i) ⇒(ii): Supongamos que 1 = H0 ≤ H1 ≤ · · · ≤ Hn = G es una cadena subnormal de G con secciones abelianas. Puesto que Hn−1 E G y G/Hn−1 es abeliano entonces de acuerdo con la proposición 11.2.4, G0 ≤ Hn−1 . Supóngase inductivamente que G(k) ≤ Hn−k , 1 ≤ k ≤ n. De nuevo, como Hn−k−1 E Hn−k y Hn−k /Hn−k−1 es abeliano (Hn−k )0 ≤ Hn−k−1 , pero (G(k) )0 ≤ (Hn−k )0 , luego G(k+1) ≤ Hn−k−1 . Ası́ pues por inducción, G(n) ≤ Hn−n = 1 y entonces G(n) = 1. (ii) ⇒(iii): Según la proposición 11.2.2, G(k) E G, para cada 1 ≤ k ≤ n. (iii) ⇒(i): Evidente. 133 11.5. EJERCICIOS Definición 11.4.2. Un grupo G se dice que es soluble si satisface una cualquiera de las condiciones del teorema anterior. Corolario 11.4.3. (i) Si G es soluble entonces cada subgrupo de G es soluble y cada imagen homomórfica de G es soluble. (ii) G1 × · · · × Gn es soluble ⇔ Gi es soluble, para cada 1 ≤ i ≤ n. Demostración. (i) Es consecuencia directa de la proposición 11.3.7. (ii) ⇒): Consecuencia (i). ⇐): Sea k := máx{ki }1≤i≤n , donde ki es el grado de solubilidad de Gi , es decir, el menor entero positivo k tal que G(k) = 1. Pero [G1 × · · · × Gn , G1 × · · · × Gn ] = [G1 , G1 ] × · · · × [Gn , Gn ], luego G1 × · · · × Gn es soluble de grado k. Ejemplo 11.4.4. (i) Todo grupo abeliano es soluble. El concepto de solubilidad tiene entonces interés para los grupos no abelianos. (ii) S3 es soluble: [S3 , S3 ] = A3 , [A3 , A3 ] = 1. (iii) S4 es soluble: [S4 , S4 ] = A4 , [A4 , A4 ] = V , [V, V ] = 1. (iv) Sn no es soluble para n ≥ 5: [Sn , Sn ] = An , [An , An ] = An . (iv) [Q8 , Q8 ] = ha2 i , [ha2 i , ha2 i] = 1, por lo tanto Q8 es soluble. 11.5. Ejercicios 1. Sea G un grupo y sean L, M ⊆ G no vacı́os. Pruebe que [L, M ] = [M, L] . 0 2. Sea G un grupo y K G. Pruebe que el conmutante K de K es normal en G. 0 0 3. Sea ϕ : G1 → G2 un homomorfismo de grupos. Pruebe que ϕ G1 ⊆ G2 . 0 0 Además, si ϕ es sobre entonces ϕ G1 = G2 4. Demuestre que b−1 [a, c]b = [ab, c][b, c]−1 ; a[b, a]a−1 = [a−1 , b]; [a, b]−1 = [b, a]. 5. Sean A, B, C subgrupos normales de G. Pruebe que [AB, C] = [A, C] [B, C]. 6. Calcule [D4, D4 ] , [Dn , Dn ] , [Gpq , Gpq ] , [T, T ]. 7. Calcule refinamientos isomorfos de las cadenas normales 0 < 60Z < 20Z < Z y 0 < 45Z < 90Z < Z. 8. Calcule todas las cadenas de composición de Z60 y muestre que son isomorfas. 9. Compruebe que todas las cadenas de composición de S3 × Z2 son isomorfas. 10. Determine si los siguientes grupos son solubles: D4 , Dn , Gpq . Bibliografı́a [1] Cohn, P.M., Basic Algebra: groups, rings and fields, Springer, 2003. [2] Corry, L., Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, Springer, 2003. [3] Herstein, I.N., Topics in Algebra, 2nd. edition, John Wiley, 1975. [4] Hungerford, T.W., Algebra, Springer, 2003. [5] Kargapolov M.I. and Merzljakov, J. I., Fundamentals of the Theory of Groups, 2nd ed., translated from the Russian by R. G. Burns, Springer, 1979. [6] Kostrikin, A.I., Introducción al Álgebra, Mir, 1980. [7] Lang, S., Algebra, Springer, 2004. vi [8] Lezama, O. and Villamarı́n, G., Anillos, Módulos y Categorı́as, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia, 1994. vi [9] Lezama, O., Cuadernos de Álgebra, No. 3: Módulos, SAC2 , Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, sede de Bogotá, sites.google.com/a/unal.edu.co/sac2 87, 114 [10] Lezama, O., Cuadernos de Álgebra, No. 5: Cuerpos, SAC2 , Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, sede de Bogotá, sites.google.com/a/unal.edu.co/sac2 120 [11] Robinson, D., A Course in the Theory of Gropus, Springer, 1982. [12] Spindler, K., Abstract Algebra with Applications, Vol. I, II, Marcel Dekker, 1994. [13] Van der Waerden, B.L., Algebra, Vol. I, II, Springer, 1991. 134

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