Series de tiempo Definición Una serie temporal o cronológica es una sucesión de datos cuantitativos medidos en determinados momentos y ordenados cronológicamente, generalmente en periodos equidistantes. Grafica de una serie de tiempo Se realiza para visualizar y analizar el patrón de comportamiento de la serie, colocando los valores de la magnitud de la serie en el eje de las ordenadas y el tiempo en el eje de las abscisas. Componentes de una serie de tiempo Según los métodos de descomposición de una serie temporal se asume que su valor real de la serie en el tiempo t (Yt) está en función de cuatro componentes: - Tendencia (𝑇𝑖𝑘 ) - Variaciones estacionales(𝐸𝑖𝑘 ) - Variaciones residuales o erráticas (𝑟𝑖𝑘 ) - Variaciones cíclicas 𝐶𝑖𝑘 ) El modelo de descomposición aditivo tiene la siguiente forma: 𝑌𝑖𝑗 = 𝑇𝑖𝑘 + 𝐸𝑖𝑘 + 𝑟𝑖𝑘 + 𝐶𝑖𝑘 - Tendencia (𝐓𝐢𝐤 ) Explica el comportamiento de la magnitud en el largo plazo. Se calcula en función de las medias anuales de los valores de la serie, permitiendo observar si aumentan o disminuyen durante el periodo de tiempo en estudio. - Variaciones estacionales (𝐄𝐢𝐤 ) Son oscilaciones que ocurren con una periodicidad dentro del año y que se pueden identificar repetidamente a lo largo de los años de los que disponemos datos por analizar. Por ejemplo, el volumen de ventas de una superficie comercial tiene subidas significativas en períodos de rebajas. Estas variaciones se pueden medir en valores absolutos (componente estacional Ek) o en valores relativos (índices estacionales Ik) respecto a la media global (M = media aritmética de las medias corregidas). - Variaciones residuales o erráticas (rik) Llamados también residuos, son las variaciones aleatorias respecto al modelo teórico que pretende analizar la serie con la información del resto de los componentes. Es necesario que no presentan periodicidad manifiesta y tomen valores pequeños. Cuando el valor absoluto de cualquiera de sus valores se aleje de los demás, indicará un dato no se ajusta al modelo que se pretende obtener, en estos casos se analiza su origen que podría ser una huelga, un accidente, una perturbación meteorológica que habrá que encontrar con la información pertinente al alcance del contexto de la serie estudiada y que se intenta explicar para justificar la variación de estos datos en particular que se desajustan del modelo. - Variaciones cíclicas (𝐂𝐢𝐤 ) Las fluctuaciones cíclicas son movimientos oscilatorios alrededor de una tendencia, caracterizados por diferentes fases sucesivas recurrentes, de expansión y contracción, de mayor o menor amplitud, que no se encuentran ceñidas a lapsos fijos y que son susceptibles de medición, se producen como consecuencia de períodos de prosperidad y de depresión en la actividad económica, o en otras magnitudes cualquiera. Métodos de análisis de una serie de tiempo Para el análisis de una serie de tiempo se desarrollarán los siguientes métodos: - Método de ajuste analítico - Método de las medias móviles Método de ajuste analítico Cálculo de la tendencia - Se obtienen los promedios anuales (i=1,2,3, …,n), donde n es el número de años 𝑦̅𝑖 = ∑ 𝑦𝑖𝑘 𝑚 m: Numero de periodos (meses, trimestres, cuatrimestre, etc,) evaluados por año - Se considera una variable ficticia X, que representa a los años en consideración, a la que se le asignan valores o códigos con la finalidad de simplificar los cálculos, recomendado si la serie de años es impar colocar el valor cero al año que se ubica al centro. - Estimar la tendencia de la serie (la ecuación de regresión lineal) 𝑇𝑖 = 𝑦̅𝑖 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑋𝑖 Cálculo de la componente estacional Permite analizar el comportamiento de la magnitud por periodos dentro del año (mensuales, trimestrales, cuatrimestrales, etc.), tomando como referencia la media global corregida (M), expresando los datos en unidades originales y en valor absoluto. Para calcularlo se procede como sigue: - Calcular la media de los valores de cada periodo anual (meses, trimestres, cuatrimestre, etc,), representada por: 𝑦̅𝑘 = ∑ 𝑦𝑖𝑗 𝑛 - Luego se calcula las medias corregidas 𝑦̅𝑘′ : 𝑦̅𝑘′ = 𝑦̅𝑘 − 𝑏1 ∗ (𝑘 − 1) 𝑚 - Calcular la media de las medias corregidas (M) ∑ 𝑦̅𝑘′ 𝑀= 𝑚 - En base a este valor se analizarán los valores de los periodos, con la siguiente relación funcional: 𝐸𝑘 = 𝑦̅𝑘′ − 𝑀 Ek, permite estimar en cuantas unidades se alejan los valores de la variable respecto al valor promedio M (si están por encima o por debajo del promedio). La estacionalidad de la serie puede ser interpretada también por medio de los índices estacionales (𝐼𝑘 ), calculados con la siguiente fórmula: 𝐼𝑘 = 𝑦̅𝑘′ ∗ 100 𝑀 Así, un índice iguala 115%, indicaría que los precios en el periodo k (trimestre k) del año, supera en 15% a la media anual. Cálculo de la componente residual o errática (rik) Permite identificar el comportamiento anómalo de algún dato yik, el valor del cual no se pueda explicar por las componentes, de tendencia y estacional, infiriendo que por cualquier causa por identificar (motivos extraordinarios) este valor no está dentro del patrón de comportamiento encontrado y con el que se ha interpretado los datos originales para explicar el fenómeno. Los valores de esta componente deben ser pequeños en valor, variados en signo y sin regularidad ni patrón. Permiten ver que los datos reales no se ajustan completamente al patrón encontrado con la tendencia y la componente estacional. Se calcula con la siguiente formula: 𝑟𝑖𝑘 = 𝑦𝑖𝑘 − 𝑇𝑖 − 𝐸𝑘 Ejemplo Para analizar la evolución de los gastos en un departamento de una empresa, se tomaron los siguientes datos que expresan en miles de dólares los gastos cuatrimestrales de los cuatro años que figuran en la tabla: Tabla 2 Gastos en un departamento de una empresa en miles de dólares según cuatrimestre durante los años 2015 – 2018 2015 2016 2017 2018 Cuatrimestre 1 26 25 21 20 Cuatrimestre 2 18 15 12 10 Cuatrimestre 3 22 20 18 12 a) Calcular por el método del ajuste analítico, las componentes de la serie de tiempo, asumiendo un modelo aditivo b) Estime los valores de los gastos que se pueden esperar para el año 2019. Solución Representación gráfica del modelo Siempre hay que empezar con una gráfica de los datos para ver el patrón de comportamiento