Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor absoluto: Ecuaciones e Inecuaciones en una Variable Real Carlos A. Rivera-Morales Precáculo I Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Tabla de Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Objetivos: Discutiremos: la definición de valor absoluto. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Objetivos: Discutiremos: la definición de valor absoluto. propiedades de valor absoluto. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Objetivos: Discutiremos: la definición de valor absoluto. propiedades de valor absoluto. resolución de ecuaciones y desigualdades con valor absoluto. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por |x| está dado por: Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por |x| está dado por: Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por |x| está dado por: Ejemplos: 1 | − 2.5| = Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por |x| está dado por: Ejemplos: 1 | − 2.5| = 2.5 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por |x| está dado por: Ejemplos: 1 | − 2.5| = 2.5 2 −| − 4| = Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por |x| está dado por: Ejemplos: 1 | − 2.5| = 2.5 2 −| − 4| = − 4 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por |x| está dado por: Ejemplos: 1 | − 2.5| = 2.5 2 −| − 4| = − 4 3 |0| = Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por |x| está dado por: Ejemplos: 1 | − 2.5| = 2.5 2 −| − 4| = − 4 3 |0| = 0 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por |x| está dado por: Ejemplos: 1 | − 2.5| = 2.5 2 −| − 4| = − 4 3 |0| = 0 4 −| − 8 − 3| − (−8 − (−3)) = Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por |x| está dado por: Ejemplos: 1 | − 2.5| = 2.5 2 −| − 4| = − 4 3 |0| = 0 4 −| − 8 − 3| − (−8 − (−3)) = − 6 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por |x| está dado por: Ejemplos: 1 | − 2.5| = 2.5 2 −| − 4| = − 4 3 |0| = 0 4 −| − 8 − 3| − (−8 − (−3)) = − 6 |(−3)3 + (52 − 3)| 5 = −15 ÷ (−3)(2) Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por |x| está dado por: Ejemplos: 1 | − 2.5| = 2.5 2 −| − 4| = − 4 3 |0| = 0 4 −| − 8 − 3| − (−8 − (−3)) = − 6 |(−3)3 + (52 − 3)| 1 5 = −15 ÷ (−3)(2) 2 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Algunas Propiedades del valor absoluto: Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Algunas Propiedades del valor absoluto: 1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; además , |x| = 0 ⇐⇒ x = 0. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Algunas Propiedades del valor absoluto: 1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; además , |x| = 0 ⇐⇒ x = 0. 2. ∀x ∈ R , |x| = | − x|. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Algunas Propiedades del valor absoluto: 1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; además , |x| = 0 ⇐⇒ x = 0. 2. ∀x ∈ R , |x| = | − x|. 3. ∀x ∈ R , |x|2 = x2 . Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Algunas Propiedades del valor absoluto: 1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; además , |x| = 0 ⇐⇒ x = 0. 2. ∀x ∈ R , |x| = | − x|. 3. ∀x ∈ R , |x|2 = x2 . 4. ∀x, y ∈ R , |x × y| = |x| × |y|. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Algunas Propiedades del valor absoluto: 1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; además , |x| = 0 ⇐⇒ x = 0. 2. ∀x ∈ R , |x| = | − x|. 3. ∀x ∈ R , |x|2 = x2 . 4. ∀x, y ∈ R , |x × y| = |x| × |y|. x |x| 5. ∀x, y ∈ R , | | = ; y 6= 0. y |y| Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Interpretación geométrica del valor absoluto: Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Interpretación geométrica del valor absoluto: Podemos interpretar el valor absoluto de un número real a como la distancia de a al origen de una recta numérica. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Interpretación geométrica del valor absoluto: Podemos interpretar el valor absoluto de un número real a como la distancia de a al origen de una recta numérica. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Interpretación geométrica del valor absoluto: Podemos interpretar el valor absoluto de un número real a como la distancia de a al origen de una recta numérica. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Fórmula de la distancia en la recta numérica real Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con coordenadas respectivas a y b. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Fórmula de la distancia en la recta numérica real Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a B, denotada por d(A, B) se define como: Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Fórmula de la distancia en la recta numérica real Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a B, denotada por d(A, B) se define como: d(A, B) = |b - a| Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Fórmula de la distancia en la recta numérica real Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a B, denotada por d(A, B) se define como: d(A, B) = |b - a| Nota: |a − b| = |b − a| Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Fórmula de la distancia en la recta numérica real Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a B, denotada por d(A, B) se define como: d(A, B) = |b - a| Nota: |a − b| = |b − a| Razón: b − a = −(a − b). Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Fórmula de la distancia en la recta numérica real Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a B, denotada por d(A, B) se define como: d(A, B) = |b - a| Nota: |a − b| = |b − a| Razón: b − a = −(a − b). Por lo tanto, por la propiedad que establece que |x| = | − x|, se tiene que |a − b| = |b − a|. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Fórmula de la distancia en la recta numérica real Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a B, denotada por d(A, B) se define como: d(A, B) = |b - a| Nota: |a − b| = |b − a| Razón: b − a = −(a − b). Por lo tanto, por la propiedad que establece que |x| = | − x|, se tiene que |a − b| = |b − a|. Por lo tanto, d(A, B) = d(B, A) Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B con coordenadas respectivas a y b. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B con coordenadas respectivas a y b. 1 a = 4, b = 9 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B con coordenadas respectivas a y b. 1 a = 4, b = 9 2 a = 9, b = 4 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B con coordenadas respectivas a y b. 1 a = 4, b = 9 2 a = 9, b = 4 3 a = 0, b = 6 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Propiedad de ecuaciones que envuelven |x| Para p > 0 |x| = p ⇐⇒ x = p o x = −p Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Propiedad de ecuaciones que envuelven |x| Para p > 0 |x| = p ⇐⇒ x = p o x = −p Ejemplo: |x| = 5 ⇐⇒ x = 5 o x = −5 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Propiedad de ecuaciones que envuelven |x| Para p > 0 |x| = p ⇐⇒ x = p o x = −p Ejemplo: |x| = 5 ⇐⇒ x = 5 o x = −5 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Propiedad de ecuaciones que envuelven |x| Para p > 0 |x| = p ⇐⇒ x = p o x = −p Ejemplo: |x| = 5 ⇐⇒ x = 5 o x = −5 Nota: Si p < 0, la ecuación |x| = p no tienen solución. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| Para p > 0 |ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| Para p > 0 |ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p Ejemplo: |3x − 5| = 7 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| Para p > 0 |ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p Ejemplo: |3x − 5| = 7 3x − 5 = 7 o 3x − 5 = −7 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| Para p > 0 |ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p Ejemplo: |3x − 5| = 7 3x − 5 = 7 o 3x − 5 = −7 3x = 12 o 3x = −2 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| Para p > 0 |ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p Ejemplo: |3x − 5| = 7 3x − 5 = 7 o 3x − 5 = −7 3x = 12 o 3x = −2 2 x=4 o x=− 3 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| Para p > 0 |ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p Ejemplo: |3x − 5| = 7 3x − 5 = 7 o 3x − 5 = −7 3x = 12 o 3x = −2 2 x=4 o x=− 3 2 C. S. = {- , 4} 3 Nota: Si p < 0, la ecuación |ax + b| = p no tiene solución. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| y |cx + d| |ax + b| = |cx + d| ⇐⇒ ax + b = cx + d o ax + b = −(cx + d) Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| y |cx + d| |ax + b| = |cx + d| ⇐⇒ ax + b = cx + d o ax + b = −(cx + d) Ejemplo: Resuelva la ecuación |2x − 7| = |4x + 6| Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| y |cx + d| |ax + b| = |cx + d| ⇐⇒ ax + b = cx + d o ax + b = −(cx + d) Ejemplo: Resuelva la ecuación |2x − 7| = |4x + 6| Solución: C.S. = {- 13 1 , } 2 6 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejercicios: Resuelva cada ecuación y grafique su conjunto solución. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejercicios: Resuelva cada ecuación y grafique su conjunto solución.(Continuación.) Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Soluciones: Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x| Para p > 0, Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x| Para p > 0, |x| < p ⇐⇒−p < x < p Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x| Para p > 0, |x| < p ⇐⇒−p < x < p |x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x| Para p > 0, |x| < p ⇐⇒−p < x < p |x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p |x| > p⇐⇒ x < −p o x > p Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x| Para p > 0, |x| < p ⇐⇒−p < x < p |x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p |x| > p⇐⇒ x < −p o x > p |x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x| Para p > 0, |x| < p ⇐⇒−p < x < p |x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p |x| > p⇐⇒ x < −p o x > p |x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x| ≤ 3 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3 Ejemplo 2: |x| > 5 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3 Ejemplo 2: |x| > 5 ⇐⇒ x < −5 o x > 5 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3 Ejemplo 2: |x| > 5 ⇐⇒ x < −5 o x > 5 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b, obtenemos: Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b, obtenemos: Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |ax + b| Para p > 0, |ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b, obtenemos: Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |ax + b| Para p > 0, |ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p |ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b, obtenemos: Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |ax + b| Para p > 0, |ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p |ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p |ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b, obtenemos: Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |ax + b| Para p > 0, |ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p |ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p |ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p |ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b, obtenemos: Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |ax + b| Para p > 0, |ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p |ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p |ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p |ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p Nota: Si p < 0, las ecuaciones |x| < p y |ax + b| < p no tienen solución. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x − 9| < 2 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2 ⇐⇒7 < x < 11 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2 ⇐⇒7 < x < 11 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2 ⇐⇒7 < x < 11 Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2 ⇐⇒7 < x < 11 Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2 ⇐⇒7 < x < 11 Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2 ⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2 ⇐⇒7 < x < 11 Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2 ⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3 7 ⇐⇒x < − o x > −1 3 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2 ⇐⇒7 < x < 11 Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2 ⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3 7 ⇐⇒x < − o x > −1 3 Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejercicios: Resuelva cada desigualdad y grafique su conjunto solución. Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Ejercicios: Resuelva cada desigualdad y grafique su conjunto solución.(Continuación.) Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Ecuaciones con Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor Absoluto Soluciones: Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto