INTERES SIMPLE

INTERÉS EN GENERAL E INTERÉS SIMPLE
Objetivo
Distinguir los elementos involucrados en el concepto de interés, así como los
diversos tipos de interés.
Comprender el proceso de obtención de las fórmulas del interés simple y sus
elementos
Aplicar las fórmulas obtenidas para resolver cualquier problema que implique el
cálculo del interés simple o de cualquiera de sus elementos.
Introducción
Hoy en día, de alguna manera u otra, nos damos cuenta que en muchas de
las operaciones comerciales y financieras, si no es que todas, manejan el
concepto de interés. Este capítulo comienza con el estudio de las matemáticas
financieras, el cual constituye la parte de la matemática aplicada que
proporciona los elementos y la metodología para trasladar en el tiempo y de
manera simbólica los capitales que intervienen en cualquier operación de
carácter financiero y comercial, quitando o agregando intereses.
Concepto
El interés es el valor que se le agrega al dinero a través del tiempo. Todas las
cosas tienen un precio y se tiene que pagar cierta cantidad de dinero por ellas.
Así también se tiene que pagar el precio por del uso del dinero ajeno. A ese
precio se le llama interés
-Se produce interés al invertirlo y al otorgarlo en préstamo
-Se paga interés por la adquisición de bienes y servicios en operaciones de
crédito.
Clasificación
Interés simple. Es simple cuando sólo el capital genera intereses
Interés compuesto. El interés es compuesto si se agrega al capital el interés
generado al final de un período, de manera que el interés calculado para el
siguiente período se basa en esa nueva cantidad (capital anterior más
intereses)
Elementos del interés
Capital. Cantidad total de dinero que se presta o invierte a determinada tasa,
en un tiempo específico para producir un interés.
Tiempo. El número de períodos que dura el préstamo o inversión del capital.
Tasa. Es la cantidad cargada por el uso que se hace del capital, durante un
Tiempo dado. Generalmente se expresa en por ciento. Ejemplo
10% anual.
Interés. Es la cantidad de dinero que se paga por el uso del dinero ajeno.
Simbología
Capital =
P
Tiempo =
n
Interés
=
I
Tasa
=
i
Es oportuno señalar las tasas de interés reales que utilizan los bancos y otras
instituciones financieras y comerciales de México, se determinan sumando
puntos porcentuales a:
a) La tasa líder. Tasa de rendimiento que ofrecen los Certificados de la
Tesorería de la Federación (CETES) a 28 días en su colocación
primaria.
b) El C.P.P. Costo Porcentual Promedio de captación en moneda nacional.
El Banco de México estima esta tasa de acuerdo con los saldos de
captación bancaria en un período mensual, para ser aplicada al
siguiente mes.
c) La T.I.I.E. tasa de interés interbancaria de Equilibrio, se determina de
acuerdo con las cotizaciones de los fondos que los bancos presentan al
banco central o sea el Banco de México.
Se sugiere investigar el valor actual de las tasas anteriormente señaladas como
conocimiento general.
Generalidades y obtención de fórmulas
En este espacio se va a tratar exclusivamente el interés simple, se obtendrán
las fórmulas correspondientes para cada uno de sus elementos involucrados
como son: Capital, Tasa Y Tiempo.
Fórmula para interés simple
Para deducir la fórmula se partirá de un ejemplo:
Ejemplo
Se solicita un préstamo por la cantidad de $10,000.00 que se pagará al final de
tres años con un interés del 12% anual. ¿Cuánto se pagará de intereses al
finalizar los tres años?
Año
1
2
3
Total de intereses
Capital
10,000
10,000
10,000
tasa
0.12
0.12
0.12
Intereses
1,200
1,200
1,200
3,600
Sumando el total de interés de cada año será: 1,200 +1,200+1,200 = $3,600.00
intereses
Como se repite la operación de multiplicar $10,000.00 x 0.12 tres veces es lo
mismo que expresar:
($10,000)(0.12)(3) = $3,600.00
Es decir
Capital x tasa x tiempo = interés
Expresándolo con símbolos:
I  P.i.n
Es importante recalcar que en la expresión anterior existe concordancia entre la
tasa y el tiempo, es decir que la tasa y el tiempo están expresados en el mismo
período (en el caso anterior el tiempo en años y tasa anual).
En caso de no existir concordancia por ejemplo; tasa anual, tiempo en meses,
se hará la operación necesaria para que concuerden dichos elementos.
Interés simple comercial u ordinario e interés simple exacto.
Cuando se efectúan operaciones financieras y se aplican las formulas
correspondientes existen dos opciones:
a).- utilizar el año natural de 365 días o de 366 días si es bisiesto, en cuyo
caso el interés se calcula con tiempo real o exacto y se contabilizan los días
naturales entre la fecha inicial y la fecha final de la operación.
b).- utilizar el año de 360 días y meses iguales de 30 días, con tiempo
aproximado en cuyo caso el interés es comercial.
Nota: en los ejemplos de este capítulo se utiliza el interés simple ordinario
o comercial, a menos que se indique lo contrario.
Ejemplo 1
Para la adquisición de una motocicleta se solicita un préstamo por la cantidad
de $25.000.00 con una tasa de interés del 19% anual, el cual se pagará en 8
meses.
Calcule el interés que se cobró al finalizar el período
Se puede resolver de las siguientes maneras:
1.- Haciendo la conversión de la tasa respectiva antes de resolver el problema,
es decir:
P  $25,000
.19
i
 0.0158333
12
n  8 meses.
Así la tasa y el tiempo coinciden en el período es decir, los dos elementos
están en meses
Ahora se puede sustituir los datos en la fórmula I  Pin
.19
x8
12
I  25,000 x0.0158333x8
I  $3,166.66
I  25,000 x
2.- la siguiente forma es convertir el tiempo en proporción a la tasa:
I  25,000 x 0.19 x
8
12
I  25,000 x 0.19 x 0.6666
I  $3,166.66
Según el caso se hará la conversión correspondiente:
a).-la tasa se convertirá de acuerdo al periodo de tiempo (n)
Tasa anual, tiempo en días;
Tasa mensual, tiempo en años;
Tasa mensual, tiempo en días;
20% anual, n=60 días;
.20
x 60
360
2% mensual, n= 2.5 años; 0.02x12 (2.5)
30% mensual, n= 45 días;
0.30
x 45
30
b).- el tiempo se ajustará al periodo de la tasa
Tasa anual, tiempo en días
20% anual n= 60 días
Tasa mensual, tiempo en años; 10% mensual n= 2.5 años
Tasa mensual, tiempo en días;
30% mensual, n=45 días
.20 x 60/360
.10 x 2.5 (12)
.30 x 45/30
Así se puede establecer la concordancia entre la tasa y el tiempo
Capital, Tasa y Tiempo.
En la determinación de la fórmula anterior del Interés, también se pueden
obtener los valores del capital, la tasa y el tiempo cuando éstos sean las
incógnitas a resolver.
Es decir si se conoce el interés, la tasa y el tiempo pero se desconoce el
capital sobre el cual se calcularon dichos intereses, se puede obtener a través
del siguiente despeje:
I  Pin
Despejando
P
I
i.n
Si lo que se desconoce es la tasa, el despeje sería así:
I  Pin
Despejando
i
I
Pn
Por último para despejar el tiempo:
I  Pin Despejando quedaria
n
I
P.i
Para comprender todo lo anterior, se resolverán los siguientes problemas:
Ejemplo 2
¿Qué interés produce un capital de $71,500.00 que se debe pagar en 18
meses a una tasa del 14.10% anual?
Datos:
P=$ 71,500
I=?
n = 18meses
i = 14.10% anual
I  Pin
I  71,500 x
0.1410
x 18
12
 15,122.25
Se pagarán $15,122.25 de intereses en 18 meses
Ejemplo 3
Un capital de $600,000.00 se invirtió a una tasa de interés del 8.5% simple
anual durante 3 trimestres. Calcular el interés que se generó durante ese
período.
Datos:
P=$600,000.
I=?
n=3 trimestres
i=8.5% anual
Sustituyendo en la fórmula:
I  Pin
I  600,000 x
.085
x 3 = 38,250
4
se pagarán $38,250.00 de intereses al finalizar tres trimestres.
Ejemplo 4
¿Qué capital se tiene que invertir para que al
10,728.00 en 185 días?
9.07% anual produzca $
Datos:
P=?
I=10,728
n=185 dias
i= 9.07% anual
P
Sustituyendo:
P
I
i.n
10,728
 230,166.57
 185 
.0907

 360 
P = $ 230,166.57
Ejemplo 5
¿Cuál será la tasa mensual a que se impusieron $ 29,750.00 durante 275 días
y se produjeron $687.00 de interés?
Datos:
i= ?
P= $ 29,750.00
n= 275 dias
i = 0.00251917 x 100
i = 0.251917% mensal
Sustituyendo:
i
i
I
Pn
687
 0.00251917
 275 
29,750

 30 
Ejemplo 6
Encontrar el tiempo en días en que un capital de $560,890.00, produjo un
interés de $15,800.00 si se impuso al 10% anual.
Datos:
P=$ 560,890. 00
I=$15,800.00
n =?dias
i= 10% anual
Sustituyendo:
n
I
P.i
n
15,800
 101.41
 0.10 
560,890

 360 
n = 101.41 dias
Monto
El monto se obtiene sumándole al capital los intereses generados.
Cuando se calcula un interés a determinada tasa y tiempo, siempre se hace
tomando como base el capital. Si al capital que se toma como base, se le suma
el interés calculado, se obtiene el MONTO, entonces:
M  PI
Ya se sabe que I  Pin
Entonces se puede sustituir así:
M  P(1  in )
Ejemplo de aplicación:
M  P  Pin Factorizando se obtiene:
¿Cuánto se entregará por el capital e intereses juntos, si se prestan $60,000.00
al 18% anual durante 2 años?
Datos:
P=$60,000.00
i=18% anual
n= 2 años
Fórmula de monto:
M=?
M= P (1+ in)
Sustituyendo:
M= 60,000.00 (1+ .18 x 2) = 81,600.00
M= 81,600.00
Capital, tasa y tiempo en función del monto
Capital.
Si partimos de la fórmula
M  P  (1  in )
P
M
(1  in )
despejaremos el capital.
Ejemplo 7
¿Qué capital se invirtió hace 189 días, para que haya acumulado un monto
de $556,900.00 a una tasa de interés del 13.9% anual?
Datos:
P=?
M =$556,900. 00
n=189 dias
i= 13.9% anual
Sustituyendo:
M
P
(1  in )
P
556,900
 $519,024.21
189


1  0.139

360


Tasa y tiempo
De la fórmula M  P  Pin se puede despejar tasa y tiempo:
Despejando tasa:
i
M P
Pn
i
Como M  P es igual al Interés, se puede expresar:
I
Pn
Despejando tiempo:
n
M P
I
Como M  P  I , Entonces, n 
Pi
Pi
Recuerde que en todo momento la tasa y el tiempo deben coincidir por lo que
al obtener los resultados si la tasa es anual, el tiempo se obtendrá en años, y si
lo que se busca es la tasa y el tiempo esta representado en meses, el
resultado que nos arroje será tasa mensual, por lo que se tendrá que hacer su
conversión respectiva dependiendo de lo que se solicite en el problema.
Ejemplos de tasa y tiempo:
Ejemplo 8
¿Durante cuántos años quedaron invertidos $10,000.00
monto de $24,899.00 si se invirtieron al 8.75% anual?
que formaron un
DATOS:
P=10,000.00
M=$24,899.00
n=? AÑOS
i=8.75% anual
Sustituyendo en la fórmula:
n
M P
P.i
n
24,899  10,000
10,000 x0.0875
n  17.0274 años
Ejemplo 9
¿A qué tasa anual se debe invertir $50,000.00 para que al cabo de 2.5 años
dé un monto de $73,000.00?