de la serie y confirmar que podemos aplicarle un ajuste analítico de tipo aditivo. Viendo esta gráfica solo cabe esperar una tendencia decreciente y también una componente estacional bastante marcada por la periodicidad, evidenciada en la figura (eje X) que coincide con el intervalo anual que corresponde cada tres datos. Año Cuatrimestre 2015 Cuatrimestre_01 26 Cuatrimestre_02 18 Cuatrimestre_03 22 Cuatrimestre_01 25 Cuatrimestre_02 15 Cuatrimestre_03 20 Cuatrimestre_01 21 Cuatrimestre_02 12 Cuatrimestre_03 18 Cuatrimestre_01 20 Cuatrimestre_02 10 Cuatrimestre_03 12 2016 2017 2018 Gastos 30 25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Figura 2. Gastos cuatrimestrales en un departamento de una empresa, en miles de dólares durante los años 2015 - 2018 Cálculo de la tendencia 2015 2016 2017 2018 Cuatrimestre 1 26 25 21 20 Cuatrimestre 2 18 15 12 10 Cuatrimestre 3 22 20 18 12 22,00 20,00 17,00 14,00 i: 1,2,3,4, k: 1,2,3, n=4 m=3 i Año Xi 1 2 3 4 2015 2016 2017 2018 -1 0 1 2 Ti=19.6-2.7Xi 22,00 20,00 17,00 14,00 La ecuación de regresión obtenida: ̅) ∗ (y̅𝑖 − y̅) ∑n1(Xi − X b1 = ̅ )2 ∑𝑛𝑖(Xi − X b1= -2,7 b0 = 𝑌̅ − 𝑏1 ∗ 𝑋̅ b0= 19,6 Ti=b0+b1Xi 22,3 19,6 16,9 14,2 Ti = 19.6 - 2.7Xi Según la componente de tendencia se observa que los gastos han disminuido anualmente en el periodo en estudio, por cada año de incremento de la serie el gasto en el dpto. en referencia de la empresa ha disminuido en 2700 dólares. Cálculo de la componente estacional 2015 2016 2017 2018 Cuatrimestre 1 26 25 21 20 23 23 𝐸𝑘 3,85 Cuatrimestre 2 18 15 12 10 13,75 14,65 -4,5 76,50 Cuatrimestre 3 22 20 18 12 18 19,8 0,65 103,39 22,00 20,00 17,00 14,00 M= 19,15 - Calcular la media de los valores de cada periodo anual (cuatrimestre) 𝑦̅𝑘 : 𝑦̅𝑘 = ∑ 𝑦𝑖𝑗 𝑛 n=4 (número de años) - Luego se calcula las medias corregidas 𝑦̅𝑘′ : 𝑦̅𝑘′ = 𝑦̅𝑘 − 𝑏1 ∗ (𝑘 − 1) 𝑚 𝑦̅1′ = 𝑦̅1 − 𝑏1 ∗ (1 − 1) 𝑚 = 23-(-2.7/3)*(1-1) = 23 𝑦̅2′ = 𝑦̅2 − 𝑏1 ∗ (1 − 1) 𝑚 120,10 = 13.75-(-2.7/3)*(2-1) = 14.65 - Calcular la media de las medias corregidas (M) ∑ 𝑦̅𝑘′ 𝑀= 𝑚 - Cálculo de la media de los valores de cada periodo anual (meses, trimestres, cuatrimestre, etc,), representada por: 𝑦̅𝑘 = ∑ 𝑦𝑖𝑗 4 - Cálculo de las medias corregidas 𝑦̅𝑘′ : 𝑦̅𝑘′ = 𝑦̅𝑘 − 𝑏1 ∗ (𝑘 − 1) 𝑚 - Calcular la media de las medias corregidas (M) ∑ 𝑦̅𝑘′ 𝑀= 𝑚 M= 19150 dólares - En base a este valor se analizarán los valores de los periodos, con la siguiente relación funcional: 𝐸𝑘 = 𝑦̅𝑘′ − 𝑀 𝐸1 = 𝑦̅1′ − 𝑀 = 23-19,50 = 3,85 𝐸2 = 𝑦̅2′ − 𝑀 = -4,5 𝐸3 = 𝑦̅3′ − 𝑀 = 0,65 E1: En el primer cuatrimestre los gasto en referido departamento de la empresa superó en 3850 dólares al gasto medio anual. Índices relativos 𝑦̅𝑘′ 𝐼𝑘 = ∗ 100 𝑀 I1= 120,1 I2= 76,50 I3=103,39 - I1: Los gastos en el departamento en referencia de la empresa en el primer cuatrimestre fueron 20.1 % superiores al gasto promedio anual. - I2: El segundo cuatrimestre las ventas solo representaron el 76.4% del promedio anual o el 23.6% menores del promedio anual. - I3:En el tercer cuatrimestre el gasto fue de solo $650 superior al gasto medio anual. Cálculo de la componente residual o errática (rik) 𝑟𝑖𝑘 = 𝑦𝑖𝑘 − 𝑇𝑖 − 𝐸𝑘