DATOS:
P=50,000.00
n= 2.5 años
M= $73,000.00
i= x
Sustituyendo en la fórmula:
i
M P
P.n
i
73,000  50,000
50,000 x 2.5
i  18.4% anual
Antes de resolver problemas de monto es conveniente analizar el siguiente
ejemplo:
Ejemplo 10
¿Cuánto habrá de invertirse al 28.1% simple anual el 15 de febrero, para
disponer de $7,000.00 el 9 de mayo, $5,500.00 del 20 de junio y de
$10,000.00 el 23 de diciembre?
DIAGRAMAS DE TIEMPO
Es conveniente que, cuando en un problema a resolver se establezcan varias
cantidades de dinero, (depósitos, retiros, pagos, ingresos, etc.), en diferentes
fechas, se utilice un diagrama de tiempo que facilite la apreciación de la
situación y ayude a su resolución.
Un diagrama de tiempo es una línea recta en la cual se anotan las diferentes
fechas y cantidades así como el inicio y término del plazo del problema a
resolver, por ejemplo:
7,000
5,500
10,000
_______________________________________________________________
Feb. 15
Mayo 9
83 días
Jun.20
42 días
Dic. 23
186 días
En el diagrama de tiempo al inicio se ubica el valor presente o capital, al final
se ubica el valor futuro o monto. Las flechas hacia abajo indican egresos,
depósitos, pagos. Las flechas hacia arriba representan ingresos, retiros,
cobros, etc.
Para determinar los días, por ejemplo, se hará lo siguiente:
De Febrero 15 a Mayo 9.
Mes
Días
Febrero (28-13)
13
Marzo
31
Abril
30
Mayo
9
Total
83
Lo que se busca es el capital que se tuvo que haber invertido el 15 de febrero
para poder disponer de las cantidades mencionadas en cada uno de los
meses, por lo que como se parte de la misma fecha, los días se irán
P
acumulando, veamos:
M
(1  in )
La primera cantidad que se dispuso el 9 de mayo fue de $ 7,000.00
P
7,000
 6,574.09
0.281
1
x83
360
La segunda cantidad que se dispuso el 20 de junio fue de $5,500.00
P
5,500
 5,011.07
0.281
1
x125
360
La tercera cantidad que se dispuso el 23 de diciembre fue de $10,000.00
P
10,000
 8,046.65
.281
1
x311
360
Sumando todos los capitales tendremos la cantidad que se tuvo que haber
invertido en febrero 15
6,574.09  5,011.07  8,046.65  $19,631.81
Analicemos otro ejemplo:
Ejemplo 11
¿Cuál es el precio de un centro de entretenimiento que se paga con un anticipo
del 30% y un documento a 3 meses con valor nominal de $3,600.00? Suponga
que la tasa de interés es igual a la TIIE (tasa de interés interbancaria de
equilibrio) que vale al día de la compra 19.8% mas 4 puntos.
M=$3,600. 00
i= 19.8% anual + 4 puntos =23.8%
P=x
n=3 meses
Fórmula:
M=P (1+ in)
despejando P 
M
(1  in )
Sustituyendo:
P
3,600
0.238
1
x3
12
Este resultado representa el 70% ya que se anticipó el 30%,
P  $3,397.83
entonces:
70% = 3,397.83
100% =
x
por lo tanto,
3,397.83
 $4,854.04
.70
Ejemplo 12
Para calcular el interés generado por una tarjeta de crédito. El interés se
calcula tomando como base el saldo promedio diario de acuerdo a la fecha de
corte establecida por el banco.
El cliente de un banco cuya tarjeta de crédito tiene fecha de corte los días
catorce de cada mes desea calcular el interés generado por su tarjeta del 15 de
marzo al 14 de abril, el banco le cobra una tasa mensual de 3.43%, su límite de
crédito es $ 10,000.00, el 15 de marzo tiene un saldo deudor de $2,058.00, el
día 25 de marzo pago con la tarjeta $1,785,00 el 31 de marzo abono $ 1,200.00
y el 8 de abril hizo un pago con tarjeta por $395.00.
15 Mzo.
25Mzo.
10 días
Días
31Mzo.
8 Abr.
6 días
Movimiento
10
8 días
14 Abr.
7 días
Saldo diario
Saldo x número
de días
2058
20,580
6
2,058 +1,785
3,843
23,058
8
3,843 – 1,200
2,643
21,144
7
2,643 + 395
3,038
21,266
Total 31 días
El saldo promedio diario se obtiene al dividir
Total $86,048
86,048
 2,775.74
31
El interés del periodo será $ 2,775.74 x .0343 = $ 95.21
Descuento Simple
Cuando se obtiene un préstamo por cierta cantidad (P), el deudor se
compromete a pagarlo firmando un pagaré cuyo valor nominal es el valor del
documento. Dicho valor puede ser por el capital (P) que se solicitó en préstamo
pactando pagar al final el capital más cierta tasa de interés estipulada en el
pagaré. Por otro lado, el pagaré también puede ser pactado con los intereses
ya incluidos en el valor nominal es decir el Monto que el deudor pagará ya
incluidos los intereses.
En la práctica, es común que el poseedor del pagaré, es decir el acreedor, lo
negocie antes de la fecha de vencimiento, ofreciéndolo a un tercero –a una
empresa de factoraje, por ejemplo.- a un precio menor que el estipulado en el
propio documento o sea con un descuento
Veamos un ejemplo de los dos casos, cuando el pagaré no incluye lo intereses
y cuando si los incluye.
Ejemplo 13
El Sr. Castro posee un pagaré con valor nominal de $42,780.00 que vence
dentro de 5 meses con un interés pactado del 30% simple anual. Si vende ese
pagaré 3 meses después de su inicio y la tasa del mercado en ese momento es
del 25% simple anual, ¿Qué precio debe ofrecer?
Primero se calcula el valor que tendrá el documento al final de los 5 meses.
M= P(1+in)
así: M= 42,780 (1+(.30/12)(5) =
$48,127.50
Luego calculemos el valor al que se debe vender el documento antes de la
fecha de vencimiento.
P= M/ (1+in)
P= 48,127.50 / (1+(.25/12)(2)
P=46,202.40
El descuento se determina al restarle al monto el precio en que se vende el
documento antes de su vencimiento.
Descuento = 48,127.50 – 46,202.40= 1925.10 que dividiéndolo entre el monto
no dará la tasa de descuento. 1,925.10/ 48,127.50 = .04. Tasa del 4% de
descuento.
Ahora veamos el ejemplo cuando el valor nominal del documento incluye los
intereses del capital.
Ejemplo 14.
El descuento comercial de un documento 3 meses antes de su vencimiento y
cuyo valor nominal es de $13,600.00. con una tasa de descuento anual del
23.5%l.
El descuento D a un documento con valor nominal M es
D = Vn.nd
Donde
d = tasa de descuento simple anual, y
n= al plazo en años
Vn=valor nominal
D = Vn.nd
Entonces:
D= 13,600.(3/12)(.235) = 799.00
Si al valor nominal del pagaré en este caso que es el monto le restamos el
descuento, entonces se obtiene el valor comercial o valor P por lo que el
precio será:
Vc = 13,600 – 799
Vc = 12,801.00
Vc = valor comercial
Por lo tanto lo anterior se expresa así:
Vc = Vn – Vn.nd
Factorizando:
Vc = Vn (1-(nd))
Vc = 13,600 (1-.(3/12*.235)) = $12,801.00
Ejemplo 15
¿Cuál es el valor comercial de un documento que se firmó por un préstamo por
$18,700.00 otorgado el 25 de marzo y que vence el 30 de septiembre con una
tasa de interés del 18% simple anual y se descuenta el 12 de julio si se supone
que la tasa de descuento es del 25% simple anual?
M
18,700
P
Marzo 25
Julio 12
109 dias
Sept. 30
80 dias
Se tiene que encontrar el valor futuro de los $18,700.00 del pagaré al
vencimiento del documento.
M= 18,700 (1 +(189/360)(.18)
M= $20,467.15
Para encontrar el valor comercial del documento se determina con la fórmula
de descuento
Vc= Vn (1-nd)
Vc= 20,467.15 (1-(80/360)(.25))
Vc = $19,330.09